分别写出在以下2种下，贝叶斯最小错误率判决规则：
实验一贝叶斯决策教材
实验一贝叶斯决策一、 实验原理1. 最小错误率贝叶斯决策规则：对于两类问题，最小错误率贝叶斯决策有以下裁决规则：P( 1 | x) P( 2 | x),则 x 1 ; 反之，则 x 2。
因为先验概率 P( i ）可以确立，与当前样本 x 没关，因此决策规则也可整理成下边的形式：若l (x) P( x | 1 ) P( 2 ) ，则 x1 ,不然 x 。
P(x |2 ) P( 1) 22. 均匀错误率决策界限把 x 轴切割成两个地域，分别称为第一类和第二类的决策地域 .样本在中但属于第二类的错误概率和样本在中但属于第一类的错误概率就是出现错误的概率， 再考虑到样本自己的分布后就是均匀错误率：t P( 2 | x) p( x)dx P( 1 | x) p( x)dxP(e)t tp( x | 2 ) P( 2 )dx p( x | 1 ) P( 1 )dx t3. 此实验中的裁决门限和均匀错误率（1）裁决门限假设随机脉冲信号 f 中 0 的概率为 ,高斯噪声信号 n 服从,信号叠加时的放大倍数为 a ，叠加后的信号为s f * a n 。
由最小错误率贝叶斯决策可得：P( 1 ) p( x | 1 )P( 2 ) p( x |2)a2 2a2 2 (ln(1 p0 ) ln p0 )化简计算得： t2a（2）均匀错误率由上述积分式可计算。
二、实验内容1、已知均值和方差，产生高斯噪声信号，计算其统计特征实验中利用 MATLAB产生均值为 0，方差为 1 的高斯噪声信号，信号统计分布的程序和结果以下：%产生高斯噪声并统计其特征x=0;%均值为 0y=1;%方差为 1n=normrnd(x,y,[1 1000000]);%产生均值为 0，方差为 1 的高斯噪声m1=mean(n);%高斯噪声的均值v1=var(n); %高斯噪声的方差figure(1)plot(n(1:400)); title( '均值为 0，方差为 1 的高斯噪声 ');figure(2)hist(n,10000); title('高斯噪声的统计特征 ');获得 m1=-4.6534e-005 ；v1= 0.9971 。
贝叶斯决策理论-模式识别课程作业
研究生课程作业贝叶斯决策理论课程名称模式识别姓名xx学号xxxxxxxxx专业软件工程任课教师xxxx提交时间2019.xxx课程论文提交时间：2019 年3月19 日需附上习题题目1. 试简述先验概率，类条件概率密度函数和后验概率等概念间的关系：先验概率针对M 个事件出现的可能性而言，不考虑其他任何条件类条件概率密度函数是指在已知某类别的特征空间中，出现特征值X 的概率密度，指第 类样品其属性X 是如何分布的。
后验概率是指通过调查或其它方式获取新的附加信息，利用贝叶斯公式对先验概率进行修正，而后得到的概率。
贝叶斯公式可以计算出该样品分属各类别的概率，叫做后验概率；看X 属于那个类的可能性最大，就把X 归于可能性最大的那个类，后验概率作为识别对象归属的依据。
贝叶斯公式为类别的状态是一个随机变量．而某种状态出现的概率是可以估计的。
贝叶斯公式体现了先验概率、类条件概率密度函数、后验概率三者关系的式子。
2. 试写出利用先验概率和分布密度函数计算后验概率的公式3. 写出最小错误率和最小风险决策规则相应的判别函数（两类问题）。
最小错误率如果12(|)(|)P x P x ωω>，则x 属于1ω 如果12(|)(|)P x P x ωω<，则x 属于2ω 最小风险决策规则 If12(|)(|)P x P x ωλω< then 1x ω∈If12(|)(|)P x P x ωλω> then 2x ω∈4. 分别写出以下两种情况下，最小错误率贝叶斯决策规则： （1）两类情况，且12(|)(|)P X P X ωω= （2）两类情况，且12()()P P ωω=最小错误率贝叶斯决策规则为：If 1...,(|)()max (|)i i j j cp x P P x ωωω==, then i x ω∈两类情况：若1122(|)()(|)()p X P p X P ωωωω>,则1X ω∈ 若1122(|)()(|)()p X P p X P ωωωω<,则2X ω∈(1) 12(|)(|)P X P X ωω=, 若12()()P P ωω>，则1X ω∈若12()()P P ωω<，则2X ω∈(2) 12()()P P ωω=,若12(|)(|)p X p X ωω>,则1X ω∈若12(|)(|)p X p X ωω<,则2X ω∈5. 对两类问题，证明最小风险贝叶斯决策规则可表示为， 若112222221111(|)()()(|)()()P x P P x P ωλλωωλλω->-则1x ω∈，反之则2x ω∈ 计算条件风险2111111221(|)(|)(|)(|)j j j R x p x P x P x αλωλωλω===+∑2222112221(|)(|)(|)(|)j j j R x p x P x P x αλωλωλω===+∑如果 111122(|)(|)P x P x λωλω+<211222(|)(|)P x P x λωλω+ 2111112222()(|)()(|)P x P x λλωλλω->-211111122222()()(|)()()(|)P p x P p x λλωωλλωω->-112222221111(|)()()(|)()()P x P P x P ωλλωωλλω->-所以，如果112222221111(|)()()(|)()()P x P P x P ωλλωωλλω->- ，则1x ω∈，反之则2x ω∈6. 表示模式的特征向量d x R ∈，对一个c 类分类问题，假设各类先验概率相等，每一类条件概率密度为高斯分布。
模式识别 习题集
模式识别习题Part 1CH11. Describe the structure of a pattern classification system and give detailed informationabout each module.CH22. Bayesian Classifier(a) What is the decision rule of the Bayesian classifier?(b) Which independency assumption is used for naive Bayes and how does this affectthe decision rule?(c) Show the optimality of the Bayesian classifier.3. Vessel diseases are a growing problem in the western world. Now, there is a softwarethat can classify a diseased person as actually diseased with 99% reliability. However, it may happen in 2% of the cases that a healthy person is mistakenly classified as diseased. A statistical analysis shows that the disease is apparent in one out of 100 patients. What is the probability that a patient is actually diseased if the system classifies a disease?4. 分别写出在以下两种情况1) P (x|w 1)=P (x|w 2) 2) P (w 1)=P (w 2)下的最小错误率贝叶斯决策规则。
第二章 贝叶斯决策理论—第三次课
第2章 贝叶斯决策理论
第2章 贝叶斯决策理论
本章内容
2.1 分类器的描述方法 2.2 最大后验概率判决准则 2.3 最小风险贝叶斯判决准则 2.4 Neyman-Person判决准则 2.5 最小最大风险判决准则 2.6 本章小结
第2章 贝叶斯决策理论
2.2 最大后验概率判决准则 (基于最小错误率的贝叶斯决策准则)
第2章 贝叶斯决策理论
2.5
第2章 贝叶斯决策理论
最小风险贝叶斯判决受三种因素的影响： 类条件概率密度函数p(x|ωi) ； 先验概率P(ωi) ； 损失（代价）函数λ(αj, ωi) 。 在实际应用中遇到的情况： – 各类先验概率不能精确知道； – 在分析过程中发生变动。 这种情况使判决结果不能达到最佳，实际分类器的平均损 失要变大，甚至变得很大。
第2章 贝叶斯决策理论
2.4 Neyman-Person
第2章 贝叶斯决策理论
最小风险贝叶斯判决准则使分类的平均风险最小, 该准则需要什么条件？
最大后验概率判决准则使分类的平均错误率最小, 该准则需要什么条件？
N-P准则在实施时既不需要知道风险函数，也不需 要知道先验概率。
第2章 贝叶斯决策理论
最大后验概率判决准则使分类的平均错误概率最小。 最小风险贝叶斯判决准则使分类的平均风险最小。 可是, 在实际遇到的模式识别问题中有可能出现这样 的问题: 对于两类情形, 不考虑总体的情况, 而只关注某 一类的错误概率, 要求在其中一类错误概率小于给定阈 值的条件下, 使另一类错误概率尽可能小。
因为两类情况下, 先验概率满足:
P(1) P(2 ) 1
第2章 贝叶斯决策理论
R R1 [(1,1)P(1) p(x | 1) (1,2 )P(2 ) p(x | 2 )]dx R2 {(2 ,1)P(1) p(x | 1) (2,2 )P(2 ) p(x | 2 )}dx
最小风险贝叶斯决策判决规则
最小风险贝叶斯决策判决规则1. 走进最小风险的世界你有没有过这种经历？你站在一个十字路口，不知道该往哪边走。
左边可能有更美丽的风景，但也可能遇到堵车；右边看似平淡无奇，但也许会有惊喜。
决定究竟走哪边，真是让人抓狂。
其实，这就像是贝叶斯决策中的一个经典问题：如何在不确定的情况下做出最优选择？听起来复杂对吧？别担心，让我们一步步来解开这个谜团。
2. 贝叶斯决策规则大揭秘2.1 贝叶斯的魔法贝叶斯决策规则的核心思想就是最小化风险。
我们先得了解什么是风险。
想象一下，你在赌场里，拿着一把筹码，面前有一副扑克牌。
你能选择赌一手，但不确定对手的牌有多强。
你知道，如果你选择错了，可能会输钱；如果选择对了，可能会赢大钱。
最小风险的意思就是在这张扑克牌游戏中，怎么才能让你输钱的概率最小，也就是风险最小。
2.2 如何选择最小风险的路径回到我们的十字路口问题。
假如你想用贝叶斯决策规则来决定走哪条路，首先，你需要知道每条路的可能结果和这些结果的概率。
简单来说，你得了解每条路可能带来的好事和坏事的概率。
比如，左边的路你知道可能会遇到拥堵，概率是50%，而右边的路，你知道它的拥堵概率只有20%。
这时候，你就需要计算走每条路的期望风险。
期望风险就是对所有可能结果的风险进行加权平均。
简单点说，就是把每条路的所有可能坏结果的风险加起来，看哪个路的综合风险最小。
听起来是不是有点像在做数学题？别担心，做这种选择题其实就像是你在超市挑选打折商品，挑那个最划算的就对了。
3. 风险最小化的妙招3.1 把风险控制在合理范围内在现实生活中，我们面临的风险多得数不过来，比如投资股市、选择工作、甚至是买房子。
最小风险贝叶斯决策规则就像是你手里的一个万能工具，可以帮助你在这些选择中做出更理智的决定。
想象一下，你要投资一个新项目。
你可以用贝叶斯方法来估算这个项目的成功概率和可能带来的损失。
你计算出每种可能结果的风险，然后把它们加权，看看哪种投资最能让你的钱包安稳。
第二章 贝叶斯决策理论与统计判别方法
第二章贝叶斯决策理论与统计判别方法课前思考1、机器自动识别分类，能不能避免错分类，如汉字识别能不能做到百分之百正确？怎样才能减少错误？2、错分类往往难以避免，因此就要考虑减小因错分类造成的危害损失，譬如对病理切片进行分析，有可能将正确切片误判为癌症切片，反过来也可能将癌症病人误判为正常人，这两种错误造成的损失一样吗？看来后一种错误更可怕，那么有没有可能对后一种错误严格控制？3、概率论中讲的先验概率，后验概率与概率密度函数等概念还记得吗？什么是贝叶斯公式？4、什么叫正态分布？什么叫期望值？什么叫方差？为什么说正态分布是最重要的分布之一？学习目标这一章是模式识别的重要理论基础，它用概率论的概念分析造成错分类和识别错误的根源，并说明与哪些量有关系。
在这个基础上指出了什么条件下能使错误率最小。
有时不同的错误分类造成的损失会不相同，因此如果错分类不可避免，那么有没有可能对危害大的错分类实行控制。
对于这两方面的概念要求理解透彻。
这一章会将分类与计算某种函数联系起来，并在此基础上定义了一些术语，如判别函数、决策面(分界面)，决策域等，要正确掌握其含义。
这一章会涉及设计一个分类器的最基本方法——设计准则函数，并使所设计的分类器达到准则函数的极值，即最优解，要理解这一最基本的做法。
这一章会开始涉及一些具体的计算，公式推导、证明等，应通过学习提高这方面的理解能力，并通过习题、思考题提高自己这方面的能力。
本章要点1、机器自动识别出现错分类的条件，错分类的可能性如何计算，如何实现使错分类出现可能性最小——基于最小错误率的Bayes决策理论2、如何减小危害大的错分类情况——基于最小错误风险的Bayes决策理论3、模式识别的基本计算框架——制定准则函数，实现准则函数极值化的分类器设计方法4、正态分布条件下的分类器设计5、判别函数、决策面、决策方程等术语的概念6、 Bayes决策理论的理论意义与在实践中所遇到的困难知识点§2.1 引言在前一章中已提到，模式识别是一种分类问题，即根据识别对象所呈现的观察值，将其分到某个类别中去。
最小错误概率贝叶斯(2章)
������ ������ =
0.07 0.06
������ ������=1
������ ������������ p(������|������������ )
0.05
0.04
������ ������ ������(������2 )p(������ |������2 )
0.03
0.02
������(������1 )p(������|������1 )
统计判别基本概念 统计决策的概念： 根据样本的统计特性将样本划分到其最有可能（先 验概率最大或者后验概率最大）属于的类别。 如果P(������1 )> P(������2 )，则������ ∈ ������1 ，反之������ ∈ ������2 。 如果P(������1 |������) > P(������2 |������) ，则������ ∈ ������1 ，反之������ ∈ ������2 。
统计判别基本概念ห้องสมุดไป่ตู้
基于统计判别的分类应用很广泛
类别： ������1 ：垃圾邮件 ������2 ：非垃圾邮件 邮件中的字符代码为： ������1 , ������2 , … , ������������
统计判别基本概念 分类e-mails {垃圾邮件，非垃圾邮件} 分类文章主题 {文章的主题是什么?} 分类网页 {学校网页, 个人网页, 公司网页, …} 输入的特征������是什么? 文本!
统计判别基本概念 后验概率常常作为决策的依据
P(������1 |������) P(������2 |������)
主要内容 1. 2. 3. 4. 5. 6. 统计判别基本概念 贝叶斯判别原则 正态分布模式的贝叶斯决策 Bayes最小风险判别准则 聂曼－皮尔逊判别准则 最小最大损失准则
贝叶斯定理计算不合格率
贝叶斯定理计算不合格率全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：贝叶斯定理是统计学中一个非常重要的定理，它可以帮助我们在不确定的情况下推断出结果的概率。
在质量管理领域，贝叶斯定理也有着广泛的应用。
其中一个典型的应用就是计算产品不合格率。
在生产过程中，产品的质量总是一个非常重要的指标。
如果产品不合格率较高，不仅会影响企业的声誉，还会造成生产成本的增加。
企业需要通过合理的方法来评估产品的不合格率，并采取相应的措施来提高产品质量。
贝叶斯定理可以帮助我们计算产品不合格率。
在质量管理中，我们通常会进行抽样检验，从一批产品中随机抽取样本进行检验，以评估整批产品的质量情况。
根据抽样检验的结果，我们可以进行以下推断：设A为产品不合格的事件，B为样本检验结果不合格的事件。
1. 计算检验结果不合格的条件概率P(B|A)：即，在整批产品中有一定比例的产品不合格，我们通过抽样检验检测到不合格产品的概率。
通过以上步骤，我们可以得到一个更为准确的产品不合格率估计。
如果产品的实际不合格率超过了我们原先的预期，那么企业就需要及时采取措施，调整生产流程，提高产品质量，以降低不合格率。
贝叶斯定理在计算产品不合格率中的应用，可以帮助企业更好地了解产品的质量情况，及时发现不合格问题，提高产品质量，降低生产成本，提升企业竞争力。
除了计算不合格率，贝叶斯定理还可以在其他质量管理领域有着广泛的应用。
比如在质量改进过程中，我们可以通过贝叶斯方法不断地更新产品的质量估计，及时调整生产参数，提高产品质量。
贝叶斯定理在质量管理领域的应用为企业提供了一种新的思路和方法，让质量管理更为科学和有效。
企业在实际应用贝叶斯定理时，需要充分了解产品的特性，合理选择统计方法，根据实际情况进行分析和决策，从而不断提高产品质量，提升企业竞争力。
【字数不够，继续往下写】贝叶斯定理并非万能之法，它也有一定的局限性。
贝叶斯定理依赖于先验概率的设定，而先验概率往往并不容易确定。
机器学习——基础整理（一）贝叶斯决策论；二次判别函数；贝叶斯错误率；生成式模型的参数方法
机器学习——基础整理（⼀）贝叶斯决策论；⼆次判别函数；贝叶斯错误率；⽣成式模型的参数⽅法本⽂简单整理了以下内容：（⼀）贝叶斯决策论：最⼩错误率决策、最⼩风险决策；经验风险与结构风险（⼆）判别函数；⽣成式模型；多元⾼斯密度下的判别函数：线性判别函数LDF、⼆次判别函数QDF（三）贝叶斯错误率（四）⽣成式模型的参数估计：贝叶斯学派与频率学派；极⼤似然估计、最⼤后验概率估计、贝叶斯估计；多元⾼斯密度下的参数估计（五）朴素贝叶斯与⽂本分类（挪到了下⼀篇博客）（⼀）贝叶斯决策论：最⼩风险决策（Minimum risk decision）贝叶斯决策论（Bayesian decision theory）假设模式分类的决策可由概率形式描述，并假设问题的概率结构已知。
规定以下记号：类别有c个，为\omega_1,\omega_2,...,\omega_c；样本的特征⽮量\textbf x\in\mathbb R^d；类别\omega_i的先验概率为P(\omega_i)（prior），且\sum_{i=1}^cP(\omega_i)=1；类别\omega_i对样本的类条件概率密度为p(\textbf x|\omega_i)，称为似然（likelihood）；那么，已知样本\textbf x，其属于类别\omega_i的后验概率P(\omega_i|\textbf x)（posterior）就可以⽤贝叶斯公式来描述（假设为连续特征）：P(\omega_i|\textbf x)=\frac{p(\textbf x|\omega_i)P(\omega_i)}{p(\textbf x)}=\frac{p(\textbf x|\omega_i)P(\omega_i)}{\sum_{j=1}^cp(\textbfx|\omega_j)P(\omega_j)}分母被称为证据因⼦（evidence）。
后验概率当然也满⾜和为1，\sum_{j=1}^cP(\omega_j|\textbf x)=1。
模式识别导论习题参考-齐敏-第4章-基于统计决策的概率分类法
第4章 基于统计决策的概率分类法习题解答4.1 分别写出以下两种情况下，最小错误率贝叶斯决策规则：（1）两类情况，且)|()|(21ωωX X p p =。
（2）两类情况，且)()(21ωωP P =。
解：最小错误率贝叶斯决策规则为：若(){}M j P p P p j j i i ,,2,1),()|(max )|( ==ωωωωX X ，则i ω∈X两类情况时为：若())()|()|(2211ωωωωP p P p X X >，则1ω∈X 若())()|()|(2211ωωωωP p P p X X <，则2ω∈X(1)当)|()|(21ωωX X p p =，变为：若())(21ωωP P >，则1ω∈X 若())(21ωωP P <，则2ω∈X(2)当)()(21ωωP P =时，变为：若)|()|(21ωωX X p p >，则1ω∈X 若)|()|(21ωωX X p p <，则2ω∈X4.2 假设在某个地区的疾病普查中，正常细胞（1ω）和异常细胞（2ω）的先验概率分别为9.0)(1=ωP ，1.0)(2=ωP 。
现有一待识别细胞，其观察值为X ，从类概率密度分布曲线上查得2.0)|(1=ωX p ，4.0)|(2=ωX p ，试对该细胞利用最小错误率贝叶斯决策规则进行分类。
解1： ∑=1)(=2111)(|)()|()|(i iiP X p P X p X P ωωωωω818.01.04.09.02.09.02.0≈⨯+⨯⨯=182.01.04.09.02.01.04.0)|(2≈⨯+⨯⨯=X P ω)|()|(21X P X P ωω> 1ω∈∴X （正常）解2：()18.09.02.0)|(11=⨯=ωωP X p ，()04.01.04.0)|(22=⨯=ωωP X p())()|()|(2211ωωωωP X p P X p > 1ω∈∴X （正常）4.3 设以下模式类具有正态概率密度函数：1ω：T 1]0,0[=X ，T 2]0,2[=X ，[]T 32,2=X ，T 4]2,0[=X 2ω：[]T 54,4=X ，[]T 64,6=X ，[]T 76,6=X ，[]T 86,4=X（1）设5.0)()(21==ωωP P ，求两类模式之间贝叶斯判别界面的方程式。
模式识别习题
5. 有一个二维空间的两类问题，每类均服从 有一个二维空间的两类问题， 正态分布，且有相同的协方差矩阵： 正态分布，且有相同的协方差矩阵： (0 0)T µ1 = 1.1 0.3
∑= 0.3 1.9 其均值向量分别是：µ = (3 3)T 其均值向量分别是： 2 根据贝叶斯分类器确定样本 (1.0 2.2)T 属于
3.设一维两类模式服从正态分布，其中： 设一维两类模式服从正态分布，其中： 设一维两类模式服从正态分布
µ1 = 0, σ 1 = 2, µ 2 = 2, σ 2 = 2
令两类先验概率 P(ω1 ) = P(ω2 ) 损失函数， 取0－1损失函数，试计算判决分界点，并 － 损失函数 试计算判决分界点， 绘出它们的概率密度函数；试确定样本-3,绘出它们的概率密度函数；试确定样本 2,1,3,5各属于那一类 各属于那一类
55 x1 + 68 x2 + 32 x3 + 16 x4 + 26 x5 + 10 = 0
试求出其权向量与样本向量点积的表达式 wT x = 0 中的 与x 中的w与
2.设在三维空间中的一个类别分类问题拟采 设在三维空间中的一个类别分类问题拟采 用二次曲面，如果要采用线性方程求解， 用二次曲面，如果要采用线性方程求解， 试问其广义样本向量与广义权向量的表达 式。
第四章
1.给定如下 个6维样本： 给定如下5个 维样本 维样本： 给定如下
x1 : (0 1 3 1 3 4 ) x3 : (1 0 0 0 1 1) x5 : (0 0 1 0 1
T T
x4 : (2 1 0 2 2 1)
x2 : (3 3 3 1 2 1)
T T
)T 0
试用最大最小距离聚类算法进行聚类分析。 试用最大最小距离聚类算法进行聚类分析。
《模式识别》(边肇祺)习题答案
• 2.13 把连续情况的最小错误率贝叶斯决策推广到离散情况，并写出其判别函数。 • 2.14 写出离散情况条件风险R(ai |x)的定义，并指出其决策规则。 解： R(ai |x) = = R(ak |x) = min
c ∑ j =1 c ∑ j =1
λij P (wj |x) λij p(x|wj )P (wj )////omit the same part p(x)
1
模式识别(第二版)习题解答
§1
绪论
略
§2
贝叶斯决策理论
• 2.1 如果只知道各类的先验概率，最小错误率贝叶斯决策规则应如何表示？ 解：设一个有C 类，每一类的先验概率为P (wi )，i = 1, ..., C 。此时最小错误率贝叶斯 决策规则为：如果i∗ = max P (wi )，则x ∈ wi 。
• 2.4 分别写出在以下两种情况 1. P (x|w1 ) = P (x|w2 ) 2. P (w1 ) = P (w2 ) 下的最小错误率贝叶斯决策规则。 解： 当P (x|w1 ) = P (x|w2 )时，如果P (w1 ) > P (w2 )，则x ∈ w1 ，否则x ∈ w2 。 当P (w1 ) = P (w2 )时，如果P (x|w1 ) > P (x|w2 )，则x ∈ w1 ，否则x ∈ w2 。 • 2.5 1. 对c类情况推广最小错误率率贝叶斯决策规则； 2. 指出此时使错误率最小等价于后验概率最大，即P (wi |x) > P (wj |x) 对一切j ̸= i 成立时，x ∈ wi 。 2
p(x|w2 )dx =
R2
p(x|w1 )dx
所以此时最小最大决策面使得P1 (e) = P2 (e) • 2.8 对于同一个决策规则判别函数可定义成不同形式，从而有不同的决策面方程，指出 决策区域是不变的。
2014年解放军信大硕士入学真题数字图像处理、模式识别
数字图像处理科目试题（共七大题，满分150分）一、 填空题(15分，每空1分)1、色调由颜色所在光谱中的决定，用来表示颜色的。
饱和度决定于颜色中混入的数量，表示颜色的。
亮度决定于颜色的，用来表示颜色的程度。
目前使用最多的颜色模型是面向机器的模型和面向颜色处理的模型。
2、采样频率不低于信号最高频率的倍时，周期延拓频谱则不混叠。
3、在观察不同亮度背景中的两个不同亮度的目标物时，会按感觉目标物的亮度。
5、直方图均衡化以函数作为增强函数。
6、中值滤波可以有效地消除和噪声。
7、图像数据冗余主要有编码冗余、冗余和冗余。
二、名词解释（25分，每小题5分）1、频率域2、归一化直方图3、MTF4、低通滤波5、去卷积三、简答、证明题（50分）1、（12分）简述对离散图像实施2维傅里叶变换的意义。
解释为什么要对变换后的幅值谱进行中心置换？并对中心置换后的频率分布情况进行描述。
2、(14分)试证明拉普拉斯算子具有旋转不变性，并说明高斯--拉普拉斯算子对该算子的改进效果。
3、（8分）写出形态闭运算的数学表达式并解释参数含义，简述对二值图像进行开运算处理的效果。
4、（6分）写出信息熵的表达式，简单描述图像信息熵和图像像素分布及视觉感受的关系。
5、（5分）简单描述图像功率谱和图像纹理的关系。
6、（5分）简单描述你对数字图像处理领域挑战性难题的认识。
模式识别部分四、名词解释（共20分，每小题5分）1、模式的紧致性2、结构模式识别3、缨帽变换4、分类预处理五、（10分）统计模式识别方法和结构模式识别方法的主要区别是什么？举例说明。
六、（15分）分别写出最小错误率和最小风险的贝叶斯分类判别规则，并分析二者的基本特点和相互联系。
七、（15分）分析利用主分量变换（即K—L变换）进行特征提取的优点并给出其实现步骤。
贝叶斯 最小最大原则
贝叶斯最小最大原则贝叶斯最小最大原则：决策的智慧之道在决策过程中，我们常常面临着各种不确定性和风险。
为了做出明智的选择，我们需要借助贝叶斯最小最大原则，这是一种基于概率推理的决策方法。
通过权衡各种可能性的利益和风险，我们可以最大程度地降低决策的风险，并取得最小的损失。
贝叶斯最小最大原则的核心思想是将概率引入决策分析中。
在面对不确定性的情况下，我们需要根据已有的信息和经验来评估各种可能的结果发生的概率，并据此做出决策。
然而，在实际应用中，我们常常面临着信息不完全、不准确的情况。
为了解决这个问题，贝叶斯最小最大原则采用了贝叶斯定理来更新概率，将新的信息纳入决策分析中。
通过不断地更新概率，我们可以逐渐接近真实的概率分布，从而更好地进行决策。
贝叶斯最小最大原则在许多领域都有广泛的应用。
在医学诊断中，医生可以根据患者的症状和疾病的先验概率，通过贝叶斯最小最大原则来确定最可能的诊断结果。
在金融投资中，投资者可以通过分析市场数据和经济指标的先验概率，来制定最优的投资策略。
然而，贝叶斯最小最大原则也存在一些局限性。
首先，它依赖于先验概率的准确性。
如果先验概率的估计不准确，那么决策结果也可能不准确。
其次，贝叶斯最小最大原则需要处理大量的数据和复杂的计算，这对于一些实际问题来说可能是不可行的。
尽管如此，贝叶斯最小最大原则仍然是一种重要的决策方法。
它可以帮助我们在不确定性和风险中做出明智的选择，最大程度地降低决策的风险。
通过合理地利用已有的信息和经验，我们可以更好地应对各种挑战，取得更好的结果。
在实际生活中，我们经常面临各种决策，无论是个人的还是组织的。
通过运用贝叶斯最小最大原则，我们可以更加理性地进行决策，避免盲目行动和过度自信。
同时，我们也要明白贝叶斯最小最大原则并非是一种完美的决策方法，它只是帮助我们在不确定性中做出相对更好的选择。
因此，在实际应用中，我们需要结合具体情况，综合考虑各种因素，做出最合适的决策。
贝叶斯最小最大原则是一种基于概率推理的决策方法，可以帮助我们在不确定性和风险中做出明智的选择。
模式识别最小风险的贝叶斯公式推导
模式识别最小风险的贝叶斯公式推导模式识别是一种通过对数据进行分析和处理，从中提取出有用的信息和知识的技术。
在模式识别中，最小风险的贝叶斯公式是一种常用的方法，用于对数据进行分类和预测。
最小风险的贝叶斯公式是基于贝叶斯定理的，它可以用来计算在给定先验概率和条件概率的情况下，某个事件的后验概率。
在模式识别中，最小风险的贝叶斯公式可以用来计算某个样本属于某个类别的后验概率，从而进行分类。
假设有一个样本x，它有n个特征，分别为x1,x2,...,xn。
现在需要将它分类到k个类别中的一个。
设类别为C1,C2,...,Ck，先验概率为P(C1),P(C2),...,P(Ck)，条件概率为P(x|C1),P(x|C2),...,P(x|Ck)。
则根据贝叶斯定理，样本x属于类别Ci的后验概率为：P(Ci|x) = P(x|Ci)P(Ci) / P(x)其中，P(x)是样本x出现的概率，可以通过全概率公式计算得到：P(x) = Σi P(x|Ci)P(Ci)最小风险的贝叶斯公式是在上述基础上，引入了损失函数，用来衡量分类错误所带来的损失。
假设将样本x分类到类别Cj，但实际上它属于类别Ci，那么所带来的损失为Lij。
则最小风险的贝叶斯决策规则为：将样本x分类到使得期望损失最小的类别，即：argminj Σi Lij P(Ci|x)其中，argminj表示使得期望损失最小的类别。
这个公式的意义是，对于每个类别，计算将样本x分类到该类别所带来的期望损失，然后选择使得期望损失最小的类别作为最终分类结果。
最小风险的贝叶斯公式是模式识别中常用的分类方法之一，它可以有效地处理分类问题，并且可以根据不同的损失函数进行调整，以适应不同的应用场景。
在实际应用中，需要根据具体的问题选择合适的损失函数，并且需要对先验概率和条件概率进行估计，以获得更准确的分类结果。
最小风险贝叶斯判决准则
设样本x来自类ωi, 可能被判为ω1, ω2, …, ωm 中的任何一种, 若允许拒绝判决, 可将拒绝类看成是独立的一类, 记为第m+1类, 即ωm+1。 为了表述方便, 引入如下 符号:
(1) 决策αj: 将样本x的类别判为第j类。 不同的决策对应于特征空间的不同决 策区域Rj, j∈{1, 2, …, m}。 若x∈Rj, 则判决x∈ωj(j=1, 2, …, m)。 这里未考虑拒识情况。
Rd→{1, 2, …, m} 给定一个映射f, 就给出了一种模式识别方法, 不同的映射对应不同的分类方 法, 这就是模式识别问题的映射描述法。
2. 划分描述法
由于每个特征向量是Rd空间的一个点，且Rd→{1, 2, …, m}是一个多对一的映
射，通过映射，本质上实现了对空间Rd的一种划分，即把Rd划分成个不相重叠的
P( j
|
x)
max
i{1,2,,m}
P(i
|
x)
2-3
则x∈ωj。
由于已知P(ωi)和p(x|ωi), 因此我们希望找到P(ωi|x)与它们之间的关系。 这 里以一维为例进行讨论。
假设特征变量为X,
P(i
|
x)
lim
0
P
i
|
X
(x
,
x
)
由Bayes
P
i
|
X
(x
,
x
)
P
X (x
PX
,x (x ,
(2-8)
式(2-7)
P(e) P(1)(1 R1 p(x | 1)dx) P(2) R1 p(x | 2)dx
P(1) R1[P(2 ) p(x | 2) P(1) p(x | 1)]dx
06-3.5 贝叶斯判别——最小期望误判代价法
若d 2
x, 1 d 2
x, 2
c 2 |1
2ln
c
1|
2p1 p2Fra bibliotekΣ2 Σ1
1/2 1/2
x
2
,
若d
2 x,1 d
2
x ,2
2ln
c
2
|1
p1
Σ2
c 1| 2 p2 Σ1
1/2 1/2
p1p20.5,c1|2c2|1
x,1
x
,
2
若d 2 x, 1
d2
x, 2
2ln
Σ 2 1/2 Σ1 1/2
x ,1
x
,2
f x c 1| 2 p
若1
2
f2 x c 2 |1 p1
若
f1 f2
x x
c 1| 2 p2 c 2 |1 p1
简化为
x ,1
x
,2
f x c 1| 2
若
1
f2
x
c
2 |1
若
f1 f2
x x
c c
1| 2 2|1
➢ 实际应用中，如果先验概率难以给出，则它们通常被取成相等。
8
❖ (3) 当p1=p2=0.5，c(1|2)=c(2|1)时，以上判别规则可进一步简化为
x1, 若f1 x f2 x
x
,2
若f1 x f2 x
➢ 该判别规则可使两个误判概率之和P(2|1)+P(1|2)达到最小，或者说使平
均误判概率0.5P(2|1)+0.5P(1|2)达到最小。
可见书中第130页。
9
❖ 例2（书中的例5.2.1和例5.3.4）
最小错误概率准则
yB
f ( y / H0 )dy
C01P(H1)
yB
f
( y / H1)dy C11P(H1)
yB
f
( y / H1)dy
（6-14）
第6章 数字信号的最佳接收
贝叶斯判决准则可以用似然比形式表示为
(y)
f ( y / H1) f (y / H0)
D1
D0
P(H0 )[C10 P(H1)[C01
况下，使抽样间隔无穷小Δt→0，抽样次数就会变成无穷大
N→∞，同时信道带宽B=1/2(Δt)→∞，这是理想信道情况。此时
噪声功率=n0B=n0/2(Δt)。于是得到式（6-24）中各项的极限值
lim
t0 N
N k 1
s1k yk
2 n
2 n0
lim
t0
s1k
N
C00 ] C11]
B
或用对数表示为
D1
ln (Y ) ln B
D0
(6-17) (6-18)
第6章 数字信号的最佳接收
6.3 最小错误概率准则
在数字通信系统中的最佳接收机一般是在最小错误概率 准则下建立的。 在数字通信系统中，我们期望错误接收的 概率愈小愈好， 因此采用最小错误概率准则是直观的和合 理的。
lim
t0
s12k
t
N
1 n0
T 0
s12
(t)dt
N
lim
t0 N
k 1
s02k
2
2 n
1 n0
lim
t0
s02k
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1．利用概率论中的乘法定理和全概率公式，证明：
(1) 贝叶斯公式
)
()()|()|(x p w P w x p x w P i i i = (2) 在两类情况下：1)|()|(21=+x w P x w P 。
2．分别写出在以下2种情况下，贝叶斯最小错误率判决规则：
(1) 两类情况，且)|()|(21w x p w x p =。
(2) 两类情况，且)()(21w p w p =。
3．两个一维模式类型，类概率密度函数如下图所示，假定先验概率相等，试用0－1损失函数：
（1） 导出贝叶斯判决函数；
（2） 求出分界点的位置；
（3） 判断下列样本各属于哪一个类型：0，2.5，0.5，2，
1.5。
4．试写出两类情况下的贝叶斯最小风险判决规则及其判决函数和决策面方程，并且证明该判决规则可以表示为： 若)()()
()()|()|(111212221221w P w P w x p w x p λλλλ--<>，则⎩⎨⎧∈2
1w w
x
式中，12λ、22λ、21λ、11λ，为损失函数)|(j i w L α，2,1,=j i 。
若02211==λλ，2112λλ=，证明此时最小最大决策面使来自
两类的错误率相等。
5．似然比)(x l 是随机变量，对两类问题)
|()|()(21w x p w x p x l =
，试证明： (1)]|)([]|)([211w x l E w x l E n n +=
(2)1]|)([2=w x l E
(3)]|)([]|)([]|)([221w x l Var w x l E w x l E =-
注意：方差})]({[)()(2X E x E x Var x D -==。
6．属于两类的一维模式，每类都是正态分布的，并且已知两类的均值分别为01=μ和22=μ，均方差分别为21=σ和22=σ先验概率相等，可用0－1损失函数，试绘出类概率密度函数及判决边界；若已获得样本：－3，－2，1，3，5，试判断它们各属于哪一种类型。
7．假设已经获得两类二维的模式样本：
})2,0(,)2,2(,)0,2(,)0,0{(:1T T T T w
})6,4(,)6,6(,)4,6(,)4,4{(:2T T T T w 两类均服从正态分布，且先验概率相等。
（1）求两类之间的决策面方程；（2）绘出决策面。