新教材高中数学第1章集合与常用逻辑术语1.4充分条件与必要条件1.4.2充要条件课后课时精练新人教A版必修第一

新教材高中数学第1章集合与常用逻辑术语1.4充分条件与必要条件1.4.2充要条件课后课时精练新人教A版必修第一册

A级：“四基”巩固训练

一、选择题

1．函数y＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是( )

A．m＝－2 B．m＝2

C．m＝－1 D．m＝1

答案 A

解析函数y＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是－m

2×1

＝1，即m＝－2，故选A.

2．已知p：x≤－1或x≥3，q：x>5，则p是q的( )

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

答案 B

解析由{x|x>5}是{x|x≤－1或x≥3}的真子集，可知p是q的必要不充分条件．

3．若x，y∈R，则“x≤1，y≤1”是“x2＋y2≤1”成立的( )

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

答案 B

解析因为若x，y∈R，x≤1，y≤1，则x2＋y2≤1不一定成立，所以充分性不成立．若x2＋y2≤1，则可得x≤1且y≤1，所以必要性成立．

4．已知a，b是实数，则“a>0且b>0”是“a＋b>0且ab>0”的( )

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

答案 C

解析“a>0且b>0”可以推出“a＋b>0且ab>0”，反之也是成立的．

5．如果A是B的必要不充分条件，B是C的充要条件，D是C的充分不必要条件，那么A 是D的( )

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

答案 B

解析根据题意列出A，B，C，D的关系如图，

显然有D⇒C⇒B⇒A，即D⇒A；但A⇒/D．故选B.

二、填空题

6．下列命题中是真命题的是________(填序号)．

①“x>2且y>3”是“x＋y>5”的充要条件；

②“x>1”是“|x|>0”的充分不必要条件；

③“b2－4ac<0”是“y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的函数值恒小于0”的充要条件；

④“三角形的三边满足勾股定理”的充要条件是“此三角形为直角三角形”．

答案②④

解析①因为由x>2且y>3⇒x＋y>5，但由x＋y>5不能推出x>2且y>3，所以“x>2且y>3”是“x＋y>5”的充分不必要条件．②因为由x>1⇒|x|>0，而由|x|>0不能推出x>1，所以“x>1”是“|x|>0”的充分不必要条件．③因为由b2－4ac<0不能推出y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的函数值恒小于0，而由y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的函数值恒小于0⇒b2－4ac<0，所以“b2－4ac<0”是“y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的函数值恒小于0”的必要不充分条件．④由三角形的三边满足勾股定理⇒此三角形为直角三角形，由三角形为直角三角形⇒该三角形的三边满足勾股定理，故②④是真命题．

7．“－2

答案必要不充分

解析－2

由此可知“－2

8．“方程x2－2x－a＝0无实根”的充要条件是________．

答案a<－1

解析方程x2－2x－a＝0无实根，所以有Δ＝4＋4a<0，解得a<－1.反之，若a<－1，则Δ<0，方程x2－2x－a＝0无实根．故“方程x2－2x－a＝0无实根”的充要条件是a<－1.

三、解答题

9．证明：ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0.

证明①充分性：由a＋b＋c＝0得a＝－b－c，代入ax2＋bx＋c＝0，得(－b－c)x2＋bx

＋c ＝0，

即(1－x )(bx ＋cx ＋c )＝0. ∴ax 2

＋bx ＋c ＝0有一根为1.

②必要性：由ax 2

＋bx ＋c ＝0有一个根为1，把它代入方程即有a ＋b ＋c ＝0. 综上可知，ax 2

＋bx ＋c ＝0有一个根为1的充要条件是a ＋b ＋c ＝0.

10．已知p ：0

－2x ＋3＝0有两个同号且不相等的实数根，那么p 是q

的什么条件？

解 设x 1，x 2是方程mx 2

－2x ＋3＝0的两个根，则方程mx 2

－2x ＋3＝0有两个同号且不相

等的实数根等价于⎩⎪⎨

⎪⎧

m ≠0，

Δ＝4－4×3×m >0，⇔0

x 1x 2

＝3m >0

因此，p 是q 的充要条件．

B 级：“四能”提升训练

1．求方程x 2

＋kx ＋1＝0与x 2

＋x ＋k ＝0有一个公共实根的充要条件．

解 ⎩⎪⎨⎪⎧

x 2

＋kx ＋1＝0，

x 2

＋x ＋k ＝0⇔⎩

⎪⎨⎪⎧

x 2－(x 2

＋x )x ＋1＝0，

x 2

＋x ＋k ＝0

⇔⎩

⎪⎨⎪⎧

1－x 3＝0，x 2

＋x ＋k ＝0⇔⎩

⎪⎨

⎪⎧

x ＝1，

k ＝－2.

所以两方程有一公共实根的充要条件为k ＝－2.

2．设x ，y ∈R ，求证：|x ＋y |＝|x |＋|y |成立的充要条件是xy ≥0. 证明 ①充分性：如果xy ≥0，则有xy ＝0和xy >0两种情况， 当xy ＝0时，不妨设x ＝0，得|x ＋y |＝|y |， |x |＋|y |＝|y |，∴等式成立． 当xy >0，即x >0，y >0或x <0，y <0时． 又当x >0，y >0时，

|x ＋y |＝x ＋y ，|x |＋|y |＝x ＋y ， ∴等式成立．

当x <0，y <0时，|x ＋y |＝－(x ＋y )， |x |＋|y |＝－x －y ＝－(x ＋y )， ∴等式成立． 总之，当xy ≥0时，