勾股定理的探索方法及教法(最全)word资料

勾股定理的探索方法及教法(最全)word资料勾股定理的探索方法及教法岗子中学齐玲玲2020 年4月内容摘要:勾股定理的三种探索方法及教法,主要有以下三个方面:1.数格子，即在格子纸上建构直角三角形及相关正方形，通过数格子探索其面积关系与勾股定理的联系；2.拼图法的运用，通过补直角三角形和割直角三角形，表示其相关的面积关系导出勾股定理;3.无字证明，“青朱出入图”等面积填补法直观易懂的探索出勾股定理。

关键词：勾股定理、数格子、拼图法、补直角三角形、割直角三角形、青朱出入图、直观易懂。

勾股定理的悠久广远，它的发现与证明是古代人类智慧的鉴定和骄傲。

古巴比伦人和古代中国人看出了这一关系，古希腊的华达哥拉斯学派首先证明了这个关系,总结其法，趣味无穷，我主要从下面三种探索方法及教法谈起。

一、数格子。

即在格子纸上构造直角三角形，以它的勾、股、弦为三个边长分别建立相关正方形（尽量取易数的完整格子）通过学生数格子，得出以勾为边长形成的正方形的面积，加上以股为边长的正方形的面积之和，等于以弦为边长的正方形的面积。

（如图1）再适当引导：这三个正方形的面积与这个直角三角形的三边有什么关系？（每个方格为一个面积单位）学生发言说出结论： S A+S B=9+9=18=S cS A’+S B’=4+4=8=S C'讲解：它们各自的面积刚好就是这个直角三角形勾的平方，股的平方和弦的平方。

学生自己得出：直角三角形，两直角边的平方之和等于斜边的平方这一理论.令:勾--------a股--------b弦--------c则它们之间的关系又可以用怎样的表达式呢？学生说出：a2+b2=c2老师板书其内容。

这样就可以通过最直观形象的图形加上简单的理论证明，让学生观察、归纳、总结出勾股定理的由来。

二、拼图法的运用。

拼图法的运用又分为两个方案：第一种方案“补”；第二种方案“切割”.（一）“补”,即“作出RT△ABC，分别以它的勾、股、弦为正方形的边长，作出三个正方形，延长它的两条直角边a、b到以c为边长的正方形的外部，过以斜边c为边长的正方形上顶点，右顶点，在它的外部分别补作平行于a、b的线段作一个大的正方形。

也就是给以c为边长的正方形外补上三个全等于RT△ABC的直角三角形.如图2所示：我先让学生直观的理解补图全过程，再让学生在图中标出正方形的其余线段a、b、c的名称，然后引导学生思考：⑴最大的正方形的面积怎样表示？学生发言，并小结：a.看作以a+b为边长的正方形,则S大正方形=(a+b)2；b.看作以c为边长的正方形以及4个以a、b为两直角边的直角三角形五部分组成，则S大正方形=c2+（1／2）ab×4⑵这两种表达方式有什么关系？怎样表示它们的关系？（相同）即：（a+b）2=c2+（1／2）ab×4⑶这与我们所讲的勾股定理 a2+b2=c2又有什么联系呢？怎样推理？学生说出推理思路及过程，老师小结并板出：把（a+b）2=c2+（1／2）ab×4变形化简即：（a+b）2=c2+2aba2+2ab+b2=c2+2aba2+b2=c2（符合勾股定理）（二）“切割“即：以勾—a，股—b，弦—c分别为直角三角形的三边作一个直角三角形,再分别以它们各自为三个正方形的边长作三个正方形.延长a、b到以c为边长的正方形的上、右顶点，在它的内部作互相垂直的线段，把这个正方形切害成四个全等的直角三角形和中间一个小的正方形。

（如图3所示）（切割出的正方形内部组成的也就是我国数学家赵爽在《周髀算经》中提出的弦图）图3即《北师大版八年级数学》（上册）第8页的图1-6.先让学生看清切割方法及图的由来，指名说出图中其余线段的名称a、b、c，并标出切割图中线段的名称，引导学生：（1）中间小正方形的面积怎样表示?(也可以换个角度表示以C 为边长的正方形的面积）学生发言，教师小结并板书：a.看作以（b-a）为边长的小正方形的面积，则：S小正方形=(b-a)2b.看作以c为边长的正方形内部由4个全等的直角三角形和一个正方形组成，则：S小正方形=c2-(1／2)ab×4（2）两个表示式子有什么关系？（相等）即：(b-a)2=c2-(1／2)ab×4（3）它与勾股定理有什么联系？怎么样探索它们之间的关系？学生口述联系的探索方法及过程。

把c2-(1／2)ab×4=(b-a)2变形，即:(b-a)2=c2-(1／2)ab×4b2-2ab+a2=c2-2aba2+b2=c2—即勾股定理.这种方法主要是通过“补、切”拼图，再运用初一数学“字母表示数”的知识，正确表示有关图形的面积，建立等量关系，并将等式变形而得出的结论，从而探索出勾股定理。

三、无字的证明。

1.青朱出入图:（1）首先我向学生讲明并演示“青朱出入图”的成图过程。

以勾—a，股—b，弦—c作RT△ABC,再分别以a、b、c为正方形的边长作三个正方形，把以a为边长的正方形向右平移，使它最左的边与RT△ABC的勾—a重合，再把以c为边长的正方形向左下方平移，使它斜上方的边与RT△ABC的弦重合.（如图4）（即《北师大版八年级数学》（上册）(第十二页的图1-11)（2）再讲解各部分名称及缘由。

讲：以勾—a为边长的正方形叫朱方，以股—b为边长的正方形叫青方，以弦—c为边长的正方形叫弦方。

并在图中标明：朱方、青方、弦方。

讲：朱方在弦方以外的称朱出，青方在弦方以外的称青出，先标出朱出及两个青出，再在弦方以内找出与之对应的图形，与朱出对应的标为朱入，与青出相对应的标为青入。

（如图5）即《北师大版八年级数学》（上册)第十三页的图1-12.（图见下一页）这样，学生就对“青朱出入图”的成图过程有了整体认识。

（3）“无字证明”的引导。

问：“以盈补虚”,你明白是什么意思吗？学生发表理解。

小结：“以盈补虚”即把弦方以外的部分—朱出、青出补入弦方以内相对应的朱入、青入，刚好补成一个弦方，而刚好填补完了青方和朱方的总面积。

即：S朱方+S青方=S弦方a2+b2=c2不需要理论推导，只要图形的相关移动，填补便可得出勾股定理。

2.达·芬奇对勾股定理的研究：借助意大利文艺复兴时代的著名画家达·芬奇对勾股定理的研究进行探究引导。

其实验方法分为四个步骤。

（图6）（1）在一张长方形的纸板上画两个边长分别为a、b的正方形（即正方形ABOF和正方形COED）,并连接BC、FE（如图①所示）（2）沿 ABCDEFA剪下，得到两个大小相同的纸板：I、II，如图②所示。

（3）将纸板II翻转后与I拼成如图③所示的图形。

（4）比较图①、图③中两个多边形ABCDEF和A′B′C′D′E′F′的面积，验证勾股定理。

⑴可以先让学生先动手根据步骤做一做,通过作图实践,全面认识成图过程,及图中的一些等量关系,得出:图③和图①中多边形ABCDEF和多边形A′B′C′D′E′F′的面积相等（因为图①和图③中原长方形纸板的面积没变。

）⑵引导学生：图①中和图③中的RT△BOC和RT△B′A′F′;RT△FOE和RT△E′D′C′的面积分别全等。

如果两图中互相抵消两对直角三角形的面积，则图①中剩下的空白部分面积，S正方形ABOF和S正方形COED的总面积等于图③中剩下的空白部分——S正方形B′C′E′F′.而图①中正方形ABOF的边长是以RT△BOC的直角边a为边长，正方形COED的边长是以RT△BOC的另一条直角边b为边长,图③中的正方形B′C′E′F′的边长是图①中RT△BOC的斜边BC(即:c)为边长.问:图①和图③中的空白部分面积关系共有哪几种表示形式?学生口答,老师小结:两种:①S正方形ABOF+S正方形COFD=S正方形B′C′E′F′②a2+b2=c2这样的证明，没有繁琐的公式推导，只是通过纸板变化前后面积不变，剪切图形的面积不变，再拼凑填补，列出面积等量关系而导出勾股定理。

3．正方形“填心”法:即：作RT△ABC，分别以勾—a，股—b，弦—c为边长作出三个正方形，过较大正方形（即以b为边长的正方形）的中心，作两条互相垂直的线段（水平方向和铅垂方向），将其分成4份，然后，将这四部分按顺时针方向围在四周，每部分顺时针旋转180°），把以勾—a为边长作的小正方形填在中间，恰好得到最大的正方形（即以c 为边长的正方形）。

（如图7所示）即《北师大版八年级数学》（上册）“联系拓广”的图。

（图见下一页）（1）作图之前先向学生讲明：正方形中心的确定方法。

问：怎么样确定正方形的中心？讲明：正方形的两条对角线的交点就是正方形的中心。

（2）让学生亲自作图并剪切拼图，为增加趣味还可让学生给分成的4个部分分别涂上不同的颜色。

在班级内展示优秀手工作业。

（3）让学生自己说出作图过程及得出的结论，以勾—a为边长，股—b为边长作的两个正方形的总面积，刚好填补完了以弦—c为边长的正方形的面积。

即：a2+b2=c2不需要公式的推导，学生便会通过实践轻而易举的证明勾股定理。

关于勾股定理的探索方法也可以让学生查询课本以外的书籍或在网络上查询其他的探索方法，通过学生实践、收集资料、整理资料，培养学生课外学习的兴趣，训练学生收集数学知识——整理数学知识——归纳数学知识的能力，为学生自主、深入的学习奠定良好的基础。

a2+c2=b2,c=b2-a2!=42-32!=!7(cm).二、忽视定理成立的条件例2在边长都是整数的△ABC 中,AB>AC,如果AC=4cm,BC=3cm,求AB的长.误解:由“勾3股4弦5”知AC=4cm,BC=3cm,AB>AC,∴AB=5cm.剖析:这种解法受“勾3股4弦5”思维定势的影响,见题中有BC=3,AC=4,就认为AB=5,而忘记了“勾3股4弦5”是在直角三角形的条件下才成立,而本题中没有指明是直角三角形,因此,只能用三角形三条边之间的关系来解。

欧几里得在他的《几何原本》中给出了勾股定理的推广定理：“直角三角形斜边上的一个直边形，其面积为两直角边上两个与之相似的直边形面积之和”。

从上面这一定理可以推出下面的定理：“以直角三角形的三边为直径作圆，则以斜边为直径所作圆的面积等于以两直角边为直径所作两圆的面积和”。

勾股定理还可以推广到空间：以直角三角形的三边为对应棱作相似多面体，则斜边上的多面体的表面积等于直角边上两个多面体表面积之和。

若以直角三角形的三边为直径分别作球，则斜边上的球的表面积等于两直角边上所作二球表面积之和。

总之，在勾股定理探索的道路上，我们走向了数学殿堂。

勾股定理本章常用知识点:1、勾股定理:直角三角形两直角边的a,b,c 分别表示直角三角形的两直角边和斜边,那么勾股定理可以表示为:勾股逆定理:如果直角三角形三边长 a 、 b 、 c 满足,那么这个三角形是三角形。