第一二期实数代数式

第一期实数

考试要求

l．理解实数的意义,掌握实数的分类,明确实数集中各类数集的包含关系,会判定一个数的类别;

2.理解并掌握相反数、倒数和绝对值的概念，掌握去掉绝对值符号的方法（会进行分类讨论）；

3．知道实数集的一些性质，特别是数轴上的点和实数的一一对应关系，能利用数轴表示某个实数集的范围，会利用数轴比较两个实数的大小；

4．知道在实数集中，原有的运算律和运算性质都能继续运用，能根据数的运算法则准确、熟练地进行加、减、乘、除、乘方、开方运算；

5．了解近似数与有效数字的概念；会根据指定的精确度或有效数字的个数用四舍五入法求实数的近似值；会用科学记数法表示数.

要点解析

一、本章知识网络

二、数集的扩充

在初中，我们对数的认识有两次飞跃，一是引进负数，把数集扩充到有理数集；二是引进无理数，又将有理数集扩充到实数集，对于数集的不断扩充，我们应该注意到以下几点：

1．数的概念是逐步发展的，其发展过程大体上可按如下顺序，即

2．数的概念产生于实际的需要，数集的每一次扩充既是表示量的需要（例如，为了表示具有相反意义的量引入负数，无理数的引进，最终解决了连续量的度量问题），又是为了解决数学本身矛盾的需要（例如，为了解决在自然数集合里，除法的运算不能总是可以实施的矛盾，引入了正分数，而负数的引入，又解决了正有理数集会里减法的运算不能总可实施的矛盾）.因此，数集的每一次扩充，都是希望扩充后的新数集能解决原有旧数集所不能解决的某些矛盾.

3．数集的每一次扩充总要增添新的元素，并且新、旧元素合在一起作为新数集的元素.

4．在新数集中重新定义的数与数之间的关系和运算法则，与原有的关系、运算法则不矛盾，并且原有的一些主要性质（例如运算定律、顺序律等）仍能适用.

三、实数的有关概念

1．实数的分类一般有以下两种：

以下各概念请注意：

（1）形如（m、n是整数，）的数叫做有理数．

由于任何一个分数都能化成有限小数或无限循环小数，而任何一个有限小数或无限循环小数都能化成分数，因此，有限小数和无限循环小数都是有理数．

（2）无限不循环小数叫做无理数．

（3）对于整数，若按它们被2除所得的余数来分类，整数可分为奇数和偶数．

（4）对于自然数，若按它们各自的约数的个数来分类，自然数可分为质数、合数及1．注意，1既不是质数，也不是合数，在质数中只有2是偶数．

2．实数的绝对值

任何一个非零实数都是由符号及其绝对值两部分组成．

实数a的绝对值的意义是

的几何意义是在数轴上表示数a的点到原点O的距离．

3．实数的绝对值有以下性质：

（1）；（2）；（3），特别地，；

（4）；（5）.

4．实数集的性质

（1）实数与数轴上的点一一对应

我们知道，任何一个有理数都可以用数轴上的点来表示，但是对于数轴上的任意一个点未必表示有理数，当有理数集扩充到实数集之后，全体实数和数轴上的所有点之间构成一一对应关系．

（2）四则运算的封闭性

当在实数集重新定义了加、减、乘、除（除数不为零）四则运算法则后，四则运算在实数集总可以实施，并且满足加法、乘法基本运算律．

（3）实数大小的比较

①在数轴上表示两个实数的点，靠右边的点所表示的数较大．

②正数都大于零；负数都小于零；两个正数，绝对值大的那个正数大；两个负数，绝对值大的那个负数反而小．

③；；.

5．非负数

（1）非负数

正实数和零统称非负数，例如：任何一个实数a的绝对值是非负数．

任何一个实数a的平方是非负数．任何一个非负实数的n次算术根，也是非负数．

（2）非负数的性质

①若a为非负数，则a≥0．②几个非负数的和与积仍为非负数．

③若几个非负数之和为零，则这几个非负数同时为零．反之亦真．

四、科学记数法、近似数及有效数字

1．科学记数法：把一个数记成的形式（其中n是整数，1≤a＜10），叫做用科学记数法表示这个数．

2．近似数及有效数字：近似地表示某一个量准确值的数，叫做这个量准确值的近似数．一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位，这时从左边第一个不是零的数字起，到精确的数位止，所有的数字都叫做这个近似数的有效数字．

典型例题

例1写出一个到之间的无理数： .

例2的倒数是；的相反数是 .

说明注意a与b互为倒数等价于；a与b互为相反数等价于.

例3若2a与1－a互为相反数，则a等于（） A．1 B．－1 C． D．

说明对于一个具体的数求它的相反数或倒数比较容易，读者还应会求一个用字母表示的数的相反数或倒数等.例如：若2a与1－a互为负倒数，求a的值，即求方程的解.

.经验证，为所求.

例4设a是任意实数，下列判断一定正确的是（）

A． B． C． D．

说明比较两个数的大小是初中代数的一个难点，又是学生学习高中代数必须掌握的基础知识，读者可对此题作进一步的研究.

（1）使成立的条件是. （2）使成立的条件也是.

（3）使成立的条件是. （4）使成立的条件是或.

（5）使成立的条件是或.

例5判断题（判断下列说法是否正确，正确的在题后括号内画“√”，不正确的画“×”.）

（1）0既不是正数，也不是负数，但是整数.（）（2）有理数的平方一定是正数.（）

（3）绝对值相等的两个数一定相等.（）（4）三个不同的有理数之积等于零，其中必有一个因数是零.（）（5）近似数万精确到千位.（）（6）圆周率π是有理数.（）

（7）.（）（8）当锐角时，的值都大于.（）

例6实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，化简的结果是（）