一类MIMO系统的反演滑模控制方法研究与仿真
滑模控制分类
滑模控制分类滑模控制是一种常用的控制方法，它通过引入滑动面来实现对系统的稳定控制。
在滑模控制的分类中，可以分为离散滑模控制和连续滑模控制两种类型。
离散滑模控制是指在系统的离散时间点上进行控制决策，通过在每个时间点上计算控制量，来实现对系统的控制。
离散滑模控制的特点是简单易实现，对于一些实时性要求不高的系统，可以采用这种方法进行控制。
连续滑模控制是指在系统的连续时间上进行控制决策，通过引入滑动面来实现对系统的控制。
连续滑模控制的特点是可以实现对系统状态的连续控制，对于一些实时性要求较高的系统，可以采用这种方法进行控制。
连续滑模控制在实际应用中具有广泛的应用领域，如机器人控制、电力系统控制等。
在滑模控制的分类中，还可以根据控制对象的不同进行划分。
例如，可以将滑模控制分为单输入单输出（SISO）滑模控制和多输入多输出（MIMO）滑模控制两种类型。
单输入单输出滑模控制是指在系统只有一个输入和一个输出时采用的控制方法，通过设计合适的滑动面和控制律，实现对系统的控制。
多输入多输出滑模控制是指在系统有多个输入和多个输出时采用的控制方法，通过设计合适的滑动面和控制律，实现对系统的控制。
滑模控制是一种在控制领域中广泛应用的控制方法，它具有鲁棒性强、控制效果好等优点，在实际应用中具有广泛的应用前景。
随着科技的不断发展，滑模控制在各个领域中的应用也越来越广泛，可以说滑模控制在现代控制领域中占据着重要的地位。
滑模控制是一种重要的控制方法，它通过引入滑动面来实现对系统的控制。
在滑模控制的分类中，可以根据控制的时间类型和控制对象的不同进行划分。
无论是离散滑模控制还是连续滑模控制，无论是单输入单输出滑模控制还是多输入多输出滑模控制，滑模控制在实际应用中都具有重要的地位和广泛的应用前景。
希望本文对读者对滑模控制的分类有所了解，并能够在实际应用中灵活运用。
毕业设计(论文)-自适应反演滑模控制[管理资料]
![毕业设计(论文)-自适应反演滑模控制[管理资料]](https://img.taocdn.com/s3/m/be39fb98a98271fe900ef921.png)
摘要滑模变结构控制出现在20世纪中后期，由于变结构系统的滑动模态运动对系统的参数摄动、外界的扰动、不确定模态和模型不确定性具有自适应性，也就是完全鲁棒性，使得滑模控制引起了人们的极大关注。
反演（backstepping）是将复杂的非线性系统分解成不超过系统阶数的子系统，然后为每个子系统分别设计李雅普诺夫函数和中间虚拟控制量，一直后退到整个系统，直到完成整个控制律的设计。
本课题与李雅普诺夫型自适应律结合，综合考虑控制律和自适应律，使整个闭环系统满足期望的动静态性能指标。
在本论文中，将滑模变结构控制和基于backstepping设计方法的自适应控制有机结合，实现了以下技术指标：研究了Backstepping的基本思想和设计方法，并通过仿真实例进行验证。
设计出Backstepping滑模控制器。
设计出自适应Backstepping滑模控制器,使整个闭环系统满足期望的动静态性能指标。
通过MATLAB平台，对实例进行了仿真。
仿真结果表明：研究自适应反演滑模控制策略，为一大类不确定非线性系统提供了一种更有效的控制策略。
关键词：滑模变结构，反演控制器，自适应，李雅普诺夫函数Adaptive Backstepping Sliding Mode ControlABSTRACTThe sliding mode variable structure control was brought in the mid-and late 20th century. It is attention-getting because the sliding mode movement of variable structure system holds the adaptability, an ideal robustness, for the change of system parameters, outside disturbance, uncertain mode and model uncertainty of the system.Backstepping algorithm is designed to decompose a complicated nonlinear system to several subsystems with lower orders, and then a Lyapunov function and an interim virtual control variable are respectively designed for each subsystem. The steps of recursive algorithm will continue until the whole control law is worked out. In order to make the whole closed-loop system meet the anticipant stable and dynamic performance indexes, the subject is combined to Lyapunov’s adaptive law, and the control law and adaptive law are also taken into consideration.In this paper, the sliding mode variable structure control is properly combined to adaptive control based on backstepping design and the technical goals are realized as following.The basic ideal and designing method of backstepping are studied and proved through the simulation of practical examples.Backstepping sliding mode controller is developed.Adaptive backstepping sliding mode controller is designed to make the whole closed-loop system meet the anticipant stable and dynamic performance indexes.The simulation of practical examples is carried out on the platform of MATLAB. The simulation results show that the adaptive backstepping slidingmode provides a more efficient control strategy for a large class of uncertain nonlinear systems.Key words:sliding mode variable structure，backstepping controller，adaptive，Lyapunov function自适应反演滑模控制0 引言进入20世纪80年代以来，随着计算机、大功率电子切换器件、机器人及电机等技术的迅速发展，变结构控制理论和应用研究开始进入了一个新阶段。
一类带有广义不确定性非线性系统的自适应模糊反演控制
须将反演法与其他控制方法相结合 。Ｌｅ 采用神 ｅ
经 网络和 反演 控制 相 结 合 的方 法 研 究 了导 弹 飞行 控制 系统 。胡 云 安 等 将 自适 应 控 制 与反 演 控 制 相结 合研 究 了 ＢＴ 弹 自适应 反 演控 制 。朱 凯 １ ｒ导 等将 反演 控制 与 自适应 滑模控 制相结 合研 究 了 ＢＴ １ｒ
第１ ２卷 第 １ ５期
２ １ ５月 ０ ２年
科
学
技
术
与
工
程
Ｖｏ．１ Ｎｏ ５ Ｍ ａ ０１ １ ２ ．１ ｙ２ ２
１ ７ — １ １ （ ０ ２ １ －６ ０ ０ ６ １ ８５ ２ １ ）５３ ２ —６
Ｓ ｉｎ ｅ Ｔ ｃ ｎ ｌ ｇ ｎ ｎ ｉ ｅ ｒ ｇ ｃｅ ｃ ｅ ｈ ｏｏ ｙ ａ ｄ Ｅ ｇｎ ｅｉ ｎ
制 系统设计 中有着 成 功 的应 用 ， 且 还在 不 断 地扩 而 展 到其他越 来越 多 的领 域 中 Ｊ 但 是 ， 演 设 计法 反
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参 数化 的形式 ， 并且 系 统 中 的非 线性 函数必 须 精 确
已知 ， 而且此 法 在 实 际上 存 在 “ 算 膨 胀 ” 题 ， 计 问 这 在实 际 中很 难 满 足 。 因此 ， 了解 决 这 一 问 题 ， 为 必
１ 非线性 系统描述
存在广义不确定性 的严 格块反馈型非线 性系
统描 述如 下 ：
模糊 万 能 逼 近 定 理 ： 果 ）是 定 义 在 紧 如
致集 ｎ上的连续函数 ， 则对于任意常量 ＞０ 都存 ，
在一 个如 上式所 示 的模糊 系统 ， 满足 ：
一类MIMO系统的反演滑模控制方法研究与仿真
一类MIMO 系统的反演滑模控制方法研究与仿真摘 要：针对一类具有参数不确定性及外部干扰的MIMO （多输入多输出）系统，提出了一种反演滑模控制方法进行位置跟踪控制。
该控制律基于Lyaponov 定理设计，保证了系统的全局渐进稳定性，最后将此方法应用于一个2输入2输出的控制系统的设计中,仿真实例验证了该控制算法的有效性。
关键词：MIMO 系统，反演滑模控制，Lyaponov 定理Study and Simulation of Backstepping Sliding ModeControl for MIMO systemAbstract: In order to deal with the parameter uncertainties and external disturbances of MIMO system, a backstepping sliding mode control strategy is proposed. And based on Lyapunov methods, the control law can guarantee that the system is asymptotically stable. Finally, the proposed method is used for a two-in and two-out system. And numerical simulations are investigated to verify the effectiveness of the proposed scheme.Key words: MIMO system, backstepping sliding mode control, Lyaponov methods1. 引言反演法又称反推法、反步法，其基本思想是将复杂的非线性系统分解成不超过系统阶数的子系统,然后为每一个子系统设计李雅普洛夫函数和中间虚拟控制量,一直回推到整个系统,直到完成整个控制律的设计，最终实现位置跟踪。
机载PMSM伺服作动系统约束反演控制_陈晓雷
［1 ］
飞机上的应用成为现实 ， 弥补了传统液压作动机构的 缺陷 ，极大地提高了飞机的操纵和控制性能
［2 ］
。 机电
。近年来 ，随着功率电传技术的发展 ， 尤其是高
作动系统中 ，伺服电动机及控制器是关键所在 。 永磁 同 步 电 动 机 （ Permanent Magnet Synchronous Motors， PMSM ） 具有转矩脉动小 、调速范围宽以及功率密度高 等优势 ，在航空领域具有良好的发展前景 。 然而 ，PMSM 本身具有多变量 、 非线性及强耦合 等特点
［16 ］
［17 ］
（ 1）
（ 2）
（ 3）
式中 ： T0 为舵面处于收拢状态时的负载转矩 ； k θ 为线
。 通 过 Lyapunov
· 2
x =
x2 kr
方法证明闭环系统的全局渐进稳定性 ， 闭环系统信号 一致有界，跟踪误差可收敛到原点较小邻域 ， 且控制
x =－
kθ 3 pφ f T0 B x － x2 + x － J 1 J 2J 3 J
针对机载伺服系统控制精度需求 ， 提出一种基于障碍 Lyapunov 函数的反演控制策略 。 建立
机载 PMSM 伺服作动系统的数学模型 ，为补偿负载扰动和参数变化 ，消除未建模动态引起的稳态误差 ， 在反演控制律的设计中引入积分项 。通过 Lyapunov 方法证明闭环系统全局渐进稳定 ， 闭环信号一致有 界，且控制过程中舵面跟踪误差始终保持在约束区间内 。仿真及实验结果表明 ， 与传统反演控制相比 ， 该文所提控制方法具有严格约束误差范围的优势 ， 当存在扰动和模型不确定性时 ， 积分项作用可显著 降低系统稳态误差 ，改善动态性能 。 关键词 ： 机载伺服作动系统 中图分类号 ： TP273 永磁同步电动机 反演控制 障碍 Lyapunov 函数
自动控制原理MIMO系统知识点总结
自动控制原理MIMO系统知识点总结自动控制原理是控制工程的基础课程，而多输入多输出（MIMO）系统是其中重要的一部分。
MIMO系统是指系统存在多个输入和多个输出。
在本文中，将对MIMO系统的基本概念、特点、建模方法以及控制策略进行总结。
一、MIMO系统的基本概念和特点MIMO系统是指具有多个输入和多个输出的系统，在现实生活和工程领域中广泛存在。
相较于单输入单输出（SISO）系统，MIMO系统具有以下特点：1. 增强系统的性能：MIMO系统通过利用不同输入之间的互补性，可以提高系统的稳定性、鲁棒性和响应速度，从而增强系统性能；2. 增加信息传输量：通过同时在多个通道上进行传输，MIMO系统可以提高信息传输的效率，增加信道容量；3. 抑制干扰和提高抗干扰能力：MIMO系统可以通过在不同通道上选择合适的传输方式来抑制外界干扰，提高系统的抗干扰能力；4. 提高可靠性和容错性：MIMO系统可以在某些通道发生故障时，通过其他通道传输数据，从而提高系统的可靠性和容错性。
二、MIMO系统的建模方法针对MIMO系统的建模方法，常见的有时域建模和频域建模两种方法。
1. 时域建模：时域建模是指通过物理方程或差分方程来描述MIMO系统的动态响应。
常用的时域建模方法有状态空间模型和差分方程模型；2. 频域建模：频域建模是指通过将系统的输入和输出转换到频域来描述系统的特性。
常用的频域建模方法有传递函数模型和频率响应函数模型。
三、MIMO系统的控制策略针对MIMO系统的控制问题，常见的控制策略有：1. 反馈控制：反馈控制是指利用系统的输出信号与期望输出信号之间的差异来调节系统的输入信号，从而实现系统的稳定性和性能要求。
常用的反馈控制方法有PID控制器、状态反馈控制和输出反馈控制等；2. 前馈控制：前馈控制是指通过测量系统的输入信号和模型预测系统的输出信号，将预测误差作为前馈信号来补偿系统的输出误差，以提高系统的响应速度和鲁棒性；3. 最优控制：最优控制是指通过优化系统的性能指标来设计控制器，以实现系统的最佳控制效果。
基于高阶微分滑模面的不确定飞机控制系统自适应滑模控制
17]针 对 低 空 飞 行 的 飞 行 器 姿 态 控 制,设
计了一种改进的自适应鲁棒滑模控制器;文献[
18]针对微小型四旋翼飞行器大角度快速机动飞行控制问题,
提出了基于动态逆与滑模控制的新型双通道机动飞行控制方法。文献[
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5)所示:
e1 =z1 -z1d ,
{
(
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e2 =z2 -̇
z1d ,
式中z1d 是给定的光滑的连续信号。
此外,众所周知,
RBF 神 经 网 络 具 有 很 好 的 逼 近 能 力,常 用 于 逼 近 未 知 非 线 性 函 数,在 结 构 上,采 用
T
船舶航向非线性反演自适应滑模控制
船舶航向非线性反演自适应滑模控制王仁强;陈进涛【摘要】为实现船舶在大幅度改向操纵运动中航向准确快速跟踪控制,采用Bech 船舶操纵运动数学模型精确描述船舶运动性能.考虑到船舶运动中固有的非线性、模型不确定性和风、浪、流等干扰影响,设计一种船舶航向非线性自适应滑模控制器.利用反演法将滑模控制技术与自适应控制技术相结合设计航向改变控制算法,借助Lyapunov稳定性定理证明控制系统渐近稳定,并进行船舶航向控制仿真.仿真结果表明,本文所设计的船舶航向改变控制器性能优良,控制舵角合理,控制输出航向对本船参数摄动及外界干扰不敏感,具有较强的鲁棒性.【期刊名称】《舰船科学技术》【年(卷),期】2014(036)003【总页数】4页(P136-138,142)【关键词】Bech模型;反演法;自适应;Lyapunov;滑模控制【作者】王仁强;陈进涛【作者单位】江苏海事职业技术学院航海技术系,江苏南京211170;江苏海事职业技术学院航海技术系,江苏南京211170【正文语种】中文【中图分类】U666.153船舶运动具有大惯性、大时滞、非线性等特点，船舶在海上航行时经常会受到风、浪等强干扰的影响，此时，传统的PID控制规律已不能较好地对船舶航向进行跟踪控制。
20世纪60年代诞生的滑模变结构控制理论[1]为船舶运动的非线性、不确定性控制提供了有效的解决方法，这种方法通过控制量的切换使船舶运动系统状态沿着滑模面滑动，使船舶运动系统在受到参数摄动和外界干扰时具有不变性。
然而，文献[2-5]都是基于2阶野本模型，该模型只适应于在平衡位置做小偏移的操纵运动，当船舶进行大幅度航向改变操纵时，2阶野本模型就不能够精确的描述船舶实际的运动性能。
鉴于此，本文采用适用范围更广的Bech模型[6]，在利用Lyapunov稳定性的基础上，结合变结构滑模控制强鲁棒性特点，利用反演设计方法设计一种船舶航向改变自适应滑模控制算法，从而实现船舶在大幅度改向操纵运动中航向准确快速跟踪控制。
非完整轮式移动机器人反演滑模轨迹跟踪控制器设计
非完整轮式移动机器人反演滑模轨迹跟踪控制器设计杨敏;梅劲松;廖里程【摘要】For tracking the trajectory of wheeled mobile robots, a backstepping-based sliding-mode control scheme is presented. An equivalent control law is obtained by using Pl-type sliding surface and a switching control law is gotten by replacing sign function by variable rate function. The stability of the system is proved by Lyapunov theory. Simulation results show the effectiveness and cor-rectness of the proposed method and the improvement of the chattering phenomenon in the system. Even though external disturb-ances exist, the proposed approach is of a satisfactory control quality.%针对轮式移动机器人的轨迹跟踪问题，提出了一种反演滑模控制方法。
采用PI型滑模面设计等效控制律，利用变速函数代替了符号函数得到切换控制律，并利用Lypunov定理证明了系统的稳定性。
仿真结果表明了该方法的有效性和正确性，控制中出现的抖振现象得到改善，在外界干扰影响下，也具有良好的控制品质。
【期刊名称】《机械制造与自动化》【年(卷),期】2015(000)005【总页数】4页(P152-154,196)【关键词】轮式移动机器人;反演;滑模控制【作者】杨敏;梅劲松;廖里程【作者单位】南京航空航天大学自动化学院，江苏南京210016;南京航空航天大学自动化学院，江苏南京210016;南京航空航天大学自动化学院，江苏南京210016【正文语种】中文【中图分类】TP242近年来，非完整移动机器人的运动控制一直是控制工作者研究的热点。
多输入多输出系统的分析与控制研究
多输入多输出系统的分析与控制研究多输入多输出系统（MIMO系统）是指系统具有多个输入信号和多个输出信号的动态系统。
这种系统常见于许多现实世界中的应用，例如通信系统、控制系统和信号处理系统等。
对MIMO系统进行分析和控制研究对于实现优化的系统性能和稳定性至关重要。
本文将介绍MIMO系统分析和控制的基本原理和方法。
MIMO系统的分析是指对系统的输入和输出关系进行建模和分析，以了解系统的行为和特性。
在MIMO系统中，输入信号可以是多个不同的信号源，输出信号可以是多个关联的观测信号。
分析MIMO系统的目标是推导出系统的传递函数或状态空间描述，以研究系统的稳定性、频率响应和时域响应等特性。
在MIMO系统中，输入和输出之间的关系可以通过矩阵形式表示。
输入向量和输出向量分别表示为：u(t) = [u1(t), u2(t), ..., um(t)]^Ty(t) = [y1(t), y2(t), ..., yn(t)]^T其中，u(t) 是 m 维输入向量，y(t) 是 n 维输出向量。
为了分析MIMO系统的传递过程，可以使用频域方法和时域方法。
频域方法通过将输入和输出信号转换为复数的复信号，通过计算传递函数的频率响应来研究系统的行为。
时域方法则关注系统的时间响应特性，例如阶跃响应、脉冲响应和频率响应等。
MIMO系统的控制研究旨在设计合适的控制器以实现对系统的稳定性和性能的优化。
控制器的设计可以基于多个因素，例如系统的输入信号和输出信号的关系、系统的传递函数或状态空间模型以及所需的控制性能指标等。
常见的MIMO系统控制方法包括线性控制方法和非线性控制方法。
线性控制方法通常基于线性系统理论，例如状态空间控制方法和频域控制方法。
通过设计适当的线性控制器，可以实现对系统的稳定性和性能的优化。
然而，线性控制方法在非线性系统或强耦合系统中可能不适用。
非线性控制方法则针对非线性系统或强耦合系统进行设计。
这些方法通常基于非线性控制理论，例如滑模控制、自适应控制和最优控制等。
滑模控制——精选推荐
滑模控制：在数学中应用的综述Alessandro Pisano, Elio Usai公式要用公式编辑器输入！摘要：本文介绍了一个关于滑模变结构控制系统的简短的综述。
从等号右边不连续的动态系统的滑模开始，考虑到滑模控制系统的经典方法，并且得出对于这种不确定系统的控制的一般结论。
然后，提出高阶滑模作为消除控制作用的间断性的工具，当用高阶滑模处理相对高阶的系统和提高滑模作用精度时，必须把时间的离散性考虑在内。
最后，提出了滑模控制理论在应用数学问题方面的三个应用：受限制的QDE（常微分方程）的数量解，实时微分，以及寻找非线性系统的零点的问题。
第一种是几乎直接应用滑模控制理论，然而后两种是通过计算正确定义的动力系统的解完成的。
可以用一些仿真来解释这种方法。
1、简介非线性动态系统由于其可能产生的结果而被认为是研究领域一个感兴趣的话题。
其实，真正的系统总是非线性的，把它们的近似线性可能会给他们的工作范围施加过于严格的要求或产生不可行的结果。
而且非线性系统甚至可以比线性系统的性能更好，因此往往在反馈控制系统中有意引入一些非线性行为。
在非线性系统中，切换控制系统非常有趣，因为它实现简单甚至可能是一些控制问题的最优解。
切换动态系统产生于有趣的数学问题，因为它们的特征是等号右边不连续的ODE （常微分方程），常微分方程的解通常定义和存在条件不再有效；因此必须适当地将经典微分方程理论进行扩展。
切换系统的特征是系统中存在动态变化，这些变化和状态空间中的不同状态集合有关系。
这些不同的集合彼此被边界线分隔开来，在一些混合动力系统的文献中被命名为卫兵，跨越边界的矢量场的方向有可能指向边界本身。
在这种情况下会形成滑模而且状态空间不同集合之间的边界定义了不同的矢量场，通常被称为滑动面。
在滑模稳定存在的情况下，滑动面是状态空间的一个不变集，在适当的条件下，状态轨迹独立于原来的系统动态特性，约束运动提出了一个半组属性。
这种不变性，对于滑模不确定性的匹配，引起了控制工程师的兴趣，工程师认为这是在反馈中有意引进切换的开关机会，不管系统的不确定性和外部扰动是否满足匹配条件，都能够使闭环控制系统有着满意的表现。
非匹配不确定MIMO系统的分数阶终端滑模控制
非匹配不确定MIMO 系统的分数阶终端滑模控制周铭浩 1魏可蒙 1冯 勇 2穆朝絮 3苏鸿宇1摘 要 针对一类非匹配不确定多输入多输出(Multi-input multi-output, MIMO)系统提出一种分数阶终端滑模控制(Fractional-order terminal sliding-mode, FOTSM)策略, 使系统输出收敛到零而非其邻域. 该方法解除传统反步法控制律设计中, 虚拟控制增益右伪逆矩阵必须存在的严苛限制; 对系统不确定性的假设不局限于慢时变和H 2范数有界型扰动,分析控制增益存在摄动情况下系统的控制问题. 分数阶终端滑模面及其控制律的设计使得虚拟和实际控制信号连续, 削弱抖振现象, 利用自适应滑模切换增益技术解决由控制增益矩阵摄动引起的代数环问题. 最后, 仿真分析验证所提方法的正确性和优越性.关键词 滑模控制, 终端滑模, 分数阶滑模, 非连续控制引用格式 周铭浩, 魏可蒙, 冯勇, 穆朝絮, 苏鸿宇. 非匹配不确定MIMO 系统的分数阶终端滑模控制. 自动化学报, 2023,49(10): 2224−2236DOI 10.16383/j.aas.c220875Fractional-order Terminal Sliding-mode Control of MIMO Systems WithUnmatched UncertaintiesZHOU Ming-Hao 1 WEI Ke-Meng 1 FENG Yong 2 MU Chao-Xu 3 SU Hong-Yu 1Abstract This paper proposes a fractional-order terminal sliding-mode control (FOTSM) for multi-input multi-out-put (MIMO) systems with unmatched uncertainties to force the outputs to converge to the equilibrium point rather than their neighborhoods. The control method breaks through the limitation in traditional back-stepping control that the right Moore-Penrose pseudo inverse of the gain matrix of the virtual control signal must exist. The pro-posed control method can deal with uncertainties, which are not limited to being slow time-varying or H 2 norm-bounded. Besides, the method can apply to the system with uncertain control gain. Meanwhile, an adaptive sliding mode control law is designed to compensate for the uncertainties caused by the gain matrix variation and attenuate the switching gain ＇s amplitude. The smooth virtual and actual control signals can be obtained thanks to the frac-tional-order sliding mode control method, which eliminates the chattering in the MIMO systems with unmatched uncertainties. Finally, simulations demonstrate the correctness and superiority of the proposed control method.Key words Sliding-mode control (SMC), terminal sliding-mode, fractional-order sliding-mode, discontinuous con-trolCitation Zhou Ming-Hao, Wei Ke-Meng, Feng Yong, Mu Chao-Xu, Su Hong-Yu. Fractional-order terminal sliding-mode control of MIMO systems with unmatched uncertainties. Acta Automatica Sinica , 2023, 49(10): 2224−2236滑模控制(Sliding-mode control, SMC)凭借其结构简单、对系统的外部扰动和参数摄动具有强鲁棒性等优势, 被广泛应用于电气、机械、航空和航天等领域[1]. 非匹配扰动及参数摄动存在于系统的非控制通道中, 传统的线性滑模和终端滑模[2−4]控制输入不能直接对其补偿, 只能迫使非匹配不确定多输入多输出(Multi-input multi-output, MIMO)系统的输出在有限时间内收敛到零附近的邻域[5−7]. 非匹配扰动及参数摄动广泛存在于实际系统中, 如电机驱动控制系统中的负载转矩扰动、新能源发电并网系统中网侧逆变器的负载电流突变等[8]. 因此, 研究针对非匹配不确定MIMO 系统的强鲁棒、高动态性能的控制方法具有重要的理论意义和应用价值.m n m ≥n /2m <n /2非匹配不确定MIMO 系统的控制通常采用虚拟控制策略, 须满足虚拟控制增益矩阵的右伪逆矩阵存在. 实际控制系统中的控制量维数 与系统阶数 普遍存在两种关系: 1) ; 2) .收稿日期 2022-11-08 录用日期 2023-02-10Manuscript received November 8, 2022; accepted February 10,2023国家自然科学基金(U21A20145, 62073095)资助Supported by National Natural Science Foundation of China (U21A20145, 62073095)本文责任编委 李鸿一Recommended by Associate Editor LI Hong-Yi1. 哈尔滨理工大学电气与电子工程学院 哈尔滨 1500802. 哈尔滨工业大学电气工程及自动化学院 哈尔滨 1500013. 天津大学电气自动化与信息工程学院 天津 3000721. School of Electrical and Electronic Engineering, Harbin Uni-versity of Science and Technology, Harbin 1500802. School of Electrical Engineering and Automation, Harbin Institute of Tech-nology, Harbin 1500013. School of Electrical and Information Engineering, Tianjin University, Tianjin 300072第 49 卷 第 10 期自 动 化 学 报Vol. 49, No. 102023 年 10 月ACTA AUTOMATICA SINICAOctober, 2023m ≥n /2m n −m m <n /2m <n −m m <n /2在 型系统中, 虚拟控制增益矩阵的右伪逆矩阵存在, 此时虚拟控制信号的维数 大于或等于非匹配不确定性矢量的维数 , 系统拥有较多的控制输入量且控制律设计相对容易. 然而, 的情况在实际应用系统中也很常见, 由于控制输入量维数 , 此时虚拟控制增益的右伪逆矩阵不存在, 大大增加了虚拟控制律的设计难度,以致虚拟控制量无法直接对非匹配不确定性进行补偿[9−10]. 目前大多数文献所提出的控制策略通常建立在虚拟控制增益矩阵的右伪逆存在这一严格的前提下, 鲜有涉及 的情况[11−13]. 因此, 实现控制量维度全类型的非匹配不确定MIMO 系统的高性能控制, 依然存在较大挑战.H 2现存文献中所提出的方法通常将非匹配扰动及参数摄动的函数类型局限于 范数有界型和时不变/慢时变型, 不能有效补偿函数模型更为普遍的或快速变化的非匹配扰动[14−16]. 文献[17]针对不匹配不确定性系统提出了鲁棒开关积分滑模控制方法, 使得各子系统对不确定性扰动鲁棒稳定; 文献[18−20]均利用基于扰动观测器的滑模控制(Dis-turbance observer based sliding mode, DOBSM),实现了对非匹配不确定性的补偿. 但是以上两类方法均依赖于非匹配不确定性满足时不变或慢时变的假设, 对于函数模型更一般的不确定性, 则无法控制系统的输出严格地收敛到零, 只能收敛到零附近的邻域. 不同于传统的二阶滑模和高阶滑模控制方法, 文献[21]将非匹配不确定系统中的非匹配不确定性上界函数类型由常数型推广为更加一般的正函数型, 并基于该种类型的扰动边界来设计相应的二阶滑模(Second-order sliding mode, SOSM)控制律, 但不能很好地抑制抖振现象; 文献[22]虽然将非匹配不确定性上界函数类型推广为更为普遍的类型, 但也没能抑制控制信号中的高频抖振. 另外, 文献[21]和[22]虽然考虑了实际应用中更为普遍的扰动函数型, 但皆为时间和输出变量的函数, 并未考虑当增益矩阵存在参数摄动时, 扰动输入函数模型中含有控制信号的情况, 而是仅把不确定性视作集总扰动来处理, 将导致控制系统出现代数环问题[23−25].代数环问题广泛存在于不确定系统之中, 例如机器人系统中含有关节加速度信号的不确定性、电机控制系统中转动惯量、电阻和电感等参数不确定性、新能源并网逆变器中滤波电感和电容的不确定性,都将引入代数环动态干扰问题, 然而, 目前鲜有控制策略能够抑制其带来的影响.在设计非匹配不确定系统的控制律时, 实际控制信号往往含有虚拟控制信号的一阶导数, 这将导致控制信号出现奇异和抖振问题[26]. 文献[27]提出了全阶滑模(Full-order sliding-mode, FSM)和反步法相结合的方式来设计虚拟控制律, 避免了虚拟控制信号中的抖振问题, 但是实际控制律中仍存在高频切换项, 不能彻底消除抖振, 仅能通过牺牲控制精度的边界层法来弥补. 而分数阶滑模[28]将分数阶微积分理论与滑模控制理论结合以降低滑模切换频率, 可以提高控制行为连续性, 其收敛特性如图1所示[29−30]. 文献[31]提出基于分数阶滑模控制的次同步振荡抑制方法, 利用分数阶微积分算子增加系统自由度实现对振荡的快速抑制, 但抖振问题并未解决; 为削弱抖振现象, 文献[32]提出一种基于非线性干扰观测器的自适应分数阶滑模控制方法, 然而, 以上两种分数阶滑模控制方法只适用于一类满足匹配条件的不确定系统. 文献[33]针对单输入非匹配不确定系统提出了一种基于观测器的分数阶滑模控制策略; 文献[34]设计了自适应律来估计不匹配非线性项的上界, 然而, 这两种方法并不能有效抑制抖振. 目前大多数文献提出的基于分数阶滑模的控制方法通常仅适应于满足匹配条件的系统, 鲜有分数阶滑模控制方法能够在确保抖振有效抑制的前提下克服非匹配不确定性. 因此, 本文针对非匹配不确定MIMO 系统提出一种新的分数阶终端滑模(Fractional-order terminal sliding-mode, FOT-SM)控制策略, 突破了上述严苛的限制条件并优化了系统的控制速度和精度, 主要贡献包含以下三个方面:图 1 分数阶与整数阶滑模收敛特性比较Fig. 1 Comparison of fractional- and integral-ordersliding-modem <n /21)结合非奇异状态变换和反步法实现了 型非匹配不确定MIMO 系统的控制, 突破了传统反步法控制律设计中虚拟控制增益矩阵的右伪逆必须存在的严苛限制;10 期周铭浩等: 非匹配不确定MIMO 系统的分数阶终端滑模控制22252)提出的切换增益自适应的分数阶终端滑模控制策略, 解决了由非匹配扰动输入含有控制增益矩阵摄动而引起的代数环干扰问题;3)所设计的虚拟控制律和实际控制律均为连续信号, 且有效抑制了抖振, 系统输出能够快速收敛到零而非其邻域.1 问题描述n 考虑如下 维非匹配不确定MIMO 系统[35]:¯x∈R n u ∈R m 1≤m ≤n (¯A,¯B )¯B ¯B =[B T 1,B T 2]T B 1∈R (n −m )×m ,B 2∈R m ×mdet (B 2)=0¯f(t,¯x ,u )∈R n 式中, 和 分别为系统状态变量和控制, ; 为已知可控对; 控制增益矩阵 满秩且可以转化为分块矩阵 ,其中 满足 ; 代表包含了外部扰动和内部参数摄动的集总不确定性.采用如下坐标变换可将非匹配不确定MIMO 系统(1)转换为匹配和非匹配子系统的形式[36]:I n −m (1)式中, 为单位矩阵. 经过坐标变换后, 系统 可以转化为如下分别含有匹配和非匹配不确定扰动的MIMO 系统:x =[x T 1,x T 2]Tx 1∈R n −m,x 2∈R m;y ∈R n −mu ∈R m f u (t,x )∈R n −m f m (t,x ,u )∈R m f u (t,x )f m (t,x ,u )式中, ,为系统输出; 为控制; 和 分别为未知的匹配不确定性和非匹配不确定性. 假设 和 满足如下边界条件:k u ≥0F u ≥00≤k m <1F m (·)≥0d u ≥0D u ≥00≤d m <1D m (·)≥0式中, , 和 为已知常数, 为已知函数; , 和为已知常数, 为已知函数.A 12针对系统(1), 控制目标为设计虚拟控制律和实际控制律均为连续信号的控制策略, 不局限于虚拟控制增益 的右伪逆存在这一严格假设, 且能够补偿由于含有虚拟/实际控制增益矩阵摄动的非匹配不确定性, 使得系统输出收敛到零而非其邻域.1.1 线性滑模控制针对非匹配MIMO 系统(3)~ (5), 设计滑模面和对应的控制律如下[1]:Ceig (A 11−A 12C )<0s =x 2+Cx 1=0式中, 正定参数矩阵 满足 ,则系统的运动轨迹将在有限时间内到达理想滑动模态 :f u (t,x )由于非匹配不确定性 的存在, 式(10)中的状态变量不能收敛到平衡点.1.2 积分滑模控制积分滑模相比于线性滑模具有更高的稳态精度, 积分滑模面及相应的控制律可设计如下[1]:C 1eig (A 11−A 12C 1)<0C 2eig (A 12C2)>0s =0式中, 正定参数矩阵 满足 ,满足 , 可知系统的运动轨迹将在有限时间内到达理想滑动模态 :˙f u (t,x )=0因此, 若 , 则降阶子系统(13) 只能收敛到平衡点的邻域, 且该邻域边界取决于非匹配不确定性导数边界的大小[37].1.3 全阶终端滑模控制s 11s 12x 2ref u x 2x 2ref x 1全阶终端滑模法结合反步法控制思想, 设计全阶滑模面和 以及虚拟控制律 和实际控制律 , 迫使系统非输出状态变量 在有限时间内跟踪虚拟控制量 , 从而使得系统输出状态变量 在有限时间内收敛到零[3]. 滑模面及控制律设计2226自 动 化 学 报49 卷e 1=x 2−x 2ref C 11C 12p q 0<p /q <1式中, 误差矢量 , 参数矩阵 和 均为正定对角阵, 和 为正奇数且满足 .−A +12k 11sgn s 11A 12A +12m <n /2然而, 实际控制律(16)中存在虚拟控制律的一阶导数, 仍包含高频切换函数项 , 因而未能彻底抑制抖振. 同时, 控制律设计依赖于虚拟控制增益 的右伪逆矩阵 存在, 限制了控制系统类型. 因此, 本文主要考虑控制律设计更为困难的 型非匹配不确定MIMO 系统. 首先, 给出本文理论分析和推导所需的基本定义和引理.定义1[38]. 阶次不同的分数阶微积分运算满足如下复合运算规则:α>0β>0l 式中, , , 为常数.为证明分数阶微分系统稳定, 现给出引理1如下, 作为设计分数阶滑模面的理论依据.引理1[39]. 考虑如下分数阶微分系统:0<v <2x ∈R m A ∈R m ×m A |arg (eig (A ))|>vπ/2式中, , , , 若矩阵 满足 , 则系统的解是渐近稳定的.为证明有限时间收敛性, 现给出引理2如下,作为论证滑模面有限时间收敛性的基础理论依据.˙x=f (x )x ∈R n f (0)=0V (x ):U →R U 0⊂U ˙V(x +cV α(x )≤0x ∈U 0\{0}c >00<α<1V (x )t r t r ≤V 1−α(x (0))/(c (1−α))引理2[40]. 考虑非Lipschitz 自治系统 ,, 满足 , 若存在正定连续函数 , 以及某平衡点附近的邻域 满足 , , 其中, 且 ,则函数 将在有限时间 内收敛到平衡点, 收敛时间 .2 非匹配不确定MIMO 系统的分数阶终端滑模控制f u (t,x )假设非匹配不确定子系统(3)中的 满足如下匹配条件:f ′u (t,x )式中, 不确定性矢量函数 满足:d ′u D ′u p u P u 式中, , , 和 均为已知正数.A 12A 12A +12=I m <n /2当虚拟控制增益矩阵 不存在右伪逆矩阵时, 即 , 为实现 型非匹配不确定MIMO 系统的控制, 首先对非匹配不确定子系统(3)进行两步非奇异状态变换.x ′=F 1x 1F 1对子系统(3)进行非奇异状态变换 , 为状态变换常数矩阵[41], 结合式(19)可得如下块能控标准型:d i d i =rank (B ′i,i −1)=dim (x ′i )i =2,3,···,r,d 1=rank (B 1,0)=dim (x ′1)∑ri =1d i =n −m 式中, 分块矩阵的维数 为: , ,.x ′=F 2z 对式(21)进行第二步非奇异状态变换 [11], 消除块能控标准型中的状态耦合, 可得如下解耦块能控标准型系统:10 期周铭浩等: 非匹配不确定MIMO 系统的分数阶终端滑模控制2227解耦块能控标准型系统(22)可进一步简写为如下形式:N i =−λi I n i i =2,···,r −λ2<···<−λr <0n i z i I niz i −1z i 针对解耦块能控标准型系统设计 ,, 其中, , 为状态矢量 的维数, 为单位矩阵. 当状态矢量 依次收敛到零后, 状态矢量 也将收敛到零.针对解耦块能控标准型(23)、(24)系统, 设计如下分数阶终端滑模面:2−α0<α<1C 21p q 0<p /q <1式中, 为分数阶微分的阶次, , 滑模参数矩阵 为正定对角阵, 和 为正奇数且满足 .s 21=D 2−αz 1+C 21z 1q /p s 21=0z 1推论 1. 考虑分数阶终端滑动面 , 当系统到达理想滑动模态 时, 则系统状态 可收敛到平衡点附近的邻域.1−α证明. 由定义1可知, 阶积分型终端滑模面可表示为:l 式中, 为常值矩阵, 则进一步可得:∥ϖ∥≤ζj 且 . 将系统的滑动模态解耦成 个子系统:c 21j −ϖj /(D α−1z q /p1j )>0z 1j =0s 21=0D α−1z q /p1j=0根据积分型分数阶滑模面的特性, 当 时, 系统(28)是稳定的[42], 则 是 的解; 当 时, 需要分两种情况进行讨论:D α−1z q /p1j =0z 1j =˙z 1j =0D α−1z q /p1j =0z 1j =01)若 能够长时间保持, 则说明 能够确保 成立, 此时系统变量;D α−1z q /p 1j =0z 1j 2)若 仅是系统的瞬态, 上述分析仍可确保系统状态 收敛到零. □命题 1. 若选取如式(25)所示的分数阶终端滑s 21x 2ref e 2=x 2−x 2ref e 2x 2x 2ref y 模面 , 设计如下无抖振分数阶积分型滑模虚拟控制律 , 并定义跟踪误差矢量 ,当且仅当跟踪误差 收敛至零, 即非输出状态变量 精确跟踪虚拟控制量之后, 非匹配不确定MIMO 系统(3) ~ (5)的输出变量 将收敛到零:k 21(x )=∥B 1,0∥(p u ∥x ∥+P u )+η21p u P u η21式中, 为时变切换增益, 和由式(20)定义, 为很小的正数.e 2=x 2−x 2ref 证明. 将 代入式(24) 得:e 2误差矢量 将在实际控制律作用下由任意初始状态在有限时间内收敛到零, 结合分数阶终端滑模面(25)以及无抖振滑模控制律(29)和(30)可得:V 1=0.5s T 21s 21取Lyapunov 函数 可得:考虑切换控制律(31)有:结合非匹配不确定性的边界条件(20), 则有:k 21(x )V 1=0将时变切换增益 代入上式, 则当Lya-punov 函数 时, 滑模到达条件成立:s 21(0)=0t 1r s 21=0t 1r ≤∥s 21(0)∥/η21s 21=0z 1z 根据引理2可知, 在无抖振分数阶积分型滑模控制律的作用下, 子系统(24)将由任意初始状态, 在有限时间 内到达分数阶终端滑模面 , , 并在滑模面上维持理想滑动模态 . 可知, 状态变量 将在有限时间内收敛到零, 则系统(23)、(24)的全部状态变量 将渐近收敛至零. 因此, 非匹配不确定系统中2228自 动 化 学 报49 卷y 的输出变量 也将收敛到零.□r =0s 22∈R m 为实现系统相对阶 的全阶滑动模态, 设计全阶终端滑模面 如下:e 2=x 2−x 2ref C 22=diag {c 221,···,c 22m }e q /p 2=diag {e q /p 21,···,e q /p2m }q p 0<q /p <1式中, 误差矢量 , 矩阵 , , 和 为正奇数, 且满足 .x 2ref u s 22(0)=0t 2r s 22=0t 2r ≤∥s 22(0)∥/η22e 2y 定理 1. 若选取全阶终端滑模函数(32)以及无抖振分数阶积分型滑模虚拟控制律 , 并设计如下实际无抖振分数阶控制律 , 则误差系统的状态轨迹将从任意初始状态 在有限时间 内到达全阶终端滑模面 , ,并在该滑模面上维持滑动模态, 跟踪误差矢量 也将在有限时间内收敛至零, 则非匹配不确定MIMO 系统(3) ~(5)的输出变量 能够收敛到零:k 22(x )时变切换滑模控制增益函数 如下所示:d m D m (·)d ′u D ′u η22其中, , , 和 分别由式(7)和式(20)定义, 为很小的正数.证明. 将式(4)和式(29)代入全阶终端滑模函结合无抖振滑模控制律(33)和(34)有:V 2=0.5s T 22s 22取Lyapunov 函数 , 结合上式并对其求微分可得:将无抖振切换控制律(35)代入上式得:考虑匹配不确定性边界条件式(7)和(20)有:V 2=0k 22(x )当 时, 代入时变切换增益函数 有:s 22(0)=0t 2r s 22=0t 2r ≤∥s 22(0)∥/η22e 2根据引理2可知, 跟踪误差系统的状态轨迹将从任意初始状态 出发, 在有限时间 内到达全阶终端滑模面 , ,并在滑模面上保持滑动模态运动, 误差矢量 将在有限时间内收敛到零点. □u x 2x 2ref x 2ref x 12−αx 2ref −D α−2B +1,0k 21(x )sgn (s 21)1−α−B +1,0Dα−1k 21sgn s 21−B +1,0D α−1k 21sgn s 21∫t0k 22(x )sgn s 22d τ本文的控制目的是设计实际控制律 迫使系统的非输出状态变量 在有限时间内跟踪虚拟控制量 , 进而虚拟控制律 使得系统输出变量 收敛到零. 本文结合分数阶滑模和虚拟控制技术的特点和优势, 创新性地利用 阶积分器处理虚拟控制律 中的高频切换函数项, 即, 获得了连续的虚拟控制信号; 在设计实际控制律时, 即使需要对虚拟控制律求一阶导数的情况下, 仍然可以保留 阶积分器对实际控制律中的高频切换函数项的处理效果, 即 , 获得连续的实际控制信号, 如式(34)所示. 由于新的分数阶滑模面及其控制律的设计, 高频切换函数项分别利用分数阶和整数阶积分器处理之后输出, 即 和 . 因此, 抖振被充分抑制, 虚拟和实际控制信号为连续信号.z 分数阶滑模控制算法框图如图2所示. 首先对非匹配不确定MIMO 系统进行坐标变换得到新的状态变量 , 并设计虚拟控制律使得非匹配不确定10 期周铭浩等: 非匹配不确定MIMO 系统的分数阶终端滑模控制2229u x 2x 2ref y 性得到补偿, 再由实际控制律 使得跟踪误差在有限时间收敛到零, 即非输出状态变量 精准跟踪虚拟控制量 , 从而使系统输出 能收敛到零而非其邻域.3 仿真结果及分析m <n /2m n 作为控制理论分析中常见非匹配不确定系统,L-1 011固定翼巡航飞机侧轴模型为一个满足 维度关系( = 2且 = 5)的5阶MIMO 系统[43]:x ∈R5u ∈R 2f u =[f u 1,0,0,f u 4,f u 5]T 式中, 为倾斜角、偏航角速度、滚转角速度、侧滑角速度、过滤状态组成的状态矢量; 为舵偏转和侧翼偏转组成的控制列向量; 为该系统的非匹配不确定性:f m =Bf 同时在控制信道和非控制信道中引入了白噪声干扰.首先, 进行式(2)所示的状态变换可得:x 1=[x 11,x 12,x 13]x 2=[x 21,x 22]式中, , .经过状态变换后, 系统(37)可以改写为如下匹配/非匹配子系统的形式:图 2 分数阶滑模控制算法框图Fig. 2 Block diagram of the fractional-order sliding-mode control method2230自 动 化 学 报49 卷[]f ′u f ′m f u f m 式中, 和 分别为 和 关于坐标变换(2)的映射.根据式(21)和式(22)进行两步非奇异状态变换有:子系统(39)可进一步转换为如下解耦块能控标准型系统:C 21=diag {60,60}C 22=diag {150,170}η21=0.01η22=0.05d ′u =0D ′u =29.6p u =0P u =20d m =0.005D m (x )=√(0.75|x 4|)2+(0.06|x 5|)2+0.0042+0.029∥x ∥+0.005√(0.025|x 4|)2+(0.001|x 5|)2选取分数阶终端滑模面(25)和全阶终端滑模面(32), 其中, 滑模面参数矩阵 ,. 控制器参数设计为: ,, , , , , ,.根据命题1, 设计无抖振分数阶终端滑模虚拟控制律如下:根据定理1, 设计无抖振实际控制律如下:[][]−k 22(x )=0.005∥u eq ∥+D m (x )+0.005∥∫t0k 22sgn s 22d τ∥式中, 时变切换增益 .针对非匹配不确定系统(39)、(40), 本文将所提出的分数阶终端滑模(FOTSM)与四种适用于非匹配不确定系统的控制方法做对比分析: 基于扰动观测器的滑模控制(DOBSM)[18]、二阶滑模控制(SOSM)[21]、全阶滑模控制(FSM)以及基于饱和函数的全阶滑模控制(Saturation-based full-order sliding-mode, FSM-Sat)[27], 其控制器主要设计参数如表1所示.x 1110−2x 1110−4x 11x 12x 13∥x 1∥在五种不同的控制方法对匹配和非匹配不确定性的补偿下, 不确定MIMO 系统输出变量均能够收敛至零, 如图3所示. 在图4中, 由于DOBSM 通常只可补偿时不变/慢时变型不确定性, 故系统输出的收敛精度不高; SOSM 方法下的系统输出变量 存在高频振动且收敛精度数量级仅为 ;通过对比FSM 和FSM-Sat 可知, 系统输出变量 在FSM 下收敛精度 明显高于FSM-Sat,也说明了FSM-Sat 在实现控制信号连续性的同时牺牲的是收敛精度; 而在FOTSM 控制下系统状态变量 的收敛精度较高, 说明本文所提的方法在保证控制信号连续的同时能够获得良好的控制精度. 相似的结论也可以在图5所示输出变量 、图6所示输出变量 以及图7所示输出变量的2-范数 的仿真结果中得出. 综上, 在非匹配不确10 期周铭浩等: 非匹配不确定MIMO 系统的分数阶终端滑模控制2231x 11x 12x 13定系统输出变量 、 和 的收敛精度方面,DOBSM 、SOSM 和FSM-Sat 的收敛精度不高, 而FSM 和FOTSM 具有相对较高的收敛精度.x 2x 2ref x 2x 2ref x 2x 2ref x 1f u (·)x 1u x 2ref x 2x 1x 2x 2ref f u (·)=0x 2FOTSM 方法下的系统非输出状态变量 收敛状态以及系统虚拟控制信号 的波形如图8所示, 系统非输出状态变量 实现了对虚拟控制信号 的精确跟踪. 本文结合反步法的控制思想,将可测非输出状态变量 看作为子系统的虚拟控制量 , 迫使系统的输出变量 对子系统中的非匹配不确定性 具有不变性, 进而 严格收敛到零; 再设计实际控制量 迫使虚拟控制量 跟踪状态变量 . 因此, 系统输出 可以收敛到零,而追踪 的虚拟控制量 需要补偿非匹配不确定性 , 因而状态变量 为非零信号. 由于x 21x 22非匹配不确定性的存在, 状态变量 和 仅能在有限时间内收敛到零附近的邻域.2−αx 2ref u 1−αu 五种不同控制算法的控制信号如图9所示, 可见只有FSM-Sat 和FOTSM 的控制信号是连续的,其他控制信号均呈现出高频的抖振. 饱和函数的加入虽然能够令FSM 控制信号连续, 但却牺牲了一定的控制精度. 而本文所提方法引入 阶分数阶积分, 使得虚拟控制信号 为连续平滑的信号, 同时, 含有虚拟控制信号一阶导数的实际控制信号 中存在切换控制项的 阶分数阶积分,使得 仍为连续信号. 五种控制方法的性能对比如表2所示. 因此, 本文对抖振的分析与仿真结果是相符合的. 在上述方法中, 只有所提出的FOTSM 能够在确保高控制精度的同时有效抑制抖振, 获得−D O B S M−−S O S M系统输出 x 1F S M−−F S M -S a tF O T S M时间 /sx 1图 3 五种不同控制方法的系统输出相量 x 1Fig. 3 System output under the five control methods系统输出 x 11−−−−−1 × 10−1 × 101 × 10−1 × 10−−−−x 11图 4 五种不同控制方法的系统输出相量 x 11Fig. 4 System output under the fivecontrol methods表 1 控制器主要设计参数Table 1 The design parameters of the controllers控制方法控制器参数DOBSM c 1=c 2=10,k 1=k 2=700l 1=l 2=10, SOSM c =60,k =2000FSM C 1=diag {60,60}C 2=diag {150,170}p =5,q =3 , , FSM-SatC 1=diag {60,60}C 2=diag {150,170}δ=1/8p =5,q =3, , , 2232自 动 化 学 报49 卷连续的控制信号.4 结论本文所设计的分数阶终端滑模控制方法通过设计虚拟控制量以补偿非控制信道中的非匹配不确定扰动, 再利用实际控制信号迫使非输出状态变量精确逼近无抖振平滑的虚拟控制量, 从而使得系统输系统输出 x 12−−−−−−−−−−−1 × 101 × 105 × 105 × 10x 12图 5 五种不同控制方法的系统输出相量 x 12Fig. 5 System output under the fivecontrol methods系统输出 x 13−−−−−− 1 × 10−1 × 101 × 10−1 × 101 × 10−1 × 101 × 10−1 × 105 × 10−5 × 10x 13图 6 五种不同控制方法的系统输出相量 x 13Fig. 6 System output under the fivecontrol methods系统输出 ||x 1||−0.50−0.500.20.40.60.81.00.50−0.500.20.40.60.81.00.50−0.500.20.40.60.81.00.50−0.50.20.40.60.81.00.50−0.50.20.40.60.81.00.0500.02500.060.0300.040.0201.5 1.7 1.9 2.1 2.3 2.51.51.71.92.12.3 2.51.5 1.71.92.12.32.51.51.71.92.12.32.51.51.71.92.12.32.51 × 105 × 1004 × 102 × 1000.646 s0.808 s0.306 s0.388 s0.391 s∥x 1∥图 7 五种不同控制方法的系统输出的2范数 ∥x 1∥Fig. 7 2-norm of system output under five methods1.00.50−0.5−1.01.00.50−0.5−1.0时间 /s系统状态变量 x 2 和虚拟控制量 x 2r e fx 2x 2ref 图 8 分数阶终端滑模控制下状态 和虚拟控制信号 x 2x 2refFig. 8 States and virtual control under FOTSM10 期周铭浩等: 非匹配不确定MIMO 系统的分数阶终端滑模控制2233m <n /2出能够收敛到零, 实现了对 型非匹配不确定MIMO 控制系统的高精度和强鲁棒控制. 所提出的控制策略解除了虚拟控制增益矩阵的右伪逆须存在的限制条件, 设计的自适应分数阶滑模切换律解决了由控制增益矩阵摄动引起的代数环问题, 在降低切换增益幅值的同时也获得了平滑的虚拟控制和实际控制信号. 最后, 仿真研究验证了本文所提出的控制方法的正确性和优越性.ReferencesYu X H, Feng Y, Man Z H. Terminal sliding mode control ——An overview. IEEE Open Journal of the Industrial Electronics Society , 2021, 2: 36−521Feng Y, Yu X H, Man Z H. Non-singular terminal sliding mode control of rigid manipulators. Automatica , 2002, 38(12):2159−21672Feng Y, Zhou M H, Han Q L, Han F L, Cao Z W, Ding S L. In-tegral-type sliding-mode control for a class of mechatronic sys-tems with gain adaptation. IEEE Transactions on Industrial In-formatics , 2020, 16(8): 5357−53683Mu C X, He H B. Dynamic behavior of terminal sliding mode control. IEEE Transactions on Industrial Electronics , 2018,65(4): 3480−34904You Xing-Xing, Yang Dao-Wen, Guo Bin, Liu Kai, Dian Song-Yi, Zhu Yu-Qi. Event-triggered tracking control for a class of nonlinear systems with observer and prescribed performance.Acta Automatica Sinica , DOI: 10.16383/j.aas.c210387(游星星, 杨道文, 郭斌, 刘凯, 佃松宜, 朱雨琪. 基于观测器和指定性能的非线性系统事件触发跟踪控制. 自动化学报, DOI: 10.16383/j.aas.c210387)5Hou H Z, Yu X H, Xu L, Rsetam K, Cao Z W. Finite-time continu-ous terminal sliding mode control of servo motor systems. IEEE Transactions on Industrial Electronics , 2020, 67(7): 5647−56566Yang J, Yu X H, Zhang L, Li S H. A Lyapunov-based approach for recursive continuous higher order nonsingular terminal slid-ing-mode control. IEEE Transactions on Automatic Control ,2021, 66(9): 4424−44317Zhou M H, Cheng S W, Feng Y, Xu W, Wang L K, Cai W. Full-order terminal sliding-mode-based sensorless control of induc-tion motor with gain adaptation. IEEE Journal of Emerging andSelected Topics in Power Electronics , 2022, 10(2): 1978−19918Du H B, Chen X P, Wen G H, Yu X H, Lü J H. Discrete-time fast terminal sliding mode control for permanent magnet linear mo-tor. IEEE Transactions on Industrial Electronics , 2018, 65(12):9916−99279Li Fan-Biao, Huang Pei-Ming, Yang Chun-Hua, Liao Li-Qing,Gui Wei-Hua. Sliding mode control design of aircraft electric brake system based on nonlinear disturbance observer. Acta Automatica Sinica , 2021, 47(11): 2557−2569(李繁飙, 黄培铭, 阳春华, 廖力清, 桂卫华. 基于非线性干扰观测器的飞机全电刹车系统滑模控制设计. 自动化学报, 2021, 47(11):2557−2569)10Man Z H, Paplinski A P, Wu H R. A robust MIMO terminal sliding mode control scheme for rigid robotic manipulators.IEEE Transactions on Automatic Control , 1994, 39(12):2464−246911Shi Hong-Yu, Feng Yong. High-order terminal sliding mode flux observer for induction motors. Acta Automatica Sinica , 2012,38(2): 288−294(史宏宇, 冯勇. 感应电机高阶终端滑模磁链观测器的研究. 自动化学报, 2012, 38(2): 288−294)12Cao J H, Xie S Q, Das R. MIMO sliding mode controller for gait exoskeleton driven by pneumatic muscles. IEEE Transactions on Control Systems Technology , 2018, 26(1): 274−28113Rehman F U, Mufti M R, Din S U, Afzal H, Qureshi M I, Khan D M. Adaptive smooth super-twisting sliding mode control of nonlinear systems with unmatched uncertainty. IEEE Access ,2020, 8: 177932−17794014Castanos F, Fridman L. Analysis and design of integral sliding manifolds for systems with unmatched perturbations. IEEE Transactions on Automatic Control , 2006, 51(5): 853−85815Li S H, Yang J, Chen W H, Chen X S. Generalized extended state observer based control for systems with mismatched uncer-tainties. IEEE Transactions on Industrial Electronics , 2012,59(12): 4792−480216Zhang X Y, Xiao L F, Li H F. Robust control for switched sys-tems with unmatched uncertainties based on switched robust in-tegral sliding mode. IEEE Access , 2020, 8: 138396−13840517Yang J, Li S H, Yu X H. Sliding-mode control for systems with mismatched uncertainties via a disturbance observer. IEEE Transactions on Industrial Electronics , 2013, 60(1): 160−16918Hou Li-Min, Wang Long-Yang, Wang Huai-Zhen. SMC for sys-tems with matched and mismatched uncertainties and disturb-191 000D O B S M−1 00002 500S O S MF S M−2 500050−500F S M -S a t5−50F O T S M5−5000.61.21.82.43.000.6 1.2 1.8 2.43.000.61.21.82.43.000.61.21.82.43.000.6 1.21.82.43.0控制信号 u时间 /su 1u 2u 1u 2u 1u 2u 1u 2u 1u 2u图 9 五种不同控制方法的实际控制信号 u Fig. 9 Actual control under the five control methods表 2 不同控制方法性能对比Table 2 Performance comparison of the five methods控制方法收敛速度控制精度控制信号DOBSM 较快≤0.05 不连续, 抖振SOSM 较快≤0.04 不连续, 抖振FSM 快≤1×10−3不连续, 抖振FSM-Sat 快≤0.06 连续FOTSM快≤4×10−3连续2234自 动 化 学 报49 卷。
基于反演的机器人滑模变结构控制研究
９
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薛小峰 １ 高 阳 １ 田志祥 ２ （ 中国船舶 重工 集 团 ７ ３研 究所 ， 州 ２ ５ ０ ）。 ２ 扬 ２ ０ １ （ 南京 航 空航天大 学 机 电学院 ， 京 ２ ０ １ ） 南 １０６
Ｒｅ ｅ ｒ ｈ ｏ ｉ ｉｇ ｍｏ ｅ ｖ ｒ ｌ ｔｕ ｔ ｒ ｏ ｔｏ ｏ ｏ ｏ ｓ ｂ ｓ ｄ ｏ ａ ｋ ｔ ｐ ｎ ｓ ａ ｃ ｎ ｓｄ ｎ ｄ ａ ｉ ｅ ｓ ｒ ｃ ｕ ｅ ｃ ｎ ｒ Ｉ ｒｒ ｂ ｔ ａ ｅ ｎ ｂ ｃ ｓ ｅｐ ｉｑ ａｂ ｆ
【 摘
要】 基于滑模变结构控制理论 ， 针对地面机器人这类非线性强耦合系统 ， 出了一种反演滑模 ５ 提
５ 变结构控制方法。该方法将复杂的非线性系 统分解成不９
计 李雅普 洛夫函数 和 中间虚拟控制量 ， 直回推 到整个 系统 ， 一 直到完成整个控制律 的设计 。最后利 用所提 出的方法设计 了平面二 自由度机 器人 的控 制 系统并进行 了仿 真 ， 结果表 明该控 制方法的有效性 。 仿真
ａｄｈ ｍ ｌｉ ｓｌ ｏ ａｔ ｒ ｏｅ ｇｒｈ ｅ ｃ ｎ ｎ ｅ ｉｕ ｏ ｒ ｕｓｈｗｔ ｅ ｏ ｓｄ ｏｔ ｉｖｒ ｅ ｉ ｔ ｔ ｓ ａ ｎ ｅ ｔｓ ｈ ｈ ｐ ｐ ｔ ｔ ｌ ａ ｉｍ ｓ ｙｆ ｅ ． ｉ ｆ
基于dSPACE的PMSM反演滑模控制
０ 引 言
由于转速 与 电 流 的非 线 性 耦 合 以及 负 载 转 矩 的
干扰 ，Ｐ ＭＳ Ｍ 是 一 个 复 杂 的非 线 性 时 变 系 统 。 为 了
外 界干 扰鲁 棒性 强 等 优 点 开始 应 用 于 各 类 电机 的 运
动 控 制 系 统 中［ ６ ， ９ ， １ １ — １ ２ ］ 。滑 模 控 制 的关 键 是 如 何 削 弱” 抖振 ” 对 系统控 制性 能 的影 响 ¨ 。 本 文综 合 反 演法 动 、静 态特 性 优 良 、稳 定 性 好
ｗａ ｓ ｄ ｅ ｓ ｉ ｇ ｎｅ ｄ ｕ ｎ ｄｅ ｒ ｔ ｈ ｅ ｃ ｏ ｎ ｄ ｉ ｔ ｉ ｏ ｎ ｏ ｆ ｖ ａ ｒ ｉ ａ ｂｌ ｅ ｒ ｅ ｆ ｅ ｒ ｅ ｎ ｃ ｅ ｖ ｅ ｌ ｏ ｃ ｉ ｔ ｙ ａ ｎ ｄ ｌ ｏ ａ ｄ ｔ ｏ ｒ ｑ ｕ ｅ ． Ｔｈ ｉ ｓ ｃ ｏ ｎ ｔ ｒ ｏ ｌ ｌ ｅ ｒ ｃ ｏ ｕ ｌ ｄ ｉ ｍ— ｐ ｒ ｏ ｖ ｅ ｔ ｈ ｅ ＰＭＳ Ｍ ｃ ｏ ｎ ｔ ｒ ｏ ｌ ｓ ｙ ｓ ｔ ｅ ｍ ｄ ｙ ｎ ａ ｍｉ ｃ ｓ ｐ ｅ ｅ ｄ ｔ ｒ ａ ｃ ｋ ｉ ｎ ｇ ｅ ｆ ｆ ｅ ｃ ｔ ｉ ｖ ｅ ｌ ｙ ｂ ｙ ｍａ ｋ ｉ ｎ ｇ ｇ ｏ ｏ ｄ ｕ ｓ ｅ ｏ ｆ ｇ ｏ ｏ ｄ ｓ ｔ ａ ｔ ｉ ｃ ａ ｎ ｄ ｄ ｙ － ｎ ａ ｍｉ ｃ ｃ ｈ ａ ｒ ａ ｃ ｔ ｅ ｒ ｉ ｓ ｔ ｉ ｃ ｓ ｏ ｆ ｂａ ｃ ｋ ｓ ｔ ｅ ｐ ｐ ｉ ｎ ｇ ａ ｌ ｇ ｏ ｉｔ ｒ ｈ ｍ ａ ｎ ｄ ｇ ｏ ｏ ｄ ｒ ｏ ｂ ｕ ｓ ｔ ｎ ｅ ｓ ｓ ｏ ｆ ｓ ｌ ｉ ｄ ｉ ｎ ｇ ｍｏ ｄ ｅ ａ ｌ ｇ ｏ ｉｔ ｒ ｈ ｍ．Ｔｈ ｅ ｓ ｉ ｍｕ ｌ ａ － ｔ ｉ ｏ ｎ ａ ｎ ｄ ｄ Ｓ ＰＡＣＥ ｅ ｘ ｐ ｅ ｒ ｉ ｍｅ ｎ ｔ ｒ ｅ ｓ ｕ ｌ ｔ ｓ ｓ ｈ ｏ ｗ ｔ ｈ ａ ｔ ｔ ｈ ｅ ｂ ａ ｃ ｋｓ ｔ ｅ ｐ ｐ ｉ ｎ ｇ ｓ ｌ ｉ ｄｉ ｎ ｇ ｍｏ ｄ ｅ ｃ ｏ ｎ ｔ ｒ ｏ ｌ ｌ ｅ ｒ ｈ ａ ｓ ｂ ｅ ｔ ｔ ｅ ｒ ｓ ｐ ｅ ｅ ｄ ｄ ｙ － ｎ ａ ｍｉ ｃ ｔ ｒ ａ ｃ ｋ ｉ ｎｇ ａ ｎｄ ｓ ｔ ｒ ｏ ｎ ｇ ｅ ｒ ｒ ｏ ｂ ｕ ｓ ｔ ｃ ｏ ｍｐ ａ ｒ ｅ ｄ ｗｉ ｔ ｈ ｂ ａ ｃ ｋｓ ｔ ｅ ｐ ｐ ｉ ｎ ｇ ｃ ｏ ｎｔ ｒ ｏ ｌ ｌ ｅ ｒ ． Ｋｅ ｙ ｗｏ ｒ ｄｓ：ｂ ａ ｃ ｋ ｓ ｔ ｅ ｐ ｐ ｉ ｎ ｇ； ｓ ｌ ｉ ｄ ｉ ｎ ｇ ｍｏ ｄ ｅ；ＰＭＳ Ｍ ；ｄ Ｓ ＰＡＣＥ
滑模理论及其控制实例
性质 滑模变结构控制三要素：存在性、可达性、稳定性 (1) 满足可达性条件，即在切换面以外的运动点都将在有限时间内到达切换面； (2) 滑动模态存在性； (3) 保证滑动模态运动的渐近稳定性并具有良好的动态品质
性 质 ： 存在性
滑模存在条件是滑模控制应用的前提，如果系统的初始点不在滑模 面 附近，而是在状态空间的任意位置，此时要求系统的运动必须趋向 于切换面 ，Utkin首先提出了滑动模态存在的充分条件：
滑模控制方法基本理论介绍
讲解:牛雪梅
内容提要
1、滑模控制基本概念
2、设计思路
3、设计实例
滑模控制(Sliding mode control, SMC)也称变结构控制，是前苏联 学者Emelyanov于上世纪60年代提出的，经过Utkin等人的不断完善，于
70年代已发展成为控制领域的一个相对独立的研究分支。滑模变结构控
滑模控制的特性：
1）设计反馈u(x)，限定是变结构的，它能将系统的运动引导到一个超平面 s(x)=0上。且系统在该滑模面上的运动是渐进稳定的。 2）滑动模相轨迹限制在维数低于原系统的子空间内，对离线分析和算法 的在线实现都非常有利。 3）滑动模的原点与控制量的大小无关，仅由滑模面函数决定。 4）在一定条件下，滑动模对于干扰与参数的变化具有不变性，这正是鲁棒 性控制要解决的问题。变结构系统的滑动模态具有完全自适应性。这成 为变结构系统的最突出的优点。 5）什么条件下可以确保滑动模态运动的存在以及系统在进入滑动模态运动 以后能具有良好的动态特性如渐近稳定等，是变结构控制理论所要研究 的主要问题。
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一类MIMO 系统的反演滑模控制方法研究与仿真摘 要：针对一类具有参数不确定性及外部干扰的MIMO （多输入多输出）系统，提出了一种反演滑模控制方法进行位置跟踪控制。
该控制律基于Lyaponov 定理设计，保证了系统的全局渐进稳定性，最后将此方法应用于一个2输入2输出的控制系统的设计中,仿真实例验证了该控制算法的有效性。
关键词：MIMO 系统，反演滑模控制，Lyaponov 定理Study and Simulation of Backstepping Sliding ModeControl for MIMO systemAbstract: In order to deal with the parameter uncertainties and external disturbances of MIMO system, a backstepping sliding mode control strategy is proposed. And based on Lyapunov methods, the control law can guarantee that the system is asymptotically stable. Finally, the proposed method is used for a two-in and two-out system. And numerical simulations are investigated to verify the effectiveness of the proposed scheme.Key words: MIMO system, backstepping sliding mode control, Lyaponov methods1. 引言反演法又称反推法、反步法，其基本思想是将复杂的非线性系统分解成不超过系统阶数的子系统,然后为每一个子系统设计李雅普洛夫函数和中间虚拟控制量,一直回推到整个系统,直到完成整个控制律的设计，最终实现位置跟踪。
而滑模变结构控制对系统中存在的不确定性具有极强的鲁棒性，由于滑动模态可以进行设计且与对象参数及扰动无关, 这就使得变结构控制具有快速响应、对参数变化及扰动不灵敏、无需系统在线辩识, 物理实现简单等优点。
本文通过结合滑模变结构控制和反演控制各自的优点,设计了一种针对MIMO 系统的反演滑模控制[1-6]方法。
该方法将被控对象由SISO （单输入单输出）推广到MIMO 系统，一方面利用了反演控制动静态特性优良、稳定性好的特点,另一方面结合了滑模变结构控制结构简单、鲁棒性强的优势。
在文中，首先运用了反演控制理论，逐步推导出其相应的控制策略,以提升系统动、静态控制精度。
再引入滑模变结构控制增强控制器应对系统参数变化的能力。
2. 一类MIMO 系统模型描述假设一类MIMO 系统的状态方程为1222X X X AX Bu⎧=⎨=+⎩ （1） 其输出方程为1Y X = （2）其中112[,,....]T n X x x x =，2122[,,....]Tn n n X x x x ++=，A 为n n ⨯的矩阵，B 为n n ⨯的矩阵，u 为n 维控制输入，12[,,....]Tn Y y y y =为n 维系统输出。
考虑到系统的不确定性和外部扰动，将（1）式写成22222()()()=+()=+FX A A X B B u f t AX Bu AX Bu f t AX Bu =+∆++∆++∆+∆++ （3）其中A ∆，B ∆为系统参数不确定性，()f t 为外加干扰，2F =()AX Bu f t ∆+∆+为系统的总的不确定性，且满足max F F ≤。
3. 自适应反演滑模控制器设计假设位置指令为d Y ，且d Y 具有二阶导数，控制器设计步骤如下 第一步：定义跟踪误差为1d Y Y =-e （4）求导得12d d Y Y X Y =-=-e （5）定义虚拟控制量111d Y λ=-+αe （6）其中1λ为非零正常数。
定义221X =-e α （7）定义Lyapunov 函数11112T V =e e （8）求导得11111111212112112111121112111()22()()T T T T d T T d d d nT T T i i V X Y Y Y Y e λλλ==+==-=+-=-+-=-+=-+∑e e e e e e e e e αe e e e e e e e e （9） 如果20=e ，则211110ni i V e λ==-≤∑ （10）所以需要继续设计，下一步则要寻找控制律u ，保证滑模面等于0 或趋近于原点。
第二步：22121X AX Bu F =-=++-e αα （11）定义切换函数112S k =+e e （12）其中k 为非零正常数。
定义Lyapunov 函数2112T V V S S =+ （13）求导得22111121121()nTT T i i V V S S e S k λ==+=-+++∑e e e e （14）将（5）（7）（11）式代入（14）得22111212121121122212121111[()]11[()]nT T i d i nT T i d i V e S k Y AX Bu F e S k Y AX Bu F k k λλ===-+++-+++-=--+++-+++-∑∑e e e ααe e e e αα （15）设计控制律为112121max 211[()sgn()]d u B k Y AX F S k -=-+-+-++e ααe （16） 将（16）式代入（15）式得221122max 111[sgn()]nTT i i V e S F F S k λ==--+-∑e e （17） 其中max F F η=+，0η> 则222112max 11122112max111221121112211211111[sgn()]1110nn T i i i i nn T T i i i i nnT i i i i nn ni i i i i i i V e e S F F S k e e S F S F k e e S k e e s k λλληλη==========--+-≤--+-=---=---≤∑∑∑∑∑∑∑∑∑ （18）4. 仿真分析考虑二阶MIMO 系统，其状态方程为132433411434225423x x x x x x x u f x x x u f =⎧⎪=⎪⎨=+++⎪⎪=+++⎩ 系统输出为[][]1212=TTY y y x x =其中54=23A ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，10=01B ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，外部干扰1=20sint f ，2=20sin2t f ，设位置指令[][]12=sin52sin8T T d d d Y y y t t =。
系统的初始状态为[]00000Tx =，控制器参数120λ=，110k =，不确定总量上界max 50F =。
仿真结果如图1—3所示。
time(s)y 1P o s i t i o n t r a c k i n g-4-2024time(s)y 2P o s i t i o n t r ac k i n g12345time(s)e 112345-1-0.50.5time(s)e 2图1 位置跟踪曲线和跟踪误差曲线0.51 1.522.533.544.55-50510time(s)s100.51 1.522.533.544.55-5051015time(s)s 2图2 滑模切换面曲线00.51 1.522.533.544.55-200-1000100200time(s)u 100.51 1.522.533.544.55-2000200400600time(s)u 2图3 控制输入1u 、2u 曲线图1为位置跟踪曲线和跟踪误差曲线，从图中可以看出在有外部干扰的情况下系统输出能够很好的追踪上位置指令，两者之间的跟踪误差随时间变化很快收敛于0，说明该方法实现了很好的跟踪性能。
滑模面的动态曲线如图2所示，可以看出滑模面逐渐收敛于0，表明系统在短时间内到达切换面并保持在滑模面上滑动。
系统的控制输入1u 、2u 曲线如图3所示。
5. 结论本文提出的反演滑模控制方法将反演控制和滑模控制有效地结合在一起，利用了反演控制动静态特性良好、稳定性好和滑模变结构控制结构简单、鲁棒性强的优势。
本文的创新点在于将反演滑模控制应用于MIMO 控制系统中，实现了对多个输入的轨迹跟踪。
仿真结果表明了该方法的有效性。
参考文献[1] 刘金琨. 滑模变结构控制MATLAB 仿真[M]. 清华大学出版社: 北京. 2006.[2] 李渊, 何凤有, 王峰. 永磁同步电动机反演滑模控制系统的研究[J]. 工矿自动化, 2009, 8:72-75.[3] 王家军, 王建中, 马国进. 感应电动机系统的变结构反推控制研究[ J] . 中国电机工程学报, 2007, 27（6 ) :35-38.[4] 李俊，徐德民. 非匹配不确定非线性系统的自适应反演滑模控制[J]. 控制与决策, 1999, 14（1）:46-50. [5] 张天平，严彩梅，贺兴亚.一类MIMO 非线性系统的自适应模糊滑模控制[J].扬州大学学报, 2001,4（1）:22-25.[6] 周国荣, 李永丰.永磁同步电机的自适应反演滑模变结构控制[J].控制工程, 2009,16(1):49-51.。