波动光学课后习题答案(第三章)

a sin 。
(2) 当全部敞开后，衍射光场可以看成是两个错开距离为 2a、缝数为 N 的衍射光栅相互作用的结果。 则根据教材 144 页的公式(3.2-41)可知， 缝数为 N 的其中一个衍射光栅的衍射光场振幅为
E P Cae
i N 1

2
sin
sin


N 2
因此用 500/mm 的底片记录是满足要求的。 3.9 解：白光经过棱镜将实现分光，再经过狭缝后会发生衍射，衍射 条纹的亮暗间距与波长成正比，波长越大条纹间距越大，因此形成如 图所示的弯曲衍射条纹分布。 3.10 解：根据教材 134 页公式(3.2-8)可知，衍射条纹左右两个第五级 最小之间的间距为
d sin m
在两个极大之间有一个干涉极小值。 已知 d 7.0 102 cm ， b 8.8 103 cm ，则可以确定在单缝衍射第一 个暗点至中央峰值点之间有近似 8 个（7.95 个）干涉最大值，因此有 28=16 个干涉极小值。 同时，根据公式 d sin m 知，在中央峰值附近相邻两个亮条纹 之间的间距为
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f


m

2
2nh
0.6328 10
2 1 0.04
6 2
5 1012 m 0.005nm
分辨本领为
A 0.97 2h

N 0.97
2h R 2 0.04 0.891 0.97 3.34 106 6 1 R 0.6328 10 1 0.891
2 d 2 2 sin N 2 sin a sin sin 6 N I0 I0 d 6 a 2
其中，
2 2 2



2


3
4

即为 0.810、0.405、0.090。 3.14 解： （1）当挡住偶数缝时，缝的总数量为 N，缝宽依然为 a，缝的间距为 d=6a，则根据教材 145 页的公式(3.2-43)可知，衍射场的强度分布为
N 2 sin sin 2 I P I0 2
x 1.214mm
3.18 解： （1）光栅的分辨本领为
A mN
已 知 ， N 20000 ， 则 光 栅 的 第 一 、 二 、 三 级 光 谱 的 分 辨 本 领 为 20000,40000 和 60000。 （2）根据光栅方程
d sin m
其中，m 为衍射级次，已知 d 2.5m, 0.69m ，则第二、三级光谱 的位置为
2
sin sin 6 N 2 4I0 cos 2 6
2 2
3.15 解：根据题意可知光栅周期为 d=a+b=0.041mm，N=1000，则 （1）根据单缝衍射的公式(3.2-40)可知中央主峰的角宽度为
2 2 624 106 0.104rad a 0.012
f
分辨本领为


m

0.6328 0.6328 m 1
A mN 1 30 1200 36000
角色散为
d m d d cos
其中衍射根据光栅方程 d sin m 确定，为
49.4o
则进一步求得
d 1.844 103 rad / nm d
m d


2.5 3.6 0.69
取 m=3。 当光束以倾斜角 90 度入射时，对应的最大干涉级次为
m 2d


5 7.24 0.69
取 m=7。 3.19 解：F-P 标准具和光栅都是典型的分光器件，通常利用如下三个 量来衡量器件的分光性能：自由光谱范围、分辨本领、角色散或线色 散。 （1）对于 F-P 标准具（参考教材 91 至 93 页） 自由光谱范围为
x 2 f a
则根据题意已知 x 1cm, 0.63m, f 50cm ，则求得
a 63 m
3.12 解：根据教材 145 页的介绍可知，双缝衍射的强度分布是单缝衍
3
射因子和双缝干涉强度分布共同作用的结果。 单缝衍射的位置由如下 公式确定
b sin m
干涉极大由如下公式确定
(2) 根 据 d/a=0.041/0.012=3.41 ， 表 明 在 中 央 峰 内 有 7 个 极 大 （ m 0, 1, 2, 3 ） 。 (3) 根据教材 147 页的公式（3.2-48）可知相邻两个亮纹之间的角宽度 为


Nd cos


Nd

624 106 1.52 105 rad 1000 0.041
0 1.22 f
2a
同时，根据题意知： f 4 105 km, 2a 2m, 600nm ，计算得到：
0 146.4m
3.5 解：根据教材 139 页的公式(3.2-21)和(3.2-22)公式非常容易的确定 衍射光斑的角宽度和线宽度，具体计算略。 3.6 解：根据教材 142 的公式(3.2-34)可知，显微物镜的分辨最小值由 如下公式确定
3.16 解： （1）根据教材 162 页图 3-40 的描述，当光束垂直入射到光栅上是， 经过相邻两个光栅缝并沿着角衍射时，两条光束相遇时产生的光程 差和相位差分别为
d sin , 2


2

d sin
则当 d sin 3 时，此时相邻狭缝的两束光的光程差为 3 ，经过第 1 条和第 n 条狭缝的两条光束的光程差为 3 n 1 。此时，经过任意两 个狭缝的光束沿着角衍射时的光程差都是波长的整数倍，根据干涉 的基本原理，此时光的叠加都会加强。
x 10 f a
根据题意已知 x 6.3cm, f 5m, 0.63m ，则可知
a 0.5mm
3.11 解： 根据巴比涅原理， 单丝衍射的强度分布和单缝衍射的强度分 布相同（除了中心点） 。则根据教材 143 页的公式(3.2-37)可知，单缝 衍射中央主极大的宽度为
角色散为
d m d 2nh sin
其中干涉角满足如下关系
2nh cos m
已知 m=1， 0.6328m ， h 4cm ，则得到
1.5707rad
8
则进一步得到
d 1.25 108 rad / nm d
（2）对于光栅（参考教材 166 页到 168 页） 自由光谱范围为
x f f

d cos
f

d
根据题意已知 0.6328m, d 7 102 cm, f 457.2cm ，计算得
x 0.4133cm
3.13 解： (1) 利用 3.12 题的分析可知，双缝衍射场相邻两个亮条纹的间距为
x f f

d cos
1
的理论分辨角 ae 在 4.471.1110-4rad。若现在当两灯相距x=1.22m， 要能在某个距离处分辨出这两个灯，则必然要求
x ae l
即要求 l 2.72 10.9 km ，具体的值要根据每个人眼镜的分辨率确定， 但总体来说，距离在公里量级。 3.4 解：根据题意，可以做如下假设：激光通过透镜聚焦得到的光斑 是激光束通过透镜发生的夫琅和费衍射场， 则根据教材 139 页的公式 (3.2-21)，
1 sin 1
m 1 2 0.69 o sin 33.5 d 2.5
7
2 sin 1
m 1 3 0.69 o sin 55.9 d 2.5
（3）当光束入射角为 0 时，对应的最大干涉级次为
6
3.17 解： 如下图所示， 唱片因为有刻痕， 相当于一个多缝衍射光栅 （反 射型光栅） ，光束经过唱片后会发生衍射，产生衍射条纹。根据教材 162 页的图 3-41 可知，光栅方程为
d sin m
对应的线色散为
x f

d cos
根据题意， f 110cm, 0.55m, tan 1 1/11 ，则可得
I I 0 0.047182 0.0022 I 0
其中， 1.430 。同理可确定第 6 个次极大的强度值。 3.2 解：根据教材 134 页的公式(3.2-8)可知，中央衍射光斑在 x 轴和 y 轴上的第一个暗点位置分别位于：
x f f ,y a b
根据题意，已知 488nm, a 0.75mm, b 0.25mm, f 2.5m ，则可知
第三章 光的衍射 习题答案
3.1 解： 根据教材 134 的公式(3.2-6)可知， 矩形孔对应的夫琅和费衍射 场的强度分布为：
sin sin I x, y I 0
2 2
其中、的含义见公式(3.2-4)和(3.2-5)。结合表 3-1 和图 3-14 可知， 围绕中央峰值的四个次极大的强度为：
(3) 当数值孔径为 1.60，则

0.61 0.61 0.275 0.105 m NA 1.60
3.7 解：参考教材 141 页“ （3）照相物镜的分辨本领”部分。具体略。 3.8 解：根据公式（3.2-30）可知，
N 1 D 1 1 429 6 mm 1.22 f 1.22 546 10 3.5

2 cos 2
2
当 2m
m 称为衍射级次。 m 0, 1, 2, 时对应干涉亮纹的位置，
利用上述公式很容易确定第 1、2、3 级亮纹的相对强度分别为
sin 4 4 sin sin 3 、 2 、 4
f

d
根据题意， f 50cm, 632.8nm, x 1.5mm ，则可知
d 0.21mm
同时根据缺级的基本性质可知，
d 4 a
则， a 0.0525mm (2) 根据教材 145 页的公式(3.2-44)，并结合（1）的计算结果可知，
4
sin 8 I P 4I0 8

0.61 NA
其中，NA 为物镜的数值孔径（关于数值孔径的概念参看应用光学的 相关知识） 。因此，可知，提高分辨率或减小最小分辨尺度的方法是 增大透镜的数值孔径或减小使用波长。 由上述公式很容易分析该题目： (1) 紫外光比可见光波长小一半，则分辨率提高一倍。 (2) 最小尺寸为
2

0.61 0.61 0.275 0.186 m NA 0.90
2
另一光栅产生的衍射光场相对于这一光栅的衍射光场仅多一个常数 相移因子 ei 2 ，其中
2

a sin 。则总的衍射光场振幅为
5
E P Cae
i N 1

2
sin
sin


N 2 1 e i 2
2
则衍射光场的强度为
I P E P
f 2500 0.488 103 1.62mm a 0.75 f 2500 0.488 103 4.88mm b 0.25
则中央衍射斑是一个 3.24mm 9.76mm 的矩形光斑。 整体的衍射强度分布可根据公式(3.2-6)通过计算机编程形象的显 示出来。 3.3 解：根据教材 140 页的“ （1）人眼的分辨本领”部分的介绍可知， 人瞳孔的范围在 1.5-6mm，选择人比较敏感的光波长 0.55m，则人眼