一类MIMO系统的反演滑模控制方法研究与仿真

一类MIMO 系统的反演滑模控制方法研究与仿真

摘 要：针对一类具有参数不确定性及外部干扰的MIMO （多输入多输出）系统，提出了一种反演滑模控制方法进行位置跟踪控制。该控制律基于Lyaponov 定理设计，保证了系统的全局渐进稳定性，最后将此方法应用于一个2输入2输出的控制系统的设计中,仿真实例验证了该控制算法的有效性。

关键词：MIMO 系统，反演滑模控制，Lyaponov 定理

Study and Simulation of Backstepping Sliding Mode

Control for MIMO system

Abstract: In order to deal with the parameter uncertainties and external disturbances of MIMO system, a backstepping sliding mode control strategy is proposed. And based on Lyapunov methods, the control law can guarantee that the system is asymptotically stable. Finally, the proposed method is used for a two-in and two-out system. And numerical simulations are investigated to verify the effectiveness of the proposed scheme.

Key words: MIMO system, backstepping sliding mode control, Lyaponov methods

1. 引言

反演法又称反推法、反步法，其基本思想是将复杂的非线性系统分解成不超过系统阶数的子系统,然后为每一个子系统设计李雅普洛夫函数和中间虚拟控制量,一直回推到整个系统,直到完成整个控制律的设计，最终实现位置跟踪。而滑模变结构控制对系统中存在的不确定性具有极强的鲁棒性，由于滑动模态可以进行设计且与对象参数及扰动无关, 这就使得变结构控制具有快速响应、对参数变化及扰动不灵敏、无需系统在线辩识, 物理实现简单等优点。

本文通过结合滑模变结构控制和反演控制各自的优点,设计了一种针对MIMO 系统的反演滑模控制[1-6]方法。该方法将被控对象由SISO （单输入单输出）推广到MIMO 系统，一方面利用了反演控制动静态特性优良、稳定性好的特点,另一方面结合了滑模变结构控制结构简单、鲁棒性强的优势。在文中，首先运用了反演控制理论，逐步推导出其相应的控制策略,以提升系统动、静态控制精度。再引入滑模变结构控制增强控制器应对系统参数变化的能力。

2. 一类MIMO 系统模型描述

假设一类MIMO 系统的状态方程为

1222X X X AX Bu

⎧=⎨

=+⎩ （1） 其输出方程为

1Y X = （2）

其中112[,,....]T n X x x x =，2122[,,....]T

n n n X x x x ++=，A 为n n ⨯的矩阵，B 为n n ⨯的矩阵，u 为n 维控制输入，12[,,....]T

n Y y y y =为n 维系统输出。

考虑到系统的不确定性和外部扰动，将（1）式写成

22222()()()

=+()=+F

X A A X B B u f t AX Bu AX Bu f t AX Bu =+∆++∆++∆+∆++ （3）

其中A ∆，B ∆为系统参数不确定性，()f t 为外加干扰，2F =()AX Bu f t ∆+∆+为

系统的总的不确定性，且满足max F F ≤。

3. 自适应反演滑模控制器设计

假设位置指令为d Y ，且d Y 具有二阶导数，控制器设计步骤如下 第一步：

定义跟踪误差为

1d Y Y =-e （4）

求导得

12d d Y Y X Y =-=-e （5）

定义虚拟控制量

111d Y λ=-+αe （6）

其中1λ为非零正常数。 定义

221X =-e α （7）

定义Lyapunov 函数

1111

2

T V =e e （8）

求导得

11111111212112112111

12

1112

111

()

22

()()T T T T d T T d d d n

T T T i i V X Y Y Y Y e λλλ==+==-=+-=-+-=-+=-+∑e e e e e e e e e αe e e e e e e e e （9） 如果20=e ，则

211110

n

i i V e λ==-≤∑ （10）

所以需要继续设计，下一步则要寻找控制律u ，保证滑模面等于0 或趋近于原点。 第二步：

22121X AX Bu F =-=++-e αα （11）

定义切换函数

112S k =+e e （12）

其中k 为非零正常数。 定义Lyapunov 函数

211

2

T V V S S =+ （13）

求导得

22111121121

()n

T

T T i i V V S S e S k λ==+=-+++∑e e e e （14）

将（5）（7）（11）式代入（14）得

221112121211211222121211

11[()]

11

[()]

n

T T i d i n

T T i d i V e S k Y AX Bu F e S k Y AX Bu F k k λλ===-+++-+++-=--+++-+++-∑∑e e e ααe e e e αα （15）

设计控制律为

112121max 21

1

[()sgn()]d u B k Y AX F S k -=-+-+-++

e ααe （16） 将（16）式代入（15）式得

221122max 1

1

1[sgn()]n

T

T i i V e S F F S k λ==--

+-∑e e （17） 其中max F F η=+，0η> 则

2

2

2112max 1

112

2

112max

1

112211211

12

2112111

11[sgn()]

11

10

n

n T i i i i n

n T T i i i i n

n

T i i i i n

n n

i i i i i i i V e e S F F S k e e S F S F k e e S k e e s k λλληλη==========--+-≤--+-=--

-=---≤∑∑∑∑∑∑∑∑∑ （18）

4. 仿真分析

考虑二阶MIMO 系统，其状态方程为

13

243341143422

5423x x x x x x x u f x x x u f =⎧⎪=⎪⎨

=+++⎪⎪=+++⎩ 系统输出为

[][]1

21

2=T

T

Y y y x x =

其中54=23A ⎡⎤⎢

⎥⎣⎦，10=01B ⎡⎤

⎢⎥

⎣⎦

，外部干扰1=20sint f ，2=20sin2t f ，设位置指令[][]12=sin52sin8T T d d d Y y y t t =。系统的初始状态为[]00000T

x =，控制器参

数120λ=，110k =，不确定总量上界max 50F =。 仿真结果如图1—3所示。