《离散数学》：学习笔记
离散数学重点笔记
第一章，0命题逻辑素数 = 质数，合数有因子和或假必真同为真(p→q)∧(q←→r)，(p∧q)∧┐r，p∧(q∧┐r)等都是合式公式，而→r，（p→(r→q)等不是合式公式。
若公式A是单个的命题变项，则称A为0层合式(┐p∧q)→r，(┐(p→┐q))∧((r∨s)┐p)分别为3层和4层公式【例】求下列公式的真值表，并求成真赋值和成假赋值。
(┐p∧q)→┐r公式(1)的成假赋值为011，其余7个赋值都是成真赋值第二章，命题逻辑等值演算（1）双重否定律⌝⌝⇔（2）等幂律 A∧⇔； A∨⇔（3）交换律 A∧⇔∧A ； A∨⇔∨A（4）结合律（A∧B）∧⇔∧（B∧C）；（A∨B）∨⇔∨（B∨C）（5）分配律（A∧B）∨C⇔（A∨C）∧（B∨C）；（A∨B）∧C⇔（A∧C）∨（B∧C）（6）德·摩根律⌝（A∨B）⌝⇔A∧⌝B ；⌝（A∧B）⇔⌝A∨⌝B（7）吸收律 A∨（A∧B）⇔A；A∧（A∨B）⇔A（8）零一律 A∨1⇔1 ； A∧0⇔0（9）同一律 A∨0⇔A ； A∧1⇔A（10）排中律 A∨⌝A⇔1（11）矛盾律 A∧⌝A⇔0（12）蕴涵等值式 A→⇔⌝∨B（13）假言易位 A→⇔⌝→⌝A（14）等价等值式↔⇔（A→B）∧（B→A）（15）等价否定等值式↔⇔⌝↔⌝⇔⌝↔⌝（16）归缪式（A→B）∧（A→⌝B）⇔⌝A(1,2,…)为简单合取式，则1∨A2∨…∨为析取范式 (p∧┐q)∨(┐q∧┐r)∨p 1∧A2∧…∧为合取范式 (p∨q∨r)∧(┐p∨┐q)∧r一个析取范式是矛盾式当且仅当它的每个简单合取式都是矛盾式一个合取范式是重言式当且仅当它的每个简单析取式都是重言式主范式【∧小真，∨大假】∧成真小写【例】(p→q)→(┐q→┐p)= ┐(┐p∨q)∨(q∨┐p) (消去→)= (p∧┐q)∨┐p∨q (┐内移) (已为析取范式)= (p∧┐q)∨(┐p∧┐q)∨(┐p∧q)∨(┐p∧q)∨(p∧q) （*）= m2∨m0∨m1∨m1∨m3= m0∨m1∨m2∨m3 (幂等律、排序)(*)由┐p及q派生的极小项的过程如下：┐p = ┐p∧(┐q∨q)= (┐p∧┐q)∨(┐p∧q)q = (┐p∨p)∧q= (┐p∧q)∨(p∧q)熟练之后，以上过程可不写在演算过程中。
mit离散数学笔记
mit离散数学笔记离散数学是一门重要的数学学科，它研究离散对象和离散结构，如集合、图论、逻辑等。
MIT（麻省理工学院）是世界知名的学府，其离散数学课程给予了很多学生深刻的学习体验。
本篇文章将对MIT离散数学课程的内容进行笔记总结。
一、集合论集合论是离散数学的基础。
在MIT的离散数学课程中，集合论位于开篇的位置，主要包括集合的定义与运算、集合的基数、无穷集合、基本逻辑等内容。
集合论不仅在数学领域有着广泛的应用，还在计算机科学、人工智能等领域中扮演着重要的角色。
二、图论图论是离散数学中最重要的分支之一。
MIT的离散数学课程中，图论部分包含了图的基本概念、图的表示方法、图的连通性、最短路径算法、最小生成树算法等内容。
图论在计算机科学、社交网络分析、电路设计等领域中有着广泛的应用。
三、逻辑与证明逻辑是离散数学的核心内容之一。
MIT的离散数学课程中，逻辑与证明部分包括命题逻辑、谓词逻辑、命题等价性、谓词等价性、证明方法等内容。
通过学习逻辑与证明，学生不仅可以提高思维的严密性，还可以培养解决问题的能力。
四、数论数论是离散数学中的重要分支，研究整数的性质与结构。
MIT的离散数学课程中，数论部分主要包括整除性、素数、模运算等内容。
数论在密码学、编码理论等领域有着广泛的应用。
五、关系与函数关系与函数是离散数学中的重要概念。
MIT的离散数学课程中，关系与函数部分主要包括关系的性质、函数的性质、逆关系、复合函数等内容。
关系与函数不仅在数学中有着重要的应用，还在数据库设计、计算机网络等领域中起着重要作用。
六、排列与组合排列与组合是离散数学中的经典话题。
MIT的离散数学课程中，排列与组合部分主要包括排列、组合、二项式定理等内容。
排列与组合在概率论、统计学等领域中有着重要的应用。
总结：通过学习MIT离散数学课程，我们不仅可以掌握离散数学的基础概念和重要理论，还可以培养严密的逻辑思维和解决问题的能力。
离散数学在计算机科学、人工智能、密码学等领域都发挥着重要的作用。
离散数学笔记(特级教师精心整理)
离散数学笔记（特级教师精心整理）第一章命题逻辑内容：命题及命题联结词、命题公式的基本概念，真值表、基本等价式及永真蕴涵式，命题演算的推理理论中常用的直接证明、条件证明、反证法证明等方法教学目的：1．熟练掌握命题、联结词、复合命题、命题公式及其解释的概念。
2．熟练掌握常用的基本等价式及其应用。
3．熟练掌握（主）析/合取范式的求法及其应用。
4．熟练掌握常用的永真蕴涵式及其在逻辑推理中的应用。
5．熟练掌握形式演绎的方法。
教学重点：1．命题的概念及判断2．联结词，命题的翻译3．主析（合）取范式的求法4．逻辑推理教学难点：1．主析（合）取范式的求法2．逻辑推理1.1命题及其表示法1.1.1 命题的概念数理逻辑将能够判断真假的陈述句称作命题。
1.1.2 命题的表示命题通常使用大写字母A，B，…，Z或带下标的大写字母或数字表示，如A i，[10]，R等，例如A1：我是一名大学生。
A1:我是一名大学生.[10]：我是一名大学生。
R：我是一名大学生。
1.2命题联结词（1） P↑P⇔﹁（P∧P）⇔﹁P；（2）（P↑Q）↑（P↑Q）⇔﹁（P↑Q）⇔ P∧Q；（3）（P↑P）↑（Q↑Q）⇔﹁P↑﹁Q⇔ P∨Q。
（1）P↓P⇔﹁（P∨Q）⇔﹁P；（2）（P↓Q）↓（P↓Q）⇔﹁（P↓Q）⇔P∨Q；（3）（P↓P）↓（Q↓Q）⇔﹁P↓﹁Q⇔﹁（﹁P∨﹁Q）⇔P∧Q。
1.3 命题公式、翻译与解释1.3.1 命题公式定义命题公式，简称公式，定义为：（1）单个命题变元是公式；（2）如果P 是公式，则﹁P是公式；（3）如果P、Q是公式，则P∧Q、P∨Q、P→Q、 P↔Q 都是公式；（4）当且仅当能够有限次的应用(1) 、(2)、(3) 所得到的包括命题变元、联结词和括号的符号串是公式。
例如，下面的符号串都是公式：（（（（﹁P）∧Q）→R）∨S）（（P→﹁Q）↔（﹁R∧S））（﹁P∨Q）∧R以下符号串都不是公式：（（P∨Q）↔（∧Q））（∧Q）1.3.2 命题的翻译可以把自然语言中的有些语句，转变成数理逻辑中的符号形式，称为命题的翻译。
mit离散数学笔记
以下是MIT离散数学的一些主要内容和笔记要点：
集合论：
集合论是离散数学的基础，它研究集合及其性质和运算。
集合是由元素组成的，元素之间通过集合运算进行组合。
常见的集合运算包括并集、交集、差集等。
命题逻辑：
命题逻辑是研究命题及其推理的逻辑系统。
命题是一个陈述句，它要么为真，要么为假。
命题逻辑中的基本概念包括原子命题、合取、析取、否定等。
图论：
图论是研究图的结构和性质的数学分支。
图是由顶点和边组成的，顶点表示对象，边表示对象之间的关系。
图论中的基本概念包括路径、回路、连通性等。
组合数学：
组合数学是研究计数问题的数学分支。
计数问题包括排列、组合、分割等问题。
组合数学中的基本概念包括加法原理、乘法原理等。
离散概率论：
离散概率论是研究离散随机事件的概率的数学分支。
离散随机事件是指可以列举出来的事件，如掷骰子、抽扑克牌等。
离散概率论中的基本概念包括概率空间、随机变量、期望等。
抽象代数：
抽象代数是研究代数结构的数学分支。
代数结构包括群、环、域等。
抽象代数中的基本概念包括群的定义、群的性质、环的运算等。
离散数学的其他分支：
离散数学还包括其他分支，如数理逻辑、集合论与泛函分析的交叉学科等。
数理逻辑是研究推理规则和推理系统的数学分支。
集合论与泛函分析的交叉学科是研究集合论和泛函分析之间的联系和应用的数学分支。
以上是MIT离散数学的主要内容和笔记要点，希望能对你有所帮助。
笔记离散数学
离散数学复习笔记数理逻辑逻辑：以研究人的思维形式及思维规律为目的的一门学科数理逻辑：利用数学符号来协助推理的一门形式逻辑学命题：能表达判断并具有确定真值的陈述句真值：每个命题都具有的一个值，要么为真，要么为假，不能随着环境变化原子命题：不能再分解的命题复合命题：由原子命题符号及联结词组成的有意义的命题表达式否定非P 合取P而且Q 析取P可兼或Q 排斥析取P不可兼或Q 单条件若P 则Q 双条件P当且仅当Q命题公式：满足特定条件的合法的命题表达式分量：命题公式中的原子命题翻译：将自然语言转化为数理逻辑语言真值表：对一个命题公式而言，将对于其分量的各种可能的真值指派汇聚成的表两个命题等价：对两个命题公式A,B,若对于A\B中的所有命题变元P1\P2..对天安门的任一组真值指派A，B相同对应的行的真值相同，则称A与B等价等价定律：交换律，结合律，分配律，摩根律，否定律，同一律重言式：永真式，无论对命题变元作何种真值指派，它都等价于T的命题公式永假式：无论对命题变元作何种真值指派，它都等价于F的命题公式用一个命题公式代替重言式中同一个分量，依然为重言式蕴含式：若A->B永真则称A蕴含B，记做A=>B原命题等价于它的逆否命题三个性质：传递性，A=>B A=>C A=>(B^C)， A=>B C=>B AvC=>B有效结论：H1，H2、、、、Hn，C为一组命题公式，若H1^H2^...^Hn=>C,称C 是一组条件下的有效结论三种方法：真值表法，直接证法，间接证法其他连接词：条件否定，与非，或非规范命题表达式：只含非且或合取范氏：当且仅当具有A1^A2^...^An形式，A1，A2...An都是命题变元或其否定组成的析取式析取范式：当且仅当具有A1vA2v...vAn形式，A1，A2...An都是命题变元或其否定组成的合取式一个命题公式的合取范氏或析取范氏并不是唯一的n个命题变元的合取式，称作布尔合取或小项，其中每个变元与它的否定不能同时存在，但两者必须出现且仅出现一次 P^Q P^非Q一般n个命题变元共有2^n个小项n个命题变元的析取式，称作布尔析取或大项，其中每个变元与它的否定不能同时存在，但两者必须出现且仅出现一次 PvQ Pv非Q主析取范式：对于给定的命题公式，如果有一个等价公式，它仅由小项的析取所组成，则称该等价式为原式的主析取范式主合取范式：对于给定的命题公式，如果有一个等价公式，它仅由大项的合取所组成，则称该等价式为原式的主合取范式集合论集合：满足一定特征的对象的全体扩张原则：两个集合相等，当且仅当他们有相同的元素抽象原则：任给一个集合U和一个性质P，存在一个集合A，使得A的各个元素恰好是U的具有性质P的那些成员集合表示：列举法，特征法幂集：对给定的集合A，称以A的全体子集为元素的集合为A的幂集集合的基数：|A|元素的个数无限集合：元素个数能与某个真子集一一对应的集合序偶：有序的二元数组<x,y>笛卡尔积：称A*B={<x,y>|x属于A且y属于B}二元关系：以序偶作为元素的集合即关系xRy，关系前域指x，关系值域指y，关系域是前域和值域的并集。
《离散数学》讲义笔记
《离散数学》课时一 命题逻辑的基本概念1. 命题判定给定句子是否为命题，应该分两步：① 首先判定它是否为陈述句. ② 其次判断它是否有唯一真值.题1.下列语句中，下面哪一个选项是命题？（ ）你今天有空吗？ 请勿随地吐痰！ 我正在说谎.是偶数.答案：考点重要程度 分值题型 1.命题 ★★★ 选择、填空2.命题联结词 ★★★★★ 填空3.命题公式及其赋值★★★★解答1) 命题：能判断其真值的陈述句. 2) 真值：真、假. （1、0） 3) 真命题：真值为真的命题. 4) 假命题：真值为假的命题.5) 原子命题（简单命题）：不能再被分解成更简单的命题. 6) 复合命题：由简单命题通过联结词联结而成的命题.2.命题联结词联结词符号化真值表否定0 11 0合取0 0 00 1 01 0 01 1 1析取0 0 00 1 11 0 11 1 1蕴涵0 0 10 1 11 0 01 1 1等价0 0 10 1 01 0 01 1 1 优先顺序：题1.将下列命题符号化. 1.4不是素数. 2.小智和小红是学生. 3.小智和小红是同学. 4.小智是江苏人或者江西人. 5.小红喜欢唱歌或跳舞.6.①只要能被4整除，则一定能被2整除. ②只有能被4整除，则才能被2整除. ③能被4整除，仅当能被2整除.7.的充要条件是是无理数.答案：1.是素数.符号化为2.小智是学生.小红是学生.符号化为3.小智和小红是同学.符号化为4.小智是江苏人. 小智是江西人.符号化为5.小红喜欢唱歌. 小红喜欢跳舞.符号化为6.能被整除. 能被整除. 符号化为符号化为7.是无理数. 符号化为：自然语言中的“既……，又……”“不但……，而且……”“虽然……，但是……” “一面……，一面……”等.：“只要，就”，“因为，所以”，“仅当”，“只有才”，“除非才”，“除非，否则非”等等，符号化为.：“当且仅当”，“……充要条件”等.3. 命题公式及其赋值题1.写出下列公式的真值表，并求它们的成真赋值和成假赋值.的真值表1) 命题变元：取值1（真）或0（假）的变元.2) 合式公式：将命题变元用联结词或圆括号按一定逻辑关系联结起来的符号串. 3) 设是出现在公式中的全部命题变元，给各指定一个真值，称为对的一个赋值，若指定的一组值使为1，则称这组值为的成真赋值；若使为0，则称这组值的成假赋值.设为任一命题公式1) 若在它的各种赋值下取值均为真，则称为重言式或永真式. 2) 若在它的各种赋值下取值均为假，则称为矛盾式或永假式. 3) 若不是矛盾式，则称为可满足式.课时一练习题1.指出下列语句哪些是命题，哪些不是.如果是命题，指出它的真值.(1)计算机有视觉吗？(2)明天我去看球赛.(3)请勿大声喧哗！(4)不存在最大的质数.2.下列语句是命题的有（）.明天下午开会吗？2014年元旦是星期六.. 请保持安静！3.下列句子中有（）个命题.(1)我是老师. (2)禁止吸烟！ (3)蚊子是鸟类动物.(4)我正在说谎. (5)月亮比地球大.4.将下列命题符号化.(1)王强身体很好，成绩也很好.(2)小静只能挑选或房间.(3)如果和是偶数，则是偶数.5.（判断题）记：小李今天18岁，：小李今年19岁，则“小李今年18岁或19岁”可以翻译成. （）6.设：我听课，：我做课堂笔记.命题“我一边听课，一边做课堂笔记”符号化为____.7.设表示“天下大雨”，表示“他在室内运动”，则命题“除非天下大雨，否则他不在室内运动”符号化为（）.8.个命题变元组成的命题公式共有__________种不同真值指派情况.9.命题公式中成真赋值的个数为（）.10.下列命题公式中，哪个是永真式（）.11.求命题公式的真值表.课时二命题逻辑等值演算考点重要程度分值常见题型1.等值式★★★★★证明、解答2.析取范式与合取范式★★★★解答3.主析取范式与主合取范式必考填空、解答4.联结词的完备集★★判断、选择1.等值式设是两个命题公式，若构成的等价式为重言式，则称与是等值的，记作.常见等值式：1)双重否定律2)幂等律3)交换律4)结合律5)分配律（对的分配律）（对的分配律）6)德摩根律7)吸收律8)零律9)同一律10)排中律题1.推断公式类型.因此，该公式是一个重言式或者永真式.题2.用等值演算法证明. 得证.11) 矛盾律12)蕴涵等值式13)等价等值式14)假言易位15)等价否定等值式16)归谬论证明：证明：2.析取范式与合取范式题1：用等值演算法求取求下列公式：的合取范式和析取范式.解：(1)先求合取范式(2)再求析取范式1)文字：命题变元及其否定.2)简单析取式：仅由有限个文字构成的析取式.3)简单合取式：仅由有限个文字构成的合取式.4)析取范式：由有限个简单合取式的析取构成的命题式.，其中是简单合取式.5)合取范式：由有限个简单析取式的合取构成的命题式.，其中是简单析取式.3.主析取范式与主合取范式设与是命题变元含的极小项和极大项，则所有简单合取式都是极小项的析取范式称为主析取范式.所有简单析取式都是极大项的合取范式称为主合取范式.在含有个命题变元的简单合取式（简单析取式）中，若每个命题变元和它的否定式恰好出现一个且仅出现一次，而且命题变元或它的否定式按照下标从小到大顺序排列，称这样的简单合取式（简单析取式）为极小项（极大项）.表1 含的极小项与极大项极小项极大项公式成真赋值名称公式成假赋值名称表2 含的极小项与极大项极小项极大项公式成真赋值名称公式成假赋值名称题1.利用真值表法，按顺序求命题公式：的主析取范式. 解：因此，该命题公式的主析取范式是.题2.含个命题变项的命题公式的主合取范式为，则它的主析取范式为___________（表示成的形式）.答案：题3.求命题公式的主析取范式和主合取范式.因此，该命题公式的主析取范式是，解：主合取范式是.4. 联结词的完备集题1.(判断)命题联结词集是联结词完备集. （ ） 答案：正确.设是一个联结词集合，如果一个命题公式都可以由仅含中的联结词构成的公式表示，则称是一个联结词完备集. 设是两个命题，复合命题“与的否定式”称作的与非式，记作.即，“”称作与非联结词.复合命题“或的否定式”称作的或非式，记作.即，“”称作或非联结词.以下都是联结词完备集课时二练习题1.下列哪个公式是永假式（）.2.下列是重言式的为（）.3.求解的公式类型？（永真、永假、可满足）4.给定命题公式：，与之逻辑等价的是（）.5.用等值演算法证明等值式.6.任意两个不同大项的析取为________式，全体大项的合取式为________式.7.合式公式的主合取范式为（）.8.含个命题变项的命题公式的主析取范式为，则它的主合取范式________.9.构造命题公式的真值表，并由此写出它的主析取范式和主合取范式.10.已知命题公式，求主析取范式（要求通过等值演算推出）.11.某电路中有个灯泡和个开关、、.已知在且仅在下述种情况下灯亮：1)的扳键向上，、的扳键向下；2)的扳键向上，、的扳键向下；3)、的扳键向上，的扳键向下；4)、的扳键向上，的扳键向下.设表示灯亮，分别表示、、扳键向上，求的主析取和主合取范式.12.下面的联结词集合不是完备集的是________.（表示与非）13.联结词组中，下面哪一个选项是命题公式的最小联结词组（）.课时三 命题逻辑的推理理论考点重要程度 分值常见题型 1.推理的相关公式 ★★★★★选择、填空2.自然推理系统必考证明1. 推理的相关公式1) 设和是两个命题公式，当且仅当是重言式时，称从可推出或是前提的有效结论，记为.2) 命题公式推出的推理正确当且仅当为重言式.3) 推理的形式结构：前提： 结论：① 附加律②化简律③ 假言推理④拒取式 ⑤ 析取三段论⑥ 假言三段论 ⑦等价三段论⑧ 构造性二难构造性二难（特殊形式）⑨破坏性二难题1.求函数命题公式推的推理正确当且仅当__________为重言式. 答案：题2.下面不正确的是________.答案：2.自然推理系统题1：构造下面推理的证明.前提：结论：证明：①前提引入②前提引入③①②拒取式④前提引入⑤③④假言推理⑥前提引入⑦⑤⑥拒取式⑧前提引入⑨⑦⑧析取三段论得证是有效结论.题2.在自然推理系统中，构造并证明下列推理.（命题逻辑推理证明）如果小王是理科生，则他的数学成绩一定很好.如果小王不是文科生，则他一定是理科生.小王的数学成绩不好.所以，小王是文科生.解：设简单命题：小王是理科生.：小王的数学成绩很好.：小王是文科生.前提：结论：证明：①前提引入②前提引入③①②拒取式④前提引入⑤③④拒取式得证是有效结论.题3.用推理的形式结构证明：前提：结论：证明：①附加前提引入②①附加律③前提引入④②③假言推理⑤④化简律⑥⑤附加律⑦前提引入⑧⑥⑦假言推理得证是有效结论.题4.在自然推理系统中构造下面推理的证明.如果小张守第一垒并且小李向队投球，则队取胜；或者队未取胜，或者队成为联赛第一名；队没有成为联赛的第一名；小张守第一垒.因此，小李没向队投球.解：设简单命题：小张守第一垒.：小李向队投球.：队取胜.：队成为联赛第一名.前提：结论：证明：用归谬法①结论的否定引入②前提引入③前提引入④前提引入⑤④⑤拒取式⑥⑥置换⑦前提引入⑧⑦⑧析取三段论⑨①⑨合取由于最后一步，即，所以推理正确.课时三练习题1.若推理正确，则推理的结论一定是正确的.（）判断2.判断以下结论是否有效：前提是：：，结论是：.________（填“是”或“否”）3.下列个推理中，不正确的是（）.4.在自然推理系统中，用构造法证明下面推理.前提：结论：5.如果小张去看电影，则当小王去看电影时，小李也去.小赵不去看电影或小张去看电影.小王去看电影.所以当小赵去看电影时，小李也去.6.使用命题逻辑中的推理理论构造下面推理的证明：前提：结论：7.构造下面推理的证明：前提：，结论：.8.公安机关正在调查一宗盗窃案，现获得事实如下：(1)或盗窃了文物；(2)若盗窃了文物，则作案时间不可能在午夜前；(3)若证词正确，则在午夜前屋里灯光未灭；(4)若证词不正确，则作案时间发生在午夜前；(5)午夜时屋里灯光灭了.试问谁是盗窃犯？试写出推导过程.设:“盗窃了文物”，：“盗窃了文物”，：“作案时间发生在午夜前”，：“午夜前屋里灯光灭了”，：“证词正确”.课时四 谓词逻辑基本概念考点重要程度 分值常见题型 1.谓词逻辑命题符号化 ★★★★ 选择、填空2.谓词逻辑公式及其解释 ★★★选择1. 谓词逻辑命题符号化题1.将下列命题在谓词逻辑中用谓词符号化，并讨论它们的真值. (1) 只有是素数，才是素数. (2) 如果大于，则大于. 解：(1)设元谓词：是素数，命题可符号化为由于此蕴涵式的前件为假，所以命题为真. (2)设元谓词：，命题可符号化为由于为真，而为假，所以命题为假.个体词、谓词和量词是谓词逻辑命题符号化的个基本要素. 1) 个体词个体词是指所研究对象中可以独立存在的具体的或抽象的客体.将表示具体或特定的客体的个体词称作个体常项.而将表示抽象或泛指的个体词称作个体变项.并称个体变项的取值范围为个体域（或称作论域）.全总个体域：由宇宙间一切事物组成的个体域. 2) 谓词：刻画个体词性质及个体词之间相互关系的词.题2：命题“所有的人都长着黑头发”，令：是人；：长着黑头发.则该命题符号化为（）.答案：.题3.令：是人；：登上过月球.则命题“有的人登上过月球.”符号化（）.答案：题4.设有命题：是火车，：是汽车，：跑得比快，那么命题“有的汽车比一些火车跑得快”的逻辑表达式是__________.答案：.题5.设：是运动员，：是大学生，命题“不是所有的运动员都是大学生.”谓词符号化为__________.答案：或注：当多个量词出现时，它们的顺序一般不能随意调换.3)量词：表示个体之间数量关系的词全称量词：符号，表示个体域中“所有的”.“一切的”“所有的”“每一个”“任意的”“凡”“都”等.存在量词：符号，表示个体域中有一个个体.“存在”“有一个”“有的”“至少有一个”等.2.谓词逻辑公式及其解释题 1.指出下列各公式中的指导变元，各量词的辖域，自由出现以及约束出现的个体变项.解：是指导变元，量词的辖域.在中，是约束出现，而且约束出现两次，和均为自由出现，各自由出现一次.公式中含个量词，前件上的量词的指导变元为，的辖域，其中是约束出现，是自由出现.后件中的量词的指导变元为，的辖域为，其中是约束出现，均为自由出现.在整个公式中，约束出现一次，自由出现两次，自由出现一次，约束出现一次，自由出现一次.题2.设论域，与公式等价的命题公式是（）.答案：在公式和中，称为指导变元，为量词的辖域.在和的辖域中，的所有出现都称作约束出现，中不是约束出现的其他变项均称作自由出现.设为一公式，若在任何情况下的任何赋值下均为真，则称为永真式或逻辑有效式；若在任何情况下的任何赋值下均为假，则称为矛盾式或永假式.若至少存在一个情况下的一个赋值使为真，则称是可满足式.课时四练习题1.命题的意义是（）.对任何均存在使得；对任何均存在使得；存在对任何均使得；存在对任何均使得；2.设：是学生；：喜欢英语.则命题“有些学生喜欢英语”的符号化为_____.3.设：是人，：犯错误，命题“没有不犯错误的人”符号化为（）.4.令：是人，：是花，：喜欢，则命题“有些人喜欢所有的花”可符号化为_________.5.令：是火车，：是汽车，：比快，则命题“每列火车都比某些汽车快”在谓词逻辑中命题符号化为_________.6.试把下列语句翻译为谓词演算公式.(1)某些人喜欢所有明星； (2)并非“所有人均喜欢某些某些电脑游戏”.7.设个体域，消去公式中的量词为：___________.8.谓词公式中量词的辖域为（），量词的辖域为（）.课时五 谓词逻辑等值演算与推理考点重要程度 分值常见题型 1.谓词逻辑等值式与置换规则 ★★★选择、填空 2.谓词逻辑前束范式 ★★★★ 选择、解答3.谓词逻辑推理理论 必考证明1. 谓词逻辑等值式与置换规则设是谓词逻辑中任意两个公式，若是永真式，则称与等值，记作，称是等值式.下面给出谓词逻辑中的基本等值式. 1) 量词否定等值式 设公式含自由出现的个体变项，则2) 量词辖域收缩与扩张等值式 设公式含自由出现的个体变项，不含的自由出现，则题1.设个体域，将下列公式的量词消去.解：消去量词，得先缩小量词辖域，再消去量词，得3)量词分配等值式设公式含自由出现的个体变项，则4)命题逻辑中的重言式的代换实例都是谓词逻辑中的永真式.例如：先消去，得再消去，得题2.设是不含变元的公式，谓词公式等价于（）.答案：.题3.谓词公式的真值为，其中，：，定义域：. 答案：先消去，得再消去，得因此，的真值为1.2.谓词逻辑前束范式（前束范式存在定理）谓词逻辑中的任何公式都存在等值的前束范式.具有如下形式的谓词逻辑公式称作前束范式，其中为或，为不含量词的公式. 例，是前束范式不是前束范式题1：下列哪项为前束范式（）.答案：题2.求下列各式的前束范式.解：转化方法：1)把条件或双条件联结词转化；2)利用量词否定公式，把否定深入到命题变元和谓词公式的前面；3)换名；4)利用量词作用域的扩张和收缩等价式，把量词提到前面.3.谓词逻辑的推理理论在谓词逻辑中，从前提出发推出结论的推理的形式结构，依然采用如下的蕴涵式形式若上式为永真式，则推理正确，否则称推理不正确.①命题逻辑推理定律的代换实例.例如：②由基本等值式生成的推理实例.例如：由双重否定律可生成由量词否定等值式可以生成③一些常用的重要推理定律.④4条消去量词和引入量词的规则.全称量词消去规则：，不在中约束出现或，为任意个体常量.存在量词消去规则：，为使得为真的特定的个体常量.全称量词引入规则：，中无变元.前提：结论：证明：①前提引入②①③②化简律④②化简律⑤前提引入⑥⑤⑦③⑥假言推理⑧④⑦合取⑨⑧得证是有效结论.前提：结论：证明：①附加前提引入②置换③②④前提引入⑤④⑥③⑤析取三段论⑦⑥得证是有效结论.题3.证明下列各式.（简明注明使用等值式名称或推理定理名称）所有北极熊都是白色的，没有棕熊是白色的，所以北极熊不是棕熊.解：命题符号化：是北极熊. ：是白色的. ：是棕熊.前提：结论：证明：用归谬法①结论的否定引入②①置换③②④③化简律⑤③化简律⑥前提引入⑦⑥⑧④⑦假言推理⑨⑤⑧合取⑩⑨由于最后一步与前提中矛盾，所以推理正确.课时五练习题1.下列四个公式正确的有（）.2.在个体域中，若，，谓词有，，，，求的真值.3.下列等价关系正确的是（）.4.设个体域，消去公式中的量词.①②5.下列谓词公式中是前束范式的是（）.6.的前束范式为_________.7.求合式公式的前束范式____________.8.求谓词公式的前束范式.9.设个体域为，并对设定为，，，，其真值为的公式为__________.10.证明题前提：；结论：11.在自然推理系统中构造下面推理再证明.前提：，结论：12.先将下列推理符号化，再利用推理规则证明推理的正确性.所有的大一学生都要学习英语；并非所有的大一学生都要学习离散数学；故有些学习英语的不学习离散数学.假设谓词如下：：是大一学生；：要学习英语；：要学习离散数学.课时六 集合代数考点重要程度 分值常见题型 1.集合的基本概念 ★★ 选择、填空2.集合的运算 ★★★ 选择、填空3.有穷集的计数 ★★★ 解答4.集合恒等式 ★★★证明1. 集合的基本概念题1.，将的子集分类.元子集，也就是空集：； 元子集：； 元子集：； 元子集：；1) 把一些事物汇集到一起组成一个整体就称作集合，而这些事物就是这个集合的元素或成员.元素和集合之间的关系是隶属关系，即属于或不属于，属于记作，不属于记作.例：，2) 设为集合，如果中的每个元素都是中的元素，则称是的子集，记作,如果不被包含，记作.3) 设为集合，如果且，则称与相等，记作.4) 设为集合，如果且,则称是的真子集，记作.5) 不含任何元素的集合称作空集，记作.空集是一切集合的子集.6) 含有个元素的集合简称为元集，它的含有个元素的子集称作它的元子集.题2.设，则下列正确的是（）.答案：.题3.已知集合，则的幂集合___________.元子集：元子集：元子集：元子集：答案：.2.集合的运算8)若是元集，则有个元素.9)在一个具体问题中，如果所涉及的集合都是某个集合的子集，则称这个集合为全集，记作.7)设为集合，把的全体子集构成的集合称作的幂集，记作.1)并运算：2)交运算：3)差运算：4)对称差：5)的绝对补集定义如下：题1：设，，则差集 ，而对称差.答案：.题2.设全集的子集为，，，. 答案：,.3. 有穷集的计数题1.对名会外语的科技人员进行掌握外语情况的调查.其统计结果如下：会英、日、德和法语的人分别是和人，其中同时会英语和日语的有人，会英、德、和法语中任两种语言的都是人.已知会日语的人既不懂法语也不懂德语，分别求只会一种语言（英、德、法、日）的人数和会种语言的人数. 解：令分别表示会英、法、德、日语的人的集合，根据题意画出文氏图如下图所示.设同时会种语言的有人，只会英、法或德语一种语言的分别为和人.将和填入图中相应的区域，然后依次填入其他区域的人数.根据已知条件列出方程组解，得.因此，只会英语、德语、法语、日语的人数 为，会种语言的人数为.包含排斥原理：题2.请用集合计数的包含排斥原理，计算之间既不能被和，也不能被整除的数的个数.解：设可被整除可被整除可被整除用表示有穷集的元素数，表示小于等于的最大整数，则有4. 集合恒等式下面的恒等式给出了集合运算的主要算律，其中代表任意的集合.幂等律结合律交换律分配律同一律零律排中律矛盾律吸收律德摩根律题1.证明.证：除了以上算律以外，还有一些关于集合运算性质的重要结果.例如：课时六练习题1.下面是真命题的是（）.2.若集合的元素个数，则其幂集的元素个数___________.3.设集合，则__________.4.设是集合，若，则（）.5.设集合被整除，,被整除，，则__________，___________.6.，求__________.7.计算机班的名学生中，有人在第一次考试中得，人在第次考试中得，已知有人两次考试均未得，则两次考试都得的学生人数为__________人.8.某班有个学生，会语言的人，会语言的人，会语言的人，以上三门都会的人，都不会的没有，请问仅会两门的有几人？（要求写出求解过程）9.某大学计算机专业名学生中，语言课有人优秀，数据结构课有人优秀，离散数学课有人优秀.并且语言和数据结构两门课都优秀的有人；语言和离散数学两门课都优秀的有人；数据结构和离散数学两门课都优秀的有人.此外，还有人一门优秀都没得到.如果获得门优秀者可得奖学金元，获得门优秀者可得奖学金元，仅获得一门优秀者可得奖学金元，问为该专业学生发奖学金需多少元？10.设是三集合，已知，则一定有.（）11.集合的运算满足结合律，吸收律.（）12.证明.13.设是任意集合，证明等式.课时七 二元关系（1）考点重要程度 分值常见题型 1.有序对与笛卡尔积 ★★★ 填空、解答2.二元关系 ★★★★★ 选择、填空3.关系的运算 ★★★★填空、解答1. 有序对与笛卡尔积题1.设，求.若，则.由两个元素和按照一定顺序排列而成的二元组称作一个有序对或序偶，记作，其中是它的第一元素，是它的第二元素.设为集合，用中元素为第一元素，中元素为第二元素构成有序对，所有这样的有序对组成的集合称作和的笛卡尔积，记作，符号化表示为笛卡尔积运算具有以下性质：1) 对任意集合，根据定义有.2) 一般地说，笛卡尔积运算不满足交换律，即（当时）3) 笛卡尔积运算不满足结合律，即 （当时）4)笛卡尔积运算对并和交运算满足分配律，即2.二元关系1)如果一个集合满足以下条件之一：a)集合非空，且它的元素都是有序对；b)集合是空集.则称该集合为一个二元关系，记作，二元关系也可简称为关系.对于二元关系，如果，则记作.2)设为集合，的任何子集所定义的二元关系称作从到的二元关系，特别当时称作上的二元关系.3)若，那么，的子集就有个，每一个子集代表一个上的二元关系，因此上有个不同的二元关系.题1.设集合，设关系为上的小于关系，则 .答案：.题2.设为集合，且，则上最多可定义个不同的二元关系.答案：.题1.，则的关系矩阵是 .答案：.题5.已知集合上的二元关系的关系矩阵，那么 .答案：.上的特殊关系：空关系，全域关系，恒等关系.空关系：空集全域关系：恒等关系：给出一个关系的方法有种：集合表达式、关系矩阵和关系图.设，是上的关系，的关系图记作，有个顶点，若，在中就有一条从到的有向边.3.关系的运算设是二元关系1)中所有有序对的第一元素构成的集合称作的定义域，记作，形式化表示为2)中所有有序对的第二元素构成的集合称作的值域，记作，形式化表示为3)的定义域和值域的并集称作的域，记作，形式化表示为题1.，求.4)设是二元关系，的逆关系，简称为的逆，记作，其中5)设为二元关系，对的右复合记作，其中题2.设，，求.。
离散数学笔记
离散数学笔记目录1.1 什么是集合 (2)1.2 集合内部 (2)1.3 集合运算 (3)1.3 运算定律及证明 (4)1.5 可数集合与不可数集合 (5)2.1 什么是命题 (5)2.2 命题联结词 (6)2.3 命题符号化及应用 (7)2.4 命题公式和真值表 (7)2.5 公式的分类和逻辑等价 (8)2.6 基本等价关系及其应用 (8)集合论1.1 什么是集合一、什么是集合1.定义：集合是由指定范围内的满足给定条件的所有对象聚集在一起构成，每一个对象称为这个集合的元素。
二、集合的符号表示1.表示字母：用大写英文字母表示集合: A, B, C, · · · , A1, B2, C3, · · ·用小写英文字母表示元素: a, b, c, · · · , a1, b2, c3, · · ·2.表示方法：（1）枚举法：列出集合中的全部元素或者仅列出一部分元素，其余用省略号(· · · ) 表示。
B = {2, 4, 6, 8, 10, · · · }（2）叙述法：通过刻画集合中元素所具备的某2.种性质或特性来表示一个集合。
P = {x|P(x)}（3）文氏图：一般使用平面上的方形或圆形表示一个集合，而使用平面上的一个小圆点来表示集合的元素。
3.关系：（1）属于关系若 a 是集合 A 中的元素，则称a属于A，记为a∈A若 a 不是集合 A 中的元素，则称a不属于A，记为a∉A4.基数（1）集合A 中的元素个数称为集合的基数，记为|A|（2）集合的基数有限，称为有限集（3）集合的基数无限，称为无限集1.2 集合内部一、空集1.定义：不含任何元素的集合叫做空集，记作∅. 空集可以符号化为∅= {x|x ≠ x}.【NB】空集是绝对唯一的。
离散数学（1）复习笔记
离散数学（1）复习笔记Ch1 命题逻辑的基本概念1.1 命题命题：能判断真假且⾮真即假的陈述句。
命题的真值，真命题，假命题。
* 真值待定 *简单命题 | 原⼦命题，复合命题。
1.2 常⽤的5个命题联结词否定，合取，析取，蕴涵，双蕴涵。
* 异或 | 排斥或 | 不可兼或 * 注意语义判断。
* p→q = ﹁ p∨q ** 必要条件 * 只有……才……；仅当……，……；……，仅当……。
注意命题符号化的蕴涵⽅向。
* domain * A horse is white. （×）联结词集，⼀元联结词，⼆元联结词。
* 优先顺序 * （），﹁，∧，∨，→，↔1.3 合式公式及其赋值命题常项 | 命题常元（值是确定的），命题变项 | 命题变元（真值可以变化的陈述句）。
合式公式 | 命题公式 | 命题形式 | 公式（wff）（well formed formulas），原⼦命题公式（单个命题变项），⼦公式。
* 单个命题变项是合式公式，没说命题常项。
*赋值 | 解释，成真赋值，成假赋值。
真值表。
* 真值表要点：赋值从00…0开始，按照⼆进制加法，直到11…1为⽌；按照运算的优先次序写出各⼦公式。
*命题公式的分类：重⾔式 | 永真式，⽭盾式 | 永假式，可满⾜式。
1.4 重⾔式与代⼊规则代⼊规则。
* 1. 公式中被代换的只能是命题变项（原⼦命题），⽽不能是复合命题。
2.对公式中某命题变项施以代⼊，必须对该公式中出现的所有同⼀命题变项施以相同的代换。
* 1.5 命题形式化命题形式化 | 符号化。
* 注意充分条件和必要条件的区别 ** 注意语义是否考虑完整 *1.6 波兰表达式中置式 | 中缀式，前置式 | 前缀式 | 波兰式，后置式 | 后缀式 | 逆波兰式。
Ch2 命题逻辑的等值和推理演算2.1 等值定理等值 | 等价，等值定理：设A，B为两个命题公式，A = B的充分必要条件是 A↔B为⼀个重⾔式。
大一离散数学知识点总结笔记
大一离散数学知识点总结笔记离散数学是计算机科学和信息技术等领域的基础学科，它主要研究离散对象以及离散结构及其关系。
以下是本文对大一离散数学的知识点总结。
1. 集合论（Set Theory）- 集合的定义和表示方法- 集合间的运算：并、交、差、对称差- 集合的基本性质：幂集、空集、全集- 集合的相等和包含关系- 集合的基数和无穷集合2. 命题逻辑（Propositional Logic）- 命题的定义和符号表示- 命题的逻辑运算：非、合取、析取、条件、双条件- 命题之间的等价和蕴含关系3. 谓词逻辑（Predicate Logic）- 一阶逻辑的基本概念：谓词、量词、项、公式 - 一阶逻辑的语义：解释、真值- 一阶逻辑的语法：公式的语法规则- 命题逻辑与谓词逻辑的比较4. 证明方法与技巧（Proof Methods and Techniques） - 直接证明与间接证明- 分情况讨论和归纳法- 反证法和递归法- 等价变换和代入法5. 计数原理（Counting Principles）- 乘法原理和加法原理- 排列和组合：全排列、循环排列、组合数- 二项式系数和三角形数- 鸽笼原理和抽屉原理6. 图论（Graph Theory）- 图的基本概念：顶点、边、路径、环- 图的存储结构：邻接矩阵、邻接链表- 图的遍历算法：深度优先搜索、广度优先搜索- 最短路径算法：Dijkstra算法、Floyd-Warshall算法7. 关系代数与关系数据库（Relational Algebra and Relational Databases）- 关系代数的基本运算：选择、投影、并、差、笛卡尔积- 关系数据库的基本概念：关系模型、关系实例、关系模式 - 关系数据库查询语言：结构化查询语言（SQL）- 范式理论和函数依赖8. 有限状态自动机（Finite State Automata）- 自动机的定义和表示：状态、转移函数、初始状态、接受状态- 有限状态自动机的类型：确定性有限状态自动机（DFA）、非确定性有限状态自动机（NFA）- 正则表达式与有限状态自动机的等价性- 有限状态自动机的应用：词法分析、编译原理以上是大一离散数学的主要知识点总结，希望对你的学习有所帮助。
离散数学笔记(最新)
第一章命题逻辑内容：命题及命题联结词、命题公式的基本概念，真值表、基本等价式及永真蕴涵式，命题演算的推理理论中常用的直接证明、条件证明、反证法证明等方法教学目的：1．熟练掌握命题、联结词、复合命题、命题公式及其解释的概念。
2．熟练掌握常用的基本等价式及其应用。
3．熟练掌握（主）析/合取范式的求法及其应用。
4．熟练掌握常用的永真蕴涵式及其在逻辑推理中的应用。
5．熟练掌握形式演绎的方法。
教学重点：1．命题的概念及判断2．联结词，命题的翻译3．主析（合）取范式的求法4．逻辑推理教学难点：1．主析（合）取范式的求法2．逻辑推理1.1命题及其表示法1.1.1 命题的概念数理逻辑将能够判断真假的陈述句称作命题。
1.1.2 命题的表示命题通常使用大写字母A，B，…，Z或带下标的大写字母或数字表示，如A i，[10]，R等，例如A1：我是一名大学生。
A1:我是一名大学生.[10]：我是一名大学生。
R：我是一名大学生。
1.2命题联结词1.2.1 否定联结词﹁P1.2.2 合取联结词∧1.2.3 析取联结词∨1.2.4 条件联结词→1.2.5 双条件联结词↔1.2.6 与非联结词↑性质：（1） P↑P⇔﹁（P∧P）⇔﹁P；（2）（P↑Q）↑（P↑Q）⇔﹁（P↑Q）⇔ P∧Q；（3）（P↑P）↑（Q↑Q）⇔﹁P↑﹁Q⇔ P∨Q。
1.2.7 或非联结词↓性质：（1）P↓P⇔﹁（P∨Q）⇔﹁P；（2）（P↓Q）↓（P↓Q）⇔﹁（P↓Q）⇔P∨Q；（3）（P↓P）↓（Q↓Q）⇔﹁P↓﹁Q⇔﹁（﹁P∨﹁Q）⇔P∧Q。
1.3 命题公式、翻译与解释1.3.1 命题公式定义命题公式，简称公式，定义为：（1）单个命题变元是公式；（2）如果P 是公式，则﹁P是公式；（3）如果P、Q是公式，则P∧Q、P∨Q、P→Q、 P↔Q 都是公式；（4）当且仅当能够有限次的应用(1) 、(2)、(3) 所得到的包括命题变元、联结词和括号的符号串是公式。
离散数学知识点笔记
离散数学知识点笔记离散数学是对数学理论与应用的整合，这里涉及到的知识点很多。
几乎涉及到数学中的涉及的任何一部分，每个知识点都有其特点，在此我们将介绍一些离散数学中常用的知识点。
一、定义、实例和性质定义、实例和性质是离散数学知识点的基本内容，也是学习离散数学的必备基础知识。
它们综合涵盖了数学中的定义、性质和实例的基本知识。
这些知识点是数学的基础，运用了数学中定义、证明和实例的相关方法，通过它们可以了解数学中丰富的定义、性质和实例。
二、集合基础集合基础是理解离散数学关系和操作的基本工具。
它涉及到集合的性质、运算、概念等，是离散数学中最基础的概念，并且可以用来解决很多实际问题。
因此，掌握和深入学习离散数学中的集合基础非常重要。
三、函数、逻辑和图论函数、逻辑和图论在离散数学中占据重要的地位，函数是表达数学关系的基本方式，逻辑是分析离散数学关系的基本方法，图论是表示离散数学关系的基本工具。
熟悉函数、逻辑和图论知识可以帮助我们更好地理解数学中的关系并解决相关问题。
四、数学归纳法数学归纳法是离散数学的经典方法，它包括逐步归纳和变量归纳，是归纳和证明离散数学性质的基本方法。
它可以用来解决复杂的离散数学问题，是离散数学的重要工具。
五、数据结构和算法数据结构和算法是离散数学的重要组成部分，是运用离散数学解决实际问题的基本方法。
它们可以帮助我们更好地理解离散数学中的概念，并且可以用来设计出有效的数据结构和算法，解决复杂的离散数学问题。
六、数学建模数学建模是运用离散数学解决问题的重要方法，它可以帮助我们更好地理解实际问题，并通过建模、分析和推理形成有效的解决方案。
它是一种基于离散数学方法的复杂思维，也是理解和应用离散数学概念的基础要求。
综上所述，离散数学涉及到了定义、实例和性质、集合基础、函数、逻辑和图论、数学归纳法、数据结构和算法以及数学建模等知识点。
这些知识点是离散数学的基础，掌握了这些知识点，我们就可以更好地理解和运用离散数学解决实际问题。
离散数学重点笔记
离散数学重点笔记第一章，0命题逻辑素数=质数，合数有因子和或假必真同为真(p T q) A (q <--> r) , (p A q) An r, p A (q An r)等都是合式公式，而若公式A是单个的命题变项，则称A为0层合式n p A q) T r , (n (p q)) A ((r V s)斥甬p)分别为3层和4层公式r, ( p r (r T q)等不是合式公式。
p A q) Tn r【例】求下列公式的真值表，并求成真赋值和成假赋值。
公式(1)的成假赋值为011，其余7个赋值都是成真赋值(1)双重否定律(2)等幂律A A; A V(3)交换律A A A A ; A V V A(4) 结合律(A A B) A A(BA C);(5) 分配律(A A B)V C(A V C)A(B V C)(6) 德•摩根律(A V B)A A B;(7) 吸收律A V( A A B)A; A A(A V B)(8)零一律A V 1 1 ； A A 00(9) 同一律A V 0A A A 1A(10) 排中律A V A1(11) 矛盾律A A A0(12) 蕴涵等值式A T V B(13) 假言易位A T A(14) 等价等值式(A T B)A( B T A)第二章，命题逻辑等值演算A(A V B)V；(A V B)(A A B)V( B V C)A C (A A C) V(B A C)A V B离散数学重点笔记(15) 等价否定等值式 (16) 归缪式 (A T B )A( A TB )A一个析取范式是矛盾式当且仅当它的每个简单合取式都是矛盾式 一个合取范式是重言式当且仅当它的每个简单析取式都是重言式 主范式【A 小真，V 大假】 A 成真 小写极小项极大项1 盘我真赋值 名称舍式1成假赋值 名称-1 pA~i qA~i T 0 0 0P V<J V TI 0 0 0 n pAn 小工0 0 1pVqVn r 0 0 1 pAqAn T 0 1 0 血2 pV n qVr 0 1 0 n P A<I A T 0 1 1 口3 pVn qVn T 0 1 1pAn 10 0n pV-iVr 10 0 P A~I 1 0 1TLI5 1 pVqVn T 1 0 1 r 1 1 0 ms t pVn qVr 1 1 0 pA-qAr111 IDy n pVn aVn r ill【例】(p T q)T (n qp) =n (n p V q) V (q V n =(p An q) Vn p V q =(p An q) V (n p Anp) (消去宀) (n 内移)(已为析取范式) q) V (n p A q) V (n p A q) V (p A q) ( *) = m2 V m0 V ml V ml V m3 =m0 V ml V m2 V m3(幂等律、排序) (*)由n p 及q 派生的极小项的过程如下: n p = n p A (n q V q) =(n p An q)V (n p A q)q = (n p V p) A q =(n p A q) V (p A q)熟练之后，以上过程可不写在演算过程中。
天大《离散数学(1)》学习笔记八
主 题：《离散数学（1）》学习笔记内 容：《离散数学（1）》学习笔记八——图论的基本概念、连通性教学目的、要求:掌握：图的基本概念及其性质，通路和回路，图的连通性的判别方法。
理解：通路、回路的概念。
了解：图的同构。
教学内容：基本内容：图的基本概念，图的同构，通路和回路，图的连通性。
重点：图的概念，结点次数和边关系的定理。
难点：判别图的同构。
基本要求1．熟悉图的基本概念及其性质。
2．了解图的同构。
3．理解通路、回路的概念，掌握其判别方法。
第六章图论图论（graphic theory）是一门既古老又年轻的学科。
说它古老，是因为早在18世纪初，学者们便已运用现在称之为图的工具来解决一些困难的问题；说它年轻，是因为直到20世纪中、后期，图的理论研究和应用研究才得到广泛的重视，图论作为一个数学的分支，才真正确立自己的地位。
对于离散结构的刻划，图是一种有力的工具。
我们已经看到，有限集合上的关系可用一一种直观的图——有向图来表示；我们可以想象，在运筹规划、网络研究中，在计算机程序流程分析中，都会遇到由称为“结点”和“边”的东西组成的图。
因此，对图论基础知识的学习，以及对有广泛应用价值的各种特殊图的了解是十分必要的。
本章的任务是，讨论图的基本概念及有关术语，研究图的基本性质。
6.1图论的基本概念6.1.1图的实例1736年瑞士数学家欧拉（Euler）解决了当时很有名的哥尼斯堡七桥问题，并发表了第一篇图论方向的论文。
哥尼斯堡（曾名为加里宁格勒）位于立陶宛的普雷格尔河畔。
河中有两个小岛，城市与小岛由七座小桥相联（如图6. l（a）所示）。
当时城中居民热衷于这样一个问题：游人是否可能从城市或小岛的一点出发，经由七座桥，并且只经由每座桥一次，然后回到原地。
许多人久而不得其解，但欧拉却用一个十分简明的工具----一张图（如图6.1（b）所示）解决了这一问题。
图中的结点用以表示河两岸及两个小岛，边用以表示小桥，如果游人可以作出所要求的那种游历，那么必可从图的某一结点出发，经过每条边一次且仅经过一次后又回到原结点。
离散数学课外阅读笔记
离散数学课外阅读笔记
离散数学是一门非常重要的数学学科，它主要研究离散结构和离散对象的数学理论。
离散数学在计算机科学、信息科学以及其他相关领域中都起着重要的作用。
以下是我在课外阅读中所做的笔记：
1. 集合论
集合论是离散数学中非常重要的一个分支，它主要研究集合的性质和运算。
在集合论中，我们会学习到集合的基本概念、集合的运算、集合的基本定理等内容。
2. 图论
图论是研究图的性质和结构的一门学科。
在图论中，我们会学习到图的基本概念、图的表示、图的遍历、最短路径等内容。
图论在计算机科学中应用非常广泛，比如路由算法、图像处理等领域都离不开图论。
3. 逻辑和证明
逻辑和证明是离散数学的另一个重要分支，它主要研究命题、谓词和命题逻辑的基本概念，以及如何进行证明。
在逻辑和证明中，我们会学习到形式化证明、数学归纳法、证明方法等内容。
4. 组合数学
组合数学是研究离散对象的排列组合问题的一门学科。
在组合数学中，我们会学习到排列、组合、二项式系数、容斥原理等内容。
组合数学在算法分析、概率论等领域中应用非常广泛。
以上是我在课外阅读中所做的笔记，离散数学是一门非常重要的
学科，它与计算机科学、信息科学等领域都息息相关。
希望我的笔记能够帮助大家更好地理解离散数学的基本概念和方法。
大一离散数学知识点笔记
大一离散数学知识点笔记离散数学是计算机科学专业一门重要的基础课程，它主要研究不连续的数学结构和离散现象。
本文将总结大一离散数学中的一些重要知识点，包括集合论、数理逻辑、图论和布尔代数等内容。
希望这些笔记能够帮助大家更好地理解和掌握离散数学的基础知识。
一、集合论【概念】集合是由一个或多个确定的对象（元素）构成的整体。
常用大写字母A、B、C等表示集合，小写字母a、b、c等表示集合的元素。
【集合运算】1. 并集：将两个或多个集合中的所有元素合并在一起。
2. 交集：两个集合中共有的元素组成的集合。
3. 差集：属于一个集合但不属于另一个集合的元素组成的集合。
4. 补集：全集中不属于该集合的元素的集合。
【集合关系】1. 子集关系：若一个集合的所有元素都属于另一个集合，则称前者为后者的子集。
2. 包含关系：若一个集合包含另一个集合的所有元素，则称前者为后者的包含集。
二、数理逻辑【命题与命题逻辑】命题是陈述句，其要么为真，要么为假。
命题逻辑研究命题之间的关系，包括与、或、非等逻辑运算。
【逻辑运算】1. 与运算（∧）：当且仅当多个命题同时为真时，结果为真。
2. 或运算（∨）：当且仅当多个命题中至少有一个为真时，结果为真。
3. 非运算（¬）：对一个命题取反。
4. 蕴含运算（→）：如果前提成立，则结论也一定成立。
【真值表】真值表是用来表示逻辑表达式在所有可能情况下的真值。
通过真值表，我们可以判断一个逻辑表达式的真假情况。
三、图论【图的概念】图由节点和边组成，节点表示对象，边表示节点之间的关系。
图分为有向图和无向图，有向图的边有方向，无向图的边没有方向。
【常见概念】1. 顶点：图中的节点。
2. 边：图中节点之间的连接。
3. 路径：由边连接的一系列节点。
4. 连通图：图中任意两个节点之间都存在路径。
【图的表示】1. 邻接矩阵：用矩阵记录图中节点之间的连接关系。
2. 邻接表：用链表表示图中节点之间的连接关系。
四、布尔代数【概念】布尔代数是一种数学结构，它研究基于逻辑关系的代数运算。
离散数学精选笔记
离散数学精选笔记一、集合论基础。
1. 集合的定义与表示。
- 集合是由一些确定的、彼此不同的对象组成的整体。
通常用大写字母表示集合，如A、B、C等。
- 集合的表示方法有列举法和描述法。
- 列举法：把集合中的元素一一列举出来，例如A = {1,2,3}。
- 描述法：用谓词来描述集合中元素的性质，例如B={xx是偶数且x < 10}。
2. 集合间的关系。
- 包含关系：如果集合A的所有元素都是集合B的元素，则称A包含于B，记作A⊆ B。
当A⊆ B且A≠ B时，称A是B的真子集，记作A⊂ B。
- 相等关系：如果A⊆ B且B⊆ A，则A = B。
3. 集合的运算。
- 交集：A∩ B={xx∈ A且x∈ B}。
- 并集：A∪ B = {xx∈ A或x∈ B}。
- 补集：设全集为U，A相对于U的补集¯A=U - A={xx∈ U且x∉ A}。
- 集合运算的性质：- 交换律：A∩ B = B∩ A，A∪ B=B∪ A。
- 结合律：(A∩ B)∩ C = A∩(B∩ C)，(A∪ B)∪ C=A∪(B∪ C)。
- 分配律：A∩(B∪ C)=(A∩ B)∪(A∩ C)，A∪(B∩ C)=(A∪ B)∩(A∪ C)。
二、命题逻辑。
1. 命题与命题联结词。
- 命题是能够判断真假的陈述句。
例如“今天是晴天”是一个命题。
- 命题联结词：- 否定¬：若P为命题，则¬ P表示“P不成立”。
- 合取wedge：Pwedge Q表示“P并且Q”，当P和Q都为真时，Pwedge Q为真。
- 析取vee：Pvee Q表示“P或者Q”，当P和Q至少有一个为真时，Pvee Q为真。
- 蕴涵to：Pto Q表示“如果P，那么Q”，当P为真Q为假时，Pto Q为假，其余情况为真。
- 等价↔：P↔ Q表示“P当且仅当Q”，当P和Q同真同假时，P↔ Q为真。
2. 命题公式及其分类。
- 命题公式是由命题变元（通常用P、Q、R等表示）和命题联结词按照一定规则组成的符号串。
离散数学一阶逻辑笔记
离散数学一阶逻辑笔记一、一阶逻辑基本概念。
（一）个体词。
1. 定义。
- 个体词是指所研究对象中可以独立存在的具体的或抽象的客体。
- 例如，在“小王是学生”中，“小王”就是个体词；在“3是有理数”中，“3”是个体词。
2. 分类。
- 个体常项：表示具体或特定的客体的个体词，常用a,b,c,·s表示。
“小李”可以用a表示。
- 个体变项：表示抽象或泛指的个体词，常用x,y,z,·s表示。
例如，“某个学生”可以用x表示。
（二）谓词。
1. 定义。
- 谓词是用来刻画个体词性质及个体词之间相互关系的词。
- 例如，在“小王是学生”中，“是学生”就是谓词，它刻画了“小王”的性质；在“3大于2”中，“大于”是谓词，它刻画了“3”和“2”之间的关系。
2. 分类。
- 谓词常项：表示具体性质或关系的谓词。
如“是偶数”是谓词常项。
- 谓词变项：表示抽象的、泛指的性质或关系的谓词。
- 一元谓词：与一个个体词相联系的谓词。
例如P(x)，其中P表示“是学生”，x是个体变项。
- 二元谓词：与两个个体词相联系的谓词。
例如Q(x,y)，其中Q表示“大于”，x,y是个体变项。
- n元谓词：与n个个体词相联系的谓词，一般表示为P(x_1,x_2,·s,x_n)。
（三）量词。
1. 全称量词。
- 符号表示为“∀”，表示“所有的”“任意一个”等。
- 例如，“所有的人都会呼吸”可以表示为∀ x(P(x)to Q(x))，其中P(x)表示“x是人”，Q(x)表示“x会呼吸”。
2. 存在量词。
- 符号表示为“∃”，表示“存在一个”“至少有一个”等。
- 例如，“存在一个数是偶数”可以表示为∃ x(P(x)，其中P(x)表示“x是数且x是偶数”。
二、一阶逻辑公式及其解释。
（一）一阶逻辑合式公式（谓词公式）1. 原子公式。
- 设P(x_1,x_2,·s,x_n)是n元谓词，t_1,t_2,·s,t_n是项，则P(t_1,t_2,·s,t_n)称为原子公式。
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无序积
n ൌ |V|
୬
G ൌ ۃV, E ۄVሺGሻ ൌ ሼvଵ, vଶ, … , v୬, ሽ EሺGሻ ൌ ሼeଵ, eଶ, … , e୬, ሽ
e୩ ൌ ሺv୧, v୨ሻ
dሺv୧ሻ ൌ 2m 握手定理
顶点集
边 顶点(或结点)
边
端点
୧ୀଵ
m ൌ |E| 度数：V୧做为边端点的次数
概念：
平行边
7、n 阶无向完全图K୬：所有v୧与v୨相邻
dሺvଶሻ ൌ 4 dሺvଷሻ ൌ 3
dሺvହሻ ൌ 1 2m ൌ 2 ൈ 6 ൌ 12
8、子图GԢ,母图G：Gᇱ كG ሺVԢ كV 且 EԢ كEሻ
9、真子图：Gᇱ كG ሺVԢ كV 且 EԢ ؿEሻ
1)、j 列元素之和为 2
3
同构的，对应关系：
a ՞ 1, b ՞ 2, c ՞ 3, d ՞ 4, e ՞ 5
(两两)连通
当v ൌ vଵ, 回路
Γ ൌ veଵvଵeଶ … e୪v୪
10、生成子图：Gᇱ كG Vᇱ ൌ V 11、导出子图：与子集Vଵ关联的所有边构成的图
与子集Eଵ关联的所有顶点构成的图 12、补图Gഥ：|V|不变，两简单图互成完全图K୬ 13、连通图：任意两顶点连通 14、连通分支pሺGሻ：根据连通关系R划分出若干个等价的
子集Vଵ构成的导出子图
PሺGሻ ൌ 1 ൏ PሺG െ Vᇱሻ ൌ 2 ൌ PሺG െ Eᇱሻ ൌ 2 15、点割集/边割集：删掉顶点/边，使形成非连通图
点割集只为 1 称割点 16、关联矩阵MሺGሻ：行向量为顶点，列向量为边
起点
终点
通路
长度 l(边个数)
第九章 树
概念：
树：又称无向树，即连通不含回路的无向图 森林：每个连通分支均是树的非连通无向图 平凡树：即平凡树（一阶零图）也就是一个点
MሺGሻ ൌ
ۍێێ020
1 1 0
0 1 1
1 0 1
1 0 1
100ېۑۑ
2)、i 行元素之和为dሺv୧ሻ 3)、所有元素之和为2m
ێ0 0 0 0 0 1 ۑ4)、孤立点元素都为 0
ۏ0 0 0 0 0 0 ے5)、列 j ൌ jԢ 列平行边
a
e
1
4
b
d
5
c
2
Gଵ ؆ Gଶ
《离散数学》：学习笔记
我做学习笔记的目的是将复杂的概念及公式压缩成几页并以图文并茂的形式表示出来，如此会便于去 记忆理解，这样即使在若干年重回该领域研究时也可以快速掌握知识点。但光靠这是不行的，有扎实的基 础知识还需要反复的练习做题，希望同学能好好努力，争取拿到一个很高的分数。
第七章 图的基本概念
A ൌ ሼaଵ, aଶሽ, B ൌ ሼbଵ, bଶሽ 则 A& ܤൌ ሼሺaଵ, bଵሻ, ሺaଵ, bଶሻ, ሺaଶ, bଵሻ, ሺaଶ, bଶሻሽ
例：badcedbecbecdeddcee
路 (分枝)权ൌ子孙之和
11
WሺTሻ ൌ 1 ൈ 3 3 ൈ 3 4 ൈ 2
二层
4
45 6
5 ൈ 2 6 ൈ 2 ൌ 42
三层 1
cd 3
e 带0 传 a，001 传 b，01 传 c，10 传 d，11 传 e
Huffman 算法：(二元树) 1、以 2 个最小带权为树叶连成分支，分支权为和 2、分支权与其它树叶之间选最小权继续连成分支 3、重复 2，直到分支权和树叶用完
生成树 T：无向连通图 G 的生成子图（且为树） 树枝：T 的边 弦：除了树枝外的边 余树：所有弦集合的导出子图 基本回路：T+1 根弦形成回路。所有回路称系统 基本割集：即树枝与其对应弦。所有割集称系统 根树：1 个顶点入度为 0，其余顶点入度为 1 的树 分支点 s：dሺv୧ሻ 2 (包括树根，内点) 树根：入度为 0 的顶点 内点：入度为 1，出度>0 的顶点 树叶 t：入度为 1，出度为 0 的顶点 层数 l：从树根到任意顶点的长度 树高：最大的层数 家族树：父亲、儿子、兄弟、祖先、后代 r 元树：最多有 r 个儿子 r 元正则树：每个爸爸都有 r 个儿子 r 元完全正则树：所有树叶层数相同 前缀码：左树枝标 0，左树枝标 1 最优前缀码：即最优 r 元树的前缀码 码字：前缀码从树顶到树叶组成的码字 等长码：位数相同的码字
eଵ
环
vଶ
vହ 相 eଷ
邻
关联
eଶ
eସ
vଵ e
eହ vସ
1、有限图：即 V、E 都是有穷集合
2、n 阶图：顶点数为n ൌ |V| 3、零 图：边E ൌ 4、平凡图：E ൌ 且|V| ൌ 1 5、多重图：含平行边
6、简单图：不含平行边和环
孤立点 dሺvଵሻ ൌ 4
vଷ
dሺvସሻ ൌ 1
v
树根
分支点(s)
内点(s-1)
vଵ
vଶ
树枝(m)
vଷ
树叶(t)
顶点总数(n)
vସ
vହ
基本公式：
v ୲
tെ1
v s ൌ n െ t ൌ r െ 1
୬
仅正则树能用
dሺv୧ሻ ൌ 2m
୧ୀଵ
mൌnെ1
WሺTሻ ൌ ω୧lሺv୧ሻ
求总传输位数
(树)权
୧ୀଵ
层数(码长)
带权(概率)
根层 一层
19 8