初中数学-三角形内外角平分线有关命题的证明及应用资料

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三角形角平分线定理

三角形角平分线定理三角形角平分线定理是指：三角形内一条角的角平分线把这条角分成两个相等角，并且这条角平分线所在的边与三角形外一边的两个对边的比等于被分角的两边的比。

三角形角平分线定理是一个重要且有用的几何定理，它可以帮助我们推导解决许多与三角形相关的问题。

本文将详细介绍三角形角平分线定理以及其应用。

一、三角形角平分线定理的定义与性质三角形角平分线定理可以描述为：设三角形ABC中，AD是角BAC的角平分线，则有以下两个性质成立：1. 角BAD与角DAC的度数相等，即∠BAD = ∠DAC。

2. AB/BC = BD/DC。

角平分线的定义是指一条线段或射线从一个角的顶点出发，将该角分成两个相等的角。

根据角平分线的定义，我们可以得出性质1。

性质2则是说明了角平分线所在边与三角形外一边的两个对边的比例关系。

这个比例关系在解决一些三角形相关问题时非常有用，比如计算未知边长或角度大小等。

二、三角形角平分线定理的证明现在我们来证明三角形角平分线定理中的性质2。

首先，我们假设角BAD = α，角CAD = β，角DAC = α，角BDA = β。

根据正弦定理，我们可以得到以下两个等式：sinα/BD = sinβ/AB (1)sinα/DC = sinβ/AC (2)将(1)除以(2)，可以得到：(AB/BD)/(AC/DC) = sinα/sinα = 1由于左边等式的分数形式是BD/DC的比，因此我们可以得出：AB/BC = BD/DC这就证明了三角形角平分线定理中的性质2。

三、三角形角平分线定理的应用三角形角平分线定理有着广泛的应用，特别是在解决与三角形相关的题目时，可以通过应用该定理得到简洁而准确的答案。

以下是三个典型的应用案例：1. 求角平分线所分角的大小已知三角形ABC中，BD为角BAC的角平分线，要求角BAD的大小。

根据三角形角平分线定理的性质1，我们知道角BAD与角DAC的大小相等，即∠BAD = ∠DAC。

三角形外角平分线定理证明

三角形外角平分线定理证明1. 引言在几何学中，三角形外角平分线定理是关于三角形外角平分线的一个重要定理。

本文将详细探讨该定理的证明过程，并对其应用进行简要介绍。

2. 三角形外角平分线定理三角形外角平分线定理可以形式化陈述如下：定理：三角形的任意外角的平分线所对应的两个边所成的比等于另一边与底边成的比。

这个定理可以用数学符号表示为：mn =ac，其中m和n分别表示两边所成比例的分子和分母，a表示底边的长度，c表示外角的对边。

3. 证明过程3.1 三角形外角与内角的关系首先，我们需要了解三角形外角和内角的关系。

对于任意三角形ABC，设其外角为D，我们有以下性质： - 内角和外角互补：∠ABC+∠CBD=180∘ - 内角之和：∠ABC+∠BCA+∠CAB=180∘ - 外角之和等于无关角：∠BCD=∠ABC+∠BCA 3.2 三角形外角平分线的定义接下来，我们来定义三角形外角平分线。

对于任意三角形ABC，设角ABC的外角平分线为DE。

根据定义，DE将角ABC的外角BCD平分为两个相等的角，即∠BDE=∠CDE。

3.3 证明过程在证明三角形外角平分线定理之前，我们需要做一些准备工作。

设外角BCD的平分线DE与边AB和AC分别交于点F和G。

我们需要证明AFFB =ACCB。

根据三角形外角与内角的关系，我们知道∠ABC+∠BCD=180∘。

由于DE是外角BCD的平分线，根据定义，∠BDE=∠CDE。

因此，∠ADE=∠BCD2，∠DEA=∠BCD2。

由于平行线切割等比分线，我们可以得到以下比例关系：AFFB =ADDE和AGGC=AEDE我们需要证明AFFB =ACCB，即证明AFFB=AGGC。

将上面的两个比例关系带入AFFB =ACCB中，我们可以得到以下关系：ADDE=ACAE接下来，我们可以利用三角形相似性证明这个关系。

由于∠ADE=∠BCD2，∠DEA=∠BCD2，根据角-边-角相似性，我们可以得到以下相似三角形：△ADE∼△ACB根据相似三角形的性质，我们可以得到以下比例关系：ADAE =ACAB将这个比例关系带入ADDE =ACAE中，我们可以得到ACAB=ACAE，进一步得到AB=AE。

三角形角平分线8大结论的证明

三角形角平分线8大结论的证明三角形的角平分线，这个话题一听就有点儿数学范儿对吧？不过别着急，今天我们就轻松聊聊这8个有趣的结论，说不定你会发现，原来三角形的角平分线竟然那么有意思，甚至可以用来解一些生活中的“小难题”呢！行了，不废话，直接进入正题，看看三角形的角平分线到底能带来什么样的神奇“魔力”。

大家应该知道，角平分线就是把三角形的一个角一分为二的那条线。

你要是把三角形的一个角想象成一个蛋糕，这个角平分线就像是把蛋糕均匀切开的刀。

看着简单吧？但是它的性质可不简单哦！你可以想象它就像三角形的“魔法杖”，有很多奇妙的地方。

第一个结论：角平分线把对边分成的两部分，比例跟两条邻边的比例是一样的。

说白了，如果你把角平分线看作一根“弓箭”，它射出的箭就是把对面的边分成的两个小段，它们的长度就像两个有着特殊关系的小伙伴，一起玩耍的时间都不多，比例一样，心照不宣。

具体来说，如果你有一个角，角平分线把对边分成了两段，那这两段的长度，就跟角平分线两边的邻边长度有个固定的比例关系。

怎么样，神奇吧？第二个结论：角平分线定理，真的是生活中的“逆天”法宝。

假设你在做一道几何题，发现角平分线正好把三角形对边分成了两个长度不等的部分，这时候你就可以运用这个定理，迅速求出两段长度的比例了，反正你心里有个定心丸。

别看它简单，这个定理其实给你解题省了不少功夫。

然后，第三个结论来了：如果三角形的角平分线穿过了对边的一点，那你就可以通过这个点找到更多的“线索”。

这就像是破案时发现了新的线索，揭开了谜底的那一刻。

通过这个点的角平分线，可以得出三角形的某些特殊关系，比如说三角形的面积、角度等等，简直就是几何学的小秘密！接着看，第四个结论是：如果三角形的三个角平分线交于一点，这个点就叫做“三角形的内心”。

哦，对了，这个内心叫做“内心点”，意思是说，无论三角形多么古怪，这三条角平分线交汇的地方就能“告诉”你整个三角形的心脏在哪儿。

这也就意味着，三角形的内心是它的“平衡点”，一种几何的“核心”！第五个结论，也是个挺酷的：角平分线可以用来求三角形的面积。

初中数学-三角形内外角平分线有关命题的证明及应用

三角形内外角平分线一.命题的证明及应用在中考常有与三角形内外角平分线有关的题目，若平时不注意总结是很难一下子解决的．下面来一起学习一下．命题1 如图１，点D是△ABC两个内角平分线的交点，则∠D=90°+∠A．证明：如图１：∵∠1＝∠，∠２＝∠，∴2∠1＋2∠2＋∠A＝180°①∠1＋∠2＋∠D=180°②①－②得：∠1＋∠2＋∠A＝∠D③由②得：∠1＋∠2=180°－∠D④把③代入④得：∴180°－∠D＋∠A＝∠D∠D=90°+∠A．点评利用角平分线的定义和三角形的内角和等于180°，不难证明.命题2 如图２，点D是△ABC两个内角平分线的交点，则∠D=90°－∠A．证明：如图２：∵DB和DC是△ABC的两条外角平分线，∴∠D=180°－∠1－∠2=180°－（∠DBE+∠DCF）=180°－（∠A+∠4+∠A+∠3）=180°－（∠A+180°）=180°－∠A－90°=90°－∠A；点评利用角平分线的定义和三角形的一个外角等于与它不相邻两外角的和以及三角形的内角和等于180°，可以证明.命题3 如图3，点E是△ABC一个内角平分线与一个外角平分线的交点，则∠E=∠A．证明：如图3：∵∠1=∠2，∠3=∠4，∠A+2∠1=2∠4①∠1+∠E=∠4②①×代入②得：∠E=∠A．点评利用角平分线的定义和三角形的一个外角等于与它不相邻两外角的和，很容易证明.命题4如图４，点E是△ABC一个内角平分线BE与一个外角平分线CE 的交点，证明:AE是△ABC的外角平分线.证明：如图3：∵BE是∠ABC的平分线,可得：EH=EFCE是∠ACD的平分线, 可得：EG=EF∴过点E分别向AB、AC、BC所在的直线引垂线，所得的垂线段相等.即EF=EG=EH∵EG=EH∴AE是△ABC的外角平分线．点评利用角平分线的性质和判定能够证明．应用上面的结论能轻松地解答一些相关的比较复杂的问题，下面来一起看．例1如图5，PB和PC是△ABC的两条外角平分线．①已知∠A=60°，请直接写出∠P的度数.②三角形的三条外角平分线所在的直线形成的三角形按角分类属于什么三角形？解析：①由命题2的结论直接得：∠P=90°－∠A=90°－×60°=60°②根据命题2的结论∠P=90°－∠A，知三角形的三条外角平分线所在的直线形成的三角形的三个角都是锐角，则该三角形是锐角三角形．点评此题直接运用命题2的结论很简单．同时要知道三角形按角分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形．例２如图6，在△ABC中，延长BC到D,∠ABC与∠ACD的角平分线相较于点，∠BC与∠CD 的平分线交与点，以此类推，…，若∠A=96°，则∠= 度．解析：由命题③的结论不难发现规律∠∠A ．可以直接得：∠=×96°=3°．点评此题是要找出规律的但对要有命题③的结论作为基础知识．例３（203陕西第一大题填空题第八小题，此题３分）如图7，△ABC 的外角∠ACD 的平分线CP 的内角∠ABC 平分线BP 交于点P ，若∠BPC=40°，则∠CAP=_______________．解析：此题直接运用命题４的结论可以知道ＡＰ是△ABC 的一个外角平分线，结合命题３的结论知道∠BAC=2∠BPC, CAP=(180°－∠BAC )= (180°－2∠BPC )=50°．点评对命题3、4研究过的读者此题不难，否则将是一道在考试的时候花时间也不一定做的出来的题目．例４ (2003年山东省)如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，∠ACB 的平分线与∠ABC 的外角平分线交与E 点，连接AE ，则∠AEB= 度．解析：有题目和命题４的结论可以知道AE 是△ABC 的一个外角平分线, 结合命题2的结论知道∠AEB=∠ACB －∠ACB=90°－×90°=45°点评从上面的做题过程来看题目中给出的“∠A=30°”这个条件是可以不用的．二.角平分线定理使用中的几种辅助线作法一、已知角平分线，构造三角形例题、如图所示，在△ABC 中，∠ABC=3∠C ，AD 是∠BAC 的平分线，BE ⊥AD 于F 。

三角形角平分线相关定理

三角形角平分线相关定理三角形角平分线相关定理是三角形中的一个重要定理，它与三角形内部角平分线的性质有关。

在本文中，将详细介绍角平分线的定义、性质以及相关定理的证明和应用。

一、角平分线的定义与性质角平分线是指从一个角的顶点出发，将这个角平分成两个相等的角的线段。

对于一个三角形ABC，如果从顶点A出发的线段AD将角BAC平分成两个相等的角，那么线段AD就是角BAC的角平分线。

角平分线有以下几个重要性质：1. 角平分线将对边分成两段，这两段的比例等于其他两边的比例。

即AB/AC = BD/CD。

2. 角平分线和三角形的边界相交，且相交点到对边的距离相等。

3. 三角形内部的角平分线都会交于一个点，该点称为三角形的内心。

4. 三角形的内心到三角形三边的距离相等，即内心到三边的距离均相等。

二、角平分线相关定理1. 三角形内角平分线定理：三角形内一条角平分线上的点到三角形其他两边的距离之比等于这两边的长度之比。

即AD/BD = AC/BC。

证明：根据角平分线性质1可得AB/AC = BD/CD，再联立AB/AC = BD/CD和AD/BD = AC/BC两个等式，可以得到AD/BD =AC/BC。

2. 角平分线外角平分线定理：三角形外一条角平分线上的点到三角形其他两边的距离之比等于这两边的长度之比的倒数。

即AE/BE = AC/BC。

证明：根据角平分线性质1可得AB/AC = BD/CD，再联立AB/AC = BD/CD和AE/BE = AC/BC两个等式，可以得到AE/BE = AC/BC。

三、角平分线相关定理的应用角平分线相关定理在解决三角形相关问题时具有重要的应用价值。

以下是一些常见的应用场景：1. 求角平分线的长度：已知三角形两边和夹角的情况下，可以利用角平分线相关定理求角平分线的长度。

2. 求角平分线所分对边的长度比：已知三角形两边和夹角的情况下，可以利用角平分线相关定理求角平分线所分对边的长度比。

初中三角形角平分线定理

初中三角形角平分线定理
三角形角平分线定理：三角形内角平分线所对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例。

定理证明：
在ΔABC中，有角平分线AD，过点D作边AB，AC的内错角平分线，交于点E。

过点D作边AB，AC的角平分线，交于点F。

过点D作边AB，AC的垂线，交于点G。

由角平分线引出角内、外两条线，再利用角的对称性画出另外两边。

由于角平分线定理可以说明角平分线上点到角两边距离相等，所以问题转化为证明两个三角形全等，证明三角形全等常用边角边、角边角、HL 定理。

定理应用：
遇到角平分线，可构造等腰三角形，用等腰三角形的性质来解决问题。

可过角平分线上一点作垂直构造全等三角形，用ASA来证明等腰三角形。

一内一外角平分线模型证明过程

一内一外角平分线模型证明过程一、引言一内一外角平分线模型是几何学中的一个重要概念，它可以帮助我们理解角平分线的性质和应用。

本文将以一内一外角平分线模型为基础，通过证明过程来展示其应用和推导过程。

二、一内角平分线的性质我们来看一内角平分线的性质。

在三角形ABC中，假设AD是角BAC的内角平分线。

根据角平分线的定义，角BAD和角CAD是等角。

我们可以证明以下性质：1. AD与BC垂直为了证明AD与BC垂直，我们需要利用角度的性质。

根据等角的定义，我们可以得到∠BAD = ∠CAD。

又因为∠BAC = 2∠BAD，所以∠BAC = 2∠CAD。

根据角度的和等于180度，我们可以得到∠BAC + ∠CAD = 180度。

由于∠BAC和∠CAD是等角，所以它们的和等于180度的一半，即90度。

因此，AD与BC垂直。

2. AD平分角BAC为了证明AD平分角BAC，我们可以利用角度的性质。

根据等角的定义，我们可以得到∠BAD = ∠CAD。

又因为∠BAC = 2∠BAD，所以∠BAC = 2∠CAD。

根据角度的和等于180度，我们可以得到∠BAC + ∠CAD = 180度。

由于∠BAC和∠CAD是等角，所以它们的和等于180度的一半，即90度。

因此，AD平分角BAC。

三、一外角平分线的性质接下来，我们来看一外角平分线的性质。

在三角形ABC中，假设AE是角BAC的外角平分线。

根据角平分线的定义，角BAE和角CAE是等角。

我们可以证明以下性质：1. AE与BC垂直为了证明AE与BC垂直，我们需要利用角度的性质。

根据等角的定义，我们可以得到∠BAE = ∠CAE。

又因为∠BAC = ∠BAE + ∠CAE，所以∠BAC = 2∠BAE。

根据角度的和等于180度，我们可以得到∠BAC + ∠BAE = 180度。

由于∠BAC和∠BAE是等角，所以它们的和等于180度的一半，即90度。

因此，AE与BC垂直。

2. AE平分角BAC的补角为了证明AE平分角BAC的补角，我们可以利用角度的性质。

七下第5讲三角形内外角平分线夹角模型归纳与内外角和计算方法总结

七下第5讲三角形内外角平分线夹角模型归纳与内外角和计算方法总结写在前面在前四讲中，我们对本章的重点内容作了归纳，剩下的知识点仅剩一个重要模型和内外角的相关题型变式，就以本讲作为本章的收尾，更多的难题，留至期中复习吧．一、三角形内外角平分线夹角模型模型呈现：如图，已知，在△ABC中，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，CH平分∠ACI，BG平分∠EBC，CG平分∠BCF．试探究∠BDC，∠BHC，∠BGC与∠A的关系．分析：这是本章的最后一个重要模型，要结合整体思想，外角定理综合运用．解答：补充结论：其实这个模型中，还能有许多发现，比如，∠GBD＝90°，∠DCH＝90°，理由是邻补角的角平分线互相垂直．∠BGC和∠BHC互余，∠BGC和∠BDC互补，在△DCH中，∠BDC作为外角，∠BDC＝90°＋∠BHC．例1：如图，O是三角形三条角平分线的交点，∠1＝15°，则∠2＝_____°．分析：本题的关键是，发现∠2的作用，∠2可以作为△AOB的外角，即∠OAB和∠OBA 的和，又是∠AOB的邻补角，∠AOB是三角形两内角平分线的夹角，因此本题既可以用一步一步完成，也可用结论模型口算．解答：例2：如图，在△ABC中，∠A＝60°，BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB，M、N、Q分别在DB、DC、BC的延长线上，BE、CE分别平分∠MBC、∠BCN，BF、CF分别平分∠EBC、∠ECQ，则∠F＝_______．分析：本题是一道将三个模型结合在一起的题目，我们要关注哪些角可以求，∠BDC是两内角平分线的夹角，则知道∠A即可求，∠E是两外角，∠MBC，∠NCB的角平分线的夹角，则知道∠BDC即可求，∠F是△EBC的内角∠EBC和外角∠ECQ的角平分线夹角，则知道∠E即可求．解答：例3：分析：解答：综上所述，结论正确的是①②③⑤共4个．二、多边形内外角计算例1：一个学生计算多边形的内角和，少算了一个内角，得到答案是1400°，求少算的内角的度数及多边形边数．分析：显然，根据多边形内角和公式(n－2)·180°，可知内角和一定是180度的倍数，我们可以用1400除以180，算出其余数，那么自然可得，少算的那个内角与余数的和一定是180度的倍数，而根据多边形每个内角必然小于180°，则这个内角度数就是用180°减去这个余数即可．解答：1400°÷180°＝7······140°，180°–140°＝40°，设多边形边数为n，(n–2)·180＝1400＋40，n＝10答：少算的内角度数为40°，边数为10．例2：一个学生计算多边形的内角和，多算了一个外角，得到答案是1400°，求多算的外角的度数及多边形边数．分析：显然，本题是上一题的变式，方法还是用1400除以180，算出其余数，那么多算的外角度数，就是这个余数．解答：1400°÷180°＝7······140°，设多边形边数为n，(n–2)·180＝1400－140，n＝9答：多算的外角度数为140°，边数为9．例3：一个多边形每个内角都等于150°，求这个多边形的边数．分析：本题不难，但我们要学会多种思路解题，可以从多边形内角和公式入手，也可以逆向思维，求出每个外角的度数，用外角和除以每个外角的度数．解答：法1：设多边形边数为n，(n–2)·180＝150n，n＝12法2：180°－150°＝30°，360°÷30°＝12答：多边形边数为12．三、作图探究例：在△ABC中，∠ACB＝90°，BD是△ABC的角平分线，P是射线AC上任意一点(不与A、D、C三点重合)，过点P作PQ⊥AB，垂足为Q，交直线BD于E．(1)探索∠PDE与∠PED的关系，画出图形并说明理由．(2)作∠CPQ的角平分线交直线AB于点F，则PF与BD有怎样的位置关系？画出图形并说明理由．分析：本题中，点P的位置不确定，在射线AC上，就有多种可能，线段AD上，线段DC 上，线段DC延长线上，在延长线上时，又要考虑垂足Q的位置，可能在线段AB 上，也可能在线段AB的延长线上．因此，分四种情况讨论．碍于篇幅，我们将两小题的图汇总在一起．解答：①点P在线段AD上(1)∵PQ⊥AB，∴∠EQB＝∠C＝90°，∴∠PED＋∠EBQ＝90°，∠CBD＋∠CDB＝90°，∵∠PDE＝∠CDB，∴∠CBD＋∠PDE＝90°，∵BD为∠ABC的平分线，∴∠CBD＝∠EBQ，∴∠PDE＝∠PED；(2)在四边形PQBC中，∠CPQ＋∠CBA＝360°－2×90°＝180°∵PF平分∠CPQ，BD平分∠CBA∴∠1＋∠2＝90°∵∠1＋∠3＝90°∴∠2＝∠3，PF∥BD②点P在线段DC上(1)∵PQ⊥AB，∴∠EQB＝∠C＝90°，∴∠BEQ＋∠EBQ＝90°，∠CBD＋∠PDE＝90°，∵∠PED＝∠BEQ，∴∠PED ＋∠EBQ＝90°，∵BD为∠ABC的平分线，∴∠CBD＝∠EBQ，∴∠PDE＝∠PED；(2)在四边形PQBC中，∠CPQ＋∠CBA＝360°－2×90°＝180°∵PF平分∠CPQ，BD平分∠CBA∴∠1＋∠2＝90°∵∠1＋∠3＝90°∴∠2＝∠3，PF∥BD③点P在线段DC延长线上，点Q在线段AB上(1)∵PQ⊥AB，∴∠EQB＝∠ACB＝90°，∴∠BEQ＋∠EBQ＝90°，∠CBD＋∠PDE＝90°，∵∠PED＝∠BEQ，∴∠PED ＋∠EBQ＝90°，∵BD为∠ABC的平分线，∴∠CBD＝∠EBQ，∴∠PDE＝∠PED；(2)∵∠CPQ＋∠A＝90°∠CBA＋∠A＝90°∴∠CPQ＝∠CBA∵PF平分∠CPQ，BD平分∠CBA∴∠1＝∠2∵∠1＋∠3＝90°∴∠2＋∠3＝90°，PF⊥BD④点P在线段DC延长线上，点Q在线段AB延长线上(1)∵PQ⊥AB，∴∠EQB＝∠ACB＝90°，∴∠PED＋∠EBQ＝90°，∠CBD＋∠PDE＝90°，∵∠ABD＝∠EBQ，∴∠PED ＋∠ABD＝90°，∵BD为∠ABC的平分线，∴∠CBD＝∠ABD，∴∠PDE＝∠PED；(2)∵∠CPQ＋∠A＝90°∠CBA＋∠A＝90°∴∠CPQ＝∠CBA∵PF平分∠CPQ，BD平分∠CBA ∴∠1＝∠2∵∠1＋∠3＝90°∴∠2＋∠3＝90°，PF⊥BD 上讲思考题答案。

三角形角平分线的结论及应用

三角形角平分线的结论及应用浅议三角形角平分线的结论及应用摘要：一个角的平分线是一条射线，而三角形的角平分线是一条线段。

本文主要谈两点：关于三角形的内、外角平分线的夹角的问题和关于三角形内、外角平分线的交点问题。

关于三角形的内、外角平分线的夹角问题：（1）三角形两内角平分线的夹角等于90度与三角形第三个内角的一半的和。

（2）三角形两外角平分线的夹角等于90度与三角形第三个内角的一半的差。

（3）三角形一个内角的平分线与一个外角平分线的夹角等于三角形第三个内角的一半（4）三角形两内角平分线的夹角与两外角平分线的夹角互补或相等。

关于三角形内外角平分线的交点问题：（5）三角形的三条内角平分线相交于一点，这点到三角形的三边的距离相等（6）三角形两外角平分线的交点到三角形三边所在的直线相等，并且这点在三角形第三个内角的平分线上等关键词：三角形角平分线夹角交点变式练习一个三角形的角平分线不外乎就是内角的平分线和外角的角平分线。

在学习过程中，教师要指导学生善于对三角形的角平分线的基本图形进行归纳，对角平分线的性质和结论做好总结，这样对以后知识的积累有很大的帮助，对解决复杂的几何证明题也更便捷。

下面就三角形角平分线的相关结论逐一探讨。

结论一：如图1、在△ABC中，∠ＡＢＣ、∠ＡＣＢ的角平分线的交与点D，1∠Ａ。

试探究：∠D=９０°＋2解：∵BD、CD为角平分线1∠ＡＢＣ，（图1）∴∠ＣＢＤ＝21∠ＡＣＢ。

∠ＢＣＤ＝2在△ＢＣＤ中：∠Ｄ＝１８０°－（∠ＣＢＤ＋∠ＢＣＤ）1（∠ＡＢＣ＋∠ＡＣＢ）＝１８０°－21（１８０°－∠Ａ）＝１８０°－21∠Ａ＝９０°＋2变式练习的题目有（1）如图2、在△ABC中，∠ＡＢＣ、∠ＡＣＢ的角平分线的交与点D，∠D=100°，则∠A的度数是度。

1∠Ａ。

则∠Ａ=2∠D―180°，解:由结论1得知，∠D=９０°＋2容易得出∠Ａ=20°（图2）（2）如图3: 在四边形ABCD中，∠D=120°，∠A=100°∠ＡＢＣ、∠ＡＣＢ的角平分线的交与点E，试求∠BEC的度数。

三角形内外角平分线性质定理

2.在VABC中，AD是ABC的平分线， AB-AC=5, BD-CD=3, DC=8，则AB=_______
• 求证： BA/AC=BD/DC; • 思路1：过C作角平分线AD的平行线，用平行线分线
段成比例定理证明。
• 思路2：利用面积法来证明。 • 已知：如图8-4乙所示，AD是△ABC的内角
∠BAC的平分线。 • 求证： BA/AC=BD/DC • 证明2：过D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F； • ∵ ∠BAD=∠CAD；（已知） • ∴ DE=DF； • ∵ BA/AC=S△BAD/S△DAC；（等高时，三角
• 已知：如图8-5甲所示，AD是△ABC中 ∠BAC的外角∠CAF的平分线。
• 求证： BA/AC=BD/DC
• 思路1：作角平分线AD的平行线，用平行线分线段成比例定理证明。
• 思路2：利用面积法来证明。
• 已知：如图8-5乙所示，AD是△ABC内角∠BAC的外角 ∠CAF的平分线。
• 求证： BA/AC=BD/DC.
形面积之比等于底之比）
• BD/DC=S△BAD/S△ABCDAC；（同高时，三角形面积之比等于底之比）
• ∴ BA/AC=BD/DC
三角形外角平分线定理：
E A
B C
在VABC中，AD为A的外角CAE
的平分线，
则：AB BD
Dபைடு நூலகம்
AC CD
• 三角形外角平分线性质定理：如果三角形的外角平分线外分对边成两条线段，那么这两条线段和相邻的两边应成比例.
• 证明2：过D作DE⊥AC于E，DF∥⊥BA的延长线于F；
• ∵ ∠DAC=∠DAF；（已知）
• ∴ DE=DF；
• ∵ BA/AC=S△BAD/△DAC；（等高时，三角形面积之比等于底之比）

三角形角平分线的结论及应用

浅议三角形角平分线的结论及应用摘要：一个角的平分线是一条射线，而三角形的角平分线是一条线段。

本文主要谈两点：关于三角形的内、外角平分线的夹角的问题和关于三角形内、外角平分线的交点问题。

关于三角形的内、外角平分线的夹角问题：（1）三角形两内角平分线的夹角等于90度与三角形第三个内角的一半的和。

（2）三角形两外角平分线的夹角等于90度与三角形第三个内角的一半的差。

下面就三角形角平分线的相关结论逐一探讨。

结论一：如图1、在△ABC中，∠ＡＢＣ、∠ＡＣＢ的角平分线的交与点D，1∠Ａ。

试探究：∠D=９０°＋2解：∵BD、CD为角平分线1∠ＡＢＣ，（图1）∴∠ＣＢＤ＝21∠ＡＣＢ。

1∠Ａ。

则∠Ａ=2∠D―180°，解:由结论1得知，∠D=９０°＋2容易得出∠Ａ=20°（图2）（2）如图3:在四边形ABCD中，∠D=120°，∠A=100°∠ＡＢＣ、∠ＡＣＢ的角平分线的交与点E，试求∠BEC的度数。

三角形内外角平分线定理

三角形内角与外交平分线定理一、内角平分线定理：如下图，AD 是△ABC 的内角∠BAC 的平分线。

求证： BA/AC=BD/DC;思路1：过C 作角平分线AD 的平行线。

证明1：过C 作CE ∥DA 与BA 的延长线交于E 。

那么： BA/AE=BD/DC;∵ ∠BAD=∠AEC ；〔两线平行，同位角相等〕∠CAD=∠ACE ；〔两线平行，内错角相等〕∠BAD=∠CAD ；〔〕∴ ∠AEC=∠ACE ；〔等量代换〕∴ AE=AC ；∴ BA/AC=BD/DC 。

结论1：该证法具有普遍的意义。

引出三角形内角平分线定理：三角形任意两边之比等于它们夹角的平分线分对边之比。

思路2：利用面积法来证明。

：如图8-4乙所示，AD 是△ABC 的内角∠BAC 的平分线。

求证： BA/AC=BD/DC证明2：过D 作DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ；∵ ∠BAD=∠CAD ；〔〕∴ DE=DF ；∵ BA/AC=S △BAD/S △DAC ；〔等高时，三角形面积之比等于底之比〕BD/DC=S △BAD/S △ABCDAC ；〔同高时，三角形面积之比等于底之比〕∴ BA/AC=BD/DC结论2：遇到角平分线，首先要想到往角的两边作平行线，构造等腰三角形或菱形，其次要想到往角的两边作垂线，构造翻转的直角三角形全等，第三，要想到长截短补法。

二、外角平分线定理：如下图，AD 是△ABC 中∠BAC 的外角∠CAF 的平分线。

求证： BA/AC=BD/DC思路1：作角平分线AD 的平行线。

证明1：过C 作CE ∥DA 与BA 交于E 。

那么： BA/AE=BD/DC∵ ∠DAF=∠CEA ；〔两线平行，同位角相等〕∠DAC=∠ECA ；〔两线平行，内错角相等〕∠DAF=∠DAC ；〔〕∴ ∠CEA=∠ECA ；〔等量代换〕∴ AE=AC ；∴ BA/AC=BD/DC 。

ABC AD BAC AB BD AC CD ∠=在中，若为的平分线，则：结论1：该证法具有普遍的意义。

初中角平分线知识点总结与巧用

初中角平分线知识点总结与巧用角平分线是指将一个角分为两个相等的角的线段，也可以说是从角的顶点出发，将角内部一分为二的线段。

角平分线的性质和应用是初中数学中重要的内容之一，下面我们来总结一下初中角平分线的知识点以及一些巧妙的应用。

一、角平分线的定义及性质1.角平分线的定义：角平分线是从一个角的顶点出发，将角内部一分为二的线段。

2.角平分线的性质：（1）角平分线被分成的两个小角相等；（2）在平面内，从一个角的顶点出发，将这个角平分为两个相等的角的直线只有一条。

二、角平分线的判定定理1.角平分线判定定理：一个线段能够作为一个角的平分线，当且仅当它等于这个角的对边的一半。

2.角平分线的作法：（1）将这个线段的两个端点与角的两条边的一个顶点连接；（2）若两个连线相等，则这个线段是角的平分线；（3）若两个连线不相等，则这个线段不是角的平分线。

三、角平分线的应用1.直角三分线：在直角三角形中，角平分线特殊的性质是直角三角形的其中一个角的三分线。

（1）设直角三角形ABC中∠B=90°，AB=BC，AD是∠A的平分线；则∠DAB=∠DAC=∠BAC=45°。

（2）在一个直角三角形中，利用角平分线可以将角平分为两个相等的角，从而简化问题的求解过程。

2.角平分线的应用于构造等腰三角形：（1）在已知等腰三角形的等边或等角的情况下，可以通过作角平分线来构造等腰三角形。

（2）构造等腰三角形的步骤：a.画出底边；b.在底边的两端点上作两个相等的角；c.两个角的平分线交于一点，连接该点与底边的另一端点，得到等腰三角形。

3.相关定理及定律的证明：（1）锐角与锐角平分线的相关定理：在锐角ABC中，AD是∠BAC的平分线，那么∠BAD=∠CAD；（2）对称性：如果角平分线上的一部分角等于角的一半，那么角平分线的整体也是角的平分线。

四、优化问题中的角平分线的应用1.角平分线和最大值最小值问题：通过构造合适的角平分线，可以将一个问题化简为一个或多个已知的最值问题，从而求解出最优解。

三角形内外角平分线的结论及应用

三角形内外角平分线的结论及应用
三角形内外角平分线是一个重要的数学概念，它在一定程度上能够影响多个分支的结果。

在互联网等新兴领域，三角形内外角平分线也被广泛应用，将成为其未来发展的参照系。

从数学角度来讲，三角形内外角平分线可以定义为在一个三角形中，从一条边中分别垂直于另外两条边的两个对角线。

据定理，内角平分线能够将内角分割为两个相等的小角，而外角平分线能够将外角分割为两个非常接近的小角，其精确性可达到数量级。

随着互联网的发展，三角形内外角平分线被广泛应用于各种领域。

一是应用于一些基础性的技术领域，如导航系统，这种导航系统需要根据三角形内外角平分线的定义和技术，将目的地的所在的平面区域分成完整的几何图形；二是应用于金融行业，利用金融市场的动态性，以及投资者对三角形内外角平分线的了解，投资者可以合理地进行风险投资，并获取较高回报。

总之，三角形内外角平分线是一个具有重要意义的数学概念，它的应用可以广泛地应用于各种互联网领域，未来可以有更大的作用。

三角形内外角平分线有关命题的证明及应用

２８
中。擞・（１年０初中）７７２１第１期・版０
・解题研究・
三角形内外角平分线有关命题韵证明及应用
４１２湖北省襄阳市襄州区黄集镇初级中学张昌林４１３在中考和一些竞赛题目中常有与三角形内外角平
等于与它不相邻两内角的和以及三角形的内角和等于
１０，以证明．８。可
命题３如图３，Ｅ是点
ＡＡＣ一个内角平分线与一Ｂ
个外角平分线的交点，则Ｅ
ＣＤ
证明
‘
． ’
如图１，
１＝１２＝２，，
１Ａ
ＢＣ＝４。Ｐ０，则ＣＰ＝Ａ
图５
图７
ＣＤ
平分线所在的直线形成的三角形按角分类属于什么三角
形？一
解析
１
二
此题直接运用命题４的结论可以知道ＡＰ是
解析
（）１由命题２的结论直接得
１
二
ＡＡＣ的一个外角平分线，Ｂ结合命题３的结论知道
的两个交点为ａｘ，）Ｂｘ，）（。）（。，（０，＜且＋；０＝
（）ｍ，，的值；１求
探究方法）现奉献给辛勤教师、．莘莘学子．
１虚拟检验的方法
欲探究抛物线是否存满足条件Ａ的点，，先虚拟出符合条件Ａ的点，然后再检验点是否满足条件曰满足即．
为基础知识．
例３（０１年鄂州市）２１

三角形角平分线的结论及应用

浅议三角形角平分线的结论及应用摘要：一个角的平分线是一条射线，而三角形的角平分线是一条线段。

本文主要谈两点：关于三角形的内、外角平分线的夹角的问题和关于三角形内、外角平分线的交点问题。

关于三角形的内、外角平分线的夹角问题：（1）三角形两内角平分线的夹角等于90度与三角形第三个内角的一半的和。

（2）三角形两外角平分线的夹角等于90度与三角形第三个内角的一半的差。

下面就三角形角平分线的相关结论逐一探讨。

结论一：如图1、在△ABC中，∠ＡＢＣ、∠ＡＣＢ的角平分线的交与点D，试探究：∠D=９０°＋1∠Ａ。

2解：∵BD、CD为角平分线∴∠ＣＢＤ＝1∠ＡＢＣ，（图1）2∠ＢＣＤ＝1∠ＡＣＢ。

2在△ＢＣＤ中：∠Ｄ＝１８０°－（∠ＣＢＤ＋∠ＢＣＤ）＝１８０°－1（∠ＡＢＣ＋∠ＡＣＢ）2＝１８０°－1（１８０°－∠Ａ）2＝９０°＋1∠Ａ2变式练习的题目有（1）如图△2、在ABC中，∠ＡＢＣ、∠ＡＣＢ的角平分线的交与点D，∠D=100°，则∠A的度数是度。

解:由结论1得知，∠D=９０°＋1∠Ａ。

则∠Ａ=2∠D―180°，2容易得出∠Ａ=20°（图2）（2）如图3:在四边形ABCD中，∠D=120°，∠A=100°∠ＡＢＣ、∠ＡＣＢ的角平分线的交与点E，试求∠BEC的度数。

（完整版）初中角平分线知识点总结与巧用

（完整版）初中角平分线知识点总结与巧用11．定义、定理角平分线知识点总结与巧用1.角平分线的定义：从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的角平分线。

2..角平分线的性质定理：在角平分线上的点到这个角的两条边的距离相等。

3. 逆定理：在角的内部到这个角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上。

4. 三角形内心：三角形的三个顶角的角平分线必相交于一点。

二．基本结论1. 三角形内（外）角平分线夹角结论（1）如图①PB 、PC 分别平分∠ABC 和∠ACB ? ∠P=90°+ ∠A，2且点 P 在∠BAC 的角平分线上（2）如图②PB 、PC 分别平分∠ABC 和∠ACB 的外角? ∠P=90°- 1∠A，2且点 P 在∠BAC 的角平分线上（3）如图③PB 平分∠ABC 、PC 平分∠ACB 的外角? ∠P= 1∠A2且点 P 在∠BAC 外角的角平分线上2. 三角形的三条角平分线交于一点（内心），这个点到三角形三边的距离相等。

3. 三角形内（外）角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例。

（1）在△ABC 中，AD 是∠BAC 的角平分线? AB ：AC=BD ：DC （2）AD 是△ABC外角∠BAP的角平分线 AB：AC=BD：DC3、关于角平分线常见的辅助线作法：1. 作双高，或多高（1）构造全等（2）对角互补形四边形ABCD 中，BD 是∠ABC 的角平分线，且∠3+∠4=180° ?DA=DC2. 作平行线（1）平分平行?等腰（2）构造A 型、X 型3.截长补短构全等4.平分线+高线,延长?等腰EDO4、典型例题灵活运用1、如图在△ABC 中，PB 平分∠ABC ，PC 平分∠ACB 的外角，连接 AP ，若∠BPC=40°，则∠CAP= 50 °2、已知：△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的角平分线交于点 O ，过 O 的直线EF ∥BC ，分别交 AB 、AC 于 E 、F 两点，若∠BOC=135°，EO ：OF ：OD=20:15:12，△ABC 的面积为 216，则 OD=3、在△ABC 中，∠A=2∠B ，AC=3.5，BC=5.5，D 为射线 BA 上一点，D 到直线 AC ，BC 的距离相等，则 AD= 。

三角形内外角平分线定理

三角形内外角平分线定理【三角形内外角平分线定理】是指在一个三角形中，如果一条直线既是一内角的角平分线，又是另外一个外角的角平分线，那么它将平分这个三角形的第三个内角。

这个定理在解决一些与三角形相关的几何问题时非常有用。

通过运用该定理，我们能够更深入地理解三角形的内外角关系，拓展我们对三角形性质的认识。

让我们来详细解释一下三角形内外角平分线定理的几何意义。

假设我们有一个三角形ABC，其中角A是一个内角，角D是一个外角，线段DE是角A的内角平分线，同时也是角D的外角平分线。

根据这个定理，我们可以得出结论：线段DE将平分角B的度数。

这意味着角BED和角CEA的度数相等。

那么，如何证明三角形内外角平分线定理呢？我们可以运用一些基本的几何知识和性质来推导。

我们知道在三角形ABC中，三个内角的和为180度。

假设角A的度数为x，角BED和角CEA的度数都设为y。

根据内角的性质，我们可以得到以下等式：x + y + (180 - x) = 180x + y = x + 180 - xy = 180从上述推导中可以看出，我们无法得出具体的角度度数。

在具体问题中，我们可以将该定理与其他定理、关系和性质结合使用，以解决更复杂的问题。

三角形内外角平分线定理不仅具有几何意义，还深刻影响着我们对数学抽象概念的理解。

这个定理揭示了三角形内外角的平分线之间的关系，通过思考和探索，我们可以发现更多有趣且深入的现象。

通过应用这个定理，我们能够更好地解决与三角形相关的问题。

总结来说，三角形内外角平分线定理是一个重要的几何性质。

它揭示了三角形内外角平分线之间的关系，并为我们解决与三角形相关的问题提供了有力的工具。

在解决问题时，我们可以从简单的情况出发，逐步深入，灵活运用不同的原理和方法。

通过不断学习和思考，我们能够提高对三角形性质的理解和运用能力。

对于我个人而言，三角形内外角平分线定理是几何学中一条重要的定理。

它不仅仅是数学知识的一部分，更是一种思维方式和解决问题的工具。

初中数学-三角形内外角平分线有关命题的证明及应用资料-共21页

三角形内外角平分线一.命题的证明及应用在中考常有与三角形内外角平分线有关的题目，若平时不注意总结是很难一下子解决的．下面来一起学习一下．命题 1 如图１，点D是△ABC两个内角平分线的交点，则∠D=90°+∠A．证明：如图１：∵∠1＝∠，∠２＝∠，∴2∠1＋2∠2＋∠A＝180°①∠1＋∠2＋∠D=180°②①－②得：∠1＋∠2＋∠A＝∠D③由②得：∠1＋∠2=180°－∠D④把③代入④得：∴180°－∠D＋∠A＝∠D∠D=90°+∠A．点评利用角平分线的定义和三角形的内角和等于180°，不难证明.命题2 如图２，点D是△ABC两个内角平分线的交点，则∠D=90°－∠A．证明：如图２：∵DB和DC是△ABC的两条外角平分线，∴∠D=180°－∠1－∠2=180°－（∠DBE+∠DCF）=180°－（∠A+∠4+∠A+∠3）=180°－（∠A+180°）=180°－∠A－90°=90°－∠A；点评利用角平分线的定义和三角形的一个外角等于与它不相邻两外角的和以及三角形的内角和等于180°，可以证明.命题3 如图3，点E是△ABC一个内角平分线与一个外角平分线的交点，则∠E=∠A．证明：如图3：∵∠1=∠2，∠3=∠4，∠A+2∠1=2∠4①∠1+∠E=∠4②①×代入②得：∠E=∠A．点评利用角平分线的定义和三角形的一个外角等于与它不相邻两外角的和，很容易证明.命题4如图４，点E是△ABC一个内角平分线BE与一个外角平分线CE的交点，证明:AE是△ABC的外角平分线.证明：如图3：∵BE是∠ABC的平分线,可得：EH=EFCE是∠ACD的平分线, 可得：EG=EF∴过点E分别向AB、AC、BC所在的直线引垂线，所得的垂线段相等.即EF=EG=EH∵EG=EH∴AE是△ABC的外角平分线．点评利用角平分线的性质和判定能够证明．应用上面的结论能轻松地解答一些相关的比较复杂的问题，下面来一起看．例1如图5，PB和PC是△ABC的两条外角平分线．①已知∠A=60°，请直接写出∠P的度数.②三角形的三条外角平分线所在的直线形成的三角形按角分类属于什么三角形？解析：①由命题2的结论直接得：∠P=90°－∠A=90°－×60°=60°②根据命题2的结论∠P=90°－∠A，知三角形的三条外角平分线所在的直线形成的三角形的三个角都是锐角，则该三角形是锐角三角形．点评此题直接运用命题2的结论很简单．同时要知道三角形按角分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形．例２如图6，在△ABC中，延长BC到D,∠ABC与∠ACD的角平分线相较于点，∠BC与∠CD的平分线交与点，以此类推，…，若∠A=96°，则∠= 度．解析：由命题③的结论不难发现规律∠∠A．可以直接得：∠=×96°=3°．点评此题是要找出规律的但对要有命题③的结论作为基础知识．例３（203陕西第一大题填空题第八小题，此题３分）如图7，△ABC的外角∠ACD 的平分线CP的内角∠ABC平分线BP交于点P，若∠BPC=40°，则∠CAP=_______________．解析：此题直接运用命题４的结论可以知道ＡＰ是△ABC的一个外角平分线，结合命题３的结论知道∠BAC=2∠BPC, CAP=(180°－∠BAC )= (180°－2∠BPC )=50°．点评对命题3、4研究过的读者此题不难，否则将是一道在考试的时候花时间也不一定做的出来的题目．例４(2019年山东省)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，∠ACB的平分线与∠ABC的外角平分线交与E点，连接AE，则∠AEB= 度．解析：有题目和命题４的结论可以知道AE是△ABC的一个外角平分线, 结合命题2的结论知道∠AEB=∠ACB－∠ACB=90°－×90°=45°点评从上面的做题过程来看题目中给出的“∠A=30°”这个条件是可以不用的．二.角平分线定理使用中的几种辅助线作法一、已知角平分线，构造三角形例题、如图所示，在△ABC中，∠ABC=3∠C，AD是∠BAC的平分线，BE⊥AD于F。

角平分线的有关结论

三角形内外角平分线有关命题的证明及应用在中考和一些竞赛题目中常有与三角形内外角平分线有关的题目，若平时不注意总结是很难一下子解决的．下面来一起学习一下．命题1 如图１，点D是△ABC两个内角平分线的交点，则∠D=90°+∠A．证明：如图１：∵∠1＝∠，∠２＝∠，∴2∠1＋2∠2＋∠A＝180°①∠1＋∠2＋∠D=180°②①－②得：∠1＋∠2＋∠A＝∠D③由②得：∠1＋∠2=180°－∠D④把③代入④得：∴180°－∠D＋∠A＝∠D∠D=90°+∠A．点评利用角平分线的定义和三角形的内角和等于180°，不难证明.命题2 如图２，点D是△ABC两个内角平分线的交点，则∠D=90°－∠A．证明：如图２：∵DB和DC是△ABC的两条外角平分线，∴∠D=180°－∠1－∠2=180°－（∠DBE+∠DCF）=180°－（∠A+∠4+∠A+∠3）=180°－（∠A+180°）=180°－∠A－90°=90°－∠A；点评利用角平分线的定义和三角形的一个外角等于与它不相邻两外角的和以及三角形的内角和等于180°，可以证明.命题3 如图3，点E是△ABC一个内角平分线与一个外角平分线的交点，则∠E=∠A．证明：如图3：∵∠1=∠2，∠3=∠4，∠A+2∠1=2∠4①∠1+∠E=∠4②①×代入②得：∠E=∠A．点评利用角平分线的定义和三角形的一个外角等于与它不相邻两外角的和，很容易证明.命题4如图４，点E是△ABC一个内角平分线BE与一个外角平分线CE的交点，证明:AE是△ABC的外角平分线.证明：如图3：∵BE是∠ABC的平分线,可得：EH=EFCE是∠ACD的平分线,可得：EG=EF∴过点E分别向AB、AC、BC所在的直线引垂线，所得的垂线段相等.即EF=EG=EH∵EG=EH∴AE是△ABC的外角平分线．点评利用角平分线的性质和判定能够证明．应用上面的结论能轻松地解答一些相关的比较复杂的问题，下面来一起看．例1如图5，PB和PC是△ABC的两条外角平分线．①已知∠A=60°，请直接写出∠P的度数.②三角形的三条外角平分线所在的直线形成的三角形按角分类属于什么三角形？解析：①由命题2的结论直接得：∠P=90°－∠A=90°－×60°=60°②根据命题2的结论∠P=90°－∠A，知三角形的三条外角平分线所在的直线形成的三角形的三个角都是锐角，则该三角形是锐角三角形．点评此题直接运用命题2的结论很简单．同时要知道三角形按角分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形．例２如图6，在△ABC中，延长BC到D,∠ABC与∠ACD的角平分线相较于点，∠BC与∠CD的平分线交与点，以此类推，…，若∠A=96°，则∠= 度．解析：由命题③的结论不难发现规律∠∠A．可以直接得：∠=×96°=3°．点评此题是要找出规律的但对要有命题③的结论作为基础知识．例３（2011湖北鄂州市中考第一大题填空题第八小题，此题３分）如图7，△ABC的外角∠ACD的平分线CP的内角∠ABC平分线BP交于点P，若∠BPC=40°，则∠CAP=_______________．解析：此题直接运用命题４的结论可以知道ＡＰ是△ABC的一个外角平分线，结合命题３的结论知道∠BAC=2∠BPC, CAP=(180°－∠BAC )= (180°－2∠BPC )=50°．点评对命题3、4研究过的读者此题不难，否则将是一道在考试的时候花时间也不一定做的出来的题目．例４(2003年山东省“KLT快乐灵通杯”初中数学竞赛试题)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，∠ACB的平分线与∠ABC的外角平分线交与E点，连接AE，则∠AEB= 度．解析：有题目和命题４的结论可以知道AE是△ABC的一个外角平分线,结合命题2的结论知道∠AEB=∠ACB－∠ACB=90°－×90°=45°点评从上面的做题过程来看题目中给出的“∠A=30°”这个条件是可以不用的．尊敬的赞助商：**于200X年X月X日举办一个全校性的综合型运动会，历时一周。