《数理统计》考试题及参考答案
数理统计考试试题及答案
一、(满分12分）设X X X n ,,,12为来自均匀分布θU (0,)的随机样本，θθ,ˆˆ12分别为未知参数θ的矩估计量和最大似然估计量。
(1)证明nT n =+θθ和ˆˆ112都是未知参数θ的无偏估计; (2)比较两个估计量的优劣性.二、(满分14分）设X 服从伽玛分布Γαβ(,),其特征函数为=−−βϕαt itX ()(1).(1) 利用特征函数法求X 的数学期望和方差； (2)设X X X n ,,,12是独立同分布的随机变量，其概率密度为，⎩≤⎨=>⎧λλx f x e x x 0,0.(),0-试用特征函数法证明：∑=Γ=λY X n i i n~(,)1 三、（满分14分）从两个独立的正态总体中抽取如下样本值： 甲(X ) 4.4 4.0 2.0 4.8 乙（Y ）5.01.03.20.4经计算得x s y s ====3.8, 1.547, 2.4, 4.45312*2*2，在显著性水平=α0.05下，能否认为两个总体同分布？ 四、(满分10分）设X X X ,,,129是总体μσX N ~(,)2的一个样本.记Y X Y X k k k k ∑∑===63,=,11171269SS X Y Z Y Y k k ∑=−=−=2(),12()7212229求统计量 Z 的分布。
五、（满分14分）设X X X n ,,,12是总体X 的一个样本，X 的密度函数为f x x x ⎩⎨=<<⎧−θθθ他其0,.(;),01,1>θ0求未知参数g =θθ()1的最大似然估计量gθ()ˆ,并求g θ()的有效估计量.六、 (满分20分）观测某种物质吸附量y 和温度x 时，得到数据如下：x i 1.5 1.8 2.4 3.0 3.5 3.9 4.4 4.8 5.0 y i4.85.77.08.310.912.413.113.615.3应用线性模型N y a bx ⎩⎨⎧=++εσε~(0,)2(1) 求a 和b 的最小二乘估计及回归方程；(2) 在显著性水平=α0.05下，检验原假设=H b :00；(3)在温度x =60时，求吸附量y 0的置信水平为α−=10.95的预测区间; (4) 若要使吸附量在5-10之间，温度应该如何控制（=α0.05）.七、 (满分16分) 为了观察燃烧温度是否对砖块的密度有显著性影响，今在4种温度下做试验，得砖块密度的观察值如下： 温度（摄氏度） 砖块密度100 21.8 21.9 21.7 21.6 21.7 125 21.7 21.4 21.5 21.4 150 22.9 22. 8 22.8 22.6 22.5 17521.9 21.7 21.8 21.4试问燃烧温度对砖块密度是否有显著影响？(=α0.01) 附注：计算中可能用到的数据如下：t r F F t F F ===Φ=====5(7) 2.3646,(7)0.6664,(1,7) 5.59,(1.96)0.976(3,3)15.5,(6) 2.4469,(2,15) 3.68,(3,14) 5.50.9750.050.950.9750.9750.950.99一、（满分12分）解：（1）总体X 的密度函数为总体X 的分布函数为0,0(),01,x x F x x x θθθθ≤⎧⎪⎪=<<⎨⎪≥⎪⎩；由于2θ=EX ，得X 2ˆ1=θθ的矩估计量为 1ˆ[2]2θθ===E E X EX ，故的无偏估计量。
数理统计全套标准答案
习题一、基本概念1．解：设12345,,,,X X X X X 为总体的样本1）51151~(1,) (,,)(1)i ix x i X B p f x x p p -==-∏ 555(1)11(1),5x x i i p p x x -==-=∑2）λλλλλ55155151!!),,( )(~-==-∏∏==e x ex x x f P X i ixi i xi3）5155111~(,) (,,),,1,...,5()i X U a b f x x a xi b i b a b a ===≤≤=--∏所以5151,,1,...,5()(,,)0,a xi b i b a f x x ⎧≤≤=⎪-=⎨⎪⎩其他4）()⎪⎭⎫ ⎝⎛-==∑∏=-=-5122/55125121exp 221),,( )1,(~2i i i x x e x x f N X i ππμ2.解：因为0110,(),1,n k k k x x k F x x x x nx x ++<⎧⎪⎪≤<⎨⎪≥⎪⎩，所以40,00.3,010.65,12()0.8,230.9,341,4x x x F x x x x <⎧⎪≤<⎪⎪≤<⎨≤<⎪⎪≤<⎪≥⎩3．解：它近似服从均值为172，方差为5.64的正态分布，即(172,5.64)N4．解：()55-5 510/2- -⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛<<-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛<=<k X k P k X P k X P μμμ 因k 较大()()()()()()()-555(15)2510.950.95P X k k k k k k k μ<≈Φ-Φ-=Φ--Φ=Φ-=Φ=,5 1.65,0.33k k ==查表5．解：()-5250.853.8 1.1429 1.7143(1.7143)( 1.14296.3/6X P X P ⎛⎫<<=-<<=Φ-Φ- ⎪⎝⎭）0.9564(10.8729)0.8293 =--=6．解：()()()~(20,0.3),~(20,0.2),~(0,0.5),0.3 0.30.3Y N Z N Y Z Y Z N P Y Z P Y Z P Y Z -->=->+-<-设与相互独立，0.42430.42431(0.4243)(1(0.4243))22(0.4243)P P ⎫⎫=>=+<-⎪⎪⎭⎭=-Φ+-Φ=-Φ220.66280.6744=-⨯=7.解：101010222111~(0,4),~(0,1),2111 10.05,0.95444444ii i i i i i i X X N N c c c P X P X P X ===⎛⎫⎛⎫⎛⎫>=-≤=≤= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑则查卡方分位数表 c/4=18.31,c=73.248．解：由已知条件得：(1,),1()i X Y B p p F μ=-由i X 互相独立，知i Y 也互相独立，所以1(,),1().ni X i Y B n p p F μ==-∑9.解:1) )1(,)1(,2p Np DX ES np Np n DX X D Np EX X E -==-==== 2) λλλ======DX ES nn DX X D EX X E 2,, 3) ()()12,12,2222a b DX ES n a b n DX X D b a EX X E -==-==+==4) 1,1,2======DX ES nn DX X D EX X E μ 10.解：1) ()22212)1()1()1()1(σ-=-=-=-=-∑=n DX n ES n S n E X X E ni i2)()222242221(1)(1)(1), ~(1)ni i n S n S D X X D n S D n σχσσ=⎛⎫---=-=- ⎪⎝⎭∑ ()2412(1)ni i D X X n σ=∴-=-∑11.解：ππππππn X E dt e dy ey dy ey X nE Y E nn DY X E EY N X n Y n N X t y y 2)(,2)1(222222||21)(),11,0(),1,0(~),/1,0(~)102222==Γ==========-∞+-∞+-∞+∞-⎰⎰⎰ 令ππππππ211,2)1(222222||21),1,0(~)21102222===Γ====∑∑⎰⎰⎰==-∞+-∞+-∞+∞-n i i n i i t x x X E n X n E dt e dx ex dx ex X E N X12.解：1) ()2224X E X E X E n μμ-=-=()244100.1X X D E n n⎡⎤=+=+≤⎢⎥⎣⎦ 40n ∴≥2)222211,2u u X u E u e du u du +∞+∞---∞-===⎰⎰222220022002(1)0.1,80010,254.6,255u uutue du ue duue d e dtE X En nμπ+∞+∞--+∞+∞--===Γ=-==≤≥≥=∴≥⎰⎰⎰⎰3) ()()111P X P X Pμμ⎛-≤=-≤-≤=≤≤⎝⎭0.975210.95,2221.96,15.36,162u n n⎛⎫⎛⎫⎛=Φ-Φ-=Φ-≥⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭≥=≥≥13.解：()()()112221111111,n ni ii iY XY X a X na X an b b n bEY EX a S Sb b==⎛⎫=-=-=-⎪⎝⎭=-=∑∑14．解：1）12345~(0,2),~(0,3)X X N X X X N+++~~(0,1)N N1111,, 2.23c d n∴===2）()2345222212~(2),~(1)3X X XX Xχχ+++()()22122234523~(2,1),,2,123XX F c m n X X X +===++15.解：设1(1,)p F n α-=，即()1(1P F p P p α≤=-⇔≤≤=-()()12()2()12P T P T p P T p pP T ⇔≤-≤=-⇔≤=-⇔≤=-122112()()(1,)p p p t n tn F n α---=∴==16．解：()()()()()()()()()121222222221212222212121212212221212~(0,2),~(0,~~(0,1)~~(2)2210.1,2X X N X X N N N X X X X t P t P X X X X X X X X X X t P X X X X c χχ+-+⎛⎫⎛⎫++>=> ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++-++-⎝⎭⎝⎭⎧⎫+⎪⎪=-≤=⎨⎬++-⎪⎪⎩⎭=0.9(1,2)8.532tF ==17.证明： 1）2211122211()0,(),(0,)1(1)(1)n n n n n E X X D X X XX N nnn S n t n σσχσ+++++-=-=∴---=- 又2）2211111()0,(),(0,)n n n n n E X X D X X X X N nnσσ+++++-=-=∴- 3）2211111()0,(),(0,)n n E X X D X X X X N n nσσ---=-=∴- 18. 解：()()()62,47.61,96.125.0,975.025.0,95.0125.0225.0/25.025.0975.0≥≥=≥≥Φ≥-Φ=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≤-≤-=≤-n n u n n n n n X n P X P σμσμ 19.解[,]0,1,[,](),(),0,[,]1,X U a b x a x a b x af x F x a x b b a b a x a b x b ≤⎧⎧⎪∈-⎪⎪∴==<≤-⎨⎨-⎪⎪∉⎩>⎪⎩1(1)()(1())()n f x n F x f x -∴=-111()1(),[,]0,[,]1(),[,]()(())()0,[,]n n n n b a n x a b b a b a x a b x a n x a b f x n F x f x b a b ax a b ----⎧∈⎪=--⎨⎪∉⎩-⎧∈⎪==--⎨⎪∉⎩20.解：()()()()()()()55(1)(1)11515555555(5)111011011011101211121(1(1))1(11(1))1(1)0.5785121515 1.5(1.5)0.93320.70772i i i i i i i i i i P X P X P X P X X P X P X P X P =====<=-≥=-≥=--≤⎛-⎫⎛⎫=--≤- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭=--Φ-=--+Φ=-Φ=-⎛⎫<==<=<=Φ== ⎪⎝⎭∏∏∏∏∏21. 解：1)因为21~(0,)mi i X N m σ=∑，从而~(0,1)miXN ∑2221~()m ni i m Xn χσ+=+∑，所以~()miX t n ξ=2）因为22211~()mii Xm χσ=∑，22211~()m nii m Xn χσ+=+∑所以2121~(,)mi i m ni i m n X F m n m X =+=+∑∑3)因为21~(0,)mii XN m σ=∑，21~(0,)m nii m XN n σ+=+∑所以2212()~(1)mi i X m χσ=∑，2212()~(1)m ni i m X n χσ+=+∑故 222221111~(2)m m n i i i i m X X m n χσσ+==+⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑22.解：由Th1.4.1 (2)()(),95.047.321),1(~122222=⎪⎪⎭⎫⎝⎛≤---σχσS n P n S n查表:n 121,n 22-==23.解：由推论1.4.3(2)05.095.0139.2139.2),14,19(~222122212221=-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≤-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛>S S P S S P F S S 24.解： 1)()()94.005.099.057.3785.10)20(~),1,0(~),,0(~2201222220122=-=≤≤=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=---∑∑==χχχσμσμσμσμP X XN X N X i i i ii i2)()895.01.0995.058.381965.11),19(~192222222012=-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≤≤=-∑=σχσσS P S X Xi i25. 解：1)()4532.07734.0221)75.0(21431435/2080380=⨯-=+Φ-=⎪⎭⎫ ⎝⎛≤-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛>-=>-U P X P X P2)()()05.01975.021064.21064.25/2674.780380=+⨯-=≤-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛>-=>-T P X P X P 26.解： 1)8413.0120472.4472.4=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛<-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛<-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+<σσσa X P a X P a X P 2)2222222222223132222222S P S P S P S P σσσσσσσσ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-<=-<-<=<<=<< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭22199.528.50.950.050.9S P σ⎛⎫=<<=-= ⎪⎝⎭3)3676.3,328.120,1.020,9.02012020/1===⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≤=⎪⎪⎭⎫⎝⎛≤-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛>-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛>-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛>-c c c T P cT P cS X P c S X P c X S P μμμ27．解：22cov(,)(,)1()()1cov(,)()1(,)1i j i j i j i j i j i j X X X X r X X X X n D X X D X X nX X X X E X X X X X X X X nr X X X X n σσ----=--=-=--=---=-∴--=--28.解：()2221212)1(2)1(,)1(,21),2,2(~σσμ-=-=-=-===+=∑∑==+n ES n ET S n Y Y T X Y n Y N X X Y Y Y ni i ni i in i i 令习题二、参数估计1． 解： 矩估计()1 3.40.10.20.90.80.70.766X =+++++= ()()11111ln ln(1)ln nnni ii i nii L x x L n x αααααα===⎡⎤=+=+⎣⎦=++∏∏∑121ln ln 01ˆ10.2112ln ni i n ii d n L x d n x αααα====+=+=--=∑∑3077.0121ˆ,212)1()1(110121=--==++=++=+=⎰++X X X x dx x EX αααααααα所以12112ˆˆ,11ln nii X n X X αα=⎛⎫ ⎪- ⎪==-+-⎪ ⎪⎝⎭∑，12ˆˆ0.3079,0.2112αα≈≈ 2．解：1）3077.02ˆ,21====X X EX θθ111ln 0nni L nL θθθ====-=∏无解，依定义：21ˆmax ii nX θ≤≤=2）矩法：211ˆˆ1.2,0.472212EX DX θθ====极大似然估计：22ˆˆ1.1,0.1833212EX DX θθ====3．1）解：矩法估计：111ˆ,EX X Xλλ===最大似然估计：111,ln ln niii nnx x ni i i L eeL n L x λλλλλ=--==∑===-∑∏2111ˆln 0,ni ni ii d n nL x d Xxλλλ===-===∑∑ 2)解：~()X P λ矩估计：X X EX ===1ˆ,λλ最大似然估计：1,ln ln ixnxnn i i iiL eeL n nx x x x λλλλλλ--====-+-∑∏∏2ˆln 0,d nx L n X d λλλ=-+== 3）解：矩估计：()2,212b a a bEX DX -+== 联立方程：()2*221ˆ2ˆa X b X a bX b a M ⎧=-⎪→+⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩⎨=+⎪⎩极大似然估计：依照定义，11ˆˆmin ,max i ii ni naX b X ≤≤≤≤== 4) 解：矩估计：ln EX dx xxθθ+∞+∞==⎰，不存在22111,ln ln 2ln nnni i i i iL L n x x x θθθ=====-∑∏∏ ln 0n L αθ∂==∂，无解；故，依照定义，(1)ˆX θ= 5)解：矩法：()/0()(1)(2)x txEX e dx t edt αβααβαββ+∞+∞---==+=Γ+Γ⎰⎰X αβ=+=22220()(1)2(2)(3)t EX t e dt αβααββ+∞-=+=Γ+Γ+Γ⎰ 222222122()i M X nααββαββ=++=++==∑22222*2111ˆˆi M X X X M nX βαβ=-=-==-=∑即11ˆˆX X αβ==-==极大似然估计：()()/1111exp ,ln ln i nx n i n L e nx n L n nx αβαβαβββββ---=⎡⎤==--=--+⎢⎥⎣⎦∏2ln 0,ln ()0n n n L L x ααββββ∂∂===-+-=∂∂ α无解，依定义有：(1)(1)ˆˆ,L L X X X X αβα==-=- 7)解： 矩法：22223222(2)x x t x EX dx dte dt X θθθ+∞+∞+∞---=====⎰⎰⎰ˆMθ=极大似然估计：22222211iixnxn ni ii iL x eθθ--==∑⎛⎫== ⎪⎝⎭∏∏222ln ln43ln ln iixL n n n xθθ=---∑∑233ˆln20,iLxnLθθθθ∂=-+==∂∑8)解：矩法：2222222222022222223(1)(1)[(1)](1)(1)(1)1221x x x x x xxxd dEX x xd dd dq Xdq dq qθθθθθθθθθθθθθ∞∞∞-===∞==--=-=---=====-∑∑∑∑2ˆM Xθ=极大似然估计：22221(1)(1)(1)(1)ln2ln(2)ln(1)ln(1)inx n nx ni iiiL x xL n nx n xθθθθθθ--==--=--=+--+-∏∏∑222ˆln0,1Ln nx nLXθθθθ∂-=-==∂-4解：11112112(,,)(1)(1)ln(,,)ln(1)ln(1)n ni ii i i iy yny y nninL p y y y p p p pL p y y y ny p n y p==--=∑∑=-=-=+--∏12(,,)0(1)ny pd L p y y y ndp p p-==-ˆp Y=记001,;0,i i i iy x a y x a=≥=<则(1,)iY B p；1,ln ln i nx n nx i L e e L n nx λλλλλλ--====-∏711120000ˆln 0,,2010001000i i i d n L nx X x v d X λλλ==-=====∑ 1ˆ0.05Xλ== 6解：因为其寿命服从正态分布，所以极大似然估计为：2211ˆˆ,()ni i x x n μσμ===-∑ 根据样本数据得到：2ˆˆ997.1,17235.811μσ==。
概率论与数理统计习题（含解答,答案）
概率论与数理统计习题（含解答,答案）概率论与数理统计复习题（1）⼀．填空.1.3.0)(,4.0)(==B P A P 。
若A 与B 独⽴，则=-)(B A P ；若已知B A ,中⾄少有⼀个事件发⽣的概率为6.0，则=-)(B A P 。
2．)()(B A p AB p =且2.0)(=A P ，则=)(B P 。
3．设),(~2σµN X ，且3.0}42{ },2{}2{=<<≥==>}0{X P 。
4．1)()(==X D X E 。
若X 服从泊松分布，则=≠}0{X P ；若X 服从均匀分布，则=≠}0{X P 。
5．设44.1)(,4.2)(),,(~==X D X E p n b X ，则==}{n X P6．,1)(,2)()(,0)()(=====XY E Y D X D Y E X E 则=+-)12(Y X D 。
7．)16,1(~),9,0(~N Y N X ，且X 与Y 独⽴，则=-<-<-}12{Y X P （⽤Φ表⽰），=XY ρ。
8．已知X 的期望为5，⽽均⽅差为2，估计≥<<}82{X P 。
9．设1?θ和2?θ均是未知参数θ的⽆偏估计量，且)?()?(2221θθE E >，则其中的统计量更有效。
10．在实际问题中求某参数的置信区间时，总是希望置信⽔平愈愈好，⽽置信区间的长度愈愈好。
但当增⼤置信⽔平时，则相应的置信区间长度总是。
⼆．假设某地区位于甲、⼄两河流的汇合处，当任⼀河流泛滥时，该地区即遭受⽔灾。
设某时期内甲河流泛滥的概率为0.1；⼄河流泛滥的概率为0.2；当甲河流泛滥时，⼄河流泛滥的概率为0.3，试求：（1）该时期内这个地区遭受⽔灾的概率；（2）当⼄河流泛滥时,甲河流泛滥的概率。
三．⾼射炮向敌机发射三发炮弹（每弹击中与否相互独⽴），每发炮弹击中敌机的概率均为0.3，⼜知若敌机中⼀弹，其坠毁的概率是0.2，若敌机中两弹，其坠毁的概率是0.6，若敌机中三弹则必坠毁。
自考数理统计试题及答案
自考数理统计试题及答案一、单项选择题（每题2分，共20分）1. 在数理统计中，总体参数的估计值是通过什么方法得到的？A. 抽样B. 计算C. 测量D. 观察答案：A2. 以下哪项不是描述统计量的特点？A. 描述性B. 推断性C. 集中趋势D. 离散程度答案：B3. 随机变量X服从正态分布N(μ, σ^2)，则其概率密度函数的对称轴是：A. μB. σC. 0D. 1答案：A4. 以下哪个不是参数估计的方法？A. 点估计B. 区间估计C. 假设检验D. 最大似然估计答案：C5. 假设检验的基本原理是什么？A. 频率B. 概率C. 统计量D. 样本量答案：B6. 以下哪个是描述数据离散程度的统计量？A. 平均数B. 中位数C. 众数D. 方差答案：D7. 以下哪个是描述数据集中趋势的统计量？A. 方差B. 标准差C. 极差D. 均值答案：D8. 以下哪个不是假设检验的步骤？A. 提出假设B. 收集数据C. 计算检验统计量D. 做出决策答案：B9. 以下哪个是线性回归分析的前提条件？A. 变量之间存在线性关系B. 变量之间不存在线性关系C. 变量之间存在非线性关系D. 变量之间存在周期性关系答案：A10. 以下哪个是描述数据分布形态的统计量？A. 偏度B. 峰度C. 方差D. 标准差答案：A二、多项选择题（每题3分，共15分）1. 以下哪些是描述数据分布形态的统计量？A. 偏度B. 峰度C. 均值D. 方差答案：AB2. 以下哪些是参数估计的方法？A. 点估计B. 区间估计C. 假设检验D. 最大似然估计答案：ABD3. 以下哪些是假设检验的步骤？A. 提出假设B. 收集数据C. 计算检验统计量D. 做出决策答案：ACD4. 以下哪些是线性回归分析的前提条件？A. 变量之间存在线性关系B. 变量之间不存在线性关系C. 残差之间相互独立D. 残差的方差是恒定的答案：ACD5. 以下哪些是描述数据离散程度的统计量？A. 平均数B. 方差C. 标准差D. 极差答案：BCD三、简答题（每题5分，共20分）1. 请简述什么是抽样分布，并说明其在统计分析中的作用。
数理统计考试题及答案
1、 离散型随机变量X 的分布律为P （X=x i ）=p i ，i=1.2…..，则11=∑=ni i p2、 设两个随机变量X ，Y 的联合分布函数F （x ，y ），边际分布Fx （x ），Fy （y ），则X 、Y相互独立的条件是)()(),(y F x F y x F Y X ∙=3、 X 1,X 2,….X 10是总体X~N （0，1）的样本，若2102221X X X +⋅⋅⋅++=ξ,则ξ的上侧分位数025.0ξ=解：因为X~N （0，1），所以2102221X X X +⋅⋅⋅++=ξ~)10(2χ，查表得025.0ξ=20.54、 设X~N （0，1），若Φ（x ）=0.576，则Φ（-x ）= 解：Φ（-x ）=1-Φ（x ）=1-0.576=0.4245、设X 1,X 2,….X n 是总体),(~2σμN X 的样本，∑=-=n i iXY 122)(1μσ，则EY=n解：∑=-=n i iXY 122)(1μσ~)(2n χ，E 2χ=n ，D 2χ=2n二、设设X 1,X 2,….X n 是总体),(~2σμN X 的样本，∑=-=6122)(51i iX X s ，试求)5665.2(22σ≤s P 。
解：因为),(~2σμN X ，所以有)5(~)(126122χσ∑=-i iX X，则⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛≤-=⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛≤-=≤=≤∑∑==8325.12)(5665.25)()5665.2()5665.2(261226122222σσσσi i i i X X P X X P sP s P 查2χ分布表得=≤)5665.2(22σs P ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛≤-∑=8325.12)(2612σi i X X P =1-α=1-0.0248=0.9752三．设总体X 的概率密度为f(x)=(1),(01)0a x x α⎧+<<⎨⎩，其他，其中α>0，求参数α的矩估计和极大似然估计量。
数理统计试题及答案
数理统计试题及答案一、选择题1. 在一次试验中，事件A和事件B是互斥事件，概率分别为0.4和0.3。
则事件“A或B”发生的概率是多少？A. 0.1B. 0.2C. 0.3D. 0.7答案：D. 0.72. 一批产品的重量服从正态分布，均值为100g，标准差为5g。
若随机抽取一件产品，其重量大于105g的概率是多少？A. 0.6827B. 0.1587C. 0.3413D. 0.0228答案：B. 0.15873. 一家量化投资公司共有1000名员工，调查结果显示，有700人拥有股票，400人拥有债券，300人既拥有股票又拥有债券。
随机选择一名员工，问其既拥有股票又拥有债券的概率是多少？A. 0.3B. 0.4C. 0.2D. 0.15答案：A. 0.34. 设X和Y为两个随机变量，已知X的期望为2，方差为4；Y的期望为5，方差为9，且X与Y的协方差为6。
则X + Y的期望为多少？A. 5B. 7C. 6D. 9答案：B. 7二、计算题1. 一箱产品中有10个次品，从中随机抽取3个，求抽到1个次品的概率。
解答：总共的可能抽取组合数为C(10,3) = 120。
抽取到1个次品的组合数为C(10,1) * C(90,2) = 4005。
所以，抽到1个次品的概率为4005/120 = 33.375%。
2. 已知某城市的男性身高服从正态分布，均值为172cm，标准差为5cm；女性身高也服从正态分布，均值为160cm，标准差为4cm。
问男性身高高于女性身高的概率是多少？解答：需要计算男性身高大于女性身高的概率，可以转化为计算两个正态分布随机变量之差的概率。
设随机变量X表示男性身高，Y表示女性身高，则X - Y服从正态分布，其均值为172cm - 160cm = 12cm，方差为5cm^2 + 4cm^2 =41cm^2。
要计算男性身高高于女性身高的概率，即计算P(X - Y > 0)。
首先，标准化X - Y，得到标准正态分布的随机变量Z：Z = (X - Y - 12) / sqrt(41)所以，P(X - Y > 0) = P(Z > (0 - 12) / sqrt(41)) = P(Z > -2.464)查标准正态分布表可知，P(Z > -2.464) ≈ 0.9937所以，男性身高高于女性身高的概率约为99.37%。
《数理统计》测验卷一答案
1 •设随机变量X「X2，…，X10相互独立，且；■ 0，有___________10A. P{P' X i一1 I：：： ;} _1 一丫i 410C. P{P X i -10卜：；} _1 -20 ；'i 4EX i =1 , DX i = 2 ( i = 1,2，…,10 )，则对于任意给定的C10P{| a X i -1 卜：；}乞1 一；'i 410D. P{p' X i -1卜：；}乞1 -20；‘i丄B.A岀现的次数, p是事件A在每次试验中出现的概率，则对于任意，广>0,均有lim P j—-p< ®n_jpc n:2 •设」n是n次重复试验中，事件A. = 0B. = 1 3•设X1, X2,…,X n是来自总体1 n nA—、X i2 B. ' (X j」)2 n i 4 i 1C. 02N (•仁)的样本,D.不存在J为未知参数，则是一个统计量。
D. (X r二)2 t 24. X“X2，…，X n是来自总体的样本，记A.样本矩B.二阶原点矩5 •设总体X在区间［-1,1］上服从均匀分布,1 n—X i的方差D(X) = __________n i 11 nX为样本均值，则 -n -1 TC.二阶中心矩D.统计量X1 , X 2^ , X n为其样本,(X i -X)2则样本均值A. 01B.-31C.—3nD. 3166. X i,X2，…，X i6是来自总体X ~A. t(15)B. t(16) 7•设X「X2，…,X n是来自总体XA. 2(n -1)B. 2(n)2--------------------- 1N(2,二)的一个样本，X X i，则16 yD. N(0,1)n __2 、(X i -X) 丫二丄二2Acr 2 D. N(=) n1n2二乙、(X i -)24X -8C. 2 (15)〜N(亠二2)的样本,C. N(Y2)8 •设总体X〜)，X1, X2/ ,X n为其样本，则A. 2(n -1)B. 2(n)C. t(n _1)，其中X为样本均值，则服从分布9 •设总体X ~ N(」F2),X1,X2，…,X n为其样本，D.t (n)1 nX X in i彳B1n二丄7 (X i _x)2，则n u丫二n - 1(X -)服从的分布是S nA. (n -1)B. N(0,1)C. t(n -1)D.t(n)22 210 •设总体X ~ N(0,匚)，匚为已知常数,X i , X 2，…,X n 为其样本,二1^ X i 为样本均值，则服 n i 丄2 从 分布的统计量是 ,(其中 So X - 1 A. SCn C. 1 n 2(X i —X)2 )o n i 41 n 2、(X i -X) CT i 4 11 •若X i ,X 2，…，X n 是来自总体N(0,1)的一个样本，则统计量 n D” i 二 X a 2 (X i -X)2 X ； (n-1)X 12D. F(n,1) X ；A. 2(n -1)B. 2(n) 12 •两种水稻的亩产量分别为 X 与丫，(X 1,X 2，…，X n )、(丫1,丫2,…，Y n )为分别来自总体 X 、丫的样本, 且 E(X)二丄1 , D(X)=G 2, E(Y)^2, D(Y)=/ , CA.叫乞込 13 •矩估计必然是A.无偏估计C. F(n _1,1) 当条件 满足时，品种X 不次于品种Y 。
最新数理统计试题及答案
数理统计考试试卷一、填空题（本题15分，每题3分）1、总体)3,20(~N X 的容量分别为10，15的两独立样本均值差~Y X -________；2、设1621,...,,X X X 为取自总体)5.0,0(~2N X 的一个样本，若已知0.32)16(201.0=χ,则}8{1612∑=≥i i X P =________；3、设总体),(~2σμN X ，若μ和2σ均未知，n 为样本容量，总体均值μ的置信水平为α-1的置信区间为),(λλ+-X X ，则λ的值为________；4、设n X X X ,..,,21为取自总体),(~2σμN X 的一个样本，对于给定的显著性水平α，已知关于2σ检验的拒绝域为χ2≤)1(21--n αχ，则相应的备择假设1H 为________；5、设总体),(~2σμN X ，2σ已知，在显著性水平0.05下，检验假设00:μμ≥H ,01:μμ<H ，拒绝域是________。
1、)210(，N ； 2、0.01； 3、nS n t )1(2-α； 4、202σσ<； 5、05.0z z -≤。
二、选择题（本题15分，每题3分）1、设321,,X X X 是取自总体X 的一个样本，α是未知参数，以下函数是统计量的为（）。
（A ）)(321X X X ++α （B ）321X X X ++ （C ）3211X X X α（D ）231)(31α-∑=i i X2、设n X X X ,...,,21为取自总体),(~2σμN X 的样本，X 为样本均值，212)(1X X n S i n i n -=∑=，则服从自由度为1-n 的t 分布的统计量为（ ）。
（A ）σμ）-X n ( （B ）n S X n )(μ- （C ）σμ）--X n (1 （D ）n S X n )(1μ--3、设n X X X ,,,21 是来自总体的样本，2)(σ=X D 存在， 212)(11X X n S i ni --=∑=, 则（ ）。
（完整版）数理统计考试题及答案
（完整版）数理统计考试题及答案1、离散型随机变量X 的分布律为P （X=x i ）=p i ，i=1.2…..，则11=∑=ni ip2、设两个随机变量X ，Y 的联合分布函数F （x ，y ），边际分布Fx （x ），Fy （y ），则X 、Y 相互独⽴的条件是)()(),(y F x F y x F Y X ?=3、 X 1,X 2,….X 10是总体X~N （0，1）的样本，若2102221X X X +++=ξ,则ξ的上侧分位数025.0ξ=解：因为X~N （0，1），所以2102221X X X +++=ξ~)10(2χ，查表得025.0ξ=20.54、设X~N （0，1），若Φ（x ）=0.576，则Φ（-x ）= 解：Φ（-x ）=1-Φ（x ）=1-0.576=0.4245、设X 1,X 2,….X n 是总体),(~2σµN X 的样本，∑=-=ni iXY 122)(1µσ，则EY=n解：∑=-=ni iXY 122)(1µσ~)(2n χ，E 2χ=n ，D 2χ=2n⼆、设设X 1,X 2,….X n 是总体),(~2σµN X 的样本，∑=-=612)(51i i X X s ，试求)5665.2(22σ≤s P 。
解：因为),(~2σµN X ，所以有)5(~)(126122χσ∑=-i i X X ，则≤-= ≤-=≤=≤∑∑==8325.12)(5665.25)()5665.2()5665.2(261226122222σσσσi ii i X X P X X P s P s P 查2χ分布表得=≤)5665.2(22σs P≤-∑=8325.12)(2612σi i X X P =1-α=1-0.0248=0.9752 三．设总体X 的概率密度为f(x)= (1),(01) 0a x x α?+<，其他，其中α>0，求参数α的矩估计和极⼤似然估计量。
《数理统计》考试题及参考答案
1 《数理统计》考试题及参考答案一、填空题（每小题3分，共15分）1，设总体X 和Y 相互独立，且都服从正态分布2(0,3)N ，而129(,,)X X X 和129(,,)Y Y Y 是分别来自X 和Y 的样本，则192219X X U Y Y++=++ 服从的分布是服从的分布是_______ ._______ .解：(9)t ．2，设1ˆq 与2ˆq 都是总体未知参数q 的估计，且1ˆq 比2ˆq 有效，则1ˆq 与2ˆq 的期望与方差满足的期望与方差满足_______ . _______ .解：1212ˆˆˆˆ()(), ()()E E D D q q q q =<．3，“两个总体相等性检验”的方法有“两个总体相等性检验”的方法有_______ _______ _______ 与与____ ___.解：秩和检验、游程总数检验．4，单因素试验方差分析的数学模型含有的三个基本假定是_______ .解：正态性、方差齐性、独立性．5，多元线性回归模型=+Y βX e 中，β的最小二乘估计是ˆβ=_______ .解：1ˆ-¢¢X Y β=()X X ．二、单项选择题（每小题3分，共15分）1，设12(,,,)(2)nX X X n ³ 为来自总体(0,1)N 的一个样本，X 为样本均值，2S 为样本方差，则____D___ .（A ）(0,1)nX N ；（B ）22()nS n c；（C ）(1)()n X t n S- ；（D ）2122(1)(1,1)ni i n X F n X =--å .2，若总体2(,)X N m s ，其中2s 已知，当置信度1a -保持不变时，如果样本容量n 增大，则m 的置信区间信区间____B___ . ____B___ .（A ）长度变大；（B ）长度变小；（C ）长度不变；（D ）前述都有可能）前述都有可能. .3，在假设检验中，分别用a ，b 表示犯第一类错误和第二类错误的概率，则当样本容量n 一定时，下列说法中正确的是下列说法中正确的是____C___ . ____C___ .（A ）a 减小时b 也减小；（B ）a 增大时b 也增大；（C ）,a b 其中一个减小，另一个会增大；（D ）（A ）和（）和（B B ）同时成立）同时成立. .4，对于单因素试验方差分析的数学模型，设T S 为总离差平方和，e S 为误差平方和，A S 为效应平方和，则总有和，则总有___A___ . ___A___ .（A ）T e A S S S =+；（B ）22(1)A S r c s- ；（C ）/(1)(1,)/()AeS r F r n r S n r ---- ； （（D ）A S 与e S 相互独立相互独立. . 5，在一元回归分析中，判定系数定义为2T S R S=回，则，则___B____ . ___B____ . （A ）2R 接近0时回归效果显著；时回归效果显著； （（B ）2R 接近1时回归效果显著；时回归效果显著； （C ）2R 接近¥时回归效果显著；时回归效果显著； （（D ）前述都不对）前述都不对. .三、（本题10分）设总体21(,)X N m s 、22(,)Y N m s ，112(,,,)n X X X 和212(,,,)n Y Y Y 分别是来自X 和Y 的样本，且两个样本相互独立，X Y 、和22XYS S 、分别是它们的样本均值和样本方差，分别是它们的样本均值和样本方差，证明证明证明12121211()()(2)n n X Y t n n S w m m ---+-+ ，其中2221212(1)(1)2X Y n S n S S n n w -+-=+-. 证明：易知易知221212(,)X Y N n n s s m m --+ ， 1212()()(0,1)11X Y U N n nm m s ---=+ ．由定理可知由定理可知22112(1)(1)Xn S n c s-- ，22222(1)(1)Yn S n c s-- ．由独立性和2c 分布的可加性可得分布的可加性可得222121222(1)(1)(2)XYn Sn SV n n c ss--=++- ．由U 与V 得独立性和t 分布的定义可得分布的定义可得1212121112()()(2)/(2)n n X Y Ut n n V n n Swm m ---=+-+-+．四、（本题10分）已知总体X 的概率密度函数为1, 0(),0, xe xf x qq -ì>ï=íïî其它其中未知参数0q >, 12(,,,)n X X X 为取自总体的一个样本，求q 的矩估计量，并证明该估计量是无偏估计量．的矩估计量，并证明该估计量是无偏估计量．解：（1）()11()xv E Xxf x dxxe dx q q q-¥¥-¥-¥====òò，用111ni i vX X n ===å 代替，所以代替，所以å===ni i X X n11ˆq ．（2）11ˆ()()()()ni i E E X E X E X n q q =====å，所以该估计量是无偏估计．，所以该估计量是无偏估计． 五、（本题10分）设总体X 的概率密度函数为(;)(1),01f x x x q q q =+<<，其中未知参数1q >-，12(,,)n X X X 是来自总体X 的一个样本，试求参数q 的极大似然估计．的极大似然估计．解：1 (1)() , 01() 0 , nniii x x L qq q =ì+P <<ï=íïî其它 当01i x <<时，1ln ()ln(1)ln n i i L n x q q q ==++å，令1ln ()ln 01ni i d L n x d q q q ==+=+å，得，得 1ˆ1ln nii n x q==--å．六、（本题10分）设总体X 的密度函数为e,>0;(;)0,0,xx f x x l l l -ì=í£î未知参数0l >，12(,,)n X X X 为总体的一个样本，证明X 是1l的一个UMVUE UMVUE．．证明：由指数分布的总体满足正则条件可得由指数分布的总体满足正则条件可得222211()ln (;)I E f x E l l l l l éù¶-æö=-=-=ç÷êú¶èøëû， 1l的的无偏估计方差的C-R 下界为下界为2221221[()]11()nI n n l l l l l-éùêú¢ëû==．另一方面另一方面()1E X l =， 21V a r ()X n l=，即X 得方差达到C-R 下界，故X 是1l的UMVUE UMVUE．．七、（本题10分）合格苹果的重量标准差应小于0.005公斤．在一批苹果中随机取9个苹果称重, 得其样本标准差为007.0=S 公斤, 试问：（1）在显著性水平05.0=a 下, 可否认为该批苹果重量标准差达到要求 （2）如果调整显著性水平0.025a =，结果会怎样？，结果会怎样？参考数据参考数据: : 02319)9(2025.0=c , 91916)9(205.0=c, 53517)8(2025.0=c, 50715)8(205.0=c ．解：（1）()()2222021:0.005,~8n SH s c c s-£=，则应有：，则应有：()()2220.050.0580.005,(8)15.507P c cc >=Þ=，具体计算得：22280.00715.6815.507,0.005c ´==>所以拒绝假设0H ，即认为苹果重量标准差指标未达到要求．求．（2）新设）新设 20:0.005,H s £ 由2220.025280.00717.535,15.6817.535,0.005cc ´=Þ==< 则接受假设，即可以认为苹果重量标准差指标达到要求．即可以认为苹果重量标准差指标达到要求．八、（本题10分）已知两个总体X 与Y 独立，211~(,)X m s ，222~(,)Y m s ，221212, , , m m s s未知，112(,,,)n X X X 和212(,,,)n Y Y Y 分别是来自X 和Y 的样本，求2122s s的置信度为1a -的置信区间的置信区间.. 解：设22, XY S S分别表示总体X Y ，的样本方差，由抽样分布定理可知的样本方差，由抽样分布定理可知221121(1)(1)Xn S n c s -- ， 222222(1)(1)Yn S n c s-- ， 由F 分布的定义可得分布的定义可得211222121222221222(1)(1)(1,1)(1)(1)XX Y Yn Sn S F F nn n SS n ss s s--==---- ． 对于置信度1a -，查F 分布表找/212(1,1)F n n a --和1/212(1,1)F n n a ---使得使得[]/2121/212(1,1)(1,1)1P F n n F Fn n a a a---<<--=-，即22222121/2122/212//1(1,1)(1,1)X Y X Y S S S S P F n n F n n a a s a s-æö<<=-ç÷----èø， 所求2221s s 的置信度为a -1的置信区间为的置信区间为 22221/212/212//, (1,1)(1,1)X Y XY S S S S F n n F n n a a -æöç÷----èø．九、(本题10分)试简要论述线性回归分析包括哪些内容或步骤．试简要论述线性回归分析包括哪些内容或步骤．解：建立模型、参数估计、回归方程检验、回归系数检验、变量剔除、预测．建立模型、参数估计、回归方程检验、回归系数检验、变量剔除、预测．。
数理统计试题及答案[5篇范文]
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数理统计试题及答案[5篇范文]第一篇：数理统计试题及答案数理统计考试试卷一、填空题（本题15分，每题3分）1、总体的容量分别为10，15的两独立样本均值差________；2、设为取自总体的一个样本，若已知,则=________；3、设总体，若和均未知，为样本容量，总体均值的置信水平为的置信区间为，则的值为________；4、设为取自总体的一个样本，对于给定的显著性水平，已知关于检验的拒绝域为2≤，则相应的备择假设为________；5、设总体，已知，在显著性水平0.05下，检验假设,，拒绝域是________。
1、；2、0.01；3、；4、；5、。
二、选择题（本题15分，每题3分）1、设是取自总体的一个样本，是未知参数，以下函数是统计量的为（）。
（A）（B）（C）（D）2、设为取自总体的样本，为样本均值，则服从自由度为的分布的统计量为（）。
（A）（B）（C）（D）3、设是来自总体的样本，存在，, 则（）。
（A）是的矩估计（B）是的极大似然估计（C）是的无偏估计和相合估计（D）作为的估计其优良性与分布有关 4、设总体相互独立，样本容量分别为，样本方差分别为，在显著性水平下，检验的拒绝域为（）。
（A）（B）（C）（D）5、设总体，已知，未知，是来自总体的样本观察值，已知的置信水平为0.95的置信区间为（4.71，5.69），则取显著性水平时，检验假设的结果是（）。
（A）不能确定（B）接受（C）拒绝（D）条件不足无法检验 1、B；2、D；3、C；4、A；5、B.三、（本题14分）设随机变量X的概率密度为：，其中未知参数，是来自的样本，求（1）的矩估计；（2）的极大似然估计。
解：(1)，令，得为参数的矩估计量。
(2)似然函数为：，而是的单调减少函数，所以的极大似然估计量为。
四、（本题14分）设总体，且是样本观察值，样本方差，（1）求的置信水平为0.95的置信区间；（2）已知，求的置信水平为0.95的置信区间；（，）。
数理统计试题及答案
一、 (满分12分）X X X n ,,,12是总体X 的随机样本， X 的密度函数为）（ ⎩≥⎨=><<∞⎧-λλλx f x e x x 0,0()0,0（1） 求X 的特征函数；（2） 利用X 的特征函数,求EX D X ,(); （3） 求∑==S X k k n1的概率密度函数. 二、(满分8分））（>X X X n n ,,,1122是总体μσN (,)2的随机样本，记 ，∑∑∑∑+--===-=-=-==+==+S S n n n n Y X Y X S X Y S X Y Z n Y Y k k n k k n k k k k n n n n 11,,(),()1111()121111*2*212112212*22*2222求统计量Z 的分布.三、 (满分14分）总体X 服从均匀分布θU (0,), X X X n ,,,12为其样本，(1) 证明，==+=+θθθn X n X X n n ,(1)2ˆˆˆ11()2(1)3都是未知参数θ的无偏估计; (2) 比较这三个估计量的优劣性.四、（满分14分）测得两批电子器材的电阻值(单位：Ω）分别为：A 批： 30， 32， 34， 36， 38， 42， 48， 52， 52， 56B 批： 31， 33， 37， 42， 46， 48， 53， 55， 56， 59设A 批器材的电阻μσX N ~(,),112B 批器材的电阻μσY N ~(,)222，而且总体相互独立.在显著性水平=α0.05下，能否认为两批器材的电阻的分布相同？ 五、（满分14分）X X X n ,,,12是总体X 的随机样本,X 的密度函数为他其）（ ⎩⎪⎨=>⎪<<⎧-θθθθf x x x 0,(;)0,01111（1）求未知参数θ的极大似然估计量θˆ; （2）证明θˆ是未知参数θ的UMVUE .六、（满分8分）将一颗骰子掷了120次,所得结果如下： 点数i 1 2 3 4 5 6 出现次数νi232718221416试在显著性水平=α0.05下,检验一颗骰子是否均匀、对称？七、 (满分16分）假定在某种产品表面进行腐蚀刻线试验，得到腐蚀深度y 与腐蚀时间x 对应的数据如下：x s / 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 μy m /7101316182123252730应用线性模型⎩⎨⎧=++εσεεεεN y a bx n ~(0,),,,,212为其样本.（1） 求a 和b 的最小二乘估计及回归方程；(2) 在显著性水平=α0.05下，检验原假设=H b :00；（3）预测腐蚀时间为=x s 6.50时，腐蚀深度y 0的范围-=a (10.95)； (4) 若要使腐蚀深度在20-26μm 之间，腐蚀时间应该如何控制（=α0.05）.八、 (满分14分) 某种型号的电池4批，分别为四个工厂所生产.各随机抽取5只电池样品，得它们的寿命如下：A 140 48 40 42 45 A 2 26 34 30 28 32 A 339 40 41 50 50 A 43634404035试在显著性水平=α0.05下,检验各批电池的平均寿命有无显著性的差异. 附注：计算中可能用到的数据如下：,，，，,,）（======Φ===χF F F r F t t (99) 4.03(1,8) 5.32,(3,16) 3.24.511.071(8)0.6319(99) 3.18(1.96)0.975,(18) 2.101,(8) 2.306,0.9750.950.950.950.050.9520.9750.975一、（满分12） 解：(1)X 的特征函数为())1)00()()|1()it xitxit xX e itt f x e dx edx it λλλφλλλ---∞∞---∞-∞====---⎰⎰（（（2）21222222221()1(0)(0)222()1(0)(0)1()X X X X X X i it i t EX i it t EX i DX EX EX φφφλλλλφφφλλλλλ----⎛⎫'''=-=== ⎪⎝⎭--⎛⎫''''''=-=== ⎪⎝⎭=-=，，；，，；.（3）S 的特征函数为S ()[()](1/)n n X t t it φφλ-==-所以），（λn Γ~ S ，其密度函数为.0,00,!1)(1S ⎪⎩⎪⎨⎧≤>-=--y y n e y y f yn n ）（λλ 二、（满分8）解：根据抽样分布定理得，*2*22222121222*2*21212(1)(1)11~(,),~(,),~(1)~(1),,n S n S Y N Y N n n n n Y Y S S μσμσχχσσ----，并且，，相互独立.于是，212*2*212*2*2122~(0,)~(0,1)(1)(1)2~(22)21)(1)2Y Y N N n n S n S n n S n S σχσσ--+---+-，，相互独立. 由t 分布的定义得 ,~(16)~(22)t Z t n =-，即. 三、（满分14分）解： （1）X 的密度函数为X 的分布函数为 0,0(),01,x F x x x x θθθθ≤⎧⎪=<<⎨⎪≥⎩；)(n X 的密度函数为()11,0()[()]()0,n n n nX n x x f x n F x f x θθθθ--⎧<<⎪==⎨⎪⎩;;其他 ()1()01ˆ.1nn n nx n n EX n dx E E X n n θθθθθ+⎡⎤====⎢⎥+⎣⎦⎰， (1)X 的密度函数为(1)11(),0()[1()]()0,n n n X n x x f x n F x f x θθθθθ--⎧-<<⎪=-=⎨⎪⎩;；其他 1(1)2(1)0()ˆ(1)1n nx x EX n dx E E n X n θθθθθθ--⎡⎤===+=⎣⎦+⎰，. 3ˆ(2)2E E X EX θθ===. 所以，1()2(1)31ˆˆˆ,(1),2n n X n X X nθθθ+==+=都是θ的无偏估计量. 2）122222()()()()2()()2(2)(1)n n n n n nx n n EXn dx D X EX EX n n n θθθθ+===-=+++⎰， ()2122222(1)(1(1)(1)2()2()(2)(1)(2)(1)n nx x n EX n D X EX EX n n n n θθθθθ--===-=++++⎰，.10()0,x f x θθθ⎧<<⎪=⎨⎪⎩，；其他()()2221()2(1)31ˆˆˆ()()()(1)()2(2)23n n n D D X D D n X D D X n n n n nθθθθθθ+===+===++，，所以，当1n >，132ˆˆˆ()()()D D D θθθ<<， 132ˆˆˆθθθ最有效，次之，效果最差. 四、（满分14）解：首先检验 2222012112:,:H H σσσσ=≠ 当0H 成立时， *21*22~(9,9)S F F S =拒绝域为 0,975(9,9) 4.03F F ≥= 或0.0251(9,9)0.2484.03F F ≤== 得 *2*21242,88,46,99.3333x S y S ====*21*220.8859S F S ==由于0.2480.8859 4.03F <=<，所以接受0H ，即认为两批器材的电阻的方差没有显著性差异.在此基础上检验012112:,:H H μμμμ=≠ 当0H 成立时，~(18)t t =拒绝域为 0.975||(18) 2.101t t ≥= 计算可得0.9242t ==- 由于||0.9242 2.101t =<，所以接受0H ，即认为两批器材的电阻的均值没有显著性的差异.综合以上，可以认为两批器材的电阻的分布相同. 五、（满分14分）解：(1) 11111()(;)()0nnk kn k k L f x x θθθθθ-====>∏∏，取对数得，11ln ()ln 1ln nk k L n x θθθ=⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭∑令211ln ()ln 0n k k d n L x d θθθθ==--=∑ 解得 =11ˆln nkk x n θ=-∑ 所以，未知参数θ的极大似然估计量 11ˆln n k k X n θ-=-∑. (2) :(;)0f x θθ>｛｝=(0,1)与未知参数θ无关.[]11101211222202111(ln )ln 1(ln )ln 2ln 11ˆˆln ,()ln ttn nk k k k tE X xx dx e dt t E X xx dx e dt D X E E X D D X n n n θθθθθθθθθθθθθθθ--∞--∞==-===-===-=⎡⎤⎡⎤=-==-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰⎰⎰∑∑，，，，，2223222121ln 21);(ln )(θθθθθθθθ=+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂-=X E X f E I 由于 21ˆ()()D nnI θθθ==， 所以，=11ˆln nkk X n θ=-∑是未知参数θ的有效估计量，也是未知参数θ的UMVUE . 六、（满分8分）解： 0111:(1,2,,6),:(1,2,,6)66i i H p i H p i ===不全是当0H 成立时， 26221()(5).k k k k np np νχχ=-=∑近似服从 拒绝域为 22210.95(5)=(5)11.071αχχχ-≥=经计算得 2621() 5.911.071k k k knp np νχ=-==<∑ 所以接受0H ，可以认为这个骰子是均匀、对称的. 七、（满分16）解：（1）21112111155,()82.5,19,()512,205.n nn k xx k k k k k n nyy k xy k k k k x x L x x y y n n L y y L x y nx y ========-====-==-⨯=∑∑∑∑∑.设a 和b 的最小二乘估计分别为aˆ和b ˆ，则 205ˆˆˆ 5.3333, 2.484882.5xy xx L ay bx b L =-==== 回归方程为 ˆˆˆ 5.3333 2.4848ya bx x =+=+. （2）0:,0:10≠=b H b H当0H 成立时， )2(~ˆˆ-=n t L bt xx e σ拒绝域为 1-/20.975||(2)(8) 2.306t t n t α≥-==计算可得，ˆ0.570839.541e t σ====,由于||39.541 2.306t =>，所以，拒绝0H ，认为回归效果显著．（３）当0 6.5x =时，ε++=00bx a y ，00ˆˆˆ21.4848y a bx =+= 由于, )2(~)(11ˆˆ2000--++-=n t Lxxx x n y yt e σ得到, αα-=-<-1)}2(|{|21n tt P所以，成本0y 的置信水平为α-1的预测区间为120012ˆˆˆˆ(2)(2).yt n y t n αασσ--⎛--+- ⎝代入数据计算可得，001122ˆ20.1ˆˆˆ((22.870e e y t n y t n αασσ----+-=，所以,当06x =.5，腐蚀深度0y 的置信水平为95.0的预测区间为20.10,22.87（）.（4）当腐蚀深度在20-26m μ之间，近似地有0.97511ˆˆ'(')(200.5708 1.96 5.3333) 6.35ˆ 2.4848e x y u a b σ=+-=+⨯-=0.97511ˆˆ''('')=(260.5708 1.96 5.3333)7.87ˆ 2.4848e x y u a bσ=---⨯-= 所以，腐蚀时间控制6.35~7.87s ，可以使腐蚀深度在20-26m μ之间. 八（满分14）、解：20,5,44321======n n n n n r)4,,2,1(:,:143210 ====k H H k μμμμμ不全相同．当0H 成立时， ),1(~1r n r F rn S r S F e A----=拒绝域为 10.95(1,)(3,16) 3.24F F r n r F α-≥--== ． 计算可得，1122111111111143,()48n n k k k k x x n S x x n =====-=∑∑2222222222112130,()40n n kk k k x xn S x x n =====-=∑∑3322333333113144,()122n n k k k k x x n S x x n =====-=∑∑4422444444114137,()32n n kk k k x xn S x x n =====-=∑∑24212==∑=rk kk e S n S 42211()5()625rA k k k k k S n x x x x ===-=-=∑∑由于 113.77 3.24Ae S r F S n r-==>-，所以拒绝0H ，即认为不同厂家的电池的平均寿命有显著性差异．。
数理统计考试题及答案
数理统计考试题及答案一、选择题1. 下列哪个选项是中心极限定理的主要内容？A. 样本均值的分布趋近于正态分布B. 样本方差的分布趋近于正态分布C. 样本中位数的分布趋近于正态分布D. 样本最大值的分布趋近于正态分布答案：A2. 假设检验中的两类错误是什么？A. 第一类错误和第二类错误B. 系统误差和随机误差C. 测量误差和估计误差D. 抽样误差和非抽样误差答案：A二、填空题1. 总体均值的估计量是_________。
答案：样本均值2. 在进行假设检验时，如果原假设被拒绝，则我们犯的是_________错误。
答案：第一类三、简答题1. 简述什么是置信区间，并说明其在统计分析中的作用。
答案：置信区间是指在一定置信水平下，用于估计总体参数的一个区间范围。
它的作用是在统计分析中提供对总体参数估计的不确定性度量，帮助我们了解估计值的可信度。
2. 解释什么是点估计和区间估计，并给出它们的区别。
答案：点估计是用样本统计量来估计总体参数的单个值。
区间估计是在一定置信水平下，给出总体参数可能落在的区间范围。
它们的区别在于点估计提供了一个具体的数值，而区间估计提供了一个包含该数值的区间，反映了估计的不确定性。
四、计算题1. 某工厂生产的零件长度服从正态分布，样本均值为50mm，样本标准差为1mm，样本容量为100。
求95%置信水平下的总体均值的置信区间。
答案：首先计算标准误差：\( SE = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} =\frac{1}{\sqrt{100}} = 0.1 \)。
然后根据正态分布的性质，95%置信水平下的置信区间为：\( \bar{x} \pm 1.96 \times SE \)。
计算得到：\( 50 \pm 1.96 \times 0.1 = (49.84, 50.16) \)。
2. 假设某公司员工的日均工作时长服从正态分布，样本均值为8小时，样本标准差为0.5小时，样本容量为36。
数理统计试题及答案
数理统计试题及答案一、单项选择题（每题3分，共30分）1. 下列哪个选项是随机变量的期望值？A. 随机变量的众数B. 随机变量的中位数C. 随机变量的平均值D. 随机变量的方差答案：C2. 以下哪个分布是离散分布？A. 正态分布B. 均匀分布C. 泊松分布D. 指数分布答案：C3. 以下哪个统计量是度量数据离散程度的？A. 均值B. 方差C. 标准差D. 众数答案：B4. 以下哪个统计量是度量数据集中趋势的？A. 极差B. 方差C. 标准差D. 均值答案：D5. 以下哪个选项是中心极限定理的描述？A. 样本均值的分布是正态分布B. 样本方差的分布是正态分布C. 样本大小的分布是正态分布D. 总体均值的分布是正态分布答案：A6. 以下哪个选项是二项分布的参数？A. 样本大小B. 总体均值C. 成功概率D. 总体方差答案：C7. 以下哪个选项是描述总体的？A. 样本均值B. 样本方差C. 总体均值D. 总体方差答案：C8. 以下哪个选项是描述样本的？A. 总体均值B. 总体方差C. 样本均值D. 样本方差答案：C9. 以下哪个选项是描述变量之间关系的？A. 相关系数B. 标准差C. 方差D. 均值答案：A10. 以下哪个选项是描述变量内部关系的？A. 相关系数B. 标准差C. 方差D. 均值答案：C二、填空题（每题4分，共20分）1. 随机变量X服从标准正态分布，其均值为______，方差为______。
答案：0，12. 样本容量为n的样本均值的方差为总体方差σ²除以______。
答案：n3. 两个独立的随机变量X和Y的协方差为______。
答案：04. 相关系数ρ的取值范围在______和______之间。
答案：-1，15. 泊松分布的参数λ表示单位时间内发生事件的______。
答案：平均数三、简答题（每题10分，共20分）1. 简述中心极限定理的内容。
答案：中心极限定理指出，对于足够大的样本容量，样本均值的分布将趋近于正态分布，无论总体分布的形状如何。
概率论与数理统计试题及答案
概率论与数理统计一、单选题1.随机地掷一骰子两次，则两次出现的点数之和等于8的概率为（）。
(4分)A :3/36B :4/36C :5/36D :2/362.A,B为任意两事件，若A,B之积为不可能事件，则称（）。
(4分)A :A与B相互独立B :A与B互不相容C :A与B互为对立事件D :A与B为样本空间Ω的一个划分3.设A,B,C是三个事件，在下列各式中，不成立的是( ) .(4分)A :(A-B)UB=AUBB :(AUB)-B=AC :(AUB)-AB= UBD :(AUB)-C=(A-C)U(B-C)4.以A表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对立事件A为（）.(4分)A :“甲种产品滞销，乙种产品畅销”；B :“甲，乙两种产品均畅销”；C :“甲种产品滞销”；D :“甲种产品滞销或乙种产品畅销”。
5..掷二枚骰子，事件A为出现的点数之和等于3的概率为（）。
(4分)A :11B :44,214C :44,202D :都不对6.设A,B为两个事件，且B A，则下列各式中正确的是( ).(4分)A :P(AUB)= P(A)B :P(AB)=P(A)C :P(BIA)= P(B)D :P(B-A)=P(B)- P(A)7.某小组共9人，分得一张观看亚运会的入场券，组长将一张写有“得票”字样和8张写有“不得票”字样的纸签混合后让大家依次各抽一张，以决定谁得入场券，则（）。
(4分)A :A.第1个抽签者得“得票”的概率最大B :第5个抽签者“得票”的概率最大C :每个抽签者得“得票”的概率相等D :最后抽签者得“得票”的概率最小8.设A,B是两个事件，且P(A)≤P(AIB)则有( ).(4分)A :P(A)= P(AIB)B :P(B)>0C :P(A)≥P(AIB)D :前三者都不一定成立9.设有10个零件，其中2个是次品，现随机抽取2个，恰有一个是正品的概率为（）.(4分)A :8/45B :16/45C :8/15D :8/3010.设盒中有10个木质球，6个玻璃球，玻璃球有两个为红色，4个为蓝色；木质球有3个为红色，7个为蓝色，现从盒中任取一球，用A表示“取到蓝色球”；B表示“取到玻璃球”。
(完整版)数理统计试卷及答案1
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－说明：本试卷总分100分，全试卷共 页，完成答卷时间2小时。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－一、填空题（本大题共 9 题，每题 3 分，共 27 分）.1．已知3.0)(=A P ， 6.0)(=+B A P ，那么①、若A 与B 互不相容，则=)(B P ，②、若A 与B 相互独立，则=)(B P （ ），③、若B A ⊂，则=)(B P 。
2．设随机变量X ~),,(n p k B k n k k n q p C --=)1(。
则X 最可能发生的次数是 ，当p很小、n 很大时，有近似公式),,(n p k B λλ-≈e k k!，其中≈λ 。
3.设)(x F 是随机变量X 的分布函数,若)()()(a F b F b X a p -=ππ，则==)(b X p 。
4．已知随机变量X 的概率分布是Nak X p ==)(，N k 2,,2,1Λ=。
则a = 。
5．设随机变量X 是参数为λ的泊松分布，且)2()1(===X p X p ，则EX= ，DX= 。
6．总体X 的一个样本为7,3,5,2,8。
则X = ，=2S ，SX= 。
7．设n X X X ,,,21Λ是正态总体X~),(2σμN 的样本，2,S X 分别是其样本均数和样本方差，其中2σ未知。
则μ的置信度为α-1的置信区间的长度为 。
8.单因素试验方差分析中,总离差平方和A e SS SS SS +=,其中e SS 称为 ，A SS 称为 9．总体X 与Y 的样本相关系数为yyxx xy l l l r =，则xy l 的计算公式xy l = 。
xx l 的计算公式xx l = 。
yy l 的计算公式yy l = 。
二、单项选择题（本大题共 11 题，每题 3 分，共 33分）每一小题有4个答案，其中只有一个答案是对的，请选出正确的答案填入下列表中。
数理统计试卷及答案
数理统计试卷及答案安徽⼤学2011—2012学年第⼀学期《数理统计》考试试卷（B 卷）（闭卷时间120分钟）院/系年级专业姓名学号⼀、选择题（本⼤题共5⼩题，每⼩题2分，共10分）1、设总体~(1,9)X N ，129(,,,)X X X 是X 的样本，则（）.（A ）1~(0,1)1X N -；（B ）1~(0,1)3X N -；（C ）1~(0,1)9X N -；（D~(0,1)X N ． 2、设n X X X ,...,,21为取⾃总体),(~2σµN X 的样本，X 为样本均值，212)(1X X n S i n i n-=∑=，则服从⾃由度为1-n 的t 分布的统计量为（）。
（A ）σµ）-X n ( （B ）n S X n )(1µ-- （C ）σµ）--X n (1 （D ）n S X n )(µ-3、若总体X ～),(2σµN ，其中2σ已知，当样本容量n 保持不变时，如果置信度1α-减⼩，则µ的置信区间（）.（A ）长度变⼤；（B ）长度变⼩；（C ）长度不变；（D ）前述都有可能.4、在假设检验中，分别⽤α，β表⽰犯第⼀类错误和第⼆类错误的概率，则当样本容量n ⼀定时，下列说法中正确的是（）.（A ）α减⼩时β也减⼩；（B ）α增⼤时β也增⼤；（C ）,αβ其中⼀个减⼩，另⼀个会增⼤；（D ）（A ）和（B ）同时成⽴.5、在多元线性回归分析中，设?β是β的最⼩⼆乘估计，??=-εY βX 是残差向量，则（）.（A ）?n E ()=0ε；（B ）1?]σ-''-εX X 2n Cov()=[()I X X ；（C ）??1n p '--εε是2σ的⽆偏估计；（D ）（A ）、（B ）、（C ）都对.⼆、填空题（本⼤题共5⼩题，每⼩题2分，共10分）6、设总体X 和Y 相互独⽴，且都服从正态分布2(0,3)N ，⽽129(,,)X X X 和129(,,)Y Y Y 是分别来⾃X 和Y的样本，则U =服从的分布是_______ .7、设1?θ与2?θ都是总体未知参数θ的估计，且1?θ⽐2?θ有效，则1?θ与2?θ的期望与⽅差满⾜_______ ______________.8、设总体),(~2σµN X ，2σ已知，n 为样本容量，总体均值µ的置信⽔平为α-1的置信区间为),(λλ+-X X ，则λ的值为________.9、设n X X X ,...,,21为取⾃总体),(~2σµN X 的⼀个样本，对于给定的显著性⽔平α，已知关于2σ检验的拒绝域为χ2≤)1(21--n αχ，则相应的备择假设1H 为________；10、多元线性回归模型=+Y βX ε中，β的最⼩⼆乘估计是?β=_______ ________.三、计算题（本⼤题共5⼩题，每⼩题10分，共50分）11、已知总体X 的概率密度函数为1, 0(),0, xe xf x θθ-?>?=其它其中未知参数0θ>,12(,,,)n X X X 为取⾃总体的⼀个样本，求θ的矩估计量，并证明该估计量是⽆偏估计量．12、设n X X X ,,,21 是来⾃总体X ～)(λP 的样本，0λ>未知，求λ的最⼤似然估计量.13、已知两个总体X 与Y 独⽴，211~(,)X µσ，222~(,)Y µσ，221212, , , µµσσ未知，112(,,,)n X X X 和212(,,,)n Y Y Y 分别是来⾃X 和Y 的样本，求2σσ的置信度为1α-的置信区间.14、合格苹果的重量标准差应⼩于0.005公⽄．在⼀批苹果中随机取9个苹果称重, 得其样本修正标准差为007.0=S 公⽄, 试问：（1）在显著性⽔平05.0=α下, 可否认为该批苹果重量标准差达到要求? （2）如果调整显著性⽔平0.025α=，结果会怎样？ (023.19)9(2025.0=χ, 919.16)9(205.0=χ, 535.17)8(2025.0=χ, 507.15)8(205.0=χ)15、设总体X ～)1,(a N ，a 为未知参数，R a ∈，n X X X ,,,21 为来⾃于X 的简单随机样本，现考虑假设：00:a a H =，01:a a H ≠(0a 为已知数）取05.0=α，试⽤⼴义似然⽐检验法检验此假设（写出拒绝域即可）.（96.1025.0=u ，65.105.0=u ，024.5)1(2025.0=χ，841.3)1(205.0=χ）四、证明题（本⼤题共2⼩题，每⼩题10分，共20分）16、设总体X 服从(1,)B p 分布，12(,,)n X X X 为总体的样本，证明X 是参数p 的⼀个UMVUE ．17、设1,,n X X 是来⾃两参数指数分布()/1(;,),,0x p x e x µθθµµθθ--=>>的样本，证明(1)(,)X X 是(,)µθ充分统计量.五、综合分析题（本⼤题共10分）18、现收集了16组合⾦钢中的碳含量X 及强度Y 的数据，求得162116162110.125,45.788,()0.3024,()()25.5218,()2432.4566.i ii ii i x y xx xx y y yy =====-=--=-=∑∑∑(1)建⽴Y 关于X 的⼀元线性回归⽅程x y 10ββ+=; (2)对Y 与X 的线性关系做显著性检验（05.0=α,60.4)14,1(05.0=F , 1448.2)14(025.0=t , 7613.1)14(05.0=t ）.安徽⼤学2011—2012学年第⼀学期《数理统计》（B 卷）考试试题参考答案及评分标准⼀、选择题（每⼩题2分，共10分）1、A2、D3、C4、C5、B⼆、填空题（每⼩题2分，共10分）6、)9(t7、1212()(), ()()E E D D θθθθ=< 8、2/αµσn9、202σσ< 10、1?σ-'2Cov(β)=()X X三、计算题（本⼤题共5⼩题，每⼩题10分，共50分）11、解：（1）()101()x v E X xf x dx xe dx θθθ-∞∞-∞====??，⽤111n i i v X X n ===∑代替，所以∑===ni iX Xn11?θ． ………………5分（2）11?()()()()ni i E E X E X E X n θθ=====∑，所以该估计量是⽆偏估计． (10)分12、解: 总体X 的分布律为{}(,),1,2,!xp x P Xx e x x λλλ-====设12(,,,)n x x x 为样本12(,,,)n X X X 的⼀个观察值，似然函数111()(),!!iixxnnnn i i i i i i L P X x eex x λλλλλ--=======∏∏∏ …………………………4分对数似然函数[]1ln ()ln ln(!)ni i i L n x x λλλ==-+-∑，1111?(ln ())0,0,n ni i i i d L n x x d n λλλλ===-+==∑∑ 2221?1(ln ())0n ii x d nL x d x λλλλ===-?=-<∑，所以?x λ=是λ的最⼤似然估计值，λ的最⼤似然估计量为?X λ=. …………10分 13、解：设布定理知的样本⽅差，由抽样分，分别表⽰总体Y X S S 2221 , []/2121/212(1,1)(1,1)1P F n n F F n n ααα---<<--=-，则222221211221/2122/212//1(1,1)(1,1)S S S S P F n n F n n αασασ-??<<=- ?----??，所求2221σσ的置信度为α-1的置信区间为222212121/212/212//, (1,1)(1,1)S S S S F n n F n n αα-?? ?----??．………10分14、解：（1）()()2222021:0.005,~8n S H σχχσ-≤=，则应有： ()()2220.050.0580.005,(8)15.507P χχχ>=?=，具体计算得：22280.00715.6815.507,0.005χ?==>所以拒绝假设0H ，即认为苹果重量标准差指标未达到要求． ………………5分（2）新设 20:0.005,H σ≤ 由2220.025280.00717.535,15.6817.535,0.005χχ?=?==< 则接受假设，即可以认为苹果重量标准差指标达到要求． ………………10分15、解：似然函数为∑==--n2)(212/1)2(1);,,(π，从⽽ ∑==--ni i a X n n e a x x L 120)(212/01)2(1);,,(π⼜参数a 的极⼤似然估计为X ，于是∑==--∈ni i X X n n Ra e a x x L 12)(212/1)2(1);,,(sup π得似然⽐函数为})(2ex p{);,,();,,(sup ),,(200111a X na x x L a x x L x x n n R a n -==∈λ， ………………5分给定05.0=α，得)ln 2)(()|),,((05.00200001λλλ>-==>=a X n P a a x x P n ，因为当0H 成⽴时，20)(a X n -～)1(2χ，此即0205.0ln 284.3)1(λχ==，从⽽上述问题的拒绝域是}84.3)({200>-=a X n W . ………………10分四、证明题（本⼤题共2⼩题，每⼩题10分，共20分） 16、证明：X 的分布律为1(;)(1),0,1x x f x p p p x -=-=．容易验证(;)f x p 满⾜正则条件，于是21()ln (;)(1)I p E f x p p p p ==-??． ………………5分Var()Var()()p p X X n n nI p -===，即X 得⽅差达到C-R 下界的⽆偏估计量，故X 是p 的⼀个UMVUE ． ………………10分17、证明样本的联合密度函数为1(1)(1)()111(,,;,)()().ni i x nx n nnn x x P x x eI eI µµθθµµθµθθ=----->>∑== ………………5分取(1)(1)11(,),(;)(),(,,)1,2nx n n x n t x x g t eI h x x µθµθθ-->=== 故由因⼦分解定理，(1)(,)X X 是(,)µθ充分统计量. ………………10分五、综合分析题（本⼤题共10分）18、解: (1)根据已知数据可以得到回归系数的估计为1611162101()()84.3975,0.3024()45.78884.39750.12535.2389.ii i i i xx y y x x y x βββ==--===-=-=-?=∑∑故Y对X的回归⽅程为35.238984.3975.=+yx . ………………………5分 (2)该问题即需要检验假设0:10=βH由于4805.278?1=-=xy yy l l Q β，从⽽ 9761.2153=-=Q l U yy 于是 2863.108)2/(=-=n Q UF ，⼜ 60.4)14,1(05.0=F ，可见 )14,1(05.0F F >，因此拒绝原假设，即回归效果显著。
数理统计试题及答案
数理统计试题及答案一、单项选择题（每题3分，共30分）1. 在概率论中，随机变量X的数学期望E(X)表示的是（）。
A. X的众数B. X的中位数C. X的均值D. X的方差答案：C2. 以下哪项是描述性统计中常用的数据集中趋势的度量方法？（）。
A. 极差B. 方差C. 标准差D. 偏度答案：A3. 假设检验中，原假设H0通常表示的是（）。
A. 研究者想要证明的假设B. 研究者想要否定的假设C. 研究者认为正确的假设D. 研究者认为错误的假设答案：C4. 在回归分析中，如果自变量X与因变量Y之间存在线性关系，则回归系数β1表示的是（）。
A. X每增加一个单位，Y平均增加β1个单位B. X每增加一个单位，Y平均减少β1个单位C. X每减少一个单位，Y平均增加β1个单位D. X每减少一个单位，Y平均减少β1个单位答案：A5. 以下哪项是统计学中用于衡量数据离散程度的指标？（）。
A. 均值B. 中位数C. 众数D. 方差答案：D6. 抽样分布是指（）。
A. 总体数据的分布B. 样本数据的分布C. 样本统计量的分布D. 总体统计量的分布答案：C7. 在统计学中，置信区间是用来估计（）。
A. 总体均值B. 总体方差C. 总体标准差D. 以上都是答案：D8. 以下哪项是统计学中用于衡量数据分布形态的指标？（）。
A. 均值B. 方差C. 偏度D. 峰度答案：C9. 假设检验中，如果p值小于显著性水平α，则（）。
A. 拒绝原假设B. 接受原假设C. 无法做出决策D. 需要更多的数据答案：A10. 在方差分析中，如果F统计量大于临界值，则（）。
A. 拒绝原假设B. 接受原假设C. 无法做出决策D. 需要更多的数据答案：A二、多项选择题（每题5分，共20分）1. 下列哪些是统计学中常用的数据收集方法？（）。
A. 观察法B. 实验法C. 调查法D. 抽样法答案：ABCD2. 描述性统计中，以下哪些是数据的集中趋势的度量方法？（）。
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《数理统计》考试题及参考答案一、填空题（每小题3分，共15分）1，设总体X 和Y 相互独立，且都服从正态分布2(0,3)N ，而129(,,)X X X 和129(,,)Y Y Y 是分别来自X 和Y的样本，则U =服从的分布是_______ .解：(9)t ．2，设1ˆθ与2ˆθ都是总体未知参数θ的估计，且1ˆθ比2ˆθ有效，则1ˆθ与2ˆθ的期望与方差满足_______ .解：1212ˆˆˆˆ()(), ()()E E D D θθθθ=<． 3，“两个总体相等性检验”的方法有_______ 与____ ___.解：秩和检验、游程总数检验．4，单因素试验方差分析的数学模型含有的三个基本假定是_______ . 解：正态性、方差齐性、独立性．5，多元线性回归模型=+Y βX ε中，β的最小二乘估计是ˆβ=_______ .解：1ˆ-''X Y β=()X X ． 二、单项选择题（每小题3分，共15分）1，设12(,,,)(2)n X X X n ≥为来自总体(0,1)N 的一个样本，X 为样本均值，2S 为样本方差，则____D___ .（A ）(0,1)nXN ； （B ）22()nS n χ；（C ）(1)()n Xt n S-； （D ）2122(1)(1,1)nii n X F n X=--∑.2，若总体2(,)XN μσ，其中2σ已知，当置信度1α-保持不变时，如果样本容量n 增大，则μ的置信区间____B___ .（A ）长度变大； （B ）长度变小； （C ）长度不变； （D ）前述都有可能.3，在假设检验中，分别用α，β表示犯第一类错误和第二类错误的概率，则当样本容量n 一定时，下列说法中正确的是____C___ .（A ）α减小时β也减小； （B ）α增大时β也增大； （C ）,αβ其中一个减小，另一个会增大； （D ）（A ）和（B ）同时成立.4，对于单因素试验方差分析的数学模型，设T S 为总离差平方和，e S 为误差平方和，A S 为效应平方和，则总有___A___ .（A ）T e A S S S =+； （B ）22(1)AS r χσ-；（C ）/(1)(1,)/()A e S r F r n r S n r ----； （D ）A S 与e S 相互独立.5，在一元回归分析中，判定系数定义为2TS R S =回，则___B____ . （A ）2R 接近0时回归效果显著； （B ）2R 接近1时回归效果显著； （C ）2R 接近∞时回归效果显著； （D ）前述都不对. 三、（本题10分）设总体21(,)XN μσ、22(,)Y N μσ，112(,,,)n X X X 和212(,,,)n Y Y Y 分别是来自X 和Y 的样本，且两个样本相互独立，X Y 、和22X Y S S 、分别是它们的样本均值和样本方差，证明12)(2)X Y t n n +-，其中2221212(1)(1)2X Yn S n S S n n ω-+-=+-.证明：易知221212(,)X YN n n σσμμ--+，(0,1)X Y U N =．由定理可知22112(1)(1)Xn S n χσ--，22222(1)(1)Yn S n χσ--．由独立性和2χ分布的可加性可得222121222(1)(1)(2)XYn S n S V n n χσσ--=++-．由U 与V 得独立性和t 分布的定义可得12(2)X Y t n n =+-．四、（本题10分）已知总体X 的概率密度函数为1,0(),0, xe xf x θθ-⎧>⎪=⎨⎪⎩其它其中未知参数0θ>,12(,,,)n X X X 为取自总体的一个样本，求θ的矩估计量，并证明该估计量是无偏估计量．解：（1）()101()xv E X xf x dx xe dx θθθ-∞∞-∞====⎰⎰，用111ni i v X X n ===∑代替，所以∑===ni iX Xn11ˆθ．（2）11ˆ()()()()ni i E E X E X E X n θθ=====∑，所以该估计量是无偏估计．五、（本题10分）设总体X 的概率密度函数为(;)(1),01f x x x θθθ=+<<，其中未知参数1θ>-，12(,,)n X X X 是来自总体X 的一个样本，试求参数θ的极大似然估计．解：1 (1)() , 01() 0 , nn i i i x x L θθθ=⎧+∏<<⎪=⎨⎪⎩其它当01i x <<时，1ln ()ln(1)ln ni i L n x θθθ==++∑，令1ln ()ln 01ni i d L nx d θθθ==+=+∑，得 1ˆ1ln nii nxθ==--∑．六、（本题10分）设总体X 的密度函数为e ,>0;(;)0,0,x x f x x λλλ-⎧=⎨≤⎩ 未知参数0λ>，12(,,)n X X X 为总体的一个样本，证明X 是1λ的一个UMVUE ． 证明：由指数分布的总体满足正则条件可得222211()ln (;)I E f x E λλλλλ⎡⎤∂-⎛⎫=-=-= ⎪⎢⎥∂⎝⎭⎣⎦，1λ的的无偏估计方差的C-R 下界为2221221[()]11()nI n n λλλλλ-⎡⎤⎢⎥'⎣⎦==． 另一方面()1E X λ=， 21V a r ()X n λ=，即X 得方差达到C-R 下界，故X 是1λ的UMVUE ．七、（本题10分）合格苹果的重量标准差应小于0.005公斤．在一批苹果中随机取9个苹果称重, 得其样本标准差为007.0=S 公斤, 试问：（1）在显著性水平05.0=α下, 可否认为该批苹果重量标准差达到要求? （2）如果调整显著性水平0.025α=，结果会怎样？参考数据: 023.19)9(2025.0=χ, 919.16)9(205.0=χ, 535.17)8(2025.0=χ, 507.15)8(205.0=χ．解：（1）()()2222021:0.005,~8n S H σχχσ-≤=，则应有：()()2220.050.0580.005,(8)15.507P χχχ>=⇒=，具体计算得：22280.00715.6815.507,0.005χ⨯==>所以拒绝假设0H ，即认为苹果重量标准差指标未达到要求．（2）新设 20:0.005,H σ≤ 由2220.025280.00717.535,15.6817.535,0.005χχ⨯=⇒==< 则接受假设，即可以认为苹果重量标准差指标达到要求．八、（本题10分）已知两个总体X 与Y 独立，211~(,)X μσ，222~(,)Y μσ，221212, , , μμσσ未知，112(,,,)n X X X 和212(,,,)n Y Y Y 分别是来自X 和Y 的样本，求2122σσ的置信度为1α-的置信区间.解：设22, X Y S S 分别表示总体X Y ，的样本方差，由抽样分布定理可知221121(1)(1)Xn S n χσ--，222222(1)(1)Yn S n χσ--，由F 分布的定义可得211222121222221222(1)(1)(1,1)(1)(1)XX YY n S n S F F n n n SS n σσσσ--==----．对于置信度1α-，查F 分布表找/212(1,1)F n n α--和1/212(1,1)F n n α---使得 []/2121/212(1,1)(1,1)1P F n n F F n n ααα---<<--=-， 即22222121/2122/212//1(1,1)(1,1)X Y X Y S S S S P F n n F n n αασασ-⎛⎫<<=- ⎪----⎝⎭，所求2221σσ的置信度为α-1的置信区间为 22221/212/212//, (1,1)(1,1)X Y X Y S S S S F n n F n n αα-⎛⎫ ⎪----⎝⎭．九、(本题10分)试简要论述线性回归分析包括哪些内容或步骤．解：建立模型、参数估计、回归方程检验、回归系数检验、变量剔除、预测．。