计算方法实验计算机科学与技术

实验一 非线性方程的迭代数值解法

一、实验目的

1) 熟悉用牛顿法解非线性方程的过程；熟悉用弦截法求解非线性方程的过程 2) 编程实现牛顿法、弦截法求非线性方程的根。 二、实验设备

PC 机一台，C 语言、PASCAL 语言、Matlab 任选 三、实验内容

1)用牛顿法求解01553

=-x 的根，取初始值为10。

2) 用弦截法求解数学方程。

010*15.110*4.181.9*002.0)(255.15=--=--x x x f

四、实验要求

1）认真分析题目的条件和要求，复习相关的理论知识，选择适当的解决方案和算法； 牛顿迭代法：

是用于求方程或方程组近似根的一种常用的算法设计方法。设方程为f(x)=0，用某种数学方法导出等价的形式 x(n+1) = x(n)–f(x(n))/f ’(x(n)).然后按以下步骤执行： (1) 选一个方程的近似根，赋给变量x1;

(2) 将x0的值保存于变量x1，然后计算g(x1)，并将结果存于变量x0;

(3) 当x0与x1的差的绝对值还小于指定的精度要求时，重复步骤(2)的计算。

若方程有根，并且用上述方法计算出来的近似根序列收敛，则按上述方法求得的x0就 认为是方程的根。

弦截法：

弦截法求方程的根是一种解方程得基本方法，在计算机编程中常用。他的思路是这样的：任取两个数，判断这两个数的函数值，如果函数值是同号，换两个数再试，直到两个数x1，x2对应的函数值为异号时为止，这时方程的解肯定在这两个数x1，x2之间。连接这两点所对应的函数值，连线与x 轴的交点为新的x ，若f(x)与f(x1)同号，则把x 当作新的x1，将新的x1与x2连接，如此循环……如果f(x)与f(x1)异号，则把把x 当作新的x2，将x1与新的x2连接，循环……

本实验在操作之前对构造方程的函数，分别进行了一阶和二阶求导。二阶导数恒小于零。

2)编写上机实验程序，作好上机前的准备工作；

牛顿迭代法求解

/*计算pow(x,3)-155=0的根 用牛顿迭代法*/ #include #include double fy(double x){ return pow(x,3)-155; }

double fd(double x){ return 3*pow(x,2);

}

void main(){ int i=1;

double x0=10,x=0;

printf("The initial x is %.5lf\n\n",x0);

for(i=1;i<50;i++){

x=x0-fy(x0)/fd(x0);

if(fabs(x-x0)<1e-5) break;

x0=x;

printf("The %d the x is %.5lf\n",i,x0);

}

}

============================================================= 弦截法求解

求解数学方程的根0.002*9.81-1.4*e-5*X1.5-1.15*e-5*X2=0

/*求解数学方程的隔根区间

f(X)=0.002*9.81-1.4*e-5*X1.5-1.15*e-5*X2=0

f'(X)=-1.4*e-5*(1.5)*X0.5-1.15*e-5*(2)X ?? 0

f''(X)=-1.4*e-5*(1.5*0.5)X(-0.5)-1.15*e-5*(2)<0*/

#include

#include

#define N 0.5

double f(double x)

{ double f;

f=0.002*9.81-1.4*0.00001*pow(x,1.5)-1.15*0.00001*pow(x,2);

return f;

}

void main()

{

int i;

double Initial=36;

double a,b,fa,fb;

printf("i\ta\t f(a)\t\tb\t\tf(b)\tf(a)*f(b)\n");

for(i=1;;i++)

{ a=Initial-N*i;

b=Initial+N*i;

fa=f(a);

fb=f(b);

printf("%d\t%lf %lf\t%lf %lf\t%lf\n",i,a,fa,b,fb,fa*fb);

if(fa*fb<0) break;

}

printf("The last :\n");

printf("%d\t%lf\t%lf\t%lf\t%lf\n",i,a,fa,b,fb);

}

/* 用弦截法求解数学方程。

f(X)=0.002*9.81-1.4*e-5*X1.5-1.15*e-5*X2=0

由上面的运行结果可以得到f'(X)=-1.4*e-5*(1.5)*X0.5-1.15*e-5*(2)X<0 成立

f''(X)=-1.4*e-5*(1.5*0.5)X(-0.5)-1.15*e-5*(2)<0

f'(X)*f''(X)>0

所以在使用弦截法时右边的端点(b)为不动点*/

#include

#include

#define N 37.500000

#define M 38.000000

#define Boundary 1000

void main()

{ int count;

double b=M;

double temp;

double x0=N,x;

double f;

printf("we choose two points a=%lf, b=%lf\n",N,M);

f=0.002*9.81-1.4*0.00001*pow(b,1.5)-1.15*0.00001*pow(b,2);

for(count=0;count

{

temp=0.002*9.81-1.4*0.00001*pow(x0,1.5)-1.15*0.00001*pow(x0,2);

x=b-(x0-b)/temp*f;

if(fabs(x-x0)<1e-5) break;

x0=x;

printf("The %d\tthe x is %.5lf\n",count,x0);

}

printf("The Calculated Results is :");

printf("\t %.5lf\n",x0);

}

3)上机调试程序，并试算各种方案，记录计算的结果（包括必要的中间结果）；牛顿迭代法截图：

弦截法截图：