初中数学-三角形内外角平分线有关命题的证明及应用资料

三角形内外角平分线

一.命题的证明及应用

在中考常有与三角形内外角平分线有关的题目，若平时不注意总结是很难一下子解决的．下面来一起学习一下．

命题 1 如图１，点D是△ABC两个内角平分线的交点，则∠

D=90°+∠A．

证明：如图１：

∵∠1＝∠，∠２＝∠，

∴2∠1＋2∠2＋∠A＝180°①

∠1＋∠2＋∠D=180°②

①－②得：

∠1＋∠2＋∠A＝∠D③

由②得：

∠1＋∠2=180°－∠D④

把③代入④得：

∴180°－∠D＋∠A＝∠D

∠D=90°+∠A．

点评利用角平分线的定义和三角形的内角和等于180°，不难证明.

命题2 如图２，点D是△ABC两个内角平分线的交点，则∠D=90°－∠A．

证明：如图２：

∵DB和DC是△ABC的两条外角平分线，

∴∠D=180°－∠1－∠2

=180°－（∠DBE+∠DCF）

=180°－（∠A+∠4+∠A+∠3）

=180°－（∠A+180°）

=180°－∠A－90°

=90°－∠A；

点评利用角平分线的定义和三角形的一个外角等于与它不相邻两外角的和以及三角形的内角和等于180°，可以证明.

命题3 如图3，点E是△ABC一个内角平分线与一个外角平分线的交点，则∠E=∠

A．

证明：如图3：

∵∠1=∠2，∠3=∠4，

∠A+2∠1=2∠4①

∠1+∠E=∠4②

①×代入②得：

∠E=∠A．

点评利用角平分线的定义和三角形的一个外角等于与它不相邻两外角的和，很容易证明.

命题4如图４，点E是△ABC一个内角平分线BE与一个

外角平分线CE的交点，证明:AE是△ABC的外角平分线.

证明：如图3：

∵BE是∠ABC的平分线,可得：EH=EF

CE是∠ACD的平分线, 可得：EG=EF

∴过点E分别向AB、AC、BC所在的直线引垂线，所得的垂线段相等.

即EF=EG=EH

∵EG=EH

∴AE是△ABC的外角平分线．

点评利用角平分线的性质和判定能够证明．

应用上面的结论能轻松地解答一些相关的比较复杂的问题，下面来一起看．

例1如图5，PB和PC是△ABC的两条外角平分线．

①已知∠A=60°，请直接写出∠P的度数.

②三角形的三条外角平分线所在的直线形成的三角形按角分类属于什么三角形？

解析：①由命题2的结论直接得：∠P=90°－∠A=90°－×60°=60°

②根据命题2的结论∠P=90°－∠A，知三角形的三条外角平分线所在的直线形成

的三角形的三个角都是锐角，则该三角形是锐角三角形．

点评此题直接运用命题2的结论很简单．同时要知道三角形按角分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形．

例２如图6，在△ABC中，延长BC到D,∠ABC与∠ACD的角平分线相较于点，∠BC与∠CD的平分线交与点，以此类推，…，若∠A=96°，则∠= 度．

解析：由命题③的结论不难发现规律∠∠A．

可以直接得：∠=×96°=3°．

点评此题是要找出规律的但对要有命题③的结论作为基础知识．

例３（203陕西第一大题填空题第八小题，此题３分）如图7，△ABC的外角∠ACD 的平分线CP的内角∠ABC平分线BP交于点P，若∠BPC=40°，

则∠CAP=_______________．

解析：此题直接运用命题４的结论可以知道ＡＰ是△ABC的一个外角平分线，结合命

题３的结论知道∠BAC=2∠BPC, CAP=(180°－∠BAC )= (180°－2∠BPC )=50°．点评对命题3、4研究过的读者此题不难，否则将是一道在考试的时候花时间也不一定做的出来的题目．

例４(2003年山东省)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，∠ACB的平分线与∠ABC的外角平分线交与E点，连接AE，则∠AEB= 度．

解析：有题目和命题４的结论可以知道AE是△ABC的一个外角平分线, 结合命题2的

结论知道∠AEB=∠ACB－∠ACB=90°－×90°=45°

点评从上面的做题过程来看题目中给出的“∠A=30°”这个条件是可以不用的．

二.角平分线定理使用中的几种辅助线

作法

一、已知角平分线，构造三角形

例题、如图所示，在△ABC中，∠ABC=3∠C，AD是∠BAC的平分线，BE⊥AD于F。

求证：

1

()

2

BE AC AB

=-

证明：延长BE交AC于点F。

因为角是轴对称图形，对称轴是角的平分线所在的直线，所以AD为∠BAC的对称轴，

又因为BE⊥AD于F，

所以点B和点F关于AD对称，

所以BE=FE=1

2

BF，AB=AF，∠ABF=∠AFB。

因为∠ABF＋∠FBC=∠ABC=3∠C，∠ABF=∠AFB=∠FBC＋∠C，所以∠FBC＋∠C＋∠FBC=3∠C，

2

1

F

E

D C

B

A

所以∠FBC=∠C ，所以FB=FC ，

所以BE=

12FC=12（AC －AF ）=1

2（AC －AB ）， 所以1

()2

BE AC AB =-。

二、已知一个点到角的一边的距离，过这个点作另一边的垂线段

如图所示，∠1=∠2，P 为BN 上的一点，并且PD ⊥BC 于D ，AB ＋BC=2BD 。 求证：∠BAP ＋∠BCP=180°。

证明：经过点P 作PE ⊥AB 于点E 。 因为PE ⊥AB ，PD ⊥BC ，∠1=∠2， 所以PE=PD 。

在Rt △PBE 和Rt △PBC 中

BP BP

PE PD =⎧⎨

=⎩

所以Rt △PBE ≌Rt △PBC （HL ）， 所以BE=BD 。

因为AB ＋BC=2BD ，BC=CD ＋BD ，AB=BE －AE ， 所以AE=CD 。

因为PE ⊥AB ，PD ⊥BC ， 所以∠PEB=∠PDB=90°. 在△PAE 和Rt △PCD 中

PE PD PEB PDC AE DC =⎧⎪

∠=∠⎨⎪=⎩

所以△PAE ≌Rt △PCD ， 所以∠PCB=∠EAP 。

因为∠BAP ＋∠EAP=180°， 所以∠BAP ＋∠BCP=180°。

三、已知角平分线和其上面的一点，过这一点作角的两边的垂线段 例题、如图所示，在△ABC 中，PB 、PC 分别是∠ABC 的外角的平分线，求证：∠1=∠2 证明：过点P 作PE ⊥AB 于点E ，PG ⊥AC 于点G ，PF ⊥BC 于点F ． 因为P 在∠EBC 的平分线上，PE ⊥AB ，PH ⊥BC ， 所以PE=PF 。

同理可证PF=PG 。

所以PG=PE ， 又PE ⊥AB ，PG ⊥AC ， 所以PA 是∠BAC 的平分线， 所以∠1=∠2。

N

P

E D

C

B

A

2

1

P

F E C B

A