数学实验-数列极限与函数极限
数学分析习作-数列极限与函数极限的异同
云南大学数学分析习作课（1）读书报告题目：数列极限与函数极限的异同（定义，存在条件，性质，运算四方面的对比）学院：物理科学技术学院专业：数理基础科学姓名、学号：任课教师：时间： 2009-12-26 摘要极限是数学中极其重要的概念之一，极限的思想是人们认知数学世界解决数学问题的重要武器，是高等数学这个庞大的数学体系得以建立的基础和基石；极限在数学中处于基础的地位，它是解决微积分等一系列重要数学问题的前提和基础；极限是一种思维，在学习高数时最好理解透彻了，在线代中没什么用.但是概率中用的比较多，另外物理中许多都用到了极限的思维，它也能帮助更好的理解一些物理知识；在高等数学中，极限是一个重要的概念，极限可分为数列极限与函数极限，下面是关于两种极限的简要联系与说明。
关键词：数列极限与函数极限的定义，存在条件，性质，运算一数列极限与函数极限的定义1、数列与函数：a、数列的定义：数列是指按自然数编了号的一串数：x1，x2，x3，…，x n，….通常记作{x n}，也可将其看作定义在自然数集N上的函数x n=N(，),nnf∈故也称之为整标函数。
b、函数的定义：如果对某个范围X内的每一个实数x，可以按照确定的规律f，得到Y内唯一一个实数y和这个x对应，我们就称f是X上的函数，它在x的数值（称为函数值）是y，记为)fy=。
(x(xf，即)称x是自变量，y是因变量，又称X是函数的定义域，当x遍取X内的所有实数时，在f的作用下有意义，并且相应的函数值)f的全体所组成的范围叫作(x函数f 的值域，要注意的是：值域不一定就是Y ，它当然不会比Y 大，但它可能比Y 小。
2、 （一） 数列极限的定义：对数列}{x n ，若存在常数A ，对N n N >∀∈∃>∀,N ,0ε，有ε<-A xn，则称数列收敛且收敛于A ，并称数列}{x n的极限为A ，记为xnn lim ∞→=A.例1.试用定义验证：01lim =∞→nn .证明：分析过程，欲使,101ε<=-nn只需ε1>n 即可，故εεε<->∀+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=∃>∀01:,11,0n N n N .例2.试用定义验证：).11(lim <<-=∞→q n证明：分析过程.欲使[]ε<=-nn q q 0，只需qn lg lg ε>（注意0lg <q ）。
浅析数列极限与函数极限的异同
浅析数列极限与函数极限的异同1 数列极限关于数列极限，先举一个我国古代关于数列的例子。
《庄子—天下篇》中：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。
”其含义是：一根长为一尺的木棒，每天取下一半，这样的过程可以永远进行下去。
不难看出，其通项{ }随着天数n的增大而无限地接近于0。
在这一思想的指引下，教材给出了数列极限的精确定义：设{An} 为数列，a 为定数，若对任给的正数ε（无论它多么小），总存在正整数N，使得当nN 时，有∣An-a∣<ε ，则称数列{an} 收敛于a，定数a 称为数列{an} 的极限。
其中ε的作用在于衡量数列通项{an} 与定数a的大小，ε越小，说明{an} 与a 的接近度越好。
由于ε的任意性，可以小到任意小（但须大于0），故可以理解为数列通项{an} 无限地接近定数a；而n的作用在于不管给定多么小的正数ε，总能保证存在大于n后的每一项都和a无限接近，而不在乎前面有限项与a的接近程度，在于刻画n→+∞这一过程。
其中，由于n是正整数，不可能取负值，故其趋近方式只有一种，即趋于+∞，但是极限值可以取实数r，故极限值有a、∞、+∞、—∞这4种值，因此，总的来说，数列极限只有4种类型。
< p></ε>2 函数极限对于函数极限，先分析一下自变量x的趋近方式，由于x是取自全体实数，故趋近方式不仅有上述数列中所提及的+∞，还可以是∞、—∞，相比数列极限，更特殊的是还可以趋于某一点x0，或者x0的左侧、右侧（即单侧极限）趋近。
故自变量x的趋近方式共有6种，而极限值和数列极限完全一样，有4种。
因此，函数极限共24种类型。
比如，拿x→+∞，f（x）→a为例，其精确定义如下：对于任意给定的正数ε（无论它多么小），总存在正数M ，使得当xM时有|f （x）-a|<ε ，那么常数a就叫做函数f（x）当x→+∞时的极限值。
该定义和数列极限的定义有相同之处，其中的ε也是和数列极限中的ε相同，用于衡量f（x）与a的接近程度；正数m的作用也与数列极限定义中的n相类似，说明x充分大的程度，但这里考虑的是比m 大的所有实数x，而不仅仅是数列极限中的正整数n，这是和数列极限定义中最本质的区别。
数列极限与函数极限的关系
数列极限与函数极限的关系数列和函数是数学中重要的概念，它们之间存在着密切的联系。
数列极限与函数极限是数学中的两个基本概念，它们之间有着紧密的关系。
本文将分别从数列极限和函数极限两个方面展开讨论，并阐述它们之间的关系。
一、数列极限数列是按照一定规律排列的一系列数的集合。
数列中的每个元素称为项，用{a_n}表示。
数列有着重要的性质，其中之一就是数列的极限。
数列{a_n}的极限，记作lim(n→∞)a_n = A，表示当n趋向于无穷大时，数列的项a_n无限接近于A。
其中，A称为数列的极限值。
一个数列有极限存在，意味着数列的项在某个值上趋于稳定。
通过数列的极限，我们可以推导数列的性质和规律，从而解决各种数学问题。
二、函数极限函数是数学中常见的一种概念，函数的极限是指当自变量趋近于某个值时，函数值的变化趋势。
函数极限在微积分中有着重要的应用，是求导、求积分等运算的基础。
设函数f(x)在点x=a的某个邻域内有定义，如果对于任意给定的正数ε，总存在正数δ，使得当0<|x-a|<δ时，有|f(x)-A|<ε，那么就称函数f(x)在x=a处的极限存在，记作lim(x→a)f(x) = A。
其中，A称为函数的极限值。
函数极限可以帮助我们研究函数的性态以及函数在某个点上的表现，从而解决各种数学问题。
三、数列极限与函数极限是密不可分的。
事实上，数列极限是函数极限的一种特殊情况。
对于一个数列{a_n}，我们可以构造一个函数f(x)，使得当x取整数时，f(x)的值与数列{a_n}的对应项相等。
换句话说，数列{a_n}可以看作是函数f(x)在整数点处的取值。
当数列{a_n}的极限存在时，函数f(x)在整数点处的极限也存在，并且两者的极限值相等。
即lim(n→∞)a_n = lim(x→∞)f(x)。
这个关系可以帮助我们从函数的角度来理解和研究数列的性质。
通过函数的极限性质，我们可以更加深入地理解数列的收敛性和发散性。
函数极限与数列极限的关系
使得其后的所有项都位于这个开区间内，而在该区间之外，最多只有{an}的有限项(N项).对于正整数N 应该注意两点:其一，N是随着ε而存在的，一般来讲，N随着ε的减小而增大，但N不是唯一存在的;其二，定义中只强调了正整数N的存在性，而并非找到最小，我们只关注第N项以后的各项均能保持与常数a的距离小于给定的任意小正数ε即可. 的N2(性质收敛数列有如下性质:(1)极限唯一性;(2)若数列{an}收敛，则{an}为有界数列;(3)若数列{an}有极限A，则其任一子列{ank}也有极限A;(4)保号性，即若极限A>0，则存在正整数N1，n>N1时an>0;(5)保序性，即若，且A<B，则存在正整数N1，使得n>N1时an<bn，反之亦成立.定理1 (收敛数列与其奇、偶项数列间的关系)数列{an}收敛于a的充分必要条件是它的奇数项数列{a2k-1}和偶数项数列{a2k}都收敛，且收敛于a.函数极限 1(定义(1)自变量趋于有限值时函数的极限:-函数f(x)在点x0的某一去心邻域内有定义，如果对于任意给定的正数ε(无论它多么小)，总存在正数δ，使得对于满足不等式的一切x，对应的函数值f(x)都满足不等式，则常数A为函数f(x)在x?x0时的极限，记作上述定义的几何意义是:将极限定义中的四段话用几何语言表述为1对:任意以两直线为边界的带形区域;2总:总存在(以点x0位中心的)半径;3当时:当点x位于以点x0位中心的δ空心邻域内时;4有:相应的函数f(x)的图像位于这个带形区域之内. (2)自变量趋于无穷大时函数的极限:设函数f(x)在|x|大于某一正数时有定义，如果任给ε>0，总存在着正数Χ，使得对于适合不等式|x|>Χ的一切x，对应的函数值f(x)都满足不等式|f(x)-A|<ε，则称常数A为函数f(x)当x??时的极限，记作并称y=A为函数y=f(x)的图形的水平渐近线.2(性质(1)极限唯一性;(2)局部有界性若存在，则存在δ1>0，使得f(x)在去心邻域内是有界的，当x趋于无穷大时，亦成立;)局部保号性 (3若，则存在δ1>0，使得时，f(x)>0，当x趋于无穷大时，亦成立;(4)局部保序性若，，且A<B，则存在δ1>0，使得时f(x)<g(x)，当x趋于无穷大时，亦成立.定理2 函数f(x)当x?x0时，极限存在的充分必要条件是函数f(x)当x?x0时的左、右极限都存在些相等，即利用定义证明极限下面介绍用“ε-δ(或N)”证明极限的一般步骤.1.极限值为有限的情形:(1)给定任意小正数ε;(2)解不等式或，找δ或N;(3)取定δ或N;(4)令或，由或成立，推出或.2. 极限值为无穷大的情形(仅以极限为+?与自变量为例): ) 给定任意大正数G; (2) 解不等式; (3) 取定; (4)令，由成立，推出. (1利用极限的定义证明问题关键是步骤(2)，应该非常清楚从哪一种形式的不等式推起，最后得到一个什么形式的式子，由此即可找到所需要的(或N). 极限存在准则1(夹逼准则 (1)数列极限的夹逼准则如果数列{an}，{bn}及{cn}满足下列条件:1存在N，n>N时，bn?an?cn;2则数列{an}的极限存在，且 .(2)函数极限的夹逼准则(以x?x0和x??为例)如果1(或|x|>M)时，有2(或)，则(或)(3)一个重要不等式时，2(单调有界数列必有极限3(柯西(Cauchy)极限存在准则数列{an}收敛的充分必要条件是:对于任意给定的正数ε，存在着这样的正整数N，使得当m，n>N时，有|xn-xm|<ε. 数列极限与函数极限的联系数列可看作一个定义域为自然数集的函数,当自变量从小到大依次取自然数时,便得到相应的一系列函数值, 其解析表达式为an=f(n);函数是连续的,数列相当于一个函数中的一些独立的点，表现在图形上数列是无数的点，而函数是一段曲线;把数列中的n用x来替换后如果函数f(x)存在极限则数列也必定有极限，但是反之不成立。
数学实验-数列极限与函数极限
数学实验-数列极限与函数极限基础数列极限与函数极限一、实验目的从刘徽的割圆术、裴波那奇数列研究数列的收敛性并抽象出极限的定义；理解数列收敛的准则；理解函数极限与数列极限的关系。
二、实验材料1.1割圆术中国古代数学家刘徽在《九章算术注》方田章圆田术中创造了割圆术计算圆周率π。
刘徽先注意到圆内接正多边形的面积小于圆面积；其次，当将边数屡次加倍时，正多边形的面积增大，边数愈大则正多边形面积愈近于圆的面积。
“割之弥细，所失弥少。
割之又割以至不可割，则与圆合体而无所失矣。
”这几句话明确地表明了刘徽的极限思想。
以n S 表示单位圆的圆内接正123-?n 多边形面积，则其极限为圆周率π。
用下列Mathematica 程序可以从量和形两个角度考察数列{n S }的收敛情况：m=2;n=15;k=10; For[i=2,i<=n,i++, l[i_]:=N[2*Sin[Pi/(3*2^i)],k]; (圆内接正123-?n 多边形边长) s[i_]:=N[3*2^(i-1)*l[i]*Sqrt[1-(l[i])^2/4],k]; (圆内接正123-?n 多边形面积)r[i_]:=Pi-s[i]; d[i_]:=s[i]-s[i-1];Print[i," ",r[i]," ",l[i]," ",s[i]," ",d[i]]]t=Table[{i,s[i]},{i,m,n}] (数组)ListPlot[t] (散点图)1.2裴波那奇数列和黄金分割由2110;1;0--+===n n n F F F F F 有著名的裴波那奇数列}{n F 。
如果令nn n F F R 11--=，由n F 递推公式可得出 11111/11---+=+=+=n n n n n n n R F F F F F R ，]251251[5111++???? ??--???? ??+=n n n F ； 215lim lim 1-==+∞→∞→n n n n n F F R 。
d2_1数列的极限与函数的极限
充分大的程度
“ε - M 语言 ”定 义 ∀ε > 0 , ∃M > 0 , 当| x |> M 时， 恒有 | f ( x ) − A |< ε 成立， lim f ( x ) = A 成立， 则
x →∞
几何解释
| x |> M ⇔ x < − M , x > M
| f ( x ) − A |< ε ⇔ A − ε < f ( x ) < A + ε
极限。 数列 {xn } 以A为极限。 成立, 成立, 则称当 n → ∞ 时 ，
{x 收敛于数 或称数列 {xn } 收敛于数 A
记作: 记作: lim xn = A ,
n→ ∞
否则,称数列是发散的. 否则,称数列是发散的 发散
或 xn → A (n →∞).
" ε − N " 定义：
成立, 恒有 xn − A < ε 成立, ∀ε > 0, ∃N 自然数）当 n > N 时， , （自然数） 则 lim xn = A n→ ∞
20
提高题目 例3 设
1 x1 = 2 , L , xn = 1 + , xn −1
(n ≥ 2) ，求 lim xn n →∞
21
三、函数的极限
1、当 x → ∞ 时,函数f ( x ) 当 函数 限 的极
−∞
0
1
+∞
注意： 注意：
x→∞
x → +∞
x → −∞
22
1、
时函数 f (x)的极限 x →∞
{ }
1 2 3 4 5 n ,L 例如, 例如,数列 ( 1 ). , , , , ,L , 2 3 4 5 6 n+1 1 3 5 2k − 1 , , ,L , ,L 取奇数项: 取奇数项: 2 4 2k 6 2 4 6 2k , , ,L , ,L 取偶数项: 取偶数项: 3 5 7 2k + 1
函数极限与数列极限的关系
函数极限与数列极限的关系两者之间的联系虽然数列极限与函数极限是分别独立定义的,但是两者是有联系的。
海涅定理深刻地揭示了变量变化的整体与部分、连续与离散之间的关系,从而给数列极限与函数极限之间架起了一座可以互相沟通的桥梁。
它指出...2.两者之间的区别 1、从研究的对象看区别:数列极限是函数极限的一种特殊情况,数列是离散型函数。
而函数极限研究的对象主要是具有(哪怕局部具有)连续性的函数。
2、取值方面的区别:数列中的下标n仅取正整数.数字特性掌握一些最基本的数字特性规律，有利于我们迅速的解题。
（下列规律仅限自然数内讨论）（一）奇偶运算基本法则【基础】奇数±奇数=偶数；偶数±偶数=偶数；偶数±奇数=奇数；奇数±偶数=奇数。
【推论】1．任意两个数的和如果是奇数，那么差也是奇数；如果和是偶数，那么差也是偶数。
2．任意两个数的和或差是奇数，则两数奇偶相反；和或差是偶数，则两数奇偶相同。
（二）整除判定基本法则1．能被2、4、8、5、25、125整除的数的数字特性能被2（或5）整除的数，末一位数字能被2（或5）整除；能被4（或 25）整除的数，末两位数字能被4（或 25）整除；能被8（或125）整除的数，末三位数字能被8（或125）整除一个数被2（或5）除得的余数，就是其末一位数字被2（或5）除得的余数；一个数被4（或 25）除得的余数，就是其末两位数字被4（或 25）除得的余数；一个数被8（或125）除得的余数，就是其末三位数字被8（或125）除得的余数。
2．能被3、9整除的数的数字特性能被3（或9）整除的数，各位数字和能被3（或9）整除。
一个数被3（或9）除得的余数，就是其各位相加后被3（或9）除得的余数。
3．能被11整除的数的数字特性能被11整除的数，奇数位的和与偶数位的和之差，能被11整除。
（三）倍数关系核心判定特征如果a∶b=m∶n（m，n互质），则a是m的倍数；b是n的倍数。
浅谈数列极限与函数极限在解题中的区别和联系.甄选范文.
浅谈数列极限与函数极限在解题中的区别和联系.浅谈数列极限与函数极限在解题中的区别和联系摘要在数学分析中，极限的知识体系包括数列极限和函数极限。
在求解数列极限的方法中，我们从极限的定义出发，根据极限的性质以及相关的定理法则，例如单调有界收敛来论证极限；在求解函数极限时，其方法与数列极限有着相同之处，同时又有所区别。
本文重点在于分析数列极限与函数极限在解题中的相似之处与不同之处，同时研究数列极限与函数极限的关系。
关键词：数列极限；函数极限；区别；联系目录1 数列极限与函数极限在解题中的相似之处 (2)1.1 定义法在极限解题中的应用 (2)1.1.1 定义法概述 (2)1.1.2 定义法解题实例分析 (2)1.2 迫敛性在极限解题中的应用 (3)1.2.1 迫敛性概述 (3)1.2.2 迫敛性解题实例分析 (3)1.3 积分中值定理在极限解题中的应用 (4)1.3.1 积分中值定理概述 ..................................................... 4 1.3.2 积分中值定理实例分析 ............................................. 4 1.4 本章小结 ............................................................................. 4 2 数列极限与函数极限在解题中的不同之处 . (5)2.1 存在条件不同 (5)2.1.1 数列极限存在条件 ..................................................... 5 2.1.2 函数极限存在条件 ..................................................... 6 2.2 特殊形式的极限 .. (7)2.2.1 数列极限的特殊解法研究 ......................................... 7 2.2.3 两个重要形式的函数极限解法研究 .. (8)3数列极限与函数极限的关系 (9)3.1海涅定理 .............................................................................. 9 3.2海涅定理的应用 .................................................................. 9 4 结论 . (10)1 数列极限与函数极限在解题中的相似之处数列极限与函数极限在解题过程中，存在着很多的相似之处。
1.2数列和函数的极限
n2 1
n2 n
n2 1
又 lim n 1, lim n 1
n n2 n
n n2 1
根据夹挤定理，原式极限为1
(5)
lim (1
n
1 22
)(1
1 32
) (1
1 n2
)
解：1
1 k2
(k 1)(k 1) k2
k 1 k 1 kk
1 2n
0.
证 0,
由1 2n
0
1 2n
2n 1 ,可得
n
log
2
(
1
)(限定0
1).
N
1
[log 2( )]
1.
n N ,
有
1 2n
0
.
lim n
1 2n
0.
三、收敛数列的性质
性质1（唯一性） 若数列 {xn} 收敛，则其极限必唯一 . 性质2（有界性） 若数列 {xn} 收敛，则 {xn} 必有界 .
x : 0 x x0 , A f (x) A .
是任意小
当 x 在 U O (x0 , ) 时, y
y f (x)的图形完全 落在以直线 y A 为
A
A
A
y f (x)
中心线, 宽为 2 的带
形区域内.
o
x0 x0 x0
16 8
4
2
1
一、数 列
自变量为正整数的函数xn f (n) , n Z , 函数值按自变量n从小到大排成一列，表示为：
数列极限与函数极限
数列极限与函数极限数列极限与函数极限一、数列极限在数学分析中，数列是一组按照一定规律排列的数。
当数列中的数随着下标的增加趋近于某个确定的值，这个确定的值就叫做该数列的极限。
例如，数列{1, 1/2, 1/3, ... , 1/n}当n趋近于正无穷时，其极限为0。
数列极限的概念具有广泛的应用。
在微积分、实分析和复分析等领域，数列极限是基础性的概念。
我们可以通过研究数列极限性质，研究数学中最基本的概念和问题，如无穷级数、函数极限等。
二、函数极限与数列极限类似，函数极限也是数学分析中的重要概念。
当自变量x趋近于某个确定的值时，函数f(x)的值也随之趋近于某个确定的值，这个确定的值就叫做该函数的极限。
例如，当x趋近于0时，f(x) = 2x的极限为0。
函数极限的研究能使我们更好地理解和准确描述各种自然现象和科学实验。
高等数学中的导数和积分等概念都与函数极限密切相关。
三、函数极限和数列极限的联系函数极限和数列极限是大量数学理论的基础，这两者之间也存在着联系。
我们知道，当自变量x取无穷大或无穷小时，函数的极限可能存在，也可能不存在。
在这些无穷大或无穷小的情况下，函数极限可以用数列极限来表示。
具体来说，当x趋近于正无穷时，我们可以通过构造数列{f(x1), f(x2), f(x3), ...}，其中x1<x2<x3<...，使得该数列趋近于函数的极限L。
同理，当x趋近于负无穷时，我们也可以通过类似的方法得到函数极限。
此外，函数的导数和积分等重要概念也可以通过数列极限的思想表示和求解。
四、结语数列极限和函数极限是数学中极其重要的概念，无论在实际应用还是理论研究中都起着举足轻重的作用。
熟练掌握数列极限和函数极限的概念和性质，对于学习高等数学以及其他数学分支学科都有很大的帮助。
高中数学中的数列极限与函数极限
高中数学中的数列极限与函数极限数列极限和函数极限是高中数学中的重要概念，在数学分析中有着广泛的应用。
本文将介绍数列极限和函数极限的定义和性质，并通过示例和推导来加深理解。
一、数列极限的定义与性质数列是按照一定规律排列的数的序列，而数列极限则是指数列随着索引（通常是正整数）趋于无穷大时的极限值。
我们用符号来表示数列极限，记为lim(aa)=a，其中aa表示数列的第a项。
在数列极限的定义中，有两个重要的要素：趋于无穷大和极限值。
当数列的值越来越接近于某个常数a时，我们说数列的极限为a。
具体而言，对于任意给定的正实数a（ε），存在正整数a（N）使得当a>N 时，aa与a之间的差值小于a，即|aa−a|<a。
这种形式的定义表明数列极限的存在性和唯一性。
对于数列极限的性质，我们有以下结论：1. 常数数列的极限等于该常数本身：lim(a)=a，其中a为任意常数。
2. 收敛数列（即存在极限的数列）的极限唯一。
3. 若数列收敛，则数列必有界，即存在一个正数a（M），使得对于任意的a，都有|aa|≤a。
这个结论可以通过使用极限的定义及三角不等式来证明。
二、函数极限的定义与性质与数列极限类似，函数极限描述的是函数随着自变量趋于某个值时，函数值的变化趋势。
我们用lim(a→a)a(a)=a来表示函数极限，其中a(a)表示函数的表达式，a为自变量趋向的值，a为极限值。
函数极限的定义可以类比于数列极限的定义。
对于任意给定的正实数a（ε），存在正实数a（δ）使得当0＜|a−a|<a时，有|a(a)−a|<a。
这个定义表明函数极限的存在性。
与数列极限类似，函数极限也具有唯一性、局部有界性等性质。
此外，我们还有以下性质：1. 若lim(a→a)a(a)=a_1，lim(a→a)a(a)=a_2，则lim(a→a)(a(a)±a(a))=a_1±a_2。
2. 若lim(a→a)a(a)=a，则lim(a→a)aa(a)=aa，其中a为任意常数。
数列极限与函数极限的异同及其本质原因
数列极限与函数极限的异同及其本质原因数列极限与函数极限的异同及其本质原因数学中，极限是一个非常重要的概念，被应用在微积分、实分析等诸多领域，且有着不同的表现方式：数列极限和函数极限。
在学习过程中，我们不仅要了解数列极限和函数极限的异同，还要了解它们的本质原因。
一、数列极限与函数极限的异同数列极限和函数极限都是在无限趋近于某一值的过程中进行研究的，并且它们在一定程度上具有一些相似性，但是它们也有很多的区别。
1.定义数列极限：如果数列$a_1,a_2,a_3, \ldots, a_n, \ldots$当$n$趋近于无穷的时候逐步趋近于某个确定的常数$A$，则称常数$A$为数列$a_1,a_2,a_3, \ldots, a_n, \ldots$的极限，记为$\lim\limits_{n \to \infty} a_n=A$。
函数极限：如果当$x$无限趋近于某个确定值$x_0(x_0\in R)$ 的过程中，函数$f(x)$的取值{臶}次逐步趋向一个确定的常数$A$，则称常数$A$为函数$f(x)$在$x_0$处的极限，记为$\lim\limits_{x \to x_0}f(x)=A$。
在定义上，数列极限只考虑数列，而函数极限包含了更多的复杂性，因为函数可以属于不同的类型，数列只有一种。
2.表达式数列极限的表达式只包含$n$和$a_n$两个元素，形式上来说比函数极限简单，也容易理解。
函数极限的表达式不仅包含自变量$x$和函数$f(x)$，还要包括函数定义域中的其他变量，通常也需要一些不等式和符号。
“当$x\rightarrow x_0$时$f(x)\rightarrow A$”或者是“当$x\rightarrow x_0^+$时$f(x)\rightarrow A$，当$x\rightarrowx_0^-$时$f(x)\rightarrow B$”等等。
因此，函数极限的表达式更多元化，更丰富复杂。
3.图形表达数列极限用数列图简单直观地表现，当$n$趋近于无穷时，$a_n$逐渐趋向于某个数值$A$。
数列极限与函数极限比较
数列极限与函数极限是微积分中的两个重要概念，也是数学分析的基础内容之一。
虽然它们有着相似的定义和性质，但在实际应用中，两者之间存在着一些差异和联系。
本文将从数列极限和函数极限的定义、计算方法和比较等方面进行探讨。
首先，数列极限的定义是指当自变量趋近于无穷大时，数列的各项逐渐趋近于某一固定的值。
通常用符号“lim”表示，例如lim(1/n)=0。
而函数极限的定义是指当自变量趋近于某个特定的值时，函数值逐渐趋近于某一固定的值。
通常用符号“lim”表示，例如lim(x→0)(sin(x)/x)=1。
可以看出，数列极限和函数极限在定义上有所差异，但都是研究数值趋势的重要方法。
其次，计算数列极限和函数极限的方法也有一定的区别。
对于数列极限，可以通过递推公式或特殊的求和方法来计算。
例如，对于递推数列an=an-1+an-2，可以通过不断迭代前几项的值来逼近极限；对于等差数列an=a1+(n-1)d，可以通过求和公式Sn=(a1+an)n/2来直接计算极限。
而对于函数极限，一般通过代数运算、极坐标转换、夹逼准则等方法进行计算。
例如，要计算lim(x→0)(sin(x)/x)，可以通过将该函数转化为lim(x→0)(1/x)lim(x→0)(sin(x))，再利用夹逼准则来进行计算。
最后，数列极限与函数极限之间存在着一些比较的关系。
在实际应用中，可以利用数列极限与函数极限之间的比较来求取更为复杂的极限值。
例如，当计算函数极限时，可以把函数转化为数列的形式，再计算数列极限来求取函数极限。
这种方法称为“数列夹逼准则”。
例如，要计算lim(x→0)(x2sin(1/x))，可以令xn=1/n，再计算lim(n→∞)(xn2sin(1/xn))，由于1/n趋近于0，而x2sin(1/x)的极限值在0附近保持不变，所以得到lim(n→∞)(xn2sin(1/xn))=lim(n→∞)(1/n^2sin(n))=0。
通过这样的比较，可以简化极限问题的求解过程。
数列极限与函数极限
数列极限与函数极限数学中，极限是一个重要的概念，常常出现在数列和函数的研究中。
数列极限和函数极限都是描述数值序列或函数在某个变量趋近于某个特定值时的变化规律。
本文将分别介绍数列极限和函数极限的定义和性质，并举例说明其应用。
一、数列极限数列极限是指当数列的项随着序号无限增加时，数列的值逐渐趋近于一个确定的常数。
数列极限可以通过极限值的存在与否来判断。
设数列${a_n}$中的项为$a_1, a_2, a_3, \ldots$，若存在常数$A$，使得对于任意给定的正数$\varepsilon>0$，都存在正整数$N$，使得当$n>N$时，不等式$|a_n-A|<\varepsilon$成立，那么称$A$为数列${a_n}$的极限，记作$\lim\limits_{n \to \infty} a_n=A$。
对于数列极限，有以下常用性质：1. 极限的唯一性：若数列${a_n}$的极限存在，则极限是唯一的，即极限存在时，极限值是确定的。
2. 夹逼准则：若数列${a_n}$，${b_n}$和${c_n}$满足$a_n\leqb_n\leq c_n$，且$\lim\limits_{n \to \infty} a_n=\lim\limits_{n \to \infty}c_n=A$，那么$\lim\limits_{n \to \infty} b_n=A$。
这一性质可以帮助我们通过构造夹逼数列来求解某些复杂数列的极限。
3. 有界性：若数列${a_n}$的极限存在，则数列${a_n}$是有界的。
即存在正数$M$，使得对于任意的$n$，都有$|a_n|\leq M$。
二、函数极限函数极限是指当自变量趋近于某个特定值时，函数的取值逐渐趋近于一个常数。
与数列极限类似，函数极限也可以用极限值的存在与否来判断。
设函数$f(x)$在$x$趋近于$a$时的取值逐渐趋近于$A$，那么称$A$为函数$f(x)$当$x$趋近于$a$时的极限，记作$\lim\limits_{x \to a} f(x)=A$。
数列极限与函数极限的异同
数列极限与函数极限的异同数列极限与函数极限是数学中两个最常见的概念，它们都是研究数学中的极限问题。
不同之处在于，数列极限是对一个递增的数列进行考察，而函数极限是对某一特定函数在一个点上的极限进行考察。
下面我们将详细探讨数列极限与函数极限的异同。
一、数列极限与函数极限的定义数列极限是指当数列的项数趋于无穷大时，数列呈现出的一种稳定状态，即数列最终的趋势。
用符号表示就是lim(x→+∞)a_n=a，其中a_n是数列的第n项，a是一个常数，当n趋向于无穷大时，数列a_n趋向于a。
函数极限则是指当自变量趋近某一特定值时，函数在该点处的极限值。
用符号表示就是lim(x→a)f(x)=L，其中f(x)是函数，a是极限点，L是极限值。
当自变量x无限接近极限点a时，函数f(x)也无限接近于L。
二、数列极限与函数极限的相同点数列极限与函数极限都是研究极限的概念，其本质是一致的。
数列极限与函数极限都是研究极限的趋向性问题，即研究随着自变量越来越接近极限时函数或数列呈现出的最终趋势。
它们都涉及到极限值的存在性和唯一性，即当极限存在时，极限值是唯一的。
三、数列极限与函数极限的不同点数列极限与函数极限的主要差别在于它们所研究的对象不同。
数列极限是对一个递增的数列进行考察，而函数极限是对某一特定函数在一个点上的极限进行考察。
数列的性质只与下标有关，而函数的性质则与自变量的取值有关。
另外，数列的项难以直观地进行观察，而函数的图像能够更加形象地表示函数的性质。
因此，数列极限的研究往往是从一个数学公式开始进行研究，而函数极限的研究则可以通过函数的图像一目了然地探究函数的性质。
四、数列极限与函数极限的联系虽然数列极限与函数极限的研究对象不同，但它们之间也存在联系。
事实上，数列极限是函数极限的一种特例。
可以将数列看成是区间上的特殊函数，而数列极限可以看成是函数在正无穷时的极限。
因此，可以将函数极限的基本定义拓展至数列极限。
同时，在研究数列极限和函数极限时，我们都需要考虑到极限点的存在性和唯一性、趋势性等问题。
数列极限和函数极限
数列极限和函数极限极限概念是数学分析中最重要的概念，如连续、导数、积分等都要用极限来定义，而且由极限出发产生的极限方法，是数学分析的最基本的方法.更好的理解极限思想，掌握极限理论，应用极限方法是继续学习数学分析的关键.本文将主要阐述极限的概念、性质、判别方法等问题.1.极限定义1．1 数列极限定义设有数列{}n a 与常数A ，如果对于任意给定的正数ε（不论它有多么小），总存在正整数N ，使得当n N >时，不等式n a A ε-< 都成立，那么就称常数A 是数列{}n a 的极限，或者称数列{}n a 收敛于A ，记作lim n n a A →∞=.读作“当趋n 于无穷大时，n a 的极限等于A 或n a 趋于A ”.数列极限存在，称数列{}n a 为收敛数列，否则称为发散数列.关于数列极限的N ε-定义，着重注意以下几点：（1）ε的任意性: 定义中正数的ε作用在于衡量数列通项n a 与定数的a 接近程度越ε小，表示接近的越好.而正数可ε以任意的小,说明n a 与可a 以接近到任何程度，然而，尽管ε有其任意性，但一经给出，就暂时的被确定下来，以便依靠它来求出N .（2）N 的相应性: 一般说，N 随的ε变小而变大，由此常把N 写作()N ε，来强调N 是依赖与的ε，但这并不意味着N 是由ε所唯一决定的，重要的是N 的存在性，而不在于它值得大小.另外,定义中n N >的也可以改写成n N ≥.（3）几何意义:对于任何一个以A 为中心，ε为半径的开区间(),A A εε-+，总可以在数列{}n a 中找到某一项N a ，使得其后的所有项都位于这个开区间内，而在该区间之外，最多只有{}n a 的有限项（N 项）.数列是定义在自然数集上的函数,当自变量从小到大依次取自然数时,便得到相应的一系列函数值,其解析表达式为()n a f n =;我们把数列中的n 用x 来替换后就得到了一个函数()f x ,数列和函数的区别在于数列中的点是离散的,而函数是连续的,那么类似的我们也有函数极限的定义. 1．2 函数极限定义1.2.1 x →+∞时函数的极限：设函数()f x 为[),a +∞上的函数，A 为定数，若对任给的0ε>，总存在着正数()M a ≥，使得当x M >时有()f x A ε-<，则称函数()f x 当x 趋于+∞时以A 为极限，记作()lim x f x A →+∞=.即有()lim 0,0,,x f x A M x M ε→+∞=⇔∀>∃>∀>有()f x A ε-<.对应的,我们也有()()lim ,lim x x f x A f x A →∞→-∞==的相应的M ε语言成立.对于函数极限的M ε定义着重注意以下几点:（1）在定义中正数M 的作用与数列极限定义中的N 类似,表明x 充分大的程度；但这里所考虑的是比M 大的所有实数x ,而不仅仅是正整数n .（2）当x →+∞时,函数()f x 以A 为极限意味着: A 的任意小邻域内必含有()f x 在+∞的某邻域内的全部函数值.（3）几何意义是:对任给0ε>的,在坐标平面上,平行于x 轴的两条直线y A ε=+与y A ε=-,围成以直线y A =为中心线,宽2ε为的带形区域；定义中的“当x M >时,有()f x A ε-<”表示:在直线x M =的右方,曲线()y f x =全部落在这个带形区域之内.1.2.2 0x x →时函数的极限：设函数()f x 在点0x 的某一去心邻域()'0;Ux δ︒内有定义，A 为定数，如果对于任意给定的正数ε（无论它多么小），总存在正数()'δδ<，使得当00x x δ<-<时，有()f x A ε-<，则常数A 为函数()f x 在0x x →时的极限，记作()0lim x x f x A →=.即()000lim 0,0,:,x x f x A x x x x εδδδ→=⇔∀>∃>∀-<<+有()f x A ε-<.对应的,我们也有()()0lim ,lim x x x x f x A f x A +-→→==的相应的εδ语言成立.对于函数极限的εδ定义着重注意以下几点:（1）定义中的正数δ,相当于数列极限N ε定义中的N ,它依赖于ε,但也不是由ε所唯一确定的,一般来说, ε愈小, δ也相应地要小一些,而且把δ取得更小些也无妨. （2）定义中只要求函数在的某一空心邻域内有定义,而一般不考虑在点处的函数值是否有意义,这是因为,对于函数极限我们所研究的是当x 趋于0x 过程中函数值的变化趋势.（3）定义中的不等式00x x δ<-<等价于()0;x U x δ∈，而不等式()f x A ε-<等价于()();f x U A ε∈.于是，εδ定义又可写成：任给0ε>,存在0δ>,使得一切()0;x U x δ∈有()();f x U A ε∈.或更简单的表为:任给0ε>,存在0δ>,使得()()()0;;f Ux U A δε⊂.（4）几何意义是：将极限定义中的四段话用几何语言表述为对任给0ε>的,在坐标平面上画一条以直线y A =为中心线,宽2ε为的横带,则必存在以直线0x x =为中心线、宽为2δ的数带，使函数()y f x =的图像在该数带中的部分全部落在横带内，但点()()0,x f x 可能例外（或无意义）.2.极限性质2．1 数列极限的性质收敛数列有如下性质：（1）极限唯一性:若数列{}n a 收敛,则它只有一个极限. （2）若数列{}n a 收敛，则{}n a 为有界数列.（3）若数列{}n a 有极限，则其任一子列{}n a 也有极限.（4）保号性，即若()lim 00n n a a →∞=><，则对任何()()()''0,,0a a a a ∈∈,存在正整数1N ，n 1N 时,()''n n a a a a ><.（5）保不等式性:即若{}n a 与{}n b 均为收敛数列, 若存在正整数1N ，使得当n1N 时有n n a b ，则lim lim n n n n a b →∞→∞≤.（6）数列极限的基本公式（四则运算） 设lim ,lim n n n n x y →∞→∞存在,则()()()()lim lim lim lim lim lim lim lim lim 0lim lim lim n n n nn n n n n n nn n n nn n n n n nn n n n n n n n x y x y x y x y x x y y y x y x y →∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞±=±⋅=⋅=≠≤≤2．2函数极限性质（1）极限唯一性；若极限()0lim x x f x →存在，则此极限是唯一的.（2）局部有界性若()0lim x x f x →存在，则()f x 在0x 的某空心邻域()U x ︒内是有界的，当0x 趋于无穷大时，亦成立. （3）局部保号性若()()0lim 00x x f x A →=><，则对任何正数()r A A <<-,存在()0U x ︒使得对一切()0x U x ︒∈有()()()00f x r f x r >><<，当趋于无穷大时，亦成立.（4）保不等式性若()0lim x x f x A →=，()0lim x x g x B →=，且在某邻域()'0;Ux δ内有()()f x g x ≤，则()()0lim lim x x x x f x g x →→≤.（5）函数极限的基本公式（四则运算）设()()lim ,lim x ax af xg x →→存在,则()()()()()()()()()()()()()()()()lim lim lim lim lim lim lim lim lim 0lim x a x ax ax ax ax ax a x a x ax af xg x f x g x f x g x f x g x f x f x g x g x g x →→→→→→→→→→±=±⋅=⋅=≠通过以上对数列极限与函数极限的介绍,可以知道数列极限与函数极限的本质相同,性质一致.3.极限的判别法3.1 数列极限的判别法（1）单调有界定理：单调有界数列必有极限.证明:不妨设{}n a 为有上界的递增数列.由确界原理,数列{}n a 有上确界,记{}sup n a a =.下面证明a 就是{}n a 的极限.事实上,任给0ε>,按上确界的定义,存在数列{}n a 中某一项N a ,使得N a a ε-<.又由{}n a 的递增性，当n N >时有N n a a a ε-<≤。
数列与级数的数列极限与函数极限问题
数列与级数的数列极限与函数极限问题数列与级数是数学中重要的概念，与此相关的数列极限与函数极限更是数学分析的基石。
本文将从数列极限与函数极限两个方面，阐述数列与级数的相关概念以及它们的极限性质。
一、数列极限数列是按照一定规律排列的数的序列。
当数列中的数字逐渐趋近于某个确定的值时，我们称其为数列的极限。
数列极限的概念在数学中具有广泛的应用，特别是在微积分中。
下面通过一个例子来说明数列极限的求解方法。
例：考虑数列An=(−1)^n/n，n为自然数。
我们可以计算出当n分别取1、2、3、4时，数列的前四项为-1，1/2，-1/3，1/4。
从这些数值中我们可以观察到，当n逐渐增大时，数列的绝对值越来越小，趋近于0。
因此，我们可以说数列An的极限为0。
二、函数极限函数极限是指当自变量趋近于某个特定值时，函数值的极限趋于一个确定值。
函数极限是微积分中的核心概念，通过函数极限的计算，我们可以求解诸如导数、积分等重要的数学问题。
例：考虑函数f(x)=sin(x)/x，x为实数。
我们可以观察到，函数在x=0的附近没有定义，为了求解函数f(x)在x=0处的极限，我们可以利用极限的性质，将x无限逼近于0。
通过对函数的图像观察，我们可以得到函数f(x)在x=0处的极限为1。
这个结论在微积分的各个领域都有重要的应用。
三、数列极限与函数极限的关系数列极限与函数极限在某种程度上是相互联系的。
事实上，我们可以通过函数来构造数列，并求解该数列的极限，然后以此推导出函数的极限。
例：考虑函数f(x)=x^2，x为实数。
取数列An=f(1/n)=1/n^2，n为自然数。
通过计算我们可以得到An的极限为0。
然后，根据函数的连续性，我们可以推断出函数f(x)在x=0处的极限也为0。
因此，我们可以看到数列极限与函数极限之间的密切联系。
总结：数列与级数的数列极限与函数极限是数学中重要的概念，对于深入理解数学分析学科具有重要意义。
数列极限与函数极限的计算方法和性质繁多，需要我们对数学知识有很好的掌握和理解。
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基础 数列极限与函数极限
一、实验目的
从刘徽的割圆术、裴波那奇数列研究数列的收敛性并抽象出极限的定义；理解数列收敛的准则；理解函数极限与数列极限的关系。
二、实验材料
1.1割圆术
中国古代数学家刘徽在《九章算术注》方田章圆田术中创造了割圆术计算圆周率π。
刘徽先注意到圆内接正多边形的面积小于圆面积；其次，当将边数屡次加倍时，正多边形的面积增大，边数愈大则正多边形面积愈近于圆的面积。
“割之弥细，所失弥少。
割之又割以至不可割，则与圆合体而无所失矣。
”这几句话明确地表明了刘徽的极限思想。
以n S 表示单位圆的圆内接正123-⨯n 多边形面积，则其极限为圆周率π。
用下列
Mathematica 程序可以从量和形两个角度考察数列{n S }的收敛情况：
m=2;n=15;k=10; For[i=2,i<=n,i++, l[i_]:=N[2*Sin[Pi/(3*2^i)],k]; (圆内接正123-⨯n 多边形边长)
s[i_]:=N[3*2^(i-1)*l[i]*Sqrt[1-(l[i])^2/4],k]; (圆内接正123-⨯n 多边形面积)
r[i_]:=Pi-s[i]; d[i_]:=s[i]-s[i-1];
Print[i," ",r[i]," ",l[i]," ",s[i]," ",d[i]]
]
t=Table[{i,s[i]},{i,m,n}] (数组)
ListPlot[t] (散点图)
1.2裴波那奇数列和黄金分割
由2110;1;0--+===n n n F F F F F 有著名的裴波那奇数列}{n F 。
如果令n
n n F F R 11--=，由n F 递推公式可得出 11111/11---+=+=+=n n n n n n n R F F F F F R ，]251251[511
1++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=n n n F ； 2
15lim lim 1-==+∞→∞→n n n n n F F R 。
用下列Mathematica 程序可以从量和形两个角度考察数列{n R }的收敛情况：
n=14,k=10; For[i=3,i<=n,i++, t1=(Sqrt[5]+1)/2; t2=(1-Sqrt[5])/2;
f[i_]:=N[(t1^(i+1)-t2^(i+1))/Sqrt[5],k]; (定义裴波那奇数列通项)
rn=(5^(1/2)-1)/2-f[i-1]/f[i];Rn=f[i-1]/f[i];dn=f[i-1]/f[i]-f[i-2]/f[i-1];
Print[i," ",rn," ",Rn," ",dn];
] t=Table[{i,f[i-1]/f[i]},{i,3,n}] ListPlot[t]
1.3收敛与发散的数列
数列}{1∑=-n
i p i 当1>p 时收敛，1≤p 时发散；数列}{sin n 发散。
1.4函数极限与数列极限的关系
用Mathematica 程序
m=0;r=10^m;x0=0;
f[x_]=x*Sin[1/x]
Plot[f[x],{x,-r,r}]
Limit[f[x],x->x0]
观察1sin )(-=x x x f 的图象可以发现，函数在0=x 点处不连续，且函数值不存在，但在0=x 点处有极限。
令100,,2,1,/1 ===n n a x n ，作函数的取值表，画散点图看其子列的趋向情况
k=10;p=25;
a[n_]=1/n;
tf=Table[{n,N[f[a[n]],k]},{n,1,p}]
ListPlot[tf]
Limit[f[a[n]],n→Infinity,Direction→1]
分别取不同的数列n a (要求0→n a )，重做上述过程，并将各次所得图形的分析结果比
较，可知各子列的极限值均为上述函数的极限值。
对于1sin )(-=x x g ，类似地考察在0=x 点处的极限。
三、实验准备
认真阅读实验目的与实验材料后要正确地解读实验，在此基础上制定实验计划（修改、补充或编写程序，提出实验思路，明确实验步骤），为上机实验做好准备。
四、实验思路提示
3.1考察数列敛散性
改变或增大n ，观察更多的项（量、形），例如，n 分别取50，100，200，…；扩展有效数字k ，观察随n 增大数列的变化趋势，例如，k 分别取20，30，50；或固定50；或随n 增大而适当增加。
对实验要思考，例如，定义中的指标与柯西准则中的指标间的差异；数列收敛方式；又例如，如何估计极限近似值的误差。
3.2考察函数极限与数列极限的关系
改变函数及极限类型，例如，考虑六种函数极限，既选取极限存在也选取极限不存在的例子；改变数列，改变参数观察更多的量，考察形的变化趋势；扩展有效数字k ，提高计算精度。
要对实验思考，归纳数列敛散与函数敛散的关系。