一元二次不等式的解法
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一元二次不等式的解法（一）
学习目标：
1．会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型；
2．掌握求解一元二次不等式的基本方法，并能解决一些实际问题。
3．培养数形结合的能力，培养分类讨论的思想方法，培养抽象概括能力和逻辑思维能力 知识点一：一元二次不等式的定义
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2
的不等式，称为一元二次不等式。比如：
.
任意的一元二次不等式，总可以化为一般形式：)0(02>>++a c bx ax 或
)0(02><++a c bx ax .
知识点二：一般的一元二次不等式的解法
（
（1）先看二次项系数是否为正，若为负，则将二次项系数化为正数； （2）写出相应的方程)0(02
>=++a c bx ax ，计算判别式∆;
①0>∆时，求出两根21x x 、，且21x x <（注意灵活运用因式分解和配方法）；
②0=∆时，求根a
b x x 221-==； ③0<∆时，方程无解 （3）根据不等式，写出解集 经典例题透析
类型一：解一元二次不等式 例1 解下列一元二次不等式
（1）052<-x x ； （2）0822>--x x ； （3）0652
>--x x （4）0442
>+-x x ； （5）0542
>-+-x x ； （6）23262x x x -++<-
举一反三：
【变式1】解下列不等式
（1）02322
>--x x ； （2）02232
>+--x x
（3）01442
≤+-x x ； （4）0322
>-+-x x . （5）()()()
221332x x x +->+
【变式2】解不等式：（1）6662<--≤-x x （2）18342
<-≤x x
类型二：已知一元二次不等式的解集求待定系数
例2 不等式02
<-+n mx x 的解集为)5,4(∈x ，求关于x 的不等式012
>-+mx nx 的解集 举一反三：
【变式1】不等式0122
>++bx ax 的解集为{}
23<<-x x ，则a =_______, b =________
【变式2】已知关于x 的不等式02<++b ax x 的解集为)2,1(，求关于x 的不等式0
12
>++ax bx 的解集.
类型三：二次项系数含有字母的不等式恒成立恒不成立问题
例3 已知关于x 的不等式03)1(4)54(2
2
>+---+x m x m m 对一切实数x 恒成立，求实数m 的取值范围。 举一反三：
【变式1】 若关于x 的不等式01)12(2≥-++-m x m mx 的解集为空集，求m 的取值范围. 【变式2】若关于x 的不等式01)12(2≥-++-m x m mx 的解为一切实数，求m 的取值范围. 【变式3】若关于x 的不等式01)12(2≥-++-m x m mx 的解集为非空集，求m 的取值范围.
【变式4】若不等式
13
642222＜++++x x k
kx x 对于x 取任何实数均成立，求k 的取值范围 【变式5】在R 上定义运算⊗:)1(y x y x -=⊗.若不等式1)()(<+⊗-a x a x 对任意实数x
成立,则 ( )
A ．11<<-a
B ．20< C ．2321<<- a D ．2 1 23<<-a 【变式6】已知不等式ax 2 ＋4x ＋a ＞1－2x 2 对一切实数x 恒成立，求实数a 的取值范围 【变式7】已知不等式x x ax ax 42422 2 +<-+对任意实数x 不等式恒成立,求实数a 的取值范围是 类型四：含字母系数的一元二次不等式的解法 例4 解下列关于x 的不等式 （1）122 2 +-≤-a ax x ； （2）012>+-ax x ； （3）0)1(2 <++-a x a x （4）0622>++m x mx 举一反三： 【变式1】解关于x 的不等式：)0(01)1 (2 ≠<++ -a x a a x 【变式2】解关于x 的不等式：)(0)(3 2 2R a a x a a x ∈>++- 例5 解关于x 的不等式：01)1(2 <++-x a ax 举一反三： 【变式1】解关于x 的不等式：0)2)(1(≥--x ax ； 【变式2】解关于x 的不等式：0122 <-+x ax ； 类型五：含字母的一元二次方程有关根的问题 例6 已知关于x 的方程013422 =-++m mx x 有两个负数根，求实数m 的取值范围. 【变式1】当m 取什么实数时，方程0)5()2(42 =-+-+m x m x 分别有:①两个实根；②一正根和一负根；③正根绝对值大于负根绝对值；④两根都大于1. 【变式2】关于x 的方程0)12(2=+++m x m mx 有两个不等的实根，则m 的取值范围是（ ） A ．(41- ,+∞) B ．(∞-, 41-)C ．[4 1 -，+∞）．( 4 1 - ,0)∪ 【变式3】若关于x 的方程09222 =--k x kx 两实根有一个大于2，而另一个根小于2，则实数k 的 取值范围是 类型六：一元二次不等式的解法实际应用 例7 某种牌号的汽车在水泥路面上的刹车距离sm 和汽车车速h xkm /有如下关系： 2 180 1201x x s += ，在一次交通事故中，测得这种车的刹车距离大于m 5.39，那么这辆汽车刹车前的车速至少为多少？（精确到h km /01.0） 【变式1】某种商品现在定价每件p 元，每月卖出n 件，因而现在每月售货总金额是np 元，设定价 上涨x 成，卖出数量减少y 成，售货总金额变成现在的z 倍， （1）用x 和y 表示z ； （2）设)10(<<=k kx y ，利用k 表示当售货总金额最大时x 的值； （3）如果x y 3 2 = ，求使售货金额有所增加的x 值的范围； 基础达标： 1．不等式0122