12圆心角与圆周角、切线判定

第二节：圆心角与圆周角、切线判定

知识点1：圆心角

【笔记】

1 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系

定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对弦的弦心距相等. 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角以及这两个角所对的弧、多对的弦、所对弦的弦心距中，有一组量相等，那么其余各组量都分别相等.

简记为：圆心角相等→弧相等→弦相等→弦心距相等

2 圆周角、圆心角定理：

定理：一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半.

推论1：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，相等的圆周角所对的弧也相等.

推论2：半径或直径所对的圆周角是直角；90︒的圆周角所对的弦是直径. 几何语言：① ∵AB 是直径 ∴ ② ∵90ACB ∠=︒ ∴ 如下三个图，分别证明圆周角定理：

推论：半圆（或直径）所对的圆周角是 ， 所对的 是直径。 【例题】

【例1】如图，AD 是⊙O 的直径，且6AD =，点,B C 在⊙O 上，弧AmB 和弧AnC 相等，120AOB ∠=︒，点E 是线段CD 的中点，则OE =（ ）

A ．1

B ．

C ．3

D ．

【例2】如图，已知,,A B C 三点在⊙O 上，AC BD ⊥于点D ，55B ∠=︒，则BOC ∠的

度数是

【例3】已知ABC ∆的外接圆O 的半径为3，4AC =，则sin B =（ ）

A.

13 B.34 C.45 D.23

【例4】如图，AB 是⊙O 的弦，OH AB ⊥于点H ，点P 是优弧上一点，若AB =1OH =，则APB ∠的度数是

【练习】

1.<1分钟>如图，AB 是⊙O 的直径，弧BC =弧CD =弧DE ,34COD ∠=︒，则AEO ∠的度数是（ ）

A ．51︒

B ．56︒

C ．68︒

D ．78︒

2.<1分钟>如图，BD 是⊙O 的直径，30CBD ∠=︒，则A ∠的度数为（ ）

A ．30︒

B ．45︒

C ．60︒

D ．75︒

3.<2分钟>如图，直径为10的⊙A 经过点(05)C ，

和点(00)O ，，B 是y 轴右侧⊙A 优弧

4.<2分钟>如图，已知⊙O 的半径为1，锐角ABC ∆内接于⊙O ，BD AC ⊥于点D ，

OM AB ⊥于点M ，则sin CBD ∠的值等于（ ）

A ．OM 的长

B ．2OM 的长

C ．C

D 的长 D ．2CD 的长

【补救练习】

1.如图，AB 是⊙O 的直径，四边形ABCD 内接于⊙O ，若4

B

C C

D D A c m ===，则⊙O

的周长为（ ）

A ．5πcm

B ．6πcm

C ．9πcm

D ．8πcm

2.如图，⊙O 的弦CD 与直径AB 相交，若35ACD ∠=︒，则BAD ∠=（ ）

A ．55︒

B ．40︒

C ．35︒

D ．30︒

3.如图，ABC ∆内接于⊙O ，45C ∠=︒，2AB =，则⊙O 的半径为（ ）

A.1

B. 22

C.2 2

4.如图，ABC ∆内接于⊙O ，OD BC ⊥于D ，50A ∠=︒，则OCD ∠的度数是 .

知识点2：圆内接四边形 【笔记】

定理：圆的内接四边形的对角互补，且任何一个外角等于它的内对角.

【例题】

【例1】如图，两圆相交于,A B 两点，小圆经过大圆的圆心O ，点,C D 分别在两圆上，若

100ADB ∠=︒，则ACB ∠的度数为（ ）

A. 35︒ B ．40︒ C ．50︒ D ．80︒

【例2】如图，点,,,A B C D 在⊙O 上，O 点在D ∠的内部，四边形OABC 为平行四边形，则OAD OCD ∠+∠=_______________°.

【例3】如图，在ABC ∆中，以BC 为直径的圆分别交边,AC AB 于,D E 两点，连．若BD 平分ABC ∠，则下列结论不一定成立的是（ ）

A ．BD AC ⊥

B ．22A

C AB AE =∙ C ．ADE ∆是等腰三角形

D ．2BC AD =

【练习】

1.<2分钟>如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，若它的一个外角70DCE ∠=︒，则

ÐBOD =( )

A ．35︒ B.70︒ C ．110︒ D.140︒

2.<2分钟>如图，⊙O 中，ABCD 是圆内接四边形，110BOC ∠=︒，则BDC ∠的度数是（ ）

A. 110︒

B.70︒

C.55︒

D ．125︒

3.<2分钟>如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，并且AD 是⊙O 的直径，C 是弧BD 的中点，

AB 和DC 的延长线交⊙O 外一点E ．求证：BC EC =．

【补救练习】

1.如图，⊙C 过原点，且与两坐标轴分别交于点A ，点B ，点A 的坐标为(0,3)，M 是第三象限内弧上一点，120BMO ∠=︒，则⊙C 的半径为（ ）

A ．6

B ．5

C ．3

D ．2

2.如图，点,,,A B C D 在⊙O 上，O 点在D ∠的内部，四边形OABC 为平行四边形，求

OAD OCD ∠+∠的度数．

3.如图，已知,,,A B C D 是⊙O 上的四点，延长,DC AB 相交于点E ，若DA DE =，求证：BCE ∆是等腰三角形．