第十三讲反比例函数详解

第十三讲 反比例函数

第一部分 知识梳理

一、反比例函数的解析式

1．反比例函数的概念

一般地，函数x

k

y =

（k 是常数，k ≠0）叫做反比例函数。反比例函数的解析式也可以写成1

-=kx y 的形式。自变量x 的取值范围是x ≠0的一切实数，函数的取值范围也是一切非零实数。

2．反比例函数解析式的确定 由于在反比例函数x

k

y =

中，只有一个待定系数，因此只需要一对对应值或图像上的一个点的坐标，即可求出k 的值，从而确定其解析式。

二、反比例函数的图像及性质

1．反比例函数的图象

反比例函数的图象是双曲线，有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、四象限，它们关于原点对称。由于反比例函数中自变量x≠0，函数y≠0，所以，它的图象与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。

2．反比例函数的性质

3．反比例函数中反比例系数的几何意义

(如图)面积为k 。 连接该点和原点，所得三

三角形（如图）的面积m 的值

D ．2

1

-

〖选题意图〗对于反比例函数)0(≠=

k x

k

y 。由于11-=x x ，所以反比例函数也可以写成

1-=x y （k 是常数，k ≠0）的形式，有时也以xy=k （k 是常数，k ≠0）的形式出现。（1）k ＞0，反比例函数图象在一、三象限；（2）k ＜0，反比例函数图象在第二、四象限内．本题需要理解好反比例函数定义中的系数和指数，同时需要掌握反比例函数的性质，这样才能防止漏解或多解。

〖解题思路〗根据反比例函数的定义m 2

﹣5=﹣1，又图象在第二、四象限，所以m+1＜0，两式联立方程组求解即可．

〖参考答案〗解：∵函数()5

21-+=m x

m y 是反比例函数，且图象在第二、四象限内，

∴⎩

⎨⎧+-=-011

52＜m m ，解得m =±2且m ＜﹣1，∴m =﹣2．故选B ．

【课堂训练题】

1．已知y=y 1+y 2，y 1与x 成正比例，y 2与x ﹣2成反比例，且当x =1时，y =﹣1；当x=3时，y=5．求y 与x 的函数关系式． 〖难度分级〗A 类

〖参考答案〗解：设y 1=k 1x （k 1≠0），y 2=错误！未找到引用源。 ∴y=k 1x+错误！未找到引用源。 ∵当x=1时，y=﹣1；当x=3时，y=5，

∴⎩⎨⎧=+-=-5312121k k k k ，∴⎩⎨⎧==212

1k k 。

∴2

2

-+

=x x y 。 2．定义：已知反比例函数x k y 1=

与x

k

y 2=，如果存在函数x k k y 21=（k 1k 2＞0）则称函数

x

k k y 21=

为这两个函数的中和函数。

（1）试写出一对函数，使得它的中和函数为x

y 2

=，并且其中一个函数满足：当x ＜0时，y 随x 的增大而增大。 （2）函数x y 3-=和x y 12-=的中和函数x

k y =的图象和函数y =2x 的图象相交于两点，试求当x

k

y =

的函数值大于y=2x 的函数值时x 的取值范围。 〖难度分级〗B 类

〖参考答案〗解：（1）∵试写出一对函数，使得它的中和函数为错误！未找到引用源。， 并且其中一个函数满足：当x ＜0时，y 随x 的增大而增大．

∴答案不唯一，如错误！未找到引用源。与错误！未找到引用源。等； y=

x

3- （2）∵错误！未找到引用源。和错误！未找到引用源。的中和函数错误！未找到引用源。，

联立方程组⎪⎩⎪⎨⎧

==

x

y x y 26，

解之得两个函数图象的交点坐标为（3，32）（3-，32-），结合图象得到当x

k

y =的函数值大于y=2x 的函数值时x 的取值范围是3-＜x 或30＜＜x ．

【例题2】如图所示是反比例函数x

n y 4

2-=

的图象的一支，根据图象回答下列问题： （1）图象的另一支在哪个象限？常数n 的取值范围是什么？ （2）若函数图象经过点（3，1），求n 的值；

（3）在这个函数图象的某一支上任取点A （a 1，b 1）和点B （a 2，b 2），如果a 1＜a 2，试比较b 1和b 2的大小．

〖选题意图〗本题主要考查反比例函数图象的性质和待定系数法求函数解析式的方法，需要熟练掌握．

〖解题思路〗（1）根据反比例函数图象的性质，这一支位于第一象限，另一支一定位于第三象限；

（2）把点的坐标代入反比例函数求出n 值，即可求出函数解析式；

（3）根据反比例函数图象的性质，当k ＞0时，在每个象限内，函数值y 随x 增大而减小。 〖参考答案〗解：（1）图象的另一支在第三象限．由图象可知，2n ﹣4＞0，解得：n ＞2 （2）将点（3，1）代入x n y 42-=得：3

4

21-=n ，解得：n=错误！未找到引用源。； （3）∵2n ﹣4＞0，

∴在这个函数图象的任一支上，y 随x 增大而减小， ∴当a 1＜a 2时，b 1＞b 2． 【课堂训练题】 1．如图是反比例函数x

m y 5

-=

的图象的一支． （1）求m 的取值范围，并在图中画出另一支的图象；

（2）若m=﹣1，P （a ，3）是双曲线上点，PH ⊥y 轴于H ，将线段OP 向右平移3PH 的长度至O′P′，此时P 的对应点P′恰好在另一条双曲线x

k

y =的图象上，则平移中线段OP 扫过的面积为 ，k= ．（直接填写答案）