高中数学圆与方程学案

高中数学圆与方程学案本次课课堂教学内容知识梳理1.圆的定义和圆的方程2.点与圆的位置关系平面上的一点M (x 0，y 0)与圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2之间存在着下列关系： (1)|MC |＞r ⇔M 在圆外，即(x 0－a )2＋(y 0－b )2＞r 2⇔M 在圆外； (2)|MC |＝r ⇔M 在圆上，即(x 0－a )2＋(y 0－b )2＝r 2⇔M 在圆上； (3)|MC |＜r ⇔M 在圆内，即(x 0－a )2＋(y 0－b )2＜r 2⇔M 在圆内. 1.直线与圆的位置关系设圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0，圆心C (a ，b )到直线l 的距离为d ，由⎩⎨⎧（x －a ）2＋（y －b ）2＝r 2，Ax ＋By ＋C ＝0消去y (或x )，得到关于x (或y )的一元二次方程，其判别式为Δ.2.圆与圆的位置关系设两个圆的半径分别为R，r，R＞r，圆心距为d，则两圆的位置关系可用下表来表示：[微点提醒]1.圆心在坐标原点半径为r的圆的方程为x2＋y2＝r2.2.以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(x－x1)·(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.3.圆的切线方程常用结论(1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2.(2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.(3)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2.典型例题考点一圆的方程【例1】(1)(2018·天津卷)在平面直角坐标系中，经过三点(0，0)，(1，1)，(2，0)的圆的方程为________________.(2)(2019·安徽“江南十校”联考)已知圆C的圆心在直线x＋y＝0上，圆C与直线x－y＝0相切，且在直线x－y－3＝0上截得的弦长为6，则圆C的方程为________.规律方法求圆的方程时，应根据条件选用合适的圆的方程.一般来说，求圆的方程有两种方法：(1)几何法，通过研究圆的性质进而求出圆的基本量.确定圆的方程时，常用到的圆的三个性质：①圆心在过切点且垂直切线的直线上；②圆心在任一弦的中垂线上；③两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线； (2)代数法，即设出圆的方程，用待定系数法求解.【训练1】 (1)(2019·新乡模拟)若圆C ：x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋12m 2＝n 的圆心为椭圆M ：x 2＋my 2＝1的一个焦点，且圆C 经过M 的另一个焦点，则圆C 的标准方程为________. (2)(2018·枣庄模拟)已知圆M 与直线x －y ＝0及x －y ＋4＝0都相切，且圆心在直线y ＝－x ＋2上，则圆M 的标准方程为________. 考点二 与圆有关的最值问题角度1 斜率型、截距型、距离型最值问题【例2－1】 已知实数x ，y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0. (1)求yx 的最大值和最小值； (2)求y －x 的最大值和最小值； (3)求x 2＋y 2的最大值和最小值.规律方法 把有关式子进行转化或利用所给式子的几何意义解题，充分体现了数形结合以及转化的数学思想，其中以下几类转化较为常见： (1)形如m ＝y －b x －a 的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；(2)形如m ＝ax ＋by 的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；(3)形如m ＝(x －a )2＋(y －b )2的最值问题，可转化为两点间距离的平方的最值问题.角度2 利用对称性求最值【例2－2】 已知圆C 1：(x －2)2＋(y －3)2＝1，圆C 2：(x －3)2＋(y －4)2＝9，M ，N 分别是圆C 1，C 2上的动点，P 为x 轴上的动点，则|PM |＋|PN |的最小值为( ) A.52－4B.17－1C.6－2 2D.17【训练2】(1)设点P是函数y＝－4－（x－1）2图象上的任意一点，点Q坐标为(2a，a－3)(a∈R)，则|PQ|的最小值为________.(2)已知A(0，2)，点P在直线x＋y＋2＝0上，点Q在圆C：x2＋y2－4x－2y＝0上，则|P A|＋|PQ|的最小值是________.考点三与圆有关的轨迹问题【例3】已知圆x2＋y2＝4上一定点A(2，0)，B(1，1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点.(1)求线段AP中点的轨迹方程；(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程.规律方法求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法：(1)直接法，直接根据题目提供的条件列出方程；(2)定义法，根据圆、直线等定义列方程；(3)几何法，利用圆的几何性质列方程；(4)代入法，找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等.【训练3】已知过原点的动直线l与圆C1：x2＋y2－6x＋5＝0相交于不同的两点A，B.(1)求圆C1的圆心坐标；(2)求线段AB的中点M的轨迹C的方程.考点四直线与圆的位置关系【例4】(1)已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是()A.相切B.相交C.相离D.不确定(2)(2019·湖南六校联考)已知⊙O：x2＋y2＝1，点A(0，－2)，B(a，2)，从点A观察点B，要使视线不被⊙O挡住，则实数a的取值范围是()A.(－∞，－2)∪(2，＋∞)B.(－∞，－433)∪(433，＋∞)C.(－∞，－233)∪(233，＋∞) D.(－433，433)规律方法判断直线与圆的位置关系的常见方法(1)几何法：利用d与r的关系.(2)代数法：联立方程之后利用Δ判断.(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交.上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题.【训练1】(1)“a＝3”是“直线y＝x＋4与圆(x－a)2＋(y－3)2＝8相切”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件(2)圆x2＋y2－2x＋4y＝0与直线2tx－y－2－2t＝0(t∈R)的位置关系为()A.相离B.相切C.相交D.以上都有可能考点五圆的切线、弦长问题角度1圆的弦长问题【例5－1】(2018·全国Ⅰ卷)直线y＝x＋1与圆x2＋y2＋2y－3＝0交于A，B两点，则|AB|＝________.角度2圆的切线问题【例5－2】过点P(1，－2)作圆C：(x－1)2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则AB所在直线的方程为()A.y＝－34 B.y＝－12C.y＝－32 D.y＝－14角度3与弦长有关的最值和范围问题【例5－3】(2018·全国Ⅲ卷)直线x＋y＋2＝0分别与x轴、y轴交于A，B两点，点P在圆(x－2)2＋y2＝2上，则△ABP面积的取值范围是()A.[2，6]B.[4，8]C.[2，32]D.[22，32]规律方法 1.弦长的两种求法(1)代数方法：将直线和圆的方程联立方程组，消元后得到一个一元二次方程.在判别式Δ＞0的前提下，利用根与系数的关系，根据弦长公式求弦长.(2)几何方法：若弦心距为d，圆的半径长为r，则弦长l＝2r2－d2.2.过圆外一点(x0，y0)的圆的切线方程的求法：当斜率存在时，设为k，则切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即kx－y＋y0－kx0＝0，由圆心到直线的距离等于半径，即可得出切线方程；当斜率不存在时，要加以验证.【训练2】(1)已知过点P(2，2)的直线与圆(x－1)2＋y2＝5相切，且与直线x－ay ＋1＝0平行，则a＝________.(2)(2019·合肥测试)过点(3，1)作圆(x－2)2＋(y－2)2＝4的弦，其中最短弦的长为________.考点六圆与圆的位置关系【例6】(2019·郑州调研)已知两圆x2＋y2－2x－6y－1＝0，x2＋y2－10x－12y＋m ＝0.(1)m取何值时两圆外切？(2)m取何值时两圆内切？(3)当m＝45时，求两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长.规律方法 1.判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法.2.若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2，y2项得到.【训练3】 (1)已知圆M ：x 2＋y 2－2ay ＝0(a ＞0)截直线x ＋y ＝0所得线段的长度是22，则圆M 与圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的位置关系是( ) A.内切B.相交C.外切D.相离(2)(2019·安阳模拟)已知圆C 1：x 2＋y 2－kx ＋2y ＝0与圆C 2：x 2＋y 2＋ky －4＝0的公共弦所在直线恒过点P (a ，b )，且点P 在直线mx －ny －2＝0上，则mn 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14 B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，14 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，14D.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，14 课堂训练一、选择题1.已知圆C 的圆心为(2，－1)，半径长是方程(x ＋1)(x －4)＝0的解，则圆C 的标准方程为( )A.(x ＋1)2＋(y －2)2＝4B.(x －2)2＋(y －1)2＝4C.(x －2)2＋(y ＋1)2＝16D.(x ＋2)2＋(y －1)2＝162.(2019·合肥模拟)已知圆C ：(x －6)2＋(y －8)2＝4，O 为坐标原点，则以OC 为直径的圆的方程为( ) A.(x －3)2＋(y ＋4)2＝100 B.(x ＋3)2＋(y －4)2＝100 C.(x －3)2＋(y －4)2＝25 D.(x ＋3)2＋(y －4)2＝253.若方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示圆，则实数a 的取值范围是( )A.(－∞，－2)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，0 C.(－2，0)D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，23 4.点P (4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是( ) A.(x －2)2＋(y ＋1)2＝1 B.(x －2)2＋(y ＋1)2＝4 C.(x ＋4)2＋(y －2)2＝4D.(x ＋2)2＋(y －1)2＝15.(2018·兰州模拟)已知点A 是直角三角形ABC 的直角顶点，且A (2a ，2)，B (－4，a )，C (2a ＋2，2)，则△ABC 外接圆的方程是( ) A.x 2＋(y －3)2＝5B.x 2＋(y ＋3)2＝5C.(x－3)2＋y2＝5D.(x＋3)2＋y2＝56.过点(3，1)作圆(x－1)2＋y2＝r2的切线有且只有一条，则该切线的方程为()A.2x＋y－5＝0B.2x＋y－7＝0C.x－2y－5＝0D.x－2y－7＝07.(2019·佛山调研)已知圆O1的方程为x2＋y2＝1，圆O2的方程为(x＋a)2＋y2＝4，如果这两个圆有且只有一个公共点，那么a的所有取值构成的集合是()A.{1，－1，3，－3}B.{5，－5，3，－3}C.{1，－1}D.{3，－3}8.圆x2＋2x＋y2＋4y－3＝0上到直线x＋y＋1＝0的距离为2的点共有()A.1个B.2个C.3个D.4个9.(2019·湖南十四校二联)已知直线x－2y＋a＝0与圆O：x2＋y2＝2相交于A，B 两点(O为坐标原点)，且△AOB为等腰直角三角形，则实数a的值为()A.6或－ 6B.5或－5C. 6D.510.(2019·武汉二模)直线l：kx－y＋k＋1＝0与圆x2＋y2＝8交于A，B两点，且|AB|＝42，过点A，B分别作l的垂线与y轴交于点M，N，是|MN|等于()A.2 2B.4C.4 2D.8二、填空题1.已知圆C：(x－2)2＋(y＋m－4)2＝1，当m变化时，圆C上的点与原点O的最短距离是________.2.(2019·宜昌模拟)已知圆C：x2＋y2＋kx＋2y＝－k2，当圆C的面积取最大值时，圆心C的坐标为________.3.已知点M(1，0)是圆C：x2＋y2－4x－2y＝0内的一点，那么过点M的最短弦所在直线的方程是________.4.若A为圆C1：x2＋y2＝1上的动点，B为圆C2：(x－3)2＋(y＋4)2＝4上的动点，则线段AB长度的最大值是________.5.已知圆C的圆心是直线x－y＋1＝0与x轴的交点，且圆C与圆(x－2)2＋(y－3)2＝8相外切，则圆C的方程为________________.6.已知直线l：x＋ay－1＝0(a∈R)是圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的对称轴.过点A(－4，a)作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|＝________.三、解答题1.已知以点P为圆心的圆经过点A(－1，0)和B(3，4)，线段AB的垂直平分线交圆P于点C和D，且|CD|＝410.(1)求直线CD的方程；(2)求圆P的方程.2.已知点P(2，2)，圆C：x2＋y2－8y＝0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点.(1)求M的轨迹方程；(2)当|OP|＝|OM|时，求l的方程及△POM的面积.3.已知圆C经过点A(2，－1)，和直线x＋y＝1相切，且圆心在直线y＝－2x上.(1)求圆C的方程；(2)已已已已l已已已已已已已已已C已已已已已已2已已已已l已已已.4.已知过点A(0，1)且斜率为k的直线l与圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1交于M，N 两点.(1)求k的取值范围；(2)若OM →·ON →＝12，其中O 为坐标原点，求|MN |.本次课课后练习1.若圆Ω过点(0，－1)，(0，5)，且被直线x －y ＝0截得的弦长为27，则圆Ω的方程为( )A.x 2＋(y －2)2＝9或(x ＋4)2＋(y －2)2＝25B.x 2＋(y －2)2＝9或(x －1)2＋(y －2)2＝10C.(x ＋4)2＋(y －2)2＝25或(x ＋4)2＋(y －2)2＝17D.(x ＋4)2＋(y －2)2＝25或(x －4)2＋(y －1)2＝162.已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝1，设点P 是圆C 上的动点.记d ＝|PB |2＋|P A |2，其中A (0，1)，B (0，－1)，则d 的最大值为________.3.(2017·天津卷)设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l .已知点C 在l 上，以C 为圆心的圆与y 轴的正半轴相切于点A .若∠F AC ＝120°，则圆的方程为________.4.(2018·全国Ⅱ卷)设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过F 且斜率为k (k >0)的直线l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝8. (1)求l 的方程；(2)求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程.5.(2019·湖北四地七校联考)若圆O 1：x 2＋y 2＝5与圆O 2：(x ＋m )2＋y 2＝20相交于A ，B 两点，且两圆在点A 处的切线互相垂直，则线段AB 的长度是( ) A.3B.4C.2 3D.86.(2018·合肥模拟)设圆x 2＋y 2－2x －2y －2＝0的圆心为C ，直线l 过(0，3)，且与圆C交于A，B两点，若|AB|＝23，则直线l的方程为()A.3x＋4y－12＝0或4x－3y＋9＝0B.3x＋4y－12＝0或x＝0C.4x－3y＋9＝0或x＝0D.3x－4y＋12＝0或4x＋3y＋9＝011。