勾股定理知识点总结

17.1勾股定理

考点一：勾股定理

直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。（即：a 2+b 2＝c 2） 技巧归纳：

勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用：

（1）已知直角三角形的两边求第三边（在ABC ∆中，90C ∠=︒，则22c a b =+，22b c a =-，22a c b =-）

（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边

（3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题

考点二：勾股定理的证明

一般是通过剪拼，借助面积进行证明。其中的依据是图形经过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不变。

图1是由4个全等三角形拼成的,得到一个以a+b 为边长的大正方形和以直

角三角形斜边c 为边长的小正方形。则大正方形的面积可表示为(a+b)2，又可表

示为12ab ·4+c 2,所以(a+b)2=12

ab ·4+c 2，整理得a 2+b 2=c 2

在图2的另一种拼法中，以c 为边长的正方形的面积可表示成四个全等的直

角三角形与边长为(b-a)的正方形的面积的和,所以12

ab ·4+(b-a)2=c 2，整理得a 2+b 2=c 2.

考点三：勾股定理的应用

(1)勾股定理的应用条件

勾股定理只适用于直角三角形，所以常作辅助线——高，构造直角三角形。

(2)勾股定理的实际应用

勾股定理反映了直角三角形3条边之间的关系,利用勾股定理,可以解决直角三角形的有关计算和证明.例如:已知直角三角形的两条直角边可求斜边;已知直角三角形的斜边和一条直角边，可求另一条直角边。

勾股定理还可以解决生产生活中的一些实际问题。在解决问题的过程中，往往利用勾股定理列方程(组)，将实际问题转化成直角三角形的模型来解决。

(3)利用勾股定理作长为 n (n 为大于1的整数)的线段

实数与数轴上的点是一一对应的，有理数在数轴上较易找到与它对应的点，而若要在数轴上直接标出无理数对应的点则较难。由此，我们可借助勾股定理，作直角边为1的等腰直角三角形，它的斜边长等于2；作直角边为2，1的直角三角形，其斜边长为3。类似地，可以作出长为 n (n 为大于1的整数)的线段。

题型一：用勾股定理解三角形

1．（2023·江苏·八年级泰州市姜堰区第四中学校考期末）在Rt ABC △中，90C ∠=︒，若2AB AC -=，3BC =，则AC 的长为（ ）

A ．3

B ．4

C ．5

D ．54

2．（2023秋·山东菏泽·八年级校考期末）如图，在Rt ABC 中，90C ∠=︒，D 为AC 上一

点，且DA DB AB ==，4CB =，则ABD 的面积为（ ）

A ．6

B ．7

C ．10

D ．9

题型二：已知两点坐标求距离

3．（2022秋·河北保定·八年级校考期末）已知点()32A ，

是点(),B a b 关于y 轴的对称点，则坐标原点O 与点B 之间的距离为（ ）

A B C ．3 D ．2

4．（2023春·八年级课时练习）如图，Rt AOB △的顶点()()21

2A B n -，，，分别在第一，二象限内，90AOB ∠=︒，则n 的值为（ ）

A ．6

B ．5

C ．4

D ．3

题型三：勾股数问题

5．（2023秋·河北邢台·八年级校联考期末）下列各组数中是勾股数的是（ ）

A ．1

2

B ．12，16，20

C ．32，42，52

D ．0.5，1.2，1.3

6．（2022秋·广东茂名·八年级茂名市第一中学校考期中）下列图各组数中，是勾股数的是（ ）

A ．6，8，12

B ．0.6，0.8，1

C ．8，15，16

D ．9，12，15

题型四：以直角三角形三边为边长的图形面积

7．（2023秋·河北保定·八年级统考期末）如图，在四边形ABCD 中，

90ABC CDA ∠=∠=︒，分别以四边形ABCD 的四条边为边长，向外作四个正方形，面积分别为1S ，2S ，3S 和4S ．若11S =，24S =，33S =，则4S 的值是（ ）

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

8．（2023秋·山西长治·八年级统考期末）下列各图是以直角三角形各边为边在三角形外部画正方形得到的．每个正方形中的数及字母S 表示所在正方形的面积，其中S 的值恰好等于5的是（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

题型五：勾股定理和网格问题

9．（2023秋·陕西西安·八年级统考期末）如图，ABC 的顶点A ，B ，C 在边长为1的正方形网格的格点上，则BC 边上的高为（ ）

A B C D 10．（2022秋·广东广州·八年级校考期中）如图，在4×4的方格中，每个小正方形的边长为1，若点A 在数轴上表示的数是1-，以A 为圆心，AD 为半径画圆弧与数轴的正半轴交于点E ，则点E 所表示的数是（ ）

A B 1 C 1 D ．1

题型六：勾股定理和折叠问题

11．（2023秋·山西晋中·八年级统考期末）如图，Rt ABC △中，8AB =，6BC =，90B ，点D 在BC 上，且2BD CD =，将ABC 折叠，使A 点与点D 重合，折痕为

MN ，则线段BN 的长为（ ）

A ．3

B ．4

C ．5

D ．6

12．（2022秋·八年级统考期中）如图，将等边ABC 折叠，使得点C 落在AB 边上的点D 处，EF 是折痕，若90ADE ∠=︒，1AD =，则AC 的长是（ ）

A ．2

B ．4

C ．

D ．2

题型七：利用勾股定理求两条线段的平方和（差）

13．（2023春·八年级课时练习）如图，在△ABC 中，AB ＝6，AC ＝9，AD⊥BC 于D ，M 为AD 上任一点，则MC 2－MB 2等于（ ）

A ．29

B ．32

C ．36

D ．45

14．（2022秋·八年级课时练习）在Rt ABC △中，90C ∠=︒，10AB =，则

2222AB AC BC ++=（ ）

． A ．100 B ．200 C ．300 D ．400

题型八：勾股定理构造图形解决问题