武汉市历年中考数学真题精选汇编压轴题(含答案解析)
2024年湖北省武汉市中考真题数学试卷含答案解析
2024年湖北省武汉市中考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性．下列汉字是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】本题考查了轴对称图形的识别，根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．【详解】解：A，B，D选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，C选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．故选：C．2．小美和小好同学做“石头、剪刀、布”的游戏，两人同时出相同的手势，这个事件是（）A．随机事件B．不可能事件C．必然事件D．确定性事件【答案】A【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．根据事件发生的可能性大小判断即可．【详解】解：两人同时出相同的手势，，这个事件是随机事件，故选：A．3．如图是由两个宽度相同的长方体组成的几何体，它的主视图是（）A．B．C．D．【答案】B【分析】本题考查了三视图的知识，熟知主视图是从物体的正面看到的视图是解题的关键．按照主视图的定义逐项判断即可．【详解】解：从正面看该几何体，下面是一个大长方形，上面叠着一个小长方形，故选：B ．4．国家统计局2024年4月16日发布数据，今年第一季度国内生产总值接近300000亿元，同比增长5.3％，国家高质量发展取得新成效．将数据300000用科学记数法表示是（）A ．50.310⨯B ．60.310⨯C ．5310⨯D ．6310⨯5．下列计算正确的是（）A ．236a a a ⋅=B ．()1432a a =C ．()2236a a =D ．()2211a a +=+【答案】B【分析】本题考查了完全平方公式，积的乘方，幂的乘方，同底数幂的乘法等，根据同底数幂的乘法，积的乘方，幂的乘方，完全平方公式运算法则分别判断即可．【详解】解：A.235a a a ⋅=，故该选项不正确，不符合题意；B.()4312a a =，故该选项正确，符合题意；C.()2239a a =，故该选项不正确，不符合题意；D.()22121a a a +=++，故该选项不正确，不符合题意；故选：B ．6．如图，一个圆柱体水槽底部叠放两个底面半径不等的实心圆柱体，向水槽匀速注水．下列图象能大致反映水槽中水的深度h 与注水时间t 的函数关系的是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】本题考查了函数图象；根据题意，分3段分析，即可求解．【详解】解：下层圆柱底面半径大，水面上升块，上层圆柱底面半径稍小，水面上升稍慢，再往上则水面上升更慢，所以对应图象是第一段比较陡，第二段比第一段缓，第三段比第二段缓．故选：D．∠；②以点A为圆心，1个单位长为半7．小美同学按如下步骤作四边形ABCD：①画MAN径画弧，分别交AM，AN于点B，D；③分别以点B，D为圆心，1个单位长为半径画弧，∠的大小是（）两弧交于点C；④连接BC，CD，BD．若44∠=︒，则CBDAA．64︒B．66︒C．68︒D．70︒【答案】C【分析】本题考查了基本作图，菱形的判定和性质，根据作图可得四边形ABCD是菱形，进而根据菱形的性质，即可求解．===【详解】解：作图可得AB AD BC DC8．经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能向左转或向右转，这三种可能性大小相同．若两辆汽车经过这个十字路口，则至少一辆车向右转的概率是（）A ．19B ．13C ．49D ．59共有9种情况，至少一辆车向右转有5种，∴至少一辆车向右转的概率是59，故选：D ．9．如图，四边形ABCD 内接于O ，60ABC ∠=︒，45BAC CAD ∠=∠=︒，2AB AD +=，则O 的半径是（）A B C D ．2∵四边形ABCD 内接于 ∴ADC ABC ABC ∠+∠=∠∴ADC CBE∠=∠∵45BAC CAD ∠=∠=︒10．如图，小好同学用计算机软件绘制函数32331y x x x =-+-的图象，发现它关于点()1,0中心对称．若点()110.1,A y ，()220.2,A y ，()330.3,A y ，……，()19191.9,A y ，()20202,A y 都在函数图象上，这20个点的横坐标从0.1开始依次增加0.1，则1231920y y y y y +++++ 的值是（）A ．1-B ．0.729-C ．0D ．1∵()0,1-关于点()1,0中心对称的点为()2,1，即当2x =时，201y =，∴12319201020011y y y y y y y +++++=+=+= ，故选：D ．二、填空题11．中国是世界上最早使用负数的国家．负数广泛应用到生产和生活中，例如，若零上3℃记作3+℃，则零下2℃记作℃．【答案】2-【分析】本题考查了正数和负数的意义，在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．【详解】解：零上3℃记作3+℃，则零下2℃记作2-℃．，故答案为：2-．12．某反比例函数k y x =具有下列性质：当0x >时，y 随x 的增大而减小，写出一个满足条件的k 的值是．【答案】1（答案不唯一）【分析】本题考查的是反比例函数的性质，反比例函数的图象是双曲线，当0k >，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y 随x 的增大而减小，当0k <，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y 随x 的增大而增大．直接根据反比例函数的性质写出符合条件的的值即可．【详解】解：∵当0x >时，y 随x 的增大而减小，∴0k >故答案为：1（答案不唯一）．13．分式方程131x x x x +=--的解是．【答案】3x =-【分析】本题主要考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的方法和步骤是解题关键．首先等号两边同时乘以()()31x x --完成去分母，再按照去括号，移项、合并同类项的步骤求解，检验即可获得答案．14．黄鹤楼是武汉市著名的旅游景点，享有“天下江山第一楼”的美誉．在一次综合实践活动中，某数学小组用无人机测量黄鹤楼AB 的高度，具体过程如下：如图，将无人机垂直上升至距水平地面102m 的C 处，测得黄鹤楼顶端A 的俯角为45︒，底端B 的俯角为63︒，则测得黄鹤楼的高度是m ．（参考数据：tan632︒≈）【答案】51【分析】本题主要考查解直角三角形的应用，理解题意，作出辅助线是解题关键．延长BA 交距水平地面102m 的水平线于点D ，根据tan632︒≈，求出51m DC AD =≈，即可求解．【详解】解：延长BA 交距水平地面102m 的水平线于点D ，如图，由题可知，102m BD =，设AD x =，∵45DCA ∠=︒∴DC AD x==15．如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形MNPQ 拼成的一个大正方形ABCD ．直线MP 交正方形ABCD 的两边于点E，F ，记正方形ABCD 的面积为1S ，正方形MNPQ 的面积为2S ．若(1)BE kAE k =>，则用含k 的式子表示12S S 的值是． 45PMN ∴∠=︒45EMG PMN ∴∠=∠=1EG MG ∴==在AEG △和ABN 中，16．抛物线2y ax bx c =++（a ，b ，c 是常数，0a <）经过()1,1-，(),1m 两点，且01m <<．下列四个结论：①0b >；②若01x <<，则()()2111a x b x c -+-+>；③若1a =-，则关于x 的一元二次方程22ax bx c ++=无实数解；④点()11,A x y ，()22,B x y 在抛物线上，若1212x x +>-，12x x >，总有12y y <，则102m <≤．其中正确的是（填写序号）．三、解答题17．求不等式组3121x x x +>⎧⎨-≤⎩①②的整数解．【答案】整数解为：1,0,1-【分析】本题考查了解一元一次不等式组，分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集，进而求得整数解．【详解】解：3121x x x +>⎧⎨-≤⎩①②解不等式①得：2x >-解不等式②得：1x ≤∴不等式组的解集为：21x -<≤，∴整数解为：1,0,1-18．如图，在ABCD Y 中，点E ，F 分别在边BC ，AD 上，AF CE =．(1)求证：C ABE DF ≌△△；(2)连接EF ．请添加一个与线段相关的条件，使四边形ABEF 是平行四边形．（不需要说明理由）【答案】(1)见解析(2)添加AF BE =（答案不唯一）【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定，全等三角形的判定；（1）根据平行四边形的性质得出AB CD =，B D ∠=∠，结合已知条件可得DF BE =，即可证明C ABE DF ≌△△；（2）添加AF BE =，依据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，即可求解．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB CD =，AD BC =，B D ∠=∠，∵AF CE =，∴AD AF BC CE -=-即DF BE =，在ABE 与CDF 中，AB CD B D BE DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()SAS ABE CDF ≌；（2）添加AF BE =（答案不唯一）如图所示，连接EF ．∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD BC ∥，即AF BE ∥，当AF BE=时，四边形ABEF是平行四边形．19．为加强体育锻炼，增强学生体质，某校在“阳光体育一小时”活动中组织九年级学生定点投篮技能测试，每人投篮4次，投中一次计1分．随机抽取m名学生的成绩作为样本，将收集的数据整理并绘制成如下的统计图表．测试成绩频数分布表成绩/分频数4123a2151b06根据以上信息，解答下列问题：(1)直接写出m，n的值和样本的众数；(2)若该校九年级有900名学生参加测试，估计得分超过2分的学生人数．20．如图，ABC 为等腰三角形，O 是底边BC 的中点，腰AC 与半圆O 相切于点D ，底边BC 与半圆O 交于E ，F 两点．(1)求证：AB 与半圆O 相切；(2)连接OA ．若4CD =，2CF =，求sin OAC ∠的值．AO BC ∴⊥，AO 平分BAC∠AC 与半圆O 相切于点DOD AC∴⊥由ON AB⊥ ON OD∴=21．如图是由小正方形组成的34⨯网格，每个小正方形的顶点叫做格点．ABC 三个顶点都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成四个画图任务，每个任务的画线不得超过三条．(1)在图（1）中，画射线AD 交BC 于点D ，使AD 平分ABC 的面积；∠=∠；(2)在（1）的基础上，在射线AD上画点E，使ECB ACB(3)在图（2）中，先画点F，使点A绕点F顺时针旋转90︒到点C，再画射线AF交BC于点G；(4)在（3）的基础上，将线段AB绕点G旋转180︒，画对应线段MN（点A与点M对应，点B与点N对应）．（2）如图，作OP（4）如图，作OP MN 即为所求作．22．16世纪中叶，我国发明了一种新式火箭“火龙出水”，它是二级火箭的始祖．火箭第一级运行路径形如抛物线，当火箭运行一定水平距离时，自动引发火箭第二级，火箭第二级沿直线运行．某科技小组运用信息技术模拟火箭运行过程．如图，以发射点为原点，地平线为x 轴，垂直于地面的直线为y 轴，建立平面直角坐标系，分别得到抛物线2y ax x =+和直线12y x b =-+．其中，当火箭运行的水平距离为9km 时，自动引发火箭的第二级．(1)若火箭第二级的引发点的高度为3.6km ．①直接写出a ，b 的值；②火箭在运行过程中，有两个位置的高度比火箭运行的最高点低1.35km ，求这两个位置之间的距离．(2)直接写出a 满足什么条件时，火箭落地点与发射点的水平距离超过15km ．23．问题背景：如图（1），在矩形ABCD 中，点E ，F 分别是AB ，BC 的中点，连接BD ，EF ，求证：BCD FBE ∽△△．问题探究：如图（2），在四边形ABCD 中，AD BC ∥，90BCD ∠=︒，点E 是AB 的中点，点F 在边BC 上，2AD CF =，EF 与BD 交于点G ，求证：BG FG =．问题拓展：如图（3），在“问题探究”的条件下，连接AG ，AD CD =，AG FG =，直接写出EG GF的值．∵E 是AB 的中点，H 是∴12EH AD =，EH AD ∥又∵2AD CF =，∴EH CF =，∵2AD CF CD ==，∴12AM MD FC AD ===设2AD a =，则MF CD =【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，全等三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．24．抛物线215222y x x =+-交x 轴于A ，B 两点（A 在B 的右边），交y 轴于点C ．(1)直接写出点A ，B ，C 的坐标；(2)如图（1），连接AC ，BC ，过第三象限的抛物线上的点P 作直线PQ AC ∥，交y 轴于点Q ．若BC 平分线段PQ ，求点P 的坐标；(3)如图（2），点D 与原点O 关于点C 对称，过原点的直线EF 交抛物线于E ，F 两点（点E 在x 轴下方），线段DE 交抛物线于另一点G ，连接FG ．若90EGF ∠=︒，求直线DE 的解析式．∴90T S EGF ∠=∠=∠=∴90EGT FGS ∠=︒-∠=∴ETG GSF∽∴ET TG GS FS=即ET FS GS TG⋅=⋅。
武汉市历年数学中考压轴题全集
市历年数学中考压轴题重点分析：07年课改前，市中考最后一题普遍为圆与坐标轴结合起来的几何代数综合题，题目以几何为主导，而07年课改后，最后一题普遍为抛物线和几何结合（主要是与三角形结合）的代数几何综合题，计算量较大。
几何题可能想很久都不能动笔，而代数题则可以想到哪里写到哪里，这就让很多考生能够拿到一些步骤分。
因此，课改之后，市数学中考最后一题相对来说要比以前简单不少，而这也符合教育部要求给学生减轻负担的主旨，因此也会继续下去。
要做好这最后一题，主要是要在有限的时间里面找到的简便的计算方法。
要做到这一点，一是要加强本身的观察力，二是需要在平时要多积累一些好的算法，并能够熟练运用，最后就是培养计算的耐心，做到计算又快又准。
（2000年市中考题）24. （18分）已知：如图，点O1在x轴的正半轴上，⊙O1与X轴交于C、D两点。
半径为4的⊙O与x的负半轴交于G点。
⊙O与⊙O1的交点A、B在y轴上，设⊙O1的弦AC的延长线交⊙O于F点，连结GF，且AF=。
（1）求证：C为线段OG的中点；（2）连结AO1，作⊙O1的弦DE，使DE//AO1，求E点的坐标。
（3）线段EA、EB（或它们的延长线）分别交⊙O于点M、N。
问：当点E在弧ADB（不含端点A，B）上运动时，线段MN的长度是否会发生变化？试证明你的结论。
（2001年市中考题）22．（14分）已知：如图7，在直角标系x O y 中，以x 轴的负半轴上一点H 为圆心作⊙H 与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 、D 两点．以C 为圆心、OC 为半径作⊙C 与⊙H 交于E 、F 两点，与y 轴交于O 、Q两点．直线EF 与AC 、BC 、y 轴分别交于M 、N 、G 三点．直线343+=x y 经过A 、C 两点．图7（1）求tan ∠CN M 的值；（2）连结O M 、ON ，问：四边形CMON 是怎样的四边形？请说明理由． （3）如图8，R 是⊙C 中EQ 上的一动点（不与E 点重合），过R 作⊙C 的切线R T ，若R T 与⊙H 相交于S 、T 不同两点．问：CS ·C T 的值是否发生变化？若不变，请说明理由，并求其值；若变化，请求其值的变化围．图8（2002年市中考题）44. （10分）如图，已知：在直角坐标系中。
2019年全国各地中考数学压轴题汇编：几何综合(湖北专版)(解析卷)
2019年全国各地中考数学压轴题汇编(湖北专版)几何综合参考答案与试题解析.解答题(共22小题)1 . (2019?天门)请仅用无刻度的直尺完成下列画图，不写画法，保留画图痕迹.(1)如图①，四边形ABCD中，AB = AD, / B=Z D,画出四边形ABCD的对称轴m；(2)如图②，四边形ABCD中，AD // BC, Z A=Z D,画出BC边的垂直平分线n.图②解：(1)如图①，直线m即为所求(2)如图②，直线n即为所求2. (2019?武汉)已知AB是。
的直径，AM和BN是。
的两条切线，DC与。
相切于点E,分别交AM、BN于D、C两点.(1)如图1,求证：AB2=4AD?BC;(2)如图2,连接OE并延长交AM于点F,连接CF.若/ADE = 2/OFC, AD = 1 ,求图中阴影部分的面积.(1)证明：连接OC、OD,如图1所示:■「AM和BN是它的两条切线，・•• AMXAB, BNXAB,AM // BN,・./ ADE + / BCE= 180°DC 切。
于E,・./ODE =▲/ADE, /OCE=^/BCE,2 2・./ ODE + ZOCE = 90° ,・./ DOC =90° ,・./AOD + /COB = 90° ,・. /AOD + /ADO = 90° ,・./ AOD =/ OCB,・. / OAD =/ OBC=90° ,.•.△AOD^ABCO,BO BC・•.OA2=AD?BC,』AB) 2=AD?BC,2・•・ AB2=4AD?BC;(2)解：连接OD , OC,如图2所示：・. / ADE = 2/OFC ,/ ADO = / OFC ,・•• / ADO = / BOC , / BOC = / FOC ,・./ OFC =Z FOC,.•.CF = OC,・••CD垂直平分OF,.•.OD=DF,'OCXF 在ACOD 和^CFD 中，・ 0D=DF ，CD=CD.,.△COD^ACFD (SSS),・ ./ CDO =Z CDF ,・ . /ODA + /CDO+/CDF = 180° ,・ ./ ODA = 60° =Z BOC,・ ./ BOE= 120° ,在 RtADAO , AD =运OA, 31 △BOC 中，BC = 73OB ,2 •.AD: BC = 1 : 3,3 •• AD = 1,BC=3, OB = V3,.二图中阴影部分的面积= 2S A OBC - S 扇形 OBE= 2 x ~^x X 3 — 1乂_=3、/^一兀. 二 I图1图12 (2019?天门)如图，E, F 分别是正方形 ABCD 的边CB, DC 延长线上的点，且 BE=CF,过点E 作EG // BF ,交正方形外角的平分线 CG 于点G,连接GF .求证：(1) AEXBF ;(2)四边形BEGF 是平行四边形.证明：(1)二.四边形 ABCD 是正方形,3. A D M AD F M，AB=BC, Z ABC = Z BCD = 90° ,・./ ABE=/ BCF=90° ,'AB 二BC在AABE 和^ BCF 中，，/ABE:NBCF，脚工FABE^A BCF (SAS),AE= BF, / BAE = Z CBF ,・•• EG // BF,・./ CBF = Z CEG,・. / BAE+Z BEA=90° ,・./ CEG + /BEA= 90° ,AE± EG,AE± BF;(2)延长AB至点P,使BP=BE,连接EP,如图所示: 则AP=CE, / EBP =90° ,・./ P = 45° ,・•• CG为正方形ABCD外角的平分线，・./ ECG = 45° ,・./ P = Z ECG,由(1)得/ BAE=Z CEG,'Z P=Z ECG在△ APE 和△ ECG 中，.研二,l ZBAE=ZCEGAPE^A ECG (ASA),AE= EG,••• AE= BF,EG = BF,••• EG // BF,••・四边形BEGF是平行四边形.4. ( 2019?武汉)在△ ABC 中，Z ABC = 90° , —=n, M 是 BC 上一点，连接 AM.BC(1)如图1,若n= 1, N 是AB 延长线上一点， CN 与AM 垂直，求证：BM = BN.(2)过点B 作BPXAM, P 为垂足，连接 CP 并延长交 AB 于点Q.• •• AMXCN,• •.Z AHC = 90° ,• . /ABC=90° ,• ./BAM+/AMB = 90° , Z BCN + Z CMH =90° ,• . / AMB =/ CMH ,/ BAM = / BCN ,• . BA=BC, Z ABM =Z CBN = 90• •.△ABM^ACBN (ASA), BM= BN.①如图2,若n=1,求证：—.PQ BQ②如图3,若M 是BC 的中点，直接写出tan/BPQ 的值.(用含n 的式子表示)AM 交CN 于点H .(1)证明：如图1中，延长(2)①证明：如图2中，作CH//AB交BP的延长线于H .图？BP± AM,・./ BPM =/ ABM =90 ° ,・. /BAM+/AMB = 90° , / CBH+/BMP = 90° ,/ BAM = / CBH ,. CH //AB,・./ HCB+/ABC= 90° ,・. /ABC=90° ,・./ ABM =/ BCH = 90° ,・•• AB= BC,・•.△ABM^ABCH (ASA),BM = CH,. CH // BQ,.PC _ CH _ Bl . = =PQ BQ BQ②解：如图3中，作CH //AB交BP的延长线于H,作CN^BH于N.不妨设BC=2m,则AB = 2mn.A Q~ 邺则BM = CM=m, CH= —, BH =%]+4门2, AM = m/]+4n2,・••—?AM?BP= —?AB?BM ,2 2・-------- PB=7彳，.L?BH?CN= J L?CH?BC ,2 2•. CNXBH, PM ±BH ,MP // CN, ••• CM= BM,・. / BPQ = / CPN,5. (2019?十堰)如图，△ ABC中，AB=AC,以AC为直径的。
2021年中考数学真题分类汇编--函数：函数与几何(压轴题1)(老师版)
【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）当∠CP′M为直角时，则P′C∥x轴，即可求解；当∠PCM为直角时，用解直角三角形的方法求出PN＝MN+PM＝6+ ＝ ，即可求解；
【详解】（1）将 代入 ，
化简得 ，则 （舍）或 ，
∴ ，
得： ，则 ．
设直线 对应的函数表达式为 ，
将 、 代入可得 ，解得 ，
则直线 对应的函数表达式为 ．
（2）如图，过点A作 ∥BC，设直线 与y轴的交点为G，将直线BC向下平移GC个单位，得到线 ，
【答案】（1） ；（2） ；（3）存在， 或 ．
6.（2021•株洲市）已知二次函数 ．
（1）若 ， ，求方程 的根的判别式的值；
（2）如图所示，该二次函数的图像与 轴交于点 、 ，且 ，与 轴的负半轴交于点 ，点 在线段 上，连接 、 ，满足 ， ．
①求证： ；
②连接 ，过点 作 于点 ，点 在 轴的负半轴上，连接 ，且 ，求 的值．
当x＝±2时，y＝ ＝±2，
故“雁点”坐标为（2,2）或（﹣2，﹣2）；
（2）①∵“雁点”的横坐标与纵坐标相等，
故“雁点”的函数表达式为y＝x，
∵物线y＝ax2+5x+c上有且只有一个“雁点”E，
则ax2+5x+c＝x，
则△＝25﹣4ac＝0，即ac＝4，
∵a＞1，
故c＜4；
②∵ac＝4，则ax2+5x+c＝0为ax2+5x+ ＝0，
作点C关于函数对称轴的对称点C′（2，8），作点D关于x轴的对称点D′（0，﹣4），
武汉市九上数学期中压轴题24题专题2
1、（2016-2017学年洪山区）如图，抛物线y＝ax2＋2ax＋c的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），AB＝4，与y轴交于点C，OC＝OA，点D为抛物线的顶点(1) 求抛物线的解析式(2) 点M(m，0)为线段AB上一点（点M不与点A、B重合），过点M作x轴的垂线与直线AC 交于点E，与抛物线交于点P，过点P作PQ∥AB交抛物线于点Q，过点Q作QN⊥x轴于点N，可得矩形PQNM．如图，点P在点Q左边，当矩形PQNM的周长最大时，求m的值，并求出此时的△AEM的面积(3) 已知H(0，－1)，点G在抛物线上，连HG，直线HG⊥CF，垂足为F．若BF＝BC，求点G 的坐标2、（2016-2017学年武昌C区）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线C1：2a2+y-=关于y轴对称且有最小值1axbx-。
（1）求抛物线C1的解析式；（2）在图1中抛物线C1顶点为A，将抛物线C1绕点B旋转180°后得到抛物线C2，直线y=kx﹣2k+4总经过一定点M，若过定点M的直线与抛物线C2只有一个公共点，求直线l 的解析式．（3）如图2，先将抛物线C1向上平移使其顶点在原点O，再将其顶点沿直线y=x平移得到抛物线C3，设抛物线C3与直线y=x交于C、D两点，求线段CD的长；3、（2016-2017学年粮道街）已知如图1，在以O 为原点的平面直角坐标系中，抛物线y ＝41x 2＋bx ＋c 与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C (0，－1)．连接AC ，AO ＝2CO ，直线l 过点G (0，t )且平行于x 轴，t ＜－1(1) 求抛物线对应的二次函数解析式(2) ① 若D (－4，m )为抛物线y ＝41x 2＋bx ＋c 上一定点，点D 到直线l 的距离记为d ．当d ＝DO 时，求t 的值② 若D 为抛物线y ＝41x 2＋bx ＋c 上一动点，点D 到①中的直线l 的距离与OD 的长是否恒相等，说明理由(3) 如图2，若E 、F 为上述抛物线上的两个动点，且EF ＝8，线段EF 的中点为M ，求点M 纵坐标的最小值4、（2016-2017学年25中）如图，抛物线y＝ax2－2ax－3a（a≠0）交x轴于A、B两点（A在y轴左侧），交y轴正半轴于点C，且OC＝3OA(1) 求此抛物线的解析式(2) 设点P的坐标为(t，1)，将线段AP绕点P逆时针旋转90°得线段PA1．若A1在抛物线上，求点P的坐标(3) 设点P的坐标为(m，n)，将线段AP绕点P逆时针旋转90°得线段PA2．若A2在抛物线上，求n的取值范围5、（2016-2017学年新洲区）抛物线y=x2+bx+c过点A（4，5）、C（0，-3），其顶点为B.（1）求抛物线的解析式；（2）P在抛物线上，若∠BAP=45°，求P点坐标。
2021年湖北省武汉市新观察中考数学压轴试卷(一)(含答案解析)
2021年湖北省武汉市新观察中考数学压轴试卷(一)一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.实数−12018的倒数是()A. −2018B. −12018C. 1D. 20182.下列事件：①通常情况下，水往低处流；②随意掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数是10；③车行到十字路口，正好遇上红灯；④早上的太阳从西方升起．下列作出的结论，错误的是()A. ①是必然事件B. ②是随机事件C. ③是随机事件D. ④不可能事件3.如图是一个中心对称图形，A为对称中心，若∠C=90°，∠B=60°，BC=1，则BB′的长为()A. 4B. √33C. 2√33D. 4√334.下列计算正确的是()A. b3⋅b3=2b3B. (a3)2⋅a4=a10C. (ab2)3=ab6D. (−2a)2=−4a25.小南生日当天，朋友为她预定的生日蛋糕如图所示，它的左视图应该是()A.B.C.D.6.某校决定从三名男生和两名女生中选出两名同学担任校艺术节文艺演出专场的主持人，则选出的恰为一男一女的概率是()A. 45B. 35C. 25D. 15(x>0)的图象经过点A，交7.如图，菱形OABC在第一象限内，∠AOC=60°，反比例函数y=kxBC边于点D，若△AOD的面积为2√3，则k的值为()A. 4√3B. 3√3C. 2√3D. 48.某绿化队承担一项绿化任务，工作一段时间后，提高了工作效率．该绿化队完成的绿化面积S(m2)与工作时间t(ℎ)之间的函数关系如图所示，则该绿化队提高工作效率前每小时完成的绿化面积是()A. 150m2B. 300m2C. 330m2D. 450m29.如图，分别以五边形ABCDE的顶点为圆心，以1为半径作五个圆，则图中阴影部分的面积之和为()πA. 32B. 3ππC. 72D. 2π10.12、如图，直线与反比例函数在第一象限内的图象交于、两点，且与轴的正半轴交于点，若的面积为8，则的值为()A. 6B. 9C. 12D. 18二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）11. √52=______． 12. 16、某同学五次单元测试成绩分别为85、90、95、95、80，设这五次成绩的平均数为a ，中位数为b ，众数为c ，则a 、b 、c 的大小关系为 (用“>”来表示)13. 若分式3x−1与4x 的值相等，则x 的值为______．14. 如图，已知sin∠AOB =0.1，OC =1.2厘米，则小矩形木条的厚度CD =______厘米．15. 已知抛物线y =x 2，把该抛物线向上或向下平移，如果平移后的抛物线经过点A(2,2)，那么平移后的抛物线的表达式是______ ．16. 如图，在边长为4的正方形ABCD 中，以AB 为直径的半圆交对角线AC于点E ，以C 为圆心、BC 长为半径画弧交AC 于点F ，则图中阴影部分的面积是______ ．三、解答题（本大题共8小题，共72.0分）17. 先化简，再求值：a 2−b 2a 2+ab ÷(a +b 2−2ab a )，其中a =(−3)0，b 的值从不等式组{b −2≤0b−12<b 的整数解中选取．18. 在综合与实践课上，老师让同学们以“三条平行线m ，n ，l(即始终满足m//n//l)和一副直角三角尺ABC ，DEF(∠BAC =∠EDF =90°,∠FED =60°,∠DFE =30°,∠ABC =∠ACB =45°)”为主题开展数学活动．操作发现(1)如图1，展翅组把三角尺ABC 的边BC 放在l 上，三角尺DEF 的顶点F 与顶点B 重合，边EF 经过AB ，顶点E 恰好落在m 上，顶点D 恰好落在n 上，边ED 与n 相交所成的一个角记为∠1，求∠1的度数；(2)如图2，受到展翅组的启发，高远组把直线m 向下平移后使得两个三角尺的两个直角顶点A 、D分别落在m 和l 上，顶点C 恰好落在n 上，边AC 与l 相交所成的一个角记为∠2，边DF 与m 相交所成的一个角记为∠3，请你说明∠2−∠3=15°；结论应用(3)老师在点评高远组的探究操作时提出，在(2)的条件下，若点N是直线n上一点，CN恰好平分∠ACB时，∠2与∠3之间存在一个特殊的倍数关系，请你直接写出它们之间的倍数关系，不需要说明理由．19.统计一下全班同学家中收藏有中国古代四大名著《三国演义》、《水浒传》、《西游记》、《红楼梦》的数目，并分别用条形统计图和扇形统计图加以表示．20.如图，方格纸中每个小正方形的边长都为l.在方格纸中将三角形ABC经过一次平移后得到三角形A′B′C’，图中标出了点C的对应点C′．(1)请画出平移后的三角形A′B′C′；(2)连接AA′，CC′，则这两条线段之间的关系是______；(3)建立合适的平面直角坐标系，并写出A′、B′、C′的坐标；(4)三角形A′B′C′的面积为______．21.Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC=30°，BC=84，D，E分别在射线BC，AC上，AD与BE交于F．(1)从顶点A所作三角形中线长为______；(2)若D恰为BC边中点，E在边AC上且AE：EC=6：1，求∠AFE；(3)点M在AC边上，AM=56√3，AD与BE所成锐角为60°，当BF与MF的差的绝对值最小时求CE．22.某商场销售A、B两种型号的电风扇，进价及售价如表：品牌A B进价(元/台)6090售价(元/台)75120(1)该商场4月份用10500元购进A、B两种型号的电风扇，全部售完后获利3000元，求商场4月份购进A、B两种型号电风扇的数量；(2)该商场5月份计划用不超过21000元购进A、B两种型号电风扇共300台，销售时准备A种型号的电风扇价格不变，B种型号的电风扇打9折销售.那么商场如何进货才能使利润最大？23. 如图1，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB=13，BD=24，在菱形ABCD的外部以AB为边作等边三角形ABE.点F是对角线BD上一动点(点F不与点B重合)，将线段AF绕点A顺时针方向旋转60°得到线段AM，连接FM．(1)线段AO的长为______；(2)如图2，当点F在线段BO上，且点M，F，C三点在同一条直线上时，求证：AM=√3AC；3(3)连接EM.若△AFM的周长为3√29，请直接写出△AEM的面积．x2+bx+c的图象交x轴于点A，B，交y轴于点C(0,−2)，一次函数24. 如图，已知二次函数y=12y=1x+n的图象经过A，C两点，点P为直线AC下方二次函数图象上的一个动点，直线BP 2交线段AC于点E，PF⊥AC于点F．(1)求二次函数的解析式；(2)求PE的最大值及此时点P的坐标；EB(3)连接CP，是否存在点P，使得Rt△CPF中的一个锐角恰好等于2∠BAC？若存在，请直接写出点P的坐标；否则，说明理由．【答案与解析】1.答案：A的倒数是−2018，解析：解：实数−12018故选：A．根据倒数，即可解答．本题考查了实数的性质，解决本题的关键是熟记倒数的定义．2.答案：B解析：解：①通常情况下，水往低处流，是必然事件，A说法正确，不符合题意；②随意掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数是10，是不可能事件，B说法错误，符合题意；③车行到十字路口，正好遇上红灯，是随机事件，C说法正确，不符合题意；④早上的太阳从西方升起，是不可能事件，D说法正确，不符合题意；故选：B．根据事件发生的可能性大小判断．本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．3.答案：A解析：解：∵∠C=90°，∠B=60°，∴∠BAC=30°，∵BC=1，∴AB=2，根据中心对称的性质得到BB′=2AB=4．故选：A．在直角△ABC中根据30°角所对的直角边等于斜边的一半求得AB，而BB′=2AB，据此即可求解．本题主要考查了直角三角形的性质：30°的角所对的直角边等于斜边的一半，以及中心对称的性质．4.答案：B解析：本题考查了幂的乘方与积的乘方、同底数幂的乘法，能正确求出每个式子的值是解此题的关键．根据幂的乘方与积的乘方、同底数幂的乘法求出每个式子的值，再判断即可．解：A、b3⋅b3=b6，故本选项不符合题意；B、(a3)2⋅a4=a10，故本选项符合题意；C、(ab2)3=a3b6，故本选项不符合题意；D、(−2a)2=4a2，故本选项不符合题意；故选：B．5.答案：D解析：解：从左面看，是一个矩形，矩形的内部有一条纵向的虚线．故选：D．找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在左视图中．本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图．6.答案：B解析：解：男1男2男3女1女2男1一一√√男2一一√√男3一一√√女1√√√一女2√√√一∴共有20种等可能的结果，P(一男一女)=1220=35．故选B．7.答案：C解析：解：如图，过点A作AE⊥OC于E，∵四边形ABCO是菱形，∴AO//CB ，OA =OC ，且∠AOC =60°，∴△AOC 是等边三角形，且AE ⊥OC ，∴S △AOE =12S △AOC ， ∵OA//BC ，∴S △OAD =S △OAC =2√3，∴S △AOE =√3=k 2， ∴k =2√3故选：C ．如图，过点A 作AE ⊥OC 于E ，由菱形的性质可得AO//CB ，OA =OC ，可证△AOC 是等边三角形，可得S △AOE =12S △AOC =√3=k 2，即可求解．本题考查反比例函数系数k 的几何意义、反比例函数图象上的点的特征、菱形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 8.答案：A解析：解：设当t ≥2时，S 与t 之间的函数关系式为S =kt +b(k ≠0)，将(4,1200)、(5,1650)代入S =kt +b ，{4k +b =12005k +b =1650，解得：{k =450b =−600， ∴S 与t 之间的函数关系式为S =450t −600．当t =2时，S =450×2−600=300，∴该绿化队提高工作效率前每小时完成的绿化面积是300÷2=150(m 2).故选：A ．设当t ≥2时，S 与t 之间的函数关系式为S =kt +b(k ≠0)，根据图形找出两点坐标，根据点的坐标利用待定系数法即可求出S 关于t 的函数关系式，代入t =2求出S ，再根据工作效率=工作总量÷工作时间即可求出该绿化队提高工作效率前每小时完成的绿化面积．本题考查了一次函数的应用、待定系数法求一次函数解析式以及一次函数图象上点的坐标特征，通过一次函数图象上点的坐标特征找出当t =2时，S 的值是解题的关键．9.答案：C解析：解：n 边形的内角和(n −2)×180°，圆形的空白部分的面积之和S =180(n−2)π×12360=n−22π=5−22π=32π.所以图中阴影部分的面积之和为：5πr2−32π=5π−32π=72π.故选：C．圆心角之和等于n边形的内角和(n−2)×180°，由于半径相同，根据扇形的面积公式S=nπr2360计算即可求出圆形中的空白面积，再用5个圆形的面积减去圆形中的空白面积可得阴影部分的面积．此题考查扇形的面积计算，正确记忆多边形的内角和公式，以及扇形的面积公式是解决本题的关键．10.答案：A解析：11.答案：5解析：解：原式=5，故答案为：5根据二次根式的性质即可求出答案．本题考查二次根式的性质，解题的关键是熟练运用二次根式的性质，本题属于基础题型．12.答案：c>b>a解析：平均数为：，把这组数据从小到大排列为80，85，90，95，95，故中位数为：90，众数为：95，即a=89，b=90，c=95，则c>b>a．故答案为：c>b>a．13.答案：4解析：解：根据题意得：3x−1=4x，去分母得：3x=4x−4，解得：x=4，经检验x=4是分式方程的解，故答案为：4根据题意列出分式方程，求出分式方程的解即可得到x的值．此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．14.答案：0.12解析：解：由图可得，CD⊥AO，=0.1，∴sin∠AOB=CDCO=0.1，即CD1.2∴CD=0.12，故答案为：0.12先根据CD⊥AO，可得sin∠AOB=CD，再根据sin∠AOB=0.1，OC=1.2厘米，进行计算即可．CO本题主要考查了解直角三角形的应用，解题时注意：选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案．15.答案：y=x2−2解析：解：设所求的函数解析式为y=x2+k，∵点A(2,2)在抛物线上，∴2=22+k解得：k=−2，∴平移后的抛物线的表达式是y=x2−2．故答案为：y=x2−2．可设所求的函数解析式为y=x2+k，把A坐标代入可得平移后的抛物线．考查二次函数的平移问题；用到的知识点为：上下平移不改变二次项系数及顶点的横坐标，只改变顶点的纵坐标，上加下减．16.答案：3π−6解析：解：连接BE，∵AB为直径，∴BE⊥AC，∵AB=BC=4，∠B=90°，∴BE=AE=CE，∴S弓形AE =S弓形BE，∴图中阴影部分的面积=S半圆−12(S半圆−S△ABE)−(S△ABC−S扇形CBF)=12π×22−12(12π×22−12×12×4×4)−(12×4×4−45π×42360)=3π−6，故答案为3π−6．根据扇形的面积公式和三角形面积公式即可得到结论．本题考查了扇形面积的计算，正方形的性质，正确的识别图形是解题的关键．17.答案：解：原式=(a+b)(a−b)a(a+b)⋅a(a−b)2=1a−b，由题意得：a=1，−1<b≤2，即b=0或2(b=1不符合题意，舍去)，当a=1，b=0时，原式=1；当a=1，b=2时，原式=−1．解析：原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，求出a与b的值，代入计算即可求出值．此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．18.答案：解：(1)如图1中，∵直线n//直线l，∴∠DBC=∠BDN，又∵∠DBC=∠ABC−∠ABD=45°−30°=15°，∴∠BDN=15°，∴∠1=90°−15°=75°．(2)如图2所示，过B点作BG//直线m，∵BG//m，l//m，∴BG//l(平行于同一直线的两直线互相平行)，∵BG//m，∴∠3=DBG，又∵BG//l，∴∠LAB=∠ABG，∴∠3+∠LAB=∠DBA=30°+45°=75°，又∵∠2和∠LAB互为余角，∴∠LAB=90°−∠2，∴∠3+90°−∠2=75°，∴∠2−∠3=15°．(3)结论：∠2=3∠3．理由：在(2)的条件下，∠2−∠3=15°，又∵CN平分∠BCA，∴∠BCN=∠CAN=22.5°，又∵直线n//直线l，∴∠2=22.5°，∴∠3=7.5°，∴∠2=3∠3．解析：(1)求出∠BDN即可解决问题．(2)如图2所示，过B点作BG//直线m，利用平行线的性质以及三角形内角和定理解决问题即可．(3)结论：∠2=3∠3.利用(2)中结论，结合平行线的性质解决问题即可．本题考查等腰直角三角形的性质，平行线的性质，平移变换，三角形你还记得了等知识，解题的关键是熟练掌握平行线的性质，属于中考常考题型．19.答案：解：如图所示解析：根据条形统计图及扇形统计图的画法去收集数据，再制图．本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．20.答案：(1)如图所示：三角形A′B′C′即为所求；(2)平行且相等；(3)如图，A′(0,8)，B′(0,3)，C′(4,0);(4)5．解析：解：(1)见答案；(2)AA′与CC′平行且相等；(3)见答案；(4)三角形A′B′C′的面积=12×5×4=10．故答案为：(2)平行且相等；(4)5．(1)利用网格特点和平移的性质画出A、B、C的对应点A′、B′、C′，从而得到三角形A′B′C’；(2)利用平移的性质求解；(3)以A′B′所在的直线为y轴，以过C′点的水平线为x轴建立直角坐标系，然后写出A′、B′、C′的坐标；(4)利用三角形面积公式求解．本题考查了作图−平移变换：确定平移后图形的基本要素有两个：平移方向、平移距离．作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形．21.答案：42√13解析：解：(1)在Rt△ABC中，∵∠C=90°，∠BAC=30°，BC=84，设D为BC中点，∴AB=2BC=168，AC=√AB2−BC2=84√3，∠ABC=60°∵D为BC中点，∴CD=12BC=42∴AD=√AC2+CD2=√(84√3)2+422=42√13，，故答案为：42√13，(2)如图，过B作BG⊥AD交AD延长线于G，∴∠BGD=∠ACB=90°∵D为BC中点，∴BD=CD=12BC=42∴AD=√AC2+CD2=√(84√3)2+422=42∵∠BDG=∠ADC∴△BDG∽△ADC∴BGBD =ACAD，即：BG42=84√342√13，∴BG=84√3913∴sin∠BAG=BGAB=√3926∵AE：EC=6：1，∴CE=17AC=12√3∴BE=√BC2+CE2=√842+(12√3)2=24√13∴sin∠CBE=CEBE=12√324√13=√3926∴sin∠BAG=sin∠CBE∴∠BAG=∠CBE∵∠AFE=∠BAG+∠ABE，∠ABC=∠CBE+∠ABE∴∠AFE=∠ABC=60°；(3)如图2，过A、B、F三点作⊙O，连接OA、OB、OF、DE、BM，OF交⊙O于K，∵∠AFE=60°∴∠AOB=120°∵OA=OB∴∠OAB=∠OBA=30°∴∠OBC=∠OBA+∠ABC=30°+60°=90°∴OB//AC∵AM=56√3，∴CM=AC−AM=84√3−56√3=28√3∴tan∠CBM=CMBC=28√384=√33∴∠CBM=30°∴∠OBM=∠OBC−∠CBM=90°−30°=60°，∴∠OBM+∠AOB=180°∴OA//BM∴AOBM是菱形，∴OM=OA=OB，即点M在⊙O上∵BF与MF的差的绝对值最小∴BF=MF∴OF⊥BM∴∠BOF=12∠BOM=30°∴∠OBF=75°∴∠CBE=15°∴∠DAE=∠DBE=15°∴A，B，D，E四点共圆，∴∠BED=∠BAD=15°=∠CBE∴∠CDE =30°，BD =DE =2CE∵CD =√3CE ，BD +CD =84∴(2+√3)CE =84∴CE =842+√3=84(2−√3).(1)应用勾股定理即可先求得AC ，再求AD ；(2)利用勾股定理和相似三角形判定和性质先求BG ，再利用AE ：EC =6：1求CE ，应用解直角三角形证明：∠BAG =∠CBE ，即可得到结论；(3)根据“AD 与BE 所成锐角为60°”，先做经过A ，B ，F 的⊙O ，利用四点共圆证明：AOBM 是菱形，由“BF 与MF 的差的绝对值最小”可得：BF =MF ，再构造特殊直角三角形求解即可．本题是几何综合题，主要考查了直角三角形性质，勾股定理，相似三角形判定和性质，解直角三角形及圆的性质等，解题关键是正确添加辅助线．22.答案：解：(1)设4月份购进A 种型号的电风扇x 台，B 种型号的电风扇y 台，根据题意，得{60x +90y =10500(75−60)x +(120−90)y =3000， 解得{x =100y =50， 答：商场4月份购进A 种型号的电风扇100台，B 种型号的电风扇50台；(2)设5月份购进A 种型号的电风扇m 台，B 种型号的电风扇(300−m)台，利润为w 元， 由题意，得60m +90(300−m)≤21000，解得：m ≥200，∴200≤m <300，w =(75−60)m +(120×90%−90)(300−m)=−3m +5400，∵k =−3<0，∴w 随m 的增大而减小，∴当m =200时，w 有最大值，此时，300−m =100，答：购进A 种型号的电风扇200台，B 种型号的电风扇100台时利润最大．解析：(1)设4月份购进A 种型号的电风扇x 台，B 种型号的电风扇y 台，根据表格可以列出相应的方程组，从而可以解答本题；(2)设5月份购进A 种型号的电风扇m 台，B 种型号的电风扇(300−m)台，利润为w 元，根据题意列不等式求出m 的取值范围，并求出w 与m 的函数关系式，再根据一次函数的性质解答即可．本题考查了一次函数的应用，二元一次方程组的应用和一元一次不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系和不等关系，列方程组和不等式求解．23.答案：5解析：解：(1)∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OB=12BD=12，在Rt△AOB中，AB=13，根据勾股定理得，AO=√AB2−OB2=√132−122=5，故答案为5；(2)由旋转知，AM=AF，∠MAF=60°，∴△AMF是等边三角形，∴∠AFM=60°，∵点M，F，C三点在同一条直线上，∴∠AFC=180°−∠AFM=120°，∵菱形ABCD的对角线AC与BD相交于O，∴OA=OC=12AC，在△AOF和△COF中，{OA=OC∠AOF=∠COF=90°OF=OF，∴△AOF≌△COF(SAS)，∴∠AFO=12∠AFC=60°，在Rt△AOF中，sin∠AFO=OAAF，AF=OAsin∠AFO =OAsin60∘=2√33OA=√33AC，∴AM=√33AC；(3)如图，由(2)知，△AMF是等边三角形，∵△AFM的周长为3√29，∴AF=√29，在Rt△AOF中，根据勾股定理得，OF=√AF2−AO2=2，∴BF=OB−OF=12−2=10，连接EM，∵△ABE是等边三角形，∴AE =AB =13，∠BAE =60°，由(1)知，AM =AF ，∠FAM =60°，∴∠BAE =∠EAM ，∴∠EAM =∠BAF ，∴△AEM≌△ABF(SAS)，∴EM =BF =10，∠AEM =∠ABF ，过点M 作MN ⊥AE 于N ，∴∠MNE =∠AOB =90°，∴△MNE∽△AOB ，∴MN AO =EM AB ， ∴MN 5=1013，∴MN =5013，∴S △AEM =12AE ⋅MN =12×13×5013=25．(1)先利用菱形的性质得出OB =13，AC ⊥BD ，再用勾股定理求解即可得出结论；(2)先求出∠AFM =60°，再判断出△AOF≌△COF ，得出∠AFO =60°，即可得出结论；(3)先求出AF ，进而利用勾股定理求出OF ，再判断出△AEM≌△ABF ，求出EM ，再判断出△AEM∽△AOB ，求出MN ，最后用三角形的面积公式求解即可得出结论．此题是四边形综合题，主要考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，菱形的性质，勾股定理，判断出△AEM≌△ABF 是解本题的关键．24.答案：解：(1)由C(0,−2)，可知一次函数解析式为y =12x −2，当y =0时，x =4，即A(4,0)，将A ，C 点坐标代入函数解析式，得{8+4b −2=0c =−2， 解得：{b =−32c =−2， 抛物线的解析是为y =12x 2−32x −2；(2)如图1，过点B作BM//y轴交AC于点M，过点P作PN//y轴交AC于点N，∴PN//BM，∴△BME∽△PNE，∴PEBE =PNBM，∵B(−1,0)，∴x=−1时，y=−12−2=−52，∴M(−1,−52)，∴BM=52，设P(m,12m2−32m−2)，则N(m,12m−2)，∴PN=12m−2−12m2+32m+2=−12m2+2m，PE BE =25×(−12m2+2m)=−15(m−2)2+45，∴当m=2时，PEBE 有最大值为45，此时P点坐标为(2,−3)；(3)如图2，∵A(4,0)，B(−1,0)，C(0,−2)，∴AC=2√5，BC=√5，AB=5，∴AC2+BC2=AB2，∴△ABC是以∠ACB为直角的直角三角形，取AB的中点D，∴D(32,0)，∴DA=DC=DB=52，∴∠CDO=2∠BAC，∴tan∠CDO=tan(2∠BAC)=43，过P作x轴的平行线交y轴于R，交AC的延长线于G，情况一：如图2，∵∠PCF=2∠BAC=∠PGC+∠CPG，∴∠CPG=∠BAC，∴tan∠CPG=tan∠BAC=12，即RCRP =12，设P(a,12a2−32a−2)，∴PR=a，RC=−12a2+32a，∴−12a2+32aa=12，∴a1=0(舍去)，a2=2，∴x P=2，y=12×4−3−2=−3，P(2,−3)，情况二，∴∠FPC=2∠BAC，∴tan∠FPC=43，设FC=4k，∴PF=3k，PC=5k，∴FG=6k，∴CG=2k，PG=3√5k，∴RC=2√55k,RG=4√55k，∴PG=3√5k−4√55k=11√55k，∴PRRC =112=a−12a2+32a，∴a1=0(舍去)，a2=2911，x=2911时，y=−300121，即P(2911,−300121).综上所述：P点坐标是(2,−3)或(2911,−300121).解析：(1)求出A点坐标，根据待定系数法，可得函数解析式；(2)过点B作BM//y轴交AC于点M，过点P作PN//y轴交AC于点N，可得PN//BM，则△BME∽△PNE，则PEBE =PNBM，可求出BM=52，设P(m,12m2−32m−2)，可表示PN长，则可得关于m的二次函数，根据二次函数的性质，可得答案；(3)根据勾股定理的逆定理得到△ABC是以∠ACB为直角的直角三角形，取AB的中点D，求得D(32,0)，得到DA=DC=DB=52，过P作x轴的平行线交y轴于R，交AC于G，情况一：如图，∠PCF=2∠BAC=∠DGC+∠CDG，情况二，∠FPC=2∠BAC，解直角三角形即可得到结论．本题考查了二次函数综合题，解(1)的关键是待定系数法；解(2)的关键是利用相似三角形的判定与性质，又利用了二次函数的性质；解(3)的关键是利用解直角三角形，要分类讨论，以防遗漏．。
2024届湖北省武汉市六中学中考数学最后冲刺浓缩精华卷含解析
2024届湖北省武汉市六中学中考数学最后冲刺浓缩精华卷注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．某市2010年元旦这天的最高气温是8℃，最低气温是﹣2℃，则这天的最高气温比最低气温高（）A．10℃B．﹣10℃C．6℃D．﹣6℃2．用配方法解方程x2﹣4x+1＝0，配方后所得的方程是（）A．（x﹣2）2＝3 B．（x+2）2＝3 C．（x﹣2）2＝﹣3 D．（x+2）2＝﹣33．下列图形不是正方体展开图的是（）A．B．C．D．4．如图1，点O为正六边形对角线的交点，机器人置于该正六边形的某顶点处，柱柱同学操控机器人以每秒1个单位长度的速度在图1中给出线段路径上运行，柱柱同学将机器人运行时间设为t秒，机器人到点A的距离设为y，得到函数图象如图2，通过观察函数图象，可以得到下列推断：①该正六边形的边长为1；②当t＝3时，机器人一定位于点O；③机器人一定经过点D；④机器人一定经过点E；其中正确的有（）A．①④B．①③C．①②③D．②③④5．下列运算正确的是（）A．a3+a3＝a6B．a6÷a2＝a4C．a3•a5＝a15D．（a3）4＝a76．某数学兴趣小组开展动手操作活动，设计了如图所示的三种图形，现计划用铁丝按照图形制作相应的造型，则所用铁丝的长度关系是（）A ．甲种方案所用铁丝最长B ．乙种方案所用铁丝最长C ．丙种方案所用铁丝最长D ．三种方案所用铁丝一样长:] 7．计算2a 2＋3a 2的结果是（ ）A ．5a 4B ．6a 2C ．6a 4D ．5a 28．下面说法正确的个数有( )①如果三角形三个内角的比是1∶2∶3，那么这个三角形是直角三角形；②如果三角形的一个外角等于与它相邻的一个内角，则这么三角形是直角三角形；③如果一个三角形的三条高的交点恰好是三角形的一个顶点，那么这个三角形是直角三角形；④如果∠A=∠B=∠C ，那么△ABC 是直角三角形；⑤若三角形的一个内角等于另两个内角之差，那么这个三角形是直角三角形；⑥在△ABC 中，若∠A ＋∠B=∠C ，则此三角形是直角三角形.A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个9．关于x 的一元二次方程230x x m -+=有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是( )A ．94m <B ．94mC ．94m >D ．94m 10．下列说法正确的是( )A ．对角线相等且互相垂直的四边形是菱形B ．对角线互相平分的四边形是正方形C ．对角线互相垂直的四边形是平行四边形D ．对角线相等且互相平分的四边形是矩形二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11．如果一个矩形的面积是40，两条对角线夹角的正切值是43，那么它的一条对角线长是__________． 12．如图，矩形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，过点O 作BD 的垂线分别交AD ，BC 于E ，F 两点．若AC =23∠AEO =120°，则FC 的长度为_____．13．如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上的点，AD CD=．若∠CAB=40°，则∠CAD=_____．14．点G是三角形ABC的重心，AB a=，那么BG=_____．=，AC b15．小刚家、公交车站、学校在一条笔直的公路旁（小刚家、学校到这条公路的距离忽略不计）．一天，小刚从家出发去上学，沿这条公路步行到公交站恰好乘上一辆公交车，公交车沿这条公路匀速行驶，小刚下车时发现还有4分钟上课，于是他沿着这条公路跑步赶到学校（上、下车时间忽略不计），小刚与学校的距离s（单位：米）与他所用的时间t（单位：分钟）之间的函数关系如图所示．已知小刚从家出发7分钟时与家的距离是1200米，从上公交车到他到达学校共用10分钟．下列说法：①公交车的速度为400米/分钟；②小刚从家出发5分钟时乘上公交车；③小刚下公交车后跑向学校的速度是100米/分钟；④小刚上课迟到了1分钟．其中正确的序号是_____．16．在由乙猜甲刚才想的数字游戏中，把乙猜的数字记为b且，a，b是0，1，2，3四个数中的其中某一个，若|a﹣b|≤1则称甲乙”心有灵犀”．现任意找两个人玩这个游戏，得出他们”心有灵犀”的概率为_____．三、解答题（共8题，共72分）17．（8分）如图，AB∥CD，∠1＝∠2，求证：AM∥CN18．（8分）已知，抛物线2y ax x c =++的顶点为(1,2)M --，它与x 轴交于点B ，C （点B 在点C 左侧）． （1）求点B 、点C 的坐标；（2）将这个抛物线的图象沿x 轴翻折，得到一个新抛物线，这个新抛物线与直线:46l y x =-+交于点N ． ①求证：点N 是这个新抛物线与直线l 的唯一交点；②将新抛物线位于x 轴上方的部分记为G ，将图象G 以每秒1个单位的速度向右平移，同时也将直线l 以每秒1个单位的速度向上平移，记运动时间为t ，请直接写出图象G 与直线l 有公共点时运动时间t 的范围．19．（8分）如图，△ABC 中，∠A =90°，AB=AC=4，D 是BC 边上一点，将点D 绕点A 逆时针旋转60°得到点E ，连接CE. B(1)当点E 在BC 边上时,画出图形并求出∠BAD 的度数；(2)当△CDE 为等腰三角形时，求∠BAD 的度数；(3)在点D 的运动过程中，求CE 的最小值.(参考数值:sin 75°=624， cos 75°=624，tan 75°=23) 20．（8分）赵亮同学想利用影长测量学校旗杆的高度，如图，他在某一时刻立1米长的标杆测得其影长为1.2米，同时旗杆的投影一部分在地面上，另一部分在某一建筑的墙上，分别测得其长度为9.6米和2米，则学校旗杆的高度为________米．21．（8分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y ＝x 与反比例函数()0k y k x =≠的图象相交于点()3,A a .（1）求a 、k 的值；（2）直线x ＝b （0b >）分别与一次函数y ＝x 、反比例函数k y x =的图象相交于点M 、N ，当MN ＝2时，画出示意图并直接写出b 的值.22．（10分）先化简，再求值：a （a ﹣3b ）+（a+b ）2﹣a （a ﹣b ），其中a=1，b=﹣1223．（12分）已知：如图，□ABCD 中，BD 是对角线，AE ⊥BD 于E ，CF ⊥BD 于F. 求证：BE=DF.24．一个不透明的口袋里装有分别标有汉字“美”、“丽”、“光”、“明”的四个小球，除汉字不同之外，小球没有任何区别，每次摸球前先搅拌均匀再摸球.若从中任取一个球，求摸出球上的汉字刚好是“美”的概率；甲从中任取一球，不放回，再从中任取一球，请用树状图或列表法，求甲取出的两个球上的汉字恰能组成“美丽”或“光明”的概率.参考答案一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1、A【解题分析】用最高气温减去最低气温，再根据有理数的减法运算法则“减去一个数等于加上这个数的相反数”即可求得答案.【题目详解】8-（-2）=8+2=10℃．即这天的最高气温比最低气温高10℃．故选A ．2、A【解题分析】方程变形后，配方得到结果，即可做出判断．【题目详解】方程2410x x +=﹣，变形得：241x x =﹣﹣，配方得：24414x x +=+﹣﹣，即223x =（﹣），故选A ．【题目点拨】本题考查的知识点是了解一元二次方程﹣配方法，解题关键是熟练掌握完全平方公式．3、B【解题分析】由平面图形的折叠及正方体的展开图解题．【题目详解】A 、C 、D 经过折叠均能围成正方体，B •折叠后上边没有面，不能折成正方体．故选B ．【题目点拨】此题主要考查平面图形的折叠及正方体的展开图，熟练掌握，即可解题.4、C【解题分析】根据图象起始位置猜想点B 或F 为起点，则可以判断①正确，④错误．结合图象判断3≤t≤4图象的对称性可以判断②正确．结合图象易得③正确．【题目详解】解：由图象可知，机器人距离点A1个单位长度，可能在F 或B 点，则正六边形边长为1．故①正确；观察图象t在3－4之间时，图象具有对称性则可知，机器人在OB或OF上，则当t＝3时，机器人距离点A距离为1个单位长度，机器人一定位于点O，故②正确；所有点中，只有点D到A距离为2个单位，故③正确；因为机器人可能在F点或B点出发，当从B出发时，不经过点E，故④错误．故选：C．【题目点拨】本题为动点问题的函数图象探究题，解答时要注意动点到达临界前后时图象的变化趋势．5、B【解题分析】根据同底数幂的乘法、除法、幂的乘方依次计算即可得到答案.【题目详解】A、a3+a3＝2a3，故A错误；B、a6÷a2＝a4，故B正确；C、a3•a5＝a8，故C错误；D、（a3）4＝a12，故D错误．故选：B．【题目点拨】此题考查整式的计算，正确掌握同底数幂的乘法、除法、幂的乘方的计算方法是解题的关键.6、D【解题分析】试题分析：解：由图形可得出：甲所用铁丝的长度为：2a+2b，乙所用铁丝的长度为：2a+2b，丙所用铁丝的长度为：2a+2b，故三种方案所用铁丝一样长．故选D．考点：生活中的平移现象7、D【解题分析】直接合并同类项，合并同类项时，把同类项的系数相加，所得和作为合并后的系数，字母和字母的指数不变. 【题目详解】2a2＋3a2=5a2.故选D.【题目点拨】本题考查了利用同类项的定义及合并同类项，熟练掌握合并同类项的方法是解答本题的关键.所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项，叫做同类项；合并同类项时，把同类项的系数相加，所得和作为合并后的系数，字母和字母的指数不变.8、C【解题分析】试题分析：①∵三角形三个内角的比是1：2：3，∴设三角形的三个内角分别为x，2x，3x，∴x+2x+3x=180°，解得x=30°，∴3x=3×30°=90°，∴此三角形是直角三角形，故本小题正确；②∵三角形的一个外角与它相邻的一个内角的和是180°，∴若三角形的一个外角等于与它相邻的一个内角，则此三角形是直角三角形，故本小题正确；③∵直角三角形的三条高的交点恰好是三角形的一个顶点，∴若三角形的三条高的交点恰好是三角形的一个顶点，那么这个三角形是直角三角形，故本小题正确；④∵∠A=∠B=∠C，∴设∠A=∠B=x，则∠C=2x，∴x+x+2x=180°，解得x=45°，∴2x=2×45°=90°，∴此三角形是直角三角形，故本小题正确；⑤∵三角形的一个外角等于与它不相邻的两内角之和，三角形的一个内角等于另两个内角之差，∴三角形一个内角也等于另外两个内角的和，∴这个三角形中有一个内角和它相邻的外角是相等的，且外角与它相邻的内角互补，∴有一个内角一定是90°，故这个三角形是直角三角形，故本小题正确；⑥∵三角形的一个外角等于与它不相邻的两内角之和，又一个内角也等于另外两个内角的和，由此可知这个三角形中有一个内角和它相邻的外角是相等的，且外角与它相邻的内角互补，∴有一个内角一定是90°，故这个三角形是直角三角形，故本小题正确．故选D．考点：1.三角形内角和定理；2.三角形的外角性质．9、A【解题分析】根据一元二次方程的根的判别式，建立关于m的不等式，求出m的取值范围即可．【题目详解】∵关于x的一元二次方程x2﹣3x+m=0有两个不相等的实数根，∴△=b2﹣4ac=（﹣3）2﹣4×1×m＞0，∴m＜94，故选A．【题目点拨】本题考查了根的判别式，解题的关键在于熟练掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系，即：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．10、D【解题分析】分析：根据菱形，正方形，平行四边形，矩形的判定定理，进行判定，即可解答.详解：A、对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，故错误；B、四条边相等的四边形是菱形，故错误；C、对角线相互平分的四边形是平行四边形，故错误；D、对角线相等且相互平分的四边形是矩形，正确；故选D．点睛：本题考查了菱形，正方形，平行四边形，矩形的判定定理，解决本题的关键是熟记四边形的判定定理．二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11、1．【解题分析】如图，作BH⊥AC于H．由四边形ABCD是矩形，推出OA=OC=OD=OB，设OA=OC=OD=OB=5a，由tan∠BOH43BHOH==，可得BH=4a，OH=3a，由题意：212⨯⨯1a×4a=40，求出a即可解决问题．【题目详解】如图，作BH⊥AC于H．∵四边形ABCD是矩形，∴OA=OC=OD=OB，设OA=OC=OD=OB=5a．∵tan∠BOH43BHOH==，∴BH=4a，OH=3a，由题意：212⨯⨯1a×4a=40，∴a=1，∴AC=1．故答案为：1．【题目点拨】本题考查了矩形的性质、解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题．12、1【解题分析】先根据矩形的性质，推理得到OF=CF，再根据Rt△BOF求得OF的长，即可得到CF的长．【题目详解】解：∵EF⊥BD，∠AEO=120°，∴∠EDO=30°，∠DEO=60°，∵四边形ABCD是矩形，∴∠OBF=∠OCF=30°，∠BFO=60°，∴∠FOC=60°-30°=30°，∴OF=CF，又∵Rt△BOF中，BO=12BD=123∴OF=tan30°×BO=1，∴CF=1，故答案为：1．【题目点拨】本题考查矩形的性质以及解直角三角形的运用，解题关键是掌握：矩形的对角线相等且互相平分．13、25°【解题分析】连接BC，BD, 根据直径所对的圆周角是直角，得∠ACB=90°，根据同弧或等弧所对的圆周角相等，得∠ABD=∠CBD，从而可得到∠BAD的度数．【题目详解】如图，连接BC，BD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵∠CAB=40°，∴∠ABC=50°，∵AD CD=，∴∠ABD=∠CBD=12∠ABC=25°，∴∠CAD=∠CBD=25°．故答案为25°．【题目点拨】本题考查了圆周角定理及直径所对的圆周角是直角的知识点，解题的关键是正确作出辅助线.14、1233b a-．【解题分析】根据题意画出图形，由AB a=，AC b=，根据三角形法则，即可求得BD的长，又由点G是△ABC的重心，根据重心的性质，即可求得．【题目详解】如图：BD是△ABC的中线，∵AC b=，∴AD=12 b，∵AB a=，∴BD=12b﹣a，∵点G是△ABC的重心，∴BG=23BD=13b﹣23a，故答案为：13b﹣23a．【题目点拨】本题考查了三角形的重心的性质：三角形的重心到三角形顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍，本题也考查了向量的加法及其几何意义，是基础题目．15、①②③【解题分析】由公交车在7至12分钟时间内行驶的路程可求解其行驶速度，再由求解的速度可知公交车行驶的时间，进而可知小刚上公交车的时间；由上公交车到他到达学校共用10分钟以及公交车行驶时间可知小刚跑步时间，进而判断其是否迟到，再由图可知其跑步距离，可求解小刚下公交车后跑向学校的速度.【题目详解】解：公交车7至12分钟时间内行驶的路程为3500-1200-300=2000m，则其速度为2000÷5=400米/分钟，故①正确；由图可知，7分钟时，公交车行驶的距离为1200-400=800m，则公交车行驶的时间为800÷400=2min，则小刚从家出发7-2=5分钟时乘上公交车，故②正确；公交车一共行驶了2800÷400=7分钟，则小刚从下公交车到学校一共花了10-7=3分钟＜4分钟，故④错误，再由图可知小明跑步时间为300÷3=100米/分钟，故③正确.故正确的序号是：①②③.【题目点拨】本题考查了一次函数的应用.16、5 8【解题分析】利用P（A）=mn，进行计算概率.【题目详解】从0，1，2，3四个数中任取两个则|a﹣b|≤1的情况有0，0；1，1；2，2；3，3；0，1；1，0；1，2；2，1；2，3；3，2；共10种情况，甲乙出现的结果共有4×4=16，故出他们”心有灵犀”的概率为105 168．故答案是：5 8 .【题目点拨】本题考查了概率的简单计算能力，是一道列举法求概率的问题，属于基础题，可以直接应用求概率的公式．三、解答题（共8题，共72分）17、详见解析.【解题分析】只要证明∠EAM=∠ECN，根据同位角相等两直线平行即可证明.【题目详解】证明：∵AB∥CD，∴∠EAB=∠ECD，∵∠1=∠2，∴∠EAM=∠ECN，∴AM∥CN．【题目点拨】本题考查平行线的判定和性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质和判定，属于中考基础题．18、（1）B（－3,0），C（1,0）；（2）①见解析；②23≤t≤6.【解题分析】(1)根据抛物线的顶点坐标列方程，即可求得抛物线的解析式，令y＝0，即可得解；(2)①根据翻折的性质写出翻折后的抛物线的解析式，与直线方程联立,求得交点坐标即可；②当t＝0时，直线与抛物线只有一个交点N(3,－6)(相切)，此时直线与G无交点;第一个交点出现时，直线过点C(1 ＋t,0)，代入直线解析式:y＝－4x＋6＋t,解得t＝23;最后一个交点是B(－3＋t,0)，代入y＝－4x＋6＋t,解得t＝6，所以23≤t≤6.【题目详解】（1）因为抛物线的顶点为M（－1，－2），所以对称轴为x＝－1，可得：1=12aa-1+c=2⎧--⎪⎨⎪-⎩，解得：a＝12，c＝32-，所以抛物线解析式为y＝12x2＋x32-，令y＝0，解得x＝1或x＝－3，所以B（－3,0），C（1,0）；（2）①翻折后的解析式为y＝－12x2－x3+2，与直线y＝－4x＋6联立可得：12x2－3x＋92＝0，解得：x1＝x2＝3，所以该一元二次方程只有一个根，所以点N（3，－6）是唯一的交点；②23≤t≤6.【题目点拨】本题主要考查了图形运动，解本题的要点在于熟知一元二次方程的相关知识点.19、（1）∠BAD=15°；（2）∠BAC=45°或∠BAD =60°；（3）CE=62．【解题分析】（1）如图1中，当点E在BC上时．只要证明△BAD≌△CAE，即可推出∠BAD=∠CAE=12（90°-60°）=15°；（2）分两种情形求解①如图2中，当BD=DC时，易知AD=CD=DE，此时△DEC是等腰三角形．②如图3中，当CD=CE 时，△DEC是等腰三角形；（3）如图4中，当E在BC上时，E记为E′，D记为D′，连接EE′．作CM⊥EE′于M，E′N⊥AC于N，DE交AE′于O．首先确定点E的运动轨迹是直线EE′（过点E与BC成60°角的直线上），可得EC的最小值即为线段CM的长（垂线段最短）.【题目详解】解：（1）如图1中，当点E在BC上时．∵AD=AE，∠DAE=60°，∴△ADE是等边三角形，∴∠ADE=∠AED=60°，∴∠ADB=∠AEC=120°，∵AB=AC，∠BAC=90°，∴∠B=∠C=45°，在△ABD和△ACE中，∠B=∠C，∠ADB=∠AEC，AB=AC，∴△BAD≌△CAE，∴∠BAD=∠CAE=12（90°-60°）=15°．（2）①如图2中，当BD=DC时，易知AD=CD=DE，此时△DEC是等腰三角形，∠BAD=12∠BAC=45°．②如图3中，当CD=CE时，△DEC是等腰三角形．∵AD=AE，∴AC垂直平分线段DE，∴∠ACD=∠ACE=45°，∴∠DCE=90°，∴∠EDC=∠CED=45°，∵∠B=45°，∴∠EDC=∠B，∴DE∥AB，∴∠BAD=∠ADE=60°．（3）如图4中，当E在BC上时，E记为E′，D记为D′，连接EE′．作CM⊥EE′于M，E′N⊥AC于N，DE交AE′于O．∵∠AOE=∠DOE′，∠AE′D=∠AEO ， ∴△AOE ∽△DOE′， ∴AO ：OD=EO ：OE'， ∴AO ：EO=OD ：OE'， ∵∠AOD=∠EOE′， ∴△AOD ∽△EOE′， ∴∠EE′O=∠ADO=60°，∴点E 的运动轨迹是直线EE′（过点E 与BC 成60°角的直线上）， ∴EC 的最小值即为线段CM 的长（垂线段最短）， 设E′N=CN=a ，则AN=4-a ， 在Rt △ANE′中，tan75°=AN ：NE'，∴=4aa-，∴∴在Rt △CE′M 中，∴CE 【题目点拨】本题考查几何变换综合题、等腰直角三角形的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、轨迹等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用垂线段最短解决最值问题，属于中考压轴题． 20、10 【解题分析】试题分析：根据相似的性质可得：1:1.2=x ：9.6，则x=8，则旗杆的高度为8+2=10米. 考点：相似的应用21、（1）a =k =2；（2）b =2或1． 【解题分析】（1）依据直线y =x 与双曲线ky x=（k ≠0）相交于点)A a ，即可得到a 、k 的值；（2）分两种情况：当直线x=b在点A的左侧时，由3x-x=2，可得x=1，即b=1；当直线x=b在点A的右侧时，由x3x-=2，可得x=2，即b=2．【题目详解】（1）∵直线y=x与双曲线kyx=（k≠0）相交于点()3A a，，∴3a=，∴()33A，，∴33k=，解得：k=2；（2）如图所示：当直线x=b在点A的左侧时，由3x-x=2，可得：x=1，x=﹣2（舍去），即b=1；当直线x=b在点A的右侧时，由x3x-=2，可得x=2，x=﹣1（舍去），即b=2；综上所述：b=2或1．【题目点拨】本题考查了利用待定系数法求函数解析式以及函数的图象与解析式的关系，解题时注意：点在图象上，就一定满足函数的解析式．22、5 4【解题分析】原式去括号合并得到最简结果，把a与b的值代入计算即可求出值；【题目详解】解：原式=a2﹣3ab+a2+2ab+b2﹣a2+ab=a2+b2，当a=1、b=﹣12时，原式=12+（﹣12）2=1+1 4=54．【题目点拨】考查了整式的加减-化简求值，以及非负数的性质，熟练掌握运算法则是解本题的关键．23、（1）证明：∵ABCD是平行四边形∴AB=CDAB∥CD∴∠ABE=∠CDF又∵AE⊥BD，CF⊥BD∴∠AEB=∠CFD=∴△ABE≌△CDF∴BE=DF【解题分析】证明:在□ABCD中∵AB∥CD∴∠ABE=∠CDF…………………………………………………………4分∵AE⊥BD CF⊥BD∴∠AEB=∠CFD=900……………………………………………………5分∵AB=CD∴△ABE≌△CDF…………………………………………………………6分∴BE=DF24、(1)14；(2)13.【解题分析】（1）一共4个小球，则任取一个球，共有4种不同结果，摸出球上的汉字刚好是“美”的概率为14；（2）列表或画出树状图，根据一共出现的等可能的情况及恰能组成“美丽”或“光明”的情况进行解答即可. 【题目详解】(1) ∵“美”、“丽”、“光”、“明”的四个小球，任取一球，共有4种不同结果，∴任取一个球，摸出球上的汉字刚好是“美”的概率P=1 4(2)列表如下：根据表格可得：共有12中等可能的结果，其中恰能组成“美丽”或“光明”共有4种，故取出的两个球上的汉字恰能组成“美丽”或“光明”的概率13 P .【题目点拨】此题考查的是用列表法或树状图法求概率与不等式的性质．注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率=所求情况数与总情况数之比．。
2024年武汉市中考数学真题试卷及解析
2024年武汉市中考数学真题试卷一、选择题（共10小题,每小题3分,共30分）下列各题中有且只有一个正确答案,请在答题卡上将正确答案的标号涂黑．1. 现实世界中,对称现象无处不在,中国的方块字中有些也具有对称性．下列汉字是轴对称图形的是（ ）A. B. C. D.2. 小美和小好同学做“石头、剪刀、布”的游戏,两人同时出相同的手势,这个事件是（ ）A. 随机事件B. 不可能事件C. 必然事件D. 确定性事件3. 如图是由两个宽度相同的长方体组成的几何体,它的主视图是（ ）A. B. C. D. 4. 国家统计局2024年4月16日发布数据,今年第一季度国内生产总值接近300000亿元,同比增长5.3％,国家高质量发展取得新成效．将数据300000用科学记数法表示是（ ）A. 50.310⨯B. 60.310⨯C. 5310⨯D. 6310⨯5. 下列计算正确的是（ ）A. 236a a a ⋅=B. ()1432a a =C. ()2236a a =D. ()2211a a +=+ 6. 如图,一个圆柱体水槽底部叠放两个底面半径不等的实心圆柱体,向水槽匀速注水．下列图象能大致反映水槽中水的深度h 与注水时间t 的函数关系的是（ ）A. B. C. D. 7. 小美同学按如下步骤作四边形ABCD :①画MAN ∠;①以点A 为圆心,1个单位长为半径画弧,分别交AM ,AN 于点B ,D ;①分别以点B ,D 为圆心,1个单位长为半径画弧,两弧交于点C ;①连接BC ,CD ,BD ．若44A ∠=︒,则CBD ∠的大小是（ ）A. 64︒B. 66︒C. 68︒D. 70︒8. 经过某十字路口的汽车,可能直行,也可能向左转或向右转,这三种可能性大小相同．若两辆汽车经过这个十字路口,则至少一辆车向右转的概率是（ ） A. 19 B. 13 C. 49 D.59 9. 如图,四边形ABCD 内接于O ,60ABC ∠=︒,45BAC CAD ∠=∠=︒,2AB AD +=,则O 的半径是（ ）A. B. 3 C. D. 210. 如图,小好同学用计算机软件绘制函数32331y x x x =-+-的图象,发现它关于点()1,0中心对称．若点()110.1,A y ,()220.2,A y ,()330.3,A y ,……,()19191.9,A y ,()20202,A y 都在函数图象上,这20个点的横坐标从0.1开始依次增加0.1,则1231920y y y y y +++++的值是（ ）A. 1-B. 0.729-C. 0D. 1二、填空题（共6小题,每小题3分,共18分）下列各题不需要写出解答过程,请将结果直接填写在答题卡指定的位置．11. 中国是世界上最早使用负数的国家．负数广泛应用到生产和生活中,例如,若零上3℃记作3+℃,则零下2℃记作_________℃．12. 某反比例函数k y x=具有下列性质:当0x >时,y 随x 的增大而减小,写出一个满足条件的k 的值是__________．13. 分式方程131x x x x +=--的解是______． 14. 黄鹤楼是武汉市著名的旅游景点,享有“天下江山第一楼”的美誉．在一次综合实践活动中,某数学小组用无人机测量黄鹤楼AB 的高度,具体过程如下:如图,将无人机垂直上升至距水平地面102m 的C 处,测得黄鹤楼顶端A 的俯角为45︒,底端B 的俯角为63︒,则测得黄鹤楼的高度是__________m ．（参考数据:tan632︒≈）15. 如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”,它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形MNPQ 拼成的一个大正方形ABCD ．直线MP 交正方形ABCD 的两边于点E ,F ,记正方形ABCD 的面积为1S ,正方形MNPQ 的面积为2S ．若(1)BE kAE k =>,则用含k 的式子表示12S S 的值是___________．16. 抛物线2y ax bx c =++（a,b,c 是常数,0a <）经过()1,1-,(),1m 两点,且01m <<．下列四个结论:①0b >①若01x <<,则()()2111a x b x c -+-+>①若1a =-,则关于x 的一元二次方程 22ax bx c ++=无实数解①点()11,A x y ,()22,B x y 在抛物线上,若1212x x +>-,12x x >,总有12y y <,则102m <≤． 其中正确的是__________（填写序号）．三、解答题（共8小题,共72分）下列各题需要在答题卡指定的位置写出文字说明、证明过程、演算步骤或画出图形．17. 求不等式组3121x x x +>⎧⎨-≤⎩①②的整数解． 18. 如图,在ABCD 中,点E ,F 分别在边BC ,AD 上,AF CE =．（1）求证:C ABE DF ≌△△ （2）连接EF ．请添加一个与线段相关的条件,使四边形ABEF 是平行四边形．（不需要说明理由）19. 为加强体育锻炼,增强学生体质,某校在“阳光体育一小时”活动中组织九年级学生定点投篮技能测试,每人投篮4次,投中一次计1分．随机抽取m 名学生的成绩作为样本,将收集的数据整理并绘制成如下的统计图表．测试成绩扇形统计图测试成绩频数分布表根据以上信息,解答下列问题:（1）直接写出m ,n 的值和样本的众数（2）若该校九年级有900名学生参加测试,估计得分超过2分的学生人数．20. 如图,ABC ∆为等腰三角形,O 是底边BC 的中点,腰AC 与半圆O 相切于点D ,底边BC 与半圆O 交于E ,F 两点．（1）求证:AB 与半圆O 相切（2）连接OA ．若4CD =,2CF =,求sin OAC ∠的值．21. 如图是由小正方形组成的34⨯网格,每个小正方形的顶点叫做格点．ABC 三个顶点都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成四个画图任务,每个任务的画线不得超过三条．（1）在图（1）中,画射线AD 交BC 于点D,使AD 平分ABC 的面积（2）在（1）的基础上,在射线AD 上画点E,使ECB ACB ∠=∠（3）在图（2）中,先画点F,使点A 绕点F 顺时针旋转90︒到点C,再画射线AF 交BC 于点G （4）在（3）的基础上,将线段AB 绕点G 旋转180︒,画对应线段MN （点A 与点M 对应,点B 与点N 对应）．22. 16世纪中叶,我国发明了一种新式火箭“火龙出水”,它是二级火箭的始祖．火箭第一级运行路径形如抛物线,当火箭运行一定水平距离时,自动引发火箭第二级,火箭第二级沿直线运行．某科技小组运用信息技术模拟火箭运行过程．如图,以发射点为原点,地平线为x 轴,垂直于地面的直线为y 轴,建立平面直角坐标系,分别得到抛物线2y ax x =+和直线12y x b =-+．其中,当火箭运行的水平距离为9km 时,自动引发火箭的第二级．（1）若火箭第二级的引发点的高度为3.6km ．①直接写出a,b 的值①火箭在运行过程中,有两个位置的高度比火箭运行的最高点低1.35km ,求这两个位置之间的距离．（2）直接写出a 满足什么条件时,火箭落地点与发射点的水平距离超过15km ． 23. 问题背景:如图（1）,在矩形ABCD 中,点E ,F 分别是AB ,BC 的中点,连接BD ,EF ,求证:BCD FBE ∽△△．问题探究:如图（2）,在四边形ABCD 中,AD BC ∥,90BCD ∠=︒,点E 是AB 的中点,点F 在边BC 上,2AD CF =,EF 与BD 交于点G ,求证:BG FG =．问题拓展:如图（3）,在“问题探究”的条件下,连接AG ,AD CD =,AG FG =,直接写出EG GF的值．24. 抛物线215222y x x =+-交x 轴于A ,B 两点（A 在B 的右边）,交y 轴于点C ．（1）直接写出点A ,B ,C 的坐标（2）如图（1）,连接AC ,BC ,过第三象限的抛物线上的点P 作直线PQ AC ∥,交y 轴于点Q ．若BC 平分线段PQ ,求点P 的坐标（3）如图（2）,点D 与原点O 关于点C 对称,过原点的直线EF 交抛物线于E ,F 两点（点E在x 轴下方）,线段DE 交抛物线于另一点G ,连接FG ．若90EGF ∠=︒,求直线DE 的解析式．2024年武汉市中考数学真题试卷解析一、选择题.1. 【答案】C2. 【答案】A3. 【答案】B4. 【答案】C5. 【答案】B6. 【答案】D7. 【答案】C8. 【答案】D9. 【答案】A10. 【答案】D【解析】解:①这20个点的横坐标从0.1开始依次增加0.1 ①0.1 1.90.2 1.80.9 1.11222+++==⋅⋅⋅= ①123911190y y y y y y +++++= ①12319201020y y y y y y y +++++=+,而()101,0A 即100y =①32331y x x x =-+-当0x =时,1y =-,即()0,1-①()0,1-关于点()1,0中心对称的点为()2,1即当2x =时,201y =①12319201020011y y y y y y y +++++=+=+=故选:D ．二、填空题.11. 【答案】2-12. 【答案】1（答案不唯一）13. 【答案】3x =-14. 【答案】5115. 【答案】221(1)k k +- 【解析】解:作EG AN ⊥交AN 于点G ,不妨设MN a =,设1EG =四边形MNPQ 是正方形45PMN ∴∠=︒45EMG PMN ∴∠=∠=︒1EG MG ∴==在AEG △和ABN 中,EAG BAN ∠=∠,90AGE ANB ∠=∠=︒AEG ABN ∴∽AE EG AG AB BN AN∴== (1)BE kAE k =>(1)AB AE BE AE k ∴=+=+111AE AG AB BN AN k ∴===+ 1BN k ∴=+由题意可知,ABN DAM △≌△1BN AM k ∴==+11AG AM GM k k ∴=-=+-=111AG AG k AN AM MN k a k ∴===++++ 21a k ∴=-2211AN AG GM MN k k k k ∴=++=++-=+∴正方形ABCD 的面积222221222(1)()(1)(1)S AB BN AN k k k k k ==+=+++=++正方形MNPQ 的面积2222222(1)(1)(1)S MN a k k k ===-=+-222221(1)(1)(1)(1)k k k k S S +++-∴= 1k >2(1)0k ∴+≠22121(1)k S S k +-∴= 16. 【答案】①①①【解析】解:①2y ax bx c =++（a,b,c 是常数,0a <）经过()1,1-,(),1m 两点,且01m <<． ①对称轴为直线122b m x a -+=-=, 11022m -+-<< ①02b x a=-<,a<0 ①0b <,故①错误①01m <<①()11m -->,即()1,1-,(),1m 两点之间的距离大于1又①a<0①1x m =-时,1y >①若01x <<,则()()2111a x b x c -+-+>,故①正确 ①由①可得11022m -+-<<, ①1022b -<<,即10b -<< 当1a =-时,抛物线解析式为2y x bxc =-++ 设顶点纵坐标为224444ac b c b t a ---==- ①抛物线2y x bx c =-++（a,b,c 是常数,0a <）经过()1,1-①11b c --+=①2c b =+ ①()222224411122144444c b b c t b c b b b --+===+=++=++- ①10b -<<,104->,对称轴为直线2b =- ①当0b =时,t 取得最大值为2,而0b <①关于x 的一元二次方程 22ax bx c ++=无解,故①正确①①a<0,抛物线开口向下,点()11,A x y ,()22,B x y 在抛物线上, 1212x x +>-,12x x >,总有12y y < 又12124x x x +=>- ①点()11,A x y 离14x =-较远①对称轴111224m -+-<≤- 解得:102m <≤,故①正确． 故答案为:①①①．三、解答题．17. 【答案】整数解为:1,0,1-18. 【答案】（1）见解析 （2）添加AF BE =（答案不唯一）【小问1详解】证明:①四边形ABCD 是平行四边形①AB CD =,AD BC =,B D ∠=∠①AF CE =①AD AF BC CE -=-即DF BE =在ABE 与CDF 中AB CD B D BE DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩①()SAS ABE CDF ≌【小问2详解】添加AF BE =（答案不唯一）如图所示,连接EF ．①四边形ABCD 是平行四边形①AD BC ∥,即AF BE ∥当AF BE =时,四边形ABEF 是平行四边形．19. 【答案】（1）60m =,15n =,众数为3分（2）该校九年级有900名学生参加测试,估计得分超过2分的学生人数为450人【小问1详解】解:依题意,156025%m ==（人）,6030%18a =⨯=（人）,6012181569b =----=（人） ①9%100%15%60n =⨯= ①15n =①3分的人数为18个,出现次数最多①众数为3分【小问2详解】解:181290045060+⨯=（人） 答:该校九年级有900名学生参加测试,估计得分超过2分的学生人数为450人. 20. 【答案】（1）见解析 （2）45 【小问1详解】证明:连接OA ,OD ,作ON AB ⊥交AB 于N ,如图ABC 为等腰三角形,O 是底边BC 的中点AO BC ∴⊥,AO 平分BAC ∠ AC 与半圆O 相切于点DOD AC ∴⊥由ON AB ⊥ON OD ∴=AC ∴是半圆O 的切线【小问2详解】解:由（1）可知AO BC ⊥,OD AC ⊥90AOC ∴∠=︒,90ODC ∠=︒18090OAC OCA AOC ∴∠+∠=︒-∠=︒,18090COD OCA ODC ∠+∠=︒-∠=︒ OAC COD ∴∠=∠sin sin CD OAC COD OC∴∠=∠=又OF OD =,2CF =∴在Rt ODC △中,4CD =,2OC OF FC OD =+=+222OC CD OD =+∴222(2)4OD OD +=+解得:3OD =442325CD CD sin OAC sin COD OC OD ∴∠=∠====++ 21. 【答案】（1）作图见解析（2）作图见解析 （3）作图见解析（4）作图见解析【小问1详解】解:如图所示,点D 即为所求．【小问2详解】解:如图所示,点E即为所求．【小问3详解】解:如图所示．【小问4详解】解:如图所示．22. 【答案】（1）①115a=-,8.1b=;①8.4km（2）2027a -<< 【小问1详解】解:①①火箭第二级的引发点的高度为3.6km①抛物线2y ax x =+和直线12y x b =-+均经过点()9,3.6 ①3.6819a =+,13.692b =-⨯+ 解得115a =-,8.1b =． ①由①知,18.12y x =-+,2115y x x =-+ ①22111515151524y x x x ⎛⎫=-+=--+ ⎪⎝⎭ ①最大值15km 4y =当15 1.35 2.4km 4y =-=时 则21 2.415x x -+= 解得112x =,23x =又①9x =时, 3.6 2.4y =>①当 2.4km y =时 则418. 2.12x +=- 解得11.4x =()11.438.4km -=①这两个位置之间的距离8.4km ．【小问2详解】解:当水平距离超过15km 时火箭第二级的引发点为()9,819a +将()9,819a +,()15,0代入12y x b =-+,得 181992a b +=-⨯+,10152b =-⨯+解得7.5b =,227a =-①2027a -<<．23. 【答案】问题背景:见解析;问题探究:见解析;问题拓展 【详解】问题背景:①四边形ABCD 是矩形①90AB CD EBF C =∠=∠=︒，①E ,F 分别是AB ,BC 的中点 ①12BE BF AB BC == 即12BE BF CD BC == ①BCD FBE ∽△△问题探究:如图所示,取BD 的中点H ,连接,EH HC①E 是AB 的中点,H 是BD 的中点 ①12EH AD =,EH AD ∥ 又①2AD CF =①EH CF =①AD BC ∥①EH FC ∥①四边形EHCF 是平行四边形①EF CH ∥①GFB HCB ∠=∠又①90BCD ∠=︒,H 是BD 的中点 ①12HC BD BH == ①HBC HCB ∠=∠①GBF GFB ∠=∠①GB GF =问题拓展:如图所示,过点F 作FM AD ⊥,则四边形MFCD 是矩形,连接AF①2AD CF CD ==, ①12AM MD FC AD === 设2AD a =,则2MF CD a ==,AM a =在Rt AMF 中,AF ==①AG FG =,由（2）BG FG =①AG BG =又①E 是AB 的中点①EF 垂直平分AB①AF BF =,90BEG ∠=︒在,AFG BFG 中 AG BG GF GF FA FB =⎧⎪=⎨⎪=⎩①()SSS AFG BFG ≌设GBF GFB α∠=∠=,则GAF GFA α∠=∠=①2BGE GBF GFB α∠=∠+∠=又①AD BC ∥①2MAF AFB GFA GFB α∠=∠=∠+∠=①MAF EGB ∠=∠又①90BEG AFM ∠=∠=︒①BEG FMA ∽①EG EG AMGF BG AF====．24. 【答案】（1）1,0A,()5,0B-,50,2C⎛⎫-⎪⎝⎭（2）92,2P⎛⎫--⎪⎝⎭（3）152y x=--【小问1详解】解:由215222y x x=+-当0x=时,52y=-,则50,2C⎛⎫-⎪⎝⎭当0y=,2152022x x+-=解得:125,1x x=-=①A在B的右边①()1,0A,()5,0B-【小问2详解】解:设直线AC的解析式为()0y kx b k=+≠将()1,0A,50,2C⎛⎫-⎪⎝⎭代入得52k bb+=⎧⎪⎨=-⎪⎩解得:5252kb⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩①直线AC的解析式为5522y x=+①PQ AC∥设直线PQ 的解析式为152y x b =+ ①P 在第三象限的抛物线上 设215,222P t t t ⎛⎫+- ⎪⎝⎭,()50t -<< ①215152222t b t t +=+- ①2115222t b t =-- ①2150,222t Q t ⎛⎫-- ⎪⎝⎭ 设PQ 的中点为M ,则22352,22t t t M ⎛⎫+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭由()5,0B -,50,2C ⎛⎫- ⎪⎝⎭,设直线BC 的解析式为152y k x =- 将()5,0B -代入得15052k =-- 解得:112k =- ①直线BC 的解析式为1522y x =--①BC 平分线段PQ①M 在直线BC 上 ①22351522222t t t +--⨯-= 解得:122,0t t =-=（舍去）当2t =-时,21592222t t +-=-①92,2P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭ 【小问3详解】解:如图所示,过点G 作TS x ∥轴,过点,E F 分别作TS 的垂线,垂足分别为,T S①90T S EGF ∠=∠=∠=︒①90EGT FGS GFS ∠=︒-∠=∠①ETG GSF ∽ ①ET TG GS FS= 即ET FS GS TG ⋅=⋅①点D 与原点O 关于点50,2C ⎛⎫- ⎪⎝⎭对称 ①()0,5D -设直线EF 的解析式为11y k x =,直线ED 的解析式为225y k x =-联立直线EF 与抛物线解析式11215222y k x y x x =⎧⎪⎨=+-⎪⎩可得,2112222k x x x =+- 即()21152022x k x +--= 联立直线ED 与抛物线解析式222515222y k x y x x =-⎧⎪⎨=+-⎪⎩可得,22125222k x x x -=+- 即()22152022x k x +-+= 设,E F x e x f ==,G x g =,①5ef =-,5eg =,224e g k +=-①f g =-()()221515122422222ET e e g g e g e g ⎛⎫=+--+-=++- ⎪⎝⎭ ()()221515122422222FS f f g g f g f g ⎛⎫=+--+-=++- ⎪⎝⎭ ①ET FS GS TG ⋅=⋅①()()()()()()114422g e f g e g e g f g f g --=++-⨯++- 将f g =-代入得:5e g +=-①2245k -=- ①212k =- ①直线DE 解析式为152y x =--．。
武汉市中考数学压轴题总复习题解析版
2021年湖北省武汉市中考数学压轴题总复习解析版1．已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AC＝BC＝10，cos∠ACB=45，点E在对角线AC上（不与点A、C重合），∠EDC＝∠ACB，DE的延长线与射线CB交于点F，设AD的长为x．（1）如图1，当DF⊥BC时，求AD的长；（2）设EC＝y，求y关于x的函数解析式，并直接写出定义域；（3）当△DFC是等腰三角形时，求AD的长．【解答】解：（1）设：∠ACB＝∠EDC＝∠α＝∠CAD，∵cosα=45，∴sinα=35，过点A作AH⊥BC交于点H，AH＝AC•sinα＝6＝DF，BH＝2，如图1，设：FC＝4a，∴cos∠ACB=45，则EF＝3a，EC＝5a，∵∠EDC＝∠α＝∠CAD，∠ACD＝∠ACD，∴△ADC∽△DCE，∴AC•CE＝CD2＝DF2+FC2＝36+16a2＝10•5a，解得：a＝2或98（舍去a＝2），AD＝HF＝10﹣2﹣4a=7 2；（2）过点C作CH⊥AD交AD的延长线于点H，CD 2＝CH 2+DH 2＝（AC sin α）2+（AC cos α﹣x ）2，即：CD 2＝36+（8﹣x ）2，由（1）得：AC •CE ＝CD 2，即：y =110x 2−85x +10（0＜x ＜16且x ≠10）…①，（3）①当DF ＝DC 时，∵∠ECF ＝∠FDC ＝α，∠DFC ＝∠DFC ，∴△DFC ∽△CFE ，∵DF ＝DC ，∴FC ＝EC ＝y ，∴x +y ＝10，即：10=110x 2−85x +10+x ，解得：x ＝6；②当FC ＝DC ，则∠DFC ＝∠FDC ＝α，则：EF ＝EC ＝y ，DE ＝AE ＝10﹣y ，在等腰△ADE 中，cos ∠DAE ＝cos α=12AD AE =12x 10−y =45， 即：5x +8y ＝80，将上式代入①式并解得：x =394；③当FC ＝FD ，则∠FCD ＝∠FDC ＝α，而∠ECF ＝α≠∠FCD ，不成立，故：该情况不存在；故：AD 的长为6和394．2．已知：正方形ABCD ，等腰直角三角板的直角顶点落在正方形的顶点D 处，使三角板绕点D 旋转．（1）当三角板旋转到图1的位置时，猜想CE 与AF 的数量关系，并加以证明；（2）在（1）的条件下，若DE ＝1，AE =√7，CE ＝3，求∠AED 的度数；。
2021年湖北省武汉市新观察中考数学压轴试卷(一)(附答案详解)
2021年湖北省武汉市新观察中考数学压轴试卷（一）一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.(2021·湖北省武汉市·模拟题)实数−2的相反数是()A. 2B. −2C. 12D. −122.(2021·湖北省武汉市·模拟题)不透明的袋子中只有3个黑球和1个白球，这些球除颜色外无其他差别，随机从袋子中一次摸出2个球，下列事件是必然事件的是()A. 2个球都是白球B. 2个球都是黑球C. 2个球中有白球D. 2个球中有黑球3.(2021·黑龙江省哈尔滨市·模拟题)下列图形中，是中心对称图形的是()A. B. C. D.4.(2021·全国·模拟题)计算(−a3)2的结果是()A. −a5B. a5C. −a6D. a65.(2021·湖北省武汉市·模拟题)如图所示的几何体的左视图是()A.B.C.D.6.(2021·湖北省武汉市·模拟题)两个红球和两个白球，除颜色外无其他差别，随机从中一次抽取两个球，颜色相同的概率是()A. 23B. 12C. 13D. 147.(2019·湖北省武汉市·月考试卷)若点A(−2,y1)、B(−1,y2)、C(3,y3)都在反比例函数y=a2+1x(a为常数)的图象上，则y1、y2、y3的大小关系为()A. y1>y2>y3B. y2>y1>y3C. y3>y2>y1D. y3>y1>y28.(2021·湖北省·其他类型)杆秤是我国传统的计重工具.如图，可以用秤砣到秤纽的水平距离，来得出秤钩上所挂物体的质量.称重时，若秤砣到秤纽的水平距离为x(单位：cm)时，秤钩所挂物重为y(单位：kg)，则y是x的一次函数.下表记录了四次称重的数据，其中只有一组数据记录错误，它是()组数1234x/cm1247y/kg0.80 1.05 1.65 2.30A. 第1组B. 第2组C. 第3组D. 第4组9.(2021·湖北省武汉市·模拟题)如图，Rt△ABC中，E、D分别在AC、BC上，且DE=2，AB=6，⊙O正好过A、B、D、E四点，则S弓ADB+S弓DE=()A. 5πB. 5π−3π−6C. 52D. 5π−6x+m(m<0)与x轴、y轴交于A、B 10.(2021·湖北省武汉市·模拟题)已知直线y=−34(x>0)交于P点，则PA⋅PB的值为()两点，与双曲线y=−6xA. 6B. 6√2C. 25D. 252二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）11.(2020·浙江省宁波市·期末考试)化简√(−3)2的结果是______．12.(2021·湖北省·其他类型)某校组织党史知识大赛，25名参赛同学的得分情况如图所示，这些成绩的众数是______ ．13. (2021·湖北省·其他类型)方程x x−1=32x−2−2的解是______ ．14. (2021·湖北省武汉市·模拟题)如图，从飞机A 看一栋楼顶部B的仰角为30°，看这栋楼底部的俯角为60°，飞机A 与楼的水平距离为240m ，这栋楼的高度BC 是______ m(√3≈1.732，结果取整数)．15. (2021·湖北省武汉市·模拟题)下列关于二次函数y =x 2−2mx +m 2−1的结论：①该函数图象的对称轴为直线x =m ；②若函数图象的顶点为M ，与x 轴交于A 、B 两点，则S △ABM 为定值；③若P(x 1,y 1)，Q(x 2,y 2)两点在该函数图象上，且x 1>x 2，x 1+x 2>2m ，则有y 1<y 2；④该函数图象与y 轴交于C 点，与x 轴交于A 、B 两点，△ABC 不可能为直角三角形．其中正确的结论是______ ．16. (2021·湖北省武汉市·模拟题)如图，正方形ABCD 的边长为2，将此正方形分割成如图所示的四部分，其中的点O 为正方形的中心，E 、F 分别为AD 、CD 的中点，现将这四部分重新拼成一个如图所示的平行四边形，则此图中，tanα的值为______ ．三、解答题（本大题共8小题，共72.0分）17. (2021·湖北省武汉市·模拟题)解不等式组{2x ≤x +1①4x +1≥2x −5②请按下列步骤完成解答：(Ⅰ)解不等式①，得______ ；(Ⅱ)解不等式②，得______ ；(Ⅲ)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；(Ⅳ)原不等式组的解集为______ ．18.(2021·湖北省武汉市·模拟题)如图，B，E分别是AC，DF上的点，AE//BF，∠C=∠D，求证：∠A=∠F．19.(2021·湖北省武汉市·模拟题)某校有学生2400人，为了解学生的课外阅读情况，从全校随机抽取了部分学生，调查了他们平均每周的课外阅读时间t(单位：ℎ).整理所得数据绘制成不完整的统计图表：平均每周的课外阅读时间频数分布表平均每周的课外阅读组别人数时间t/ℎA t<616B6≤t<8aC8≤t<10bD t≥108根据以上图表信息，解答下列问题：(1)这次被调查的同学共有______ 人，a=______ ；(2)B组所在扇形的圆心角的大小是______ ；(3)请你估计该校学生平均每周的课外阅读时间不少于8h的人数．20.(2021·湖北省武汉市·模拟题)如图，A(2,6)，B(5,5)，仅用无刻度直尺在平面直角坐标系中作图．(1)直接写出△OAB的形状；(2)作点A关于线段OB的对称点C；(3)过点C作CD⊥OA于点D；(4)平移线段BC至DE，使点B与点D重合．21.(2021·湖北省武汉市·模拟题)如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，点E为AD⏜的中点，CE交AB于点F，CE的延长线交过点A的切线于点P，连接AE．(1)求证：AE=EF；(2)连接AD交CE于点M，若AB=5，EF=3，求FMEM的值．22.(2021·湖北省武汉市·模拟题)某校准备购买A、B两种树，若A购买60棵，B购买70棵，总价为8500元；若A购买70棵，B购买60棵，总价为8400元．(1)求A、B两种树购买单价各为多少元？(2)若A、B两种树购买数量均不大于60棵，且单价与棵树满足下表关系：在上述条件下，若计划购买A、B两种树共100棵，其中A购买x棵，购买总费用为9000元，请为该计出购买方案；(3)若A、B两种树每种树购买数量均不大于60棵时，满足条件(2)；若B种树超过60棵时，B种树按每棵70元，A仍按(2)购买，当A、B两种树共购买100棵，请问如何购买花钱最少？23.(2021·湖北省武汉市·模拟题)已知▱ABCD．(1)问题背景：如图1，若E、F分别为AD、AB的中点，CE、DF相交于M点，求EM的值；CM(2)如图2，点G在BC的延长线上，AG与BD相交于P点，与CD相交于H点，问：PA、PH、PG三条线段存在何关系并证明；(3)如图3，点E在AD上，直线CE、BA相交于M点，直线MD交直线BC于点G，直线BE与CD相交于点H，AB=AD=7，sin∠ADC=4，∠CDG=45°，求DH5的长．x2−m与直线y=−x+4相交于A、24.(2021·湖北省武汉市·模拟题)已知抛物线y=14B两点．(1)若B点横坐标为2，求A点坐标；(2)如图1，若抛物线的顶点为C，∠ACB=45°，求m的值；(3)如图2，若m=1时，平移直线y=−x+4使直线与抛物线于E、F，抛物线与x轴正半轴交于点P，求证：∠EPO=∠FPO．答案和解析1.【答案】A【知识点】实数的性质、相反数【解析】解：实数−2的相反数是2，故选：A．由相反数的定义可知：−2的相反数是2．本题考查相反数的定义；熟练掌握相反数的定义是解题的关键．2.【答案】D【知识点】随机事件【解析】解：袋子中有3个黑球和1个白球，从中随机摸出两个球，根据抽屉原理可知，这两个球中至少有一个黑球，因此摸出的两个球中有黑球是必然事件，故选：D．根据必然事件的意义，结合具体的问题情境进行判断即可．本题考查必然事件，理解必然事件的意义是正确判断的关键．3.【答案】C【知识点】中心对称图形【解析】解：A、不是中心对称图形，故本选项错误；B、不是中心对称图形，故本选项错误；C、是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项正确；D、不是中心对称图形，故本选项错误．故选：C．根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．4.【答案】D【知识点】幂的乘方与积的乘方【解析】解：(−a3)2=a6，故选：D．根据幂的乘方计算即可．此题考查幂的乘方问题，关键是根据法则进行计算．5.【答案】B【知识点】简单组合体的三视图【解析】解：从左边看，一共有两列，从左往右小正方形的个数依次为：1，3．故选：B．根据左视图是从左面看到的图形判定则可．本题主要考查了几何体的三种视图和学生的空间想象能力，正确掌握观察角度是解题关键．6.【答案】C【知识点】用列举法求概率(列表法与树状图法)【解析】解：画树状图如图：共有12种等可能的结果，颜色相同的结果有4种，∴颜色相同的概率为412=13，故选：C．画树状图，共有12种等可能的结果，颜色相同的结果有4种，再由概率公式求解即可．本题考查了列表法与树状图法以及概率公式，正确画出树状图是解决本题的关键．7.【答案】D【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征【解析】解：∵反比例函数的解析式为y=a2+1x(a为常数)，∴反比例函数的图象在第一、三象限，且在每个象限内，y随x的增大而减小，∵点A(−2,y1)、B(−1,y2)、C(3,y3)都在反比例函数y=a2+1x(a为常数)的图象上，∴A 、B 在第三象限内，C 在第一象限内，∴y 3>0，y 1<0，y 2<0，∵−2<−1，∴y 3>y 1>y 2，故选：D ．根据反比例函数的性质得出反比例函数的图象在第一、三象限，且在每个象限内，y 随x 的增大而减小，再根据点的坐标特点得出即可．本题考查了反比例函数图象和性质，能熟记反比例函数的性质的内容是解此题的关键． 8.【答案】C【知识点】一次函数的应用【解析】解：设y =kx +b ，把x =1，y =0.80，x =2，y =1.05代入可得： {k +b =0.802k +b =1.05， 解得{k =0.25b =0.55， ∴y =0.25x +0.55，当x =4时，y =0.25×4+0.55=1.55，∴第3组数据不在这条直线上，当x =7时，y =0.25×7+0.55=2.30，∴第4组数据在这条直线上，故选：C ．设函数关系式为y =kx +b ，利用待定系数法解决问题即可．本题考查一次函数的应用，待定系数法等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．9.【答案】D【知识点】扇形面积的计算【解析】解：连接AO 并延长，交⊙O 于M ，连接BM ，∵四边形ADBM 是圆内接四边形，∴∠ADC =∠AMB ，∵AM 是直径，∴∠ABM =90°，∵∠C=90°，∴∠DAC=∠BAM，∴BM=ED=2，∴AM=√AB2+BM2=√62+22=2√10，∴半径r=√10，∴S弓ADB +S弓DE=S半圆−S△ABM=12πr2−12×6×2=5π−6，故选：D．连接AO并延长，交⊙O于M，连接BM，易证BM=DE，根据勾股定理求得圆的半径，然后根据S弓ADB+S弓DE=S半圆−S△ABM即可求得．本题考查了扇形的面积，圆内接四边形的性质，圆周角定理，得出S弓ADB+S弓DE=S半圆−S△ABM是解题的关键．10.【答案】D【知识点】一次函数与反比例函数综合【解析】解：∵直线y=−34x+m(m<0)与x轴、y轴交于A、B两点，∴A(43m,0)，B(0,m)，∴OA=−43m，OB=−m，∴AB=√OA2+OB2=−53m，作PH⊥x轴于H，设P(x0,y0)，∴PH//OB，∴PHPA =OBAB=−m−53m=35，即−y0PA=35，∴PA=−53y0，同理：ABPB =OAOH，即−53mPB=−43m−x0，∴PB=−54x0，∵双曲线y=−6x(x>0)过P点，∴x0y0=6，，∴PA⋅PB=2512x0y0=252，故选：D．由直线解析式求得A(43m,0)，B(0,m)，即可求得OA=−43m，OB=−m，AB=√OA2+OB2=−53m，然后根据平行线分线段成比例定理即可求得PA=−53y0，PB=−54x0，进一步求得PA⋅PB=2512x0y0=252．本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，反比例函数图象上点的坐标特征，平行线分线段成比例定理，表示出PA、PB的长度是解题的关键．11.【答案】3【知识点】二次根式的性质【解析】解：√(−3)2=√9=3．故答案为：3．根据二次根式的性质化简即可解答．本题考查了二次根式的性质与化简．12.【答案】96【知识点】众数【解析】解：25名参赛同学的得分出现次数最多的是96分，共出现9次，因此众数是96，故答案为：96．根据众数的意义求解即可．本题考查众数，掌握众数的意义是正确解答的前提．13.【答案】x=76【知识点】分式方程的一般解法【解析】解：去分母得：2x=3−2(2x−2)，去括号得：2x=3−4x+4，移项合并得：6x=7，解得：x=76，检验：把x =76代入得：2x −2=73−2=13≠0，则x =76是分式方程的解．故答案为：x =76．分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解．此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验． 14.【答案】554【知识点】解直角三角形的应用【解析】解：过点A 作AD ⊥BC ，垂足为D ，根据题意有∠DAC =60°，∠BAD =30°，AD =240m ，在Rt △ADC 中，∵∠DAC =60°，AD =240m ，∴DC =tan60°⋅AD =240√3(m)，在Rt △ADB 中，∵∠DAB =30°，AD =240m ，∴DB =tan30°⋅AD =80√3(m)，∴BC =240√3+80√3=320√3≈554(m)，故答案为：554．通过作垂线，构造直角三角形，在两个直角三角形中，利用特殊锐角的三角函数求解即可．本题考查解直角三角形，掌握直角三角形的边角关系是解决问题的前提，构造直角三角形是解决问题的关键．15.【答案】①②【知识点】二次函数与一元二次方程、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、勾股定理的逆定理【解析】解：①二次函数的对称轴为直线x =−−2m 2=m ，故①正确，②由y =(x −m)2−1，所以顶点M(m,−1)，设A(x 1,0)，B(x 2,0)，令y=0，则(x−m)2−1=0，∴x1=m−1，x2=m+1，∴AB=|x1−x2|=2，AB×1=1，∴S△ABM=12∴S△ABM为定值，故②正确，③∵P(x1,y1)，Q(x2,y2)两点在该函数图象上，∴y1=x12−2mx1+m2−1，y2=x22−2mx2+m2−1，∴y1−y2=x12−2mx1−x22+2mx2=(x1−x2)(x1+x2−2m)，∵x1>x2，x1+x2>2m，∴x1−x2>0，x1+x2−2m>0，∴y1−y2>0，∴y1>y2，故③错误，④由②可得，A(m−1,0)，B(m+1,0)，令x=0，则y=m2−1，∴C(0,m2−1)，∴AC2=(m−1)2+(m2−1)2=m4−m2−2m+2，BC2=(m+1)2+(m2−1)2=m4−m2+2m+2，∴BC2>AC2，当AC2+BC2=AB2，∴2m4−2m2+4=4，∴m=0或±1，当AC2+AB2=BC2，∴m4−m2+2m+2=m4−m2−2m+2+4，∴m=1，此时AC=0，故舍去，∴当m=0或±1时，△ABC为直角三角形，故④错误．故答案为：①②．，得到对称轴为x=m，将二次函数写成顶点式，得到二次函数对称轴为直线x=− b2ay=(x−m)2−1，得到顶点M坐标，令y=0，解得x=m±1，得到A和B坐标，或者利用根与系数关系，都可以得到AB=2，通过计算得到△ABM为定值，用作差法比较y1与y2大小，y1−y2=(x1−x2)(x1+x2−2m)，利用x1>x2，x1+x2>2m，可以得到y1>y2，由②可得AB=2和A，B点坐标，令x=0，则y=m2−1，可得到C(0,m2−1)，分别用m表示出AC2和BC2，可以发现BC>AC，所以假设三角形ABC为直角三角形时，BC 和AB均可作为斜边，分类讨论，利用勾股定理，列出方程即可求解．本题考查了二次函数的对称轴，二次函数与x轴交点坐标，顶点坐标，还要注意分类讨论思想．16.【答案】15【知识点】解直角三角形、图形的剪拼、正方形的性质【解析】解：如图，这四部分重新拼成一个如图所示的平行四边形AQNM．过点Q作QT⊥DA交DA的延长线于T.设TQ=m，则AT=m，AD=2m，DM=2m，∴TM=5m，∴tanα=TQTM =m5m=15，故答案为：15．如图，拼剪的平行四边形为平行四边形AQNM.过点Q作QT⊥DA交DA的延长线于T.设TQ=m，则AT=m，AD=2m，DM= 2m，推出TM=5m，根据三角函数的定义求解即可．本题考查图形的拼剪，正方形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．17.【答案】x≤2x≥−2−2≤x≤2【知识点】在数轴上表示不等式的解集、一元一次不等式组的解法【解析】解：(Ⅰ)解不等式①，x≤2；(Ⅱ)解不等式②，x≥−2；(Ⅲ)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；(Ⅳ)原不等式组的解集为−2≤x≤2．故答案为：x≤2，x≥−2，−2≤x≤2．分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．18.【答案】证明：∵AE//BF，∴∠AED=∠F，∵∠C=∠D，∴AC//DF，∴∠AED=∠A．∴∠A=∠F．【知识点】平行线的性质【解析】由AE//BF，可得∠F=∠AED，由∠C=∠D根据内错角相等，两直线平行得到AC//DF，由平行线的性质可得∠AED=∠A，等量代换即可得结论．此题主要考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键．19.【答案】80 32 144°【知识点】加权平均数、扇形统计图、用样本估计总体、频数(率)分布表【解析】解：(1)这次被调查的同学共有：16÷20%=80(人)；8÷80=10%，∴B组的占比为：1−20%−10%−30%=40%，∴a=80×40%=32(人)，故答案为：80；32；(2)由(1)知B组所占百分数为40%，∴B组所在扇形的圆心角为：360°×40%=144°，故答案为：144°；(3)根据题意，得C，D两组所占的百分数之和为10%+30%=40%，∴估计该校学生平均每周的课外阅读时间不少于8h的人数为：2400×40%=960(人)．(1)用A组的人数+所占百分比计算即可，计算D组的百分比，再计算B组的百分比，计算即可；(2)用B组的百分数乘以360°即可；(3)用C，D两组的百分数之和乘以2400即可．本题考查了扇形统计图，频数分布，样本估计整体，熟练掌握样本容量的计算，圆心角的计算是解题的关键．20.【答案】解：(1)∵AB=√12+32=√10，AO=√22+62=2√10，OB=√52+52= 5√2，∴AB2+AO2=OB2，∴△OAB为直角三角形，∠BAO=90°；(2)如图，点C为所作；(3)如图，CD为所作；(4)如图，DE为所作．【知识点】作图-平移变换、作图-轴对称变换、勾股定理的逆定理【解析】(1)利用勾股定理的逆定理进行判断；(2)利用网格特点和对称的性质找出格点C；(3)取格点F使CF⊥OA，则CF与OA的交点为D；(4)把D点向下平移3个单位，再向右平移一个单位得到E点．本题考查了作图−轴对称变换：几何图形都可看做是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的．也考查了平移变换．21.【答案】(1)证明：如图1，连接BE，∵E是AD⏜的中点⏜=DE⏜，∴ AE∴∠ECD=∠ABE，∵AB⊥CD，AB是⊙O的直径，∴∠ABC=∠AEB=90°，∴90°−∠ECD=90°−∠ABE，∴∠CFB=∠BAE，又∠CFB=∠EFA，∴∠EFA=∠BAE，∴AE=EF；(2)解：∵AB是⊙O直径，且AP是⊙O切线，∴AB⊥AP，∴∠BEA=∠PAO=90°，又∵∠EAB=∠AFP，∴△AEB∽△FAP，∴AEAF =BEAP=ABPF，∵∠EAF=∠EFA，∴90°−∠EAF=90°−∠EFA，∴∠EAP=∠P，∴AE=EP=EF=3，∴FP=6，∵AB=5，AE=EF=3，∴BE=√AB2−EF2=4，∵AEAF =BEAP=ABPF，∴3AF =4AP=56，∴AP=245，AF=185，如图2，连接AC，∵△AEB∽△FAP，∴∠ABE=∠P，∵∠EAP=∠P，∠ABE=∠ACE，∴∠EAP=∠ACE，又∠P=∠P，∴△AEP∽△CAP，∴AP2=PE⋅PC①，同理，AE2=EM⋅EC②，由①得，(245)2=3⋅PC，∴PC=19225，∴CE =PC −PE =11725， 由②得，9=EM ⋅11725，∴EM =2513， ∴FM =PF −EM −PE =1413，∴FM EM =1425．【知识点】圆周角定理、切线的性质、相似三角形的判定与性质【解析】(1)要证AE =EF ，只需要证明∠EAF =∠EFA 即可，又∠EFA =∠CFB ，所以只需要证明∠EAF =∠CFB ，由于AB ⊥CD ，所以∠CFB +∠PCD =90°，连接BE ，由于AB 是直径，∠AEB =90°，则∠ABE +∠EFA =90°，接下来只需要证明∠PCD =∠ABE 即可，由于E 是AB⏜的中点，所以∠PCD =∠ABE ，即可解决； (2)在直角三角形ABE 中，利用勾股定理，可以求出BE =4，因为AB 是圆O 直径，且AP 是圆O 切线，所以AB ⊥AP ，在直角三角形AFP 中，由于EA =EF ，可以证得EA =EP ，即E 使FP 中点，所以FP =6，先证明△AEB∽△FAP ，可以求得AP 的长度，再证明∴△AEP∽△CAP ，求得PC 的长度，则可以求出EC 的长度，同理可得AE 2=EM ⋅EC ，从而求得EM 的长度，再求出FM 长度，即可解决．本题是一道圆的综合题，主要考查了相似在圆中的应用，熟练运用圆的基本性质找到相等的角度，进行角度的转化，从而得到相似三角形的条件，特别要注意，子母型相似的应用．22.【答案】解：(1)设A 种树购买单价为x 元，B 种树购买单价为y 元，根据题意得{60x +70y =850070x +60y =8400， 解得：{x =60y =70， 答：A 种树购买单价为60元，B 种树购买单价为70元；(2)A 购买x 棵，则B 购买(100−x)棵，∵A 、B 两种树购买数量均不大于60棵，∴x ≤60且100−x ≤60，解得：40≤x ≤60，根据题意得：x(180−2x)+100(100−x)=9000，整理得：x 2−40x −500=0，解得：x 1=50，x 2=−10(不合题意，舍去)，100−50=50(棵)，答：A购买50棵，则B购买50棵；(3)设A购买x棵，则B购买(100−x)棵，购买总费用为w元，①A、B两种树每种树购买数量均不大于60棵时，即40≤x≤60，w=x(180−2x)+100(100−x)=−2x2+80x+10000=−2(x−20)2+10800，∵−2<0，对称轴为直线x=20，∴抛物线开口向下，x>20时，w随x的增大而减小，∴x=60时，w最小值为−2×(60−20)2+10800=7600(元)，即A购买60棵，则B购买40棵花钱最少；②B种树超过60棵时，即0≤x<40，w=x(180−2x)+70(100−x)=−2x2+110x+7000，∵−2<0，对称轴为直线x=55，2∴抛物线开口向下，x<55时，w随x的增大而增大，2∴x=0时，w最小值为7000元，即A购买0棵，则B购买100棵花钱最少；综上，B购买100棵花钱最少，购买总费用为7000元．【知识点】列代数式、一元一次不等式的应用、一次函数的应用【解析】(1)设A种树购买单价为x元，B种树购买单价为y元，根据“A购买60棵，B 购买70棵，总价为8500元；若A购买70棵，B购买60棵，总价为8400元”，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论；(2)A购买x棵，则B购买(100−x)棵，根据A、B两种树购买数量均不大于60棵即可得出关于x的一元一次不等式，可得x的取值范围，由总价=单价×购买数量可得一元二次方程，解之即可得出结论；(3)设A购买x棵，则B购买(100−x)棵，购买总费用为w元，分两种情况根据总价=单价×购买数量列出函数关系式，根据二次函数的性质即可求解．本题考查了一元一次不等式的应用以及二元一次方程组的应用，二次函数的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)根据数量间的关系，正确列出一元一次不等式；(3)利用分类讨论的思想，正确列出二次函数关系式．23.【答案】解：(1)如图1，延长DF，CB交于点H，∵E、F分别为AD、AB的中点，∴AD=2DE，AF=BF，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD//BC，AD=BC，∴△ADF∽△BHF，∴ADBH =AFBF=1，∴AD=BH=BC，∴HC=2BC=2AD，∴HC=4DE，∵AD//BC，∴△DEM∽△HCM，∴EMCM =DEHC=14；(2)PA2=PH⋅PG，理由如下：∵AD//BC，∴PAPG =PDBP，∵AB//DH，∴PDBP =PHPA，∴PAPG =PDBP=PHPA，∴PA2=PH⋅PG；(3)如图3，过点G作GN⊥CD于N，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD=AD=BC=7，AD//BC，∴∠ADC=∠DCG，∵sin∠ADC=sin∠DCG=45=NGCG，∴设NG=4x，CG=5x，∴CN=√CG2−NG2=√25 x2−16x2=3x，∵∠CDG=45°，∴∠CDG=∠DGN=45°，∴DN=GN=4x，∴DC=DN+CN=7x=7，∴x=1，∴CG=5，∵AB//CD，∴△ABE∽△DHE，∴DHAB =DEAE，∵AD//BC，∴△AEM∽△BCM，△DEM∽△GCM，∴AEBC =MEMC，DECG=MEMC，∴AEBC =DECG，∴DEAE =CGBC，又∵DHAB =DEAE，AB=BC，∴DH=CG=5．【知识点】四边形综合【解析】(1)通过证明△ADF∽△BHF，可得ADBH =AFBF=1，可证HC=2BC=2AD，通过证明△DEM∽△HCM，可得EMCM =DEHC=14；(2)由平行线分线段成比例可得PAPG =PDBP=PHPA，可得结论；(3)利用锐角三角函数和勾股定理求出CG的长，通过证明△ABE∽△DHE，可得DHAB =DEAE，通过证明△AEM∽△BCM，△DEM∽△GCM，可得AEBC =MEMC，DECG=MEMC，可求CG=DH=5．本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数等知识，利用相似三角形的性质求线段的关系是解题的关键．24.【答案】解：(1)联立抛物线和直线，得：14x2+x−m−4=0，由韦达定理知：x1+x2=−4，∵x2=2，∴x1=−6，∴y=−(−6)+4=10，∴A(−6,10)；(2)设B(t,−t+4)，把点B代入抛物线解析式中，得：A(−t−4,t+8)，∴m=14t2+t−4，过点B作BM⊥BC交AC于M，构造一线三等角全等，作CH平行x轴，MG平行x轴，HG平行y轴，∵∠CBH+∠GBM=90°，∠CBH+∠BCH=90°，又∵∠BCM=45°，∴BC=BM，在△BCH和△MBG中，{∠G=∠H∠GBM=∠BCH BM=BC，∴△BCH≌△MBG(AAS)，∴点M的坐标为(t−14t2,4)，∵C(0,−14t2−t+4)，设直线AC的解析式为：y=kx−14t2−t+4，代入点A(−t−4,t+8)，得：t+8=k(−t−4)−14t2−t+4，∴k=−14(t+4)，∴y=−14(t+4)x−14t2−t+4，把点M(t−14t2,4)代入y=−14(t+4)x−14t2−t+4，得：t=8，∴m=14×82+8−4=20，(3)设E(x1,14x12−1)，F(x2,14x22−1)，则tan∠EPO=14x12−12−x1=−14(x1+2)，tan∠FPO=14x22−12−x2=14(x2+2)，又∵x1+x2=−4，∴2+x1=−2−x2，∴tan∠EPO=tan∠FPO，∴∠EPO=∠FPO．【知识点】二次函数综合【解析】(1)将抛物线和直线联立，利用韦达定理即可求出A点坐标；(2)先设出点B的坐标(t,−t+4)，再表示出点A的坐标，然后作BC的垂线，构造一线三等角全等，表示出直线AC的解析式，列出关于t的式子，求出t的值即可求出m；(3)先设出点E和点F的坐标，然后表示出∠EPO和∠FPO的正切值，再用韦达定理证明tan∠EPO=tan∠FPO，即可证明∠EPO=∠FPO．本题主要考查二次函数的应用，关键是联立直线与抛物线的解析式，然后用韦达定理得出直角与抛物线两个交点的坐标关系，从而列出式子，才能求对应字母的值，还有题目中出现特殊角时，一般要构造直角三角形，证明角相等时，可考虑相似或角的三角函数值相等．。
中考数学压轴题100题精选(附答案解析)
精品基础教育教学资料，仅供参考，需要可下载使用！中考数学压轴题100题精选含答案【001】如图，已知抛物线2(1)y a x =-+a ≠0）经过点(2)A -，0，抛物线的顶点为D ，过O 作射线OM AD ∥．过顶点D 平行于x 轴的直线交射线OM 于点C ，B 在x 轴正半轴上，连结BC ．（1）求该抛物线的解析式；（2）若动点P 从点O 出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线OM 运动，设点P 运动的时间为()t s ．问当t 为何值时，四边形DAOP 分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？ （3）若OC OB =，动点P 和动点Q 分别从点O 和点B 同时出发，分别以每秒1个长度单位和2个长度单位的速度沿OC 和BO 运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．设它们的运动的时间为t ()s ，连接PQ ，当t 为何值时，四边形BCPQ 的面积最小？并求出最小值及此时PQ 的长．【002】如图16，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC = 3，AB = 5．点P 从点C 出发沿CA 以每秒1个单位长的速度向点A 匀速运动，到达点A 后立刻以原来的速度沿AC 返回；点Q 从点A 出发沿AB 以每秒1个单位长的速度向点B 匀速运动．伴随着P 、Q 的运动，DE 保持垂直平分PQ ，且交PQ 于点D ，交折线QB -BC -CP 于点E ．点P 、Q 同时出发，当点Q 到达点B 时停止运动，点P 也随之停止．设点P 、Q 运动的时间是t 秒（t ＞0）．（1）当t = 2时，AP = ，点Q 到AC 的距离是 ； （2）在点P 从C 向A 运动的过程中，求△APQ 的面积S 与t 的函数关系式；（不必写出t 的取值范围）（3）在点E 从B 向C 运动的过程中，四边形QBED为直角梯形？若能，求t （4）当DE 经过点C 时，请直接．．写出t 的值．图16【003】如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD 的三个顶点B （4，0）、C （8，0）、D（8，8）.抛物线y=ax 2+bx 过A 、C 两点.(1)直接写出点A 的坐标，并求出抛物线的解析式；(2)动点P 从点A 出发．沿线段AB 向终点B 运动，同时点Q 从点C 出发，沿线段CD 向终点D 运动．速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t 秒.过点P 作PE ⊥AB 交AC 于点E ，①过点E 作EF ⊥AD 于点F ，交抛物线于点G.当t 为何值时，线段EG 最长?②连接EQ ．在点P 、Q 运动的过程中，判断有几个时刻使得△CEQ 是等腰三角形? 请直接写出相应的t 值。
中考数学压轴题100题含答案解析
中考数学压轴题100题精选【含答案】【001】如图，已知抛物线y a(x 3 3( a z 0)经过点A2 °)，抛物线的顶点为D , 过O作射线OM // AD •过顶点D平行于x轴的直线交射线OM于点C , B在x轴正半轴上，连结BC •(1)求该抛物线的解析式；(2)若动点P从点0出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线OM运动，设点P运动的时间为t(s) •问当t为何值时，四边形DAOP分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？(3)若0C °B，动点P和动点Q分别从点0和点B同时出发，分别以每秒1个长度单位和2 个长度单位的速度沿OC和BO运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动•设它们的运动的时间为t (s)，连接PQ，当t为何值时，四边形BCPQ的面积最小？并求出最小值及此时PQ的长.【002】如图16,在Rt A ABC中，/ C=90 , AC = 3 , AB = 5 .点P从点C出发沿CA以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，到达点A后立刻以原来的速度沿AC返回；点Q从点A出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动.伴随着P、Q的运动，DE保持垂直平分PQ,且交PQ于点D，交折线QB-BC-CP于点E.点P、Q同时出发，当点Q到达点B时停止运动,点P也随之停止.设点P、Q运动的时间是t秒(t >0).(1) 当t = 2时，AP = ，点Q到AC的距离是:(2) 在点P从C向A运动的过程中，求△ APQ的面积S与t的函数关系式；(不必写出t的取值范围)(3) 在点E从B向C运动的过程中，四边形QBED能否成为直角梯形？若能，求t的值.若不能，请说明理由；(4) 当DE经过点C时，请直接写出t的值.【003】如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B (4, 0)、C ( 8, 0)、D ( 8,8) •抛物线y=ax2+bx过A、C两点.(1) 直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；(2) 动点P从点A出发.沿线段AB向终点B运动，同时点Q从点C出发，沿线段CD 向终点D运动.速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒•过点P作PE丄AB交AC于点E,①过点E作EF丄AD于点F，交抛物线于点G.当t为何值时，线段EG最长?②连接EQ.在点P、Q运动的过程中，判断有几个时刻使得△ CEQ是等腰三角形？请直接写出相应的t值。
2012年武汉市中考数学压轴题考试试题解析
2012 年武汉市中考数学压轴题试题解析
15．（2012•武汉）如图，点 A 在双曲线 y= 的第一象限的那一支上，AB 垂直于 x 轴与点 B， 点 C 在 x 轴正半轴上，且 OC=2AB，点 E 在线段 AC 上，且 AE=3EC，点 D 为 OB 的中点， 若△ADE 的面积为 3，则 k 的值为 k= ．
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2012 年武汉市中考数学压轴题考试试题解析
考点： 二次函数综合题。 专题： 压轴题。 分析： （1）已知抛物线 C1 的解析式，易得顶点 A 的坐标，利用待定系数法可求得直线 BC 的解析式，联立
（2）将 x=3 代入直线 AB、抛物线 C1 的解析式中，先求出点 D、E 的坐标及 DE 的长，根据 FG、D （3）根据二次函数的平移规律，先求出抛物线 C2 的解析式和顶点 P 的坐标，联立直线 AB 的解析式可 且 NQ∥y 轴，能证得△ NTP 是等腰三角形，即 NT=TP，由此求： 解：（1）当 x=0 时，y=﹣2；∴A（0，﹣2）． 设直线 AB 的解析式为 y=kx+b，则：
考点： 作图-旋转变换；弧长的计算。 专题： 作图题。
分析： （1）先在坐标系中找出点 B1 的位置，然后根据平移前后对应点连线平行可找到点 A1 的位置，连接 （2）先计算出 AA1 的距离，然后求出弧 AA1 的长度，继而可得出答案．
解答： 解：（1）所作图形如下：
（2）由图形可得：AA1= ， =
，解得
、
（舍）
∴N（2﹣t，2﹣2t）． NQ=2﹣2t，MQ=2﹣2t， ∴MQ=NQ，∴∠MNQ=45°． ∴△MOT、△ NHT 均为等腰直角三角形， ∴MO=OT，HT=HN
专题16 几何类压轴题-湖北省2019-2021年3年中考真题数学分项汇编(解析版)
专题16 几何类压轴题一、单选题1．（2021·湖北中考真题）如图，在正方形ABCD 中，4AB =，E 为对角线AC 上与A ，C 不重合的一个动点，过点E 作EF AB ⊥于点F ，EG BC ⊥于点G ，连接,DE FG ．下列结论：①DE FG =；②DE FG ；③BFG ADE ∠=∠；④FG 的最小值为3．其中正确结论的个数有（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 【答案】C【分析】延长DE ，交FG 于点N ，交AB 于点M ，连接BE ，交FG 于点O ，先根据正方形的性质、三角形全等的判定定理与性质得出DE BE =，再根据矩形的判定与性质可得BE FG =，由此可判断①；先根据三角形全等的性质可得ABE ADE ∠=∠，再根据矩形的性质可得OB OF =，然后根据等腰三角形的性质可得BFG ABE ∠=∠，由此可判断③；根据直角三角形的性质可得90ADE AMD ∠+∠=︒，从而可得90BFG AMD ∠+∠=︒，由此可判断②；先根据垂线段最短可得当DE AC ⊥时，DE 取得最小值，再解直角三角形可得DE 的最小值，从而可得FG 的最小值，由此可判断④．【详解】解：如图，延长DE ，交FG 于点N ，交AB 于点M ，连接BE ，交FG 于点O ，四边形ABCD 是正方形，4AB =，4,90,45AD AB ABC BAD BAE DAE ∴==∠=∠=︒∠=∠=︒，在ABE △和ADE 中，AB AD BAE DAE AE AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ABE ADE SAS ∴≅，,BE DE ABE ADE ∴=∠=∠，90,,ABC EF AB EG BC ∠=︒⊥⊥，∴四边形BFEG 是矩形，,BE FG OB OF ∴==，DE FG ∴=，即结论①正确；OB OF =，BFG ABE ∴∠=∠，BFG ADE ∴∠=∠，即结论③正确；90BAD ∠=︒，90ADE AMD ∴∠+∠=︒，90BFG AMD ∴∠+∠=︒，90FNM ∴∠=︒，即DE FG ，结论②正确；由垂线段最短可知，当DE AC ⊥时，DE 取得最小值，此时在Rt ADE △中，sin 42DE AD DAE =⋅∠=⨯= 又DE FG =，FG ∴的最小值与DE 的最小值相等，即为④错误；综上，正确的结论为①②③，共有3个，故选：C ．【点睛】本题考查了正方形的性质、三角形全等的判定定理与性质、解直角三角形等知识点，通过作辅助线，构造全等三角形和直角三角形是解题关键．2．（2020·湖北省直辖县级行政单位·中考真题）如图，已知ABC 和ADE 都是等腰三角形，90BAC DAE ∠=∠=︒，,BD CE 交于点F ，连接AF ，下列结论：①BD CE =；②BF CF ⊥；③AF 平分CAD ∠；④45AFE ∠=︒．其中正确结论的个数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【分析】 ①证明△BAD△△CAE,再利用全等三角形的性质即可判断；②由△BAD△△CAE 可得△ABF=△ACF ，再由△ABF+△BGA=90°、△BGA=△CGF 证得△BFC=90°即可判定；③分别过A 作AM△BD 、AN△CE,根据全等三角形面积相等和BD=CE ，证得AM=AN,即AF 平分△BFE,即可判定；④由AF 平分△BFE 结合BF CF ⊥即可判定．【详解】解：△△BAC=△EAD△△BAC+△CAD=△EAD+△CAD,即△BAD=△CAE在△BAD 和△CAE 中AB=AC, △BAD=△CAE,AD=AE△△BAD△△CAE△BD=CE故①正确；△△BAD△△CAE△△ABF=△ACF△△ABF+△BGA=90°、△BGA=△CGF△△ACF+△BGA=90°,△△BFC=90°故②正确；分别过A作AM△BD、AN△CE垂足分别为M、N △△BAD△△CAE△S△BAD=S△CAE,△1122BD AM CE AN ⋅=⋅△BD=CE△AM=AN△AF平分△BFE，无法证明AF平分△CAD．故③错误；△AF 平分△BFE ，BF CF ⊥△45AFE ∠=︒故④正确．故答案为C ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的判定与性质以及角的和差等知识，其中正确应用角平分线定理是解答本题的关键．3．（2020·湖北荆门市·中考真题）在平面直角坐标系中，长为2的线段CD （点D 在点C 右侧）在x 轴上移动()0,2A ，()0,4B ，连接AC 、BD ，则AC BD +的最小值为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】 作A （0，2）关于x 轴的对称点A’（0，-2），再过A’作A’E△x 轴且A’E=CD=2，连接BE 交x 轴与D 点，过A’作A’C△DE 交x 轴于点C ，得到四边形CDEA’为平行四边形，故可知AC+BD 最短等于BE 的长，再利用勾股定理即可求解．【详解】作A （0，2）关于x 轴的对称点A’（0，-2）过A’作A’E△x 轴且A’E=CD=2，故E （2，-2）连接BE 交x 轴与D 点过A’作A’C△DE 交x 轴于点C ，△四边形CDEA’为平行四边形，此时AC+BD 最短等于BE 的长，即故选B ．【点睛】此题主要考查最短路径的求解，解题的关键是熟知直角坐标系、平行四边形的性质．4．（2019·湖北黄石市·中考真题）如图，矩形ABCD 中，AC 与BD 相交于点E ，:AD AB =，将ABD △沿BD 折叠，点A 的对应点为F ，连接AF 交BC 于点G ，且2BG =，在AD 边上有一点H ，使得BH EH +的值最小，此时BH CF=（ ）A B C D ．32【答案】B【分析】设BD 与AF 交于点M ．设AB=a ，，根据矩形的性质可得△ABE 、△CDE 都是等边三角形，利用折叠的性质得到BM 垂直平分AF ，BF=AB=a ，．解直角△BGM ，求出BM ，再表示DM ，由△ADM△△GBM ，求出B 点关于AD 的对称点B′，连接B′E ，设B′E 与AD 交于点H ，则此时BH+EH=B′E ，值最小．建立平面直角坐标系，得出B （3，，B′（3，-，E （0，利用待定系数法求出直线B′E 的解析式，得到H （1，0），然后利用两点间的距离公式求出BH=4，进而求出BH CF =【详解】如图，设BD 与AF 交于点M ．设AB=a ，，△四边形ABCD 是矩形，△△DAB=90°，tan△ABD=1AD AB =，，△ABD=60°，△△ABE 、△CDE 都是等边三角形，△BE=DE=AE=CE=AB=CD=a ，△将△ABD 沿BD 折叠，点A 的对应点为F ，△BM 垂直平分AF ，BF=AB=a ，，在△BGM 中，△△BMG=90°，△GBM=30°，BG=2，△GM=12BG=1，△DM=BD -BM=2a△矩形ABCD 中，BC△AD ，△△ADM△△GBM ，△AD DM BG BM ==，AD=BC=6，易证△BAF=△FAC=△CAD=△ADB=△BDF=△CDF=30°，△△ADF 是等边三角形，△AC 平分△DAF ，△AC 垂直平分DF ，作B 点关于AD 的对称点B′，连接B′E ，设B′E 与AD 交于点H ，则此时BH+EH=B′E ，值最小．如图，建立平面直角坐标系，则A （3，0），B （3，，B′（3，-，E （0，易求直线B′E 的解析式为y=△H （1，0），，△BH CF ==3． 故选B ．本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了矩形的性质，解直角三角形，等边三角形、垂直平分线、相似三角形的判定与性质，待定系数法求直线的解析式，轴对称-最短路线问题，两点间的距离公式等知识．综合性较强，有一定难度．分别求出BH 、CF 的长是解题的关键．二、填空题5．（2021·湖北黄冈市·中考真题）如图，正方形ABCD 中，1AB =，连接AC ，ACD ∠的平分线交AD 于点E ，在AB 上截取AF DE =，连接DF ，分别交CE ，AC 于点G ，H ，点P 是线段GC 上的动点，PQ AC ⊥于点Q ，连接PH ．下列结论：①CE DF ⊥；②DE DC AC +=；③EA =；④PH PQ +的_____．【答案】①②④【分析】先根据SAS 定理证出ADF DCE ≅，从而可得ADF DCE ∠=∠，再根据角的和差即可判断结论①；根据等腰三角形的性质可得,DC CH AF AH ==，然后根据线段的和差、等量代换即可判断结论②；先根据正方形的性质可得AC 1DC CH ==可得1DE AF AH ===，从而可得2EA =③；过点P 作PM CD ⊥于点M ，连接HM ，先根据角平分线的性质可得PM PQ =，再根据两点之间线段最短、垂线段最短可得当HM CD ⊥时，PH PQ +取得最小值，然后解直角三角形即可得判断结论④．解：四边形ABCD 是正方形，1AB =，1,90,45,//CD AD AC ADC DAF ACD AB CD ∴==∠=∠=︒∠=︒，在ADF 和DCE 中，90AD DC DAF CDE AF DE =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，()ADF DCE SAS ∴≅，ADF DCE ∴∠=∠，18090DCE DEG CDE ∠+∠=︒-∠=︒，90ADF DEG ∴∠+∠=︒，90DGE ∴∠=︒，即CE DF ⊥，结论①正确； CE 平分ACD ∠，CE DF ⊥，1CH DC ∴==，CDH CHD AHF ∴∠=∠=∠，//AB CD ，CDH AFH ∴∠=∠，AFH AHF ∴∠=∠，AF AH ∴=，AF DE =DE DC AF CH AH CH AC ∴+=+=+=，结论②正确；1,CH AC =1DE AF AH AC CH ∴===-=，)112EA AD DE ∴=-=-=EA AH ∴==即EA =，结论③错误；如图，过点P 作PM CD ⊥于点M ，连接HM ，CE 平分ACD ∠，PM CD ⊥，PQ AC ⊥，PM PQ ∴=，PH PQ PH PM +=+∴，由两点之间线段最短得：当点,,H P M 共线时，PH PM +取得最小值HM ，由垂线段最短得：当HM CD ⊥时，HM 取得最小值，此时在Rt CHM 中，sin sin 452HM CH ACD =⋅∠=︒=，即PH PQ +④正确； 综上，所有正确结论的序号是①②④，故答案为：①②④．【点睛】本题考查了正方形的性质、等腰三角形的性质、解直角三角形等知识点，较难的是④，利用两点之间线段最短、垂线段最短得出当HM CD ⊥时，HM 取最小值是解题关键．6．（2020·湖北随州市·中考真题）如图，已知矩形ABCD 中，3AB =，4BC =，点M ，N 分别在边AD ，BC 上，沿着MN 折叠矩形ABCD ，使点A ，B 分别落在E ，F 处，且点F 在线段CD 上（不与两端点重合），过点M 作MH BC ⊥于点H ，连接BF ，给出下列判断：①MHN BCF ∽；②折痕MN 的长度的取值范围为1534MN <<；③当四边形CDMH 为正方形时，N 为HC 的中点；④若13DF DC =，则折叠后重叠部分的面积为5512．其中正确的是_____．（写出所有正确判断的序号）.【答案】①②③④【分析】由题意，逐一判定，①由折叠的性质以及等腰三角形三线合一的性质即可判定；②根据题意点F在线段CD上（不与两端点重合），假设F分别在C、D两点，即可得出其取值范围；③由相似三角形、正方形的性质以及勾股定理构建方程，即可判定；④由相似三角形以及勾股定理，得出梯形MEFN的面积和△MEO 的面积，即可得解；【详解】由折叠性质，得，BG=FG，BN=FN△BF△MN△△BIH=△MIG，MH BC⊥△△HBI=△GMI△△MHN=△BCF=90°△MHN BCF∽故①结论正确；假设F与C重合时，MN取得最小值，即为3；假设F与D重合时，MN取得最大值，△MHN BCF∽△MH BC MN BF=△MH=3，BC=4，5BF==△154 MN=△点F 在线段CD 上（不与两端点重合）△折痕MN 的长度的取值范围为1534MN <<故②结论正确；△四边形CDMH 为正方形△MH=HC=3△BH=1△MHN BCF ∽ △MH BC HN CF= 令HN x =，则3CN x =-，1FN BN x ==+△CF ==△3x =△132x =，23x =（不符合题意，舍去） △12HN HC =，即N 为HC 的中点 故③结论正确；④△13DF DC =，AB=CD=3 △DF=1，CF=2△BF ===△MHN BCF ∽ △MH BC HN CF= △HN=32 △△FGN△△MHN△52FN ===△32CN === △BH=BC -HN -NC=4-32-32=1 △△EMO=△CNF ，△MEO=△NCF=90°△△MEO△△NCF△ME NC EO CF= △EO=43 △折叠后重叠部分的面积为： ()1115145513122222312MEO MEFN S S ME FN EF ME EO ⎛⎫-=+⨯-⨯=+⨯-⨯⨯= ⎪⎝⎭△梯形 故④结论正确； 故答案为：①②③④.【点睛】此题主要考查矩形的折叠性质以及相似三角形的综合运用，熟练掌握，即可解题.7．（2020·湖北武汉市·中考真题）如图，折叠矩形纸片ABCD ，使点D 落在AB 边的点M 处，EF 为折痕，1AB =，2AD =．设AM 的长为t ，用含有t 的式子表示四边形CDEF 的面积是________．【答案】211144t t -+ 【分析】 首先根据题意可以设DE =EM =x ，在三角形AEM 中用勾股定理进一步可以用t 表示出x ，再可以设CF =y ，连接MF ，所以BF =2−y ，在三角形MFN 与三角形MFB 中利用共用斜边，根据勾股定理可求出用t 表示出y ，进而根据四边形的面积公式可以求出答案.【详解】设DE =EM =x ，△222(2)x x t =-+，△x =244t + ， 设CF =y ，连接FM ，△BF =2−y ，又△FN = y ，NM =1，△22221(2)(1)y y t +=-+-，△y =2244t t -+， △四边形CDEF 的面积为：1()2x y CD +=221424()244t t t +-++∙1， 故答案为：211144t t -+. 【点睛】本题主要考查了勾股定理的综合运用，熟练掌握技巧性就可得出答案.8．（2021·湖北襄阳市·中考真题）如图，正方形ABCD 的对角线相交于点O ，点E 在边BC 上，点F 在CB 的延长线上，45EAF ∠=︒，AE 交BD 于点G ，1tan 2BAE ∠=，2BF =，则FG =______．【答案】【分析】作出如图所示的辅助线，利用SAS 证明△ADH ≅△ABF 以及△EAF ≅△EAH ，在Rt △ABE 中，利用勾股定理求得正方形的边长，再证明△BAF ~△OAG ，即可求解．【详解】解：如图，在CD 上取点H ，使DH =BF =2，连接EH 、AH ，△四边形ABCD 是正方形，△△ADH =△ABC =△ABF =90°，AD =AB ，△BAC =△DAC =45°，△△ADH ≅△ABF (SAS )，△△DAH =△BAF ，AH =AF ，△△EAF =45°，即△BAF +△EAB =45°，△△DAH +△EAB =45°，则△EAH =45°，△△EAF =△EAH =45°，△△EAF ≅△EAH (SAS )，△EF =EH ， △1tan 2BE BAE AB ∠==， 设BE =a ，则AB =2a ，EC =a ，CH =2a -2，EF =EH =a +2，在Rt △CEH 中，222EC CH EH +=,即()()222222a a a +-=+， 解得：3a =，则AB =AD =6，BE =EC =3，在Rt △ABE 中，222AB BE AE +=,△AE同理AF ，AO =AB sin 45︒△BE △AD ， △12EG BE AG AD ==，△AG△AO AG ==AB AF ==， △AO AB AG AF =， △△EAF =△BAC =45°，△△BAF =△OAG ，△△BAF ~△OAG ，△::AG AF AO AB ==△△GAF =△OAB =45°，△△GAF 是等腰直角三角形，△FG = AG故答案为：【点睛】本题主要考查了四边形综合题，熟练掌握正方形的性质，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数是解题的关键．9．（2020·湖北恩施土家族苗族自治州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，ABC 的顶点坐标分别为：()2,0A -，()1,2B ，()1,2C -．已知()1,0N -，作点N 关于点A 的对称点1N ，点1N 关于点B 的对称点2N ，点2N 关于点C 的对称点3N ，点3N 关于点A 的对称点4N ，点4N 关于点B 的对称点5N ，…，依此类推，则点2020N 的坐标为______．【答案】(-1,8)【分析】先求出N1至N6点的坐标，找出其循环的规律为每6个点循环一次即可求解．【详解】解：由题意得，作出如下图形：N点坐标为(-1,0)，N点关于A点对称的N1点的坐标为(-3,0)，N1点关于B点对称的N2点的坐标为(5,4)，N2点关于C点对称的N3点的坐标为(-3,8)，N3点关于A点对称的N4点的坐标为(-1,8)，N4点关于B点对称的N5点的坐标为(3,-4)，N 5点关于C 点对称的N 6点的坐标为(-1,0)，此时刚好回到最开始的点N 处，△其每6个点循环一次，△20206=3364÷，即循环了336次后余下4，故2020N 的坐标与N 4点的坐标相同，其坐标为(-1,8) ．故答案为：(-1,8) ．【点睛】本题考查了平面直角坐标系内点的对称规律问题，本题需要先去验算前面一部分点的坐标，进而找到其循环的规律后即可求解．10．（2019·湖北武汉市·中考真题）问题背景：如图，将ABC ∆绕点A 逆时针旋转60°得到ADE ∆，DE 与BC 交于点P ，可推出结论：PA PC PE +=问题解决：如图，在MNG ∆中，6MN =，75M ∠=︒，MG =O 是MNG ∆内一点，则点O 到MNG ∆三个顶点的距离和的最小值是___________【答案】【分析】如图，将△MOG 绕点M 逆时针旋转60°，得到△MPQ ，易知△MOP 为等边三角形，继而得到点O 到三顶点的距离为：ON ＋OM ＋OG ＝ON ＋OP ＋PQ ，由此可以发现当点N 、O 、P 、Q 在同一条直线上时，有ON ＋OM ＋OG 最小，此时，△NMQ ＝75°+60°＝135°，过Q 作QA△NM 交NM 的延长线于A ，利用勾股定理进行求解即可得.【详解】如图，将△MOG 绕点M 逆时针旋转60°，得到△MPQ ，显然△MOP 为等边三角形，△，OM ＋OG ＝OP ＋PQ ，△点O 到三顶点的距离为：ON ＋OM ＋OG ＝ON ＋OP ＋PQ ，△当点N 、O 、P 、Q 在同一条直线上时，有ON ＋OM ＋OG 最小，此时，△NMQ ＝75°+60°＝135°，过Q 作QA△NM 交NM 的延长线于A ，则△MAQ=90°，△△AMQ ＝180°-△NMQ=45°，△MQ ＝MG ＝△AQ ＝AM ＝MQ•cos45°=4，△NQ ==故答案为【点睛】本题考查了旋转的性质，最短路径问题，勾股定理，解直角三角形等知识，综合性较强，有一定的难度，正确添加辅助线是解题的关键.三、解答题11．（2021·湖北襄阳市·中考真题）在ABC 中，90ACB ∠=︒，AC m BC =，D 是边BC 上一点，将ABD △沿AD 折叠得到AED ，连接BE ．（1）特例发现：如图1，当1m =，AE 落在直线AC 上时，①求证：DAC EBC ∠=∠；②填空：CD CE的值为______； （2）类比探究：如图2，当1m ≠，AE 与边BC 相交时，在AD 上取一点G ，使ACG BCE ∠=∠，CG 交AE 于点H ．探究CG CE 的值（用含m 的式子表示），并写出探究过程；（3）拓展运用：在（2）的条件下，当2m =，D 是BC 的中点时，若6EB EH ⋅=，求CG 的长．【答案】（1）①见解析；②1；（2）CGm CE=，见解析；（3）CG = 【分析】（1）①根据折叠性质证明即可；②当1m =，证明ACD ≌BCE ，即可得出CDCE的值； （2）延长AD 交BE 于点F ，根据折叠性质证明ACG BCE △∽△，即可得出结论；（3）由（2）可知2AG CG AC m BE CE BC ====，设CG x =，则AG =，CE =，2BE x =，可得AGH ECH ≌△△，再由勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：（1）①证明：延长AD 交BE 于点F ．由折叠得90AFB ACB ∠=︒=∠．△90DAC ADC BDF EBC ∠+∠=∠+∠=︒． △ADC BDF ∠=∠， △DAC EBC ∠=∠． ②当1m =，即1ACBC=时，可知AC =BC ，在ACD △和BCE 中，90DAC EBC ACD BCE AC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩， △ACD ≌BCE (AAS )， △CD CE =， △1CDCE=． 故答案为：1； （2）解：CGm CE=． 理由：延长AD 交BE 于点F ，由折叠得90AFB ACB ∠=︒=∠．△90ADC DAC BDF CBE ∠+∠=∠+∠=︒， △ADC BDF ∠=∠， △DAC CBE ∠=∠， △ACG BCE ∠=∠， △ACG BCE △∽△， △CG ACm CE BC==． （3）解：由折叠得90AFB ∠=︒，BF FE =， △D 是BC 的中点， △//DF CE ，△90BEC BFD ∠=∠=︒，AGC ECG ∠=∠，GAH CEA ∠=∠，由（2）知ACG BCE △∽△， △90AGC BEC ∠=∠=︒，AG CG AC m BE CE BC ====， D 是BC 的中点，2,BC CD ∴=△ACCD=， △tanCG DC GAC AG AC =∠==，设CG x =，则AG =，CE =，2BE x =，△AG CE =，,,GAH HEC AHG CHE ∠=∠∠=∠△AGH ECH ≌△△， △AH EH =，GH CH =， △12GH x =，在Rt AGH 中，由勾股定理得32AH x EH ===， △6EB EH ⋅=， △3262x x ⋅=，解得x =，△CG =． 【点睛】本题为三角形综合题，考查折叠的性质，全等三角形判定与性质，相似三角形的判定及性质，勾股定理等知识点，根据折叠性质找到角度之间的关系是解题的关键．12．（2021·湖北宜昌市·中考真题）如图，在矩形ABCD 中，E 是边AB 上一点，BE BC =，EF CD ⊥，垂足为F ．将四边形CBEF 绕点C 顺时针旋转()090αα︒<<︒，得到四边形CB E F '''．B E ''所在的直线分别交直线BC 于点G ，交直线AD 于点P ，交CD 于点K ．E F ''所在的直线分别交直线BC 于点H ，交直线AD 于点Q ，连接B F ''交CD 于点O ．（1）如图1，求证：四边形BEFC 是正方形； （2）如图2，当点Q 和点D 重合时． ①求证：GC DC =；②若1OK =，2CO =，求线段GP 的长；（3）如图3，若//BM F B ''交GP 于点M ，1tan 2G ∠=，求'GMB CF H S S △△的值．【答案】（1）见解析；（2）①见解析；②（3）125- 【分析】（1）先利用三个角是直角的四边形是矩形证明，再根据BE BC =证得结论； （2）①证明''CGB CDF ≅即可得到结论；②方法一：设正方形边长为a ，根据'~'B KO F CO ，求出11''22B K BC a ==，利用勾股定理得到222''B K B C CK +=，求出a，得到B C '=B K '=，根据B KC '△△CKG ，求出KG ，再根据PKD GKC ≅，求出答案；方法二：过点P 作PM GH ⊥于点M ，根据CG CD =，2CD CK =求出6CG =，由26PM CK ==，12GM =，再利用勾股定理求得结果；（3）方法一：延长''B F 与BH 的延长线交于点R ，证明~'GBM CRF ，求出'1'2F H CF =，设'F H x =，'2CF x =，则CH =，证明'~'RB C RF H ，求得2'''22CF R CF HSSx ==，由'~'GB C GE H ，求出)21GB x =，利用~'GBM CRF，求出'65GMB CF R SS -=，即可得到答案；方法二，过点B 作BN PG ⊥，垂足为点N ．设FH x =，则'''''2CF B E E F BC x ====，'4GB x =，求得(2'465GBN CHF S GB S CH -⎛⎫== ⎪⎝⎭，证明~'GBN GCB ，求出GB GC =，再证明~''MBN B F C ，求出答案；方法三：设AB 与PQ 交于N 点，设FH x =，则'''''2CF CB B E E F BC x =====，'4GB x =，证明~'MBN F OC ，得到(2'9620MBN F OC S BN S CO -⎛⎫==⎪⎝⎭，根据12GBNS BG BN =⨯⨯，求出答案． 【详解】（1）在矩形ABCD 中，90B BCD ∠=∠=︒， △EF AB ⊥，则90EFB ∠=︒， △四边形BEFC 是矩形． △BE BC =，△矩形BEFC 是正方形． （2）①如图1，△90GCK DCH ∠=∠=︒，△'90CDF H ∠+∠=︒，90KGC H ∠+∠=︒， △'KGC CDF ∠=∠，又△''B C CF =，''GB C CF D ∠=∠， △''CGB CDF≅， △CG CD =．②方法一：设正方形边长为a ，△PG △CF '，△'~'B KO F CO ，△'1'2B K OK CF CO ==， △11''22B K BC a ==，△在'Rt B KC 中，222''B K B C CK +=，△222132a a ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，△a =．△B C '=，B K '= △90,CB K GCK B KC GKC ''∠=∠=︒∠=∠， △B KC '△△CKG ， △2CK B K KG '=⋅,△KG = △1,,2B K a KE DKE B KC DE K KB C ''''''==∠=∠∠=∠， △△B ’CK △△E ’KD ， △DK =KC ，又△△DKP =△GKC ，△P =△G ， △PKD GKC ≅， △PG=KG ，△PG =方法二：如图2，过点P 作PM GH ⊥于点M ， 由''CGB CDF ≅， 可得：CG CD =，由方法一，可知2CD CK =， △6CG =，由方法一，可知K 为GP 中点，从而26PM CK ==，12GM =，从而由勾股定理得PG =（3）方法一：如图3，延长''B F 与BH 的延长线交于点R ， 由题意可知，'//CF GP ，'//RB BM ， △~'GBM CRF ，'G F CR ∠=∠， △'1tan tan ''2F HG F CH CF ∠=∠==，设'F H x =，'2CF x =，则CH =， △''''''2CB CF E F B E BC x =====， △'//'CB HE ， △'~'RB C RF H ， △''1''2F H RH RF B C RC RB ===， △CH RH =，'''B F RF =，△2CR CH ==，2'''22CF R CF HS Sx ==，△'//'CB HE ， △'~'GB C GE H ， △'22'33GC B C x GH E H x ===， '2'3B C E H ==，△)21GB x =，△~'GBM CRF ，△22'21GMB CF Rx S GB S CR ⎡⎤⎛⎫=== ⎪⎝⎭△'''2CF R CF HS S=，△'125GMB CF H S S -=．方法二，如图4，过点B 作BN PG ⊥，垂足为点N ． 由题意可知，'//CF GP ，'//HE BN ， △~'GBN CHF ，△2'GBN CHF S GB S CH ⎛⎫= ⎪⎝⎭， △'//CF GP ， △'NGB F CH ∠=∠， △'1tan tan ''2CB FH G F CH GB CF ∠=∠===， 设FH x =，则'''''2CF B E E FBC x ====，'4GB x =， △CH =，CG =，则)21GB x =，△(22'21465GBN CHF x S GB S CH ⎛⎫-⎛⎫=== ⎪⎝⎭， △2'1'2CF HSCF FH x =⋅=，△(2465GBNSx-=，△'//HE BN ， △~'GBN GCB ，△'GB GC CB BN === △'//CB BN ，//''BM B F ，'//'CF GB ， △~''MBN B F C ，△22'''MBN B F C S BN S CB ⎛⎫=== ⎪⎝⎭⎝⎭ △(2''266255MBNB F CSSx --==，△(((222462626555MBG NBG MBNSSSxxx---=-=-=，△'125GMB CF H S S -=．方法三：如图5，设AB 与PQ 交于N 点，设FH x =，则'''''2CF CB B E E F BC x =====，'4GB x =， 由题意可知，'//CF GP ，//''BM B F ，//BN CO ， △~'MBN F OC ，△2'MBN F OCS BN SCO ⎛⎫=⎪⎝⎭， 由方法（2）可知，)21GB x =，所以)1BN x =，又△23CO CK ==， △(2'9620MBN F OC S BN S CO -⎛⎫==⎪⎝⎭， △((22963642035BMNSxx --=⨯=，△)(2221162GBNSBG BNx x =⨯⨯==-，△(((2223626655GBMGBNNBMS S Sx xx--=-=--=，△2'1''2CF HSCF FH x =⨯⨯=， △'GMB CF H S S =．【点睛】此题考查正方形的判定定理及性质定理，旋转的性质，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，锐角三角函数，综合掌握各知识点并熟练应用解决问题是解题的关键．13．（2021·湖北武汉市·中考真题）问题提出 如图（1），在ABC 和DEC 中，90ACB DCE ∠=∠=︒，BC AC =，EC DC =，点E 在ABC 内部，直线AD 与BE 交于点F ，线段AF ，BF ，CF 之间存在怎样的数量关系？问题探究 （1）先将问题特殊化．如图（2），当点D ，F 重合时，直接写出一个等式，表示AF ，BF ，CF 之间的数量关系；（2）再探究一般情形．如图（1），当点D ，F 不重合时，证明（1）中的结论仍然成立．问题拓展 如图（3），在ABC 和DEC 中，90ACB DCE ∠=∠=︒，BC kAC =，EC kDC =（k 是常数），点E 在ABC 内部，直线AD 与BE 交于点F ，直接写出一个等式，表示线段AF ，BF ，CF 之间的数量关系．【答案】（1）BF AF -．（2）见解析；问题拓展：BF k AF -⋅=．【分析】（1）先证明△BCE △△ACD ,得到AF =BE ，BF -BE =BF -AF =EF ；（2）过点C 作CG CF ⊥交BE 于点G ，证明ACD BCE ≅△△，ACF BCG ≅△△，CGF △是等腰直角三角形即可；利用前面的方法变全等为相似证明即可．【详解】问题探究 （1）BF AF -=．理由如下：如图（2），△△BCA =△ECF =90°，△△BCE =△ACF ，△BC =AC ，EC =CF ，△BCE △△ACF ，△BE =AF ，△BF -BE =BF -AF =EF ；（2）证明：过点C 作CG CF ⊥交BE 于点G ，则90FCG ACB ∠=∠=︒，△BCG ACF ∠=∠．△90ACB DCE ∠=∠=︒，△BCE ACD ∠=∠．又△AC BC =，DC EC =，△ACD BCE ≅△△，△CAF CBG ∠=∠．△ACF BCG ≅△△．△AF BG =，CF CG =，△CGF △是等腰直角三角形．△GF =．△BF AF BF BG GF -=-==．问题拓展 BF k AF -⋅=．理由如下：△△BCA =△ECD =90°，△△BCE =△ACD ，△BC =kAC ，EC =kCD ，△△BCE △△ACD ，△△EBC =△FAC ，过点C 作CM CF ⊥交BE 于点M ，则90FCM ACB ∠=∠=︒，△BCM ACF ∠=∠．△△BCM △△ACF ，△BM :AF =BC :AC =MC :CF =k ，△BM =kAF ,MC =kCF ，△BF -BM =MF ，MF =△BF - kAF ．【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，三角形全等的判定和性质，三角形相似的判定和性质，勾股定理，熟练掌握三角形全等的判定，三角形相似的判定，勾股定理是解题的关键．14．（2020·湖北省直辖县级行政单位·中考真题）实践操作：第一步：如图1，将矩形纸片ABCD 沿过点D 的直线折叠，使点A 落在CD 上的点A '处，得到折痕DE ，然后把纸片展平．第二步：如图2，将图1中的矩形纸片ABCD 沿过点E 的直线折叠，点C 恰好落在AD 上的点C '处，点B 落在点B '处，得到折痕EF ，B C ''交AB 于点M ，C F '交DE 于点N ，再把纸片展平．问题解决：（1）如图1，填空：四边形AEA D '的形状是_____________________；（2）如图2，线段MC '与ME 是否相等？若相等，请给出证明；若不等，请说明理由；（3）如图2，若2cm,'4cm AC DC '==，求:DN EN 的值．【答案】（1）正方形；（2）MC ME '=，见解析；（3）25【分析】（1）有一组邻边相等且一个角为直角的平行四边形是正方形；（2）连接EC '，由（1）问的结论可知，90AD BC EAC B '=∠=∠=︒，，又因为矩形纸片ABCD 沿过点E 的直线折叠，可知折叠前后对应角以及对应边相等，有B B '∠=∠，B C BC ''=，90AE B C EAC B ''''=∠=∠=︒，，可以证明Rt EC A '和Rt C EB ''全等，得到C EA EC B '''∠=∠，从而有MC ME '=；（3）由Rt EC A Rt C EB '''≌，有AC B E ''=；由折叠知，AC BE '=，可以计算出()8cm AB =；用勾股定理计算出DF 的长度，再证明DNF ENG ∽得出等量关系，从而得到:DN EN 的值．【详解】（1）解：△ABCD 是平行四边形，△'////AD BC EA ，'//AE DA△四边形'AEA D 是平行四边形△矩形纸片ABCD 沿过点D 的直线折叠，使点A 落在CD 上的点A '处△'AED A ED ≌△'AE A E =△90A ∠=△四边形AEA D '的形状是正方形故最后答案为：四边形AEA D '的形状是正方形；（2）MC ME '=理由如下：如图，连接EC '，由（1）知：AD AE =△四边形ABCD 是矩形，△90AD BC EAC B '=∠=∠=︒，由折叠知：B C BC B B '''=∠=∠，△90AE B C EAC B ''''=∠=∠=︒，又EC C E ''=，△Rt EC A Rt C EB '''≌△C EA EC B '''∠=∠△MC ME '=（3）△Rt EC A Rt C EB '''≌，△AC B E ''=由折叠知：B E BE '=，△AC BE '=△2(cm)4(cm)AC DC ''==，△()2428cm AB CD ==++=设cm DF x =，则()8cm FC FC x '==-在Rt DC F '中，由勾股定理得：2224(8)x x +=-解得：3x =，即()3cm DF =如图，延长BA FC '，交于点G ，则AC G DC F ''∠=∠ △3tan tan 4AG DF AC G DC F AC DC ''∠=∠==='' △3(cm)2AG =△3156(cm)22EG =+= △//DF EG ，△DNF ENG ∽ △152::3:25DN EN DF EG === 【点睛】（1）本问主要考查了正方形的定义，即有一组邻边相等且一个角为直角的平行四边形是正方形，其中明确折叠前后对应边、对应角相等是解题的关键；（2）本问利用了正方形的性质以及折叠前后对应边、对应角相等来证明三角形全等，再根据角相等则边相等即可做题，其中知道角相等则边相等的思想是解题的关键；（3）本问考查了全等三角形、相似三角形的性质、角相等则正切值相等以及勾股定理的应用，其中知道三角形相似则对应边成比例是解题的关键．15．（2020·湖北中考真题）如图1，已知ABC EBD △≌△，90ACB EDB ∠=∠=︒，点D 在AB 上，连接CD 并延长交AE 于点F ，（1）猜想：线段AF 与EF 的数量关系为_____；（2）探究：若将图1的EBD △绕点B 顺时针方向旋转，当CBE ∠小于180︒时，得到图2，连接CD 并延长交AE 于点F ，则（1）中的结论是否还成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；（3）拓展：图1中，过点E 作EG CB ⊥，垂足为点G ．当ABC ∠的大小发生变化，其它条件不变时，若EBG BAE ∠=∠，6BC =，直接写出AB 的长．【答案】(1)AF=EF ；(2)成立，理由见解析；(3)12【分析】(1) 延长DF 到G 点，并使FG=DC ，连接GE ，证明△ACF ≌△EDG ，进而得到△GEF 为等腰三角形，即可证明AF=GE=EF ；(2)证明原理同(1)，延长DF 到G 点，并使FG=DC ，连接GE ，证明△ACF ≌△EDG ，进而得到△GEF 为等腰三角形，即可证明AF=GE=EF ；(3)补充完整图后证明四边形AEGC 为矩形，进而得到△ABC=△ABE=△EBG=60°即可求解．【详解】解：(1)延长DF 到G 点，并使FG=DC ，连接GE ，如下图所示△ABC EBD △≌△，△DE=AC ，BD=BC ，△△CDB=△DCB ，且△CDB=△ADF ，△△ADF=△DCB ，△△ACB=90°，△△ACD+△DCB=90°，△△EDB=90°，△△ADF+△FDE=90°，△△ACD=△FDE ，又延长DF 使得FG=DC ，△FG+DF=DC+DF ，△DG=CF ，在△ACF 和△EDG 中，AC ED ACF EDG CF DG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△△ACF ≌△EDG(SAS)，△GE=AF ，△G=△AFC ，又△AFC=△GFE ，△△G=△GFE△GE=EF△AF=EF ，故AF 与EF 的数量关系为：AF=EF.故答案为：AF=EF ；(2)仍旧成立，理由如下：延长DF 到G 点，并使FG=DC ，连接GE ，如下图所示设BD 延长线DM 交AE 于M 点，△ABC EBD △≌△，△DE=AC ，BD=BC ，△△CDB=△DCB ，且△CDB=△MDF ，△△MDF=△DCB ，△△ACB=90°，△△ACD+△DCB=90°，△△EDB=90°，△△MDF+△FDE=90°，△△ACD=△FDE ，又延长DF 使得FG=DC ，△FG+DF=DC+DF ，△DG=CF ，在△ACF 和△EDG 中，AC ED ACF EDG CF DG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△△ACF ≌△EDG(SAS)，△GE=AF ，△G=△AFC ，又△AFC=△GFE ，△△G=△GFE△GE=EF ，△AF=EF，故AF与EF的数量关系为：AF=EF.故答案为：AF=EF；(3)如下图所示：△BA=BE，△△BAE=△BEA，△△BAE=△EBG,△△BEA=△EBG，△AE//CG，△△AEG+△G=180°，△△AEG=90°，△△ACG=△G=△AEG=90°，△四边形AEGC为矩形，△AC=EG，且AB=BE，△Rt△ACB≌Rt△EGB(HL)，△BG=BC=6，△ABC=△EBG，又△ED=AC=EG，且EB=EB，△Rt△EDB≌Rt△EGB(HL)，△DB=GB=6，△EBG=△ABE，△△ABC=△ABE=△EBG=60°，△△BAC=30°，△在Rt△ABC中由30°所对的直角边等于斜边的一半可知：==．AB BC212故答案为：12．【点睛】本题属于四边形的综合题，考查了三角形全等的性质和判定，矩形的性质和判定，本题的关键是延长DF 到G 点并使FG=DC ，进而构造全等，本题难度稍大，需要作出合适的辅助线．16．（2020·湖北咸宁市·中考真题）定义：有一组对角互余的四边形叫做对余四边形．理解：（1）若四边形ABCD 是对余四边形，则A ∠与C ∠的度数之和为______；证明：（2）如图1，MN 是O 的直径，点,,A B C 在O 上，AM ，CN 相交于点D ．求证：四边形ABCD 是对余四边形；探究：（3）如图2，在对余四边形ABCD 中，AB BC =，60ABC ︒∠=，探究线段AD ，CD 和BD 之间有怎样的数量关系？写出猜想，并说明理由．【答案】（1）90°或270°；（2）见解析；（3）222CD AD BD +=，理由见解析【分析】（1）分当△A 和△C 互余时，当△B 和△D 互余时，两种情况求解；（2）连接BO ，得到△BON+△BOM=180°，再利用圆周角定理证明△C+△A=90°即可；（3）作△ABD 的外接圆O ，分别延长AC ，BC ，DC ，交圆O 于E ，F ，G ，连接DF ，DE ，EF ，先证明GF 是圆O 的直径，得到222GE EF GF +=，再证明△ABC△△FEC ，△ACD△△GCE ，△BCD△△GCF ，可得22222222AB CF AD GC AC EF AC GE +=+，BC BD CD k GC GF CF===，从而得出222222AB CD AD BC AC BD +=，根据△ABC 为等边三角形可得AB=AC=BC ，从而得到222CD AD BD +=.【详解】解：（1）△四边形ABCD 是对余四边形，当△A 和△C 互余时，△A+△C=90°，当△B 与△D 互余时，△B+△D=90°，则△A+△C=360°-90°=270°，故答案为：90°或270°；（2）如图，连接BO ，可得：△BON=2△C ，△BOM=2△A ，而△BON+△BOM=180°，△2△C+2△A=180°，△△C+△A=90°，△四边形ABCD 是对余四边形；（3）△四边形ABCD 为对于四边形，△ABC=60°，△△ADC=30°，如图，作△ABD 的外接圆O ，分别延长AC ，BC ，DC ，交圆O 于E ，F ，G ，连接DF ，DE ，EF ，则△AEF=△ABC=60°，△AEG=△ADG=30°，△△AEF+△AEG=90°，即△FEG=90°，△GF 是圆O 的直径，△AB=BC ，△△ABC 为等边三角形，△△ABC=△AEF ，△ACB=△ECF ，△△ABC△△FEC ，得：AB AC BC EF FC EC==，则2222AB CF AC EF =， 同理，△ACD△△GCE ，得：AC AD CD GC GE CE==，则2222AC GE AD GC =， △BCD△△GCF ，得：BC BD CD k GC GF CF ===， 可得：22222222AB CF AD GC AC EF AC GE +=+，而222GE EF GF+=，△222222 AB CF AD GC AC GF+=，△222 222222CD BC BD AB AD ACk k k+=，△222222AB CD AD BC AC BD+=，△AB=BC=AC，△222CD AD BD+=.【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，四边形的新定义问题，圆周角定理，等边三角形的判定和性质，多边形内角和，解题的关键是理解对余四边形的概念，结合所学知识求证.17．（2020·湖北随州市·中考真题）勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1）后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．（1）①请叙述勾股定理；②勾股定理的证明，人们已经找到了400多种方法，请从下列几种常见的证明方法中任选一种来证明该定理；（以下图形均满足证明勾股定理所需的条件）（2）①如图4、5、6，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足123S S S +=的有_______个；②如图7所示，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月形图案（图中阴影部分）的面积分别为1S ，2S ，直角三角形面积为3S ，请判断1S ，2S ，3S 的关系并证明；（3）如果以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程就可以得到如图8所示的“勾股树”．在如图9所示的“勾股树”的某部分图形中，设大正方形M 的边长为定值m ，四个小正方形A ，B ，C ，D 的边长分别为a ，b ，c ，d ，已知123α∠=∠=∠=∠，则当α∠变化时，回答下列问题：（结果可用含m 的式子表示）①2222a b c d +++=_______；②b 与c 的关系为_______，a 与d 的关系为_______．【答案】（1）①如果直角三角形的两条直角边分别为,a b ，斜边为c ，那么222+=a b c ，（或者：在直角。
武汉市历年中考数学真题精选汇编压轴题(含答案解析)
武汉市历年中考数学真题精选汇编:压轴题（含答案解析）一．选择题（共8小题）1．（2019•武汉）观察等式：2+22＝23﹣2；2+22+23＝24﹣2；2+22+23+24＝25﹣2…已知按一定规律排列的一组数：250、251、252、…、299、2100．若250＝a，用含a的式子表示这组数的和是（）A．2a2﹣2a B．2a2﹣2a﹣2C．2a2﹣a D．2a2+a 2．（2018•武汉）如图，在⊙O中，点C在优弧上，将弧沿BC折叠后刚好经过AB的中点D．若⊙O的半径为，AB＝4，则BC的长是（）A．B．C．D．3．（2017•武汉）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以△ABC的一边为边画等腰三角形，使得它的第三个顶点在△ABC的其他边上，则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多为（）A．4B．5C．6D．7 4．（2016•武汉）平面直角坐标系中，已知A（2，2）、B（4，0）．若在坐标轴上取点C，使△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C的个数是（）A．5B．6C．7D．8 5．（2015•武汉）如图，△ABC，△EFG均是边长为2的等边三角形，点D是边BC、EF的中点，直线AG、FC相交于点M．当△EFG绕点D旋转时，线段BM长的最小值是（）A．2﹣B．+1C．D．﹣1 6．（2014•武汉）如图，P A，PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，交P A，PB于C，D．若⊙O的半径为r，△PCD的周长等于3r，则tan∠APB的值是（）A．B．C．D．7．（2013•武汉）如图，⊙A与⊙B外切于点D，PC，PD，PE分别是圆的切线，C，D，E 是切点．若∠CDE＝x°，∠ECD＝y°，⊙B的半径为R，则的长度是（）A．B．C．D．8．（2012•武汉）在面积为15的平行四边形ABCD中，过点A作AE垂直于直线BC于点E，作AF垂直于直线CD于点F，若AB＝5，BC＝6，则CE+CF的值为（）A．11+B．11﹣C．11+或11﹣D．11+或1+二．填空题（共8小题）9．（2019•武汉）问题背景：如图1，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△ADE，DE与BC交于点P，可推出结论：P A+PC＝PE．问题解决：如图2，在△MNG中，MN＝6，∠M＝75°，MG＝．点O是△MNG内一点，则点O到△MNG三个顶点的距离和的最小值是．10．（2018•武汉）如图，在△ABC中，∠ACB＝60°，AC＝1，D是边AB的中点，E是边BC上一点．若DE平分△ABC的周长，则DE的长是．11．（2017•武汉）已知关于x的二次函数y＝ax2+（a2﹣1）x﹣a的图象与x轴的一个交点的坐标为（m，0）．若2＜m＜3，则a的取值范围是．12．（2016•武汉）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝10，DA＝5，则BD的长为．13．（2015•武汉）如图，∠AOB＝30°，点M、N分别在边OA、OB上，且OM＝1，ON＝3，点P、Q分别在边OB、OA上，则MP+PQ+QN的最小值是．14．（2014•武汉）如图，在四边形ABCD中，AD＝4，CD＝3，∠ABC＝∠ACB＝∠ADC＝45°，则BD的长为．15．（2013•武汉）如图，E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE＝DF．连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H．若正方形的边长为2，则线段DH长度的最小值是．16．（2012•武汉）在平面直角坐标系中，点A的坐标为（3，0），点B为y轴正半轴上的一点，点C是第一象限内一点，且AC＝2．设tan∠BOC＝m，则m的取值范围是．三．解答题（共16小题）17．（2019•武汉）在△ABC中，∠ABC＝90°，＝n，M是BC上一点，连接AM．（1）如图1，若n＝1，N是AB延长线上一点，CN与AM垂直，求证：BM＝BN．（2）过点B作BP⊥AM，P为垂足，连接CP并延长交AB于点Q．①如图2，若n＝1，求证：＝．②如图3，若M是BC的中点，直接写出tan∠BPQ的值．（用含n的式子表示）18．（2019•武汉）已知抛物线C1：y＝（x﹣1）2﹣4和C2：y＝x2（1）如何将抛物线C1平移得到抛物线C2？（2）如图1，抛物线C1与x轴正半轴交于点A，直线y＝﹣x+b经过点A，交抛物线C1于另一点B．请你在线段AB上取点P，过点P作直线PQ∥y轴交抛物线C1于点Q，连接AQ．①若AP＝AQ，求点P的横坐标；②若P A＝PQ，直接写出点P的横坐标．（3）如图2，△MNE的顶点M、N在抛物线C2上，点M在点N右边，两条直线ME、NE与抛物线C2均有唯一公共点，ME、NE均与y轴不平行．若△MNE的面积为2，设M、N两点的横坐标分别为m、n，求m与n的数量关系．19．（2018•武汉）在△ABC中，∠ABC＝90°．（1）如图1，分别过A、C两点作经过点B的直线的垂线，垂足分别为M、N，求证：△ABM∽△BCN；（2）如图2，P是边BC上一点，∠BAP＝∠C，tan∠P AC＝，求tan C的值；（3）如图3，D是边CA延长线上一点，AE＝AB，∠DEB＝90°，sin∠BAC＝，，直接写出tan∠CEB的值．20．（2018•武汉）抛物线L：y＝﹣x2+bx+c经过点A（0，1），与它的对称轴直线x＝1交于点B．（1）直接写出抛物线L的解析式；（2）如图1，过定点的直线y＝kx﹣k+4（k＜0）与抛物线L交于点M、N．若△BMN的面积等于1，求k的值；（3）如图2，将抛物线L向上平移m（m＞0）个单位长度得到抛物线L1，抛物线L1与y轴交于点C，过点C作y轴的垂线交抛物线L1于另一点D．F为抛物线L1的对称轴与x轴的交点，P为线段OC上一点．若△PCD与△POF相似，并且符合条件的点P恰有2个，求m的值及相应点P的坐标．21．（2017•武汉）已知四边形ABCD的一组对边AD、BC的延长线交于点E．（1）如图1，若∠ABC＝∠ADC＝90°，求证：ED•EA＝EC•EB；（2）如图2，若∠ABC＝120°，cos∠ADC＝，CD＝5，AB＝12，△CDE的面积为6，求四边形ABCD的面积；（3）如图3，另一组对边AB、DC的延长线相交于点F．若cos∠ABC＝cos∠ADC＝，CD＝5，CF＝ED＝n，直接写出AD的长（用含n的式子表示）22．（2017•武汉）已知点A（﹣1，1）、B（4，6）在抛物线y＝ax2+bx上（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，点F的坐标为（0，m）（m＞2），直线AF交抛物线于另一点G，过点G作x轴的垂线，垂足为H．设抛物线与x轴的正半轴交于点E，连接FH、AE，求证：FH∥AE；（3）如图2，直线AB分别交x轴、y轴于C、D两点．点P从点C出发，沿射线CD方向匀速运动，速度为每秒个单位长度；同时点Q从原点O出发，沿x轴正方向匀速运动，速度为每秒1个单位长度．点M是直线PQ与抛物线的一个交点，当运动到t秒时，QM＝2PM，直接写出t的值．23．（2016•武汉）在△ABC中，P为边AB上一点．（1）如图1，若∠ACP＝∠B，求证：AC2＝AP•AB；（2）若M为CP的中点，AC＝2．①如图2，若∠PBM＝∠ACP，AB＝3，求BP的长；②如图3，若∠ABC＝45°，∠A＝∠BMP＝60°，直接写出BP的长．24．（2016•武汉）抛物线y＝ax2+c与x轴交于A，B两点，顶点为C，点P为抛物线上，且位于x轴下方．（1）如图1，若P（1，﹣3），B（4，0）．①求该抛物线的解析式；②若D是抛物线上一点，满足∠DPO＝∠POB，求点D的坐标；（2）如图2，已知直线P A，PB与y轴分别交于E、F两点．当点P运动时，是否为定值？若是，试求出该定值；若不是，请说明理由．25．（2015•武汉）如图，△ABC中，点E、P在边AB上，且AE＝BP，过点E、P作BC的平行线，分别交AC于点F、Q，记△AEF的面积为S1，四边形EFQP的面积为S2，四边形PQCB的面积为S3．（1）求证：EF+PQ＝BC；（2）若S1+S3＝S2，求的值；（3）若S3﹣S1＝S2，直接写出的值．26．（2015•武汉）已知抛物线y＝x2+c与x轴交于A（﹣1，0），B两点，交y轴于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）点E（m，n）是第二象限内一点，过点E作EF⊥x轴交抛物线于点F，过点F作FG⊥y轴于点G，连接CE、CF，若∠CEF＝∠CFG．求n的值并直接写出m的取值范围（利用图1完成你的探究）．（3）如图2，点P是线段OB上一动点（不包括点O、B），PM⊥x轴交抛物线于点M，∠OBQ＝∠OMP，BQ交直线PM于点Q，设点P的横坐标为t，求△PBQ的周长．27．（2014•武汉）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，动点P从点B 出发，在BA边上以每秒5cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB 边上以每秒4cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒（0＜t＜2），连接PQ．（1）若△BPQ与△ABC相似，求t的值；（2）连接AQ，CP，若AQ⊥CP，求t的值；（3）试证明：PQ的中点在△ABC的一条中位线上．28．（2014•武汉）如图，已知直线AB：y＝kx+2k+4与抛物线y＝x2交于A，B两点．（1）直线AB总经过一个定点C，请直接出点C坐标；（2）当k＝﹣时，在直线AB下方的抛物线上求点P，使△ABP的面积等于5；（3）若在抛物线上存在定点D使∠ADB＝90°，求点D到直线AB的最大距离．29．（2013•武汉）已知四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD边上的点，DE与CF交于点G．（1）如图1，若四边形ABCD是矩形，且DE⊥CF．求证：；（2）如图2，若四边形ABCD是平行四边形．试探究：当∠B与∠EGC满足什么关系时，使得成立？并证明你的结论；（3）如图3，若BA＝BC＝6，DA＝DC＝8，∠BAD＝90°，DE⊥CF．请直接写出的值．30．（2013•武汉）如图，点P是直线l：y＝﹣2x﹣2上的点，过点P的另一条直线m交抛物线y＝x2于A、B两点．（1）若直线m的解析式为y＝﹣x+，求A，B两点的坐标；（2）①若点P的坐标为（﹣2，t）．当P A＝AB时，请直接写出点A的坐标；②试证明：对于直线l上任意给定的一点P，在抛物线上能找到点A，使得P A＝AB成立．（3）设直线l交y轴于点C，若△AOB的外心在边AB上，且∠BPC＝∠OCP，求点P 的坐标．31．（2012•武汉）已知△ABC中，AB＝，AC＝，BC＝6（1）如图1，点M为AB的中点，在线段AC上取点N，使△AMN与△ABC相似，求线段MN的长；（2）如图2，是由100个边长为1的小正方形组成的10×10的正方形网格，设顶点在这些小正方形顶点的三角形为格点三角形．①请你在所给的网格中画出格点△A1B1C1与△ABC全等（画出一个即可，不需证明）②试直接写出所给的网格中与△ABC相似且面积最大的格点三角形的个数，并画出其中一个（不需证明）．32．（2012•武汉）如图1，点A为抛物线C1：y＝x2﹣2的顶点，点B的坐标为（1，0）直线AB交抛物线C1于另一点C（1）求点C的坐标；（2）如图1，平行于y轴的直线x＝3交直线AB于点D，交抛物线C1于点E，平行于y 轴的直线x＝a交直线AB于F，交抛物线C1于G，若FG：DE＝4：3，求a的值；（3）如图2，将抛物线C1向下平移m（m＞0）个单位得到抛物线C2，且抛物线C2的顶点为点P，交x轴负半轴于点M，交射线BC于点N．NQ⊥x轴于点Q，当NP平分∠MNQ 时，求m的值．武汉市历年中考数学真题精选汇编:压轴题（含答案解析）参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．（2019•武汉）观察等式：2+22＝23﹣2；2+22+23＝24﹣2；2+22+23+24＝25﹣2…已知按一定规律排列的一组数：250、251、252、…、299、2100．若250＝a，用含a的式子表示这组数的和是（）A．2a2﹣2a B．2a2﹣2a﹣2C．2a2﹣a D．2a2+a【分析】由等式：2+22＝23﹣2；2+22+23＝24﹣2；2+22+23+24＝25﹣2，得出规律：2+22+23+…+2n＝2n+1﹣2，那么250+251+252+…+299+2100＝（2+22+23+…+2100）﹣（2+22+23+…+249），将规律代入计算即可．【解答】解：∵2+22＝23﹣2；2+22+23＝24﹣2；2+22+23+24＝25﹣2；…∴2+22+23+…+2n＝2n+1﹣2，∴250+251+252+…+299+2100＝（2+22+23+...+2100）﹣（2+22+23+ (249)＝（2101﹣2）﹣（250﹣2）＝2101﹣250，∵250＝a，∴2101＝（250）2•2＝2a2，∴原式＝2a2﹣a．故选：C．【点评】本题是一道找规律的题目，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．解决本题的难点在于得出规律：2+22+23+…+2n＝2n+1﹣2．2．（2018•武汉）如图，在⊙O中，点C在优弧上，将弧沿BC折叠后刚好经过AB的中点D．若⊙O的半径为，AB＝4，则BC的长是（）A．B．C．D．【分析】连接OD、AC、DC、OB、OC，作CE⊥AB于E，OF⊥CE于F，如图，利用垂径定理得到OD⊥AB，则AD＝BD＝AB＝2，于是根据勾股定理可计算出OD＝1，再利用折叠的性质可判断弧AC和弧CD所在的圆为等圆，则根据圆周角定理得到＝，所以AC＝DC，利用等腰三角形的性质得AE＝DE＝1，接着证明四边形ODEF为正方形得到OF＝EF＝1，然后计算出CF后得到CE＝BE＝3，于是得到BC＝3．【解答】解：连接OD、AC、DC、OB、OC，作CE⊥AB于E，OF⊥CE于F，如图，∵D为AB的中点，∴OD⊥AB，∴AD＝BD＝AB＝2，在Rt△OBD中，OD＝＝1，∵将弧沿BC折叠后刚好经过AB的中点D．∴弧AC和弧CD所在的圆为等圆，∴＝，∴AC＝DC，∴AE＝DE＝1，易得四边形ODEF为正方形，∴OF＝EF＝1，在Rt△OCF中，CF＝＝2，∴CE＝CF+EF＝2+1＝3，而BE＝BD+DE＝2+1＝3，∴BC＝3．故选：B．【点评】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了圆周角定理和垂径定理．3．（2017•武汉）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以△ABC的一边为边画等腰三角形，使得它的第三个顶点在△ABC的其他边上，则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多为（）A．4B．5C．6D．7【分析】①以B为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点D，△BCD就是等腰三角形；②以A为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点E，△ACE就是等腰三角形；③以C为圆心，BC长为半径画弧，交AC于点F，△BCF就是等腰三角形；④以C为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点K，△BCK就是等腰三角形；⑤作AB的垂直平分线交AC于G，则△AGB是等腰三角形；⑥作BC的垂直平分线交AB于I，则△BCI和△ACI是等腰三角形．【解答】解：如图：故选：D．【点评】本题考查了等腰三角形的判定的应用，主要考查学生的理解能力和动手操作能力．4．（2016•武汉）平面直角坐标系中，已知A（2，2）、B（4，0）．若在坐标轴上取点C，使△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C的个数是（）A．5B．6C．7D．8【分析】由点A、B的坐标可得到AB＝2，然后分类讨论：若AC＝AB；若BC＝AB；若CA＝CB，确定C点的个数．【解答】解：∵点A、B的坐标分别为（2，2）、B（4，0）．∴AB＝2，①若AC＝AB，以A为圆心，AB为半径画弧与坐标轴有3个交点（含B点），即（0，0）、（4，0）、（0，4），∵点（0，4）与直线AB共线，∴满足△ABC是等腰三角形的C点有1个；②若BC＝AB，以B为圆心，BA为半径画弧与坐标轴有2个交点（A点除外），即满足△ABC是等腰三角形的C点有2个；③若CA＝CB，作AB的垂直平分线与坐标轴有两个交点，即满足△ABC是等腰三角形的C点有2个；综上所述：点C在坐标轴上，△ABC是等腰三角形，符合条件的点C共有5个．故选：A．【点评】本题考查了等腰三角形的判定，也考查了通过坐标确定图形的性质以及分类讨论思想的运用．5．（2015•武汉）如图，△ABC，△EFG均是边长为2的等边三角形，点D是边BC、EF的中点，直线AG、FC相交于点M．当△EFG绕点D旋转时，线段BM长的最小值是（）A．2﹣B．+1C．D．﹣1【分析】取AC的中点O，连接AD、DG、BO、OM，如图，易证△DAG∽△DCF，则有∠DAG＝∠DCF，从而可得A、D、C、M四点共圆，根据两点之间线段最短可得BO≤BM+OM，即BM≥BO﹣OM，当M在线段BO与该圆的交点处时，线段BM最小，只需求出BO、OM的值，就可解决问题．【解答】解：AC的中点O，连接AD、DG、BO、OM，如图．∵△ABC，△EFG均是边长为2的等边三角形，点D是边BC、EF的中点，∴AD⊥BC，GD⊥EF，DA＝DG，DC＝DF，∴∠ADG＝90°﹣∠CDG＝∠FDC，＝，∴△DAG∽△DCF，∴∠DAG＝∠DCF．∴A、D、C、M四点共圆．根据两点之间线段最短可得：BO≤BM+OM，即BM≥BO﹣OM，当M在线段BO与该圆的交点处时，线段BM最小，此时，BO＝＝＝，OM＝AC＝1，则BM＝BO﹣OM＝﹣1．故选：D．【点评】本题主要考查了等边三角形的性质、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质、四点共圆的判定、勾股定理、两点之间线段最短等知识，求出动点M的运动轨迹是解决本题的关键．6．（2014•武汉）如图，P A，PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，交P A，PB于C，D．若⊙O的半径为r，△PCD的周长等于3r，则tan∠APB的值是（）A．B．C．D．【分析】（1）连接OA、OB、OP，延长BO交P A的延长线于点F．利用切线求得CA＝CE，DB＝DE，P A＝PB再得出P A＝PB＝．利用Rt△BFP∽RT△OAF得出AF＝FB，在RT△FBP中，利用勾股定理求出BF，再求tan∠APB的值即可．【解答】解：连接OA、OB、OP，延长BO交P A的延长线于点F．∵P A，PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E∴∠OAF＝∠PBF＝90°，CA＝CE，DB＝DE，P A＝PB，∵△PCD的周长＝PC+CE+DE+PD＝PC+AC+PD+DB＝P A+PB＝3r，∴P A＝PB＝．在Rt△PBF和Rt△OAF中，，∴Rt△PBF∽Rt△OAF．∴＝＝＝，∴AF＝FB，在Rt△FBP中，∵PF2﹣PB2＝FB2∴（P A+AF）2﹣PB2＝FB2∴（r+BF）2﹣（）2＝BF2，解得BF＝r，∴tan∠APB＝＝＝，故选：B．【点评】本题主要考查了切线的性质，相似三角形及三角函数的定义，解决本题的关键是切线与相似三角形相结合，找准线段及角的关系．7．（2013•武汉）如图，⊙A与⊙B外切于点D，PC，PD，PE分别是圆的切线，C，D，E 是切点．若∠CDE＝x°，∠ECD＝y°，⊙B的半径为R，则的长度是（）A．B．C．D．【分析】点C、D、E都在⊙P上，由圆周角定理可得：∠DPE＝2y°；然后在四边形BDPE 中，求出∠B；最后利用弧长公式计算出结果．【解答】解：根据题意，由切线长定理可知：PC＝PD＝PE，即点C、D、E在以P为圆心，PC长为半径的⊙P上，由圆周角定理得：∠DPE＝2∠ECD＝2y°．如图，连接BD、BE，则∠BDP＝∠BEP＝90°，在四边形BDPE中，∠B+∠BDP+∠DPE+∠BEP＝360°，即：∠B+90°+2y°+90°＝360°，解得：∠B＝180°﹣2y°．∴的长度是：＝．故选：B．【点评】本题考查圆的相关性质．解题关键是确定点C、D、E在⊙P上，从而由圆周角定理得到∠DPE＝2∠ECD＝2y°．8．（2012•武汉）在面积为15的平行四边形ABCD中，过点A作AE垂直于直线BC于点E，作AF垂直于直线CD于点F，若AB＝5，BC＝6，则CE+CF的值为（）A．11+B．11﹣C．11+或11﹣D．11+或1+【分析】根据平行四边形面积求出AE和AF，有两种情况，求出BE、DF的值，求出CE 和CF的值，相加即可得出答案．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD＝5，BC＝AD＝6，①如图：过点A作AE⊥BC垂足为E，过点A作AF⊥DC垂足为F，由平行四边形面积公式得：BC×AE＝CD×AF＝15，求出AE＝，AF＝3，在Rt△ABE和Rt△ADF中，由勾股定理得：AB2＝AE2+BE2，把AB＝5，AE＝代入求出BE＝，同理DF＝3＞5，即F在DC的延长线上（如上图），∴CE＝6﹣，CF＝3﹣5，即CE+CF＝1+，②如图：过点A作AF⊥DC垂足为F，过点A作AE⊥BC垂足为E，∵AB＝5，AE＝，在△ABE中，由勾股定理得：BE＝，同理DF＝3，由①知：CE＝6+，CF＝5+3，∴CE+CF＝11+．故选：D．【点评】本题考查了平行四边形性质，勾股定理的应用，主要培养学生的理解能力和计算能力，注意：要分类讨论啊．二．填空题（共8小题）9．（2019•武汉）问题背景：如图1，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△ADE，DE与BC交于点P，可推出结论：P A+PC＝PE．问题解决：如图2，在△MNG中，MN＝6，∠M＝75°，MG＝．点O是△MNG内一点，则点O到△MNG三个顶点的距离和的最小值是2．【分析】（1）在BC上截取BG＝PD，通过三角形全等证得AG＝AP，BG＝DP，得出△AGP是等边三角形，得出AP＝GP，则P A+PC＝GP+PC＝GC＝PE，即可证得结论；（2）以MG为边作等边三角形△MGD，以OM为边作等边△OME．连接ND，可证△GMO≌△DME，可得GO＝DE，则MO+NO+GO＝NO+OE+DE，即当D、E、O、N四点共线时，MO+NO+GO值最小，最小值为ND的长度，根据勾股定理先求得MF、DF，然后求ND的长度，即可求MO+NO+GO的最小值．【解答】（1）证明：如图1，在BC上截取BG＝PD，在△ABG和△ADP中，∴△ABG≌△ADP（SAS），∴AG＝AP，BG＝DP，∴GC＝PE，∵∠GAP＝∠BAD＝60°，∴△AGP是等边三角形，∴AP＝GP，∴P A+PC＝GP+PC＝GC＝PE∴P A+PC＝PE；（2）解：如图2：以MG为边作等边三角形△MGD，以OM为边作等边△OME．连接ND，作DF⊥NM，交NM的延长线于F．∵△MGD和△OME是等边三角形∴OE＝OM＝ME，∠DMG＝∠OME＝60°，MG＝MD，∴∠GMO＝∠DME在△GMO和△DME中∴△GMO≌△DME（SAS），∴OG＝DE∴NO+GO+MO＝DE+OE+NO∴当D、E、O、M四点共线时，NO+GO+MO值最小，∵∠NMG＝75°，∠GMD＝60°，∴∠NMD＝135°，∴∠DMF＝45°，∵MG＝．∴MF＝DF＝4，∴NF＝MN+MF＝6+4＝10，∴ND＝＝＝2，∴MO+NO+GO最小值为2，故答案为2，【点评】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，勾股定理，最短路径问题，构造等边三角形是解答本题的关键．10．（2018•武汉）如图，在△ABC中，∠ACB＝60°，AC＝1，D是边AB的中点，E是边BC上一点．若DE平分△ABC的周长，则DE的长是．【分析】延长BC至M，使CM＝CA，连接AM，作CN⊥AM于N，根据题意得到ME＝EB，根据三角形中位线定理得到DE＝AM，根据等腰三角形的性质求出∠ACN，根据正弦的概念求出AN，计算即可．【解答】解：延长BC至M，使CM＝CA，连接AM，作CN⊥AM于N，∵DE平分△ABC的周长，∴ME＝EB，又AD＝DB，∴DE＝AM，DE∥AM，∵∠ACB＝60°，∴∠ACM＝120°，∵CM＝CA，∴∠ACN＝60°，AN＝MN，∴AN＝AC•sin∠ACN＝，∴AM＝，∴DE＝，故答案为：．【点评】本题考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的性质、解直角三角形，掌握三角形中位线定理、正确作出辅助线是解题的关键．11．（2017•武汉）已知关于x的二次函数y＝ax2+（a2﹣1）x﹣a的图象与x轴的一个交点的坐标为（m，0）．若2＜m＜3，则a的取值范围是＜a＜或﹣3＜a＜﹣2．【分析】先用a表示出抛物线与x轴的交点，再分a＞0与a＜0两种情况进行讨论即可．【解答】解：∵y＝ax2+（a2﹣1）x﹣a＝（ax﹣1）（x+a），∴当y＝0时，x1＝，x2＝﹣a，∴抛物线与x轴的交点为（，0）和（﹣a，0）．∵抛物线与x轴的一个交点的坐标为（m，0）且2＜m＜3，∴当a＞0时，2＜＜3，解得＜a＜；当a＜0时，2＜﹣a＜3，解得﹣3＜a＜﹣2．故答案为：＜a＜或﹣3＜a＜﹣2．【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点，在解答此题时要注意进行分类讨论，不要漏解．12．（2016•武汉）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝10，DA＝5，则BD的长为2．【分析】作DM⊥BC，交BC延长线于M，连接AC，由勾股定理得出AC2＝AB2+BC2＝25，求出AC2+CD2＝AD2，由勾股定理的逆定理得出△ACD是直角三角形，∠ACD＝90°，证出∠ACB＝∠CDM，得出△ABC∽△CMD，由相似三角形的对应边成比例求出CM＝2AB＝6，DM＝2BC＝8，得出BM＝BC+CM＝10，再由勾股定理求出BD即可．【解答】解：作DM⊥BC，交BC延长线于M，连接AC，如图所示：则∠M＝90°，∴∠DCM+∠CDM＝90°，∵∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，∴AC2＝AB2+BC2＝25，∵CD＝10，AD＝5，∴AC2+CD2＝AD2，∴△ACD是直角三角形，∠ACD＝90°，∴∠ACB+∠DCM＝90°，∴∠ACB＝∠CDM，∵∠ABC＝∠M＝90°，∴△ABC∽△CMD，∴＝，∴CM＝2AB＝6，DM＝2BC＝8，∴BM＝BC+CM＝10，∴BD＝＝＝2，故答案为：2．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理、勾股定理的逆定理；熟练掌握相似三角形的判定与性质，证明由勾股定理的逆定理证出△ACD是直角三角形是解决问题的关键．13．（2015•武汉）如图，∠AOB＝30°，点M、N分别在边OA、OB上，且OM＝1，ON＝3，点P、Q分别在边OB、OA上，则MP+PQ+QN的最小值是．【分析】作M关于OB的对称点M′，作N关于OA的对称点N′，连接M′N′，即为MP+PQ+QN的最小值．【解答】解：作M关于OB的对称点M′，作N关于OA的对称点N′，连接M′N′，即为MP+PQ+QN的最小值．根据轴对称的定义可知：∠N′OQ＝∠M′OB＝30°，∠ONN′＝60°，∴△ONN′为等边三角形，△OMM′为等边三角形，∴∠N′OM′＝90°，∴在Rt△M′ON′中，M′N′＝＝．故答案为．【点评】本题考查了轴对称﹣﹣最短路径问题，根据轴对称的定义，找到相等的线段，得到等边三角形是解题的关键．14．（2014•武汉）如图，在四边形ABCD中，AD＝4，CD＝3，∠ABC＝∠ACB＝∠ADC＝45°，则BD的长为．【分析】根据等式的性质，可得∠BAD与∠CAD′的关系，根据SAS，可得△BAD与△CAD′的关系，根据全等三角形的性质，可得BD与CD′的关系，根据勾股定理，可得答案．【解答】解：作AD′⊥AD，AD′＝AD，连接CD′，DD′，如图：∵∠BAC+∠CAD＝∠DAD′+∠CAD，即∠BAD＝∠CAD′，在△BAD与△CAD′中，，∴△BAD≌△CAD′（SAS），∴BD＝CD′．∠DAD′＝90°由勾股定理得DD′＝，∠D′DA+∠ADC＝90°由勾股定理得CD′＝，∴BD＝CD′＝，故答案为：．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，利用了全等三角形的判定与性质，勾股定理，作出全等图形是解题关键．15．（2013•武汉）如图，E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE＝DF．连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H．若正方形的边长为2，则线段DH长度的最小值是﹣1．【分析】根据正方形的性质可得AB＝AD＝CD，∠BAD＝∠CDA，∠ADG＝∠CDG，然后利用“边角边”证明△ABE和△DCF全等，根据全等三角形对应角相等可得∠1＝∠2，利用“SAS”证明△ADG和△CDG全等，根据全等三角形对应角相等可得∠2＝∠3，从而得到∠1＝∠3，然后求出∠AHB＝90°，取AB的中点O，连接OH、OD，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OH＝AB＝1，利用勾股定理列式求出OD，然后根据三角形的三边关系可知当O、D、H三点共线时，DH的长度最小．【解答】解：在正方形ABCD中，AB＝AD＝CD，∠BAD＝∠CDA，∠ADG＝∠CDG，在△ABE和△DCF中，，∴△ABE≌△DCF（SAS），∴∠1＝∠2，在△ADG和△CDG中，，∴△ADG≌△CDG（SAS），∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠3，∵∠BAH+∠3＝∠BAD＝90°，∴∠1+∠BAH＝90°，∴∠AHB＝180°﹣90°＝90°，取AB的中点O，连接OH、OD，则OH＝AO＝AB＝1，在Rt△AOD中，OD＝＝＝，根据三角形的三边关系，OH+DH＞OD，∴当O、D、H三点共线时，DH的长度最小，最小值＝OD﹣OH＝﹣1．（解法二：可以理解为点H是在Rt△AHB，AB直径的半圆上运动当O、H、D三点共线时，DH长度最小）故答案为：﹣1．【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，三角形的三边关系，确定出DH最小时点H的位置是解题关键，也是本题的难点．16．（2012•武汉）在平面直角坐标系中，点A的坐标为（3，0），点B为y轴正半轴上的一点，点C是第一象限内一点，且AC＝2．设tan∠BOC＝m，则m的取值范围是m≥．【分析】C在以A为圆心，以2为半径的圆周上，只有当OC与圆A相切（即到C点）时，∠BOC最小，根据勾股定理求出此时的OC，求出∠BOC＝∠CAO，根据解直角三角形求出此时的值，根据tan∠BOC的增减性，即可求出答案．【解答】解：C在以A为圆心，以2为半径作圆周上，只有当OC与圆A相切（即到C点）时，∠BOC最小，AC＝2，OA＝3，由勾股定理得：OC＝，∵∠BOA＝∠ACO＝90°，∴∠BOC+∠AOC＝90°，∠CAO+∠AOC＝90°，∴∠BOC＝∠OAC，tan∠BOC＝tan∠OAC＝＝，随着C的移动，∠BOC越来越大，∵C在第一象限，∴C不到x轴点，即∠BOC＜90°，∴tan∠BOC≥，故答案为：m≥．【点评】本题考查了解直角三角形，勾股定理，切线的性质等知识点的应用，能确定∠BOC的变化范围是解此题的关键，题型比较好，但是有一定的难度．三．解答题（共16小题）17．（2019•武汉）在△ABC中，∠ABC＝90°，＝n，M是BC上一点，连接AM．（1）如图1，若n＝1，N是AB延长线上一点，CN与AM垂直，求证：BM＝BN．（2）过点B作BP⊥AM，P为垂足，连接CP并延长交AB于点Q．①如图2，若n＝1，求证：＝．②如图3，若M是BC的中点，直接写出tan∠BPQ的值．（用含n的式子表示）【分析】（1）如图1中，延长AM交CN于点H．想办法证明△ABM≌△CBN（ASA）即可．（2）①如图2中，作CH∥AB交BP的延长线于H．利用全等三角形的性质证明CH＝BM，再利用平行线分线段成比例定理解决问题即可．②如图3中，作CH∥AB交BP的延长线于H，作CN⊥BH于N．不妨设BC＝2m，则AB＝2mn．想办法求出CN，PN（用m，n表示），即可解决问题．【解答】（1）证明：如图1中，延长AM交CN于点H．∵AM⊥CN，∴∠AHC＝90°，∵∠ABC＝90°，∴∠BAM+∠AMB＝90°，∠BCN+∠CMH＝90°，∵∠AMB＝∠CMH，∴∠BAM＝∠BCN，∵BA＝BC，∠ABM＝∠CBN＝90°，∴△ABM≌△CBN（ASA），∴BM＝BN．（2）①证明：如图2中，作CH∥AB交BP的延长线于H．∵BP⊥AM，∴∠BPM＝∠ABM＝90°，∵∠BAM+∠AMB＝90°，∠CBH+∠BMP＝90°，∴∠BAM＝∠CBH，∵CH∥AB，∴∠HCB+∠ABC＝180°，∵∠ABC＝90°，∴∠ABM＝∠BCH＝90°，∵AB＝BC，∴△ABM≌△BCH（ASA），∴BM＝CH，∵CH∥BQ，∴＝＝．②解：如图3中，作CH∥AB交BP的延长线于H，作CN⊥BH于N．不妨设BC＝2m，则AB＝2mn．则BM＝CM＝m，CH＝，BH＝，AM＝m，∵•AM•BP＝•AB•BM，∴PB＝，∵•BH•CN＝•CH•BC，∴CN＝，∵CN⊥BH，PM⊥BH，∴MP∥CN，∵CM＝BM，∴PN＝BP＝，∵∠BPQ＝∠CPN，∴tan∠BPQ＝tan∠CPN＝＝＝．方法二：易证：＝＝＝，∵PN＝PB，tan∠BPQ＝＝＝＝．【点评】本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．18．（2019•武汉）已知抛物线C1：y＝（x﹣1）2﹣4和C2：y＝x2（1）如何将抛物线C1平移得到抛物线C2？（2）如图1，抛物线C1与x轴正半轴交于点A，直线y＝﹣x+b经过点A，交抛物线C1于另一点B．请你在线段AB上取点P，过点P作直线PQ∥y轴交抛物线C1于点Q，连接AQ．①若AP＝AQ，求点P的横坐标；②若P A＝PQ，直接写出点P的横坐标．（3）如图2，△MNE的顶点M、N在抛物线C2上，点M在点N右边，两条直线ME、NE与抛物线C2均有唯一公共点，ME、NE均与y轴不平行．若△MNE的面积为2，设M、N两点的横坐标分别为m、n，求m与n的数量关系．【分析】（1）y＝（x﹣1）2﹣4向左平移1个单位长度，再向上平移4个单位长度即可得到y＝x2；（2）①易求点A（3，0），b＝4，设D（0，4）关于x轴的对称点为D'，则D'（0，﹣4），则可求直线AD'的解析式为y＝x﹣4，联立方程，可得P点横坐标为；②同理可得P点横坐标为﹣；（3）设经过M与E的直线解析式为y＝k（x﹣m）+m2，∴，则可知△＝k2﹣4km+4m2＝（k﹣2m）2＝0，求得k＝2m，得出直线ME的解析式为y＝2mx﹣m2，同理：直线NE的解析式为y＝2nx﹣n2，则可求E（，mn），再由面积[（n2﹣mn）+（m2﹣mn）]×（m﹣n）﹣（n2﹣mn）×（﹣n）﹣（m2﹣mn）×（m﹣）＝2，可得（m﹣n）3＝8，即可求解；【解答】解：（1）y＝（x﹣1）2﹣4向左平移1个单位长度，再向上平移4个单位长度即可得到y＝x2；（2）如图1，①设抛物线C1与y轴交于C点，直线AB与y轴交于D点，∵C1：y＝（x﹣1）2﹣4，∴A（3，0），C（0，﹣3），∵直线y＝﹣x+b经过点A，∴b＝4，∴D（0，4），∵AP＝AQ，PQ∥y轴，∴P、Q两点关于x轴对称，设D（0，4）关于x轴的对称点为D'，则D'（0，﹣4），∴直线AD'的解析式为y＝x﹣4，由，得x1＝3，x2＝，∴x Q＝，∴x P＝x Q＝，∴P点横坐标为；②P点横坐标为﹣；（3）设经过M与E的直线解析式为y＝k（x﹣m）+m2，∴，则有x2﹣kx+km﹣m2＝0，△＝k2﹣4km+4m2＝（k﹣2m）2＝0，∴k＝2m，∴直线ME的解析式为y＝2mx﹣m2，同理：直线NE的解析式为y＝2nx﹣n2，∴E（，mn），∴[（n2﹣mn）+（m2﹣mn）]×（m﹣n）﹣（n2﹣mn）×（﹣n）﹣（m2﹣mn）×（m﹣）＝2，∴（m﹣n）3﹣＝4，∴（m﹣n）3＝8，∴m﹣n＝2；【点评】本题考查二次函数的图象及性质；是二次函数的综合题，熟练掌握直线与二次函数的交点求法，借助三角形面积列出等量关系是解决m与n的关系的关键．19．（2018•武汉）在△ABC中，∠ABC＝90°．（1）如图1，分别过A、C两点作经过点B的直线的垂线，垂足分别为M、N，求证：△ABM∽△BCN；（2）如图2，P是边BC上一点，∠BAP＝∠C，tan∠P AC＝，求tan C的值；（3）如图3，D是边CA延长线上一点，AE＝AB，∠DEB＝90°，sin∠BAC＝，，直接写出tan∠CEB的值．【分析】（1）利用同角的余角相等判断出∠BAM＝∠CBN，即可得出结论；（2）先判断出MP＝MC，进而得出＝，设MN＝2m，PN＝m，根据勾股定理得，PM＝＝3m＝CM，即可得出结论；（3）先判断出＝，再同（2）的方法，即可得出结论．【解答】解：（1）∵AM⊥MN，CN⊥MN，∴∠AMB＝∠BNC＝90°，∴∠BAM+∠ABM＝90°，∵∠ABC＝90°，∴∠ABM+∠CBN＝90°，∴∠BAM＝∠CBN，∵∠AMB＝∠NBC，∴△ABM∽△BCN；（2）如图2，过点P作PM⊥AP交AC于M，PN⊥AM于N．∴∠BAP+∠1＝∠CPM+∠1＝90°，∴∠BAP＝∠CPM＝∠C，∴MP＝MC∵tan∠P AC＝＝＝＝设MN＝2m，PN＝m，根据勾股定理得，PM＝＝3m＝CM，∴tan C＝＝；（3）在Rt△ABC中，sin∠BAC＝＝，过点A作AG⊥BE于G，过点C作CH⊥BE交EB的延长线于H，∵∠DEB＝90°，∴CH∥AG∥DE，∴＝同（1）的方法得，△ABG∽△BCH∴，设BG＝4m，CH＝3m，AG＝4n，BH＝3n，∵AB＝AE，AG⊥BE，∴EG＝BG＝4m，∴GH＝BG+BH＝4m+3n，∴，∴n＝2m，∴EH＝EG+GH＝4m+4m+3n＝8m+3n＝8m+6m＝14m，在Rt△CEH中，tan∠BEC＝＝．【点评】此题是相似形综合题，主要考查了同角的余角相等，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，平行线分线段成比例定理，构造图1是解本题的关键．20．（2018•武汉）抛物线L：y＝﹣x2+bx+c经过点A（0，1），与它的对称轴直线x＝1交于点B．（1）直接写出抛物线L的解析式；（2）如图1，过定点的直线y＝kx﹣k+4（k＜0）与抛物线L交于点M、N．若△BMN的面积等于1，求k的值；（3）如图2，将抛物线L向上平移m（m＞0）个单位长度得到抛物线L1，抛物线L1与y轴交于点C，过点C作y轴的垂线交抛物线L1于另一点D．F为抛物线L1的对称轴与x轴的交点，P为线段OC上一点．若△PCD与△POF相似，并且符合条件的点P恰有2个，求m的值及相应点P的坐标．【分析】（1）根据对称轴为直线x＝1且抛物线过点A（0，1）求解可得；（2）根据直线y＝kx﹣k+4＝k（x﹣1）+4知直线所过定点G坐标为（1，4），从而得出。
2021年武汉市中考数学填空题压轴题练习及答案 (20)
2021年武汉市中考数学填空题压轴题练习1．如图，直线l1⊥x轴于点（1，0），直线l2⊥x轴于点（2，0），直线l3⊥x轴于点（3，0），…，直线l n⊥x轴于点（n，0）（n为正整数）．函数y＝x的图象与直线l1，l2，l3，…，l n分别交于点A1，A2，A3，…，A n；函数y＝2x的图象与直线l1，l2，l3，…，l n分别交于点B1，B2，B3，…，B n．如果△OA1B1的面积记作S，四边形A1A2B2B1的面积记作S1，四边形A2A3B3B2的面积记作S2，…，四边形A n A n+1B n+1B n的面积记作S n，那么S1＝，S2＝，S2012＝．【分析】函数y＝x的图象与直线l1，l2，l3，…，l n分别交于点A1，A2，A3，…，A n，根据各直线与x中的交点坐标分别得到点B1，B2，B3，…，B n，A1，A2，A3，…，A n的坐标，由函数y＝2x的图象与直线l1，l2，l3，…，l n分别交于点B1，B2，B3，…，B n，得出点B1，B2，B3，…，B n的坐标，由A1和B1的纵坐标之差求出A1B1的长，以A1B1为底，由A1的横坐标为高，利用三角形的面积公式求出△OA1B1的面积S，同理求出△OA2B2的面积，用△OA2B2的面积﹣△OA1B1的面积，得出四边形A1A2B2B1的面积，即为S1的值；同理求出四边形A2A3B3B2的面积，即为S2的值；以此类推，表示出四边形A n A n+1B n+1B n 的面积，即S n，将n＝2012代入总结的规律中即可求出四边形A2012A2013B2013B2012的面积S2012的值．【解答】解：由题意得：点A1（1，1），A2（2，2），A3（3，3），…，A n（n，n），点B1（1，2），B2（2，4），B3（3，6），…，B n（n，2n），∴△OA1B1的面积S＝×（2﹣1）×1＝，△OA2B2的面积为×（4﹣2）×2＝2，∴四边形A1A2B2B1的面积记作S1＝2﹣＝；又△OA3B3的面积为×（6﹣3）×3＝，∴四边形A2A3B3B2的面积记作S2＝﹣2＝；以此类推，四边形A n A n+1B n+1B n的面积S n＝n﹣，则四边形A2012A2013B2013B2012的面积S2012＝．故答案为：；；．。
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武汉市历年中考数学真题精选汇编:压轴题（含答案解析）一．选择题（共8小题）1．（2019•武汉）观察等式：2+22＝23﹣2；2+22+23＝24﹣2；2+22+23+24＝25﹣2…已知按一定规律排列的一组数：250、251、252、…、299、2100．若250＝a，用含a的式子表示这组数的和是（）A．2a2﹣2a B．2a2﹣2a﹣2C．2a2﹣a D．2a2+a 2．（2018•武汉）如图，在⊙O中，点C在优弧上，将弧沿BC折叠后刚好经过AB的中点D．若⊙O的半径为，AB＝4，则BC的长是（）A．B．C．D．3．（2017•武汉）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以△ABC的一边为边画等腰三角形，使得它的第三个顶点在△ABC的其他边上，则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多为（）A．4B．5C．6D．7 4．（2016•武汉）平面直角坐标系中，已知A（2，2）、B（4，0）．若在坐标轴上取点C，使△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C的个数是（）A．5B．6C．7D．8 5．（2015•武汉）如图，△ABC，△EFG均是边长为2的等边三角形，点D是边BC、EF的中点，直线AG、FC相交于点M．当△EFG绕点D旋转时，线段BM长的最小值是（）A．2﹣B．+1C．D．﹣1 6．（2014•武汉）如图，P A，PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，交P A，PB于C，D．若⊙O的半径为r，△PCD的周长等于3r，则tan∠APB的值是（）A．B．C．D．7．（2013•武汉）如图，⊙A与⊙B外切于点D，PC，PD，PE分别是圆的切线，C，D，E 是切点．若∠CDE＝x°，∠ECD＝y°，⊙B的半径为R，则的长度是（）A．B．C．D．8．（2012•武汉）在面积为15的平行四边形ABCD中，过点A作AE垂直于直线BC于点E，作AF垂直于直线CD于点F，若AB＝5，BC＝6，则CE+CF的值为（）A．11+B．11﹣C．11+或11﹣D．11+或1+二．填空题（共8小题）9．（2019•武汉）问题背景：如图1，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△ADE，DE与BC交于点P，可推出结论：P A+PC＝PE．问题解决：如图2，在△MNG中，MN＝6，∠M＝75°，MG＝．点O是△MNG内一点，则点O到△MNG三个顶点的距离和的最小值是．10．（2018•武汉）如图，在△ABC中，∠ACB＝60°，AC＝1，D是边AB的中点，E是边BC上一点．若DE平分△ABC的周长，则DE的长是．11．（2017•武汉）已知关于x的二次函数y＝ax2+（a2﹣1）x﹣a的图象与x轴的一个交点的坐标为（m，0）．若2＜m＜3，则a的取值范围是．12．（2016•武汉）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝10，DA＝5，则BD的长为．13．（2015•武汉）如图，∠AOB＝30°，点M、N分别在边OA、OB上，且OM＝1，ON＝3，点P、Q分别在边OB、OA上，则MP+PQ+QN的最小值是．14．（2014•武汉）如图，在四边形ABCD中，AD＝4，CD＝3，∠ABC＝∠ACB＝∠ADC＝45°，则BD的长为．15．（2013•武汉）如图，E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE＝DF．连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H．若正方形的边长为2，则线段DH长度的最小值是．16．（2012•武汉）在平面直角坐标系中，点A的坐标为（3，0），点B为y轴正半轴上的一点，点C是第一象限内一点，且AC＝2．设tan∠BOC＝m，则m的取值范围是．三．解答题（共16小题）17．（2019•武汉）在△ABC中，∠ABC＝90°，＝n，M是BC上一点，连接AM．（1）如图1，若n＝1，N是AB延长线上一点，CN与AM垂直，求证：BM＝BN．（2）过点B作BP⊥AM，P为垂足，连接CP并延长交AB于点Q．①如图2，若n＝1，求证：＝．②如图3，若M是BC的中点，直接写出tan∠BPQ的值．（用含n的式子表示）18．（2019•武汉）已知抛物线C1：y＝（x﹣1）2﹣4和C2：y＝x2（1）如何将抛物线C1平移得到抛物线C2？（2）如图1，抛物线C1与x轴正半轴交于点A，直线y＝﹣x+b经过点A，交抛物线C1于另一点B．请你在线段AB上取点P，过点P作直线PQ∥y轴交抛物线C1于点Q，连接AQ．①若AP＝AQ，求点P的横坐标；②若P A＝PQ，直接写出点P的横坐标．（3）如图2，△MNE的顶点M、N在抛物线C2上，点M在点N右边，两条直线ME、NE与抛物线C2均有唯一公共点，ME、NE均与y轴不平行．若△MNE的面积为2，设M、N两点的横坐标分别为m、n，求m与n的数量关系．19．（2018•武汉）在△ABC中，∠ABC＝90°．（1）如图1，分别过A、C两点作经过点B的直线的垂线，垂足分别为M、N，求证：△ABM∽△BCN；（2）如图2，P是边BC上一点，∠BAP＝∠C，tan∠P AC＝，求tan C的值；（3）如图3，D是边CA延长线上一点，AE＝AB，∠DEB＝90°，sin∠BAC＝，，直接写出tan∠CEB的值．20．（2018•武汉）抛物线L：y＝﹣x2+bx+c经过点A（0，1），与它的对称轴直线x＝1交于点B．（1）直接写出抛物线L的解析式；（2）如图1，过定点的直线y＝kx﹣k+4（k＜0）与抛物线L交于点M、N．若△BMN的面积等于1，求k的值；（3）如图2，将抛物线L向上平移m（m＞0）个单位长度得到抛物线L1，抛物线L1与y轴交于点C，过点C作y轴的垂线交抛物线L1于另一点D．F为抛物线L1的对称轴与x轴的交点，P为线段OC上一点．若△PCD与△POF相似，并且符合条件的点P恰有2个，求m的值及相应点P的坐标．21．（2017•武汉）已知四边形ABCD的一组对边AD、BC的延长线交于点E．（1）如图1，若∠ABC＝∠ADC＝90°，求证：ED•EA＝EC•EB；（2）如图2，若∠ABC＝120°，cos∠ADC＝，CD＝5，AB＝12，△CDE的面积为6，求四边形ABCD的面积；（3）如图3，另一组对边AB、DC的延长线相交于点F．若cos∠ABC＝cos∠ADC＝，CD＝5，CF＝ED＝n，直接写出AD的长（用含n的式子表示）22．（2017•武汉）已知点A（﹣1，1）、B（4，6）在抛物线y＝ax2+bx上（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，点F的坐标为（0，m）（m＞2），直线AF交抛物线于另一点G，过点G作x轴的垂线，垂足为H．设抛物线与x轴的正半轴交于点E，连接FH、AE，求证：FH∥AE；（3）如图2，直线AB分别交x轴、y轴于C、D两点．点P从点C出发，沿射线CD方向匀速运动，速度为每秒个单位长度；同时点Q从原点O出发，沿x轴正方向匀速运动，速度为每秒1个单位长度．点M是直线PQ与抛物线的一个交点，当运动到t秒时，QM＝2PM，直接写出t的值．23．（2016•武汉）在△ABC中，P为边AB上一点．（1）如图1，若∠ACP＝∠B，求证：AC2＝AP•AB；（2）若M为CP的中点，AC＝2．①如图2，若∠PBM＝∠ACP，AB＝3，求BP的长；②如图3，若∠ABC＝45°，∠A＝∠BMP＝60°，直接写出BP的长．24．（2016•武汉）抛物线y＝ax2+c与x轴交于A，B两点，顶点为C，点P为抛物线上，且位于x轴下方．（1）如图1，若P（1，﹣3），B（4，0）．①求该抛物线的解析式；②若D是抛物线上一点，满足∠DPO＝∠POB，求点D的坐标；（2）如图2，已知直线P A，PB与y轴分别交于E、F两点．当点P运动时，是否为定值？若是，试求出该定值；若不是，请说明理由．25．（2015•武汉）如图，△ABC中，点E、P在边AB上，且AE＝BP，过点E、P作BC的平行线，分别交AC于点F、Q，记△AEF的面积为S1，四边形EFQP的面积为S2，四边形PQCB的面积为S3．（1）求证：EF+PQ＝BC；（2）若S1+S3＝S2，求的值；（3）若S3﹣S1＝S2，直接写出的值．26．（2015•武汉）已知抛物线y＝x2+c与x轴交于A（﹣1，0），B两点，交y轴于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）点E（m，n）是第二象限内一点，过点E作EF⊥x轴交抛物线于点F，过点F作FG⊥y轴于点G，连接CE、CF，若∠CEF＝∠CFG．求n的值并直接写出m的取值范围（利用图1完成你的探究）．（3）如图2，点P是线段OB上一动点（不包括点O、B），PM⊥x轴交抛物线于点M，∠OBQ＝∠OMP，BQ交直线PM于点Q，设点P的横坐标为t，求△PBQ的周长．27．（2014•武汉）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，动点P从点B 出发，在BA边上以每秒5cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB 边上以每秒4cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒（0＜t＜2），连接PQ．（1）若△BPQ与△ABC相似，求t的值；（2）连接AQ，CP，若AQ⊥CP，求t的值；（3）试证明：PQ的中点在△ABC的一条中位线上．28．（2014•武汉）如图，已知直线AB：y＝kx+2k+4与抛物线y＝x2交于A，B两点．（1）直线AB总经过一个定点C，请直接出点C坐标；（2）当k＝﹣时，在直线AB下方的抛物线上求点P，使△ABP的面积等于5；（3）若在抛物线上存在定点D使∠ADB＝90°，求点D到直线AB的最大距离．29．（2013•武汉）已知四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD边上的点，DE与CF交于点G．（1）如图1，若四边形ABCD是矩形，且DE⊥CF．求证：；（2）如图2，若四边形ABCD是平行四边形．试探究：当∠B与∠EGC满足什么关系时，使得成立？并证明你的结论；（3）如图3，若BA＝BC＝6，DA＝DC＝8，∠BAD＝90°，DE⊥CF．请直接写出的值．30．（2013•武汉）如图，点P是直线l：y＝﹣2x﹣2上的点，过点P的另一条直线m交抛物线y＝x2于A、B两点．（1）若直线m的解析式为y＝﹣x+，求A，B两点的坐标；（2）①若点P的坐标为（﹣2，t）．当P A＝AB时，请直接写出点A的坐标；②试证明：对于直线l上任意给定的一点P，在抛物线上能找到点A，使得P A＝AB成立．（3）设直线l交y轴于点C，若△AOB的外心在边AB上，且∠BPC＝∠OCP，求点P 的坐标．31．（2012•武汉）已知△ABC中，AB＝，AC＝，BC＝6（1）如图1，点M为AB的中点，在线段AC上取点N，使△AMN与△ABC相似，求线段MN的长；（2）如图2，是由100个边长为1的小正方形组成的10×10的正方形网格，设顶点在这些小正方形顶点的三角形为格点三角形．①请你在所给的网格中画出格点△A1B1C1与△ABC全等（画出一个即可，不需证明）②试直接写出所给的网格中与△ABC相似且面积最大的格点三角形的个数，并画出其中一个（不需证明）．32．（2012•武汉）如图1，点A为抛物线C1：y＝x2﹣2的顶点，点B的坐标为（1，0）直线AB交抛物线C1于另一点C（1）求点C的坐标；（2）如图1，平行于y轴的直线x＝3交直线AB于点D，交抛物线C1于点E，平行于y 轴的直线x＝a交直线AB于F，交抛物线C1于G，若FG：DE＝4：3，求a的值；（3）如图2，将抛物线C1向下平移m（m＞0）个单位得到抛物线C2，且抛物线C2的顶点为点P，交x轴负半轴于点M，交射线BC于点N．NQ⊥x轴于点Q，当NP平分∠MNQ 时，求m的值．武汉市历年中考数学真题精选汇编:压轴题（含答案解析）参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．（2019•武汉）观察等式：2+22＝23﹣2；2+22+23＝24﹣2；2+22+23+24＝25﹣2…已知按一定规律排列的一组数：250、251、252、…、299、2100．若250＝a，用含a的式子表示这组数的和是（）A．2a2﹣2a B．2a2﹣2a﹣2C．2a2﹣a D．2a2+a【分析】由等式：2+22＝23﹣2；2+22+23＝24﹣2；2+22+23+24＝25﹣2，得出规律：2+22+23+…+2n＝2n+1﹣2，那么250+251+252+…+299+2100＝（2+22+23+…+2100）﹣（2+22+23+…+249），将规律代入计算即可．【解答】解：∵2+22＝23﹣2；2+22+23＝24﹣2；2+22+23+24＝25﹣2；…∴2+22+23+…+2n＝2n+1﹣2，∴250+251+252+…+299+2100＝（2+22+23+...+2100）﹣（2+22+23+ (249)＝（2101﹣2）﹣（250﹣2）＝2101﹣250，∵250＝a，∴2101＝（250）2•2＝2a2，∴原式＝2a2﹣a．故选：C．【点评】本题是一道找规律的题目，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．解决本题的难点在于得出规律：2+22+23+…+2n＝2n+1﹣2．2．（2018•武汉）如图，在⊙O中，点C在优弧上，将弧沿BC折叠后刚好经过AB的中点D．若⊙O的半径为，AB＝4，则BC的长是（）A．B．C．D．【分析】连接OD、AC、DC、OB、OC，作CE⊥AB于E，OF⊥CE于F，如图，利用垂径定理得到OD⊥AB，则AD＝BD＝AB＝2，于是根据勾股定理可计算出OD＝1，再利用折叠的性质可判断弧AC和弧CD所在的圆为等圆，则根据圆周角定理得到＝，所以AC＝DC，利用等腰三角形的性质得AE＝DE＝1，接着证明四边形ODEF为正方形得到OF＝EF＝1，然后计算出CF后得到CE＝BE＝3，于是得到BC＝3．【解答】解：连接OD、AC、DC、OB、OC，作CE⊥AB于E，OF⊥CE于F，如图，∵D为AB的中点，∴OD⊥AB，∴AD＝BD＝AB＝2，在Rt△OBD中，OD＝＝1，∵将弧沿BC折叠后刚好经过AB的中点D．∴弧AC和弧CD所在的圆为等圆，∴＝，∴AC＝DC，∴AE＝DE＝1，易得四边形ODEF为正方形，∴OF＝EF＝1，在Rt△OCF中，CF＝＝2，∴CE＝CF+EF＝2+1＝3，而BE＝BD+DE＝2+1＝3，∴BC＝3．故选：B．【点评】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了圆周角定理和垂径定理．3．（2017•武汉）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以△ABC的一边为边画等腰三角形，使得它的第三个顶点在△ABC的其他边上，则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多为（）A．4B．5C．6D．7【分析】①以B为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点D，△BCD就是等腰三角形；②以A为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点E，△ACE就是等腰三角形；③以C为圆心，BC长为半径画弧，交AC于点F，△BCF就是等腰三角形；④以C为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点K，△BCK就是等腰三角形；⑤作AB的垂直平分线交AC于G，则△AGB是等腰三角形；⑥作BC的垂直平分线交AB于I，则△BCI和△ACI是等腰三角形．【解答】解：如图：故选：D．【点评】本题考查了等腰三角形的判定的应用，主要考查学生的理解能力和动手操作能力．4．（2016•武汉）平面直角坐标系中，已知A（2，2）、B（4，0）．若在坐标轴上取点C，使△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C的个数是（）A．5B．6C．7D．8【分析】由点A、B的坐标可得到AB＝2，然后分类讨论：若AC＝AB；若BC＝AB；若CA＝CB，确定C点的个数．【解答】解：∵点A、B的坐标分别为（2，2）、B（4，0）．∴AB＝2，①若AC＝AB，以A为圆心，AB为半径画弧与坐标轴有3个交点（含B点），即（0，0）、（4，0）、（0，4），∵点（0，4）与直线AB共线，∴满足△ABC是等腰三角形的C点有1个；②若BC＝AB，以B为圆心，BA为半径画弧与坐标轴有2个交点（A点除外），即满足△ABC是等腰三角形的C点有2个；③若CA＝CB，作AB的垂直平分线与坐标轴有两个交点，即满足△ABC是等腰三角形的C点有2个；综上所述：点C在坐标轴上，△ABC是等腰三角形，符合条件的点C共有5个．故选：A．【点评】本题考查了等腰三角形的判定，也考查了通过坐标确定图形的性质以及分类讨论思想的运用．5．（2015•武汉）如图，△ABC，△EFG均是边长为2的等边三角形，点D是边BC、EF的中点，直线AG、FC相交于点M．当△EFG绕点D旋转时，线段BM长的最小值是（）A．2﹣B．+1C．D．﹣1【分析】取AC的中点O，连接AD、DG、BO、OM，如图，易证△DAG∽△DCF，则有∠DAG＝∠DCF，从而可得A、D、C、M四点共圆，根据两点之间线段最短可得BO≤BM+OM，即BM≥BO﹣OM，当M在线段BO与该圆的交点处时，线段BM最小，只需求出BO、OM的值，就可解决问题．【解答】解：AC的中点O，连接AD、DG、BO、OM，如图．∵△ABC，△EFG均是边长为2的等边三角形，点D是边BC、EF的中点，∴AD⊥BC，GD⊥EF，DA＝DG，DC＝DF，∴∠ADG＝90°﹣∠CDG＝∠FDC，＝，∴△DAG∽△DCF，∴∠DAG＝∠DCF．∴A、D、C、M四点共圆．根据两点之间线段最短可得：BO≤BM+OM，即BM≥BO﹣OM，当M在线段BO与该圆的交点处时，线段BM最小，此时，BO＝＝＝，OM＝AC＝1，则BM＝BO﹣OM＝﹣1．故选：D．【点评】本题主要考查了等边三角形的性质、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质、四点共圆的判定、勾股定理、两点之间线段最短等知识，求出动点M的运动轨迹是解决本题的关键．6．（2014•武汉）如图，P A，PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，交P A，PB于C，D．若⊙O的半径为r，△PCD的周长等于3r，则tan∠APB的值是（）A．B．C．D．【分析】（1）连接OA、OB、OP，延长BO交P A的延长线于点F．利用切线求得CA＝CE，DB＝DE，P A＝PB再得出P A＝PB＝．利用Rt△BFP∽RT△OAF得出AF＝FB，在RT△FBP中，利用勾股定理求出BF，再求tan∠APB的值即可．【解答】解：连接OA、OB、OP，延长BO交P A的延长线于点F．∵P A，PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E∴∠OAF＝∠PBF＝90°，CA＝CE，DB＝DE，P A＝PB，∵△PCD的周长＝PC+CE+DE+PD＝PC+AC+PD+DB＝P A+PB＝3r，∴P A＝PB＝．在Rt△PBF和Rt△OAF中，，∴Rt△PBF∽Rt△OAF．∴＝＝＝，∴AF＝FB，在Rt△FBP中，∵PF2﹣PB2＝FB2∴（P A+AF）2﹣PB2＝FB2∴（r+BF）2﹣（）2＝BF2，解得BF＝r，∴tan∠APB＝＝＝，故选：B．【点评】本题主要考查了切线的性质，相似三角形及三角函数的定义，解决本题的关键是切线与相似三角形相结合，找准线段及角的关系．7．（2013•武汉）如图，⊙A与⊙B外切于点D，PC，PD，PE分别是圆的切线，C，D，E 是切点．若∠CDE＝x°，∠ECD＝y°，⊙B的半径为R，则的长度是（）A．B．C．D．【分析】点C、D、E都在⊙P上，由圆周角定理可得：∠DPE＝2y°；然后在四边形BDPE 中，求出∠B；最后利用弧长公式计算出结果．【解答】解：根据题意，由切线长定理可知：PC＝PD＝PE，即点C、D、E在以P为圆心，PC长为半径的⊙P上，由圆周角定理得：∠DPE＝2∠ECD＝2y°．如图，连接BD、BE，则∠BDP＝∠BEP＝90°，在四边形BDPE中，∠B+∠BDP+∠DPE+∠BEP＝360°，即：∠B+90°+2y°+90°＝360°，解得：∠B＝180°﹣2y°．∴的长度是：＝．故选：B．【点评】本题考查圆的相关性质．解题关键是确定点C、D、E在⊙P上，从而由圆周角定理得到∠DPE＝2∠ECD＝2y°．8．（2012•武汉）在面积为15的平行四边形ABCD中，过点A作AE垂直于直线BC于点E，作AF垂直于直线CD于点F，若AB＝5，BC＝6，则CE+CF的值为（）A．11+B．11﹣C．11+或11﹣D．11+或1+【分析】根据平行四边形面积求出AE和AF，有两种情况，求出BE、DF的值，求出CE 和CF的值，相加即可得出答案．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD＝5，BC＝AD＝6，①如图：过点A作AE⊥BC垂足为E，过点A作AF⊥DC垂足为F，由平行四边形面积公式得：BC×AE＝CD×AF＝15，求出AE＝，AF＝3，在Rt△ABE和Rt△ADF中，由勾股定理得：AB2＝AE2+BE2，把AB＝5，AE＝代入求出BE＝，同理DF＝3＞5，即F在DC的延长线上（如上图），∴CE＝6﹣，CF＝3﹣5，即CE+CF＝1+，②如图：过点A作AF⊥DC垂足为F，过点A作AE⊥BC垂足为E，∵AB＝5，AE＝，在△ABE中，由勾股定理得：BE＝，同理DF＝3，由①知：CE＝6+，CF＝5+3，∴CE+CF＝11+．故选：D．【点评】本题考查了平行四边形性质，勾股定理的应用，主要培养学生的理解能力和计算能力，注意：要分类讨论啊．二．填空题（共8小题）9．（2019•武汉）问题背景：如图1，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△ADE，DE与BC交于点P，可推出结论：P A+PC＝PE．问题解决：如图2，在△MNG中，MN＝6，∠M＝75°，MG＝．点O是△MNG内一点，则点O到△MNG三个顶点的距离和的最小值是2．【分析】（1）在BC上截取BG＝PD，通过三角形全等证得AG＝AP，BG＝DP，得出△AGP是等边三角形，得出AP＝GP，则P A+PC＝GP+PC＝GC＝PE，即可证得结论；（2）以MG为边作等边三角形△MGD，以OM为边作等边△OME．连接ND，可证△GMO≌△DME，可得GO＝DE，则MO+NO+GO＝NO+OE+DE，即当D、E、O、N四点共线时，MO+NO+GO值最小，最小值为ND的长度，根据勾股定理先求得MF、DF，然后求ND的长度，即可求MO+NO+GO的最小值．【解答】（1）证明：如图1，在BC上截取BG＝PD，在△ABG和△ADP中，∴△ABG≌△ADP（SAS），∴AG＝AP，BG＝DP，∴GC＝PE，∵∠GAP＝∠BAD＝60°，∴△AGP是等边三角形，∴AP＝GP，∴P A+PC＝GP+PC＝GC＝PE∴P A+PC＝PE；（2）解：如图2：以MG为边作等边三角形△MGD，以OM为边作等边△OME．连接ND，作DF⊥NM，交NM的延长线于F．∵△MGD和△OME是等边三角形∴OE＝OM＝ME，∠DMG＝∠OME＝60°，MG＝MD，∴∠GMO＝∠DME在△GMO和△DME中∴△GMO≌△DME（SAS），∴OG＝DE∴NO+GO+MO＝DE+OE+NO∴当D、E、O、M四点共线时，NO+GO+MO值最小，∵∠NMG＝75°，∠GMD＝60°，∴∠NMD＝135°，∴∠DMF＝45°，∵MG＝．∴MF＝DF＝4，∴NF＝MN+MF＝6+4＝10，∴ND＝＝＝2，∴MO+NO+GO最小值为2，故答案为2，【点评】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，勾股定理，最短路径问题，构造等边三角形是解答本题的关键．10．（2018•武汉）如图，在△ABC中，∠ACB＝60°，AC＝1，D是边AB的中点，E是边BC上一点．若DE平分△ABC的周长，则DE的长是．【分析】延长BC至M，使CM＝CA，连接AM，作CN⊥AM于N，根据题意得到ME＝EB，根据三角形中位线定理得到DE＝AM，根据等腰三角形的性质求出∠ACN，根据正弦的概念求出AN，计算即可．【解答】解：延长BC至M，使CM＝CA，连接AM，作CN⊥AM于N，∵DE平分△ABC的周长，∴ME＝EB，又AD＝DB，∴DE＝AM，DE∥AM，∵∠ACB＝60°，∴∠ACM＝120°，∵CM＝CA，∴∠ACN＝60°，AN＝MN，∴AN＝AC•sin∠ACN＝，∴AM＝，∴DE＝，故答案为：．【点评】本题考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的性质、解直角三角形，掌握三角形中位线定理、正确作出辅助线是解题的关键．11．（2017•武汉）已知关于x的二次函数y＝ax2+（a2﹣1）x﹣a的图象与x轴的一个交点的坐标为（m，0）．若2＜m＜3，则a的取值范围是＜a＜或﹣3＜a＜﹣2．【分析】先用a表示出抛物线与x轴的交点，再分a＞0与a＜0两种情况进行讨论即可．【解答】解：∵y＝ax2+（a2﹣1）x﹣a＝（ax﹣1）（x+a），∴当y＝0时，x1＝，x2＝﹣a，∴抛物线与x轴的交点为（，0）和（﹣a，0）．∵抛物线与x轴的一个交点的坐标为（m，0）且2＜m＜3，∴当a＞0时，2＜＜3，解得＜a＜；当a＜0时，2＜﹣a＜3，解得﹣3＜a＜﹣2．故答案为：＜a＜或﹣3＜a＜﹣2．【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点，在解答此题时要注意进行分类讨论，不要漏解．12．（2016•武汉）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝10，DA＝5，则BD的长为2．【分析】作DM⊥BC，交BC延长线于M，连接AC，由勾股定理得出AC2＝AB2+BC2＝25，求出AC2+CD2＝AD2，由勾股定理的逆定理得出△ACD是直角三角形，∠ACD＝90°，证出∠ACB＝∠CDM，得出△ABC∽△CMD，由相似三角形的对应边成比例求出CM＝2AB＝6，DM＝2BC＝8，得出BM＝BC+CM＝10，再由勾股定理求出BD即可．【解答】解：作DM⊥BC，交BC延长线于M，连接AC，如图所示：则∠M＝90°，∴∠DCM+∠CDM＝90°，∵∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，∴AC2＝AB2+BC2＝25，∵CD＝10，AD＝5，∴AC2+CD2＝AD2，∴△ACD是直角三角形，∠ACD＝90°，∴∠ACB+∠DCM＝90°，∴∠ACB＝∠CDM，∵∠ABC＝∠M＝90°，∴△ABC∽△CMD，∴＝，∴CM＝2AB＝6，DM＝2BC＝8，∴BM＝BC+CM＝10，∴BD＝＝＝2，故答案为：2．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理、勾股定理的逆定理；熟练掌握相似三角形的判定与性质，证明由勾股定理的逆定理证出△ACD是直角三角形是解决问题的关键．13．（2015•武汉）如图，∠AOB＝30°，点M、N分别在边OA、OB上，且OM＝1，ON＝3，点P、Q分别在边OB、OA上，则MP+PQ+QN的最小值是．【分析】作M关于OB的对称点M′，作N关于OA的对称点N′，连接M′N′，即为MP+PQ+QN的最小值．【解答】解：作M关于OB的对称点M′，作N关于OA的对称点N′，连接M′N′，即为MP+PQ+QN的最小值．根据轴对称的定义可知：∠N′OQ＝∠M′OB＝30°，∠ONN′＝60°，∴△ONN′为等边三角形，△OMM′为等边三角形，∴∠N′OM′＝90°，∴在Rt△M′ON′中，M′N′＝＝．故答案为．【点评】本题考查了轴对称﹣﹣最短路径问题，根据轴对称的定义，找到相等的线段，得到等边三角形是解题的关键．14．（2014•武汉）如图，在四边形ABCD中，AD＝4，CD＝3，∠ABC＝∠ACB＝∠ADC＝45°，则BD的长为．【分析】根据等式的性质，可得∠BAD与∠CAD′的关系，根据SAS，可得△BAD与△CAD′的关系，根据全等三角形的性质，可得BD与CD′的关系，根据勾股定理，可得答案．【解答】解：作AD′⊥AD，AD′＝AD，连接CD′，DD′，如图：∵∠BAC+∠CAD＝∠DAD′+∠CAD，即∠BAD＝∠CAD′，在△BAD与△CAD′中，，∴△BAD≌△CAD′（SAS），∴BD＝CD′．∠DAD′＝90°由勾股定理得DD′＝，∠D′DA+∠ADC＝90°由勾股定理得CD′＝，∴BD＝CD′＝，故答案为：．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，利用了全等三角形的判定与性质，勾股定理，作出全等图形是解题关键．15．（2013•武汉）如图，E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE＝DF．连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H．若正方形的边长为2，则线段DH长度的最小值是﹣1．【分析】根据正方形的性质可得AB＝AD＝CD，∠BAD＝∠CDA，∠ADG＝∠CDG，然后利用“边角边”证明△ABE和△DCF全等，根据全等三角形对应角相等可得∠1＝∠2，利用“SAS”证明△ADG和△CDG全等，根据全等三角形对应角相等可得∠2＝∠3，从而得到∠1＝∠3，然后求出∠AHB＝90°，取AB的中点O，连接OH、OD，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OH＝AB＝1，利用勾股定理列式求出OD，然后根据三角形的三边关系可知当O、D、H三点共线时，DH的长度最小．【解答】解：在正方形ABCD中，AB＝AD＝CD，∠BAD＝∠CDA，∠ADG＝∠CDG，在△ABE和△DCF中，，∴△ABE≌△DCF（SAS），∴∠1＝∠2，在△ADG和△CDG中，，∴△ADG≌△CDG（SAS），∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠3，∵∠BAH+∠3＝∠BAD＝90°，∴∠1+∠BAH＝90°，∴∠AHB＝180°﹣90°＝90°，取AB的中点O，连接OH、OD，则OH＝AO＝AB＝1，在Rt△AOD中，OD＝＝＝，根据三角形的三边关系，OH+DH＞OD，∴当O、D、H三点共线时，DH的长度最小，最小值＝OD﹣OH＝﹣1．（解法二：可以理解为点H是在Rt△AHB，AB直径的半圆上运动当O、H、D三点共线时，DH长度最小）故答案为：﹣1．【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，三角形的三边关系，确定出DH最小时点H的位置是解题关键，也是本题的难点．16．（2012•武汉）在平面直角坐标系中，点A的坐标为（3，0），点B为y轴正半轴上的一点，点C是第一象限内一点，且AC＝2．设tan∠BOC＝m，则m的取值范围是m≥．【分析】C在以A为圆心，以2为半径的圆周上，只有当OC与圆A相切（即到C点）时，∠BOC最小，根据勾股定理求出此时的OC，求出∠BOC＝∠CAO，根据解直角三角形求出此时的值，根据tan∠BOC的增减性，即可求出答案．【解答】解：C在以A为圆心，以2为半径作圆周上，只有当OC与圆A相切（即到C点）时，∠BOC最小，AC＝2，OA＝3，由勾股定理得：OC＝，∵∠BOA＝∠ACO＝90°，∴∠BOC+∠AOC＝90°，∠CAO+∠AOC＝90°，∴∠BOC＝∠OAC，tan∠BOC＝tan∠OAC＝＝，随着C的移动，∠BOC越来越大，∵C在第一象限，∴C不到x轴点，即∠BOC＜90°，∴tan∠BOC≥，故答案为：m≥．【点评】本题考查了解直角三角形，勾股定理，切线的性质等知识点的应用，能确定∠BOC的变化范围是解此题的关键，题型比较好，但是有一定的难度．三．解答题（共16小题）17．（2019•武汉）在△ABC中，∠ABC＝90°，＝n，M是BC上一点，连接AM．（1）如图1，若n＝1，N是AB延长线上一点，CN与AM垂直，求证：BM＝BN．（2）过点B作BP⊥AM，P为垂足，连接CP并延长交AB于点Q．①如图2，若n＝1，求证：＝．②如图3，若M是BC的中点，直接写出tan∠BPQ的值．（用含n的式子表示）【分析】（1）如图1中，延长AM交CN于点H．想办法证明△ABM≌△CBN（ASA）即可．（2）①如图2中，作CH∥AB交BP的延长线于H．利用全等三角形的性质证明CH＝BM，再利用平行线分线段成比例定理解决问题即可．②如图3中，作CH∥AB交BP的延长线于H，作CN⊥BH于N．不妨设BC＝2m，则AB＝2mn．想办法求出CN，PN（用m，n表示），即可解决问题．【解答】（1）证明：如图1中，延长AM交CN于点H．∵AM⊥CN，∴∠AHC＝90°，∵∠ABC＝90°，∴∠BAM+∠AMB＝90°，∠BCN+∠CMH＝90°，∵∠AMB＝∠CMH，∴∠BAM＝∠BCN，∵BA＝BC，∠ABM＝∠CBN＝90°，∴△ABM≌△CBN（ASA），∴BM＝BN．（2）①证明：如图2中，作CH∥AB交BP的延长线于H．∵BP⊥AM，∴∠BPM＝∠ABM＝90°，∵∠BAM+∠AMB＝90°，∠CBH+∠BMP＝90°，∴∠BAM＝∠CBH，∵CH∥AB，∴∠HCB+∠ABC＝180°，∵∠ABC＝90°，∴∠ABM＝∠BCH＝90°，∵AB＝BC，∴△ABM≌△BCH（ASA），∴BM＝CH，∵CH∥BQ，∴＝＝．②解：如图3中，作CH∥AB交BP的延长线于H，作CN⊥BH于N．不妨设BC＝2m，则AB＝2mn．则BM＝CM＝m，CH＝，BH＝，AM＝m，∵•AM•BP＝•AB•BM，∴PB＝，∵•BH•CN＝•CH•BC，∴CN＝，∵CN⊥BH，PM⊥BH，∴MP∥CN，∵CM＝BM，∴PN＝BP＝，∵∠BPQ＝∠CPN，∴tan∠BPQ＝tan∠CPN＝＝＝．方法二：易证：＝＝＝，∵PN＝PB，tan∠BPQ＝＝＝＝．【点评】本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．18．（2019•武汉）已知抛物线C1：y＝（x﹣1）2﹣4和C2：y＝x2（1）如何将抛物线C1平移得到抛物线C2？（2）如图1，抛物线C1与x轴正半轴交于点A，直线y＝﹣x+b经过点A，交抛物线C1于另一点B．请你在线段AB上取点P，过点P作直线PQ∥y轴交抛物线C1于点Q，连接AQ．①若AP＝AQ，求点P的横坐标；②若P A＝PQ，直接写出点P的横坐标．（3）如图2，△MNE的顶点M、N在抛物线C2上，点M在点N右边，两条直线ME、NE与抛物线C2均有唯一公共点，ME、NE均与y轴不平行．若△MNE的面积为2，设M、N两点的横坐标分别为m、n，求m与n的数量关系．【分析】（1）y＝（x﹣1）2﹣4向左平移1个单位长度，再向上平移4个单位长度即可得到y＝x2；（2）①易求点A（3，0），b＝4，设D（0，4）关于x轴的对称点为D'，则D'（0，﹣4），则可求直线AD'的解析式为y＝x﹣4，联立方程，可得P点横坐标为；②同理可得P点横坐标为﹣；（3）设经过M与E的直线解析式为y＝k（x﹣m）+m2，∴，则可知△＝k2﹣4km+4m2＝（k﹣2m）2＝0，求得k＝2m，得出直线ME的解析式为y＝2mx﹣m2，同理：直线NE的解析式为y＝2nx﹣n2，则可求E（，mn），再由面积[（n2﹣mn）+（m2﹣mn）]×（m﹣n）﹣（n2﹣mn）×（﹣n）﹣（m2﹣mn）×（m﹣）＝2，可得（m﹣n）3＝8，即可求解；【解答】解：（1）y＝（x﹣1）2﹣4向左平移1个单位长度，再向上平移4个单位长度即可得到y＝x2；（2）如图1，①设抛物线C1与y轴交于C点，直线AB与y轴交于D点，∵C1：y＝（x﹣1）2﹣4，∴A（3，0），C（0，﹣3），∵直线y＝﹣x+b经过点A，∴b＝4，∴D（0，4），∵AP＝AQ，PQ∥y轴，∴P、Q两点关于x轴对称，设D（0，4）关于x轴的对称点为D'，则D'（0，﹣4），∴直线AD'的解析式为y＝x﹣4，由，得x1＝3，x2＝，∴x Q＝，∴x P＝x Q＝，∴P点横坐标为；②P点横坐标为﹣；（3）设经过M与E的直线解析式为y＝k（x﹣m）+m2，∴，则有x2﹣kx+km﹣m2＝0，△＝k2﹣4km+4m2＝（k﹣2m）2＝0，∴k＝2m，∴直线ME的解析式为y＝2mx﹣m2，同理：直线NE的解析式为y＝2nx﹣n2，∴E（，mn），∴[（n2﹣mn）+（m2﹣mn）]×（m﹣n）﹣（n2﹣mn）×（﹣n）﹣（m2﹣mn）×（m﹣）＝2，∴（m﹣n）3﹣＝4，∴（m﹣n）3＝8，∴m﹣n＝2；【点评】本题考查二次函数的图象及性质；是二次函数的综合题，熟练掌握直线与二次函数的交点求法，借助三角形面积列出等量关系是解决m与n的关系的关键．19．（2018•武汉）在△ABC中，∠ABC＝90°．（1）如图1，分别过A、C两点作经过点B的直线的垂线，垂足分别为M、N，求证：△ABM∽△BCN；（2）如图2，P是边BC上一点，∠BAP＝∠C，tan∠P AC＝，求tan C的值；（3）如图3，D是边CA延长线上一点，AE＝AB，∠DEB＝90°，sin∠BAC＝，，直接写出tan∠CEB的值．【分析】（1）利用同角的余角相等判断出∠BAM＝∠CBN，即可得出结论；（2）先判断出MP＝MC，进而得出＝，设MN＝2m，PN＝m，根据勾股定理得，PM＝＝3m＝CM，即可得出结论；（3）先判断出＝，再同（2）的方法，即可得出结论．【解答】解：（1）∵AM⊥MN，CN⊥MN，∴∠AMB＝∠BNC＝90°，∴∠BAM+∠ABM＝90°，∵∠ABC＝90°，∴∠ABM+∠CBN＝90°，∴∠BAM＝∠CBN，∵∠AMB＝∠NBC，∴△ABM∽△BCN；（2）如图2，过点P作PM⊥AP交AC于M，PN⊥AM于N．∴∠BAP+∠1＝∠CPM+∠1＝90°，∴∠BAP＝∠CPM＝∠C，∴MP＝MC∵tan∠P AC＝＝＝＝设MN＝2m，PN＝m，根据勾股定理得，PM＝＝3m＝CM，∴tan C＝＝；（3）在Rt△ABC中，sin∠BAC＝＝，过点A作AG⊥BE于G，过点C作CH⊥BE交EB的延长线于H，∵∠DEB＝90°，∴CH∥AG∥DE，∴＝同（1）的方法得，△ABG∽△BCH∴，设BG＝4m，CH＝3m，AG＝4n，BH＝3n，∵AB＝AE，AG⊥BE，∴EG＝BG＝4m，∴GH＝BG+BH＝4m+3n，∴，∴n＝2m，∴EH＝EG+GH＝4m+4m+3n＝8m+3n＝8m+6m＝14m，在Rt△CEH中，tan∠BEC＝＝．【点评】此题是相似形综合题，主要考查了同角的余角相等，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，平行线分线段成比例定理，构造图1是解本题的关键．20．（2018•武汉）抛物线L：y＝﹣x2+bx+c经过点A（0，1），与它的对称轴直线x＝1交于点B．（1）直接写出抛物线L的解析式；（2）如图1，过定点的直线y＝kx﹣k+4（k＜0）与抛物线L交于点M、N．若△BMN的面积等于1，求k的值；（3）如图2，将抛物线L向上平移m（m＞0）个单位长度得到抛物线L1，抛物线L1与y轴交于点C，过点C作y轴的垂线交抛物线L1于另一点D．F为抛物线L1的对称轴与x轴的交点，P为线段OC上一点．若△PCD与△POF相似，并且符合条件的点P恰有2个，求m的值及相应点P的坐标．【分析】（1）根据对称轴为直线x＝1且抛物线过点A（0，1）求解可得；（2）根据直线y＝kx﹣k+4＝k（x﹣1）+4知直线所过定点G坐标为（1，4），从而得出。