人教版初二数学上册三角形的高、中线

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人教版八年级数学上册 (三角形的高、中线与角平分线)三角形教学课件

课堂练习
1、下列各组图形中，哪一组图形中AD是△ABC 的高(D )
C AD
D
BC B
BA
CA B
A C
D
B
C DD A
2、如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这
个三角形是（B ）
A.锐角三角形 C.钝角三角形
B.直角三角形 D.锐角三角形
课堂探究
如图：△ABC中，D为BC中点，连结AD，你能根据此图得到哪些结论？
活动三：已知：如图，∠ACD是△ABC的外角证明：∠A+∠B=∠ACD
小组讨论，以小组为单位展示。
小组合作展示要求：(1)时间6分钟(2)先独立思考，后小组成员讨论(3)一个组至少要有一种证明方法(4)随机抽取两个小组展示（5）展示的小组一定要表达清楚每步证明用的理论依据（6）除展示的小组外，其余的小组可以质疑，有价值的问题有加分鼓励。
例题解析
如图，已知AD，AE分别为三角形ABC的高和中线， AB=6cm，AC=8cm，BC=10cm，∠CAB=90°，试求：（1）△ABE的面积；（2）△ACE和△ABE的周长的差。
课堂练习
1、下列说法正确的是（ B ） A．三角形三条高都在三角形内 B．三角形三条中线相交于一点 C．三角形的三条角平分线可能在三角形内，也可能在三角形外 D．三角形的角平分线是射线
2.填空：（1）如图（1），AD，BE，CF是ΔABC的三条中线，则
AB=2__A__F_____，BD= __C__D_____ ，AE= _________ 。
（2）如图（2）， AD，BE，CF是ΔABC的三条角平分线，则∠1= ____∠__2___, ∠3= _________, ∠ACB=2 ___∠_4____。

人教版数学八年级上册11.1知识点解读：三角形的高、中线与角平分线

知识点解读：三角形的高、中线与角平分线知识点1：三角形的高、中线、角平分线〔掌握〕知识详析：三角形的高：三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段．高的表达方法〔右图〕：①的高；是ABC AD ∆ ②;D BC AD ，垂足为⊥③ 90=∠=∠CDA BDA BC D 上，且点在三角形的中线：三角形中，连结一个顶点和它对边中点的线段．几何语言：〔右图〕AD 是△ABC 的边BC 上的中线．逆向推理：假设AD 是△ABC 的中线，那么D 是边BC的中点．三角形的角平分线：三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角顶点与交点之间的线段．几何语言〔图3〕：假设∠1=∠2，那么AD 是∠BAC 的角平分线．逆向推理：假设AD 是角平分线，那么∠1=∠2．【典例】1.三角形的高、中线和角平分线是代表线段还是代表射线或直线?解析：这是最根本，也最易混淆的根底知识，需要牢记掌握．我们可以根据三角形的高、中线和角平分线的概念定义知道它们既不是射线，也不是直线，而均表示线段．2.如图，在△ABC 中，AE ，AD 分别是BC 边上中线和高，〔1〕说明△ABE 的面积与△AEC 的面积有何关系？〔2〕你有什么发现？解析：关于三角形的面积，后面我们将要学到，三角形的面积公式为底乘高的一半．此时我们可以了解到同高等底的两个三角形的面积相等，三角形的中线图3 A BC D 1 2 D C B A把三角形分成两个面积相等的三角形．故△ABE的面积与△AEC的面积相等．知识点2：三角形的重心、垂心、内心、外心、旁心〔了解〕知识详析：重心是三条中线的交点，它到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍．垂心是三条高的交点，它能构成很多直角三角形相似．内心是三条角平分线的交点，它到三边的距离相等．外心是三条边垂直平分线的交点，它到三个顶点的距离相等．旁心是一个内角平分线与其不相邻的两个外角平分线的交点，它到三边的距离相等．【典例】在△ABC中，边BC上的中线AD等于9cm，那么这个三角形的重心G 到顶点A的距离是____cm．解析：根据重心的概念得出AG=2DG，即可得出答案．由AD等于9cm，故重心G到顶点A的距离是6cm．。

人教版八年级数学上册第十一章三角形的高、中线与角平分线

A.16
B.18
C.20
D.22
例7：如图，AD是△ABC的中线，BE是△ABD的中线，EF⊥BC 于点F.若S△ABC＝24，BD＝4，则EF的长为___3_____．
例8：如图，在△ABC中，BC＝8，AB＝1. (1)若AC的长是整数，求AC的长； (2)已知BD是△ABC的中线，若△ABD的周长为10，求△BCD的周长．
知识点3：三角形的角平分线（重点）
1.三角形的角平分线：在三角形中，一个内角的平分线和它所对的边相交于一点，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线. 2.符号语言：
如图，∵AD 是△ABC 的角平分线， ∴∠BAD＝∠CAD＝12∠BAC.
3.三角形的三条角平分线都在三角形的内部，并且三条角平分线交于三角形内一点.
11.1与三角形有关的线段
11.1.2 三角形的高、中线与角平分线
1.通过阅读课本掌握三角形的高、中线、角平分线的定义，在由图叙述定义的过程中，培养严谨的语言表达能力.
2.通过分析定义掌握三角形的高、中线、角平分线的画法，发展学生的动手画图能力.
3.运用三角形的高、中线、角平分线的定义解决有关问题，培养学生解决问题的能力.
∠EDB.∴ED＝EB. 同理可得FD＝FC，∴AB＋AC＝AE＋BE＋AF＋FC＝AE＋ ED＋AF＋FD＝AE＋AF＋EF＝△AEF的周长＝30 cm
1.本节课我们学习了哪些知识？（三角形的高；三角形的中线；三角形的角平分线）
2.三角形的角平分线、高、中线都在三角形的内部吗？（三角形的角平分线、中线都在三角形内部，三角形的高不一定在三角形的内部）
3.分别作出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的三条边上的高，观察画出的图形，三角形高的位置有何特征？

人教版八年级数学上册11.1.2《三角形的高、中线与角平分线》教学设计

人教版八年级数学上册11.1.2《三角形的高、中线与角平分线》教学设计一. 教材分析《三角形的高、中线与角平分线》是人教版八年级数学上册第11.1.2节的内容。

本节主要介绍了三角形的高、中线与角平分线的概念及其性质。

通过学习，学生能够理解三角形的高、中线与角平分线的定义，掌握它们之间的关系，并能运用它们解决实际问题。

本节内容是学生进一步学习三角形和其他几何图形的基础，对于培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力具有重要意义。

二. 学情分析学生在学习本节内容前，已经学习了三角形的性质、角的度量等基础知识，对几何图形的认识有一定的基础。

但是，对于三角形的高、中线与角平分线的概念和性质，学生可能还不够熟悉。

因此，在教学过程中，需要通过实例和练习，帮助学生理解和掌握这些概念和性质。

三. 教学目标1.了解三角形的高、中线与角平分线的概念及其性质。

2.能够运用三角形的高、中线与角平分线解决实际问题。

3.培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。

四. 教学重难点1.三角形的高、中线与角平分线的概念及其性质。

2.运用三角形的高、中线与角平分线解决实际问题。

五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，通过引导学生思考和探究，激发学生的学习兴趣和积极性。

2.利用几何画板和实物模型，直观展示三角形的高、中线与角平分线的性质，帮助学生理解和掌握。

3.通过练习和问题解决，巩固所学知识，提高学生的应用能力。

六. 教学准备1.准备几何画板和实物模型，用于展示三角形的高、中线与角平分线的性质。

2.准备相关的练习题和实际问题，用于巩固和应用所学知识。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过提问方式引导学生回顾三角形的基本概念和性质，为新课的学习做好铺垫。

2.呈现（10分钟）利用几何画板和实物模型，展示三角形的高、中线与角平分线的定义和性质。

引导学生观察和思考，引导学生总结出三角形的高、中线与角平分线的性质。

3.操练（10分钟）让学生分组合作，利用几何画板和实物模型，进行三角形的高、中线与角平分线的操作练习。

人教版八年级数学上册11.1.2《三角形的高、中线与角平分线》教案

第十一章三角形11.1与三角形有关的线段11.1.2三角形的高、中线与角平分线一、教学目标1.理解三角形的高、中线、角平分线的概念，让学生感受数学的严谨性。

2.能正确作出一个三角形的高、中线、角平分线．提高学生动手操作及解决问题的能力二、教学重点、难点重点：了解三角形的高、中线及角平分线概念的同时还要掌握它们的画法难点：钝角三角形的高的画法及不同类型的三角形高线的位置关系．三、教学用具刻度尺、直尺、量角器四、相关资源三角形三线的动态演示五、教学过程（一）复习导入把一根橡皮筋的一端固定在△ABC的顶点A上，再把橡皮筋的另一端从点B沿着BC边移动到点C．观察移动过程中形成的无数条线段（AD，AE，AF，AG…）中有没有特殊位置的线段？你认为有哪些特殊位置？学生根据以往的经验积累，找到以下特殊位置的线段（AD，AE，AF）．设计意图：初步感知三角形的高、中线、角平分线，为下面抽象出它们的概念做准备．（二）探索新知1．教师布置学习任务，学生通过自学完成下表：设计意图：通过完成表格，使学生通过自主学习，掌握有关的概念．2．教师布置学习任务，要求学生按照三角形高线的定义分别画出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的高线，观察各个图形间的相同或不同点，并要求学生进行归纳．（1）任意画一个锐角△ABC，请你画出BC边上的高．（2）你能画出其他两边上的高吗？（3）通过画图你发现了什么？三角形的重要线段概念图形几何语言表示三角形的高线从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线段，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高∵AD是△ABC的BC上的高，∴AD⊥BC∠ADB=∠ADC=90°.三角形的中线三角形中，连接顶点和对边中点的线段叫做三角形的中线∵AE是△ABC的BC上的中线，∴BE=CE=12BC.三角形的角平分线三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点间的线段叫做三角形的角平分线∵AF是△ABC的∠BAC的角平分线，∴∠BAF=∠CAF=12BAC锐角三角形的三条高交于同一点．（4）锐角三角形的三条高是在三角形的内部还是外部？锐角三角形的三条高都在三角形的内部．（5）画出直角三角形的三条高，它们有怎样的位置关系？直角三角形的三条高交于直角顶点．直角边BC边上的高是AB；直角边AB边上的高是CB；斜边AC边上的高是BD．（6）钝角三角形的三条高交于一点吗？钝角三角形的三条高不相交于一点．（7）它们所在的直线交于一点吗？钝角三角形的三条高所在直线交于一点．学生操作，观察，交流，归纳．归纳：三角形的三条高的特性：锐角三角形直角三角形钝角三角形高在三角形内部的数量 3 1 1 高之间是否相交相交相交不相交高所在的直线是否相交相交相交相交三条高所在直线的交点的位置三角形内部直角顶点三角形外部三角形的三条高所在直线交于一点．在此过程中，教师要关注学生能否正确地画出钝角三角形的高，这是本节课的难点．设计意图：通过学生的动手操作、交流，讨论掌握三角形高线的画法，通过进一步观察，归纳得出三角形高线的特性．3．类似地，要求学生按照三角形中线与角平分线线的定义分别画出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的中线与角平分线，观察各个图形间的相同或不同点，并要求学生进行归纳．结论：三角形的三条中线在三角形的内部交于一点．结论：三角形的三条角平分线在三角形的内部交于一点．设计意图：类比三角形的高的探究，得出三角形中线、角平分线的画法和相关性质，培养学生的观察与概括能力，体验学习数学的过程．（三）课堂练习1．三角形的三条高在（）．A ．三角形的内部B ．三角形的外部C ．三角形的边上D ．三角形的内部、外部或边上2．如图，BO ，CO 分别平分∠ABC 和∠ACB ，∠A ＝40°，则∠BOC ＝．3．如图，AD 是△ABC 的中线，则ABD S △ ACD S △．学生独立完成．答案：1．D．2．110°．3．＝．设计意图：通过练习，加深对三角形的高、中线、角平分线的认识．六、课堂小结1．三角形的高、中线、角平分线等有关概念及它们的画法．2．三角形的高、中线、角平分线的几何表达及简单应用．注意：（1）每个三角形都有三条高、三条中线、三条角平分线．（2）三角形的三条高交于一点：锐角三角形的高交于三角形内一点，直角三角形的高交于直角的顶点，钝角三角形的高交于三角形外一点．三角形的三条中线交于三角形内一点，三角形的三条角平分线也交于三角形内一点．（3）三角形的高、中线、角平分线都是线段．（4）能将三角形的面积平均分成两部分的线是三角形的中线．设计意图：通过小结，使学生梳理本节所学内容，培养学生总结概括的能力．七、板书设计11.1.2三角形的高、中线与角平分线三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线段，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高三角形的中线：三角形中，连接顶点和对边中点的线段叫做三角形的中线三角形的角平分线：三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点间的线段叫做三角形的角平分线三角形的高、中线、角的平分线的作法。

人教版八年级数学上册11.1.2三角形的高、中线与角平分线教学课件(共68张PPT)

，，
如图，△ 的三边分别为____________，

顶点的对边是___；∠
的对边是___.

，，
如图，△ 的三边分别为____________，

顶点的对边是___；∠
的对边是___.

，，
如图，△ 的三边分别为____________，
边的高线是在△ 的外部，还是内部呢？

画一画
你能画出此三角形边上的高线吗?
发现：边上的高在△ 的外部.
边的高线是在△ 的外部，还是内部呢？

画一画
你能画出此三角形边上的高线吗?
发现：边上的高在△ 的外部.
三角形的高线定义
(________________)

画一画
你能画出此三角形边上的高线吗?

画一画
你能画出此三角形边上的高线吗?

画一画
你能画出此三角形边上的高线吗?

画一画
你能画出此三角形边上的高线吗?
发现：边上的高在△ 的外部.
三角形的高.

三角形的高
定义
垂线，
从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作_____
顶点垂足
线段
_____和_____之间的_____叫做三角形的高线，简称
三角形的高
符号语言
∵ 是△ 的高，（已知）
三角形的高线定义

人教版八年级数学上册11.1.2 三角形的高、中线与角平分线课件

的中线.
D C ∴ BD=CD= ½BC.
A ∵.AD是△ABC的
2 1 ∠BAC的平分线
D C ∴ ∠1=∠2= ½ ∠BAC
谢谢欣赏!
︶1 2
B
●
D
C
三角形的三条角平分线相交于一点,交点在三角形的内部
任意画一个三角形,然后利用量角器画出这个三角形三个角的角平分线,你发现了什么?
角平分线的理解：
A
∵BE是△ABC的角平分线
∴∠_A_B__E=∠__C_B_E_= 1 _∠_A_B_C_
F
E
O
2
∵CF是△ABC的角平分线
∴∠ACB=2_∠__A_C_F_=2_∠_B_C__F_B
D
C
三角形的角平分线与角的平分线
有什么区别？
思
考
三角形的角平分线是一条线段 , 角的平分线是一条射线
点击重点
如图,在⊿ABC中, ∠1=∠2,G为AD中点,延长 BG交AC于E,F为AB上一点,CF⊥AD于H,判断下列说法那些是正确的,哪些是错误的.
①AD是⊿ABE的角平分线 ( × )
ALeabharlann FBCE
三角形的高的表示法
A
B
D
C
∵AD是△ ABC的高 ∴∠ BDA = ∠ CDA =90°
从三角形中的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形这边的高。
三角形的三条高的特性：
锐角三角形
高在三角形内部的数量高之间是否相交
高所在的直线是否相交
3 相交相交
D
A
(D)
2、如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个
顶点，那么这个三角形是（）B

人教版八年级数学上册11.三角形的高、中线与角平分线课件

由△ABC的面积公式可知,
1 2
AD·BC＝
1 2
BP·AC.
代入数值，可解得BP＝
24 5
.
方法总结
面积法的应用：若涉及两条高求长度，一般需结合面积(但不
求出面积)，利用三角形面积的两种不同表示方法列等式求解.
新课讲解
2 三角形的中线
问题1：如图，如果点C是线段AB的中点，你能得到什么结论？
A 答：相等，因为两个三角形等底同高，所以它们面积相等.
问题4 ：通过问题3你能发现什么规律？B
DE C
答：三角形的中线能将三角形的面积平分.
新课讲解
例2 如图，在△ABC中，E是BC上的一点，EC＝2BE，点
D是AC的中点，设△ABC、△ADF和△BEF的面积分别为 S△ABC 、 S△ADF和S△BEF，S△ABC＝12，求S△ADF－S△BEF的值.
三角形一个内角的平
三角形的分线与它的对边相交,
角平分线这个角顶点与交点之
间的线段
B
A ∵.AD是△ABC的∠BAC
2 1 的平分线，
∴ ∠1=∠2= ∠BAC
DC
随堂即练
1．下列说法正确的是 A．三角形三条高都在三角形内
（B ）
B．三角形三条中线相交于一点
C．三角形的三条角平分线可能在三角形内，也可
垂足为D,所得线段AD叫做△ABC的边BC上的高.
注意:标明垂直的记号和垂足的字母.
问题2 ：由三角形的高你能得到什么结论？
∠ADB= ∠ADC=90 °
B
垂足
01 23 4 5
01 23 4 5
A
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

人教八年级数学上册《三角形的高、中线、角平分线课件》课件

A ●
∴∠ BAD = ∠ CAD = ２１∠BAC
︶1 2
三角形的三条角B平分线D●相交于 C 一点,交点在三角形的内部
任意画一个三角形,然后利用量角器画出这个三角形三个角的角平分线,你发现了什么?
三角形的角平分线与角的平分线有什么区
别？
思
三角形的角平分线是一条线段 , 角的平分线是
考
一条射线
你还记得 “过一点画已知直线的垂线” 吗?
画法
0 1 2 0 3 1 4 205 31 42 53 4 5
过三角形
的一个顶点，你能画出
它的对边的垂线吗?
A
B
C
三角形的高
如图, 线段AD是BC边上的高. B
注意 ! 标明垂直的记号和垂足的字母.
B
A
01 23 4 5
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
F
E
F 12 E
B
D
C
图1
B
3 D
4
C
图2
2.如图1所示,在△ABC中,∠ACB=90°,把 △ABC沿直线AC翻折180°,使点B 落在点 B′的位置,则线段AC具有性质( ) A.是边BB′上的中线 B.是边BB′上的高 C.是∠BAB′的角平分线
A
D.以上三种性质合一
B C B'
3.如图2所示,D,E分别是△ABC的边AC,BC的中点, 则下列说法不正确的是( )
①在相应顶点的对边的延长线上 ②在钝角的对边上
在三角形外部
D P
E
F
Q
R
想一想
分别指出图中△ABC 的三条高。
A
A
D
B

数学人教版八年级上册11.1.2三角形的高线、中线、角平分线教案

教案设计2015.5.22学校厦门双十中学思明分校设计者周高香学科数学课题11.1.2 三角形的高线、中线、角平分线课型新授课章节第十一章第一节年级初一教学目标知识与技能：理解三角形的高、中线和角平分线的概念，掌握它们的画法及其位置特征，能够用符号语言、图形语言解释三角形的三线.过程与方法：通过观察、作图等实践操作，让学生感受到三角形的高、中线、角平分线在数量上、位置上的特殊性，并能应用这些特殊性解决相关问题.情感态度与价值观：通过问题的解决，培养学生举一反三、分类讨论的迁移能力，进一步培养学生的合作精神.重点难点重点：理解三角形的高、中线和角平分线的概念及其特殊性，掌握画法，能用符号语言、图形语言解释三角形的高、中线和角平分线.难点：理解三角形的高、中线和角平分线的特殊性，并灵活应用其特殊性解决问题.教材分析初中阶段，学生主要研究平面图形的相关问题，其中最基本的图形是三角形，而三角形对初一的学生而言并不陌生，在学生以感性认识三角形的图形基本上，进入本节课的研究对象. 通过具体的作图操作，让学生理解三角形三线的特殊性，不仅表现在数量上，在位置上如是.课中，鼓励学生主动参与，理解概念及研究方法，为以后研究更多的平面图形问题奠定方法.教学策略教师引导——构建知识框架，提出新问题——分析问题、形成概念、发现规律——解决问题——迁移方法——模仿学习．教学资源附学案一份教学媒体多媒体教学过程设计教学环节教师活动学生活动设计意图和活动目标（一）新课引入（多媒体展示）在初中阶段，我们主要研究平面图形，边和角是它组基本的要素。

今天，我们要进入平面图形特殊线段的研究，平面图形那么多，我们先以其中最基本的三角形作为研究对象，来研究与它相关的特殊线段. 我们把这个研究方法学会了，以后还可以迁移来学习其他平面图形的特殊线段问题。

三角形有三条边、三个角，我们先来研究边，待会再来研究角。

先以BC边：与BC相关的直线有哪几种位置关系？与BC边相交的，有哪几种情况？平行、相交（垂直或斜交）构建初中图面图形研究的基本框架，并引出们节课的研究对象。

人教版八年级(初二)上册数学三角形的高、中线、角平分线

学习内容11.1.2 三角形的高、中线与角平分线人教版八年级上册课型新授课班级初二时间学习目标 1.理解三角形的高、中线与角平分线等概念;2.会用工具画三角形的高、中线与角平分线;3.了解三角形的三条高、三条中线与三条角平分线分别相交于一点.重点三角形的高、中线与角平分线的定义.难点对直角三角形和钝角三角形的三条高的认识和理解.一、自学任务单：1.能理解三角形的高、中线与角平分线等概念吗？2.会用工具画出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的高、中线与角平分线吗？二、自主学习：知识点1：三角形的高(1)定义的线段叫做三角形的高线,简称三角形的高. （2）请画出下列三角形的高归纳：锐角三角形有条高，它们相交于一点，交点在三角形，钝角三角形有条高，它们相交于一点，交点在三角形，直角三角形有条高，它们相交于一点交点在。

知识点2：三角形的中线（1）定义：。

（2）画出下列三角形的中线（1）（2）（3）（3）在一个三角形中，有几条中线？它们的位置又如何呢？（重心）知识点3：三角形的角平分线（1）定义：（2）画出下列三角形的角平分线（1）（2）（3）（3）在一个三角形中，有几条角平分线？它们的位置又如何呢？（内心）三、合作展示：1.如图所示，画△ABC的一边上的高，下列画法正确的是（）．2．下列说法：①三角形的角平分线、中线、高线都是线段；•②直角三角形只有一条高线；③三角形的中线可能在三角形的外部；④三角形的高线都在三角形的内部，并且相交于一点，其中说法正确的有（）．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个3.如图，D、E是边AC的三等分点，图中有个三角形，BD是三角形中边上的中线，BE是三角形中________上的中线；4.如图，已知∠1=∠BAC，∠2 =∠3，则∠BAC的平分线为，∠ABC21的平分线为 .5.如图，过点A画BC边的高AD、角平分线AE和中线AF，写出图中所有相等的角和相等的线段。

四、师生反思：五、当堂检测：1.三角形的三条高在（）A.三角形的内部B. 三角形的外部C.三角形的边上D.三角形的内部，外部或边上2．三角形的角平分线是（）．A．直线 B．射线 C．线段 D．以上都不对3.下列说法正确的是（）①平分三角形内角的射线叫做三角形的角平分线；②三角形的中线，角平分线都是线段，而高是直线；③每个三角形都有三条中线，高和角平分线；④三角形的中线是经过顶点和对边中点的直线。