2019-2020学年北京四中高一(下)期中数学试卷(含解析)
2019-2020学年北京市高一下学期期中考试数学试卷Word版含答案
2019-2020学年北京市下学期期中考试高一数学试卷本试卷共150分，考试时间120分钟。
一、选择题：共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1. 在△ABC 中，D 是边BC 的中点，则AC AD -＝ A. CBB. BCC. CB 21D. BC 212. 在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝4，∠A ＝150°，则△ABC 的面积为 A. 3B. 33C. 6D. 363. 下图是500名学生某次数学测试成绩（单位：分）的频率分布直方图，则这500名学生中测试成绩在区间[90，100）中的学生人数是A. 60B. 55C. 45D. 504. 已知点A （1，2），B （3，7），向量AB x a ),1,(-=∥a ，则 A. 52=x ，且AB 与a 方向相同 B. 52-=x ，且AB 与a 方向相同C. 52=x ，且AB 与a 方向相反 D. 52-=x ，且AB 与a 方向相反5. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为c b a ,,。
若ac B b c a 3tan )(222=-+，则角B 的大小为 A.3π B.6π C.3π或32πD.6π或65π6. 已知在△ABC 中，10,4,3===BC AC AB ，则BC AB ⋅＝ A. 43-B. 23-C.23 D.43 7. 抛掷两颗骰子，点数之积为大于15的偶数的概率是 A.185 B.92 C.61 D.3611 8. 从高一年级随机选取100名学生，对他们的期末考试的数学和语文成绩进行分析，成绩如图所示。
若用21,p p 分别表示这100名学生语文，数学成绩的及格率，用2221,s s 分别表示这100名学生语文、数学成绩的方差，则下列结论正确的是 A. 222121,s s p p >> B. 222121,s s p p >< C. 222121,s s p p <>D. 222121,s s p p <<二、填空题：共6小题，每小题5分，共30分。
2019-2020学年北京市某校高一(下)期中数学试卷(C卷)
2019-2020学年北京市某校高一（下）期中数学试卷（C 卷）一、单选题1. 已知变量x ，y 满足{x −4y +3≤0x +y −4≤0x ≥1 ，则z ＝x −y 的取值范围是（ ）A.[−2, −1]B.[−2, 0]C.[0, 65]D.[−2, 65]2. 若实数a ，b 满足3a ＝4b ＝12，则1a +1b =( ) A.12 B.15C.16D.13. 已知集合A ＝{x|(x −6)(x +4)<0}，B ={x|y =√x +1}，则A ∩B ＝（ ） A.[−1, 6) B.(−1, 6) C.(−4, −1] D.(−4, −1)4. 在△ABC 中，b ＝c ⋅cos A ，则△ABC 的形状为（ ） A.等边三角形 B.等腰三角形或直角三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形5. 已知二项式(2x −√x)n (n ∈N ∗)的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2:5，则x 3的系数为（ ）A.14B.−14C.240D.−2406. 函数f(x)={2x 2+4x +1(x <0)2e (x ≥0) 的图象上关于原点对称的点有（ ）对． A.0 B.2 C.3 D.无数个7. 下列说法错误的是（ ）A.若OD →+OE →=OM →，则OM →−OE →=OD →B.若OD →+OE →=OM →，则OM →+DO →=OE →C.若OD →+OE →=OM →，则OD →−EO →=OM →D.若OD →+OE →=OM →，则DO →+EO →=OM →8. 已知实数x ，y 满足{x +y −4≥0y −3≤0x −y ≤0 ，则z =y−1x+1的最大值为（ ）A.1B.12C.13D.29. 若a >b >1，0<c <1，则下列不等式错误的是（ ） A.a c >b c B.ab c >ba cC.log a c >log b cD.a log b c >b log a c10. 函数f(x)＝A sin (ωx +φ)(A >0, ω>0, −π<φ<0)的部分图象如图所示，为了得到g(x)＝A sin ωx 的图象，只需将函数y ＝f(x)的图象（ ）A.向左平移π3个单位长度 B.向左平移π12个单位长度 C.向右平移π3个单位长度D.向右平移π12个单位长度二、填空题定义运算a ∗b ={a(a ≤b)b(a >b) ，例如，1∗2＝1，则函数f(x)＝x 2∗(1−|x|)的最大值为________3−√52 ．函数f(x)=√4−x 2+12x −4的定义域为________．设集合A ＝{x||x −a|<1, x ∈R}，B ＝{x|1<x <5, x ∈R}，若A⫋B ，则a 的取值范围为________．已知关于x ，y 的不等式组{2x −y +1≥0x +m ≤0y +2≥0 ，表示的平面区域内存在点P(x 0, y 0)，满足x 0−2y 0＝2，则m 的取值范围是________−∞,43] ．已知函数f(x)={(12)x ,x ≥4f(x +1),x <4 ，则f(log 23)＝________．三、解答题已知函数f(x)=1−42a x +a (a >0且a ≠1)是定义在(−∞, +∞)上的奇函数． （1）求a 的值；（2）当x ∈(0, 1]时，t ⋅f(x)≥2x −2恒成立，求实数t 的取值范围．已知集合A ={x|3≤x <7}，B ={x|x 2−12x +20<0}，C ={x|x <a}． (1)求A ∪B ；(∁R A)∩B ；（2）若A ∩C ≠⌀，求a 的取值范围．已知函数f(x)=3sin (12x +π6)−1．求： （1）函数的最值及相应的x 的值；（2）函数的最小正周期．已知向量a →，b →，c →，求作a →−b →+c →和a →−(b →−c →)．设 (1−x)15＝a 0+a 1x +a 2x 2+...+a 15x 15．求： （1）a 1+a 2+a 3+a 4+...+a 15；（2）a 1+a 3+a 5+...+a 15．化简求值．（1）log 3√27+lg 25+lg 4+7log 72+(−9.8)0（2）(0.027)−13−(17)−2+(279)12−(√2−1)0．参考答案与试题解析2019-2020学年北京市某校高一（下）期中数学试卷（C卷）一、单选题1.【答案】D【考点】简单线性规划【解析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，结合数形结合即可得到结论．【解答】作出不等式组{x−4y+3≤0x+y−4≤0x≥1，对应的平面区域如图：由z＝x−y得y＝x−z，平移直线y＝x−z由图象可知当直线y＝x−z经过点A时，直线y＝x−z的截距最大，由{x=1x+y=4，解得A(1, 3)此时z最小为z＝1−3＝−2，当直线y＝x−z，z经过点B时，z取得最大值，由{x+y=4x−4y+3=0，可得A(135, 75)，直线y＝x−z的截距最小，此时z最大为：135−75=65，z的范围为：[−2, 65]．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键．2.【答案】D【考点】对数的运算性质【解析】由对数的定义可得a＝log312，b＝log412，再由换底公式的倒数公式：logab⋅logba＝1，结合对数的运算法则，即可得答案．【解答】3a＝4b＝12，即有a＝log312，b＝log412，则1a +1b=1log312+1log412=log123+log124＝log1212＝1．【点评】本题考查对数的运算法则，对数的换底公式，考查运算能力，属于基础题．3. 【答案】A【考点】交集及其运算【解析】解不等式得集合A，求函数的定义域得集合B，根据交集的定义写出A∩B．【解答】依题意，A＝{x|(x−6)(x+4)<0}＝{x|−4<x<6}，B={x|y=√x+1}={x|x≥−1}，∴A∩B＝[−1, 6)．【点评】本题考查了交集的定义与运算问题，是基础题．4.【答案】C【考点】三角形的形状判断【解析】利用余弦定理表示出cos A，把cos A代入已知等式，整理得到a2+b2＝c2，即可确定出三角形形状．【解答】把cos A=b2+c2−a22bc，代入已知等式得：b＝c⋅b2+c2−a22bc，整理得：a2+b2＝c2，即C为直角．则△ABC一定是直角三角形．【点评】此题考查了勾股定理、余弦定理在解三角形中的应用，熟练掌握余弦定理是解本题的关键，属于基础题．5.【答案】C【考点】二项式定理及相关概念【解析】先由题意利用二项式系数的性质求得n的值，可得通项公式，在通项公式中，令x的幂指数等于3，求得r的值，可得x3的系数．【解答】由二项式(2x−√x)n(n∈N∗)的展开式中的通项公式为T r+1=C n r⋅(−1)r⋅2n−r⋅x n−3r2，它第2项与第3项的二项式系数之比是2:5，∴C n1C n2=25，求得n＝6，故通项公式为T r+1=C6r⋅(−1)r⋅26−r⋅x6−3r2．令6−3r2=3，求得r＝2，故x3的系数为C62⋅24＝240，【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题． 6.【答案】 B【考点】分段函数的应用 【解析】作出函数y ＝f(x)的图象，并且作出y ＝f(x)图象位于y 轴左侧部分(y ＝2x 2+4x +1)关于原点对称的曲线C ，观察函数y ＝f(x)图象位于y 轴右侧(y =2e x )与曲线C 的交点的个数，可以得出满足条件的对称点的对数． 【解答】 ∵ 函数f(x)={2x 2+4x +1(x <0)2e x(x ≥0) ，∴ 作出函数y ＝f(x)图象如右图所示，再作出y ＝2x 2+4x +1位于y 轴右侧的图象，使得恰好与函数图象位于y 轴左侧部分关于原点对称，记为曲线C （粗线），发现y =2e 与曲线C 有且仅有两个交点，∴ 满足条件的对称点有两对，图中的A 、B 就是符合题意的点， ∴ 函数f(x)={2x 2+4x +1(x <0)2e x (x ≥0)的图象上关于原点对称的点有2对．【点评】本题考查了分段函数的应用，着重考查了分段函数图象的画法，考查了基本初等函数图象的作法．利用函数奇偶性，作出图象一侧关于原点对称图象，再找交点是解决本题的关键．属于中档题． 7.【答案】 D【考点】向量加减混合运算及其几何意义 【解析】根据向量的加法、减法运算，及相反向量的概念进行判断即可． 【解答】若OD →+OE →=OM →，①则OM →−OE →=OD →，A 正确； ②则OM →−OD →=OE →； ∴ OM →+DO →=OE →，B 正确； ③则OD →−EO →=OM →，C 正确； ④则DO →+EO →=MO →，D 错误．【点评】考查向量的加法、减法运算，向量的数乘运算，相反向量的概念． 二．填空题（共1小题） 8.【答案】 A【考点】 简单线性规划 【解析】作出不等式组对应平面区域，利用z 的几何意义即可得到结论． 【解答】作出不等式组对应的平面区域如图：则z =y−1x+1的几何意义为动点到定点P(−1, 1)的斜率， 图象可知当动点位于B 时，直线PB 的斜率最大， 由{y =3x +y =4 解得B(1, 3) 此时z =y−1x+1=3−11+1=1，【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用几何意义，以及直线的斜率公式是解决本题的关键． 二．填空题（共6小题） 9.【答案】 D【考点】命题的真假判断与应用 【解析】根据幂函数和对数函数的图象和性质，结合不等式的基本性质，逐一分析四个答案的真假，可得结论． 【解答】∵ a >b >1，0<c <1，∴ y ＝x c 为增函数，a c >b c ，故A 正确；y ＝x c−1为减函数，b c−1>a c−1，又由ab >0，可得ab c >ba c ，故B 正确； y ＝log c x 为减函数，∴ log c a <log c b <0，故0>log a c >log b c ，故C 正确； a log b c <b log a c <0，故D 错误；【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了幂函数和对数函数的图象和性质，不等式的基本性质，等知识点，难度中档．二．填空题（共4小题） 10.【答案】 B【考点】函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换【解析】由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得f(x)的解析式，再利用函数y ＝A sin (ωx +φ)的图象变换规律，得出结论． 【解答】根据函数f(x)＝A sin (ωx +φ)(A >0, ω>0, −π<φ<0)的部分图象，可得A ＝2，12⋅2πω=π3+π6，∴ ω＝2．再根据五点法作图可得2×π3+φ=π2，求得φ=−π6，∴ f(x)＝2sin (2x −π6)． 为了得到g(x)＝A sin ωx ＝2sin 2x 的图象，只需将函数y ＝f(x)＝2sin (2x −π6)的图象向左平移π12个单位长度，【点评】本题主要考查由函数y ＝A sin (ωx +φ)的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，函数y ＝A sin (ωx +φ)的图象变换规律，属于基础题． 二、填空题 【答案】3−√52【考点】函数的最值及其几何意义 【解析】分析：根据定义a ∗b ={a(a ≤b)b(a >b) 化简函数f(x)＝x 2∗(1−|x|)为分段函数f(x)={x 2(x 2≤1−|x|)1−|x|(x 2>1−|x|) ，为了计算的方便则令t ＝|x|化简成关于t 的分段函数f(t)={t 2(t 2≤1−t)1−t(t 2>1−t) ，根据函数的单调性求其最大值即可． 【解答】 由题意知∵ a ∗b ={a(a ≤b)b(a >b)∴ 函数f(x)＝x 2∗(1−|x|)可化简为：f(x)={x 2(x 2≤1−|x|)1−|x|(x 2>1−|x|)令t ＝|x|得：f(t)={t 2(t 2≤1−t)1−t(t 2>1−t)∴ 要求原分段函数的最大值，只需求f(t)={t 2(t 2≤1−t)1−t(t 2>1−t) 的最大值即：f(t)={t 2(0≤t ≤−1+√52)1−t(t >−1+√52)又∵ 函数f(t)在区间[0, −1+√52]上单调递增函数，在区间(−1+√52, +∞)上单调递减函数， ∴ f(t)的最大值在t =−1+√52时取得，即f(t)max =f(−1+√52)=3−√52【点评】本题主要考查两点，一点是对新定义的理解，二点是利用函数单调性求分段函数的最值，属于中档题型．【答案】 [−2, 2) 【考点】函数的定义域及其求法 【解析】根据二次根式及分式成立的条件，列不等式组求得函数的定义域． 【解答】函数f(x)=√4−x 2+12x −4，自变量x 的取值满足{4−x 2≥02x−4≠0； 解不等式组可得−2≤x <2， 即x ∈[−2, 2)． 【点评】本题考查了根据函数解析式求定义域的问题，是基础题． 【答案】 [2, 4] 【考点】集合的包含关系判断及应用 【解析】先化简集合A ，再根据A⫋B ，得到关于a 的不等式求出a 的取值范围． 【解答】由|x −a|<1，得−1<x −a <1，∴ a −1<x <a +1， 由A⫋B 得{a −1>1a +1<5，∴ 2<a <4．又当a ＝2时，A ＝{x|1<x <3}，满足A⫋B ，a ＝4时，A ＝{x|3<x <5}，满足A⫋B ， ∴ 2≤a ≤4． 【点评】本题主要考查集合的化简和关系运算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力．利用数轴处理集合的交集、并集、补集运算时，要注意端点是实心还是空心，在含有参数时，要注意验证区间端点是否符合题意，属于基础题． 【答案】 （【考点】 简单线性规划 【解析】作出不等式组对应的平面区域，要使平面区域内存在点点P(x 0, y 0)满足x 0−2y 0＝2，则平面区域内必存在一个C 点在直线x −2y ＝2的下方，A 在直线是上方，由图象可得m 的取值范围． 【解答】作出x ，y 的不等式组{2x −y +1≥0x +m ≤0y +2≥0 对应的平面如图：交点C 的坐标为(−m, −2)，直线x −2y ＝2的斜率为12，斜截式方程为y =12x −1， 要使平面区域内存在点P(x 0, y 0)满足x 0−2y 0＝2， 则点C(−m, −2)必在直线x −2y ＝2的下方，即−2≤−12m −1，解得m ≤2，并且A 在直线的上方；A(−m, 1−2m)，可得1−2m ≥−12m −1，解得m ≤43，故m 的取值范围是：(−∞, 43]．【点评】本题主要考查线性规划的基本应用，利用数形结合是解决本题的关键，综合性较强． 三．解答题（共9小题） 【答案】 124【考点】 函数的求值 求函数的值分段函数的解析式求法及其图象的作法【解析】先判断出log 23的范围，代入对应的解析式求解，根据解析式需要代入同一个式子三次，再把所得的值代入另一个式子求值，需要对底数进行转化，利用a log aN =N 进行求解．【解答】由已知得，f(x)={(12)x ,x ≥4f(x +1),x <4，且1<log 23<2，∴ f(log 23)＝f(log 23+1)＝f(log 23+2)＝f(log 23+3) ＝f(log 224)=(12)log 224=2log 2(24)−1=124．【点评】本题的考点是分段函数求值，对于多层求值按“由里到外”的顺序逐层求值，一定要注意自变量的值所在的范围，然后代入相应的解析式求解，此题利用了恒等式a log a N=N 进行求值． 三．解答题（共5小题） 三、解答题 【答案】∵ 函数f(x)=1−42a x +a (a >0且a ≠1)是定义在(−∞, +∞)上的奇函数， ∴ f(0)=1−42+a =0，解得a ＝2．由（1）得f(x)=2x −12x +1，当0<x ≤1时，f(x)>0． ∴ 当0<x ≤1时，t ⋅f(x)≥2x −2恒成立， 则等价于t ≥2x −2f(x)=(2x −2)(2x +1)2x −1对x ∈(0, 1]时恒成立，令m ＝2x −1，0<m ≤1，即t ≥m −2m+1，当0<m ≤1时恒成立，既t ≥m −2m+1在(0, 1]上的最大值，易知y =m −2m+1在(0, 1]上单调递增，∴ 当m ＝1时y =m −2m +1有最大值0，所以t ≥0， 故所求的t 范围是：t ≥0．【考点】函数奇偶性的性质与判断 【解析】（1）根据奇函数的性质，令f(0)＝0列出方程，求出a 的值； （2）由0<x ≤1判断出f(x)>0，再把t 分离出来转化为t ≥(2x −2)(2x +1)2x −1对x ∈(0, 1]时恒成立，利用换元法：令m ＝2x −1，代入上式并求出m 的范围，再转化为求y =m −1m +1在(0, 1]上的最大值． 【解答】∵ 函数f(x)=1−42a +a (a >0且a ≠1)是定义在(−∞, +∞)上的奇函数， ∴ f(0)=1−42+a =0，解得a ＝2． 由（1）得f(x)=2x −12x +1，当0<x ≤1时，f(x)>0．∴ 当0<x ≤1时，t ⋅f(x)≥2x −2恒成立，则等价于t ≥2x −2f(x)=(2x −2)(2x +1)2x −1对x ∈(0, 1]时恒成立，令m ＝2x −1，0<m ≤1，即t ≥m −2m+1，当0<m ≤1时恒成立，既t ≥m −2m +1在(0, 1]上的最大值，易知y =m −2m +1在(0, 1]上单调递增， ∴ 当m ＝1时y =m −2m+1有最大值0，所以t ≥0，故所求的t 范围是：t ≥0．【点评】本题考查了奇函数的性质应用，恒成立问题以及转化思想和分离常数法求参数范围，难度较大． 【答案】解：(1)B ={x|x 2−12x +20<0}={x|2<x <10}； 因为A ={x|3≤x <7}，所以A ∪B ={x|2<x <10}； 因为A ={x|3≤x <7}，所以∁R A ={x|x <3或x ≥7}；(∁R A)∩B ={x|2<x <3或7≤x <10}． （2）因为A ={x|3≤x <7}，C ={x|x <a}． A ∩C ≠⌀， 所以a >3．【考点】集合关系中的参数取值问题交、并、补集的混合运算【解析】（1）先通过解二次不等式化简集合B，利用并集的定义求出A∪B，利用补集的定义求出C R A，进一步利用交集的定义求出(C R A)∩B；（2）根据交集的定义要使A∩C≠⌀，得到a>3．【解答】解：(1)B={x|x2−12x+20<0}={x|2<x<10}；因为A={x|3≤x<7}，所以A∪B={x|2<x<10}；因为A={x|3≤x<7}，所以∁R A={x|x<3或x≥7}；(∁R A)∩B={x|2<x<3或7≤x<10}．（2）因为A={x|3≤x<7}，C={x|x<a}．A∩C≠⌀，所以a>3．【点评】本题考查进行集合间的交、并、补运算应该先化简各个集合，然后利用交、并、补集的定义进行运算，属于基础题．【答案】因为−1≤sin(12x+π6)≤1，所以−3≤3sin(12x+π6)≤3，所以−4≤3sin(12x+π6)−1≤2，所以f(x)max＝2，此时12x+π6=2kπ+π2，即x＝4kπ+2π3，k∈Z；所以f(x)min＝−4，此时12x+π6=2kπ−π2，即x＝4kπ−4π3，k∈Z．函数f(x)的最小正周期T=2πω=4π．【考点】三角函数的周期性及其求法三角函数的最值【解析】（1）由−1≤sin(12x+π6)≤1，可推得−4≤3sin(12x+π6)−1≤2，即可求解函数的最值及其相应的x的值．（2）利用三角函数的周期公式，即可求解函数f(x)的最小正周期．【解答】因为−1≤sin(12x+π6)≤1，所以−3≤3sin(12x+π6)≤3，所以−4≤3sin(12x+π6)−1≤2，所以f(x)max＝2，此时12x+π6=2kπ+π2，即x＝4kπ+2π3，k∈Z；所以f(x)min＝−4，此时12x+π6=2kπ−π2，即x＝4kπ−4π3，k∈Z．函数f(x)的最小正周期T=2πω=4π．【点评】本题主要考查了三角函数的最值和周期的求法，主要利用了整体法思想，属于基础题．【答案】由向量加法的三角形法则作图：a→−b→+c→：由向量三角形加减法则作图：a→−(b→−c→)：【考点】向量的三角形法则【解析】根据向量加减法的三角形法则作图即可．【解答】由向量加法的三角形法则作图：a→−b→+c→：由向量三角形加减法则作图：a→−(b→−c→)：【点评】本题主要考查了向量加减法的三角形法则，属于基础题．【答案】题中的等式中，令x＝0可得：115＝a0，即a0＝1，令x＝1可得：0＝a0+a1+a2+...+a15，据此可得：a1+a2+a3+a4+...+a15＝−1．题中的等式中，令x＝−1可得：215＝a0−a1+a2+...−a15，①令x＝1可得：015＝a0+a1+a2+...+a15，②①-②可得：215＝−2(a1+a3+a5+...+a15)，则：a1+a3+a5+...+a15＝−214．【考点】二项式定理及相关概念【解析】（1）利用赋值法，令x＝0可得a0＝1，再令x＝1即可求得结论；（2）利用赋值法，令x＝1，x＝−1，所得的两式做差计算可得结论．【解答】题中的等式中，令x＝0可得：115＝a0，即a0＝1，令x＝1可得：0＝a0+a1+a2+...+a15，据此可得：a1+a2+a3+a4+...+a15＝−1．题中的等式中，令x＝−1可得：215＝a0−a1+a2+...−a15，①令x＝1可得：015＝a0+a1+a2+...+a15，②①-②可得：215＝−2(a1+a3+a5+...+a15)，则：a1+a3+a5+...+a15＝−214．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，求解这类问题要注意：①区别二项式系数与展开式中项的系数，灵活利用二项式系数的性质；②根据题目特征，恰当赋值代换，常见的赋值方法是使得字母因式的值或目标式的值为0，1，−1．【答案】log3√27+lg25+lg4+7log72+(−9.8)0=log3332+lg(25×4)+2+1=32+2+3=132．(0.027)−13−(17)−2+(279)12−(√2−1)0=(0.33)−13−(7−1)−2+(259)12−1=10.3−49+53−1=−45．【考点】对数的运算性质有理数指数幂的运算性质及化简求值【解析】（1）利用对数性质、运算法则、换底公式直接求解．（2）利用指数性质、运算法则直接求解．【解答】log3√27+lg25+lg4+7log72+(−9.8)0=log3332+lg(25×4)+2+1=3+2+3=132．(0.027)−13−(17)−2+(279)12−(√2−1)0=(0.33)−13−(7−1)−2+(259)12−1=10.3−49+53−1=−45．【点评】本题考查指数式、对数式化简求值，是基础题，解题时要认真审题，注意指数、对数性质、运算法则、换底公式的合理运用．。
北京四中2019-2020学年度第二学期高三统练1数学学科
数 学 试 卷（试卷满分为150分，考试时间为120分钟）一、选择题共10题，每题4分，共40分。
在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1. 若集合{2,1,0,1,2}A =--，集合2{|log (1)}B x y x ==-，则A B =I （A ）{2}（B ）{1,2}（C ）{2,1,0}-- （D ）{2,1,0,1}--2. 直线10x y +-=与圆2222ππcos cos 36x y +=+的公共点的个数 （A ）0个（B ）1个（C ）2个（D ）不能确定3. 若复数z 满足23i z z +=-（z 是z 的共轭复数），则||z =（A ）2（B（C（D ）34. 设2log 3P =，3log 2Q =，23log (log 2)R =，则 （A ）R Q P << （B ）P R Q << （C ）Q R P <<（D ）R P Q <<5. 给出下列命题：① 若直线l 上有两个点到平面α的距离相等，则直线//l 平面α； ② 长方体是直四棱柱；③ 两相邻侧面所成角相等的棱锥是正棱锥. 其中正确命题的个数是（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）36. “sin 0α=”是“sin20α=”的 （A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件7. 截至2019年10月，世界人口已超过75亿.若按千分之一的年增长率计算，则两年增长的人口就可相当于一个 （A ）新加坡（570万） （B ）希腊（1100万） （C ）津巴布韦（1500万） （D ）澳大利亚（2500万）8. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某四面体的三视图，则该四面体的体积为（A ）83 （B ）23（C ）43（D ）29. 已知函数13,10,()1,01,x f x x x x ⎧--<⎪=+⎨⎪<⎩≤≤则当102m <<时，函数()()g x f x mx m =--在区间(1,1]-内的零点个数为 （A ）0（B ）1（C ）2（D ）310.对于数列{}n a ，若存在常数M ，使得对任意正整数n ，n a 与1n a +中至少有一个不小于M ，则记作{}n a M >，那么下列命题正确的是 （A ）若{}n a M >，则数列{}n a 各项均不小于M （B ）若{}n a M >，{}n b M >，则{}2n n a b M +>（C ）若{}n a M >，则22{}na M > （D ）若{}n a M >，则{21}21n a M ++>二、填空题共5题，每题5分，共25分。
2019-2020学年北京市海淀区高一(下)期中数学试卷(含解析)
2019-2020学年北京市海淀区高一(下)期中数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共32.0分）1.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c.若a=5bsinC，且cosA=5cosBcosC，则tan A的值为()A. 5B. 6C. −4D. −62.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=2√2，b=4，B=45°，则A=()A. 30°B. 60°C. 30°或150°D. 60°或120°3.方程√3sin2x+cos2x=2k−1，x∈[0,π]有两个不等根，则实数k的取值范围为()A. (−12,32) B. (−12,1)∪(1,32) C. [−12,32] D. [−12,1)∪(1,32]4.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线和虚线画出的是某空间几何体的三视图，则该几何体的体积为()A. 2B. 23C. 4D. 435.如图，为了解某海域海底构造，在海平面内一条直线上的A，B，C三点进行测量，已知AB=50m，BC=120m，于A处测得水深AD=80m，于B处测得水深BE=200m，于C处测得水深CF=110m，则∠DEF的余弦值为()A. 1665B. 1965C. 1657D. 17576.已知α，β是不同的平面，m，n是不同的直线，给出下列命题：①m⊥n，m//α，α//β⇒n⊥β；②m⊥n，m⊥α，α//β⇒n⊥β；③m ⊥α，n//β，α//β⇒m ⊥n ；④m ⊥α，m//n ，α//β⇒n ⊥β．其中正确的是( )A. ①②B. ②③C. ①④D. ③④ 7. 若0<x ，y <π2，且sinx =xcosy ，则( ) A. y <x 4B. x 4<y <x 2C. x 2<y <xD. x <y8. 已知△ABC 的面积为，则角C 的度数为( ) A. B. C. D.二、单空题（本大题共5小题，共20.0分）9. 已知3sin 2θ=5cosθ+1，则cos(π+2θ)=______．10. α是第二象限角，，则tanα=________．11. 在平行四边形ABCD 中，AB⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，沿BD 将四边形折起成直二面角A −BD −C ，且|√2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2，则三棱锥A −BCD 的外接球的表面积为______． 12. 已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边，若a =1，c =√3，A +B =2C ，则sinB =______．13. 已知函数f(x)=asinx +cosx 的一条对称轴为x =π3，则a =______．三、多空题（本大题共1小题，共4.0分）14. 如图，在△ABC 中，AB =BC =2，∠ABC =120°，若平面ABC 外的点P 和线段AC 上的点D ，线段BC 上的点Q ，满足PD =DA ，PB =BA ，则四面体P −BCD 的体积的最大值是 (1) ；当P −BCD 体积取最大值时，|PQ|min = (2) ．四、解答题（本大题共4小题，共44.0分）15. 已知函数f(x)=Asin(ωx +φ)(A >0,ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示．(1)求函数f(x)的解析式；(2)求函数f(x)在区间[−π2,0]上的最大值和最小值．16.已知a、b、c分别为△ABC的三个内角A、B、C的对边，2sinAcos2C2+2sinC⋅cos2A2=3sinB(1)证明a、b、c成等差数列；(2)若∠B为锐角，且a=btanA，求a：b：c的值．17.如图所示，直三棱柱ABC−A′B′C中，∠ABC=90°，AB=BC=BB′=2，D为底棱AC的中点．(1)求证：A′B⊥平面AB′C′；(2)过B′C′以及点D的平面与AB交于点E，求证：E为AB中点；(3)求三棱锥D−AB′C′的体积．18.已知函数．(1)求函f(x)的最小正周期和单调递增区间；(2)将函数f(x)的图象向右平移π个单位后得到函数y=g(x)的图象，求函数y=g(x)在区间4[0,π]上的值域．2【答案与解析】1.答案：B解析：本题主要考查解三角形中的正弦定理及应用，同时考查两角和差的余弦公式，诱导公式，以及同角三角函数的关系式，这些都是三角中的基本公式，务必要掌握，注意公式的逆用．运用正弦定理，把边化成角得到sinA=5sinBsinC，再与条件cosA=5cosBcosC相减，运用两角和的余弦公式，再用诱导公式转化为cos A，由同角公式，即可求出tan A．解：∵a=5bsinC，由正弦定理得：sinA=5sinBsinC①，又cosA=5cosBcosC②，②−①得，cosA−sinA=5(cosBcosC−sinBsinC)，=5cos(B+C)=−5cosA，∴sinA=6cosA，∴tanA=sinAcosA=6．故选B．2.答案：A解析：解：∵a=2√2，b=4，B=45°，∴由正弦定理asinA =bsinB，可得：2√2sinA=4sin45∘，∴解得sinA=12，∵a<b，∴A<B，∴A=30°．故选：A．由已知及正弦定理解得sinA=12，结合大边对大角可求A为锐角，进而由特殊角的三角函数值可求A 的值．本题主要考查了正弦定理，大边对大角，特殊角的三角函数值等知识在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．3.答案：B解析：解：cos2x+√3sin2x=2k−1，得2(12cos2x+√32sin2x)=2k−1，即2sin(2x+π6)=2k−1，可得：sin(2x+π6)=2k−12=k−12，由0≤x≤π，得π6≤2x+π6≤13π6，∵y=sin(2x+π6)在x∈[0,π]上的图象形状如图，∴当12<k−12<1和−1<k−12<12时，方程有两个不同的根，解得：1<k<32，−12<k<1．故选：B．利用辅助角公式化简，由x的范围求出这个角的范围，画出此时正弦函数的图象，根据函数值y对应的x有两个不同的值，由图象得出满足题意的正弦函数的值域，列出关于k的不等式，求出不等式的解集即可得到k的取值范围．本题考查了辅助角公式，正弦函数的图象与性质，以及正弦函数的定义域与值域，利用了数形结合的思想，属于中档题．4.答案：D解析：本题考查由三视图还原几何体，锥体体积的有关计算，还原几何体是解决问题的关键，属于基础题．由已知三视图还原几何体，代入四棱锥的体积公式计算可得．解：构造棱长为2的正方体如图所示，由三视图知该几何体是图中的四棱锥P−ABCD，其中B，D分别为棱的中点，则其体积V=13×[2×2−2×(12×2×1)]×2=43．故选D．5.答案：A解析：解：如图所示，作DM//AC交BE于N，交CF于M．DF=√MF2+DM2=√302+1702=10√298(m)，DE=√DN2+EN2=√502+1202=130(m)，EF=√(BE−FC)2+BC2=√902+1202=150(m)．在△DEF中，由余弦定理，得cos∠DEF=DE2+EF2−DF22DF×EF =1302+1502−102×2982×130×150=1665．故选A分别在Rt△DMF中和Rt△DNE中利用勾股定理，求得DF，DE再算出EF=150m，在△DEF中利用余弦定理，可算出cos∠DEF的值．本题给出实际应用问题，求∠DEF的余弦值．主要考查了运用解三角形知识解决实际应用问题，考查了三角形问题中勾股定理、余弦定理的灵活运用，属于中档题．6.答案：D解析：解：①应该是n⊥β或n//β或n⊂β，即①错误；②应该是n//β或n⊂β，即②错误；③由线面垂直、线面平行和面面平行的性质定理可知③正确；④∵m⊥α，m//n，∴n⊥α，∵α//β，∴n⊥β，即④正确；故选：D．根据空间中线面的位置关系、平行与垂直的判定定理和性质定理，即可得解．本题考查了空间中线线、线面和面面的位置关系，需要熟记其判定定理和性质定理，考查了学生的空间立体感，属于基础题．7.答案：C解析：解：∵0<x，y<π2，∴0<sinx<x<tanx，又∵sinx=xcosy，∴cosy=sinxx >sinxtanx=cosx，故y<x，又∵sinx=xcosy，即12sinx=12xcosy，∴sin x2⋅cos x2=12xcosy，即cosy=sin x2⋅cos x212x<cos x2，故y>x2，综上所述，x2<y<x，故选：C．根据已知中0<x，y<π2，可得0<sinx<x<tanx，进而可将已知sinx=xcosy变形为cosy=sinxx>sinx tanx =cosx和12sinx=12xcosy，即cosy=sinx2⋅cos x212x<cos x2，进而结合余弦函数的单调性，得到答案．本题考查的知识点是三角函数线，余弦函数的单调性，本题的变形思路比较难，特别是对已知两个式子的变形．8.答案：D解析：试题分析：解：∵ab sin C，∴absinC=即.又根据余弦定理得，∴−2absinC=−2abcosC，即sinC=cosC.∴C=.故选D．考点：解三角形点评：关键是对于已知中的面积关系式的表示，再结合余弦定理来求解得到角的值，属于基础题。
北京四中高一数学期中测试卷(含答案)
数学试卷（试卷满分为150分，考试时间为120分钟） 试卷分为两卷，卷（I ）100分，卷（II ）50分卷（I ）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分 1．集合{1，2，3}的真子集的个数为（ ）A ．5B ．6C ．7D ．82．函数y = ） A ．{}|0x x ≥ B ．{}|1x x ≥ C ．{}{}|10x x U ≥ D ．{}|01x x ≤≤3．函数()22x x f x -=-，则1()2f =（ ）A ．2-B ．C ． 2D ．4．设全集{,,,,}I b c d e f =，若{,,}M b c f =，{,,}N b d e =，则()I M N =I ð（ ） A ．∅ B ．{}d C ．{,}d e D ．{,}b e5．下列函数中的值域是(0,)+∞的是（ ） A ．2()log f x x = B ．2()1f x x =- C ．1()12f x x =+D ．()2x f x =6．下列函数中，在区间()0,2上为增函数的是（ ）A ．1y x =-+B ．y =C ．245y x x =-+D ．2y x=7．函数3()f x x x =+的图象关于（ ） A ．y 轴对称B ． 直线x y -=对称C ． 坐标原点对称D ． 直线x y =对称8．4366312log 2log 9log 89+--=（ ）A ．12B ．12-C ．16-D ．4-9．函数111y x -=+-的图象是下列图象中的（ ）A ．B ．C ．D ．10．设2()f x x bx c =++且(0)(2)f f =，则（ ）A ．3(2)()2f c f -<<B ．3()(2)2f c f <<-C ．3()(2)2f f c <-<D ．3()(2)2c f f <<-二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分11．若 3.40.5a =、0.5log 4.3b =、0.5log 6.7c =，则,,a b c 的大小关系是____________。
2019-2020学年北京高一下数学期中试卷
2019-2020学年北京高一下数学期中试卷一、选择题1. 下列说法正确的是（ ） A.单位向量都相等 B.若a →≠b →，则|a →|≠|b →| C.若|a →|=|b →|，则a →//b →D.若|a →|≠|b →|，则a →≠b →2. 已知z =10−4i （i 为虚数单位），则复数z 的虚部是（ ） A.4i B.−4iC.4D.−43. 圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则圆台较小底面的半径为（ ） A.7 B.6C.5D.34. 已知M ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不重合的平面，给出下面三个结论： ①若α//β，m ⊂α，n ⊂β，则m//m ； ②若m ，n ⊂α，m//β，n//β，则α//β；③若m ，n 是两条异面直线，且m//α，m//β，n//α，n//β，则α//β． 其中正确结论的序号为（ ） A.①② B.①③C.②③D.③5. 设复数z 满足z −iz =2+i （i 为虚数单位），则z 在复平面内对应的点位于（ ） A.第一象限 B.第二象限C.第三象限D.第四象限6. 下列四个正方体图形中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，P 分别为其所在棱的中点，能得出AB//平面MNP 的图形的序号是（ ）A.①③B.②③C.①④D.②④7. 已知△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且2a cos C =2b +c ，若a =6，则△ABC 的面积的最大值为（ ） A.6 B.3 C.6√3 D.3√38. 已知点G 是△ABC 的重心，AG =λAB +μAC (A,μ∈R )，若∠A =120∘，AB ⋅AC =−2，则|AG →|的最小值是（ ） A.√33 B.√22C.23D.34二、解答题用符号语言表述面面平行的判定定理________.一物体在力F 1=(3,−4)，F 2=(2,−5)，F 3=(3,1)的共同作用下从点A (1,1)移动到点B (0,5)．在这个过程中三个力的合力所做的功等于________.已知向量a →=(−3,2),b →=(1,−1)，若(a →+μb)⊥a →，则实数μ的值为________；若(a +μA →)//(2a →+b →)，则实数μ的值为________.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若A =π6, b =1，sin C =4√3sin B ，则a =________．已知复数z 1=cos 15∘+(sin 15∘)i 和复数z 2=cos 45∘+(sin 45∘)i ，则z 1⋅z 2=________．（复数的代数形式表示）如图，在棱长为1的正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，点E ，F 分别是棱BC ，CC 1的中点，P 是侧面BCC 1B 1内一点，若A 1P // 平面AEF ，则线段A 1P 长度的取值范围是________．如图，在斜△ABC中，角A，B，C所对角的边分别为a，b，c，且ac +ca=√2+b2ac，D为边BC上一点，AD=6，BD=3，DC=2．（1）求角B的大小；（2）求△ADC的面积．在正方体AC1中，E、F分别为D1C1、B1C1的中点，AC∩BD=P,AC1∩EF=Q，如图．（1）若A1C交平面EFBD于点R，证明：P、Q、R三点共线；（2）线段AC上是否存在点M，使得平面B1D1M//平面EFBD，若存在确定M的位置，若不存在说明理由．。
北京四中高一年级期中数学试卷 后有答案
北京四中高一年级期中数学试卷试卷分为两卷，卷（I ）100分，卷（II ）50分，共计150分考试时间：120分钟卷（I ）一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1. 若实数a ，b 满足a>b ，则下列不等式一定成立的是（ ） A. a 2<b 2B.ba11<C. a 2>b 2D. a 3>b 32. 等差数列{a n }中，若a 2=1，a 4=5，则{a n }的前5项和S 5=（ ） A. 7B. 15C. 20D. 253. 不等式（31）x －1>1的解集为（ ） A. {1>x x }B. {1<x x }C. {2>x x }D. {2<x x }4. ∆ABC 中，三边a ，b ，c 的对角为A ，B ，C ，若B=45°，b=23，c=32，则C=（ ）A. 60°或120°B. 30°或150°C. 60°D. 30°5. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n =2a n －1（*N n ∈），则a 5=（ ） A. 32B. 31C. 16D. 156. 等差数列{a n }中，a n =6－2n ，等比数列{b n }中，b 5=a 5，b 7=a 7，则b 6=（ ） A. 42B. －42C. ±42D. 无法确定7. ∆ABC 中，若∠ABC=4π，AB=2，BC=3，则sin ∠BAC=（ ） A.1010B.510C.10103 D.55 8. 计算机是将信息转换成二进制进行处理的，所谓二进制即“逢二进一”，如（1101）2表示二进制的数，将它转换成十进制数的形式是1×23+1×22+0×21+1×20=13，那么将二进制数（位91...11）2转换成十进制数是（ ） A. 512 B. 511 C. 256 D. 2559. 不等式①x 2+3>3x ；②a 2+b 2≥2（a －b －1）；③2≥+baa b ，其中恒成立的是（ ） A. ①②B. ①③C. ②③D. ①②③10. 台风中心从A 地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B 在A 的正东40千米处，B 城市处于危险区内的时间为（ ）A. 0.5小时B. 1小时C. 1.5小时D. 2小时二、填空题：（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 不等式x 2+x －2<0的解集为_________。
北京四中2019-2020学年度第二学期开学考试高三测试数学试题(含答案)2.13
（D） x2 y2 1 12 4
8．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为
（A） 2 3
（C） 8 3
（B） 4 3
（D） 16 3
9．有一种细菌和一种病毒，每个细菌在每秒杀死一个病毒的同时将自身分裂为 2 个，现在有 1个这种细菌和 200 个这种病毒，问细菌将病毒全部杀死至少需要
（A）6 秒
（A）4
（B）5
（C）6
（D）8
4．已知 a,b R ，则“ a b ”是“ log2 a log2 b ”的
（A）充分而不必要条件
（B）必要而不充分条件
（C）充分必要条件
（D）既不充分也不必要条件
5．“结绳计数”是远古时期人类智慧的结晶，即人们通过在绳子上打结来记录数量，如图所 示是一位猎人记录自己采摘果实个数，在从右向左依次排列的不同绳子 上打结，满四进一，根据图示可知，猎人采摘的果实的个数是
17．（本小题满分 14 分）
为了解甲、乙两个快递公司的工作状况，假设同一个公司快公司各随机抽取一名快递员，并从两人某月（30 天）的快递件数记录结果中随
机抽取 10 天的数据，制表如下：
甲公司某员工 A
乙公司某员工 B
396583 3 23 4 66 6 77
0 14 4 22 2
．
15．已知向量 e1 ， e2 是平面 内的一组基向量， O 为 内的定点，对于 内任意一点 P ，当
OP x e1 +y e2 时，则称有序实数对 (x, y) 为点 P 的广义坐标，若点 A , B 的广义坐标分别为
(x1, y1) , (x2 , y2 ) ，对于下列命题：
① 线段 AB 中点的广义坐标为 ( x1 x2 , y1 y2 ) ；
2019北京四中高一(下)期中数学含答案
2019北京四中高一（下）期中数学一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1．（5分）某校老年、中年和青年教师的人数如表所示．采用分层抽样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有32人，则该样本的老年教师人数为（）类别人数老年教师90中年教师180青年教师160合计430A．9 B．10 C．18 D．302．（5分）总体由编号为01，02…，29，30的30个个体组成，利用下面的随机数表选取4个个体．7806 6572 0802 6314 2947 1821 98003204 9234 4935 3623 4869 6938 7481选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始，从左往右依次选取两个数字，则选出的第4个个体的编号为（）A．02 B．14 C．18 D．293．（5分）10名工人生产某一零件，生产的件数分别是10，12，14，14，15，15，16，17，17，17，设其平均数为a，中位数为b，众数为c，则（）A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．c＞a＞b D．c＞b＞a4．（5分）投掷一颗骰子，掷出的点数构成的基本事件空间是Ω＝{1，2，3，4，5，6}．设事件A＝{1，3}，B＝{3，5，6}，C＝{2，4，6}，则下列结论中正确的是（）A．A，C为对立事件B．A，B为对立事件C．A，C为互斥事件，但不是对立事件D．A，B为互斥事件，但不是对立事件5．（5分）方程x+|y﹣1|＝0表示的曲线是（）A．B．C．D．6．（5分）在△ABC中，若＜cos C，则△ABC为（）A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．等边三角形7．（5分）下图是1，2两组各7名同学体重（单位：千克）数据的茎叶图．设1，2两组数据的平均数依次为和，标准差依次为s1和s2，那么（）（注：标准差s＝，其中为x1，x2，…，x n的平均数）A．＜，s1＜s2B．＜，s1＞s2C．＞，s1＞s2D．＞，s1＜s28．（5分）集合A＝{2，3}，B＝{1，2，3}，从A，B中各取任意一个数，则这两数之和等于4的概率是（）A．B．C．D．9．（5分）在平面直角坐标系中，△ABC的顶点B，C坐标为（﹣2，0），（2，0），中线AD的长度是3，则顶点A的轨迹方程是（）A．x2+y2＝3 B．x2+y2＝4C．x2+y2＝9（y≠0）D．x2+y2＝9（x≠0）10．（5分）在△ABC中，a＝2，c＝，sin B+sin A（sin C﹣cos C）＝0，则∠C＝（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）11．（5分）利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a，则事件“3a﹣1＞0”发生的概率为．12．（5分）一组数据的方差是4，将这组数据中的每个数据都乘以5，所得到的新数据的方差是．13．（5分）给出下列结论：（1）方程＝l表示一条直线；（2）到x轴的距离为2的点的轨迹方程为y＝2；（3）方程（x2﹣1）2+（y2﹣4）2＝0表示四个点．其中正确结论的序号是．14．（5分）如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD＝m．三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）15．（10分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知∠A＝60°，c＝a．（Ⅰ）求sin C的值；（Ⅱ）当a＝7时，求△ABC的面积．16．（10分）将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，事件A：“两数之和为8”，事件B：“两数之和是3的倍数”，事件C：“两个数均为偶数”．（Ⅰ）写出该试验的基本事件空间Ω，并求事件A发生的概率；（Ⅱ）求事件B发生的概率；（Ⅲ）事件A与事件C至少有一个发生的概率．17．（10分）从某校高一年级随机抽取n名学生，获得了他们日平均睡眠时间（单位：小时）的数据，整理得到数据分组及频数分布表：组号分组频数频率1 [5，6）2 0.042 [6，7）0.203 [7，8）a4 [8，9）b5 [9，10）0.16（I）求n的值；（Ⅱ）若a＝10，补全表中数据，并绘制频率分布直方图；（Ⅲ）假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替．若上述数据的平均值为7.84，求a，b的值，并由此估计该校高一学生的日平均睡眠时间不少于8小时的概率．一、选填题（本大题共3小题，每小题5分，共30分）18．（5分）在△ABC中，a2≤b2+c2﹣bc，则∠A的取值范围是（）A．B．C．D．19．（5分）A，B，C，D，E五人并排站成一排，如果A，B必须相邻且B在A的右边，那么不同的排法共有（）A．60种B．48种C．36种D．24种20．（5分）袋中装有5个小球，颜色分别是红色、黄色、白色、黑色和紫色，现从袋中随机抽取3个小球．设每个小球被抽到的机会均等，则抽到白球或黑球的概率为（）A．B．C．D．五、填空题（共3小题，每小题5分，满分15分）21．（5分）某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了条毕业留言．（用数字作答）22．（5分）四个编号分别为l，2，3，4的小球，放入编号分别为l，2，3，4的四个盒子中，每个盒子只放一个球，则有且只有一个小球和盒子的编号相同的概率是．23．（5分）在△ABC中，已知a≠b，．则内角C＝，式子的取值范围是．二、解答题（本大题共2小题，每小题10分，共20分）24．（10分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，b＝a，c＝2．（Ⅰ）若A＝，求C的大小；（Ⅱ）求△ABC面积的最大值．25．（10分）曲线C是平面内到点F（0，1）和直线l：y＝4的距离之和等于5的点P的轨迹．（Ⅰ）试判断点M（1，2），N（4，4）是否在曲线C上，并说明理由；（Ⅱ）求曲线C的方程，并画出其图形；（Ⅲ）给定点A（0，a），若在曲线C上恰有三对不同的点，满足每一对点关于点A对称，求实数a的取值范围．2019北京四中高一（下）期中数学参考答案一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1．【分析】由题意分层抽样的定义和方法，求出则该样本的老年教师人数．【解答】解：在抽取的样本中，青年教师有32人，而抽样的的比例为＝，该样本的老年教师人数为x，则有＝，∴x＝18，故选：C．【点评】本题主要考查分层抽样的定义和方法，属于基础题．2．【分析】利用随机数表法直接求解．【解答】解：从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始，从左往右依次选取两个数字，出的前4个个体的编号分别为：08，02，14，29．则选出的第4个个体的编号为29．故选：D．【点评】本题考查样本编号的求法，考查随机数表法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3．【分析】由题意计算这组数据的平均数、中位数和众数．【解答】解：数据10，12，14，14，15，15，16，17，17，17中，平均数为a＝×（10+12+14+14+15+15+16+17+17+17）＝14.7，中位数为b＝15，众数为c＝17，所以c＞b＞a．故选：D．【点评】本题考查了求数据的平均数、中位数和众数的问题，是基础题．4．【分析】结合已知中基本事件空间是Ω＝{1，2，3，4，5，6}．事件A＝{1，3}，B＝{3，5，6}，C＝{2，4，6}，分析A，B，C是否满足互斥事件和对立事件的定义，可得结论．【解答】解：∵投掷一颗骰子，掷出的点数构成的基本事件空间是Ω＝{1，2，3，4，5，6}．事件A＝{1，3}，B＝{3，5，6}，C＝{2，4，6}，当掷出的点数3时，A，B同时发生，故A，B不是互斥事件，故A，B也不是对立事件；即B，D错误；A，C不可能同时发生，故A，C为互斥事件，但A∪B＝{1，2，3，4，6}≠Ω，故A，C不是对立事件，故A错误，C正确，故选：C．【点评】本题考查的知识点是互斥事件与对立事件，熟练掌握并正确理解对立事件和互斥事件的概念是解答的关键．5．【分析】分y≥1和y＜1去绝对值后画出函数图象，则答案可求．【解答】解：由方程x+|y﹣1|＝0，得．∴方程x+|y﹣1|＝0表示的曲线是：故选：A．【点评】本题考查了曲线与方程，训练了绝对值的去法，考查了函数图象的作法，是中档题．6．【分析】由＜cos C，利用正弦定理可得sin A＜sin B cos C，即sin（B+C）＜sin B cos C，展开化简即可判断出结论．【解答】解：在△ABC中，∵＜cos C，∴sin A＜sin B cos C，∴sin（B+C）＜sin B cos C，展开化为：cos B sin C＜0，∵B，C∈（0，π）．∴cos B＜0，B为钝角．∴△ABC为钝角三角形．故选：A．【点评】本题考查了正弦定理、三角形内角和定理、和差公式、诱导公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7．【分析】将题中的茎叶图还原，结合平均数、方差计算公式，分别算出第1组7位同学和第2组7位同学的平均数和方差，再将所得结果加以比较，即得本题的答案【解答】解：由茎叶图，得第1组的7名同学的体重分别为53 56 57 58 61 70 72，∴第1组的7名同学体重的平均数为：＝（53+56+57+58+61+70+72）＝61kg因此，第1组的7名同学体重的方差为：s2＝[（53﹣61）2+（56﹣61）2+…+（72﹣61）2]＝43.00kg2，同理，第2组的7名同学体重的平均数为：＝（54+56+58+60+61+72+73）＝62kg因此，第2组的7名同学体重的方差为：s2＝[（54﹣62）2+（56﹣62）2+…+（73﹣62）2]＝63.14kg2，∴＜且s1＜s2故选：A．【点评】本题给出茎叶图，要我们求出数据的平均数和方差，着重考查了茎叶图的认识、样本特征数的计算等知识，属于基础题．8．【分析】由分步计数原理可得总的方法种数为2×3＝6，由列举法可得符合条件的有2种，由古典概型的概率公式可得答案．【解答】解：从A，B中各取任意一个数共有2×3＝6种分法，而两数之和为4的有：（2，2），（3，1）两种方法，故所求的概率为：＝．故选：C．【点评】本题考查古典概型及其概率公式，属基础题．9．【分析】由题意求出中点的坐标，根据两点间的距离求出A的轨迹构成，注意三角形中A，B，C不能共线．【解答】解：设A的坐标：（x，y），由题意可得B，C的中点坐标为：（0，0），y≠0，再由圆的定义可得：x2+y2＝9，（y≠0）；故选：C．【点评】考查轨迹方程的求法，注意条件的应用，A是三角形的顶点，属于基础题也是易错题．10．【分析】根据诱导公式和两角和的正弦公式以及正弦定理计算即可，求C．【解答】解：△ABC中，∵已知sin B+sin A•（sin C﹣cos C）＝0，又 sin B＝sin（A+C）＝sin A cos C+cos A sin C，∵sin B+sin A（sin C﹣cos C）＝0，∴sin A cos C+cos A sin C+sin A sin C﹣sin A cos C＝0，∴cos A sin C+sin A sin C＝0．∵sin C≠0，∴cos A＝﹣sin A，∴tan A＝﹣1．∵0＜A＜π，∴A＝，由正弦定理可得＝，∴sin C＝，∵a＝2，c＝，∴sin C＝．∵a＞c，∴C＝．故选：B．【点评】本题主要考查三角恒等变换，正弦定理，两角和差的三角公式，属于中档题．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）11．【分析】本题考查的知识点是几何概型的意义，关键是要找出（0，1）上产生随机数a所对应图形的长度，及事件“3a﹣1＞0”对应的图形的长度，并将其代入几何概型计算公式，进行求解．【解答】解：3a﹣1＞0即a＞，则事件“3a﹣1＞0”发生的概率为P＝＝．故答案为：．【点评】几何概型的概率估算公式中的“几何度量”，可以为线段长度、面积、体积等，而且这个“几何度量”只与“大小”有关，而与形状和位置无关．12．【分析】根据方差的定义与性质，计算即可．【解答】解：一组数据的方差是4，将这组数据中的每个数据都乘以5，所得到的新数据的方差是52×4＝100．故答案为：100．【点评】本题考查了方差的定义与性质的应用问题，是基础题．13．【分析】（1）.＝1，x≠2化为y＝x﹣2，因此表示一条直线去掉一个点（2，0）；（2）到x轴的距离为2的点的轨迹方程为y＝±2，即可判断出正误；（3）方程（x2﹣1）2+（y2﹣4）2＝0可得：，解出即可判断出正误．【解答】解：（1）.＝1，x≠2化为y＝x﹣2，因此表示一条直线去掉一个点（2，0），错误；（2）到x轴的距离为2的点的轨迹方程为y＝±2，错误；（3）方程（x2﹣1）2+（y2﹣4）2＝0可得：，解得x＝±1，y＝±2，表示四个点（±1，±2），正确；故答案为：（3）．【点评】本题考查了简易逻辑的判定方法、直线与曲线的方程、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．14．【分析】设此山高h（m），在△BCD中，利用仰角的正切表示出BC，进而在△ABC中利用正弦定理求得h．【解答】解：设此山高h（m），则BC＝h，在△ABC中，∠BAC＝30°，∠CBA＝105°，∠BCA＝45°，AB＝600．根据正弦定理得＝，解得h＝100（m）故答案为：100．【点评】本题主要考查了解三角形的实际应用．关键是构造三角形，将各个已知条件向这个主三角形集中，再通过正弦、余弦定理或其他基本性质建立条件之间的联系，列方程或列式求解．三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）15．【分析】（Ⅰ）由正弦定理可得＝可得sin C＝•sin A，将题中的条件可得其值；（Ⅱ）由题意可得c的值，再由余弦定理a2＝b2+c2﹣2bc cos A得即题中的条件可得b边，代入面积公式S＝bc sin A可得面积．【解答】解：（I）在△ABC中，因为∠A＝60°，c＝a，所以由正弦定理＝可得sin C＝＝．（II）因为a＝7，所以c＝×7＝3．由余弦定理a2＝b2+c2﹣2bc cos A得，解得b＝8或b＝﹣5（舍）．所以△ABC的面积S＝bc sin A＝×8×3×＝6．所以△ABC的面积6．【点评】本题考查正弦定理及余弦定理的应用和面积公式，属于中档题．16．【分析】（I）将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，利用列举法能求出Ω，再求出事件A“两数之和为8包含的基本事件有5，由此能求出事件A发生的概率．（II）利用列举法求出事件B：“两数之和是3的倍数”包含的基本事件个数，由此能求出事件B发生的概率．（III）利用列举法求出事件A与事件C至少有一个发生包含的基本事件个数，由此能求出事件A与事件C至少有一个发生的概率．【解答】解：（I）将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，Ω＝{（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（3，5），（3，6），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），（4，5），（4，6），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），（5，6），（6，1），（6，2），（6，3），（6，4），（6，5），（6，6）}，共有36个基本事件，事件A：“两数之和为8”，事件A包含的基本事件有：（2，6），（3，5），（4，4），（5，3），（6，2），共5个基本事件，∴事件A发生的概率为P（A）＝．（II）事件B：“两数之和是3的倍数”，事件B包含的基本事件有12个，分别为：（1，2），（1，5），（2，1），（2，4），（3，3），（3，6），（4，2），（4，5），（5，1），（5，4），（6，3），（6，6），∴事件B发生的概率P（B）＝＝．（III）事件A与事件C至少有一个发生包含的基本事件有11个，分别为：（2，2），（2，4），（2，6），（3，5），（4，2），（4，4），（4，6），（5，3），（6，2），（6，4），（6，6），∴事件A与事件C至少有一个发生的概率为P（A∪C）＝．【点评】本题考查概率的求法，考查列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．17．【分析】（I）根据频率＝，求出n的值；（II）根据频率、频数与样本容量的关系，求出表中空余的数值，补全数表，并绘制频率分布直方图；（III）根据平均数的定义，列出方程组，求出a、b的值，计算日平均睡眠时间不少于8小时的概率．【解答】解：（I）∵小组[5，6）内的频数是2，对应的频率是0.04，∴样本容量为n＝；（1分）（II）小组[6，7）内的频数为50×0.20＝10，小组[7，8）内的频率为＝0.20，小组[8，9）内的频数为50﹣2﹣10﹣10﹣8＝20，频率为＝0.40，小组[9，10）内的频数为50×0.16＝8，由此补全数据见下表（3分）；组号分组频数频率1 [5，6）2 0.042 [6，7）10 0.203 [7，8）10 0.204 [8，9）20 0.405 [9，10）8 0.16绘制频率分布直方图见下图：（5分）（III）根据题意，得，（7分）解得；（8分）设“该校高一学生的日平均睡眠时间不少于8小时”为事件A，则P（A）＝．（9分）【点评】本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了平均数与概率的计算问题，是基础题目．一、选填题（本大题共3小题，每小题5分，共30分）18．【分析】根据a2≤b2+c2﹣bc即可得出，进而根据余弦定理得出，从而可得出∠A 的取值范围．【解答】解：∵a2≤b2+c2﹣bc，∴bc≤b2+c2﹣a2，，∴，且0＜A＜π，∴，∴∠A的取值范围是．故选：C．【点评】本题考查了不等式的性质，余弦定理，余弦函数的图象，考查了计算能力，属于基础题．19．【分析】根据题意，A、B必须相邻且B在A的右边，视A、B为一个元素，且只有一种排法；将A、B与其他3个元素，共4个元素排列，由乘法计数原理可得答案．【解答】解：根据题意，A、B必须相邻且B在A的右边，视A、B为一个元素，且只有一种排法；将A、B与其他3个元素，共4个元素排列，即A44＝24，则符合条件的排法有1×24＝24种；故选：D．【点评】本题考查排列的运用，注意分析相邻问题时，要用捆绑法．20．【分析】从口袋中5个小球中随机摸出3个小球，共有10种选法，则既没有黑球也没有白球只有1种，根据互斥事件的概率公式计算即可．【解答】解：从口袋中5个小球中随机摸出3个小球，共有C53＝10种选法，则既没有黑球也没有白球只有1种，∴每个小球被抽到的机会均等，则抽到白球或黑球的概率为1﹣＝，故选：D．【点评】本题考查了古典概型的概率计算公式和组合数的计算公式，属于基础题五、填空题（共3小题，每小题5分，满分15分）21．【分析】通过题意，列出排列关系式，求解即可．【解答】解：某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了＝40×39＝1560条．故答案为：1560．【点评】本题考查排列数个数的应用，注意正确理解题意是解题的关键．22．【分析】基本事件总数n＝＝24，有且只有一个小球和盒子的编号相同包含的基本事件个数m＝＝8，由此能求出有且只有一个小球和盒子的编号相同的概率．【解答】解：四个编号分别为l，2，3，4的小球，放入编号分别为l，2，3，4的四个盒子中，每个盒子只放一个球，基本事件总数n＝＝24，有且只有一个小球和盒子的编号相同包含的基本事件个数m＝＝8，则有且只有一个小球和盒子的编号相同的概率p＝．故答案为：．【点评】本题考查概率的求法，考查古典概率等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．23．【分析】本题运用正余弦定理及两角和两角差公式，通过角化边化简计算即可．【解答】解：△ABC中，∵，根据正弦定理和余弦定理，∴＝．∴a2+b2＝c2，即△ABC为直角三角形，．＝＝＝．∵△ABC中，，∴，∴，，，∴．即．故答案为：．【点评】本题考查三角形的正余弦定理，内角和为π，两角和与差公式，要求学生有角化边的转化思想，属于中档题．二、解答题（本大题共2小题，每小题10分，共20分）24．【分析】（Ⅰ）直接利用正弦定理的应用求出结果．（Ⅱ）利用余弦定理和三角形的面积公式的应用及不等式的应用求出结果．【解答】解：（I）若，则由得sin B＝sin A＝，由于B∈（0，π），所以B＝或B＝．由于A+B+C＝π，故C＝或C＝，（II）设BC＝x，则AC＝，根据面积公式，得，根据余弦定理，得cos B＝，将其代入上式，得．由三角形三边关系，有解得，故当x＝2时，S△ABC取得最大值2．【点评】本题考查的知识要点：正弦定理余弦定理和三角形面积公式的应用，三角形三边关系的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型．25．【分析】（I）设点P（x，y），利用|PF|+d＝5，即．推出结果即可．（II）由得，判断化简x2+（y﹣1）2＝，画出图形．（III）显然，过点A与x轴平行的直线与曲线C的两个交点关于点A对称，且这两个点在同一段抛物线上；当两个点在同一段抛物线时，也只有当这两点所在直线与x轴平行，才存在关于点A对称的两点，结合图形，推出当＜a＜4时，方程2a＝+5的解刚好有且只有两个．得到实数a的取值范围．【解答】解：（I）设点P（x，y），则|PF|+d＝5，即．发现点M的坐标（1，2）不满足方程，故点M不在曲线C上，而点N的坐标（4，4）满足方程，故点N在曲线C上；（II）由得，所以x2+（y﹣1）2＝（5﹣|y﹣4|）2x2+（y﹣1）2＝25﹣10|y﹣4|+（y﹣4）2x2＝40﹣10|y﹣4|﹣6y ＝，曲线C如图所示．（III）显然，过点A与x轴平行的直线与曲线C的两个交点关于点A对称，且这两个点在同一段抛物线上；当两个点在同一段抛物线时，也只有当这两点所在直线与x轴平行，才存在关于点A对称的两点：当对称的两点分属两段抛物线时，不妨设其中一个点为P（x1，y1），其中y1＝，且﹣4≤x1≤4，则其关于点A的对称点为Q（﹣x1，2a﹣y）所以2a﹣y1＝﹣+5即2a＝y1﹣+5＝﹣+5＝+5，考虑到直线PQ不与x轴平行，所以﹣4＜x1＜4且x1≠0．所以当＜a＜4时，方程2a＝+5的解刚好有且只有两个．综上，实数a的取值范围为（，4）．【点评】本题考查轨迹方程的求法，抛物线的性质的应用，考查发现问题解决问题的能力，数形结合的应用，是难题．。
北京第四中学19年-20年学年高一上学期期中考试数学试卷 Word版含解析
北京四中高中一年级期中考试数学试卷卷（I）一、单项选择题：（本大题共8小题，每小题6分，共48分）1.的值为（）A. B. C. 1 D.【答案】D【解析】【分析】根据对数的运算法则及性质即可求解.【详解】因为，故选D.【点睛】本题主要考查了对数的性质和运算法则，属于容易题.2.集合，则下列关系正确的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据元素与集合的关系即可判断.【详解】因为，所以，故选A.【点睛】本题主要考查了元素与集合的关系，属于容易题.3.函数的定义域是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】函数要有意义，则需解析式有意义，分式的分母不为0即可.【详解】要是函数有意义，则需，解得，所以函数的定义域为，故选C.【点睛】本题主要考查了函数的定义域，属于中档题.4.若，则（）A. 1B.C. 0D.【答案】A【解析】【分析】根据函数解析式，只需把代入即可求出函数值.【详解】因为，所以当时，，故选A.【点睛】本题主要考查了根据函数解析式求函数值，属于中档题.5.下列函数中，在区间上为增函数的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据基本初等函数的单调性，逐项分析即可.【详解】A选项中是一次函数，，所以在R上是减函数，错误；B选项是幂函数，幂指数，在区间上为增函数，故正确；C选项是二次函数，对称轴为，在区间上无单调性，错误；D选项是指数函数，，在R上是减函数，错误.故选B.【点睛】本题主要考查了函数的单调性，属于中档题.6.下列函数中，值域是的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据函数性质，逐项分析各选项即可.【详解】A中的值域为R,错误，B中的值域为，正确；C中，值域为，错误；D中的值域为R,错误.故选B.【点睛】本题主要考查了基本初等函数的值域，属于中档题.7.函数的零点所在的一个区间是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据题意可知函数是R上的减函数，只需根据即可判断零点所在区间. 【详解】因为是R上的减函数，所以是R上的减函数，又，可知零点在区间上，故选C.【点睛】本题主要考查了函数零点的存在性，函数的单调性，属于中档题.8.若，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据指数及对数的性质可分析出范围，从而得到结果.【详解】因为，所以，因为，所以，所以选B.【点睛】本题主要考查了指数的性质，对数的性质，属于容易题.二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）9.计算:________；________.【答案】(1). 1(2). 4【解析】【分析】分别根据对数的运算法则及指数的运算法则计算即可求解.【详解】;故填(1). 1 (2). 4【点睛】本题主要考查了对数及指数运算法则，属于中档题.10.若函数的定义域为，则函数的定义域为________.【答案】【解析】【分析】根据的定义域为知，要有意义则需，即可求出的定义域.【详解】因为的定义域为，则要有意义则需，解得，所以的定义域为.故填.【点睛】本题主要考查了抽象函数的定义域，属于中档题.11.函数，则其图象的对称轴方程为________；的增区间是________.【答案】(1). 2(2).【解析】【分析】根据二次函数的性质知，对称轴方程为，当时，增区间为,据此可写出答案.【详解】因为函数，所以对称轴方程为，的增区间是.故填：(1). 2(2).【点睛】本题主要考查了二次函数的对称轴和单调区间，属于容易题.12.已知函数，若函数有3个零点，则实数的取值范围是________.【答案】【解析】【分析】函数有3个零点，即方程有3个根，因此在同一坐标系内做出的图象与直线，观察它们公共点的个数即可得到答案.【详解】因为有3个零点，所以的图象与直线有3个公共点在同一坐标系内作出它们的图象，如下：根据图象可知，当时，有三个交点.故则实数的取值范围是.【点睛】本题主要考查了分段函数，函数的零点，函数零点与方程的根，数形结合思想，属于中档题.三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）13.设集合.（I）用列举法写出集合；（II）求和.【答案】（I）；（II）,.【解析】【分析】（I）根据集合的描述法写出集合中的元素即可列举法表示（II）根据交集和并集的运算即可求解.【详解】（I）因为x，所以,所以.（II）因为，所以,.【点睛】本题主要考查了集合的描述法，列举法，交集，并集，属于中档题.14.已知函数.（I）当时，判断的奇偶性，并证明你的结论；（II）当时，求的值域.【答案】（I）证明见解析；（II）.【解析】【分析】（I）当时,,,为偶函数，可根据定义证明（II）当时，，配方可写出值域.【详解】（I）当时,,,为偶函数,证明：由知，,,.即函数为偶函数.（II）当时，即函数的值域为.【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性，二次函数的值域，属于中档题.15.设函数.（I）利用单调性定义证明：在区间上是单调递减函数；（II）当时，求在区间上的最大值.【答案】（I）证明见解析；（II）.【解析】【分析】（I）根据函数单调性的定义证明即可（II）先证明函数在区间[2，+∞）上是单调递增函数，再结合（I）的结论且，对分类讨论写出函数最大值.【详解】（I）任取，∈（0，2]，设<，则∵，∴∵，∴∴所以，故在区间（0，2]上是单调递减函数.（II）由（I）可知，在区间（0，2]上是单调递减函数；当，设<，易知总有<，所以在区间[2，+∞）上是单调递增函数，又，所以在区间上最大值为.【点睛】本题主要考查了函数单调性的定义证明，分类讨论的思想，属于中档题.卷（II）一、选填题：（本大题共5小题，每小题6分，共30分）16.不等式的解集是A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据指数函数的增减性可转化为，即可求解.【详解】，即.所以不等式的解集为.故选C.【点睛】本题主要考查了指数函数的增减性，属于中档题.17.如果是定义在上的奇函数，那么下列函数中，一定是偶函数的是A. B.C. D.【答案】B【解析】试题分析：由题意得，因为函数是定义在上的奇函数，所以，设，则，所以函数为偶函数，故选B．考点：函数奇偶性的判定．18.某种计算机病毒是通过电子邮件进行传播的，下表是某公司前5天监测到的数据：第天 1 2 3 4 5被感染的计算机数量（台）10 20 39 81 160则下列函数模型中，能较好地反映计算机在第天被感染的数量与之间的关系的是A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据选项中的函数，依次代入x值求出y的值，通过y的值与表格中所给出的y的值进行比较，误差越小则拟合度越高，误差越大则拟合度越小，计算即可求解.【详解】对于A选项，当时，对应的y值分别为,对于B选项，当时，对应的y值分别为,对于C选项，当时，对应的y值分别为,对于D选项，当时，对应的y值分别为,而表中所给的数据为，，当时，对应的y值分别为，通过比较，即可发现选项D中y的值误差最小，即能更好的反映与之间的关系. 故选D.【点睛】本题主要考查了选择合适函数模型来拟合实际问题，属于中档题.19.设全集，集合,则_______；_______.【答案】(1). (2).【解析】【分析】根据集合的补集的运算及交集的运算即可求解.【详解】因为全集，集合,所以,.【点睛】本题主要考查了集合的交集、补集运算，属于中档题.20.如图，函数的图象是折线段，其中的坐标分别为, ，则_________；的解集为________.【答案】(1). 2(2).【解析】【分析】根据函数的图象，观察即可得出答案.【详解】根据图象知，所以，根据图象知，所以，当时，由图象可知，即的解集为.【点睛】本题主要考查了函数的图象，属于中档题.二、解答题：（本大题共2小题，共22分）21.（12分）设函数.（I）若，求的取值范围；（II）记的反函数为,若在上恒成立，求的最小值.【答案】（I）或；（II）.【解析】【分析】（I）根据对数函数的增减性转化为，并注意真数大于零即可求解（II）由题意知，原不等式可转化为在区间[2，）上恒成立即可求解.【详解】（I）由已知log a（x2－x）>log a2，因为0<a<1，所以0<x2－x<2，解，得－1<x<2,解，得x>1或x<0,所以x的取值范围是{x|－1<x<0或1<x<2）.（II）为的反函数，所以,由已知在区间[2，）上恒成立，因为，所以在区间[2，）上恒成立，即大于等于的最大值,因为0<a<1，所以>1，又x－2∈[0，），所以（）的最小值为1，－（）的最大值为－1，所以k≥－1，所以k的最小值为－1.【点睛】本题主要考查了对数函数的增减性，反函数，指数函数，恒成立问题，属于中档题.22.（10分）给定数集,若对于任意,有,且，则称集合为闭集合. （I）判断集合是否为闭集合，并给出证明；（II）若集合为闭集合，则是否一定为闭集合?请说明理由；（III）若集合为闭集合，且,证明：.【答案】（I）证明见解析；（II）不一定，证明见解析；（III）证明见解析.【解析】【分析】（I）根据特值，但是4+4=8A，判断A不为闭集合，设，可证出，，B为闭集合（II）取特例A={x|x=2k，k∈Z}，B={x|x=3k，k∈Z}，集合为闭集合，但不为闭集合即可（III）用反正正法，若A B=R，存在a∈R且a A，故a∈B，同理，因为B R，存在b∈R且b B，故b∈A，若，则由A为闭集合，，与a A矛盾，同理可知若，，与b B矛盾，即可证明.【详解】（I）因为，但是4+4=8A，所以，A不为闭集合；任取，设,则且所以，同理，，故B为闭集合.（II）结论：不一定.令A={x|x=2k，k∈Z}，B={x|x=3k，k∈Z}，则由（I）可知，A，B为闭集合，但2，3∈A B，2+3=5A B，因此，A B不为闭集合.（III）证明：（反证）若A B=R,则因为A R，存在a∈R且a A，故a∈B,同理，因为B R，存在b∈R且b B，故b∈A,因为a+b∈R=A B，所以，a+b∈A或a+b∈B,若，则由A为闭集合，，与a A矛盾,若，则由B为闭集合，，与b B矛盾,综上，存在c∈R，使得c（A B）.【点睛】本题主要考查了集合子集、真子集，反证法，考查了学生分析推理能力，属于难题.。
北京市2019-2020学年高一下学期期中数学试卷(I)卷
北京市 2019-2020 学年高一下学期期中数学试卷（I）卷姓名:________班级:________成绩:________一、 单项选择 (共 12 题；共 24 分)1. （2 分） (2019 高一上·菏泽月考) 在平面直角坐标系 xOy 中，设角 α 的顶点与原点 O 重合，始边与 x 轴 的非负半轴重合，若角 α 终边过点 P（2，-1），则 sin（π-α）的值为（ ）A.B.C.D.2. （2 分） 已知集合有（ ）， （其中 i=1,2）．若A . 10 个B . 12 个C . 18 个D . 24 个， 定义函数 f：， 且点，，的内切圆圆心为 I，且, R)，则满足条件的函数3. （2 分） 函数 y=tanx+sinx﹣|tanx﹣sinx|在区间内的图象是（ ）A.第 1 页 共 10 页B.C.D. 4. （2 分） 下列区间是函数 y=2|cosx|的单调递减区间的是（ ） A . （0，π） B . （﹣ ，0） C . （ ，2π） D . （﹣π，﹣ ）5. （2 分） 若 A . 第一象限角 B . 第二象限角 C . 第三象限角 D . 第四象限角是（ ）第 2 页 共 10 页6. （2 分） (2016 高一下·华亭期中) 已知 tanθ=2，则 sin2θ+sinθcosθ﹣2cos2θ=（ ）A.﹣B.C.﹣D.7. （2 分） 已知函数 f（x）=2cos（ωx+ 对称轴方程为（ ）π）（ω＞0）的最小正周期为 2π，则函数 f（x）图象的一条A . x=B . x=C . x= π D . x=π8. （2 分） 将函数 f（x）=sin（ωx+φ）的图象向左平移 值不可能等于（ ）个单位．若所得图象与原图象重合，则 ω 的A.4B.6C.8D . 129. （2 分） (2017 高一下·杭州期末) 设 ， 是平面 的一组基底，则能作为平面 的一组基底的 是（ ）A. ﹣ ， ﹣第 3 页 共 10 页B . +2 ， + C . 2 ﹣3 ，6 ﹣4 D. + ， ﹣10. （2 分） (2019 高一上·鹤岗月考) 若函数同时满足下列三个性质：①最小正周期为 ；②图象关于直线对称；③在区间上单调递增，则的解析式可以是（ ）A. B.C. D.11. （2 分） (2020 高二下·开鲁期末) 将函数 把各点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变），得到函数图象向右平移个单位，再的图象，则下列说法中正确的是（ ）A.的周期为B.是偶函数C.的图象关于直线对称D.在上单调递增12. （2 分） 函数的值域为（ ）A.B.C.第 4 页 共 10 页D.二、 填空题 (共 4 题；共 4 分)13. （1 分） (2017 高一下·赣榆期中) 化简：=________．14. （1 分） (2019 高一下·上海月考) 若 tanα＝2，则 sinα·cosα 的值为________．15. （1 分） 若 α、β 均为锐角，且，，则 cosβ=________．16.（1 分）(2020·南京模拟) 已知在锐角中，角的对边分别为.若，则的最小值为________.三、 解答题 (共 6 题；共 45 分)17. （10 分） 已知角 α=45°；（1） 在区间[﹣720°，0°]内找出所有与角 α 有相同终边的角 β；（2） 集合，，那么两集合的关系是什么？18. （10 分） 若全集 U=R，函数 y=+的定义域为 A，函数 y=（1） 求集合 A，B；（2） 求（∁UA）∩（∁UB）．的值域为 B．19. （10 分） (2015 高三上·荣昌期中) 已知函数．（1） 求函数 f（x）的最小正周期；（2） 当且时，求的值．20. （5 分） (2016 高一下·桐乡期中) 设函数 期为 T．的最大值为 M，最小正周（Ⅰ）求 M、T；（Ⅱ）若有 10 个互不相等的正数 xi 满足 f（xi）=M，且 xi＜10π（i=1，2，…，10），求 x1+x2+…+x10 的值．第 5 页 共 10 页21. （5 分） 已知， 求下列各式的值：（1）的值；（2）的值．22. （5 分） (2018 高三上·晋江期中) 已知函数．Ⅰ求在区间上的最大值和最小值；Ⅱ若，，求的值．第 6 页 共 10 页一、 单项选择 (共 12 题；共 24 分)1-1、 2-1、 3-1、 4-1、 5-1、 6-1、 7-1、 8-1、 9-1、 10-1、 11-1、 12-1、二、 填空题 (共 4 题；共 4 分)13-1、参考答案14-1、 15-1、第 7 页 共 10 页16-1、三、 解答题 (共 6 题；共 45 分)17-1、 17-2、18-1、18-2、 19-1、第 8 页 共 10 页19-2、20-1、21-1、第 9 页 共 10 页22-1、第 10 页 共 10 页。
北京四中2019-2020学年度第一学期中测试-高一数学不含答案
北京四中2019-2020学年度第一学期中测试高一数学 期中测试卷试卷分为两卷，卷（I ）100分，卷（II ）50分，满分共计150分考试时间：120分钟卷（I ）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分1. 已知全集{1,2,3,4,5}U =，集合{1,3}A =，{3,4,5}B =，则集合A B =( )A ．{2,3,4,5}B ．{3}C ．{1,4,5}D ．{1,3,4,5}2. 函数()f x =的定义域是( )A ．RB ．{2}x x >C ．{1}x x ≥D ．{1x x ≥，且2}x ≠ 3. 若a b >，则下列各式中正确的是( )A ．ac bc >B ．22ac bc >C ．22a c b c +>+D ．11a b <4. 下列函数中，在区间(0,)+∞上为减函数的是( )A ．22y x x =-B ．y x =C ．21y x =+D ．y =5. 命题“x R ∀∈，3210x x -+≤”的否定是( )A ．x R ∃∉，3210x x -+>B ．x R ∃∈，3210x x -+>C ．x R ∃∈，3210x x -+≥D ．x R ∀∈，3210x x -+>6. 下列函数中：①2y x = ②21(1)y x =+ ③21y x =+ ④1,0()1,0x x f x x x +<⎧=⎨->⎩偶函数的个数是() A ．0 B ．1 C ．2 D ．37. “1x >”是“20x x ->”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8. 函数3()23f x x x =--一定存在零点的区间是( )A ．(2,)+∞B ．(1,2)C ．(0,1)D ．(1,0)-9. 下列函数中，满足(2)2()f x f x =的是( )A ．2()(2)f x x =+B ．()1f x x =+C ．4()f x x = D ．()f x x x =-10. 函数2()()ax b f x x c +=+的图像如图所示，则下列结论成立的是( )A ．0,0,0a b c >><B ．0,0,0a b c <>>C ．0,0,0a b c <><D ．0,0,0a b c <<<二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分11. 设全集U =R ，集合{02}A x x =<<，{3,1,1,3}B =--，则集合()U A B =ð________．12. 已知221,0()3,0x x f x x x -≥⎧=⎨<⎩，则((1))f f -的值为________． 13. 函数231y x x =+-，[2,3]x ∈-的值域是________．14. 若0x >，则1()49f x x x=+的最小值为________． 15. 若二次函数()f x 的图像关于2x =对称，且()(0)(1)f a f f ≤<，则实数a 的取值范围是________．16. 某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：①男学生人数多于女学生人数；②女学生人数多于教师人数；③教师人数的两倍多于男学生人数．（1）若教师人数为4，则女学生人数的最大值为________；（2）该小组人数的最小值为________．三、解答题：本大题共3小题，共30分17. （10分）设集合2{230}A x x x =-->，2{430}B x x x =++<，{2123}C x k x k =-<<+．（1）求A B ；（2）若C A B ⊆，求实数k 的取值范围．18. （8分）已知：,0a b >，求证：3322a b a b ab +≥+．19. （12分）已知函数21()f x x a =-，1()2(,0)g x x a R a a =-∈≠．（1）当1a =时，解关于x 的不等式()0f x ≥；（2）判断函数()()y f x g x =-的奇偶性，并证明；（3）若()()0f x g x +≥在(0,)+∞上恒成立，求a 的取值范围．卷（II ）一、过程性评价（考生不必作答）：共10分二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分1. 已知集合{0,1,2,3}M =，{2,}N x x a a M ==∈，则集合MN =________．2. 不等式125x x -++≤的解集为________．3. 已知x y z >>，0x y z ++=，则①xz yz < ②xy yz > ③xy xz > ④x y z y >四个式子中正确 的是________．（只填写序号）4. 设2(),0()1,0x a x f x x x x ⎧-≤⎪=⎨+>⎪⎩．（1）当12a =时，()f x 的最小值是________； （2）若(0)f 是()f x 的最小值，则a 的取值范围是________．5. 已知集合{115}M x N x =∈≤≤，集合A 1,A 2,A 3满足①每个集合都恰有5个元素；②123A A A M =．集合A i 中元素的最大值与最小值之和称为集合A i 的特征数， 记为(1,2,3)i X i ==，则123X X X ++的最大值与最小值的和为________．三、解答题：本大题共2小题，共20分6. （10分）已知函数2()1f x x a x =+-．（1）当2a =时，解方程()2f x =；（2）若()f x 在[0,)+∞上单调递增，求实数a 的取值范围．7. （10分）设a ,b ,c ,d 不全为0，给定函数2()f x bx cx d =++，32()g x ax bx cx d =+++．若(),()f x g x 满足①()f x 有零点；②()f x 的零点均为(())g f x 的零点；③(())g f x 的零点均为()f x 的零点．则称(),()f x g x 为一对“K 函数”．（1）当1a c d ===，0b =时，验证(),()f x g x 是否为一对“K 函数”，并说明理由；（2）若(),()f x g x 为任意一对“K 函数”，求d 的值；（3）若1a =，(1)0f =，且(),()f x g x 为一对“K 函数”，求c 的取值范围．。
北京市第四中学2020_2021学年高一下学期期中测试数学试题
所以
故选：C
9．D
【分析】
根据 得出函数 的对称轴即函数取得最值的 值，结合 求出 的值．
【详解】
对任意实数 都有 ，
所以函数 的对称轴是 ，此时函数 取得最值，
又 ，
所以 ，
解得 或 ．
故选： ．
10．A
【分析】
先化简函数解析式再结合三角函数性质进行求解．
【详解】
由函数解析式易得 的定义域 ，
【分析】
（Ⅰ）根据二倍角公式把函数 化为 ，然后利用周期公式求函数的周期；
（Ⅱ）利用整体代入的思想求函数的单调区间.
【详解】
（Ⅰ）所以函数的周期为 .
（Ⅱ）由 ，得 ，
所以函数 的单调递减区间为 .
25．（1） ， ；（2）0.
【分析】
（1）利用数量积的坐标运算及两角差的余弦求 ；由向量的坐标加法运算得 的坐标，再由向量模的运算公式求 的值；
参考答案
1．D
【分析】
根据同角三角函数的关系式先求 的值，然后再求 的值.
【详解】
因为 ， ，所以 ，
所以 .
故选：D.
2．C
【分析】
根据角终边位置的周期性判断出 的终边与 的终边相同，从而得出答案.
【详解】
因为 的终边与 的终边相同，而 的终边与 的终边关于 轴对称，
所以 的终边与 的终边关于 轴对称.
【详解】
因为 ， ，
所以 ，
又 时， ； 时， ，
所以 ，所以 ，
所以 ；
由 ，得 ，
所以函数 的单调递增区间是 .
故答案为： ； .
23．（1） ；（2）
【分析】
（1）利用平方关系直接求出 ；
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2019-2020学年北京四中高一(下)期中数学试卷一、单选题（本大题共13小题，共65.0分）1.某客运汽车公司为了了解客车的耗油情况，先采用系统抽样方法按1:10的比例抽取一个样本进行检测，将所有200辆客车依次编号为1，2，...，200，则其中抽取的4辆客车的编号可能是()A. 3，23，63，102B. 31，61，87，127C. 103，133，153，193D. 57，68，98，1082.如图所示，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AB⊥AC，AB=AC=AA1=1，E，F分别为BB1，CC1的中点，M为线段AA上一点，设MA1=x，x∈[0,1]，给出下面几个命题：①△MEF的周长L=f(x)，x∈[0,1]是单调函数，当且仅当x=0时，△MEF的周长最大；②△MEF的面积S=g(x)，x∈[0,1]满足等式g(x)=g(1−x)，当且仅当x=12时，△MEF的面积最小；③三棱锥C1−MEF的体积为定值．其中正确的个数是()A. 0B. 1C. 2D. 33.我国已公布加快“5G”建设，某种“5G”信号发射器所发出的信号覆盖区域是一个椭圆及其内部．如图一个广场为矩形，AB=2，AD=4，在广场中心O处安装“5G”发射器，信号履盖区域釣边界是恰与广场四边均相切釣．在广场内任取一点，则该点能收到该“5G”号的概率为()A. 27π B. π4C. 310π D. π54.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2=b2+bc，sinC=2sinB，则tan A的值为()A. √3B. √33C. √32D. 135.公元前6世纪，古希腊毕达哥拉斯学派已经知道五种正多面体，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体.后来，柏拉图学派的泰阿泰德(Tℎeaetetus)证明出正多面体总共只有上述五种.如图就是五种正多面体的图形.现有5张分别画有上述五种多面体的不同卡片(除画有的图形不同外没有差别)，若从这5张不同的卡片中任取2张，则取到画有“正四面体”卡片的概率为()A. 15B. 25C. 35D. 456.在空间中，不同的直线m，n，l，不同的平面α，β，则下列命题正确的是l()A. m//α，n//α，则m//nB. m//α，m//β，则α//βC. m⊥l，n⊥l，则m//nD. m⊥α，m⊥β，则α//β7.已知a，b，c是△ABC中∠A，∠B，∠C所对的边，如果a=1，b=√3，∠B=60°，那么∠A等于()A. 150°B. 30°C. 150°或30°D. 60°8.用1，2，3组成无重复数字的三位数，且这些数被2整除的概率为()A. 15B. 14C. 13D. 359.为了了解范县一中2500名男生的身体发育情况，抽查了该校100名高中男生的体重情况，根据所得数据画出样本的频率分布直方图，据此估计该校高中男生体重在70～78kg的人数为()A. 300B. 160C. 80D. 6010.在△ABC中，若b2tanC=c2tanB，则△ABC是()A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等腰直角三角形D. 等腰或直角三角形11.在△中，角所对的边分别为，且满足，则的最大值是()A. B. C. D. 212.将一颗骰子抛掷两次，所得向上点数分别为m，n，则函数y=23mx3−nx+1在[√22,+∞)上为增函数的概率是()A. 12B. 512C. 712D. 2313.中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外．”其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种形式(如图所示)，表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，以此类推．例如6613用算筹表示就是，则3log38771用算筹可表示为()A. B.C. D.二、单空题（本大题共9小题，共39.0分）14.某单位有职工人，其中青年职工人，中年职工人，老年职工人，为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本，若样本中的青年职工为人，则样本容量为________．15.某中学从甲乙丙3人中选1人参加全市中学男子1500米比赛，现将他们最近集训中的10次成绩(单位：秒)的平均数与方差制成如表的表格：甲乙丙平均数250240240方差151520根据表中数据，该中学应选______参加比赛．16.在△ABC中，已知AB=4，且tanAtanB=34，则△ABC的面积的最大值为______ ．17.若集合，，，则满足条件的实数的取值集合为．18.如图，在△ABC中，BC=2，AB=√6，∠ACB=2π3，点E在边AB上，且∠ACE=∠BCE，将射线CB绕着C逆时针方向旋转π6，并在所得射线上取一点D，使得CD=√3−1，连接DE，则△CDE的面积为______．19.对于函数，f(x)=3sin(2x+π6)及g(x)=tan(x+π6)，给出下列命题①f(x)图象关于直线x=−π12对称；②g(x)图象关于(π3,0)成中心对称；③g(x)在定义域内是单调递增函数；④f(x)图象向左平移π6个单位，即得到函数y=3cos2x的图象；⑤由f(x1)=f(x2)=0，得x1−x2必是π2的整数倍．其中正确命题的序号为______ ．20.某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验．根据收集到的数据(如表)：零件数x(个)1020304050加工时间y(分钟)6268758189由最小二乘法求得回归方程ŷ=0.67x+a，则a的值为______ ．21.先后抛两枚均匀的正方体骰子(它们的六个面分别标有点数1、2、3、4、5、6)，骰子朝上的面的点数分别为x，y，则y=2x的概率为______．22.已知：c−bc−a =sinAsinC+sinB，求B=______．三、解答题（本大题共5小题，共46.0分）23.如图所示的多面体是由底面为的长方体被截面所截而得到的，其中．(Ⅰ)求的长；(Ⅱ)求点到平面的距离．24.某工厂的机器上存在一种易损元件，这种元件发生损坏时，需要及时维修．现有甲、乙两名工人同时从事这项工作，如表记录了某月1日到10日甲、乙两名工人分别维修这种元件的件数．日期1日2日3日4日5日6日7日8日9日10日甲维修的元件数3546463784乙维修的元件数4745545547(Ⅰ)从这10天中，随机选取一天，求甲维修的元件数不少于5件的概率；(Ⅱ)试比较这10天中甲维修的元件数的方差s甲2与乙维修的元件数的方差s乙2的大小．(只需写出结论)；(Ⅲ)由于甲、乙的任务量大，拟增加工人，为使增加工人后平均每人每天维修的元件不超过3件，请利用上表数据估计最少需要增加几名工人．25.一胸针图样由等腰三角形OAB及圆心C在中轴线上的圆弧AB构成，.为了增加胸针的美观程度，设计师已知OA=OB=1，∠ACB=2π3准备焊接三条金丝线CO，CA，CB，且AC长度不小于OC长度．设∠AOC=θ．(1)试求出金丝线的总长度L(θ)，并求出θ的取值范围；(2)当θ为何值时，金丝线的总长度L(θ)最小，并求出L(θ)的最小值．26.已知△ABC中，向量m⃗⃗⃗ =(−1,√3),n⃗=(cosA,sinA)；且m⃗⃗⃗ ⋅n⃗=1．(1)求角A；(2)若角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a=√3，求△ABC的面积的最大值．27.设某试验成功的概率是p，p∈(0,1).现在将该试验独立重复4次，证明：恰好有2次成功的概率为C42p2(1−p)2．【答案与解析】1.答案：C解析：本题考查系统抽样，在系统抽样中分段间隔相同是解题关键，属于基础题目．解：用系统抽样抽出的4辆客车的号码从小到大成等差数列，对照四个选项知，只须选项C中的四个数：103，133，163，193成等差数列中的部分项，故选C．2.答案：C解析：解：如图，取A1A的中点为H，EF的中点为G，依题意可得MG始终垂直EF，且ME=MF．对于①，∵EM=FM=√12+(12−x)2，△MEF的周长L=f(x)=√2+2√1+(12−x)2，x∈[0,1]不是单调函数，当且仅当x=0、1时，△MEF的周长最大，故错；对于②，△MEF的面积S=g(x)=12×EF×MG=√22×(√22)(12−x∈[0,1]满足等式g(x)=g(1−x)，当且仅当x=12时，△MEF的面积最小，故正确；对于③，三棱锥C1−MEF的体积为V C1EFM =V M−EFC1=13×s EFC1×ℎ，h是点M到面BCC1B1的距离，为定值，故三棱锥C1−MEF的体积为定值，正确．故选：C．取A1A的中点为H，EF的中点为G，依题意可得MG始终垂直EF，且ME=MF.即可表示，△MEF的周长、面积，从而判定①②，利用等体积法判定③．本题考查了空间点、线、面位置关系，空间距离，体积的计算，属于中档题．3.答案：B解析：解：由题意可得椭圆的标准方程为：x24+y2=1.即a=2，b=1．∴椭圆的面积=πab=2π．∴该点能收到该“5G”号的概率=2π2×4=π4．故选：B．由题意可得椭圆的标准方程为：x24+y2=1.即a=2，b=1.可得椭圆的面积=πab，利用几何概率计算公式即可得出．本题考查了几何概型的求概率公式、椭圆的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4.答案：A解析：解：∵sinC=2sinB，∴由正弦定理，得c=2b代入a2=b2+bc，得a2=b2+2b2=3b2，可得a=√3b∴b2+a2=4b2=c2，可得△ABC中∠C=90°因此，tanA=ab=√3故选：A根据正弦定理，结合sinC=2sinB得c=2b，代入题中平方关系式算出a2=3b2，得到b2+a2=c2，可得△ABC是以C为直角的直角三角形，再结合正切在直角三角形中的定义，即可算出tan A的值．本题给出三角形中的边的平方关系和角的正弦之间的关系，求tan A的值．着重考查了正弦定理、勾股定理的逆定理和正切函数在直角三角形中的定义等知识，属于中档题．5.答案：B解析：解：现有5张分别画有上述五种多面体的不同卡片(除画有的图形不同外没有差别)，从这5张不同的卡片中任取2张，基本事件总数n=C52=10，取到画有“正四面体”卡片包含的基本事件个数m=C11C41=4，则取到画有“正四面体”卡片的概率为P=mn =410=25．故选：B．从这5张不同的卡片中任取2张，分别求出基本事件总数和取到画有“正四面体”卡片包含的基本事件个数，由此能求出取到画有“正四面体”卡片的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6.答案：D解析：试题分析：由线面位置关系逐个判断即可：选项A，可得m//n，m与n相交或m与n异面；选项B，可得α//β或α与β相交；选项C，同一个平面成立，在空间不成立；选项D，垂直于同一条直线的两个平面平行．选项A，由m//α，n//α，可得m//n，m与n相交或m与n异面，故错误；选项B，m//α，m//β可得α//β或α与β相交，故错误；选项C，由m⊥l，n⊥l，在同一个平面可得m//n，在空间不成立，故错误；选项D，由垂直于同一条直线的两个平面平行可知结论正确．故选D7.答案：B解析：解：△ABC中，由于a=1，b=√3，∠B=60°，故由正弦定理可得1sinA =√3sin60°，求得sinA=12.由于a<b，∴A<B，∴A=30°，故选：B．由条件利用正弦定理求得sinA=12，再由a<b，可得A<B，从而确定A的值．本题主要考查正弦定理的应用，大边对大角，属于基础题．8.答案：C解析：解：根据题意，由1，2，3组成无重复数字的三位数有123、132、213、231、321、312，共6个，其中可以被2整除即偶数的有132、312，有2个，则这些数被2整除的概率为26=13；故选：C．根据题意，列举由1，2，3组成无重复数字的三位数，进而找出其中可以被2整除即偶数的个数，由等可能事件的概率公式，计算可得答案．。