高数下册常用常见知识点

高数下册常用常见知识点高等数学下册常用知识点第八章：空间解析几何与向量代数一、向量及其线性运算1.向量的概念及基本性质：包括向量相等、单位向量、零向量、向量平行、共线、共面等基本概念。

2.向量的线性运算：包括加减法和数乘。

3.空间直角坐标系：包括坐标轴、坐标面、卦限和向量的坐标分解式等。

4.利用坐标进行向量的运算：设向量a=(ax。

ay。

az)，向量b=(bx。

by。

bz)，则a±b=(ax±bx。

ay±by。

az±bz)，λa=(λax。

λay。

λaz)。

5.向量的模、方向角、投影：包括向量的模、两点间的距离公式、方向角、方向余弦和投影等。

二、数量积和向量积1.数量积：包括数量积的概念、性质和计算公式等。

2.向量积：包括向量积的概念、性质和计算公式等。

三、曲面及其方程1.曲面方程的概念：包括曲面方程的定义和基本性质等。

2.旋转曲面：包括旋转曲面的定义、方程和旋转后方程的计算等。

3.柱面：包括柱面的特点、方程和母线的概念等。

4.二次曲面：包括椭圆锥面的方程和图形等。

2.椭球面：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$3.旋转椭球面：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1$4.单叶双曲面：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1$5.双叶双曲面：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=-1$6.椭圆抛物面：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=z$7.双曲抛物面（马鞍面）：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=z$8.椭圆柱面：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$9.双曲柱面：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$10.抛物柱面：$2x=ay^2$空间曲线及其方程：1.参数方程：$\begin{cases}x=x(t)\\y=y(t)\\z=z(t)\end{cases}$，如螺旋线：$\begin{cases}x=a\cos t\\y=a\sin t\\z=bt\end{cases}$2.一般方程：$F(x,y,z)=0$，消去$z$，得到曲线在面$xoy$上的投影。

3.空间曲线在坐标面上的投影。

平面及其方程（法向量）：1.点法式方程：$A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0$，法向量：$n=(A,B,C)$，过点$(x_0,y_0,z_0)$。

2.一般式方程：$Ax+By+Cz+D=0$，某个系数为零时的特点。

3.截距式方程：$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1$4.点$P(x,y,z)$到平面$Ax+By+Cz+D=0$的距离：$\frac{|Ax+By+Cz+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$空间直线及其方程（方向向量）：1.一般式方程：$\begin{cases}A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0\\A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0\end{cases}$2.对称式（点向式）方程：$\frac{x-x_0}{m}=\frac{y-y_0}{n}=\frac{z-z_0}{p}$，方向向量：$s=(m,n,p)$。

1.参数式方程：begin{cases} x=x+mt \\ y=y+nt \\ z=z+pt \end{cases} \qquad \vec{s}=(m,n,p)$$2.两直线的夹角：cos\phi =\frac{m_1m_2+n_1n_2+p_1p_2}{\sqrt{m_1^2+n_1^2+p_1^2}\sqrt{m_2^2+n_2^2+p_2^2}}$$3.直线与平面的夹角：sin\phi = \frac{A\cdot m+B\cdot n+C\cdotp}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}\sqrt{m^2+n^2+p^2}}$$其中$L\parallel\pi\iff A\cdot m+B\cdot n+C\cdot p=0$，$L\perp\pi\iff mnp=ABC$4.多元函数微分法及其应用一）基本概念1.距离、邻域、内点、外点、边界点、聚点、开集、闭集、连通集、区域、闭区域、有界集、无界集。

2.多元函数：$z=f(x,y)$，图形，定义域：$D\subset\mathbb{R}^2$。

3.极限：$\lim\limits_{(x,y)\to(x_0,y_0)}f(x,y)=A$。

4.连续：$f(x,y)$在$(x_0,y_0)$连续$\iff\lim\limits_{(x,y)\to(x_0,y_0)}f(x,y)=f(x_0,y_0)$。

5.偏导数：$f_x(x,y)=\lim\limits_{\Delta x\to0}\dfrac{f(x+\Delta x,y)-f(x,y)}{\Delta x}$，$f_y(x,y)=\lim\limits_{\Delta y\to 0}\dfrac{f(x,y+\Delta y)-f(x,y)}{\Delta y}$。

6.方向导数：$\dfrac{\partial f}{\partiall}(x_0,y_0)=\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{f(x_0+ha,y_0+hb)-f(x_0,y_0)}{h}$，其中$l$为方向，$\alpha,\beta$为$l$的方向角，$a=\cos\alpha,b=\cos\beta$。

7.梯度：$\text{grad}f(x,y)=f_x(x,y)\vec{i}+f_y(x,y)\vec{j}$。

8.全微分：$dz=\dfrac{\partial f}{\partialx}dx+\dfrac{\partial f}{\partial y}dy$。

二）性质1.函数可微$\Rightarrow$偏导连续，偏导存在，函数连续，偏导数连续$\Rightarrow$函数可微。

2.闭区域上连续函数的性质（有界性定理，最大最小值定理，介值定理）。

3.微分法：1）定义：若$\Delta z=f(x,y)-f(x_0,y_0)$，则$\Deltaz=A\Delta x+B\Delta y+o(\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2})$，其中$A=f_x(x_0,y_0),B=f_y(x_0,y_0)$。

2）复合函数求导：链式法则。

1.隐函数求导隐函数求导有两种方法：一种是两边求偏导，然后解方程组；另一种是使用公式法。

2.应用2.1 极值对于无条件极值，首先求出所有驻点，然后对于每一个驻点(x,y)，令A=fxx(x,y)，B=fxy(x,y)，C=fyy(x,y)，然后判断AC-B^2和A的大小关系，若AC-B^2>0且A>0，则函数有极小值；若AC-B^2>0且A<0，则函数有极大值；若AC-B^2<0，则函数没有极值；若AC-B^2=0，则不确定是否有极值。

对于条件极值，令L(x,y)=f(x,y)+λϕ(x,y)，其中ϕ(x,y)=0，然后解方程组。

2.2 几何应用对于曲线，若给定参数方程x=x(t)，y=y(t)，则曲线上一点M(x,y,z)(对应参数为t)处的切线方程为x'(t)y'(t)z'(t)，法平面方程为F(x,y,z)=x-xy-yz-z=0.对于曲面，若给定方程F(x,y,z)=0，则曲面上一点M(x,y,z)处的切平面方程为F(x,y,z)Fx(x,y,z)(x-x)+Fy(x,y,z)(y-y)+Fz(x,y,z)(z-z)=0，法线方程为FxFyFz。

3.二重积分3.1 定义和性质二重积分的定义为limΔσk→0∑kf(ξk,ηk)Δσk，其中XXX 为第k个小区域的面积，ξk和ηk为该区域内任意一点的横纵坐标。

二重积分具有六条性质。

3.2 计算方法对于直角坐标系下的二重积分，可以根据积分区域的形状分别采用X型区域和Y型区域的计算方法。

对于X型区域，积分区域为D={(x,y)|a≤x≤b,φ1(x)≤y≤φ2(x)}，则∬Df(x,y)dxdy=∫abdx∫φ2(x)φ1(x)f(x,y)dy；对于Y型区域，积分区域为D={(x,y)|c≤y≤d,φ1(y)≤x≤φ2(y)}，则∬Df(x,y)dxdy=∫cdy∫φ2(y)φ1(y)f(x,y)dx。

二重积分1）直角坐标系下的二重积分iint_D f(x,y)dxdy=\int_c^ddy\int_{\varphi_1(y)}^{\varphi_2(y)} f(x,y)dx$$交换积分次序后得到：iint_D f(x,y)dxdy=\int_a^b dx\int_{\psi_1(x)}^{\psi_2(x)} f(x,y)dy$$2）极坐标系下的二重积分设 $D$ 是由极角 $\theta$ 和极径 $\rho$ 确定的区域，其中$\alpha\leq\theta\leq\beta,\rho_1(\theta)\leq\rho\leq\rho_2(\theta)$，则iint_D f(x,y)dxdy=\int_\alpha^\betad\theta\int_{\rho_1(\theta)}^{\rho_2(\theta)}f(\rho\cos\theta,\rho\sin\theta)\rho d\rho$$三重积分1）定义iiint_\Omega f(x,y,z)dv=\lim_{\lambda\to 0}\sum_{k=1}^nf(\xi_k,\eta_k,\zeta_k)\Delta v_k$$2）性质3）计算直角坐标系下的三重积分iiint_\Omega f(x,y,z)dv=\iiint_\Omega f(x,y,z)dxdydz$$通过投影法“先一后二”计算：iiint_\Omegaf(x,y,z)dv=\int_{z_1}^{z_2}dz\iint_{D_z}f(x,y,z)dxdy$$通过截面法“先二后一”计算：iiint_\Omegaf(x,y,z)dv=\iint_{D_{xy}}dxdy\int_{z_1(x,y)}^{z_2(x,y)}f(x,y,z) dz$$柱面坐标系下的三重积分设 $\Omega$ 是由 $z$ 轴和曲面 $z=f(\rho,\theta)$ 以及$\rho=\rho_1,\rho=\rho_2$ 围成的区域，则iiint_\Omegaf(x,y,z)dv=\int_0^{2\pi}d\theta\int_{\rho_1}^{\rho_2}d\rho\int_{z_1(\rho,\theta)}^{z_2(\rho,\theta)}f(\rho\cos\theta,\rho\sin\theta,z)\ rho dz$$球面坐标系下的三重积分设 $\Omega$ 是由 $z$ 轴和曲面 $z=f(\rho,\theta)$ 以及$\rho=\rho_1,\rho=\rho_2$ 围成的区域，则iiint_\Omega f(x,y,z)dv=\int_0^{2\pi}d\theta\int_0^\pid\varphi\int_{\rho_1}^{\rho_2}f(\rho\sin\varphi\cos\theta,\rho\sin\ varphi\sin\theta,\rho\cos\varphi)\rho^2\sin\varphi d\rho$$应用设曲面 $S:z=f(x,y),(x,y)\in D$，则曲面面积为A=\iint_D\sqrt{1+\left(\frac{\partial z}{\partialx}\right)^2+\left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)^2}dxdy$$对弧长的曲线积分1）定义设 $L$ 为平面上一条光滑曲线弧，$f(x,y)$ 在 $L$ 上有定义，则对弧长的曲线积分为int_L f(x,y)ds=\lim_{\lambda\to 0}\sum_{i=1}^nf(\xi_i,\eta_i)\Delta s_i$$2）性质3）计算设 $L$ 是由参数方程 $x=x(t),y=y(t),a\leq t\leq b$ 确定的曲线弧，则int_L f(x,y)ds=\int_a^bf(x(t),y(t))\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\rig ht)^2}dt$$如果 $L$ 可以表示为 $y=\varphi(x),a\leq x\leq b$，则int_L f(x,y)ds=\int_a^bf(x,\varphi(x))\sqrt{1+\left(\frac{d\varphi}{dx}\right)^2}dx$$如果 $L$ 是一个封闭曲线，则oint_L f(x,y)ds=\int_{L_1} f(x,y)ds+\int_{L_2} f(x,y)ds$$其中 $L=L_1+L_2$。