异面直线上两点间的距离

}
θ
}
}
EG ⊥ FG 在Rt EFG中: 在 三角形A’FG 中
}
EF = EG + FG
2 2
2
2
FG
= A'G + A'F 2 A’F A’GCOS(
2 2
θ)
EF
2
= EG + A'G + A' F 2 A' GA' FCOS (θ )
2 2 2
代入数值： EF =
m
m
2
2
+ n + d 2mn cos(θ )
EFG 为 Rt
EF为斜边 EF>EG EG=AA’ EF>AA’
}
E
A
a P θ Q c b F
}
G
A’
如图在二面角为60 的棱上有两个点A,B,AC,BD 60‘的棱上有两个点A,B,AC,BD分别为在这 例3: 如图在二面角为60 的棱上有两个点A,B,AC,BD分别为在这 个二面角 的两个面内垂直于AB的直线;已知 AB=4,AC=6,BD=8, 的两个面内垂直于AB的直线; AB的直线 CD的长 求CD的长 解： AC ⊥AB BD⊥ AB C 二面角为60
D
C
CE=
6
B
E
F D C
把长，宽各为4，3的长方形ABCD沿对角线折成直二面角， D C 求顶点B和D的距离 提示：分别BE,DF作垂直于AC A B F D B
A
E
C
练习: 1. 2 见测试第181页一(3 ) 见测试第182页 (6) A E C F B D
提示:分别作CE,DF垂直于AB
⊥
⊥
AC=1 BD=1 CD=1 求二面角A-CD-B的平面角 的余弦值 结果: -0.5
P A C D B L Q
A 例5:如图:三角形ABC是边长为4的正三角形 E E为AB的中点,D为BC的中点 B 把三角形ABC沿AD折成60的二面角B-AD-C 求CE的长 提示:作EF AD于F,CE可看成异面直线EF和CD上的两点间距离 A
{
}
AC,BD所成的角为60 A D
AB为 AC，BD的公垂线 由公式代入数值即可算 出CD的长
B
CD=2 17 想一想：从此题能得到什么结论： 当两异面直线分别在二面角的两个半平面，它们的公垂 线在二面角的棱上时，公式中的 是二面角的平面角
θ
例4， 如图：长为2的线段AB夹在两个相交的平面之间； L, BD L AC
(1) 两个平面垂直的判定定理 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,则这两个平 面垂直 (2) 两个平面垂直的性质定理 如果两个平面垂直,则在一个平面内垂直交线的直线,垂 直于另一平面
练习: 如图 长方体的长，宽分别为 和 长方体的长，宽分别为3和4, (1) 求证： 面A’B’C’D’ 求证： 面BB’D’D E D A HF B C D’ A’ B’ C’
A’ F b
解： 设经过b与a平行的平面为P，经过a与AA’的平面为Q a//c 且 P IQ=c b,c所成的角为 θ a,b所成的角为 AA’⊥c Q AA’⊥b AA’ ⊥平面 P A Ea 平面Q ⊥ 平面 P 在平面Q内作EG c ⊥ θ EG ⊥ 平面 P Gc A’ Fb P 连FG FG
证明： BB’ 面A’B’C’D’ BB’ 面 BB’D’D 故 面A’B’C’D’ 面BB’D’D （2）求异面直线 ）求异面直线AA’和BD的距离 和 的距离
提示:过A作BD的垂线AH,则AH即是
问题：分别在AA’和BD取一点E和F，如何求EF的长
例2： 如图 ： 已知a,b为异面直线 为异面直线,a,b所成的角为 , AA’为公垂线 为公垂线, 已知 为异面直线 所成的角为 为公垂线 E,F分别 为上的点 分别a,b为上的点 分别 为上的点,AE=m,A‘F=n,求EF的长 求 的长 A E a
2 2
如果E,F分布在AA’的两侧:
EF = +
n
2
+
d
2
+ 2 mn cos( θ )
E
A
a P θ Q c b F
G
A’
EF =
d +m +n
2
2
2
± 2mn cos(θ )
（1） 如果指明两点分布在公垂线的同侧或异侧 1 则正负号 只取其一 （2） 如果没有指明两点位置，则需分两种情况来讨论
（3） 此公式还可以用来求两异面直线间距离和所成的角
练习
：
设两条电线所在的直线是异面直线，它们的距离是1， ° 60 ， 所成的角是 这两条电线上各有一点，距离公垂线的垂 足都是10，求这两点的距离 结果： 两点分布在公垂线的同侧 两点分布在公垂线的异侧
1分别在两条异面直线 两条异面直线的距离，是分别在两条异面直线 两条异面直线的距离 上的两点的距离中最小的