12阶群的特征标表

12阶群的特征标表
李德乐
【摘要】通过群的同构分类的观点,分析了12阶群的生成关系,再利用特征标的基本性质一一构造每个群的特征标表.
【期刊名称】《四川职业技术学院学报》
【年(卷),期】2011(021)001
【总页数】3页(P90-91,113)
【关键词】12阶群;生成关系;特征标
【作者】李德乐
【作者单位】福建水利电力职业技术学院,福建,永安,366000
【正文语种】中文
【中图分类】G712
群表示论是代数学的一个重要分支,它除用于研究群的结构以外,在众多的数学分支和其他自然科学领域中也有着重要的应用。

对于12阶群的生成关系和特征标表零散分布在各类文献中，本文通过12阶群的生成关系来构造其特征标表。

1.1 定义
定义1[1]置换群：Cn=<a│an=1>。

定义2[1]狄利克雷群（二面体群）：D2n=<a,b│an=b2=1, b-1ab=a-1>。

定义3[1]n次交代群：置换群Sn中全体偶置换作成一个阶的群。

定义4[1]双循环群（四元数群）：Q2n=<a,b│a2n=1,an=b2, b-1ab=a-1>。

定义5[1]（共轭（元素、子群）类）若我们称元素x与y共轭。

若，我们称子群
H与K共轭。

由此可知群G之一切子群能分类，使属于同类中的子群互为共轭，
属于异类中的子群互不共轭，这样的每个类叫共轭子群类（简称共轭类）。

定义6[2]（群的子集的正规化子与中心化子）：设G是群，H是G的一个子集，若g∈G,满足H=g-1Hg，则g称正规化H，而称G中所有正规化H的元的集合
为H在G中的正规化子。

设G是群，H是G的一个子集，若g∈G,满足h=g-1hg对一切h∈H，则称g中心化H，而称G中所有中心化H的元的集合
为H在G中的中心化子。

定义7[3]（特征标）设(ρ,V)∈RF（G）+，在G上定义F值函数：
这里trρ(g)是V上线性变换ρ(g)的迹。

称为G上的表示ρ的特征标。

如则称为不可约特征标，如F=C，则称复特征标。

ρ的次数也称为特征标的次数，记作deg；次数为1的特征标为线性特征标。

1.2 引理
引理1[4]（西罗（Sylow）定理）设G是有限群，p是素数且
pn││G│但│G│，则：
（1）G必有pn阶子群（称为G的Sylowp-子群）。

（2）G的任意两个Sylowp-皆在G中共轭。

（3）G中Sylowp-子群的个数np是│G│的因子，并且np≡1(modp)。

引理2[5](p2q阶群结构)设G是p2q阶有限群，p,q是素数，
P∈sylp(G),Q∈sylq(G)。

（1）若p>q，则；
（2）若p<q，则当q≠3时，；当q=3时，或者或者且GA4。

引理3[6]（有限交换群的基本定理）有限交换群可分解为一些阶等于素数幂的诸
循环群的直积，且这样的分解方法是惟一的。

引理4[6]（共轭类的个数）群G之子集H的正规化子NG（H）和中心化子GG （H）都是G的子群，且.又与H共轭的个数（在G内）│CG（H）│=[G：NG （H）],且 g-1NG(H)g=NG(g-1Hg)
引理5[1]（特征标的性质）
性质1如ρ1与ρ2是G的表示，则
性质2如m是群G的指数（即G的元素阶数的最小公倍数），则G的任何复表
示ρ的特征标的值是degρ个m 次单位根的和.
性质3设(ρ,V)∈RC(G)+,则，这里
是∈C的复共轭。

引理6[1]特征标的正交关系）
（第一正交关系）对任意的i,j=1,2…，s,有
(第二正交关系)设a,b∈G，则
引理7[1]（特征标的提升）设是G/N的一个特征标。

由可以定义G的一个特征标：我们称是到G的提升。

定理：
设G是12阶群，则G有五种生成关系：
证明：G是交换群，根据引理3可知：只有上述（I）、（II）两种。

若G是12阶非交换群，设P∈Syl2(G)，Q∈Syl2(G)，当，时，考虑G是集合{Qx│x∈G}上的置换作用，可知GA4。

（如果考Q虑在P上的作用，该作用必是忠实作用，这迫使P必非循环。

则可以写出其另一个生成关系：
当时，考虑P在Q上的作用，则作用核必是2阶子群。

当P循环时，只有
G=<a,b│a6=b2=1,ab=ba-1>;当P非循环时，
3.1 12阶交换群的特征标表
3.1.1 循环群Cn的特征标表
设循环群Cn都是Abel群（交换群），其不可约表示都是一级的。

这
样一个表示使复数与r对应，因为rn=1，所以wn=1。

这样一来，我们就得出n
个一级不可约表示，它们的特征标给出。

我们有照通常的规定，如果h+h’≥n，则
例如：对于的特征标表为：
3.1.2 Abel（交换）群的特征标表
我们首先介绍两个定理：
定理A每个有限交换群都同构于循环群的直积。

（具体参考文献[1]P162）
定理B设G是交换群，同构于循环群的直积：
则G的表示可由Cni(i=1,2,…r)的表示给出，即：
当cni取遍的表示ρcni时，得到G的所有的表示ρG。

（具体参考文献[6]P81）3.2 12阶非交换群的特征标表
3.2.1 D12=<a,b│a6=b2=1,ab=ba-1>的特征标表
D12的共轭类分为以下六种形式：{1},{a3},{a},{a2} {a8b∶s为偶数}，{asb∶s为奇数}，所以G有6个不可约特征标，已经知道2个特征标为ψ1，ψ2。

为了发现还剩余的四个不可约特征标，我们假设<a2>={aj:j为偶数}是G的一个正规子群，并且G/<a2>={<a2>,<a2>a,<a2>b,<a2>ab}C2×C2（j=1, 2）。

这样G有四个
线性特征标为,(并且D'12=<a2>)，这些特征标都是从不可约特征标G/<a2>提升。

于是，我们可以构造D12的特征标表：
3.2.2 G=<a,b│a2=b3=1（,ab）3=1>A4的特征标表
只要刻画A4的特征标表。

A4的共轭类分为四种形式：{（1）}{（123），（142），（134）,（243）},{（12）（34），（13）（24），（14）（23）}，
{（132）,（124），（143），（234）}，又因为A4/K4A3，由于A3是循环群，且A3=C3，将A3的特征标表提升为A4的部分特征标表，再利用特征标的性质，我们可以得到A4的特征标表：设
3.2.3 G=<a,b│a6=1,b2=a3，ab=ba-1>的特征标表
利用定义关系，G有共轭类分为以下六种形式：
{1},{a3},{a，a-1},{a2，a-2}，{b,a2b,a4b}，{ab,a3b,a5b}，所以G有6个不可约特征标，又，故G
有2个不可约特征标表，还有4个线性特征标。

G的特征标表为：
【相关文献】
[1]Gordon James.Martin Lieback,Representations and Characters of groups[M].
London :Cambridge University，2001.
[2]樊恽，钱吉林.代数学辞典[M].武汉：华中师范大学出版社，1994.
[3]曹锡华，时俭益.有限群表示论[M].北京：高等教育出版社，1992.
[4]徐明曜.有限群导引[M].北京：科学出版社，2001.
[5]陈重穆.有限群论基础[M].重庆：重庆出版社，1983.
[6]张远达.有限群构造（上册）[M].北京：科学出版社，1982.。