学案1：8.5.3 平面与平面平行

8.5.3平面与平面平行

【导学聚焦】

【问题导学】

预习教材内容，思考以下问题：

1．面面平行的判定定理是什么？

2．面面平行的性质定理是什么？

【新知初探】

1．平面与平面平行的判定定理

■名师点拨

(1)平面与平面平行的判定定理中的平行于一个平面内的“两条相交直线”是必不可少的．

(2)面面平行的判定定理充分体现了等价转化思想，即把面面平行转化为线面平行．2．平面与平面平行的性质定理

■名师点拨

(1)用该定理判断直线a与b平行时，必须具备三个条件：

①平面α和平面β平行，即α∥β；

②平面γ和α相交，即α∩γ＝a；

③平面γ和β相交，即β∩γ＝b.

以上三个条件缺一不可．

(2)已知两个平面平行，虽然一个平面内的任何直线都平行于另一个平面，但是这两个平面内的所有直线并不一定相互平行，它们可能是平行直线，也可能是异面直线，但不可能是相交直线．

(3)该定理提供了证明线线平行的另一种方法，应用时要紧扣与两个平行平面都相交的第三个平面．

【基础自测】

判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)如果一个平面内有无数条直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行．()

(2)若α∥β，则平面α内有无数条互相平行的直线平行于平面β.()

(3)如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线与另一个平面内的直线异面．()

若一个平面内的两条直线分别平行于另一个平面内的两条直线，则这两个平面的位置关系是()

A．一定平行B．一定相交

C．平行或相交D．以上判断都不对

下列命题正确的是()

A．若直线a⊂平面α，直线a∥平面β，则α∥β

B．若直线a∥直线b，直线a∥平面α，则直线b∥平面α

C．若直线a∥直线b，直线b⊂平面α，则直线a∥平面α

D．若直线a与直线b是异面直线，直线a⊂α，则直线b有可能与α平行如图是长方体被一平面所截得的几何体，四边形EFGH为截面，则四边形EFGH的形状

为________．

【探究互动】

探究点一 平面与平面平行的判定

【例1】如图所示，已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1.

(1)求证：平面A 1BD ∥平面B 1D 1C ；

(2)若E ，F 分别是AA 1，CC 1的中点，求证：平面EB 1D 1∥平面FBD .

[互动探究]

[变条件]把本例(2)的条件改为“E ，F 分别是AA 1与CC 1上的点，且A 1E ＝14

A 1A ”，求F 在何位置时，平面E

B 1D 1∥平面FBD ?

【规律方法】

证明面面平行的方法

(1)要证明两平面平行，只需在其中一个平面内找到两条相交直线平行于另一个平面即可．

(2)判定两个平面平行与判定线面平行一样，应遵循先找后作的原则，即先在一个面内找到两条与另一个平面平行的相交直线，若找不到再作辅助线．

【跟踪训练】已知四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形．点M，N，Q分别在P A，BD，PD上，且PM∶MA＝BN∶ND＝PQ∶QD，求证：平面MNQ∥平面PBC.

探究点二面面平行性质定理的应用

【例2】如图所示，两条异面直线BA，DC与两平行平面α，β分别交于点B，A和D，C，点M，N分别是AB，CD的中点，求证：MN∥平面α.

[互动探究]

1．[变条件]在本例中将M ，N 分别为AB ，CD 的中点换为M ，N 分别在线段AB ，CD 上，且AM MB ＝CN ND

，其他不变．证明：MN ∥平面α.

2．[变条件、变问法]两条异面直线与三个平行平面α，β，γ分别交于A ，B ，C 和D ，E ，F ，

求证：AB BC ＝DE EF

.

【规律方法】

应用平面与平面平行性质定理的基本步骤

[提醒] 面面平行性质定理的实质：面面平行⇒线线平行，体现了转化思想．与判定定理交替使用，可实现线面、线线、面面平行间的相互转化．

【跟踪训练】如图，已知α∥β，点P 是平面α、β外的一点(不在α与β之间)，直线PB 、

PD分别与α、β相交于点A、B和C、D.

(1)求证：AC∥BD；

(2)已知P A＝4 cm，AB＝5 cm，PC＝3 cm，求PD的长．

探究点三平行关系的综合问题

【例3】在正方体ABCD A1B1C1D1中，如图．

(1)求证：平面AB1D1∥平面C1BD；

(2)试找出体对角线A1C与平面AB1D1和平面C1BD的交点E，F，并证明：A1E＝EF＝FC.【规律方法】

解决平行关系的综合问题的方法

(1)在遇到线面平行时，常需作出过已知直线与已知平面相交的辅助平面，以便运用线面平行的性质．

(2)要灵活应用线线平行、线面平行和面面平行的性质，实现相互联系、相互转化．在解决立体几何中的平行问题时，一般都要用到平行关系的转化．转化思想是解决这类问题的最有效的方法．

【跟踪训练】如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，点N在BD上，点M在B1C上，且CM ＝DN.求证：MN∥平面AA1B1B.

【达标反馈】

1．已知α，β是两个不重合的平面，下列选项中，一定能得出平面α与平面β平行的是() A．平面α内有一条直线与平面β平行

B．平面α内有两条直线与平面β平行

C．平面α内有一条直线与平面β内的一条直线平行

D．平面α与平面β不相交

2.如图所示，P是三角形ABC所在平面外一点，平面α∥平面ABC，α分别交线段P A，PB，PC于A′，B′，C′，若P A′∶AA′＝2∶3，则S△A′B′C′∶S△ABC等于()