第九章--曲线积分与曲面积分习题解答(详解)

解如右图所示，设从点 到点 的有向直线段的方程为
， 从 变到 。
则 与曲线 构成一闭曲线，设它所围成闭区域为 ，令
， ，
， ，
由格林公式，得
。
而
，
故
。
(5) ，其中 ， 为圆周 取逆时针方向， 是 沿 的外法线方向导数。
解由于 ，其中 是在曲线 上点 处的切线的方向角，故 ．根据两类曲线积分之间的联系及格林公式，有
．则 的参数方程为
，
故
，
所以
．
3求八分之一球面 的边界曲线的重心，设曲线的密度 。
解设曲线在 坐标平面内的弧段分别为 、 、 ，曲线的重心坐标为 ，则曲线的质量为 ．由对称性可得重心坐标
．
故所求重心坐标为 ．
4.计算半径为 、中心角为 的圆弧 对于它的对称轴的转动惯量 （设线密度 ）.
解:如右图建立坐标系，则
解由斯托克斯公式得
其中 是平面 ，取上侧。由曲面积分的计算法，得
，
，
，
故
。
（3） 其中 为圆柱面 与平面 （ ）的交线，若从 轴的正向望去, 的方向是逆时针方向.
解如右图所示，平面 上由曲线
所围成的区域记为 ，并由 的方向确定的 的
的方向是上侧（即 的方向与 的方向构成右手系）。曲面 （平面 ）的单位法向量为 ，即 ，由Stokes公式，有
（1） ；
解令 ，
，
∴原式在全平面上为某一函数的全微分，取
，
= =
（2） ；
解因为 ， ，所以 在整个 面内恒成立，因此，：在整个 面内， 是某一函数 的全微分，即有
。
于是就有
（4）
（5）
由（4）式得
（6）
将（6）式代入（5）式，得
（7）
比较（7）式两边，得
于是 （其中 是任意常数）
代入（6）式便得所求的函数为
解由高斯公式， ，于是
其中 是由平面 及三个坐标面围成的立方体区域。则
。
（2） ，其中 为柱面 及平面 及 所围成的空间闭区域 的整个边界曲面的外侧。
解这里 ， ， ，由高斯公式得
。
（3） ，其中 为曲面 及平面 ﹑ 所围成的空间区域的整个边界的外侧。
解这里 ， ， ，用高斯公式来计算，得
，
其中 是曲面 及平面 所围成的空间闭区域．
解容易求得法向量： ，又速度场为 ，故
.
这里 .
习题9-5
1.利用曲线积分求下列平面曲线所围成图形的面积:
(1)星形线 ( )；）
解
。
(2)圆 ，（ ）；
解设圆的参数方程为 , 从 变到 .那么
。
2利用格林公式计算下列曲线积分:
(1) ,其中 是圆 ,方向是顺时针方向；
解由格林公式， ，于是
其中 是圆域 。设 ，则
解将曲面 分成丙个曲面: 和 ， ﹑ 在 面上的投影区域都为 ,先算 .由于
, ，
从而
，
.
同理可求得
.
所以
.
5求抛物面壳 （ ）的质量，此壳的密度为 。
解在抛物面壳 （ ）上取一小块微小曲面 ,其质量 整个抛物面壳的质量为 . 在 面上的投影 为圆域 , ,故
.
习题9-4
1当 为 面内的一个闭区域时,曲面积分 与二重积分有什么关系?答当 为 面内的一个闭区域时, 的方程为 。若 在 面上的投影区域
解 的参数方程为
， ， ， 从 变到 ，
。
3设 轴与重力的方向一致，求质量为 的质点从位置 沿直线移到 时重力所作的功。
解因为力
所以
。
4.设 为曲线 , , 上相应于 从 变到 的一段有向弧，把第二型曲线积分 化成第一型曲线积分.
解 ，故 ，于是
，
，
，
所示
。
习题9-3
1当 为 面内的一个闭区域时,曲面积分 与二重积分有什么关系?
，则
再令
，
则
从而
.
于是
。
习题9-7
1若球面上每一点的密度等于该点到球的某一定直径的距离的平方，求球面的质量。）
解法1设球面方程为 ，定直径选在 轴，依题意，球面上点 的密度为 ，从而球面的质量为 ．由对称性可知
（4） ，其中 为锥面 介于平面 ﹑ 之间的部分的下侧， ﹑ ﹑ 是 在点 处的法向量的方向余弦。
解这里 ， ， ，由高斯公式得
。
5利用高斯公式计算三重积分
，
其中 是由 ， ， 及 所确定的空间闭区域。
解如下图所示， 的边界由闭曲面
所围成，取 的外侧。令 ,那么由高斯公式得
。
在 面上，只有 和 的投影面积不为零，其它都为零。故
解: 是分段光滑的闭曲线，如图9－2所示，根据积分的可加性，则有
，
由于 : ， ，于是
，
故 ，
而 , ，于是
．
故
，
同理可知 （ ）， ，则
．
综上所述 ．
（4） ，其中 为圆周 ；
利用椭圆的参数方程得 的参数方程为
由于
.
则
.
2设一段曲线 上任一点处的线密度的大小等于该点横坐标的平方，求其质量．
解依题意曲线的线密度为 ，故所求质量为 ，其中
第九章--曲线积分与曲面积分习题解答(详解)
LT
曲线积分与曲面积分习题详解
习题9-1
1计算下列对弧长的曲线积分：
（1） ，其中 是抛物线 上点 到 之间的一段弧；
解:由于 由方程
（ ）
给出，因此
.
（2） ，其中 是圆 中 到 之间的一段劣弧；
解: 的参数方程为：
，于是
．
（3） ，其中 是顶点为 及 的三角形的边界；
解平面 的上侧的法向量为 ，其方向余弦是
于是
4.已知稳定流体速度 ，求单位时间内流过曲面 的流量，法向量方向与 轴正向是钝角.
解如右图所示，依题设，所求的流量为
其中积分曲面是有向曲面 ，取下侧。
由第二型曲面积分的计算方法可知
.
5.设 是上半球面 ， ≥ ，速度场为 ， 是 上的单位法向量，它与 轴的夹角为锐角，试求曲面积分 .
。
（3） 。
解令 ， ，则在全平面上有
，满足全微分存在定理的条件，故在全平面上，
是全微分．
下面用三种方法来求原函数：
解法1运用曲线积分公式，为了计算简单，如图9－10所示，可取定点 ，动点 与 ，于是原函数为
．
取路径: ，得
．
解法2从定义出发，设原函数为 ，则有 ，两边对 积分（ 此时看作参数），得
。
习题9-6
1．求曲线积分 ，其中 是圆 的上半圆周，取顺时针方向.
解令 ， ，则 在整个 面内恒成立，因此，曲线积分 在整个 面内与路线无关。故可取沿 轴上的线段 （如右图所示）积分，即 ，于是， ，有
.
2证明下列曲线积分在整个 面内与路径无关，并计算积分值:
(1) ；
解令 ， ，则 在整个 面内恒成立，因此，曲线积分 在整个 面内与路径无关。为了计算该曲线积分，取如右图所示的积分路径，则有
答当 为 面内的一个闭区域 时， 在 面上的投影就是 ，于是有
。
2．设光滑物质曲面 的面密度为 ，试用第一型曲面积分表示这个曲面对于三个坐标轴的转动惯量 ， 和 .
解在曲面 上点 处取一微小面积（面积元素） ，它可看作是面密度为 的质点，其质量为 ，它对于 轴的转动惯量为
.
于是整个曲面 对 轴的转动惯量为
。
(2) ；
解令 ， ，则 在整个 面内恒成立，因此， 在整个 面内与路径无关。为了计算该曲线积分，取如右图所示的积分路径，则有
。
（3） ，其中 和 为连续函数。
解令 ， ，则 在整个 面内恒成立，因此，曲线积分 在整个 面内与路径无关。为了计算该曲线积分，取如右图所示的积分路径，则有
。
3验证下列 在整个 面内为某一函数 的全微分，并求出这样的一个 ：
。
（3） ，其中 是曲线 从对应于 时的点到 时的点的一段弧；
解
的方程为 ，则有
．
的方程为 ，则
．
所以 ．
（4） 是从点 沿上半圆周 到点 的一段弧；
解
利用曲线的参数方程计算． 的参数方程为: ，在起点 处参数值取 ，在终点 处参数值相应取0，故 从 到0．则
= ．
（5） ，其中 沿右半圆 以点 为起点，经过点 到终点 的路径；
。
(2) ，其中 是圆 ，方向是逆时针方向；
解设闭曲线 所围成闭区域为 ，这里
， ， ， ，
由格林公式，得
。
(3) ，其中 是依次连接 三点的折线段，方向是顺时针方向。
解令 ， ，则 ，且线段 ， 由1变化到-1，故有
．
其中 为 所围成的闭区域．
(4) ，其中 为常数， 为圆 上从点 到点 的一段有向弧；
解抛物面 在 面上方的部分在 面上的投影 为圆域 , ,故
.
(4) ，其中 是上半球面 , ；
解上半球面 在 面上的投影 为圆域 ,
,
,故
.
.
（5） ，其中 为平面 在第一卦限的部分；
解将曲面的方程改写为 ，则
, ，从而
，
图9－12
在 上的投影区域为 ,故
．
（6） ，其中 是柱面 被平面 ﹑ 所截得的部分.
的前侧；
的后侧；
的右侧；
的左侧.
因为除 ﹑ 处,其余四片曲面在 面上的投影都为零,故有
；
同理可得
； .
于是所求的曲面积分为
.
（3） ，其中 为旋转抛物面 介于 之间部分的下侧；
解由两类曲面积分之间的联系，可得
，
在曲面 上，有
。
故
。
再依对坐标的曲面积分的计算方法，得
。
注意到
，
故
。
（4） ，其中 为 ， 的上侧；
。
4计算下列曲面积分:
（1） ，其中 是左半球面 , ；
解 .
（2） ,其中 是锥面 被柱面 所截得的有限部分；
解被截得的曲面在 面上的投影区域 是圆心在点 直径为 的圆域，即 ，由曲面 的方程 得 ， ， ，于是
。
（注：这里要用到被积函数的奇偶性： 。）
(3) ，其中 是抛物面在 面上方的部分： , ；
为 ，那么
，
当 取上侧时，上式右端取正号;当 取下侧时，上式右端取负号。
2计算下列第二型曲面积分:
(1) ，其中 是椭球面 的 的部分，取椭球面的外侧为正侧；
解当 时，椭球面的方程是
于是
令 ，则
.
(2) ，其中 是以坐标原点为中心，边长为2的立方体整个表面的外侧；
解把 分成下面六个部分:
的上侧；
的下侧；
，
而
，
，
故
。
同理可得 ， 。
所以
。
6利用斯托克斯公式计算下列曲线积分：
（1） ，其中 为平面 与三个坐标面的交线，其正向为逆时针方向，与平面 上侧的法向量之间符合右手规则；
解由斯托克斯公式得
其中 是平面 ，取上侧。由曲面积分的计算法，得
，
，
，
故
。
（2） ，其中 为以点 ﹑ ﹑ 为顶点的三角形沿 的方向。
.wk.baidu.com
同理可知曲面 对 轴和 轴的转动惯量分别为
， 。
3计算曲面积分 ，其中 是
（1）锥面 及平面 所围成的区域的整个边界曲面；
解锥面 与平面 的交线为 ，即锥面在 面上的投影区域为圆域 。而
， ，
，
因此
。
（2） 面上的直线段 绕 轴旋转一周所得到的旋转曲面。
解旋转曲面为 ，故
，
所以
，
其中 是 在 坐标面上的投影区域，利用极坐标计算此二重积分，于是
．
因为 为圆周 ，所以 所围成的圆的面积 ，因此
。
3.计算曲线积分 ,其中 为
(1)椭圆 ,取逆时针方向；
(2)平面内任一光滑的不经过坐标原点的简单正向闭曲线.
解(1)令 ， ，则当 时， ，
但积分曲线 所围区域包含点 ， 在该点不具有连续的偏导数，因此不能直接应用格林公式计算，需要将奇点 去掉，为此作半径足够小的圆 : ，使 位于 的内部，如图右所示． 的参数方程为
解 在 面上的投影为半圆域 ， ，
=
= =
由对称性 = ， =
∴原式= =
（5） ，其中 是由平面 ， ， ， 所围成的四面体的表面的外侧。
解如右图所示，因为闭曲面取外侧，所以 取下侧， 取后侧， 取左侧， 取上侧。于是
由于 ， 和 都是直角边为1的等腰直角三角形区域，故
。
3把对坐标的曲面积分
化成对面积的曲面积分，这里 为平面 在第一卦限的部分的上侧。
， ， ，
取逆时针方向．于是
，
其中 表示 的负方向．由格林公式则有
，
其中 为 与 所围成的闭区域．故
．
(2)分两种情况计算。
①闭曲线 内部不包含坐标原点，设它所围成的闭区域为 ，那么由格林公式得
；
②闭曲线 内部包含坐标原点，仿（1）可得
.
4利用高斯公式计算下列曲面积分：
（1） ,其中 是由平面 及三个坐标面围成的立方体的表面的内侧（ ）；
.
为了便于计算，利用 的参数方程
于是
习题9-2
1设 为 面内一直线 （ 为常数），证明
。
证明：设 是直线 上从点 到点 的一段，其参数方程可视为
，（ ），
于是
。
2计算下列对坐标的曲线积分：
（1） ，其中 为上半椭圆 ，其方向为顺时针方向；
解
.
（2） ，其中 为抛物线 上从点 到点 的一段弧。
解将曲线 的方程 视为以 为参数的参数方程 ，其中参数 从 变到 。因此
解利用曲线的参数方程计算． 的参数方程为: ，在起点 处参数值取 ，在终点 处参数值相应取 ，则
。
（6） ，其中 是螺旋线： , , 从 到 上的一段；
解
（7） ，其中 为从点 到点 的直线段 ；
解直线 的方程为
化成参数方程得
， ， ， 从 变到 。
所以
。
（8） ， 为椭圆周 且从 轴正方向看去， 取顺时针方向。
（*）
待定函数 作为对 积分时的任意常数，上式两边对 求偏导，又 ，于是
，
即 ，从而 （ 为任意常数），代入（*）式，得原函数 ．
4可微函数 应满足什么条件时，曲线积分
与路径无关？
解令 ， ，则
， 。
当 ，即 或 在整个 面内恒成立时，曲线积分 在整个 面内与路径无关。
5.求函数 使得
.
解由 知，可令