计算方法实验计算机科学与技术

实验一 非线性方程的迭代数值解法一、实验目的1) 熟悉用牛顿法解非线性方程的过程；熟悉用弦截法求解非线性方程的过程 2) 编程实现牛顿法、弦截法求非线性方程的根。

二、实验设备PC 机一台，C 语言、PASCAL 语言、Matlab 任选 三、实验内容1)用牛顿法求解01553=-x 的根，取初始值为10。

2) 用弦截法求解数学方程。

010*15.110*4.181.9*002.0)(255.15=--=--x x x f四、实验要求1）认真分析题目的条件和要求，复习相关的理论知识，选择适当的解决方案和算法； 牛顿迭代法：是用于求方程或方程组近似根的一种常用的算法设计方法。

设方程为f(x)=0，用某种数学方法导出等价的形式 x(n+1) = x(n)–f(x(n))/f ’(x(n)).然后按以下步骤执行： (1) 选一个方程的近似根，赋给变量x1;(2) 将x0的值保存于变量x1，然后计算g(x1)，并将结果存于变量x0;(3) 当x0与x1的差的绝对值还小于指定的精度要求时，重复步骤(2)的计算。

若方程有根，并且用上述方法计算出来的近似根序列收敛，则按上述方法求得的x0就 认为是方程的根。

弦截法：弦截法求方程的根是一种解方程得基本方法，在计算机编程中常用。

他的思路是这样的：任取两个数，判断这两个数的函数值，如果函数值是同号，换两个数再试，直到两个数x1，x2对应的函数值为异号时为止，这时方程的解肯定在这两个数x1，x2之间。

连接这两点所对应的函数值，连线与x 轴的交点为新的x ，若f(x)与f(x1)同号，则把x 当作新的x1，将新的x1与x2连接，如此循环……如果f(x)与f(x1)异号，则把把x 当作新的x2，将x1与新的x2连接，循环……本实验在操作之前对构造方程的函数，分别进行了一阶和二阶求导。

二阶导数恒小于零。

2)编写上机实验程序，作好上机前的准备工作；牛顿迭代法求解/*计算pow(x,3)-155=0的根 用牛顿迭代法*/ #include <stdio.h> #include <math.h> double fy(double x){ return pow(x,3)-155; }double fd(double x){ return 3*pow(x,2);}void main(){ int i=1;double x0=10,x=0;printf("The initial x is %.5lf\n\n",x0);for(i=1;i<50;i++){x=x0-fy(x0)/fd(x0);if(fabs(x-x0)<1e-5) break;x0=x;printf("The %d the x is %.5lf\n",i,x0);}}============================================================= 弦截法求解求解数学方程的根0.002*9.81-1.4*e-5*X1.5-1.15*e-5*X2=0/*求解数学方程的隔根区间f(X)=0.002*9.81-1.4*e-5*X1.5-1.15*e-5*X2=0f'(X)=-1.4*e-5*(1.5)*X0.5-1.15*e-5*(2)X ?? 0f''(X)=-1.4*e-5*(1.5*0.5)X(-0.5)-1.15*e-5*(2)<0*/#include <stdio.h>#include <math.h>#define N 0.5double f(double x){ double f;f=0.002*9.81-1.4*0.00001*pow(x,1.5)-1.15*0.00001*pow(x,2);return f;}void main(){int i;double Initial=36;double a,b,fa,fb;printf("i\ta\t f(a)\t\tb\t\tf(b)\tf(a)*f(b)\n");for(i=1;;i++){ a=Initial-N*i;b=Initial+N*i;fa=f(a);fb=f(b);printf("%d\t%lf %lf\t%lf %lf\t%lf\n",i,a,fa,b,fb,fa*fb);if(fa*fb<0) break;}printf("The last :\n");printf("%d\t%lf\t%lf\t%lf\t%lf\n",i,a,fa,b,fb);}/* 用弦截法求解数学方程。

f(X)=0.002*9.81-1.4*e-5*X1.5-1.15*e-5*X2=0由上面的运行结果可以得到f'(X)=-1.4*e-5*(1.5)*X0.5-1.15*e-5*(2)X<0 成立f''(X)=-1.4*e-5*(1.5*0.5)X(-0.5)-1.15*e-5*(2)<0f'(X)*f''(X)>0所以在使用弦截法时右边的端点(b)为不动点*/#include <stdio.h>#include <math.h>#define N 37.500000#define M 38.000000#define Boundary 1000void main(){ int count;double b=M;double temp;double x0=N,x;double f;printf("we choose two points a=%lf, b=%lf\n",N,M);f=0.002*9.81-1.4*0.00001*pow(b,1.5)-1.15*0.00001*pow(b,2);for(count=0;count<Boundary;count++){temp=0.002*9.81-1.4*0.00001*pow(x0,1.5)-1.15*0.00001*pow(x0,2);x=b-(x0-b)/temp*f;if(fabs(x-x0)<1e-5) break;x0=x;printf("The %d\tthe x is %.5lf\n",count,x0);}printf("The Calculated Results is :");printf("\t %.5lf\n",x0);}3)上机调试程序，并试算各种方案，记录计算的结果（包括必要的中间结果）；牛顿迭代法截图：弦截法截图：4）分析和解释计算结果；牛顿迭代法：通过迭代公式，多次迭代，最后获得精度在1e-5结果数据，符合试验要求。

弦截法求解：上面第一个程序为了实现找到隔根区间。

根据上面的程序运行结果得出以下结论：可以选用[a,b]=[37.500000,38.000000]，且b为不动点，采用单点弦截法。

以b=38.00000为不动点，发现在[37.500000,38.000000]两个端点处函数值为异号，计算结果表明x=37.46739在精确度上满足要求，该点处的函数值最接近零。

得出结论实验结果符合要求。

实验二插值法一、实验目的1、掌握直接利用拉格郎日插值多项式计算函数在已知点的函数值；观察拉格郎日插值的龙格现象。

2、了解Hermite插值法、三次样条插值法原理，结合计算公式，确定函数值。

二、实验设备PC机一台，C语言、PASCAL语言、Matlab任选三、实验内容1) 用拉格郎日插值公式确定函数值；对函数f(x)进行拉格郎日插值，并对f(x)与插值多项式的曲线作比较。

已知函数表：（0.56160,0.82741）、（0.56280,0.82659）、（0.56401,0.82577）、（0.56521,0.82495）用三次拉格朗日插值多项式求x=0.5635时函数近似值。

2) 用Herimite插值公式，对函数f(x)进行Herimite插值。

已知函数表：（1,2）、（2,3）及对应导数值（1,0）、（2,－1），求出满足上述条件的两点三次插值多项式，及在1.5,1.7处的函数值。

3) 编程实现：已知函数表：（0,0）、（1,0）、（2,0）、（3,0）端点条件为m0=1,m3=0;M0=1,M3=0，分别求出满足上述条件的三次样条插值函数的分段表达式。

四、实验要求1）认真分析题目的条件和要求，复习相关的理论知识，选择适当的解决方案和算法；Lagrange插值法算法：n次拉格朗日插值多项式为：Ln(x)=y0l0(x)+y1l1(x)+y2l2(x)+…+ynln(x)n=1时，称为线性插值，L1(x)=y0(x-x1)/(x0-x1)+ y1(x-x0)/(x1-x0)=y0+(y1-x0)(x-x0)/(x1-x0) n=2时，称为二次插值或抛物线插值，精度相对高些L2(x)=y0(x-x1)(x-x2)/(x0-x1)/(x0-x2)+y1(x-x0)(x-x2)/(x1-x0)/(x1-x2)+y2(x-x0)(x-x1)/(x2-x0)/(x 2-x1)本实验室三次插值将是曲线，精确度相对高些2）编写上机实验程序，作好上机前的准备工作；/*Lagrange插值法算法initial 初始化点#defineN 已知点的个数secondriver 2011-04-07*/double Difference(double initial,int N,double *x,double *y){ double Ln=0.0;int i,j;printf("Lagrange Aritmetic :\n");for(i=0;i<N;i++){double ln=1.0;for(j=0;j<N;j++){ if(j==i) continue;ln*=(initial-x[j])/(x[i]-x[j]);}Ln+=ln*y[i];printf("The L[%d] is :\t%.5lf\n",i,Ln);}return Ln;}#include <stdio.h>#include "LagrangeArithmetic.h"#define N 4void main(){ double end,initial=0.563500;double x[N]={0.56160,0.56280,0.56401,0.56521};double y[N]={0.82741,0.82659,0.82577,0.82495};double *p=x,*q=y;end=Difference(initial,N,p,q);printf("The result Ln is :%.5lf\n",end);}====================================================================== Hermite插值法：#include <math.h>#include <stdio.h>#define m 2#define n 1void main(){int i,k;float x[n+1],y[n+1],yy[n+1],h,z[m];printf("请按行输入一系列的x值:\n");for(k=0;k<n+1;k++)scanf("%f",&x[k]);printf("请按行输入一系列的y值:\n");for(k=0;k<n+1;k++)scanf("%f",&y[k]);printf("请输入一系列的y'的值:\n");for(k=0;k<n+1;k++)scanf("%f",&yy[k]);printf("请按行输入这%d个插值点:\n",m);for(i=0;i<m;i++)scanf("%f",&z[i]);for(i=0;i<m+2;i++)for(k=0;k<n;k++)if(z[i]>=x[k]&&z[i]<=x[k+1]){h=pow((z[i]-x[k+1])/(x[k]-x[k+1]),2.0)*(1+2*(z[i]-x[k])/(x[k+1]-x[k]))*y[k]+pow((z[i]-x[k])/(x[k +1]-x[k]),2.0)*(1+2*(z[i]-x[k+1])/(x[k]-x[k+1]))*y[k+1]+pow((z[i]-x[k+1])/(x[k]-x[k+1]),2.0)*(z[i]-x[k])*yy[k]+pow((z[i]-x[k])/(x[k+1]-x[k]),2.0)*(z[i]-x[k+1])*yy[k+1];printf("h(%f)=%f\n",z[i],h);}}3）上机调试程序，并试算各种方案，记录计算的结果（包括必要的中间结果）；4)分析和解释计算结果；Lagrange插值法算法：插值点是x=0.563500 介于0.56280和0.56401之间，插值运算的结果是0.82612介于0.82659和0.82577之间。