容斥原理(二)

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奥数四年级--容斥问题(二)

练 1.有30名运动员，其中18人会三级跳，16人习会撑杆跳高，10人三级跳远、撑杆跳高均不
会。既会三级跳远又会撑杆跳高的运动员有多少名？
14名
练 2、操场上的学生排成10路纵队做操，毎路习纵队人数同样多，小明站在第四纵队，从排
头数他是第13个，从后往前数他是第8人。操场上有多少人在做操？
200人
练 3、一个年级有120人爱好数学，100人爱好习语文，85人爱好美术，30人既爱好数学又爱
好语文，20人既爱好语文又爱好美术，35人既爱好美术又爱好数学，有18人三门学科都爱好。请问:这个年级中数学、语文、美术三门学科中至少爱好一门学科的学生有多少人？
238人
练 4、某班全体学生进行了数学、语文、英语习三个科目的测试，有8名学生在这三个科目
球、蓝球的学生人数分别为10人，10人，6 人，其中手中既有红球又有黄球的有3人，既有黄球又有蓝球的有2人，既有蓝球又有红球的有4人。已知全队每人手中都至少有一种颜色的球，那么，手中三种颜色的球都有的多少人？
3人
练 6、某班50名同学全部参加数学、语文、美习术三个课外兴趣小组，参加数学小组的有29
17人
18人
15人
求全班人数。
这道题目条件比较复杂，可以根据题意画出示意图，以便形象直观地显示他们之间的关系。全班人数=至少有一个项目达到优秀的人数+三个项目上都没有达到优秀的人数
篮球15人 6人短跑 17人
篮球游泳短跑 2人
6人游泳 18人
6人
经典题型
运用容斥定理至少有一个项目达到优秀的人数=（短跑达到优秀人数+游泳达到优秀人数+篮球达到优秀人数）-（短跑、游泳达到优秀人数+ 游泳、篮球达到优秀人数+篮球、短跑达到优秀人数）+短跑、游泳、篮球都达到优秀的人数

容斥原理奥数原题

容斥原理在计数时，为了使重叠部分不被重复计算，人们研究出一种新的计数方法，这种方法的基本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。

容斥原理（1）如果被计数的事物有A、B两类，那么，A类或B类元素个数= A类元素个数+B类元素个数—既是A类又是B类的元素个数。

例1一次期末考试，某班有15人数学得满分，有12人语文得满分，并且有4人语、数都是满分，那么这个班至少有一门得满分的同学有多少人？分析：依题意，被计数的事物有语、数得满分两类，“数学得满分”称为“A类元素”，“语文得满分”称为“B类元素”，“语、数都是满分”称为“既是A类又是B类的元素”，“至少有一门得满分的同学”称为“A类或B类元素个数”的总和。

试一试：某班学生每人家里至少有空调和电脑两种电器中的一种，已知家中有空调的有41人，有电脑的有34人，二者都有的有27人，这个班有学生多少人？（并说一说你的想法。

）容斥原理（2）如果被计数的事物有A、B、C三类，那么，A类或B类或C类元素个数= A类元素个数+B类元素个数+C类元素个数—既是A类又是B类的元素个数—既是A类又是C类的元素个数—既是B类又是C类的元素个数+既是A类又是B类而且是C类的元素个数1、某艺术团的小演奏家们每人都至少会演奏小提琴和钢琴中的一种。

他们中有32人会拉小提琴，27人会弹钢琴，小提琴和钢琴都能演奏的有11人。

这个团共有多少个小演奏家？2、一个班有学生42人，参加体育队的有30人，参加文艺队的有25人，并且全班每人至少参加一个队。

问：这个班两队都参加的有多少人？3、京华小学五年级学生采集标本。

采集昆虫标本的有25人，采集植物标本的有19人，两种标本都采集的有8人。

全班学生共有40人，没有采集标本的有多少人？4、有100位旅客，其中有10人既不懂英语又不懂日语，有75人懂英语，83人懂日语。

三年级数学-容斥原理问题2

三年级数学－容斥原理问题2
一、选择题
1．三（1）班有50人，其中25人喜欢吃苹果，22人喜欢吃橘子，13人既喜欢吃苹果又喜欢吃橘子．两种水果都不喜欢吃的有（）人．
A：34 B ：16 C：3
2．三（1）班有45人，每人都参加了跳绳比赛或跑步比赛．跳绳比赛的有28人，跑步比赛的有24人，两种活动都参加的有（）人．
A．17 B．7 C．24
3．红星小学三一班有25位同学报了合唱兴趣班，有32位同学报了美术兴趣班，其中有10位同学同时报了这两个兴趣班，三一班至少有（）位同学报了兴趣班．
A．47 B．57 C．67
4．学校开设了两个兴趣小组，三年级20人参加书画小组，18人参加了音乐小组，两个小组都参加的有5人，那么三年级一共有（）人参加了兴趣小组．
A．38 B．33 C．23
5．在运动会上,参加短跑的有12人,参加长跑的有4人,这两项都参加的有4人,共有()人参加这两项比赛．
A．8B．16C．12
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容斥原理二集合公式

容斥原理二集合公式一、基本概念容斥原理是一种计数方法，用于解决多个集合的元素个数之和的问题。

假设有n个集合A1,A2,...,An，定义函数f(S)表示满足条件S的元素个数。

那么容斥原理的二集合公式可以表示为：f(A1∪A2) = f(A1) + f(A2) - f(A1∩A2)二、应用场景容斥原理广泛应用于概率论、组合数学和计算几何等领域，特别适用于求解满足多个条件的元素个数问题。

1. 求解不同条件下元素个数的问题容斥原理可以用来求解满足多个条件的元素个数问题。

例如，假设有一个集合S，它包含了所有既是A的子集又是B的子集的元素。

那么可以通过容斥原理计算出S的元素个数。

2. 求解排斥条件下元素个数的问题容斥原理还可以用来求解排斥条件下元素个数的问题。

例如，假设有一个集合S，它包含了所有既不是A的子集又不是B的子集的元素。

那么可以通过容斥原理计算出S的元素个数。

三、示例分析下面通过一个具体的示例来说明容斥原理的应用。

假设有一个由1到100的整数构成的集合S，现在要求满足以下条件的元素个数：1. 能被2整除的元素个数；2. 能被3整除的元素个数；3. 能被5整除的元素个数。

根据容斥原理的二集合公式，我们可以得到：f(S) = f(A) + f(B) + f(C) - f(A∩B) - f(A∩C) - f(B∩C) + f(A∩B∩C)其中，A表示满足条件1的元素，B表示满足条件2的元素，C表示满足条件3的元素。

根据条件，我们可以计算出：f(A) = 100 / 2 = 50f(B) = 100 / 3 = 33f(C) = 100 / 5 = 20f(A∩B) = 100 / (2*3) = 16f(A∩C) = 100 / (2*5) = 10f(B∩C) = 100 / (3*5) = 6f(A∩B∩C) = 100 / (2*3*5) = 3将这些值代入容斥原理的公式中，就可以求解出满足条件的元素个数。

7-7-2 容斥原理之重叠问题(二).学生版

1.了解容斥原理二量重叠和三量重叠的内容； 2. 掌握容斥原理的在组合计数等各个方面的应用．一、两量重叠问题在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算．求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数，用式子可表示成：A B A B A B =+-(其中符号“”读作“并”，相当于中文“和”或者“或”的意思；符号“”读作“交”，相当于中文“且”的意思．)则称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理．图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B ，即阴影面积．图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：AB ，即阴影面积．包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合A B 、的并集A B 的元素的个数，可分以下两步进行：第一步：分别计算集合A B 、的元素个数，然后加起来，即先求A B +(意思是把A B 、的一切元素都“包含”进来，加在一起)；第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去C A B =(意思是“排除”了重复计算的元素个数)．二、三量重叠问题A 类、B 类与C 类元素个数的总和A =类元素的个数B +类元素个数C +类元素个数-既是A 类又是B 类的元素个数-既是B 类又是C 类的元素个数-既是A 类又是C 类的元素个数+同时是A 类、B 类、C 类的元素个数．用符号表示为：A B C A B C A B B C A C A B C =++---+．图示如下：在解答有关包含排除问题时，我们常常利用圆圈图(韦恩图)来帮助分析思考．教学目标知识要点7-7-2.容斥原理之重叠问题（二）1．先包含——A B +重叠部分A B 计算了2次，多加了1次； 2．再排除——A B A B +-把多加了1次的重叠部分A B 减去．图中小圆表示A 的元素的个数，中圆表示B 的元素的个数，大圆表示C 的元素的个数．1．先包含：A B C ++重叠部分A B 、B C 、C A 重叠了2次，多加了1次． 2．再排除：A B C A B B C A C ++---重叠部分A B C 重叠了3次，但是在进行A B C ++- A B B C A C --计算时都被减掉了． 3．再包含：A B C A B B C A C A B C ++---+．例题精讲模块一、三量重叠问题【例1】一栋居民楼里的住户每户都订了2份不同的报纸。

5.3 容斥原理(二)

博易新思维数学
五年级秋季拓展版
5.3 容斥原理（二）
容斥原理一：
如果被计数的事物有A、B两类，那么，A类或B类元素个数
=A类元素个数＋B类元素个数－既是A类又是B类的元素个数。
A
B
C
A或B的个数=A＋B－C
准备题1：一次期末考试，某班有15人数学得满分，有 12人语文得满分，并且有4人语、数都是满分，那么这个班至少有一门得满分的同学有多少人？
128＋145＋136－75－56－82＋13 =209（个）
答：六年级一共有209个学生。
例2：某校六(1)班有学生44人，每人在暑假里都参加体育训练队，其中参加足球队的有25人，参加排球队的有22人，参加游泳队的有 34人，足球、排球都参加的有12人，足球、游泳都参加的有18人，排球、游泳都参加的有14人，问：三项都参加的有多少人?
红色白色黑色红、白色红、黑色白、黑色红白黑三色
95 102 89
34
42
54
21
求活动现场的观众有多少？
喜欢3种颜色的人：95＋102＋89－34－42－54＋21 =177(人) 现场的观众：177＋35=212(人)
答：活动现场的观众有212人。
例5：在1到100的自然数中：（1）是3的倍数或是5的倍数的数共有多少个？
数学得满分 15人
4人
语文得满分 12人
语数都得满分
15＋12－4=23(人)
答：这个班至少有一门得满分的同学有23人。
准备题2：有一根180厘米长的绳子，从一端开始，每3厘米作一记号，每4厘米也作一记号，然后将作有记号的地方剪断，绳子共被剪成多少段？
3厘米作记号 60段
4厘米作记号 45段

小升初培优之计数原理之容斥原理 (2)

【例5】(★★★) 甲、乙、丙同时给100盆花浇水.已知甲浇了78盆，乙浇了 68盆，丙浇了58盆，那么3个人都浇过的盆数最少是多少盆？
【例6】(★★★☆) 唐僧西天取经共经历了81难，其中单独渡过了3难，与孙悟空一起渡过了77难，与猪八戒一起渡过了65难，与沙和尚一起渡过了62难，同时与孙悟空和猪八戒一起渡过了64难，同时与孙悟空和沙和尚一起渡过了61难，同时与猪八戒和沙和尚一起渡过了60难。请问：师徒四人共同渡过的有多少难？
【例2】(★★) 某科室有12人，其中6人会英语，5人会俄语，5人会日语，3人既会英语又会俄语，2人既会俄语又会日语，2 人既会英语又会日语，1人三种语言全会。只会1种外语的人比1种外语也不会的人多______人。
【例3】(★★★) 1~1000之中，有多少个自然数不是2的倍数也不是3的倍数也不是5的倍数？
容斥公式1：大饼＝A＋B－AB 容斥公式2：大饼＝A＋B＋C－AB－AC－BC＋ABC
A
B
消重不漏不重
A C
人至少有一个兴趣。其中，有12人喜欢音乐，有21人喜欢折纸，其中有8人两种兴趣都喜欢．请问： ⑴ 只喜欢音乐的有____人。 ⑵ 只喜欢折纸的有____人。 ⑶ 一共有___人。
2
【拓展】(★★☆) 一根1.8米长的木棍，从左端开始每隔2厘米划一个刻度，每隔3厘米划一个刻度，每隔5厘米划一个刻度，如果按刻度把木棍截断，一共可以截成多少段小木棍？
【例4】(★★★☆) 模块二：典型的拉灯问题. 2006盏亮着的电灯，各有一个拉线开关控制，按顺序编号为1、2、 2006.将编号为2的倍数的灯各拉一下，再将编号为3的倍数的灯各拉一下，最后将编号为5的倍数的灯各拉一下，最后亮着的灯有______盏。

专题22容斥原理(解析)2

20222023学年小学五年级思维拓展举一反三精编讲义专题22 容斥原理专题简析：集合是指具有某种属性的事物的全体，它是数学中的最基本的概念之一。

如某班全体学生可以看作是一个集合，0、1、2、3、4、5、6、7、8、9便组成一个数字集合。

组成集合的每个事物称为这个集合的元素。

如某班全体学生组成一个集合，每一个学生都是这个集合的元素，数字集合中有10个元素。

两个集合中可以做加法运算，把两个集合A 、B 合并在一起，就组成了一个新的集合C 。

计算集合C 的元素的个数的思考方法主要是包含与排除：先把A 、B 的一切元素都“包含”进来加在一起，再“排除”A 、B 两集合的公共元素的个数，减去加了两次的元素，即：C=A ＋B －AB 。

在解包含与排除问题时，要善于使用形象的图示帮助理解题意，搞清数量关系的逻辑关系。

有些语言不易表达清楚的关系，用了适当的图形就显得很直观、很清楚，因而容易进行计算。

【典例分析01】五年级96名学生都订了报纸，有64人订了少年报，有48人订了小学生报。

两种报纸都订的有多少人？【思路引导】用左边的圆表示订少年报的64人，右边的圆表示订小学报的48人，中间重叠部分表示两种报刊都订的人数。

显然，两种报刊都订的人数被统计了两次：64＋48=112人，知识精讲典例分析比总人数多112－96=16人，这16人就是两种报刊都订的人数。

【典例分析02】某校教师至少懂得英语和日语中的一种语言。

已知有35人懂英语，34人懂日语，两种语言都懂的有21人。

这个学校共有多少名教师？【思路引导】把懂英语和懂日语的人数加起来得35＋34=69人，但是，两种语言都懂的21人被统计过两次，应该从69里去掉一个21才能得出这个地区外语教师的总人数：69－21=48人。

【典例分析03】学校开展课外活动，共有250人参加。

其中参加象棋组和乒乓球组的同学不同时活动，参加象棋组的有83人，参加乒乓球组的有86人，这两个小组都参加的有25人。

容斥原理（2）

容斥原理例1一个班有55名学生，订阅《小学生数学报》的有12人，订阅《今日少年报》的有9人，两种报纸都订阅的有5人。

(1)订阅报纸的总人数是多少？(2)两种报纸都没订阅的有多少人？例2有62名学生，其中会弹钢琴的有1 1人，会吹竖笛的有56人，两样都不会的有4人，两样都会的有多少人？例3艺术节那天，学校的画廊里展出了每个年级学生的图画作品，其中有23幅不是五年级的，有21幅画不是六年级的，五、六年级参展的画共有8幅。

其他年级参展的画共有多少幅？例4五(1)班的全体学生进行了短跑、游泳、篮球三个项目的测试，有4名学生在这三个项目上都没有达到优秀，其余每人至少有一个项目达到优秀，这部分学生达到优秀的项目和人数如下表：例5某班有60名同学参加乒乓球、羽毛球和足球三个兴趣小组，参加乒乓球兴趣小组的有32人，参加羽毛球兴趣小组的有22人，参加足球兴趣小组的有28人，有20人既参加乒乓球兴趣小组又参加羽毛球兴趣小组，有18人既参加乒乓球兴趣小组又参加足球兴趣小组，有16人既参加羽毛球兴趣小组又参加足球兴趣小组。

已知全班每人都至少参加了以上三个小组中的某一个，那么，三个兴趣小组都参加的学生有多少人？例6某外语学习班有40名学员，规定他们至少学习英语、日语、德语中的一种。

结果学习英语的有20人，学习日语的有12人，学习德语的有18人，其中有5人既学了英语又学了日语，有2人既学了日语又学了德语，没有人同时学习三种语言。

那么，既学英语又学德语的有多少人？例7松山小学45名学生参加数学、作文、美术竞赛。

有21人参加数学竞赛，15人参加作文竞赛，其中7人既参加作文竞赛又参加数学竞赛，3人既参加作文竞赛又参加美术竞赛，但没有一人既参加数学竞赛又参加美术竞赛。

求：(1)只参加数学竞赛的有多少人？(2)只参加作文竞赛的有多少人？(3)只参加美术竞赛的有多少人？练习与思考：1．四(2)班有50名学生，下课后每人都至少做完了一门作业，其中做完语文作业的有35人，做完数学作业的有40人。

容斥原理初步(二)

【例5改编】 (★★★★) 校运动会共设有足球、长跑和跳远三个项目。学校规定每个同学至少参加其中的一项，并且至多参加两项。已知该校有220名同学，有80人参加了足球项目，120人参加了长跑项目，且已知有60人只参加了跳远项目那么同时参加了足球和长跑项目的有_____人。参加了跳远项目。那么同时参加了足球和长跑项目的有人【例6】 (★★★) 在1至100的自然数中，既不能被2整除，又不能被3整除，还不能被5整除的数有多少个？【例7】 (★★★★) 2006盏亮着的电灯，各有一个拉线开关控制，按顺序编号为l，2，…，的倍数的灯的拉线各拉一下；再将编号为下；再将编号为3的倍数的 2006。将编号为2的倍数的灯的拉线各拉灯的拉线各拉一下，最后将编号为5的倍数的灯的拉线各拉一下。拉完 1 后亮着的灯数为多少盏？
【例2】 (★★★) 在网校40名老师中，每个人都爱喝橙汁、桃汁、苹果汁中的一种或几名老师中每个人都爱喝橙汁桃汁苹果汁中的一种或几种。其中有10人爱喝橙汁，15人不爱喝橙汁却爱喝桃汁。请问：只爱喝苹果汁的有几喝苹果汁的有几人？
【例3】 (★★★) 网校老师组织体育比赛，分成轮滑、游泳和羽毛球三个组进行，参加轮滑比赛的有20人，参加游泳比赛的有25人，参加羽毛球比赛的有30 人，同时参加了轮滑和游泳比赛的有8人，同时参加了轮滑和羽毛球比赛的有7人，同时参加了游泳和羽毛球比赛的有6人，三种比赛都参加的有4人，问参加体育比赛的共有多少人？
容斥原理（二）
【例1】 (★★★) 在网校50名老师中，喜欢看电影的有15人，不喜欢唱歌的有25人，既喜欢看电影也喜欢唱歌的有5人。那么只喜欢唱歌的有多少人？【例2改编】（★★★）在网校老师40名中，每个人都喜欢周华健、周星驰、周杰伦中的一人或几人。其中有22人喜欢周华健，13人不喜欢周华健却喜欢周星驰。请问：只喜欢周杰伦的有几人？

小学数学六年级奥数《容斥原理(2)》练习题(含答案)

小学数学六年级奥数《容斥原理(2)》练习题（含答案）一、填空题1.某校有500名学生报名参加学科竞赛,数学竞赛参加者共312名,作文竞赛参加者共353名,其中这两科都参加的有292名,那么这两科都没有参加的人数为人.2.某门诊部统计某一天挂号的病人,内科150人,外科92人,其中内、外两科都求诊的18人，这一天共来了个病人.3.两个正方形的纸片盖在桌面上,位置与尺寸如图所示,则它们盖住 (平方厘米).4.不超过30的正整数中,是3的倍数或4的倍数的数有个.5.在一次运动会中,甲班参加田赛的有15人,参加径赛的有12人,参加田赛又参加径赛的有7人,没有参加比赛的有21人.那么甲班共有人.6.在桌面上放置着三个两两重叠的圆纸片(如图),它们的面积都是100(cm 2)并知A 、B 两圆重叠的面积是20(cm 2),A 、C 两圆重叠的面积为45(cm 2),B 、C 两圆重叠面积为31(cm 2),三个圆共同重叠的面积为15(cm 2),求盖住桌子的总面积是平方厘米.7.在一次考试中,某班数学得100分的有17人,语文得100分的有13人,两科都得100分的有7人,那么两科中至少有一科得100分的共有人.全班45人中两科都不得100分的有人.8.在1,2,3,…,1000这1000个自然数中,既不是2的倍数,又不是3的倍数的数共有个.9.小于1000的自然数中,是完全平方数而不是完全立方数的数有个.10.某校有学生960人,其中有510人订阅“作文报”,有330人订阅“数学报”,有120人订阅“科学爱好者”,全校学生中有270人订阅两种报刊,有58人三种报刊都订,那么这学校中没有订阅任何报刊的有人.2 AB C二、解答题11.70名学生参加体育比赛,短跑得奖的31人,投掷得奖的36人,弹跳得奖的29人,短跑与投掷二项均得奖的12人,跑、跳、投三项均得奖的有5人,只得弹跳奖的有7人,只得投掷奖的有15人.求(1)只得短跑奖的人数;(2)得二项奖的总人数;(3)一项奖均未得的人数.12.64人订A 、B 、C 三种杂志.订A 种杂志的28人,订B 种杂志的有41人,订C 种杂志的有20人, 订A 、B 两种杂志的有10人,订B 、C 两种杂志的有12人,订A 、C 两种杂志的有12人,问三种杂志都订的有多少人?13.求从1到1994中不能被5整除,也不能被6或7整除的自然数的个数.14.夏日的一天,有十个同学去吃冷饮.向服务员交出需要冷饮的统计,数字如下,有6个人要可可,有5个人要咖啡,有5个人要果汁,有3个人既要可可又要果汁,有一个人既要可可、咖啡又要了果汁.求证其中一定有一个人什么冷饮也没有要.———————————————答案——————————————————————1. 127从图中可以看出:参加数学、作文竞赛的总人数为312+353-292=373(人) 从而可知这两科都没有参加的人数为500-373=127(人).2. 224从图可以看出,来诊病人总数为150+92-18=224(人).3. 10.75把两个正方形面积加起来得22+32=13,但其中多算了一块阴影部分的面积,这部分面积为 1.52=2.25(平方厘米),故两个正方形盖住的总面积是22+32-1.52=13-2.25=10.75(cm 2)4. 15内科 150人外科92人18 人不超过30的3的倍数有10330=⎥⎦⎤⎢⎣⎡(个),不超过30的4的倍数有7430=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-(个);不超过30的3⨯4=12的倍数有24330=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯(个),因此不超过30的正整数中是3的倍数,或是4的倍数的数共有10+7-2=15(个).5. 41如图所示,易知总人数为(15+12-7)+21=41(人).6. 219由容斥原理知,盖住桌面的总面积为100+100+100-(20+45+31)+15=219(平方厘米).7. 23;22至少一科得100分的有17+13-7=23(人),两科都不得100分的有45-23=22(人).8. 333在1~1000的自然数中,2的倍数有50021000=⎥⎦⎤⎢⎣⎡(个),3的倍数有33331000=⎥⎦⎤⎢⎣⎡(个),2⨯3=6的倍数共有166321000=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯(个),故是2或是3的倍数共有500+333-166=667(个),从而既不是2的倍数,又不是3的倍数的数共有1000-667=333(个).9. 28小于1000的自然数中,是完全平方数的有12、22、…,312共31个.其中12=13,82=43,272=93.又是完全立方数,故符合条件的数有31-3=28(个)10. 121由容斥原理知,或订“作文报”或订“数学报”或订“科学爱好者”的总人数为510+330+120-270+58=748(人)故三种报刊都没有订的人数为960-748=212(人).11. (1)如图,用矩形表示参赛的70个学生,而用三个圆表示分别在跑、跳、投中得奖的人.数学语文 7 17 13设x 为只得短跑奖的人数,y 为只在短跑和弹跳两项得奖的人数,z 为只在弹跑与投掷两项得奖的人数,u 为只在投掷和短跑两项得奖的人数.则有u =12-5=7(人),z =36-15-12=9(人),y =29-5-7=8(人),x =31-12-8=11(人).即只得短跑奖的有11人.(2)得二次奖的人数为y +z +u =8+9+7=24(人).(3)因至少得一次奖的人数为x +y +z +u +5+7+15=62(人),故一项奖均未得的人数为70-62=8(人).12. 设三种杂志均订的人数为x ,则有28+41+20-10-12-12+x =64,解得x =9,即三种杂志都订的有9人.13. 在1~1994中,能被5整除的个数为39851994=⎥⎦⎤⎢⎣⎡;能被6整除的个数为33261994=⎥⎦⎤⎢⎣⎡;能被7整除的个数为28471994=⎥⎦⎤⎢⎣⎡;能被5⨯6=30整除的个数为66301994=⎥⎦⎤⎢⎣⎡;能被5⨯7=35整除的数为56351994=⎥⎦⎤⎢⎣⎡;能被6⨯7=42整除的个数为47421994=⎥⎦⎤⎢⎣⎡;能被5⨯6⨯7=210整除的个数为92101994=⎥⎦⎤⎢⎣⎡. 根据容斥原理,1~1994中或能被5,或能被6,或能被7整除的数的个数为:(398+332+284)-(66+54+47)+9=854,从而不能被5整除,也不能被6或7整除的自然数的个数为1994-854=1140(个).14. 要了冷饮的总人数为6+5+5-3-2-3+1=9(人),但总人数为10人,故一定有一个人什么冷饮也没有要.AB C x。

第二讲容斥原理

第二讲容斥原理例1：某班有56人，参加语文竞赛的有28人，参加数学竞赛的有27人，如果两科都没有参加的有25人，那么同时参加语文、数学两科竞赛的有多少人？分析与解答：要求两科竞赛同时参加的人数，应先求出至少参加一科竞赛的人数：56－25=31人，再求两科竞赛同时参加的人数：28＋27－31=24人。

练习一1，一个旅行社有36人，其中会英语的有24人，会法语的有18人，两样都不会的有4人。

两样都会的有多少人？2，一个俱乐部有103人，其中会下中国象棋的有69人，会下国际象棋的有52人，这两种棋都不会下的有12人。

问这两种棋都会下的有多少人？3，三年级一班参加合唱队的有40人，参加舞蹈队的有20人，既参加合唱队又参加舞蹈队的有14人。

这两队都没有参加的有10人。

请算一算，这个班共有多少人？例2：在1到100的自然数中，既不是5的倍数也不是6的倍数的数有多少个？分析与解答：从1到100的自然数中，减去5或6的倍数的个数。

从1到100的自然数中，5的倍数有100÷5=20个，6的倍数有16个（100÷6=16……4），其中既是5的倍数又是6的倍数（即5和6的公倍数）的数有3个（100÷30=3……10）。

因此，是6或5的倍数的个数是16＋20－3=33个，既不是5的倍数又不是6的倍数的数的个数是：100－33=67个练习二1，在1到200的全部自然数中，既不是5的倍数又不是8的倍数的数有多少个？2，在1到130的全部自然数中，既不是6的倍数又不是5的倍数的数有多少个？3，五（1）班做广播操，全班排成4行，每行的人数相等。

小华排的位置是：从前面数第5个，从后面数第8个。

这个班共有多少个学生？例3：光明小学举办学生书法展览。

学校的橱窗里展出了每个年级学生的书法作品，其中有24幅不是五年级的，有22幅不是六年级的，五、六年级参展的书法作品共有10幅，其他年级参展的书法作品共有多少幅？分析与解答：由题意知，24幅作品是一、二、三、四、六年级参展作品的总数，22幅是一、二、三、四、五年级参展作品的总数。

二集合容斥原理

二集合容斥原理
二集合容斥原理是集合论中一个重要的概念，它是指在涉及到两个集合的问题中，计算它们的交集和并集的数量时，需要减去交集的数量，以避免重复计数。

具体而言，设集合A和B为任意两个集合，则它们的交集记为A∩B，它们的并集记为A∪B。

那么二集合容斥原理可以表示为：|A∪B|=|A|+|B|-|A∩B|，其中“|A|”表示集合A的元素个数。

这个原理在各类数学问题中都有广泛应用，比如计算排列组合问题中的总数、计算事件的概率等。

在实际中，我们也可以通过画出Venn图来直观理解二集合容斥原理。

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小学奥数教程：容斥原理之重叠问题（二）全国通用（含答案）

1. 了解容斥原理二量重叠和三量重叠的内容；2. 掌握容斥原理的在组合计数等各个方面的应用．一、两量重叠问题在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算．求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数，用式子可表示成：A B A B A B =+-(其中符号“”读作“并”，相当于中文“和”或者“或”的意思；符号“”读作“交”，相当于中文“且”的意思．)则称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理．图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B ，即阴影面积．图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B ，即阴影面积．包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合A B 、的并集A B 的元素的个数，可分以下两步进行：第一步：分别计算集合A B 、的元素个数，然后加起来，即先求A B +(意思是把A B 、的一切元素都“包含”进来，加在一起)；第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去C A B =(意思是“排除”了重复计算的元素个数)．二、三量重叠问题A 类、B 类与C 类元素个数的总和A =类元素的个数B +类元素个数C +类元素个数-既是A 类又是B 类的元素个数-既是B 类又是C 类的元素个数-既是A 类又是C 类的元素个数+同时是A 类、B 类、C 类的元素个数．用符号表示为：A B C A B C A B B C A C A B C =++---+．图示如下：在解答有关包含排除问题时，我们常常利用圆圈图(韦恩图)来帮助分析思考．教学目标例题精讲知识要点7-7-2.容斥原理之重叠问题（二）1．先包含——A B + 重叠部分A B 计算了2次，多加了1次； 2．再排除——A B A B +- 把多加了1次的重叠部分A B 减去．图中小圆表示A 的元素的个数，中圆表示B 的元素的个数，大圆表示C 的元素的个数．1．先包含：A B C ++重叠部分A B 、B C 、C A 重叠了2次，多加了1次．2．再排除：A B C A B B C A C ++---重叠部分A B C 重叠了3次，但是在进行A B C ++-A B B C A C --计算时都被减掉了． 3．再包含：A B C A B B C A C A B C ++---+．模块一、三量重叠问题【例 1】一栋居民楼里的住户每户都订了2份不同的报纸。

二集合容斥原理

二集合容斥原理
二集合容斥原理是一种常用的计数方法，它适用于解决多个集合之间的计数问题。

该原理的核心思想是通过组合多个集合之间的交、并关系，计算出目标集合中元素的个数。

具体来说，如果有两个集合A和B，它们的交集为C，则A和B 的并集中的元素数量可以用以下公式计算：
|A∪B|=|A|+|B|-|C|
其中，|A|表示集合A中元素的个数，|B|表示集合B中元素的个数，|C|表示集合A和B的交集中元素的个数。

对于三个及以上的集合，可以通过类似的方法计算出它们的交、并关系，从而得到目标集合中元素的个数。

需要注意的是，在计算多个集合的交、并关系时，需要注意集合之间的重叠部分，否则可能会出现重复计数的情况。

总之，二集合容斥原理是一种非常实用的计数方法，它可以帮助我们更加高效地解决多个集合之间的计数问题。

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小学数学奥林匹克竞赛容斥原理(二)(含答案)

容斥原理（二）【例题分析】例1. 有25人参加跳远达标赛，每人跳三次，每人至少有一次达到优秀。

第一次达到优秀的有10人，第二次达到优秀的有13人，第三次达到优秀的有15人，三次都达到优秀的只有1人。

只有两次达到优秀的有多少人？分析与解：“每人至少有一次达到优秀”说明没有三次都没达到优秀的。

要求只有两次达到优秀的人数，就是求重叠两层的部分（图中阴影部分）。

答：只有两次达到优秀的有11人。

例2. 在一个炎热的夏日，几个小朋友去冷饮店，每人至少要了一样冷饮，其中有6人要了冰棍，6人要了汽水，4人要了雪碧，只要冰棍和汽水的有3人，只要冰棍和雪碧的没有，只要汽水和雪碧的有1人；三样都要的有1人。

问：共有几个小朋友去了冷饮店？分析与解：根据题意画图。

答：共有10个小朋友去了冷饮店。

例3. 有28人参加田径运动会，每人至少参加两项比赛。

已知有8人没参加跑的项目，参加投掷项目的人数与参加跑和跳两项的人数都是17人。

问：只参加跑和投掷两项的有多少人？分析与解：“每人至少参加两项比赛”说明没有不参加的，也没有参加一项比赛的，我们可以在下图中参加一项的区域用0表示。

答：只参加跑和投掷两项的有3人。

例4. 某校六年级二班有49人参加了数学、英语、语文学习小组，其中数学有30人参加，英语有20人参加，语文小组有10人。

老师告诉同学既参加数学小组又参加语文小组的有3人，既参加数学又参加英语和既参加英语又参加语文的人数均为质数，而三种全参加的只有1人，求既参加英语又参加数学小组的人数。

分析与解：根据已知条件画出图。

三圆盖住的总体为49人，假设既参加数学又参加英语的有x人，既参加语文又参加英语的有y由于x、y均为质数，因而这两个质数中必有一个偶质数2，另一个质数为7。

答：既参加英语又参加数学小组的为2人或7人。

例5. 某班同学参加升学考试，得满分的人数如下：数学20人，语文20人，英语20人，数学、英语两科满分者8人，数学、语文两科满分者7人，语文、英语两科满分者9人，三科都没得满分者3人。

7.容斥原理及其应用(二)

例如：
R( R( R(
)=1+ x； )= xR( )+ R( )= x+ (1+ x)=1+2x；
)= x R( ) + R( ) = x(1 + x )+1 + x =1+ 2x +x2
如果 C由相互分离的C1，C2组成，即C1的任一格子所在的行和列中都没有C2的格子。则有： R(C) = R(C1) R(C2) (2) 利用（1）和（2），可以把一个比较复杂的棋盘逐步分解成相对比较简单的棋盘，从而得到其棋盘多项式。
这样的排列对应于有禁区的布子。如右图有影线的格子表示禁区。
定理2 设 ri 为有i个棋子布入禁区的方案数，i =1,2,3,···,n。有禁区的布子方案数（即禁区内不布子的方案数）为 r0 n! －r1(n－1)! ＋ r2(n－2)!－···＋(－1)nrn ＝∑(－1)k rk ( n－k)! 证用容斥原理，此处略。
x x x x x
如图所示的布局对应于排列41352。
可以把棋盘的形状推广到任意形状：
Байду номын сангаас
布子规定称为无对攻规则，棋子相当于象棋中的车。令r k（C）表示k个棋子布到棋盘C 上的方案数。如：
r1(
)=1， r1(
)=2， r1(
)=2，
r2(
)=0， r2(
)=1。
为了形象化起见，（）中的图象便是棋盘的形状。定义设C为一棋盘，称R(C)= ∑ rk(C) xk为C的棋盘多项式。规定 r0(C)=1，包括C=Ф时。设Ci是棋盘C的某一指定格子所在的行与列都去掉后所得的棋盘；Ce是仅去掉该格子后的棋盘。在上面定义下，显然有 rk(C)=rk－1(Ci)＋rk(Ce)，

小学五年级奥数容斥原理(二)

容斥原理（二）【例2】(★★★★)【例1】(★★★)唐僧西天取经共经历了81难，其中单独度过了3难，与孙悟空一起度过了77难，与猪八戒一起度过了65难，与沙和尚一起度过了62难，同时与孙悟空和猪八戒一起度过了64难，同时与孙悟空和沙和尚一起度过了61难，同时与猪八戒和沙和尚一起度过了60难。

请问：师徒四人共同度过的有多少难？某班人数60人，在一次抽考英语、数学、化学的考试中，英语及格的有41人，数学及格的有39人，化学及格的有42人；英语、数学两科不及格的有14人，数学、化学两科不及格的有13人，英语、化学两科不及格的有11人，有两科或两科以上不及格的人数为20人，则：⑴三科都不及格的有几人？⑵至少有一科不及格的有几人？⑶三科都及格的人数有几人？【例3】(★★★★)五年级一班有46名学生参加数学、语文、文艺三项课外小组。

其中有24人参加了数学小组，20人参加了语文小组，既参加数学小组又参加语文小组的有10人.参加文艺小组的人数是既参加数学小组又参加文艺.，，也参加语文小组的人数等于三项小组都参加的人数的2倍，求参加文艺小组的人数。

【例4】(★★★)六年级⑴班有32人参加数学竞赛，有27人参加英语竞赛，有22人参加语文竞赛，其中参加了数学和英语的有12人，参加了英语和语文的有14 人，参加了数学和语文的有10人，那么六年级⑴班全班至少有多少人？【例5】(★★★)甲、乙、丙三人都在读同一本故事书，书中有100个故事。

已知甲读了85个故事，乙读了70个故事，丙读了62个故事。

请问：甲、乙、丙三人共同读过的故事最少有多少个？1【例6】(★★★★★)在阳光明媚的一天下午，甲、乙、丙、丁四人给100盆花浇水，已知甲浇了30盆，乙浇了75盆，丙浇了80盆，丁浇了90盆，请问恰好被3个人浇过的花最少有多少盆？一、本讲重点知识回顾1．基本原理⑴二者容斥⑵三者容斥【例7】(★★★)中国田径队的40名运动员在训练基地进行封闭训练，其中男运动员有20名，训练长跑的运动员有15名，训练竞走的女运动员有8名，那么训练长跑的男运动员有多少名？C A BCA B C A B B C A CA B C2．口诀：奇层加，偶层减3．解题技巧：画图——文氏图，线段图方程列表高斯记号应用——取整运算答案【例1】59难【例3】21人【例2】⑴9人⑵29人⑶31人【例4】47人二、本讲经典例题容斥原理㈠：例1，例2，例5，例6 【例5】17个【例6】15盆容斥原理㈡：例１，例３，例６，例7【例7】3名2。

容斥原理(二)

奥数四年级--容斥问题(二)

容斥原理奥数原题

三年级数学-容斥原理问题2

容斥原理二集合公式

7-7-2 容斥原理之重叠问题(二).学生版

5.3 容斥原理(二)

小升初培优之计数原理之容斥原理 (2)

专题22容斥原理(解析)2

容斥原理（2）

容斥原理初步(二)

小学数学六年级奥数《容斥原理(2)》练习题(含答案)

第二讲容斥原理

二集合容斥原理

小学奥数教程：容斥原理之重叠问题（二）全国通用（含答案）

二集合容斥原理

小学数学奥林匹克竞赛容斥原理(二)(含答案)

7.容斥原理及其应用(二)

小学五年级奥数 容斥原理(二)

小学五年级奥数容斥原理(二)