勾股定理的探索方法及教法(最全)word资料

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全)word资料

勾股定理的探索方法及教法

岗子中学

齐玲玲

2020 年4月

内容摘要:勾股定理的三种探索方法及教法,主要有以下三个方面:1.数格子，即在格子纸上建构直角三角形及相关正方形，通过数格子探索其面积关系与勾股定理的联系；2.拼图法的运用，通过补直角三角形和割直角三角形，表示其相关的面积关系导出勾股定理;3.无字证明，“青朱出入图”等面积填补法直观易懂的探索出勾股定理。

关键词：勾股定理、数格子、拼图法、补直角三角形、割直角三角形、青朱出入图、直观易懂。

勾股定理的悠久广远，它的发现与证明是古代人类智慧的鉴定和骄傲。古巴比伦人和古代中国人看出了这一关系，古希腊的华达哥拉斯学派首先证明了这个关系,总结其法，趣味无穷，我主要从下面三种探索方法及教法谈起。

一、数格子。

即在格子纸上构造直角三角形，以它的勾、股、弦为三个边长分别建立相关正方形（尽量取易数的完整格子）通过学生数格子，得出以勾为边长形成的正方形的面积，加上以股为边长的正方形的面积之和，等于以弦为边长的正方形的面积。（如图1）

再适当引导：这三个正方形的面积与这个直角三角形的三边有什么关系？

（每个方格为一个面积单位）

学生发言说出结论： S A+S B=9+9

=18

=S c

S A’+S B’=4+4

=8

=S C'

讲解：它们各自的面积刚好就是这个直角三角形勾的平方，股的平方和弦的平方。学生自己得出：直角三角形，两直角边的平方之和等于斜边的平方这一理论.

令:勾--------a

股--------b

弦--------c

则它们之间的关系又可以用怎样的表达式呢？

学生说出：a2+b2=c2

老师板书其内容。

这样就可以通过最直观形象的图形加上简单的理论证明，让学生观察、归纳、总结出勾股定理的由来。

二、拼图法的运用。

拼图法的运用又分为两个方案：第一种方案“补”；第二种方案“切割”.

（一）“补”,即“作出RT△ABC，分别以它的勾、股、弦为正方形的边长，作出三个正方形，延长它的两条直角边a、b到以c为边长的正方形的外部，过以斜边c为边长的正方形上顶点，右顶点，在它的外部分别补作平行于a、b的线段作一个大的正方形。也就是给以c为边长的正方形外补上三个全等于RT△ABC的直角三角形.如图2所示：

我先让学生直观的理解补图全过程，再让学生在图中标出正方形的其余线段a、b、c的名称，然后引导学生思考：

⑴最大的正方形的面积怎样表示？

学生发言，并小结：

a.看作以a+b为边长的正方形,则S大正方形=(a+b)2；

b.看作以c为边长的正方形以及4个以a、b为两直角边的直角三角形五部分组成，则S大正方形=c2+（1／2）ab×4

⑵这两种表达方式有什么关系？怎样表示它们的关系？

（相同）即：（a+b）2=c2+（1／2）ab×4

⑶这与我们所讲的勾股定理 a2+b2=c2又有什么联系呢？怎样推理？

学生说出推理思路及过程，老师小结并板出：

把（a+b）2=c2+（1／2）ab×4变形化简

即：（a+b）2=c2+2ab

a2+2ab+b2=c2+2ab

a2+b2=c2

（符合勾股定理）

（二）“切割“即：以勾—a，股—b，弦—c分别为直角三角形的三边作一个直角三角形,再分别以它们各自为三个正方形的边长作三个正方形.延长a、b到以c为边长的正方形的上、右顶点，在它的内部作互相垂直的线段，把这个正方形切害成四个全等的直角三角形和中间一个小的正方形。（如图3所示）（切割出的正方形内部组成的也就是我国数学家赵爽在《周髀算经》中提出的弦图）图3即《北师大版八年级数学》（上册）第8页的图1-6.

先让学生看清切割方法及图的由来，指名说出图中其余线段的名称a、b、c，并标出切割图中线段的名称，引导学生：

（1）中间小正方形的面积怎样表示?(也可以换个角度表示以C 为边长的正方形的面积）

学生发言，教师小结并板书：

a.看作以（b-a）为边长的小正方形的面积，则：S小正方形=(b-a)2

b.看作以c为边长的正方形内部由4个全等的直角三角形和一个正方形组成，则：S小正方形=c2-(1／2)ab×4

（2）两个表示式子有什么关系？

（相等）即：(b-a)2=c2-(1／2)ab×4

（3）它与勾股定理有什么联系？怎么样探索它们之间的关系？学生口述联系的探索方法及过程。

把c2-(1／2)ab×4=(b-a)2变形，

即:(b-a)2=c2-(1／2)ab×4

b2-2ab+a2=c2-2ab

a2+b2=c2—即勾股定理.

这种方法主要是通过“补、切”拼图，再运用初一数学“字母表示数”的知识，正确表示有关图形的面积，建立等量关系，并将等式变形而得出的结论，从而探索出勾股定理。

三、无字的证明。

1.青朱出入图:

（1）首先我向学生讲明并演示“青朱出入图”的成图过程。

以勾—a，股—b，弦—c作RT△ABC,再分别以a、b、c为正方形的边长作三个正方形，把以a为边长的正方形向右平移，使它最左的边与RT△ABC的勾—a重合，再把以c为边长的正方形向左下方平移，使它斜上方的边与RT△ABC的弦重合.（如图4）（即《北师大版八年级数学》（上册）(第十二页的图1-11)

（2）再讲解各部分名称及缘由。

讲：以勾—a为边长的正方形叫朱方，以股—b为边长的正方形叫青方，以弦—c为边长的正方形叫弦方。并在图中标明：朱方、青