高中数学圆与方程学案

高中数学圆与方程学案

本次课课堂教学内容

知识梳理

1.圆的定义和圆的方程

2.点与圆的位置关系

平面上的一点M (x 0，y 0)与圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2之间存在着下列关系： (1)|MC |＞r ⇔M 在圆外，即(x 0－a )2＋(y 0－b )2＞r 2⇔M 在圆外； (2)|MC |＝r ⇔M 在圆上，即(x 0－a )2＋(

y 0－b )2＝r 2⇔M 在圆上； (3)|MC |＜r ⇔M 在圆内，即(x 0－a )2＋(y 0－b )2＜r 2⇔M 在圆内. 1.直线与圆的位置关系

设圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0，圆心C (a ，b )到直线l 的距离为d ，由⎩⎨⎧（x －a ）2＋（y －b ）2＝r 2，

Ax ＋By ＋C ＝0

消去y (或x )，得到关于x (或y )的一元二次方程，其判别式为Δ.

2.圆与圆的位置关系

设两个圆的半径分别为R，r，R＞r，圆心距为d，则两圆的位置关系可用下表来表示：

[微点提醒]

1.圆心在坐标原点半径为r的圆的方程为x2＋y2＝r

2.

2.以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(x－x1)·(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.

3.圆的切线方程常用结论

(1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2.

(2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.

(3)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2.

典型例题

考点一圆的方程

【例1】(1)(2018·天津卷)在平面直角坐标系中，经过三点(0，0)，(1，1)，(2，0)的圆的方程为________________.

(2)(2019·安徽“江南十校”联考)已知圆C的圆心在直线x＋y＝0上，圆C与直线x－y＝0相切，且在直线x－y－3＝0上截得的弦长为6，则圆C的方程为________.

规律方法求圆的方程时，应根据条件选用合适的圆的方程.一般来说，求圆的方程有两种方法：

(1)几何法，通过研究圆的性质进而求出圆的基本量.确定圆的方程时，常用到的

圆的三个性质：①圆心在过切点且垂直切线的直线上；②圆心在任一弦的中垂线上；③两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线； (2)代数法，即设出圆的方程，用待定系数法求解.

【训练1】 (1)(2019·新乡模拟)若圆C ：x 2＋⎝ ⎛

⎭⎪⎫y ＋12m 2

＝n 的圆心为椭圆M ：x 2＋

my 2＝1的一个焦点，且圆C 经过M 的另一个焦点，则圆C 的标准方程为________. (2)(2018·枣庄模拟)已知圆M 与直线x －y ＝0及x －y ＋4＝0都相切，且圆心在直线y ＝－x ＋2上，则圆M 的标准方程为________. 考点二 与圆有关的最值问题

角度1 斜率型、截距型、距离型最值问题

【例2－1】 已知实数x ，y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0. (1)求y

x 的最大值和最小值； (2)求y －x 的最大值和最小值； (3)求x 2＋y 2的最大值和最小值.

规律方法 把有关式子进行转化或利用所给式子的几何意义解题，充分体现了数形结合以及转化的数学思想，其中以下几类转化较为常见： (1)形如m ＝y －b x －a 的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；

(2)形如m ＝ax ＋by 的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；

(3)形如m ＝(x －a )2＋(y －b )2的最值问题，可转化为两点间距离的平方的最值问题.

角度2 利用对称性求最值

【例2－2】 已知圆C 1：(x －2)2＋(y －3)2＝1，圆C 2：(x －3)2＋(y －4)2＝9，M ，N 分别是圆C 1，C 2上的动点，P 为x 轴上的动点，则|PM |＋|PN |的最小值为( ) A.52－4

B.17－1

C.6－2 2

D.17

【训练2】(1)设点P是函数y＝－4－（x－1）2图象上的任意一点，点Q坐标为(2a，a－3)(a∈R)，则|PQ|的最小值为________.

(2)已知A(0，2)，点P在直线x＋y＋2＝0上，点Q在圆C：x2＋y2－4x－2y＝0上，则|P A|＋|PQ|的最小值是________.

考点三与圆有关的轨迹问题

【例3】已知圆x2＋y2＝4上一定点A(2，0)，B(1，1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点.

(1)求线段AP中点的轨迹方程；

(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程.

规律方法求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法：

(1)直接法，直接根据题目提供的条件列出方程；

(2)定义法，根据圆、直线等定义列方程；

(3)几何法，利用圆的几何性质列方程；

(4)代入法，找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等.

【训练3】已知过原点的动直线l与圆C1：x2＋y2－6x＋5＝0相交于不同的两点A，B.

(1)求圆C1的圆心坐标；

(2)求线段AB的中点M的轨迹C的方程.

考点四直线与圆的位置关系

【例4】(1)已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是()