高中对数函数有多难？图解概念加习题，让你轻松过关
对数函数(重难点突破)
对数函数重难点突破一、知识梳理二、知识精讲知识点一 对数函数及其性质(1)概念：函数 y ＝log a x(a ＞0，且 a≠1)叫做对数函数，其中 x 是自变量，函数的定义域是(0，＋∞). (2)对数函数的图象与性质0<a<1图象定义域： (0，＋∞)值域： R当 x ＝ 1 时， y ＝0，即过定点(1，0)当 x>1 时， y>0； 当 0<x<1 时， y<0在(0，＋∞)上是增函数a>1对数的性质、换底公式与运算性质(1)对数的性质：①a logaN ＝N ；②log a a b ＝b(a>0，且 a≠1). (2)对数的运算法则如果 a>0 且 a≠1，M>0，N>0，那么 ①log a (MN)＝log a M ＋log a N ； M④log a m M n ＝n mlog a M(m ，n∈R，且 m≠0).(3)换底公式： log b N ＝log a Nlog a b(a ，b 均大于零且不等于 1).三、例题讲解(一) 对数函数的概念与图像 例 1、给出下列函数：；①y＝ x πx ．其中是对数函数的有（ ） A ．1 个 B ．2 个 C ．3 个 D ．4 个 【答案】解： ①y＝x 2 的真数为 x 2，故不是对数函数；3（x ﹣ 1）的真数为x ﹣ 1，故不是对数函数； ③y＝ log x+1x 的底数为 x+1，故不是对数函数；②y＝ log④y＝log πx 是对数函数；故选： A ．【变式训练 1-1】．函数f(x)＝log a |x|＋1(0＜a ＜1)的图象大致为( )【答案】 A②log a ＝log a M －log a N ；③log a M n ＝nlog a M(n∈R)；2 ②y＝log 3（x ﹣ 1）； ③y＝log x+1x ； ④y＝logN【解析】选A 由函数f(x)的解析式可确定该函数为偶函数，图象关于y 轴对称．设g(x)＝log|x|，先画出ax>0 时，g(x)的图象，然后根据g(x)的图象关于y 轴对称画出x<0 时g(x)的图象，最后由函数g(x)的图象向上整体平移一个单位即得f(x)的图象，结合图象知选 A.【变式训练 1-2】．函数f （x ）＝的图象可能是（ ）【答案】解：∵f（x ）＝，∴函数定义域为（﹣∞， 0）∪（0，+∞），∵，∴函数f （x ）为奇函数，图象关于原点对称，故排除 B 、C ，∵当 0＜x ＜1 时， lnx ＜0，∴f（x ）＝＜0，x∈（0，1）故排除 D ．故选： A ．【变式训练 1-3】．函数 y ＝|lg （x+1） |的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．故函数 y ＝ lg （x+1）的图象与 X 轴的交点是（0，0），即函数 y ＝ |lg （x+1） |的图象与 X 轴的公共点是（0， 0），考察四个选项中的图象只有 A 选项符合题意故选： A ． 1273 8【变式训练 1-4】．计算： ＋log 2(log 216)＝________. CD例 2．函数 y ＝ 的图象大致是(A ． ． ．B ．【解析】：原式＝2 331323x 2 ,x 02x1,x083.)＋log24＝＋2＝【答案】 B【变式训练 2-1】．已知a 0 ，b 0且a 1，b 1 ，若logab 1，则下列不等式可能正确的是（）．A．(b1)(b a)0B．(a1)(a b)0C．(a1)(b1)0D．(a1)(b a)0【答案】 AD【解析】∵loga b1logaa，∴若a1，则b a，即b a1．∴(b1)(b a)0，故A正确．(a1)(b a)0，故D正确．若0a1，则0b a1，∴(a1)(a b)0，(a1)(b1)0，故BC错误，2x,x12-3】．图中曲线是对数函数y log x的图象，已知a 取 3 ，，，C 2 ，C3，C4的a 值依次为( )4 3 1【变式训练a3510四个值，则相应于C1，【变式训练2-2】．已知函数f(x)log2(1x),x1，则f(0)f(3)_______.【解析】f(0)f(3)20log1(3)121．故答案为：－14 3 1 4 1 3A ． 3 ， ， ，B ． 3 ， ， ，3 5 10 3 10 54 3 1 4 1 3C ． ， 3 ， ，D ． ， 3 ， ，3 5 10 3 10 5【答案】 A 可得C 1 ， C 2 ， C 3 ， C 4 的a 值从小到大依次为： C 4 ，C 3 ， C 2 ， C 1 ，4(二) 比较大小例 3．（2019·浙江湖州高一期中） 下列各式中错误的是（ ）A ． 30.8 30.7B ．log 0.5 0.4 log 0.5 0.6C ． 0.750.10.750.1 D ．log 2 3 log 3 2 【答案】 C【变式训练 3-1】．（2020·全国高一课时练习） 设 alog 3 ,b log 2 3,c log 3 2 则（ ）A ．a ＞b ＞cB ．a ＞c ＞bC ．b ＞a ＞cD ．b ＞c ＞a 【答案】 A1 【解析】 alog 3log 3 3 1, 2log 3 3 log 3 2 c ,1 2【变式训练 3-2】．（2019 秋•沙坪坝区校级月考） 已知 a ＝log 30.3，b ＝30.3，c ＝0.30.2，则（ ） A ．a ＜b ＜c B ．a ＜c ＜b C ．c ＜a ＜b D ．b ＜c ＜a 【分析】容易得出，从而可得出 a ，b ，c 的大小关系．【答案】解：∵log 30.3＜log 31＝0，30.3＞30 ＝1，0＜0.30.2＜0.30＝1 ∴a＜c ＜b ．故选： B ． 【变式训练 3-3】．（2019•西湖区校级模拟）下列关系式中，成立的是（ ）【答案】解：∵log 34＞log 33＝1，0＜0.31.7＜0.30＝1，log 0.310＜log 0.31＝0，CDlog 2 2 b log 2 3 log 2 2 1， a b c .故选： A. ． ． A ． B ． ．．∴．故选： A．(三) 对数函数过定点问题例4.（2019 秋•水富县校级月考）已知函数y＝3+log a（2x+3）（a＞0，a≠1）的图象必经过定点 P，则P 点坐标是（）A．（1，3）B．（﹣，4）C．（﹣1，3）D．（﹣1，4）【分析】令 2x+3＝1，求得x 的值，从而求得P 点的坐标．【答案】解：令 2x+3＝1，可得 x＝﹣ 1，此时y＝3．即函数y＝3+log a（2x+3）（a＞0，a≠1））的图象必经过定点 P 的坐标为（﹣ 1，3）．故选：C．【点睛】本题主要考查对数函数的单调性和特殊点，属于基础题．【变式训练 4-1】．函数y＝log a（x+2）+a x+1+2（a＞0，且a≠1）的图象必经过的点是（）A．（0，2） B．（2，2） C．（﹣ 1，2） D．（﹣ 1，3）【分析】根据 log a1＝0，a0＝1，求出定点的坐标即可．【答案】解：令x+2＝1，解得：x＝﹣ 1，故y＝0+1+2＝3，故图象过（﹣ 1，3），故选：D．【点睛】本题考查了对数函数，指数函数的性质，根据log a1＝0，a0＝1 是解题的关键．【变式训练 4-2】．已知a＞0，a≠1，则f（x）＝log a的图象恒过点（）A．（1，0）B．（﹣2，0）C．（﹣1，0）D．（1，4）【分析】令＝1，解得x＝﹣ 2，y＝0，进而得到f（x）＝log a的图象恒过点的坐标．【答案】解：令＝1，解得：x＝﹣ 2，故f（﹣2）＝log a1＝0 恒成立，即f（x）＝log a的图象恒过点（﹣ 2，0），故选：B．(四) 有关对数函数奇偶性问题例5．（多选题）下列函数中，是奇函数且存在零点的是( )A．y＝x3＋x B．y＝logx2C．y＝2x2 －3 D．y＝x|x|【答案】 ADx 为非奇非偶函数，与题【解析】 A 中， y＝x3＋x 为奇函数，且存在零点x＝0，与题意相符； B 中，y＝log2意不符；C4.1，c f 20.8 ，【变式训练 5-1】．已知奇函数f x在R 上是增函数，若a f log b f log2则a,b,c 的大小关系为( )A．a b c B．b a c C．c b a D．c a b【答案】 C 5【解析】由题意：a f log21f log25，且：log25log24.12,120.82，据此： log 2 5log 2 4.1 20.8 ，结合函数的单调性有： f log 2 5 f log 2 4.1 f 20.8 ， 即a b c,c b a .本题选择 C 选项.【变式训练 5-2】．对于函数 ，下列说法正确的是（ ）A ．f （x ）是奇函数B ．f （x ）是偶函数C ．f （x ）是非奇非偶函数D ．f （x ）既是奇函数又是偶函数【分析】根据函数奇偶性的定义判断函数的奇偶性即可． 【答案】解：由 ＞0，解得：﹣ 1＜x ＜1，故函数f （x ）的定义域是（﹣ 1，1），关于原点对称，而 f （ ﹣x ）＝log 2＝﹣ log 2＝﹣ f （x ），故f （x ）是奇函数，故选： A ．(五) 有关对数函数定义域问题 例 6．函数 y ＝1log 2(x 2)的定义域为( )A ．(－∞ ，2)B ．(2，＋∞)C ．(2,3)∪(3，＋∞)D ．(2,4)∪(4，＋∞) 【答案】 Cx 2 0,【变式训练 6-1】．（2018 秋•宜宾期末） 函数 y ＝的定义域是（ ）A ．（ ，+∞）B ．（ ，1]C ．（﹣∞， 1]D ．[1，+∞）【分析】首先由根式有意义得到 log 0.5（4x ﹣ 3） ≥0，然后求解对数不等式得到原函数的定义域． 【答案】解：要使原函数有意义，则 log 0.5（4x ﹣ 3） ≥0，即 0＜4x ﹣ 3≤1，解得．所以原函数的定义域为（]．故选： B ．【解析】：选 C 根据题意得 解得 x>2 且 x≠3，故选 C. log 2 (x 2) 0【变式训练 6-2】．（2018 春•连城县校级月考）函数y＝的定义域是（）A．[1，+∞） B．（，+∞） C．（1，+∞） D．（，1]【分析】利用对数的性质求解．【答案】解：函数 y ＝ 的定义域满足： ，解得 ．故选： D ．1【变式训练 6-3】．函数ylog 2 x 2的定义域是__________．【答案】2,3 3,x 2 0 x 2 0因此，函数y 的定义域是2,3 3, .故答案为： 2,3 3, .【变式训练 6-4】．函数f xlog 1 x 2 2x 3 的定义域为______，最小值为______.2【答案】3,1 2 【解析】由题意得 x 2 2x 3 0 ，解得3 x 1，所以函数 f x 的定义域为 3,1 ，令t x 2 2x 3 x 1 2 4 0,4 ，所以g t log 1 t 在 0,4 递减，且g 4 log 1 4 2 .2 2因此函数 f x 的值域为[2, ) ，最小值为 2 .(六) 有关对数函数值域问题及最值问题1例 7．函数f(x)＝ 的值域是( )A ．(－∞ ，1)B ．(0,1)1 log2 x 23x 1【解析】由题意可得log 3 x2 0 ，即x2 1 ，解得 x 2且 x 3.【解析】∵3x ＋1>1， ∴0<13x 1<1，∴函数的值域为(0,1)．【变式训练 7-1】．（2019 秋•南昌校级期中） 函数 y ＝log 4（2x+3 ﹣ x 2 ）值域为．【分析】运用复合函数的单调性分析函数最值，再通过配方求得值域． 【答案】解：设 u （x ）＝2x+3 ﹣ x 2＝﹣（x ﹣ 1） 2+4，当 x ＝1 时， u （x ）取得最大值 4，∵函数 y ＝log 4x 为（0，+∞）上的增函数， ∴当 u （x ）取得最大值时，原函数取得最大值，即 y max ＝log 4u （x ） max ＝log 44＝1，8因此，函数 y ＝log 4（2x+3 ﹣ x 2）的值域为（﹣∞， 1]，故填： （﹣∞， 1]．【变式训练 7-2】．已知函数f(x) lg x 2 2x a ，若它的定义域为 R ，则 a_________，若它的值域为 R ，则 a__________． 【答案】 1 1【解析】函数 f(x) lg x 2 2x a 的定义域为 R ，则 x 22x a0恒成立，故 4 4a 0， 即 a1 ；函数 f(x) lg x2 2x a 为 R ，则 0, 是函数 y x 2 2x a 值域的子集，则 4 4a0 ，即 a 1.故答案为： 1； 1.【变式训练 7-3】．）已知f(x)＝log 2(1－x)＋log 2(x ＋3)，求f(x)的定义域、值城．【答案】定义域为 3,1 ，值域为,2 .【解析】由函数 f(x) 有意义得 ，解得 3 x1，因为 f xlog 2 (1 x) log 2 (x 3) log 2 1 x x 3 log 2 x 2 2x 3log 2x 1 2 4 ， 3 x 1， 又因为tx 1 24在( 3, 1) 上递增，在( 1,1) 上递减，所以t 0,4 ，所以log 2 t,2 .所以函数f(x) 的值域为 ,2 .【变式训练 7-4】．设f x log a 1 x log a (3 x)a 0,a 1 ,且 f 1 2 . 1）求a 的值及 fx 的定义域；2）求 fx 在区间 0, 3上的最大值．2 1 x 0 x3 0【答案】1）a2，定义域为1,3；2）2【解析】1）f1loga 2loga2loga42,解得a2.故f x log21x log2(3x),则解得-1< x < 3 ,故f x的定义域为1,3.（2）函数 f x log 2 1 x log 2 3 x log 2 3 x 1 x ,定义域为 1,3 , 01, 3 ,由函数 y log 2 x 在0, 上单调递增, 函数 y 3 x 1 x 在 0,1 上单调递增,在1, 3上单调递减,可得函数 f x 在0,1 上单调递增,在1, 3上单调递减.故 f x 在区间 0上的最大值为 f 1 log 2 4 2 .(七) 对数函数的概念与图像例 8．画出下列函数的图象：（1）y ＝lg|x －1| ．（2） y lg(x 1) ．(八) 对数型复合函数的单调性问题例 9．函数f(x) log 1 (2 x)的单调递增区间是( )2A ．( , 2) B ． ( ,0) C ． (2, ) D ． (0, )【答案】 A【解析】由 2 x 0 ，得到x 2 ，令t2 x ，则t 2 x 在(, 2) 上递减，而y log 1 t 在(0,) 上2递减，由复合函数单调性同增异减法则，得到f(x) log 1 (2 x) 在(, 2) 上递增，故选： A2226 ax在0,2 上为减函数，则a 的取值范围是（）【变式训练9-1】．函数f x logaA ．(0,1)B ．1,3C．1,3D．3,【答案】B，计算得出，所以 B 选项是正确的.【变式训练 9-2】．已知函数 f(x) log x 2log x 2(a 0, a 1) .(1)当 a 2 时,求 f(2) ；(2)求解关于x 的不等式 f(x) 0 ；(3)若x [2,4], f(x) 4 恒成立,求实数a 的取值范围.2, 1 1, 3 2【解析】 （1）当 a2 时， f x log 2 x 2 log 2 x 2 f 2 1 1 22 （2）由 f x 0 得： log x 2log x 2 log x 2 log x 1 0log a x 1或log a x 2当 a 1 时，解不等式可得： 0 x或 x a 2 1 a综上所述：当 a 1 时， f x 0 的解集为0, 1 a 2,；当 0 a 1时， f x 0 的解集为0, a 21 ,a（3）由 f x4 得： log x 2 log x 6 log x 3 log x 2 0log a x 2 或log a x 3①当 a 1 时，log a x maxlog a 4 ， log a xminlog a 2a当 0 a 1时，解不等式可得： x 或 0 x a 2【答案】（1） 2 ；（2）见解析； （3）【解析】若函数上为减函数,则a a a 2 在1a a a aa a a aloga 42logaa2或loga23logaa3，解得：1a32②当0 a 1时，loga xmaxloga2 ，logaxminloga4loga 2 2 logaa 2 或loga4 3 logaa3 ，解得：综上所述：a的取值范围为22,11,32(九) 对数型复合函数的最值问题2a 1例10．（2019·内蒙古集宁一中高三月考）已知f x loga 1x1xa0，a1(1)求f x的定义域；(2)判断f x的奇偶性并予以证明；(3)求使f x 0 的x 的取值范围．【答案】（1）1,1；（2）见解析；（3）见解析.【解析】(1)由>0 ，解得x∈(－1,1)．(2)f(－x)＝loga＝－f(x)，且x∈(－1,1)，∴函数y＝f(x)是奇函数．(3)若 a>1，f(x)>0，则>1，解得0<x<1；若0<a<1，f(x)>0，则 0<<1，解得－1<x<0.判断函数的奇偶性首先要看函数的定义域是否关于原点对称，如果不对称，既不是奇函数又不是偶函数，如果对称常见方法有：（1 ）直接法， f x f x(正为偶函数，负为减函数)；（2 ）和差法，f x f x0（和为零奇函数，差为零偶函数）；（3）作商法，f xf x1（1为偶函数，1为奇函数）.【变式训练10-1】．.（2019·浙江高一期中）已知函数f(x) log3 mx2 8x nx21．2（Ⅰ）若m 4, n 4 ，求函数f(x) 的定义域和值域；（Ⅱ）若函数f(x) 的定义域为R ，值域为[0,2] ，求实数m, n 的值．8]；（Ⅱ）m5,n5.【答案】（Ⅰ）定义域为x x1，值域为(,log3【解析】（Ⅰ）若m 4, n 4 ，则 f(x) log34x 2 8x 4x 21，由4x 2 8x 4x 210 ，得到x 22x 1 0 ，得到 x 1 ，故定义域为x x 1 ．4x 28x 4，则 (t 4)x 2 8x t 4 0当t4 时， x 0 符合．64 4(t 4)2 0,又 x 1 ，所以 t 0 ，所以 0t 8 ，则值域为(,log 3 8] ．（Ⅱ）由于函数 f(x) 的定义域为 R ，则mx 2 8x n x 2 1m 0 m 0tmx 2 8x n，由于 f(x) 的值域为[0,2] ，则t [1,9] ，而(t m)x 2 8x t n 0 ，则由 64 4(t m)(t n) 0, 解得t [1,9] ，故 t 1和 t 9 是方程m n 10 m 5意．所以m 5, n 5 ． 【变式训练 10-2】．（2019 秋•荔湾区校级期末）已知函数 f （x ）＝log 3（1+x ）﹣ log 3（ 1 ﹣ x ）． （1）求函数f （x ）定义域，并判断 f （x ）的奇偶性．（2）判断函数f （x ）在定义域内的单调性，并用单调性定义证明你的结论． （3）解关于 x 的不等式f （1 ﹣ x ）+f （1 ﹣ x 2 ）＞0．x 2 1 令 t 64 4(t m)(t n) 0 即t2(m n)t mn 16 0 的两个根，则 ，得到 ，符合题mn 16 9 n 5x 2 10 恒成立，则 ，即 ，令 64 4mn 0 mn 16当t 4 时，上述方程要有解，则 ，得到 0 t 4 或4 t 8 ， t 0【分析】（1）根据对数函数的性质以及函数的定义域，根据函数的奇偶性的定义判断函数的奇偶性即可；（2）根据函数单调性的定义判断函数的单调性即可；（3）根据函数的单调性以及函数的奇偶性判断即可．【答案】解：（1）要使函数f（x）＝log3（1+x）﹣log3（1﹣x）有意义，必须满足，解得：﹣1＜x＜1，∴函数f（x）的定义域是（﹣ 1 ，1），综上所述，结论是：函数f（x）的定义域是（﹣ 1 ，1）．f（x）＝log3（1+x）﹣log3（1﹣x）＝log3（）．f（﹣x）＝log3＝﹣log3．∴f（x）为奇函数．（2）函数f（x）＝log3（），在区间（﹣ 1 ，1）上任取两个不同的自变量x1 ，x2，且设x1＜x2 ，则f（x1）﹣f（x2 ）＝log3，又（1+x1）（1﹣x2）﹣（1﹣x1）（1+x2）＝2（x1﹣x2）＜0，即（1+x1）（1﹣x2）＜（1﹣x1）（1+x2），∵﹣1＜x1＜x2＜1，∴1+x1＞0，1﹣x2＞0，∵（1+x1）（1﹣x2）＞0，∴＜1，∴log3＜0，即f（x1 ）＞f（x2），∴函数f（x）是定义域内的单调递增函数．（3）∵f（x）为奇函数，∴f（1﹣x）+f（1﹣x2）＞0∴f（1﹣x）＞f（x2﹣1），又∵f（x）在定义域上单调递增，∴1﹣x＞x2﹣1，x2+x﹣2＜0，即（x+2）（x﹣1）＜0，∴﹣2＜x＜1，而，解得：0＜x＜，综上：0＜x＜1．【点睛】本题考查了函数的单调性、奇偶性问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道中档题．四、迁移应用21x,x1,【答案】[0,)【解析】x1时，f(x)21x2，1x1，x0，∴0x1，x1时，f(x)1log2x2，log2x1，x1，所以x1，综上，原不等式的解集为[0, ) ．故答案为：[0,)．217．设函数f(x) 则满足f(x) 2 的x 的取值范围是_______________.1log2x,x1,。
对数与对数函数重难点突破
专题 对数与对数函数（重难点突破）重难点一 对数的概念如果a x ＝N (a >0，且a ≠1)，那么x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数.重难点二 对数的性质、换底公式与运算性质(1)对数的性质：①a log a N ＝N ；②log a a b ＝b (a >0，且a ≠1). (2)对数的运算法则；如果a >0且a ≠1，M >0，N >0，那么 ①log a (MN )＝log a M ＋log a N ； ②log a MN＝log a M －log a N ；③log a M n ＝n log a M (n ∈R)； ④log a m M n ＝nm log a M (m ，n ∈R ，且m ≠0).(3)换底公式：log b N ＝log a Nlog a b (a ，b 均大于零且不等于1).重难点三 对数函数及其性质(1)概念：y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)叫做对数函数，其中x 是自变量，定义域是(0，＋∞). (2)一、重难点题型突破重难点1 对数与对数式的化简求值 如果a >0，且a ≠1，M >0，N >0，那么：(1)log a (MN )＝log a M ＋log a N ；(2)log a MN ＝log a M －log a N ；(3)log a M n ＝n log a M (n ∈R )．例1．（1）（2017·全国高一课时练习）已知lg 9=a,10b =5，则用a ，b 表示log 3645为 ．【解析】由已知得lg5b =，则36lg 45lg 5lg 9log 45lg 36lg 4lg 92lg 2b aa++===++， 因为10lg 2lg 1lg515b ==-=-，所以2lg 22(1)22b a a b a b a b a a b +++==+-+-+，即36log 4522a ba b +=-+.（2）求下列函数的定义域：(1)f (x )＝lg(x －2)＋1x －3；(2)f (x )＝log (x ＋1)(16－4x )．【解析】 (1)要使函数有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧x －2>0，x －3≠0，解得x >2且x ≠3，所以函数定义域为(2,3)∪(3，＋∞)． (2)要使函数有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧16－4x >0，x ＋1>0，x ＋1≠1，解得－1<x <0或0<x <4，所以函数定义域为(－1,0)∪(0,4)．【变式训练】（1）．（2017·全国高一单元测试）已知10m ＝2，10n ＝4，则3210m n -的值为( ) A.2【解析】3210m n -＝3221010m n ＝()()32121010m n ＝321224答案：B（2）．（2013·全国高一课时练习）已知2log (2)log log a a a M N M N -=+，则MN的值为（ ） A ．14B ．4C ．1D ．4或1【解析】因为2log (2)log log a a a M N M N -=+，所以2log (2)log a a M N MN -=（），2(2)M N MN -=，2540M MN N-+=（）,解得=1（舍去），=4，故选B.重难点2 对数函数的图像与性质 例2求下列函数的定义域： (1)f (x )＝1log 12x ＋1；(2)f (x )＝12－x ＋ln(x ＋1)； 【解析】(1)要使函数f (x )有意义，则log 12x ＋1>0，即log 12x >－1，解得0<x <2，即函数f (x )的定义域为(0,2)．(2)需满足⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1>0，2－x >0，即⎩⎪⎨⎪⎧x >－1，x <2，解得－1<x <2，故函数的定义域为(－1,2)． 例3．（1）（2017·北京市第二中学分校高一）函数12log y x =，x ∈(0,8]的值域是( )A.[－3，＋∞)B.[3，＋∞)C.(－∞，－3]D.(－∞，3]【解析】∵12083x log x <≤∴≥，－，故选A.（2）．下列函数中，其图象与函数ln y x =的图象关于直线1x =对称的是（ ）A ．ln(1)y x =-B ．ln(2)y x =-C ．ln(1)y x =+D ．ln(2)y x =+【答案】B【解析】设所求函数图象上任一点的坐标为(,)x y ，则其关于直线1x =的对称点的坐标为(2,)x y -，由对称性知点(2,)x y -在函数()ln f x x =的图象上，所以ln(2)y x =-，故选B ．（3）．函数f (x )＝a x－b的图象如图所示，其中a ，b 为常数，则下列结论正确的是( )A ．a >1，b <0B ．a >1，b >0C ．0<a <1，b >0D ．0<a <1，b <0【答案】D【解析】由于f (x )的图象单调递减，所以0<a <1，又0<f (0)<1，所以0<a －b <1＝a 0，即－b >0，b <0，故选D.（4）．当a >1时，在同一坐标系中，函数y ＝a －x 与y ＝log a x 的图象为( )A B C D【解析】∵a >1，∴0<1a <1，∴y ＝a －x 是减函数，y ＝log a x 是增函数，故选C.重难点3 对数函数的单调性与最值（比较大小） 例4．函数2()ln(28)f x x x =--的单调递增区间是( )A ．(,2)-∞-B ．(,1)-∞C ．(1,)+∞D ．(4,)+∞ 【解析】由2280x x -->，得2x <-或4x >，设228u x x =--，则(,2)x ∈-∞-，u 关于x 单调递减，(4,)x ∈+∞，u 关于x 单调递增，由对数函数的性质，可知ln y u =单调递增，所以根据同增异减，可知单调递增区间为(4,)+∞．选D ． 例5．设，则( )A ．B ．C ．D ． 【解析】， 由下图可知D 正确．【变式训练】．(1)设0.2log 0.3a =，2log 0.3b =，则（ ）A ．0a b ab +<<B ．0ab a b <+<C ．0a b ab +<<D ．0ab a b <<+【解析】由0.2log 0.3a =得0.31log 0.2a =，由2log 0.3b =得0.31log 2b=，357log 6,log 10,log 14a b c ===c b a >>b c a >>a c b >>a b c >>33log 61log 2,a ==+5577log 101log 2,log 141log 2b c ==+==+所以0.30.30.311log 0.2log 2log 0.4a b +=+=，所以1101a b <+<，得01a b ab+<<． 又0a >，0b <，所以0ab <，所以0ab a b <+<．故选B ．（2）已知，则（ ） A ．B ．C ．D ．【解析】 由题意，可知，，，所以最大，，都小于1，因为，所以，故选A ． 重难点4 对数型复合函数的应用例6．（2017·山东滕州市第一中学新校高一课时练习）函数()()log 2a f x ax =-在[]0,1上是减函数，则a 的取值范围是（ ） A ．()0,1B ．()0,2C ．()1,2D ．()2,+∞【解析】因为0a >，所以2y ax =-在[]0,1上是减函数，又因为()f x 在[]0,1上是减函数，所以log a y x =是增函数，所以1a >；又因为对数的真数大于零，则2020a >⎧⎨->⎩，所以2a <；则(1,2)a ∈.故选：C. 【变式训练】．（1）判断f (x )＝⎝⎛⎭⎫13x 2－2x的单调性，并求其值域．（2）已知y ＝log a (2－ax )是[0,1]上的减函数，则a 的取值范围为( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(0,2)D ．[2，＋∞)(3)函数f (x )＝log 12(x 2＋2x ＋3)的值域是________．【解析】（1） 令u ＝x 2－2x ，则原函数变为y ＝⎝⎛⎭⎫13u.∵u ＝x 2－2x ＝(x －1)2－1在(－∞，1]上递减，在[1，＋∞)上递增，又∵y ＝⎝⎛⎭⎫13u在(－∞，＋0.20.32log 0.220.2a b c ===，，a b c <<a c b <<c a b <<b c a <<5log 21a =<115122221log 0.2log log 5log 5log 425b --====>=0.20.51c =<b a c 5log 2a ==150.210.52⎛⎫==== ⎪⎝⎭22log 5log 42>=>12⎛< ⎝c <a c b <<∞)上递减， ∴y ＝⎝⎛⎭⎫13x 2－2x在(－∞，1]上递增，在[1，＋∞)上递减．∵u ＝x 2－2x ＝(x －1)2－1≥－1，∴y ＝⎝⎛⎭⎫13u ，u ∈[－1，＋∞)，∴0<⎝⎛⎭⎫13u≤⎝⎛⎭⎫13－1＝3，∴原函数的值域为(0,3]．（2）∵f (x )＝log a (2－ax )在[0,1]上是减函数，且y ＝2－ax 在[0,1]上是减函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧ f (0)＞f (1)，a >1，即⎩⎪⎨⎪⎧ log a 2＞log a (2－a )，a >1，∴⎩⎪⎨⎪⎧a >1，2－a >0，∴1＜a ＜2. (3)f (x )＝log 12(x 2＋2x ＋3)＝log 12[(x ＋1)2＋2]，因为(x ＋1)2＋2≥2。
人教版高一数学上学期精品讲义专题09 对数与对数函数(重难点突破)解析版
专题09 对数与对数函数（重难点突破）一、知识结构思维导图二、学法指导与考点梳理重难点一 对数的概念如果a x ＝N ( a >0,且a ≠1),那么x 叫做以a 为底N 的对数,记作x ＝log a N ,其中a 叫做对数的底数,N 叫做真数.重难点二 对数的性质、换底公式与运算性质 ( 1)对数的性质:①a log a N ＝N ;②log a a b ＝b ( a >0,且a ≠1). ( 2)对数的运算法则 如果a >0且a ≠1,M >0,N >0,那么①log a ( MN )＝log a M ＋log a N ; ②log a MN＝log a M －log a N ;③log a M n ＝n log a M ( n ∈R); ④log a m M n ＝nm log a M ( m ,n ∈R,且m ≠0).( 3)换底公式:log b N ＝log a Nlog a b ( a ,b 均大于零且不等于1).重难点三 对数函数及其性质( 1)概念:函数y ＝log a x ( a ＞0,且a ≠1)叫做对数函数,其中x 是自变量,函数的定义域是( 0,＋∞).( 2)对数函数的图象与性质三、重难点题型突破重难点1 对数与对数式的化简求值 如果a >0,且a ≠1,M >0,N >0,那么:( 1)log a ( MN )＝log a M ＋log a N ;( 2)log a MN ＝log a M －log a N ;( 3)log a M n ＝n log a M ( n ∈R )．例1．（1）（2017·全国高一课时练习）已知lg 9=a,10b =5,则用a,b 表示log 3645为 ． 【正确答案】22a ba b +-+【详细解析】由已知得lg5b =,则36lg 45lg 5lg 9log 45lg 36lg 4lg 92lg 2b aa++===++, 因为10lg 2lg1lg515b ==-=-,所以2lg 22(1)22b a a b a b a b a a b +++==+-+-+, 即36log 4522a ba b +=-+.（2）. 求下列函数的定义域:( 1)f ( x )＝lg( x －2)＋1x －3;( 2)f ( x )＝log ( x ＋1)( 16－4x )．【详细解析】 ( 1)要使函数有意义,需满足⎩⎪⎨⎪⎧x －2>0，x －3≠0，解得x >2且x ≠3,所以函数定义域为( 2,3)∪( 3,＋∞)．( 2)要使函数有意义,需满足⎩⎪⎨⎪⎧16－4x >0，x ＋1>0，x ＋1≠1，解得－1<x <0或0<x <4,所以函数定义域为( －1,0)∪( 0,4)．【变式训练】（1）．（2017·全国高一单元测试）已知10m ＝2,10n ＝4,则3210m n-的值为( )A.2【正确答案】B【详细解析】3210m n -＝3221010m n ＝()()32121010m n ＝321224.正确答案:B（2）．（2013·全国高一课时练习）已知2log (2)log log a a a M N M N -=+,则MN的值为（ ） A ．14B ．4C ．1D ．4或1【正确答案】B【详细解析】因为2log (2)log log a a a M N M N -=+,所以2log (2)log a a M N MN -=（）,2(2)M N MN -=,2540M MN N-+=（）, 解得=1（舍去）,=4,故选B.重难点2 对数函数的图像与性质 例2求下列函数的定义域: ( 1)f ( x )＝1log 12x ＋1;( 2)f ( x )＝12－x ＋ln( x ＋1); 【详细解析】( 1)要使函数f ( x )有意义,则log 12x ＋1>0,即log 12x >－1,解得0<x <2,即函数f ( x )的定义域为( 0,2)．( 2)函数式若有意义,需满足⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1>0，2－x >0，即⎩⎪⎨⎪⎧x >－1，x <2，解得－1<x <2,故函数的定义域为( －1,2)．例3．（1）（2017·北京市第二中学分校高一课时练习）函数12log y x =,x ∈( 0,8]的值域是( ) A.[－3,＋∞) B.[3,＋∞) C.( －∞,－3] D.( －∞,3]【正确答案】A 【详细解析】∵12083x log x <≤∴≥，－,故选A.（2）．下列函数中,其图象与函数ln y x =的图象关于直线1x =对称的是（ ）A ．ln(1)y x =-B ．ln(2)y x =-C ．ln(1)y x =+D ．ln(2)y x =+【正确答案】B【详细解析】设所求函数图象上任一点的坐标为(,)x y ,则其关于直线1x =的对称点的坐标为(2,)x y - ,由对称性知点(2,)x y -在函数()ln f x x =的图象上,所以ln(2)y x =- ,故选B ．（3）．函数f ( x )＝a x－b的图象如图所示,其中a ,b 为常数,则下列结论正确的是( )A ．a >1,b <0B ．a >1,b >0C ．0<a <1,b >0D ．0<a <1,b <0【正确答案】D【详细解析】由于f ( x )的图象单调递减,所以0<a <1,又0<f ( 0)<1,所以0<a －b <1＝a 0,即－b >0,b <0,故选D.（4）．当a >1时,在同一坐标系中,函数y ＝a －x 与y ＝log a x 的图象为( )A B C D【正确答案】C【详细解析】∵a >1,∴0<1a <1,∴y ＝a －x 是减函数,y ＝log a x 是增函数,故选C.重难点3 对数函数的单调性与最值（比较大小）例4．函数2()ln(28)f x x x =--的单调递增区间是( )A ．(,2)-∞-B ．(,1)-∞C ．(1,)+∞D ．(4,)+∞ 【正确答案】D【详细解析】由2280x x --> ,得2x <-或4x > ,设228u x x =-- ,则(,2)x ∈-∞- ,u 关于x 单调递减,(4,)x ∈+∞ ,u 关于x 单调递增,由对数函数的性质,可知ln y u =单调递增,所以根据同增异减,可知单调递增区间为(4,)+∞．选D ． 例5．设,则( )A ．B ．C ．D ． 【正确答案】D【详细解析】, 由下图可知D 正确．【变式训练】．( 1)设0.2log 0.3a =,2log 0.3b =,则（ ）A ．0a b ab +<<B ．0ab a b <+<C ．0a b ab +<<D ．0ab a b <<+【正确答案】B【详细解析】由0.2log 0.3a =得0.31log 0.2a =,由2log 0.3b =得0.31log 2b=,357log 6,log 10,log 14a b c ===c b a >>b c a >>a c b >>a b c >>33log 61log 2,a ==+5577log 101log 2,log 141log 2b c ==+==+所以0.30.30.311log 0.2log 2log 0.4a b +=+=,所以1101a b <+<,得01a b ab+<<． 又0a >,0b <,所以0ab <,所以0ab a b <+<．故选B ．（2）已知,则（ ） A ． B ．C ．D ．【正确答案】A【详细解析】 由题意,可知,, ,所以最大, ,都小于1,因为,,所以,故选A ． 重难点4 对数型复合函数的应用例6．（2017·山东滕州市第一中学新校高一课时练习）函数()()log 2a f x ax =-在[]0,1上是减函数,则a 的取值范围是（ ） A ．()0,1 B ．()0,2 C ．()1,2 D ．()2,+∞【正确答案】C【详细解析】因为0a >,所以2y ax =-在[]0,1上是减函数,又因为()f x 在[]0,1上是减函数,所以log a y x =是增函数,所以1a >;又因为对数的真数大于零,则2020a >⎧⎨->⎩,所以2a <;则(1,2)a ∈. 故选:C.【变式训练】．.（1）判断f ( x )＝⎝⎛⎭⎫13x 2－2x的单调性,并求其值域．（2）已知y ＝log a ( 2－ax )是[0,1]上的减函数,则a 的取值范围为( )A ．( 0,1)B ．( 1,2)C ．( 0,2)D ．[2,＋∞)( 3)函数f ( x )＝log 12( x 2＋2x ＋3)的值域是________．0.20.32log 0.220.2a b c ===，，a b c <<a c b <<c a b <<b c a <<5log 21a =<115122221log 0.2log log 5log 5log 425b --====>=0.20.51c =<b a c 521log 2log 5a ==150.210.52c ⎛⎫==== ⎪⎝⎭22log 5log 42>=>12⎛< ⎝c <a c b <<【详细解析】（1） 令u ＝x 2－2x ,则原函数变为y ＝⎝⎛⎭⎫13u.∵u ＝x 2－2x ＝( x －1)2－1在( －∞,1]上递减,在[1,＋∞)上递增,又∵y ＝⎝⎛⎭⎫13u在( －∞,＋∞)上递减, ∴y ＝⎝⎛⎭⎫13x 2－2x在( －∞,1]上递增,在[1,＋∞)上递减．∵u ＝x 2－2x ＝( x －1)2－1≥－1,∴y ＝⎝⎛⎭⎫13u ,u ∈[－1,＋∞),∴0<⎝⎛⎭⎫13u ≤⎝⎛⎭⎫13－1＝3, ∴原函数的值域为( 0,3]．（2）∵f ( x )＝log a ( 2－ax )在[0,1]上是减函数,且y ＝2－ax 在[0,1]上是减函数,∴⎩⎪⎨⎪⎧ f (0)＞f (1)，a >1，即⎩⎪⎨⎪⎧ log a 2＞log a (2－a )，a >1，∴⎩⎪⎨⎪⎧a >1，2－a >0，∴1＜a ＜2. ( 3)f ( x )＝log 12( x 2＋2x ＋3)＝log 12[( x ＋1)2＋2],因为( x ＋1)2＋2≥2。
对数与对数函数知识点及例题讲解
对数与对数函数1.对数（1）对数的定义：）对数的定义：如果a b =N （a ＞0，a ≠1），那么b 叫做以a 为底N 的对数，记作log a N =b . （2）指数式与对数式的关系：a b =N Ûlog a N =b （a ＞0，a ≠1，N ＞0）.两个式子表示的a 、b 、N 三个数之间的关系是一样的，并且可以互化. （3）对数运算性质: ①log a （MN ）=log a M +log a N . ②log a NM =log a M －log a N . ③log a M n =n log a M .（M ＞0，N ＞0，a ＞0，a ≠1）④对数换底公式：log b N =bNN a a log log log （a ＞0，a ≠1，b ＞0，b ≠1，N ＞0）. 2.对数函数（1）对数函数的定义）对数函数的定义函数y =log a x （a ＞0，a ≠1）叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是（0，+∞）. 注意：真数式子没根号那就只要求真数式大于零,如果有根号,要求真数大于零还要保证根号里的式子大于零，底数则要大于0且不为1 对数函数的底数为什么要大于0且不为1呢？在一个普通对数式里在一个普通对数式里 a<0,或=1 的时候是会有相应b 的值的。
但是，根据对数定义: : loglog a a=1；如果a=1或=0那么log a a 就可以等于一切实数（比如log 1 1也可以等于2，3，4，5，等等）第二，根据定义运算公式：log a M^n = nlog a M 如果a<0,那么这个等式两边就不会成立 （比如，log (-2) 4^(-2) 就不等于(-2)*log (-2) 4；一个等于1/16，另一个等于-1/16） （2）对数函数的图象）对数函数的图象O xyy = l o g x a > Oxy<a <a y = l o g x a 1111( ())底数互为倒数的两个对数函数的图象关于x 轴对称. （3）对数函数的性质: ①定义域：（0，+∞）. ②值域：R . ③过点（1，0），即当x =1时，y =0. ④当a ＞1时，在（0，+∞）上是增函数；当0＜a ＜1时，在（0，+∞）上是减函数. 基础例题1.函数f （x ）=|log 2x |的图象是的图象是1 1 1-1 1111 1 xxxxy y y y O OOOA BC D解析：f （x ）=îíì<<-³.10,log ,1,log 22x x x x答案：A 2.若f －－1（x ）为函数f （x ）=lg （x +1）的反函数，则f －－1（x ）的值域为___________________. 解析：f －1（x ）的值域为f （x ）=lg （x +1）的定义域.由f （x ）=lg （x +1）的定义域为（－1，+∞），∴f －－1（x ）的值域为（－1，+∞）. 答案：（－1，+∞）∞）3.已知f （x ）的定义域为［0，1］，则函数y =f ［log 21（3－x ）］的定义域是__________. 解析：由0≤log 21（3－x ）≤1Þlog 211≤log 21（3－x ）≤log 2121Þ21≤3－x ≤1Þ2≤x ≤25. 答案：［2，25］4.若log x7y=z ，则x 、y 、z 之间满足之间满足A.y 7=x zB.y =x 7zC.y =7x zD.y =z x解析：由logx 7y=z Þx z=7y Þx 7z=y ，即y =x 7z. 答案：B 5.已知1＜m ＜n ，令a =（log n m ）2，b =log n m 2，c =log n （log n m ），则，则A.a ＜b ＜cB.a ＜c ＜bC.b ＜a ＜cD.c ＜a ＜b解析：∵1＜m ＜n ，∴0＜log n m ＜1. ∴log n （log n m ）＜0. 答案：D 6.若函数f （x ）=log a x （0＜a ＜1）在区间［a ，2a ］上的最大值是最小值的3倍，则a 等于等于 A.42 B.22 C.41 D.21解析：∵0＜a ＜1，∴f （x ）=log a x 是减函数.∴log a a =3·log a 2a . ∴log a 2a =31.∴1+log a 2=31.∴log a 2=－32.∴a =42. 答案：A 7.函数y ＝log 2｜ax －1｜（a ≠0）的对称轴方程是x ＝－2，那么a 等于A. 21 B.－21 C.2 D.－2 解析：y =log 2|ax －1|=log 2|a （x －a1）|，对称轴为x =a1，由a1=－2 得a =－21. 答案：B 注意：此题还可用特殊值法解决，如利用f （0）=f （－4）， 可得0=log 2|－4a －1|.∴|4a +1|=1.∴4a +1=1或4a +1=－1. ∵a ≠0，∴a =－21. 8.函数f （x ）=log 2|x |，g （x ）=－x 2+2，则f （x ）·g （x ）的图象只可能是能是OxyOxyOxyOxyABC D解析：∵f （x ）与g （x ）都是偶函数，∴f （x ）·g （x ）也是偶函数，)111-1O xy注意：研究函数的性质时，利用图象会更直观. 【例3】 已知f （x ）=log 31［3－（x －1）2］，求f （x ）的值域及单调区间. 解：∵真数3－（x －1）2≤3，∴log 31［3－（x －1）2］≥log 313=－1，即f （x ）的值域是［－1，+∞）.又3－（x －1）2＞0，得1－3＜x ＜1+3，∴x ∈（1－3，1］时，］时，3－（x －1）2单调递增，从而f （x ）单调递减；x ∈［1，1+3）时，f （x ）单调递增. 注意：讨论复合函数的单调性要注意定义域. 【例4】已知y =log a （3－ax ）在［0，2］上是x 的减函数，求a 的取值范围. 解：∵a ＞0且a ≠1，∴t =3－ax 为减函数.依题意a ＞1，又t =3－ax 在［0，2］上应有t ＞0，∴3－2a ＞0.∴a ＜23.故1＜a ＜23. 【例5】设函数f （x ）=lg （1－x ），g （x ）=lg （1+x ），在f （x ）和）和 g （x ）的公共定义域内比较|f （x ）|与|g （x ）|的大小. 解：f （x ）、g （x ）的公共定义域为（－1，1）. |f （x ）|－|g （x ）|=|lg （1－x ）|－|lg （1+x ）|. （1）当0＜x ＜1时，|lg （1－x ）|－|lg （1+x ）|=－lg （1－x 2）＞0； （2）当x =0时，|lg （1－x ）|－|lg （1+x ）|=0；（3）当－1＜x ＜0时，|lg （1－x ）|－|lg （1+x ）|=lg （1－x 2）＜0. 综上所述，当0＜x ＜1时，|f （x ）|＞|g （x ）|；当x =0时，|f （x ）|=|g （x ）|；当－1＜x ＜0时，|f （x ）|＜|g （x ）|. 【例6】 求函数y =2lg （x －2）－lg （x －3）的最小值. 解：定义域为x ＞3，原函数为y ＝lg 3)2(2--x x . 又∵3)2(2--x x x ＝3442-+-x x x ＝31)3(2)3(2-+-+-x x x ＝（x －3）＋31-x ＋2≥4， ∴当x ＝4时，y min ＝lg4. 【例7】 （2003年北京宣武第二次模拟考试）在f 1（x ）=x 21，f 2（x ）=x 2，f 3（x ）=2x ，f 4（x ）=log 21x 四个函数中，x 1＞x 2＞1时，能使21［f（x 1）+f （x 2）］＜f （221x xx x +）成立的函数是）成立的函数是A.f 1（x ）=x 21B.f 2（x ）=x 2C.f 3（x ）=2xD.f 4（x ）=log 21x解析：由图形可直观得到：只有f 1（x ）=x 21为“上凸”的函数. 答案：A 探究创新1.若f （x ）=x 2－x +b ，且f （log 2a ）=b ，log 2［f （a ）］=2（a ≠1）. （1）求f （log 2x ）的最小值及对应的x 值；值；（2）x 取何值时，f （log 2x ）＞f （1）且log 2［f （x ）］＜f （1）？）？ 解：（1）∵f （x ）=x 2－x +b ，∴f （log 2a ）=log 22a －log 2a +b . 由已知有log 22a －log 2a +b =b ，∴（log 2a －1）log 2a =0. ∵a ≠1，∴log 2a =1.∴a =2.又log 2［f （a ）］=2，∴f （a ）=4. ∴a 2－a +b =4，b =4－a 2+a =2.故f （x ）=x 2－x +2，127m +m －+m ）－+m+2m ≥+xm+2m ）+x m ≥2m （当且仅当=xm ，即=m 时等号成立）+x m +2m ）=4m ，即4m ≥≥169. 可以首先将它们与零比较，分出正负；正数通常都再与1比较分出大于1还是小于1，然后在各类中间两两相比较. 3.在给定条件下，求字母的取值范围是常见题型，要重视不等式知识及函数单调性在这类问题上的应用. 。
《对数函数的概念》《对数函数的图象和性质》指数函数与对数函数PPT
-1
2
2
1
化简可得 ≤x2≤2.
2
再由 x>0 可得 2≤x≤
2
2
答案:(1)A (2)
, 2
2
2
2
2
1
,
2,故函数 f(x)的定义域为
2
,
2
2 .
课堂篇
探究学习
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
思想方法
随堂演练
反思感悟 定义域问题注意事项
(1)要遵循以前已学习过的求定义域的方法,如分式分母不为零,
偶次根式被开方式大于或等于零等.
a>1
0<a<1
图象
性
质
定义域
值域
过定点
单调性
奇偶性
(0,+∞)
R
(1,0),即当 x=1 时,y=0
在(0,+∞)
在(0,+∞)
上是增函数
上是减函数
非奇非偶函数
课前篇
自主预习
一
二
三
3.做一做
(1)若函数y=logax的图象如图所示,则a的值可能是 (
)
A.0.5 B.2
C.e D.π
(2)下列函数中,在区间(0,+∞)内
.
2 -2-8 = 0,
解析:(1)由题意可知 + 1 > 0, 解得 a=4.
+ 1 ≠ 1,
(2)设对数函数为f(x)=logax(a>0,且a≠1).
则由题意可得f(8)=-3,即loga8=-3,
所以
a-3=8,即
1
3
-
对数函数(基础知识+基本题型)(含解析)
4.4对数函数（基础知识+基本题型）知识点一 对数函数的概念一般地，我们把函数log (0,a y x a =>且1)a ≠叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是()0,.+∞辨析 (1)对数函数的特征：①log a x 的系数是1；②log a x 的底数是不等于1的正数； ③log a x 的真数仅含自变量.x(2)求对数函数的定义域时，应注意：①对数的真数大于0，底数大于0且不等于1；②对含有字母的式子要分类讨论；③使式子符合实际背景.知识点二 对数函数的图象和性质1.对数函数log (0,a y x a =>且1)a ≠的图象和性质()0,+∞.R 2.对数函数的图象与性质的对应关系①这些图象都位于y 轴右方 ①x 可取任意正数，函数值.y R ∈ ②这些图象都经过点(1,0)②无论a 为任何正数，总有log 10a =③图象可以分为两类：一类图象在区间(0,1)内纵坐标都小于0，在区间()1,+∞内的纵坐标都大于0；另一类图象正好相反③当1a >时01log 0,1log 0;a a x x x x <<⇒<⎧⎨>⇒>⎩ 当01a <<时01log 0,1log 0a a x x x x <<⇒>⎧⎨>⇒>⎩ ④自左向右看，当1a >时，图象逐渐上升；当01a <<时，图象逐渐下降 ④当1a >时，函数log a y x =是增函数； 当01a <<时，函数log a y x =是减函数3.底数对函数图象的影响(1)函数log (0,a y x a =>且1)a ≠的图象无限地靠近y 轴，但永远不会与y 轴相交；(2)在同一平面直角坐标系中，log (0,a y x a =>且1)a ≠的图象与1log (0,ay x a =>且1)a ≠的图象关于x 轴对称.(3)对数函数单调性的记忆口诀：对数增减有思路，函数图象看底数；底数要求大于0，但等于1却不行； 底数若是大于1，函数从左往右增；底数0到1之间，函数从左往右减； 无论函数增和减，图象都过点(1,0).在同一坐标系内，当a>1时，随a 的增大，对数函数的图像愈靠近x 轴；当0<a<1时，对数函数的图象随a 的增大而远离x 轴.(见下图)知识点三 指数函数与对数函数的关系指数函数对数函数解析式()10≠>=a a a y x 且)10(log ≠>=a a x y a 且R ()+∞,0①一般地，函数()y f x a b =±±（a 、b 为正数）的图象可由函数()y f x =的图象变换得到。
新人教A版必修一对数函数的概念对数函数图像和性质课件(22张)
(2)下列函数中,是对数函数的是
.(填序号)
①y=log4x;②y=log2(3x);③y=logx2;④y=log3(x-1);⑤y=log2x2;
1
⑥y= 2 log3x.
探究一
探究二
探究三
易错辨析
解析:(1)设 f(x)=logax(a>0,且 a≠1),
1
依题意有 loga4=-1,故 a=4,
探究三
易错辨析
对于含有偶次根式中被开方式为对数式时,要注意被开方的代数
式为非负,还要顾及对数式中本身的真数大于0这一隐含信息,错解
中显然忘记了真数大于0这一隐含条件.
1
2
3
4
5
6
1.下列函数中,是对数函数的是(
A.y=log2x-1
B.y=logx3x
C.y= log 1 x
D.y=3log5x
2
探究一
探究二
探究三
易错辨析
变式训练2函数f(x)=3x(0<x≤2)的反函数的定义域为(
A.(0,+∞)
B.(1,9]
C.(0,1)
D.[9,+∞)
解析:∵ 0<x≤2,∴1<3x≤9,
即函数f(x)的值域为(1,9].
故函数f(x)的反函数的定义域为(1,9].
答案:B
)
探究一
探究二
探究三
易错辨析
C.
2
D.x2
解析:由题意,知 f(x)=logax.∵f(x)的图像过点(√,a),
1
∴a=loga√.∴a=2.∴f(x)=log 1 x.故选 B.
2
答案:B
函数y=logax(a>0,且a≠1)的反函数是y=ax(a>0,且a≠1);函数
对数函数考点分析及经典例题讲解
对数函数考点分析及经典例题讲解1． 对数函数的定义：函数 x y log =)10(≠>a a 且叫做对数函数,定义域是 (0,)+∞a 的取值 0＜a ＜1a ＞1定义域(0,)+∞图 象图像特征在y 轴的右侧，过定点（1，0）即x =1时，y =0当x>0且x →0时,图象趋近于 y 轴正半轴. 当x>0且x →0时，图象趋近于 y 轴负半轴.值域 R性 质 过定点（1，0），在（0，+∞）上是减函数在（0，+∞）上是增函数 函数值的变化规律当0<x<1时，y ∈(0,+∞)当x=1 时，y=0; 当x>1 时, y<0.当0<x<1时，y<0; 当x=1时， y=0 ; 当x>1时， y>0 .3.对数函数y=log a x(a>0,且a ≠1)与指数函数y=a x(a>0,且a ≠1)互为反函数 .它们的图象关于x y =对称.案例分析： 考点一、比较大小例1、比较下列各组数中两个值的大小：（1）log 23.4，log 23.8； （2）log 0.51.8，log 0.52.1；（3）log a 5.1，log a 5.9； （4）log 75，log 67.(5)； (6)6log ,7log 768.0log ,log 23π变式训练：1、已知函数x y 2log =，则当1>x 时，∈y ；当10<<x 时，∈y .考点二、求定义域例2、求下列函数的定义域（1）0.2log (4);y x =-； （2）log ay =(0,1).a a >≠；（3）2(21)log (23)x y x x -=-++ （4）y =例3、选择题：若03log 3log <<n m 则m 、n 满足的条件是（ ）A 、m>n>1B 、n>m>1C 、0<m<n<1D 、0<n<m<1例4 、函数)352(log 221++-=x x y 在什么区间上是增函数？在什么区间上是减函数？1、函数f (x )＝log a [(a －1)x ＋1]在定义域上( )A ．是增函数B ．是减函数C ．先增后减D ．先减后增 2、方程)13lg()3lg(222+-=x x 的解集是 ．3、已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋1x ≤0log 2x x ＞0，则使函数f (x )的图象位于直线y ＝1上方的x 的取值范围是________．4、若0<)12(log )1(log 22-<+a a ，则实数a 的取值范围是 .5、方程()lg 3x +-()lg 3x -＝()lg 1x -的解是 ．考点三、求值域例1、（1）、12);4x -(-x log y 221+=（2）、3);-2x -(x log y 221=（3）y=log a (a-a x)(a>1).1、求下列函数的定义域、值域：⑴ ⑵⑶⑷41212-=--x y )52(log 22++=x x y )54(log 231++-=x x y )(log 2x x y a --=)10(<<a2、求函数y ＝log 2(x 2－6x ＋5)的定义域和值域．3、已知x 满足条件09log 9)(log 221221≤++x x ，求函数)4(log )3(log )(22xx x f ⋅=的最大值．4、已知)23lg(lg )23lg(2++=-x x x ，求222log x 的值。
对数函数常见题型(解析版)
4.4 对数函数1．对数函数的定义一般地，我们把函数y＝log a x(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞).(1)由于指数函数y＝a x中的底数a满足a＞0，且a≠1，则对数函数y＝log a x中的底数a也必须满足a＞0，且a≠1.(2)对数函数的解析式同时满足：①对数符号前面的系数是1；②对数的底数是不等于1的正实数(常数)；③对数的真数仅有自变量x.2．对数函数的图象和性质一般地，对数函数y＝log a x(a＞0，且a≠1)的图象和性质如下表所示：a＞10＜a＜1图象性质定义域：(0，＋∞)值域：R图象过定点(1,0)，即当x＝1时，y＝0在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数非奇非偶函数3.反函数对数函数y＝log a x(a＞0，且a≠1)和指数函数y＝a x(a＞0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x 对称．4．对数型复合函数的单调性复合函数y＝f[g(x)]是由y＝f(x)与y＝g(x)复合而成，若f(x)与g(x)的单调性相同，则其复合函数f[g(x)]为增函数；若f(x)与g(x)的单调性相反，则其复合函数f[g(x)]为减函数.对于对数型复合函数y＝log a f(x)来说，函数y＝log a f(x)可看成是y＝log a u与u＝f(x)两个简单函数复合而成的，由复合函数单调性“同增异减”的规律即可判断．另外，在求复合函数的单调区间时，首先要考虑函数的定义域．5．对数型复合函数的值域对于形如y＝log a f(x)(a>0，且a≠1)的复合函数，其值域的求解步骤如下：(1)分解成y＝log a u，u＝f(x)两个函数；(2)解f(x)>0，求出函数的定义域；(3)求u的取值范围；(4)利用y＝log a u的单调性求解．题型一 对数函数的判断例1、（1）给出下列函数：①223log y x =；①3log (1)y x =-；①(1)log x y x +=；①log e y x =.其中是对数函数的有（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个（2）若函数2log 32a y x a a =+-+为对数函数，则a =（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4解:（1）①①不是对数函数，因为对数的真数不是仅有自变量x ； ①不是对数函数，因为对数的底数不是常数；①是对数函数．（2）由题可知：函数2log 32a y x a a =+-+为对数函数所以23201a a a -+=⇒=或2a =，又0a >且1a ≠所以2a = 跟踪练习1．下列函数表达式中，是对数函数的有（ ）①y ＝log x 2；①y ＝log a x (a ①R )；①y ＝log 8x ；①y ＝ln x ；①y ＝log x (x ＋2)；①y ＝log 2(x ＋1)． A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【解析】形如log a y x =（0a >且1a ≠）的函数为对数函数，故①①为对数函数，所以共有2个. 2．下列函数表达式中，是对数函数的有（ ）①log 2x y =；①()log a y x a =∈R ；①8log y x =；①ln y x =；①()log 2x y x =+；①42log y x =；①()2log 1y x =+. A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个【解析】由于①中自变量出现在底数上，∴①不是对数函数； 由于①中底数a ∈R 不能保证0a >，且1a ≠，∴①不是对数函数； 由于①①的真数分别为()2x +，()1x +，∴①①也不是对数函数； 由于①中4log x 的系数为2，∴①也不是对数函数； 只有①①符合对数函数的定义.3．（全国高一课时练习）若函数()2()log 45a f x x a a =+--是对数函数，a =_________.【解析】由对数函数的定义可知，245001a a a a ⎧--=⎪>⎨⎪≠⎩，解得5a =．题型二 对数函数的解析式或函数值例2（1）（上海高一专题练习）对数函数的图像过点M (125，3)，则此对数函数的解析式为（ ） A ．y ＝log 5xB ．y ＝15log xC ．y ＝13log xD ．y ＝log 3x（2）（全国高一课前预习）设()log a f x x =（0a >且1a ≠），若1(2)2f =，则12f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）. A ．2B ．2-C ．12-D ．12【解析】（1）设函数解析式为y ＝log a x (a >0，且a ≠1)．由于对数函数的图像过点M (125，3)， 所以3＝log a 125，得a ＝5.所以对数函数的解析式为y ＝log 5x . （2）因为()log a f x x =（0a >且1a ≠），1(2)2f =，所以1(2)log 22a f ==，即122a =，解得4a =， 所以4()log f x x =，所以4111log 222f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭.跟踪练习1．若某对数函数的图象过点()4,2，则该对数函数的解析式为（ ） A ．2log y x =B ．42log y x =C ．2log y x =或42log y x =D ．不确定【解析】设函数为()log 0,1a y x a a =>≠，依题可知，2log 4a =，解得2a =，所以该对数函数的解析式为2log y x =．2．若函数()()lo 1g a f x x =+(0,1)a a >≠的图像过点(7,3)，则a 的值为（ ） A 2B ．2C ．22D ．12【解析】由题, ()373log 182a a a +⇒=⇒==.题型三 对数函数的定义域例3（1）函数()ln 14x f x x-=-的定义域为（ ）A ．(]1,2B ．[]1,4C ．()1,4D ．[]2,4（2）已知函数(2)x y f =的定义域是[]1,1-，则函数3(log )f x 的定义域是（ ） A ．[]1,1-B ．1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．[]1,3D ．[3,9]（3）若函数()lg 1y ax =+的定义域为(),1-∞，则a =（ ） A ．1 B ．－1 C ．2D ．无法确定【解析】（1）对于函数()ln 14x f x x -=-1040x x ->⎧⎨->⎩，解得14x <<.因此，函数()ln 14x f x x-=-的定义域为()1,4.（2）由[]1,1x ∈-，得1,222x⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以31log ,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以3,9x ⎤∈⎦． （3）函数()lg 1y ax =+的定义域为(),1-∞，则10ax +>的解集为(),1-∞， 即0a <，且10ax +=的根11a-=，故1a =-. 跟踪练习1．函数()00.5log 21y x =-⎡⎤⎣⎦的定义域为（ ）A ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭B ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．()1,+∞D ．()1,11,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【解析】要使函数有意义，只需()0.5log 210x -≠，即210211x x ->⎧⎨-≠⎩，解得112x <<或1x >． 2．函数3()log (21)1xf x x x =--的定义域是（ ） A ．1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．(1,)+∞D ．1(,1)2【解析】由已知得1021>0x x ->⎧⎨-⎩，解得112x <<，所以函数()f x 的定义域为112⎛⎫⎪⎝⎭， 3．若函数(1)f x +的定义域为[0 1]，，则(lg )f x 的定义域为（ ） A ．[10 100]，B ．[1 2]，C ．[0 1]，D ．[0 lg2]，【解析】因为函数(1)f x +的定义域为[0 1]，，所以112x ≤+≤，所以1lg 2x ≤≤， 解得：10100x ≤≤，所以(lg )f x 的定义域为[10 100]，. 4.求下列函数的定义域 （1）2112y x x=+-- （2）函数221()x f x --=（3）20()(54)lg(43)x f x x x =+-+ 【解析】（1）若要使函数有意义，则22010x x ⎧-≠⎪⎨-≥⎪⎩，解得1≥x 或1x ≤-且2x ≠±，所以该函数的定义域为][)()(,2)(2,11,22,-∞-⋃--⋃⋃+∞；（2）若要使函数有意义，则2210log (1)010x x x ⎧--≥⎪-≠⎨⎪->⎩，解得3x ≥，所以该函数的定义域为[)3,+∞；（3）若要使函数有意义，则lg(43)0430540x x x +≠⎧⎪+>⎨⎪-≠⎩，解得34x >-且12x ≠-，45x ≠，所以该函数的定义域为31144,,,42255⎛⎫⎛⎫⎛⎫--⋃-⋃+∞ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.题型四 对数函数的定点例4函数()log 272=+-a y x （0a >，且1a ≠）的图象一定经过的点是（ ） A ．7,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭B ．()3,2--C ．()3,1--D ．()4,2--【解析】令271x +=，3x =-，则2y =-，即函数图象过定点()3,2--． 跟踪练习1．函数()()log 310,1a y x a a =->≠的图象过定点（ ） A ．2,13⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．()1,0-C ．2,03⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．()0,1-【解析】对于函数()()log 310,1a y x a a =->≠，令311x -=，可得23x =，则log 10a y ==， 因此，函数()()log 310,1a y x a a =->≠的图象过定点2,03⎛⎫⎪⎝⎭.2．函数()log 1a y x =-的图象必过的点是（ ） A ．()1,0- B ．()1,0C ．()0,0D ．()2,0【解析】() log 1a y x =-，则当11x -=，即2x =时，0y =是与a 的值无关的定值，故函数()log 1a y x =-的图形必过的点是()20,.3．（湖北高一开学考试）已知函数log (3)2a y x =-+（0a >且1a ≠）的图象恒过定点P ，点P 在幂函数()y f x =的图象上，则lg (4)lg (25)f f +=（ ) A ．2-B ．2C ．1D ．1-【解析】函数()log 32a y a =-+中，令31x -=，解得4x =，此时log 122a y =+=；所以函数y 的图象恒过定点()4,2P ，又点P 在幂函数()my f x x ==的图象上，所以42m =，解得0.5m =；所以()0.5f x x =，所以()()()()lg 4lg 25lg 425lg101f f f f +=⋅==⎡⎤⎣⎦．题型五 对数函数的值域（最值）例5（1）已知184x ≤≤，则函数2()log f x x =的值域是 。
专题36 高中数学对数函数的概念、图象及性质(解析版)
专题36 对数函数的概念、图象及性质1．对数函数的概念函数y＝log a x(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．判断一个函数是对数函数必须是形如y＝log a x(a>0，且a≠1)的形式，即必须满足以下条件：(1)系数为1. (2)底数为大于0且不等于1的常数．(3)对数的真数仅有自变量x.2．对数函数的图象及性质a的范围0<a<1a>1图象定义域(0，＋∞)值域R性质定点(1,0)，即x＝1时，y＝0单调性在(0，＋∞)上是减函数在(0，＋∞)上是增函数3．反函数指数函数y＝a x(a>0，且a≠1)与对数函数y＝log a x(a>0且a≠1)互为反函数．4．底数对函数图象的影响对数函数y＝log2x，y＝log3x，y＝log12x，y＝log13x的图象如图所示，可得如下规律：①y＝log a x与y＝log1ax的图象关于x轴对称；②当a＞1时，底数越大图象越靠近x轴；当0＜a＜1时，底数越小图象越靠近x轴．5．函数图象的变换规律(1)一般地，函数y＝f(x±a)＋b(a，b为实数)的图象是由函数y＝f(x)的图象沿x轴向左或向右平移|a|个单位长度，再沿y轴向上或向下平移|b|个单位长度得到的.(2)含有绝对值的函数的图象一般是经过对称变换得到的.一般地，y＝f(|x－a|)的图象是关于直线x＝a对称的轴对称图形；函数y＝|f(x)|的图象与y＝f(x)的图象在f(x)≥0的部分相同，在f(x)<0的部分关于x轴对称.题型一 对数函数的概念及应用1．指出下列函数哪些是对数函数？(1)y ＝3log 2x ；(2) y ＝log 6x ；(3) y ＝log x 3；(4) y ＝log 2x ＋1. [解析] (1)log 2x 的系数是3，不是1，不是对数函数． (2)符合对数函数的结构形式，是对数函数． (3)自变量在底数位置上，不是对数函数． (4)对数式log 2x 后又加1，不是对数函数．2．下列给出的函数：①y ＝log 5x ＋1；②y ＝log a x 2(a >0，且a ≠1)；③y ＝log (3－1)x ；④y ＝13log 3x ； ⑤y ＝log x 3(x >0，且x ≠1)；⑥y ＝log 2πx .其中是对数函数的为( )A ．③④⑤B ．②④⑥C ．①③⑤⑥D ．③⑥[解析]由对数函数定义知，③⑥是对数函数，故选D. 3．下列函数表达式中，是对数函数的有( )①y ＝log x 2；②y ＝log a x (a ∈R)；③y ＝log 8x ；④y ＝ln x ；⑤y ＝log x (x ＋2)；⑥y ＝2log 4x ；⑦y ＝log 2(x ＋1)．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个[解析]形如y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的函数即为对数函数，符合此形式的只有③④，其他的不符合．故选B. 4．下列函数是对数函数的是( )A ．y ＝2＋log 3xB ．y ＝log a (2a )(a >0，且a ≠1)C ．y ＝log a x 2(a >0，且a ≠1)D ．y ＝ln x[解析]结合对数函数的形式y ＝l o g a x (a >0且a ≠1)可知D 正确． 5．下列函数是对数函数的是( )A ．y ＝log a (2x )B ．y ＝log 22xC ．y ＝log 2x ＋1D ．y ＝lg x[解析]形如y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的函数即为对数函数，符合此形式的只有D ，其他的不符合．故选D. 6．下列函数是对数函数的有( )①y ＝2log 3x ；②y ＝1＋log 3x ；③y ＝log 3x ；④y ＝(log 3x )2. A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个[解析]结合对数函数的形式y ＝l o g a x (a >0且a ≠1)可知A 正确． 7．若f (x )＝log a x ＋(a 2－4a －5)是对数函数，则a ＝______.[解析]由对数函数的定义可知，⎩⎪⎨⎪⎧a 2－4a －5＝0，a ＞0，a ≠1，解得a ＝5.答案：58．函数f (x )＝(a 2＋a －5)log a x 为对数函数，则f ⎝⎛⎭⎫18等于( )A ．3B ．－3C ．－log 36D ．－log 38[解析]∵函数f (x )＝(a 2＋a －5)log ax 为对数函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋a －5＝1，a ＞0，a ≠1，解得a ＝2，∴f (x )＝log 2x ，∴f ⎝⎛⎭⎫18＝log 218＝－3.故选B. 9．若函数y ＝log (2a －1)x ＋(a 2－5a ＋4)是对数函数，则a ＝________.[解析]因为函数y ＝log (2a －1)x ＋(a 2－5a ＋4)是对数函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a －1>0，2a －1≠1，a 2－5a ＋4＝0，解得a ＝4.10．若函数f (x )＝log (a ＋1)x ＋(a 2－2a －8)是对数函数，则a ＝________.[解析] 由对数函数的定义可知⎩⎪⎨⎪⎧a 2－2a －8＝0，a ＋1＞0，a ＋1≠1，解得a ＝4.11．若对数函数y ＝f (x )满足f (4)＝2，则该对数函数的解析式为( )A ．y ＝log 2xB ．y ＝2log 4xC ．y ＝log 2x 或y ＝2log 4xD ．不确定[解析]设对数函数的解析式为y ＝log a x (a >0，且a ≠1)，由题意可知log a 4＝2，∴a 2＝4，∴a ＝2. ∴该对数函数的解析式为y ＝log 2x.12．已知对数函数的图象过点(16,4)，则f ⎝⎛⎭⎫12＝__________.[解析]设对数函数为f (x )＝log a x (a >0且a ≠1)，由f (16)＝4可知log a 16＝4，∴a ＝2， ∴f (x )＝log 2x ，∴f ⎝⎛⎭⎫12＝log 212＝－1. 13．已知对数函数f (x )的图象过点(8，－3)，则f (22)＝________. [解析]设f (x )＝log a x (a >0，且a ≠1)，则－3＝log a 8，∴a ＝12，∴f (x )＝log 12x ，f (22)＝log 12(22)＝－log 2(22)＝－32.14．已知函数f (x )＝log 2(x 2＋a )．若f (3)＝1，则a ＝________. [解析]由f (3)＝1得l o g 2(32＋a )＝1，所以9＋a ＝2，解得a ＝－7. 15．已知f (x )为对数函数，f ⎝⎛⎭⎫12＝－2，则f ⎝⎛⎭⎫14＝________. [解析]设f (x )＝log a x ，则f ⎝⎛⎭⎫12＝log a 12＝－2，得a ＝2，f ⎝⎛⎭⎫14＝log 2 14＝－4. 16．已知函数f(x )＝alog 2x ＋blog 3x ＋2，且f ⎝⎛⎭⎫12019＝4，则f(2019)的值为( )A ．－4B ．－2C ．0D ．2[解析]f(x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝alog 2 x ＋blog 3 x ＋2＋alog 21x ＋blog 31x ＋2＝4，所以f(2019)＋f ⎝⎛⎭⎫12019＝4， 又因为f ⎝⎛⎭⎫12019＝4，所以f(2019)＝0.17．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，2x ，x ≤0，若f (a )＝12，则a ＝________.[解析]当x >0时，f (x )＝log 2x ，由f (a )＝12得log 2a ＝12，即a ＝ 2.当x ≤0时，f (x )＝2x ，由f (a )＝12得2a ＝12，a ＝－1.综上a ＝－1或 2.18．设函数f (x )＝log a x (a >0，且a ≠1)，若f (x 1x 2…x 2 019)＝8，则f (x 21)＋f (x 22)＋…＋f (x 22 019)的值等于___． [解析]∵f (x 21)＋f (x 22)＋f (x 23)＋…＋f (x 22 019)＝log a x 21＋log a x 22＋log a x 23＋…＋log a x 22 019＝log a (x 1x 2x 3…x 2 019)2＝2log a (x 1x 2x 3…x 2 019)＝2×8＝16.19．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x (x ≥4)，f (x ＋2)(x ＜4)，则f (log 23)＝________.[解析]因为log 23＜4，log 23＋2＝log 23＋log 24＝log 212＜4，log 212＋2＝log 212＋log 24＝log 248＞4， 所以f (log 23)＝f (log 248)＝2log248＝48.20．若函数y ＝f (x )是函数y ＝3x 的反函数，则f ⎝⎛⎭⎫12的值为 [解析]由题意可知f (x )＝log 3x ，所以f ⎝⎛⎭⎫12＝log 312＝－log 32 题型二 对数型函数的定义域1．求下列函数的定义域：(1)f (x )＝lg(x －2)＋1x －3；(2)f (x )＝log (x ＋1)(16－4x )； (3)y ＝lg (2－x )；(4)y ＝1log 3(3x －2)．[解析] (1)要使函数有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧x －2>0，x －3≠0，解得x >2且x ≠3，所以函数定义域为(2,3)∪(3，＋∞)． (2)要使函数有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧16－4x >0，x ＋1>0，x ＋1≠1，解得－1<x <0或0<x <4，所以函数定义域为(－1,0)∪(0,4)．(3)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ lg (2－x )≥0，2－x >0，即⎩⎪⎨⎪⎧2－x ≥1，2－x >0.∴x ≤1.即y ＝lg (2－x )的定义域为{x |x ≤1}．(4)由⎩⎪⎨⎪⎧ log 3(3x －2)≠0，3x －2>0，得⎩⎪⎨⎪⎧3x －2≠1，3x >2，解得x >23，且x ≠1.∴y ＝1log 3(3x －2)的定义域为{x ⎪⎪⎭⎬⎫x >23，且x ≠1. 2．求下列函数的定义域：(1)y ＝1log 2(x －1)；(2)y ＝lg (x －3)；(3)y ＝log 2(16－4x )；(4)y ＝log (x －1)(3－x )．[解析] (1)要使函数式有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧x －1>0，log 2(x －1)≠0，解得x >1，且x ≠2.∴函数y ＝1log 2(x －1)的定义域是{x |x >1，且x ≠2}．(2)要使函数式有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧ x －3>0，lg (x －3)≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧x －3>0，x －3≥1，解得x ≥4.∴所求函数的定义域是{x |x ≥4}．(3)要使函数式有意义，需16－4x >0，解得x <2.∴所求函数的定义域是{x |x <2}． (4)要使函数式有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧3－x >0，x －1>0，x －1≠1，解得1<x <3，且x ≠2.∴所求函数的定义域是{x |1<x <3，且x ≠2}．3．求下列函数的定义域．(1)y ＝3log 2x ；(2)y ＝log 0.5(4x －3)；(3)y ＝log 0.5(4x －3)－1；(4)y ＝log (x ＋1)(2－x)． [解析] (1)定义域为(0，＋∞)．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧4x －3>0，4x －3≤1，解得34<x ≤1，∴定义域为⎝⎛⎦⎤34，1. (3)由⎩⎪⎨⎪⎧4x －3>0，4x －3≤12，解得34<x ≤78，∴定义域为⎝⎛⎦⎤34，78. (4)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，x ＋1≠1，2－x>0，解得－1<x<0或0<x<2，∴定义域为(－1,0)∪(0,2)．4．求下列函数的定义域． (1)y ＝log 0.4(x －1)2x －1；(2)y ＝1log 0.5(x －1)；(3)y ＝log a (4x －3)(a>0且a ≠1)．[解析] (1)⎩⎪⎨⎪⎧x －1>0，log 0.4(x －1)≥0，2x －1≠0，解得1<x ≤2，∴定义域为{x|1<x ≤2}．(2)⎩⎪⎨⎪⎧x －1>0，log 0.5(x －1)>0，解得1<x<2，∴定义域为{x|1<x<2}． (3)当0<a<1时，0<4x －3≤1⇒34<x ≤1，∴定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | 34<x ≤1；当a>1时，4x －3≥1⇒x ≥1，∴定义域为{x|x ≥1}. 5．求下列函数的定义域： (1)f (x )＝1log 12x ＋1；(2)f (x )＝12－x ＋ln(x ＋1)；(3)f (x )＝log (2x －1)(－4x ＋8)； [解析] (1)要使函数f (x )有意义，则log 12x ＋1>0，即log 12x >－1，解得0<x <2，即函数f (x )的定义域为(0,2)．(2)函数式若有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1>0，2－x >0，即⎩⎪⎨⎪⎧x >－1，x <2，解得－1<x <2，故函数的定义域为(－1,2)．(3)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－4x ＋8>0，2x －1>0，2x －1≠1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x <2，x >12，x ≠1.故函数y ＝log (2x －1)(－4x ＋8)的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪12<x <2，且x ≠1. 6．函数y ＝lnx －2的定义域是( )A ．(0，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．(2，＋∞)D ．[4，＋∞) [解析]要使函数有意义，真数需大于0，所以x －2＞0，即x ＞2.故选C. 7．函数f (x )＝lg(x －1)＋4－x 的定义域为( )A ．(1,4]B ．(1,4)C ．[1,4]D ．[1,4)[解析]由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x －1＞0，4－x ≥0，所以1＜x ≤4.8．函数f(x)＝1－2log 5x 的定义域为________．[解析]由1－2log 5x ≥0，得log 5x ≤12，故0<x ≤ 5.[答案] (0，5]9．函数y ＝1log 2(x －2)的定义域为( )A ．(－∞，2)B ．(2，＋∞)C ．(2,3)∪(3，＋∞)D ．(2,4)∪(4，＋∞)[解析]要使函数有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧x －2>0，log 2(x －2)≠0，解得x ＞2且x ≠3，故选C.10．函数f (x )＝lg (4－x )x －3的定义域为________．[解析]由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧4－x ＞0，x －3≠0⇒{x |x ＜4，且x ≠3}．11．函数f (x )＝1log 2x －1的定义域为( )A ．(0,2)B ．(0,2]C ．(2，＋∞)D ．[2，＋∞)[解析]若函数f (x )有意义，则log 2x －1＞0，∴log 2x ＞1，∴x ＞2.所以函数f (x )的定义域为(2，＋∞)． 12．函数y ＝x ln(1－x )的定义域为( )A ．(0,1)B ．[0,1)C ．(0,1]D ．[0,1][解析]由⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，1－x >0，得0≤x <1，故选B.13．函数f (x )＝1－xlg (x ＋1)的定义域是( )A ．(－1，＋∞)B ．[－1，＋∞)C ．(－1,0)∪(0，＋∞)D ．[－1,1)∪(1，＋∞)[解析]由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＞0，x ＋1≠1⇒x ＞－1，且x ≠0.故选C.14．函数y ＝3－x2－log 2(x ＋1)的定义域是( )A ．(－1,3)B ．(－1,3]C ．(－∞，3)D ．(－1，＋∞)[解析]若要函数有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧3－x ≥0，x ＋1＞0，2≠log 2(x ＋1)，解得－1＜x ＜3.15．函数f (x )＝a －lg x 的定义域为(0,10]，则实数a 的值为( )A ．0B ．10C ．1D ．110[解析]由已知，得a －lg x ≥0的解集为(0,10]，由a －lg x ≥0，得lg x ≤a ， 又当0＜x ≤10时，lg x ≤1，所以a ＝1，故选C.16．若函数y ＝log a (x ＋a )(a >0且a ≠1)的图象过点(－1，0)．(1)求a 的值；(2)求函数的定义域．[解析] (1)将(－1,0)代入y ＝log a (x ＋a )(a >0，a ≠1)中，有0＝log a (－1＋a )，则－1＋a ＝1，所以a ＝2. (2)由(1)知y ＝log 2(x ＋2)，由x ＋2>0，解得x >－2，所以函数的定义域为{x |x >－2}． 17．函数f (x )＝lg x ＋lg(5－3x )的定义域是( )A.⎣⎡⎭⎫0，53 B.⎣⎡⎦⎤0，53 C.⎣⎡⎭⎫1，53 D.⎣⎡⎦⎤1，53 [解析]由⎩⎪⎨⎪⎧lg x ≥0，5－3x >0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x <53，即1≤x <53.18．若函数y ＝log 2(kx 2＋4kx ＋5)的定义域为R ，则k 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫0，54 B.⎣⎡⎭⎫0，54C.⎣⎡⎦⎤0，54 D ．(－∞，0)∪⎝⎛⎭⎫54，＋∞[解析]由题意得，kx 2＋4kx ＋5＞0在R 上恒成立．k ＝0时，成立；k ≠0时，⎩⎪⎨⎪⎧k ＞0，Δ＝16k 2－20k ＜0，解得0＜k ＜54，综上，k ∈⎣⎡⎭⎫0，54，故选B. 19．已知函数f (x )＝lg (ax 2＋2x ＋1)．若f (x )的定义域为R ，求实数a 的取值范围． [解析]由已知，u ＝ax 2＋2x ＋1的值恒为正，∴⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝4－4a <0，解得a 的取值范围是a >1.20．已知函数f (x )＝log 2⎣⎡⎦⎤ax 2＋(a －1)x ＋14.若定义域为R ，求实数a 的取值范围； [解析] 要使f (x )的定义域为R ，则对任意实数x 都有t ＝ax 2＋(a －1)x ＋14>0恒成立．当a ＝0时，不合题意；当a ≠0时，由二次函数图象可知⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝(a －1)2－a <0.解得3－52<a <3＋52.故所求a 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫3－52，3＋52. 题型三 对数函数的图象问题1．函数y ＝lg(x ＋1)的图象大致是( )[解析]由底数大于1可排除A 、B ，y ＝lg(x ＋1)可看作是y ＝lgx 的图象向左平移1个单位． (或令x ＝0得y ＝0，而且函数为增函数)，[答案] C 2．函数f (x )＝log 2(1－x )的图象为( )[解析]该函数为单调递减的复合函数，且过定点(0,0)，故A 正确．3．函数y ＝lg |x |x的图象大致是( )[解析]由函数y ＝lg |x |x 的定义域是{x |x ≠0}，易得函数为奇函数，所以函数图象关于原点对称，可排除A ，B ，当x ＝1时，y ＝lg 1＝0，故图象与x 轴相交，且其中一个交点为(1,0)，只有D 中图象符合． 4．如图，若C 1，C 2分别为函数y ＝log a x 和y ＝log b x 的图象，则( )A ．0<a <b <1B ．0<b <a <1C ．a >b >1D ．b >a >1[解析]作直线y ＝1，则直线与C 1，C 2的交点的横坐标分别为a ，b ，易知0<b <a <1. 5．已知m ，n ∈R ，函数f(x)＝m ＋log n x 的图象如右图，则m ，n 的取值范围分别是( )A ．m>0,0<n<1B ．m<0,0<n<1C ．m>0，n>1D ．m<0，n>1 [解析] 由图象知函数为增函数，故n>1.又当x ＝1时，f(x)＝m>0，故m>0.[答案] C6．如图所示的曲线是对数函数y ＝log a x ，y ＝log b x ，y ＝log c x ，y ＝log d x 的图象，则a ，b ，c ，d,1,0的大小关系为________．[解析]由题图可知函数y ＝log a x ，y ＝log b x 的底数a >1，b >1，函数y ＝log c x ，y ＝log d x 的底数0<c <1,0<d <1. 过点(0,1)作平行于x 轴的直线l (图略)，则直线l 与四条曲线交点的横坐标从左向右依次为 c ，d ，a ，b ， 显然b >a >1>d >c >0.7．当a >1时，在同一坐标系中，函数y ＝a －x 与y ＝log a x 的图象为( )[解析]∵a>1，∴0<1－x是减函数，y＝log a x是增函数，故选C.a<1，∴y＝a8．已知0<a<1，函数y＝a x与y＝log a(－x)的图象可能是()[解析]因为0<a<1，所以y＝a x单调递减，y＝log a x单调递减，而y＝log a(－x)与y＝log a x关于y轴对称，所以选D．9．若函数f(x)＝log a(x＋b)的图象如图，其中a，b为常数，则函数g(x)＝a x＋b的图象大致是()[解析]由函数f(x)＝log a(x＋b)的图象可知，函数f(x)＝log a(x＋b)在(－b，＋∞)上是减函数．∴0<a<1且0<b<1.所以g(x)＝a x＋b在R上是减函数，故排除A、B.由g(x)的值域为(b，＋∞)．所以g(x)＝a x＋b的图象应在直线y＝b的上方，故排除C.[答案] D10．函数f(x)＝log a(x＋2)(0<a<1)的图象必不过()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限[解析]∵f(x)＝log a(x＋2)(0＜a＜1)，∴其图象如下图所示，故选A.11．已知lg a＋lg b＝0，则函数f(x)＝a x与函数g(x)＝－log b x的图象可能是()[解析]由lg a＋lg b＝0，得lg(ab)＝0，所以ab＝1，故a＝1b，所以当0＜b＜1时，a＞1；当b＞1时，0＜a＜1.又因为函数y＝－log b x与函数y＝log b x的图象关于x轴对称．利用这些信息可知选项B符合0＜b＜1且a＞1的情况．12．函数y＝log a(x＋1)－2(a>0，且a≠1)的图象恒过点________．[解析]因为函数y＝log a x(a>0，且a≠1)的图象恒过点(1,0)，则令x＋1＝1，得x＝0，此时y＝log a(x＋1)－2＝－2，所以函数y＝log a(x＋1)－2(a>0，且a≠1)的图象恒过点(0，－2).13．已知函数y＝log a(x－3)－1的图象恒过定点P，则点P的坐标是________．[解析]y＝l o g a x的图象恒过点(1,0)，令x－3＝1，得x＝4，则y＝－1.14．函数f(x)＝log a(x＋2)＋3(a>0，且a≠1)的图象恒过定点________．[解析]令x＋2＝1，解得x＝－1.因为f(－1)＝3，所以f(x)的图象恒过定点(－1,3)．15．函数y＝2＋log a(3x－2)(a>0，且a≠1)的图象所过定点的坐标是________．[解析]令3x－2＝1，解得x＝1，此时y＝2，即函数y＝2＋log a(3x－2)(a>0，且a≠1)的图象过定点(1,2)．16．若函数f(x)＝－5log a(x－1)＋2(a>0，且a≠1)的图象恒过定点P，则点P的坐标是________．[解析]令x－1＝1，得x＝2，即f(2)＝2，故P(2,2)．17．若函数y＝log a(x＋b)＋c(a>0，且a≠1)的图象恒过定点(3,2)，则实数b，c的值分别为_______．[解析]∵函数的图象恒过定点(3,2)，∴将(3,2)代入y＝log a(x＋b)＋c，得2＝log a(3＋b)＋C．又当a>0，且a≠1时，log a1＝0恒成立，∴c＝2，由log a(3＋b)＝0，得3＋b＝1，∴b＝－2.故填－2,2.18．已知f(x)＝log a|x|，满足f(－5)＝1，试画出函数f(x)的图象．[解析]∵f(x)＝log a|x|，∴f(－5)＝log a5＝1，即a＝5，∴f(x)＝log5|x|，∴f(x)是偶函数，其图象如图所示．19．已知f(x)＝log3x.(1)作出这个函数的图象；(2)若f(a)<f(2)，利用图象求a的取值范围．[解析](1)作出函数y ＝log 3x 的图象如图所示．(2)令f (x )＝f (2)，即log 3x ＝log 32，解得x ＝2.由图象知：当0<a <2时，恒有f (a )<f (2)．所以所求a 的取值范围为0<a <2.20．若函数f (x )为定义在R 上的奇函数，且x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝lg(x ＋1)，求f (x )的表达式，并画出大致图象．[解析]∵f (x )为R 上的奇函数，∴f (0)＝0.又当x ∈(－∞，0)时，－x ∈(0，＋∞)，∴f (－x )＝lg(1－x )．又f (－x )＝－f (x )，∴f (x )＝－lg(1－x )，∴f (x )的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ lg(x ＋1)，x >0，0，x ＝0，－lg(1－x )，x <0，∴f (x )的大致图象如图所示．21．已知函数f (x )＝lg |x |，(1)判断函数f (x )的奇偶性；(2)画出函数f (x )的图象草图；(3)利用定义证明函数f (x )在区间(－∞，0)上是减函数．[解析] (1)要使函数有意义，x 的取值需满足|x |>0，解得x ≠0，即函数的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)． 因为f (－x )＝lg |－x |＝lg |x |＝f (x )，所以函数f (x )是偶函数．(2)由于函数f (x )是偶函数，则其图象关于y 轴对称，将函数y ＝lg x 的图象对称到y 轴的左侧与函数y ＝lg x 的图象合起来得函数f (x )的图象，如图所示．(3)证明：设x 1，x 2∈(－∞，0)，且x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝lg |x 1|－lg |x 2|＝lg |x 1||x 2|＝lg ⎪⎪⎪⎪x 1x 2.因为x 1，x 2∈(－∞，0)，且x 1＜x 2， 所以|x 1|>|x 2|＞0.所以⎪⎪⎪⎪x 1x 2＞1.所以lg ⎪⎪⎪⎪x 1x 2＞0.所以f (x 1)＞f (x 2)． 所以函数f (x )在区间(－∞，0)上是减函数． 22．若不等式x 2－log m x <0在⎝⎛⎭⎫0，12内恒成立，求实数m 的取值范围． [解析]由x 2－log m x <0，得x 2<log m x ，在同一坐标系中作y ＝x 2和y ＝log m x 的草图，如图所示．要使x 2<log m x 在⎝⎛⎭⎫0，12内恒成立，只要y ＝log m x 在⎝⎛⎭⎫0，12内的图象在y ＝x 2的上方，于是0<m <1. ∵x ＝12时，y ＝x 2＝14，∴只要x ＝12时，y ＝log m 12≥14＝log m m 14，∴12≤m 14，即116≤m . 又0<m <1，∴116≤m <1.即实数m 的取值范围是⎣⎡⎭⎫116，1.。
高一数学对数函数-重难点题型精讲(举一反三)(解析版)
专题4.7 对数函数-重难点题型精讲1．对数函数的定义(1)对数函数的定义：一般地，函数y=(a>0,且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是(0,+ ).(2)判断一个函数是对数函数的依据：①形如y=；②底数a满足a>0，且a≠1；③真数是x；④定义域为(0,+).例如:y=是对数函数，而y=(x+1)，y.2．对数函数的图象与性质对数函数y=(a>0,且a≠1,x>0)的图象和性质如下表所示：3．底数a对对数函数图象的影响(1)底数a 与1的大小关系决定了对数函数图象的“升降”. 当a >1时，对数函数的图象“上升”; 当0<a <1时,对数函数的图象“下降”. (2)函数y =与 (a >0,且a ≠1)的图象关于x 轴对称.(3)底数的大小决定了图象相对位置的高低：无论是a >1还是0<a <1,在第一象限内,自左向右,图象对应的对数函数的底数逐渐变大.①上下比较：在直线x =1的右侧,a >1时,a 越大,图象越靠近x 轴;0<a <1时,a 越小,图象越靠近x 轴; ②左右比较：比较图象与直线y =1的交点,交点的横坐标越大,对应的对数函数的底数越大.4．反函数比较幂值大小的方法：【题型1 对数（型）函数的定义域与值域】 【方法点拨】根据对数函数的定义，结合具体条件，进行求解即可.【例1】（2022·广东·高一阶段练习）函数y ＝√lgx ＋lg(5－3x )的定义域是（ ） A ．[0,53)B ．[1,53)C ．[0,53]D ．[1,53]【解题思路】根据对数函数、根式的性质列不等式求函数定义域. 【解答过程】由题设，{x >0lgx ≥05−3x >0，可得1≤x <53.所以函数定义域为[1,53).故选：B.【变式1-1】（2022·浙江·高二学业考试）函数f(x)=log2(x2−2x)的定义域为（）A．(−∞,0)B．(2,+∞)C．(0,2)D．(−∞,0)∪(2,+∞)【解题思路】根据对数的真数大于零，得到一元二次不等式，即可求解.【解答过程】解：由题可知x2−2x>0，即x(x−2)>0，解得x<0或x>2.故函数f(x)=log2(x2−2x)的定义域为(−∞,0)∪(2,+∞).故选：D.【变式1-2】（2022·山西运城·高二期末）已知函数f(x)=lg(x2+1),x∈[−1,3]，则f(x)的值域为（）A．[0,+∞)B．[0,1)C．[lg2,1]D．[0,1]【解题思路】首先求出x2+1的范围，然后可得答案.【解答过程】因为x∈[−1,3]，所以x2+1∈[1,10]，所以f(x)=lg(x2+1)∈[0,1]，故选：D.【变式1-3】（2022·全国·高三专题练习）函数y=ln(x−2)+1的值域为（）A．R B．(1,+∞)C．[1,+∞)D．(2,+∞)【解题思路】由y=lnx的值域为R可得y=ln(x−2)+1的值域为R.【解答过程】由对数函数y=lnx的值域为R，向右平移2个单位得函数y1=ln(x−2)的值域为R，则y=ln(x−2)+1的值域为R，故选：A.【题型2 对数式的大小比较】【方法点拨】比较对数值的大小，主要依据对数函数的单调性，同底时可直接利用相应的对数函数比较大小；不同底时，可借助中间量进行比较.【例2】（2022·黑龙江·高三开学考试）已知a=log32，b=log52，c=3a−1，则a，b，c的大小关系为（）A．a<b<c B．b<a<c C．c<a<b D．c<b<a【解题思路】根据对数恒等式，运算法则以及对数函数的单调性即可判断．【解答过程】因为c=3a-1=13×3log32=23，b=log52<log5√5=12，a=log32>log3√3=12，而23<32⇒2<323，a=log32<log3323=23，所以b<a<c．故选：B．【变式2-1】（2022·陕西·高三阶段练习（文））已知a=40.1，b=log32，c=log0.32，则（）A．a>c>b B．a>b>c C．b>a>c D．c>a>b【解题思路】根据指数函数、对数函数的单调性分别求出a，b，c的取值范围，即可求解.【解答过程】因为a=40.1>40=1，0=log31<b=log32<log33=1，c=log0.32<log0.31=0，所以a>b>c.故选：B.【变式2-2】（2022·河南·高三阶段练习（理））若a=0.50.3，b=log0.53，c=log0.30.2，则（）A．a>b>c B．a>c>bC．b>a>c D．c>a>b【解题思路】根据指数函数、对数函数的性质判断即可.【解答过程】因为0<a=0.50.3<0.50=1，b=log0.53<0，c=log0.30.2>log0.30.3=1，所以b<a<c.故选：D.【变式2-3】（2022·贵州·高三阶段练习（理））设a=log53，b=log0.30.2，c=0.543，则a，b，c的大小关系为（）A．a<c<b B．a<b<cC．b<c<a D．c<a<b【解题思路】根据指对数的性质判断大小关系即可.=2−1>c=0.543=2−43，【解答过程】由b=log0.30.2>1>a=log53>log5√5=12所以c<a<b.故选：D.【题型3 解对数不等式】【方法点拨】对数不等式的三种考查类型：(1)形如m>n的不等式，借助y=x的单调性求解.(2)形如m>b的不等式，应将b化成以a为底数的对数式的形式(b=)，再借助y=x的单调性求解.(3)形如>(f(x),g(x)>0且不等于1,a>0)的不等式，可利用换底公式化为同底的对数进行求解，或利用函数图象求解.【例3】（2022·全国·高一课时练习）已知函数f(x)=log4(x−2)−log4(a−x)，f（3）=0，则不等式f(2x−5)≤0的解集为（）A．(72,4]B．（3，4）C．（2，5）D．(92,4]【解题思路】根据f（3）=0，可得方程f(3)=log4(3−2)−log4(a−3)=0，进而解得a=4，再列出不等式f(2x−5)≤0，可得log4(2x−7)−log4(9−2x)≤0，根据对数函数的单调性和定义域可得：{2x−7>09−2x>02x−7≤9−2x，可得答案.【解答过程】由题意得，f(3)=log4(3−2)−log4(a−3)=0，解得a=4，所以f(x)=log4(x−2)−log4(4−x)，所以f(2x−5)=log4(2x−7)−log4(9−2x).因为f(2x−5)≤0，所以log4(2x−7)−log4(9−2x)≤0，即log4(2x−7)≤log4(9−2x)，从而{2x−7>09−2x>02x−7≤9−2x，解得72<x≤4.故不等式f(2x−5)≤0的解集为(72,4].故选：A.【变式3-1】（2022·云南楚雄·高二期末）已知函数f(x)的图象与g(x)=log14x的图象关于x轴对称，则不等式f(3x)<f(2x+1)的解集为（）A．(0,+∞)B．(0,1)C．(0,12)D．(−∞,1)【解题思路】由f(x)与g(x)关于x轴对称得到f(x)的解析式，又由f(x)的单调性得到不等式，从而解出范围.【解答过程】已知函数f (x )的图象与g (x )=log 14x 的图象关于x 轴对称，所以f (x )=−g (x )=−log 14x =log 4x ，又 f (x )=log 4x 是(0,+∞)上的增函数， 所以0<3x <2x +1，解得0<x <1. 故选：B.【变式3-2】（2022·四川自贡·高一期末）已知f (x )是定义在R 上的奇函数，在区间[0,+∞)上为增函数，则不等式f (log 12x)>0的解集为（ ）A ．(−∞,1)B ．(1,+∞)C ．(0,1)D ．(0,+∞)【解题思路】由奇函数知f(0)=0，再结合单调性及f (log 12x)>0得log 12x >0，解不等式即可.【解答过程】由题意知：f(0)=0，又f (x )在区间[0,+∞)上为增函数，当x >0时，f(x)>f(0)=0， 当x <0时，f(x)<0，由f (log 12x)>0可得log 12x >0，解得0<x <1.故选：C.【变式3-3】（2023·全国·高三专题练习）定义在R 上的奇函数f(x)在(−∞,0]上单调递增，且f(−2)=−2，则不等式f(lgx)−f (lg 1x )>4的解集为（ ）A ．(0,1100) B ．(1100,+∞) C ．(0,100) D ．(100,+∞)【解题思路】利用函数为奇函数，将不等式转化为f(lgx)>f (2)，再利用函数的单调性求解. 【解答过程】因为函数f(x)为奇函数，所以f(−x)=−f (x )，又f(−2)=−2，f(2)=2，所以不等式f(lgx)−f (lg 1x )>4，可化为2f(lgx)>4=2f (2)， 即f(lgx)>f (2)，又因为f(x)在(−∞,0]上单调递增， 所以f(x)在R 上单调递增， 所以lgx >2， 解得x >100. 故选：D.【题型4 对数函数的图象及应用】【方法点拨】①对数函数图象的识别：对于所给函数解析式，研究函数的单调性、特殊值等，利用排除法，得出正确的函数图象.②对数函数图象的应用：对于与对数函数、对数型函数有关的函数的作图问题，一般宜用变换作图法作图，这样有利于从整体上把握函数的性质，从而利用对数函数的图象来比较大小、解不等式、求最值等.【例4】（2022·广东·高三阶段练习）函数y=|lg(x+1)|的图像是（）A．B．C．D．【解题思路】由函数y=lgx的图象与x轴的交点是(1,0)结合函数的平移变换得函数y=|lg(x+1)|的图象与x 轴的公共点是(0,0)，即可求解.【解答过程】由于函数y=lg(x+1)的图象可由函数y=lgx的图象左移一个单位而得到，函数y=lgx的图象与x轴的交点是(1,0)，故函数y=lg(x+1)的图象与x轴的交点是(0,0)，即函数y=|lg(x+1)|的图象与x轴的公共点是(0,0)，显然四个选项只有A选项满足.故选：A.【变式4-1】（2022·浙江·高一期中）函数y=lg|x+1|的图像的大致形状是（）A．B．C．D．【解题思路】求解函数的零点，根据排除法判断即可【解答过程】求lg|x+1|=0可得x+1=1或x+1=−1，解得x=0或x=−2，排除BCD；故选：A.【变式4-2】（2022·全国·高一课时练习）如图所示的曲线是对数函数y=log a x，y=log b x，y=log c x，y= log d x的图象，则a，b，c，d，1的大小关系为（）A．b>a>1>c>d B．a>b>1>c>d C．b>a>1>d>c D．a>b>1>d>c【解题思路】根据对数函数的图象性质即可求解.【解答过程】由图可知a>1，b>1，0<c<1，0<d<1．过点(0，1)作平行于x轴的直线，则直线与四条曲线交点的横坐标从左到右依次为c，d，a，b，显然b>a>1>d>c．故选：C．【变式4-3】（2022·全国·高一课时练习）已知函数f(x)=log a(x−b)（a>0且a≠1，a，b为常数）的图象如图，则下列结论正确的是（）A．a>0，b<−1B．a>0，−1<b<0C ．0<a <1，b <−1D ．0<a <1，−1<b <0【解题思路】根据函数图象及对数函数的性质可求解.【解答过程】因为函数f (x )=log a (x −b )为减函数，所以0<a <1 又因为函数图象与x 轴的交点在正半轴，所以x =1+b >0，即b >−1 又因为函数图象与y 轴有交点，所以b <0，所以−1<b <0， 故选：D.【题型5 对数型复合函数性质的应用】 【方法点拨】借助对数函数的图象和性质来研究对数型复合函数的性质，再结合具体问题，进行求解即可.【例5】（2022·陕西·高三阶段练习（文））已知函数f (x )=log a (x +2)+log a (1−x )（a >0，且a ≠1）. (1)当a =2时，求f (x )的单调性.(2)是否存在实数a ，使得f (x )在[−1,34]上取得最大值2?若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由. 【解题思路】（1）先求出函数的定义域，再利用换元法求解函数的单调区间，（2）令t =−x 2−x +2，则由−1≤x ≤34，得t =−(x +12)2+94的值域为[1116,94]，然后分0<a <1，a >1求函数的最大值，使其等于2，列方程可求出a 的值. 【解答过程】（1）由题意可得{x +2>0,1−x >0, 解得−2<x <1，即f (x )的定义域为(−2,1).当a =2时，f (x )=log 2(x +2)+log 2(1−x )=log 2(−x 2−x +2). 令t =−x 2−x +2（x ∈(−2,1)），则y =log 2t ， 对称轴为x =−12，则函数t =−x 2−x +2在(−2,−12)上单调递增，在[−12,1)上单调递减，因为y =log 2t 在定义域内递增，所以f (x )在(−2,−12)上单调递增，[−12,1)上单调递减. （2）f (x )=log a (x +2)+log a (1−x )=log a (−x 2−x +2)， 令t =−x 2−x +2， 因为−1≤x ≤34，所以t =−(x +12)2+94的值域为[1116,94].当0<a <1时，f (x )在[−1,34]上的最大值是log a1116，则log a 1116=2，即a 2=1116，解得a =√114； 当a >1时，f (x )在[−1,34]上的最大值是log a 94， 则log a 94=2，即a 2=94，解得a =32. 综上，a 的值为√114或32. 【变式5-1】（2022·甘肃·高三阶段练习（文））已知函数f (x )=log 12(3−2x −x 2).(1)求该函数的定义域； (2)求该函数的单调区间及值域.【解题思路】（1）令3−2x −x 2>0，解不等式即可求得定义域；（2）根据复合函数单调性的判断方法可确定f (x )的单调区间；利用二次函数最值的求法可求得μ≤4，结合对数函数单调性可求得值域. 【解答过程】（1）由3−2x −x 2>0得：−3<x <1，∴f (x )的定义域为(−3,1). （2）令μ=−x 2−2x +3，∴μ在(−3,−1)上单调递增；在(−1,1)上单调递减； 又f (μ)=log 12μ在(0,+∞)上单调递减，∴f (x )的单调递增区间为(−1,1)；单调递减区间为(−3,−1)， ∵μ≤−(−1)2−2×(−1)+3=4，∴log 12μ≥log 124=−2，∴f (x )的值域为[−2,+∞).【变式5-2】（2022·海南·高一期末）已知函数f (x )=log 4(x +1)+log 4(3−x )． (1)求f (x )的单调区间及最大值．(2)设函数g (x )=log 4[(m +2)x +4]，若不等式f (x )≤g (x )在x ∈(0,3)上恒成立，求实数m 的取值范围． 【解题思路】（1）首先确定f (x )的定义域，将其整理为f (x )=log 4[−(x −1)2+4]，利用复合函数单调性的判断方法得到单调性，结合单调性可求得最值；（2）根据对数函数单调性可将恒成立不等式转化为x 2+mx +1≥0，采用分离变量法可得m ≥ℎ(x )=−(x +1x )，结合对勾函数单调性可求得ℎ(x )max ，由此可得结果.【解答过程】(1)由{x +1>03−x >0得：−1<x <3，∴f (x )的定义域为(−1,3)； f (x )=log 4(x +1)+log 4(3−x )=log 4(−x 2+2x +3)=log 4[−(x −1)2+4]，令t (x )=−(x −1)2+4，则t (x )在(−1,1)上单调递增，在(1,3)上单调递减，又y =log 4t 在定义域内单调递增，由复合函数单调性可知：f (x )的单调递增区间为(−1,1)，单调递减区间为(1,3)；由单调性可知：f (x )max =f (1)=log 44=1.(2)∵f (x )≤g (x )在(0,3)上恒成立，∴log 4(−x 2+2x +3)≤log 4[(m +2)x +4]，即−x 2+2x +3≤(m +2)x +4，∴x 2+mx +1≥0在(0,3)上恒成立，∴m ≥−x −1x =−(x +1x )；令ℎ(x )=−(x +1x)，则ℎ(x )在(0,1)上单调递增，在(1,3)上单调递减， ∴ℎ(x )max =ℎ(1)=−2，∴m ≥−2，即实数m 的取值范围为[−2,+∞).【变式5-3】（2022·江苏·高三开学考试）已知函数f(x)=log 12(x 2−mx −m)． (1)若m =1，求函数f(x)的定义域．(2)若函数f(x)的值域为R ，求实数m 的取值范围．(3)若函数f(x)在区间(−∞，1−√3)上是增函数，求实数m 的取值范围．【解题思路】（1）由对数的性质有x 2−x −1>0求解集，即可得定义域.（2）由题设(0,+∞)是y =x 2−mx −m 值域的子集，根据二次函数的性质有Δ≥0即可求m 的范围.（3）首先根据二次函数、对数函数的性质判断复合函数的单调区间，再由已知区间的单调性有{m2≥1−√3t(1−√3)≥0 ，即可求m 的范围.【解答过程】（1）由题设，x 2−x −1>0，则x >1+√52或x <1−√52， 所以函数定义域为(−∞,1−√52)∪(1+√52,+∞).（2）由函数f(x)的值域为R ，则(0,+∞)是y =x 2−mx −m 值域的子集，所以Δ=m 2+4m ≥0，即m ∈(−∞,−4]∪[0,+∞).（3）由t =x 2−mx −m 在(−∞,m 2)上递减，在(m2,+∞)上递增，而y =log 12t 在定义域上递减， 所以f(x)在(−∞,m 2)上递增，在(m2,+∞)上递减， 又f(x)在(−∞,1−√3)上是增函数，故{m 2≥1−√3t(1−√3)≥0，可得2≥m ≥2(1−√3). 【题型6 对数函数的实际应用】【方法点拨】从实际问题出发，建立对数（型）函数模型，借助对数函数的图象和性质进行解题，注意要满足实际条件.【例6】（2021·全国·高一专题练习）大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵．记鲑鱼的游速为V (m/s)，鲑鱼的耗氧量的单位数为Q ，研究中发现V 与log 3Q 100成正比，且当Q ＝900时，V ＝1. （1）求出V 关于Q 的函数解析式；（2）计算一条鲑鱼的游速是1.5 m/s 时耗氧量的单位数．【解题思路】（1）根据成正比的性质，结合代入法进行求解即可；（2）利用代入法，结合对数与指数式互化公式进行求解即可.【解答过程】解：（1）设V ＝k ·log 3Q 100，∵当Q ＝900时，V ＝1，∴1＝k ·log 3900100，∴k ＝12，∴V 关于Q 的函数解析式为V =12log 3Q 100;（2）令V ＝1.5，则1.5=12log 3Q 100⇒log 3Q100=3⇒Q100=33=27，∴Q ＝2 700，即一条鲑鱼的游速是1.5 m/s 时耗氧量为2700个单位．【变式6-1】（2022·全国·高一课时练习）近年来，我国在航天领域取得了巨大成就，得益于我国先进的运载火箭技术．据了解，在不考虑空气阻力和地球引力的理想状态下，可以用公式v =v 0ln Mm 计算火箭的最大速度v （单位：m/s ）．其中v 0（单位m/s ）是喷流相对速度，m （单位：kg ）是火箭（除推进剂外）的质量，M （单位：kg ）是推进剂与火箭质量的总和，M m 称为“总质比”，已知A 型火箭的喷流相对速度为2000m/s ． 参考数据：ln230≈5.4，1.648<e 0.5<1.649．(1)当总质比为230时，利用给出的参考数据求A型火箭的最大速度；(2)经过材料更新和技术改进后，A型火箭的喷流相对速度提高到了原来的1.5倍，总质比变为原来的13，若要使火箭的最大速度增加500 m/s，记此时在材料更新和技术改进前的总质比为T，求不小于T的最小整数？【解题思路】（1）运用代入法直接求解即可；（2）根据题意列出不等式，结合对数的运算性质和已知题中所给的参考数据进行求解即可.【解答过程】(1)当总质比为230时，v=2000ln230≈2000×5.4=10800，即A型火箭的最大速度为10800m/s.(2)A型火箭的喷流相对速度提高到了原来的1.5倍，所以A型火箭的喷流相对速度为2000×1.5=3000m/s，总质比为M3m，由题意得：3000ln M3m −2000ln Mm≥500⇒ln M27m ≥0.5⇒M27m≥e0.5⇒Mm≥27e0.5，因为1.648<e0.5<1.649，所以44.496<27e0.5<44.523，即44.496<T<44.523，所以不小于T的最小整数为45．【变式6-2】（2022·全国·高二课时练习）每年红嘴鸥都从西伯利亚飞越数千公里来到美丽的昆明过冬，科学家经过测量发现候鸟的飞行速度可以表示为函数v=12log3x100−lgx0，单位是km/min，其中x表示候鸟每分钟耗氧量的单位数，常数x0表示测量过程中候鸟每分钟的耗氧偏差.（结果保留到整数位.参考数据：lg5≈0.70，31.4≈4.66）(1)若x0=5，候鸟停下休息时，它每分钟的耗氧量为多少个单位.(2)若雄鸟的飞行速度为1.3km/min，雌鸟的飞行速度为0.8km/min，那么此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟耗氧量的多少倍.【解题思路】（1）将x0=5，v=0代入函数解析式，求出x的值即可答案；（2）设出雄鸟每分钟的耗氧量和雌鸟每分钟耗氧量，得到方程组，两式相减后得到x1x2=3，得到答案.【解答过程】（1）将x0=5，v=0代入函数v=12log3x100−lgx0，得：12log3x100−lg5=0，因为lg5≈0.70，所以log3x100=2lg5≈1.40，所以x100=31.40≈4.66，所以x=466.答：候鸟停下休息时，它每分钟的耗氧量约为466个单位.（2）设雄鸟每分钟的耗氧量为x 1，雌鸟每分钟耗氧量为x 2，由题意可得：{1.3=12log 3x1100−lgx 00.8=12log 3x 2100−lgx 0 ， 两式相减可得：12=12log 3x 1x 2，所以log 3x 1x 2=1，即x 1x 2=3，答：此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟耗氧量的3倍.【变式6-3】（2022·全国·高一课时练习）学校鼓励学生课余时间积极参加体育锻炼，每天能用于锻炼的课余时间有90分钟，现需要制定一个课余锻炼考核评分制度，建立一个每天得分y 与当天锻炼时间x （单位：分）的函数关系，要求及图示如下：（1）函数是区间[0,90]上的增函数；（2）每天运动时间为0分钟时，当天得分为0分；（3）每天运动时间为30分钟时，当天得分为3分；（4）每天最多得分不超过6分.现有三个函数模型①y =kx +b (k >0)，②y =k ⋅1.2x +b (k >0)，③y =klog 2(x15+2)+n (k >0)供选择.(1)请你从中选择一个合适的函数模型并说明理由，再根据所给信息求出函数的解析式；(2)求每天得分不少于4.5分，至少需要锻炼多少分钟.（注：√2≈1.414，结果保留整数）【解题思路】（1）根据图像和函数性质选择模型，再将（0，0），（30，3）代入求解系数即可.（2）将x =4.5代入解析式即可.【解答过程】（1）第一步：分析题中每个模型的特点对于模型一，当k >0时，匀速增长；对于模型二，当k >0时，先慢后快增长；对于模型三，当k >0时，先快后慢增长.第二步：根据题中材料和题图选择合适的函数模型从题图看应选择先快后慢增长的函数模型，故选y =klog 2(x15+2)+n .第三步：把题图中的两点代入选好的模型中，得到函数解析式将（0，0），（30，3）代入解析式得到{k+n=0klog24+n=3，即{k+n=02k+n=3，解得k=3,n=−3，即y=3log2(x15+2)−3.第四步：验证模型是否合适当x=90时，y=3log2(6+2)−3=6，满足每天得分最高不超过6分的条件.所以函数的解析式为y=3log2(x15+2)−3.（2）由y=3log2(x15+2)−3≥4.5，得log2(x15+2)≥2.5=log2252，得x15+2≥252=4√2≈5.656，得x≥54.84，所以每天得分不少于4.5分，至少需要运动55分钟.。
高中数学对数运算三难点(精品)专题辅导
高中数学对数运算三难点对数函数是重要的函数，自然也是高考的知识点，学习对数函数常会遇到一些难点，使解题思维陷入困境，归纳起来主要有三个方面。
难点1 底数不统一对数的运算性质是建立在底数相同的基础上的，但实际问题中，却经常要遇到底数不相同的情况，碰到这种情形，该如何来突破呢？主要有三种处理的方法：（1）化为指数式对数函数与指数函数互为反函数，它们之间有着密切的关系：log a N=b ⇔a b =N ，因此在处理有关对数问题时，经常将对数式化为指数式来帮助解决。
（2）利用换底公式统一底数换底公式可以将底数不同的对数通过换底把底数统一起来，然后再利用同底对数相关的性质求解。
（3）利用函数图象函数图象可以将函数的有关性质直观地显现出来，当对数的底数不相同时，可以借助对数函数的图象直观性来理解和寻求解题的思路。
例1. 若a ≠1，b ≠1，a ＞0，b ＞0，且满足关系式log a 2=3log 4log 2b a =，求a ，b 的值。
分析：已知关系式中的底数不相同，因此可设log a 2=3log 4log 2b a ==m ，转化为指数来来解决解：设log a 2=3log 4log 2b a ==m ，则4)2(,2==m m a a 。
于是有 m m a a )2(2=， 因为 a m ＞0,所以1221-==m m ，即， 于是 log a 2=log b 3=－１，解得 31,21==b a 。
例2. 设log 23=a ，log 37=b ，求log 4256的值。
分析：两个已知对数式的底数不相同，无法直接进行计算，所以首先应考虑统一底数，从条件看应该把底数统一为3。
解：由log 23=a ，可得a 12log 3=， 所以17log 2log 2log 37log 42log 56log 56log 33333342+++== 13+++=a ab ab 。
例3. 若log a 2＜log b 2＜0，则a ，b 满足的关系是（ ）（A ）1＜a ＜b（B ）1＜b ＜a （C ）0＜a ＜b ＜1（D ）0＜b ＜a ＜1 分析：两个对数式底数不同，但真数相同，把两个对数式看作是两个对数函数在自变量取同一个值时的两个不同的函数值，可通过图象来分析。
对数函数考点与题型归纳
对数函数考点与题型归纳一、基础知识1．对数函数的概念函数y＝log a x(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞).y＝log a x的3个特征(1)底数a>0，且a≠1；(2)自变量x>0；(3)函数值域为R.2．对数函数y＝log a x(a>0，且a≠1)的图象与性质底数a>10<a<1图象性质定义域：(0，＋∞)值域：R图象过定点(1,0)，即恒有log a1＝0当x>1时，恒有y>0；当0<x<1时，恒有y<0当x>1时，恒有y<0；当0<x<1时，恒有y>0在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数注意当对数函数的底数a的大小不确定时，需分a>1和0<a,<1两种情况进行讨论.3．反函数指数函数y＝a x(a>0，且a≠1)与对数函数y＝log a x(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．二、常用结论对数函数图象的特点(1)对数函数的图象恒过点(1,0)，(a,1)，⎝⎛⎭⎫1a ，－1，依据这三点的坐标可得到对数函数的大致图象．(2)函数y ＝log a x 与y ＝log 1ax (a >0，且a ≠1)的图象关于x 轴对称．(3)当a >1时，对数函数的图象呈上升趋势；当0<a <1时，对数函数的图象呈下降趋势．考点一 对数函数的图象及应用[典例] (1)函数y ＝lg|x －1|的图象是( )(2)已知当0<x ≤14时，有x <log a x ，则实数a 的取值范围为________．[解析] (1)因为y ＝lg|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧lg (x －1)，x >1，lg (1－x )，x <1.当x ＝1时，函数无意义，故排除B 、D. 又当x ＝2或0时，y ＝0，所以A 项符合题意．(2)若x <log a x 在x ∈⎝⎛⎦⎤0，14时成立，则0<a <1，且y ＝x 的图象在y ＝log a x 图象的下方，作出图象如图所示．由图象知14<log a 14， 所以⎩⎨⎧0<a <1，a 12>14，解得116<a <1.即实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫116，1. [答案] (1)A (2)⎝⎛⎭⎫116，1 [变透练清]1.[变条件]若本例(1)函数变为f (x )＝2log 4(1－x )，则函数f (x )的大致图象是( )解析：选C 函数f (x )＝2log 4(1－x )的定义域为(－∞，1)，排除A 、B ；函数f (x )＝2log 4(1－x )在定义域上单调递减，排除D.故选C.2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x ＞0，3x ，x ≤0，关于x 的方程f (x )＋x －a ＝0有且只有一个实根，则实数a 的取值范围是________．解析：问题等价于函数y ＝f (x )与y ＝－x ＋a 的图象有且只有一个交点，结合函数图象可知a ＞1.答案：(1，＋∞)3.[变条件]若本例(2)变为不等式x 2<log a x (a >0，且a ≠1)对x ∈⎝⎛⎭⎫0，12恒成立，求实数a 的取值范围．解：设f 1(x )＝x 2，f 2(x )＝log a x ，要使x ∈⎝⎛⎭⎫0，12时，不等式x 2<log a x 恒成立，只需f 1(x ) ＝x 2在⎝⎛⎭⎫0，12上的图象在f 2(x )＝log a x 图象的下方即可．当a >1时，显然不成立；当0<a <1时，如图所示，要使x 2<log a x 在x ∈⎝⎛⎭⎫0，12上恒成立，需f 1⎝⎛⎭⎫12≤f 2⎝⎛⎭⎫12， 所以有⎝⎛⎭⎫122≤log a 12，解得a ≥116，所以116≤a <1. 即实数a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫116，1.考点二 对数函数的性质及应用考法(一) 比较对数值的大小[典例] (2018·天津高考)已知a ＝log 2e ，b ＝ln 2，c ＝log 1213，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a ＞b ＞cB ．b ＞a ＞cC ．c ＞b ＞aD ．c ＞a ＞b[解析] 因为c ＝log 1213＝log 23>log 2e ＝a ，所以c ＞a .因为b ＝ln 2＝1log 2e ＜1＜log 2e ＝a ，所以a ＞b .所以c ＞a ＞b . [答案] D考法(二) 解简单对数不等式[典例] 已知不等式log x (2x 2＋1)<log x (3x )<0成立，则实数x 的取值范围是________．[解析] 原不等式⇔⎩⎪⎨⎪⎧ 0<x <1，2x 2＋1>3x >1①或⎩⎪⎨⎪⎧x >1，2x 2＋1<3x <1②，解不等式组①得13<x <12，不等式组②无解，所以实数x 的取值范围是⎝⎛⎭⎫13，12.[答案] ⎝⎛⎭⎫13，12考法(三) 对数型函数性质的综合问题[典例] 已知函数f (x )＝log 4(ax 2＋2x ＋3)，若f (1)＝1，求f (x )的单调区间． [解] 因为f (1)＝1，所以log 4(a ＋5)＝1， 因此a ＋5＝4，a ＝－1， 这时f (x )＝log 4(－x 2＋2x ＋3)． 由－x 2＋2x ＋3>0，得－1<x <3， 函数f (x )的定义域为(－1,3)． 令g (x )＝－x 2＋2x ＋3，则g (x )在(－1,1)上单调递增，在(1,3)上单调递减． 又y ＝log 4x 在(0，＋∞)上单调递增，所以f (x )的单调递增区间是(－1,1)，单调递减区间是(1,3)．[题组训练]1．已知a ＝2-13，b ＝log 213，c ＝log 1213，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a >b >cB ．a >c >bC ．c >a >bD ．c >b >a解析：选C 0<a ＝2-13<20＝1，b ＝log 213<log 21＝0，c ＝log 1213＝log 23>1，∴c >a >b .2．若定义在区间(－1,0)内的函数f (x )＝log 2a (x ＋1)满足f (x )>0，则实数a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫0，12 B.⎝⎛⎦⎤0，12 C.⎝⎛⎭⎫12，＋∞ D ．(0，＋∞)解析：选A ∵－1<x <0，∴0<x ＋1<1.又∵f (x )>0，∴0<2a <1，∴0<a <12.3．已知a >0，若函数f (x )＝log 3(ax 2－x )在[3,4]上是增函数，则a 的取值范围是________． 解析：要使f (x )＝log 3(ax 2－x )在[3,4]上单调递增，则y ＝ax 2－x 在[3,4]上单调递增，且y ＝ax 2－x >0恒成立，即⎩⎪⎨⎪⎧12a ≤3，9a －3>0，解得a >13.答案：⎝⎛⎭⎫13，＋∞[课时跟踪检测]A 级1．函数y ＝log 3(2x －1)＋1的定义域是( ) A ．[1,2] B ．[1,2) C.⎣⎡⎭⎫23，＋∞D.⎝⎛⎭⎫23，＋∞解析：选C 由⎩⎪⎨⎪⎧log 3(2x －1)＋1≥0，2x －1＞0，即⎩⎨⎧log 3(2x －1)≥log 313，x ＞12，解得x ≥23.2．若函数y ＝f (x )是函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的反函数，且f (2)＝1，则f (x )＝( )A ．log2x B.12xC ．log 12xD ．2x －2解析：选A 由题意知f (x )＝log a x (a >0，且a ≠1)． ∵f (2)＝1，∴log a 2＝1.∴a ＝2.∴f (x )＝log 2x . 3．如果log 12x <log 12y <0，那么( )A ．y <x <1B ．x <y <1C ．1<x <yD ．1<y <x解析：选D ∵log 12x <log 12y <log 121，∴x >y >1.4．(2019·海南三市联考)函数f (x )＝|log a (x ＋1)|(a >0，且a ≠1)的大致图象是( )解析：选C 函数f (x )＝|log a (x ＋1)|的定义域为{x |x >－1}，且对任意的x ，均有f (x )≥0，结合对数函数的图象可知选C.5．(2018·惠州调研)若a ＝20.5，b ＝log π3，c ＝log 2sin 2π5，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．b >c >a B ．b >a >c C ．c >a >bD ．a >b >c解析：选D 依题意，得a >1,0<b ＝log π3<log ππ＝1，而由0<sin 2π5<1,2>1，得c <0，故a >b >c .6．设函数f (x )＝log a |x |(a >0，且a ≠1)在(－∞，0)上单调递增，则f (a ＋1)与f (2)的大小关系是( )A ．f (a ＋1)>f (2)B ．f (a ＋1)<f (2)C ．f (a ＋1)＝f (2)D ．不能确定解析：选A 由已知得0<a <1，所以1<a ＋1<2，又易知函数f (x )为偶函数，故可以判断f (x )在(0，＋∞)上单调递减，所以f (a ＋1)>f (2)．7．已知a >0，且a ≠1，函数y ＝log a (2x －3)＋2的图象恒过点P .若点P 也在幂函数f (x )的图象上，则f (x )＝________.解析：设幂函数为f (x )＝x α，因为函数y ＝log a (2x －3)＋2的图象恒过点P (2，2)，则2α＝2，所以α＝12，故幂函数为f (x )＝x 12.答案：x 128．已知函数f (x )＝log a (x ＋b )(a ＞0，且a ≠1)的图象过两点(－1,0)和(0,1)，则log b a ＝________.解析：f (x )的图象过两点(－1,0)和(0,1)． 则f (－1)＝log a (－1＋b )＝0， 且f (0)＝log a (0＋b )＝1，所以⎩⎪⎨⎪⎧ b －1＝1，b ＝a ，即⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2，a ＝2.所以log b a ＝1.答案：19．(2019·武汉调研)函数f (x )＝log a (x 2－4x －5)(a >1)的单调递增区间是________． 解析：由函数f (x )＝log a (x 2－4x －5)，得x 2－4x －5>0，得x <－1或x >5.令m (x )＝x 2－4x －5，则m (x )＝(x －2)2－9，m (x )在[2，＋∞)上单调递增，又由a >1及复合函数的单调性可知函数f (x )的单调递增区间为(5，＋∞)．答案：(5，＋∞)10．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x ＞0，log 12(－x )，x ＜0，若f (a )＞f (－a )，则实数a 的取值范围是________________．解析：由f (a )＞f (－a )得⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，log 2a ＞log 12a或⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，log 12(－a )＞log 2(－a )，即⎩⎪⎨⎪⎧ a ＞0，log 2a ＞－log 2a 或⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，－log 2(－a )＞log 2(－a ).解得a ＞1或－1＜a ＜0. 答案：(－1,0)∪(1，＋∞)11．求函数f (x )＝log 2x ·log2(2x )的最小值．解：显然x >0，∴f (x )＝log 2x ·log2(2x )＝12log 2x ·log 2(4x 2)＝12log 2x ·(log 24＋2log 2x )＝log 2x ＋(log 2x )2＝⎝⎛⎭⎫log 2x ＋122－14≥－14，当且仅当x ＝22时，有f (x )min ＝－14. 12．设f (x )＝log a (1＋x )＋log a (3－x )(a ＞0，且a ≠1)，且f (1)＝2. (1)求a 的值及f (x )的定义域； (2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，32上的最大值． 解：(1)∵f (1)＝2，∴log a 4＝2(a ＞0，且a ≠1)，∴a ＝2.由⎩⎪⎨⎪⎧1＋x ＞0，3－x ＞0，得－1＜x ＜3， ∴函数f (x )的定义域为(－1,3)． (2)f (x )＝log 2(1＋x )＋log 2(3－x )＝log 2[(1＋x )(3－x )]＝log 2[－(x －1)2＋4]， ∴当x ∈(－1,1]时，f (x )是增函数； 当x ∈(1,3)时，f (x )是减函数，故函数f (x )在⎣⎡⎦⎤0，32上的最大值是f (1)＝log 24＝2. B 级1．已知函数f (x )＝log a x (a >0，且a ≠1)满足f ⎝⎛⎭⎫2a >f ⎝⎛⎭⎫3a ，则f ⎝⎛⎭⎫1－1x >0的解集为( ) A ．(0,1) B ．(－∞，1) C ．(1，＋∞)D ．(0，＋∞)解析：选C 因为函数f (x )＝log a x (a >0，且a ≠1)在(0，＋∞)上为单调函数，而2a <3a 且f ⎝⎛⎭⎫2a >f ⎝⎛⎭⎫3a ，所以f (x )＝log a x 在(0，＋∞)上单调递减，即0<a <1，结合对数函数的图象与性质可由f ⎝⎛⎭⎫1－1x >0，得0<1－1x<1，所以x >1，故选C. 2．若函数f (x )＝log a ⎝⎛⎭⎫x 2＋32x (a >0，且a ≠1)在区间⎝⎛⎭⎫12，＋∞内恒有f (x )>0，则f (x )的单调递增区间为________．解析：令M ＝x 2＋32x ，当x ∈⎝⎛⎭⎫12，＋∞时，M ∈(1，＋∞)，f (x )>0，所以a >1，所以函数y ＝log a M 为增函数，又M ＝⎝⎛⎭⎫x ＋342－916， 因此M 的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫－34，＋∞. 又x 2＋32x >0，所以x >0或x <－32，所以函数f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)． 答案：(0，＋∞)3．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (0)＝0，当x >0时，f (x )＝log 12x .(1)求函数f (x )的解析式； (2)解不等式f (x 2－1)>－2.解：(1)当x <0时，－x >0，则f (－x )＝log 12(－x )．因为函数f (x )是偶函数， 所以f (x )＝f (－x )＝log 12(－x )，所以函数f (x )的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12x ，x >0，0，x ＝0，log 12(－x )，x <0.(2)因为f (4)＝log 124＝－2，f (x )是偶函数，所以不等式f (x 2－1)>－2转化为f (|x 2－1|)>f (4)． 又因为函数f (x )在(0，＋∞)上是减函数， 所以|x 2－1|<4，解得－5<x <5， 即不等式的解集为(－5，5)．。
对数函数的概念、图象及性质(高中数学)
() A．y＝2＋log3x
logax(a> 0 且 a≠1)可知 D 正确．]
B．y＝loga(2a)(a>0，且 a≠1)
C．y＝logax2(a>0，且 a≠1)
D．y＝ln x
35
3．函数 f(x)＝ lg x＋lg(5－3x) 的定义域是( )
C [由l5g－x≥3x>0，0， 得
A.0，53 B.0，53 C.1，53
24
【例 3】 (1)当 a>1 时，在同一坐标系中，函数 y＝a－x 与 y＝logax
的图象为( )
A
B
C
D
(2)已知 f(x)＝loga|x|，满足 f(－5)＝1，试画出函数 f(x)的图象．
[思路点拨] (1)结合 a>1 时 y＝a－x＝1ax 及 y＝logax 的图象求解．
(2)由 f(－5)＝1 求得 a，然后借助函数的奇偶性作图．
27
C [∵在 y＝loga(－x)中，－x＞0，∴x＜0， ∴图象只能在 y 轴的左侧，故排除 A，D； 当 a＞1 时，y＝loga(－x)是减函数， y＝a－x＝1ax 是减函数，故排除 B； 当 0＜a＜1 时，y＝loga(－x)是增函数， y＝a－x＝1ax 是增函数，∴C 满足条件，故选 C.]
解得－1<x<0 或 0<x<4， 所以函数定义域为(－1,0)∪(0,4)．
23
对数函数的图象问题
[探究问题] 1．如图，曲线 C1，C2，C3，C4 分别对应 y＝loga1x， y＝loga2x，y＝loga3x，y＝loga4x 的图象，你能指出 a1， a2，a3，a4 以及 1 的大小关系吗？ 提示：作直线 y＝1，它与各曲线 C1，C2，C3，C4 的交点的横坐标就 是各对数的底数，由此可判断出各底数的大小必有 a4>a3>1>a2>a1>0. 2．函数 y＝ax 与 y＝logax(a>0 且 a≠1)的图象有何特点？ 提示：两函数的图象关于直线 y＝x 对称．
高考数学-对数函数图像和性质及经典例题
高考数学-对数函数图像和性质及经典例题对数函数图像和性质及经典例题第一部分：回顾基础知识点对数函数的概念：函数0(log >=a x y a ，且)1≠a 叫做对数函数其中x 是自变量，函数的定义域是（0，+∞）．对数函数的图象和性质○1 在同一坐标系中画出下列对数函数的图象；（1）x y 2log = （2） x y 21log =（3） x y 3log = （4） x y 31log =○2 对数函数的性质如下：图象特征函数性质1a >1a 0<< 1a > 1a 0<<函数图象都在y 轴右侧函数的定义域为（0，＋∞）图象关于原点和y 轴不对称非奇非偶函数向y 轴正负方向无限延伸函数的值域为R函数图象都过定点（1，1）11=α自左向右看，图象逐渐上升自左向右看，图象逐渐下降增函数减函数第一象限的图象纵坐标都大于0第一象限的图象纵坐标都大于0 0log ,1>>x x a0log ,10><<="" p="" x="">第二象限的图象纵坐标都小于0第二象限的图象纵坐标都小于00log ,10<<<="" p="" x="">0log ,1<>x x a○3 底数a 是如何影响函数x y alog =的．规律：在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大．第二部分：对数函数图像及性质应用例1．如图，A ，B ，C 为函数x y 21log =的图象上的三点，它们的横坐标分别是t , t +2, t +4(t ≥1).(1)设?ABC 的面积为S 。
求S=f (t ) ； (2)判断函数S=f (t )的单调性； (3) 求S=f (t)的最大值.解：（1）过A,B,C,分别作AA 1,BB 1,CC 1垂直于x 轴，垂足为A 1,B 1,C 1，则S=S 梯形AA 1B 1B +S 梯形BB 1C 1C －S 梯形AA 1C 1C .)441(log )2(4log 232231t t t t t ++=++= （2）因为v =t t 42+在),1[+∞上是增函数,且v ≥5,[)∞++=.541在v v 上是减函数，且1S ??=59,1log 3在u 上是增函数，所以复合函数S=f (t ) [)+∞++=,1)441(log 23在tt 上是减函数（3）由（2）知t =1时，S 有最大值，最大值是f (1) 5log 259log 33-== 例2．已知函数f(x 2-3)=lg 622-x x ,(1)f(x)的定义域；(2)判断f(x)的奇偶性；(3)求f(x)的反函数; (4)若f[)(x φ]=lgx,求)3(φ的值。
2023年高三数学《对数函数》知识梳理与题型战法
2023年高三数学《对数函数》知识梳理与题型战法第二章 函数2.5.1对数函数（题型战法）知识梳理一 对数的概念1.（1）；（2） （3）2.. .二 对数的运算法则（1）积 （2）商 （3）幂 （4）换底公式：， 推论:. 三对数函数的图像与性质 （1）定义域是()0+∞，，因此函数图象一定在y 轴的右边. （2）值域是实数集R .（3）函数图象一定过点()1,0.（4）当a >1时，log a y x =是增函数；当0<a <1时，log a y x =是减函数. （5）对数函数的图象（6）对数函数log a y x =和1log ay x =的图象关于x 轴对称. log 10a =log 1a a =log log a b N a a Na N Nb ⎫=⇒=⎬=⎭N N lg log 10简记作log ln e N N 简记作()log log log a a a MN M N =+log log log a a a M M N N=−log log a a M M αα=)1,0(log log log ≠>=c c aM M c c a )1,0,1,0(log 1log ≠>≠>=b b a a ab b a题型战法题型战法一 对数与对数的运算典例1．计算： (1)7lg142lg lg 7lg183−+−；(2)求x 的值：5log (lg )1x =.【答案】(1)0；(2)510.【解析】【分析】（1）根据对数的运算法则计算即可；（2）根据对数的概念将对数式改为指数式即可求解.(1)原式()()()2lg 272lg7lg3lg7lg 32=⨯−−+−⨯ lg2lg72lg72lg3lg72lg3lg2=+−++−−=0；(2)55log (lg )1lg 510x x x =⇒=⇒=.变式1-1．计算求值 (1)()3620189−⎛⎫−−− ⎪⎝⎭；(2)221lg lg2log 24log log 32+++；(3)已知623a b ==，求11a b−的值．【答案】(1)44 (2)92(3)1【解析】【分析】（1）由指数的运算法则计算（2）由对数的运算法则计算（3）将指数式转化为对数式后计算(1)()33622023218323172271449−⨯⎛⎫−−−=⨯−−=−−= ⎪⎝⎭；(2)221lg lg 2log 24log log 32+++()32232lg 2lg 2log 38log 3log 3=−++⨯+−2239log 33log 322=++−=； (3)6log 3a =，2log 3b =， 则31log 6a =，31log 2b =； 所以33311log 6log 2log 31a b−=−==．变式1-2．计算：13341log 2log 278⎛⎫−⨯+ ⎪⎝⎭． 【答案】12−.【解析】【分析】根据指数与对数的运算性质即可求解.【详解】 原式213321132231log 2log lg 2lg532⎡⎤⎛⎫=−⨯+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎢⎥⎣⎭⎦()3213log 2lo 132g lg 2lg522+⨯=−⨯⨯+ ()3213log 2l 13og 102lg 22+⨯=−⨯⨯ 132122=−+ =12−． 变式1-3．计算： (1)ln 2ln 3ln 36+； (2)22lg 2lg 52lg 2lg5++；(3)23log 9log 4⋅；(4)414log 28log 56+； (5)154311lg log 9log 125log 10032+−−；(6)81log 32+(8)235111log log log 2589⋅⋅． 【答案】(1)12(2)1(3)4 (4)12− (5)92−(6)1−(7)ln3e(8)12−【解析】【分析】根据指数幂的运算性质及换底公式逐一计算即可.(1)解：ln 2ln 3ln 61ln 362ln 62+==； (2)解：()222lg 2lg 52lg 2lg5lg 2lg51++=+=；(3)解：()2323log 9log 42log 32log 24⋅=⋅=；(4)解：2141444224111log 28log 56log 28log 56log log 2log 2222−+=−===−=−； (5)解：154311lg log 9log 125log 10032+−− 2223515231lg10log log 5log 23−−−⎛⎫=+−− ⎪⎝⎭52232=−−−+ 92=−；(6)解：81log 32+32532log 2lg10−=+52133=−+=−； (7)1ln3ln3e =+=；(8)解：235111log log log 2589⋅⋅ 232235log 5log 2log 3−−−=⋅⋅23512log 5log 2log 312=−⋅⋅=−. 变式1-4．计算：(1)230223482e lg 2lg5log 4log 927−−−⎛⎫−+++⨯ ⎪⎝⎭；(2)若3log 21x =，求22x x −+的值．【答案】(1)14(2)103 【解析】【分析】（1）根据分数指数幂、对数的运算法则及换底公式计算可得；（2）根据换底公式的性质得到2log 3x =，再根据指数对数恒等式得到2x ，即可得解；(1)解：230223482e lg 2lg5log 4log 927−−−⎛⎫−+++⨯ ⎪⎝⎭222322322lg 22lg5log 2log 2783⎛⎫=−−−+⨯ ⎪⎝⎭ ()2333239122lg2lg52log 2log 3222442⎡⎤⎛⎫⎢⎥ ⎪=−−+⎢+⋅=−−⎝⎥+⎣=⎭⎦ (2)解：3log 21x =，∴231log 3log 2x ==， ∴2o 3l g 223x ==，11022333x x −∴+=+=．题型战法二 对数函数的概念典例2．已知函数①4x y =；②log 2x y =；③3log y x =−；④0.2log y =⑤3log 1y x =+；⑥()2log 1y x =+.其中是对数函数的是（ ）A ．①②③B ．③④⑤C ．③④D ．②④⑥【答案】C【解析】【分析】依据对数函数的定义即可判断.【详解】根据对数函数的定义，只有符合log a y x =（0a >且1a ≠）形式的函数才是对数函数，其中x 是自变量，a 是常数.易知，①是指数函数；②中的自变量在对数的底数的位置，不是对数函数；③中313log log y x x =−=，是对数函数；④中0.20.04log log y x =，是对数函数；⑤⑥中函数显然不是对数函数，由此可知只有③④是对数函数. 故选：C .变式2-1．给出下列函数： ①223log y x =；②3log (1)y x =−；③(1)log x y x +=；④log e y x =. 其中是对数函数的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】A【解析】【分析】根据对数函数的特征判断即可得答案.【详解】①②不是对数函数，因为对数的真数不是仅有自变量x ；③不是对数函数，因为对数的底数不是常数；④是对数函数．故选:A.变式2-2．下列函数是对数函数的是（ ）A ．y ＝ln xB ．y ＝ln(x ＋1)C ．y ＝log xeD ．y ＝log xx【答案】A【解析】【分析】根据对数函数的定义判断．【详解】 A 是对数函数，B 中真数是1x +，不是x ，不是对数函数，C 中底数不是常数，不是对数函数，D 中底数不是常数，不是对数函数．故选：A ．变式2-3．函数()()25log a f x a a x =+− 为对数函数，则18f ⎛⎫ ⎪⎝⎭等于（ ） A ．3B ． 3−C ．3log 6−D ．3log 8−【答案】B【解析】【分析】 可以先根据对数函数的性质来确定a 的取值范围，再带入18得出结果．【详解】因为函数()f x 为对数函数，所以函数()f x 系数为1，即251a −=，即2a =或3−，因为对数函数底数大于0，所以2a =，()2log f x x =， 所以138f ⎛⎫=− ⎪⎝⎭． 【点睛】对数函数的系数等于一、真数大于0、底数大于0且不等于1．变式2-4．对数函数的图像过点M (125，3)，则此对数函数的解析式为（ ） A ．y ＝log 5xB ．y ＝15log xC ．y ＝13log xD ．y ＝log 3x【答案】A【解析】【分析】设对数函数y ＝log ax (a >0，且a ≠1)，将点代入即可求解.【详解】设函数解析式为y ＝log ax (a >0，且a ≠1)．由于对数函数的图像过点M (125，3)，所以3＝log a 125，得a ＝5.所以对数函数的解析式为y ＝log 5x .故选：A.题型战法三 对数函数的图像典例3．在同一坐标系中，函数2x y =与2log y x =的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】【分析】根据题意，结合对数函数与指数函数的性质，即可得出结果.【详解】由指数函数与对数函数的单调性知： 2x y =在R 上单调递增，2log y x =在()0+∞，上单调递增，只有B 满足.故选：B.变式3-1．函数()x f x a −=与()log a g x x =−在同一坐标系中的图像可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】分别讨论1a >和01a <<时函数()x f x a −=与()log a g x x =−在的单调性和所过定点，利用排除法即可求解.【详解】由对数和指数函数的性质可得0a >且1a ≠，当1a >时，()x f x a −=过点()0,1在R 上单调递减，()log a g x x =−过点()1,0在()0,∞+单调递减，所以排除选项C ，当01a <<时，()x f x a −=过点()0,1在R 上单调递增，()log a g x x =−过点()1,0在()0,∞+单调递增，所以排除选项AD ，故选：B.变式3-2．如图是三个对数函数的图象，则a 、b 、c 的大小关系是（ ）A ．a ＞b ＞cB ．c ＞b ＞aC ．c ＞a ＞bD ．a ＞c ＞b【答案】D【解析】【分析】 根据对数函数的图象与单调性确定大小．【详解】y ＝log ax 的图象在（0，＋∞）上是上升的，所以底数a ＞1，函数y ＝log bx ，y ＝log cx 的图象在（0，＋∞）上都是下降的，因此b ，c ∈（0，1），又易知c ＞b ，故a ＞c ＞b .故选：D ．变式3-3．已知函数()log 31a y x =++(0a >且1)a ≠，则函数恒过定点（ ） A ．()1,0B ．()2,0−C ．()0,1D ．()2,1−【答案】D【解析】【分析】利用对数函数过定点求解.【详解】令31+=x ，解得2x =−，1y =，所以函数恒过定点()2,1−，故选：D变式3-4．函数()log 231a y x =−+的图象恒过定点P ，则点P 的坐标是（ ） A ．()2,1 B ．()2,0 C ．()2,1− D ．()1,1【答案】A 【解析】 【分析】令真数为1，求出x 的值，再代入函数解析式可得定点P 的坐标. 【详解】令231x −=，可得2x =，此时log 111a y =+=，故点P 的坐标为()2,1. 故选：A.题型战法四 对数函数的定义域典例4．函数()()ln 2f x x =−的定义域为（ ） A ．[)0,2 B ．(),2−∞ C ．[)0,∞+ D ．()0,2【答案】A 【解析】 【分析】由对数函数的性质和二次根式的性质求解． 【详解】由题意020x x ≥⎧⎨−>⎩，解得02x ≤<．故选：A ．变式4-1．使式子(31)log (3)x x −−有意义的x 的取值范围是（ ） A ．3x > B ．3x < C ．133x <<D ．133x <<且23x ≠【答案】D 【解析】 【分析】对数函数中，底数大于0且不等于1，真数大于0，列出不等式，求出x 的取值范围. 【详解】由题意得：31031130x x x −>⎧⎪−≠⎨⎪−>⎩，解得：133x <<且23x ≠.故选：D变式4-2．函数y = ）A ．[2,)+∞B ．(,2]−∞C ．[1,2]D ．(1,2]【答案】D 【解析】 【分析】根据根式、对数函数的性质有011x <−≤，即可得定义域. 【详解】由题设，12log (1)0x −≥，即011x <−≤，可得12x <≤. 所以函数定义域为(1,2]. 故选：D变式4-3．函数()()ln e 2xf x =−+）A ．()1,2B ．()ln 2,2C ．()()ln 2,11,2⋃D ．[)(]ln 2,11,2⋃【答案】C 【解析】 【分析】根据使函数有意义得到不等式组，解得即可； 【详解】解：因为()()ln e2xf x =−， 所以e 201020x x x ⎧−>⎪−≠⎨⎪−>⎩，解得ln 22x <<且1x ≠，所以函数的定义域为()()ln 2,11,2⋃； 故选：C变式4-4．已知函数()21log xf x x−=，()1f x +的定义域为M ，()2f x 的定义域为N ，则（ ） A ．M N = B ．M N ⋂=∅C ．M ⊆ND ．N ⊆M【答案】B【解析】 【分析】分别求出()1f x +的定义域为M 和()2f x 的定义域为N 即可求解. 【详解】()21log 1xf x x −+=+，则{}10M x x =−<<， ()2122log 2xf x x −=，则102N x x ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭，所以M N ⋂=∅，故选：B ．题型战法五 对数函数的值域典例5．函数ln(2)1y x =−+的值域为（ ） A ．R B ．(1,)+∞ C ．[1,)+∞ D ．(2,)+∞【答案】A 【解析】 【分析】由ln y x =的值域为R 可得ln(2)1y x =−+的值域为R . 【详解】由对数函数ln y x =的值域为R 2个单位得函数1ln(2)y x =−的值域为R ， 则ln(2)1y x =−+的值域为R ， 故选：A.变式5-1．函数()2log 21xy =+的值域是（ ）A ．[1,)+∞B ．(0,1)C ．(,0)−∞D ．(0,)+∞【答案】D 【解析】 【分析】利用指数函数的性质可求原函数的值域. 【详解】设21x t =+，则211x t =+>，故()2log 210x+>， 故()2log 21xy =+的值域为(0,)+∞，故选：D.变式5-2．函数()()1lg 4211x x f x +=−+的最小值是（ ）．A ．10B ．1C ．11D ．lg11【答案】B 【解析】 【分析】利用换元法，令14211x x t +=−+，则lg y t =，先求出t 的范围，从而可求出函数的最小值 【详解】设14211x x t +=−+，则lg y t =，因为()()221421122211211010x x x x x t +=−+=−⋅+=−+≥，所以lg lg101y t =≥=，所以()()1lg 4211x x f x +=−+的最小值为1，故选：B变式5-3．若函数()()2ln ,0,2,03x a x f x x x x ⎧−−≤<=⎨−+≤≤⎩的值域为[)3,∞−+，则a 的取值范围是（ ）A ．)3e ,0⎡−⎣B ．31e ,e ⎡⎫−−⎪⎢⎣⎭C ．31e ,e ⎡⎤−−⎢⎥⎣⎦D ．31e ,e⎛⎫−− ⎪⎝⎭【答案】C 【解析】 【分析】求出当03x ≤≤和0a x ≤<时的取值范围，结合值域关系建立不等式进行求解即可 【详解】当03x ≤≤ 时，22()2(1)1[3,1]f x x x x =−+=−−+∈− 当0a x ≤< 时，()ln()[ln(),)f x x a =−−∈−−+∞ 要使()f x 的值域为[)3,∞−+则3ln()1a −≤−−≤ ，31e ea ∴−≤≤−故选：C变式5-4．已知函数()23log y x m =+的值域为[2,)+∞，则实数m 的值为（ ）A ．2B ．3C ．9D ．27【答案】C 【解析】根据对数型复合函数的性质计算可得； 【详解】解：因为函数()23log y x m =+的值域为[2,)+∞，所以2y x m =+的最小值为9，所以9m =；故选：C题型战法六 对数函数的单调性典例6．函数213log (2)y x x =−的单调减区间为（ ） A ．(0,1] B ．(0,2) C ．(1,2) D ．[0,2]【答案】A 【解析】 【分析】先求得函数的定义域，利用二次函数的性质求得函数的单调区间，结合复合函数单调性的判定方法，即可求解. 【详解】由不等式220x x −>，即22(2)0x x x x −=−<，解得02x <<， 即函数()f x 的定义域为()0,2，令()22g x x x =−，可得其图象开口向下，对称轴的方程为1x =，当(0,1]x ∈时，函数()g x 单调递增，又由函数13log y x=在定义域上为单调递减函数， 结合复合函数的单调性的判定方法，可得函数213log (2)y x x =−的单调减区间为(0,1].故选：A.变式6-1．函数()()212log 6f x x x =−++的单调递增区间是（ ） A ．1,32⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．12,2⎛⎫− ⎪⎝⎭C ．1,2⎛⎫−∞ ⎪⎝⎭D ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【答案】A 【解析】 【分析】先求出函数的定义域，进而根据“同增异减”求得答案.由题意，()2260602,3x x x x x −++>⇒−−<⇒∈−，()212125log 24f x x ⎡⎤⎛⎫=−−+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，按照“同增异减”的原则可知，函数的单调递增区间是1,32⎛⎫ ⎪⎝⎭.故选：A.变式6-2．已知函数()()22log 45f x x x =−−在(),a +∞上单调递增，则a 的取值范围是（ ） A ．(],1−∞− B ．(],2−∞ C ．[)2,+∞ D ．[)5,+∞【答案】D 【解析】 【分析】复合函数单调性问题，第一步确定定义域，第二步同增异减，即可得到答案. 【详解】由2450x x −−>，得1x <−或5x >，即函数()f x 的定义域为(,1)(5+)−∞−∞，， 令245t x x =−−，则()229t x =−−，所以函数t 在(),1−∞−上单调递减，在(5+)∞，上单调递增，又函数lg y t =在()0,+∞上单调递增， 从而函数()f x +)∞，，由题意知(+)(5+)a ∞⊆∞，，，∴5a ≥ . 故选：D.变式6-3．已知函数()log (3)a f x ax =−在[]0,1上是减函数，则a 的取值范围是（ ） A ．()0,1 B ．()1,3 C ．()0,3 D ．()1,+∞【答案】B 【解析】 【分析】根据复合函数的单调性同增异减求得a 的取值范围. 【详解】由于0a >且1a ≠，所以3y ax =−为减函数， 根据复合函数的单调性同增异减可知1a >.所以310131a a a −⨯>⎧⇒<<⎨>⎩.故选：B变式6-4．已知()()()2213,2log 23,2a x a x a x f x x x ⎧−−+≤⎪=⎨−−>⎪⎩是(),−∞+∞上的减函数，那么a 的取值范围是（ ） A ．5,62⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．5,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．[]1,6D ．51,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】A 【解析】 【分析】根据()f x 的单调性列不等式组，由此求得a 的取值范围. 【详解】因为()()()2213,2log 23,2a x a x a x f x x x ⎧−−+≤⎪=⎨−−>⎪⎩是(),−∞+∞上的减函数，所以()21221422130a a a a −⎧≥⎪⎪>⎨⎪−−+≥⎪⎩，解得562a ≤≤．故选：A题型战法七 比较大小与解不等式典例7．若13π212log 3,log 3a b c ===，，则（ ） A ．c b a << B ．c a b << C ．b a c << D ．a b c <<【答案】A 【解析】 【分析】根据对数函数和指数函数的单调性进行判断可. 【详解】因为103πππ221221,0log 1log 3log π=1,log log 103>==<<<=， 所以c b a <<，故选：A变式7-1．设2log 0.3a =，122log 5b =，0.30.4c =，则（ ）A ．a b c >>B ．b c a >>C ．a c b >>D ．b a c >>【答案】B 【解析】 【分析】根据指数函数和对数函数的单调性进行求解判断即可. 【详解】因为22log 0.3log 10a =<=，122225log log log 2152b ==>=，0.3000.40.41c <=<=， 所以有b c a >>， 故选：B变式7-2．若0.80.60.80.6log log 0.2a b c ===，8，，则（ ）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．c a b >>【答案】D 【解析】 【分析】根据对数函数与指数函数的性质判断． 【详解】由对数函数和指数函数性质得：0.6log 80<，0.80.8log 0.2log 0.81>=，0.800.61<<，所以b a c <<． 故选：D ．变式7-3．不等式()2log 311x +<成立的一个充分不必要条件是（ ） A ．1133x −<< B ．0x < C ．113x −<< D ．103x <<【答案】D 【解析】 【分析】先利用对数函数单调性解不等式，再判断出充分不必要条件. 【详解】由()211log 31133x x +<⇔−<<，由于1110333x x <<⇒−<<，而1133x −<<⇒103x <<，故不等式()2log 311x +<成立的一个充分不必要条件是103x <<，A 选项是充要条件，B 选项是既不充分也不必要条件，C 选项是必要不充分条件. 故选：D.变式7-4．设函数()133,12log ,1x x f x x x −⎧≤=⎨−>⎩，则满足()3f x ≤的x 的取值范围是（ ）A ．[)0,+∞B ．[)1,+∞C ．(),0−∞D ．[)0,1【答案】A 【解析】 【分析】分1x ≤和1x >两种情况解不等式即可 【详解】当1x ≤时，由()3f x ≤，得133x −≤，得11x −≤，解得01x ≤≤， 当1x >时，由()3f x ≤，得32log 3x −≤，得13x ≥，所以1x >， 综上，0x ≥， 故选：A题型战法八 对数函数的应用典例8．人们常用里氏震级e M 表示地震的强度，S E 表示地震释放出的能量，其关系式可以简单地表示为2lg 4.83e s M E =−，2021年1月4日四川省乐山市犍为县发生里氏4.2级地震，2021年9月16日四川省泸州市泸县发生里氏6.0级地震，则后者释放的能量大约为前者的（ ）倍．(参考数据：0.30.710~2.00,10 5.01=) A ．180 B ．270 C ．500 D ．720【答案】C 【解析】 【分析】设前者、后者的里氏震级分别为e e M M '''、，前者、后者释放出的能量分别为E '、E ''，根据已知关系式列式相减，利用对数运算法则可得． 【详解】设前者、后者的里氏震级分别为e e M M '''、，前者、后者释放出的能量分别为E '、E ''，则其满足关系2lg 4.83e s M E ''=−和2 4.83e s M lgE ''''=−，两式作差可以得到22lg lg ,33e e s s M M E E ''''''−=−，即 2.710s sE E '''=，所以 2.730.3101010500s s E E '''==÷≈，故选：C ．变式8-1．中国的5G 技术领先世界，5G 技术极大地提高了数据传输速率，最大数据传输速率C 取决于信道带宽W ，经科学研究表明：C 与W 满足2log (1)SC W N=+，其中S 是信道内信号的平均功率，N 是信道内部的高斯噪声功率，SN为信噪比.当信噪比比较大时，上式中真数中的1可以忽略不计.若不改变带宽W ，而将信噪比S N从1000提升至4000，则C 大约增加了（ ）(附：lg 20.3010≈) A ．10% B ．20%C ．30%D ．40%【答案】B 【解析】 【分析】 先计算1000S N=和4000SN =时的最大数据传输速率1C 和2C ，再计算增大的百分比211C C C −即可. 【详解】 当1000SN=时，122log 1001log 1000C W W =≈； 当4000SN=时，222log 4001log 4000C W W =≈. 所以增大的百分比为：2122112log 4000lg 4000lg 4lg10001111log 1000lg1000lg1000C C C W CC W −+=−=−=−=−lg 42lg 220.30100.220%lg100033⨯==≈≈=. 故选：B.变式8-2．中国的5G 技术世界领先，其数学原理之一便是著名的香农公式：2log 1S C W N ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速率C （单位：bit/s ）取决于信道宽度W （单位：HZ ）､信道内信号的平均功率S （单位：dB ）、信道内部的高斯噪声功率N （单位：dB ）的大小，其中SN叫做信噪比，按照香农公式，若信道宽度W 变为原来2倍，而将信噪比SN从1000提升至4000，则C 大约增加了（ ）（附：lg 20.3≈） A ．110% B ．120% C ．130% D ．140%【答案】D 【解析】 【分析】利用对数减法与换底公式可求得结果. 【详解】 当1000SN=时，2log 1001C W =； 当40000SN=时，信道宽度W 变为原来2倍，22log 4001C W =. 因为222210002222log 4001log 10012log 400142log 10004114log 21lg 21 1.4log 1001log 1001log 10003W W W −+=−≈−=+=+≈.故选：D.变式8-3．声音的等级()f x （单位：dB ）与声音强度x （单位：2W /m ）满足12()10lg110x f x −=⨯⨯. 喷气式飞机起飞时，声音的等级约为140dB ；一般说话时，声音的等级约为60dB ，那么喷气式飞机起飞时声音强度约为一般说话时声音强度的（ ） A ．105倍 B ．108倍 C ．1010倍 D ．1012倍【答案】B 【解析】首先设喷气式飞机起飞时声音强度和一般说话时声音强度分别为12,x x ，根据题意得出()1140f x =，()260f x =，计算求12x x 的值. 【详解】设喷气式飞机起飞时声音强度和一般说话时声音强度分别为12,x x ，()111210lg 140110x f x −=⨯=⨯，2110x =， ()221210lg60110x f x −=⨯=⨯，6210x −=，所以81210x x =， 因此，喷气式飞机起飞时声音强度约为一般说话时声音强度的810倍. 故选：B变式8-4．某工厂2015年生产某产品2万件，计划从2016年开始每年比上一年增产20%，从哪一年开始这家工厂生产这种产品的年产量超过6万件（已知lg20.3010=，1g30.4771=）（ ）A ．2019年B ．2020年C ．2021年D ．2022年【答案】D 【解析】 【分析】根据2016年开始每年比上一年增产20%，由()21206n+%>求解即可. 【详解】2015年为初始值，再过1年，即2016年，产品的年产量为()2120%+， 再过n 年（n N ∈），这家工厂生产这种产品的年产量为()2120%n+， 由()21206n+%>得，1.23n >， 两边取对数得，lg1.2lg3n >， 即lg3lg3lg30.47716.2lg1.2lg1212lg 2lg310.60300.47711n >===≈−+−+−， 而n N ∈，故7n =，即2022年开始这家工厂生产这种产品的年产量超过6万件. 故选：D. 【点睛】 关键点点睛：本题的解题关键在于读懂函数模型，熟练掌握对数的运算，才能根据实际情况突破难点.题型战法九 反函数典例9．已知函数()2log f x x =，其反函数为（ ）A ．()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．()21log f x x=C ．()f xD ．()2xf x =【答案】D 【解析】 【分析】利用反函数定义求解. 【详解】()2log f x x =的反函数为2log x y =，即2x y =，故其反函数为()2x f x =.故选：D变式9-1．函数21()1(2)2f x x x =+<−的反函数是（ ）A ．3)y x =≤<B ．3)y x >C ．3)y x =≤<D ．3)y x =>【答案】D 【解析】 【分析】设211(2)2y x x =+<−，反解后可得反函数.【详解】设211(2)2y x x =+<−，则3y >，且3)x y =>，故原函数的反函数为3)y x ==>， 故选：D.变式9-2．设函数()x f x a b =+（0a >，且1a ≠）的图象过点()0,1，其反函数的图象过点()2,1，则a b +等于（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5【答案】A 【解析】 【分析】反函数过点(),m n ，则原函数过点(),n m 【详解】()f x 反函数的图象过点(2,1),则()f x 的图象过点(1,2)所以0112a b a b ⎧+=⎨+=⎩,解得20a b =⎧⎨=⎩,所以2a b += 故选 ：A变式9-3．已知函数()3log f x x =与()g x 的图像关于y x =对称，则()1g −=（ ） A ．3 B ．13C ．1D ．1−【答案】B 【解析】 【分析】根据同底的指数函数和对数函数互为反函数可解. 【详解】由题知()g x 是()3log f x x =的反函数，所以()3x g x =，所以()11133g −−==.故选：B.变式9-4．与函数14xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象关于直线y x =对称的函数是（ ）A ．4x y =B ．4x y −=C ．14log y x =D ．4log y x =【答案】C 【解析】 【分析】利用函数x y a =与log a y x =（0a >且1a ≠）互为反函数可得出结果. 【详解】因为函数x y a =与log a y x =（0a >且1a ≠）互为反函数，且这两个函数的图象关于直线y x =对称，因此，与函数14xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象关于直线y x =对称的函数是14log y x=. 故选：C.。
高一数学复习考点知识与题型专题讲解18---对数函数
高一数学复习考点知识与题型专题讲解4.4对数函数【考点梳理】考点一：对数函数的概念一般地，函数y＝log a x(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．重难点技巧：对数函数的图象和性质考点二：对数函数的图象和性质对数函数y＝log a x(a>0，且a≠1)的图象和性质如下表：y＝log a x (a>0，且a≠1)底数a>10<a<1图象定义域(0，＋∞)值域R单调性在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数共点性图象过定点(1,0)，即x＝1时，y＝0函数值特点x∈(0,1)时，y∈(－∞，0)；x∈[1，＋∞)时，y∈[0，＋∞)x∈(0,1)时，y∈(0，＋∞)；x∈[1，＋∞)时，y∈(－∞，0]对称性函数y ＝log a x 与y ＝1log ax 的图象关于x 轴对称考点三:不同底的对数函数图象的相对位置一般地，对于底数a >1的对数函数，在区间(1，＋∞)内，底数越大越靠近x 轴；对于底数0<a <1的对数函数，在区间(1，＋∞)内，底数越小越靠近x 轴． 考点四：反函数的概念一般地，指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)互为反函数． (1)y ＝a x 的定义域R 就是y ＝log a x 的值域；而y ＝a x 的值域(0，＋∞)就是y ＝log a x 的定义域．(2)互为反函数的两个函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)与y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象关于直线y ＝x 对称．(3)互为反函数的两个函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)与y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的单调性相同．但单调区间不一定相同．重难点技巧：不同函数增长的差异考点五：三种常见函数模型的增长差异函数性质 y ＝a x (a >1)y ＝log a x (a >1)y ＝kx (k >0)在(0，＋∞)上的增减性 增函数增函数增函数图象的变化随x 的增大逐渐变“陡”随x 的增大逐渐趋于稳定随x 的增大匀速上升增长速度 y ＝a x 的增长快于y ＝kx 的增长，y ＝kx 的增长快于y ＝log a x 的增长增长后果会存在一个x 0，当x >x 0时，有a x >kx >log a x【题型归纳】题型一：对数函数的概念与解析式1．（2021·全国高一课时练习）给出下列函数：①223log y x =；②3log (1)y x =-；③(1)log x y x +=；④log e y x =.其中是对数函数的有（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．（2021·全国高一课时练习）若函数2log 32a y x a a =+-+为对数函数，则a =（ ）A ．1B ．2C ．3D ．43．（2021·全国高一课前预习）设()log a f x x =（0a >且1a ≠），若1(2)2f =，则12f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）. A ．2B ．2-C ．12-D ．12题型二：对数函数的定义域（复合型对数函数）4．（2021·全国）若对数()()21log 62a a --有意义，则实数a 的取值范围为（ ） A ．（-∞，3）B ．1(,3)2C ．1(,1)2∪（1，+∞）D ．1(,1)2∪（1，3） 5．（2020·淮北市树人高级中学高一月考）()221log 42x y x x-=--的定义域是（ ） A ．(2,0)(1,2)-B ．(2,0](1,2)-⋃ C ．(2,0)[1,2)-⋃D ．[2,0][1,2]-⋃6．（2021·全国高一单元测试）函数()22log 6y x x =--的定义域为 （ ）A ．()2,3-B ．()3,2-C ．()(),32,-∞-+∞UD ．()(),23,-∞-+∞ 题型三：对数函数的值域问题7．（2021·安徽芜湖一中高一月考）已知函数()212log 21y ax x =++的值域为R ，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1a >B ．01a ≤<C ．01a <<D ．01a ≤≤8．（2020·深圳实验学校高中部高一月考）函数()212log 4y x x =-的值域是（ ）A ．[2,)-+∞B ．RC ．[0,)+∞D ．(0,4]9．（2020·内蒙古杭锦后旗奋斗中学）若函数()6,23log ,2a x x f x x x -+≤⎧=⎨+>⎩(0,1a a >≠)的值域是[)4,+∞，则实数a 的取值范围是（ ）A ．10,2⎛⎤⎥⎝⎦B ．()1,+∞C ．(]1,2D ．()0,1题型四：对数函数的图像问题10．（2021·全国高一专题练习）函数()log 1a y x =-的图象必过的点是（ ） A ．()1,0-B ．()1,0C ．()0,0D ．()2,011．（2020·江苏省西亭高级中学）函数13x y a +=-与()log ()a g x x m n =++（0a >且1a ≠）的图象经过同一个定点，则n m 的值是（ ） A ．4B ．-1C ．3D ．1412．（2021·湖南湘西·高一期末）若1a >，则1xy a ⎛⎫= ⎪⎝⎭与log a y x =在同一坐标系中的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．题型五：对数函数的单调性问题（复合函数、求参数）13．（2021·新疆维吾尔自治区阿克苏地区第二中学高一期末）函数()()212log 4f x x =-的单调递增区间为（ ）A ．()0,∞+B ．(),0-∞C ．()2,+∞D ．(),2-∞-14．（2020·丽水外国语实验学校高一月考）已知(31)4,1()log ,1a a x a x f x x x -+≤⎧=⎨>⎩是(,)-∞+∞上的减函数，那么a 的取值范围是（ ）A ．11,73⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．1,17⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．(0,1)D ．10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭15．（2020·石家庄市藁城区第一中学高一月考）若函数()()()2log 20,1a f x x x a a =+>≠在区间10,2⎛⎫⎪⎝⎭内恒有()0f x <，则()f x 的单调递增区间是（ ）A ．1,4⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭B ．1,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭C ．1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭D ．()0,∞+题型六：对数函数的单调性比较大小16．（2021·广西桂林市·高一月考）若0.50.3223,log 3a b c ===，，则三者大小关系为（ ） A ．c b a >>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．c a b >>17．（2021·天津红桥区·高一学业考试）设0.513a ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 21log 3b =，2log 3c =， 则（ ）A ．c <a <bB ．b <a <cC ．c <b <aD ．a <c <b18．（2021·四川眉山市·仁寿一中）设6log 3a =，lg5b =，0.12c =，则（ ）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c b a <<D ．c a b <<题型七：对数函数的单调性解不等式19．（2021·福建厦门市·厦门外国语学校高一月考）已知函数()2log ,11,11x x f x x x≥⎧⎪=⎨<⎪-⎩则不等式()1f x ≤的解集为（ ）A ．(],2-∞B ．(](],01,2-∞⋃C ．[]0,2D ．(][],01,2-∞20．（2020·安徽马鞍山·高一月考）“120x->”是“21log 02x ⎛⎫+< ⎪⎝⎭”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件21．（2021·湖南）已知函数2log ,0()2,0xx x f x x >⎧=⎨≤⎩，则1()2f a <的a 的取值范围是（ ） A ．(),1-∞-B ．()0,2C ．(1,2)D ．(,1)(0,2)-∞-题型八：反函数问题22．（2019·陕西镇安中学高一期中）已知函数()()log 0,1a f x x a a =>≠的图象如下图所示，函数()y g x =的图象与()y f x =的图象关于直线y x =对称，则函数()y g x =的解析式为（ ）A ．()2xg x =B ．()12log g x x =C ．()12xg x 骣琪=琪桫D ．()2log g x x =23．（2020·新疆乌鲁木齐市·乌市八中高一月考）已知函数()2log 5a y x x =-的反函数图象过点()1,5，则函数()2log 5a y x x =-的图象必过点（ ）A ．()1,1B ．()1,5C ．()5,1D ．()5,524．（2021·江西省兴国县第三中学高一月考）已知函数f (x )=log 2x 的反函数为g (x )， 且有g (a )g (b )=16， 若a >0， b >0， 则41ab+ 的最小值为（ ） A ．9B ．94C ．4D ．5题型九：指数函数与对数函数的综合25．（2021·新疆昌吉回族自治州第二中学）已知函数lg (0)()2(0)xx x f x x >⎧=⎨≤⎩，若()12f m =，则m =（ ）A ．10B ．1-C ．0D ．10或1-26．（2020·广东佛山一中）|log 2x |＝1是2|x |＝4的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件27．（2020·张家口市第一中学高一月考）设函数()21223,01log ,0x x f x x x -⎧+≤=⎨->⎩，若()4f a =，则实数a 的值为（ ）A ．12B ．18C ．12或18D ．116【双基达标】一、单选题28．（2021·全国高一课时练习）在b ＝log 3a －1(3－2a )中，实数a 的取值范围是（ ） A ．1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭∪3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．12,33⎛⎫ ⎪⎝⎭∪23,32⎛⎫⎪⎝⎭C ．12,33⎛⎫⎪⎝⎭D ．23,32⎛⎫⎪⎝⎭29．（2021·庆阳第六中学高一期末）若函数2()lg(2)4af x ax x =-+的定义域为R ，则a 的取值范围是（ ）A ．(--2)∞，B ．(-2)∞，C ．(2)，+∞D ．(-2)+∞， 30．（2021·广西桂林市·高一月考）已知函数()()211ln111f x x x=-++（ ） A ．在()1,-+∞上单调递增B ．在()1,-+∞上单调递减 C ．在()1,+?上单调递减D ．在()1,+?上单调递增31．（2021·全国高一专题练习）下面对函数()12log f x x =，()12xg x 骣琪=琪桫与()100xh x =-在区间()0,∞+上的递减情况说法正确的是（ ）A ．()f x 递减速度越来越慢，()g x 递减速度越来越快，()h x 递减速度比较平稳B ．()f x 递减速度越来越快，()g x 递减速度越来越慢，()h x 递减速度越来越快C ．()f x 递减速度越来越慢，()g x 递减速度越来越慢，()h x 递减速度比较平稳D ．()f x 递减速度越来越快，()g x 递减速度越来越快，()h x 递减速度越来越快32．（2021·福建厦门市·厦门外国语学校高一月考）若函数1()x f x a -=的图象经过点(4，2)，则函数g (x )＝log a11x +的图象是（ ）A ．B．C ．D ．33．（2020·张家口市第一中学高一）若函数(1)2,2()log ,2aa x a x f x x x --<⎧=⎨≥⎩在R 上单调递减，实数a 的取值范围是（ ）A ．20,2⎛⎤⎥ ⎝⎦B ．2,12⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭C ．(0,1)D ．[1,)-+∞ 34．（2021·福建厦门市·厦门外国语学校高一月考）已知a ＝log 0.53，b ＝20.3，c ＝0.30.5，则a 、b 、c 的大小关系为（ ）A ．a ＜c ＜bB ．a ＜b ＜cC ．b ＜c ＜aD ．b ＜a ＜c35．（2021·四川巴中·高一期末（理））已知()f x 是奇函数，当0x ≥时，2()1x f x e =-（其中e 为自然对数的底数），则1ln2f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ） A ．1B ．1-C ．3D ．3-36．（2021·运城市新康国际实验学校高一开学考试）设函数()()21ln 11f x x x =+-+，则使得()()21f x f x >-成立的x 的取值范围是（ ）A ．1,13⎛⎫⎪⎝⎭B ．()1,1,3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭C ．11,33⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．11,,33⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U37．（2021·河北安平中学）设()f x 是定义域为R 的偶函数，若12,(0,)x x ∀∈+∞12()x x ≠，都有1212()()0f x f x x x ->-，则大小关系正确的为（ ）A ．1223(log 3.1)(log 3)()2f f f <<B ．2123(log 3)(log 3.1)()2f f f <<C ．1223()(log 3.1)(log 3)2f f f <<D ．2123()(log 3)(log 3.1)2f f f <<38．（2021·广东高一期末）已知函数()22log ,0269,2x x f x x x x ⎧<≤=⎨-+>⎩，若正实数a 、b 、c 、d 互不相等，且()()()()f a f b f c f d ===，则abcd 的取值范围为（ ） A ．()8,9B ．[)8,9C ．()6,9D ．[)6,9【高分突破】一：单选题39．（2021·雄县第二高级中学高一期末）已知函数()()2122x x f x g x x ⎧->⎪=⎨≤⎪⎩，，，在R 上是单调函数，则()g x 的解析式可能为（ ）A ．21x+B ．()ln 3x -C ．21x -D ．12x⎛⎫⎪⎝⎭40．（2021·兴仁市凤凰中学高一期末）设若 1.2log 0.8a =，0.7log 0.8b =，0.81.2c =，则（ ） A ．a b c <<B ．b a c <<C ．a c b <<D ．c a b <<41．（2021·福建厦门市·厦门外国语学校高一月考）已知函数()2log 13(0x a y ax a -=+-+>且1)a ≠的图像恒过定点P ，点P 在幂函数()y f x =的图像上，则()2f =（ ）A ．5B ．4C ．3D ．242．（2020·云南）若函数()(3)a f x m x =-是幂函数，则函数()log ()1a g x x m =++(其中0a >且1a ≠)的图象过定点（ ）A ．()3,1-B ．()2,1C ．()3,0-D ．()3,143．（2021·广东高一期末）设命题甲：x R ∀∈，210x ax ++>是真命题，命题乙：函数()42log a y x -=在()0,+?上单调递减是真命题，那么乙是甲的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件44．（2021·上海高一专题练习）将函数2log y x =的图像沿x 轴负方向移动1个单位，再沿y 轴负方向移动2个单位，得到图像C ，在下列函数的图像中，与图像C 关于直线0x y -=对称的是（ ） A ．221x y +=+B ．221x y +=- C ．221x y -=-D ．221x y -=+45．（2021·上海市金山中学高一月考）若lg(1)lg(1)0a b +>+>，则下列命题中不正确的是（ ） A ．1122a b<B ．11a b <C ．2211a b <D ．11lg lg a b <46．（2021·江苏高一课时练习）已知函数()ln 2f x x x =-，则()f x 的大致图象为（ ）A ．B ．C ．D ．47．（2021·广东）已知函数f (x )是偶函数，且f (x )在[0,)+∞上是增函数，若1()02f =，则不等式()4log 0f x >的解集为（ ）A ．{x |x >2}B ．1{|0}2x x <<C ．{1|02x x <<或x >2}D ．{1|12x x <<或x >2}二、多选题48．（2021·运城市新康国际实验学校高一开学考试）在同一坐标系中，()f x kx b =+与()log b g x x =的图象如图，则下列关系不正确的是（ ）A ．0k <，01b <<B ．0k >，1b >C ．()100f x x ⎛⎫>> ⎪⎝⎭，()()00g x x >>D ．1x >时，()()0f x g x ->49．（2021·汕头市潮师高级中学高一月考）给出下列四个命题，其中所有正确命题的选项是（ ）A ．函数()log (21)1a f x x =--的图象过定点(1,0)B ．化简2log5312lg5log lg 23+++的结果为25C ．已知函数()log 2a y ax =-（0a >且1a ≠）在()0,1上是减函数，则实数a 的取值范围是()1,2D ．若22ln ln()x y x y -->--（0x >，0y <），则0x y +<50．（2021·广东高一期末）已知33log log a b >，则下列不等式一定成立的是（ ） A ．110a b <<B ．()3log 0a b -> C ．31a b-<D ．1132a b⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭51．（2021·湖南）设函数()12log f x x =，下列四个命题正确的是（ ）A ．函数()f x 为偶函数B ．若()()f a f b =，其中0a >，0b >，a b ¹，则1ab =C ．函数()22f x x -+在（1，2）上为单调递增函数D ．若01a <<，则()()11f a f a +>-52．（2020·淮北市树人高级中学高一月考）某数学课外兴趣小组对函数21()lg (0,)||x f x x x R x +=≠∈的性质进行了探究，得到下列四个命题，其中真命题为（ ）A ．函数()f x 的图象关于y 轴对称B ．当0x >时，()f x 是增函数，当0x <时，()f x 是减函数C ．函数()f x 的最小值是lg 2D ．当10x -<<或1x >时，()f x 是增函数三、填空题53．（2021·山东枣庄市·滕州市第一中学新校高一月考）已知函数()2xy f =的定义域是[]1,1-，则函数()2log y f x =的定义域是________ .54．（2021·河北高一期末）函数()()212log 56f x x x =-+的单调递减区间为___________.55．（2021·上海高一期中）函数()()log 310,1a y x a a =+->≠的图象恒过定点A ，若点A 在直线10mx ny ++=上，其中m 、0n >，则12m n+的最小值为____________. 56．（2021·浙江学军中学高一竞赛）已知函数22021()2021log (1)20212x x f x x x -=+++-+，则关于x 的不等式()()314f x f x ++>的解集是___________．四、解答题 57．（2021·上海）（1）若不等式2log 0m x x -<在102⎛⎫ ⎪⎝⎭，内恒成立，求实数m 的取值范围； （2）已知函数()()log 3a f x ax =-(0a >且1)a ≠．当[0,2]x ∈时，函数()f x 恒有意义，求实数a 的取值范围．58．（2021·广西桂林市·高一月考）已知函数()()()lg 8lg 8f x x x =+--+． （1）求()f x 的定义域；（2）判断()f x 的奇偶性并予以证明； （3）求不等式()1f x >的解集．59．（2021·贵州师大附中高一开学考试）已知函数()log (1)log (3)(01)a a f x x x a a =-++>≠且. （1）求函数()f x 的定义域；（2）若函数()f x 的最小值为-2，求实数a 的值.60．（2021·汕头市第一中学）已知函数()log (0,1)x a f x a x a a =+>≠在[1,2]上的最大值与最小值之和为6log 2a +． （1）求实数a 的值；（2）对于任意的[2,)x ∈+∞，不等式()10kf x -≥恒成立，求实数k 的取值范围．61．（2021·曲周县第一中学高一开学考试）已知函数()()log 1x a f x a =-（0a >，1a ≠）（1）当12a =时，求函数()f x 的定义域；（2）当1a >时，求关于x 的不等式()()1f x f <的解集；（3）当2a =时，若不等式()()2log 12xf x m -+>对任意实数[]1,3x ∈恒成立，求实数m 的取值范围.62．（2020·全国）已知函数()()22log log 28x f x x ⎛⎫⎡⎤=⋅ ⎪⎣⎦⎝⎭，函数()1423x x g x +=--． （1）求函数()f x 的值域；（2）若不等式()()0f x g a -≤对任意实数1,22a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，试求实数x 的取值范围．63．（2021·安徽滁州·）已知函数()()()3log 0f x x a a =+>，若点(),M x y 在函数()y g x =图象上运动时，对应的点1,32y M x ⎛⎫' ⎪⎝⎭在函数()y f x =图象上运动，则称函数()y g x =是函()y f x =的相关函数.（1）当1a =时，解关于x 的不等式()1f x <；（2）对任意的[]0,1x ∈，()f x 的图象总在其相关函数图象的上方，求实数a 的取值范围.【答案详解】1．A 【详解】①②不是对数函数，因为对数的真数不是仅有自变量x ； ③不是对数函数，因为对数的底数不是常数；④是对数函数． 故选:A. 2．B 【详解】由题可知：函数2log 32a y x a a =+-+为对数函数所以23201a a a -+=⇒=或2a =，又0a >且1a ≠ 所以2a = 故选：B 3．C 【详解】因为()log a f x x =（0a >且1a ≠），1(2)2f =， 所以1(2)log 22a f ==，即122a =，解得4a =，所以4()log f x x =，所以4111log 222f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭. 故选：C 4．D 【详解】由已知，得3620112103222111a a a a a a a <⎧->⎧⎪⎪⎪->⇒>⇒<<⎨⎨⎪⎪-≠⎩≠⎪⎩且1a ≠，故选：D . 5．C 【详解】解：要使函数有意义，则21022040x xx x -⎧≥⎪⎪⎨≠⎪⎪->⎩， 解得20x -<<或12x ≤<，所以函数的定义域为(2,0)[1,2)-⋃.故选：C ．6．D解：函数()22log 6y x x =--的定义域为：260x x -->，即3x >或2x <-，所以定义域为：()(),23,-∞-+∞. 故选：D. 7．D 【详解】设12log y t=，221t ax x =++， 因为函数的值域为R ，所以t 要能取到()0,∞+的所有数， 当0a =时，21t x =+满足条件； 当0a >时，440a ∆=-≥，得01a <≤； 当0a <时，不成立. 综上可知，01a ≤≤. 故选：D8．A 【详解】由240x x ->，得04x <<，令24t x x =-，则12log y t =， 因为224(2)4t x x x =-=--+，04x <<， 所以04t <≤，因为函数12log y t =在(0,4]上单调递减， 所以1122log log 42y t =≥=-， 所以函数的值域为[2,)-+∞， 故选：A 9．C 【详解】当2x ≤时，64x -+≥，当且仅当2x =时取等号，依题意得，{()|2}[4,)f x x >⊆+∞，当01a <<时，log 0a x <，3log 34a x +<<，不符合要求，于是得1a >，()f x 在(2,)+∞上递增，从而得(3log 2,)[4,)a ++∞⊆+∞，则3log 24a +≥，解得12a <≤， 所以实数a 的取值范围是(]1,2. 故选：C 10．D 【详解】() log 1a y x =-，则当11x -=，即2x =时，0y =是与a 的值无关的定值，故函数()log 1a y x =-的图形必过的点是()20,.故选：D. 11．D 【详解】因为函数13x y a +=-（0a >且1a ≠）经过定点()1,2--，函数()log ()a g x x m n =++（0a >且1a ≠）的图象经过定点()1,m n -，由题意知112m n -=-⎧⎨=-⎩，即22m n =⎧⎨=-⎩，故2124n m -==，故选：D 12．D 【详解】因为1a >，101a <<，1xy a ⎛⎫= ⎪⎝⎭是减函数，log a y x =是增函数，只有D 满足．故选：D ． 13．D 【详解】对于函数()()212log 4f x x =-，有240x ->，解得2x <-或2x >，故函数()f x 的定义域为()(),22,-∞-+∞，内层函数24u x =-在(),2-∞-上单调递减，在()2,+∞上单调递增，外层函数12log y u=为减函数， 由复合函数的单调性可知，函数()()212log 4f x x =-的单调递增区间为(),2-∞-. 故选：D. 14．A 【详解】解：因为()f x 为(,)-∞+∞上的减函数，所以有31001(31)14log 1a a a a a -<⎧⎪<<⎨⎪-⨯+≥⎩，解得1173a ≤<， 故选：A. 15．D解：当1(0,)2x ∈时，22(0,1)x x +∈，因为函数()()()2log 20,1a f x x x a a =+>≠在区间10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭内恒有()0f x <，1a ∴>，函数2()log (2)(0a f x x x a =+>，1)a ≠由log a y t =和22t x x =+复合而成，因为1a >时，log a y t =在(0,)+∞上是增函数，所以只要求220t x x =+>的单调增区间．220t x x =+>的单调递增区间为(0,)+∞，()f x ∴的单调增区间为(0,)+∞，故选：D ． 16．D 【详解】由题得30.522223log 3log 22log 2222c a =>==>==，由题得100.31010103222320,0,1,327273a ab a b b >>====>∴>.所以c a b >>. 故选：D 17．B解：因为0.5103113a <⎛⎫⎛⎫<= ⎪⎪⎝⎭⎝=⎭，221log log 103b =<=，22log 3log 21c =>=，所以01b a c <<<< 故选：B 18．A 【详解】令()21log log log 212log x x x xf x x x ==-=-， 因为2log y x =在()0,∞+上单调递增， 所以()21log 12log xx f x x ==-在()0,∞+上单调递增， 所以()6log 36a f ==，()lg510b f ==， 所以a b <，且01a b <<<，因为2x y =在R 上单调递增，所以0.10221c =>=， 所以a b c <<， 故选：A. 19．D 【详解】当1≥x 时，不等式()1f x ≤即()22log 1log 2f x x =≤=，可得12x x ≥⎧⎨≤⎩，解得：12x ≤≤； 当1x <时，不等式()1f x ≤即()111f x x=≤-，即01xx ≤-，所以01x x ≥-， 解得：0x ≤或1≥x （舍），所以0x ≤，综上所述：不等式()1f x ≤的解集为(][],01,2-∞， 故选：D. 20．A解：由120x ->，解得102x <<，由21log 02x ⎛⎫+< ⎪⎝⎭，得1012x <+<，解得1122x -<<，所以“120x ->”是“21log 02x ⎛⎫+< ⎪⎝⎭”的充分不必要条件.故选：A. 21．D由题意，若0a >，则不等式1()2f a <可化为21log 2a <， 解得(0,2)a ∈，若0a …，则不等式1()2f a <可化为122a <， 解得(,1)a ∈-∞-，故a 的取值范围是(,1)(0,2)-∞-. 故选：D. 22．C由图象可得，1log 2a -=，故()121,log 2a f x x ==，又函数()y g x =的图象与()y f x =的图象关于直线y x =对称，故()y g x =与()12log f x x=互为反函数，故()12xg x 骣琪=琪桫故选：C 23．C函数()2log 5a y x x =-的反函数图象过点()1,5，∴函数()2log 5a y x x =-的图象必过点()5,1.24．B 【详解】由条件可知()2xg x =，22216a b a b +⋅==，4a b ∴+=，()41141141495524444b a b a a b a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+⨯≥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 当4b a a b =，即2a b =时等号成立，因为4a b +=，解得：83a =，43b =，所以41ab+的最小值是94. 故选：B 25．D 【详解】当0m >时，1lg 2m =,解得10m =;当0m ≤时，122m=,解得1m =-,故选：D. 26．D 【详解】 ∵|log 2x |＝1， ∴x ＝2或12； ∵2|x |＝4＝22， ∴x ＝2或-2． 故选：D 27．B 【详解】因为()4f a =，所以212340a a -⎧+=⎨≤⎩或21log 40a a -=⎧⎨>⎩ 所以120a a ⎧=⎪⎨⎪≤⎩或180a a ⎧=⎪⎨⎪>⎩18a ∴=故选：B . 28．B 【详解】要使式子b ＝log 3a －1(3－2a )有意义，则310,311,320,a a a ->⎧⎪-≠⎨⎪->⎩解得1233a << 或 2332a <<.故选：B ． 29．C 【详解】∵函数2()lg(2)4a f x ax x =-+的定义域为R ，所以2204a ax x -+>恒成立，当0a =时，20x ->显然不合题意，当0a ≠时，则20(2)404a a a >⎧⎪⎨∆=--⨯⨯<⎪⎩∴ 2a >综上所述(2)a ∈+∞，故选：C.30．D 【详解】()201x y x ≠=-，在(),00,1-∞，（）上分别递减，在()1,+?上递增，1111y x=+在(),0-?上递减，在()0,+?上递增，则1ln111y x=+在(),0-?上递减，在()0,+?上递增， ∴()()211ln111f x x x=-++在()1,+?上递增.故选：D 31．C 【详解】观察函数()12log f x x =、()12xg x 骣琪=琪桫、()100xh x =-在区间()0,∞+上的图象如下图所示：函数()f x 的图象在区间()0,1上递减较快，但递减速度逐渐变慢； 函数()f x 在区间()1,+∞上，递减较慢，且越来越慢．同样，函数()g x 的图象在区间()0,∞+上递减较慢，且递减速度越来越慢． 函数()h x 的图象递减速度比较平稳． 故选：C. 32．D 【详解】由题意可知f (4)＝2，即a 3＝2，所以a ＝32. 所以()33221()loglog 11g x x x ==-++， 因为函数()g x 的定义域为()1,-+∞，且函数()g x 在定义域内单调递减，所以排除选项A ，B ，C. 故选：D. 33．B 【详解】若函数(1)2,2()log ,2a a x a x f x x x --<⎧=⎨≥⎩在R 上单调递减，则10012(1)2log 2a a a a a -<⎧⎪<<⎨⎪--≥⎩，得212a ≤<.故选：B. 34．A解：∵log 0.53＜log 0.51＝0，∴a ＜0， ∵20.3＞20＝1，∴b ＞1，∵0＜0.30.5＜0.30＝1，∴0＜c ＜1， ∴a ＜c ＜b ， 故选：A ． 35．D 【详解】由()f x 是奇函数得()()f x f x -=-，又0x ≥时，2()1x f x e =-，所以()()2ln 2ln 41ln (ln 2)(ln 2)1132f f f e e ⎛⎫=-=-=--=--=- ⎪⎝⎭.故选：D ． 36．A【详解】定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=，所以()f x 为偶函数， 当0x >时，()()21ln 11f x x x =+-+为增函数， 由()()21f x f x >-结合偶函数图象的对称性可知21x x >-， 两边平方并化简得()()1310x x --<，解得113x <<.所以不等式()()21f x f x >-的解集为1,13⎛⎫⎪⎝⎭.故选：A 37．D 【详解】因为若12,(0,)x x ∀∈+∞12()x x ≠，都有1212()()0f x f x x x ->-，所以()f x 在(0,)+∞上单调递增；因为()f x 是定义域为R 的偶函数，所以11222(log 3.1)(log 3.1)(log 3.1)f f f =-=，因为32222=，所以3223 3.1<<，而2log y x =在(0,)+∞上单调递增，所以223log 3log 3.12<<，故()()223log 3log 3.12f f f ⎛⎫<< ⎪⎝⎭，即2123()(log 3)(log 3.1)2f f f <<故选：D. 38．A解析：如图所示：正实数a 、b 、c 、d 互不相等，不妨设a b c d <<<∵()()()()f a f b f c f d ===则22log log a b -=，∴122log log a b -=，∴1ab =且234c d <<<<，6c d +=，∴()()68,9abcd c c =-∈ 故选：A 39．C 【详解】当2x >时，()f x 为增函数，则()g x 在(]2-∞，上为增函数，且()22213g ≤-=， A .()21xg x =+在(]2-∞，上为增函数，()253g =>，故不符合条件； B .()()ln 3g x x =-为减函数，故不符合条件；C .()g x 在(]2-∞，上为增函数，()23g =，故符合条件； D .()12xg x 骣琪=琪桫为减函数，故不符合条件．故选：C ． 40．A因为 1.2 1.2log 0.8log 10=<=a ，0.70.70.70log 10.8log 0.71b log =<=<=，0.801.12.21c >==，所以可得,,a b c 的大小关系为a b c <<.故选：A. 41．B 【详解】令2x =，得4y =， 所以函数()2log 13(0x a y ax a -=+-+>且1)a ≠的图像恒过定点()2,4P ，设幂函数为()af x x =，因为点P 在幂函数()af x x =的图象上，所以24a =，解得2a =，所以()2224f ==，故选：B 42．A 【详解】∵()f x 是幂函数，∴31m -=，4m =，∴()log (4)1a g x x =++过定点()3,1-. 故选：A 43．A 【详解】因为x R ∀∈，210x ax ++>，故240a -<即22a -<<，因为()42log a y x -=在()0,∞+上单调递减，故0421a <-<即322a <<，因为()2,2-真包含了3,22⎛⎫⎪⎝⎭，故乙是甲的充分不必要条件. 故选：A. 44．B 【详解】将函数2log y x =的图像沿x 轴负方向移动1个单位，得到2log (1)y x =+， 再沿y 轴负方向移动2个单位，得到图像C ， 则图像C 的对应的函数为2log (1)2y x =+-， 则图像C 关于直线0x y -=对称的是221x y +=-． 故选：B. 45．D 【详解】解：因为lg(1)lg(1)0a b +>+>，所以111a b +>+>，即0a b >>，对于A ：因为12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在定义域上单调递减，又0a b >>，所以1122a b <，故A 正确；对于B ：因为12y x -=在()0,∞+单调递减，又0a b >>，所以11a b<，故B 正确； 对于C ：因为2y x -=在()0,∞+单调递减，又0a b >>，所以2211a b <，故C 正确； 对于D ：当1a =（或1b =）时lg 0a =（lg 0b =），此时1lg a （或1lg b）无意义，故D 错误；故选：D 46．D解：根据题意，()ln 2f x x x =-，所以()1022f =-=-，()f x 在区间(0,)+∞上，在x 轴下方有图象，排除AB ， 又(1)ln122f -=+=，而()ln 212f e e e e -=+=+，有(1)()f f e -<-，()f x 不会是增函数，排除C ，故选：D ． 47．C 【分析】利用函数()f x 的奇偶性和单调性将不等式等价为41log 2x >，进而可求得结果. 【详解】依题意，不等式()()441log 0log 2f x f x f ⎛⎫>⇔> ⎪⎝⎭，又()f x 在[)0,+∞上是增函数，所以41log 2x >，即41log 2x <-或41log 2x >，解得102x <<或2x >. 故选：C. 48．ABC 【详解】由图象可知0k >，01b <<，所以AB 选项错误. 当1x >时，()0g x <，所以C 选项错误.当1x >时，()()0,0f x g x ><，所以()()0f x g x ->，所以D 选项正确. 故选：ABC 49．BD 【详解】对于A ，函数()log (21)1a f x x =--的图象过定点(1,1)-，A 错， 对于B ，()22log5log 25312lg5log lg 22lg5lg 21253+++=++-=，B 对，对于C ，由函数()log 2a y ax =-（0a >且1a ≠）在()0,1上是减函数， 可得1a >，且20a -≥，所以12a <≤，故C 错误； 对于D ，令()2l n xf x x -=-，若22l n l n ()x y x y -->--，则2ln 2l n ()x yx y -->--，即()()f x f y >-，又0,0x y ><，()f x 在(0,)+∞上单减，所以x y <-，所以0x y +<故D 对， 故选：BD. 50．AD因为33log log a b >， 所以0a b >>，所以110a b <<，故选项A 正确；当413a b ==,时，()331log log 103a b -==-<，故选项B 错误； 又0331a b ->=，故选项C 错误；由指数函数和幂函数的单调性得111332abb⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故选项D 正确.故选；AD. 51．BC 【详解】A 选项，()f x 的定义域为()0,+?，所以()f x 是非奇非偶函数，A 错误.B 选项，由于()()f a f b a b =≠，，0a >，0b >，所以1111122222log log ,log log 0,log 0,1a b a b ab ab =-+===，B 正确. C 选项，()()22122log 2f x x x x -+=-+，由22002x x x -+>⇒<<，22y x x =-+的开口向下，对称轴为1x =，根据复合函数单调性同增异减可知函数()22f x x -+在（1，2）上为单调递增函数.C 正确.D 选项，01a <<，111a a +>>-，所以()()()()112211log 1log 1f a f a a a +>-⇔-+>-，即()()()()()211112222log 1log 10,log 11,log 10a a a a a -++<-+=-<， 由于()210,1a -∈，()212log 10a->，所以()()11f a f a +>-不成立，D 错误.故选：BC 52．ACD21()lg (0,)||x f x x x R x +=≠∈的定义域为(,0)(0,)-∞+∞，关于原点对称，且满足()()f x f x -=，所以函数()f x 是偶函数，其图象关于y 轴对称，故A 是真命题；当0x >时，211()lg lg ||x f x x x x +⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，令1()t x x x =+，则()l g f t t =，由对勾函数的性质可知()t x 在(0,1]上是减函数，在[1,)+∞上是增函数，又()lg f t t =在定义域上是增函数，所以由复合函数的单调性可知，()f x 在(0,1]上是减函数，在[1,)+∞上是增函数，故B 是假命题；当0x >时，12x x+≥（当且仅当1x =时取等号），又()f x 是偶函数，所以函数()f x 的最小值是lg 2，故C 是真命题；当(0,1)x ∈时，()t x 是减函数，当(1,)x ∈+∞时，()t x 是增函数，又()f x 是偶函数，所以根据复合函数的单调性知，当10x -<<或1x >时，()f x 是增函数，故D 是真命题．故选：ACD ．53．2,4⎡⎤⎣⎦解：因为函数()2xy f =的定义域是[]1,1-，即[]1,1x ∈-，所以1,222x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以21log ,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，即21log 22x ≤≤，即222log 2log log 4x ≤≤，所以24x ≤≤，即函数()2log y f x =的定义域为2,4⎡⎤⎣⎦故答案为：2,4⎡⎤⎣⎦54．()3,+∞ 【详解】由题知：2560x x -+>，解得3x >或2x <.令256t x x =-+，则12log y t=为减函数. 所以(),2t ∈-∞，256t x x =-+为减函数，()()212log 56f x x x =-+为增函数， ()3,t ∈+∞，256t x x =-+为增函数，()()212log 56f x x x =-+为减函数.所以函数()()212log 56f x x x =-+的单调递减区间为()3,+∞.故答案为：()3,+∞ 55．8对于函数()()log 310,1a y x a a =+->≠，令31+=x ，可得2x =-，则log 111a y =-=-， 故函数()()log 310,1a y x a a =+->≠的图象恒过定点()2,1A --， 因为点A 在直线10mx ny ++=上，则210m n --+=，可得21m n +=， 因为m 、0n >，所以，()12124424428m n m n m n m n m n n m n m ⎛⎫+=++=++≥+⋅= ⎪⎝⎭， 当且仅当2n m =时，等号成立，故12m n+的最小值为8. 故答案为：8.56．1,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭解：令()20212021x x g x -=-，22021()log (1)h x x x =++，则()g x ，()h x 定义域为R ，则()()2021202120212021()x x x xg x g x --=--=--=-，()2220212021()log (1)log (1)h x x x x x h x -=+-=-++=-，所以()g x ，()h x 为奇函数，又()g x ，()h x 在定义域上单调递增，所以()()y g x h x =+为定义域R 上的奇函数，所以()()y g x h x =+关于()0,0对称， 因为22021()2021log (1)20212x x f x x x -=+++-+， 所以()()()2f x g x h x =++关于()0,2对称， 所以()()4f x f x +-=，即()()4f x f x -=-则()()314f x f x ++>，即()()314f x f x +>-，即()()31f x f x +>-所以31x x +>-，解得14x >-，即1,4x ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭故答案为：1,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭57．（1）1,116⎡⎫⎪⎢⎣⎭；（2）()30,11,2⎛⎫⋃ ⎪⎝⎭.【详解】（1）由2log 0m x x -<，得2log m x x <，在同一坐标系中作2y x =和log m y x =的图象，如图所示．要使2log m x x <在102⎛⎫ ⎪⎝⎭，内恒成立，只要log m y x =在102⎛⎫ ⎪⎝⎭，内的图象在2y x =图象的上方，于是01m <<. ∵12x =时，214y x ==，∴只要12x =时，1411log log 24m m y m ≥==，∴1412m ≤，即116m ≥.又01m <<， ∴1116m ≤< 即实数m 的取值范围是1116⎡⎫⎪⎢⎣⎭，. （2）∵0a >且1a ≠，设()3t x ax =-， 则()3t x ax =-单调递减，当[02]x ∈，时，()t x 的最小值为32a -. ∵当[02]x ∈，时，()f x 恒有意义， 即[02]x ∈，时，30ax ->恒成立． ∴320a ->，∴32a <又0a >且1a ≠，∴01a <<或312a <<，∴实数a 的取值范围为()30,11,2⎛⎫⋃ ⎪⎝⎭.58．（1）要使()f x 有意义，则8080x x +>⎧⎨->⎩，解得：88x -<<．∴()f x 的定义域为()8,8-. （2）()f x 为奇函数，证明如下：由（1）知： ()8,8x ∈-且()()()()lg 8lg 8f x x x f x -=--+=-， ∴()f x 为奇函数，得证． （3）∵()816lg lg(1)88x f x x x+==---在()8,8-内是增函数，由()1f x >， ∴8108x x +>-，解得7211x >，∴不等式()1f x >的解集是72,811⎛⎫⎪⎝⎭. 59．（1）{31}x x -<<∣；（2）1.2a =.【详解】（1）由10,30,x x ->⎧⎨+>⎩得31x -<<,所以函数的定义域为{31}xx -<<∣. （2）()()()log 13a f x x x =-+， 设()()2134(1)t x x x =-+=-+，所以4t …，又0t >，则0 4.t <…当1a >时，log 4a y …，值域为{}log 4.a yy ∣… 当01a <<时，log 4a y …，值域为{y y ∣…}log 4a . 所以当01a <<时，函数有最小值log 42a =-，解得1.2a =60．（1）2；（2）1,5⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭解：（1）因为函数,log (0,1)x a y a y x a a ==>≠在[1,2]上的单调性相同，所以函数()log (0,1)xa f x a x a a =+>≠在[1,2]上是单调函数，所以函数()f x 在[1,2]上的最大值与最小值之和为2log 26log 2a a a a ++=+，所以260+-=a a ，解得2a =和3a =-（舍） 所以实数a 的值为2.（2）由（1）得2()2log x f x x =+，因为对于任意的[2,)x ∈+∞，不等式()10kf x -≥恒成立， 所以对于任意的[2,)x ∈+∞，1()k f x ≥恒成立， 当[2,)x ∈+∞时，2()2log x f x x =+为单调递增函数，所以()()25f x f ≥=，所以11()5f x ≤，即15k ≥ 所以实数k 的取值范围1,5⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭61．（1）(),0-∞；（2）()0,1；（3）21,log 3⎛⎫⎛⎫-∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（1）当12a =时，()121log 12x f x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，故：1102x ->，解得：0x <，故函数()f x 的定义域为(),0-∞；（2）由题意知，()()log 1xa f x a =-（1a >），定义域为()0,x ∈+∞，用定义法易知()f x 为()0,x ∈+∞上的增函数，由()()1f x f <，知：01x x >⎧⎨<⎩，∴()0,1x ∈.（3）设()()()2221log 12log 21x xx g x f x ⎛⎫-=-+= ⎪+⎝⎭，[]1,3x ∈，设21212121x x x t -==-++，[]1,3x ∈，故[]213,9x+∈，2171,2139x t ⎡⎤=-∈⎢⎥+⎣⎦，故：()min 211log 33g x g ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 又∵()()2log 12xf x m -+>对任意实数[]1,3x ∈恒成立，故：()min 21log 3m g x ⎛⎫<= ⎪⎝⎭.62．（1）[－4，﹢∞)；（2）22222x -≤≤．（1）由题意得()()()()22222log 3log 1log 2log 3f x x x x x =-+=--()22log 144x =--≥-，即()f x 的值域为[－4，﹢∞)．（2）由不等式()()g f x a ≤对任意实数1,22a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立得()()min g f x a ≤，又()()()()221g 4232223214a a a a a a +=--=--=--，设1t 2,,22aa ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，则t 2,4⎡⎤∈⎣⎦， ∴()()22g t 2t 3t 14a =--=--， ∴当t 2=时，()min g a =122--．∴()122f x ≤--，即()22log 14122x --≤--，整理得212log 121x -≤-≤-，即222log 2x -≤≤， 解得22222x -≤≤，∴实数x 的取值范围为222[2,2]-． 63．（1）()1,2-；（2）()0,1. 所以所求不等式的解集为()1,2-；（2）因为1,32y M x ⎛⎫' ⎪⎝⎭在函数()y f x =上，所以3log 23y x a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，即32l o g 3x y a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以()f x 的相关函数为()32log 3xg x a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，∵对任意的[]0,1x ∈，()f x 的图象总在其相关函数图象的上方，∴当[]0,1x ∈时，()()()33log 2log 03xf xg x x a a ⎛⎫-=+-+> ⎪⎝⎭恒成立，即()33log 2log 3xx a a ⎛⎫+>+ ⎪⎝⎭恒成立，由0x a +>，03x a +>，0a >，得x a >-，∴在此条件下，即[]0,1x ∈时，()33log 2log 3x x a a ⎛⎫+>+ ⎪⎝⎭恒成立，即23x x a a ⎛⎫+>+ ⎪⎝⎭恒成立，即22121093a x x a a ⎛⎫+-+-< ⎪⎝⎭恒成立， ∴22121093a a a a a ⎧-<⎪⎨+-+-<⎪⎩，解得0113313366a a <<⎧⎪⎨-+<<⎪⎩，故实数a 的取值范围为()0,1.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
高中对数函数有多难？图解概念加习题，让你轻松过关
对数函数可以说是高一学生的杀手函数，对于刚上高一的萌新童鞋来说，对数函数完全是一个崭新的领域。
对比于指数函数、幂函数，在初中阶段或多或少均有涉猎，而对于指数函数的反函数——对数函数来说，无论是定义，运算法则都是崭新的。
下面小编就和大家一起看一看，对数函数是啥子东东？
由定义可以看出指数函数和对数函数可以说是息息相关，那学好指数函数，就会对数函数了吗？答案是未必，首先看一下对数函数的运算法则（与指数函数对比一下）
可以看出二者的运算法则相差较多，因此对数函数的运算往往也是高考的考点之一，那么高考对于对数函数有什么要求呢？
其实对于对数函数的考纲归结起来无非两个词：计算、画图。
计算法则上面已经给出，计算方面就不多加叙述，下面来看一下，对数函数的图像到底有什么性质
可以看出函数的单调性主要与a的取值范围有关，定义域x恒大于0，值域F(x)为R，图像均经过点（1，0）。
以上便是对数函数的基本运算规律及图像，那么高考中到底常考哪些题型呢？
对数函数计算、图像一般出现在选择填空，化简求值无需多言，对于比较大小题型这里最常见的方法就是数形结合，首先根据函数解析式，画出函数图像，画图像要考虑以下四点：单调性、奇偶性、周期性、关键点。
之后对比较大小的式子进行估算，考虑其大致在函数上的位置然后进行判断（因为是选择填空，有时可以适当代入一些值）。
而对于综合题来说，题型比较宽泛，但无论如何可以保证，肯定是复合函数，那么就需要考虑对数函数在里面的意义，比如常见的二次函数，把x均换成对数函数，则难度一下子提高了很多。
如果熟练掌握函数意义的童鞋其实可以发现x，lgX无所谓，他们只不过是修改了一下定义域而已，所以仍按二次函数解，最后修改定义域值域即可。
看到这里童鞋们是不是已经跃跃欲试了？试试这道题：
下方评论即可知道最终结果哦。
“数学有多难”，致力于数学平民化。