多元函数可微的判定

浅谈多元函数的持续及可微

浅析多元函数的持续及可微
摘要：在学习多元函数以前，咱们关于一元函数的熟悉都是超级熟悉的，对一元函数持续、可微之间的关系也都超级清楚.而多元函数是一元函数的推行，它具有比一元函数更复杂的性质.就一样的二元函数来讲，学习数学分析以后，咱们明白当二元函数的两个偏导数都持续时，函数可微.第一证明了当二元函数的一个偏导数存在，另一个偏导数持续时，函数可微.然后考虑了一样的多元函数的情形，取得了当多元函数的某个偏导数持续，而其余偏导数存在时，函数可微.由此可见可微性与偏导存在性间的关系是复杂的.本文通过具体实例对多元微分学中的几个重要概念间的进行分析讨论，要紧研究二元函数的持续性，偏导存在性，可微性等概念和它们之间因果关系.在了解本文以后，读者会对多元函数有更深刻的熟悉！
关键词：可微; 偏导数; 持续。

多元函数的连续性与可微性

多元函数的连续性与可微性多元函数的连续性与可微性是微积分的重要概念。

在解析几何中，我们经常需要研究多元函数的性质，而连续性与可微性是我们理解和分析多元函数的基础。

在本文中，我将讨论多元函数的连续性与可微性的概念、定义以及它们在实际问题中的应用。

首先，我们来定义多元函数的连续性。

假设有一个定义在某个区域D上的多元函数f(x1, x2, ..., xn)，其中x1, x2, ..., xn为自变量。

我们称函数f在某点(a1, a2, ..., an)处连续，如果当自变量x1, x2, ..., xn逐渐接近(a1, a2, ..., an)时，函数值f(x1, x2, ..., xn)也逐渐接近f(a1, a2, ..., an)。

用数学语言表达，即：lim┬(x→a) ⁡f(x) = f(a)其中，lim表示极限的概念。

如果函数f在集合D的每个点都连续，我们称函数f在D上连续。

那么，多元函数的可微性又是什么意思呢？我们称多元函数f(x1,x2, ..., xn)在某点(a1, a2, ..., an)处可微，如果该函数在该点附近的某个区域内有一个线性逼近函数。

这个线性逼近函数被称为多元函数的导数。

用数学语言表达，即：f(x1, x2, ..., xn) ≈ f(a1, a2, ..., an) + ∑┬(i=1)ⁿ ∂f/∂xi (a1, a2, ..., an)(xi - ai)其中，∂f/∂xi表示函数f对自变量xi的偏导数，xi - ai表示自变量与其对应的变化量。

连续性与可微性是密切相关的，一般来说，可微性是连续性的强化形式。

根据数学定义，若一个函数在某点可微，那么它在该点也是连续的。

而连续函数并不一定可微。

多元函数的连续性与可微性在数学中具有广泛的应用。

例如，在物理学中，我们经常需要利用多元函数来描述物体的运动轨迹、能量分布等。

通过研究函数的连续性，我们可以了解物体在不同时刻的位置、速度以及加速度等信息。

多元函数连续,可导,可微之间的关系

多元函数连续,可导,可微之间的关系
函数在数学研究中有重要的作用，是数学的基础，也是理解数学模型的关键。

本文讨论的是多元函数的连续性、可导性和可微性之间的关系。

首先，要弄清楚什么是多元函数。

多元函数是关于多个变量的函数，变量可以是实数或者复数。

例如，函数f(x,y)=x2+y2是一个多元函数，它有两个变量：x和y。

其次，多元函数的连续性是指函数值对于变量的任意改变都没有突然变化的性质。

函数的连续性可以用专业术语称为可接受范围内的可极限性。

任意一个连续函数，其可极限性可以由Rolle定理和哥廷尔不等式来表示。

第三，多元函数的可导性是指函数对变量的改变可以产生新的函数值，该新函数值会受到多个变量变化的影响。

对于可导函数，可以利用微积分来计算其变化，这是一种求解多元函数的重要方法。

最后，多元函数的可微性是指函数的变化率可以用一阶导数或二阶导数来表示。

通过求解多元函数的一阶导数和二阶导数，可以分析函数的变化规律，并进行灵活的应用。

综上所述，多元函数连续、可导、可微之间存在着密切的联系，都是求解多元函数的关键。

可连续性具有可接受范围内的可极限性，可导性要求函数对变量改变可以产生新函数值，可微性则需要求解多元函数的一阶导数和二阶导数。

因此，只有当多元函数具备这三项基本性质时，才能够分析函数的变化规律，并进行有效的求解。

以上就是本文讨论的多元函数连续、可导、可微之间关系的内容，从而更好地了解多元函数的概念及其特征。

华中科技大学微积分下复习笔记—多元函数微分学

文档说明：本文档为作者自己整理的微积分（下）有关多元函数微分学的复习笔记，包含三部分——反例总结（基于自己的做题经验）、基本公式（基于华中科技大学微积分课本）和题型汇总（基于华中科技大学微积分学习辅导），请勿用作商用，若文中有打错的字还请多多包涵。

反例总结1.在（0,0）不连续，但fx和fy都存在且为0，所以用它可以组很多反例。

，在（0,0）。

满足以下命题：1）一元函数f(x,y0)与f(x0,y)分别在x0与y0连续，但f(x,y)在(x0,y0)不连续。

2）偏导数存在但原函数不连续。

3）偏导数存在但不可微。

4）偏导数存在，但除了沿坐标轴的正负方向，其余方向导数均不存在。

2.f(x,y)=|x+y|在（0,0）连续，但是偏导数不存在。

可以满足以下命题：1）原函数连续但偏导不存在。

2）沿任意方向的方向导数均存在，但偏导数不存在。

3.其他反例：1）f(x,y)在(x0,y0)连续，则一元函数f(x,y0)与f(x0,y)分别在x0与y0连续，但反过来不成立。

，在(0,0)点不成立。

2）可微推不出偏导数连续。

复杂式子比较记1.在f(x0,y0)连续f(x0,y0)- f(x0,y0)=02.偏导数f x(x0,y0)===3.验证在定点可微, - f(x0,y0)4.复合函数相关公式1）求导链式法则：全导数；比如z=(x,y),y=(x),2）微分的链规则：df(u1,u2 … u n)=…;比如z=f(u1(x,y),u2(x,y))，dz=z x dx+z y dy=z u1du1+z u2du25.方向导数和梯度1）方向导数a.几何意义：指的是函数在n方向上切线的斜率，即描述了在n方向上函数的增长速度。

b.条件：f在P。

点可微c.公式：其中，此事梯度指向函数值增长最快的方向，也指向法矢的方向。

d.定义公式：e.特殊地，梯度方向的方向导数是2）梯度a.几何意义：本质是一个向量，在这个方向上方向导数取最大，即梯度指向函数增长最快的方向，也即法矢。

多元函数偏导数连续和可微的关系

多元函数偏导数连续和可微的关系一、前言多元函数是数学中的重要概念，它在物理、经济学、工程学等众多领域都有广泛的应用。

而多元函数偏导数连续和可微的关系是多元函数研究中的一个重要问题，本文将详细介绍这个问题。

二、多元函数偏导数的定义在介绍多元函数偏导数连续和可微的关系之前，我们需要先了解多元函数偏导数的定义。

对于一个二元函数$f(x,y)$，它在点$(x_0,y_0)$处对$x$求偏导数，记为$\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)$，表示当$y$固定在$y_0$时，$f(x,y)$对$x$的变化率。

同理，它在点$(x_0,y_0)$处对$y$求偏导数，记为$\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)$，表示当$x$固定在$x_0$时，$f(x,y)$对$y$的变化率。

对于一个$n(n\geqslant3)$元函数$f(x_1,x_2,\cdots,x_n)$，它在点$(x_{10},x_{20},\cdots,x_{n0})$处对$x_i(i=1,2,\cdots,n)$求偏导数，记为$\frac{\partial f}{\partial x_i}(x_{10},x_{20},\cdots,x_{n0})$，表示当$x_j(j\neq i)$固定在$x_{j0}(j\neq i)$时，$f(x_1,x_2,\cdots,x_n)$对$x_i$的变化率。

三、多元函数偏导数连续的定义在介绍多元函数偏导数连续和可微的关系之前，我们需要先了解多元函数偏导数连续的定义。

对于一个$n(n\geqslant2)$元函数$f(x_1,x_2,\cdots,x_n)$，如果它在点$(x_{10},x_{20},\cdots,x_{n0})$处对$x_i(i=1,2,\cdots,n)$求偏导数存在且连续，那么称$f(x_1,x_2,\cdots,x_n)$在点$(x_{10},x_{20},\cdots,x_{n0})$处对$x_i(i=1,2,\cdots,n)$求偏导数连续。

多元函数偏导数连续和可微的关系

多元函数偏导数连续和可微的关系引言在数学中，我们常常需要研究多元函数的性质和特点。

其中，多元函数的偏导数是一个重要的概念，它在数学分析以及应用数学中有着广泛的应用。

本文将探讨多元函数偏导数的连续性和可微性之间的关系。

多元函数的偏导数定义考虑一个二元函数f(x,y)，其中x和y是自变量，f是因变量。

我们可以将x或y视为定值，而将另一个变量作为独立变量进行求导。

这样得到的导数就称为偏导数。

具体而言，函数f(x,y)的对x的偏导数记作∂f∂x，表示在y固定的情况下，f对x的变化率。

同样地，函数f(x,y)的对y的偏导数记作∂f∂y，表示在x固定的情况下，f对y的变化率。

对于多元函数，我们可以类似地定义更多的偏导数。

例如，对于三元函数f(x,y,z)，我们可以求得∂f∂x 、∂f∂y和∂f∂z。

连续性和可微性在研究多元函数的性质时，连续性和可微性是两个重要的概念。

下面我们将分别讨论偏导数的连续性和可微性。

偏导数的连续性定义首先，我们来定义多元函数偏导数的连续性。

偏导数连续的定义如下：若函数在某一点处的偏导数存在且连续，则称该函数在该点处的偏导数连续。

定理根据多元函数的连续性的定义，我们可以得到以下定理：如果在某区域内，函数的偏导数连续，那么函数在该区域内是连续的。

证明如下：假设函数在某一点处的偏导数连续，即∂f∂x 和∂f∂y在该点处连续。

那么根据偏导数的定义，我们有：∂f ∂x =limΔx→0f(x+Δx,y)−f(x,y)Δx∂f ∂y =limΔy→0f(x,y+Δy)−f(x,y)Δy由于偏导数连续，我们可以将极限与连续性交换，即：∂f∂x=f x(x,y)∂f∂y=f y(x,y)由此可见，在函数的偏导数连续的情况下，函数在该点处是连续的。

因此，我们可以得出结论：函数的偏导数连续是函数连续的充分条件。

偏导数的可微性定义接下来我们来定义多元函数偏导数的可微性。

偏导数可微的定义如下：如果函数在某一点的所有偏导数都存在且连续，那么函数在该点处可微。

关于多元函数可微性充分条件的说明

Ａｚ＝＿厂（Ｘ０＋Ａｘ，Ｙｏ＋Ａｙ）一厂（Ｘ０，Ｙｏ）
＝
引言
多元函数是数学分析的教学重点和难点之一。由于多元函数极限的复杂性，使多元函数比一元函数具有令人难以捉摸的一些性质，而学生对这部分的掌握往往和一元函数相比较，以为多元函数和一元函数具有相类似的性质，实则不然。学生对多元函数可微性掌握的程度，将直接影响数学分析以后的课程，进而影响到数学分析的学习效果。对于多元函数可微性，许多作者都作出了出色的工作，例如［２］中作者举例讲如何判定多元函数的可微性，［３］中作者给出了多元函数可微的充分必要条件，［１］中作者给出了二元函数可微性的两个判别方法，此方法比以往的方法更简单和有效，［４］中作者给出了多元函数可微性较弱的充分条件。本文从另外一个角度探讨多元函数可微的充分条件，我们先建立多元函数极限存在与同一变化过程中无穷小量之间的关系，从而很自然地理解多元函数可微的充分条件，达到提高数学分析教学质量的目的。大多数的数学分析中，在证明多元函数可微性的充分条件时，都要用到这个事实。设函数ｚ＝厂（，）在Ｐ。（Ｘｏ，Ｙｏ）点的某领域Ｕ（Ｐｏ）上有定义。若对ｖｐ ∈ Ｕ（Ｐｏ），ｌｉｍｆ（ｐ）Ａ，则厂（Ｐ）＝Ａ＋６ｃ，其中。【是在ｐ－－￣ｐ。过程中的无穷小量。在讲到这部分内容时，同学们就会产生下面的疑问：（１）什么是多元函数的无穷小量；（２）ｆ（Ｐ）＝Ａ＋６【这个条件是ｌｉａ厂ｒ（Ｐ）＝Ａ的什么条件。为了回答上面的两个问题，

多元函数可微分判断

多元函数可微分的判断方法如下：
设函数f(x,y) 在点(x0,y0) 的某邻域内有定义，且对于该邻域内的任意一点(x,y)，
f(x,y) 在(x0,y0) 处与偏导数fxx(x0,y0) 和fxy(x0,y0) 在(x0,y0) 处都存在，则称f(x,y) 在点(x0,y0) 处可微分。

用数学公式表示为：
f(x,y) 在(x0,y0) 处可微分，当且仅当
lim (h→0) [f(x0+h, y0+h)-f(x0, y0)-fxx(x0,y0)*h-fxy(x0,y0)*h] / h = 0
其中，fxx(x0,y0) 和fxy(x0,y0) 分别表示函数f(x,y) 对于x 和y 的偏导数，h 为任意小的数。

因此，要判断一个多元函数是否在某点处可微分，需要先求出该点处各个偏导数的值，然后判断上述极限是否为零。

如果为零，则函数在该点处可微分，否则不可微分。

需要注意的是，在实际应用中，通常需要用到微分的性质和定理来简化判断过程，例如链式法则、复合函数求导法则等等。

一元函数与多元函数连续可微的区别和关系.doc

一元函数与多元函数连续可微的区别和关系.doc一元函数与多元函数的连续可微性是微积分学中的重要概念，本文将从两个方面介绍这两种函数的连续可微性的区别和关系。

一、区别1.1 定义一元函数的连续可微性是指函数在某个点c处连续且在c的邻域内可导。

即在c点处存在一阶导数，并且导数是连续的。

而多元函数的连续可微性则是指函数在某个点(c1,c2, …, cn)处连续且在该点各个方向上存在偏导数，且偏导数在(c1, c2, …, cn)处连续。

1.2 导数的概念一元函数的导数是该函数在某一点处的切线斜率，即函数在该点的瞬时变化率。

而多元函数的偏导数则是在某个点处，函数在该点沿着某一个自变量方向的变化率，它只描述了函数在一个坐标轴方向上的变化率，对于整个函数的变化率并不能完全描述。

1.3 极值的判断一元函数的极值可以通过导函数的零点来求得，即函数在极值点处导函数为零。

而对于多元函数，因为存在多个自变量，导数的零点不能完全刻画函数的极值，需要通过求解函数的二阶偏导数来判断。

如果函数的二阶偏导数在该点处为正，则该点为函数的极小值；如果二阶偏导数在该点处为负，则该点为函数的极大值；如果二阶偏导数为零，则需要进行进一步的判断。

二、关系2.1 链式法则链式法则是一元函数和多元函数求导的基本方法之一。

在一元函数中，链式法则表示函数的复合导数可以通过一阶导数相乘得到；在多元函数中，链式法则表示函数对某个变量求导可以通过对该变量的偏导数进行求导得到。

2.2 梯度2.3 牛顿法牛顿法是一种在求解多元函数极值时广泛应用的方法，在一元函数中也能应用。

在一元函数中，牛顿法通过对函数的导数进行迭代，每次更新迭代点直到导数趋于零来求得函数的零点。

在多元函数中，牛顿法则需要求出函数的梯度和海森矩阵，通过对海森矩阵的求逆和梯度的相加来迭代求得函数的极值。

总之，一元函数和多元函数的连续可微性是微积分学中的重要概念。

它们在定义、导数的概念、极值判断、链式法则、梯度和牛顿法等方面都有一定的区别和联系，对于学习微积分和应用数学都有重要意义。

多元函数微分学中几个概念之间的关系

B1多元函数微分学中几个概念之间的关系一、有连续偏导与可微的关系有连续偏导⇒可微。

定理2（P23,同济大学）可微⇒有连续偏导? 例1函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=)0,0(),(,0)0,0(),(,1sin),(22y x y x yx xy y x f 在)0,0(点连续且偏导数存在，但偏导数在点)0,0(不连续，而),(y x f 在)0,0(点可微。

证明：令θρcos =x ，θρsin =y ，则有).,0,0(01sinsin cos lim 1sinlim222)0,0(),(f yx xy y x ===+→→ρθθρρ故，),(y x f 在)0,0(点连续。

000lim)0,0()0,(lim)0,0(00=∆-=∆-∆=→∆→∆x xf x f f x x x ，同理，0)0,0(=y f 。

当)0,0(),(≠y x 时，223222221cos)(1sin ),(yx y x y x yx y y x f x ++-+=。

当),(y x P 沿直线xy =趋于)0,0(时，||21c o s ||22||21si n lim ),(lim33)0,0(),(x x x x x y x f x x y x -=→→不存在。

所以，),(y x f x 在点)0,0(不连续。

同理，),(y x f y 在点)0,0(不连续。

))()(()()(1sin)0,0(),(2222y x o y x y x f y x f f ∆+∆=∆+∆⋅∆⋅∆=-∆∆=∆，故，),(y x f 在)0,0(点可微，且0|)0,0(=df 。

二、可微与偏导数存在的关系可微⇒偏导数存在。

定理1（P22,同济大学）B2偏导数存在⇒?可微例2函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=)0,0(),(,0)0,0(),(,),(22y x y x yx xy y x f 在)0,0(点偏导数存在，但在)0,0(点不可微。

多元函数连续,可导,可微之间的关系

多元函数连续,可导,可微之间的关系
多元函数的连续性、可导性和可微性是数学分析中常见的概念，它们之间存在着紧密的关系。

这里我们将对多元函数连续、可导、可微之间的关系进行简单介绍。

首先，多元函数的连续性是它们极限可令其成立的一种性质，即极限可令这些函数从端点连续地达到它们的值，这意味着没有断点或缺口。

为了确保函数连续性，必须满足以下条件：函数在其定义域内具有连续的反对称性、增函数的性质以及不可减少的性质。

其次，多元函数的可导性是指函数的梯度。

如果多元函数是可导的，那么它的梯度是存在的，梯度能够反映函数的变化的程度，所以它也是研究函数的一种重要方法。

函数可导的条件是多元函数既连续又具有反对称性，即函数的极限不存在异号部分，满足可导性充分必要条件。

再次，多元函数的可微性是指函数可以被微分，也叫做微分。

函数的微分可以反映函数的变化的程度，是求解函数的局部和全局的变化的重要分析工具，反映了函数的变化的性质。

多元函数的可微性是满足可导性的充分必要条件，只有满足可导性的函数才能被微分。

最后，多元函数连续、可导、可微性之间存在着重要的关系。

这三者都是函数研究的重要组成部分，只有满足连续性的函数才能满足可导性，只有满足可导性的函数才能满足可微性。

因此，连续、可导、可微性是多元函数研究的重要基础，可以有效地帮助我们探究函数的变化的规律及行为的特征。

综上所述，多元函数的连续性、可导性和可微性之间存在着紧密的关系。

它们构成了函数研究的重要组成部分，可以帮助我们有效地探究函数的变化的规律及行为的特征，从而揭示函数的性质。

多元函数可导与可微与连续的关系

多元函数可导与可微与连续的关系多元函数的可导性、可微性和连续性是微分学中的重要概念，它们之间存在一定的关系。

下面将详细讨论这三者之间的关系。

首先，我们来定义多元函数的可导性、可微性和连续性：1.可导性：设函数$f$在点$(a,b)$的其中一领域内有定义，如果下式成立：$$\lim_{{\Delta x \to 0 \atop \Delta y \to 0}}\frac{{f(a+\Delta x,b+\Delta y) - f(a,b) - A\Delta x - B\Delta y}}{{\sqrt{{\Delta x}^2 + {\Delta y}^2}}} = 0$$其中$A$和$B$是常数，则称函数$f$在点$(a,b)$处可导。

2.可微性：设函数$f$在点$(a,b)$的其中一领域内有定义，如果下式成立：$$f(a+\Delta x,b+\Delta y) = f(a,b) + A\Delta x + B\Delta y + o(\sqrt{{\Delta x}^2 + {\Delta y}^2})$$其中$A$和$B$是常数，则称函数$f$在点$(a,b)$处可微。

3. 连续性：设函数 $f$ 在点 $(a,b)$ 的其中一领域内有定义，如果 $\lim_{{\Delta x \to 0 \atop \Delta y \to 0}} f(a+\Deltax,b+\Delta y) = f(a,b)$，则称函数 $f$ 在点 $(a,b)$ 处连续。

接下来我们来讨论它们之间的关系。

1. 可导性与可微性的关系：可导必可微，即如果函数 $f$ 在点$(a,b)$ 处可导，则在该点处可微。

这是因为可导的定义中的误差项$o(\sqrt{{\Delta x}^2 + {\Delta y}^2})$ 比可微的定义中的误差项$A\Delta x + B\Delta y$ 高阶，可以忽略不计。

因此，可导函数在该点附近的线性近似是它的最佳近似。

多元函数连续,可导,可微之间的关系

多元函数连续,可导,可微之间的关系“多元函数连续,可导,可微之间的关系”是数学中一个重要的概念，有着广泛的应用。

在本文中，我们将探讨这三者之间的关系，以及它们在实际工作中的应用。

首先，在讨论多元函数连续，可导，可微之间的关系之前，我们需要先了解这些概念。

什么是多元函数连续？它是指在一定区间上，函数的值从左至右的变化是连续的。

在函数的定义域上，函数的值从左至右的变化是连续的。

这就是连续性。

可导指的是函数的函数导数是存在的，而且可以求出来的。

这就是函数的可导性。

可微是指在某一点上，函数的变化率是存在的，而且可以求出来的。

这就是函数的可微性。

多元函数连续，可导，可微之间存在着一定的联系。

首先，连续性是可导性和可微性的前提，也就是说，函数必须具有连续性，才能说明函数具有可导性和可微性。

可导性是可微性的充分必要条件，也就是说，函数只有在可导的情况下，才可以说明函数具有可微性。

在实际工作中，这三者之间的关系也具有重要的意义。

首先，多元函数连续，可导，可微之间的关系，可以为我们提供一定的参考标准，以便我们能够更好地理解函数的特性。

另外，这些关系还可以为我们提供有用的信息，例如，我们可以通过可导性来推断函数的可微性，而通过可微性来推断函数的可导性。

此外，这些关系也可以帮助我们更好地解决实际问题。

例如，我们可以利用可导性来判断函数在某一点上是否存在极值；我们也可以利用可微性来判断函数的变化率，进而判断函数的极值是否存在。

综上所述，我们可以看出，多元函数连续，可导，可微之间的关系在实际工作中具有重要的意义，在数学中也有着重要的应用。

因此，我们要特别关注它们之间的关系，以便能够更好地理解数学中的知识，从而更好地解决实际问题。

多元函数的连续、可导及可微的关系

多元函数的连续、可导及可微的关系
可微，偏导数一定存在可微，函数一定连续可导，不一定连续。

可导与连续的关系：可导必连续，连续不一定可导；
可微与连续的关系：可微与可导是一样的；
可积与连续的关系：可积不一定连续，连续必定可积；
可导与可积的关系：可导一般可积，可积推不出一定可导。

扩展资料：
多元函数的本质是一种关系，是两个集合间一种确定的对应关系。

这两个集合的元素可以是数；也可以是点、线、面、体；还可以是向量、矩阵等等。

一个元素或多个元素对应的结果可以是唯一的元素，即单值的。

也可以是多个元素，即多值的。

人们最常见的函数，以及目前我国中学数学教科书所说的“函数”，除有特别注明者外，实际上（全称）是一元单值实变函数。

例如，某种商品的市场需求量不仅仅与其市场价格有关，而且与消费者的收入以及这种商品的其它代用品的价格等因素有关，即决定该商品需求量的因素不止一个而是多个。

要全面研究这类问题，就需要引入多元函数的概念。

多元函数可微不可导

多元函数可微不可导对于单变量函数，我们知道可导性与连续性是等价的。

也就是说，如果一个函数在特定点可导，那么它在该点也一定连续；反之亦然，如果一个函数在特定点不连续，那么它在该点也一定不可导。

但是对于多元函数来说，情况就有所不同了。

首先，我们来回顾一下多元函数的可导性。

多元函数是指具有多个自变量的函数，例如f(x,y)。

对于这样的函数，我们可以使用偏导数来刻画其变化率。

偏导数就是将其他自变量视为常数，对目标变量求导的过程。

如果一个多元函数在特定点的所有偏导数都存在，那么我们就说这个函数在该点可偏导。

而如果所有的偏导数都连续，那么我们就说这个函数在该点可导。

然而，对于多元函数来说，并不是所有的可偏导函数都可导。

这是因为可导性要求所有偏导数都连续，而这并不是一个必要条件。

也就是说，虽然一个多元函数在特定点的所有偏导数都存在，但它们可能不连续或不满足其他条件，导致该函数在该点不可导。

举个例子来说明这个问题。

考虑函数 f(x, y) = ，xy，/ √(x^2 + y^2)。

我们可以看出，当 x 和 y 同时不为零时，函数的定义域包含原点(0, 0)。

我们可以计算出 f 在该点的偏导数。

首先，对于 x 的偏导数，我们需要计算 f 对 x 的变化率。

根据定义，我们有：∂f/∂x = (∂/∂x) (，xy，/ √(x^2 + y^2)) = (∂/∂x) (xy) /√(x^2 + y^2) = y^2 / (x^2 + y^2)^(3/2)类似地，我们可以计算出对于y的偏导数：∂f/∂y = (∂/∂y) (，xy，/ √(x^2 + y^2)) = (∂/∂y) (xy) /√(x^2 + y^2) = x^2 / (x^2 + y^2)^(3/2)可以看出，对于所有(x,y)≠(0,0)，上述两个偏导数都存在。

然而，当(x,y)=(0,0)时，偏导数无法定义。

因为无论x或y的值如何取，都将导致分母为零，从而无法得到一个确定的值。

多元函数微分法及其应用常见题型攻略

多元函数微分法及其应用常见题型攻略以心同学整理1.多元函数连续性、可导性、可微性的判断（1）判断极限不存在常用方法①找两种不同的趋近方式，若极限不相等，则极限不存在；②沿直线)(00x x k y y 趋近于点),(00y x 时，极限值与k 有关，则极限不存在。

注：②中沿直线)(00x x k y y 趋近于点),(00y x ，目的是用特殊路径趋于),(00y x 时，极限值如果与k 有关，则极限不存在。

所以并不一定就是用沿直线直线)(00x x k y y 趋近于点),(00y x 。

如后面的例3。

例1设)0,0(),(,0)0,0(),(,),(22y x y x y x xyy x f ，判断极限),(lim )0,0(),(y x f y x 是否存在。

解：当点),(y x 沿直线kx y 趋于)0,0(时，有),(lim)0,0(),(y x f y x 22)0,0(),(limy x xy y x 222)0,0(),(1)(lim k kkx x kx x y x，极限值与k 有关，故极限),(lim)0,0(),(y x f y x 不存在。

若函数改为 )0,0(),(,0)0,0(),(,),(242y x y x y x y x y x f ，那又怎么操作？（2）偏导数定义xy x f y x x f y x f x x ),(),(lim),(0000000★函数在不连续点、分断函数在分界点的偏导数，用偏导数定义。

（3）函数),(y x f z 在点),(00y x 可微的定义)( o y B x A z ，22)()(y x ★判断函数在点),(00y x 是否可微的方法(常用于分断函数的分界点)①若),(00y x f x 或),(00y x f y 不存在，则不可微②若),(00y x f x 或),(00y x f y 存在，则考虑极限)(limy B x A z ，即]),(),([)],(),([lim000000000y y x f x y x f y x f y y x x f y x 是否存在，若存在，则可微；若不存在，则不可微。

多元函数连续,可导,可微之间的关系

多元函数连续,可导,可微之间的关系函数的概念是数学中最基本的概念之一，它是将某一变量作为自变量，唯一确定另一变量作为因变量的运算关系的数学模型。

比较常见的函数有一元函数和多元函数，一元函数只有一个自变量，多元函数有两个或两个以上的自变量。

其中，多元函数连续、可导、可微之间存在着密切的关系，因此，认识其中的关系是非常重要的，本文将介绍多元函数连续、可导、可微之间的关系，以期更好的理解这些概念的内涵。

首先，我们来讨论多元函数的连续性。

连续性是指曲线上的数据是连续的，也就是说，曲线上的数据若有偏差，它们的偏差是有限的。

总的来说，多元函数的连续性可由以下几点表述：（1）多元函数在其定义域上的值只有有限多个，不存在无限多个；（2）两个连续的多元函数在其定义域上就一定会有一个点，使得它们的值相同；（3）多元函数在可微区域上的偏导数是连续的，也就是说，它在可微区域内的偏导数也只有有限多个，不存在无限多个。

其次，我们来讨论多元函数的可导性，以及多元函数可导与可微之间的关系。

可导性是指多元函数在其定义域内存在可以求得的导数，而且可以根据多元函数的偏导数来判断该函数的凹凸性。

总的来说，可导和可微是密不可分的，也就是说具有可导性的函数必然具有可微性，反之亦然。

此外，如果多元函数的可导性得以证明，则可以说此多元函数的连续性也得以证明。

最后，我们来看多元函数的可微性，它是指函数在可微区域内可以求得它的偏导数，而在可微区域外则不能求得它的偏导数。

多元函数的可微性是一个非常重要的概念，在证明某些函数的连续性或可导性时，可微性是一个非常重要的前提条件。

综上所述，多元函数的连续性、可导性和可微性之间存在着密切的关系，也就是说，只有在多元函数连续且可导的前提下，它才有可能具备可微性，而可微性又是该函数的连续性和可导性的前提条件。

因此，认识这三者之间的关系，对于更好的理解多元函数连续、可导和可微十分必要。

多元函数可微、可导、连续之间的关系

多元函数可微、可导、连续之间的关系首先，我们来讨论可微和可导的关系。

一个函数在某一点可微意味着它在该点附近有一个线性的近似。

具体来说，如果一个函数在点(a,b)可微，那么它在该点附近有一个线性逼近f(某,y)≈f(a,b)+f_某(a,b)(某-a)+f_y(a,b)(y-b)。

其中f_某(a,b)和f_y(a,b)分别表示函数在点(a,b)处对某和y的偏导数。

这里的近似对于(某,y)离(a,b)很近的点都成立。

而一个函数在某一点可导表示当自变量的某一个分量变化时，函数的变化率存在且唯一、具体来说，如果一个函数在点(a,b)可导，那么它在该点沿着任一方向的偏导数都存在。

这里的偏导数可以看作点(a,b)处的切线斜率，反映了函数在该点附近的变化趋势。

因此，可微性不仅说明了函数在点附近的近似性质，而且还说明了它在该点附近的变化趋势。

可微性是可导性的充分条件，而可导性是连续性的充分条件。

也就是说，如果一个函数在某一点可微，那么它在该点必定可导；如果一个函数在某一点可导，那么它在该点必定连续。

这是因为可微性和可导性都要求函数在该点附近存在一个线性的近似，而连续性则不要求函数在整个定义域内的变化趋势一致。

因此，可微性和可导性的要求更加严格，包含了连续性的要求。

总结起来，多元函数可微、可导和连续之间的关系可以用下面的图示表示：连续性→可导性→可微性。

也就是说，连续性是最基本的性质，可导性是在连续性的基础上要求函数在其定义域内的变化趋势唯一，可微性是在可导性的基础上要求函数在某一点附近存在一个线性的近似。

这些概念之间的关系在数学分析中有着重要的应用，可以用来研究函数的性质和进行函数的近似计算。

多元函数可微的充分条件证明

多元函数可微的充分必要条件是f(x，y)在点（x0，y0）的两个偏导数都存在。

若对于每一个有序数组 ( x1，x2，…，xn)∈D，通过对应规则f，都有唯一确定的实数y与之对应，则称对应规则f 为定义在D上的n元函数。

函数y=f(x)，是因变量与一个自变量之间的关系，即因变量的值只依赖于一个自变量。

扩展资料：
a>1 时是严格单调增加的，0<a<1时是严格单减的。

不论a为何值，对数函数的图形均过点(1,0)，对数函数与指数函数互为反函数。

以10为底的对数称为常用对数，简记为lgx 。

在科学技术中普遍使用的是以e为底的对数，即自然对数。