半角模型全等经典题
半角模型
半角模型
1、产生条件：共顶点、等线段，一个小角等于大角的一半，对角互补的四边形。
2、常见形式：图形中，往往出现90°套45°的情况，或者120°套60°的情况，还有2α套α的情况。
求证的结论一般是“a+b=c 或者a -b=c ”。
3、解题方法: 通过辅助线“截长补短”，构造全等三角形，转移边角。
旋转移位造全等，翻折分割构全等。
4、经典题型：
4.1、正方形半角模型：90°→ 45°
例1、如图，正方形ABCD 中，∠EAF=45°。
求证： （1）EF=BE+DF ． （2）∠EFC 周长 = 2AB （3）EA 平分∠BEF
变式训练：
如图，正方形ABCD 中，∠EAF=45°。
求证：EF=DF - BE
B
B
4.2、等腰直角三角形半角模型：90°→ 45°
例2、如图，等腰直角三角形中∠BAC=90°，∠EAF=45°，求证：BE 、EF 、CF 的数量关系。
变式训练：
如图，等腰直角三角形中∠BAC=90°，∠EAF=45°，求证：BE 2 + CF 2 = EF 2。
专题04 全等模型-半角模型(原卷版)
专题04全等模型-半角模型全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就半角模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
半角模型概念：过多边形一个顶点作两条射线，使这两条射线夹角等于该顶角一半。
思想方法：通过旋转（或截长补短）构造全等三角形，实现线段的转化。
解题思路一般是将半角两边的三角形通过旋转到一边合并成新的三角形，从而进行等量代换，然后证明与半角形成的三角形全等，再通过全等的性质得到线段之间的数量关系。
半角模型（题中出现角度之间的半角关系）利用旋转——证全等——得到相关结论.模型1.半角模型（90°-45°型）【模型展示】1）正方形半角模型条件：四边形ABCD是正方形，∠ECF=45°；结论：①△BCE≌△DCG；②△CEF≌△CGF；③EF＝BE＋DF；④∆AEF的周长=2AB；⑤CE、CF分别平分∠BEF和∠EFD。
2）等腰直角三角形半角模型条件：∆ABC是等腰直角三角形，∠DAE=45°；结论：①△BAD≌△CAG；②△DAE≌△GAE；③∠ECG==90°；④DE2＝BD2＋EC2；例1．（2022·福建·龙岩九年级期中）（1）【发现证明】如图1，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别是BC ，CD 边上的动点，且45EAF ∠=︒，求证：EF DF BE =+．小明发现，当把ABE △绕点A 顺时针旋转90°至ADG ，使AB 与AD 重合时能够证明，请你给出证明过程．（2）【类比引申】①如图2，在正方形ABCD 中，如果点E ，F 分别是CB ，DC 延长线上的动点，且45EAF ∠=︒，则（1）中的结论还成立吗？若不成立，请写出EF ，BE ，DF 之间的数量关系______（不要求证明）②如图3，如果点E ，F 分别是BC ，CD 延长线上的动点，且45EAF ∠=︒，则EF ，BE ，DF 之间的数量关系是_____（不要求证明）.（3）【联想拓展】如图1，若正方形ABCD 的边长为6，AE =AF 的长．例2．（2022·江苏·八年级专题练习）如图，△ABC ，△DEP 是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC ＝∠PDE ＝90°．使△DEP 的顶点P 与△ABC 的顶点A 重合，PD ，PE 分别与BC 相交于点F 、G ，若BF ＝6，CG ＝4，则FG ＝_____．例3．（2022春·山东烟台·八年级校考期中）如图，正方形ABCD的边长为6，点E，F分别在边AB，BC上，若F是BC的中点，且∠EDF＝45°，则DE的长为_____．△绕点（分析：我们把ADF于是易证得：ADF≅直接应用：正方形ABCD(2)【变式练习】已知：如图、、之间的数量关系，并说明理由．写出BD DE CE模型2.半角模型（60°-30°型或120°-60°型）1）等边三角形半角模型（120°-60°型）条件：∆ABC是等边三角形，∆BDC是等腰三角形，且BD=CD，∠BDC=120°，∠EDF=60°；结论：①△BDE≌△CDG；②△EDF≌△GDF；③EF＝BE＋FC；④∆AEF的周长=2AB；⑤DE、DF分别平分∠BEF和∠EFC。
半角模型(解析版)--全等三角形的七大模型全攻略
半角模型基本模型：例题精讲1(120°与60°)问题情境在等边△ABC的两边AB，AC上分别有两点M，N，点D为△ABC外一点，且∠MDN=60°，∠BDC= 120°，BD=DC．特例探究如图1，当DM=DN时，(1)∠MDB= 度；(2)MN与BM，NC之间的数量关系为 ；归纳证明(3)如图2，当DM≠DN时，在NC的延长线上取点E，使CE=BM，连接DE，猜想MN与BM，NC之间的数量关系，并加以证明．拓展应用(4)△AMN的周长与△ABC的周长的比为 ．【答案】(1)30；(2)MN=BM+NC；(3)MN=BM+NC，证明见解析；(4)2 3【详解】特例探究：解：(1)∵DM=DN，∠MDN=60°，∴△MDN是等边三角形，∴MN=DM=DN，∵∠BDC=120°，BD=DC，∴∠DBC=∠DCB=30°，∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°，∴∠DBM=∠DCN=90°，∵BD=CD，DM=DN，∴Rt△DBM≌Rt△DCN(HL)，∴∠MDB=∠NDC=30°，故答案为：30；(2)由(1)得：DM=2BM，DM=MN，Rt△DBM≌Rt△DCN(HL)，∴BM=CN，∴DM=MN=2BM=BM+NC，即MN=BM+NC；归纳证明(3)解：猜想：MN=BM+NC，证明如下：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°，∵BD=CD，∠BDC=120°，∴∠DBC=∠DCB=30°，∴∠MBD=∠NCD=90°．∴∠MBD=∠ECD=90°，又∵BD=CD，BM=CE，∴△DBM≌△DCE(SAS)，∴DM=DE，∠MDB=∠EDC，∵∠MDN=60°，∠BDC=120°，∴∠MDB+∠NDC=60°，∴∠EDN=∠NDC+∠EDC=∠MDB+∠NDC=60°，∴∠EDN=∠MDN，又∵DN =DN ，∴△MDN ≌△EDN (SAS )，∴MN =EN =EC +NC =BM +NC ；拓展应用(4)解：由(1)(2)得：MN =BM +NC ，∴△AMN 的周长=AM +MN +AN =AM +BM +NC +AN =AB +AC =2AB ，∵△ABC 是等边三角形，∴AB =BC =AC ，∴△ABC 的周长=3AB ，∴△AMN 的周长与△ABC 的周长的比为2AB 3AB=23，故答案为：23．2(60°与30°)问题情境：已知，在等边△ABC 中，∠BAC 与∠ACB 的角平分线交于点O ，点M 、N 分别在直线AC ，AB 上，且∠MON =60°，猜想CM 、MN 、AN 三者之间的数量关系．方法感悟：小芳的思考过程是在CM 上取一点，构造全等三角形，从而解决问题；小丽的思考过程是在AB 取一点，构造全等三角形，从而解决问题；问题解决：(1)如图1，M 、N 分别在边AC ，AB 上时，探索CM 、MN 、AN 三者之间的数量关系，并证明；(2)如图2，M 在边AC 上，点N 在BA 的延长线上时，请你在图2中补全图形，标出相应字母，探索CM 、MN 、AN 三者之间的数量关系，并证明．【答案】(1)CM =AN +MN ，详见解析；(2)CM =MN -AN ，详见解析【详解】解：(1)CM =AN +MN ，理由如下：在AC 上截取CD =AN ，连接OD ，∵△ABC 为等边三角形，∠BAC 与∠ACB 的角平分线交于点O ，∴∠OAC =∠OCA =30°，∴OA =OC ，在△CDO 和△ANO 中，OC =OA∠OCD =∠OAN CD =AN，∴△CDO ≌△ANO (SAS )∴OD =ON ，∠COD =∠AON ，∵∠MON =60°，∴∠COD +∠AOM =60°，∵∠AOC =120°，∴∠DOM =60°，在△DMO 和△NMO 中，OD =ON∠DOM =∠NOM OM =OM，∴△DMO ≌△NMO ，∴DM =MN ，∴CM =CD +DM =AN +MN ；(2)补全图形如图2所示：CM =MN -AN ，理由如下：在AC 延长线上截取CD =AN ，连接OD ，在△CDO 和△ANO 中，CD =AN∠OCD =∠OAN =150°OC =OA，∴△CDO ≌△ANO (SAS )∴OD =ON ，∠COD =∠AON ，∴∠DOM =∠NOM ，在△DMO 和△NMO 中，OD =ON∠DOM =∠NOM OM =OM，∴△DMO ≌△NMO (SAS )，∴MN =DM ，∴CM =DM -CD =MN -AN ．3(90°与45°)如图①，四边形ABCD 为正方形，点E ，F 分别在AB 与BC 上，且∠EDF =45°，易证：AE +CF =EF (不用证明)．(1)如图②，在四边形ABCD 中，∠ADC =120°，DA =DC ，∠DAB =∠BCD =90°，点E ，F 分别在AB 与BC 上，且∠EDF =60°．猜想AE ，CF 与EF 之间的数量关系，并证明你的猜想；(2)如图③，在四边形ABCD 中，∠ADC =2α，DA =DC ，∠DAB 与∠BCD 互补，点E ，F 分别在AB 与BC 上，且∠EDF =α，请直接写出AE ，CF 与EF 之间的数量关系，不用证明．【答案】(1)AE +CF =EF ，证明见解析；(2)AE +CF =EF ，理由见解析.【详解】(1)图2猜想：AE +CF =EF，证明：在BC的延长线上截取CA'=AE，连接A'D，∵∠DAB=∠BCD=90°，∴∠DAB=∠DCA'=90°，又∵AD=CD，AE=A'C，∴△DAE≌△DCA'(SAS)，∴ED=A'D，∠ADE=∠A'DC，∵∠ADC=120°，∴∠EDA'=120°，∵∠EDF=60°，∴∠EDF=∠A'DF=60°，又DF=DF，∴△EDF≌△A'DF(SAS)，则EF=A'F=FC+CA'=FC+AE；(2)如图3，AE+CF=EF，证明：在BC的延长线上截取CA'=AE，连接A'D，∵∠DAB与∠BCD互补，∠BCD+∠DCA'=180°∴∠DAB=∠DCA'，又∵AD=CD，AE=A'C，∴△DAE≌△DCA'(SAS)，∴ED=A'D，∠ADE=∠A'DC，∵∠ADC=2α，∴∠EDA'=2α，∵∠EDF=α，∴∠EDF=∠A'DF=α又DF=DF，∴△EDF≌△A'DF(SAS)，则EF=A'F=FC+CA'=FC+AE．【变式训练】1已知四边形ABCD中，AB⊥AD，BC⊥CD，AB=BC，∠ABC=120°，∠MBN=60°，∠MBN绕B点旋转，它的两边分别交AD，DC(或它们的延长线)于E、F．(1)当∠MBN绕B点旋转到AE=CF时(如图1)，试猜想AE，CF，EF之间存在怎样的数量关系？请将三条线段分别填入后面横线中：+=．(不需证明)(2)当∠MBN绕B点旋转到AE≠CF(如图2)时，上述(1)中结论是否成立？请说明理由．(3)当∠MBN绕B点旋转到AE≠CF(如图3)时，上述(1)中结论是否成立？若不成立，线段AE，CF，EF又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需证明．【答案】(1)AE ；CF ；EF ；(2)成立，见解析；(3)不成立，新的关系为AE =EF +CF ．【详解】解：(1)如图1，AE +CF =EF ，理由如下：∵AB ⊥AD ，BC ⊥CD ，∴∠A =∠C =90°，∵AB =BC ，AE =CF ，∴△ABE ≌△CBF (SAS )，∴∠ABE =∠CBF ，BE =BF ，∵∠ABC =120°，∠MBN =60°，∴∠ABE =∠CBF =30°，∴AE =12BE ,CF =12BF ，∵∠MBN =60°，BE =BF ，∴△BEF 是等边三角形，∴AE +CF =12BE +12BF =BE =EF ，故答案为：AE +CF =EF ；(2)如图2，(1)中结论成立；理由如下：延长FC 到H ，使CH =AE ，连接BH ，∵AB ⊥AD ，BC ⊥CD ，∴∠A =∠BCH =90°，∴△BCH ≌△BAE (SAS )，∴BH =BE ，∠CBH =∠ABE ，∵∠ABC =120°，∠MBN =60°，∴∠ABE +∠CBF =120°-60°=60°，∴∠HBC +∠CBF =60°，∴∠HBF =∠MBN =60°，∴∠HBF =∠EBF ，∴△HBF ≌△EBF (SAS )，∴HF =EF ，∵HF =HC +CF =AE +CF ，∴EF =AE +CF ；(3)如图3，(1)中的结论不成立，关系为AE =EF +CF ，理由如下：在AE 上截取AQ =CF ，连接BQ ，∵AB⊥AD，BC⊥CD，∴∠A=∠BCF=90°，∵AB=BC，∴△BCF≌△BAQ(SAS)，∴BF=BQ，∠CBF=∠ABQ，∵∠MBN=60°=∠CBF+∠CBE，∴∠CBE+∠ABQ=60°，∵∠ABC=120°，∴∠QBE=120°-60°=60°=∠MBN，∴∠FBE=∠QBE，∴△FBE≌△QBE(SAS)，∴EF=QE，∵AE=QE+AQ=EF+CF，∴AE=EF+CF．2如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=BC=DC，点E、F分别在AD、AB上，且∠FCE= 1∠BCD.2(1)求证：BF=EF-ED；(2)连结AC，若∠B=80°,∠DEC=70°，求∠ACF的度数.【答案】(1)见解析；(2)20°【详解】(1)旋转△BCF使BC与CD重合，∵AD∥BC，AB=DC，即梯形ABCD为等腰梯形，∴∠A=∠ADC，∠A+∠ABC=180°，∴∠ADC+∠ABC=180°，由旋转可知：∠ABC=∠CDF′，∴∠ADC+∠CDF′=180°，即∠ADF′为平角，∴A，D，F′共线，∠BCD∵∠FCE=12∠BCD，∴∠BCF+∠ECD=∠ECF=12∵FC=F′C，EC=EC，∠ECF'=∠BCF+∠DCE=∠ECF，∴△FCE≌△F′CE，∴EF′=EF=DF′+ED，∴BF=EF-ED；(2)∵AB =BC ，∠B =80°，∴∠ACB =50°，由(1)得∠FEC =∠DEC =70°，又∵AD ⎳BC ，∴∠ECB =70°，而∠B =∠BCD =80°，∴∠DCE =10°，∴∠BCF =30°，∴∠ACF =∠BCA -∠BCF =20°．3问题背景：“半角模型”问题．如图1，在四边形ABCD 中，AB =AD ，∠BAD =120°，∠B =∠ADC =90°，点E ，F 分别是BC ，CD 上的点，且∠EAF =60°，连接EF ，探究线段BE ，EF ，DF 之间的数量关系．(1)探究发现：小明同学的方法是延长FD 到点G ．使DG =BE ．连结AG ，先证明△ABE ≌△ADG ，再证明△AEF ≌△AGF ，从而得出结论：；(2)拓展延伸：如图2，在四边形ABCD 中，AB =AD ，∠B +∠D =180°，E 、F 分别是边BC ，CD 上的点，且∠EAF =12∠BAD ，请问(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由．(3)尝试应用：如图3，在四边形ABCD 中，AB =AD ，∠B +∠ADC =180°，E 、F 分别是边BC ，CD 延长线上的点，且∠EAF =12∠BAD ，请探究线段BE ，EF ，DF 具有怎样的数量关系，并证明．【答案】(1)EF =BE +FD(2)成立，理由见解析(3)EF =BE -FD ，证明见解析【详解】(1)解：EF =BE +FD ．延长FD 到点G ．使DG =BE ．连接AG ，∵∠ABE =∠ADG =∠ADC =90°，AB =AD ，∴△ABE ≌△ADG SAS ．∴AE =AG ，∠BAE =∠DAG ．∴∠BAE +∠DAF =∠DAG +∠DAF =∠EAF =60°．∴∠GAF =∠EAF =60°．又∵AF =AF ，∴△AGF ≌△AEF SAS ．∴FG =EF ．∵FG =DF +DG ．∴EF =BE +FD ．故答案为：EF=BE+FD；(2)解：(1)中的结论EF=BE+FD仍然成立．证明：如图②中，延长CB至M，使BM=DF，连接AM．∵∠ABC+∠D=180°，∠1+∠ABC=180°，∴∠1=∠D，在△ABM与△ADF中，AB=AD ∠1=∠D BM=DF，∴△ABM≌△ADF SAS．∴AF=AM，∠2=∠3．∵∠EAF=12∠BAD，∴∠2+∠4=12∠BAD=∠EAF．∴∠3+∠4=∠EAF，即∠MAE=∠EAF．在△AME与△AFE中，AM=AF∠MAE=∠EAF AE=AE，∴△AME≌△AFE SAS．∴EF=ME，即EF=BE+BM，∴EF=BE+DF；(3)解：结论：EF=BE-FD．证明：如图③中，在BE上截取BG，使BG=DF，连接AG．∵∠B+∠ADC=180°，∠ADF+∠ADC=180°，∴∠B=∠ADF．在△ABG与△ADF中，AB=AD∠ABG=∠ADF BG=DF，∴△ABG≌△ADF SAS．∴∠BAG=∠DAF，AG=AF．∴∠BAG+∠EAD=∠DAF+∠EAD=∠EAF=12∠BAD．∴∠GAE=∠EAF．∵AE=AE，∴△AEG≌△AEF SAS，∴EG=EF，∵EG=BE-BG，∴EF=BE-FD．4综合与实践(1)如图1，在正方形ABCD中，点M、N分别在AD、CD上，若∠MBN=45°，则MN，AM，CN的数量关系为．(2)如图2，在四边形ABCD 中，BC ∥AD ，AB =BC ，∠A +∠C =180°，点M 、N 分别在AD 、CD 上，若∠MBN =12∠ABC ，试探索线段MN 、AM 、CN 有怎样的数量关系？请写出猜想，并给予证明．(3)如图3，在四边形ABCD 中，AB =BC ，∠ABC +∠ADC =180°，点M 、N 分别在DA 、CD 的延长线上，若∠MBN =12∠ABC ，试探究线段MN 、AM 、CN 的数量关系为．【答案】(1)MN =AM +CN ；(2)MN =AM +CN ，理由见解析；(3)MN =CN -AM ，理由见解析【详解】解：(1)如图，把△ABM 绕点B 顺时针旋转使AB 边与BC 边重合，则AM =CM '，BM =BM '，∠A =∠BCM '，∠ABM =∠M 'BC ，在正方形ABCD 中，∠A =∠BCD =∠ABC =90°，AB =BC ，∴∠BCM '+∠BCD =180°，∴点M '、C 、N 三点共线，∵∠MBN =45°，∴∠ABM +∠CBN =45°，∴∠M 'BN =∠M 'BC +∠CBN =∠ABM +∠CBN =45°，即∠M 'BN =∠MBN ，∵BN =BN ，∴△NBM ≌△NBM '，∴MN =M 'N ，∵M 'N =M 'C +CN ，∴MN =M 'C +CN =AM +CN ；(2)MN =AM +CN ；理由如下：如图，把△ABM 绕点B 顺时针旋转使AB 边与BC 边重合，则AM =CM '，BM =BM '，∠A =∠BCM '，∠ABM =∠M 'BC ，∵∠A +∠C =180°，∴∠BCM '+∠BCD =180°，∴点M '、C 、N 三点共线，∵∠MBN =12∠ABC ，∴∠ABM +∠CBN =12∠ABC =∠MBN ，∴∠CBN +∠M 'BC =∠MBN ，即∠M 'BN =∠MBN ，∵BN =BN ，∴△NBM ≌△NBM '，∴MN =M 'N ，∵M 'N =M 'C +CN ，∴MN =M 'C +CN =AM +CN ；(3)MN =CN -AM ，理由如下：如图，在NC 上截取C M '=AM ，连接B M '，∵在四边形ABCD 中，∠ABC +∠ADC =180°，∴∠C +∠BAD =180°，∵∠BAM +∠BAD =180°，∴∠BAM =∠C ，∵AB =BC ，∴△ABM ≌△CB M '，∴AM =C M '，BM =B M '，∠ABM =∠CB M '，∴∠MA M '=∠ABC ，∵∠MBN =12∠ABC ，∴∠MBN =12∠MA M '=∠M 'BN ，∵BN =BN ，∴△NBM ≌△NBM '，∴MN =M 'N ，∵M 'N =CN -C M '，∴MN =CN -AM ．故答案是：MN =CN -AM ．课后训练5如图，在四边形ABCD中，∠B =∠D =90°，E ，F 分别是BC ，CD 上的点，连接AE ，AF ，EF ．(1)如图①，AB =AD ，∠BAD =120°，∠EAF =60°．求证：EF =BE +DF ；(2)如图②，∠BAD =120°，当△AEF 周长最小时，求∠AEF +∠AFE 的度数；(3)如图③，若四边形ABCD 为正方形，点E 、F 分别在边BC 、CD 上，且∠EAF =45°，若BE =3，DF =2，请求出线段EF 的长度．【答案】(1)见解析；(2)∠AEF +∠AFE =120°；(3)EF =5．【详解】(1)证明：如解图①，延长FD 到点G ，使DG =BE ，连接AG ，在△ABE 和△ADG 中，AB =AD ,∠ABE =∠ADG ,BE =DG ,∴△ABE ≌△ADG SAS．∴AE =AG ，∠BAE =∠DAG ，∵∠BAD =120°，∠EAF =60°，∴∠BAE +∠FAD =∠DAG +∠FAD =60°．∴∠EAF =∠FAG =60°，AF =AF ,∴△EAF ≌△GAF SAS ．∴EF =FG =DG +DF ，∴EF =BE +DF ；(2)解：如解图，分别作点A 关于BC 和CD 的对称点A ，A ，连接A A ，交BC 于点E ，交CD 于点F ．由对称的性质可得A E =AE ，A F =AF ，∴此时△AEF 的周长为AE +EF +AF =A E +EF +A F =A A ．∴当点A 、E 、F 、A 在同一条直线上时，A A 即为△AEF 周长的最小值．∵∠DAB =120°，∴∠AA E +∠A =180°-120°=60°．∵∠EA A =∠EAA ,∠FAD =∠A ，∠EA A +∠EAA =∠AEF ,∠FAD +∠A =∠AFE ，∴∠AEF +∠AFE =∠EA A +∠EAA +∠FAD +∠A =2∠AA E +∠A =2×60°=120°；(3)解：如解图，旋转△ABE 至△ADP 的位置，∴∠PAE =∠DAE +∠PAD =∠DAE +∠EAB =90°，AP =AE ，∠PAF =∠PAE -∠EAF =90°-45°=45°=∠EAF ．在△PAF 和△EAF 中，AP =AE ,∠PAF =∠EAF ,AF =AF ,∴△PAF ≌△EAF SAS ．∴EF =FP ．∴EF =PF =PD +DF =BE +DF =3+2=5．6(1)如图1，在四边形ABCD 中，AB =AD ，∠BAD =100°，∠B =∠ADC =90°．E ，F 分别是BC ，CD 上的点．且∠EAF =50°．探究图中线段EF ，BE ，FD 之间的数量关系．小明同学探究的方法是：延长FD 到点G ，使DG =BE ，连接AG ，先证明△ABE ≌△ADG ，再证明△AEF ≌△AGF ，可得出结论，他的结论是(直接写结论，不需证明)；(2)如图2，若在四边形ABCD 中，AB =AD ，∠B +∠D =180°，E ，F 分别是BC ，CD 上的点，且2∠EAF =∠BAD ，上述结论是否仍然成立，若成立，请证明，若不成立，请说明理由；(3)如图3，四边形ABCD 是边长为7的正方形，∠EBF =45°，直接写出△DEF 的周长．【答案】(1)EF =BE +DF ；(2)成立，理由详见解析；(3)14．【详解】证明：(1)延长FD 到点G ．使DG =BE ．连结AG ，BE=DG∴△ABE≌△ADG(SAS)，∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，∵∠BAD=100°，∠EAF=50°，∴∠BAE+∠FAD=∠DAG+∠FAD=50°，∴∠EAF=∠FAG=50°，在△EAF和△GAF中，∵AE=AG∠EAF=∠GAF AF=AF，∴△EAF≌△GAF(SAS)，∴EF=FG=DF+DG，∴EF=BE+DF，故答案为：EF=BE+DF；(2)结论仍然成立，理由如下：如图2，延长EB到G，使BG=DF，连接AG，∵∠ABC+∠D=180°，∠ABG+∠ABC=180°，∴∠ABG=∠D，∵在△ABG与△ADF中，AB=AD∠ABG=∠D BG=DF，∴△ABG≌△ADF(SAS)，∴AG=AF，∠BAG=∠DAF，∵2∠EAF=∠BAD，∴∠DAF+∠BAE=∠BAG+∠BAE=12∠BAD=∠EAF，∴∠GAE=∠EAF，又AE=AE，∴△AEG≌△AEF(SAS)，∴EG=EF．∵EG=BE+BG．∴EF=BE+FD；(3)如图，延长EA到H，使AH=CF，连接BH，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=7=AD=CD，∠BAD=∠BCD=90°，∴∠BAH=∠BCF=90°，又∵AH=CF，AB=BC，∴△ABH≌△CBF(SAS)，∴BH=BF，∠ABH=∠CBF，∵∠EBF=45°，∴∠CBF+∠ABE=45°=∠HBA+∠ABE=∠EBF，又∵BH=BF，BE=BE，∴△EBH≌△EBF(SAS)，∴EF=EH，∴EF=EH=AE+CF，∴△DEF的周长=DE+DF+EF=DE+DF+AE+CF=AD+CD=14．7已知：正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB，DC(或它们的延长线)于点M，N．当∠MAN绕点A旋转到BM=DN时(如图1)，易证BM+DN=MN．(1)当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时(如图2)，线段BM,DN和MN之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明．(2)当∠MAN绕点A旋转到如图3的位置时，线段BM,DN和MN之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想．【答案】(1)BM+DN=MN，证明见解析(2)DN-BM=MN【详解】(1)BM+DN=MN成立．证明：如图，把△ADN绕点A顺时针旋转90°，得到△ABE，则可证得E、B、M三点共线．∴∠EAM=90°-∠NAM=90°-45°=45°，又∵∠NAM=45°，∴在△AEM与△ANM中，AE=AN∠EAM=∠NAM AM=AM∴△AEM≌△ANM(SAS)，∴ME=MN，∵ME=BE+BM=DN+BM，∴DN+BM=MN；(2)DN-BM=MN．在线段DN上截取DQ=BM，如图，在△ADQ与△ABM中，∵AD=AB∠ADQ=∠ABM DQ=BM，∴△ADQ≌△ABM(SAS)，∴∠QAN =∠MAN ．在△AMN 和△AQN 中，AQ =AM∠QAN =∠MANAN =AN∴△AMN ≌△AQN (SAS )，∴MN =QN ，∴DN -BM =MN ．8(1)如图1，在四边形ABCD 中，AB =AD，∠B =∠D =90°，E 、F 分别是边BC 、CD 上的点，且∠EAF =12∠BAD .求证:EF =BE +FD ;(2)如图2在四边形ABCD 中，AB =AD ，∠B +∠D =180°，E 、F 分别是边BC 、CD 上的点，且∠EAF =12∠BAD , (1)中的结论是否仍然成立？不用证明.(3)如图3在四边形ABCD 中，AB =AD ，∠B +∠ADC =180°，E 、F 分别是边BC 、CD 延长线上的点，且∠EAF =12∠BAD , (1)中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明.【答案】(1)证明见解析；(2)(1)中的结论EF =BE +FD 仍然成立；(3)结论EF =BE +FD 不成立，应当是EF =BE -FD ．【详解】解：(1)延长EB 到G ，使BG =DF ，连接AG ．∵∠ABG =∠ABC =∠D =90°，AB =AD ，∴△ABG ≌△ADF ．∴AG =AF ，∠1=∠2．∴∠1+∠3=∠2+∠3=∠EAF =12∠BAD ．∴∠GAE =∠EAF ．又∵AE =AE ，∴△AEG ≌△AEF ．∴EG =EF ．∵EG =BE +BG ．∴EF =BE +FD(2)(1)中的结论EF =BE +FD 仍然成立．理由如下：如图2，延长CB 至M ，使BM =DF ，连接AM ，∵∠ABC +∠D =180°，∠ABC +∠1=180°，∴∠1=∠D ，在△ABM 和△ADF 中，AB =AD∠1=∠DBM =DF∴△ABM ≌△ADF (SAS )，∴AM =AF ，∠3=∠2，∵∠EAF =12∠BAD ∴∠3+∠4=∠EAF ，∴∠EAM =∠3+∠4=∠2+∠4=∠EAF ，在△MAE 和△FAE 中，AM =AF∠MAE =∠FAEAE =AE∴△MAE ≌△FAE (SAS )，∴EF =EM ，∵EM =BM +BE =BE +DF ，∴EF =BE +FD ；(3)结论EF =BE +FD 不成立，应当是EF =BE -FD ．证明：在BE 上截取BG ，使BG =DF ，连接AG ．∵∠B +∠ADC =180°，∠ADF +∠ADC =180°，∴∠B =∠ADF ．∵AB =AD ，∴△ABG ≌△ADF ．∴∠BAG =∠DAF ，AG =AF ．∴∠BAG +∠EAD =∠DAF +∠EAD =∠EAF =12∠BAD ．∴∠GAE =∠EAF ．∵AE =AE ，∴△AEG ≌△AEF ．∴EG =EF∵EG =BE -BG∴EF =BE -FD ．9如图，CA =CB ，CA ⊥CB ，∠ECF =45°，CD =CF ，∠ACD =∠BCF ．(1)求∠ACE +∠BCF 的度数；(2)以E 为圆心，以AE 长为半径作弧；以F 为圆心，以BF 长为半径作弧，两弧交于点G ，试探索△EFG 的形状？是锐角三形，直角三角形还是钝角三角形？请说明理由．【答案】(1)45°；(2)见详解【详解】解：(1)∵CA ⊥CB ，∴∠ACB=90°，∴∠ACE+∠ECF+∠BCF=90°，∵∠ECF=45°，∴∠ACE+∠BCF=90°-∠ECF=45°；(2)△EFG是直角三角形，理由如下：如图，连接DE，由(1)知，∠ACE+∠BCF=45°，∵∠ACD=∠BCF，∴∠ACE+∠ACD=45°，即∠DCE=45°，∵∠ECF=45°，∴∠ECF=∠ECD，在△ECF和△ECD中，CF=CD∠ECF=∠ECD CE=CE，∴△ECF≌△ECD(SAS)，∴DE=EF，在△CAD和△CBF中，CD=CF∠ACD=∠BCF CA=CB，∴△CAD≌△CBF(SAS)，∴AD=BF，∠CAD=∠B，∵FG=BF，∴FG=AD，∵∠ACB=90°，CA=CB，∴△ABC是等腰直角三角形，∴∠CAB=∠B=45°，∴∠DAE=∠CAB+∠B=90°，在△EFG和△EDA中，EG=EA FG=AD EF=ED，∴△EFG≌△EDA(SSS)，∴∠EGF=∠EAD=90°，∴△EFG是直角三角形．。
部编数学八年级上册专题15半角模型证全等(解析版)含答案
专题15半角模型证全等1．【问题背景】如图1：在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝60°，试探究图中线段BE、EF、FD之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是 EF＝BE+DF ．【探索延伸】如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由．【学以致用】如图3，四边形ABCD是边长为5的正方形，∠EBF＝45°，直接写出△DEF的周长．【解答】（1）解：如图1，在△ABE和△ADG中，∵，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，∵∠EAF＝∠BAD，∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝∠EAF，∴∠EAF＝∠GAF，在△AEF和△GAF中，∵，∴△AEF≌△AGF（SAS），∴EF＝FG，∵FG＝DG+DF＝BE+DF，∴EF＝BE+DF；故答案为：EF＝BE+DF．（2）解：结论EF＝BE+DF仍然成立；理由：如图2，延长FD到点G．使DG＝BE．连接AG，在△ABE和△ADG中，∵，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，∵∠EAF＝∠BAD，∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝∠EAF，∴∠EAF＝∠GAF，在△AEF和△GAF中，∵，∴△AEF≌△AGF（SAS），∴EF＝FG，∵FG＝DG+DF＝BE+DF，∴EF＝BE+DF；（3）解：如图3，延长DC到点G，截取CG＝AE，连接BG，在△AEB与△CGB中，∵，∴△AEB≌△CGB（SAS），∴BE＝BG，∠ABE＝∠CBG．∵∠EBF＝45°，∠ABC＝90°，∴∠ABE+∠CBF＝45°，∴∠CBF+∠CBG＝45°．在△EBF与△GBF中，∵，∴△EBF≌△GBF（SAS），∴EF＝GF，∴△DEF的周长＝EF+ED+DF＝AE+CF+DE+DF＝AD+CD＝5+5＝10．2．已知四边形ABCD中，AB⊥AD，BC⊥CD，AB＝BC，∠ABC＝120°，∠MBN＝60°，∠MBN 绕B点旋转，它的两边分别交AD，DC（或它们的延长线）于E、F．（1）当∠MBN绕B点旋转到AE＝CF时（如图1），求证：AE+CF＝EF．（2）当∠MBN绕B点旋转到AE≠CF时，在图2种情况下，求证：AE+CF＝EF．（3）当∠MBN绕B点旋转到AE≠CF时，在图3种情况下上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AE，CF，EF又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．【解答】（1）证明：∵AB⊥AD，BC⊥CD，∴∠A＝∠C在△ABE与△CBF中，，∴△ABE≌△CBF（SAS），∴∠ABE＝∠CBF，BE＝BF，∵∠ABC＝120°，∠MBN＝60°，∴∠ABE＝∠CBF＝30°，∴AE＝，CF＝，∵∠MBN＝60°，BE＝BF，∴△BEF为等边三角形，∴BE＝BF＝EF，∴AE＝CF＝，∴AE+CF＝EF；（2）证明：如图，将Rt△ABE顺时针旋转120°，得△BCG，∴BE＝BG，AE＝CG，∠A＝∠BCG，∵AB＝BC，∠ABC＝120°，∴点A与点C重合，∵∠A＝∠BCF＝90°，∴∠BCG+∠BCF＝180°，∴点G、C、F三点共线，∵∠ABC＝120°，∠MBN＝60°，∠ABE＝∠CBG，∴∠GBF＝60°，在△GBF与△EBF中，，∴△GBF≌△EBF（SAS），∴FG＝EF，∴EF＝AE+CF；（3）解：不成立，EF＝AE﹣CF，理由如下：如图，将Rt△ABE顺时针旋转120°，得△BCG，∴AE＝CG，由（2）同理得，点C、F、G三点共线，∵AB＝BC，∠ABC＝120°，∴点A与点C重合，∠ABE＝∠CBG，∴BG＝BE，∵∠ABC＝∠ABE+∠CBE＝120°，∴∠CBG+∠CBE＝∠GBE＝120°，∵∠MBN＝60°，∴∠GBF＝60°，在△BFG与△BFE中，，∴△BFG≌△BFE（SAS），∴GF＝EF，∴EF＝AE﹣CF．3．（1）阅读理解：如图①，在△ABC中，若AB＝5，AC＝3，求BC边上的中线AD的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E使DE＝AD，再连接BE，这样就把AB，AC，2AD集中在△ABE中，利用三角形三边的关系可判断线段AE的取值范围是 2＜AE＜8 ；则中线AD的取值范围是 1＜AD ＜4 ；（2）问题解决：如图②，在△ABC中，D是BC边的中点，DE⊥DF于点D，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，此时：BE+CF ＞ EF（填“＞”或“＝”或“＜”）；（3）问题拓展：如图③，在四边形ABCD中，∠B+∠D＝180，CB＝CD，∠BCD＝140°，以C为顶点作∠ECF ＝70°，边CE，CF分别交AB，AD于E，F两点，连接EF，此时：BE+DF ＝ EF（填“＞”或“＝”或“＜“）；（4）若在图③的四边形ABCD中，∠ECF＝α（0°＜α＜90°），∠B+∠D＝180，CB＝CD，且（3）中的结论仍然成立，则∠BCD＝ 2a （用含α的代数式表示）.【解答】解：（1）在△ADC与△EDB中，，∴△ADC≌△EDB（SAS），∴BE＝AC＝3，在△ABE中，AB﹣BE＜AE＜AB+BE，即2＜AE＜8，∴2＜2AD＜8，∴1＜AD＜4，故答案为：2＜AE＜8；1＜AD＜4；（2）如图，延长FD至点G，使DG＝DF，连接BG，EG，∵点D是BC的中点，∴DB＝DC，∵∠BDG＝∠CDF，DG＝DF，∴△BDG≌△CDF（SAS），∴BG＝CF，∵ED⊥FD，FD＝GD，∴EF＝EG，在△BEG中，BE+BG＞EG，∴BE+CF＞EF，故答案为：＞；（3）BE+DF＝EF，如图，延长AB至点G，使BG＝DF，连接CG，∵∠ABC+∠D＝180°，∠ABC+∠CBG＝180°，∴∠CBG＝∠D，又∵CB＝CD，BG＝DF，∴△CBG≌△CDF（SAS），∴CG＝CF，∠BCG＝∠DCF，∵∠BCD＝140°，∠ECF＝70°，∴∠DCF+∠BCE＝70°，∴∠BCE+∠BCG＝70°，∴∠ECG＝∠ECF＝70°，又∵CE＝CE，CG＝CF，∴△ECG≌△ECF（SAS），∴EG＝EF，∵BE+BG＝EG，∴BE+DF＝EF，故答案为：＝；（4）由（3）同理可得△CBG≌△CDF，∴CG＝CF，∠BCG＝∠DCF，若BE+DF＝EF，则EG＝EF，∴△ECF≌△ECG（SSS），∴∠ECG＝∠ECF，∴∠BCD＝2∠ECF＝2α，故答案为：2α．4．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E，F分别是边BC，CD上的点，且∠EAF＝∠BAD，求证：EF＝BE+FD．【解答】证明：延长CB至M，使BM＝FD，连接AM，如图所示：∵∠ABC+∠D＝180°，∠ABM+∠ABC＝180°，∴∠ABM＝∠D，在△ABM与△ADF中，，∴△ABM≌△ADF（SAS），∴AF＝AM，∠BAM＝∠DAF，∵∠EAF＝∠BAD，∴∠DAF+∠BAE＝∠BAD＝∠FAE，∴∠BAM+∠BAE＝∠EAF，即∠MAE＝∠EAF，在△AME与△AFE中，，∴△AME≌△AFE（SAS），∴EF＝ME，∵ME＝BE+BM，∴EF＝BE+FD．5．（1）如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝60°，延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，先证明△ABE ≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得线段BE、EF、FD之间的数量关系为 EF＝BE+DF ．（2）如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝∠BAD，线段BE、EF、FD之间存在什么数量关系，为什么？（3）如图3，点A在点O的北偏西30°处，点B在点O的南偏东70°处，且AO＝BO，点A 沿正东方向移动249米到达E处，点B沿北偏东50°方向移动334米到达点F处，从点O观测到E、F之间的夹角为70°，根据（2）的结论求E、F之间的距离．【解答】解：（1）EF＝BE+DF；证明：如图1，延长FD到G，使DG＝BE，连接AG，在△ABE和△ADG中，，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，∵∠EAF＝∠BAD，∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝∠EAF，∴∠EAF＝∠GAF，在△AEF和△GAF中，，∴△AEF≌△GAF（SAS），∴EF＝FG，∵FG＝DG+DF＝BE+DF，∴EF＝BE+DF；故答案为：EF＝BE+DF；（2）EF＝BE+DF仍然成立．证明：如图2，延长FD到G，使DG＝BE，连接AG，∵∠B+∠ADC＝180°，∠ADC+∠ADG＝180°，∴∠B＝∠ADG，在△ABE和△ADG中，，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，∵∠EAF＝∠BAD，∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝∠EAF，∴∠EAF＝∠GAF，在△AEF和△GAF中，，∴△AEF≌△GAF（SAS），∴EF＝FG，∵FG＝DG+DF＝BE+DF，∴EF＝BE+DF；（3）如图3，连接EF，延长AE、BF相交于点C，∵∠AOB＝20°+90°+（90°﹣60°）＝140°，∠EOF＝70°，∴∠EOF＝∠AOB，又∵OA＝OB，∠OAC+∠OBC＝（90°﹣20°）+（60°+50°）＝180°，∴符合探索延伸中的条件，∴结论EF＝AE+BF成立，即EF＝583米．6．阅读下面材料：小辉遇到这样一个问题：如图1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D，E在边BC 上，∠DAE＝45°．若BD＝3，CE＝1，求DE的长．小辉发现，将△ABD绕点A按逆时针方向旋转90°，得到△ACF，连接EF（如图2），由图形旋转的性质和等腰直角三角形的性质以及∠DAE＝45°，可证△FAE≌△DAE，得FE＝DE．解△FCE，可求得FE（即DE）的长．请回答：在图2中，∠FCE的度数是 90° ，DE的长为 ．参考小辉思考问题的方法，解决问题：如图3，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°．E，F分别是边BC，CD上的点，且∠EAF＝∠BAD．猜想线段BE，EF，FD之间的数量关系并说明理由．【解答】解：如图2，∵∠ACF＝∠B＝45°，∴∠FCE＝∠ACF+∠ACB＝45°+45°＝90°，在Rt△EFC中，∵CF＝BD＝3，CE＝1，∴EF＝＝＝，∴DE＝，故答案为90°；；如图3，猜想：EF＝BE+FD．理由如下：如图，将△ABE绕点A按逆时针方向旋转，使AB与AD重合，得到△ADG，∴BE＝DG，AE＝AG，∠DAG＝∠BAE，∠B＝∠ADG，∵∠B+∠ADC＝180°，∴∠ADG+∠ADC＝180°，即点F，D，G在同一条直线上，∵∠DAG＝∠BAE，∴∠GAE＝∠BAD，∵∠EAF＝∠BAD，∴∠GAF＝∠EAF，在△AEF和△AGF中，，∴△AEF≌△AGF（SAS），∴EF＝FG，∵FG＝DG+FD＝BE+DF，∴EF＝BE+FD．7．（1）如图①，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点且∠EAF＝45°．猜测线段EF、BE、FD三者存在哪种数量关系？直接写出结论．（不用证明）结论： EF＝BE+FD ．（2）如图②，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF是∠BAD的一半．（1）中猜测的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；【解答】解：（1）延长CB到G，使BG＝FD，∵∠ABG＝∠D＝90°，AB＝AD，∴△ABG≌△ADF，∴∠BAG＝∠DAF，AG＝AF，∵∠EAF＝∠BAD，∴∠DAF+∠BAE＝∠EAF，∴∠EAF＝∠GAE，∴△AEF≌△AEG，∴EF＝EG＝EB+BG＝EB+DF．故答案为：EF＝BE+FD；（2）结论成立，应为EF＝BE+DF，在CD的延长线上截取DG＝BE，（如图）∵BE＝DG，AB＝AD，∠B＝∠ADG＝90°，∴△ABE≌△ADG，∴∠BAE＝∠DAG，AG＝AE，∵∠EAF＝∠BAD，∴∠EAF＝∠FAG，AF＝AF，AE＝AG，∴△AEF≌△AFG（SAS），∴EF＝FG＝DF+DG＝EB+DF．8．“截长补短法”证明线段的和差问题：先阅读背景材料，猜想结论并填空，然后做问题探究．背景材料：（1）如图1：在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝60°．探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．探究的方法是，延长FD到点G．使DG＝BE，连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出的结论是 EF＝BE+FD ．探索问题：（2）如图2，若四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝∠BAD，上述结论是否仍然成立？成立的话，请写出推理过程．【解答】证明：（1）在△ABE和△ADG中，，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，∵∠EAF＝∠BAD，∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝∠EAF，∴∠EAF＝∠GAF，在△AEF和△GAF中，，∴△AEF≌△AGF（SAS），∴EF＝FG，∵FG＝DG+DF＝BE+DF，∴EF＝BE+DF；故答案为：EF＝BE+DF．（2）解：结论EF＝BE+DF仍然成立；理由：延长FD到点G．使DG＝BE．连接AG，在△ABE和△ADG中，，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，∵∠EAF＝∠BAD，∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝∠EAF，∴∠EAF＝∠GAF，在△AEF和△GAF中，，∴△AEF≌△AGF（SAS），∴EF＝FG，∵FG＝DG+DF＝BE+DF，∴EF＝BE+DF．9．（1）如图（1），在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF．若∠A＝90°，探索线段BE、CF、EF之间的数量关系，并加以证明；（2）如图（2），在四边形ABDC中，∠B+∠C＝180°，DB＝DC，∠BDC＝120°，以D为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB、AC于E、F两点，连接EF，探索线段BE、CF、EF之间的数量关系，并加以证明．【解答】证明：（1）EF2＝BE2+CF2，理由如下：如图（1）延长ED到G，使DG＝ED，连接CG，FG，在△DCG与△DBE中，，∴△DCG≌△DBE（SAS），∴DG＝DE，CG＝BE，∠B＝∠DCG，又∵DE⊥DF，∴FD垂直平分线段EG，∴FG＝FE，∵∠A＝90°，∴∠B+∠ACB＝90°，∴∠FCG＝90°，在△CFG中，CG2+CF2＝FG2，∴EF2＝BE2+CF2；（2）如图（2），结论：EF＝EB+FC，理由如下：延长AB到M，使BM＝CF，∵∠ABD+∠C＝180°，又∠ABD+∠MBD＝180°，∴∠MBD＝∠C，在△BDM和△CDF中，，∴△BDM≌△CDF（SAS），∴DM＝DF，∠BDM＝∠CDF，∴∠EDM＝∠EDB+∠BDM＝∠EDB+∠CDF＝∠CDB﹣∠EDF＝120°﹣60°＝60°＝∠EDF，在△DEM和△DEF中，，∴△DEM≌△DEF（SAS），∴EF＝EM，∴EF＝EM＝BE+BM＝EB+CF．10．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，点E，F分别是BC，CD上的点，且EF＝BE+FD，若∠EAF＝55°，求∠BAD的度数．【解答】解：延长FD到G使DG＝BE，连接AG，如图，∵∠B+∠D＝180°，∠ADG+∠D＝180°，∴∠B＝∠ADG，在△ABE和△ADG，，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴AE＝AG，∠BAE＝∠GAD，∵EF＝BE+FD，∴EF＝DG+DF＝GF，在△AEF和△AGF中，，∴△AEF≌△AGF（SSS），∴∠EAF＝∠FAG＝55°，∵∠BAE＝∠GAD，∴∠BAD＝∠EAG＝2∠EAF＝110°．11．如图．在四边形ABCD中，∠B+∠ADC＝180°，AB＝AD，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且∠EAF＝∠BAD，求证：EF＝BE﹣FD．【解答】证明：在BE上截取BG，使BG＝DF，连接AG．∵∠B+∠ADC＝180°，∠ADF+∠ADC＝180°，∴∠B＝∠ADF．在△ABG和△ADF中，，∴△ABG≌△ADF（SAS），∴∠BAG＝∠DAF，AG＝AF．∴∠BAG+∠EAD＝∠DAF+∠EAD＝∠EAF＝∠BAD．∴∠GAE＝∠EAF．在△AEG和△AEF中，，∴△AEG≌△AEF（SAS）．∴EG＝EF，∵EG＝BE﹣BG∴EF＝BE﹣FD．12．在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，∠BCD＝120°，现将一个30°角的顶点落在点A处．（1）如图①，当该角的两边分别与BC、CD边相交于E、F时．求证：EF＝BE+DF；（2）现在将该角绕点A进行旋转，其两边分别与BC、CD边的延长线相交于点F，那么（1）中的结论是否仍然成立？若成立，说明理由；若不成立，试探究线段BE与DF之间的等量关系，并加以证明．（利用图②进行探索）【解答】解：（1）如图①，延长CB到H点，使BH＝DF，连接AH，∵∠B＝∠D＝90°，∠BCD＝120°，∴∠D+∠B＝180°，∵∠ABE+∠ABH＝180°，∴∠ABH＝∠D，∵AD＝AB，BH＝DF，∴在△ABH和△ADF中，，∴△ABH≌△ADF（SAS），∴AH＝AF，∠HAB＝∠FAD，∵∠DAB＝60°，∠FAE＝30°，∴∠FAD+∠BAE＝30°，∴∠BAE+∠HAB＝30°，即∠HAE＝30°，在△HAE和△EAF中，，∴△HAE≌△FAE（SAS），∴HE＝EF，∵HE＝HB+BE＝DF+BE，∴EF＝BE+DF；（2）（1）中的结论不成立，如图②，在BC上截取BH＝DF，在△ABH与△ADF中，，∴△ABH≌△ADF，∴∠BAH＝∠DAF，AH＝AF，∴∠EAF＝30°，∴∠BAH+∠EAD＝30°，∵∠B＝∠D＝90°，∠BCD＝120°，∴∠BAD＝60°，∴∠HAE＝30°，在△HAE与△FAE中，，∴△HAE≌△FAE，∴HE＝EF，∵BE＝BH+HE，∴BE＝DF+EF．13．【问题背景】如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，且∠EAF＝60°，探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．小明同学的方法是将△ABE绕点A 逆时针旋转120°到△ADG的位置，然后再证明△AFE≌△AFG，从而得出结论： EF＝BE+DF ．【探索延伸】如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由．【结论应用】如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏东60°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏西20°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等．接到行动指令后，舰艇甲向正南方向以30海里/小时的速度前进，舰艇乙沿南偏东40°的方向以50海里/小时的速度前进，1小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇与指挥中心O之间夹角∠EOF＝70°，试求此时两舰艇之间的距离．直接写出结果．【解答】解：问题背景：EF＝BE+DF，证明如下：如图1，延长FD到点G．使DG＝BE．连接AG，在△ABE和△ADG中，，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，∵∠EAF＝∠BAD，∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝∠EAF，∴∠EAF＝∠GAF，在△AEF和△GAF中，，∴△AEF≌△AGF（SAS），∴EF＝FG，∵FG＝DG+DF＝BE+DF，∴EF＝BE+DF；故答案为：EF＝BE+DF；探索延伸：如图2，将△ADF顺时针旋转得到△ABG，使得AD与AB重合，则△ADF≌△ABG，∴∠FAG＝∠BAD，AF＝AG，DF＝GB，∵∠EAF＝∠BAD，∴∠EAF＝∠EAG，在△EAG和△EAF中，，∴△EAG≌△EAF，（SAS）∴GE＝EF，∵GE＝GB+BE＝DF+BE，∴EF＝BE+FD；结论应用：如图3，连接EF，∵∠AOB＝30°+90°+20°＝140°，∴∠FOE＝70°＝∠AOB，又∵OA＝OB，∠A+∠B＝60°+120°＝180°，符合探索延伸中的条件，∴结论EF＝AE+FB成立．即，EF＝AE++FB＝1×30+1×50＝80（海里）答：此时两舰艇之间的距离为80海里．。
(完整版)半角模型专题专练.doc
半角模型例题已知，正方形 ABCD中，∠ EAF两边分别交线段 BC、 DC于点 E、F，且∠ EAF﹦45°结论 1：BE﹢ DF﹦EF结论 2：S△ABE﹢ S△ADF﹦S△AEF结论 3：AH﹦ AD结论 4：△ CEF的周长﹦ 2 倍的正方形边长﹦ 2AB结论 5：当 BE﹦DF时，△ CEF的面积最小22 2结论 6：BM﹢DN﹦MN结论 7：三角形相似，可由三角形相似的传递性得到结论 8：EA、 FA是△ CEF的外角平分线结论 9：四点共圆结论 10：△ANE和△ AMF是等腰直角三角形（可通过共圆得到）结论 11： MN﹦√2 EF（可由相似得到）2结论 12： S△ AEF﹦2S△ AMN（可由相似的性质得到）结论 5 的证明：设正方形 ABCD的边长为 1则S△AEF﹦1﹣S1﹣S2﹣ S3﹦1﹣1 x﹣1y﹣1 (1 ﹣x)(1 ﹣y)22 2﹦1﹣1 xy22所以当 x﹦y 时，△ AEF的面积最小结论 6 的证明：将△ ADN顺时针旋转 90°使 AD与 AB重合′∴DN﹦ BN′易证△ AMN≌△ AMN′∴MN﹦ MN′在 Rt△BMN中，由勾股定理可得：2′ 2′2BM﹢BN ﹦MN22 2即 BM﹢DN﹦MN结论 7 的所有相似三角形：△ AMN∽△ DFN△AMN∽△ BME△AMN∽△ BAN△ AMN∽△ DMA△AMN∽△ AFE结论 8 的证明：因为△ AMN∽△ AFE∴∠ 3＝∠ 2因为△ AMN∽△ BAN∴∠ 3＝∠ 4∴∠ 2＝∠ 4因为 AB∥CD∴∠ 1＝∠ 4∴∠ 1＝∠ 2结论 9 的证明：因为∠ EAN﹦∠ EBN＝ 45°∴A、B、E、N 四点共圆（辅圆定理：共边同侧等顶角）同理可证 C、E、N、F 四点共圆A、M、 F、 D 四点共圆C、E、 M、 F 四点共圆**必会结论 -------- 图形研究正方形半角模型已知：正方形 ABCD ，E、F分别在边 BC 、 CD 上，且 EAF45 ，AE、AF分别交BD于H、 G ，连EF.一、全等关系（）求证：① 2 2 2 平分，平分DF BE EF ；②DG﹢ BH﹦ HG；③AE BEF AF DFE .1二、相似关系（2）求证：①CE 2DG ；② CF 2 BH ；③ EF 2HG .（3）求证：④AB2 BG DH ；⑤ AG 2 BG HG ；⑥BEDF 1 . CE CF 2三、垂直关系（4）求证：①AG EG ；②AH FH ；③tan HCF AB .（5) 、和差关系BE 求证：① BG DG 2 BE ；② AD DF 2DH ；③ | BE DF | 2 | BH DG | .例1、在正方形 ABCD中，已知∠ MAN﹦ 45°，若 M、N 分别在边CB、 DC的延长线上移动，①.试探究线段 MN、BM 、 DN之间的数量关系 .②.求证： AB=AH.例2、在四边形 ABCD中，∠ B+∠ D﹦ 180°，AB=AD，若 E、F 分别在边 BC、 CD上，且满足 EF=BE +DF.求证：∠ EAF＝1∠BAD2例3、在△ ABC中， AB=AC，∠ BAC=2∠ DAE=120°，若 BD=5，CE=8，求 DE的长。
中考数学半角模型专项训练
半角模型专项训练1．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，M、N是斜边AB上的两点，且∠MCN＝45°，AM＝3，BN＝5，则MN＝．【答案】【解答】解：将△CBN逆时针旋转90度，得到三角形ACR，连接RM则△CRA≌△CNB全等，△RAM是直角三角形∴AR＝BN＝5，∴MN＝RM＝＝故答案是：2．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝15，点M、N在边BC 上，且∠MAN＝45°，CN＝5，MN＝．【答案】13【解答】解：∵等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝15，∴∠ABC＝∠C＝45°，BC＝AB＝30，把△ACN绕点A顺时针旋转90°得到△ABD，连接MD，如图所示：则∠ABD＝∠C＝45°，BD＝CN＝5，∠DAN＝90°，AD＝AN，∴∠DBM＝45°+45°＝90°，∵∠MAN＝45°，∴∠MAD＝90°﹣45°＝45°，∴∠MAD＝∠MAN，在△AMD和△AMN中，，∴△AMD≌△AMN（SAS），∴MD＝MN，设MD＝MN＝x，则BM＝BC﹣MN﹣CN＝25﹣x，在Rt△DBM中，由勾股定理得：BD2+BM2＝MD2，即52+（25﹣x）2＝x2，解得：x＝13，∴MN＝13；故答案为：13．3．如图1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D、E是BC边上的任意两点，且∠DAE＝45°．（1）将△ABD绕点A逆时针旋转90°，得到△ACF，请在图（1）中画出△ACF．（2）在（1）中，连接EF，探究线段BD，EC和DE之间有怎样的数量关系？写出猜想，并说明理由．（3）如图2，M、N分别是正方形ABCD的边BC、CD上一点，且BM+DN＝MN，试求∠MAN的大小．【解答】解：（1）完成图形，（2）连接EF，由旋转可知，AF＝AD，CF＝BD，∠DAF＝90°，∵∠DAE＝45°，∴∠DAE＝∠F AE＝45°，在△DAE和△F AE中，，∴△DAE≌△F AE（SAS），∴EF＝DE，∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠B＝∠ACB＝45°，∴∠ACF＝45°，∴∠ECF＝∠ACB+∠ACF＝90°，∴EF2＝EC2+FC2，∴DE2＝EC2+BD2；（3）将△ADN绕点A逆时针旋转，得到△ABE，如图：由旋转得：∠NAE＝90°，AN＝AE，∠ABE＝∠D＝90°，∴E，B，M三点共线，∵BM+DN＝MN，∴ME＝MN，在△AEM和△ANM中，，∴△AEM≌△ANM（SSS），∴∠MAE＝∠MAN＝45°．4．（1）如图①，正方形ABCD①中，点E、F分别在边BC、CD上，∠EAF＝45°，延长CD到点C，使DG＝BE，连接EF、AG，求证：EF＝FG；（2）如图②，在△ABC中，∠BAC＝90°，点M、N在边BC上，且∠MAN＝45°，若BM＝2，AB＝AC，CN＝3，求MN的长．【解答】（1）证明：在正方形ABCD中，∠ABE＝∠ADG，AD＝AB，∵在△ABE和△ADG中，，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴∠BAE＝∠DAG，AE＝AG，∴∠EAG＝90°，在△F AE和△GAF中，，∴△F AE≌△△F AG（SAS），∴EF＝FG；（2）解：如图，过点C作CE⊥BC，垂足为点C，截取CE，使CE＝BM．连接AE、EN．∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠B＝∠ACB＝45°．∵CE⊥BC，∴∠ACE＝∠B＝45°．在△ABM和△ACE中，，∴△ABM≌△ACE（SAS）．∴AM＝AE，∠BAM＝∠CAE．∵∠BAC＝90°，∠MAN＝45°，∴∠BAM+∠CAN＝45°．于是，由∠BAM＝∠CAE，得∠MAN＝∠EAN＝45°．在△MAN和△EAN中，，∴△MAN≌△EAN（SAS）．∴MN＝EN．在Rt△ENC中，由勾股定理，得EN2＝EC2+NC2．∴MN2＝BM2+NC2．∵BM＝2，CN＝3，∴MN2＝22+32，∴MN＝．5．已知：正方形ABCD中，∠MAN＝45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB，DC（或它们的延长线）于点M，N．（1）当∠MAN绕点A旋转到（如图1）时，求证：BM+DN＝MN；（2）当∠MAN绕点A旋转到如图2的位置时，猜想线段BM，DN和MN之间又有怎样的数量关系呢？请直接写出你的猜想．（不需要证明）【解答】解：（1）猜想：BM+DN＝MN，证明如下：如图1，在MB的延长线上，截取BE＝DN，连接AE，在△ABE和△ADN中，，∴△ABE≌△ADN（SAS），∴AE＝AN，∠EAB＝∠NAD，∵∠BAD＝90°，∠MAN＝45°，∴∠BAM+∠DAN＝45°，∴∠EAB+∠BAM＝45°，∴∠EAM＝∠NAM，在△AEM和△ANM中，∴△AEM≌△ANM（SAS），∴ME＝MN，又ME＝BE+BM＝BM+DN，∴BM+DN＝MN；（2）DN﹣BM＝MN．证明如下：如图2，在DC上截取DF＝BM，连接AF，△ABM和△ADF中，，∴△ABM≌△ADF（SAS），∴AM＝AF，∠BAM＝∠DAF，∴∠BAM+∠BAF＝∠BAF+∠DAF＝90°，即MAF＝∠BAD＝90°，∵∠MAN＝45°，∴∠MAN＝∠F AN＝45°，在△MAN和△F AN中，∴△MAN≌△F AN（SAS），∴MN＝NF，∴MN＝DN﹣DF＝DN﹣BM，∴DN﹣BM＝MN6．把一个含45°的三角板的锐角顶点与正方形ABCD的顶点A重合，然后把三角板绕点A 顺时针旋转，它的两边分别交直线CB、DC于点M、N．（1）当三角板绕点A旋转到图（1）的位置时，求证：MN＝BM+DN．（2）当三角板绕点A旋转到图（2）的位置时，试判断线段MN、BM、DN之间具有怎样的等量关系？请写出你的猜想，并给予证明．【解答】（1）证明：延长MB到H，使BH＝DN，连接AH，如图（1），∵四边形ABCD为正方形，∴∠D＝∠ABC＝90°，AD＝AB，在△ABH和△ADN中，，∴△ABH≌△ADN（SAS），∴AH＝AN，∠HAB＝∠NAD，∵∠MAN＝45°，∴∠DAN+∠BAM＝45°，∴∠HAB+∠BAM＝45°，∴∠HAM＝∠NAM，在△AMH和△AMN中，，∴△AMH≌△AMN（SAS），∴MH＝MN，即HB+MB＝MN，∴MN＝BM+DN；（2）解：MN＝DN﹣BM．理由如下：在DN上截取DH＝BM，如图（2），与（1）一样可证明△ADH≌△ABM，∴AH＝AM，∠DAH＝∠BAM，∵∠MAN＝45°，∴∠DAH+∠BAN＝45°，∴∠HAN＝45°，∴∠HAN＝∠NAM，在△ANH和△AMN中，，∴△ANH≌△AMN（SAS），∴NH＝MN，而DN＝DH+HN，∴BM+MN＝DN，即MN＝DN﹣BM．7．如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC，点M、N在边BC上，且∠MAN＝60°．若BM＝2，CN＝3，则MN的长为．【答案】【解答】解：如图，△ABM绕点A逆时针旋转120°至△APC，连接PN，过点P作BC 的垂线，垂足为D，∵∠BAC＝120°，AB＝AC，∴∠B＝∠ACB＝30°∵△ABM≌△APC，∴∠B＝∠ACP＝30°，PC＝BM＝2，∠BAM＝∠CAP，∴∠NCP＝60°，∵∠MAN＝60°，∴∠BAM+∠NAC＝∠NAC+∠CAP＝60°＝∠MAN，又∵AM＝AP，AN＝AN，∴△MAN和△P AN中，∴△MAN≌△P AN（SAS），∴MN＝PN，∵PD⊥CN，∠NCP＝60°，∴CD＝PC＝1，PD＝CD＝∴DN＝CN﹣CD＝3﹣1＝2，∴PN＝＝故答案为：．8．△ABC中，∠BAC＝α，AB＝AC，点D、E在直线BC上．（1）如图1，D、E在BC边上，若α＝120°，且AD2+AC2＝DC2，求证：BD＝AD；（2）如图2，D、E在BC边上，若α＝150°，∠DAE＝75°，且ED2+BD2＝CE2，求∠BAD的度数．（3）如图3，D在CB的延长线上，E在BC边上，若∠BAC＝α，∠DAE＝180°﹣，∠ADB＝15°，BE＝4，BD＝2，则CD的值为．【解答】（1）证明：∵AD2+AC2＝DC2，∴∠DAC＝90°，∵∠BAC＝α＝120°，∴∠BAD＝α﹣∠DAC＝30°，∵∠AB＝AC，∴∠B＝∠C＝30°，∴∠BAD＝∠B＝30°，∴BD＝AD．（2）解：如图（2），将△AEC绕着点A顺时针旋转150°，得到△AE′B，∴AE′＝AE，∠ABE′＝∠C，BE′＝CE，∠EAC＝∠E′AB，∵∠BAC＝150°，∠DAE＝75°，∴∠BAD+∠EAC＝75°，∴∠BAD+∠E′AB＝75°，即∠E′AD＝75°，∴∠E′AD＝∠EAD，又∵AD＝AD，AE＝AE′，∴△AE′D≌△AED（SAS），∴DE′＝DE，∠E′DA＝∠EDA，∵ED2+BD2＝CE2，∴E′D2+BD2＝BE′2，∴BDE′＝90°，∴∠E′DA＝∠EDA＝45°，∵∠BAC＝150°，AB＝AC，∴，∴∠BAD＝∠ADC﹣∠ABC＝45°﹣15°＝30°，故∠BAD＝30°．（3）解：如图（3），作E关于AD的对称点F，连接DF，AF，CF，作FG⊥BC，∵F，E关于AD对称，∴AF＝AE，DF＝DE，∵AD＝AD，∴△ADF≌△ADE（SSS），∴，∠ADE＝∠ADF＝15°，∴∠FDC＝30°，∴∠EAF＝360°﹣∠DAF﹣∠DAE＝α＝∠BAC，∴∠BAE＝∠CAF，又∵AB＝AC，AE＝AF，∴△ABE≌△ACF（SAS），∴CF＝BE＝4，在Rt△DFG中，∠FDG＝30°，DF＝DE＝BD+BE＝6，∴，FC＝BE＝4，FG＝3，∴，∴，故答案为：．。
初中几何半角模型经典例题
中考几何模型之半角模型【模型由来】半角模型是指：共顶点的两个一大一小的角，其中小角是大角的一半。
如下图中：若小角∠EAD等于大角∠BAC的一半，我们习惯上称之为“半角模型”。
【模型思想】通过旋转变化后构造全等三角形，实线边的转化。
【基本模型】类型一、90°中夹45°(正方形中的半角模型)条件：在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD边上的点，∠EAF=45°，BD为对角线，交AE于M点，交AF于N点。
结论①：图1、2中，EF=BE+FD；证明：如图3中，将AF绕点A顺时针旋转90°，F点落在F’处，连接BF’，∴∠EAF’=90°-∠EAF=90°-45°=45°=∠EAF，且AE=AE，AF=AF’，∴△FAE≌△F’AE(SAS)，∴EF=EF’，又∠D=∠ABF’=90°，∠ABE=90°，∴∠ABE+∠ABF’=90°+90°=180°，∴F’、B、E三点共线，∴EF’=BE+BF’=BE+DF。
结论②：图2中MN²=BM²+DN²；证明：如图4中，将AN绕点A顺时针旋转90°，N点落在N’处，连接AN’、BN’、MN’，∴∠N’AM=90°-∠EAF=90°-45°=45°=∠MAN，且AM=AM，AN=AN’，∴△MAN’≌△MAN(SAS)，∴MN=MN’，又∠ADN=45°=∠ABN ’，∠ABD=45°，∴∠MBN ’=∠ABD+∠ABN ’=45°+45°=90°，∴在Rt △MBN ’中，MN ’²=BM ²+BN ’²，即MN ²=BM ²+BN ’²。
结论③：图1、2中EA 平分∠BEF ，FA 平分∠DFE 。
初中几何半角模型经典例题
初中几何半角模型经典例题
摘要：
初中几何半角模型经典例题
I.引言
A.介绍半角模型的概念
B.强调半角模型在初中几何中的重要性
II.半角模型的基本性质
A.定义半角模型
B.解释半角模型的基本性质
C.给出半角模型的几个重要例子
III.半角模型的应用
A.讨论半角模型在解决几何问题中的应用
B.举例说明半角模型在具体几何问题中的运用
IV.结论
A.总结半角模型的重要性
B.强调半角模型在初中几何学习中的地位
正文：
I.引言
A.半角模型是初中几何中的一个重要模型，它涉及到旋转等基本几何概念，对于学生来说，掌握半角模型对于理解几何知识有着重要的作用。
II.半角模型的基本性质
A.半角模型是指通过一个角平分线将一个角分成两个相等的角，这两个角的一半就是半角。
B.半角模型的基本性质包括：半角相等、半角所对的边相等、半角所对的弧相等等。
C.半角模型的重要例子包括：等腰三角形、矩形、菱形等。
III.半角模型的应用
A.半角模型在解决几何问题中有着广泛的应用，比如在证明全等三角形、证明相似三角形等问题中，半角模型都是重要的工具。
B.例如，在证明全等三角形时，我们可以通过构造半角模型，将已知条件转化为可以证明全等的条件，从而证明两个三角形全等。
IV.结论
A.半角模型是初中几何中的重要模型，掌握半角模型对于理解几何知识、解决几何问题都有着重要的作用。
三角形全等几何模型(半角模型)(精选精练)(专项练习)(教师版)24-25学年八年级数学上册专项突破
专题12.16三角形全等几何模型（半角模型）（精选精练）（专项练习）1．如图，在正方形ABCD 中，点P 在直线BC 上，作射线AP ，将射线AP 绕点A 逆时针旋转45°，得到射线AQ ，交直线CD 于点Q ，过点B 作BE ⊥AP 于点E ，交AQ 于点F ，连接DF ．（1）依题意补全图形；（2）用等式表示线段BE ，EF ，DF 之间的数量关系，并证明．2．如图，ABC 是边长为3的等边三角形，BDC 是等腰三角形，且120BDC ∠=︒，以D 为顶点作一个60︒角，使其两边分别交AB 于点M ，交AC 于点N ，连接MN ，求AMN 的周长．3．（23-24八年级上·河南漯河·阶段练习）如图，在四边形ABCD 中，AB AD =，90B D ∠=∠=︒，E 、F分别是边BC 、CD 上的点，EAF ∠=12BAD ．(1)求证：EF BE FD =+．(2)求证：AF 平分DFE ∠．4．问题背景：如图1：在四边形ABCD 中，AB AD =，120BAD ∠=︒，90B ADC ∠=∠=︒．E ，F 分别是BC ，CD 上的点，且60EAF ∠=︒．探究图中线段EF ，BE ，FD 之间的数量关系．（1）小王同学探究此问题的方法是：延长FD 到点G ，使DG BE =．连接AG ，先证明ABE ADG △≌△，再证明AEF AGF ≌，他的结论应是；（并写出证明过程）探索延伸：（2）如图2，若在四边形ABCD 中，AB AD =，180B D ∠∠=︒＋，E ，F 分别是BC ，CD 上的点，且EAF ∠是BAD ∠的二分之一，上述结论是否仍然成立，并说明理由．5．（22-23九年级下·山东滨州·期中）（1）如图1，在四边形ABCD 中，120AB AD BAD =∠=︒，，90ABC ADC ∠=∠=︒，且60EAF ∠=︒，求证：EF BE FD =+．（2）如图2，若在四边形ABCD 中，AB AD =，180B D ∠+∠=︒，E F 、分别是BC CD 、上的点，且12EAF BAD ∠=∠，上述结论是否仍然成立？请说明理由．6．【问题引领】问题1：如图1．在四边形ABCD 中，CB CD =，90B ADC ∠=∠=︒，120BCD ∠=︒．E ，F 分别是AB ，AD 上的点．且60ECF ∠=︒．探究图中线段BE ，EF ，FD 之间的数量关系．小王祠学探究此问题的方法是，延长FD 到点G ．使DG BE =．连接CG ．先证明CBE CDG △△≌，再证明CEF CGF ≌△△．他得出的正确结论是______．【探究思考】问题2：如图2，若将问题Ⅰ的条件改为：四边形ABCD 中，CB CD =，180ABC ADC ∠+∠=︒，12ECF BCD ∠=∠，问题1的结论是否仍然成立?请说明理由．【拓展延伸】问题3：如图3在问题2的条件下，若点E 在AB 的延长线上，点F 在DA 的延长线上，则问题2的结论是否仍然成立？若不成立，猜测此时线段BE ，EF ，FD 之间存在的等量关系是______．7．（1）如图1：在四边形ABCD 中，AB AD =，120BAD ∠=︒，90B ADC ∠=∠=︒．E ，F 分别是BC ，CD 上的点．且60EAF ∠=︒．探究图中线段EF ，BE ，FD 之间的数量关系．小明同学探究的方法是：延长FD 到点G ．使DG BE =，连接AG ，先证明ABE ADG ≌△△，再证明AEF AGF △△≌，可得出结论，他的结论是________（直接写结论，不需证明）；（2）如图2，若在四边形ABCD 中，AB AD =，180B D ∠+∠=︒，E 、F 分别是BC ，CD 上的点，且EAF ∠是BAD ∠的二分之一，上述结论是否仍然成立，并说明理由；（3）如图3，四边形ABCD 是边长为n 的正方形，45EBF ∠=︒，直接写出三角形DEF 的周长．8．（23-24八年级上·北京朝阳·阶段练习）在ABC 中，AB AC =，点D 是直线BC 上一点（不与B C 、重合），以AD 为一边在AD 的右侧作ADE V ，使,AE AD BD CE ==．设,BAC BCE αβ∠=∠=．(1)如图1，如果90,BAC BCE ∠=︒∠=___________度；(2)如图2，你认为αβ、之间有怎样的数量关系？并说明理由．(3)当点D 在直线BC 上移动时，αβ、之间又有怎样的数量关系？请在备用图上画出图形，并直接写出你的结论．（B 、C 、E 三点不共线）参考答案：1．（1）补全图形见解析；（2）BE+DF=EF，证明见解析．【分析】（1）根据题意补全图形即可．（2）延长FE到H,使EH=EF，根据题意证明△ABH≌△ADF，然后根据全等三角形的性质即可证明．【详解】（1）补全图形（2）BE+DF=EF．证明：延长FE到H,使EH=EF∵BE⊥AP，∴AH=AF，∴∠HAP=∠FAP=45°，∵四边形ABCD为正方形，∴AB=AD，∠BAD=90°∴∠BAP+∠2=45°，∵∠1+∠BAP=45°∴∠1=∠2，∴△ABH≌△ADF，∴DF=BH，∵BE+BH=EH=EF，∴BE+DF=EF．【点睛】此题考查了正方形的性质和全等三角形的性质，解题的关键是根据题意作出辅助线． 的周长为6．2．AMN【分析】要求△AMN的周长，根据题目已知条件无法求出三条边的长，只能把三条边长用其它已知边长来表示，所以需要作辅助线，延长AB至F，使BF=CN，连接DF，通过证明△BDF≌△CDN，及△DMN≌△DMF，从而得出MN=MF，△AMN的周长等于AB+AC的长．【详解】解：∵△BDC是等腰三角形，且∠BDC=120°∴∠BCD=∠DBC=30°∵△ABC是边长为3的等边三角形∴∠ABC=∠BAC=∠BCA=60°∴∠DBA=∠DCA=90°延长AB至F，使BF=CN，连接DF，在Rt△BDF和Rt△CND中，BF=CN，DB=DC∴△BDF≌△CDN，∴∠BDF=∠CDN，DF=DN∵∠MDN=60°∴∠BDM+∠CDN=60°∴∠BDM+∠BDF=60°，∠FDM=60°=∠MDN，DM为公共边∴△DMN≌△DMF，∴MN=MF∴△AMN的周长是：AM+AN+MN=AM+MB+BF+AN=AB+AC=6．【点睛】此题主要利用等边三角形和等腰三角形的性质来证明三角形全等，构造另一个三角形是解题的关键．3．(1)见解析(2)见解析【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质；（1）延长EB 到G ，使BG DF =，连接AG ．先说明ABG ADF ≌，然后利用全等三角形的性质和已知条件证得AEG AEF ≌，最后再运用全等三角形的性质和线段的和差即可解答；（2）根据（1）的结论可得G AFE ∠=∠，AFD G ∠=∠，即可得出AFD AFE ∠=∠，即可得证．【详解】（1）证明：延长EB 到G ，使BG DF =，连接AG ．90ABG ABC D ∠=∠=∠=︒ ，AB AD =，ABG ADF ∴ ≌．AG AF ∴=，12∠=∠．1323EAF ∴∠+∠=∠+∠=∠=12BAD ∠．GAE EAF ∴∠=∠．又AE AE = ，AEG AEF ∴ ≌．EG EF ∴=．EG BE BG =+ ．EF BE FD ∴=+；（2）证明：∵ABG ADF ≌，∴AFD G ∠=∠，∵AEG AEF ≌，∴G AFE ∠=∠，∴AFD AFE ∠=∠，即AF 平分DFE ∠．4．（1）EF BE DF =+，证明过程见解析（2）成立，理由见解析【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线构建全等三角形是解题的关键．（1）先利用“SAS ”判断ABE ADG △≌△得到AE AG =，BAE DAG ∠=∠，再证明EAF GAF ∠=∠，接着根据“SAS ”判断AEF AGF ≌，所以EF FG =，从而得到EF BE DF =+；（2）结论仍然成立，证明方法与（1）相同．【详解】解：（1）EF BE DF =+，证明如下：如下图，延长FD 到点G ，使得DG BE =，连接AG，∵90B ADC ∠=∠=︒，∴18090ADG ADC ∠=︒-∠=︒，在ABE 和ADG △中，90BE DG B ADG AB AD =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∴(SAS)ABE ADG ≌，∴AE AG =，BAE DAG ∠=∠，∵60EAF ∠=︒，120BAD ∠=︒，∴GAF DAG DAF BAE DAF EAF ∠=∠+∠=∠+∠=∠，在AEF △和AGF 中，AE AG EAF GAF AF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴(SAS)AEF AGF ≌△△，∴EF FG =，∵FG DG DF BE DF =+=+，∴EF BE DF =+；故答案为：EF BE DF =+；（2）结论EF BE DF =+仍然成立，理由如下：如下图，延长FD 到点G ，使得DG BE =，连接AG ，∵180B ADF ∠+∠=︒，180ADF ADG ∠+∠=︒，∴B ADG ∠=∠，在ABE 和ADG △中，BE DG B ADG AB AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴(SAS)ABE ADG ≌，∴AE AG =，BAE DAG ∠=∠，∵12EAF BAD ∠=∠，∴GAF DAG DAF BAE DAF EAF ∠=∠+∠=∠+∠=∠，在AEF △和AGF 中，AE AG EAF GAF AF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴(SAS)AEF AGF ≌△△，∴EF FG =，∵FG DG DF BE DF =+=+，∴EF BE DF =+．5．（1）见解析；（2）结论EF BE FD =+仍然成立；理由见解析【分析】本题主要考查的是三角形的综合题，主要涉及三角形全等的判定与性质，作辅助线构造全等三角形是解此题的关键．（1）延长FD 到G ，使DG BE =，连接AG ，根据SAS 证明ABE ADG △≌△可得AE AG =，再证明AEF AGF ≌，可得EF FG =，即可得出结论；（2）延长FD 到G ，使DG BE =，连接AG ，根据SAS 证明ABE ADG △≌△可得AE AG =，再证明AEF AGF ≌，可得EF FG =，即可得出结论．【详解】证明：如图，延长FD 到G ，使DG BE =，连接AG ，则18090ADG ADC ∠=︒-∠=︒，又90ABC ∠=︒，∴ABC ADG ∠=∠，在ABE 和ADG △中，DG BE B ADG AB AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()SAS ABE ADG ∴ ≌，AE AG ∴=，BAE DAG ∠=∠，60EAF ∠=︒ ，120BAD ∠=︒，60GAF DAG DAF BAE DAF BAD EAF EAF ∴∠=∠+∠=∠+∠=∠-∠=︒=∠，GAF EAF ∴∠=∠，在AEF △和AGF 中，AE AG GAF EAF AF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()SAS AEF AGF ∴ ≌，EF FG ∴=，FG DG DF BE DF =+=+ ，EF BE DF ∴=+；（2）结论EF BE DF =+仍然成立，理由如下：如图，延长FD 到G ，使DG BE =，连接AG ，∵180,180B ADC ADC ADG ∠+∠=︒∠+∠=︒，∴B ADG ∠=∠，在ABE 和ADG △中，DG BE B ADG AB AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()SAS ABE ADG ∴ ≌，AE AG ∴=，BAE DAG ∠=∠，12EAF BAD ∠=∠ ，GAF DAG DAF BAE DAF BAD EAF EAF ∴∠=∠+∠=∠+∠=∠-∠=∠，GAF EAF ∴∠=∠，在AEF △和AGF 中，AE AG GAF EAF AF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()SAS AEF AGF ∴ ≌，EF FG ∴=，FG DG DF BE DF =+=+ ，EF BE DF ∴=+．6．问题1：BE FD EF +=；问题2：问题1中结论仍然成立，理由见解析；问题3：结论：DF EF BE =+．【分析】问题1，先证明CBE CDG ≌△△，得到CE CG =，BCE DCG ∠=∠，再证明CEF CGF ≌，得到EF GF =，即可得到EF DG DF BE DF =+=+；问题2，延长FD 到点G ．使DG BE =．连接CG ，先判断出ABC GDC ∠=∠，进而判断出CBE CDG ≌△△，再证明CEF CGF ≌，最后用线段的和差即可得出结论；问题3，在DF 上取一点G ．使DG BE =．连接CG ，然后同问题2的方法即可得出结论．【详解】解：问题1，如图1，延长FD 到点G ．使DG BE =．连接CG，∵90ADC B ∠∠==︒，∴18090CDG ADC ∠-∠=︒=︒，∴90CBE CDG ∠∠==︒，在CBE △和CDG 中，===BE DG CBE CDG BC DC ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩，∴()SAS CBE CDG △≌△，∴CE CG =，BCE DCG ∠=∠，∴BCE ECD DCG ECD ∠+∠=∠+∠，即120ECG BCD ∠∠==︒，∵60ECF ∠=︒，∴60GCF ECG ECF ∠∠-∠==︒，∴=ECF GCF ∠∠，在CEF △和CGF △中，===CE CG ECF GCF CF CF ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩，∴()SAS CEF CGF ≌，∴EF GF =，∴EF DG DF BE DF =+=+；故他得到的正确结论是：=+EF BE DF ；问题2，问题1中结论仍然成立，如图2，理由：延长FD 到点G ．使DG BE =．连接CG ，∵+=180ABC ADC ∠∠︒，+=180CDG ADC ∠∠︒，∴ABC GDC ∠=∠，在CBE △和CDG 中，BE DG CBE CDG BC DC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()SAS CBE CDG △≌△，∴CE CG =，BCE DCG ∠=∠，∴BCE ECD DCG ECD ∠+∠=∠+∠，即ECG BCD ∠=∠，∵12ECF BCD ∠=∠，∴12ECF ECG ∠=∠，∴=ECF GCF ∠∠，在CEF △和CGF △中，CE CG ECF GCF CF CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()SAS CEF CGF ≌，∴EF GF =，∴EF DG DF BE DF =+=+；即=+EF BE DF ；问题3．结论：DF BE EF =+，理由如下：如图3，在DF 上取一点G ．使DG BE =．连接CG ，∵180ABC ADC ∠+∠=︒，180ABC CBE ∠+∠=︒，∴ADC CBE ∠=∠，即CDG CBE ∠=∠，在CBE △和CDG 中，BE DG CBE CDG BC DC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()SAS CBE CDG △≌△，∴CE CG =，BCE DCG ∠=∠，∴BCE BCG DCG BCG ∠+∠=∠+∠，即ECG BCD ∠=∠，∵12ECF BCD ∠=∠，∴12ECF ECG ∠=∠，∴=ECF GCF ∠∠，在CEF △和CGF △中，CE CG ECF GCF CF CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()SAS CEF CGF ≌，∴EF GF =，∴EF GF DF DG DF BE ==-=-．即DF BE EF =+．【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定，解题的关键在于能够正确作出辅助线构造全等三角形．7．（1）EF BE DF =+；（2）结论仍然成立，EF BE FD +＝；（3）2n ．【分析】（1）延长FD 到点G ，使DG BE =，连结AG ，由“SAS ”可证ABE ADG △≌△，可得AE AG =，BAE DAG ∠=∠，再由“SAS ”可证AEF AGF ≌，可得EF FG =，即可解题；（2）延长EB 到G ，使BG DF =，连接AG ，即可证明ABG ADF ≌，可得AF AG =，再证明AEF AEG △≌△，可得EF EG =，即可解题；（3）延长EA 到H ，使AH CF =，连接BH ，由“SAS ”可证ABH CBF ≌，可得BH BF =，ABH CBF ∠=∠，由“SAS ”可证EBH EBF ≌，可得EF EH =，可得EF EH AE CF ==+，即可求解．【详解】（1）延长FD 到点G ，使DG BE =，连结AG ，在ABE 和ADG △中，BE DG B ADG AB AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()SAS ABE ADG △△≌，∴AE AG =，BAE DAG ∠=∠，∵120BAD ∠=︒，60EAF ∠=︒，∴60BAE FAD DAG FAD ∠+∠=∠+∠=︒，∴60EAF FAG ∠=∠=︒，在EAF △和GAF 中，AG AE EAF FAG AF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()SAS EAF GAF ≌，∴EF FG DF DG ==+，∴EF BE DF =+，故答案为：EF BE DF =+；（2）结论仍然成立，理由如下：如图2，延长EB 到G ，使BG DF =，连接AG，∵180180ABC D ABG ABC ∠+∠︒∠+∠︒＝，＝，∴ABG D ∠∠＝，同（1）理：()SAS ABG ADF △△≌，∴AG AF =，BAG DAF ∠=∠，∵12EAF BAD ∠=∠，∴12DAF BAE BAG BAE BAD EAF ∠+∠=∠+∠=∠=∠，∴GAE EAF ∠=∠，又AE AE =，∴()SAS AEG AEF △△≌，∴EG EF =，∵EG =BE +BG ，∴EF BE FD +＝；（3）如图，延长EA 到H ，使AH CF =，连接BH ，∵四边形ABCD 是正方形，∴AB BC AD CD n ====，90BAD BCD ∠=∠=︒，∴90BAH BCF ∠=∠=︒，又∵AH CF =，AB BC =，∴()SAS ABH CBF ≌，∴BH BF =，ABH CBF ∠=∠，∵45EBF ∠=︒，∴45CBF ABE HBA ABE EBH ∠+∠=︒=∠+∠=∠，∴EBH EBF ∠=∠，又∵BH BF =，BE BE ＝，∴()SAS EBH EBF ≌，∴EF EH =，∴EF EH AE CF ==+，∴DEF 的周长2DE DF EF DE DF AE CF AD CD n =++=+++=+=．【点睛】此题主要考查了三角形全等的判定和性质，灵活运用全等三角形的性质和判定是解答本题的关键．8．(1)90；(2)=180αβ+︒；(3)图象见详解；=180αβ+︒；【分析】（1）先证明ABD ACE ≌（SSS ），则可得B ACE ∠∠=，根据90BAC ∠=︒，可知9090B ACB ACE ACB ∠∠∠∠+=︒+=︒，则；（2）已知ABD ACE ≌，则B ACE ∠∠=，则B ACB BCE ∠∠∠+=，根据180180B ACB BAC BCE BAC ∠∠∠++∠=︒+∠=︒，可得，则=180αβ+︒．（3）连接AD ，作AE 使得DAE BAC ∠∠=，AE AD =，连接DE 、CE ：根据BAD BAC CAD ∠∠∠=+，CAE DAE CAD ∠∠∠=+，可得BAD CAE ∠∠=，证明ABD ACE ≌，进而可得B ACE ∠∠=，则B 180BCE AC ACE BCA B BAC ∠∠=+∠=∠+∠=︒-∠，由此可证明αβ、之间存在数量关系为=180αβ+︒；【详解】（1）解：在ABD 与ACE 中，AB AC AE AD BD CE =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴ABD ACE ≌（SSS ），∴B ACE ∠∠=，∵90BAC ∠=︒，∴90B ACB ∠∠+=︒，∴90ACE ACB ∠∠+=︒，故答案为：90；（2）解：已知ABD ACE ≌，∴B ACE ∠∠=，∴B ACB BCE ∠∠∠+=，∵180B ACB BAC ∠∠++∠=︒，∴180BCE BAC ∠+∠=︒，∴=180αβ+︒．（3）解：连接AD ，作AE 使得DAE BAC ∠∠=，AE AD =，连接DE 、CE，可得下图：∵BAD BAC CAD ∠∠∠=+，CAE DAE CAD ∠∠∠=+，∴BAD CAE ∠∠=；在ABD 和ACE 中，AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴ABD ACE ≌()SAS ；∴B ACE ∠∠=；∴B 180BCE AC ACE BCA B BAC ∠∠=+∠=∠+∠=︒-∠，∴αβ、之间存在数量关系为=180αβ+︒．【点睛】本题考查全等三角形的性质与判定，能够熟练掌握全等三角形的判定定理，找出相应的判定条件是解决本题的关键．。
半角模型专题专练
半角模型例题F ,且∠ EAF= 45已知，正方形ABCDK∠ EAF两边分别交线段BG DC于点E、结论1: BE+ DF= EF结论2: S△ABE + S∆ ADF= AEF结论3: AH= AD结论4:A CEF的周长=2倍的正方形边长=2AB结论5:当BE= DF时，△ CEF的面积最小结论6: BM+ DN = MN结论7:三角形相似，可由三角形相似的传递性得到结论8: EA FA是厶CEF的外角平分线结论9:四点共圆结论10: △ ANE和厶AMF是等腰直角三角形（可通过共圆得到）结论11: MN= — EF （可由相似得到）结论12: S^AEF=2S A AMN（可由相似的性质得至U）结论5的证明：设正方形ABCD勺边长为1 则S∆ AEF= 1 —S —S2 —S B1—_ x ——y ——(1 —x)(1 —y)=一一一Xy所以当X = y时，△ AEF的面积最小结论6的证明:将厶ADN i时针旋转90°使AD与AB重合∙∙∙ DN= BN易证△ AMI⅛^ AMN∙∙∙ MN= MN在Rt△ BMN中，由勾股定理可得：BM + BN2= MN2即BM+DN= MN结论7的所有相似三角形:.J Q△ AMN^ DFN △ AMN^ BME △ AMN^ BAN △AMN^DMA △ AMN^ AFE结论8的证明:因为△ AMN P ^ AFE∙∙∙∠ 3=∠ 2因为△ AMF Φ^ BAN∙°∙∠ 3=∠ 4 ∙i ∠ 2=∠ 4因为AB// CD ∙∠1 = ∠ 4 ∙∠1 = ∠ 2结论9的证明：**必会结论 ------ 图形研究正方形半角模型一、 全等关系(1) 求证：① DF BE =EF :②DG+ BH= HG;③ AE 平分.BEF , 二、 相似关系(2) 求证：① CE= 2DG ; ® CF =J 2BH ; @ EF = J 2HG . (3) 求证：④ AB 2 =BG DH ; @ AG 2 =BG HG ; ® B E -DF =-.CE CF 2三、 垂直关系AB(4) 求证：① AG _ EG :② AH _ FH :③ tan HCF =A B .BE(5) 、和差关系求证：① BG -DG 「2 BE ; ® AD DF 「2DH ; ③ ∣BE-DF |=』2 | BH - DG |.已知：正方形 ZEAF =45， AE 、 ABCD ， E 、F 分别在边BC 、CD 上，且 AF 分别交BD 于H 、G ,连EF .D因为∠ EAN=∠ EBN= 45° ∙ A 、B 、E 、N 四点共圆（辅圆定 理：共边同侧等顶角）同理可证C 、E 、N 、F 四点共圆 A M F 、D 四点共圆 C 、E 、M F 四点共圆AF 平分.DFE .B AOHDFE例1、在正方形ABCD中，已知∠ MAN= 45° ,若M N分别在边CB DC的延长线上移动，①•试探究线段MN BM、DN之间的数量关系.② .求证：AB=AH.例2、在四边形ABCD中∠ B+∠ D= 180°, AB=AD 若E、F 分别在边BC CD上，且满足EF=BE +DF.求证：∠ EAF^-∠ BAD例3、在厶ABC中，AB=AC ∠ BAC=∠ DAE=120 ,若BD=5CE=β求DE的长。
专题12 半角模型(原卷版)
专题12半角模型半角模型的概述：当一个角包含着该角的半角，如90°角包含着45°角，120°角包含着60°角，270°角包含着135°角，即出现12倍角关系，且这两个角共顶点，共顶点的两条边相等，则该模型为半角模型。
解题方法为：1）过公共点作旋转，2）截长补短的方法构造全等解题。
基本模型：1）90°的半角模型（常考）已知正方形ABCD中，E，F分别是BC、CD上的点，∠EAF=45°，AE、AF分别与BD相交于点O、P，则：①EF=BE+DF②AE平分∠BEF，AF平分∠DFE③C∆CEF=2倍正方形边长④S∆ABE+S∆ADF=S∆AEF⑤AB=AG=AD（过点A作AG⊥EF，垂足为点G）⑥OP2=OB2+OD2⑦若点E为BC中点，则点F为CD三等分点⑧∆APO∽∆AEF∽∆DPF∽∆BEO∽∆DAO∽∆BPA⑨ABEP四点共圆、AOFD四点共圆、OECFP五点共圆⑩∆APE、∆AOF为等腰直角三角形(11)EF=2OP(12)S∆AEF=2S∆APO(13)AB2=BP×OD(14)CE•CF=2BE•DF(15)∆EPC为等腰三角形(16)PX=BX+DP(过点E作EX⊥BD，垂足为点X)证明：①思路：延长CD到点M，使DM=BE，连接AM先根据已知条件∆ABE≌∆ADM(SAS)，由此可得AE=AM，∠BAE=∠DAM而∠BAE+∠FAD=45°，所以∠DAM+∠FAD=45°，可证明∆AEF≌∆AMF(SAS)，由此可得EF=MF，而MF=DM+DF=BE+DF，因此EF=BE+DF②思路：∵∆AEF≌∆AMF(SAS)∴∠AFM=∠AFE，∠AMF=∠AEF∴AF平分∠DFE又∵∠AMF=∠AEB∴∠AEB=∠AEF∴AE平分∠BEF③思路：C∆CEF=EF+EC+FC=(BE+DF)+EC+FC=（BE+EC）+（DF+FC）=BC+DC=2BC④、⑤思路：过点A作AG⊥EF，垂足为点G根据②证明过程可知AFG=∠AFD，∠AEB=∠AEG因此可以证明:∆ABE≌∆AGE(AAS),∆AGF≌∆ADF(AAS)所以AB=AG=AD，S∆ABE=S∆AGE，S∆AGF=S∆ADF则S∆AEF=S∆AGE+S∆AGF=S∆ABE+S∆ADF⑥思路：绕点A将∆APD逆时针旋转90°得到∆ANB,使AD，AB重合因为∆APD≌∆ANB(AAS)所以AN=AP，BN=DP，∠NAB=∠PAD，∠ADP=∠ABN因为∠ADB=∠ABD=45°，所以∠NBO=90°因为∠BAE+∠PAD=45°所以∠NAB+∠BAE=45°则∆ANO≌∆APO(SAS)所以NO=OP在Rt∆NBO中，由勾股定理可知：ON2=OB2+NB2，则OP2=OB2+OD2⑦思路：已知tan∠EAB=BE AB=12，且∠EAB+∠FAD=45°∴tan∠FAD=13（“12345型”），∴DF:AD=1:3，即点F为CD的三等分点。
人教版八年级数学上册《全等变化模型-半角模型》专题练习-附含答案
人教版八年级数学上册《全等变化模型-半角模型》专题练习-附含答案【模型展示】 【模型条件】BCD ECF D B DC BC ABCD ∠=∠︒=∠+∠=21180，，中，四方形 【模型结论】FD BE EF +=①BEF CE EFD CF ∠∠平分，平分②证明：【例6-1】如图正方形ABCD中∠EAF的两边分别与边BC、CD交于点E、F AE、AF分别交BD 于点G、H且∠EAF＝45°．（1）当∠AEB＝55°时求∠DAH的度数；（2）设∠AEB＝α则∠AFD＝（用含α的代数式表示）；（3）求证：∠AEB＝∠AEF．【解答】解：（1）由ABCD为正方形则∠DAB＝∠ABC＝∠C＝∠ADC＝90°当∠AEB＝55°时∠EAB＝90°﹣∠AEB＝90°﹣55°＝35°∴∠DAH＝90°﹣∠EAF﹣∠EAB＝90°﹣45°﹣35°＝10°（2）由四边形ABCD为正方形可知∠ABE＝∠ADF＝∠BAD＝90°∵∠AEB＝α∴∠EAB＝90°﹣α∴∠DAF＝∠BAD﹣∠EAB﹣∠EAF＝90°﹣（90°﹣α）﹣45°＝α﹣45°∴∠AFD＝90°﹣∠DAF＝90°﹣（α﹣45°）＝135°﹣α．故答案为：135°﹣α．（3）证明：将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABI可得E、B、I三点共线由旋转可知∠DAF＝∠BAI AF＝AI∵∠DAF+∠EAB＝90°﹣∠EAF＝45°∴∠BAI+∠EAB＝45°＝∠IAE在△EAF和△EAI中∴△EAF≌△EAI（SAS）．∴∠AEF＝∠AEI＝∠AEB．【例6-2】在正方形ABCD中已知∠MAN＝45°AH⊥MN垂足为H若M、N分别在边CB、DC 的延长线上移动．①试探究线段MN、BM、DN之间的数量关系．②求证：AB＝AH．【解答】解：①DN﹣BM＝MN．证明如下：如图在DC上截取DF＝BM连接AF△ABM和△ADF中∴△ABM≌△ADF（SAS）∴AM＝AF∠BAM＝∠DAF∴∠BAM+∠BAF＝∠BAF+∠DAF＝90°即MAF＝∠BAD＝90°∵∠MAN＝45°∴∠MAN＝∠F AN＝45°在△MAN和△F AN中∴△MAN≌△F AN（SAS）∴MN＝NF∴MN＝DN﹣DF＝DN﹣BM∴DN﹣BM＝MN；②∵△MAN≌△F AN∴∠HNA＝∠DNA∵∠H＝∠D＝90°AN＝AN∴△AHN≌△ADN（AAS）∴AD＝AH∵AD＝AB∴AH＝AB．【例6-3】如图（1）在平面直角坐标系中AB⊥x轴于B AC⊥y轴于C点C（0 4）A（4 4）过C点作∠ECF分别交线段AB、OB于E、F两点（1）若OF+BE＝AB求证：CF＝CE．（2）如图（2）且∠ECF＝45°S△ECF＝6 求S△BEF的值．【解答】解：（1）证明：∵AB⊥x轴AC⊥y轴∴∠ABO＝∠ACO＝90°∵∠BOC＝90°∴∠A＝360°﹣∠ABO﹣∠ACO﹣∠BOC＝90°∴∠A＝∠BOC∵C（0 4）A（4 4）∴OC＝AC＝AB＝4∵OF+BE＝AB AB＝AE+BE∴OF＝AE在△COF和△CAE中∴△COF≌△CAE（SAS）∴CF＝CE．（2）将△ACE绕点C顺时针旋转90°则FG＝AE+OF CG＝CE∠ACE＝∠GCO∵∠ECF＝45°∴∠ACE+∠FCO＝∠ACO﹣∠ECF＝90°45°＝45°∴∠GCF＝∠GCO+∠FCO＝∠ACE+∠FCO＝45°∴∠GCF＝∠ECF在△GCF和△ECF中∴△GCF≌△ECF（SAS）∵S△ECF＝6∴S△GCF＝6∴S△ECA+S△OCF＝6∵由（1）知四边形OBAC为边长为4的正方形∴S四边形OBAC＝4×4＝16∴S△BEF＝S四边形OBAC﹣S△ECF﹣S△ECA﹣S△OCF＝16﹣6﹣6＝4∴S△BEF的值为4．【例6-4】如图在正方形ABCD中M、N分别是射线CB和射线DC上的动点且始终∠MAN＝45°．（1）如图1 当点M、N分别在线段BC、DC上时请直接写出线段BM、MN、DN之间的数量关系；（2）如图2 当点M、N分别在CB、DC的延长线上时（1）中的结论是否仍然成立若成立给予证明若不成立写出正确的结论并证明；【解答】解：（1）BM+DN＝MN理由如下：如图1 在MB的延长线上截取BE＝DN连接AE∵四边形ABCD是正方形∴AB＝AD∠BAD＝∠ABC＝∠D＝90°∴∠ABE＝90°＝∠D在△ABE和△ADN中∴△ABE≌△ADN（SAS）∴AE＝AN∠EAB＝∠NAD∴∠EAN＝∠BAD＝90°∵∠MAN＝45°∴∠EAM＝45°＝∠NAM在△AEM和△ANM中∴△AEM≌△ANM（SAS）∴ME＝MN又∵ME＝BE+BM＝BM+DN∴BM+DN＝MN；（2）（1）中的结论不成立 DN ﹣BM ＝MN ．理由如下：如图2 在DC 上截取DF ＝BM 连接AF则∠ABM ＝90°＝∠D在△ABM 和△ADF 中∴△ABM ≌△ADF （SAS ）∴AM ＝AF ∠BAM ＝∠DAF∴∠BAM +∠BAF ＝∠BAF +∠DAF ＝∠BAD ＝90°即∠MAF ＝∠BAD ＝90°∵∠MAN ＝45°∴∠MAN ＝∠F AN ＝45°在△MAN 和△F AN 中∴△MAN ≌△F AN （SAS ）∴MN ＝NF∴MN ＝DN ﹣DF ＝DN ﹣BM∴DN ﹣BM ＝MN ． 【模型拓展】【拓展6-1】如图 已知(,)A a b AB y ⊥轴于B 且满足22(2)0a b -+-=（1）求A 点坐标；（2）分别以AB AO 为边作等边三角形ABC ∆和AOD ∆ 如图1试判定线段AC 和DC 的数量关系和位置关系．（3）如图2过A 作AE x ⊥轴于E F G 分别为线段OE AE 上的两个动点 满足45FBG ∠=︒试探究OF AGFG+的值是否发生变化？如果不变请说明理由并求其值；如果变化请说明理由．【解答】解：（1）根据题意得：20a-=且20b-=解得：2a=2b=则A的坐标是(2,2)；（2）AC CD=且AC CD⊥．如图1 连接OC CDA的坐标是(2,2)2AB OB∴==ABC∆是等边三角形30OBC∴∠=︒OB BC=75BOC BCO∴∠=∠=︒在直角ABO∆中45BOA∠=︒754530AOC BOC BOA∴∠=∠-∠=︒-︒=︒OAD∆是等边三角形30DOC AOC∴∠=∠=︒即OC是AOD∠的角平分线OC AD∴⊥且OC平分AD AC DC∴=6075135ACO DCO∴∠=∠=︒+︒=︒36013513590ACD∴∠=︒-︒-︒=︒AC CD∴⊥故AC CD=且AC CD⊥．（3）不变．延长GA至点M使AM OF=连接BM在BAM∆与BOF∆中AB OBBAM BOF AM OF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()BAM BOF SAS∴∆≅∆ABM OBF∴∠=∠BF BM=9045 OBF ABG FBG∠+∠=︒-∠=︒45MBG∴∠=︒在FBG ∆与MBG ∆中 BM BF MBG FBG BG BG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()FBG MBG SAS ∴∆≅∆FG GM AG OF ∴==+ ∴1OF AG FG+=．【拓展6-2】如图1 点A 、D 在y 轴正半轴上 点B 、C 分别在x 轴上 CD 平分ACB ∠与y 轴交于D 点 90CAO BDO ∠=︒-∠．（1）求证：AC BC =；（2）在（1）中点C 的坐标为(4,0) 点E 为AC 上一点 且DEA DBO ∠=∠ 如图2 求BC EC +的长；（3）在（1）中 过D 作DF AC ⊥于F 点 点H 为FC 上一动点 点G 为OC 上一动点 （如图3) 当点H 在FC 上移动、点G 在OC 上移动时 始终满足GDH GDO FDH ∠=∠+∠ 试判断FH 、GH 、OG 这三者之间的数量关系 写出你的结论并加以证明．【解答】（1）证明：90CAO BDO ∠=︒-∠CAO CBD ∴∠=∠．在ACD ∆和BCD ∆中ACD BCD CAO CBD CD CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()ACD BCD AAS ∴∆≅∆．AC BC ∴=．（2）解：由（1）知CAD DEA DBO ∠=∠=∠BD AD DE ∴== 过D 作DN AC ⊥于N 点 如右图所示： ACD BCD ∠=∠DO DN ∴=在Rt BDO ∆和Rt EDN ∆中BD DE DO DN =⎧⎨=⎩Rt BDO Rt EDN(HL)∴∆≅∆BO EN ∴=．在DOC ∆和DNC ∆中90DOC DNC OCD NCDDC DC ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()DOC DNC AAS ∴∆≅∆可知：OC NC =；28BC EC BO OC NC NE OC ∴+=++-==．（3）GH FH OG =+．证明：由（1）知：DF DO =在x 轴的负半轴上取OM FH = 连接DM 如右图所示： 在DFH ∆和DOM ∆中90DF DO DFH DOM OM FH =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩()DFH DOM SAS ∴∆≅∆．DH DM ∴= 1ODM ∠=∠．122GDH ODM GDM ∴∠=∠+∠=∠+∠=∠．在HDG ∆和MDG ∆中DH DM GDH GDM DG DG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()HDG MDG SAS ∴∆≅∆．MG GH ∴=GH OM OG FH OG ∴=+=+．【拓展6-3】如图1 ACB ∆为等腰三角形 90ABC ∠=︒ 点P 在线段BC 上（不与B C 重合） 以AP 为腰长作等腰直角PAQ ∆ QE AB ⊥于E ．（1）求证：PAB AQE ∆≅∆；（2）连接CQ 交AB 于M 若2PC PB = 求PC MB的值； （3）如图2 过Q 作QF AQ ⊥交AB 的延长线于点F 过P 点作DP AP ⊥交AC 于D 连接DF 当点P 在线段BC 上运动时（不与B C 重合） 式子QF DP DF-的值会变化吗？若不变 求出该值；若变化 请说明理由．【解答】（1）证明：ACB ∆为等腰三角形 90ABC ∠=︒ 点P 在线段BC 上（不与B C 重合） 以AP 为腰长作等腰直角PAQ ∆ QE AB ⊥于E ．AP AQ ∴= 90ABP QEA ∠=∠=︒ 90QAE BAP BAP APB ∠+∠=∠+∠=︒ QAE APB ∴∠=∠在PAB ∆和AQE ∆中ABQ QEA QAE APB AQ PA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()PAB AQE AAS ∴∆≅∆；（2）解：PAB AQE ∆≅∆ AE PB ∴=AB CB = QE CB ∴=．在QEM ∆和CBM ∆中QME CMB QEM CBM QE CB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()QEM CBM AAS ∴∆≅∆ME MB ∴=AB CB = AE PB = 2PC PB =BE PC ∴=2PC PB =2PC MB ∴= ∴2PC MB=； （3）式子QF DP DF -的值不会变化． 如下图2所示：作HA AC ⊥交QF 于点HQA AP ⊥ HA AC ⊥ AP PD ⊥90QAH HAP HAP PAD ∴∠+∠=∠+∠=︒ 90AQH APD ∠=∠=︒ QAH PAD ∴∠=∠PAQ ∆为等腰直角三角形AQ AP ∴=在AQH ∆和APD ∆中AQH APDAQ AP QAH PAD∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩()AQH APD ASA ∴∆≅∆AH AD ∴= QH PD =HA AC ⊥ 45BAC ∠=︒HAF DAF ∴∠=∠在AHF ∆和ADF ∆中AH ADHAF DAF AF AF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()AHF ADF SAS ∴∆≅∆HF DF ∴= ∴1QF DPQF QH HFDF HF HF --===．。
半角模型经典例题
半角模型经典例题
半角模型是指以正方形的一个顶点为起点，构造两条夹角为45°的射线，这两条射线与正方形的两边相交，连接交点所得到的平面几何模型。
半角模型在平面几何中有着广泛的应用，下面是一个经典的半角模型例题：
例题：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D是BC的中点，点E、F分别在AB、AC上，且∠EDF=45°，求证：EF^2=BE^2+CF^2。
证明：
第一步，由题目信息可知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，AB=AC，D是BC的中点。
第二步，将△ADC绕点D逆时针旋转90°得到△BDE，连接EF。
由于旋转不改变长度和角度，所以AD=BE，CD=DE，∠CAD=∠EBD。
第三步，因为∠BAC=90°且∠EDF=45°，所以∠BDE+∠CDF=45°。
又因为∠CAD+∠CDF=45°，所以∠CAD=∠EDF。
第四步，由于在△DEF和△DFC中，∠EDF=∠CDF，DF=DF（公共边），根据三角形的全等定理，△DEF≌△DFC（SAS），所以EF=CF。
第五步，在△BEF中，根据余弦定理有EF^2=BE^2+BF^2-2×BE×BF×cos45°。
由于BF=CF（由第四步得出），所以EF^2=BE^2+CF^2。
综上所述，EF^2=BE^2+CF^2。
这道题是半角模型中的一个经典例题，通过证明线段的平方关系来考查学生对于半角模型的理解和应用。
在解题过程中，学生需要掌握旋转的思想、全等三角形的判定和性质、余弦定理等知识点。
半角模型专题专练
半角模型例题已知，正方形ABCD 中，∠EAF 两边分别交线段BC 、DC 于点E 、F ，且∠EAF ﹦45° 结论1：BE ﹢DF ﹦EF结论2：S △ABE ﹢S △ADF ﹦S △AEF 结论3：AH ﹦AD结论4：△CEF 的周长﹦2倍的正方形边长﹦2AB 结论5：当BE ﹦DF 时，△CEF 的面积最小 结论6：BM 2﹢DN 2﹦MN 2结论7：三角形相似，可由三角形相似的传递性得到 结论8：EA 、FA 是△CEF 的外角平分线 结论9：四点共圆 结论10：△ANE 和△AMF 是等腰直角三角形（可通过共圆得到） 结论11：MN ﹦√22EF （可由相似得到）结论12：S △AEF ﹦2S △AMN （可由相似的性质得到） 结论5的证明：设正方形ABCD 的边长为1 则S △AEF ﹦1﹣S 1﹣S 2﹣S 3﹦1﹣12x ﹣12y ﹣12(1﹣x)(1﹣y) ﹦12﹣12xy所以当x ﹦y 时，△AEF 的面积最小结论6的证明：将△ADN 顺时针旋转90°使AD 与AB 重合 ∴DN ﹦BN ′易证△AMN ≌△AMN ′ ∴MN ﹦MN ′在Rt △BMN ′中，由勾股定理可得： BM 2﹢BN ′2﹦MN ′2 即BM 2﹢DN 2﹦MN 2结论7的所有相似三角形：△AMN ∽△DFN△AMN ∽△BME△AMN ∽△BAN△AMN ∽△DMA△AMN ∽△AFE结论8的证明：因为△AMN ∽△AFE ∴∠3＝∠2因为△AMN ∽△BAN ∴∠3＝∠4 ∴∠2＝∠4 因为AB ∥CD ∴∠1＝∠4 ∴∠1＝∠2结论9的证明：因为∠EAN ﹦∠EBN ＝45°∴A 、B 、E 、N 四点共圆（辅圆定理：共边同侧等顶角）同理可证C 、E 、N 、F 四点共圆 A 、M 、F 、D 四点共圆 C 、E 、M 、F 四点共圆**必会结论-------- 图形研究正方形半角模型已知：正方形ABCD ，E 、F 分别在边BC 、CD 上，且︒=∠45EAF ，AE 、AF 分别交BD 于H 、G ，连EF .一、全等关系（1）求证：①EF BE DF =+；②DG 2﹢BH 2﹦HG 2；③AE 平分BEF ∠，AF 平分DFE ∠. 二、相似关系（2）求证：①DG CE 2=；②BH CF 2=；③HG EF 2=. （3）求证：④DH BG AB ⋅=2；⑤HG BG AG ⋅=2；⑥21=⋅CF DF CE BE . 三、垂直关系（4）求证：①EG AG ⊥；②FH AH ⊥；③BEAB HCF =∠tan . （5)、和差关系求证：①BE DG BG 2=-；②DH DF AD 2=+； ③||2||DG BH DF BE -=-.例1、在正方形ABCD 中，已知∠MAN ﹦45°，若M 、N 分别在边CB 、DC 的延长线上移动，①.试探究线段MN 、BM 、DN 之间的数量关系. ②.求证：AB=AH.例2、在四边形ABCD 中，∠B+∠D ﹦180°，AB=AD ，若E 、F 分别在边BC 、CD 上，且满足EF=BE +DF. 求证：∠EAF ＝12∠BAD例3、在△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=2∠DAE=120°，若BD=5，CE=8，求DE 的长。