高中数学专题讲义-均值不等式的应用
2020年上海新高一新教材数学讲义-专题08 基本不等式及其应用教师版
专题08 基本不等式及其应用（平均值不等式及其应用，三角不等式）知识梳理一、基本不等式：1.若,a b R ∈，222a b ab +≥，当且仅当a =b 时取等号2.（1）“积定和最小”：ab b a 2≥+⇔如果积ab 是定值P ，那么当a b =时，和a b +有最小值（2）“和定积最大”：22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab ⇔如果和a b +是定值S ，那么当a b =时，积ab 有最大值214S 。
3.若,a b R +∈2a b+≥ 加权平均》算术平均》几何平均二、平均值不等式：若a 、b 为正数，则2a b+≥a b =时取等号变式：222()22a b a b ab ++≥≥推广：123,,,,n a a a a 是n 个正数，则12na a a n+++称为这n 个正数的算术平均数，称为这n个正数的几何平均数，它们的关系是：12n a a a n ++⋅⋅⋅+≥12n a a a ===时等号成立。
三、三角形不等式如果,a b 是实数，则a b a b a b -±+≤≤ 注：当b a ,为复数或向量时结论也成立. 推论1：1212n n a a a a a a ++++++≤推论2：如果a b c 、、是实数,那么a c a b b c --+-≤,当且仅当()()0a b b c --≥时,等号成立.例题解析一、简单基本不等式问题【例1】条件“0>a 且0>b ”是结论“ab ba ≥+2”成立的 条件。
【难度】★【答案】充分非必要条件 【例2】已知正数y x ,满足12=+y x ，求yx 11+的最小值。
判断下述解法正确与否，若不正确，请给出正确的解法，若正确，则说明理由。
y x xyxy y x xy y x y x 112422221,2110,0+∴≥∴≥+=≥+∴>> 的最小值为24【难度】★【答案】不正确，忽略了前两个小不等式中的取等条件， 当时，即，取得最小值。
2020届高考数学(理)一轮复习讲义7.2均值不等式及其应用
§7.2均值不等式及其应用最新考纲考情考向剖析1.认识基本不等式的证明过程 . 主要考察利用基本不等式求最值.常与函数、解析几何、不等式相联合考察，作为求最值的方2.会用基本不等式解决简单的最大(小 )值问题 .法，常在函数、分析几何、不等式的解答题中考察，难度为中档 .a＋ b1.均值不等式：ab≤2(1)均值不等式成立的条件：a>0， b>0.(2)等号成立的条件：当且仅当a＝ b 时取等号 .2.几个重要的不等式(1)a2＋ b2≥ 2ab(a， b∈R ).b a(2)a＋b≥ 2(a， b 同号 ).a＋ b 2(3)ab≤( a，b∈ R).(4) a2＋ b2 a＋ b 2(a， b∈ R ).≥22以上不等式等号成立的条件均为a＝b.3.算术均匀数与几何均匀数设 a>0， b>0，则 a， b 的算术均匀值为a＋b，几何均匀值为ab，均值不等式可表达为两个2正实数的算术均匀值大于或等于它们的几何均匀值.4.利用均值不等式求最值问题已知 x>0， y>0，则(1)假如积 xy 是定值 p，那么当且仅当x＝y 时， x＋ y 有最小值2 p.(简记：积定和最小 )p2(2)假如和 x＋y 是定值 p，那么当且仅当x＝ y 时， xy 有最大值4 .(简记：和定积最大 )概念方法微思考1.若两个正数的和为定值，则这两个正数的积必定有最大值吗？提示不必定 .若这两个正数能相等，则这两个数的积必定有最大值；若这两个正数不相等，则这两个正数的积无最大值.12.函数 y ＝ x ＋ x 的最小值是 2 吗？提示不是 .由于函数y ＝ x ＋ 1x 的定义域是{ x|x ≠ 0} ，当 x<0时， y<0 ，所以函数y ＝ x ＋ 1x 无最小值 .题组一 思虑辨析1.判断以下结论能否正确 (请在括号中打“√”或“×”) 4 ， x ∈ π的最小值等于 4.( × )(1)函数 f(x) ＝ cos x ＋ cos x0， 2(2)“ x>0 且 y>0 ”是“ x ＋ y≥ 2”的充要条件 .( × )y x(3)( a ＋ b)2 ≥4ab(a ， b ∈R ).( √ )(4)若 a>0 ，则 a 3＋ 12的最小值为 2a.( × )a(5)不等式 a 2＋ b 2≥2ab 与a ＋b≥ ab 有同样的成立条件 .( × )2(6)两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.( √ ) 题组二教材改编2.设 x>0， y>0，且 x ＋ y ＝ 18，则 xy 的最大值为 ( )A.80B.77C.81D.82答案 C∵ x>0， y>0， ∴ x ＋ yxy ，分析 2 ≥即 xy ≤x ＋ y2＝ 81， 2 当且仅当 x ＝ y ＝9 时， (xy)max ＝ 81.3.若把总长为 20 m 的篱笆围成一个矩形场所，则矩形场所的最大面积是________ m 2.答案25分析设矩形的一边为 x m ，面积为 y m 2，则另一边为 12× (20－ 2x)＝ (10－ x)m ，此中 0<x<10 ，∴y ＝ x(10－x)≤x ＋10－ x2＝25， 2当且仅当 x ＝ 10－ x ，即 x ＝5 时， y max ＝25.题组三 易错自纠4.“ x>0”是“ x ＋ 1≥ 2 成立”的 ( )xA. 充分不用要条件B. 必需不充分条件C.充要条件D.既不充分也不用要条件答案 C分析11当 x>0 时， x ＋ ≥ 2x ·＝ 2.xx11 1 1 成立 ” 的充要条件，由于 x ， 同号，所以若 x ＋x ≥2，则 x>0 ， >0，所以 “x>0 ” 是 “x ＋≥ 2xxx应选 C.5.若函数 f(x)＝ x ＋ 1(x>2) 在 x ＝ a 处取最小值，则 a 等于 ( )x － 2A.1 ＋ 2B.1＋ 3C.3D.4答案 C分析 当 x>2 时， x － 2>0 ，f(x)＝ (x － 2)＋ 1＋ 2≥ 2x － 2 × 1＋ 2＝ 4，当且仅当 x －2x － 2 x － 21＝ x － 2( x>2) ，即 x ＝ 3 时取等号，即当f(x) 获得最小值时， x ＝ 3，即 a ＝ 3，应选 C.6.若正数 x ， y 知足 3x ＋ y ＝ 5xy ，则 4x ＋ 3y 的最小值是 ( )A.2B.3C.4D.5答案 D3x ＋y 31分析 由 3x ＋ y ＝5xy ，得xy ＝ y ＋ x ＝5，1 31所以 4x ＋ 3y ＝ (4x ＋ 3y) ·＋5 yx＝13y ＋12x5 4＋9＋ xy 1≥5(4＋ 9＋ 2 36)＝ 5，当且仅当3y ＝ 12x，即 y ＝ 2x 时， “ ＝” 成立，xy故 4x ＋ 3y 的最小值为 5.应选 D.题型一利用均值不等式求最值命题点 1 配凑法例 1 (1) 已知 0<x<1，则 x(4－ 3x)获得最大值时 x 的值为 ________.答案231分析x(4－ 3x)＝ 3·(3x)(4 － 3x)≤1 3x ＋4－3x2＝4，·233当且仅当 3x ＝ 4－ 3x ，即 x ＝23时，取等号 .x 2 ＋ 2(2)函数 y ＝ x － 1 (x>1) 的最小值为 ________. 答案 2 3＋2分析 ∵ x>1， ∴x － 1>0 ，∴ y ＝ x 2 ＋ 2 x 2－ 2x ＋ 1 ＋ 2x － 2 ＋ 3 ＝x － 1x － 1＝x － 1 2＋ 2 x － 1 ＋ 3 x － 1＝ (x － 1)＋ 3＋ 2≥ 2 3＋ 2. x－ 1当且仅当 x － 1＝3，即 x ＝ 3＋ 1 时，等号成立 . x － 1命题点 2 常数代换法例 2 (2019 ·大连模拟 )已知首项与公比相等的等比数列 { a n } 中，知足 22a m a n ＝a 4(m ， n ∈N ＋)，则 2＋1的最小值为 () m n39A.1B. 2C.2D. 2答案 A分析 由题意可得， a 1＝ q ，22∵ a m a n ＝ a 4，∴ a 1·q m －1·(a 1·q n －1 )2＝ (a 1·q 3)2，即 q m ·q 2n ＝ q 8， 即 m ＋ 2n ＝8.∴ 2 ＋ 1＝ (m ＋ 2n) 2 ＋ 1 ×1m nm n 8＝ 2＋m ＋4n＋ 2 ×1≥ (4＋ 2 4)× 1＝ 1. n m88当且仅当 m ＝ 2n 时，即 m ＝ 4， n ＝ 2 时，等号成立 .命题点 3 消元法例 3已知正实数 a ， b 知足 a 2－ b ＋4≤ 0，则 u ＝2a ＋3ba ＋b ()1414A. 有最大值 5B. 有最小值 5C.有最小值 3D.有最大值 3答案B分析∵ a 2－ b ＋4≤ 0， ∴ b ≥ a 2＋ 4，∴ a ＋ b ≥ a 2＋ a ＋4.又 ∵ a ， b>0， ∴ a≤a ，a ＋b a 2＋ a ＋4∴ －a≥ － a ，a ＋b a 2 ＋a ＋ 42a ＋ 3baa∴ u ＝ a ＋ b ＝ 3－ a ＋ b ≥3－ a 2＋ a ＋4 ＝ 3－1 ≥ 3－1＝ 14 ，a ＋ 42 45＋ 1a ·＋ 1aa当且仅当 a ＝ 2， b ＝ 8 时取等号 .应选 B.思想升华 (1) 前提： “一正 ”“ 二定 ”“ 三相等 ”.(2)要依据式子的特色灵巧变形，配凑出积、和为常数的形式，而后再利用均值不等式.(3)条件最值的求解往常有三种方法：一是消元法；二是将条件灵巧变形，利用常数“ 1” 代换的方法；三是配凑法.追踪训练 1 (1)(2019·东质检丹)设x>0， y>0，若 xlg 2， lg 2， ylg 2 成等差数列，则1x ＋9y 的最小值为()A.8B.9C.12D.16答案D分析∵ xlg 2 ， lg 2， ylg 2成等差数列，∴ 2lg 2＝ (x ＋ y)lg 2 ，∴ x ＋ y ＝ 1.∴1x ＋9y ＝ (x ＋ y) 1x ＋ 9yy 9x ≥ 10＋2· ＝ 10＋ 6＝ 16，x y当且仅当 x ＝ 1， y ＝ 3时取等号，4 4故 1＋9的最小值为 16.应选 D.x y(2)若 a， b，c 都是正数，且4 ＋1的最小值是 () a＋b＋ c＝ 2，则a＋1 b＋ cA.2B.3C.4D.6答案 B分析∵ a， b，c 都是正数，且a＋ b＋ c＝ 2，∴a＋ b＋ c＋ 1＝3，且 a＋1>0 ， b＋c>0.∴4＋1＝1·(a＋1＋ b＋ c) ·4＋1 a＋ 1 b＋ c 3 a＋ 1 b＋ c 14 b＋ c a＋ 1 1＝3 5＋a＋1＋b＋c≥3(5＋ 4)＝ 3.当且仅当a＋ 1＝ 2(b＋ c)，即 a＝1， b＋ c＝1 时，等号成立.应选 B. 题型二均值不等式的综合应用命题点 1 均值不等式与其余知识交汇的最值问题例 4 在△ ABC 中，点→→M，P 知足 BP＝ 2PC，过点 P 的直线与 AB， AC 所在直线分别交于点→→→→N，若 AM ＝mAB， AN＝ nAC(m>0， n>0) ，则 m＋2n 的最小值为 ()8 10A.3B.4C.3D. 3答案 A分析→ →→∵ AP＝ AB＋ BP→ 2 → →＝AB＋3(AC－AB)1 →2 → 1 → 2 →＝AB ＋ AC ＝AM ＋3n AN ，333m∵M ，P ，N 三点共线， ∴ 1＋2＝ 1，3m 3n∴ m ＋ 2n ＝( m ＋ 2n) 1＋ 23m 3n＝13＋43＋ 3m 2n ＋ 2m3n≥ 5＋ 2 2n × 2m 33m 3n＝53＋43＝ 3，当且仅当 m ＝ n ＝ 1 时等号成立 . 命题点 2 求参数值或取值范围例 5 (2018 ·包头模拟 )已知不等式 (x ＋y) 1 a ≥ 9 对随意正实数 x ，y 恒成立， 则正实数 a 的 x ＋y 最小值为 ( ) A.2B.4C.6D.8答案 B1 a1 a分析 已知不等式 (x ＋ y) x ＋ y ≥ 9 对随意正实数 x ， y 恒成立，只需求 (x ＋ y) x ＋ y 的最小值 大于或等于 9，∵ 1＋ a ＋ y ＋ ax≥ a ＋ 2 a ＋ 1，x y当且仅当 y ＝ ax 时，等号成立，∴ a ＋ 2 a ＋1≥ 9，∴ a ≥ 2 或 a ≤ － 4(舍去 )， ∴ a ≥ 4，即正实数 a 的最小值为 4，应选 B.思想升华 求参数的值或范围：察看题目特色，利用均值不等式确立有关成立条件，进而得参数的值或范围 .π2sin C sin B 追踪训练 2 (1)在△ ABC 中， A ＝6，△ ABC 的面积为 2，则 sin C ＋ 2sin B ＋sin C 的最小值为 ()3 3 3 3 5 A. 2 B.4 C.2D.3答案 C分析 由 △ ABC 的面积为 2，所以1 1 πS ＝bcsin A ＝ bcsin ＝ 2，得 bc ＝8，22 6在△ABC 中，由正弦定理得2sin C ＋ sin B＝ 2c ＋b sin C＋ 2sin B sin C c＋2bc ＝2cb ＋ b2b c＋ 2b bc＝16 2 8 ＋b 2＋ 41＋b＝8－8＋ 2b2 8 4＋ b2 2≥ 2 8b2＋ 4 1＝2－1＝ 3，2·－4＋ b 8 2 2 2当且仅当 b＝ 2， c＝ 4 时，等号成立，应选 C.(2)已知函数f(x)＝ ax2＋bx(a>0， b>0)的图象在点 (1，f(1))处的切线的斜率为2，则8a＋b的最ab小值是 ( )A.10B.9C.8D.3 2答案 B分析由函数 f(x)＝ ax2＋ bx，得 f′( x)＝ 2ax＋ b，由函数 f(x)的图象在点 (1， f(1)) 处的切线斜率为2，所以 f′ (1)＝ 2a＋ b＝ 2，所以 8a＋ b＝ 1＋8＝ 1 1＋ 8ab a b 2 a b (2a＋ b)1 b 16a 1 b 16a＝2 10＋a＋b ≥2 10＋2 a ·b1＝2(10＋8)＝ 9，当且仅当ba＝16ab，即 a＝13， b＝43时等号成立，所以8a＋b的最小值为9，应选 B. ab利用均值不等式求解实质问题数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学的语言表达问题，用数学的方法建立模型解决问题 .过程主要包含：在实质情形中从数学的视角发现问题、提出问题、剖析问题、成立模型、确立参数、计算求解、查验结果、改良模型，最后解决实质问题 .例 某厂家拟在 2019 年举行促销活动，经检查测算，该产品的年销售量 (即该厂的年产量 )x万件与年促销花费 m 万元 (m ≥ 0)知足 x ＝ 3－km ＋ 1(k 为常数 ) ，假如不搞促销活动，则该产品的年销售量只好是 1 万件 .已知 2019 年生产该产品的固定投入为8 万元 .每生产 1 万件该产品需要再投入 16 万元，厂家将每件产品的销售价钱定为每件产品年均匀成本的 1.5 倍 (产品成本包含固定投入和再投入两部分资本).(1)将 2019 年该产品的收益y 万元表示为年促销花费 m 万元的函数；(2)该厂家 2019 年的促销花费投入多少万元时，厂家的收益最大？解 (1) 由题意知，当 m ＝0 时， x ＝ 1，∴ 1＝ 3－ k? k ＝2，∴ x ＝ 3－ 2，m＋ 18＋ 16x每万件产品的销售价钱为1.5×(万元 )，∴ 2019 年的收益 y ＝ 1.5x ×8＋ 16x－8－ 16x － m x2＝ 4＋ 8x － m ＝ 4＋ 8 3－m ＋ 1 － m16＝－ ＋ m ＋ 1＋ 29(m ≥ 0).16(2)∵ m ≥ 0 时，＋ ( m ＋ 1)≥ 216＝8，∴y≤－ 8＋ 29＝21，16当且仅当＝ m＋ 1? m＝ 3(万元 )时，y max＝ 21(万元 ).故该厂家2019 年的促销花费投入 3 万元时，厂家的收益最大为21 万元 .修养提高利用均值不等式求解实质问题时依据实质问题抽象出目标函数的表达式，成立数学模型，再利用均值不等式求得函数的最值.x2＋ 41.函数 f(x)＝|x| 的最小值为 ()A.3B.4C.6D.8答案 B分析f(x)＝x2＋4＝|x|＋4≥ 24＝ 4，|x||x|当且仅当 x＝±2 时，等号成立，应选 B.2.若 x>0， y>0，则“ x＋ 2y＝2 2xy”的一个充分不用要条件是( )A. x＝ yB. x＝2yC.x＝2 且 y＝ 1D.x＝ y 或 y＝ 1答案 C分析∵ x>0， y>0，∴ x＋ 2y≥ 2 2xy，当且仅当 x＝ 2y 时取等号 .故“ x＝ 2 且 y＝1 ”是“ x＋2y＝ 2 2xy”的充分不用要条件.应选 C.4＋1的最小值为( ) 3.(2018 沈·阳模拟 )已知正数 a， b 知足 a＋ b＝1，则a b5A. 3B.3C.5D.9答案 D分析由题意知，正数a， b 知足 a＋ b＝ 1，4 1 4＋ 1则a＋b＝ a b (a＋b)＝ 4＋1＋4b＋a≥5＋ 24b aa b·＝ 9，a b当且仅当4b＝a，即 a＝2， b＝1时等号成立，a b 3 3所以4＋1的最小值为 9，应选 D.a b4.若 a>0， b>0，lg a＋ lg b＝ lg(a＋ b)，则 a＋b 的最小值为 ()A.8B.6C.4D.2答案 C分析由 lg a＋ lg b＝lg( a＋ b) ，得 lg( ab)＝lg( a＋ b)，即 ab＝ a＋ b，则有1＋1＝ 1，所以 a＋ b a b1 1 b a≥2＋ 2 b aa＋ b 的最＝＋b (a＋ b)＝ 2＋＋·＝ 4，当且仅当 a＝b＝ 2 时等号成立，所以a ab a b 小值为4，应选 C.5.已知函数x在点 (0，f(0)) 处的切线为 l，动点 (a，b)在直线 l 上，则 2a －b的最小值是f(x)＝e ＋2( )A.4B.2C.2 2D. 2答案 D分析由题意得 f ′(x)＝ e x，f(0) ＝ e0＝ 1，k＝f ′ (0)＝ e0＝ 1.所以切线方程为y－1＝ x－ 0，即 x－ y＋ 1＝ 0，∴ a－ b＋ 1＝ 0，∴ a－b＝－ 1，∴ 2a＋ 2－b≥ 2 2a·2－b＝ 2 2a－b＝ 2 2－1＝2当且仅当 a＝－1， b＝1时取等号，应选 D.2 26.《几何本来》卷 2 的几何代数法 (以几何方法研究代数问题 )成了后代西方数学家办理问题的重要依照，经过这一原理，好多的代数的公义或定理都能够经过图形实现证明，也称之为无字证明 .现犹如下图图形，点 F 在半圆 O 上，点 C 在直径 AB 上，且 OF ⊥ AB，设 AC＝ a，BC＝ b，则该图形能够达成的无字证明为()a＋ bA.2≥ ab(a>0，b>0)B.a2＋b2≥ 2 ab(a>0， b>0)C.2ab≤ ab(a>0 ， b>0)＋b a a＋ b a2＋ b2D. 2 ≤2 (a>0 ， b>0)答案 D分析由 AC＝ a，BC ＝ b，可得圆 O 的半径 r ＝a＋b，2又 OC＝OB－ BC＝a＋b－ b＝a－b，2 2a－ b 2 a＋ b 2 a2＋b2，则 FC 2＝ OC2＋ OF2＝＋＝4 4 2再依据题图知FO ≤ FC，即a＋ b a2＋ b2≤，当且仅当 a＝ b 时取等号 .应选 D.2 27.设 x， y 均为正数，且 xy＋x－ y－ 10＝ 0，则 x＋ y 的最小值是 ________. 答案 6分析由 xy＋ x－y－ 10＝ 0，得 x＝y＋10＝9＋ 1，y＋ 1 y＋ 1∴ x＋ y＝9＋ 1＋ y≥ 2 9y＋ 1 y＋1·1＋ y ＝ 6，9当且仅当＝1＋ y ，即 y ＝ 2 时，等号成立 .98.设正项等比数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ，若 S 7－ S 5＝ 3(a 4＋ a 5)，则 4a 3＋a 7的最小值为 ________.答案4分析设正项等比数列 { a n } 的公比为 q(q>0) ，∵ S 7－ S 5＝ a 7＋ a 6＝ 3(a 4 ＋a 5)，∴a 7＋a 6＝ q 2＝3.a 5＋ a 4∴ 4a9＝4a 9 ＝ 4a 1 ≥ 2 4a 1＝ 4， 3＋7 3＋4 3＋33·3a 3aa qa当且仅当 4a 31，即 a 31时等号成立 .＝a 3＝ 2∴ 4a 3＋ 9的最小值为 4.a 79.已知△ ABC 的角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，若 a 2＝ b 2＋ c 2－ bc ，且△ ABC 的面积为33，4则 a 的最小值为 ________. 答案3分析 由题意得 b 2＋ c 2－ a 2＝ bc ，∴ 2bccos A ＝ bc ，1 π ∴ cos A ＝ ， ∴A ＝ .23∵△ ABC 的面积为33，4∴ 1bcsin A ＝ 3 3， ∴ bc ＝ 3.24∵ a 2＝ b 2＋ c 2－ bc ，∴ a 2≥ 2bc － bc ＝ bc ＝ 3(当且仅当 b ＝ c 时，等号成立 )，∴ a ≥ 3.10.已知 a ， b 为正实数，且 (a － b)2＝ 4(ab)3，则1a ＋ 1b 的最小值为 ________.答案2 2分析由题意得 (a － b)2 ＝(a ＋ b)2－4ab ，代入已知得 (a ＋ b)2＝ 4(ab)3＋ 4ab ，两边同除以 (ab)2得a ＋b 2＝4 ab 3 4ab ab 2 2 ＋ 2 2a ba b ＝ 4 ab ＋ 1≥4·21ab ab · ＝ 8，ab当且仅当 ab ＝ 1 时取等号 .所以 1＋1≥2 2，a b即1a ＋1b 的最小值为 2 2.11.已知 x>0 ， y>0 ，且 2x ＋ 5y ＝ 20.(1)求 u ＝ lg x ＋ lg y 的最大值；1 1(2)求 x ＋ y 的最小值 . 解 (1) ∵ x>0， y>0，∴ 由均值不等式，得 2x ＋5y ≥ 2 10xy.∵ 2x ＋5y ＝ 20，∴ 2 10xy ≤20， xy ≤ 10，当且仅当 2x ＝ 5y 时，等号成立 .所以有2x ＋ 5y ＝ 20，2x ＝ 5y ，解得x ＝5，y ＝ 2，此时 xy 有最大值 10.∴ u ＝ lg x ＋lg y ＝ lg( xy)≤ lg 10 ＝ 1.∴ 当 x ＝ 5， y ＝ 2 时， u ＝ lg x ＋ lg y 有最大值 1.(2)∵ x>0， y>0，∴ 1＋1＝ 1＋ 1 2x ＋ 5yx yx y ·20＝ 1 7＋ 5y ＋ 2x ≥ 17＋ 2 5y 2x 20 x y 20 ·x y＝7＋ 2 10，20当且仅当5y ＝ 2x时，等号成立 .x y2x ＋5y ＝ 20， x ＝10 10－ 20， 由5y 2x 解得3＝ 20－ 4 10x ， y ＝ . y3∴ 1＋1的最小值为 7＋ 2 10.x y2012.某人准备在一块占地面积为 1 800 平方米的矩形地块中间建三个矩形温室大棚，大棚四周均是宽为 1 米的小道 (如下图 )，大棚占地面积为S 平方米，此中 a ∶b ＝ 1∶ 2.(1)试用 x， y 表示 S；(2)若要使 S 的值最大，则x， y 的值各为多少？解 (1) 由题意可得 xy＝1 800， b＝ 2a，则 y＝a＋ b＋ 3＝3a＋ 3，所以 S＝ (x－ 2)a＋ (x－ 3)b＝ (3x－ 8)a＝ (3x－ 8) y－3＝ 1 808－3x－8 y(x>3， y>3).3 3(2)方法一S＝ 1 808－3x－8×1 800 3x＝ 1 808－ 3x＋ 4 800 ≤1 808－ 2 3x×4 800x x ＝1 808－ 240＝1 568，当且仅当3x＝4 800，即 x＝ 40 时等号成立， S 获得最大值，此时y＝1 800＝ 45，x x所以当 x＝ 40， y＝ 45 时， S 获得最大值 .方法二设 S＝f(x)＝ 1 808－ 3x＋4 800(x>3) ，x则 f′ (x)＝4 8002 －3＝3 40－ x 2 40＋ xx x令 f′ (x)＝ 0，则 x＝ 40，当 0<x<40 时， f′ (x)>0 ；当 x>40 时， f′ (x)<0.所以当 x＝ 40 时， S 获得最大值，此时，y＝ 45.13.在△ ABC 中，角 A ，B ， C 的对边分别为 a ，b ，c ，若2a － c ＝ cos C，b ＝4，则△ ABC 面积bcos B的最大值为 ( ) A.4 3B.23答案 A2a － c cos C分析 ∵ b＝ cos B ，∴ (2a － c)cos B ＝ bcos C ，由正弦定理得 (2sin A －sin C)cos B ＝ sin Bcos C ，∴ 2sin Acos B ＝ sin Ccos B ＋ sin Bcos C ＝ sin(B ＋ C) ＝sin A.又 sin A ≠0， ∴ cos B ＝ 1. 2π ∵ 0<B<π， ∴ B ＝ 3. 由余弦定理得b 2＝16＝ a 2＋c 2－ 2accos＝ a 2＋ c 2－ ac ≥ 2ac － ac ＝ ac ，π3∴ ac ≤16，当且仅当 a ＝ c 时等号成立 .1 π 1× 16× 3＝4 3.∴ S △ABC ＝ acsin≤ 2 2 3 2故 △ABC 面积的最大值为 4 3.应选 A.2214.已知 P 为椭圆 x＋ y＝ 1 上一个动点， 过点 P 作圆 (x ＋ 1)2＋ y 2＝ 1 的两条切线， 切点分别是4 3→ →的取值范围为 ( )A ，B ，则 PA ·PB3，＋∞3， 56A. 2B. 2 956D.[ 2 2－3，＋∞) C. 2 2－3，9答案 C分析如图，由题意设∠APB＝ 2θ，则 |PA|＝ |PB |＝1，tan θ→→ →→∴ PA·PB＝|PA||PB|cos 2θ＝1 1＋ cos 2θ2·cos 2θ＝·cos 2θ，tan θ1－ cos 2θ设 cos 2θ＝ t，→ →＝t 1＋t ＝ (1－ t)＋2－ 3则 PA·PB 1－ t 1－ t≥21－ t ·2－3＝ 2 2－ 3，1－ t2当且仅当1－ t＝，即t＝1－2时等号成立，此时 cos 2θ＝ 1－2.1又当点 P 在椭圆的右极点时，sin θ＝，∴cos 2θ＝ 1－ 2sin2θ＝79，7→ →最大，且最大值为1＋9 7 56此时 PA·PB 7 × ＝9 .9 1－9→ →56∴ PA·PB的取值范围是 2 2－3，9 .应选 C.15.已知正三棱柱 ABC －A 1B 1C 1，侧面 BCC 1B 1 的面积为4 6，则该正三棱柱外接球表面积的最小值为 ( )A.24 πB.16 2πC.8 πD.4 π答案 B分析 设 BC ＝ a ，CC 1＝ b ，则 ab ＝ 4 6， 底面三角形外接圆的半径为 r ，则 a ＝ 2r ， ∴r ＝3sin 60 ° 3 a.所以 R 2＝ b 2＋ 3 a 2＝ b 2 a 22 3 ＋34 ≥ 2 b 2 a 2 96 ＝ 4 2，4 · ＝ 2123 当且仅当 a ＝3时，等号成立 .2 b所以该正三棱柱外接球表面积的最小值为4π× 4 2＝ 16 2π.16.已知曲线 C ： y 2＝ 2x ＋ a 在点 P n ( n ， 2n ＋ a)( a>0 ，n ∈ N)处的切线 l n 的斜率为 k n ，直线 l n交 x 轴、 y 轴分别于点 A n (x n,0)， B n (0，y n )，且 |x 0 |＝ |y 0|.给出以下结论：① a ＝ 1；2 3②当 n ∈ N ＋ 时， y n 的最小值为 3 ；③当 n ∈ N ＋ 时， k n > 2sin1 ；2n ＋ 1④当 n ∈ N ＋ 时，记数列 { k n } n nn ＋ 1－1).的前 n 项和为 S ，则 S< 2( 此中，正确的结论有 ________.( 写出全部正确结论的序号)答案①②④1分析令 y＝(2x＋ a) 2，－1－1所以 y′＝21(2 x＋ a) 2× 2＝(2x＋a) 2 ，1k n＝(2 n a) 2，1所以 l n： y－ 2n＋ a＝(2 n a) 2(x－n)，所以 x0＝－ a， y0＝ a，∴ a＝ a∴ a＝ 1，① 对；令 t＝2n＋ 1≥3，所以 y n＝ 2n＋1－n t2－1 1 1，＝ t－＝ t＋2n＋ 1 2t 2 2t所以 y n≥13＋1＝2 3，②对；2 23 31，令 f(x)＝x－ 2sin x x∈ 0，3所以 f′ (x)＝ 1－ 2cos x<0，所以 f(x)<f(0) ＝ 0，即 1 < 2sin 1 ，③ 错；2n＋ 12n＋ 1由于 k n＝1 2＝ 2( n＋ 1－ n)，<2n＋1 n＋ 1＋ n所以 S n＝k1＋k2＋＋ k n< 2( 2－ 1)＋ 2( 3－ 2)＋＋ 2( n＋1－ n)＝ 2( n＋ 1－ 1)，④对 .。
均值不等式应用
均值不等式应用在实际应用中，均值不等式有一些常用的技巧，可以帮助我们更方便地应用和理解它们。
1.对称性：均值不等式对于多个变量的情况，通常具有对称性。
这意味着可以通过交换变量的位置来得到等价的不等式。
例如，对于实数$a,b,c$，有$\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}} \geq \frac{a+b}{2}$ 和$\sqrt{\frac{b^2+c^2}{2}} \geq \frac{b+c}{2}$，可以通过交换$a$和$c$得到$\sqrt{\frac{a^2+c^2}{2}} \geq \frac{a+c}{2}$。
利用这个对称性，可以在一些情况下简化不等式的推导过程。
2.递增性：均值不等式通常对于多个变量的情况是递增的。
这意味着如果变量的取值不变，但其中一个变量增加了，那么均值不等式的左边将比右边更大。
例如，对于实数$a,b$，有$\sqrt{ab} \leq \frac{a+b}{2}$，如果将$b$增加为$b+c$，则有$\sqrt{a(b+c)} \leq \frac{a+b+c}{2}$。
利用这个递增性，可以在一些情况下通过增加变量的值来简化不等式的推导过程。
3.平方技巧：当不等式中涉及到平方时，可以通过对不等式同时两边取平方来简化推导过程。
例如，对于实数$a,b$，有$\sqrt{a^2b^2} \leq\frac{a^2+b^2}{2}$，两边同时平方得到$a^2b^2 \leq\frac{(a^2+b^2)^2}{4}$，再进行化简推导。
需要注意的是，平方技巧可能会引入额外的解，因此在使用此方法时需要注意检查这些额外的解是否符合原始问题的要求。
4.归纳思想：对于具有多个变量的复杂不等式问题，可以利用归纳思想逐步推导出目标不等式。
具体来说，可以先考虑两个变量的情况，再逐步增加变量的个数，通过观察和推导相应的不等式，逐步得到目标不等式的结论。
这种思想在解决一些较为复杂的均值不等式问题时非常有帮助。
高中数学基础讲义9均值不等式-简单难度-讲义
均值不等式知识讲解一、等号成立条件条件：对于任意实数a b ，，222a b ab +≥，当且仅当a b =时，等号成立． 证明：2222()a b ab a b +-=-，当a b ≠时，2()0a b ->；当a b =时，2()=0a b -．222a b ab ∴+≥，当且仅当a b =时，等号成立．二、均值不等式定义：如果a b ，，是正数，那么2a bab +≥，当且仅当a b =时，有等号成立．此结论又称均值不等式或基本不等式．证明：2222()()()0a b ab a b a b +-=+=-≥，即a b ab +≥2，所以2a bab +≥三、均值不等式的几何解释解释：对于任意正实数a b ，，以AB a b =+的线段为直径做圆，在直线AB 上取点C ，使,AC a CB b ==，过点C 作垂直于直线AB 的弦DD '，连接AD 、DB 、如图已知Rt ACD Rt DCB ∆∆，那么2DC AC BC =⋅，即=CD ab ．这个圆的半径为2a b+，显然2a bab +≥，当且仅当点C 与圆心重合，即a b =时，等号成立．abb aD 'D C B A四、均值不等式的理解1.对于任意两个实数a b ，，2a b+叫做a b ，a b ，的几何平均值．此定理可以叙述为：两个正数的算术平均数不小于他们的几何平均数．2.对于=“”的理解应为a b =是2a b +a b ≠，则2a b+3.注意222a b ab +≥和2a b+>a b R ∈，，后者是+a b R ∈，五、极值定理1.若x y s +=（和为定值），则当x y =时，xy 取得最大值是24s；【证明】x y ，都是正数，2x y +x y s +=，22()24x y s xy +≤=，当且仅当x y =时，xy 取得最大值是24s；2.若=xy p （积为定值），则当x y =时，x y +取得最小值是；【证明】x y ，都是正数，2x y +≥x y =时，等号成立．又=xy p ，x y +≥．【注意】利用极值定理求最大值或最小值是应注意：①注意均值不等式的前提条件：函数式中的各项必须都是正数，在异号时不能运用均值不 等式，在同负时可以先进行转化，再运用均值不等式；②求积xy 最大值时，应看和x y +是否是定值；求和x y +最小值时，看xy 是否为定值． ③通过加减的方法配凑成使用算术平均数与几何平均数定理的形式； ④注意“1”的代换；⑤等号是否成立: 只有具备了不等式中等号成立的条件，才能使函数式取到最大或最小值．否则不能由均值不等式求最值，只能用函数的单调性求最值．运用均值不等式的前提有口诀：一正二定三相等．典型例题一．选择题（共10小题）1．（2018•海拉尔区校级二模）已知正实数x ，y 满足2x +y=1，则xy 的最大值为（ ） A ．18B ．23C ．14D ．25【解答】解：∵正实数x ，y 满足2x +y=1，则1≥2√2xy ，化为：xy ≤18，当且仅当2x=y=12时取等号．∴xy 的最大值为18．故选：A ．2．（2018•延边州模拟）若a ＞0，b ＞0，lga +lgb=lg （a +b ），则a +b 的最小值为（ ） A ．8 B ．6C ．4D ．2【解答】解：由a ＞0，b ＞0，lga +lgb=lg （a +b ）， 则lg （ab ）=lg （a +b ）， 即有ab=a +b ，即1a +1b=1， 则a +b=（a +b ）（1a +1b ）=2+b a +ab≥2+2√b a ⋅ab=4，当且仅当a=b=2时，取得等号．则a +b 的最小值为4． 故选：C ．3．（2018春•聊城期末）已知a 、b 是不相等的正数，x=√a+√b√2，y=√a +b ，则x 、y 的关系是（ ） A ．x ＞y B ．y ＞xC ．x ＞√2yD ．不能确定【解答】解：∵x 2=12（√a +√b ）2=12（a +b +2√ab ），y 2=a +b=12（a +b +a +b ）＞12（a +b +2√ab ）=x 2，又∵x ＞0，y ＞0． ∴y ＞x ．4．（2017秋•莲湖区校级期末）已知a ＞0，b ＞0，a +b=2，则y=1a +4b的最小值是（ ） A ．92B ．72C ．5D ．4【解答】解：∵a ＞0，b ＞0，a +b=2，∴y=1a +4b =12（1a +4b ）（a +b ）=12（1+4+b a +4a b ）≥12（5+2√b a ⋅4a b ）=92，当且仅当b=2a 时等号成立， 故选：A ．5．（2017秋•陆川县校级期末）已知x ，y ＞0，且1x +1y=2，则x +2y 的最小值为（）A．3−2√2B．3−2√22C．3+2√2D．3+2√22【解答】解：由1x +1y=2得，12x+12y=1，∴(x+2y)(12x+12y)=12+yx+x2y+1≥32+2√yx⋅x2y=32+√2，当且仅当x=√2y=1+√22时取等号．故选：D．6．（2018春•昌吉市期末）当x＞0，y＞0，1x+9y=1时，x+y的最小值为（）A．10B．12 C．14D．16【解答】解：∵x＞0，y＞0，1x +9y=1，∴x+y=（x+y）(1x+9y)=10+yx+9xy≥10+2√y x⋅9x y=16，当且仅当y=3x=12时取等号．∴x+y的最小值为16．故选：D．7．（2018春•沙坪坝区校级期末）实数a，b均为正数，且a+b=2，则1a+2b的最小值为（）A．3B．3+2√2C．4D．32+√2【解答】解：∵a+b=2，∴1a +2b =12（1a +2b ）（a +b ）=12（1+2a b +b a +2）=12（2a b +b a +3）， ∵2a b +b a ≥2√2，当2a b =ba ，即a=2√2﹣2时，等号成立， ∴1a +2b 的最小值为32+√2 故选：D ．8．（2018春•南关区校级期末）若正数x ，y 满足x +3y=5xy ，则3x +4y 的最小值是（ ） A ．245B ．285C ．6D ．5【解答】解：∵正数x ，y 满足x +3y=5xy ，∴x+3y 5xy =1，即15y +35x=1，∴3x +4y=（3x +4y ）（15y +35x ）=135+3x 5y +12y 5x ≥135+2√3x 5y ⋅12y 5x =5当且仅当3x 5y =12y 5x 即x=1且y=12时取等号，∴3x +4y 的最小值为：5 故选：D ．9．（2017秋•武邑县校级期末）若x ，y 是正数，且1x +4y =1，则xy 有（ ）A ．最大值16B ．最小值116C ．最小值16D ．最大值116【解答】解：由于x ，y 是正数，且1x +4y =1，∴1x +4y =1≥2√4xy =4√1xy ，∴1xy ≤116，∴xy ≥16，当且仅当 1x =4y =12时，等号成立，∴xy 有最小值为 16， 故选：C ．10．（2017•红桥区模拟）已知x ＞﹣2，则x +1x+2的最小值为（ ） A ．﹣12B ．﹣1C ．2D ．0【解答】解：∵x ＞﹣2，则x +1x+2=x +2+1x+2﹣2≥2√(x +2)⋅1x+2﹣2=0，当且仅当x=﹣1时取等号． ∴x +1x+2的最小值为0．故选：D ．二．填空题（共4小题）11．（2018•金山区二模）函数y =x +9x ，x ∈（0，+∞）的最小值是 6 ． 【解答】解：∵x ＞0，∴函数y =x +9x ≥2√x ⋅9x =6，当且仅当x=3时取等号． ∴函数y =x +9x (x ＞0)的最小值是6．故答案为：6．12．（2017秋•杨浦区校级期末）若正数a 、b 满足log a （4b ）=﹣1，则a +b 的最小值为 1 ．【解答】解：根据题意，若正数a 、b 满足log a （4b ）=﹣1，则有a=14b ，即ab=14，则a +b ≥2√ab =1，即a +b 的最小值为1； 故答案为：1．13．（2018春•秦淮区校级期中）已知正实数x ，y 满足xy=3，则x +y 的最小值是 2√3 ．【解答】解：正实数 x ，y 满足 xy=3， 则 x +y ≥2√xy =2√3，当且仅当x=y=√3时，上式取得等号， 则x +y 的最小值为2√3， 故答案为：2√3．14．（2017春•宿迁期末）已知正实数x ，y 满足2x +y=1，则xy 的最大值为 18． 【解答】解：根据题意，正实数x ，y 满足2x +y=1，则xy=12（2x ）y ≤12[2x+y 2]2=12×14=18，当且仅当2x=y=12，时等号成立，即xy 的最大值为18；故答案为：18．三．解答题（共1小题）15．（2010•南通模拟）某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800m 3，深为3m ，如果池底每1m 2的造价为150元，池壁每1m 2的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？【解答】解：设水池底面一边的长度为xm ，水池的总造价为y 元，则底面积为48003=1600m 2，池底的造价为1600×150=240000元， 则y=240000+720（x +1600x）≥240000+720×2√x ⋅1600x =240000+720×2×40=297600，当且仅当x=1600x，即x=40时，y 有最小值297600（元）答：当水池的底面是边长为40m 的正方形时，水池的总造价最低，最低总造价是297600元．。
第6节 均值不等式及其应用
第6节 均值不等式及其应用知识梳理1.均值不等式如果a ，ba ＝b 时，等号成立.数a ＋b2称为a ，b a ，b 的几何平均值. 2.两个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号. (2)ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号. (3)(a ＋b )2≥4ab ；2(a 2＋b 2)≥(a ＋b )2. 当且仅当a ＝b 时，等号成立. 3.利用均值不等式求最值 已知x ≥0，y ≥0，则(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p (简记：积定和最小).(2)如果和x ＋y 是定值s ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是s 24(简记：和定积最大).1.b a ＋ab ≥2(a ，b 同号)，当且仅当a ＝b 时取等号. 2.ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22.3.21a ＋1b≤ab ≤a ＋b2≤a 2＋b 22(a >0，b >0).4.应用均值不等式求最值要注意：“一定，二正，三相等”，忽略某个条件，就会出错.5.在利用不等式求最值时，一定要尽量避免多次使用均值不等式.若必须多次使用，则一定要保证它们等号成立的条件一致.诊断自测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)两个不等式a 2＋b 2≥2ab 与a ＋b2≥ab 成立的条件是相同的.( ) (2)函数y ＝x ＋1x 的最小值是2.( ) (3)函数f (x )＝sin x ＋4sin x 的最小值为4.( ) (4)x ＞0且y ＞0是x y ＋yx ≥2的充要条件.( ) 答案 (1)× (2)× (3)× (4)×解析 (1)不等式a 2＋b 2≥2ab 成立的条件是a ，b ∈R ； 不等式a ＋b2≥ab 成立的条件是a ≥0，b ≥0.(2)函数y ＝x ＋1x 的值域是(－∞，－2]∪[2，＋∞)，没有最小值. (3)函数f (x )＝sin x ＋4sin x 没有最小值. (4)x >0且y >0是x y ＋yx ≥2的充分不必要条件.2.若x >0，y >0，且x ＋y ＝18，则xy 的最大值为( ) A.9 B.18C.36D.81答案 A解析 因为x ＋y ＝18，所以xy ≤x ＋y2＝9，当且仅当x ＝y ＝9时，等号成立.3.(多选题)若x ≥y ，则下列不等式中正确的是( ) A.3x ≥3y B.x ＋y2≥xy C.x 2≥y 2D.x 2＋y 2≥2xy答案 AD解析 由指数函数的单调性可知，当x ≥y 时，有3x ≥3y ，故A 正确； 当0＞x ≥y 时，x ＋y2≥xy 不成立，故B 错误； 当0≥x ≥y 时，x 2≥y 2不成立，故C 错误；x 2＋y 2－2xy ＝(x －y )2≥0成立，即x 2＋y 2≥2xy 成立，故D 正确.4.(2021·滨州三校联考)若函数f (x )＝x ＋1x －2(x >2)在x ＝a 处取最小值，则a 等于( ) A.1＋2 B.1＋3 C.3D.4答案 C解析 当x >2时，x －2>0，f (x )＝(x －2)＋1x －2＋2≥2（x －2）×1x －2＋2＝4，当且仅当x －2＝1x －2(x >2)，即x ＝3时取等号，即当f (x )取得最小值时，x ＝3，即a ＝3，故选C.5.(2020·长沙月考)一段长为30 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长 18 m ，则这个矩形的长为________m ，宽为________m 时菜园面积最大. 答案 15 152解析 设矩形的长为x m ，宽为y m.则x ＋2y ＝30(0＜x ≤18)，所以S ＝xy ＝12x ·(2y )≤12⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2y 22＝2252，当且仅当x ＝2y ，即x ＝15，y ＝152时取等号.6.(2018·天津卷)已知a，b∈R，且a－3b＋6＝0，则2a＋18b的最小值为________.答案1 4解析由题设知a－3b＝－6，又2a>0，8b>0，所以2a＋18b≥22a·18b＝2·2a－3b2＝1 4，当且仅当2a＝18b，即a＝－3，b＝1时取等号.故2a＋18b的最小值为14.考点一 利用均值不等式求最值角度1 配凑法求最值【例1】 (1)(2021·乐山模拟)设0<x <32，则函数y ＝4x (3－2x )的最大值为________. (2)已知x <54，则f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为________.(3)已知函数f (x )＝－x 2x ＋1(x <－1)，则( )A.f (x )有最小值4B.f (x )有最小值－4C.f (x )有最大值4D.f (x )有最大值－4答案 (1)92 (2)1 (3)A解析 (1)y ＝4x (3－2x )＝2[2x (3－2x )] ≤2⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x ＋（3－2x ）22＝92， 当且仅当2x ＝3－2x ，即x ＝34时，等号成立.∵34∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32，∴函数y ＝4x (3－2x )⎝ ⎛⎭⎪⎫0＜x ＜32的最大值为92.(2)因为x <54，所以5－4x >0，则f (x )＝4x －5＋14x －5＋3＝－⎝⎛⎭⎪⎫5－4x ＋15－4x ＋3≤－2（5－4x ）·15－4x＋3＝－2＋3＝1，当且仅当5－4x ＝15－4x，即x ＝1时，取等号. 故f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为1. (3)f (x )＝－x 2x ＋1＝－x 2－1＋1x ＋1＝－⎝⎛⎭⎪⎫x －1＋1x ＋1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1＋1x ＋1－2 ＝－(x ＋1)＋1－（x ＋1）＋2.因为x <－1，所以x ＋1<0，－(x ＋1)>0， 所以f (x )≥21＋2＝4， 当且仅当－(x ＋1)＝1－（x ＋1），即x ＝－2时，等号成立.故f (x )有最小值4.角度2 常数代换法求最值【例2】(2021·武汉模拟)已知正数m ，n 满足m ＋2n ＝8，则2m ＋1n 的最小值为________，等号成立时m ，n 满足的等量关系是________. 答案 1 m ＝2n解析 因为m ＋2n ＝8，所以2m ＋1n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2m ＋1n ×m ＋2n 8＝18⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋4n m ＋m n ≥18⎝⎛⎭⎪⎫4＋24n m ×m n ＝18(4＋4)＝1，当且仅当4n m ＝m n ，即m ＝4，n ＝2时等号成立. 角度3 消元法求最值【例3】(2020·江苏卷)已知5x 2y 2＋y 4＝1(x ，y ∈R )，则x 2＋y 2的最小值是________. 答案 45解析 由题意知y ≠0.由5x 2y 2＋y 4＝1，可得x 2＝1－y 45y 2，所以x 2＋y 2＝1－y 45y 2＋y 2＝1＋4y 45y 2＝15⎝ ⎛⎭⎪⎫1y 2＋4y 2≥15×21y 2×4y 2＝45，当且仅当1y 2＝4y 2，即y ＝±22时取等号.所以x 2＋y 2的最小值为45.感悟升华 利用均值不等式求最值的方法(1)知和求积的最值：“和为定值，积有最大值”.但应注意以下两点：①具备条件——正数；②验证等号成立.(2)知积求和的最值：“积为定值，和有最小值”，直接应用均值不等式求解，但要注意利用均值不等式求最值的条件.(3)构造不等式求最值：在求解含有两个变量的代数式的最值问题时，通常采用“变量替换”或“常数1”的替换，构造不等式求解.【训练1】(1)已知实数x，y>0，且x2－xy＝2，则x＋6x＋1x－y的最小值为()A.6B.62C.3D.32(2)(多选题)(2021·烟台模拟)下列说法正确的是()A.若x，y>0，x＋y＝2，则2x＋2y的最大值为4B.若x<12，则函数y＝2x＋12x－1的最大值为－1C.若x，y>0，x＋y＋xy＝3，则xy的最小值为1D.函数y＝1sin2x＋4cos2x的最小值为9答案(1)A(2)BD解析(1)由x，y>0，x2－xy＝2得x－y＝2x，则1x－y＝x2，所以x＋6x＋1x－y＝x＋6x＋x 2＝3⎝⎛⎭⎪⎫x2＋2x≥3×2x2×2x＝6，当且仅当x2＝2x，即x＝2，y＝1时等号成立，所以x＋6x＋1x－y的最小值为6.(2)对于A，取x＝32，y＝12，可得2x＋2y＝32>4，A错误；对于B，y＝2x＋12x－1＝－⎝⎛⎭⎪⎫1－2x＋11－2x＋1≤－2＋1＝－1，当且仅当x＝0时等号成立，B正确；对于C ，易知x ＝2，y ＝13满足等式x ＋y ＋xy ＝3，此时xy ＝23<1，C 错误； 对于D ，y ＝1sin 2x ＋4cos 2x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1sin 2x ＋4cos 2x (sin 2x ＋cos 2x )＝cos 2x sin 2x ＋4sin 2x cos 2x ＋5≥24＋5＝9.当且仅当cos 2x ＝23，sin 2x ＝13时等号成立，D 正确.故选BD. 考点二 均值不等式的综合应用【例4】 (1)(2020·湘东七校联考)已知f (x )＝13x 3＋ax 2＋(b －4)x ＋1(a >0，b >0)在x ＝1处取得极值，则2a ＋1b 的最小值为( ) A.3＋223 B.3＋22 C.3D.9(2)已知不等式(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ≥9对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为( ) A.2B.4C.6D.8答案 (1)C (2)B解析 (1)因为f (x )＝13x 3＋ax 2＋(b －4)x ＋1(a >0，b >0)， 所以f ′(x )＝x 2＋2ax ＋b －4. 因为f (x )在x ＝1处取得极值，所以f ′(1)＝0，所以1＋2a ＋b －4＝0，解得2a ＋b ＝3. 所以2a ＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b ·13·(2a ＋b )＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋2b a ＋2a b ≥13⎝⎛⎭⎪⎫5＋22b a ·2a b ＝3(当且仅当a ＝b ＝1时取等号).故选C. (2)已知不等式(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ≥9对任意正实数x ，y 恒成立，只要求(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y 的最小值大于或等于9， ∵1＋a ＋y x ＋axy ≥a ＋2a ＋1，当且仅当y ＝ax 时，等号成立， ∴a ＋2a ＋1≥9，∴a ≥2或a ≤－4(舍去)，∴a ≥4， 即正实数a 的最小值为4，故选B.感悟升华 1.当均值不等式与其他知识相结合时，往往是提供一个应用均值不等式的条件，然后利用常数代换法求最值.2.求参数的值或范围时，要观察题目的特点，利用均值不等式确定相关成立的条件，从而得到参数的值或范围.【训练2】 (1)在△ABC 中，A ＝π6，△ABC 的面积为2，则2sin C sin C ＋2sin B＋sin Bsin C 的最小值为( ) A.32B.334C.32D.53(2)在△ABC 中，点D 是AC 上一点，且＝4，P 为BD 上一点，向量＝λ＋μ(λ>0，μ>0)，则4λ＋1μ的最小值为( ) A.16B.8C.4D.2答案 (1)C (2)A解析 (1)由△ABC 的面积为2，所以S △ABC ＝12bc sin A ＝12bc sin π6＝2，得bc ＝8， 在△ABC 中，由正弦定理得 2sin C sin C ＋2sin B ＋sin B sin C ＝2c c ＋2b ＋bc＝2·8b8b ＋2b ＋b 8b＝168＋2b2＋b 28＝84＋b2＋b 2＋48－12 ≥284＋b 2·b 2＋48－12＝2－12＝32， 当且仅当b ＝2，c ＝4时，等号成立，故选C.(2)由题意可知，＝λ＋4μ，又点B ，P ，D 共线，由三点共线的充要条件可得λ＋4μ＝1，又因为λ>0，μ>0，所以4λ＋1μ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4λ＋1μ·(λ＋4μ)＝8＋16μλ＋λμ≥8＋216μλ·λμ＝16，当且仅当λ＝12，μ＝18时等号成立，故4λ＋1μ的最小值为16.故选A. 考点三 均值不等式的实际应用【例5】网店和实体店各有利弊，两者的结合将在未来一段时期内，成为商业的一个主要发展方向.某品牌行车记录仪支架销售公司从2019年1月起开展网络销售与实体店体验安装结合的销售模式.根据几个月运营发现，产品的月销量x 万件与投入实体店体验安装的费用t 万元之间满足函数关系式x ＝3－2t ＋1.已知网店每月固定的各种费用支出为3万元，产品每1万件进货价格为32万元，若每件产品的售价定为“进货价的150%”与“平均每件产品的实体店体验安装费用的一半”之和，则该公司最大月利润是________万元. 答案 37.5 解析 由题意知t ＝23－x－1(1<x <3)，设该公司的月利润为y 万元，则y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫48＋t 2x x －32x －3－t ＝16x －t 2－3＝16x －13－x ＋12－3＝45.5－⎣⎢⎡⎦⎥⎤16（3－x ）＋13－x ≤45.5－216＝37.5，当且仅当x ＝114时取等号，即最大月利润为37.5万元.感悟升华 1.设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数. 2.根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用均值不等式求得函数的最值.3.在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解.【训练3】某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是________.答案 30解析 一年的总运费与总存储费用之和为y ＝6×600x ＋4x ＝3 600x ＋4x ≥2 3 600x ·4x ＝240，当且仅当3 600x ＝4x ，即x ＝30时，y 有最小值240.A 级 基础巩固一、选择题1.已知a ，b ∈R ，且ab ≠0，则下列结论恒成立的是( )A.a ＋b ≥2abB.a b ＋b a ≥2C.⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b ＋b a ≥2 D.a 2＋b 2>2ab答案 C解析 因为a b 和b a 同号，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b ＋b a ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b ＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪b a ≥2. 2.若3x ＋2y ＝2，则8x ＋4y 的最小值为( )A.4B.42C.2D.22 答案 A解析 因为3x ＋2y ＝2，所以8x ＋4y ≥28x ·4y ＝223x ＋2y ＝4， 当且仅当3x ＋2y ＝2且3x ＝2y ，即x ＝13，y ＝12时等号成立.故选A.3.(多选题)(2021·山东新高考模拟)已知正实数a ，b 满足a ＋b ＝2，下列式子中，最小值为2的有( )A.2abB.a 2＋b 2C.1a ＋1bD.2ab答案 BCD 解析 因为a ，b ＞0，所以2＝a ＋b ≥2ab ，所以0＜ab ≤1，当且仅当a ＝b ＝1时等号成立.由ab ≤1，得2ab ≤2，所以2ab 的最大值为2，A 错误；a 2＋b 2＝(a＋b )2－2ab ≥4－2＝2，B 正确；1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝2ab ≥2，C 正确；2ab ≥2，D 正确，故选BCD.4.已知x >0，y >0，且1x ＋1＋1y ＝12，则x ＋y 的最小值为( ) A.3B.5C.7D.9 答案 C解析 ∵x >0，y >0，且1x ＋1＋1y ＝12，∴x ＋1＋y ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1＋1y (x ＋1＋y )＝2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1＋1＋y x ＋1＋x ＋1y ≥2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2＋2y x ＋1·x ＋1y ＝8，当且仅当y x ＋1＝x ＋1y ，即x ＝3，y ＝4时取等号，∴x ＋y ≥7，故x ＋y 的最小值为7.5.要制作一个容积为4 m 3，高为1 m 的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是( )A.80元B.120元C.160元D.240元答案 C解析 由题意知，体积V ＝4 m 3，高h ＝1 m ，所以底面积S ＝4 m 2，设底面矩形的一条边长是x m ，则另一条边长是4x m ，又设总造价是y 元，则y ＝20×4＋10×(2x ＋8x )≥80＋202x ·8x ＝160，当且仅当2x ＝8x ，即x ＝2时取得等号. 6.若实数x ，y 满足x 2＋y 2＋xy ＝1，则x ＋y 的最大值是( )A.6B.233C.4D.23答案 B解析 x 2＋y 2＋xy ＝1⇒(x ＋y )2－xy ＝1，∵xy ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22，当且仅当x ＝y 时取等号， ∴(x ＋y )2－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22≤1， 即34(x ＋y )2≤1，∴－233≤x ＋y ≤233，∴x ＋y 的最大值是233.故选B.7.(2021·沈阳一模)若log 2x ＋log 4y ＝1，则x 2＋y 的最小值为( )A.2B.23C.4D.22 答案 C解析 因为log 2x ＋log 4y ＝log 4x 2＋log 4y ＝log 4(x 2y )＝1，所以x 2y ＝4(x >0，y >0)，则x 2＋y ≥2x 2y ＝4，当且仅当x 2＝y ＝2时等号成立，即x 2＋y 的最小值为4.故选C.8.(2020·重庆联考)对任意m ，n ∈(0，＋∞)，都有m 2－amn ＋2n 2≥0，则实数a 的最大值为( ) A.2B.22C.4D.92 答案 B解析 ∵对任意m ，n ∈(0，＋∞)，都有m 2－amn ＋2n 2≥0，∴m 2＋2n 2≥amn ，即a ≤m 2＋2n 2mn ＝m n ＋2n m 恒成立，∵m n ＋2n m ≥2m n ·2n m ＝22，当且仅当m n ＝2n m 即m ＝2n 时取等号，∴a ≤22，故a 的最大值为22，故选B.二、填空题 9.若直线x a ＋y b ＝1(a >0，b >0)过点(1，2)，则2a ＋b 的最小值为________.答案 8解析 由题设可得1a ＋2b ＝1，∵a >0，b >0，∴2a ＋b ＝(2a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋2b ＝4＋b a ＋4a b ≥4＋2b a ·4ab＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当b a ＝4a b ，即b ＝2a ＝4时，等号成立. 故2a ＋b 的最小值为8.10.已知x >0，y >0，x ＋3y ＋xy ＝9，则x ＋3y 的最小值为________.答案 6解析 法一(换元消元法)由已知得x ＋3y ＝9－xy ，因为x >0，y >0， 所以x ＋3y ≥23xy ，所以3xy ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋3y 22， 当且仅当x ＝3y ，即x ＝3，y ＝1时取等号，即(x ＋3y )2＋12(x ＋3y )－108≥0，令x ＋3y ＝t ，则t >0且t 2＋12t －108≥0，得t ≥6，即x ＋3y 的最小值为6.法二 (代入消元法)由x ＋3y ＋xy ＝9，得x ＝9－3y 1＋y， 所以x ＋3y ＝9－3y 1＋y ＋3y＝9＋3y 21＋y ＝3（1＋y ）2－6（1＋y ）＋121＋y＝3(1＋y )＋121＋y －6≥23（1＋y ）·121＋y－6 ＝12－6＝6，当且仅当3(1＋y )＝121＋y，即y ＝1，x ＝3时取等号， 所以x ＋3y 的最小值为6.11.(2020·天津卷)已知a ＞0，b ＞0，且ab ＝1，则12a ＋12b ＋8a ＋b的最小值为__________.答案 4解析 因为a ＞0，b ＞0，ab ＝1，所以原式＝ab 2a ＋ab 2b ＋8a ＋b ＝a ＋b 2＋8a ＋b≥2a ＋b 2·8a ＋b ＝4，当且仅当a ＋b 2＝8a ＋b ，即a ＋b ＝4时，等号成立.故12a ＋12b ＋8a ＋b的最小值为4. 12.函数y ＝x 2＋2x －1(x >1)的最小值为________. 答案 23＋2解析 ∵x >1，∴x －1>0，∴y ＝x 2＋2x －1＝（x 2－2x ＋1）＋（2x －2）＋3x －1＝（x －1）2＋2（x －1）＋3x －1＝(x －1)＋3x －1＋2≥23＋2.当且仅当x －1＝3x －1，即x ＝3＋1时，等号成立.B 级 能力提升13.(多选题)(2021·石家庄一模)若a ，b ，c ∈R ，且ab ＋bc ＋ca ＝1，则下列不等式成立的是( )A.a ＋b ＋c ≤3B.(a ＋b ＋c )2≥3C.1a ＋1b ＋1c ≥23D.a 2＋b 2＋c 2≥1答案 BD解析 由均值不等式可得a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ca ，∴2(a 2＋b 2＋c 2)≥2(ab ＋bc ＋ca )＝2，∴a 2＋b 2＋c 2≥1，当且仅当a ＝b ＝c ＝±33时，等号成立.∴(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2(ab ＋bc ＋ca )≥3，∴a ＋b ＋c ≤－3或a ＋b ＋c ≥ 3.若a ＝b ＝c ＝－33，则1a ＋1b ＋1c ＝－33<2 3.因此，A ，C 错误，B ，D 正确.故选BD.14.(2020·山东名校联考)正实数a ，b 满足a ＋3b －6＝0，则1a ＋1＋43b ＋2的最小值为( ) A.13B.1C.2D.59 答案 B解析 由题意可得a ＋3b ＝6，所以1a ＋1＋43b ＋2＝19[(a ＋1)＋(3b ＋2)]⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1＋43b ＋2＝19⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤5＋3b ＋2a ＋1＋4（a ＋1）3b ＋2≥1， 当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧2（a ＋1）＝3b ＋2，a ＋3b ＝6，即a ＝2，b ＝43时等号成立.故1a ＋1＋43b ＋2的最小值为1，选B.15.若a ，b ∈R ，ab >0，则a 4＋4b 4＋1ab的最小值为________. 答案 4解析 ∵a ，b ∈R ，ab >0，∴a 4＋4b 4＋1ab ≥4a 2b 2＋1ab ＝4ab ＋1ab ≥24ab ·1ab ＝4，当且仅当⎩⎨⎧a 2＝2b 2，4ab ＝1ab ，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝22，b 2＝24时取得等号. 16.已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋11x ＋1(a ∈R )，若对于任意的x ∈N *，f (x )≥3恒成立，则a 的取值范围是________.答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫－83，＋∞ 解析 对任意x ∈N *，f (x )≥3，即x 2＋ax ＋11x ＋1≥3恒成立，即a ≥－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋8x ＋3. 设g (x )＝x ＋8x ，x ∈N *，则g (x )＝x ＋8x ≥42，当且仅当x ＝22时等号成立，又g (2)＝6，g (3)＝173，∵g (2)>g (3)，∴g (x )min ＝173.∴－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋8x ＋3≤－83，∴a ≥－83，故a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－83，＋∞.。
高一数学讲义( 均值不等式及其应用)
均值不等式及其应用【知识点】1．常用方法与结论：①ba ab b a 110,<⇒>>（倒数关系） ②222243)2(b b a b ab a ++=++（配方） ③222)2(2b a b a +≥+2．均值不等式：(1)公式：ab b a 222≥+；ab ba ≥+2(2)运用过程中注意：“一正、二定、三相等”【例题】例1．(1)已知x >0，y >0，且191x yx y +=+，求的最小值 (2)求函数254+++=x x x y 的最小值(3)设实数m ，n ，x ，y 满足m n x y 222249+=+=，，求mx +ny 的最大值。
例2．若2424243+++++=++∈+c b a c b a R c b a ，求，，，的最大值例3．(1)已知正数a 、b 满足2322a b +=，求a b 21+的最大值(2)已知a b >>0，求a b a b 216+-()的最小值(3)设0142<<=+x y x x ，求函数log log 的最值例4、已知0,0x y ≥≥，求证211()()24x y x y +++≥【练习】1．设0,0>>b a ，且4=+b a ，则有 ( ) (A)211≥ab (B)111≥+b a (C)2≥ab (D)41122≥+b a 2．设M ＝)11)(11)(11(---cb a ，且1=++c b a )0,0,0(>>>c b a ，则M 的取值范围是( )(A)[0，)81 (B)[81，1) (C)[1，8） (D)[8，)+∞3． 已知不等式9)1)((≥++y ax y x 对任意正实数y x ,恒成立，则正实数a 的最小值为( )(A)2 (B)4 (C)6 (D)8 4．设c b a ,,是互不相等的正数，则下列不等式中不恒成立．．．．的是 ( ) (A)||||||c b c a b a -+-≤- (B)aa a a 1122+≥+ (C)21||≥-+-ba b a (D)a a a a -+≤+-+2135． 若0,,>c b a 且324)(-=+++bc c b a a ，则c b a ++2的最小值为 ( ) (A)13- (B)13+ (C)232+ (D)232-6．设0>x ，x x P -+=22,2)cos (sin x x Q +=，则P 、Q 的大小关系为 （ ） (A).P Q ≥ (B) P Q ≤ (C) P Q > (D) P Q <7．设a y x y x y x ≤+=+>>，则，，100恒成立的a 的最小值是 ( ) (A)22(B)2(C) 2(D)228．设+∈R b a ,，且1≥--b a ab ，则有 （ ） (A))12(2+≥+b a (B))12(2+≤+b a (C))12(2+<+b a (D))12(2+>+b a9．若不等式012≥++ax x 对一切]21,0(∈x 成立，则a 的最小值为 ( )(A)0 (B)2- (C)25- (D)3-10．对一切实数x ，当实数),0(,,b a a c b a <≠变化时，所有二次函数c bx ax x f ++=2)(的值恒为非负实数，则ab cb a M -++=的最小值是 ( )(A)21 (B)31(C)2 (D)311．已知c b a >>，求证：ac c b b a -+-+-411≥012、若对一切a>b>c,不等式ca nc b b a -≥-+-11恒成立,求n 的最大值.13、已知a 、b 为两个正常数，x>0,y>0,且1=+ybx a ,求x+y 的最小值.14、求证：βαβαβαsin sin sin sin 1sin sin 22++≥++，并指出等号成立的条件。
高中数学专题均值不等式的应用,求最小值问题,利用好条件更简便
高中数学专题均值不等式的应用，求最小值问题，利用
好条件更简便
均值不等式在求最小值问题中是非常常用的一种方法。
具体应用时，我们可以根据题目所给出的条件，选择合适的均值不等式进行推导。
例如，若要求函数 $f(x)=\sqrt{x+\frac{1}{x}}$ 的最小值，我们可以根据函数的形式，将其化为 $\sqrt{x}+\sqrt{\frac{1}{x}}$ 的形式，然后应用均值不等式得出：
$$\sqrt{x}+\sqrt{\frac{1}{x}}\geqslant2\sqrt{\sqrt{x}\cdot\s qrt{\frac{1}{x}}}=2$$。
因此，$f(x)$ 的最小值为 $2$，当且仅当
$\sqrt{x}=\sqrt{\frac{1}{x}}$，即 $x=1$ 时取得。
在应用均值不等式求最小值时，我们需要注意条件的限制，利用条件可以更加简便地解决问题。
例如，若要求$a^2+b^2+c^2$的最小值，且已知$a+b+c=1$，我们可以直接利用均值不等式得出：
$$a^2+b^2+c^2\geqslant\frac{(a+b+c)^2}{3}=\frac{1}{3}$$。
因此，$a^2+b^2+c^2$ 的最小值为 $\frac{1}{3}$，当且仅当
$a=b=c=\frac{1}{3}$ 时取得。
通过合理选择均值不等式及利用条件，我们可以更加简便地解决求最小值问题。
专题05 均值不等式及其应用--《2023年高考数学命题热点聚焦与扩展》【解析版】
【热点聚焦】高考命题对基本不等式的考查比较灵活，重点考查应用基本不等式确定最值（范围）问题、证明不等式、解答函数不等式恒成立等问题.独立考查以选择、填空为主，有时以应用题的形式出现．有时与三角函数、数列、解析几何、平面向量函数等相结合，考查考生应用数学知识的灵活性.【重点知识回眸】1． 基本不等式 ab ≤a ＋b 2(1)基本不等式成立的条件：a >0，b >0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b . 2．几个重要的不等式（1）)2,0a b ab a b +≥>：多用在求和式的最小值且涉及求和的项存在乘积为定值的情况（2）22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭,,a b R ∈：多用在求乘积式的最大值且涉及乘积的项存在和为定值的情况（3）222a b ab +≥，,a b R ∈（4）222()22a b a b ++≤，,a b R ∈ （5）2,,b aa b a b+≥同号且不为零 （6）重要不等式链 若a ≥b ＞0，则a ≥a 2＋b 22≥a ＋b 2≥ab ≥2aba ＋b≥b . 上述不等式，当且仅当a ＝b 时等号成立 3．算术平均数与几何平均数设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 4．利用基本不等式求最值问题 已知x >0，y >0，则(1)x ＋y ≥2xy ，若xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值2p (简记：积定和最小)．(2)xy ≤⎝⎛⎭⎫x ＋y 22，若x ＋y 是定值q ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值q 24(简记：和定积最大)．提醒：在应用基本不等式求最值时，一定要检验求解的前提条件：“一正、二定、三相等”，其中等号能否取到易被忽视．特别是：① 若求最值的过程中多次使用均值不等式，则均值不等式等号成立的条件必须能够同时成立（彼此不冲突）② 若涉及的变量有初始范围要求，则使用均值不等式后要解出等号成立时变量的值，并验证是否符合初始范围. 5、常见求最值的题目类型 （1）构造乘积与和为定值的情况 （2）已知1ax by +=（a 为常数），求m nx y+的最值， 此类问题的特点在于已知条件中变量位于分子（或分母）位置上，所求表达式变量的位置恰好相反，位于分母（或分子）上，则可利用常数“1”将已知与所求进行相乘，从而得到常数项与互为倒数的两项，然后利用均值不等式求解.（3）运用均值不等式将方程转为所求式子的不等式，通过解不等式求解： 例如：已知0,0,24x y x y xy >>++=，求2x y +的最小值解：()22211222228x y x y xy x y ++⎛⎫=⋅⋅≤= ⎪⎝⎭所以()()2224248x y x y xy x y +++=⇒++≥即()()2282320x y x y +++-≥，可解得234x y +≥，即()min 2434x y += 注：此类问题还可以通过消元求解：42241xx y xy y x -++=⇒=+，在代入到所求表达式求出最值即可，但要注意0y >的范围由x 承担，所以()0,2x ∈【典型考题解析】热点一 直接法求最值【典例1】（2021·全国·高考真题（文））下列函数中最小值为4的是（ ） A ．224y x x =++ B ．4sin sin y x x=+ C ．222x x y -=+D ．4ln ln y x x=+【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数的性质可判断A 选项不符合题意，再根据基本不等式“一正二定三相等”，即可得出,B D 不符合题意，C 符合题意． 【详解】对于A ，()2224133y x x x =++=++≥，当且仅当1x =-时取等号，所以其最小值为3，A 不符合题意；对于B ，因为0sin 1x <≤，4sin 244sin y x x=+≥，当且仅当sin 2x =时取等号，等号取不到，所以其最小值不为4，B 不符合题意；对于C ，因为函数定义域为R ，而20x >，242222442x x xx y -=+=+≥=，当且仅当22x =，即1x =时取等号，所以其最小值为4，C 符合题意； 对于D ，4ln ln y x x=+，函数定义域为()()0,11,+∞，而ln x R ∈且ln 0x ≠，如当ln 1x =-，5y =-，D 不符合题意．故选：C ．【典例2】（2021·全国·高考真题）已知1F ，2F 是椭圆C ：22194x y +=的两个焦点，点M 在C 上，则12MF MF ⋅的最大值为（ ） A ．13 B ．12C ．9D ．6【答案】C 【解析】 【分析】本题通过利用椭圆定义得到1226MF MF a +==，借助基本不等式212122MF MF MF MF ⎛+⎫⋅≤ ⎪⎝⎭即可得到答案．【详解】由题，229,4a b ==，则1226MF MF a +==，所以2121292MF MF MF MF ⎛+⎫⋅≤= ⎪⎝⎭（当且仅当123MF MF ==时，等号成立）． 故选：C ．【典例3】（2023·全国·高三专题练习）若0a >、0b >，且411a b+=，则ab 的最小值为（ ）．A ．16B ．4C ．116 D ．14【答案】A 【解析】 【分析】根据基本不等式计算求解. 【详解】因为0a >、0b >，所以414112+≥⨯=a b a b ab114≥ab 4ab ≥，即16ab ≥，当仅当41a b=，即82a b ==，时，等号成立. 故选：A.【典例4】（2022·全国·高考真题（文））已知910,1011,89m m m a b ==-=-，则（ ） A ．0a b >> B ．0a b >> C ．0b a >> D ．0b a >>【答案】A 【解析】 【分析】根据指对互化以及对数函数的单调性即可知9log 101m =>，再利用基本不等式，换底公式可得lg11m >，8log 9m >，然后由指数函数的单调性即可解出． 【详解】由910m=可得9lg10log 101lg 9m ==>，而()222lg9lg11lg99lg9lg111lg1022+⎛⎫⎛⎫<=<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以lg10lg11lg 9lg10>，即lg11m >，所以lg11101110110m a =->-=． 又()222lg8lg10lg80lg8lg10lg922+⎛⎫⎛⎫<=< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以lg9lg10lg8lg9>，即8log 9m >，所以8log 989890m b =-<-=．综上，0a b >>． 故选：A.热点二 配凑法求最值【典例5】（2023·全国·高三专题练习）已知102x <<，则函数(12)y x x =- 的最大值是（ ） A ．12 B ．14C ．18D ．19【答案】C【解析】 【分析】将(12)y x x =-化为12(12)2x x ⨯-，利用基本不等式即可求得答案.【详解】 ∵102x <<，120x ∴-> , ∴1(12)2(12)2x x x x -=⨯-22(12)112[]28x x +-=≤⨯， 当且仅当212x x =- 时，即14x =时等号成立， 因此，函数(12)y x x =-,1(0)2x <<的最大值为18,故选：C ．【典例6】（2023·全国·高三专题练习）已知a ＞b ，关于x 的不等式220ax x b ++≥对于一切实数x 恒成立，又存在实数0x ，使得2020ax x b ++=成立，则22a b a b+-最小值为_________．【答案】22【解析】 【分析】由220ax x b ++≥对于一切实数x 恒成立，可得0a >，且0∆≤；再由0x R ∃∈，使20020ax x b ++=成立，可得0∆≥，进而可得ab 的值为1，将22a b a b+-可化为()222a b a b a b a b+=-+--，利用基本不等式可得结果. 【详解】因为220ax x b ++≥对于一切实数x 恒成立， 所以0a >，且440ab ∆=-≤，所以1≥ab ；再由0x R ∃∈，使20020ax x b ++=成立，可得440ab ∆=-≥，所以1ab ≤， 所以1ab =，因为a b >，即0a b ->，所以()()2222222a b ab a b a b a b a b a b-++==-+≥--- 当且仅当2a b a b-=-，即2a b -= 所以22a b a b+-的最小值为22故答案为：22【典例7】（2023·全国·高三专题练习）已知 5<4x ，求函数14145y x x =-+- 的最大值． 【答案】2 【解析】 【分析】 将14145y x x =-+-变形为[()1]54454y x x=--++-，利用基本不等式即可求得答案. 【详解】根据题意，函数()114545444554y x x x x ⎡⎤=-++=--++⎢⎥--⎣⎦， 又由54x <，则540x -> ，则()(115425425454)x x x x-+≥---⋅， 当且仅当15454x x-=-时，即1x =时取等号， 则1[(54)]424254y x x=--++≤-+=-, 故函数14145y x x =-+-的最大值为2. 【总结提升】形如()2ax bx c f x dx e +++＝的函数，可化为()11[()]f x x k m x k+++＝的形式，再利用基本不等式求解热点三 常数代换法求最值【典例8】（2023·全国·高三专题练习）在ABC 中，E 为AC 上一点，3AC AE =，P 为BE 上任一点，若(0,0)AP mAB nAC m n =+>>，则31m n+的最小值是（ ） A ．3B ．423+C ．6 D ．12【答案】D 【解析】 【分析】利用向量共线定理可得31m n +=，再根据3131(3)()m n m n m n+=++结合基本不等式即可得出答案． 【详解】 解：3AC AE =，∴3AP mAB nAC mAB nAE =+=+，,,P B E 三点共线，31m n ∴+=， ∴313199(3)()336212n m n m m n m n m n m n m n+=++=+++≥+⋅=， 当且仅当9n m m n=，132m n ==时取等号，所以31m n+的最小值是12. 故选：D ．【典例9】（2020·天津·高考真题）已知0,0a b >>，且1ab =，则11822a b a b+++的最小值为_________． 【答案】4 【解析】 【分析】根据已知条件，将所求的式子化为82a b a b+++，利用基本不等式即可求解. 【详解】0,0,0a b a b >>∴+>，1ab =,11882222ab ab a b a b a b a b∴++=++++ 882422a b a b a b a b++=+≥⨯=++，当且仅当a b +=4时取等号， 结合1ab =,解得23,23a b =-=+23,23a b ==. 故答案为：4【典例10】（2017·山东·高考真题（文））若直线1(00)x ya b a b+=＞，＞过点(1,2)，则2a b +的最小值为________． 【答案】8 【解析】 【分析】 由直线1(00)x y a b a b +=＞，＞过点(1,2)，可得121a b +=，从而有()1222a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，展开后利用基本不等式可求得其最小值 【详解】 解：因为直线1(00)x y a b a b+=＞，＞过点(1,2)，所以121a b +=，因为00a b ＞，＞所以()12442222428a b a b a b a b a b b a b a ⎛⎫+=++=+++≥+⋅ ⎪⎝⎭， 当且仅当4a bb a=，即2,4a b ==时取等号， 所以2a b +的最小值为8 故答案为：8 【总结提升】常数代换法主要解决形如“已知x ＋y ＝t (t 为常数)，求a b x y+的最值”的问题，先将a x ＋b y 转化为()a b x y x y t++⋅，再用基本不等式求最值． 热点四 基本不等式的实际应用【典例11】（2023·全国·高三专题练习）迷你KTV 是一类新型的娱乐设施，外形通常是由玻璃墙分隔成的类似电话亭的小房间，近几年投放在各大城市商场中，受到年轻人的欢迎．如图是某间迷你KTV 的横截面示意图，其中32AB AE ==，90A B E ∠=∠=∠=︒，曲线段CD 是圆心角为90︒的圆弧，设该迷你KTV 横截面的面积为S ，周长为L ，则SL的最大值为（ ）．（本题中取π=3进行计算）A ．6B ．12315-C ．3D ．9【答案】B 【解析】 【分析】根据面积和周长的计算,可得SL,根据基本不等式即可求解最大值. 【详解】圆弧的半径为3(0)2r r <<，则32BC ED r ==-，π322CD rl r ==．所以周长162CD L AB BC l DE EA r =++++=-，面积2223139[()]22244r r S r r =-+⨯⨯=-． 所以22191(12)24(12)135********12[(12)]122(12)12315212212212212S r r r r r L r r r r---+--=⋅=⋅=-⋅-+-⋅-⋅-----．当且仅当1351212r r-=-，12315r =- 故选：B【典例12】（2017·江苏·高考真题）某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是__________． 【答案】30 【解析】 【详解】 总费用为600900464()42900240x x x x +⨯=+≥⨯，当且仅当900x x=，即30x =时等号成立．故答案为30. 【总结提升】利用基本不等式解决实际问题的三个注意点(1)设变量时，一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数． (2)解题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围．(3)在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解，如利用()a f x x x＝＋(a ＞0)的单调性．热点五 利用均值不等式连续放缩求最值【典例13】（2022·江苏·南京市第一中学高三开学考试）已知0a b >>，且1,ab =则不正确的是（ ） A ．20a b +> B ．22log log 1a b +> C ．2222a b +>D ．22log log 0a b ⋅<【答案】B 【解析】 【分析】利用不等式的性质和基本不等式的应用，结合指数函数与对数函数的单调性，对选项逐一分析判断. 【详解】对A ，根据指数函数的性质20a b +>，故A 正确； 对B ，2222log log log log 10a b ab +===，故B 错误；对C ，因为22a b ab +≥=，当且仅当a b =取等号，所以22222242a b a b +≥≥>+，故C 正确；对D ，因为1ab =，且0a b >>，故10>>>a b ，22log 0,log 0a b ><，所以22log log 0a b ⋅<；故D 正确. 故选：B【典例14】（2021·天津·高考真题）若0 , 0a b >>，则21a b ab ++的最小值为____________． 【答案】22【解析】 【分析】两次利用基本不等式即可求出. 【详解】0 , 0a b >>，2211222222a a b b a b a b b b b b∴++≥⋅=+≥⋅ 当且仅当21a a b =且2b b=，即2a b ==所以21ab ab ++的最小值为2 故答案为：22 【总结提升】第一次使用基本不等式是对原不等式的一次放缩，并为第二次使用基本不等式创造了条件，因此要使结果为原不等式的最值，两次使用基本不等式等号成立的条件应该是一致的．【精选精练】一、单选题 1．（2023·全国·高三专题练习）已知02x <<，则24y x x =- ） A ．2 B ．4C ．5D ．6【答案】A 【解析】 【分析】由基本不等式求解即可 【详解】 因为02x <<，所以可得240x ->， 则()()2222244422x x y x x x x+-=-⋅-=，当且仅当224x x =-，即2x24y x x =-的最大值为2．故选：A ．2．（2023·全国·高三专题练习）已知a ＞0，b ＞0，且a +2b ＝ab ，则ab 的最小值是（ ） A ．4 B ．8 C ．16 D ．32【答案】B 【解析】 【分析】利用基本不等式可得答案. 【详解】∵已知a ＞0，b ＞0，且a +2b ＝ab ，∴ab 2a b ⋅ 化简可得ab ≥2∴ab ≥8，当且仅当a ＝2b 时等号成立， 故ab 的最小值是8， 故选：B ．3．（2022·江西·高三阶段练习（理））已知双曲线22:1(0,0)4n C mx y m n -=>>的一个焦点坐标为(1,0)-，当m n +取最小值时，C 的离心率为（ ） A 5B 3C ．2D 2【答案】B 【解析】 【分析】根据双曲线的标准方程可得22214,,1a b c m n===，根据,,a b c 的关系可得141m n +=，由基本不等式的求解即可得26n m ==，进而2311a m ==，即可求离心率. 【详解】由22:1(0,0)4n C mx y m n -=>>可得22114x y m n-=，所以22214,,1a b c m n===， 故可得141m n +=，所以(4144)5529n m n m m n m n m n m n m n ⎛⎫+=++=+++⋅= ⎪⎝⎭，当且仅当4n m m n =，即26n m ==时等号成立，所以2311a m ==，3a =1c =， 所以3==ce a故选：B ．4．（2021·浙江·高考真题）已知,,αβγ是互不相同的锐角，则在sin cos ,sin cos ,sin cos αββγγα三个值中，大于12的个数的最大值是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【答案】C 【解析】 【分析】利用基本不等式或排序不等式得3sin cos sin cos sin cos 2αββγγα++≤，从而可判断三个代数式不可能均大于12，再结合特例可得三式中大于12的个数的最大值. 【详解】法1：由基本不等式有22sin cos sin cos 2αβαβ+≤，同理22sin cos sin cos 2βγβγ+≤，22sin cos sin cos 2γαγα+≤，故3sin cos sin cos sin cos 2αββγγα++≤， 故sin cos ,sin cos ,sin cos αββγγα不可能均大于12. 取6πα=，3πβ=，4πγ=，则116161sin cos ,sin cos ,sin cos 4222αββγγα=<=>=>， 故三式中大于12的个数的最大值为2， 故选：C.法2：不妨设αβγ<<，则cos cos cos ,sin sin sin αβγαβγ>><<， 由排列不等式可得：sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos αββγγααγββγα++≤++，而()13sin cos sin cos sin cos sin sin 222αγββγαγαβ++=++≤，故sin cos ,sin cos ,sin cos αββγγα不可能均大于12.取6πα=，3πβ=，4πγ=，则116161sin cos ,sin cos ,sin cos 4222αββγγα=<=>=>， 故三式中大于12的个数的最大值为2， 故选：C.5．（2020·全国·高考真题（理））设O 为坐标原点，直线x a =与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的两条渐近线分别交于,D E 两点，若ODE 的面积为8，则C 的焦距的最小值为（ ） A ．4 B ．8 C ．16 D ．32【答案】B 【解析】 【分析】因为2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>，可得双曲线的渐近线方程是b y x a=±，与直线x a =联立方程求得D ，E 两点坐标，即可求得||ED ，根据ODE 的面积为8，可得ab 值，根据2222c a b =+结合均值不等式，即可求得答案. 【详解】2222:1(0,0)x y C a b a b-=>> ∴双曲线的渐近线方程是by x a=±直线x a =与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的两条渐近线分别交于D ，E 两点不妨设D 为在第一象限，E 在第四象限 联立x ab y x a =⎧⎪⎨=⎪⎩，解得x a y b =⎧⎨=⎩ 故(,)D a b联立x ab y x a =⎧⎪⎨=-⎪⎩，解得x a y b =⎧⎨=-⎩ 故(,)E a b - ∴||2ED b =∴ODE 面积为：1282ODE S a b ab =⨯==△双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>∴其焦距为2222222168c a b ab =+≥=当且仅当22a b == ∴C 的焦距的最小值：8故选：B.6．（2023·全国·高三专题练习）已知0a >，0b >，且2ab a b =+，若228a b m m +-恒成立，则实数m 的取值范围是( ) A ．426426m -+ B ．426m +或426m - C ．19m - D ．9m 或1m -【答案】C 【解析】 【分析】由题意化2ab a b =+为211b a=+，利用基本不等式求出2+a b 的最小值，再解关于m 的一元二次不等式即可． 【详解】解：0a >，0b >，且2ab a b =+，211b a∴=+， 1222222(2)()14529b a b aa b a b a b a b a b∴+=++=++++=，当且仅当3a b ==时取“=”； 若228a b m m +-恒成立， 则298m m -， 即2890m m --， 解得19m -，∴实数m 的取值范围是[1-，9]．故选：C ．7．（2023·全国·高三专题练习）已知ln ln 222+≥+-aa b b ，则a b +=（ ） A ．52B ．4C ．92D ．6【答案】A 【解析】 【分析】根据基本不等式可得22222+-≥ab ab ，当且仅当4a b =时取等号，从而可到ln()2≥ab ab ，再构造函数分析可得ln()220-≤ab ab ，从而得到ln()220-=ab ab ，再根据基本不等式取得最值时的关系求解即可 【详解】 由题意得ln()222≥+-a ab b ，因为0a >，0b >，所以22222+-≥ab ab ，当且仅当4a b =时取等号，所以ln()2≥ab ab ，令()ln 22=-f x x x ，则11()-='=xf x x x，当(0,1)x ∈，()0f x '>，()f x 单调递增；当(1,)x ∈+∞时，()0,()f x f x '<单调递减，所以()(1)0f x f ≤=，当且仅当1ab =时取等号，即ln()20-≤ab ab ，所以ln()220-=ab ab ，所以1ab =，所以12,2a b ==，所以52a b +=． 故选：A8.（2017·天津·高考真题（理））已知函数23,1,()2, 1.x x x f x x x x ⎧-+≤⎪=⎨+>⎪⎩设a R ∈，若关于x 的不等式()||2xf x a ≥+在R 上恒成立，则a 的取值范围是（ ） A ．47[,2]16-B ．4739[,]1616-C ．[3,2]-D ．39[23,]16- 【答案】A 【解析】 【详解】 不等式()2x f x a ≥+为()()2xf x a f x -≤+≤(*)， 当1x ≤时，(*)式即为22332xx x a x x -+-≤+≤-+，2233322x x a x x -+-≤≤-+，又22147473()241616x x x -+-=---≤-（14x =时取等号），223339393()241616x x x -+=-+≥（34x =时取等号），所以47391616a -≤≤， 当1x >时，(*)式为222x x a x x x --≤+≤+，32222x x a x x--≤≤+， 又3232()2322x x x x --=-+≤-23x =，22222x x x x+≥⨯=（当2x =时取等号）， 所以32a -≤≤， 综上47216a -≤≤．故选A ． 【考点】不等式、恒成立问题 【名师点睛】首先满足()2x f x a ≥+转化为()()22x xf x a f x --≤≤-去解决，由于涉及分段函数问题要遵循分段处理原则，分别对x 的两种不同情况进行讨论，针对每种情况根据x 的范围，利用极端原理，求出对应的a 的范围. 二、多选题9．（2022·全国·高考真题）（多选）若x ，y 满足221+-=x y xy ，则（ ） A ．1x y +≤ B ．2x y +≥- C ．222x y +≤ D ．221x y +≥【答案】BC 【解析】 【分析】根据基本不等式或者取特值即可判断各选项的真假． 【详解】因为22222a b a bab ++⎛⎫≤≤⎪⎝⎭（,a b R ），由221+-=x y xy 可变形为，()221332x y x y xy +⎛⎫+-=≤ ⎪⎝⎭，解得22x y -≤+≤，当且仅当1x y ==-时，2x y +=-，当且仅当1x y ==时，2x y +=，所以A 错误，B 正确；由221+-=x y xy 可变形为()222212x y x y xy ++-=≤，解得222x y +≤，当且仅当1x y ==±时取等号，所以C 正确；因为221+-=x y xy 变形可得223124y x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，设3cos sin 2y x y θθ-==，所以cos ,33x y θθθ==，因此2222511cos sin cos 12cos 233333x y θθθθ=θ-θ+=++42π2sin 2,23363θ⎛⎫⎡⎤=+-∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以当33x y ==221x y +≥不成立，所以D 错误．故选：BC ．10．（2020·海南·高考真题）（多选）已知a >0，b >0，且a +b =1，则（ ） A ．2212a b +≥B ．122a b -> C ．22log log 2a b +≥- D 2a b ≤【答案】ABD 【解析】 【分析】根据1a b +=，结合基本不等式及二次函数知识进行求解. 【详解】对于A ，()222221221a b a a a a +=+-=-+21211222a ⎛⎫⎪⎭+ ⎝≥-=，当且仅当12a b ==时，等号成立，故A 正确； 对于B ，211a b a -=->-，所以11222a b-->=，故B 正确；对于C ，2222221log log log log log 224a b a b ab +⎛⎫+=≤==- ⎪⎝⎭， 当且仅当12a b ==时，等号成立，故C 不正确； 对于D ，因为(21212a bab a b =+++=，2a b ≤12a b ==时，等号成立，故D 正确； 故选：ABD11．（2023·全国·高三专题练习）（多选）已知a ＜b ＜0，则下列不等式正确的是（ ） A ．a 2＞ab B ．ln （1﹣a ）＞ln （1﹣b ） C ．2a b ab+＞ D ．a +cos b ＞b +cos a【答案】ABC 【解析】 【分析】利用不等式的性质判断A ，利用对数函数的单调性判断B ，利用基本不等式判断C ，利用构造函数判断D. 【详解】A:∵a ＜b ＜0，∴a 2＞ab ，∴A 正确，B:∵a ＜b ＜0，1﹣a ＞1﹣b ，∴ln （1﹣a ）＞ln （1﹣b ），∴B 正确， C:∵a ＜b ＜0，∴2a bab --＞2a b ab -+＞C 正确， D:设f （x ）＝x ﹣cos x ，则()f x '＝1+sin x ≥0，∴f （x ）在R 上为增函数，∵a ＜b ＜0，∴a ﹣cos a ＜b ﹣cos b ，a +cos b ＜b +cos a ，∴D 错误． 故选：ABC ．12．（2022·江苏省如皋中学高三开学考试）（多选）若实数x ，y 满足1221x y ++=，m x y =+，111()()22-=+x y n ，则（ ）A ．0x <且1y <-B ．m 的最大值为3-C ．n 的最小值为7D ．22m n ⋅<【答案】ABD 【解析】 【分析】根据指数函数的性质判断A ，利用基本不等式判断B 、C ，根据指数幂的运算判断D ； 【详解】解：因为1221x y ++=，若0x ≥，则21x ≥，又120y +>，显然不成立，即0x <， 同理可得10y +<，所以1y <-，即0x <且1y <-，故A 正确； 又1111222222x y x y x y ++++=+≥⋅=1222x y ++-≤，所以3x y +≤-，当且仅当11222x y +==，即1x =-，2y =-时取等号，即m 的最大值为3-，故B 正确； 又()111111112222222244x y x y x y x y n +-++⎛⎫=+=+=+⋅+ ⎪⎝⎭ 111144552922222222y x y xx y xy ++++⋅⋅=⋅+≥+=+， 当且仅当1142222y xx y ++⋅=，即2log 3x =-，22log 13y =-时取等号，故C 错误；对于D ：()111112()()22222222m x y x y x y x y y x n -+--+++⎡⎤⋅=+⋅=+⋅=+⎢⎥⎣⎦，因为1221x y ++=，所以()12222x y ++=，即12222x y +++=，即12422x y ++⨯=，即122322x y y ++⨯=+，因为302y ⨯>，所以1222x y +<+，即22m n ⋅<，故D 正确； 故选：ABD 三、填空题13．（2020·江苏·高考真题）已知22451(,)x y y x y R +=∈，则22x y +的最小值是_______．【答案】45【解析】 【分析】根据题设条件可得42215y x y -=，可得4222222114+555y y x y y y y-+=+=，利用基本不等式即可求解.【详解】 ∵22451x y y +=∴0y ≠且42215y x y -=∴422222222114144+2555555y y y x y y y y y -+=+=≥⋅，当且仅当221455y y =，即2231,102x y ==时取等号. ∴22xy +的最小值为45.故答案为：45.14．（2019·天津·高考真题（文）） 设0x >，0y >，24x y +=，则(1)(21)x y xy++的最小值为__________. 【答案】92.【解析】 【分析】 把分子展开化为(1)(21)2212552x y xy x y xy xy xy xy xy++++++===+，再利用基本不等式求最值．【详解】由24x y +=，得2422x y xy +=≥2xy ≤(1)(21)221255592222x y xy x y xy xy xy xy xy ++++++===+≥+=，等号当且仅当2x y =，即2,1x y ==时成立． 故所求的最小值为92．15．（2018·江苏·高考真题）在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，120ABC ∠=︒，ABC ∠的平分线交AC 于点D ，且1BD =，则4a c +的最小值为________．【答案】9 【解析】 【详解】分析：先根据三角形面积公式得条件、再利用基本不等式求最值.详解：由题意可知，ABC ABD BCD S S S =+△△△,由角平分线性质和三角形面积公式得111sin1201sin 601sin 60222ac a c ︒=⨯⨯︒+⨯⨯︒，化简得11,1ac a c a c =++=，因此11444(4)()5529,c a c aa c a c a c a c a c+=++=++≥+⋅当且仅当23c a ==时取等号，则4a c +的最小值为9.16．（2018·天津·高考真题（理））已知,R a b ∈，且360a b -+=，则128ab+的最小值为_____________.【答案】14【解析】 【分析】由题意首先求得3a b -的值，然后结合均值不等式的结论整理计算即可求得最终结果，注意等号成立的条件. 【详解】由360a b -+=可知36a b -=-，且：312228aa b b -+=+，因为对于任意x ，20x >恒成立， 结合均值不等式的结论可得：336122222224a b a b ---+≥⨯=.当且仅当32236a b a b -⎧=⎨-=-⎩，即31a b =-⎧⎨=⎩时等号成立.综上可得128ab +的最小值为14. 17．（2022·全国·高考真题（理））已知ABC 中，点D 在边BC 上，120,2,2ADB AD CD BD ∠=︒==．当ACAB取得最小值时，BD =________． 31##3-【解析】 【分析】设220CD BD m ==>，利用余弦定理表示出22AC AB 后，结合基本不等式即可得解.【详解】设220CD BD m ==>，则在ABD △中，22222cos 42AB BD AD BD AD ADB m m =+-⋅∠=++，在ACD △中，22222cos 444AC CD AD CD AD ADC m m =+-⋅∠=+-，所以()()()2222224421214441243424211m m m AC m m AB m m m m m m ++-++-===-+++++++ ()4433211m m ≥=-+⋅+当且仅当311m m +=+即31m =时，等号成立， 所以当AC AB取最小值时，31m =. 31.四、解答题18．（2023·全国·高三专题练习）设函数2()(2)3(0)f x ax b x a =+-+≠．(1)若不等式()0f x >的解集(1,1)-，求a ，b 的值；(2)若(1)3f =，0a >，0b >，求11a b +的最小值，并指出取最小值时a ，b 的值． 【答案】(1)3,2a b =-=(2)1a =，1b =时，11a b+的最小值是2 【解析】【分析】（1）由根与系数的关系可得答案；（2）由(1)3f =得2a b +=，再利用基本不等式可得答案.(1)由()0f x >的解集是(1,1)-知1,1-是方程()0f x =的两根，由根与系数的关系可得311211a b a ⎧-⨯=⎪⎪⎨-⎪-+=-⎪⎩ 解得32=-⎧⎨=⎩a b ，即32a b =-=，.(2)由(1)3f =得2a b +=，0a >，0b >，11111()2a b a b a b ⎛⎫∴+=++ ⎪⎝⎭12222b a a b ⎛⎫≥⋅= ⎪ ⎪⎝⎭， 当且仅当b a a b =，即1a =，1b =时取等号，11a b∴+的最小值是2．。
高中数学 均值不等式
高中数学均值不等式
在高中数学中，均值不等式是一个重要的概念。
今天，本文将重点介绍均值不等式的概念及其应用。
均值不等式是一种数学定理，它表达了一组数据的均值和它们的最大值和最小值之间的关系。
具体来说，均值不等式指出：当一组数据的最大值加上最小值大于均值的两倍时，均值不等式成立。
其公式可以表示为：
xmin + xmax 2 * xmean
在实际应用中，均值不等式主要用来解决最大化或最小化问题。
例如，可以使用均值不等式来解决一些最优化问题，比如最小生成树问题。
此外，均值不等式也可以用来解决数据分类问题。
例如，假设有一组数据X1，X2，…，Xn，可以使用均值不等式来判断它们是否属于一个分类。
当X1 + X2 + + Xn > 2 * Xmean时，这些数据就属于同一个分类。
除此之外，均值不等式还可以用来检测数据是否有特殊分布性。
例如，当一组数据的最大值比最小值大得太多时，就可以用均值不等式来检测这种现象。
此外，均值不等式还可以用于统计研究，例如，当研究者希望比较两组数据的统计特征时，就可以利用均值不等式。
总的来说，均值不等式是一个重要的概念，它可以用于解决众多数学问题，例如最优化问题、分类问题以及检测数据是否有特殊分布性等等。
它的应用可以帮助人们更好地理解数据，从而更好地利用数
据解决世界上各种问题。
均值不等式的证明方法及应用
均值不等式的证明方法及应用1.均值不等式的证明方法：（1）严格证明法：通过构造具体的数学推理过程，使用数学定理、运算性质和逻辑推理方法，进行步步推导，最终得出结论。
例如，证明算术均值大于等于几何均值（对于任意非负实数a,b）时，可以先证明两者的平方之差大于等于0，然后进行变形运算、化简等步骤，直至得到最终结论。
（2）几何方法：通过对图形的分析和变换，运用几何性质和数学定理，从而得出结论。
例如，证明算术均值大于等于几何均值时，可以通过构造一个几何图形，使两个均值分别对应到该图形上的一些量，然后通过比较图形的各个部分，从而得到结论。
（3）代数方法：通过运用代数运算性质和数学定理，以及构造恰当的函数和不等式，从而得到结论。
例如，证明算术均值大于等于几何均值时，可以构造一个函数f(x)=ln(x)，然后运用函数的性质和不等式知识，通过对不等式的变形和运算，得到结论。
2.均值不等式的应用：（1）最优化问题：均值不等式广泛应用于数学中的最优化问题中。
通过运用均值不等式，可以简化复杂的优化问题，找到最优解。
例如，在求函数的最大值和最小值时，可以通过构造适当的均值不等式，将原问题转化为寻找等号成立的条件，从而求得最优解。
（2）证明其他不等式：均值不等式是不等式学中的一个基本方法，常常用来证明其他不等式。
通过将其他不等式进行变形、运算、配方等操作，可以将其转化为均值不等式的形式，从而得到结论。
例如，证明柯西-施瓦茨不等式、夹逼准则等，常常可以使用均值不等式进行证明。
（3）函数单调性：均值不等式常常用于研究函数的单调性。
通过将函数的表达形式进行变形和运算，得到函数值的不等式关系，从而推导出函数的单调性。
例如，通过均值不等式可以得到极限存在的条件，从而得到函数的单调性。
（4）数列极限：均值不等式也常用于研究数列的极限问题。
通过将数列的表达式进行变形和运算，可以得到数列值之间的不等式关系，从而研究数列的极限性质。
例如，通过均值不等式可以得到数列的单调性、有界性等，从而推导出数列的极限。
高中数学：均值不等式的应用
高中数学：均值不等式的应用均值不等式是高中数学中非常重要的基本定理，应用十分广泛。
一、求最值例1. 已知，则有（）A. 最大值B. 最小值C. 最大值1D. 最小值1解析：因为所以，当且仅当时等号成立，故选D。
小结：运用均值不等式是求解函数最值的方法之一，解题的关键是将分式拆成满足均值定理条件的式子，应特别注意不等式成立的条件。
二、求取值范围例2. 如图1，P是抛物线C：上一点，直线l过点P，且与抛物线C交于另一点Q，若直线l不过原点，且与x轴交于点S，与y轴交于点T，试求的取值范围。
图1解：设直线，依题意k≠0，b≠0，则T（0，b），又设P（x1，y1）、Q（y2，y2）由P、Q、T三点共线，得即则即，于是。
分别过P、Q作PP”⊥x轴，QQ”⊥x轴，垂足分别为P”、Q”，则∵，∴的取值范围是（2，）小结：本题的解题关键是根据题设条件将化简，运用均值定理求出最值，进而求出其取值范围。
三、比较大小例3. 已知函数（a＞0，且a≠1，），若，判断的大小，并加以证明。
分析：由于，联想到利用基本不等式可知两对数的真数的大小，再由对数函数的单调性，可知大小解：由已知得，（当且仅当时取“＝”号）。
当。
即有，（当且仅当时取“＝”号）；当。
即有（当且仅当时，取“＝”号）。
四、解实际应用题例4. 某单位用木料制作如图2所示的框架，框架的下部是边长分别为x，y（单位：m）的矩形，上部是等腰直角三角形，要求框架围成的总面积为8m2，问x，y分别为多少（精确到0.001m）时，用料最省？图2解：由题意得，即。
于是，框架用料长度为。
当时等号成立，此时，，故当x为2.343m，y为2.828m 时，用料最省。
小结：本题是应用问题考查的一道起步试题，解题的关键是先建立数学模型，得到相应的解析式后，再利用均值不等式去求函数的最小值。
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均值不等式及其应用
均值不等式及其应用一、均值不等式定义1.均值不等式：如果,0a b >，那么2a b +≥,当且仅当a b =时，式中等号成立. 对于均值不等式的理解：（1）对任意两个正实数,a b ，2a b +叫做,a b叫做,a b 的几何平均值.（2）均值不等式可以表述为：两个正实数的算术平均值大于或等于它的几何平均值.2.均值不等式的两种证明：（1）代数法：20,0,0222a b a b a b ++->>∴==≥，即2a b +≥.当且仅当a b =时，式中等号成立. （2）几何法：如图，AB 是圆O 的直径，点Q 是AB 上任一点，,AQ a BQ b ==，过点Q 作PQ 垂直AB 于Q ，连接,AP PB .易证Rt APQ Rt PBQ ∽，那么2PQ AQ QB =⋅，即PQ =22AB a b PO +==.根据三角形三边关系可得：PO PQ ≥，即2a b +≥当且仅当点Q 与圆心O 重合，即a b =时，等号成立.几何意义可简记为：“半径不小于半弦”要点提炼：（2）等号成立的条件：当且仅当a b =时取等号.常见基本不等式1.基本不等式：ab ≤a ＋b 2(1)基本不等式成立的条件：a ≥0，b ≥0.(2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号.(3)其中a ＋b 2称为正数a ，ba ，b 的几何平均数. 2.两个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号.(2)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号.3.利用基本不等式求最值已知x ≥0，y ≥0，则(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p (简记：积定和最小).(2)如果和x ＋y 是定值s ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是s 24(简记：和定积最大). 3.若0x >，则12x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”）;若0x <，则12x x+≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 若0x ≠，则11122-2x x x x x x+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 4.若0>ab ，则2≥+ab b a (当且仅当b a =时取“=”） 若0ab ≠，则22-2a b a b a b b a b a b a+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 5.若R b a ∈,，则2)2(222b a b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．（2）求最值的条件“一正，二定，三相等”(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用． 应用一：求最值1、基本题型例1：求下列函数的值域（1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x2、常见解题技巧：技巧一：凑项（不正时）例1：已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。
均值不等式及其在数学证明中的应用
均值不等式及其在数学证明中的应用均值不等式是数学中一种重要的不等式关系，它在不同领域的数学证明中发挥着重要的作用。
本文将介绍均值不等式的概念和常见形式，并探讨其在数学证明中的应用。
一、均值不等式的概念和常见形式均值不等式是指对于一组数的平均值，其大小关系与这组数的取值有关。
常见的均值不等式有算术平均值不小于几何平均值、几何平均值不小于调和平均值等。
以算术平均值不小于几何平均值为例，对于正实数$a_1,a_2,\dots,a_n$，它们的算术平均值和几何平均值分别为$\frac{a_1+a_2+\dots+a_n}{n}$和$(a_1a_2\dotsa_n)^{\frac{1}{n}}$，则有不等式关系：$$\frac{a_1+a_2+\dots+a_n}{n}\geq(a_1a_2\dots a_n)^{\frac{1}{n}}$$二、均值不等式在数学证明中的应用1. 不等式证明均值不等式在不等式证明中经常被使用。
通过运用均值不等式，可以将一个复杂的不等式问题转化为一个简单的均值不等式问题，从而简化证明过程。
例如，对于正实数$a,b$，要证明$a^2+b^2\geq2ab$，可以通过应用均值不等式来证明。
首先，我们将$a^2$和$b^2$分别表示为$a^2=b\cdot a$和$b^2=a\cdot b$，然后应用几何平均值不小于算术平均值的均值不等式，得到：$$\sqrt{a^2\cdot b^2}\geq\frac{a+b}{2}$$进一步化简得到$a^2+b^2\geq2ab$，即所要证明的不等式。
2. 极值问题均值不等式在极值问题中也有广泛的应用。
通过运用均值不等式，可以确定一个函数的最大值或最小值。
例如，对于正实数$a,b$，要求函数$f(x)=ax^2+bx$的最小值。
我们可以通过应用均值不等式来解决这个问题。
首先，我们将$f(x)$表示为$f(x)=ax^2+bx=ax^2+\frac{b}{2}x+\frac{b}{2}x$，然后应用算术平均值不小于几何平均值的均值不等式，得到：$$\frac{ax^2+\frac{b}{2}x+\frac{b}{2}x}{3}\geq\sqrt[3]{a\left(\frac{b}{2}\right)^ 2x^3}$$进一步化简得到$f(x)\geq3\sqrt[3]{\frac{ab^2}{4}}$，即函数$f(x)$的最小值为$3\sqrt[3]{\frac{ab^2}{4}}$。
高中数学均值不等式的十一大方法与八大应用(解析版)
均值不等式的“十一大方法与八大应用”目录一、重难点题型方法11.方法一：“定和”与“拼凑定和”方法二：“定积”与“拼凑定积”方法三：“和积化归”方法四：“化1”与“拼凑化1”方法五：“不等式链”方法六：“复杂分式构造”方法七：“换元法”方法八：“消元法”方法九：“平方法”方法十：“连续均值”方法十一：“三元均值”应用一：在常用逻辑用语中的应用应用二：在函数中的应用应用三：在解三角形中的应用应用四：在平面向量中的应用应用五：在数列中的应用应用六：在立体几何中的应用应用七：在直线与圆中的应用应用八：在圆锥曲线中的应用二、针对性巩固练习重难点题型方法方法一：“定和”与“拼凑定和”【典例分析】典例1-1．(2021·陕西省神木中学高二阶段练习)若x>0，y>0，且2x+3y=6，则xy最大值为( )A.9B.6C.3D.32【答案】D【分析】由x>0，y>0，且2x+3y为定值，利用基本不等式求积的最大值.【详解】因为x>0，y>0，且2x+3y=6，所以xy=16×2x⋅3y≤162x+3y22=32，当且仅当2x=3y，即x=32，y=1时，等号成立，即xy的最大值为3 2.故选：D.典例1-2．(2022·湖南·雅礼中学高三阶段练习)已知x>0,y>0，且x+y=7，则1+x2+y的最大值为( )A.36B.25C.16D.9【答案】B【分析】由x+y=7，得x+1+y+2=10，再利用基本不等式即可得解.【详解】解：由x+y=7，得x+1+y+2=10，则1+x2+y≤1+x+2+y22=25，当且仅当1+x=2+y，即x=4,y=3时，取等号，所以1+x2+y的最大值为25.故选：B.【方法技巧总结】1.公式：若a,b∈R*，则a+b≥2ab(当且仅当a=b时取“=”)推论：(1)若a,b∈R，则a2+b2≥2ab(2)a+1a≥2(a>0)(3)ba+ab≥2(a,b>0)2.利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：“一正二定三相等”(1)“一正”就是各项必须为正数；(2)“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；(3)“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方，注意多次运用不等式，等号成立条件是否一致.3.技巧：观察积与和哪个是定值，根据“和定积动，积定和动”来求解，不满足形式的可以进行拼凑补形。
高中数学：均值定理、均值不等式的证明及应用
高中数学：均值定理、均值不等式的证明及应用知识梳理1. 基本不等式，若a>b>0，m>0，则；若a，b同号且a>b，则。
2. 均值不等式：两个正数的均值不等式：，变形式：，等。
3. 最值定理：设（1）如果x，y是正数，且积，则x＝y 时，（2）如果x，y是正数，且和，则x＝y时，运用最值定理求最值的三要素：一正二定三相等。
典型例题知识点一：利用均值不等式求最值例1：已知且满足，求的最小值。
分析：利用，构造均值不等式。
利用基本不等式求最值要注意“一正二定三相等”即（1）要求各数均为正数；（2）要求“和”或“积”为定值；（3）要注意是否具备等号成立的条件。
解析：∵，，∴，，当且仅当时等号成立，即，∴，又，∴∴当时，有最小值18。
例2：（1）已知0＜x＜，求函数y＝x（1－3x）的最大值；（2）求函数y＝x+的值域。
分析：（1）由极值定理，可知需构造某个和为定值，可考虑把括号内外x的系数变成互为相反数；（2）中，未指出x＞0，因而不能直接使用基本不等式，需分x＞0与x＜0两种情况讨论。
利用基本不等式求积的最大值，关键是构造和为定值，为使基本不等式成立创造条件，同时要注意等号成立的条件是否具备。
解析：（1）解法一：∵0＜x＜，∴1－3x＞0。
∴y＝x（1－3x）＝·3x（1－3x）≤［］2＝，当且仅当3x＝1－3x，即x＝时，等号成立。
∴x＝时，函数取得最大值，解法二：∵0＜x＜，∴－x＞0。
∴y＝x（1－3x）＝3x（－x）≤3（）2＝，当且仅当x＝－x，即x＝时，等号成立。
∴x＝时，函数取得最大值。
（2）解：当x＞0时，由基本不等式，得y＝x+≥2＝2，当且仅当x＝1时，等号成立。
当x＜0时，y＝x+＝－［（－x）+］。
∵－x＞0，∴（－x）+≥2，当且仅当－x＝，即x＝－1时，等号成立。
∴y＝x+≤－2。
综上，可知函数y＝x+的值域为（－∞，－2］∪［2，+∞）。
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【例1】 若0x >，则4
y x x
=+的最小值是___________．
【例2】 设0a b c >>>，则221121025()
a ac c a
b a a b +
+-+-的最小值是（ ） A ．2 B ．4 C ．25 D ．5
【例3】 若,,A B C 为ABC △的三个内角，则41
A B C
+
+的最小值为 ．
典例分析
均值不等式的应用
【例4】 设0,0,24a b a b ab >>++=，则（ ）
A ．a b +有最大值8
B ．a b +有最小值8
C ．ab 有最大值8
D ．ab 有最小值8
【例5】 已知：a b +∈R 、（其中+R 表示正实数），
求证：22222()2
113()2a b a ab b a b a b a b a b
+++++++≥．
【例6】 设,,0a b c >，求证：3333a b c abc ++≥，当且仅当a b c ==时等号成立，
进一步证明：3
1113a b c a b c
++++，当且仅当a b c ==时各等号成立．
【例7】 经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量y （千辆/
小时）与汽车的平均速度v （千米/小时）之间的函数关系为：
2920(0)31600
v
y v v v =
>++．
⑴在该时段内，当汽车的平均速度v 为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？（精确到0.1千辆/小时）
⑵若要求在该时段内车流量超过10千辆/小时，则汽车的平均速度应在什么范围内？
【例8】 某种汽车购车费用是10万元，每年使用的保险费、养路费、汽油费和约为0.9万
元，年维修费第一年是0.2万元，以后逐年递增0.2万元．问这种汽车使用多少年报废最合算?(最佳报废时间也就是年平均费用最低的时间)
【例9】 如图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目（即图
中阴影部分），这两栏的面积之和为218000cm ，四周空白的宽度为10cm ，两栏之间的中缝空白的宽度为5cm ，怎样确定广告的高与宽的尺寸（单位：cm ），能使矩形广告面积最小？
【例10】 如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀
箱．污水从A 孔流入，经沉淀后从B 孔流出．设箱体长度为a 米，高度为b 米．已知流出的水中，杂质的质量分数与,a b 的乘积ab 成反比．现有制箱材料60平方米，问当,a b 各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最
小(,A B 孔的面积忽略不计)
2
B
A
b
【例11】设计一幅宣传画，要求画面面积为2
4840cm，画面的宽与高的比为(1)
λλ<，画面的上下各留8cm的空白，左右各留5cm的空白，问怎样确定画面的高与宽的
尺寸，能使宣传画所用纸张面积最小？如果
23
,
34
λ⎡⎤
∈⎢⎥
⎣⎦
，那么λ为何值时，能
使宣传画所用纸张面积最小？
【例12】某单位用木料制作如图所示的框架，框架的下部是边长分别为,x y(单位：m)的矩形．上部是等腰直角三角形. 要求框架围成的总面积2
8m. 问,x y分别为多少(精确到0.01m) 时用料最省?
【例13】 某村计划建造一个室内面积为8002m 的矩形蔬菜温室．在温室内，沿左．右两
侧与后侧内墙各保留1m 宽的通道，沿前侧内墙保留3m 宽的空地．当矩形温室的边长各为多少时？蔬菜的种植面积最大．最大种植面积是多少？
【例14】 对1个单位质量的含污物体进行清洗，清洗前其清洁度（含污物体的清洁度定
义为：1-
污物质量
）
物体质量（含污物）
为0.8，要求清洗完后的清洁度为0.99．有两种方案可供选择，方案甲：一次清洗；方案乙： 分两次清洗．该物体初次清洗后受残留水等因素影响，其质量变为(13)a a ≤≤．设用x 单位质量的水初次清洗后的清洁度是
0.8
1
x x ++(1)x a >-，
用y 单位质量的水第二次清洗后的清洁度是y ac
y a
++，其中c (0.80.99)c <<是该物体初次清洗后的清洁度． ⑴分别求出方案甲以及0.95c =时方案乙的用水量，并比较哪一种方案用水量较少；
⑵若采用方案乙，当 1.4a =时，如何安排初次与第二次清洗的用水量，使总用水量最小?
【例15】 按照某学者的理论，假设一个人生产某产品的单件成本为a 元，如果他卖出该
产品的单价为m 元，则他的满意度为m
m a
+；如果他买进该产品的单价为n 元，则他的满意度为
a
n a
+．如果一个人对两种交易（卖出或买进）的满意度分别为
1h 和2h
现假设甲生产A 、B 两种产品的单件成本分别为12元和5元，乙生产A 、B 两种产品的单件成本分别为3元和20元，设产品A 、B 的单价分别为A m 元和B m 元，甲买进A 与卖出B 的综合满意度为h 甲，乙卖出A 与买进B 的综合满意度为h 乙；
⑴求h 甲和h 乙关于A m 、B m 的表达式；当3
5
A B m m =时，求证：h 甲=h 乙；
⑵设3
5
A B m m =，当A m 、B m 分别为多少时，甲、乙两人的综合满意度均最大？最
大的综合满意度为多少？
⑶记⑵中最大的综合满意度为0h ，试问能否适当选取A m 、B m 的值，
使得0h h 甲≥和0h h 乙≥同时成立，但等号不同时成立？试说明理由．。