勾股定理的简单应用(强化卷)解析版 -2021-2022学年八年级数学上册(苏科版)教材同步课时精练

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勾股定理中的常考问题(6种类型48道)—2024学年八年级数学上册(解析版)

勾股定理中的常考问题6种类型48道【类型一用勾股定理解决折叠问题】1．如图，将长方形ABCD沿着AE折叠，点D落在BC边上的点F处，已知AB=8，BC=10，则EC的长为（）A．4B．3C．5D．2【答案】B【分析】长方形ABCD沿着AE折叠，得AD=AF=BC=10，EF=ED，根据勾股定理得BF=6，则CF=4，设EC=x，ED=8−x，根据勾股定理得EF2=EC2+CF2，即可解得EC的长．【详解】解：∵四边形ABCD是长方形，∴AD=BC=10，DC=AB=8，∵长方形ABCD沿着AE折叠，∴AD=AF=BC=10，EF=ED，∴BF=√AF2−AB2=√100−64=6，CF=BC−BF=4，设EC=x，ED=8−x，∴EF2=EC2+CF2，即(8−x)2=x2+42，解得x=3，所以EC=3，故选：B．【点睛】本题主要考查了图形折叠以及勾股定理等知识内容，掌握图形折叠的性质是解题的关键．2．如图，有一块直角三角形纸片，∠C=90°，AC=4，BC=3，将斜边AB翻折，使点B落在直角边AC的延长线上的点E处，折痕为AD，则BD的长为（）【答案】C【分析】利用勾股定理求得AB=5，由折叠的性质可得AB=AE=5，DB=DE，求得CE=1，设DB=DE=x，则CD=3−x，根据勾股定理可得12+(3−x)2=x2，进而求解即可．【详解】解：∵∠C=90°，AC=4，BC=3，∴AB=√32+42=5，由折叠的性质得，AB=AE=5，DB=DE，∴CE=1，设DB=DE=x，则CD=3−x，在Rt△CED中，12+(3−x)2=x2，，解得x=53故选：C．【点睛】本题考查勾股定理、折叠的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键．【答案】B【分析】根据图形翻折变换的性质可知，AE=BE，设AE=x，则BE=x，CE=8−x，再Rt△BCE中利用勾股定理即可求出CE的长度．【详解】解：∵△ADE翻折后与△BDE完全重合，∴AE=BE，设AE=x，则BE=x，CE=8−x，∵在Rt△BCE中，CE2=BE2−BC2，即(8−x)2=x2−62，解得，x=7，4．∴CE=74故选：B【点睛】本题考查了图形的翻折变换，解题中应注意折叠是一种对称变换，属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变．4．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，AC=5，AD为∠BAC的平分线，将△DAC沿AD向上翻折得到△DAE，使点E在射线AB上，则DE的长为（）【答案】B【分析】根据勾股定理求得BC，进而根据折叠的性质可得AE=AC，可得BE=2，设DE=x，表示出BD,DE，进而在Rt△BDE【详解】解：∵在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，AC=5，∴BC=√AC2−AB2=√52−32=4，∵将△DAC沿AD向上翻折得到△DAE，使点E在射线AB上，∴AE=AC，设DE=x，则DC=DE=x,BD=BC−CD=4−x，BE=AE−AB=5−3=2，在Rt△BDE中，BD2+BE2=DE2，即(4−x)2+22=x2，解得：x=52，即DE的长为52故选：B．【点睛】本题考查了勾股定理与折叠问题，熟练掌握勾股定理是解题的关键．5．如图，矩形纸片ABCD的边AB长为4，将这张纸片沿EF折叠，使点C与点A重合，已知折痕EF长为2√5，则BC长为（）A．4.8B．6.4C．8D．10【答案】C【分析】过点F作FG⊥BC于点G，则四边形ABGF是矩形，从而FG=AB=4，在Rt△EFG中，利用勾股定理求得EG=√EF2−FG2=√(2√5)2−42=2．设BE=x，则BG=BE+EG=x+2．由∠AFE=∠CEF=∠AEF 得到AE=AF=BG=x+2，从而在Rt△ABE中，有AB2+BE2=AE2，代入即可解得x的值，从而得到BE，CE的长，即可得到BC．【详解】过点F作FG⊥BC于点G∵在矩形ABCD中，∠DAB=∠B=90°∴四边形ABGF是矩形∴FG=AB=4∴在Rt△EFG中，EG=√EF2−FG2=√(2√5)2−42=2设BE=x，则BG=BE+EG=x+2∵在矩形ABCD中，BC∥AD∴∠AFE=∠CEF由折叠得∠CEF=∠AEF∴AE=AF∵在矩形ABGF中，AF=BG=x+2∴AE=AF=x+2∵在Rt△ABE中，AB2+BE2=AE2∴42+x2=(x+2)2解得x=3即BE=3，AE=5∴由折叠可得CE=AE=5∴BC=BE+EC=3+5=8故选：C【点睛】本题考查矩形的性质，勾股定理的应用，利用勾股定理构造方程是解决折叠问题的常用方法．A．7B．136【答案】B【分析】根据题意可得AD=AB=2，∠B=∠ADB，CE=DE，∠C=∠CDE，可得∠ADE=90°，继而设AE=x，则CE=DE=3−x，根据勾股定理即可求解．【详解】解：∵沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边BC上的点D处，∴AD=AB=2，∠B=∠ADB，∵折叠纸片，使点C与点D重合，∴CE=DE，∠C=∠CDE，∵∠BAC=90°，∴∠B+∠C=90°，∴∠ADB+∠CDE=90°，∴AD2+DE2=AE2，设AE=x，则CE=DE=3−x，∴22+(3−x)2=x2，，解得x=136即AE=13，6故选：B【点睛】本题考查了折叠的性质，勾股定理，掌握折叠的性质以及勾股定理是解题的关键．7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，将边BC沿CE翻折，点B落在点F处，连接CF交AB于点D，则FD的最大值为（）【答案】D【分析】根据将边BC沿CE翻折，点B落在点F处，可得FD=CF−CD=4−CD，即知当CD最小时，FD最大，此时CD⊥AB，用面积法求出CD，即可得到答案．【详解】解：如图：∵将边BC沿CE翻折，点B落在点F处，∴CF=BC=4，∴FD=CF−CD=4−CD，当CD最小时，FD最大，此时CD⊥AB，∵∠ACB=90°，AC=3，BC=4，∴AB=√AC2+BC2=√32+42=5，∵2S△ABC=AC⋅BC=AB⋅CD，∴CD=AC⋅BCAB =3×45=125，∴FD=CF−CD=4−125=85，故选：D．【点睛】本题考查直角三角形中的翻折问题，涉及勾股定理及应用，解题的关键是掌握翻折的性质．A．73B．154【答案】B【分析】先求出BD=2，由折叠的性质可得DN=CN，则BN=8−DN，利用勾股定理建立方程DN2= (8−DN)2+4，解方程即可得到答案．【详解】解：∵D是AB中点，AB=4，∴AD=BD=2，∵将Rt△ABC折叠，使点C与AB的中点D重合，∴DN=CN，∴BN=BC−CN=8−DN，在Rt△DBN中，由勾股定理得DN2=BN2+DB2，∴DN2=(8−DN)2+4，∴DN=17，4，∴BN=BC−CN=154故选：B．【点睛】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，正确理解题意利用方程的思想求解是解题的关键．【类型二杯中吸管问题】9．如图，有一个透明的直圆柱状的玻璃杯，现测得内径为5cm，高为12cm，今有一支15cm的吸管任意斜放于杯中，若不考虑吸管的粗细，则吸管露出杯口外的长度最少为（）A．1cm B．2cm C．3cm D．不能确定【答案】B【分析】吸管露出杯口外的长度最少，即在杯内最长，可用勾股定理解答．【详解】解∶∵CD=5cm,AD=12cm，∴AC=√CD2+AD2=√52+122，露出杯口外的长度为=15−13=2(cm)．故答案为：B．【点睛】本题考查勾股定理的应用，所述问题是一个生活中常见的问题，与勾股定理巧妙结合，可培养同学们解决实际问题的能力．10．如图，一支笔放到圆柱形笔筒中，笔筒内部底面直径是9cm，内壁高12cm．若这支笔长18cm，则这支笔在笔筒外面部分的长度是()A．6cm B．5cm C．3cm D．2cm【分析】根据勾股定理求得AC的长，进而即可求解．【详解】解：根据题意可得图形：AB=12cm，BC=9cm，在Rt△ABC中：AC=√AB2+BC2=√122+92=15(cm)，所以18−15=3(cm)．则这只铅笔在笔筒外面部分长度为3cm．故选：C．【点睛】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．11．如图，一支笔放到圆柱形笔筒中，笔筒内部底面直径是9cm，内壁高12cm．若这支笔长18cm，则这支笔在笔筒外面部分的长度是（）A．6cm B．5cm C．4cm D．3cm【答案】D【分析】首先根据题意画出图形，利用勾股定理计算出AC的长度．然后求其差．【详解】解：根据题意可得：AB BC=9cm，在Rt△ABC中∶AC=√AB2+BC2=√122+92=15(cm)，所以18−15=3(cm),则这只铅笔在笔筒外面部分长度为3cm．故选：D．【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，正确得出笔筒内铅笔的最短长度是解决问题的关键．12．将一根24cm的筷子，置于底面直径为15cm，高8cm的圆柱形水杯中，如图所示，设筷子露在杯子外面的长度ℎcm，则ℎ的取值范围是（）A．ℎ≤17cm B．ℎ≥16cm C．5cm<ℎ≤16cm D．7cm<ℎ≤16cm【分析】根据勾股定理及直径为最大直角边时即可得到最小值，当筷子垂直于底面时即可得到最大值即可得到答案；【详解】解：由题意可得，当筷子垂直于底面时ℎ的值最大，ℎmax=24−8=16cm，当直径为直角边时ℎ的值最小，根据勾股定理可得，ℎmin=24−√82+152=7cm，∴7cm<ℎ≤16cm，故选D．【点睛】本题考查勾股定理的运用，解题的关键是找到最大与最小距离的情况．13．将一根24cm的筷子，置于底面直径为15cm，高8cm的圆柱形水杯中，如图所示，设筷子露在杯子外面的长度ℎcm，则ℎ的取值范围是（）A．ℎ≤17cm B．ℎ≥16cm C．5cm<ℎ≤16cm D．7cm≤ℎ≤16cm【答案】D【分析】如图，当筷子的底端在A点时，筷子露在杯子外面的长度最短；当筷子的底端在D点时，筷子露在杯子外面的长度最长．然后分别利用已知条件根据勾股定理即可求出的取值范围．【详解】解：如图1所示，当筷子的底端在D点时，筷子露在杯子外面的长度最长，=24−8=16cm，∴ℎ最大如图2所示，当筷子的底端在A点时，筷子露在杯子外面的长度最短，在Rt△ABD中，AD=15cm，BD=8cm，∴AB=√AD2+BD2=17cm，=24−17=7cm，∴此时ℎ最小∴的取值范围是7cm≤h≤16cm．故选：D．【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，明确题意，准确构造直角三角形是解题的关键．A．5B．7C．12D．13【答案】A【分析】根据勾股定理求出h的最短距离，进而可得出结论．【详解】解：如图，当吸管、底面直径、杯子的高恰好构成直角三角形时，h最短，此时AB=√92+122=15（cm），故ℎ＝20−15＝5（cm）；最短故选：A．【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．15．如图，某同学在做物理实验时，将一支细玻璃棒斜放入了一只盛满水的烧杯中，已知烧杯高8cm，玻璃棒被水淹没部分长10cm，这只烧杯的直径约是（）A．9cm B．8cm C．7cm D．6cm【答案】D可．【详解】解：由题意，可得这只烧杯的直径是：√102−82=6（cm）．故选：D．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，能够将实际问题转化为数学问题是解题的关键．16．如图，一根长18cm的牙刷置于底面直径为5cm、高为12cm的圆柱形水杯中，牙刷露在杯子外面的长度为h cm，则h的取值范围是（）A．4＜h＜5B．5＜h＜6C．5≤h≤6D．4≤h≤5【答案】C【分析】根据题意，求出牙刷在杯子外面长度最小与最大情况即可得出取值范围．【详解】解：根据题意，当牙刷与杯底垂直时，ℎ最大，如图所示：故ℎ最大=18−12=6cm；∵当牙刷与杯底圆直径、杯高构成直角三角形时，ℎ最小，如图所示：在RtΔABC中，∠ACB=90°，AC=5cm，BC=12cm，则AB=√BC2+AC2=√52+122=13cm，∵牙刷长为18cm，即AD=18cm，∴ℎ最小=AD−AB=18−13=5cm，∴h的取值范围是5≤h≤6，故选：C．【点睛】本题考查勾股定理解实际应用题，读懂题意，根据牙刷的放置方式明确牙刷在杯子外面长度最小与最大情况是解决问题的关键．【类型三楼梯铺地毯问题】17．如图在一个高为3米，长为5米的楼梯表面铺地毯，则地毯至少需要（）．A．3米B．4米C．5米D．7米【答案】D【分析】当地毯铺满楼梯时的长度是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，根据勾股定理求得水平宽度，即可求得地毯的长度．【详解】解：由勾股定理得：楼梯的水平宽度=√52−32=4（米），∵地毯铺满楼梯的长度应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，∴地毯的长度至少是3+4=7（米）．故选：D．【点睛】此题考查了生活中的平移现象以及勾股定理，属于基础题，利用勾股定理求出水平边的长度是解答本题的关键．18．如图，在高为5m，坡面长为13m的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要（）【分析】当地毯铺满楼梯时其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，根据勾股定理求得水平宽度，然后求得地毯的长度即可．【详解】解：由勾股定理得：楼梯的水平宽度=√132−52=12m，∵地毯铺满楼梯是其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，∴地毯的长度至少是12+5=17(m)．故选B．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键．19．如图是楼梯的示意图，楼梯的宽为5米，AC=5米，AB=13米，若在楼梯上铺设防滑材料，则所需防滑材料的面积至少为（）A．65m2B．85m2C．90m2D．150m2【答案】B【分析】勾股定理求出BC，平移的性质推出防滑毯的长为AC+BC，利用面积公式进行求解即可．【详解】解：由图可知：∠C=90°，∵AC=5米，AB=13米，∴BC=√AB2−AC2=12米，由平移的性质可得：水平的防滑毯的长度=BC=12（米），铅直的防滑毯的长度=AC=5（米），∴至少需防滑毯的长为：AC+BC=17（米），∵防滑毯宽为5米∴至少需防滑毯的面积为：17×5=85（平方米）．故选：B．【点睛】本题考查勾股定理．解题的关键是利用平移，将防滑毯的长转化为两条直角边的边长之和．A．13cm B．14cm C．15cm D．16cm【答案】A【分析】根据勾股定理即可得出结论．【详解】如图，由题意得AC=1×5=5(cm)，BC=2×6=12(cm)，故AB=√122+52=13(cm)．故选：A．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．21．如图所示：某商场有一段楼梯，高BC＝6m，斜边AC是10米，如果在楼梯上铺上地毯，那么需要地毯的长度是（）A．8m B．10m C．14m D．24m【答案】C【分析】先根据直角三角形的性质求出AB的长，再根据楼梯高为BC的高＝6m，楼梯的宽的和即为AB的长，再把AB、BC的长相加即可．【详解】∵△ABC是直角三角形，BC＝6m，AC＝10m∴AB＝√AC2−BC2＝√102−62＝8（m），∴如果在楼梯上铺地毯，那么至少需要地毯为AB+BC＝8+6＝14（米）．故选C【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，解答此题的关键是找出楼梯的高和宽与直角三角形两直角边的等量关系.22．某酒店打算在一段楼梯面上铺上宽为2米的地毯，台阶的侧面如图所示，如果这种地毯每平方米售价为80元，则购买这种地毯至少需要（）A．2560元B．2620元C．2720元D．2840元【答案】C【分析】根据题意，结合图形，先把楼梯的横竖向上向左平移，构成一个矩形，再求得其面积，则购买地毯的钱数可求．【详解】利用平移线段，把楼梯的横竖向上向左平移，构成一个矩形，长宽分别为√132−52=12米、5米，∴地毯的长度为12+5=17米，地毯的面积为17×2=34平方米，∴购买这种地毯至少需要80×34=2720元．故选C.【点睛】本题考查的知识点是勾股定理的应用，生活中的平移现象，解题关键是要注意利用平移的知识，把要求的所有线段平移到一条直线上进行计算．23．如图所示：是一段楼梯，高BC是3m，斜边AC是5m，如果在楼梯上铺地毯，那么至少需要地毯（）A．5m B．6m C．7m D．8m【答案】C【详解】楼梯竖面高度之和等于AB的长．由于AB=√AC2−BC2=√52−32=4，所以至少需要地毯长4＋3＝7（m）．故选C24．如图，是一段楼梯，高BC是1.5m，斜边AC是2.5m，如果在楼梯上铺地毯，那么至少需要地毯（）A．2.5m B．3m C．3.5m D．4m【答案】C【分析】当地毯铺满楼梯时其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，根据勾股定理求得AB，然后求得地毯的长度即可．【详解】解：由勾股定理得：AB=√2.52−1.52=2因为地毯铺满楼梯是其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和所以地毯的长度至少是1.5+2=3.5（m）故选C．【点睛】本题考查了图形平移性质和勾股定理，解决本题的关键是要熟练掌握勾股定理.【类型四最短路径问题】25．如图，透明圆柱的底面半径为6厘米，高为12厘米，蚂蚁在圆柱侧面爬行．从圆柱的内侧点A爬到圆柱的外侧点B处吃食物，那么它爬行最短路程是厘米．(π≈3)【答案】30【分析】把圆柱的侧面展开，根据勾股定理即可得到结论．【详解】解：∵透明圆柱的底面半径为6厘米，∴透明圆柱的底面周长为2×6π=厘米≈36厘米，作点A关于直线EF的对称点A′，连接A′B，则A′B的长度即为它爬行最短路程，×36=18厘米，∴A′A=2AE=24厘米，AB=12∴A′B=√AB2+A′A2=√182+242=30(cm)，故答案为：30．【点睛】本题考查平面展开-最短路径问题，解题的关键是计算出圆柱展开后所得长方形的长和宽的值，然后用勾股定理进行计算．【答案】10【分析】将圆柱侧面展开，由图形可知蚂蚁在圆柱侧面爬行，从点A爬到点B的最短路程即为AB的长，再由勾股定理求出．【详解】解：根据圆柱侧面展开图，cm，高为8cm，∵圆柱的底面半径为6π∴底面圆的周长为2×6×π=12cm，π×12=6cm，∴BC=8cm，AC=12由图形可知蚂蚁在圆柱侧面爬行，从点A爬到点B的最短路程即为AB的长，AB=√AC2+BC2=10cm，故答案为：10．【点睛】本题考查了平面展开最短路线问题，勾股定理，将立体图形转化成平面图形求解是解题的关键．27．如图有一个棱长为9cm的正方体，一只蜜蜂要沿正方体的表面从顶点A爬到C点（C点在一条棱上，距离顶点B 3cm处），需爬行的最短路程是cm．【答案】15【分析】首先把正方体展开，然后连接AC，利用勾股定理计算求解即可．【详解】解：如图，连接AC，由勾股定理得，AC=√92+(9+3)2=15，故答案为：15．【点睛】本题考查了正方体的展开图、勾股定理的应用，解题的关键在于明确爬行的最短路线．28．如图，桌上有一个圆柱形玻璃杯（无盖），高6厘米，底面周长16厘米，在杯口内壁离杯口1.5厘米的A处有一滴蜜糖，在玻璃杯的内壁，A的相对方向有一小虫P，小虫离杯底的垂直距离为1.5厘米，小虫爬到蜜糖处的最短距离是厘米．【答案】10【分析】将杯子侧面展开，作A关于杯口的对称点A′，根据两点之间线段最短可知A′P的长度即为所求，再结合勾股定理求解即可．【详解】解：如图所示：将杯子侧面展开，作A关于杯口的对称点A′，连接PA′，最短距离为PA′的长度，)2+(6−1.5+1.5)2=10(厘米)，PA′=√PE2+EA′2=√(162最短路程为PA ′=10厘米．故答案为：10．【点睛】本题考查了平面展开−最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．【答案】20【分析】先把圆柱的侧面展开，连接AS ，利用勾股定理即可求得AS 的长．【详解】解：如图，∵在圆柱的截面ABCD 中，AB =24π，BC =32，∴AB =12×24π×π=12，BS =12BC =16， ∴AS =√AB 2+BS 2=20，故答案为：20．【点睛】本题考查平面展开图−最短路径问题，根据题意画出圆柱的侧面展开图，利用勾股定理求解是解题的关键．30．如图，圆柱形玻璃杯的杯高为9cm ，底面周长为16cm ，在杯内壁离杯底4cm 的点A 处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在杯外壁上，它在离杯上沿1cm ，且与蜂蜜相对的点B 处，则蚂蚁从外壁B 处到内壁A 处所走的最短路程为 cm ．（杯壁厚度不计）【答案】10【分析】如图（见解析），将玻璃杯侧面展开，作B关于EF的对称点B′，根据两点之间线段最短可知AB′的长度即为所求，利用勾股定理求解即可得．【详解】解：如图，将玻璃杯侧面展开，作B关于EF的对称点B′，作B′D⊥AE，交AE延长线于点D，连接AB′，BB′=1cm,AE=9−4=5(cm)，由题意得：DE=12∴AD=AE+DE=6cm，∵底面周长为16cm，×16=8(cm)，∴B′D=12∴AB′=√AD2+B′D2=10cm，由两点之间线段最短可知，蚂蚁从外壁B处到内壁A处所走的最短路程为AB′=10cm，故答案为：10．【点睛】本题考查了平面展开——最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力．31．如图所示，ABCD是长方形地面，长AB=20m，宽AD=10m．中间竖有一堵砖墙高MN=2m．一只蚂蚱从A点爬到C点，它必须翻过中间那堵墙，则它要走的路程s取值范围是．【答案】s≥26m【分析】连接AC，利用勾股定理求出AC的长，再把中间的墙平面展开，使原来的长方形长度增加而宽度不变，求出新长方形的对角线长即可得到范围．【详解】解：如图所示，将图展开，图形长度增加4m，原图长度增加4m，则AB=20+4=24m，连接AC，∵四边形ABCD是长方形，AB=24m，宽AD=10m，∴AC=√AB2+BC2=√242+102=26m，∴蚂蚱从A点爬到C点，它要走的路程s≥26m．故答案为：s≥26m．【点睛】本题考查的是平面展开最短路线问题及勾股定理，根据题意画出图形是解答此题的关键．【答案】5【分析】要求彩带的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，在求线段长时，借助于勾股定理．【详解】解：将圆柱表面切开展开呈长方形，则彩灯带长为2个长方形的对角线长，∵圆柱高3米，底面周长2米，∴AC2=22+1.52=6.25，∴AC=2.5，∴每根柱子所用彩灯带的最短长度为5m．故答案为5．【点睛】本题考查了平面展开−最短路线问题，勾股定理的应用．圆柱的侧面展开图是一个矩形，此矩形的长等于圆柱底面周长，高等于圆柱的高，本题就是把圆柱的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．【类型五旗杆高度问题】【答案】6m【分析】设AD=x，在△ABC中，利用勾股定理列出方程，解之即可．【详解】解：∵BF=2m，∴CE=2m，∵DE=1m，∴CD=CE−DE=1m，设AD=x，则AB=x，AC=AD−CD=x−1，由题意可得：BC⊥AE，在△ABC中，AC2+BC2=AB2，即(x−1)2+32=x2，解得：x=5，即AD=5，∴旗杆AE的高度为：AD+DE=5+1=6m．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理的相关知识并在直角三角形中正确运用是解题的关键．34．荡秋千是深受人们喜爱的娱乐项目，如图，小丽发现，秋千静止时踏板离地面的垂直高度DE=0.5m，将它往前推送至点B，测得秋千的踏板离地面的垂直高度BF=1.1m，此时水平距离BC=EF=1.8m，秋千的绳索始终拉的很直，求绳索AD的长度．【答案】3m【分析】设绳索AD的长度为xm=(x−0.6)m，在Rt△ABC中，由勾股定理得出方程，解方程即可．【详解】解：设秋千的绳索AD长为xm，则AB为xm，∵四边形BCEF是矩形，∴BF=CE=1.1m，∵DE=0.5m，∴CD=0.6m则AC为(x−0.6)m在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC2+BC2=AB2，即：(x−0.6)2+1.82=x2解得：x=3∴绳索AD的长度为3m．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，由勾股定理得出方程是解题的关键．35．如图，数学兴趣小组要测量旗杆的高度，同学们发现系在旗杆顶端的绳子垂到地面并多出一段（如图1），聪明的小红发现：先测出垂到地面的绳子长，再将绳子拉直（如图2），测出绳子末端C到旗杆底部B的距离n，利用所学知识就能求出旗杆的长，若m=1米，n=5米，求旗杆AB的长．【答案】12米【分析】设旗杆的高为x米，在Rt△ABC中，推出x2+52=(x+1)2，可得x=12，由此解决问题.【详解】解：设AB=x米，因为∠ABC=90°，所以在Rt△ABC中，根据勾股定理，得：x2+52=(x+1)2，解之，得：x=12，所以，AB的长为12米，答：旗杆AB的长为12米．【点睛】本题考查直角三角形、勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，学会构建方程.【答案】风筝的高度CE为61.68米．【分析】利用勾股定理求出CD的长，再加上DE的长度，即可求出CE的高度．【详解】解：在Rt△CDB中，由勾股定理，得CD=√CB2−BD2=√652−252=60(米)．∴CE=CD+DE=60+1.68=61.68(米)．答：风筝的高度CE为61.68米．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟悉勾股定理，能从实际问题中抽象出勾股定理是解题的关键．37．看着冉冉升起的五星红旗，你们是否想过旗杆到底有多高呢？某数学兴趣小组为了测量旗杆高度，进行以下操作：如图1，先将升旗的绳子拉到旗杆底端，发现绳子末端刚好接触到地面；如图2，再将绳子末端拉到距离旗杆8m处，发现绳子末端距离地面2m．请根据以上测量情况，计算旗杆的高度．【答案】17米【分析】根据题意画出示意图，设旗杆高度为xm，可得AC=AD=x m，AB=(x−2)m，BC=8m，在Rt△ABC中利用勾股定理可求出x．【详解】解：如图所示设旗杆高度为x m，则AC=AD=x m，AB=(x−2)m，BC=8m，在Rt△ABC中，AB2+BC2=AC2(x−2)2+82=x2解得：x=17，答：旗杆的高度为17m．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是构造直角三角形．38．同学们想利用升旗的绳子、卷尺，测算学校旗杆的高度．爱动脑的小华设计了这样一个方案：如图，将升旗的绳子拉直刚好触底，此时测得绳子末端C到旗杆AB的底端B的距离为1米，然后将绳子末端拉直到距离旗杆5米的点E处，此时测得绳子末端E距离地面的高度DE为1米．请你根据小华的测量方案和测量数据，求出学校旗杆的高度．【答案】12.5米【分析】过点E作EF⊥AB，垂足为F，在Rt△ABC和Rt△AEF中，根据勾股定理得出AC2=AB2+BC2，AE2= AF2+EF2，根据AC=AE，得出AB2+12=(AB−1)2+52，求出AB的长即可．【详解】解：过点E作EF⊥AB，垂足为F，如图所示：由题意可知：四边形BDEF是长方形，△ABC和△AEF是直角三角形，∴DE=BF=1，BD=EF=5，BC=1，在Rt△ABC和Rt△AEF中，根据勾股定理可得：AC2=AB2+BC2，AE2=AF2+EF2，即AC2=AB2+12，AE2=(AB−1)2+52，又∵AC=AE，∴AB2+12=(AB−1)2+52，解得：AB=12.5．答：学校旗杆的高度为12.5米．【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是根据勾股定理列出关于AB方程AB2+12= (AB−1)2+52．39．学过《勾股定理》后，某班兴趣小组来到操场上测量旗杆AB的高度，得到如下信息：①测得从旗杆顶端垂直挂下来的升旗用的绳子比旗杆长1米（如图1）；②当将绳子拉直时，测得此时拉绳子的手到地面的距离CD为1米，到旗杆的距离CE为6米（如图2）．根据以上信息，求旗杆AB的高度．【答案】9米【分析】设AB=x，则AC=x+1，AE=x−1，再根据勾股定理可列出关于x的等式，解出x即得出答案．【详解】解：设AB=x依题意可知：在Rt△ACE中，∠AEC=90°，AC=x+1，AE=x−1，CE=6，根据勾股定理得：AC2=AE2+CE2，即：(x+1)2=(x−1)2+62，解得：x=9答：旗杆AB的高度是9米．【点睛】本题考查勾股定理的实际应用．结合题意，利用勾股定理列出含未知数的等式是解题关键．40．如图，学校要测量旗杆的高度，同学们发现系在旗杆顶端的绳子垂到地面并多出一段（如图1），同学们首先测量了多出的这段绳子长度为1米，再将绳子拉直（如图2），测出绳子末端C到旗杆底部B的距离为5米，求旗杆的高度．【答案】12米【分析】因为旗杆、绳子、地面正好构成直角三角形，设旗杆的高度为x米，则绳子的长度为（x+1）米，根据勾股定理即可求得旗杆的高度．【详解】解：设旗杆的高度AB为x米，则绳子AC的长度为(x+1)米，在Rt△ABC中，根据勾股定理可得：x2+52=(x+1)2，解得，x=12，答：旗杆的高度为12米．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟知勾股定理是解题关键．【类型六航海问题】【答案】30海里/小时【分析】先根据题意结合方位角的描述求出∠ABC=90°以及AB、BC的长，再利用勾股定理求出AC的长即可得到答案．【详解】解：如图所示，由题意得，∠HAB=90°−60°=30°，∠MBC=90°−∠EBC=60°，∵AH∥BM，∴∠ABM=∠BAH=30°，∴∠ABC=∠ABM+∠MBC=90°，∵巡逻艇沿直线追赶，半小时后在点C处追上走私船，∴BC=18×0.5=9海里，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=12海里，BC=9海里，∴AC=√AB2+BC2=15海里，∴我军巡逻艇的航行速度是15=30海里/小时，0.5答：我军巡逻艇的航行速度是30海里/小时．【点睛】本题主要考查了勾股定理的实际应用，正确理解题意在Rt△ABC中利用勾股定理求出AC的长是解题的关键．(1)求点A与点B之间的距离；(2)若在点C处有一灯塔，灯塔的信号有效覆盖半径为处有一艘轮船准备沿直线向点多能收到多少次信号？（信号传播的时间忽略不计）【答案】(1)AB=1000海里(2)最多能收到14次信号【分析】（1）由题意易得∠ACB是直角，由勾股定理即可求得点A与点B之间的距离；（2）过点C作CH⊥AB交AB于点H，在AB上取点M，N，使得CN＝CM＝500海里，分别求得NH、MH的长，可求得此时轮船过MN时的时间，从而可求得最多能收到的信号次数；【详解】（1）由题意，得：∠NCA＝54°，∠SCB＝36°；。

3.3 勾股定理的简单应用苏科版数学八年级上册素养提升卷(含解析)

第3章　勾股定理3.3　勾股定理的简单应用基础过关全练知识点1　勾股定理的应用1.(2023江苏南通海安月考)如图,小巷左右两侧是竖直的墙,一架梯子斜靠在左墙时,梯子底端到左墙角的距离为0.7米,顶端距离地面2.4米,如果保持梯子底端位置不动,将梯子斜靠在右墙时,顶端距离地面2米,则小巷的宽度为( )A.2.2米B.2.3米C.2.4米D.2.5米2.【跨学科·生物】【教材变式·P91T6】葛藤是一种植物,为了雨露阳光,它常常绕着树干(可看成圆柱体)盘旋而上,而且盘旋的路线总是沿最短路线.(1)如果树干底面的周长为3 cm,葛藤绕树干一圈升高4 cm,那么它盘旋一圈的长度是多少?(2)如果树干底面的周长为80 cm,葛藤绕树干一圈的长度为100 cm,葛藤从地面盘旋10圈到达树顶,那么树干高是多少?(假设树干各处粗细均匀)知识点2　勾股定理的逆定理的应用3.【代数推理】(2022江苏盐城期中)木工师傅要做一扇长方形纱窗,做好后量得纱窗长为6分米,宽为4分米,对角线长为7分米,则这扇纱窗 (填“合格”或“不合格”).4.(2023江苏宿迁宿城期中)若一个三角形的三边长之比为5∶12∶13,且周长为60 cm,则它的面积为 cm2.5.(2023江苏连云港东海期中)在创建“全国文明城市”期间,某小区在临街的拐角清理出了一块可以绿化的空地.如图,经技术人员测量,已知AB=9 m,BC=12 m,CD=17 m,AD=8 m,∠ABC=90°.若平均每平方米空地的绿化费用为100元,试计算绿化这片空地共需花费多少元.( )能力提升全练6.(2023江苏镇江期中,5,★☆☆)如图所示,有一块地,已知:AD=4米,CD=3米,∠ADC=90°,AB=13米,BC=12米,则这块地的面积为( )A.24平方米B.26平方米C.28平方米D.30平方米7.(2021广西玉林中考,16,★☆☆)如图,某港口P位于东西方向的海岸线上,甲、乙轮船同时离开港口,各自沿一固定方向航行,甲、乙轮船每小时分别航行12海里和16海里,1小时后两船分别位于点A,B处,且相距20海里,如果知道甲船沿北偏西40°方向航行,那么乙船沿方向航行.8.【数学文化】(2021江苏宿迁中考,15,★★☆)《九章算术》中有一道“引葭赴岸”问题:“今有池方一丈,葭生其中央,出水一尺,引葭赴岸,适与岸齐,问水深、葭长各几何?”题意:有一个池塘,其底面是边长为10尺的正方形,一棵芦苇AC生长在它的中央,高出水面部分BC为1尺,如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边,那么芦苇的顶部C恰好碰到岸边的C'处(如图),水深和芦苇长各多少尺?则该问题的水深是尺.( )9.(2023江苏泰州期中,23,★★☆)如图,一架2.5 m长的梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上,这时AO为2.4 m.( )(1)如果梯子的顶端A沿墙下滑0.4 m至点C处,那么梯子的底端B也外移0.4 m吗?请通过计算说明.(2)点P为AB的中点,小明将一根绳子的一端固定在点P处,拉直后将另一端固定在点O处.你觉得这样能防止梯子顶端下滑吗?简要说明理由.素养探究全练10.【运算能力】沿海城市A接到台风警报,在该市正南方向130 km 的B处有一台风中心,沿BC方向以15 km/h的速度移动,已知城市A到BC的距离AD=50 km,那么台风中心经过多长时间从B点移到D 点?如果在距台风中心30 km的圆形区域内都有受到台风的破坏的危险,正在D点休闲的游人在接到台风警报后的几小时内撤离才可远离危险?(游人撤离的速度大于台风中心移动的速度)答案全解全析基础过关全练1.A　如图,在Rt△ACB中,∠ACB=90°,BC=0.7米,AC=2.4米,∴AB2=0.72+2.42=6.25.在Rt△A'BD中,∠A'DB=90°,A'D=2米,A'B2=AB2,∴BD2=A'B2-A'D2=2.25.∵BD>0,∴BD=1.5米,∴CD=BC+BD=0.7+1.5=2.2米.故选A.2.解析　(1)如图,圆柱底面周长为3 cm,即AC=3 cm,高是4 cm,即BA=4 cm,由题意知BC2=AC2+AB2=25,∴BC=5 cm.故盘旋一圈的长度是5 cm.(2)圆柱底面周长为80 cm,即AC=80 cm,绕一圈的长度为100 cm,即BC=100 cm,∴AB2=BC2-AC2=3 600,∴AB=60 cm.∴树干高=60×10=600(cm).答: 树干高是600 cm.3.答案　不合格解析　∵42+62=52≠72=49,∴这扇纱窗不合格.4.答案　120解析　设三角形的三边长分别为5x cm,12x cm,13x cm,则5x+12x+13x=60,∴x=2,∴该三角形的三边长分别为10 cm,24 cm,26 cm.∵102+242=262,∴三角形为直角三角形,∴S=10×24÷2=120(cm 2).故答案为120.5.解析　∵∠ABC=90°,AB=9 m,BC=12 m,∴AC 2=AB 2+BC 2=92+122=225,∴AC=15 m.∵AD 2+AC 2=DC 2,∴△ACD 是直角三角形,∠DAC=90°,∴S △DAC =12AD·AC=12×8×15=60(m 2),∵S △ACB =12AB·BC=12×9×12=54(m 2),∴S 四边形ABCD =60+54=114(m 2),100×114=11 400(元).答:绿化这片空地共需花费11 400元.能力提升全练6.A 如图,连接AC.由勾股定理可知AC 2=AD 2+CD 2=42+32=25,∴AC=5米.∵AC 2+BC 2=52+122=132=AB 2,∴△ABC 是直角三角形,∠ACB=90°,∴这块地的面积=△ABC 的面积-△ACD 的面积=12×5×12-12×3×4=24(平方米).故选A.7.答案　北偏东50°解析　由题意可知 AP=12海里,BP=16海里,AB=20海里.∵122+162=202,∴△APB 是直角三角形,∴∠APB=90°,由题意知∠1=40°,∴∠2=90°-∠1=90°-40°=50°,即乙船沿北偏东50°方向航行.故答案为北偏东50°.8.答案　12解析　如图:设AC'=x尺,则AB=(x-1)尺.∵C'E=10尺,∴C'B=5尺.在Rt△AC'B中,由勾股定理,得BC'2+AB2=AC'2,即52+(x-1)2=x2,解得x=13.∴AB=12尺,即水深为12尺.故答案为12.9.解析　(1)在Rt△AOB中, OB2=AB2-AO2=2.52-2.42=0.49,∴OB=0.7 m.∵AO=2.4 m,AC=0.4 m,∴CO=2 m.在Rt△DOC中, DO2=CD2-CO2=2.52-22=2.25,∴DO=1.5 m,∴BD=DO-BO=1.5-0.7=0.8 m,故梯子的底端B外移了0.8 m.(2)不能防止梯子下滑.理由:根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,梯子顶端若下滑,绳子的长度不变,并不拉伸,不能防止梯子下滑.素养探究全练10.解析　在Rt△ABD中,根据勾股定理,得AD2+BD2=AB2,∴BD2=AB2-AD2=1302-502=14 400=1202,∴BD=120 km,则台风中心经过120÷15=8小时从B点移动到D点.如图,∵距台风中心30 km的圆形区域内都有受到台风破坏的危险,∴人们要在台风中心到达E点之前撤离,∵BE=BD-DE=120-30=90(km),∴游人在90÷15=6小时内撤离才可远离危险.。

专题14勾股定理与最短路径问题-2021-2022学年八年级数学上(解析版)【北师大版】

2021-2022学年八年级数学上册尖子生同步培优题典【北师大版】专题1.4勾股定理与最短路径问题（重难点培优）姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________注意事项：本试卷满分100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2020秋•禅城区期末）如图，圆柱的底面周长是24，高是5，一只在A点的蚂蚁沿侧面爬行，想吃到B 点的食物，需要爬行的最短路径是（）A．9B．13C．14D．25【分析】要想求得最短路程，首先要把A和B展开到一个平面内．根据两点之间，线段最短求出蚂蚁爬行的最短路程．【解析】展开圆柱的半个侧面是矩形，矩形的长是圆柱的底面周长的一半，即为12，矩形的宽是圆柱的高5．根据两点之间线段最短，知最短路程是矩形的对角线的长，即√52+122=13，故选：B．2．（2020秋•太原期末）如图，透明的圆柱形玻璃容器（容器厚度忽略不计）的高为16cm，在容器内壁离容器底部4cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，位于离容器上沿4cm的点A处，若蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为20cm，则该圆柱底面周长为（）A．12cm B．14cm C．20cm D．24cm【分析】将容器侧面展开，建立A关于EG的对称点A′，根据两点之间线段最短可知A′B的长度即为所求．【解析】如图：将圆柱展开，EG为上底面圆周长的一半，作A关于E的对称点A'，连接A'B交EG于F，则蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为AF+BF的长，即AF+BF＝A'B＝20cm，延长BG，过A'作A'D⊥BG于D，∵AE＝A'E＝DG＝4cm，∴BD＝16cm，Rt△A'DB中，由勾股定理得：A'D=√202−162=12cm，∴则该圆柱底面周长为24cm．故选：D．3．（2020秋•金牛区校级月考）如图所示的圆柱体中底面圆的半径是4π，高为3，若一只小虫从A点出发沿着圆柱体的侧面爬行到C点，则小虫爬行的最短路程是（）A．5B．√5C．√73D．4【分析】先将圆柱体展开，再根据两点之间线段最短，由勾股定理即可求出结果．【解析】圆柱的侧面展开图是一个矩形，此矩形的长等于圆柱底面周长，C是边的中点，矩形的宽即高等于圆柱的母线长．∵AB＝π×4π=4，CB＝3，∴AC=√AB2+BC2=√42+32=5，故选：A．4．（2020秋•太原期中）今年9月22日是第三个中国农民丰收节，小彬用3D打印机制作了一个底面周长为20cm，高为10cm的圆柱粮仓模型，如图BC是底面直径，AB是高．现要在此模型的侧面贴一圈彩色装饰带，使装饰带经过A，C两点（接头不计），则装饰带的长度最短为（）A．20πcm B．40πcm C．10√2cm D．20√2cm【分析】由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题．【解析】如图，圆柱的侧面展开图为长方形，AC＝A'C，且点C为BB'的中点，∵AB＝10，BC=12×20＝10，∴装饰带的长度＝2AC＝2√AB2+BC2=20√2（cm），故选：D．5．（2020秋•峄城区期中）已知长方体的长2cm、宽为1cm、高为4cm，一只蚂蚁如果沿长方体的表面从A 点爬到B′点，那么沿哪条路最近，最短的路程是（）A．√29cm B．5cm C．√37cm D．4.5cm【分析】要求长方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将正方体展开，然后利用两点之间线段最短解答．【解析】根据题意，如图所示，最短路径有以下三种情况：（1）沿AA′，A′C′，C′B′，B′B剪开，得图1：AB′2＝AB2+BB′2＝（2+1）2+42＝25；（2）沿AC，CC′，C′B′，B′D′，D′A′，A′A剪开，得图2：AB′2＝AC2+B′C2＝22+（4+1）2＝4+25＝29；（3）沿AD，DD′，B′D′，C′B′，C′A′，AA′剪开，得图3：AB′2＝AD2+B′D2＝12+（4+2）2＝1+36＝37；综上所述，最短路径应为（1）所示，所以AB′2＝25，即AB′＝5cm，故选：B．6．（2020秋•市南区校级期中）某校“光学节”的纪念品是一个底面为等边三角形的三棱镜（如图）．在三棱镜的侧面上，从顶点A到顶点A′镶有一圈金属丝，已知此三棱镜的高为9cm，底面边长为4cm，则这圈金属丝的长度至少为（）A．8cm B．10cm C．12cm D．15cm【分析】画出三棱柱的侧面展开图，利用勾股定理求解即可．【解析】将三棱柱沿AA′展开，其展开图如图，则AA′=√92+122=15（cm）．故选：D．7．（2020秋•沙坪坝区校级期中）小南同学报名参加了南开中学的攀岩选修课，攀岩墙近似一个长方体的两个侧面，如图所示，他根据学过的数学知识准确地判断出：从点A攀爬到点B的最短路径为（）米．A．16B．8√2C．√146D．√178【分析】将长方体展开，根据两点之间线段最短，构造出直角三角形，进而根据勾股定理求出AB的长．【解析】如图：AC＝5+3＝8，BC＝8，在Rt△ABC中，AB=√AC2+BC2=√82+82=8√2．即从点A攀爬到点B的最短路径为8√2米．故选：B．8．（2021春•江岸区校级月考）如图，桌面上的长方体长为8，宽为6，高为4，B为CD的中点．一只蚂蚁从A点出发沿长方体的表面到达B点，则它运动的最短路程为（）A．2√29B．4√5C．10D．3√14【分析】根据题意画出长方体的侧面展开图，连接AB，根据勾股定理求出AB的长即可．【解析】如图1所示，则AB=√42+102=2√29；如图2所示，AB=√62+82=10，故它运动的最短路程为10，故选：C．9．（2021春•下城区校级期中）如图，台阶阶梯每一层高20cm，宽30cm，长50cm，一只蚂蚁从A点爬到B 点，最短路程是（）A．10√89B．50√5C．120D．130【分析】先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答．【解析】如图所示，∵它的每一级的长宽高为20cm，宽30cm，长50cm，∴AB=√502+1002=50√5（cm）．答：蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程是50√5cm，故选：B．10．（2021春•天河区校级期中）如图，圆柱的高为4cm，底面半径为3πcm，在圆柱下底面的A点处有一只蚂蚁，它想吃到上底面B处的食物，已知四边形ADBC的边AD、BC恰好是上、下底面的直径、问：蚂蚁食到食物爬行的最短距离是（）cm．A．5B．5πC．3+4πD．3+8π【分析】求至少要爬多少路程，根据两点之间直线最短，把圆柱体展开，在得到的矩形上连接两点，求出距离即可．【解析】把圆柱体沿着AC直线剪开，得到矩形如下：则AB的长度为所求的最短距离，根据题意圆柱的高为4cm，底面半径为3πcm，则可以知道AC＝4cm，BC=12底面周长，∵底面周长为2πr＝2×π×3π=6（cm），∴BC＝3cm，∴根据勾股定理得出AB2＝AC2+BC2，即AB2＝42+32，∴AB＝5（cm）．答：蚂蚁至少要爬行5cm路程才能食到食物，故选：A．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上11．（2020秋•武侯区校级月考）如图，一个长方体盒子的长、宽、高分别为5cm、4cm、3cm，有一只甲虫从顶点A沿盒的表面爬到顶点B处，那么它所爬行的最短路线的长是√74cm．【分析】把此长方体的一面展开，在平面内，两点之间线段最短．利用勾股定理求点A和B点间的线段长，即可得到蚂蚁爬行的最短距离．在直角三角形中，一条直角边长等于长方体的高，另一条直角边长等于长方体的长宽之和，利用勾股定理可求得．【解析】因为平面展开图不唯一，故分情况分别计算，进行大、小比较，再从各个路线中确定最短的路线．（1）展开前面、右面，由勾股定理得AB2＝（5+4）2+32＝90；（2）展开前面、上面，由勾股定理得AB2＝（3+4）2+52＝74；（3）展开左面、上面，由勾股定理得AB2＝（3+5）2+42＝80；∵74＜80＜90，所以最短路径长为√74cm．故答案为：√74．12．（2020秋•南海区期中）如图所示，一圆柱高AB为2cm，底面直径BC为4cm，一只蚂蚁从点A出发沿圆柱表面爬行到点C，则蚂蚁爬行的最短路程是6cm（π取3）．【分析】首先画出示意图，连接AC，根据圆的周长公式算出底面圆的周长，BC=12×底面圆的周长，再在Rt△ACB中利用勾股定理算出AC的长即可，再计算AB+BC＝8，比较两种情形的数值的大小即可判断；【解析】将圆柱体的侧面展开并连接AC．∵圆柱的直径为4cm，∴BC=12×4•π≈6（cm），在Rt△ACB中，AC2＝AB2+CB2＝22+62＝40，∴AC＝2√10（cm）．∵高AB为2cm，底面直径BC为4cm，∴走高AB再走直径BC，其距离为6cm，∵6＜2√10，∴蚂蚁爬行的最短的路线长是6cm．故答案为：6．13．（2020秋•中牟县期中）如图所示是一个长方体纸盒，纸盒的长为12cm，宽为9cm，高为5cm，一只蚂蚁想从盒底的点A沿盒的表面爬到盒顶的点G，蚂蚁爬行的最短路程是2√85cm．【分析】分为三种情况展开，根据勾股定理求出线段AB的长度，再进行比较即可．【解析】①如图1，展开后连接AG，则AG就是在表面上A到G的最短距离，∵∠ACG＝90°，AC＝12+9＝21，CG＝5，在Rt△ACG中，由勾股定理得：AG=√212+52=√466（cm）；②如图2，展开后连接AG，则AG就是在表面上A到G的最短距离，∵∠ABG＝90°，AB＝12，BG＝9+5＝14，在Rt△ACBG中，由勾股定理得：AG=√122+142=√340=2√85（cm）；③如图3，展开后连接AG，则AG就是在表面上A到G的最短距离，∵∠AFG＝90°，AF＝5+12＝17，FG＝9，在Rt△AFG中，由勾股定理得：AG=√172+92=√370（cm）．∴蚂蚁爬行的最短路程是2√85cm，故答案为：2√85．14．（2020秋•青羊区校级期中）如图，圆柱形容器高为16cm，底面周长为24cm，在杯内壁离杯底的点B 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯子的上沿蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁A处到达B处的最短距离为20cm．【分析】先将圆柱的侧面展开，再根据勾股定理求解即可．【解析】如图所示，∵圆柱形玻容器，高16cm，底面周长为24cm，∴BD＝12cm，∴AB=√AD2+DB2=√162+122=20（cm）．∴蚂蚁A处到达B处的最短距离为20cm，故答案为：20cm．15．（2020秋•莱州市期中）如图，长方体盒子的长、宽、高分别是9cm，9cm，24cm，一只蚂蚁想从盒底的A点爬到盒顶的B点，它至少要爬行30cm．【分析】将长方形的盒子按不同方式展开，得到不同的矩形，求出不同矩形的对角线，最短者即为正确答案．【解析】如图1所示，AB=√(9+9)2+242=30（cm），如图2所示：AB=√(9+24)2+92=√1090（cm）．∵30＜√1090，∴蚂蚁爬行的最短路程是30cm．故答案为：30．16．（2021春•孝南区月考）如图所示，有一个正方体盒子，其棱长为2dm，一只虫子在顶点A处，一只蜘蛛在顶点B处，蜘蛛沿着盒子表面准备偷袭虫子，那么蜘蛛要想最快地捉住虫子，它所走的最短路程是2√5dm．（结果保留根号）【分析】由于纸箱为正方体，且A、B两点对称，故将其按任意方式展开，连接A、B即可求得蚂蚁爬行的最短路程．【解析】如图：因为BC＝2dm，AC＝2×2＝4（dm），所以AB=√22+42=2√5（dm）．故答案为：2√5．17．（2021春•合川区校级月考）如图，圆柱形容器外壁距离下底面3cm的A处有一只蚂蚁，它想吃到正对面外壁距离上底面3cm的B处的米粒，若圆柱的高为12cm，底面周长为24cm．则蚂蚁爬行的最短距离为6√5cm．【分析】先把圆柱的侧面展开得其侧面展开图，由勾股定理求得AB的长．【解析】如图，将圆柱的侧面沿过A点的一条母线剪开，得到长方形，连接AB，则线段AB的长就是蚂蚁爬行的最短距离，故AB=√(12−3−3)2+122=6√5（cm）．故答案为：6√5．18．（2021春•江汉区月考）如图，现有一长方体的实心木块，有一蚂蚁从A处出发沿长方体表面爬行到C'处，若长方体的长AB＝4cm，宽BC＝2cm，高BB'＝1cm，则蚂蚁爬行的最短路径长是5cm．【分析】连接AC′，求出AC′的长即可，分为三种情况：画出图形，根据勾股定理求出每种情况时AC′的长，再找出最短的即可．【解析】展开成平面后，连接AC′，则AC′的长就是绳子最短时的长度，分为三种情况：如图1，AB＝4，BC′＝2+1＝3，在Rt△ABC′中，由勾股定理得：AC′=√42+32=5（cm）；如图2，AC＝4+2＝6，CC′＝1，在Rt△ACC′中，由勾股定理得：AC′=√62+12=√37＞5，如图3，同法可求AC′=√52+22=√29＞5，即绳子最短时的长度是5cm，故答案为：5cm．三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（2020秋•高州市期中）如图，一个圆柱体高20cm，底面半径为5cm，在圆柱体下底面的A点处有一只蜘蛛，它想吃到上底面与A点相对的B点处的一只已被粘住的苍蝇，这只蜘蛛从A点出发，沿着圆柱体的侧面爬到B点，最短路程是多少？（π取3）【分析】要求需要爬行的最短路程首先要把圆柱的侧面展开，得到一个矩形，然后利用勾股定理求两点间的距离即可．【解析】如图所示，将圆柱体侧面展开，连接AB，则AB的长即为蜘蛛爬行的最短路程．根据题意得AC＝20cm，BC＝πR＝5π＝5×3＝15cm，在Rt△ABC中，由勾股定理得AB2＝BC2+AC2＝152+202＝625，所以AB＝25cm，即最短路程是25cm．20．（2020秋•淅川县期末）如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中AB＝18cm，BC＝12cm，BF＝10cm，点M在棱AB上，且AM＝6cm，点N是FG的中点，一只蚂蚁要沿着长方体盒子的表面从点M爬行到点N，它需要爬行的最短路程是多少？【分析】利用平面展开图有三种情况，画出图形利用勾股定理求出MN的长即可．【解析】如图1，∵AB＝18cm，BC＝GF＝12cm，BF＝10cm，∴BM＝18﹣6＝12，BN＝10+6＝16，∴MN=√122+162=20（cm）；如图2，∵AB＝18cm，BC＝GF＝12cm，BF＝10cm，∴PM＝18﹣6+6＝18，NP＝10，∴MN=√182+102=2√106（cm）．如图3中，MN=√222+62=2√130（cm），∵20＜2√106＜2√130，∴蚂蚁沿长方体表面爬到米粒处的最短距离为20cm．21．（2020秋•长春期末）如图所示，有一个圆柱，底面圆的直径AB=16π，高BC＝12cm，在BC的中点P处有一块蜂蜜，聪明的蚂蚁总能找到距离食物的最短路径，求蚂蚁从A点爬到P点的最短距离．【分析】化“曲”为“平”，在平面内，得到两点的位置，再根据两点之间线段最短和勾股定理求解即可．【解析】将圆柱体的侧面展开，如图所示：AB=12底面周长=12×π×16π=8（cm），AP=12BC＝6（cm），所以AP=√82+62=10（cm），故蚂蚁从A点爬到P点的最短距离为10cm．22．（2020秋•郫都区期中）如图，长方体的长为20cm，宽为10cm，高为15cm，点B与点C之间的距离为5cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B去吃一滴蜜糖．（1）求出点A到点B的距离；（2）求蚂蚁从点A爬到点B的最短路程是多少？【分析】（1）分三种情况讨论：把左侧面展开到水平面上，连接AB，如图1；把右侧面展开到正面上，连接AB，如图2；把向上的面展开到正面上，连接AB，如图3，然后利用勾股定理分别计算各情况下的AB即可；（2）根据（1）的结果进行大小比较即可得到结论．【解析】（1）将长方体沿CF、FG、GH剪开，向右翻折，使面FCHG和面ADCH在同一个平面内，连接AB，如图1，由题意可得：BD＝BC+CD＝5+10＝15cm，AD＝CH＝15cm，在Rt△ABD中，根据勾股定理得：AB=√BD2+AD2=√152+152=15√2cm；将长方体沿DE、EF、FC剪开，向上翻折，使面DEFC和面ADCH在同一个平面内，连接AB，如图2，由题意得：BH＝BC+CH＝5+15＝20cm，AH＝10cm，在Rt△ABH中，根据勾股定理得：AB=√BH2+AH2=√202+102=10√5cm，则需要爬行的最短距离是15√2cm．连接AB，如图3，由题意可得：BB′＝B′E+BE＝15+10＝25cm，AB′＝BC＝5cm，在Rt△AB′B中，根据勾股定理得：AB=√BB′2+AB′2=√252+52=5√26cm，综上所述，点A到点B的距离为：15√2cm，10√5cm，5√26cm；（2）由（1）知，∵点A到点B的距离为：15√2cm，10√5cm，5√26cm；∴15√2＜10√5＜5√26，∴则需要爬行的最短距离是15√2cm．23．（2020秋•碑林区校级月考）如图，透明的圆柱形玻璃容器（容器厚度忽略不计）的高为16cm，在容器内壁离容器底部4cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，位于离容器上底面距离为4cm 的点A处，若蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为20cm，则该圆柱底面周长为多少？【分析】将容器侧面展开，建立A关于EG的对称点A′，根据两点之间线段最短可知A′B的长度即为所求．【解析】如图：将圆柱展开，EG为上底面圆周长的一半，作A关于E的对称点A'，连接A'B交EG于F，则蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为AF+BF的长，即AF+BF＝A'B＝20cm，延长BG，过A'作A'D⊥BG于D，∵AE＝A'E＝DG＝4cm，∴BD＝16cm，Rt△A'DB中，由勾股定理得：A'D=√202−162=12（cm），则该圆柱底面周长为24cm．24．（2020秋•龙泉驿区期中）如图所示，一个无盖四棱柱容器，其底面是一个边长为3cm的正方形，高为20cm．现有一根彩带，从底面A点开始缠绕四棱柱，刚好缠绕4周到达B点（假设彩带完美贴合四棱柱）．（1）请问彩带的长度是多少？（2）如图所示，一只蚂蚁在容器外A点发现容器的内部距离顶部2cm处有一滴蜂蜜，它想以最短的路程到达C处．请问蚂蚁走的最短路程是多少呢？（注：以上两问均要画出平面展开示意图，再解答）【分析】（1）如果从点A开始缠绕四棱柱，刚好缠绕4周到达点B，相当于直角三角形的两条直角边分别是12和5，再根据勾股定理求出斜边长即可；（2）求四棱柱中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将四棱柱展开，然后利用两点之间线段最短解答．【解析】（1）如图，将长方体的侧面沿AB展开，取A′B′的四等分点C、D、E，取AB的四等分点C′、D′、E′，连接B′E′，D′E，C′D，AC，则AC+C′D+D′E+E′B′＝4AC为所求的最短细线长，∵AC2＝AA′2+A′C2，AC=√122+52=13，∴AC+C′D+D′E+E′B′＝4AC＝52，答：彩带的长度是52cm；（2）如图，将四棱柱展开，找到C的对称点C′，连接AC′，则AC′即为蚂蚁走的最段路程，在直角△AMC中，AM＝6cm，MC′＝20+（20﹣18）＝22cm，由勾股定理得：AC′2＝AM2+MC′2＝62+222＝520，则AC′＝2√130cm，答：蚂蚁走的最短路程是2√130cm．。

3.3勾股定理的简单应用(十大题型)(解析版)-2024-2025学年八年级数学上册同步精讲精练(苏

八年级上册数学《第3章勾股定理》3.3勾股定理的简单应用利用勾股定理，可以解决与直角三角形有关的计算和证明题，在解决过程中，往往利用勾股定理列方程（组），有时需要通过作辅助线来构造直角三角形，化非直角三角形为直角三角形来解决.◆勾股定理应用的类型：（1）已知直角三角形的任意两边长求第三边长；（2）已知直角三角形的一边长确定另两边长的关系；（3）对于一些非直角三角形的几何问题和日常生活中的实际问题，首先要建立直角三角形的模型，然后利用勾股定理构建方程或方程组解决.【注意】勾股定理的应用的前提条件必须是直角三角形，所以要应用勾股定理必须构造直角三角形.【例题1】（2023春•南岗区期中）如图，一架5米长的梯子AB，斜靠在一堵竖直的墙AO上，这时梯顶A距地面4米，若梯子沿墙下滑1米，则梯足B外滑（）米．A．0.6B．0.8C．1D．2【变式1-1】如图，一架梯子AB长10米，底端离墙的距离BC为6米，当梯子下滑到DE时，AD＝2米，则BE＝米．【变式1-2】（2023春•南部县校级期末）如图，一个梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上，测得AO＝2m．若梯子的顶端沿墙下滑0.5米，这时梯子的底端也恰好外移0.5米，则梯子的长度AB为（）A．2.5m B．3m C．1.5m D．3.5m【变式1-3】（2023春•梁园区期末）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离BC为0.7m，梯子顶端到地面的距离AC为2.4m．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端到地面的距离为1.5m，则小巷的宽为（）A．2m B．2.5m C．2.6m D．2.7m【例题2】（2022春•同心县校级期中）如图，一次“台风”过后，一根旗杆被台风从离地面6米处吹断，倒下的旗杆的顶端落在离旗杆底部8米处，那么这根旗杆被吹断裂前至少有多高？【变式2-1】（2022秋•东营区校级期末）如图，一棵大树被台风挂断，若树在离地面3m处折断，树顶端落在离树底部4m处，则树折断之前高（）A．5m B．7m C．8m D．10m【变式2-2】（2023春•济南期末）如图，小霞将升旗的绳子拉到旗杆底端，并在绳子上打了一个结，然后将绳子拉到离旗杆底端12米处，发现此时绳子底端距离打结处约6米，则滑轮到地面的高度为米．【变式2-3】（2023春•罗庄区期末）如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地的垂直高度DE＝1m，将它往前推送4m（水平距离BC＝4m）时，秋千的踏板离地的垂直高度BF＝2m，秋千的绳索始终拉得很直，求绳索AD的长度．【例题3】（2023春•罗定市期中）海洋热浪对全球生态带来了严重影响，全球变暖导致华南地区汛期更长、降水强度更大，使得登录广东的台风减少，但是北上的台风增多．如图，一棵大树在一次强台风中距地面5m处折断，倒下后树顶端着地点A距树底端B的距离为12m，这棵大树在折断前的高度为（）A．10m B．15m C．18m D．20m【变式3-1】（2023•南宁模拟）在《九章算术》中有一个问题（如图）：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？它的意思是：一根竹子原高一丈（10尺），中部一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面（）尺．A．4B．3.6C．4.5D．4.55【变式3-2】（2022春•邹城市校级月考）如图，一个池塘，其底面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇AB生长在它的中央，高出水面的部分BC为1尺，如果把这根芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，芦苇的顶端与岸齐，则芦苇高度是尺．【变式3-3】有一朵荷花，花朵高出水面1尺，一阵大风把它吹歪，使花朵刚好落在水面上，此时花朵离原位置的水平距离为3尺，此水池的水深有多少尺？【例题4】（2023春•太湖县期末）如图是一只圆柱形玻璃杯，杯高为24cm，将一根筷子插入其中，留在杯外最长4cm，最短3cm，则这只玻璃杯的内径是cm．【变式4-1】（2023春•伊犁州期末）如图所示，一根长为7cm的吸管放在一个圆柱形杯中，测得杯的内部底面直径为3cm，高为4cm，则吸管露出在杯外面的最短长度为cm．【变式4-2】（2023•潮州模拟）如图，一根长为18cm的牙刷置于底面直径为5cm、高为12cm的圆柱形水杯中，牙刷露在杯子外面的长度hcm，则h的取值范围是．【例题5】（2023春•德州期末）如图，一只小鸟从树尖C点径直飞向塔尖A处．已知树高6米，塔高12米，树与塔的水平距离为8米，则小鸟飞行的最短距离为（）A．8米B．10米C．11米D．12米【变式5-1】（2023春•潼关县期末）如图，校园内有两棵树，相距12米，一棵树高13米，另一棵树高8米，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞米．【变式5-2】（2022春•海淀区校级期中）如图，AB为一棵大树，在树上距地面10米的D处有两只猴子，他们同时发现C处有一筐水果，一只猴子从D处往上爬到树顶A处，又沿滑绳AC滑到C处，另一只猴子从D滑到B，再由B跑到C处，已知两只猴子所经路程都为15米，求树高AB．【例题6】（2022秋•南关区校级期末）如图，在高为3米，斜坡长为5米的楼梯台阶上铺地毯，则地毯的长度至少要（）A．5米B．6米C．7米D．8米【变式6-1】（2022秋•福田区校级期末）某宾馆在重新装修后，准备在大厅的主楼梯上铺上红色地毯．已知楼梯总高度5米，楼梯长13米，主楼道宽2米；这种红色地毯的售价为每平方米30元，其侧面如图所示，则购买地毯至少需要元．【变式6-2】（2023春•藁城区期末）如图，在高为5m，坡面长为13m的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要m．【变式6-3】（2022秋•丰城市校级期末）某会展中心在会展期间准备将高5m、长13m、宽2m的楼道铺上地毯，已知地毯每平方米20元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要元．【例题7】（2023春•富县期末）如图，点A处的居民楼与马路BC相距30米，当居民楼与马路上行驶的汽车的距离在50米内时就会受到噪音污染．如果汽车以每秒20米的速度行驶经过，那么会给这栋居民楼带来多长时间的噪音污染？【变式7-1】（2023春•黔东南州期末）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上百千米范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向AB由A向B移动，已知点C为海港，AC＝300km，BC＝400km，∠ACB＝90°，以台风中心为圆心周围260km以内为受影响区域．（1）求海港C到直线AB的距离；（2）台风中心由A向B移动的过程中，海港C受台风影响吗？为什么？【变式7-2】（2022秋•栖霞市期末）新冠疫情期间，为了提高人民群众防疫意识，很多地方的宣讲车开起来了，大喇叭响起来了，宣传横幅挂起来了，电子屏亮起来了，电视、广播、微信、短信齐上阵，防疫标语、宣传金句频出，这传递着打赢疫情防控阻击战的坚定决心．如图，在一条笔直公路MN的一侧点A处有一村庄，村庄A到公路MN的距离AB为800米，若宣讲车周围1000米以内能听到广播宣传，宣讲车在公路MN上沿MN方向行驶．（1）请问村庄A能否听到宣传？请说明理由；（2）如果能听到，已知宣讲车的速度是300米/分钟，那么村庄A总共能听到多长时间的宣传？【变式7-3】（2023春•黄州区期末）我市夏季经常受台风天气影响，台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向AB 由点A行驶向点B，已知点C为一海港，且点C与直线AB上两点A，B的距离分别为300km和400km，且AB＝500km，以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域．（1）求证：∠ACB＝90°；（2）海港C受台风影响吗？为什么？（3）若台风的速度为40km/h，则台风影响该海港持续的时间有多长？【变式7-4】（2022秋•内江期末）森林火灾是一种常见的自然灾害，危害很大，随着中国科技、经济的不断发展，开始应用飞机洒水的方式扑灭火源．如图，有一台救火飞机沿东西方向AB，由点A飞向点B，已知点C为其中一个着火点，且点C与直线AB上两点A，B的距离分别为600m和800m，又AB＝1000m，飞机中心周围500m以内可以受到洒水影响．（1）着火点C受洒水影响吗？为什么？（2）若飞机的速度为10m/s，要想扑灭着火点C估计需要13秒，请你通过计算判断着火点C能否被扑灭？【例题8】（2022秋•浑南区月考）“某市道路交通管理条例”规定：小汽车在城市道路上行驶速度不得超过60千米/时，如图，一辆小汽车在一条城市道路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面对车速检测仪A正前方24米的C处，过了1.5秒后到达B处（BC⊥AC），测得小汽车与车速检测仪间的距离AB 为40米，判断这辆小汽车是否超速？若超速，则超速了多少？若没有超速，说明理由．【变式8-1】根据道路管理条例规定，在某段笔直的公路l上行驶的车辆，限速为60km/h，如图，一观测点M到公路l的距离MN为30m，现测得一辆汽车从点A到点B所用时间为5s，已知观测点M到A，B 两点的距离分别为50m，34m，请通过计算判断此车是否超速．【变式8-2】“交通管理条例第三十五条”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70千米/小时，如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪正方50米处，过了6秒后，测得小汽车与车速检测仪距离130米．（1）求小汽车6秒走的路程；（2）求小汽车每小时所走的路程，并判定小汽车是否超速？【变式8-3】（2023春•路北区期中）某路段限速标志规定：小汽车在此路段上的行驶速度不得超过70km/h，如图，一辆小汽车在该笔直路段l上行驶，某一时刻刚好行驶到路对面的车速检测仪A的正前方30m的点C处，2s后小汽车行驶到点B处，测得此时小汽车与车速检测仪A间的距离为50m．（1）求BC的长．（2）这辆小汽车超速了吗？并说明理由．【变式8-4】（2023春•济南期末）如图，A中学位于南北向公路l的一侧，门前有两条长度均为100米的小路通往公路l，与公路l交于B，C两点，且B，C相距120米．（1）现在想修一条从公路l到A中学的新路AD（点D在l上），使得学生从公路l走到学校路程最短，应该如何修路（请在图中画出）？新路AD长度是多少？（2）为了行车安全，在公路l上的点B和点E处设置了一组区间测速装置，其中点E在点B的北侧，且距A中学170米．一B辆车经过BE区间用时5秒，若公路l限速为60km/h（约16.7m/s），请判断该车是否超速，并说明理由．【例题9】（2023春•南召县期末）如图，矩形纸片ABCD 中，AD ＝4cm ，把纸片沿直线AC 折叠，点B 落在E 处，AE 交DC 于点O ，若AO ＝5cm ，则AB 的长为（）A ．9cmB ．8cmC ．7cmD ．6cm【变式9-1】如图是一张直角三角形的纸片，两直角边AC ＝6cm 、BC ＝8cm ，现将△ABC 折叠，使点B 与点A 重合，折痕为DE ，则CD 的长为（）A．154cm B ．254cm C ．74cm D ．无法确定【变式9-2】（2023春•南召县期末）如图，矩形纸片ABCD 中，AD ＝4cm ，把纸片沿直线AC 折叠，点B 落在E 处，AE 交DC 于点O ，若AO ＝5cm ，则AB 的长为（）A ．9cmB ．8cmC ．7cmD ．6cm【变式9-3】（2023春•大竹县校级期末）如图，在矩形ABCD 中，AB ＝10，BC ＝6．点E 是边BC 上一点，沿AE 翻折△ABE ，点B 恰好落在CD 边上点F 处，则CE 的长是（）A ．43B ．83C ．103D ．3【变式9-4】（2023春•沙河口区期末）如图，将矩形纸片ABCD 折叠，使点D 与点B 重合，点C 落在点G 处，折痕为EF ，若AB ＝4，BC ＝8，则DE 的值为（）A ．2.4B ．3C ．4D ．5【变式9-5】（2023春•雁塔区校级期末）如图，将长方形ABCD 沿着对角线BD 折叠，使点C 落在C ′处，BC ′交AD 于点E ．若AB ＝6，AD ＝8，那么点E 到BD 的距离为（）A．154B．754C．165D．325【变式9-6】（2023春•思明区校级期中）如图，将正方形ABCD分别沿BE，BG折叠，使边AB，BC在BF处重合，折痕为BE，BG．若正方形ABCD的边长为6，E是AD边的中点，则CG的长是（）A．3B．2.5C．2D．1【例题10】如图，一圆柱体的底面周长为24cm，高BD为5cm，BC是直径，一只蚂蚁从点D出发沿着圆柱的侧面爬行到点C的最短路程大约是（）A．6cm B．12cm C．13cm D．16cm【变式10-1】（2022秋•李沧区期末）如图是某滑雪场U型池的示意图，该U型池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是半径为3的半圆，其边缘AB＝CD＝16，点E 在CD上，CE＝4．一名滑雪爱好者从A点滑到E点时，他滑行的最短路程约为（π取3）．【变式10-2】（2023春•肇源县月考）如图有一个棱长为9cm的正方体，一只蜜蜂要沿正方体的表面从顶点A爬到C点（C点在一条棱上，距离顶点B 3cm处），需爬行的最短路程是cm．【变式10-3】（2022秋•高新区校级期末）如图，圆柱底面半径为2cm，高为9cm，点A，B分别是圆柱π两底面圆周上的点，且A，B在同一条竖直直线上，用一根棉线从A点顺着圆柱侧面绕3圈到B点，则这根棉线的长度最短为cm．【变式10-4】（2022秋•龙口市期末）如图，高速公路的同一侧有A，B两城镇，它们到高速公路所在直线MN的距离分别为AC＝2km，BD＝4km，CD＝8km．要在高速公路上C，D之间建一个出口P，使A，B两城镇到P的距离之和最小，则这个最短距离为（）A．8km B．10km C．12km D．14km。

第一章勾股定理在几何图形中的应用专题练习题(答案) 2021-2022学年北师大版八年级数学上册

2021-2022学年北师大版八年级数学上册第一章勾股定理在几何图形中的应用专题练习题类型1 应用勾股定理求线段的长度及面积1．如图，在长方形ABCD 中，∠DAE ＝∠CBE ＝45°，AD ＝1，则∠ABE 的周长等于（）A ．4.83B ．42C ．22 ＋2D ．32 ＋22．如图，在长方形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝8，∠ABC 的平分线交AD 于点E ，连接CE ，过B 点作BF ∠CE 于点F ，则BF 的长为（）A ．51012B ．5106C ．12105D ．61053．如图，长方形纸片ABCD 中，点E 是AD 的中点，且AE ＝1，BE 的垂直平分线MN 恰好过点C ，则长方形的一边AB 的长度为（）A ．1B ．2C ．3D ．2 4．如图，∠ABO 是边长为4的等边三角形，则A 点的坐标是___________．5．已知三角形三边长分别为b 2＋25a 2 、4a 2＋9b 2 、9a 2＋16b 2 (a ＞0，b ＞0)，请借助构造图形并利用勾股定理进行探究，得出此三角形面积为___________(用含a 、b 的代数式表示).6．如图，在∠ABC中，AB＝BC，BE∠AC于点E，AD∠BC于点D，∠BAD＝45°，AD与BE交于点F，连接CF.(1)求证：BF＝2AE.(2)若CD＝2，求AD的长．7．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点E，∠BAC＝90°，∠CED＝45°，∠DCE＝30°，DE＝2，BE＝22.(提示：直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半)(1)求CD的长．(2)求四边形ABCD的面积．类型2应用勾股定理解折叠问题8．如图，在∠ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝8，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，连接AE，则∠ACE 的面积为_____________，DE的长为___________．9．如图，有一张长方形纸条ABCD，AB＝5 cm，BC＝2 cm，点M，N分别在边AB，CD上，CN＝1 cm.现将四边形BCNM沿MN折叠，使点B，C分别落在点B′，C′上，当点B′恰好落在边CD上时，线段BM的长为___________ cm.10．定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即：如图1，在Rt∠ABC 中，∠ACB ＝90°，若点D 是斜边AB 的中点，则CD ＝12 AB .运用：如图2，在∠ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝2，AC ＝3，点D 是BC 的中点，将∠ABD沿AD 翻折得到∠AED ，连接BE ，CE ，DE ，则CE 的长为___________．11．如图，正方形ABCD 边长为8，沿EF 折叠后，点C 落在AB 边上的中点P 处，点D 落在点Q 处，AD 与PQ 相交于点H ，则折痕EF ＝___________，四边形PEFH 的面积为___________．类型3 勾股定理应用中的多解问题12．如图，在∠ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝25 ，AC ＝5 ，以BC 为斜边作等腰Rt∠BCD ，连接AD ，则线段AD 的长为___________．13．在等腰Rt∠ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°.(1)如图1，D ，E 是等腰Rt∠ABC 斜边BC 上两动点，且∠DAE ＝45°，将∠ABE 绕点A 逆时针旋转90°后，得到∠AFC ，连接DF .∠求证：∠AED ∠∠AFD ；∠当BE ＝3，CE ＝7时，求DE 的长．(2)如图2，点D是等腰Rt∠ABC斜边BC所在直线上的一动点，连接AD，以点A为直角顶点作等腰Rt∠ADE，当BD＝3，BC＝9时，求DE的长．类型4应用勾股定理证明线段的平方关系式14．在∠ABC中，AB＝AC＝32，点D，E都是直线BC上的点(点D在点E的左侧)，∠BAC＝2∠DAE＝90°.(1)如图，当点D，E均在线段BC上时，点D关于直线AE的对称点为F.求证：∠ABD∠∠ACF.(2)在(1)的条件下，求证：BD2＋CE2＝DE2.(3)在(1)(2)的条件下，若线段BD＝4时，求CE的长度．参考答案2021-2022学年北师大版八年级数学上册第一章勾股定理在几何图形中的应用专题练习题类型1应用勾股定理求线段的长度及面积1．如图，在长方形ABCD 中，∠DAE ＝∠CBE ＝45°，AD ＝1，则∠ABE 的周长等于（ C ）A ．4.83B ．42C ．22 ＋2D ．32 ＋22．如图，在长方形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝8，∠ABC 的平分线交AD 于点E ，连接CE ，过B 点作BF ∠CE 于点F ，则BF 的长为（ C ）A ．51012B ．5106C ．12105D ．61053．如图，长方形纸片ABCD 中，点E 是AD 的中点，且AE ＝1，BE 的垂直平分线MN 恰好过点C ，则长方形的一边AB 的长度为（ C ）A ．1B ．2C ．3D ．24．如图，∠ABO 是边长为4的等边三角形，则A5．已知三角形三边长分别为b 2＋25a 2 、4a 2＋9b 2 、9a 2＋16b 2 (a ＞0，b ＞0)，请借助构造图形并利用勾股定理进行探究，得出此三角形面积为17ab 2 (用含a 、b 的代数式表示).【解析】如图所示，AB ＝（2a ）2＋（3b ）2 ＝4a 2＋9b 2 ， AC ＝b 2＋（5a ）2 ＝b 2＋25a 2 ， BC ＝（3a ）2＋（4b ）2 ＝9a 2＋16b 2 ，∠S ∠ABC ＝S 矩形DEFC －S ∠ABE －S ∠ADC －S ∠BFC ＝20ab －12 ×2a ×3b －12 ×b ×5a －12 ×3a ×4b ＝17ab2 .6．如图，在∠ABC 中，AB ＝BC ，BE ∠AC 于点E ，AD ∠BC 于点D ，∠BAD ＝45°，AD 与BE 交于点F ，连接CF . (1)求证：BF ＝2AE .(2)若CD ＝2 ，求AD 的长．解：(1)证明：∠AD ∠BC ，∠BAD ＝45°， ∠∠ABD 是等腰直角三角形． ∠AD ＝BD .∠BE ∠AC ，AD ∠BC ，∠∠CAD ＋∠ACD ＝90°，∠CBE ＋∠ACD ＝90°. ∠∠CAD ＝∠CBE . 在∠ADC 和∠BDF 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠CAD ＝∠FBD ，AD ＝BD ，∠ADC ＝∠BDF ， ∠∠ADC ∠∠BDF (ASA). ∠BF ＝AC .∠AB ＝BC ，BE ∠AC ， ∠AC ＝2AE . ∠BF ＝2AE .(2)∠∠ADC ∠∠BDF ， ∠DF ＝CD ＝2 .在Rt∠CDF中，CF＝DF2＋CD2＝（2）2＋（2）2＝2.∠BE∠AC，AE＝EC，∠AF＝CF＝2.∠AD＝AF＋DF＝2＋2.7．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点E，∠BAC＝90°，∠CED＝45°，∠DCE＝30°，DE＝2，BE＝22.(提示：直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半)(1)求CD的长．(2)求四边形ABCD的面积．解：(1)过点D作DH∠AC于点H，∠∠CED＝45°，∠∠EDH＝45°.∠∠HED＝∠EDH.∠EH＝DH.∠EH2＋DH2＝DE2，DE＝2，∠EH2＝1.∠EH＝DH＝1.又∠∠DCE＝30°，∠DHC＝90°，∠DC＝2.(2)∠在Rt∠DHC中，DH2＋HC2＝DC2，∠12＋HC2＝22.∠HC＝3.∠∠AEB＝∠CED＝45°，∠BAC＝90°，BE＝22，易求得AB＝AE＝2.∠AC＝2＋1＋3＝3＋3.∠S四边形ABCD＝S∠BAC＋S∠DAC＝12×2×(3＋3)＋12×1×(3＋3)＝33＋92.类型2应用勾股定理解折叠问题8．如图，在∠ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝4，BC ＝8，AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交BC 于点E ，连接AE ，则∠ACE的面积为__6__，DE9．如图，有一张长方形纸条ABCD ，AB ＝5 cm ，BC ＝2 cm ，点M ，N 分别在边AB ，CD 上，CN ＝1 cm.现将四边形BCNM 沿MN 折叠，使点B ，C 分别落在点B ′，C ′上，当点B ′恰好落在边CD 上时，线段BM cm.10．定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即：如图1，在Rt∠ABC 中，∠ACB ＝90°，若点D 是斜边AB 的中点，则CD ＝12 AB .运用：如图2，在∠ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝2，AC ＝3，点D 是BC 的中点，将∠ABD沿AD 翻折得到∠AED ，连接BE ，CE ，DE ，则CE 13．11．如图，正方形ABCD 边长为8，沿EF 折叠后，点C 落在AB 边上的中点P 处，点D 落在点Q 处，AD 与PQ相交于点H ，则折痕EF PEFH 的面积为703．类型3 勾股定理应用中的多解问题12．如图，在∠ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝25 ，AC ＝5 ，以BC 为斜边作等腰Rt∠BCD ，连接AD ，则线段AD 的2或2．13．在等腰Rt∠ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°.(1)如图1，D，E是等腰Rt∠ABC斜边BC上两动点，且∠DAE＝45°，将∠ABE绕点A逆时针旋转90°后，得到∠AFC，连接DF.∠求证：∠AED∠∠AFD；∠当BE＝3，CE＝7时，求DE的长．(2)如图2，点D是等腰Rt∠ABC斜边BC所在直线上的一动点，连接AD，以点A为直角顶点作等腰Rt∠ADE，当BD＝3，BC＝9时，求DE的长．解：(1)∠证明：∠∠BAE∠∠CAF，∠AE＝AF，∠BAE＝∠CAF.∠∠BAC＝90°，∠EAD＝45°，∠∠CAD＋∠BAE＝∠CAD＋∠CAF＝45°.∠∠DAE＝∠DAF.∠DA＝DA，AE＝AF，∠∠AED∠∠AFD(SAS).∠设DE＝x，则CD＝7－x.∠AB＝AC，∠BAC＝90°，∠∠B＝∠ACB＝45°.∠∠ABE＝∠ACF＝45°，∠∠DCF＝90°.∠∠AED∠∠AFD(SAS)，∠DE ＝DF ＝x .在Rt∠DCF 中，∠DF 2＝CD 2＋CF 2，CF ＝BE ＝3， ∠x 2＝(7－x )2＋32.∠x ＝297 .∠DE ＝297.(2)∠当点D 在线段BC 上时，连接BE . ∠∠BAC ＝∠EAD ＝90°， ∠∠EAB ＝∠DAC . ∠AE ＝AD ，AB ＝AC ， ∠∠EAB ∠∠DAC (SAS).∠∠ABE ＝∠C ＝∠ABC ＝45°，EB ＝CD ＝6. ∠∠EBD ＝90°.∠DE 2＝BE 2＋BD 2＝62＋32＝45. ∠DE ＝35 .∠当点D 在CB 的延长线上时，如图3中，连接BE .图3同法可证∠DBE 是直角三角形，EB ＝CD ＝12，DB ＝3， ∠DE 2＝EB 2＋BD 2＝144＋9＝153. ∠DE ＝317 .综上所述，DE 的值为35 或317 .类型4 应用勾股定理证明线段的平方关系式14．在∠ABC 中，AB ＝AC ＝32 ，点D ，E 都是直线BC 上的点(点D 在点E 的左侧)，∠BAC ＝2∠DAE ＝90°. (1)如图，当点D ，E 均在线段BC 上时，点D 关于直线AE 的对称点为F .求证：∠ABD ∠∠ACF . (2)在(1)的条件下，求证：BD 2＋CE 2＝DE 2.(3)在(1)(2)的条件下，若线段BD ＝4时，求CE 的长度．解：(1)证明：∠∠BAC ＝2∠DAE ＝90°， ∠∠DAE ＝45°.∠点D 关于直线AE 的对称点为F ， ∠AE 垂直平分DF .∠AD ＝AF .∠∠DAE ＝∠F AE ＝45°.∠∠DAF ＝∠BAC ＝90°.∠∠BAD ＝∠CAF ，在∠ABD 和∠ACF 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AC ，∠BAD ＝∠CAF ，AD ＝AF ，∠∠ABD ∠∠ACF (SAS).(2)证明：连接EF .∠∠ABD ∠∠ACF ，∠∠ABC ＝∠ACB ＝∠ACF ＝45°，BD ＝CF . ∠∠ECF ＝90°.又易证∠AED ∠∠AEF ，∠DE ＝EF .在Rt∠EFC 中，EF 2＝FC 2＋EC 2， ∠DE 2＝BD 2＋EC 2.(3)∠AB ＝AC ＝32 ，∠BAC ＝90°， ∠BC ＝2 AB ＝6.当点D 在BC 上时(如图1)，∠BD ＝4，∠CD ＝2.∠DE ＝2＋CE .∠DE 2＝BD 2＋EC 2，∠(2＋CE )2＝16＋CE 2.∠CE ＝3.当点D 在CB 的延长线上时(如图2)， ∠BD ＝4，∠CD ＝10.∠DE ＝10－CE .∠DE 2＝BD 2＋EC 2，∠(10－CE )2＝16＋CE 2.∠CE ＝215. 综上所述CE ＝3或215.。

专题01 勾股定理的应用(解析版)

2022-2023学年北师大版数学八年级上册压轴题专题精选汇编专题01 勾股定理的应用考试时间：120分钟试卷满分：100分一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）1．（2分）（2021八上·凤县期末）如图，以 Rt ABC 的三边为直角边分别向外作等腰直角三角形.若AB ，则图中阴影部分的面积为（）A ．3B ．92C ．D ．【答案】A 【完整解答】解：∵ Rt△ABC∴AC 2+BC 2=AB 2=3∴S 阴影= 12 AC 2+ 12 BC 2+ 12 AB 2= 12 （AC 2+BC 2）+ 12 AB 2= 12 AB 2+ 12AB 2=AB 2=3.故答案为：A.【思路引导】利用勾股定理求出AC 2+BC 2=AB 2=3，再利用三角形的面积公式求出阴影部分的面积.2．（2分）（2021八上·嵩县期末）有一个边长为1的正方形，以它的一条边为斜边，向外作一个直角三角形，再分别以直角三角形的两条直角边为边，向外各作一个正方形，称为第一次“生长”（如图1）；再分别以这两个正方形的边为斜边，向外各自作一个直角三角形，然后分别以这两个直角三角形的直角边为边，向外各作一个正方形，称为第二次“生长”（如图2）……如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2021次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（）A．1B．2020C．2021D．2022【答案】D【完整解答】解：如图，由题意得：SA=1，由勾股定理得：SB ＋SC=1，则 “生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2，同理可得：“生长”了2次后形成的图形中所有的正方形面积和为3，“生长”了3次后形成的图形中所有正方形的面积和为4，……“生长”了2021次后形成的图形中所有的正方形的面积和是2022，故答案为：D.【思路引导】利用勾股定理可证得SB ＋SC=1，可得到“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2；“生长”了2次后形成的图形中所有的正方形面积和为3；“生长”了3次后形成的图形中所有正方形的面积和为4，……，由此规律可得到“生长”了2021次后形成的图形中所有的正方形的面积和. 3．（2分）（2021八上·巴中期末）如图，某超市为了吸引顾客，在超市门口离地高4.5m的墙上，装有一个由传感器控制的门铃A，如①图所示，人只要移至该门铃5m及5m以内时，门铃就会自动发出语音“欢迎光临”.如②图所示，一个身高1.5m的学生走到D处，门铃恰好自动响起，则BD的长为（）A ．3米B ．4米C ．5米D ．7米【答案】B 【完整解答】解：由题意可知. 1.5BE CD m == ， 4.5 1.53AE AB BE m =-=-= ， 5AC m =由勾股定理得 4BD CE m === ，故离门4米远的地方，灯刚好打开.故答案为：B.【思路引导】由题意可知：BE=CD=1.5m ，AE=AB-BE=3m ，AC=5m ，由勾股定理求出BD 、CE ，据此解答.4．（2分）（2021八上·禅城期末）如图有一个水池，水面BE 的宽为16尺，在水池的中央有一根芦苇，它高出水面2尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，则这个芦苇的高度是（）A ．26尺B ．24尺C ．17尺D ．15尺【答案】C 【完整解答】解：设水池的深度为x 尺，由题意得：2228(2)x x +=+，解得：15x =，所以217x +=．即：这个芦苇的高度是17尺．故答案为：C ．【思路引导】根据题意，设水池的深度为x 尺，列出方程解答即可。

2021-2022学年北师大版八年级数学上册勾股定理的应用习题含答案

北师大版八年级数学上册1.3 勾股定理的应用一、选择题（共8小题，4*8=32）1．如图，若圆柱的底面周长是30 cm，高是40 cm，从圆柱底部A处沿侧面缠绕一圈丝线到顶部B 处做装饰，则这条丝线的最小长度是( )A．80 cm B．70 cm C．60 cm D．50 cm2．如图，长方体的长为9，宽为4，高为12，点B与点C的距离为1，一只蚂蚁如果要沿长方体的侧面从点A爬行到点B，需要爬行的最短距离是()A．12B．13 C．15 D．173．一个圆形油桶的高为120 cm，底面直径为50 cm，则桶内所能容下的最长木棒的长为( ) A．13 cm B．100 cm C．120 cm D．130 cm4．如图是一个窑洞洞门的示意图，其上方为半圆形，若长方形的对角线AC＝2.5 m，AD＝1.5 m，则洞口的面积约为(π取3)( )A．3 m2B．3.5 m2C．4 m2D．4.5 m25．我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题目：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”这道题讲的是：有一块三角形沙田，三条边长分别为5里、12里、13里，问这块沙田面积有多大？题中的“里”是我国市制长度单位，1里＝500米，则该沙田的面积为()A．7.5平方千米B．15平方千米C．75平方千米D．750平方千米6. 国庆假期中，小华与同学去玩探宝游戏，按照探宝图(如图所示)，他们从门口A处出发先往东走8 km，又往北走2 km，遇到障碍后又往西走3 km，再向北走到6 km处往东拐，仅走了1 km，就找到了宝藏，则门口A到藏宝点B的直线距离是( )A ．20 kmB ．14 kmC ．11 kmD ．10 km7．如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆8 m 处，发现此时绳子末端距离地面2 m ，则旗杆的高度为(滑轮上方的部分忽略不计)( )A ．12 mB ．13 mC ．16 mD ．17 m8．如图，是一长、宽都是3，高BC ＝9的长方体纸箱，在BC 上有一点P ，PC ＝23BC ，一只蚂蚁从点A 出发沿纸箱表面爬行到点P 的最短距离的平方是( )A ．72B ．27C ．10D ．12 二．填空题（共6小题，4*6=24）9．如图，一只蚂蚁从长、宽都是6 cm ，高是16 cm 的长方体纸盒上的A 点沿纸盒表面爬到B 点，那么它所爬的最短路程是_______cm.10. 如图，有两棵树，一棵高10 m ，另一棵高5 m ，两棵树相距12 m ．一只小鸟要从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则它至少要飞行_________m.11．如图，将一根长为24 cm 的筷子，置于底面直径为5 cm ，高为12 cm 的圆柱形水杯中，设筷子露出杯子外面的长为 h cm ，则h 的取值范围是____________________.12．如图，有一长、宽、高分别为12 cm ，4 cm ，3 cm 的长方体木箱，在它里面放一根细木条(木条的粗细忽略不计)，要求木条不能露出木箱，请你算一算，能放入的细木条的最大长度是_________.13．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝6 cm ，CA ＝8 cm ，动点P 从C 点出发，以每秒2 cm 的速度沿CA ，AB 运动到点B ，则点P 从点C 出发____________秒时，可使S △BCP ＝12S △ABC .14．如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中AB ＝18 cm ，BC ＝12 cm ，BF ＝10 cm ，点M 在棱AB 上，且AM ＝13 AB ，点N 是FG 的中点，一只蚂蚁沿着长方体盒子的表面从点M 爬行到点N 的最短路程为_________cm.三．解答题（共5小题， 44分）15．(6分) 如图，从电线杆离地8 m 高的A 处向地面B 处拉一条长10 m 的缆绳，如果从电线杆离地6 m 高的C 处同样拉一条长10 m 的缆绳，这条缆绳在地面的固定点D 与B 点的距离有多远？16．(8分) 如图，笔直的公路上A ，B 两点相距25 km ，C ，D 为两村庄，DA ⊥AB 于点A ，CB ⊥AB 于点B ，已知DA ＝15 km ，CB ＝10 km ，现在要在公路的AB 段上建一个土特产品收购站E ，使得C ，D 两村到收购站E 的距离相等，则收购站E 应建在离A 点多远处？17．(8分) 如图，∠AOB ＝90°，OA ＝9 cm ，OB ＝3 cm ，一机器人在点B 处看见一个小球从点A 出发沿着AO方向匀速滚向点O，机器人立即从点B出发，沿BC方向匀速前进拦截小球，恰好在点C 处截住了小球．如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，那么机器人行走的路径BC的长是多少？18．(10分) 如图，某游泳池长48米，小方和小杨进行游泳比赛，从同一处(A点)出发，小方平均速度为3米/秒，小杨为3.1米/秒．但小杨一心想快，不看方向沿斜线(AC方向)游，而小方直游(AB方向)，两人到达终点的位置相距14米．按各人的平均速度计算，谁先到达终点，为什么？19．(12分) 有一只蚂蚁要从一个圆柱形玻璃杯的点A处沿侧面爬到点B处(点A，B均在玻璃杯外部)，如图，已知杯子高8 cm，点B距杯口3 cm，杯子底面半径为4 cm.蚂蚁从A点爬到B点的最短距离为多少？(π取3)参考答案1-4DBDD 5-8ADDA 9. 20 10. 1311. 11 cm≤h≤12 cm 12. 13 cm 13. 2或6.5 14. 2015. 解：在Rt △ABE 中，由勾股定理，得BE ＝6，在Rt △CDE 中，由勾股定理得DE ＝8，故DB ＝2 m. 16. 解：由题意知DE ＝CE ，因为DA ⊥AB ，CB ⊥AB ，所以AE 2＋AD 2＝DE 2＝CE 2＝BE 2＋BC 2.设AE ＝x km ，则BE ＝(25－x)km ，所以x 2＋152＝(25－x)2＋102，解得x ＝10，所以AE ＝10 km ，所以收购站E 应建在离A 点10 km 处17. 解：因为小球滚动的速度、时间与机器人行走的速度、时间均相等，所以BC ＝CA.设AC ＝x cm ，则OC ＝(9－x)cm.由勾股定理，得OB 2＋OC 2＝BC 2，所以32＋(9－x)2＝x 2，解得x ＝5，所以机器人行走的路径BC 的长是5 cm18. 解：如图，AB 表示小方的路线，AC 表示小杨的路线，由题意可知，AB ＝48米，BC ＝14米，在直角三角形ABC 中，AC 2＝AB 2＋BC 2＝2500，∴AC ＝50米，小方用时：483 ＝16(秒)，小杨用时：503.1 ＝16431 (秒)，因为16＜16431，所以小方用时少，即小方先到达终点. 19. 解：将圆柱的侧面从点A 处竖直向上剪开，此圆柱的侧面展开图为长方形ACDE ，如图，其中AC 的长为圆柱的底面周长，连接AB ，过点B 作AE 的垂线交AE 于点E′，交CD 于点D′. 所以AC ＝2πr≈2×3×4＝24(cm)．则E′B ＝12 E′D′＝12 AC≈12 ×24＝12(cm)．又因为EA ＝8 cm ，EE′＝3 cm ，所以AE′＝EA －EE′＝8－3＝5(cm)．在Rt △ABE′中，AB 2＝AE′2＋E′B 2≈52＋122＝132，所以AB≈13 cm. 因为两点之间，线段最短，所以蚂蚁从A 点爬到B 点的最短距离约为13 cm.。

勾股定理的简单应用(基础卷)解析版 -2021-2022学年八年级数学上册(苏科版)教材同步课时精练

3.3勾股定理的简单应用基础卷一、单选题1．一架5m的梯子，斜靠在一竖直的墙上，这时梯足距墙角3m，若梯子的顶端下滑1m，则梯足将滑动（）A．0m B．1m C．2m D．3m【答案】B【解析】在Rt△ACB中,△C=90°,AB=5 m,BC=3 m.由勾股定理,得AB2=AC2+BC2.△AC2=AB2-BC2=52-32=42.△AC=4.在Rt△A'CB'中,△C=90°,A'C=AC-AA'=4-1=3,A'B'=5.由勾股定理,得A'B'2=A'C2+B'C2.△B'C2=A'B'2-A'C2=52-32=42.△B'C=4.△BB'=B'C-BC=4-3=1(m).故选B.2．如图，有一只小鸟从小树顶飞到大树顶上，它飞行的最短路程是（）A．13米B．12米C．5米D米【答案】A【解析】如图所示，过D点作DE△AB，垂足为E,△AB=13，CD=8，又△BE=CD ，DE=BC ，△AE=AB−BE=AB−CD=13−8=5,△在Rt△ADE 中，DE=BC=12,△22222512169,AD AE DE =+=+=△AD=13（负值舍去）,故小鸟飞行的最短路程为13m,故选A.3．“折竹抵地”问题源自《九章算术》，即今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？意思是一根竹子，原高1丈（1丈=10尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部4尺远，则折断处离地面的高度为（）A ．5.8尺B ．4.2尺C ．3尺D ．7尺【答案】B【解析】设竹子折断处离地面的高度为x 尺，则斜边长为()10x -尺．根据勾股定理，得()222410x x +=-，解得 4.2x =，△折断处离地面的高度为4.2尺．故选B ．4．将一根长为17cm 的筷子，置于内半径为3cm 、高为8cm 的圆柱形水杯中．设筷子露在杯子外面的长度为cm x ，则x 的取值范围是（）A ．68x ≤≤B ．79x ≤≤C ．810x ≤≤D ．911x ≤≤ 【答案】B【解析】如图，当筷子的底端在D 点时，筷子露在杯子外面的长度最长，此时1789cm x =-=（）；当筷子的底端在A 点时，筷子露在杯子外面的长度最短在Rt △ABD 中，6cm AD =，8cm BD =，所以2222226810AB AD BD =+=+=，则10cm AB =，此时17107cm x =-=（），所以x 的取值范围是79x ≤≤．故选B ．5．小亮想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆上的绳子从顶端垂到地面还多2米，当他把绳子的下端拉开8米后，下端刚好接触地面，那么学校旗杆的高度为( )A．8米B．10米C．15米D．17米【答案】C【解析】解：设旗杆高为xm，由勾股定理得：x2+82=（x+2）2解得x=15．故旗杆的高为15m．故选：C6．一艘轮船和一艘渔船同时沿各自的航向从港口O出发，如图所示，轮船从港口O沿北偏西20°的方向行60海里到达点M处，同一时刻渔船已航行到与港口O相距80海里的点N处，若M、N两点相距100海里，则△NOF的度数为（）A．50°B．60°C．70°D．80°【答案】C【解析】解：△OM=60海里，ON=80海里，MN=100海里，△OM2+ON2=MN2，△△MON=90°，△△EOM=20°，△△NOF=180°﹣20°﹣90°=70°．故选C．7．如图，测得楼梯的长为5米，高为3米，计划在楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少是（）A．4米B．5米C．7米D．10米【答案】C【解析】解：楼梯长为5米，高为3米，由勾股定理可知，其水平宽为4米．因为地毯铺满楼梯应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，所以地毯的长度至少是3+4=7（米）．故选：C．8．如图，铁路MN和公路PQ在点O处交汇，△QON=30°．公路PQ上A处距O点240米．如果火车行驶时，周围200米以内会受到噪音的影响．那么火车在铁路MN上沿ON方向以72千米/时的速度行驶时，A处受噪音影响的时间为（）A．12秒B．16秒C．20秒D．24秒【答案】B【解析】解：如图：过点A作AC△ON，AB=AD=200米，△△QON=30°，OA=240米，△AC=120米，当火车到B点时对A处产生噪音影响，此时AB=200米，△AB=200米，AC=120米，△由勾股定理得：BC=160米，CD=160米，即BD=320米，△72千米/小时=20米/秒，△影响时间应是：320÷20=16秒．故选B．二、填空题9．如图，在东西走向的铁路上有A、B两站（视为直线上的两点）相距36千米，在A、B的正北分别有C、D两个蔬菜基地，其中C到A站的距离为24千米，D到B站的距离为12千米，现要在铁路AB上建一个蔬菜加工厂E，使蔬菜基地C、D到E的距离相等，则E站应建在距A站_____千米的地方．【答案】12【解析】设AE=x千米,则BE=（36－x）千米,在Rt△AEC中,CE2=AE2+AC2=x2+242,在Rt△BED中,DE2=BE2+BD2=2（－）+122,36x△CE=ED,△x2+242=2（－）+122,解得x=12,所以E站应建在距A站12千米的地方,能使蔬菜基地C,D到E36x的距离相等,故答案为12．10．如图所示，一只小鸟在一棵高20米的大树树梢上觅食，它的伙伴在离该树12米，高4米的一棵小树树梢上发出叫声，它立刻以4米/秒的速度飞向它的伙伴，那么这只水上鸟________秒后能与它的伙伴在一起.【答案】5【解析】如图所示，根据题意，得AC=20−4=16，BC=12.根据勾股定理，得AB=20.则小鸟所用的时间是20÷4=5(s).11．如图，小巷左右两侧是竖直的墙．一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7m，顶端距离地面2.4m．若梯子底端位置保持不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2m，则小巷的宽度为_____m．【答案】2.2【解析】解：如图,在Rt△ACB中,△△ACB=90°,BC=0.7米,AC=2.4米,△AB2=0.72+2.42=6.25,在Rt△A'BD中,△A'DB=90°, A'D=2米,BD2+A'D2=A'B2,△BD2+22=6.25,△BD2=2.25,△BD>0,△BD=1.5米,△CD=BC+BD=0.7+1.5=2.2米.12．如图，一棵树在一次强台风中于离地面4米处折断倒下，倒下部分与地面成30°夹角，这棵树在折断前的高度为__________米.【答案】12．【解析】如图，△△BAC=30°,△BCA=90°，△AB=2CB，而BC=4米，△AB=8米，△这棵大树在折断前的高度为AB+BC=12米.故答案为12.13．有—个长为12cm，宽为4cm，高为3cm的长方形铁盒，在其内部要放一根笔直的铅笔，则铅笔长度不应超过_______cm．【答案】13【解析】由题意知：AD=12cm，CD=4cm，BC=3cm△222=+，AB AC BC=+，222AC AD CD△22221243169=++=，=++222AB AD CD BC△AB=13（cm），(负值舍去)，答：铅笔长度不应超过13cm.故答案为：13.14．如图所示，在一个高BC为6米，长AC为10米，宽为2.5米的楼梯表面铺地毯.若每平方米地毯50元铺满整个楼梯至少需_________元.【答案】1750∆中根据勾股定理【解析】在Rt ABC22222=-=-=,AB AC BC10664△AB=8△AB+BC=14(米)，△14×2.5×50=1750(元).答：铺设地毯至少需要花费1750元.三、解答题15．如图，笔直的公路上A、B两点相距25km，C、D为两村庄，DA△AB于点A，CB△AB于点B，已知DA=15km，CB=10km，现在要在公路的AB段上建一个土特产品收购站E，使得C、D两村到收购站E 的距离相等，则收购站E应建在离A点多远处？【答案】收购站E应建在离A点10km处．【解析】解：△使得C，D两村到E站的距离相等．△DE=CE．△DA△AB于A，CB△AB于B，△△A=△B=90°，△AE2+AD2=DE2，BE2+BC2=EC2，△AE2+AD2=BE2+BC2，设AE=x，则BE=AB﹣AE=（25﹣x）．△DA=15km，CB=10km，△x2+152=（25﹣x）2+102，解得：x=10，△AE=10km，△收购站E应建在离A点10km处．16．（古代数学问题）印度数学家什迦逻（1141年-1225年）曾提出过“荷花问题”，该问题是：“平平湖水清可鉴，面上半尺生红莲；出泥不染亭亭立，忽被强风吹一边；“渔人观看忙向前，花离原位二尺远；能算诸君请解题，湖水如何知深浅？”请用学过的数学知识回答这个问题.【答案】水深3.75尺．【解析】解：设水深x尺，则荷花茎的长度为x+0.5，根据勾股定理得：（x+0.5）2=x2+4解得：x=3.75．答：湖水深3.75尺．17．在甲村至乙村的公路上有一块山地正在开发，现有一C 处需要爆破．已知点C 与公路上的停靠站A 的距离为300米，与公路上的另一停靠站B 的距离为400米，且CA CB ⊥，如图所示为了安全起见，爆破点C 周围半径250米范围内不得进入，问在进行爆破时，公路AB 段是否因为有危险而需要暂时封锁？请说明理由．【答案】公路AB 段需要暂时封锁．理由见解析.【解析】公路AB 段需要暂时封锁．理由如下：如图，过点C 作CD AB ⊥于点D ．因为400BC =米，300AC =米，90ACB ∠=︒，所以由勾股定理知222AB BC AC =+，即500AB =米．因为1122ABC S AB CD BC AC =⋅=⋅，所以400300240500BC AC CD AB ⋅⨯===（米）．由于240米＜250米，故有危险，因此公路AB 段需要暂时封锁．18．如图，居民楼A 与公路a 相距60米，在距离汽车100米处就会受到汽车噪音影响，在公路上以20米/秒的速度行驶的汽车，会给A 楼的居民带来多长时间的噪音影响？【答案】8秒.【解析】如图所示，假设汽车行至点P 时，居民恰好受到噪音影响，行至点P '时，居民恰好脱离噪音影响.根据题意，得100AP AP '==米.又因为AB PP '⊥.所以ABP ∆和ABP '∆均为直角三角形.根据勾股定理，得22222100606400BP AP AB =-=-=.所以80BP =米.同理，得80BP '=米.因此汽车从点P 行至点P '所需时间为8080820+=（秒）. 即会给A 楼居民带来8秒的噪音影响.19．有一个小朋友拿着一根竹竿通过一个长方形的门，如果把竹竿竖放就比门高出1尺，斜入就恰好等于门的对角线长，已知门宽4尺，请求竹竿的长度．【答案】竹竿的长度为8.5尺．【解析】解：设竹竿的长度为x 尺，由题意知(x -1)2+42=x 2整理得2x -17=0解得x=8.5答：竹竿的长度为8.5尺．20．一艘轮船以20海里/时的速度由西向东航行，途中接到台风警报，台风中心正以40海里/时的速度由南向北移动距台风中心100 海里的圆形区域（包括边界）都属于台风区，测得台风中心此时位于轮船正南方向200海里处，如果这艘轮船继续航行，3小时后，会不会遇到台风?请说明理由.【答案】会遇到台风.【解析】会遇到台风.理由如下：如图所示，线段AD 表示台风中心经过的路径，线段BC 表示轮船航行的路径.由题意，得20034080BD =-⨯=（海里），20360BC =⨯=（海里），在Rt BCD ∆中，根据勾股定理，得22222806010000DC BD BC =+=+=，即100DC =海里.所以轮船会遇到台风.21．如图，一根旗杆原有8米，一次“台风”过后，旗杆被台风吹断，倒下的旗杆的顶端落在离旗杆底部4米处，那么这根旗杆被台风吹断处离地面多高？【答案】3米【解析】设旗杆未折断部分长为x 米，则折断部分的长为（8-x ）m ，根据勾股定理得：x 2+42=（8-x ）2，可得：x=3m ，即距离地面3米处断裂．22．在一条东西走向河的一侧有一村庄C ，河边原有两个取水点A ，B ，其中AB ＝AC ，由于种种原因，由C 到A 的路现在已经不通了，某村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H （A ，H ，B 在一条直线上），并新修一条路CH ，测得CB ＝3千米，CH ＝2.4千米，HB ＝1.8千米．（1）问CH 是不是从村庄C 到河边的最近路，请通过计算加以说明；（2）求原来的路线AC 的长．【答案】（1）是，理由见解析；（2）2.5米．【解析】（1）△2221.8 2.43+=，即222+=BH CH BC ， △Rt△CHB 是直角三角形，即CH△BH ，△CH 是从村庄C 到河边的最近路（点到直线的距离中，垂线段最短）；（2）设AC ＝AB ＝x ，则AH ＝x －1.8，△在Rt△ACH ，△222CH AH AC +=，即 2222.4 1.8)x x -=+(，解得x ＝2.5， △原来的路线AC 的长为2.5米．。

勾股定理的应用培优提升解答题专题训练 2021-2022学年北师大版八年级数学上册

2021-2022学年北师大版八年级数学上册《1.3勾股定理的应用》培优提升解答题专题训练（附答案）1．如图，木工师傅将一根长2.5米的梯子（AB），斜靠在与地面（OM）垂直的墙（ON）上，这时梯足B到墙底端O的距离是0.7米，如果梯子的顶端A沿墙下滑0.4米到点A′时，梯足将外移多少米？2．如图，有一直立标杆，它的上部被风从B处吹折，杆顶C着地，离杆脚2m，修好后又被风吹折，因新断处D比前一次低0.5m，故杆顶E着地比前次远1m，求原标杆的高度．3．如图，为了测算出学校旗杆的高度，小明将升旗的绳子拉到旗杆底端，并在与旗杆等长的地方打了一个记号，然后将绳子底端拉到离旗杆底端5米的地面处，发现此时绳子底端距离记号处1米，则旗杆的高度是多少米？4．有一架秋千，当它静止时，踏板离地的垂直高度DE＝0.5m，将它往前推送2m（水平距离BC＝2m）时，秋千的踏板离地的垂直高度BF＝1.5m，秋千的绳索始终拉得很直，求绳索AD的长度．5．如图，台风过后，某市体育中心附近一棵大树在高于地面3米处折断，大树顶部落在距离大树底部4米处的地面上．求这棵树折断之前的高度．6．我市某中学有一块四边形的空地ABCD（如图所示），为了绿化环境，学校计划在空地上种植草皮，经测量∠A＝90°，AB＝3m，DA＝4m，CD＝13m，BC＝12m．若每种植1平方米草皮需要200元，问总共需投入多少元？7．一株荷叶高出水面1米，一阵风吹来，荷叶被吹得贴着水面，这时它偏离原来的位置有2米远，如图所示，求荷叶的高度和水面的深度．8．在某段公路的正上方有一摄像头A距离地面7米，一天李叔叔驾驶的汽车正沿公路笔直匀速驶来，当行驶到B点时第一次摄像，此时AB两点相距25米，1.5秒后第二次摄像汽车恰好行驶到A点正下方C点，已知该路段限速60km/h，请判断李叔叔是否超速，说明理由．9．一艘轮船从A港向南偏西52°方向航行170km到达B岛，再从B岛沿BM方向航行210km 到达C岛，已知A港到航线BM的最短距离是80km，若轮船速度为25km/h，求轮船从C 岛沿CA返回A港所需的时间．10．如图，铁路上A、D两点相距25km，B，C为两村庄，AB⊥AD于A，CD⊥AD于D，已知AB＝15km，CD＝10km，现在要在铁路AD上建一个土特产品收购站P，使得B、C 两村到P站的距离相等，则P站应建在距点A多少千米处？11．某中学校园有一块四边形草坪ABCD（加图所示），测得∠B＝90°，AB＝24m，BC＝7m，CD＝15m，AD＝20m，求这块四边形草坪的面积．12．八（3）班小明和小亮同学学习了“勾股定理”之后，为了测得下图风筝CE的高度，他们进行了如下操作：（1）测得BD的长度为25米；（2）根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为65米；（3）牵线放风筝的小明身高1.68米．求风筝的高度CE．13．在甲村至乙村的公路旁有一块山地需要开发，现有一C处需要爆破，已知点C与公路上的停靠点A的距离为800米，与公路上另一停靠点B的距离为600米，且CA⊥CB，如图，为了安全起见，爆破点C周围半径450米范围内不得进入，问在进行爆破时，公路AB段是否有危险需要暂时封锁？请通过计算进行说明．14．三水九道谷漂流项目深受欢迎，在景区游船放置区，工作人员把偏离的游船从点A拉回点B的位置（如图）．在离水面高度为8m的岸上点C，工作人员用绳子拉船移动，开始时绳子AC的长为17m，经过10秒后游船移动到点D的位置，此时BD＝6m，问工作人员拉绳子的速度是多少？15．如图，马路一边有一根5.4m长的电线杆被一辆货车从离地面1.5m处撞断裂，倒下的电线杆顶部C1是否会落在离它底部3.8m远的快车道上？说明理由．16．今年的气候变化很大，极端天气频繁出现．某沿海城市气象台监测到台风中心位于正东方向的海上．如图所示，城市所在地为A．台风中心O正以每小时40km的速度向北偏西60°的OB方向移动，经监测得知台风中心200km的范围内将会受台风影响．OA＝320km．该城市是否受到这次台风的影响？若不受影响，请说明理由．若受到这次台风影响，请求出遭受这次台风影响的时间．17．如图，现对校园中的一块空地进行美化施工，已知AB＝3米，BC＝4米，∠ABC＝90°，AD＝12米，CD＝13米，学校欲在此空地上铺草坪，已知草坪每平方米80元，试问用该草坪铺满这块空地共需花费多少元？18．如图所示，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为55cm，10cm，6cm，点A 和点B是这个台阶的两个相对的端点，A点处有一只蚂蚁，那么这只蚂蚁从点A爬到点B的最短路程是多少？19．如图，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中AB ＝AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在同一条直线上），并新修一条路CH，测得CB＝1.5千米，CH＝1.2千米，HB＝0.9千米．（1）问CH是否为从村庄C到河边的最近路？请通过计算加以说明；（2）求新路CH比原路CA少多少千米？20．学校校内有一块如图所示的三角形空地ABC，其中AB＝13米，BC＝14米，AC＝15米，计划将这块空地建成一个花园，以美化校园环境，预计花园每平方米造价为60元，学校修建这个花园需要投资多少元？21．如图是一块四边形木板，其中AB＝16cm，BC＝24cm，CD＝9cm，AD＝25cm，∠B＝∠C＝90°．李师傅找到BC边的中点P，连接AP，DP，发现△APD是直角三角形，请你通过计算说明理由．22．去年某省将地处A，B两地的两所大学合并成一个综合性大学，为了方便A，B两地师生的交流，学校准备在相距1.4km的A，B两地之间修筑一条笔直公路（即图中线段AB），经测量，在距A地1.3km，距B地1.5km的C处有一个半径为1.1km的公园，请问计划修筑的这条公路会不会穿过公园？为什么？参考答案1．解：在直角△ABO中，AB为斜边，已知AB＝2.5米，BO＝0.7米，则根据勾股定理求得AO＝2.4（米），∵A点下移0.4米，∴A′O＝2米，在Rt△A′OB′中，已知A′B′＝2.5米，A′O＝2米，则根据勾股定理B′O＝1.5（米），∴BB′＝OB′﹣BO＝1.5﹣0.7＝0.8（米），所以梯子向外平移0.8米．2．解：依题意得AC＝2，AE＝3，设原标杆的高为x，∵∠A＝90°，∴由题中条件可得AB2+AC2＝BC2，即AB2+22＝（x﹣AB）2，整理，得x2﹣2ABx＝4，同理，得（AB﹣0.5）2+32＝（x﹣AB+0.5）2，整理，得x2﹣2ABx+x＝9，解得x＝5．∴原来标杆的高度为5米．3．解：如图，设旗杆的高度为xm，则AC＝xm，AB＝（x+1）m，BC＝5m，在Rt△ABC中，52+x2＝（x+1）2，解得x＝12，答：旗杆的高度是12m．4．解：在Rt△ACB中，AC2+BC2＝AB2，设秋千的绳索长为xm，则AC＝（x﹣1）m，故x2＝22+（x﹣1）2，解得：x＝2.5，答：绳索AD的长度是2.5m．5．解：如图，由题意得：∠ACB＝90°，AC＝3米，BC＝4米，由勾股定理得：AB＝5（米），∴AC+AB＝3+5＝8（米），即这棵树折断之前的高度为8米．6．解：连接BD，在Rt△ABD中，BD2＝AB2+AD2＝32+42＝52，在△CBD中，CD2＝132，BC2＝122，而122+52＝132，即BC2+BD2＝CD2，所以∠DBC＝90°，则S四边形ABCD＝S△ABD+S△DBC＝3×4÷2+5×12÷2＝36m2；所需费用为36×200＝7200（元），答：总共需投入7200元．7．解：设OA＝OB＝x米，则OC＝（x﹣1）米，BC＝2米，在Rt△OBC中，由勾股定理得：OC2+BC2＝OB2，∴（x﹣1）2+22＝x2，解得x＝，∴OA＝（米），OC＝x﹣1＝（米），答：荷叶的高度为米，水面的深度为米．8．解：李叔叔不超速，理由如下：如图，Rt△ABC中，AC＝7，AB＝25，由勾股定理得：BC＝24，v＝24÷1.5＝16（m/s）＝57.6（km/h），∵57.6＜60，∴李叔叔不超速．9．解：由题意，得：AD＝80km，Rt△ABD中，AD2+BD2＝AB2，得802+BD2＝1702．∴BD＝150．∴CD＝BC﹣BD＝210﹣150＝60（km）．∴AC＝100（km）．100÷25＝4（h）．答：轮船从C岛沿CA返回A港所需的时间为4h．10．解：设AP＝xkm，则DP＝（25﹣x）km，∵B、C两村到E站的距离相等，∴BP＝PC．在Rt△APB中，由勾股定理得BP2＝AB2+AP2，在Rt△DPC中，由勾股定理得PC2＝CD2+PD2，∴AB2+AP2＝CD2+PD2，又∵AB＝15km，CD＝10km，∴152+x2＝102+（25﹣x）2，∴x＝10，即P站应建在距点A10千米处．11．解：连接AC，如图：∵∠B＝90°，AB＝24m，BC＝7m，∴AC2＝AB2+BC2＝242+72＝625，∴AC＝25（m）．又∵CD＝15m，AD＝20m，152+202＝252，即AD2+DC2＝AC2，∴△ACD是直角三角形，∴S四边形ABCD＝S△ABC+S△ADC＝•AB•BC+•AD•DC＝×24×7+×20×15＝234（m2）．答：这块四边形草坪的面积是234m2．12．解：在Rt△CDB中，由勾股定理得，CD2＝BC2﹣BD2＝652﹣252＝3600，所以，CD＝±60（负值舍去），所以，CE＝CD+DE＝60+1.68＝61.68（米），答：风筝的高度CE为61.68米．13．解：公路AB不需要暂时封锁．理由如下：如图，过C作CD⊥AB于D．∵CA⊥CB，∴∠ACB＝90°，因为BC＝800米，AC＝600米，所以，根据勾股定理有AB＝1000（米）．因为S△ABC＝AB•CD＝BC•AC所以CD＝＝＝480（米）．由于400米＜480米，故没有危险，因此AB段公路不需要暂时封锁．14．解：由题意得：∠B＝90°，∵BC＝8m，BD＝6m，∴CD＝10m，∵AC＝17m，∴绳子移动了AC﹣DC＝17﹣10＝7（m），用时10秒，∴工作人员拉绳子的速度是7÷10＝0.7米/秒．15．解：不会落在离它的底部4m远的快车道上，理由如下：∵AB＝1.5m，∴BC＝BC1＝AC﹣AB＝3.9m，在Rt△ABC1中，AC1＝3.6m，∵3.6＜3.8，∴电线杆顶部不会落在离它的底部4m远的快车道上．16．解：过A作AC⊥OB于C，在Rt△AOC中，由题意得∠COA＝90°﹣60°＝30°，OA＝320，则AC＝AO＝×320＝160＜200，故该城市会受到台风影响；以A为圆心，200km为半径画弧，交OB于D，E，则AD＝AE＝200km，∵AC⊥OB，∴CD＝CE，在Rt△ACD中，CD＝120（km），∴CE＝120km，∴DE＝240km，∴遭受这次台风影响的时间为：240÷4＝6（小时）．17．解：连接AC，在Rt△ABC中，AB＝3米，BC＝4米，∵AC2＝AB2+BC2＝32+42＝25，∴AC＝5，∵AC2+AD2＝52+122＝169，CD2＝132＝169，∴AC2+AD2＝CD2，∴∠DAC＝90°，该区域面积＝S△ACD﹣S△ABC＝30﹣6＝24（平方米），铺满这块空地共需花费＝24×80＝1920（元）．答：用该草坪铺满这块空地共需花费1920元．18．解：如图所示，将这个台阶展开成一个平面图形，则蚂蚁爬行的最短路程就是线段AB 的长．在Rt△ABC中，BC＝55cm，AC＝10+6+10+6+10+6＝48（cm）．由勾股定理，得AB2＝AC2+BC2＝5329．所以AB＝73（cm）．因此，蚂蚁从点A爬到点B的最短路程是73cm．19．解：（1）是，理由是：在△CHB中，∵CH2+BH2＝（1.2）2+（0.9）2＝2.25，BC2＝2.25，∴CH2+BH2＝BC2，∴CH⊥AB，所以CH是从村庄C到河边的最近路；（2）设AC＝x千米，在Rt△ACH中，由已知得AC＝x，AH＝x﹣0.9，CH＝1.2，由勾股定理得：AC2＝AH2+CH2∴x2＝（x﹣0.9）2+（1.2）2，解这个方程，得x＝1.25，1.25﹣1.2＝0.05（千米）答：新路CH比原路CA少0.05千米．20．解：过点A作AD⊥BC于点D，设BD＝x，则CD＝14﹣x，在Rt△ABD与Rt△ACD中，∵AD2＝AB2﹣BD2，AD2＝AC2﹣CD2，∴AB2﹣BD2＝AC2﹣CD2，即132﹣x2＝152﹣（14﹣x）2，解得x＝5，∴AD2＝AB2﹣BD2＝132﹣52＝144，∴AD＝12（米），∴学校修建这个花园的费用＝＝5040（元）．答：学校修建这个花园需要投资5040元．21．解：∵点P为BC中点，∴BP＝CP＝BC＝12（cm），∵∠B＝90°，在Rt△ABP中，根据勾股定理可得：AB2+BP2＝AP2，162+122＝AP2，解得：AP＝20（cm），同理可得：DP＝15（cm），∵152+202＝252，∴AP2+DP2＝AD2，∴△APD是直角三角形，∠APD＝90°．22．解：过C作CE⊥AB，交AB于点E，设AE为x，则EB＝1.4﹣x，在Rt△ACE中，可得：AC2﹣AE2＝CE2，在Rt△CEB中，可得：BC2﹣BE2＝CE2，即1.32﹣x2＝1.52﹣（1.4﹣x）2，解得：x＝0.5，∴CE＝1.2（km），∵1.2＞1.1，∴修筑的这条公路不会穿过公园．。

专题211勾股定理的应用-2021-2022学年八年级数学上(解析版)【浙教版】

2021-2022学年八年级数学上册尖子生同步培优题典【浙教版】专题2.11勾股定理的应用（重难点培优）姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________注意事项：本试卷满分100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2021春•长沙期中）如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地AB＝2.5米，当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开．一个身高1.6米的学生CD正对门，缓慢走到离门1.2米的地方时（BC＝1.2米），感应门自动打开，则人头顶离感应器的距离AD等于（）A．1.2米B．1.5米C．2.0米D．2.5米【分析】过点D作DE⊥AB于点E，构造Rt△ADE，利用勾股定理求得AD的长度即可．【解析】如图，过点D作DE⊥AB于点E，∵AB＝2.5米，BE＝CD＝1.6米，ED＝BC＝1.2米，∴AE＝AB﹣BE＝2.5﹣1.6＝0.9（米）．在Rt△ADE中，由勾股定理得到：AD=√AE2+DE2=√0．92+1．22=1.5（米）故选：B．2．（2021春•东湖区期中）如图，有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，求水的深度是（）尺．A．8B．10C．13D．12【分析】找到题中的直角三角形，设水深为x尺，根据勾股定理列方程可解答．【解析】设水深x尺，则芦苇长（x+1）尺，由勾股定理得：52+x2＝（x+1）2，解得：x＝12，答：水的深度是12尺，故选：D．3．（2020秋•和平区期末）如图，有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池的中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，则这个水池的深度是（）尺．A．26B．24C．13D．12【分析】先设水池的深度为x尺，则这根芦苇的长度为（x+1）尺，根据勾股定理可得方程x2+52＝（x+1）2，再解即可．【解析】设水池的深度为x尺，由题意得：x2+52＝（x+1）2，解得：x＝12，答：水深12尺，故选：D．4．（2020秋•化州市期末）一根竹竿插到水池中离岸边1.5m远的水底，竹竿高出水面0.5m，若把竹竿的顶端拉向岸边，则竿顶刚好接触到岸边，并且和水面一样高，问水池的深度为（）A．2m B．2.5cm C．2.25m D．3m【分析】水池的深、竹竿的长、离岸的距离三者构成直角三角形，作出图形，根据勾股定理即可求解．【解析】在直角△ABC中，AC＝1.5cm．AB﹣BC＝0.5m．设水池BC＝xm，则AB＝（0.5+x）m．根据勾股定理得出：∵AC2+BC2＝AB2∴1.52+x2＝（x+0.5）2解得：x＝2．故选：A．5．（2020•巴中）《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”意思是：一根竹子，原来高一丈（一丈为十尺），虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离原竹子根部三尺远，问：原处还有多高的竹子？（）A．4尺B．4.55尺C．5尺D．5.55尺【分析】竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（10﹣x）尺．利用勾股定理解题即可．【解析】设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（10﹣x）尺，根据勾股定理得：x2+32＝（10﹣x）2解得：x＝4.55．答：原处还有4.55尺高的竹子．故选：B．6．（2020秋•历城区期中）古代数学的“折竹抵地”问题：“今有竹高二十五尺，末折抵地，去本五尺，问折者高几何？”意思是：现有竹子高25尺，折后竹尖抵地与竹子底部的距离为5尺，问折处高几尺？即：如图，AB+AC＝25尺，BC＝5尺，则AC等于（）尺．A．5B．10C．12D．13【分析】竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（25﹣x）尺，利用勾股定理解题即可．【解析】设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（25﹣x）尺，根据勾股定理得：x2+52＝（25﹣x）2．解得：x＝12，答：折断处离地面的高度为12尺．故选：C．7．（2020春•南岗区校级期中）将一根24cm的筷子，置于底面直径为15cm，高8cm的装满水的无盖圆柱形水杯中，设筷子浸没在杯子里面的长度为hcm，则h的取值范围是（）A．h≤15cm B．h≥8cm C．8cm≤h≤17cm D．7cm≤h≤16cm【分析】当筷子的底端在A点时，筷子浸没在杯子里面的长度最长；当筷子的底端在D点时，筷子浸没在杯子里面的长度最短．然后分别利用已知条件根据勾股定理即可求出h的取值范围．【解析】如图，当筷子的底端在D点时，筷子浸没在杯子里面的长度最短，∴h＝BD＝8（cm）；当筷子的底端在A点时，筷子浸没在杯子里面的长度最长，在Rt△ABD中，AD＝15cm，BD＝8cm，∴AB=√AD2+BD2=17（cm），所以h的取值范围是：8cm≤h≤17cm．故选：C．8．（2021春•海珠区校级月考）如图，一根垂直于地面的旗杆在离地面5m的B处撕裂折断，旗杆顶部落在离旗杆底部12m的A处，则旗杆折断部分AB的高度是（）A．5m B．12m C．13m D．18m【分析】在Rt△ABC中，利用勾股定理即可直接求出AB．【解析】旗杆折断后，落地点与旗杆底部的距离为12m，旗杆离地面5m折断，且旗杆与地面是垂直的，所以折断的旗杆与地面形成了一个直角三角形，在Rt△ABC中，BC＝5m，AC＝12m，根据勾股定理得，AB=√BC2+AC2=√52+122=13（m），即旗杆折断部分AB的高度是13m，故选：C．9．（2020春•钦州期末）如图，甲船以20海里/时的速度从港口O出发向西北方向航行，乙船以15海里/时的速度同时从港口O出发向东北方向航行，则2小时后，两船相距（）A．40海里B．45海里C．50海里D．55海里【分析】根据方位角可知两船所走的方向正好构成了直角．然后根据路程＝速度×时间，得两条船分别走了40，30．再根据勾股定理，即可求得两条船之间的距离．【解析】∵两船行驶的方向是西北方向和东北方向，∴∠BOC＝90°，两小时后，两艘船分别行驶了20×2＝40海里，15×2＝30海里，根据勾股定理得：√302+402=50（海里）．故选：C．10．（2020秋•历城区期末）如图，为了测算出学校旗杆的高度，小明将升旗的绳子拉到旗杆底端，并在与旗杆等长的地方打了一个结，然后将绳子底端拉到离旗杆底端5米的地面某处，发现此时绳子底端距离打结处约1米，则旗杆的高度是（）A．12B．13C．15D．24【分析】设旗杆的高度为xm，则AC＝xm，AB＝（x+1）m，BC＝5m，利用勾股定理得到52+x2＝（x+1）2，然后解方程求出x即可．【解析】如图，设旗杆的高度为xm，则AC＝xm，AB＝（x+1）m，BC＝5m，在Rt△ABC中，52+x2＝（x+1）2，解得x＝12，答：旗杆的高度是12m．故选：A．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上11．（2021春•越秀区校级期中）如图，公路MN和公路PQ在点P处交会，公路PQ上点A处有学校，点A 到公路MN的距离为80m．现有一卡车在公路MN上以5m/s的速度沿PN方向行驶，卡车行驶时周围100m 以内都会受到噪音的影响，请你算出该学校受影响的时间为24秒．【分析】设卡车开到C处刚好开始受到影响，行驶到D处时结束，在Rt△ACB中求出CB，继而得出CD，再由卡车的速度可得出所需时间．【解析】设卡车开到C处刚好开始受到影响，行驶到D处时结束了噪声的影响．则有CA＝DA＝100m，在Rt△ABC中，CB=√1002−802=60（m），∴CD＝2CB＝120（m），则该校受影响的时间为：120÷5＝24（s）．答：该学校受影响的时间为24秒，故答案为：24．12．（2020秋•成华区校级月考）将一根24cm的筷子，置于底面直径为5cm、高为12cm的圆柱体中，如图，设筷子露出在杯子外面长为hcm，则h的最小值11cm，h的最大值12cm．【分析】当筷子与杯底垂直时h最大，当筷子与杯底及杯高构成直角三角形时h最小，据此可以得到h 的取值范围．【解析】当筷子与杯底垂直时h最大，h最大＝24﹣12＝12（cm）．当筷子与杯底及杯高构成直角三角形时h最小，此时，在杯子内部分=√122+52=13（cm），故h＝24﹣13＝11（cm）．故h的取值范围是11≤h≤12．故答案为：11cm；12cm．13．（2021•宜兴市模拟）如图是高空秋千的示意图，小明从起始位置点A处绕着点O经过最低点B．最终荡到最高点C处，若∠AOC＝90°，点A与点B的高度差AD＝1米，水平距离BD＝4米，则点C与点B的高度差CE为 4.5米．【分析】作AF⊥BO于F，CG⊥BO于G，根据AAS可证△AOF≌△OCG，根据全等三角形的性质可得OG＝4米，在Rt△AFO中，根据勾股定理可求AO，可求OB，再根据线段的和差关系和等量关系可求点C与点B的高度差CE．【解析】作AF⊥BO于F，CG⊥BO于G，∵∠AOC＝∠AOF+∠COG＝90°，∠AOF+∠OAF＝90°，∴∠COG＝∠OAF，在△AOF与△OCG中，{∠AFO =∠OGC∠OAF =∠COG AO =OC，∴△AOF ≌△OCG （AAS ），∴OG ＝AF ＝BD ＝4米，设AO ＝x 米，在Rt △AFO 中，AF 2+OF 2＝AO 2，即42+（x ﹣1）2＝x 2，解得x ＝8.5．则CE ＝GB ＝OB ﹣OG ＝8.5﹣4＝4.5（米）．故答案为：4.5．14．（2021•杭州一模）如图，小明想要测量学校旗杆AB 的高度，他发现系在旗杆顶端的绳子垂到了地面，从而测得绳子比旗杆长a 米，小明将这根绳子拉直，绳子的末端落在地面的点C 处，点C 距离旗杆底部b 米（b ＞a ），则旗杆AB 的高度为 b 2−a 22a 米（用含a ，b 的代数式表示）．【分析】设旗杆的高为x 米，在Rt △ABC 中，由AC 2＝AB 2+BC 2，推出（x +a ）2＝b 2+x 2，可得x =b 2−a 22a ，由此即可解决问题．【解析】设旗杆的高为x 米．在Rt △ABC 中，∵AC 2＝AB 2+BC 2，∴（x +a ）2＝b 2+x 2，∴x =b 2−a 22a ，故答案为：b 2−a 22a 米．15．（2020秋•新都区期末）如图，有一直立旗杆，它的上部被风从点A 处吹折，旗杆顶点B 落地，离杆脚6米，修好后又被风吹折，因新断处点D 比上一次高1米，故杆顶E 着地点比上次近2米，则原旗杆的高度为 10 米．【分析】由题中条件，可设原标杆的高为x ，进而再依据勾股定理建立方程组，进而求解即可．【解析】依题意得BC ＝6，AD ＝1，CE ＝6﹣2＝4，AB ＝DE +1设原标杆的高为x 米，∵∠ACB ＝90°，∴由题中条件可得BC 2+AC 2＝AB 2，即AC 2+62＝（x ﹣AC ）2，整理，得x 2﹣2ACx ＝36①，同理，得（AC +1）2+42＝（x ﹣AC ﹣1）2，整理，得x 2﹣2ACx ﹣2x ＝16②，由①②解得x ＝10，∴原来标杆的高度为10米，故答案为：10．16．（2021•宿迁）《九章算术》中一道“引葭赴岸”问题：“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深，葭长各几何？”题意是：有一个池塘，其地面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇AC 生长在它的中央，高出水面部分BC 为1尺，如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部C 恰好碰到岸边的C '处（如图），水深和芦苇长各多少尺？则该问题的水深是 12 尺．【分析】我们可将其转化为数学几何图形，如图所示，根据题意，可知EC′的长为10尺，则C′B＝5尺，设芦苇长AC＝AC′＝x尺，表示出水深AB，根据勾股定理建立方程，求出的方程的解即可得到芦苇的长和水深．【解析】依题意画出图形，设芦苇长AC＝AC′＝x尺，则水深AB＝（x﹣1）尺，∵C′E＝10尺，∴C′B＝5尺，在Rt△AC′B中，52+（x﹣1）2＝x2，解得x＝13，即芦苇长13尺，水深为12尺，故答案为：12．17．（2020秋•仪征市期末）如图，某斜拉桥的主梁AD垂直于桥面MN于点D，主梁上两根拉索AB、AC 长分别为13米、20米，主梁AD的高度为12米，则固定点B、C之间的距离为21米．【分析】根据勾股定理即可得到结论．【解析】∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，∵AB、AC长分别为13米、20米，AD的高度为12米，∴BD=√AB2−AD2=√132−122=5（米），DC=√AC2−AD2=√202−122=16（米）∴BC＝BD+DC＝5+16＝21（米），故答案为：21．18．（2021•盂县一模）《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：今有开门去阃（读kǔn，门槛的意思）一尺，不合二寸，问门广几何？题目大意是：如图1、2（图2为图1的平面示意图），推开双门，双门间隙CD的距离为2寸，点C和点D距离门槛AB都为1尺（1尺＝10寸），则AB的长是101寸．【分析】取AB的中点O，过D作DE⊥AB于E，根据勾股定理解答即可得到结论．【解析】取AB的中点O，过D作DE⊥AB于E，如图2所示：由题意得：OA＝OB＝AD＝BC，设OA＝OB＝AD＝BC＝r寸，则AB＝2r（寸），DE＝10寸，OE=12CD＝1寸，∴AE＝（r﹣1）寸，在Rt△ADE中，AE2+DE2＝AD2，即（r﹣1）2+102＝r2，解得：r＝50.5，∴2r＝101（寸），∴AB＝101寸，故答案为：101．三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（2020秋•长春期末）《城市交通管理条例》规定：小汽车在城市街路上的行驶速度不得超过70千米/时．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到车速检测仪A正前方30米的C处，过了2秒后，小汽车行驶至B处，若小汽车与观测点间的距离AB为50米，请通过计算说明：这辆小汽车是否超速？【分析】求出BC的距离，根据时间求出速度，从而可知道是否超速．【解析】由勾股定理可得：BC=√AB2−AC2=√502−302=40，40米＝0.04千米，2秒=11800小时．0.04÷11800=72＞70．所以超速了．20．（2020秋•荥阳市期中）郑州市CBD如意湖的两岸有A，B两棵景观树，数学兴趣小组设计实验测量两棵景观树之间的距离，他们在与AB垂直的BC方向上取点C，测得BC＝30米，AC＝50米．求：（1）两棵景观树之间的距离；（2）点B到直线AC的距离．【分析】（1）根据勾股定理解答即可；（2）根据三角形面积公式解答即可．【解析】（1）因为△ABC是直角三角形，所以由勾股定理，得AC2＝BC2+AB2．因为AC＝50米，BC＝30米，所以AB2＝502﹣302＝1600．因为AB＞0，所以AB＝40米．即A，B两点间的距离是40米．（2）过点B作BD⊥AC于点D．因为S△ABC=12AB•BC=12AC•BD，所以AB•BC＝AC•BD．所以BD=AB⋅BCAC=30×4050=24（米），即点B到直线AC的距离是24米．21．（2020秋•太原期中）如图是一块四边形木板，其中AB＝16cm，BC＝24cm，CD＝9cm，AD＝25cm，∠B＝∠C＝90°．李师傅找到BC边的中点P，连接AP，DP，发现△APD是直角三角形，请你通过计算说明理由．【分析】根据勾股定理解答即可．【解析】∵点P为BC中点，∴BP＝CP=12BC＝12（cm），∵∠B＝90°，在Rt△ABP中，根据勾股定理可得：AB2+BP2＝AP2，162+122＝AP2，解得：AP＝20（cm），同理可得：DP＝15（cm），∵152+202＝252，∴AP2+DP2＝AD2，∴△APD是直角三角形，∠APD＝90°．22．（2020秋•青羊区校级月考）如图，有两条公路OM和ON相交成30°角，沿公路OM方向离两条公路的交叉处O点160米的A处有一所希望小学，当拖拉机沿ON方向行驶时，路两旁100米内会受到噪声影响．已知有一台拖拉机正沿ON方向行驶，速度为5米/秒．（1）该小学是否受到噪声的影响，并说明理由．（2）若该小学要受到噪声的影响，则这台拖拉机沿ON方向行驶时给小学带来噪声影响的时间是多少？【分析】过点A作AC⊥ON于点C，求出AC的长，第一台到B点时开始对学校有噪音影响，第二台到B点时第一台已经影响小学50米，直到第二台到D点噪音才消失．【解析】如图所示：过点A作AC⊥ON于点C，∵∠MON＝30°，OA＝160米，∴AC=12OA＝80米，∵80m＜100m，∴该小学会受到噪声影响；（2）以A为圆心，半径长为100m画圆与ON交B，D两点，连接AB，AD，在B到D范围内，小学都会受到影响，∴AB＝AD＝100米，由勾股定理得：BC=√AB2−AC2=√1002−802=60（米），∴BD＝2BC＝120米，CD＝60米∴影响的时间应是：t=1205=24（秒）；答：拖拉机沿ON方向行驶时给小学带来噪声影响的时间是24秒．23．（2020秋•南山区期末）如图，小旭放风筝时，风筝线断了，风筝挂在了树上．他想知道风筝距地面的高度．于是他先拉住风筝线垂直到地面上，发现风筝线多出1米，然后把风筝线沿直线向后拉开5米，发现风筝线末端刚好接触地面（如图为示意图）．请你帮小旭求出风筝距离地面的高度AB．【分析】设AB＝x，则AC＝x+1，依据勾股定理即可得到方程x2+52＝（x+1）2，进而得出风筝距离地面的高度AB．【解析】设AB＝x，则AC＝x+1，由图可得，∠ABC＝90°，BC＝5，∴Rt△ABC中，AB2+BC2＝AC2，即x2+52＝（x+1）2，解得x＝12，答：风筝距离地面的高度AB为12米．24．（2020秋•惠来县期末）如图所示，一架梯子AB斜靠在墙面上，且AB的长为2.5米．（1）若梯子底端离墙角的距离OB为1.5米，求这个梯子的顶端A距地面有多高？（2）在（1）的条件下，如果梯子的顶端A下滑0.5米到点A'，那么梯子的底端B在水平方向滑动的距离BB'为多少米？【分析】（1）利用勾股定理可以得出梯子的顶端距离地面的高度．（2）由（1）可以得出梯子的初始高度，下滑0.5米后，可得出梯子的顶端距离地面的高度，再次使用勾股定理，可以得出，梯子底端水平方向上滑行的距离．【解析】（1）根据勾股定理：所以梯子距离地面的高度为：AO=√AB2−OB2=2（米）；（2）梯子下滑了0.5米即梯子距离地面的高度为OA′＝（2﹣0.5）＝1.5（米），根据勾股定理：OB′=√A′B′2−OA′2=2（米），所以当梯子的顶端下滑0.5米时，梯子的底端水平后移了2﹣1.5＝0.5（米），答：当梯子的顶端下滑0.5米时，梯子的底端水平后移了0.5米．。

专题02 勾股定理的四种实际应用(解析版)2021-2022学年八年级数学上(北师大版,成都专用)

专题02 勾股定理的四种实际应用【基础知识点】勾股定理的实际应用有很多，有梯子滑落问题、最短距离问题，树枝旗子折断问题，航海是否有影响问题等等，构造直角三角形是解决问题的关键。

类型一、梯子滑落高度问题例1.如图，一架梯子AB 斜靠在一竖直的墙OA 上，这时 2.5m AO =，30OAB ∠=︒．梯子顶端A 沿墙下滑至点C ，使60OCD ∠=︒，同时，梯子底端B 也外移至点D ．求BD 的长度．（结果保留根号）【解析】在Rt OAB 中， 2.5AO =，30OAB ∠=︒，2AB ∴=根据勾股定理知BO ，60OCD ∠=︒，30ODC ∴∠=︒，在AOB ∆和DOC ∆中，OAB ODC AOB DOC AB DC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()AOB DOC AAS ∴∆≅∆，OA OD ∴=，OC OB =，52BD OD OB ∴=-==．【变式训练1】如图所示，一架梯子AB 斜靠在墙面上，且AB 的长为2.5米．（1）若梯子底端离墙角的距离OB 为1.5米，求这个梯子的顶端A 距地面有多高？（2）在（1）的条件下，如果梯子的顶端A 下滑0.5米到点A'，那么梯子的底端B 在水平方向滑动的距离BB'为多少米？【答案】（1）梯子距离地面的高度为2米；（2）梯子的底端水平后移了0.5米．【解析】（1）根据勾股定理：所以梯子距离地面的高度为：AO2==米；（2）梯子下滑了0.5米即梯子距离地面的高度为OA′＝（2.5﹣0.5）＝2米，根据勾股定理：OB′＝2米，所以当梯子的顶端下滑0.5米时，梯子的底端水平后移了2﹣1.5＝0.5米，答：当梯子的顶端下滑0.5米时，梯子的底端水平后移了0.5米．【变式训练2】如图，一架25米长的梯子AB，斜靠在竖直的墙MO上，梯子底端B到墙底端O的距离为7米．（1）若梯子的顶端A沿墙面下滑4米，那么底端B将向外移动多少米？请写出解题过程．（2）在梯子AB滑动过程中，AB上是否存在点P，它到墙底端O的距离保持不变？若存在，请求出OP 的长；如果不存在，请说明理由．【答案】（1）8米；（2）存在，252 OP m=【解析】如图，在直角△ABO中，已知AB=25米，BO=7米，则由勾股定理得：（米）；△AO=AA1+OA1△OA1=24米-4米=20米，△在直角△A1B1O中，AB=A1B1，且A1B1为斜边，△由勾股定理得：OB1米，△BB1=OB1-OB=15米-7米=8米；答：梯足将向外移8米．（2）AB的中点P到O的距离始终不变，12522 OP AB m ==类型二、水杯中的筷子问题例1．如图所示，将一根长为24cm的筷子，置于底面直径为5cm，高为12cm的圆柱形水杯中，设筷子露在外面的长为hcm，则h的取值范围是（）A．0＜h≤11B．11≤h≤12C．h≥12D．0＜h≤12【答案】B【解析】当筷子与杯底垂直时h最大，h最大＝24﹣12＝12cm．当筷子与杯底及杯高构成直角三角形时h最小，如图所示：此时，AB13cm，△h＝24﹣13＝11cm．△h的取值范围是11cm≤h≤12cm．故选：B．【变式训练】如图，是一种饮料的包装盒，长、宽、高分别为4cm，3cm，12cm，现有一长为16cm的吸管插入到盒的底部，则吸管插在盒内部分的长度h的最大值为____________ cm．【答案】13【解析】如图所示：BC =3cm ，CD =4cm ，AB =12cm ，连接BD 、AD ，在Rt △BCD 中，BD （cm ），在Rt △ABD 中，AD （cm ）．故吸管插在盒内部分的长度h 的最大值为13cm ．故答案为：13．类型三、最短距离问题例1．如图，一个长方体盒子紧贴地面，一只蚂蚁由A 出发，在盒子表面上爬到点G ，已知6AB =，5BC =，3CG =，这只蚂蚁爬行的最短路程是________．【答案】10【解析】由题意，如图1所示，得AG == 如图2所示，得10AG ==，如图3所示，AG ==△蚂蚁爬行的最短路程是10．故答案为：10.【变式训练1】如图所示，ABCD 是长方形地面，长8m AB =，宽5m AD =，中间竖有一堵砖墙高2m MN =．一只蚂蚱从A 点爬到C 点，它必须翻过中间那堵墙，则它至少要走________m 的路程．【答案】13【解析】如图所示，将图展开，图形长度增加2MN ，原图长度增加4米，则8412m AB =+=，连接AC ．△四边形ABCD 是长方形， 12m AB =，宽5m AD =，△13m AC ===．△蚂蚱从A 点爬到C 点，它至少要走13m 的路程．故答案为：13【变式训练2】如图，台阶阶梯每一层高20cm ，宽40cm ，长50cm ．一只蚂蚁从A 点爬到B 点，最短路程是____________．【答案】130cm【解析】如图所示，△楼梯的每一级的高宽长分别为20cm ，宽40cm ，长50cm ，△130AB ==(cm) 即蚂蚁从点A 沿着台阶面爬行到点B 的最短路程是130cm ．故答案为：130cm ．类型三、是否有影响问题例1．台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上百千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力，如图，有一台风中心沿东西方向AB 由A 行驶向B ，已知点C 为一海港，且点C 与直线AB 上的两点A ，B 的距离分别为300AC km =，400BC km =，又500AB km =，以台风中心为圆心周围250km 以内为受影响区域．（1）求ACB ∠的度数．（2）海港C 受台风影响吗？为什么？（3）若台风的速度为20千米/小时，当台风运动到点E 处时，海港C 刚好受到影响，当台风运动到点F 时，海港C 刚好不受影响，即250CE CF km ==，则台风影响该海港持续的时间有多长？【答案】（1）90︒；（2）海港C 受台风影响，证明见解析；（3）台风影响该海港持续的时间为7小时．【解析】（1）300AC km =，400BC km =，500AB km =，222AC BC AB ∴+=，ABC ∆∴是直角三角形，△△ACB=90°；（2）海港C 受台风影响，过点C 作CD AB ⊥，ABC ∆是直角三角形，AC BC CD AB ∴⨯=⨯，300400500CD ∴⨯=⨯，240()CD km ∴=，以台风中心为圆心周围250km 以内为受影响区域，∴海港C 受台风影响．（3）当250EC km =，250FC km =时，正好影响C 港口，70()ED km ==，140EF km ∴=，台风的速度为20千米/小时，140207∴÷=（小时）答：台风影响该海港持续的时间为7小时．【变式训练1】如图，有两条公路OM 、ON 相交成30°角，沿公路OM 方向离O 点160米处有一所学校A ，当重型运输卡车P 沿道路ON 方向行驶时，在以P 为圆心，100米为半径的圆形区域内都会受到卡车噪声的影响，且卡车P 与学校A 的距离越近噪声影响越大．若已知重型运输卡车P 沿道路ON 方向行驶的速度为36千米/时，则对学校A 的噪声影响最大时卡车P 与学校A 的距离是___米；重型运输卡车P 沿道路ON 方向行驶一次给学校A 带来噪声影响的时间是____秒．【答案】80 12【解析】作AD ON ⊥于D ，30MON ∠=︒，160AO =m ，1802AD OA ∴==m ，即对学校A 的噪声影响最大时卡车P 与学校A 的距离80m ．如图以A 为圆心100m 为半径画圆，交ON 于B 、C 两点， AD BC ⊥，12BD CD BC ∴==，在Rt △ABD 中，60BD ==m ，120BC ∴=m ，重型运输卡车的速度为36千米/时10=米/秒，∴重型运输卡车经过BC 的时间1201012=÷=（秒)，故卡车P 沿道路ON 方向行驶一次给学校A 带来噪声影响的时间为12秒．故答案为：80，12．【变式训练2】如图，有两条公路OM 、ON 相交成30°角，沿公路OM 方向离O 点160m 处有一所医院A ，当卡车P 沿道路ON 方向行驶时，在以P 为圆心，100米为半径的圆形区域内都会受到噪声的影响．若已知卡车的速度为250米/分钟，则卡车P 沿道路ON 方向行驶一次时，给医院A 带来噪声影响的持续时间是__分钟．【答案】0.48．【解析】作AD△ON 于D ，△△MON ＝30°，AO ＝160m ，△AD ＝12OA ＝80m ，以A 为圆心100m 为半径画圆，交ON 于B 、C 两点，△AD△BC ，△BD ＝CD ＝12BC ，在Rt△ABD 中，BD 60m ==，△BC ＝120m ，△卡车的速度为250米/分钟，△卡车经过BC 的时间＝120÷250＝0.48分钟，故答案为：0.48．类型四、是否超速问题例1.“某市道路交通管理条例”规定：小汽车在城市街路上行驶速度不得超过40千米/时，如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面对车速检测仪A 正前方18米的C 处，过了2秒后到达B 处（BC △AC ），测得小汽车与车速检测仪间的距离AB 为30米，请问这辆小汽车是否超速？若超速，则超速了多少？【答案】这辆小汽车超速，每小时超速3.2千米．【解析】根据题意，得18,30,90AC m AB m C ==∠=︒，在Rt△ACB 中，根据勾股定理可得：24.BC ==小汽车2秒行驶24米，则1小时行驶243600432002m ⨯=，即小汽车行驶速度为43.2千米/时，因为43.2＞40，所以小汽车超速行驶，超速43.240 3.2-=（千米/时）．【变式训练】《城市交通管理条例》规定：小汽车在城市街路上的行驶速度不得超过70千米/时．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到车速检测仪A 正前方30米的C 处，过了2秒后，小汽车行驶至B 处，若小汽车与观测点间的距离AB 为50米，请通过计算说明：这辆小汽车是否超速？【答案】这辆小汽车超速【解析】根据题意，得AC=30m ，AB=50m ，△C=90°，在Rt△ACB 中， 40===BC m ， △小汽车的速度4020/72/70/2==>m m s km h km h s； △这辆小汽车超速．课后练习1．高铁修建过程中需要经过一座小山．如图，施工方计划沿AC 方向开挖隧道，为了加快施工速度，要在小山的另一侧D （,,A C D 共线）处同时施工．测得30,8km,105CAB AB ABD ∠=︒=∠=︒，求BD 长．（结1.414≈≈）【答案】BD 长约为5.7km ．【解析】如图，过点B 作BE AD ⊥于点E ，30,8km CAB AB ∠=︒=，14km 2BE AB =∴=，60ABE ∠=︒，105ABD ∠=︒，45DBE ABD ABE ∴∠=∠-∠=︒，Rt BDE ∴是等腰直角三角形， 5.656 5.7(km)BD ∴==≈≈，答：BD 长约为5.7km ．2．如图，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C ，河边原有两个取水点,A B ，其中AB AC =，由于某种原因，电C 到A 的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H （A H B 、、在同一条直线上），并新修一条路CH ，已知CB =千米，2CH =千米，1HB =千米．（1）CH 是否为从村庄C 到河边的最近路？请通过计算加以说明．（2）求新路CH 比原路CA 少多少干米？【答案】（1）是，证明见解析；（2）12千米．【解析】（1）△在CHB 中，2,1,CH BH BC ===22221+=，CHB ∴是以BHC ∠为直角的直角三角形，CH AB ∴⊥，△点到直线垂线段的长度最短，CH ∴是村庄C 到河边的最近路．（2）设AC AB x ==，1BH =千米，(1)AH AB BH x ∴=-=-千米，在Rt ACH 中，由勾股定理得：222CH AH AC +=，2222(1)x x ∴+-=，解得52x =， 52AC AB ∴==千米，CH ∴比CA 少51222-=千米． 3．在甲村至乙村的公路旁有一块山地需要开发，现有一C 处需要爆破，已知点C 与公路上的停靠点A 的距离为800米，与公路上另一停靠点B 的距离为600米，且CA CB ⊥，如图，为了安全起见，爆破点C 周围半径450米范围内不得进入，问在进行爆破时，公路AB 段是否有危险需要暂时封锁？请通过计算进行说明．【答案】公路AB 段没有危险不需要暂时锁锁，见解析【解析】公路AB 段没有危险不需要暂时封锁，如图，过点C 作CD AB ⊥于点D ．△CA CB ⊥，800AC =米，600BC =米，△1000AB =（米）．△8006004801000BC AC CD AB ⋅⨯===（米）． △450480<，△公路AB 段没有危险不需要暂时封锁．4．如图，小明家在一条东西走向的公路MN 北侧200米的点A 处，小红家位于小明家北500米（500AC =米）、东1200米（1200BC =米）点B 处．（1）求小明家离小红家的距离AB ；（2）现要在公路MN 上的点P 处建一个快递驿站，使PA PB +最小，请确定点P 的位置，并求PA PB +的最小值．【答案】（1）1300AB =米；（2）见解析，1500米【解析】（1）如图，连接AB ，由题意知AC =500，BC =1200，△ACB =90°，在Rt △ABC 中，△△ACB =90°，△AB 2=AC 2+BC 2=5002+12002=1690000，△AB ＞0，△AB =1300米；（2）如图，作点A 关于直线MN 的对称点A '，连接A 'B 交MN 于点P ．驿站到小明家和到小红家距离和的最小值即为A 'B ，由题意知AD =200米，A 'C △MN ，△A 'C =AC +AD +A 'D =500+200+200=900米，在Rt △A 'BC 中，△△ACB =90°，△A 'B 2=A 'C 2+BC 2=9002+12002=2250000，△A 'B ＞0，△A 'B =1500米，即从驿站到小明家和到小红家距离和的最小值为1500米．5．某高速公路的同一侧有A ，B 两个城镇，如图所示，它们到高速公路所在直线MN 的距离分别为2km AE =，3km BF =，12km EF =，要在高速公路上E 、F 之间建一个出口Q ，使A 、B 两城镇到Q 的距离之和最短，在图中画出点Q 所在位置，并求出这个最短距离．【答案】见解析，13km【解析】作点B 关于MN 的对称点C ，连接AC 交MN 于点Q ，则点Q 为所建的出口；此时A 、B 两城镇到出口Q 的距离之和最短，最短距离为AC 的长．作AD BC ⊥于D ，则90ADC ∠=︒，AE△MN ，BF△MN ，△四边形AEFD 为矩形△12AD EF ==，2DF AE ==在t R ADC 中，12AD =，5DC DF CF =+=，△由勾股定理得：13AC ===△这个最短距离为13km ．6．如图，某工厂A 到直线公路l 的距离AB 为3千米，与该公路上车站D 的距离为5千米，现要在公路边上建一个物品中转站C ，使CA ＝CD ，求物品中转站与车站之间的距离．【答案】258千米【解析】由题意可得：AB=3，AD=5△在Rt△ABD 中，4BD ===设AC=CD=x ，则BC=4-x ，在Rt△ABC 中，2223(4)x x +-=，解得：x=258 △物品中转站与车站之间的距离CD 的长为258千米故答案为：258千米。

3.3勾股定理的简单应用同步练习 2021-2022学年苏科版数学八年级上册(含答案)

3.3勾股定理的简单应用一、单选题1．如图，一棵高为16m的大树被台风刮断．若树在地面6m处折断，则树顶端落在离树底部（）处．A．5m B．7m C．7.5m D．8m2．如图，一根垂直于地面的旗杆在离地面5m的B处撕裂折断，旗杆顶部落在离旗杆底部12m的A处，则旗杆折断部分AB的高度是（）A．5m B．12m C．13m D．18m3．如图所示，梯子AB斜靠在墙面上，AO⊥BO，AO＝BO＝2米，当梯子的顶点A沿AO方向向下滑动以a（0＜a＜2）米时，梯足B沿OB方向滑动b（0＜b＜2）米，则a 与b的大小关系是（）A．a＝b B．a＜b C．a＞b D．不确定4．如图，在一个高为3m，长为5m的楼梯表面铺地毯，则地毯长度为（）A．7m B．8m C．9m D．10m5．《九章算术》勾股章有一“引葭赴岸”问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐.问：水深，葭长各几何.”意思是：如示意图，有一个水池，水面是一个边长为1丈的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，水的深度和芦苇的长度分别是多少？备注：1丈=10尺.设芦苇长x尺，则可列方程为（）A．222x x-+=(1)5x x10(1)+=+B．222C．222x x+=-1(1)5(1)x x+=-D．2226．小明同学先向北行进4千米，然后向东进4千米，再向北行进2千米，最后又向东行进一定距离，此时小明离出发点的距离是10千米，小明最后向东行进了（）A．3千米B．4千米C．5千米D．6千米7．如图是一圆柱玻璃杯，从内部测得底面半径为6cm，高为16cm，现有一根长为25cm 的吸管任意放入杯中，则吸管露在杯口外的长度最少是（）A．6cm B．5cm C．9cm D cm 8．如图，一艘轮船位于灯塔P的北偏东60︒方向，与灯塔P的距离为30海里的A处，轮船沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东30︒方向上的B处，则此时轮船所在位置B处与灯塔P之间的距离为（）A．60 海里B．45海里C．20海里D．9．如图，长方体的底面边长为1 cm和3 cm，高为6 cm.如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达B，那么所用细线最短需要()A．12 cmB．11 cmC．10 cmD．9 cm10．中国数学史上最先完成勾股定理证明的数学家是公元3世纪三国时期的赵爽，他为了证明勾股定理，创制了一副“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图1）．图2由“弦图”变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成．将图中正方形MNKT，正方形EFGH，正方形ABCD的面积分别记为S1，S2，S3，若S1+S2+S3=18，则正方形EFGH的面积为（）A．92B．5C．6D．9二、填空题11．长是4米的梯子搭在墙上，与地面成45°角，作业时调整为60°角，则梯子的顶端沿墙面升高了______米12．如图，90AOB∠=︒，9OA m=，3OB m=，一机器人在点B处看见一个小球从点A 出发沿着AO方向匀速滚向点O，机器人立即从点B出发，沿直线匀速前进拦截小球，恰好在点C处截住了小球，如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，则机器人行走的路程BC为__________．13．一艘轮船在小岛A的北偏东60︒方向距小岛60海里的B处，沿正西方向航行3小时后到达小岛的北偏西45︒的C处，则该船行驶的速度为_____海里/小时．14．如图，有一个三级台阶，它的每一级的长，宽和高分别是16，3，1，点A和点B 是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶表面爬到B点的最短路程是____．15．如图，在一次测绘活动中，在港口A的位置观测停放于B、C两处的小船，测得船B在港口A北偏东75°方向12海里处，船C在港口A南偏东15°方向9海里处，则船B 与船C之间的距离为__________海里．三、解答题16．如图，某人为了测量小山顶上的塔顶离地面的高度CD，他在山下的点A处测得塔尖点D的仰角为45︒，再沿AC方向前进60m到达山脚点B，测得塔尖点D的仰角为60︒，求CD的高度（结果保留根号）17．如图，星期天小明去钓鱼，鱼钩A在离水面的BD的1.3米处，在距离鱼线1.2米处D点的水下0.8米处有一条鱼发现了鱼饵，于是以0.2米/秒的速度向鱼饵游去，那么这条鱼至少几秒后才能到达鱼饵处？18．台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向AB由点A行驶向点B，已知点C 为一海港，且点C与直线AB上两点A，B的距离分别为300km和400km，又AB=500km，以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域．（1）海港C受台风影响吗？为什么？（2）若台风的速度为20km/h，台风影响该海港持续的时间有小时．参考答案1．D2．C3．C4．A5．B6．B7．B8．D9．C10．C11．12．5m13．(10+14．2015．1516．(90m+17．6.518．（1）海港C受台风影响．理由：如图，过点C作CD⊥AB于D，⊥AC＝300km，BC＝400km，AB＝500km，⊥AC2＋BC2＝AB2．⊥⊥ABC是直角三角形．⊥AC•BC＝CD•AB⊥CD＝240（km）⊥以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域，⊥海港C受到台风影响．（2）当EC＝250km，FC＝250km时，正好影响C港口，⊥ED70（km）⊥EF＝140km⊥台风的速度为20km/h，⊥140÷20＝7（小时）即台风影响该海港持续的时间为7小时．故答案为：7．。

八年级数学上册14.2勾股定理的应用例题与讲解素材华东师大版(2021-2022学年)

２勾股定理的应用1.长方体(或正方体)面上的两点间的最短距离长方体(或正方体)是立体图形，但它的每个面都是平面.若计算同一个面上的两点之间的距离比较容易，若计算不同面上的两点之间的距离，就必须把它们转化到同一个平面内,即把长方体（或正方体)设法展开成为一个平面，使计算距离的两个点处在同一个平面中，这样就可以利用勾股定理加以解决了.所以立体图形中求两点之间的最短距离,一定要审清题意，弄清楚到底是同一平面中两点间的距离问题还是异面上两点间的距离问题．谈重点长方体表面上两点间最短距离因为长方体的展开图不止一种情况,故对长方体相邻的两个面展开时，考虑要全面,不要有所遗漏.不过要留意展开时的多种情况,虽然看似很多,但由于长方体的对面是相同的，所以归纳起来只需讨论三种情况——前面和右面展开，前面和上面展开，左面和上面展开,从而比较取其最小值即可.【例1-1】如图①是一个棱长为3 cm的正方体，它的6个表面都分别被分成了３×3的小正方形,其边长为1 cm。

现在有一只爬行速度为2 cm/s的蚂蚁，从下底面的A点沿着正方体的表面爬行到右侧表面上的B点,小明把蚂蚁爬行的时间记录了下来，是2。

５ s.经过简短的思考，小明先是脸上露出了惊讶的表情,然后又露出了欣赏的目光．你知道小明为什么会佩服这只蚂蚁的举动吗?解:如图②，在Rt△ＡＢD中，AD=4 cm，BD＝3 cｍ。

由勾股定理，AB2＝BＤ2+AD2＝32＋42＝25，AＢ=5ｃm,∴蚂蚁的爬行距离为5 ｃm.又知道蚂蚁的爬行速度为2 ｃｍ/ｓ，∴它从点A沿着正方体的表面爬行到点B处,需要时间为＼f(5,2)=２。

5 s.小明通过思考、判断,发现蚂蚁爬行的时间恰恰就是选择了这种最优的方式,所以他感到惊讶和佩服.【例1－２】如图,一只蚂蚁从实心长方体的顶点A出发,沿长方体的表面爬到对角顶点Ｃ１处(三条棱长如图所示),问怎样走路线最短？最短路线长为多少？解:蚂蚁由A点沿长方体的表面爬行到C1点，有三种方式，分别展成平面图形如下:如图①,在Rt△ＡBＣ１中，AC21=ＡB2＋BＣ错误!未定义书签。

八上简单勾股定理的应用(含解析)

八上简单勾股定理的应用一、选择题1.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5，则它的内切圆与外接圆半径分别为( )A .1.5，2.5B .2，5C .1，2.5D .2，2.52.如图，点P为⊙O内一点，且OP＝4，若⊙O的半径为6，则过点P的弦长不可能为 ( )A .12B .10C .9D .83.在△ABC中，已知∠C=90°，BC=3，AC=4，则它的内切圆半径是( )A .B .1C .2D .4.如图，在Rt△ABC中，∠C=Rt∠，∠A=30°，BC=2，⊙C的半径为1，点P是斜边AB上的点，过点P作⊙C的一条切线PQ（点Q是切点），则线段PQ的最小值为（）A．2B．C．D．2-5.已知AB是两个同心圆中大圆的弦，也是小圆的切线，设AB=a，用a表示这两个同心圆中圆环的面积为( )A .πB .πC .πD .π6.正六边形的边心距与边长之比为( )A .1:2B .:2C .:1D .:27.若⊙P的半径为13，圆心P的坐标为（5 ，12 ），则平面直角坐标系的原点O与⊙P的位置关系是( ).A .在⊙P内B .在⊙P上C .在⊙P外D .无法确定8.如图，以Rt△ABC的直角边AB为直径作半圆⊙O与边 BC交于点D，过D作半圆的切线与边AC交于点E，过E作EF∥AB ，与BC交于点F．若AB=20，OF= 7.5，则CD 的长为( ).A .7B .8C .9D .109.如图，△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，AC=4，若把Rt△ABC绕直线AC旋转一周，则所得圆锥的侧面积等于( )A .6πB .9πC .12πD .15π10.如图，圆柱的底面周长为4dm，圆柱高位2dm，在圆柱的侧面上，过点A和点C 嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为( )A .4dmB .2dmC .2dmD .4dm11.为迎接国庆节，某班同学做了一些拉花布置教室，李丽搬来了高2.5米的梯子，准备把拉花挂到2.4米高的墙上，则梯子底端与墙角之间的距离应为（）A．0.7米B．0.8米C．0.9米D．1.0米12.如图，传送带和地面所成斜坡的坡度为1：3，若它把物体从地面点A处送到离地面2米高的B处，则物体从A到B所经过的路程为（）A．6米B．米C．米D．3米13.如图，△ABC的顶点A、B、C在边长为1的正方形网格的格点上，BD⊥AC于点D．则BD的长为( )A .B .C .D .14.在学校组织的实践活动中,小新同学用纸板制作了一个圆锥模型,它的底面半径为1,高为2，则这个圆锥的侧面积( )A .4πB .3πC .2πD .2π15.如图，已知扇形AOB的半径为12，OA⊥OB，C为OA上一点，以AC为直径的半圆O1和以OB为直径的半圆O2相切，则半圆O1的半径为（）A．2B．3C．2D．416.射线OP在直角坐标系的位置如图所示，若OP=6，∠POx=30°，则P点坐标为（）A．（3，）B．（3，3）C．（-3，）D．（-，-3）17.如图，在方格纸中，线段a，b，c，d的端点在格点上，通过平移其中两条线段，使得和第三条线段首尾相接组成三角形，则能组成三角形的不同平移方法有（）A．3种B．6种C．8种D．12种18.如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，分别以AC、BC为直经作半圆，面积分别记为S1、S2，则S1+S2的值等于（）A．8πB B．16πC．25πD．12.5π19.在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=3，AC=4．若以点C为圆心，画一个半径为4的圆，则点B与⊙C的位置关系为（）A．点B在⊙C内B．点B在⊙C外C．点B在⊙C上D．无法判断20.如图，△ABC中，AB=AC=17，BC=16，M是△ABC的重心，求AM的长度为何？（）A．8B．10C．D．21.在△ABC中，AB=AC=5，BC=8，AD⊥BC，垂足为D，BE是边AC上的中线，AD 与BE相交于点G，那么AG的长为（）A．1B．2C．3D．无法确定二、填空题22.如图，⊙O与正方形ABCD的两边AB、AD相切，且DE与⊙O相切于E点．若正方形ABCD的周长为44，且DE＝6，则sin∠ODE＝__________23.点A（﹣3，2）到x轴距离为__________，到y轴距离为__________，到原点距离为__________.24.《九章算术》是东方数学思想之源，该书中记载：“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆径几何．”其意思为：“今有直角三角形，勾（短直角边）长为8步，股（长直角边）长为15步，问该直角三角形内切圆的直径是多少步．”该问题的答案是__________步。

勾股定理的应用(解析版)-2023-2024学年八年级数学上册同步学与练(北师大版)

第03讲勾股定理的应用1.利用勾股定理及逆定理解决生活中的实际问题（梯子滑动、风吹莲动、折竹抵地、台风和爆破、航行和信号塔、速度等问题）.2.解决实际问题时，要善于构造直角三角形，把实际问题抽象成几何问题.知识点01勾股定理的应用勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论．题型01求梯子滑落高度【典例1】（2023秋·吉林长春·八年级统考期末）如图，一架2.6m 长的梯子AB 斜靠在一竖直的墙AC 上，90C ∠=︒，这时，梯子的底端B 到墙底C 的距离BC 为1m ．(1)求此时梯子的顶端A 距地面的高度AC ．(2)如果梯子的顶端A 沿墙下滑0.5m ，那么梯子底端B 外移0.5m 吗？通过计算说明你的结论．【答案】(1)2.4m(2)梯子底端B 外移0.77m 不是0.5m ，理由见解析【分析】（1）直接利用勾股定理求出AC 的长，进而得出答案；（2）直接利用勾股定理得出B C '，进而得出答案．【详解】（1）解：90C ∠=︒ ， 2.6m AB =，1m BC =，22222.61 2.4(m)AC AB BC ∴=-=-=，∴此时梯子的顶端A 距地面的高度AC 为2.4m ；（2）由图可知梯子的顶端A 沿墙下滑0.5m 后，()0.5 2.40.5 1.9m A C AC =-=-='， 2.6m A B AB ''==，22222.6 1.9 1.77(m)B C A B A C ∴=-=-≈''''，1.7710.77(m)BB B C BC '∴-=-='=，∴梯子底端B 外移0.77m 不是0.5m ．【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，正确应用勾股定理是解题关键．AB BE 长7米．(1)求梯子上端到墙的底端E 的距离AE 的长；(2)如果梯子的顶端A 沿墙下滑4米，则梯脚B 将外移多少米？【答案】(1)AE 的长24米；(2)梯脚B 将外移8米．【分析】（1）在Rt ABE △中利用勾股定理求出AE 的长即可；（2）首先在Rt CDE V 中利用勾股定理求出DE 的长，然后再计算出DB 的长即可．【详解】（1）解：由题意得：25AB CD ==米，7BE =米，由222AE AB BE =-，∴2225724AE =-=（米）；（2）∵4AC =，24AE =，∴24420CE AE AC =-=-=；∵222DE DC CE =-，∴2222252015DE DC CE =-=-=（米），∴1578BD DE BE =-=-=（米）．∴梯脚B 将外移8米．【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，关键是掌握正确运用勾股定理：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方．【变式2】（2023·全国·八年级假期作业）如图梯子斜靠在竖直的墙AO ，AO 长为24dm ，OB 为7dm ．(1)求梯子AB 的长．(2)梯子的顶端A 沿墙下滑4dm 到点C ，梯子底端B 外移到点D ，求BD 的长．【答案】(1)25dm(2)8dm【分析】（1）利用勾股定理求解即可；（2）由4AC dm =，可得20OC dm =，利用勾股定理求得()15OD dm =，再进行计算即可求解．【详解】（1）解：∵24AO dm =，7OB dm =，在Rt AOB 中，()2224725AB dm =+=，答：梯子AB 的长为25dm ；（2）解：∵4AC dm =，∴24420OC dm =-=，在Rt COD 中，()22252015OD dm =-=，∴1578BD dm =-=．【点睛】本题考查勾股定理的应用，理解题意，正确利用勾股定理是解题的关键．题型02求旗杆高度【典例1】（2023春·广东汕头·八年级统考期末）如图，某攀岩中心攀岩墙AB 的顶部A 处安装了一根安全绳AC ，让它垂到地面时比墙高多出了1米，教练把绳子的下端C 拉开5米后，发现其下端刚好接触地面（即5BC =米），AB BC ⊥，求攀岩墙AB 的高度．【答案】攀岩墙AB 的高为12米【分析】根据题意设攀岩墙的高AB 为x 米，则绳子AC 的长为()1x +米，再利用勾股定理即可求得AB 的长即可．【详解】解：设攀岩墙的高AB 为x 米，则绳子AC 的长为()1x +米，∵在Rt ABC △中，5BC =米，∴由勾股定理得：222AB BC AC +=，∴()22251x x +=+，解得12x =，∴攀岩墙AB 的高为12米．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，从实际问题中找出直角三角形是解答本题的关键．【变式1】（2022春·八年级单元测试）思源中学八（3）班小明和小亮同学学习了“勾股定理”之后，为了测得下图风筝CE 的高度，他们进行了如下操作：（1）测得BD 的长度为25米；（2）根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC 的长为65米；（3）牵线放风筝的小明身高1.68米，求风筝的高度CE ．【答案】风筝的高度CE 为61.68米．【分析】利用勾股定理求出CD 的长，再加上DE 的长度，即可求出CE 的高度．【详解】解：在Rt CDB △中，由勾股定理，得2222652560CD CB BD =-=-=(米)．∴60 1.6861.68CE CD DE =+=+=(米)．答：风筝的高度CE 为61.68米．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟悉勾股定理，能从实际问题中抽象出勾股定理是解题的关键．【变式2】（2023春·江西宜春·八年级统考期中）一款名为超级玛丽的游戏中，玛丽到达一个高为10米的高台A 后，利用旗杆顶部的绳索，划过90°到达与高台A 水平距离为17米，高为3米的矮台B ．(1)求旗杆的高度OM ；(2)玛丽在荡绳索过程中离地面的最低点的高度MN ．【答案】(1)15米(2)2米【分析】（1）作AE OM ⊥，BF OM ⊥，可证AOE BFO ∆≅∆，可得AE OF =，OE BF =，则7AE BF EF -==，且17AE BF +=可求12AE OF ==，5OE BF ==，即可求OM 的长．（2）根据勾股定理可求13OA OB ON ===，即可求MN 的长．【详解】（1）如图：作AE OM ⊥，BF OM ⊥，90AOE BOF BOF OBF ∠+∠=∠+∠=︒AOE OBF∴∠=∠在AOE和OBF 中，OEA BFO AOE OBF OA OB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()AOE OBF AAS ∴≅ ，OE BF ∴=，AE OF=即()17m OE OF AE BF CD +=+==()1037m EF EM FM AC BD =-=-=-= ，217EO EF ∴+=，则210EO ⨯=，所以5m OE =，12m OF =，所以15mOM OF FM =+=（2）由勾股定理得2213OB OA ON OF BF ===+=，()15132m MN ∴=-=．答：玛丽在荡绳索过程中离地面的最低点的高度MN 为2米．【点睛】本题考查了勾股定理，全等三角形的判定和性质，熟练运用这些性质解决问题是本题的关键．题型03求小鸟飞行距离【典例1】（2023春·广西贵港·八年级统考期中）有两棵树，一棵高6米，另一棵高3米，两树相距4米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了多少米？【答案】一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则它至少要飞行5米．【分析】根据题意画出对应的几何图形，如图，过点D 作DE AB ⊥，则四边形ACDE 是矩形，故可得AE DE ，的长度，在Rt BDE △中利用勾股定理即可求解．【详解】解：根据题意画出图形如下：其中6AB =米，3CD =米，4AC =米，过点D 作DE AB ⊥，则四边形ACDE 是矩形，∴3AE CD ==米，4DE AC ==米，∴3=-=BE AB AE 米，在Rt BDE △中，225BD BE DE =+=米，答：一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则它至少要飞行5米．【点睛】本题考查矩形的判定与性质、勾股定理等内容，根据题意画出对应的几何图形是解题的关键．【变式1】（2023春·广东东莞·八年级校考阶段练习）如图，有一只小鸟从小树顶飞到大树顶上，它飞行的最短路程是________．【答案】13m /13米【分析】根据题意，画出图形，构造直角三角形，用勾股定理求解即可．【详解】解：如图所示，过D 点作DE AB ⊥，垂足为E ，∵138AB CD ==，，BE CD DE BC ==，，∴1385AE AB BE AB CD =-=-=-=，∴在Rt ADE △中，12DE BC ==，∴22222512169,AD AE DE =+=+=∴13AD =（负值舍去），∴小鸟飞行的最短路程为13m ，故答案为：13m ．【点睛】本题主要考查了勾股定理的实际应用，正确画出图形作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．【变式2】（2023春·广西防城港·八年级统考阶段练习）如图，有两棵树，一棵树高AC 是10米，另一棵树高BD 是4米，两树相距8米（即CD =8米），一只小鸟从一棵树的树梢A 点处飞到另一棵树的树梢B 点处，则小鸟至少要飞行多少米？【答案】小鸟至少飞行了10米【分析】根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出．【详解】解：如图，大树高为AC =10米，小树高为BD =4米，过点B 作BE ⊥AC 于E ，则四边形EBDC 是矩形，连接AB ，∴EC=BD =4（米），EB=CD =8（米），∴AE =AC -EC =10-4=6（米），在Rt AEB 中，2210AB AE BE =+=（米），答：小鸟至少飞行了10米．【点睛】本题考查勾股定理的应用，善于观察题目的信息是解题的关键．题型04求大树折断前的高度【典例1】（2023春·江西南昌·八年级南昌市外国语学校校考期末）《九章算术》是中国传统数学的重要著作之一，奠定了中国传统数学的基本框架．如图所示是其中记载的一道“折竹”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根四尺，问折者高几何？”题意是：一根竹子原高1丈(1丈10=尺)，中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根4尺，试问折断处离地面多高？【答案】4.2尺【分析】设折断处离地面x 尺，根据勾股定理建立方程即可求解．【详解】解：设折断处离地面x 尺，根据题意可得：2224(10)x x +=-，解得： 4.2x =，答：折断处离地面4.2尺高．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．【变式1】（2023春·湖南娄底·八年级统考阶段练习）如图，一棵大树在一次强台风中在离地某处折断倒下，树尖落在离树底部12米处，已知原树高是18米，你能求出大树在离地多少米的位置折断吗？【答案】5米【分析】设大树在离地x 米处折断，则折断处离树尖的距离为()18x -米，再根据勾股定理建立方程求解即可．【详解】解：设大树在离地x 米处折断，由勾股定理得：()2221218x x +=-，解得5x =．答：大树在离地5米的位置折断．【点睛】本题主要考查了勾股定理的实际应用，正确理解题意并熟知勾股定理是解题的关键．【变式2】（2023春·全国·八年级期中）如图，一根垂直于地面的旗杆高8m ，因刮大风旗杆从点C 处折断，顶部B 着地且离旗杆底部的距离4m AB =．(1)求旗杆折断处C 点距离地面的高度AC ；(2)工人在修复的过程中，发现在折断点C 的下方1.25m 的点D 处，有一明显裂痕，若下次大风将修复好的旗杆从点D 处吹断，旗杆的顶点落在水平地面上的B '处，形成一个直角ADB ' ，请求出AB '的长．【答案】(1)3AC =米(2)6AB '=米【分析】（1）由题意可知8AC BC +=米，根据勾股定理可得：222AB AC BC +=，又因为4AB =米，所以可求得AC 的长，（3）先求出D 点距地3 1.25 1.75-=米，8 1.75 6.25B D '=-=米，再根据勾股定理可以求得6AB '=米．【详解】（1）解：由题意可知：8AC BC +=米，∵90A ∠=︒，∴222AB AC BC +=，又∵4AB =米，∴()22248AC AC +=-，∴3AC =米；（2）解：∵D 点距地面3 1.25 1.75AD =-=米，∴8 1.75 6.25B D '=-=米，∴226AB B D AD ''=-=米．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图题型05解决水杯中筷子问题【典例1】（2023春·河北唐山·八年级统考期中）如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是5，高是12，上底面中心有一个小圆孔，则一条长16cm 的直吸管露在罐外部分a 的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围是（）A ．45a <<B ．34a ≤≤C ．23a ≤≤D ．12a ≤≤【答案】B 【分析】如图，当吸管底部在D 点时吸管在罐内部分最短，当吸管底部在B 点时吸管在罐内部分最长，此时利用勾股定理在Rt ADB 中求出AB 即可．【详解】解：如图，当吸管底部在底面圆心时吸管在罐内部分最短，此时吸管的的长度就是圆柱形的高，即12，16124a ∴=-=，当吸管底部在饮料罐的壁底时吸管在罐内部分最长，吸管长度222212513AD BD =+=+=，∴此时16133a =-=，所以34a ≤≤．故选：B ．【点睛】本题考查勾股定理的应用，善于观察题目的信息，正确理解题意是解题的关键．【变式1】（2023·江苏·模拟预测）我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个问题：“今有池方一丈，葭（jiā）生其中，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深几何．”（丈、尺是长度单位，1丈10=尺）其大意为：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．水的深度是多少？则水深为（）A ．10尺B ．12尺C ．13尺D ．15尺【答案】B 【分析】设水深为h 尺，则芦苇高为()1h +尺，根据勾股定理列方程，求出h 即可．【详解】解:设水深为h 尺，则芦苇高为()1h +尺，由题意知芦苇距离水池一边的距离为5210=÷尺，根据勾股定理得：()22251h h ++=，解得12h =，即水深为12尺，故选：B ．【点睛】本题主要考查勾股定理的应用，根据勾股定理列出方程是解题的关键．【变式2】（2023春·内蒙古通辽·八年级校考期中）如图，将一根长24cm 的筷子，置于底面直径为5cm ，高为12cm 的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长度是cm h ，则h 的取值范围是________．【答案】1112h ≤≤【分析】根据题意可知，h 最长是筷子的长度减去杯子的高度，h 最短是筷子的长度减去杯子斜边长度，利用勾股定理求出杯子的斜边长度，即可求出h 的取值范围．【详解】解：由题意可知，h 最长是筷子的长度减去杯子的高度，即241212cm h =-=，h 最短是筷子的长度减去杯子斜边长度，由勾股定理得，杯子的斜边长度2251213cm =+=，即241311cm h =-=，∴h 的取值范围是1112h ≤≤，故答案为：1112h ≤≤．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，正确理解题意解题关键．题型06解决航海问题【典例1】（2023·宁夏吴忠·统考二模）如图，一艘轮船自西向东航行，航行到A 处测得小岛C 位于北偏东60︒方向上，继续向东航行20海里到达点B 处，测得小岛C 在轮船的北偏东15︒方向上，此时轮船与小岛C 的距离为____海里．【答案】102【分析】过点B 作BD AC ⊥于点D ，根据题意，得30CAB ∠=︒，60ABD ∠=︒，根据小岛C 在轮船的北偏东15︒方向上，则45DBC ∠=︒，45C ∠=︒，根据等角对等边，勾股定理，即可得答案．【详解】过点B 作BD AC ⊥于点D ，∴30CAB ∠=︒，60ABD ∠=︒，∵20AB =（海里），∴10BD =（海里），∵小岛C 在轮船的北偏东15︒方向上，∴45DBC ∠=︒，∴45C ∠=︒，∴10BD DC ==（海里），∴102BC =（海里），故答案为：102．【点睛】本题考查勾股定理的运用，解题的关键是掌握解方位角问题，勾股定理的运用．【变式1】（2023春·广东珠海·八年级珠海市前山中学校考期中）如图，某港口O 位于东西方向的海岸线上，有甲，乙两艘轮船同时离港，各自沿着一固定方向航行，甲船沿北偏西40︒方向航行，每小时30海里，乙船沿北偏东50︒方向航行，每小时40海里，2小时后，两船分别到达A ，B 处，此时两船相距多少海里？【答案】两船相距100海里．【分析】先证明90AOB ∠=︒，求解60OA =，80OB =，再利用勾股定理作答即可．【详解】解：∵甲船沿北偏西40︒方向航行，每小时30海里，乙船沿北偏东50︒方向航行，每小时40海里，2小时后，两船分别到达A ，B 处，∴40NOA ∠=︒，50NOB ∠=︒，60OA =，80OB =，∴90AOB ∠=︒，∴22100AB OA OB =+=，∴此时两船相距100海里．【点睛】本题考查的是方位角的含义，勾股定理的应用，证明90AOB ∠=︒，熟记勾股定理的含义是解本题的关键．【变式2】（2022秋·广东深圳·八年级深圳市高级中学校考期中）如图所示，一艘轮船由A 港口沿着北偏东60︒的方向航行100km 到达B 港口，然后再沿北偏西30︒方向航行100km 到达C 港口．(1)求A ，C 两港口之间的距离；（结果保留根号）(2)C 港口在A 港口的什么方向．【答案】(1)1002km(2)C 港口在A 港口的北偏东15︒的方向上【分析】（1）由题意得90ABC ∠=︒，由勾股定理，从而得出AC 的长；（2）由（1）可得45BAC ∠=︒，求出MAC ∠即可．【详解】（1）∵60MAB ∠=︒，∴30BAN ∠=︒．∵AN QB ∥，∴30QBA BAN ∠=∠=︒．∵30PBC ∠=︒，∴60CBQ ∠=︒．∴90ABC QBA CBQ ∠=∠+∠=︒．根据勾股定理，知2222100+100=1002(km)AC AB BC =+=．答：A 、C 两港之间的距离是1002km ；（2）由（1）知，ABC 是等腰直角三角形，且90ABC ∠=︒，∴45BAC ∠=︒∴9090453015MAC BAC BAN ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒,∴C 港口在A 港口的北偏东15︒的方向上【点睛】本题考查了勾股定理的应用和方向角，解决本题的关键是根据题意得到90ABC ∠=︒．题型07求台阶上地毯长度【典例1】（2023春·山西吕梁·八年级统考期中）如图是楼梯的示意图，楼梯的宽为5米，5AC =米，13AB =米，若在楼梯上铺设防滑材料，则所需防滑材料的面积至少为（）A ．652m B ．852m C ．902m D ．1502m 【答案】B 【分析】勾股定理求出BC ，平移的性质推出防滑毯的长为AC BC +，利用面积公式进行求解即可．【详解】解：由图可知：90C ∠=︒，∵5AC =米，13AB =米，∴2212BC AB AC =-=米，由平移的性质可得：水平的防滑毯的长度12BC ==（米），铅直的防滑毯的长度5AC ==（米），∴至少需防滑毯的长为：17AC BC +=（米），∵防滑毯宽为5米∴至少需防滑毯的面积为：17585⨯=（平方米）．故选：B ．【点睛】本题考查勾股定理．解题的关键是利用平移，将防滑毯的长转化为两条直角边的边长之和．【变式1】（2023春·湖南张家界·八年级统考期中）如图所示的一段楼梯，高BC 是3米，斜边AB 长是5米，现打算在楼梯上铺地毯，至少需要地毯的长度为（）A ．5米B ．6米C ．7米D ．8米【答案】C 【分析】先根据直角三角形的性质求出AC 的长，再根据楼梯高为BC ，楼梯的宽的和为AC ，再把BC AC 、的长相加即可得到答案．【详解】解：根据题意可得：2222534AC AB BC =-=-=，∴如果在楼梯上铺地毯，那么至少需要地毯为：437AC BC +=+=米，故选：C ．【点睛】本题考查的是勾股定理，解答此题的关键是找出楼梯的高和宽与直角三角形两直角边的等量关系．【变式2】（2023春·重庆九龙坡·八年级重庆实验外国语学校校考期中）某会展中心在会展期间准备将高5m 、长13m 、宽2m 的楼道铺上地毯，已知地毯每平方米30元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道需要_______________元．【答案】1020【分析】根据题意，地毯的长是楼梯的竖直部分与水平部分的和，即AB 与BC 的和，在Rt ABC △中，根据勾股定理即可求得AB 的长，地毯的长与宽的积就是面积，继而求解即可．【详解】在Rt ABC △中，由勾股定理得222213512AB AC BC =-=-=，由题意得，地毯的总长度为12517m AB BC +=+=，∴地毯的面积为217234m ⨯=，∴地毯的总价为34301020⨯=元，故答案为：1020．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，正确理解地毯的长度的计算是解题的关键．题型08判断汽车是否超速【典例1】（2023春·广东汕头·八年级统考期末）某条道路限速80km /h ，如图，一辆小汽车在这条道路上沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A 处的正前方30m 的C 处，过了2s ，小汽车到达B 处，此时测得小汽车与车速检测仪间的距离为50m ．(1)求BC 的长；(2)这辆小汽车超速了吗？【答案】(1)40m(2)没有超速．【分析】（1）Rt ABC △中，有斜边AB 的长，有直角边AC 的长，那么根据勾股定理即可求出BC 的长；（2）根据小汽车用2s 行驶的路程为BC ，那么可求出小汽车的速度，然后再判断是否超速了．【详解】（1）解：在Rt ABC △中，30m AC =，50m AB =；据勾股定理可得：BC =22AB AC -=225030-40m =（）（2）解：小汽车的速度为=v 40220m/s 20 3.6km/h 72km/h ==⨯=（）（）（）；∵72km/h 80km/h <（）（）；∴这辆小汽车行驶没有超速．答：这辆小汽车没有超速．【点睛】此题考查了将实际问题转化为直角三角形中的数学问题，解题的关键是把条件和问题放到直角三角形中，进行解决．要注意题目中单位的统一．【变式1】（2023春·八年级课时练习）如图，一辆小汽车在一条限速70km/h 的街路上沿直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面车速检测仪A 的正前方60m 处的C 点，过了5s 后，测得小汽车所在的B 点与车速检测仪A 之间的距离为100m ．(1)求B ，C 间的距离．(2)这辆小汽车超速了吗？请说明理由．【答案】(1)80m(2)小汽车没超速，理由见解析【分析】（1）直接利用勾股定理进行计算即可；（2）先计算C ，B 段的速度，再与70km/h 比较即可．【详解】（1）解：在Rt ABC △中，由60m AC =，100m AB =，且AB 为斜边，根据勾股定理可得()2280m BC AB AC =-=．即B ，C 间的距离为80m ．（2）这辆小汽车没有超速．理由：∵()80516m /s ÷=，而16m /s 57.6/h km =，而57.670<，所以这辆小汽车没有超速．【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，理解题意，利用直角三角形的性质求解BC 是解本题的关键．【变式2】（2023春·全国·八年级专题练习）“交通管理条例第三十五条”规定：小汽车在城市街路上行驶速度不得超过70千米/小时，如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪正前方50米处，过了6秒后，测得小汽车与车速检测仪距离130米．(1)求小汽车6秒走的路程；(2)求小汽车每小时所走的路程，并判定小汽车是否超速？【答案】(1)120米(2)72千米/小时，小汽车超速了【分析】（1）过点A 作AD BC ⊥，可得50AD =米，设汽车经过6秒后到达点E ，连接AE ，则有130AE =米，利用勾股定理可求得DE 的长，即小汽车6秒所走的路程；（2）利用速度=路程÷时间，即可判断．【详解】（1）解：过点A 作AD BC ⊥，设汽车经过6秒后到达点E ，连接AE ，如图所示：由题意可得：50AD =米，130AE =米，在Rt ADE △中，22DE AE AD =-2213050=-120=（米)，答：小汽车6秒走的路程为120米；（2）解：小汽车6秒中的平均速度为：120620÷=（米/秒）72=（千米/小时），7270> ，∴小汽车超速了．【点睛】本题主要考查勾股定理的应用，解答的关键是理解清楚题意，作出相应的图形．题型09判断是否受台风影响【典例1】（2023·全国·八年级假期作业）6号台风“烟花”风力强，累计降雨量大，影响范围大，有极强的破坏力．如图，台风“烟花”中心沿东西方向AB 由A 向B 移动，已知点C 为一海港，且点C 与直线AB 上的两点A 、B 的距离分别为300km AC =，400km BC =，又500km AB =，经测量，距离台风中心260km 及以内的地区会受到影响．(1)海港C 受台风影响吗？为什么？(2)若台风中心的移动速度为25千米/时，则台风影响该海港持续的时间有多长？【答案】(1)海港C 受台风影响，见解析(2)8小时【分析】（1）过C 作CD AB ⊥交AB 于点D ，根据勾股定理计算出CD ，即可得到答案；（2）根据勾股定理求出斜边为260km 的直角边即可得到答案；【详解】（1）解：过C 作CD AB ⊥交AB 于点D ，设=km AD x ，则500km BD x =-，∵300km AC =，400km BC =，∴2222300400(500)x x -=--，解得180km x =，22300180240kmCD =-=∵240<260，距离台风中心260km 及以内的地区会受到影响，∴海港C 受台风影响；（2）解：以C 为圆心260km 为半径画圆交AB 于点E 、F 如图所示，可得台风在EF 范围内有影响，根据勾股定理可得，2222260240100km ED CE CD =-=-=，∴200km EF =，∵台风的速度为25千米/小时，∴20025=8÷（小时），∴台风影响该海港持续的时间为8小时．【点睛】本题考查勾股定理实际生活的应用，解题的关键是作辅助线构造直角三角形．【变式1】（2023春·全国·八年级专题练习）如图，某沿海城市A 接到台风警报，在该市正南方向150km 的B 处有一台风中心正以20km /h 的速度向BC 方向移动，已知城市A 到BC 的距离90km AD =，那么：(1)台风中心经过多长时间从B 点移到D 点？(2)如果在距台风中心30km 的圆形区域内都有受到台风破坏的危险，为让D 点的游人脱离危险，游人必须在接到台风警报后的几小时内撤离（撤离速度为6km /h ）最好选择什么方向？【答案】(1)6小时(2)1小时内撤离，撤离的方向最好是沿AD 所在的方向．【分析】（1）有勾股定理求出120BD =，利用时间等于路程除以速度即可得到答案；（2）根据题意判断出撤离方向，再根据台风到点D 的时间是6小时和游人撤出危险区域的时间即可得到答案．【详解】（1）解：在直角三角形ABD 中，根据勾股定理，得2215090120BD =-=，120206÷=（小时）；答：台风中心经过6小时从B 点移到D 点；（2）根据题意，得游人最好选择沿AD 所在的方向撤离．撤离的时间3065=÷=（小时）．又台风到点D 的时间是6小时．即游人必须在接到台风警报后的1小时内撤离，撤离的方向最好是沿AD 所在的方向．【点睛】此题考查了勾股定理的应用，读懂题意，准确计算是解题的关键．【变式2】（2023春·湖南郴州·八年级校考阶段练习）如图，有一辆环卫车沿公路AB 由点A 向点B 行驶，已知点C 为一所学校，且点C 与直线AB 上两点A ，B 的距离分别为200m 和150m ，250m AB =，环卫车周围130m 以内为受噪声影响区域.(1)学校C 会受噪声影响吗？为什么？(2)若环卫车噪声影响该学校持续的时间有2min ，求环卫车的行驶速度为多少？【答案】(1)学校C 会受噪声影响，理由见解析(2)50m /min【分析】（1）利用勾股定理的逆定理得出ABC ∆是直角三角形，进而利用三角形面积得出CD 的长，即可得出结论；（2）利用勾股定理得出ED 以及EF 的长，即可解决问题．【详解】（1）解：学校C 会受噪声影响，理由如下：如图，过点C 作CD AB ⊥于D ，200m AC = ，150m BC =，250m AB =，222AC BC AB ∴+=．ABC ∴∆是直角三角形，90ACB ∠=︒．1122ABC S AC BC CD AB ∆∴=⋅=⋅，AC BC CD AB ∴⋅=⋅，即200150250CD ⨯=⨯，200×150==120m 250CD ∴，环卫车周围130m 以内为受噪声影响区域，∴学校C 会受噪声影响．（2）解：如图，当130m EC =，130m FC =时，正好影响C 学校，222213012050(m)ED EC CD =-=-= ，2100(m)EF ED ∴==，环卫车噪声影响该学校持续的时间有2min ，∴环卫车的行驶速度为：100250(m /min)÷=，答：环卫车的行驶速度为50m /min ．【点睛】本题考查的是勾股定理的应用、勾股定理的逆定理、等腰三角形的性质以及三角形面积等知识，解答此类题目的关键是构造出直角三角形，再利用勾股定理解答．题型10求最短路径【典例1】（2023春·黑龙江齐齐哈尔·八年级校联考阶段练习）有一圆柱形油罐，如图，要从点A 环绕油罐建梯子，正好到A 点的正上方点B ，问梯子最短要多少米？（已知油罐底面周长是12米，高AB 是5米）【答案】梯子最短要13米【分析】要求梯子的最短长度，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”结合勾股定理得出结果．【详解】解：如图，将圆柱体展开，连接AB ，如图所示：根据两点之间线段最短，梯子最短是：22=16913125AB +==（米），答：梯子最短是13米．【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是要明确，要求两点间的最短线段，就要把这两点放到一个平面内，即把圆柱的侧面展开再计算．【变式1】（2023春·八年级单元测试）如图，在长方体''''ABCD A B C D -中，点E 是棱''B C 的中点，已知3AB =cm ，4BC =cm ，'5AA =cm ．一只小虫从A 点出发沿长方体的表面到E 点处觅食，求小虫爬行的最短距离．【答案】52cm【分析】将面B C CB ''沿BC 展开，将面A B C D ''''沿A B ''展开，将面B BCC ''沿BB '展开，分别计算出AE 后比较大小即可．【详解】解：将面B C CB ''沿BC 展开，如图所示：∴2222(53)268217AE AB EB ⅱ=+=++==cm （）将面A B C D ''''沿A B ''展开，如图所示：∴22223(5258AE AB EB =+=++=）cm （）将面B BCC ''沿BB '展开，如图所示：∴2222(32)55052AE AA A E ⅱ=+=++==cm （）∵5258217<<∴小虫爬行的最短距离为52cm ．【点睛】本题主要考查了根据两点间线段最短的理解和掌握，解题关键是分情况讨论，综合运用勾股定理进行计算．【变式2】（2023春·全国·八年级专题练习）问题情境：如图①，一只蚂蚁在一个长为80cm ，宽为50cm 的长方形地毛毯上爬行，地毯上堆放着一根正三棱柱的木块，它的侧棱平行且等于场地宽AD ，木块从正面看是一个边长为20cm 的等边三角形．求一只蚂蚁从点A 处到达点C 处需要走的最短路程．。

专题03勾股定理的应用(解析版)

2021-2022学年北师大版数学八年级上册压轴题专题精选汇编专题03勾股定理的应用一．选择题1．（2021春•惠城区期末）一帆船先向正西航行24千米，然后向正南航行10千米，这时它离出发点的直线距离有（）千米．A．26B．18C．13D．32【思路引导】根据题意可知两次航向的方向构成了直角．然后根据题意知两次航行的路程即是两条直角边，根据勾股定理就能计算AC的长．【完整解答】解：如图，根据题意得：△ABC是直角三角形，∵∠B＝90°，AB＝24km，BC＝10km，根据勾股定理得AC2＝AB2+BC2，∴AC2＝242+102，∴AC＝26km．故选：A．2．（2021•襄阳）我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个问题：“今有池方一丈，葭（jiā）生其中，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深几何．”（丈、尺是长度单位，1丈＝10尺）其大意为：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．水的深度是多少？则水深为（）A．10尺B．11尺C．12尺D．13尺【思路引导】设水深为h尺，则芦苇长为（h+1）尺，根据勾股定理列方程，解出h即可．【完整解答】解：设水深为h尺，则芦苇长为（h+1）尺，根据勾股定理，得（h+1）2﹣h2＝（10÷2）2，解得h＝12，∴水深为12尺，故选：C．3．（2021•长沙模拟）《算法统宗》是中国古代数学名著，作者是我国明代数学家程大位．在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几？”译文：“有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推送10尺（水平距离）时，秋千的踏板就和人一样高，这个人的身高为5尺，秋千的绳索始终拉得很直，试问绳索有多长？”根据题意，可得秋千的绳索长为（）A．10尺B．14.5尺C．13尺D．17尺【思路引导】设绳索有x尺长，根据勾股定理列方程即可得到结果．【完整解答】解：设绳索有x尺长，则102+（x+1﹣5）2＝x2，解得：x＝14.5，即绳索长14.5尺，故选：B．4．（2021春•洛阳期末）《九章算术》中记载：今有户不知高、广，竿不知长、短．横之不出四尺，从之不出二尺，斜之适出．问户高、广、斜各几何？译文是：今有门，不知其高、宽，有竿，不知其长、短．横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线恰好相等．问门高、宽、对角线长分别是多少？若设门对角线长为x尺，则可列方程为（）A．x2＝（x﹣4）2+（x﹣2）2B．2x2＝（x﹣4）2+（x﹣2）2C．x2＝42+（x﹣2）2D．x2＝（x﹣4）2+22【思路引导】根据题中所给的条件可知，竿斜放就恰好等于门的对角线长，可与门的宽和高构成直角三角形，运用勾股定理可求出门高、宽、对角线长．【完整解答】解：根据勾股定理可得：x2＝（x﹣4）2+（x﹣2）2，故选：A．5．（2020春•杭州期末）如图，斜靠在墙上的一根竹竿，AB＝5m，OB＝3m．若B端沿地面OB方向外0.5m，则A端沿垂直于地面AC方向下移（）A．等于0.5m B．小于0.5m C．大于0.5m D．不确定【思路引导】由勾股定理可求解AO的长，由B端沿地面OB方向外0.5m，可求得OD的长，结合AB＝CD，再利用勾股定理可求解CO的长，进而可求解AC的长，即可求解．【完整解答】解：∵∠O＝90°，AB＝5m，OB＝3m．∴AO2＝AB2﹣OB2＝52﹣32＝42，解得AO＝4（m），∵BD＝0.5m，∴OD＝OB+BD＝3+0.5＝35（m），∵CD＝AB＝5cm，∴CO2＝CD2﹣OD2＝52﹣3.52＝，∴CO＝m，∴AC＝OA﹣OC＝（4﹣）m，即A端沿垂直于地面AC方向下移（4﹣）m，∵（4﹣）m＜0.5m，故选：B．二．填空题6．（2021春•越城区期末）如图1的图案称“赵爽弦图”，是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的．它由四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形．我们在此图形中连接四条线段得到如图2的图案，记阴影部分的面积为S1，空白部分的面积为S2，大正方形的边长为m，小正方形的边长为n，若S1＝S2，则的值为．【思路引导】如图2，由题意可设AB＝CD＝x，则可以用x表示出S2，又由于S1＝S2，S1+S2＝m2，所以可以得到m与x的关系式，在直角△ABC中，利用勾股定理列出方程，得到n与x的关系，等量代换进行运算，即可解决．【完整解答】解：设图2中AB＝x，则CD＝AB＝x，＝＝，∴S△ACD∴S2＝4S△ACD＝2x2，∵S1＝S2，S1+S2＝m2，∴4x2＝m2，∴m＝2x，在Rt△ABC中，AC2＝AB2+BC2，∴x2+（x+n）2＝m2，∴x2+（x+n）2＝4x2，∴，∴，∴．故答案为：．7．（2021春•南康区期末）我国古代的数学名著《九章算术》中有这样一道题目“今有立木，系索其末（上端），委地（堆在地面的部分）三尺．引索却行（沿地面退行），去本（离木柱根部）八尺而索尽．问索长几何？”示意图如图所示，设绳索AC的长为x尺，根据题意，可列方程为x2﹣（x﹣3）2＝82．【思路引导】根据题意可得，BC＝8，AC﹣AB＝3，由于△ABC是直角三角形，利用勾股定理列出方程即可解决．【完整解答】解：∵今有立木，系索其末（上端），委地（堆在地面的部分）三尺，∴AC﹣AB＝3，设AC＝x，则AB＝x﹣3，∵引索却行（沿地面退行），去本（离木柱根部）八尺而索尽，∴BC＝8，在Rt△ABC中，AC2﹣AB2＝BC2，∴x2﹣（x﹣3）2＝82，故答案为：x2﹣（x﹣3）2＝82．8．（2021春•台江区校级期中）明朝数学家程大位在他的著作《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词《西江月》：“平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步恰竿齐，五尺板高离地…”翻译成现代文为：如图，秋千OA静止的时候，踏板离地高一尺（AC＝1尺），将它往前推进两步（EB＝10尺），此时踏板升高离地五尺（BD＝5尺），则秋千绳索（OA或OB）的长度为14.5尺．【思路引导】设OA﹣OB＝x尺，表示出OE的长，在Rt△OEB中，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解即可得到结果．【完整解答】解：设OA＝OB＝x尺，∵EC＝BD＝5尺，AC＝1尺，∴EA＝EC﹣AC＝5﹣1＝4（尺），OE＝OA﹣AE＝（x﹣4）尺，在Rt△OEB中，OE＝（x﹣4）尺，OB＝x尺，EB＝10尺，根据勾股定理得：x2＝（x﹣4）2+102，整理得：8x＝116，即2x＝29，解得：x＝14.5，答：秋千绳索的长度是14.5尺．9．（2021•恩施州）《九章算术》被尊为古代数学“群经之首”，其卷九勾股篇记载：今有圆材埋于壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？如图，大意是，今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这木材，锯口深CD等于1寸，锯道AB长1尺，问圆形木材的直径是多少？（1尺＝10寸）答：圆材直径26寸．【思路引导】过圆心O作OC⊥AB于点C，延长OC交圆于点D，则CD＝1寸，AC＝BC＝AB，连接OA，设圆的半径为x，利用勾股定理在Rt△OAC中，列出方程，解方程可得半径，进而直径可求．【完整解答】解：过圆心O作OC⊥AB于点C，延长OC交圆于点D，连接OA，如图：∵OC⊥AB，∴AC＝BC＝AB，．则CD＝1寸，AC＝BC＝AB＝5寸．设圆的半径为x寸，则OC＝（x﹣1）寸．在Rt△OAC中，由勾股定理得：52+（x﹣1）2＝x2，解得：x＝13．∴圆材直径为2×13＝26（寸）．故答案为：26．10．（2021•长宁区二模）我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐，问水深几何？”（注：丈，尺是长度单位，1丈＝10尺）这段话的意思是：有一水池一丈见方，池中央生有一棵芦苇，露出水面一尺．如把它引向岸边中点，正好与岸边齐．问水有多深？即如图所示的截面图中，AB＝1丈，CD垂直平分AB，DE＝1尺，CD＝CB，那么水的深度CE是12尺．【思路引导】根据勾股定理列出方程，解方程即可．【完整解答】解：设水池里水的深度是x尺，由题意得，x2+52＝（x+1）2，解得：x＝12，答：水池里水的深度是12尺．故答案为：12．11．（2014秋•招远市期中）小明家有一块如图所示的地，其中阴影部分是两个正方形，其他的是两个直角三角形和一个正方形，大直角三角形的斜边和一条直角边的长分别为34米，30米，小明家打算在阴影部分的土地上种花生，则种花生的面积为256米2．【思路引导】两个阴影正方形的面积和等于直角三角形另一未知边的平方．利用勾股定理即可求出．【完整解答】解：两个阴影正方形的面积和为342﹣302＝256（米2）．故种花生的面积为256米2．故答案为：256．12．（2020秋•广陵区校级期中）《九章算术》中有一道“引葭赴岸”问题：“仅有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深，葭长各几何？”题意是：有一个池塘，其地面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇AB生长在它的中央，高出水面部分BC为1尺．如果把芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部B恰好碰到岸边的B′（示意图如图，则水深为12尺．【思路引导】我们可以将其转化为数学几何图形，如图所示，根据题意，可知EB'的长为10尺，则B'C ＝5尺，设出AB＝AB'＝x尺，表示出水深AC，根据勾股定理建立方程，求出的方程的解即可得到芦苇的长和水深．【完整解答】解：依题意画出图形，设芦苇长AB＝AB′＝x尺，则水深AC＝（x﹣1）尺，因为B'E＝10尺，所以B'C＝5尺在Rt△AB'C中，52+（x﹣1）2＝x2，解之得x＝13，即水深12尺，芦苇长13尺．故答案为：12．13．（2020秋•泰州期中）如图所示是一个圆柱形饮料罐，底面半径为5cm，高为12cm，上底面中心有一个小圆孔，将一根长24cm的直吸管从小圆孔插入，直到接触到饮料罐的底部，直吸管在罐外的长度hcm （罐的厚度和小圆孔的大小忽略不计），则h的取值范围是11≤h≤12．【思路引导】如图，当吸管底部在O点时吸管在罐内部分最短，此时罐内部分就是圆柱形的高；当吸管底部在A点时吸管在罐内部分最长，此时可以利用勾股定理在Rt△ABO中求出，然后可得罐外部分a长度范围．【完整解答】解：如图，当吸管底部在O点时吸管在罐内部分最短，此时罐内部分就是圆柱形的高，罐外部分a＝24﹣12＝12（cm）；当吸管底部在A点时吸管在罐内部分最长，即线段AB的长，在Rt△ABO中，AB＝＝＝13（cm），罐外部分a＝24﹣13＝11（cm），所以11≤h≤12．故答案是：11≤h≤12．14．（2020秋•溧阳市期中）甲、乙两人同时从同一个地点出发，甲往北偏东30°方向走了3.6公里，乙往北偏西60°方向走了4.8公里，这时甲、乙两人相距6公里．【思路引导】根据甲、乙两人所走的方向，可知甲、乙两人的路线可构成直角三角形，两人的间距为直角三角形的斜边，根据勾股定理可求解出．【完整解答】解：设甲往北偏东30°的方向的距离为AB，乙往往北偏西60°的方向的距离为AC．根据勾股定理可得：AB2+AC2＝BC2，所以BC＝（公里），故答案为：6．15．（2020秋•江阴市期中）如图，在离水面高度为8米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为17米，几分钟后船到达点D的位置，此时绳子CD的长为10米，问船向岸边移动了9米．【思路引导】在Rt△ABC中，利用勾股定理计算出AB长，再根据题意可得CD长，然后再次利用勾股定理计算出AD长，再利用BD＝AB﹣AD可得BD长．【完整解答】解：在Rt△ABC中：∵∠CAB＝90°，BC＝17米，AC＝8米，∴AB＝＝＝15（米），∵CD＝10（米），∴AD＝＝6（米），∴BD＝AB﹣AD＝15﹣6＝9（米），答：船向岸边移动了9米，故答案为：9．三．解答题16．（2021春•河东区期末）如图，某港口P位于东西方向的海岸线上．“综合执法1号”、“综合执法2号”轮船同时离开港口，各自沿一定方向执法巡逻，“综合执法1号”每小时航行16nmile，“综合执法2号”每小时航行12nmile，它们离开港口一个半小时后分别位于点Q，R处，且相距30nmile．（1）求PQ，PR的长度；（2）如果知道“综合执法1号”沿北偏东61°方向航行，能知道“综合执法2号”沿哪个方向航行吗？【思路引导】（1）根据路程＝速度×时间即可得到结论；（2）根据勾股定理的逆定理得到△RPQ是直角三角形，求得∠RPQ＝90°，根据角的和差即可得到结论．【完整解答】解：（1）由题意可得：RP＝12×1.5＝18（海里），PQ＝16×1.5＝24（海里）；（2）能，理由：∵RP＝12×1.5＝18海里，PQ＝16×1.5＝24海里，QR＝30海里，∵182+242＝302，∴△RPQ是直角三角形，∴∠RPQ＝90°，∵“综合执法1号”沿北偏东61°方向航行，∴∠QPS＝61°，∴∠SPR＝90°﹣61°＝29°，∴“综合执法2号”沿北偏西29°方向航行方向航行．17．（2021春•广安期末）为了积极宣传防疫知识，某地政府采用了移动车进行广播．如图，小明家在一条笔直的公路MN的一侧点A处，且到公路MN的距离AB为600m．若广播车周围1000m以内都能听到广播宣传，则当广播车以250m/min的速度在公路MN上沿MN方向行驶时，在小明家是否能听到广播宣传？若能，请求出在小明家共能听到多长时间的广播宣传．【思路引导】根据小明A到公路MN的距离为600米＜1000米，可以判断能否听到；根据勾股定理得到BP＝BQ＝800米，求得PQ＝1600米，于是得到结论．【完整解答】解：小明能听到宣传，理由：∵村庄A到公路MN的距离为600米＜1000米，∴小明能听到宣传；如图：假设当宣讲车行驶到P点开始小明听到广播，行驶到Q点小明听不到广播，则AP＝AQ＝1000米，AB＝600米，∴BP＝BQ＝＝800（米），∴PQ＝1600米，∴小明听到广播的时间为：1600÷250＝6.4（分钟），∴他总共能听到6.4分钟的广播．18．（2021春•新抚区期末）如图，一架云梯AB长25m，斜靠在一面墙上，梯子靠墙的一端A距地面24m．（1）这个梯子底端B离墙有多少米？（2）如果梯子的顶端下滑的距离AD＝4m，求梯子的底部B在水平方向滑动的距离BE的长．【思路引导】（1）由题意得AC＝24米，AB＝25米，根据勾股定理可求出梯子底端离墙有多远．（2）由题意得此时CD＝20米，由勾股定理可得出此时的CE．【完整解答】（1）由题意知AB＝DE＝25米，AC＝24米，AD＝4米，在直角△ABC中，∠C＝90°，∴BC2+AC2＝AB2，∴米，∴这个梯子底端离墙有7米；（2）已知AD＝4米，则CD＝24﹣4＝20（米），在直角△CDE中，∠C＝90°，∴BD2+CE2＝DE2，∴（米），BE＝15﹣7＝8（米），答：梯子的底部在水平方向滑动了8m．19．（2021春•东湖区期中）如图，某港口O位于东西方向的海岸线上，“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里．（1）若它们离开港口一个半小时后分别位于A、B处，且相距30海里．如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？说明理由．（2）若“远航”号沿北偏东60°方向航行，经过两个小时后位于F处，此时船上有一名乘客需要紧急回到PE海岸线上，若他从F处出发，乘坐的快艇的速度是每小时80海里．他能在半小时内回到海岸线吗？说明理由．【思路引导】（1）根据勾股定理的逆定理得出△AOB是直角三角形，进而解答即可；（2）过点A作AD⊥PE于D，根据含30°角的直角三角形的性质解答即可．【完整解答】解：（1）∵OA＝16×1.5＝24，OB＝12×1.5＝18，AB＝30，∴OA2+OB2＝AB2，∴△AOB是直角三角形，∴∠AOB＝90°，∵“远航”号沿东北方向航行，∴∠AON＝45°，∴∠BON＝90°﹣45°＝45°，∴“海天”号沿西北方向航行；（2）过点F作FD⊥PE于D，OF＝16×2＝32，∵∠NOF＝60°，∴∠FOD＝90°﹣60°＝30°，∴FD＝，∴16÷80＝0.2（小时），∵0.2＜0.5，∴能在半小时内回到海岸线．20．（2021春•沂南县期末）生活经验表明：靠墙摆放梯子时，若梯子底端离墙约为梯子长度的，则梯子比较稳定．现有一长度为6m的梯子，当梯子稳定摆放时，它的顶端能到达5.5m高的墙头吗？【思路引导】根据梯子的长度得到梯子距离墙面的距离，然后用勾股定理求出梯子的顶端距离地面的高度后与5.5比较即可作出判断．【完整解答】解：由题意知：AB＝6，BC＝AB＝×6＝2，在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，AC2+BC2＝AB2，∴AC＝＝＝4，∴梯子的顶端距离地面的高度为，∵＞5.5，∴梯子的顶端能到达5.5米高的墙头．21．（2020秋•重庆期末）如图，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且∠QPN＝30°，在A处有一所中学，AP＝120米，此时有一辆消防车在公路MN上沿PN方向以每秒5米的速度行驶，假设消防车行驶时周围100米以内有噪音影响．（1）学校是否会受到影响？请说明理由．（2）如果受到影响，则影响时间是多长？【思路引导】（1）作AB⊥MN于B，根据含30度的直角三角形三边的关系得到AB＝PA＝60m，由于这个距离小于100m，所以可判断拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校受到噪音影响；（2）以点A为圆心，100m为半径作⊙A交MN于C、D，根据垂径定理得到BC＝BD，再根据勾股定理计算出BC＝80m，则CD＝2BC＝160m，根据速度公式计算出拖拉机在线段CD上行驶所需要的时间．【完整解答】解：（1）学校受到噪音影响．理由如下：作AB⊥MN于B，如图1，∵PA＝120m，∠QPN＝30°，∴AB＝PA＝60m，而60m＜100m，∴消防车在公路MN上沿PN方向行驶时，学校受到噪音影响；（2）以点A为圆心，100m为半径作⊙A交MN于C、D，如图，∵AB⊥CD，∴CB＝BD，在Rt△ABC中，AC＝100m，AB＝60m，CB＝＝80m，∴CD＝2BC＝160m，∵消防车的速度5m/s，∴消防车在线段CD上行驶所需要的时间＝160÷5＝32（秒），∴学校受影响的时间为32秒．22．（2020秋•遂宁期末）如图，小颖和她的同学荡秋千，秋千AB在静止位置时，下端B′离地面0.6m，荡秋千到AB的位置时，下端B距静止位置的水平距离EB等于2.4m，距地面1.4m，求秋千AB的长．【思路引导】设AB＝x，在Rt△AEB中，利用勾股定理，构建方程即可解决问题【完整解答】解：设AB＝AB′＝x，由题意可得出：B′E＝1.4﹣0.6＝0.8（m），则AE＝AB﹣0.8，在Rt△AEB中，∵AE2+BE2＝AB2，∴（x﹣0.8）2+2.42＝x2解得：x＝4，答：秋千AB的长为4m．23．（2021春•吉林期末）如图，某港口P位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16nmile，“海天”号每小时航行12nmile．它们离开港口一个半小时后分别位于点Q，R处，且相距30nmile．如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？【思路引导】直接得出RP＝18海里，PQ＝24海里，QR＝30海里，利用勾股定理逆定理以及方向角即可得到“海天”号航行方向．【完整解答】解：由题意可得：RP＝18海里，PQ＝24海里，QR＝30海里，∵182+242＝302，∴△RPQ是直角三角形，∴∠RPQ＝90°，∵“远航”号沿北偏东45°方向航行∴∠RPS＝45°，∴“海天”号沿北偏西45°方向航行．24．（2021春•阳新县月考）如图，公路MN和公路PQ在P点处交汇，点A处有一所中学，AP＝160米，∠NPQ＝30°，假使拖拉机行驶时周围100米以内会受到噪音影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时学校是否会受到影响，请说明理由；如果受到影响，已知拖拉机的速度是5米/秒，那么学校受到的影响的时间为多少秒？【思路引导】作AH⊥MN于H，如图，利用含30度的直角三角形三边的关系得到AH＝AP＝80，则点A到MN的距离小于100，从而可判断学校会受到影响；以A为圆心，100为半径画弧交MN于B、C，如图，则AB＝AC＝100，利用等腰三角形的性质得BH＝CH，接下来利用勾股定理计算出BH＝60，所以BC＝2BH＝120，然后利用速度公式计算出学校受到的影响的时间．【完整解答】解：作AH⊥MN于H，如图，在Rt△APH中，∵∠HPA＝30°，∴AH＝AP＝×160°＝80，而80＜100，∴拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时学校会受到影响；以A为圆心，100为半径画弧交MN于B、C，如图，则AB＝AC＝100，而AH⊥BC，∴BH＝CH，在Rt△ABH中，BH＝＝60，∴BC＝2BH＝120，∴学校受到的影响的时间＝＝24（秒）．25．（2020秋•海勃湾区期末）交通安全是社会关注的热点问题，安全隐患主要是超速和超载．某中学八年级数学活动小组的同学进行了测试汽车速度的实验．如图，先在笔直的公路1旁选取一点P，在公路l 上确定点O、B，使得PO⊥l，PO＝100米，∠PBO＝45°．这时，一辆轿车在公路l上由B向A匀速驶来，测得此车从B处行驶到A处所用的时间为3秒，并测得∠APO＝60°．此路段限速每小时80千米，试判断此车是否超速？请说明理由（参考数据：＝1.41，＝1.73）．【思路引导】解直角三角形得到AB＝OA﹣OB＝73米，求得此车的速度≈86千米/小时＞80千米/小时，于是得到结论．【完整解答】解：此车超速，理由：∵∠POB＝90°，∠PBO＝45°，∴△POB是等腰直角三角形，∴OB＝OP＝100米，∵∠APO＝60°，∴OA＝OP＝100≈173米，∴AB＝OA﹣OB＝73米，∴≈24米/秒≈86千米/小时＞80千米/小时，∴此车超速．。

勾股定理(强化卷)原卷版 -2021-2022学年八年级数学上册(苏科版)教材同步课时精练

3.1勾股定理强化卷一、单选题1．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A、B、C、D的边长分别是3、5、2、3，则最大正方形E的面积是（）A．13B．26C．34D．472．如图，三级台阶，每一级的长、宽、高分别为8dm、3dm、2dm．A和B是这个台阶上两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到点B处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程为（）A．15 dm B．17 dm C．20 dm D．25 dm3．如图，正方形ABCD是由9个边长为1的小正方形组成，每个小正方形的顶点都叫格点，连接AE，AF，∠=（）则EAFA．30B．45︒C．60︒D．75︒4．如图，在水池的正中央有一根芦苇，池底长10尺，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边，它的顶端恰好到达池边的水面，则这根芦苇的高度是（）A ．10尺B ．11尺C ．12尺D ．13尺5．如图，正方形ABCD 中，DE⊥CE ，垂足为E ，且DE=3，CE=4，则阴影部分的面积是（）A ．16B ．18C ．19D ．216．等腰三角形的腰长为10，底边长为12，则这个等腰三角形的面积是（） A ．24B ．48C ．96D ．367．在ABC ∆中，15AB =，13AC =，高12AD =，则三角形的周长是（） A ．42B ．32C ．42或32D ．37或338．如图，在ABC ∆中，AB=AC, ⊥B=30°，AD⊥AB ，AD=4，则下列各式中正确的是（）A ．AB=8B ．BC=16C ．DC=4D ．BD=109．下列选项中（图中三角形都是直角三角形），不能用来验证勾股定理的是（）A ．B ．C ．D ．10．⊥ABC 中，AB=15，AC=13，高AD=12，则⊥ABC 的周长为（） A ．42B ．32C ．42或32D ．37或33二、填空题11．如图，Rt⊥ABC 中，⊥C=90°，在⊥ABC 外取点D ，E ，使AD=AB ，AE=AC ，且α+β＝⊥B ，连结DE ．若AB ＝4，AC ＝3，则DE ＝__．12．在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，13AB =，5AC =，BC =______.13．如图，四边形ABCD 是正方形，AE ⊥BE 于点E ，且AE ＝3，BE ＝4，则阴影部分的面积是_____．14．如图，在Rt ABC △中，90B ∠=︒，3cm AB =，5cm AC =，将ABC 折叠，使点C 与点A 重合，得折痕DE ，则ABE △的周长等于____cm ．15．如图，学校有一块长方形草坪，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在草坪内走出了一条“路”，他们仅仅少走了________步路（假设2步为1米），却踩伤了花草．16．边长为6的等边三角形的面积是__________．17．如图，长为10cm 的弹性皮筋放置在直线l 上，固定两端A 和B ，然后把中点C 垂直向上拉升12cm 至D 点，则弹性皮筋被拉长了_____cm ．18．如图，Rt ABC ∆中，90CAB ∠=︒，ABD ∆是等腰三角形，4AB BD ==，CB BD ⊥交AD 于E ，1BE =，则AC =_________．19．已知，在ABC ∆中，1513AB AC ==，，且BC 边上的高为12，边BC 的长为__________． 20．在⊥ABC 中，AB=15，AC=13，高AD=12，则ABC ∆的周长为_______________．三、解答题21．如图，在四边形ABCD 中，AB AD =，90BAD ACD ∠=∠=︒，BE AC ⊥于E ，（1）求证：BE AC =；（2）若10AB =，6CD =，求四边形ABCD 的面积．22．如图，⊥ABC 中，⊥BAC ＝90°，AC ＝8cm ，DE 是BC 边上的垂直平分线，⊥ABD 的周长为14cm ，求BC 的长．23．如图，你能计算出各直角三角形中未知边的长吗？24．如图，一个宽1m ，高2.4m 的大门，需在相对角的顶点间加一块加固木板．求木板长．25．已知：整式()()22212A n n -＝+，整式0B >．尝试: 化简整式A ．发现: 2A B =，求整式B ．联想:由上可知，222212B n n +＝（﹣）（），当n ＞1时2,1,2,n n B -为直角三角形的三边长，如图．填写下表中B 的值：26．（1）按规律填表：（2）上表中，每列三个数为一组，这组数有什么特点？（3）如果一个直角三角形的两条直角边长分别为20和99，你能很快得到斜边的长吗？27．在ABC ∆中，AB AC =，6BC =，ABC ∆面积212cm ，求腰长AB ．28．如图，点C 在线段BD 上，AC BD ⊥，CA CD =，点E 在线段CA 上，且满足DE AB =，连接DE 并延长DE 交AB 于点F ，连接AD ，BE ．（1）求证：DF AB ⊥；（2）若已知BC a =，AC b =，AB c =，设EF x =，则ABD △的面积用代数式可表示为()12ABDS c c x =+．你能借助本题提供的图形，证明勾股定理吗？试一试吧！29．已知：如图，在Rt ABC 中，90C ∠=︒，5AB cm =，3AC cm =，动点P 从点B 出发沿射线BC 以1/cm s 的速度移动，设运动的时间为t 秒．（1）求BC 边的长；（2）当ABP △为直角三角形时，求t 的值；（3）当ABP △为轴对称图形时，求t 的值．30．到三角形三条边距离相等的点，叫做此三角形的内心，由此我们引入如下定义：到三角形的两条边距离相等的点，叫做此三角形的准内心．举例：如图，若AD 平分⊥CAB ，则AD 上的点E 为⊥ABC 的准内心．应用：（1）如图AD 为等边三角形ABC 的高，准内心P 在高AD 上，且 PD ＝12AB ，则⊥BPC 的度数为度．（2）如图已知直角⊥ABC 中斜边AB ＝5，BC ＝3，准内心P 在BC 边上，求CP 的长．。

专题31勾股定理-2021-2022学年八年级数学上(解析版)【苏科版】

2021-2022学年八年级数学上册尖子生同步培优题典【苏科版】专题3.1勾股定理姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________注意事项：本试卷满分100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2019秋•高新区校级期中）若直角三角形的两边长分别为a，b，且满足a2﹣6a+9+|b﹣4|＝0，则该直角三角形的第三边长的平方为（）A．25B．7C．25或7D．25或16【分析】根据非负数的性质列出方程求出a、b的值，根据勾股定理即可得到结论．【解析】∵a2﹣6a+9+|b﹣4|＝0，∴（a﹣3）2＝0，b﹣4＝0，∴a＝3，b＝4，∴直角三角形的第三边长=√32+42=5，或直角三角形的第三边长=√42−32=√7，∴直角三角形的第三平方为25或7，故选：C．2．（2019秋•英德市期末）如图，两个较大正方形的面积分别为225、289，则字母A所代表的正方形的面积为（）A．4B．8C．16D．64【分析】根据正方形的面积等于边长的平方，由正方形PQED的面积和正方形PRQF的面积分别表示出PR的平方及PQ的平方，又三角形PQR为直角三角形，根据勾股定理求出QR的平方，即为所求正方形的面积．【解析】∵正方形PQED的面积等于225，∴即PQ2＝225，∵正方形PRGF的面积为289，∴PR2＝289，又△PQR为直角三角形，根据勾股定理得：PR2＝PQ2+QR2，∴QR2＝PR2﹣PQ2＝289﹣225＝64，则正方形QMNR的面积为64．故选：D．3．（2020秋•亭湖区校级期中）如图，在赵爽弦图中，已知直角三角形的短直角边长为a，长直角边长为b，大正方形的面积为20，小正方形的面积为4，则ab的值是（）A．10B．8C．7D．5【分析】根据勾股定理解答即可．【解析】设大正方形的边长为c，则c2＝a2+b2＝20，小正方形的面积（a﹣b）2＝4，∴20﹣2ab＝4，解得：ab＝8，故选：B．4．（2020秋•东港市期中）如图，是由四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的个大正方形，若大正方形的面积是17，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边分别为a，b，则（a+b）2的值是（）A．13B．25C．33D．144【分析】根据正方形的面积公式以及勾股定理，结合图形进行分析发现：大正方形的面积即直角三角形斜边的平方17，也就是两条直角边的平方和是17，四个直角三角形的面积和是大正方形的面积减去小正方形的面积即2ab＝16．根据完全平方公式即可求解．【解析】根据题意，结合勾股定理a2+b2＝17，四个三角形的面积＝4×12ab＝17﹣1，∴2ab＝16，联立解得：（a+b）2＝17+16＝33．故选：C．5．（2019秋•昌平区期末）如果正整数a、b、c满足等式a2+b2＝c2，那么正整数a、b、c叫做勾股数，某同学将自己探究勾股数的过程列成下表，观察表中每列数的规律，可知x+y的值为（）A．47B．62C．79D．98【分析】依据每列数的规律，即可得到a＝n2﹣1，b＝2n，c＝n2+1，进而得出x+y的值．【解析】由题可得，3＝22﹣1，4＝2×2，5＝22+1，……∴a＝n2﹣1，b＝2n，c＝n2+1，∴当c＝n2+1＝65时，n＝8，∴x＝63，y＝16，∴x+y＝79，故选：C．6．（2020秋•明溪县期中）如图，“赵爽弦图”是用四个相同的直角三角形与一个小正方形无缝隙地铺成一个大正方形，已知大正方形面积为25，（x+y）2＝49，用x，y表示直角三角形的两直角边（x＞y），下列选项中正确的是（）A ．小正方形面积为4B ．x 2+y 2＝5C ．x 2﹣y 2＝7D ．xy ＝24 【分析】根据勾股定理解答即可．【解析】根据题意可得：x 2+y 2＝25，故B 错误，∵（x +y ）2＝49，∴2xy ＝24，故D 错误，∴（x ﹣y ）2＝1，故A 错误，∴x 2﹣y 2＝7，故C 正确；故选：C ．7．（2019秋•滨海县期中）两个边长分别为a ，b ，c 的直角三角形和一个两条直角边都是c 的直角三角形拼成如图所示的图形，用两种不同的计算方法计算这个图形的面积，则可得等式为（）A ．（a +b ）2＝c 2B ．（a ﹣b ）2＝c 2C ．a 2+b 2＝c 2D ．a 2﹣b 2＝c 2【分析】用两种方法求图形面积，一是直接利用梯形面积公式来求；一是利用三个三角形面积之和来求．【解析】根据题意得：S =12（a +b ）（a +b ），S =12ab +12ab +12c 2，∴12（a +b ）（a +b ）=12ab +12ab +12c 2，即（a +b ）（a +b ）＝ab +ab +c 2，整理得：a 2+b 2＝c 2．故选：C ．8．（2020秋•惠来县期末）如图，由两个直角三角形和三个大正方形组成的图形，其中阴影部分面积是（）A．16B．25C．144D．169【分析】根据勾股定理解答即可．【解析】根据勾股定理得出：AB=√AC2−BC2=√132−122=5，∴EF＝AB＝5，∴阴影部分面积是25，故选：B．9．（2021春•东莞市期末）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以Rt△ABC的三边为边向外作正方形，其面积分别为S1，S2，S3，且S1＝4，S3＝16，则S2＝（）A．20B．12C．2√5D．2√3【分析】根据勾股定理求出AC2，得到答案．【解析】由勾股定理得，AC2＝AB2﹣BC2＝16﹣4＝12，则S2＝AC2＝12，故选：B．10．（2019秋•建湖县期中）如图，∠ACD是△ABC的外角，CE平分∠ACB，交AB于E，CF平分∠ACD，且EF∥BC交AC、CF于M、F，若EM＝3，则CE2+CF2的值为（）A．36B．9C．6D．18【分析】根据角平分线的定义可以证明出△CEF是直角三角形，再根据平行线的性质以及角平分线的定义证明得到EM＝CM＝MF然后求出EF的长度，然后利用勾股定理列式计算即可求解．【解析】∵CE平分∠ACB交AB于E，CF平分∠ACD，∴∠1＝∠2=12∠ACB，∠3＝∠4=12∠ACD，∴∠2+∠3=12（∠ACB+∠ACD）＝90°，∴△CEF是直角三角形，∵EF∥BC，∴∠1＝∠5，∠4＝∠F，∴∠2＝∠5，∠3＝∠F，∴EM＝CM，CM＝MF，∵EM＝3，∴EF＝3+3＝6，在Rt△CEF中，CE2+CF2＝EF2＝62＝36．故选：A．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上11．（2021春•庄浪县期末）在Rt△ABC中，若两直角边a，b满足√10−2a+|b−12|=0，则斜边c的长度是13．【分析】首先利用非负数的性质求得a＝5，b＝12，然后根据勾股定理求得斜边c的长度即可．【解析】∵在Rt△ABC中，若两直角边a，b满足√10−2a+|b−12|=0，∴10﹣2a＝0，b﹣12＝0，解得a＝5，b＝12，∴c=√a2+b2=√52+122=13．故答案是：13．12．（2021春•鄢陵县期末）如图，由边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点A、B、C都在网格格点的位置上，则△ABC的中线BD的长为52．【分析】首先根据勾股定理求得AB ，BC ，AC 的长度，然后由勾股定理的逆定理判定△ABC 是直角三角形，则根据直角三角形斜边上中线的性质求解即可．【解析】如图，AB ＝2＝12+22＝5，BC 2＝22+42＝20，AC 2＝42+32＝25．∴AB 2+BC 2＝AC 2．∴△ABC 是直角三角形，且∠ABC ＝90°．∵BD 是斜边AC 上的中线，∴BD =12AC =12×√25=52．故答案是：52．13．（2021春•武汉期中）一竖直的木杆在离地面4米处折断，木杆顶端落在地面离木杆底端3米处，木杆折断之前的高度为 9 米．【分析】由题意得，在直角三角形中，知道了两直角边，运用勾股定理即可求出斜边，从而得出这棵树折断之前的高度．【解析】∵一竖直的木杆在离地面4米处折断，顶端落在地面离木杆底端3米处，∴折断的部分长为√42+32=5（米），∴折断前高度为5+4＝9（米）．故答案为：9．14．（2021春•隆回县期中）已知，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D ，且AD ＝3，AC ＝6，则AB ＝ 12 ．【分析】先根据CD ⊥AB 于D ，AD ＝3，AC ＝6得到∠ACD 是30°，再利用同角的余角相等得到∠B ＝∠ACD ＝30°，所以AB ＝2AC ＝12．【解析】∵CD⊥AB于D，AD＝3，AC＝6，∴∠ACD＝30°，∵CD⊥AB于D，∴∠B+∠BCD＝90°，又∠ACD+∠BCD＝90°，∴∠B＝∠ACD＝30°，∵AC＝6，∴AB＝2AC＝12．故答案为12．15．（2021•龙泉驿区模拟）如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝BC＝13，CD是中线，则CD的长为12．【分析】由AC＝BC，CD是中线得出△ABC是等腰三角形，CD⊥AB，然后由勾股定理求出CD即可．【解析】∵AC＝BC，∴△ABC是等腰三角形，∵CD是等腰三角形底边上的的中线，∴CD⊥AB，∵AB＝10，∴AD＝5，∴在Rt△CAD中，AD=√AC2−AD2=√132−52=12，故答案为：12．16．（2021春•天津期中）如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分别以AC，BC，AB为直径作半圆，面积分别记为S1，S2，S3，若S3＝9π，则S1+S2等于9π．【分析】根据勾股定理和圆的面积公式，可以得到S 1+S 2的值，从而可以解答本题．【解析】∵∠ACB ＝90°，∴AC 2+BC 2＝AB 2，∵S 1＝π（AC 2）2×12，S 2＝π（BC 2）2×12，S 3＝π（AB 2）2×12， ∴S 1+S 2＝π（AC2）2×12+π（BC 2）2×12=π（AB 2）2×12=S 3， ∵S 3＝9π， ∴S 1+S 2＝9π，故答案为：9π．17．（2021春•长清区期末）如图，一棵高为16m 的大树被台风刮断，若树在离地面6m 处折断，树顶端刚好落在地可上，此处离树底部 8 m 处．【分析】首先设树顶端落在离树底部x 米处，根据勾股定理可得62+x 2＝（16﹣6）2，再解即可．【解析】设树顶端落在离树底部x 米处，由题意得：62+x 2＝（16﹣6）2，解得：x 1＝8，x 2＝﹣8（不合题意舍去）．故答案为：8．18．（2021春•瑶海区期中）如图，一系列等腰直角三角形（编号分别为①、②、③、④、…）组成了一个螺旋形，其中第1个三角形的直角边长为1，则第n 个等腰直角三角形的面积为 2n ﹣2 ．【分析】分别求出第1、2、3个直角三角形的直角边的长，找到规律，从而写出第n 个直角三角形的直角边的长，求出面积即可．【解析】∵第1个三角形的直角边长为1，∴第2个三角形直角边长为√2，第3个三角形的直角边长为2＝（√2）2，……第n 个直角三角形直角边为（√2）n ﹣1， ∴S ①=12=2﹣1 S ②=12×√2×√2=1＝20， S ③=12×2×2=2， ……∴第n 个等腰直角三角形的面积为：12(√2)n−1×(√2)n−1=2n ﹣2．故答案为：2n ﹣2．三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（2020秋•明溪县期中）在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个有趣的问题，这个问题的意思是：如图，有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇沿与一边垂直的方向拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，求池水的深度．【分析】设池水的深度为x 尺，根据勾股定理列出方程，解方程得到答案．【解析】设池水的深度为x 尺，由题意得，（x +1）2＝x 2+（102）2，解得，x ＝12，答：池水的深度为12尺．20．（2018秋•晋江市期末）如图，一架2.5m长的梯子AB斜靠在墙AC上，梯子的顶端A离地面的高度为2.4m，如果梯子的底部B向外滑出1.3m后停在DE位置上，则梯子的顶部下滑多少米？【分析】根据勾股定理即可得到结论．【解析】由题意得，AB＝DE＝2.5，AC＝2.4，BD＝1.3，∵∠C＝90°，∴BC=√AB2−AC2=√2．52−2．42=0.7，∴CD＝BC+BD＝2，∵CE=√DE2−CD2=√2．52−22=1.5，∴AE＝AC﹣CE＝2.4﹣1.5＝0.9，答：梯子的顶部下滑0.9米．21．（2018秋•台儿庄区校级月考）“交通管理条例第三十五条”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70千米/小时，如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面对车速检测仪正前方50米处，过了6秒后，测得小汽车与车速检测仪间距离为130米，这辆小汽车超速了吗？【分析】利用勾股定理列式求出BC，再根据速度＝路程÷时间求出小汽车的速度，然后化为千米/小时的单位即可得解．【解析】由勾股定理得，BC=√AC2−AB2=√1302−502=120米，v＝120÷6＝20米/秒，∵20×3.6＝72，∴20米/秒＝72千米/小时，72＞70，∴这辆小汽车超速了．22．（2019春•宁都县期中）《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”可翻译为：有一根竹子高一丈，今在A处折断，竹梢落在地面的B处，B与竹根部C相距3尺，求折断点A与地面的高度AC．（注：1丈＝10尺）【分析】设AC＝x，可知AB＝10﹣x，再根据勾股定理即可得出结论．【解析】设AC＝x，∵AC+AB＝10，∴AB＝10﹣x．∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∴AC2+BC2＝AB2，即x2+32＝（10﹣x）2．解得：x＝4.55，即AC＝4.55．23．（2020秋•盐湖区期中）如图是一底面周长为24m，高为6m的圆柱形油罐，一只老鼠欲从距地面1m的A处沿侧面爬行到对角B处吃食物，请算出老鼠爬行的最短路程为多少？【分析】延AC和BD剪开，将曲面平铺在平面上，过AE作AE⊥BD于E，根据勾股定理求出线段AB 的长即可．【解析】延AC和BD剪开，将曲面平铺在平面上，过AE作AE⊥BD于E，如图，∵底面周长为24m，高为6m的圆柱形油罐，∴AE＝12m，BE＝6﹣1＝5（m），在Rt△AEB中，由勾股定理得：AB=√AE2+BE2=√122+52=13（m），∴老鼠爬行的最短路程为13m．24．（2018秋•灵石县期中）阅读材料，回答问题：（1）中国古代数学著作《周髀算经》有着这样的记载：“勾广三，股修四，径隅五．”这句话的意思是：“如果直角三角形两直角边为3和4时，那么斜边的长为5．“上述记载表明了在Rt△ABC中，如果∠C ＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c，那么a，b，c三者之间的数量关系是：（2）对于这个数量关系，可以利用面积法进行了证明．已知四个全等的直角三角形围成如图所示的正方形，请你参考右图，将下面的证明过程补充完整；证明：∵S△ABC=12ab，S正方形ABCD＝c2，S正方形EFGB＝（a+b）又∵S正方形EFGB＝4S△ABF+S正方形ABCD，∴（a+b）2＝4×12ab+c2，整理得a2+2ab+b2＝2ab+c2，∴a2+b2＝c2．【分析】（1）根据勾股定理解答即可；（2）根据题意、结合图形，根据完全平方公式进行计算即可．【解析】（1）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c，由勾股定理得，a2+b2＝c2，故答案为：a2+b2＝c2；（2）证明：∵S△ABC=12ab，S正方形ABCD＝c2，S正方形EFGB＝（a+b）2又∵S正方形EFGB＝4S△ABF+S正方形ABCD，∴（a+b）2＝4×12ab+c2，整理得a2+2ab+b2＝2ab+c2，∴a2+b2＝c2．故答案为：（a+b）2；4S△ABF；S正方形ABCD，（a+b）2，c2，a2+b2＝c2．。

2022-2023学年八年级数学上《勾股定理的应用》测试卷及答案解析

2022-2023学年八年级数学上《1.3勾股定理的应用》
一．选择题（共7小题）
1．（2022春•潍城区期中）如图，某超市为了吸引顾客，在超市门口离地高4.5m的墙上，装有一个由传感器控制的门铃A，如图①所示，人只要移至距该门铃5m及5m以内时，门铃就会自动发出语音“欢迎光临”．如图②所示，一位学生走到D处，门铃恰好自动响起，已知该学生的身高CD＝1.5m，则BD的长为（）
A．3米B．4米C．5米D．7米
2．（2022春•景县期中）如图，已知树EF（垂直于地面）上的点B处（BE＝5米）有两只松鼠，为抢到A处（点A，E在同一水平地面上，AE＝10米）的坚果，一只松鼠沿B﹣E﹣A到达点A处，另一只松鼠沿B﹣F﹣A到达点A处．若两只松鼠经过的路程相等，则树EF的高为（）
A．6.5米B．7.0米C．7.5米D．8米3．（2022•金华）如图，圆柱的底面直径为AB，高为AC，一只蚂蚁在C处，沿圆柱的侧面爬到B处，现将圆柱侧面沿AC“剪开”，在侧面展开图上画出蚂蚁爬行的最近路线，正确的是（）
A ．
B ．
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