2018广东高考理科数学试题和答案

绝密★启用前2021年普通高等学校招生全国统一测试理科数学考前须知：1 .做题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚, 将条形码准确粘贴在条形码区域内.2 .选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整,笔迹清楚3 .请根据题号顺序在做题卡各题目的做题区域内作答, 超出做题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上做题无效4 .作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑.5 .保持卡面清洁,不要折叠、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀一、选择题：此题共12小题,每题5分,共60分.在每题给出的四个选项中,只有项是符合题目要求的.2 =-： 4-1设1+1那么团=()1A0 B.2 C1D飞2一集合为=> | J3- X- 2 > 0}^ 那么£/ ={jI -1 < J< 2)C,,I 工< -1) U & I 尸> 2}D{JK |X< -1} U {x\x >2} 3.某地区经过一年的新农村建设 ,农村的经济收入增加了一倍 ,实现翻番.为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况,统计了该地区系农村建设前后农村的经济收入构成比例.得到如下饼图：建设前捶济收入构成比例琏设后络济妆人构成比例建设前经济收入构成比例建设后经济收入构成比例那么下面结论中不正确的选项是〔〕新农村建设后,种植收入减少新农村建设后,其他收入增加了一倍以上新农村建设后,养殖收入增加一倍新农村建设后,养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半4记9力等差额列侬)的前n项和,假设工+ 那么的二.A-12 B-10 C. 10 D. 125设困数*工)二"+ 9 - 1)"十口?,假设〃幻为奇因数,那么曲线片年期在点(01.)处的切线方程为()尸2# E 尸K C尸2K D.y=xULM6在AJSC中,AD为BC边上的中线,E为的中点,那么E8 =()□ ULK ] UIM ^.4B--AC1 ULK 1 uin L加-Lc1 ULM 1 UU1-AB+-AC 4 4C.i uuc w uin ^AB^r-AC D-4 47某圆柱的高为2,底面周长为16,其三视图如右图.圆柱外表上的点M在正视图上的对应点为A,圆柱外表上的点N在左视图上的对应点为B,那么在此圆柱侧面上,从M到N的路径中,最短路径的长度为()D.28设抛物线的焦点为E过点(20)且斜率为弓的直线与C交于两点,那么UUU UIUUFMFN=()心工,0 11〞会0小〕=〃6+,+、在m 〕存在2个零点,那么a 觎mB m 内〕c 〔Ty 〕D 1L2〕10.下列图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形,此图由三个车圈构成,三个半圆的直径分别为直角三角形 ABC 的斜边BC,直角边AB,ACo △ ABC 的三边所围成的区域记为I , 黑色局部记为n ,其余局部记为出,在整个图形中随机取一点,此点取自I、n 、出的A Pi = P? 3 Pi = Pi Q Pi = D _P I =6 十 % O 为坐标原点,F 为C 的右焦点,过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为MN 假设△「为直角三角形,那么的阴= 3A JB 3 c 2道 D.41Z 正方体的校长为L,每条接所在直线与平面值所成的角都相等j 那么蒙翻此正方体所 得截面面积的最大值为34 延 延 迫A. 4 B ,3 c4 口 2* +1 >0,13假设工,N 满足约束条件1丁工°:贝产的最大值为14记国为数列同｝的前口项的和,假设5小况+ 1,那么15从2位女生,4位男生中选3人参加科技比褰j 且至少有1位女生入选,那么不同的选法共 有一种一佣数字填写答案〕W 因数/3=2 51n T +而2x ?那么/〔x 〕的最小值是 __________________ . 在平面四边形心8中,乙=9., 3 = 45 , .45 = 2T RD = 5. 求gs/」仍3 - 假设加=2"求3c 18 〔12 分〕A.5B.6C.7D.8/㈤="9,蹦 范围是.IL 双曲线C ： 3概率分别记为 Pl ,P2,P3,那么〔〕如图」四边形■括8为正方形,瓦厂分别为,必4c的中点,以力下为折痕把9FC折起「使点C到达点尸的位置,旦尸F-BF.证实：平面FEF _平面,岱ED ；求刀产与平面^FD所成角的正弦值一1902 分〕qC—+ v3=l设椭圆 2 〞的右焦点为F,过F得直线f与C交于两点,点M的坐标为〔2⑼当‘与#轴垂直时,求直线的方程$设.为坐标原点,证实,儿也・@加2Q某工厂的某种产品成箱包装,每箱产品在交付用户前要对产品作检验,如检验出不合格品,那么更换为合格品,检验时,先从这箱产品申任取20件作检蛤,再根据检蛤结果断定是否对余下的所有产品作检验,设每件产品为不合格的概率为品〔°<P<1 〕且备件产品是否为不合格品相互独立.记20件产品中恰有2件不合格品的概率为/[“,求门必的最大值点P现对一箱产品检验了20件,结果恰有2件不合格品,以〔1〕中确定的作为p的值.每件产品的检验费用为2元,假设有不合格品进入用户手中,那么工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用〔i〕假设不对该箱余下的产品作检验,这一箱的检验费用与赔偿费用的和记为X ,求EX ;〔ii〕以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据, 是否该对这箱余下的所有产品作检验？2L 〔12 分〕y 〔x〕——- x+a In JC巡,CD讨论〃旧的单渊曲〔2〕假设“％〕存在两个极值点在西『证实：演—三匚墟考题：22一在直角坐标系M?'中,曲线&的方程为¥ = MX * 2 ,以坐标原点为极点,,轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线G的极坐标用呈为p: + 2pco S G-3 = 0<i〕求孰的直角坐标方程〔D假设G与g有且仅有三个公共点,求G的方程对++卜战-1|口〕当口=1时1求不等式〞* ：门的解集〔2〕假设①时,不等式外工成立,求口的取值范围2021年全国卷1理科数学全解全析阳友雄〔519055〕一、选择题：此题共12小题,每题S 分,共60分.在每小厥给出的四个选 项中只有一项为哪一项符合题意要求的,L i?:二 ---- + 2r . 那么二 _1+J 4 0 B. Lc. ID.百2答案,C解析；==&———+ 2/——+2i-f t |d = l» 应选C〔i + OU-O = 工已加集合二卜卜二一M -2>0：,那么C^d =A. ^|-1 <,r <2]0. ；.vpl<x<2J C. *卜 v-l ； U 卜卜 >21 D.,卜*-1；11*卜32}答案：B解析：由题得看一卜[卜・一2〕〔?+1〕>0}二次|?>2%<:-11. 故.£4 = [1|—三2},应选B3.某地区经过一年的新农村建设.农村的经济收入增加了一倍,实现翻番.为更好地了解读 地区农村的疑济收入变化情况,统计「该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例,得 到如下饼图：第三产业收入二产业收A具地收入脩殖攻入那么下面培论中不正幽的是 A.新农村建设后,种植收入减少B.新农村建设后.其他收入培加了一倍以上 J 新农村建设后,养脂收入增加了一倍D.新农村任设行,岸循收入与第三产业收入的总和都过了经济收入的一半 答案二J解析：设建设前电线褥收入为100•那么建设后总经济收入为2001/12忤fftW X芹蛆收入群儿毂翻邮入丸00 X 60%二60,敕刷箱收入为200x37%二74.6.〔74. 必麓；对于小建麴蒯收入为100x4%=4,速断其触入为2耽5%二10,10>2x4t蚓曲；对于C,敕前耨蚣为100x30%:30,建痂耨蚣为200x3吗二60,60-2x30,故C 正确；对于口叫养菌收入占3Q%i第三产业收入占28%,30%+28%=58%>50%,4记R为等差数炖J脯项用假设3$孤+斗〔4=21那么％ =A, -12 B- -10 C, 10 D. 12馥:B糊:由｛研为辕珊且期二吊吊桶3 3口1+巴/1,+理d + ^+―rf 抑3%+2d=.又由q=2,故可得d二一3, 如刊+M = 2+4xH=-10,应选B5.舸教网二心〔11〕八小假设/〔I〕为奇囱跖那么了=/卜〕螭在筋瞰的嬲方程为A.尸3 B, y=-T c, y=2v D, V-X智臬DBi f 敝所MH〕=jQ〕,EP-l+a-l-a=-〔l+〔a-l〕+a〕解衡-蒯危〕4+x,故"〕=3『+l,伸〕=1,州线方程为：户h MD 6任A狱中,就为BC址的慨E为四的帧叫〕A. 2VT7B. ZV?C, 3 D. 2答案：B ,如图,最短路径AB|二匹不二2小,应选R2&设抛物畿G ,,= 4#的焦点为E ,过点12期且斜率为t 的直线与.交于酎,N 两点,A. 5B. 6C. 1D. 8答案；D解析:由直线过点〔-2,0〕且斜率为:故可得直线MN 为y=〔G+2〕,联立直线MA 「与抛 2物线,=不"+ 2〕,解得或' 故可设£〔1,2〕,那么N 〔4,4〕j 又由抛物线焦 1 ,v=2 v=4[y =^x L点 F 〔l,0〕,故由二〔0,2〕,丽=〔3,4〕,所以丽•丽二 0x3 + 2x4 二 土应选 DA, pro) B. [0,+/) C,卜L M )D.[L F )答案：C解析:g 〔X 〕有两个零点等价于〃幻与, = —巴有两个交点, 由图可知,当—口,1,即口之—1盹,下与/〔灯有两个交点,应选rm 下列图来自古希腊数学家西波尔克拉底所研究的结合图形.此图由三个半圆构成,三个半 圆的直径分别为直角三角形18c 的斜边,直角边.叁△HBC 的三边所围成的区 域记为L 黑色局部记为1L 其余局部记为1IL 在整个图形中随机取一点,此点取自1, II, III 的概率分别为“,小,必,那么〔〕9 .函数/回二 / t M 0g(x) = /(x) + x + fl *假设g ⑺存在2个零点,那么口的取值范围是 la X, x > 03A» Pi = B, Pi = P J C.=Pi D - P\ = Pi +P^答案：A解析,假设月C = 2日,AB =2b, BC = 2c r 由三角形4BC 是直角三角形,故有 AC 2 + AB 2 = BC 2 JP (2t7)2 + (2b)1 = (2c)2 ,即有故区域 I 的面积为22 /2\史丝二2岫,区域11的面积为竺+变--二--2M =2/,区域III 的面积为2 2 2 [ 2小 ^(a~ +b-)---2ab = -^~~^一2口,又由于总区域固定,故P1二〞一双曲线y-T 2 =H 0为坐标原点,F 为e 的右焦点,过点F 的直线与c 的 两条渐近线的交点分别为A" N 、假设△3IV 为直角三角形,A. B. 3 C. 2-jl D. 4 答案：B在 Rt^OMF 中,OM = OF.COS305 =百12.正方体的棱长为1,每条棱所在直线与平面值所成的角都相等,那么6截此正方体所 得截面面积的最大值为答案；A解析：如下图平面月4.与平面的所有棱所成角都相等,公 故a 〃平面达耳.,构造平面//平面.4月(7,〜S设 45 二 #, 5尸= e 那么,SR^PQ = MN = y[2x SM = RO = PN = 42{l-x)故1即选月解析：ZFON=ZFOM=3(f r 在小△OVW 中,KN =.Vfgn60" =3 2D.—g t Gll-x) 屈x । 6 + 6x n(l — x)—行 卜 । z*二、填空题.此题共4小题,每题5分,共20分.x — 2y — 2 M 0,T- F + 1>0. jaij - = 3x + 2y 的最大值为V<0,解析：作出约束区域如下图,目标函数化为炉二-2当直线-2产过〔2⑼时有最大截距,且此时二取得最大傀 故当x - 2,丫 =.时二取得最大值;3=3*2 + 2*0 = 6. 14 一记及为数列｛矶｝的前什项和.假设5d =2/ + 1,那么导= 答案：-63 解析：由题意,当k =1时,可=2q+1,解得/=-L 当时〞时,勺=邑一Si =◎% +1)—(2. +1)=初—2 化简得/=2O B_I(H > 2).故｛仇｝是以-1为首项,2为公比的等比数列,因此& —3.⑶从2位女生,4位男生中选3人参加科技比赛.且至少有1位女生入选,选法共有 种,〔用数字填国答案〕 答窠:16 解析.在6人中任选J 人的选法总共有C ： = 20种;选出的3人全为男生的选法共有武=4种; 故至少有一位女生入选的选法总共有索-盘=16种. 】&函数/⑶=2sinjf + sin2x,那么/⑶的最小值是总G3石 答案：2解析：显然/v+2m =/@〕,故是以为如周期的函数一 乂 / Xr) = 2co$x + 2cos 2-r = 2(2 cos 3 x + cosx -1) = 2(2COST - l)(cos r+1).故当EP IkTT--<x< 2fr/r + -(fr e Z) T /(*)单调递增事 ’313.假设37满足条件、答案:6；4 _ .cosx < -,即2后丁 十三< r < 十三(不亡Z)时, /(M)单调速减;. 3 3所以当K 二纸死--(k e Z)时,f(x)取得最小值一i5不妨令上=0 ,取工二一g 代入/(於得/⑺3 = 2sin(--) + sin(--) = -^^.3 3 3 2三、解做题：共70分.解容许写出文字说明、证实过程或演算步骤.第1771 题为必考题,每个试题考生都必须作答.17. (12 分)在平面四边形」BCD 中,ZJDC = 90% Z4-45% AB = 2t BD".(1)求.o$乙红)81(2)假设Z )仁=2在.求BC .BD AB 5 2 ______ 'siii J siii ZADB V2 siu ZADBr-\ sill LADB =—由(号+(gsZADE 『=1 得:(1)证实：平面PEF1平面.』BFD ； 3)求.尸句平面」EFD 所成角的正弦值. 解析：C)证实：产分别为.4.,月.的中点,四边形」BCT?为正方形 二 EF H AB, BC ± ABi 二 BC ± EF. PF I 8F,,PF 1 BC, 解析,：(1)住中,由正弦定理可知: (coszL4DB)2 =—'/ ZADB w 0二 而cos ZJDE = -----(2) ZADC - 900 + cos ABDC = cos - - ZADB 乂由余弦定理知：cov £BDC = 解律 BC 2 = 25 A BC = 5= smA4Z )B= —触 十 DC 2 -BC 2 25 + S-BC 2V? 2BD^DC 2x5x2VI 5(12分)如图,四边形/BCD 为正方形,EF 分别为ND, 5r 的中点,以DF 为折痕把折起,使点「到达点尸的位置,且PF ,3F.而：EF c PF = F BC 1 平面 PEF,而：BC c 平面且BFD 二平面PEF _L 平面ABED.记正方形边长为2白,(口 a 0),那么：DC = EF = AD = BC = 2a t DE = CF = a t 且由翻折的性质可知：R0DPF 岂R3CF:,PF - CF = a, PD = DC - 2n,DF = ylDC 2 +FC 2 = J(2.尸+ R ?=岛.过P 作/W_LEF 于H,连接口“,由(1)中知,平面PEF_L 平面UHFD,平面PEF c 平面且BFZ) = EF* \ PH 1平面且3加,二ZPDH 即为.户与平面且BFD 所成的知记 FH =式* > 0),那么；EH = 2^ — xtDM 2 = DE 2 + HE 2 =/ + (20—公:在APHD 中,由勾股定理得:6PH 门.-.sill ZPDH =——=N — = 2— •即：.尸与平面MBTO 所成的角的正弦值为匕.PC la 419 一设椭圆C ：三 W=l 的右焦点为F,过F 的直线/与C 交于48两点,点时(2⑼ (D 当/与工轴垂直时,求直线4憾的方程;(2)设O 为坐标原点,证实；IOMA = £OMB .解析：(1)依题意,右焦点当,与太轴垂直时,那么点H 的坐标为1,士, 所以当』1,5|时,直线方程为缶+2y —2我=0所以当H I,-- 时,直线WA1方程为JI K —2F —2& 二 0一 2 . .:.PH- - PF 2 - HF 2 二0士一工、DH 2 + PH 1 = PD\ 即工 a 2 + (2a - x)1 +a 2-x 2 = (2c?)2,(2)①当直线/与工轴垂直时,4B 两点分别为卜.辛卜卜-三：根据对称性可知,自加二一七谓,所以/.1 口=NOWS.②当直线］不与K 垂直时,设直线的方程为乎=左6-1).K=#3-1)联立方程组；匚小尸'加1 j — 0/j ?2 — 0 V ］〔£2—2〕 + — 2〕 Mx 、—1〕〔工—2〕 + «〔*2 — 1〕〔芭—2〕.\ k^, + = Q r A /-OMA = /LOMB.JfcLM JeUJ 20. (12分)某工厂的某种产品成箱包装,每箱200件,每一箱产品在交付用户之前要对产 品作检验,如检验出不合格品,那么更换为合格品,检验时,先从这箱产品中任取20件作检 验,再根据检马佥结果断定是否对余下的所有产品作检验,设每件产品为不合格的概率都为p(O<r <l),且各件产品是否为不合格品相互独立.(1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为/(户),求〃⑼的最大值点以.(2)现对一箱产品检验了 20件,结果恰有2件不合格品,以(1)中确定的也作为P 的值.每件产品的检验费用为2元,假设有不合格品进入用户手中,那么工厂要对每件不合格 品支付25元的赔偿费用.(। )假设不时该箱余下的产品作检验,这一箱产品的检验优用与赔偿赧用的和记为A, 求 £¥；di)以检验费用号赔偿费用和的期望值作为决策依据,是否该对这箱余・卜.的所有产品作检 验？解析［⑴ /(P )二弓p"l —P 尸 pe(OJ)f\P )=纥；屈(1 -门产-18CQ11-⑼"==2CQ(1-MRl-10p)8/12设工｛吗,为),那么占十吃二4k 2P+1 2k 2 -2 , ,占不二:71—T 那么 2k+l玉—2 X-〕— .2 〔工］—2〕〔马—2〕 〔A *-2〕U 2-2〕 Mu +卜£目 卜 — 3〔玉+ H J+ 4 ’〔演―功/―2〕4k 2 -4 12k 2—； ----------- ： + 4 = 0Ik 2 +1 ++1令,(P)= 0当cup〈?时,"p)>oj(p)单调递增；当*<p<l时,/(p)vOJ(p)单调递减.所以,当pn5时,/⑺)有最大.,Po=O.L(2) (i)由题意可知,p = 0』,设剩余180件产品中恰有F件是不合格品.那么F - 8(18001).A-Y= 257+20x2 = 257+40./. EX ;E(25Y+ 40) = 25£K + 40 = 25x180x0.1 + 40 = 490.(11)假设对余下产品进行质检时,那么质检费用与赔偿费用之和为400元,由于400<490,所以需要检验.2L (12 分)函数」(1)二l-K + bini.x(1)讨论了卜)的单调性；(2)假设/(#存在两个极点卬不,证实［“士)—'二)<口〞.JLTJ r r, y .产'/ * 1 ,b —"X + 1 , …解析：(1) / (x) = 一一--1+—=-- ：-- (x> 0)x~当口£0时,/⑴<0,此时/(不在(0,48)上单调递减；当.>0时,令g(t)=/-新+ 1,判别式△ =4|)当AWO时,此时0<订与2, g(x) > 0,从而/⑺在(0.母)上单调递减:ii)当A>0时,此时门>2,设g&) = 0的两根为工「xt且』父4.利用求根公式得2仃一?—4 入q + Jzj,-4\=——-——>0' /=——-——>0当?七(0川)时, g(x)>0,从而/ (丫)<0, /⑺在(0向)和.：+口)单调递减;fi — \/ 口 - 4 + J ct -4当仃＞ 2时,f 〔x 〕在｛0. —-〕和〔土*—-、+s 〕上单调递减,在〔二2斯二土破三〕上单调递增. 2 2〔2〕由｛ 1 〕可知,假设f 〔x 〕有两个极值点,那么叮＞ 2 ,且f'〔x 〕 = 0的两根即为』E 〔 收＜不〕,因/〔£〕二,一3'+.111£,可得/〔马〕十/〔'-〕 =0,即/〔吃〕十/〔/〕=0, x - X.只须证红艮岂＜ a —2,即证2/〔/〕＜S —2〕〔多一,整理得2Gh 上士一口/十二〔0 区＞ 1〕,■Ti构造函数断,〕=20 In ?一处+色6 ＞1〕,求导得方〔#=网_什_=二_6'；1〕.W0,X ,v x~ x~因此〃〔沈〕在〔1,+＜功上单调递减.■♦川k 〕 ＜ M 〔D = 0 ,从而24也/一日诙十W ＜ 0 〔电＞ 1〕 成正,原式得证.附第L 〕问另解 由C1〕可知,假设/住〕有两个极值点,那么〃＞2,且/⑴=0的的根即为小当〔/v 七〕, 且满足韦达定理七十心二G 1立二1,易得0＜』＜1,与＞1, — tX 2令双刈=/〔&〕-/⑺=石〕 X. 一工, 工,—X且满足韦达定理,1+超=a.$W = 1,易得0 cx i < 1,/> 1,公 X 2 假设要证/〔为〕― /〔巧〕＜曰一2X ] ~X 2------- + a In —(---------------- A-.+a In A.)- ----- (A\ — $ ) + 口 (111 一111 A। )二项三一一七一』1 £7(111 - 111 X,)= --------- -1H-------------- ......... —司三七一事_ 一口(111% —11咐)一,巧7；假设要证h(x)="项式口- 2 ,只须过一出1<l f即hi立< A2-演1]—4 X? — X] 工11 . ？j 1 1由于玉二一,上式可转化为In工「= 21n* CM ------------------------- Q 21n瑞一叫--------- <0 7 1米)招一一与一%构造函数p(x)= 21nx-^ + —(x> 1) x那么炉(工)二2一1一3二一在口,.,故p(x)<p(i)= o,故]※)式成立,原结论得证. x x~ X (二)选考题：共10分,请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,那么按所做的第一题计分.22」选修4-4：坐标系与参数方程](10分)在直角坐标系中,曲线G的方程为丁=后卜什2,以坐标原点为极点,工轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线G的极坐标方程为y+2“e"-3 ="(1)求g的直角坐标方通；(2)假设a与孰有且仅有三个公共点,求G的方程.解析：< 1) :" + 2/cosH- 3 = 0 ,那么/十/十2?_3=0,即=4r所以G的直角方程为(£+】『+F=明(2)由题1可知圆心坐标为C(—L0),半彳储=2,乂曲线方程为y 二改犹+2,关于y轴对称,且曲线过圆外定点P(0,2),上当曲线与圆有旦仅有3个交点时,设曲线在y轴的右半局部与圆相切于点A.此时,了二化国+2 = h - ]+2 = 0 ,t=2,那么〔左一2〕2 =4〔左2+1〕4 4即直线G的方程为y = -§23」选修如5：不等式选讲]〔10分〕f〔X〕=X + 1 — |ax — 1 .〔1〕当n = l时,求不等式/⑺>1的解集；〔2〕假设KE〔0⑴时,不等式成立,求□得取值范围.—2.x W -1解析：m 当仃=1 时,那么/.〕= 〔2r-i VNVI,2,x>l；・当/〔x〕>l 时,2A*> 1 A*> —,即,<工<1又当才之1时,/住〕=2满足/〔2>1 ,综上；x>~.〔2〕当工七〔0,1〕时,x + l>0恒成仁那么/〔丁〕>不时石：X + 1- m--l > x ,即上—1|<1,两边平方化简可得：aV-2ax<0又XE〔OJ〕,那么.2.<0成M,I处取最大值,函数g〔x〕=/工—2.可看作斜率为a2>0的直线,且在x贝 |门工一2av0n 力£〔0.2〕,即n的取值范围为.匕〔0.2〕.eord完美格式eord完美格式。