应急中心的选址问题数学建模

救护中心建立问题的研究

摘要

本文对某小镇建立两个救护中心，使应对突发事件总的响应时间最少的问题进行了分析，并建立了数学模型进行了求解。

在假设(I)的前提下，即需要救护的事件集中在每个街区的中心。考虑到街区数目不是很多，本文采用穷举法进行了最优解的搜索。即先任意选取两点作为救护中心的位置，然后计算其他街区到这两个救护中心的总响应时间，总响应时间最少的旧最优的方案。同时为了考虑障碍区域和水塘，本文首先对那些设置救护中心需要穿越障碍区域和水塘的点进行了剔除，然后在利用计算机一一穷举。

在假设(Ⅱ)的前提下，需要救护的事件均匀分布在街道上，在计算总响应时间时，本文把整个街道的事件发生频率集中在街道的中心位置处进行计算。同时本文证明了当救护中心仍设立在街角处时所需的总响应时间是最少的，这样仍可以按照假设(I)中的穷举方法求出救护中心设立的最优位置。

关键词：穷举法；剔除；街道中心；街角

一.问题的重述

某小镇开始计划建立两个救护中心，把救护站、消防队和派出所结合在一起。

图1指出每个长方形街区所发生的需要救护事件的次数，北边的L形区域是障碍，而南边的长方形区域是浅水池，救护车辆驶过一条南北向的街道平均花15秒，而救护车辆驶过一条东西向的街道平均花20秒，请确定这两个救护中心的位置，使得总响应时间最少。

(1)假定需要救护的事件集中在每个街区的中心，救护中心位于街角处。

(2)假定需要救护的事件沿包围每个街区的街道上均匀分布，救护中心可位于街道

的任何地方。

图1 小镇的街区分布图

二．问题分析

对于假设(I)的情况，要建立救助站的位置，使总的响应时间最短。在考虑障碍区域的情况下，可以首先把那些建立救护站需要穿过障碍区域的点剔除掉，然后可以考虑穷举法利用计算机求出最佳的建立救护中心的位置。

对于假设(Ⅱ)的情况，由于突发事件是均匀分布在每条街道上的，可以利用每条街道的中心点位置来作为这整条街道突发事件的频率集中点。同时可以证明：在街角处设置救护中心是所需总响应时间最短的。这样建立救护中心的位置使有限的，仍可以考虑

穷举法利用计算机进行求解。

三．符号说明

1122T(X ,Y ,X ,Y ) 建立两个救护中心所需最少时间的函数

t(X ,Y ,,)m n i j 第(i,j)个小区到(X ,Y m n )个救护站的时间函数

P 街区的事故发生频率矩阵

(,)P i j 坐标中第(i,j)个区域的应急事件次数

i 每个街区街角的横坐标

j 每个街区街角的纵坐标

四．模型假设

1.在同一时刻各街区及街区内不会同时发生两件应急事件；

2.应急事件集中在街区中心，而应急设施在街角处；

3.障碍区及浅水塘区应急事件次数为零；

4.应急车辆的响应时间只考虑在街道上行驶的时间，不考虑转弯的时间；

5.假设应急需求沿包围每个街区的街道是均与分布的，而应急措施可以位于街道的任何地方。

五．模型的建立与求解

5.1 问题一的模型建立与求解

在假定(I)的前提下，应急需求集中在每个街区的中心，本文进一步假定应急车辆只要到达该街区四个街角中最近的一个，就认为到达率该街区。则有假定(I)每个应急设施选在街角处，可能的位置只有6×11=66个，两个应急设施的位置的可能组合至多只有66×65/2=2145个。考虑到这个数目不是很大，可以利用计算机进行穷举，对每种组合一一算出所对应的总响应时间，依次比较得出最小的响应时间及其对应的选址方案，具体的算法是：

建立直角坐标系，一该镇的东北角为原点，以从东到西为X 轴的正方向，以从北向南为Y 轴的正方向，在南北和东西方向分别以一个街区的长作为单位长，则街角的坐标(X,Y)是满足条件05,010X Y ≤≤≤≤的整数。而每个街区的中心的坐标具有形式(0.5,0.5)i j ++，其中i ，j 满足的条件：04,09i j ≤≤≤≤的整数。如果不考虑障碍和水塘的影响则应急车辆从设在(X,Y)点的应急到一(0.5,0.5)i j ++为中心的街区的行驶时间等于:

记(,)P i j 为以(0.5,0.5)i j ++为中心的街区的事故发生频率(即在图上该街区所标的数字)。用矩阵P 表示，则P 为

则如果应急设施设在11(,)X Y ,22(,)X Y 这两点，则该设置方案的总响应时间为

让1X 取遍0—4，2X 取遍1X —4，12,Y Y 分别独立地取遍0—10，依次对1122(,,,)

X Y X Y 的每一个值计算出对应的总响应时间1122(,,,)T X Y X Y 。通过比较可得出所有这些总响应时间的最小值。

以上计算的过程没考虑障碍区域和水塘的情况，对于考虑障碍区域和水塘的情况，见图2.

图2.障碍区域

只要不把救护站设在图2所标记的A 、B 、C 、D 、E 等点，则救护的路线就不会穿越障碍区域。所以在计算中可以事先把这些点剔除。同理对于水塘障碍区域见图3.只要剔除F 、G 点即可保证救护车的路线不会穿越水塘。

图3. 水塘区域

按照以上计算过程利用计算机求解可得在M 和N 处建立救护中心，所需的最少时间为5065秒。见图4.

图4.救护中心的位置

按照以上计算过程利用计算机求解可得在M 和N 处建立救护中心，所需的最少时间为5065秒。即两个救护中心分别建立在(2,2)和(2,6)两点。见图4.(求解代码见附件)

5.2 模型二的建立与求解

在假定(Ⅱ)的情况下,由于允许应急设施在街道上任何位置，这就有无穷多种可能，不能直接用计算机穷举，不过，本文可以证明:应急设施仍应设在街角处，才能使总的响应时间最短。

对已选定的两个应急设施的位置A 和B 。首先，本文将街道上所有的点的集合划分成两个责任区V A 和V B ，分别由A ，B 进行救助：街道上的点P 如果由A 点去救助比由B 点去救助的时间更短，就将P 划进A 的责任区V A ，反之就划进V B 。为了叙述方便，本文将每个长方形街区的死条边中的每一条称为一条“街道”，街道的一段称为“街段”。没挑街道中属于V A 的点与属于V B 的点各组成一个街段。分别成为A 的或B 的责任段。一条街道最多被分成两个责任段，责任段只有有限多条。对于每个应急设施，分别计算出它的每个责任段的总响应时间，将总响应时间求和就得到这个设施的责任区的总响应时间，将两个责任区各自的总响应使劲相加就得到这一选址方案的总响应时间。

下面需要知道：任一设施A 到它的一个责任区段EF 的总响应时间怎样计算。按假定(Ⅱ),街区出现事故的频率平均分布在它周围的四条街道上，每条街段的事故发生频