线性代数 第七章

s .t .
标准型 : min f ( x ) 3 x1 2 x 2 4 x 4 x 0 x4 0 x5 0 x6 3 3 2 x1 3 x 2 4 x 4 x x4 3 3 x1 5 x 2 6 x 6 x x5 3 3 x1 x 2 x x x6 3 3 x1 , x 2 , x , x , x4 , x5 , x6 3 3 300 400 200 0
线性代数
第七章 §7.1
15 15
§7.2线性规划问题的图解法 例.求解线性规划问题
max f 3 x 1 4 x 2 x1 s .t . xj 2 x2 8 x1 4 x2 3 0 ( j 1,2 )
定的可行域 .
二 .从可行域中找出最优解 最优解是使目标函数去 为此，将目标函数
（2）当约束条件为： ai 1 x1 ai 2 x2 ai n xn bi 可以引进一个新的变量 y s 使得：
ai 1 x1 ai 2 x2 ai n xn y s bi
y 显然， s也具有非负约束，即 y s ≥0 为了使约束由不等式成为等式而引进的变量 y i , y s ， 称为“松弛变量”。 如果原问题中有若干个非等式约束，则将其转化为标准 形式时，必须对各个约束引进不同的松弛变量。 9
二 .从可行域中找出最优解 为此，将目标函数
. 1 2 x 1＋ f 2
f x 1 2 x 2 变形为 x 2 为－ 1 2
当 f 变化时便产生一簇斜率 平行线簇在平面上截距 因此，极限位置的点的
的平行线簇，令 ， .
f 0 ,1
减少的方向如箭头所指 坐标就是要求的最优解
一。画出由约束条件确 1 .用等式约束代替不等式 l 1 : x 1－ x 2 － 2 l 2 : x 1＋ x 2 2 2 .确定每个不等式表示的 取交集即为所求的可行 为无界域。
式中的 a ij , c j , b i 均为实常数
( , ) b1 ( , )b2 ( , )bm 0
线性代数
第七章 §7.1
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线性规划问题的标准形式 1
min f ( x 1 , x n ) c1 x 1 c 2 x 2 c n x n a 11 x 1 a 12 x 2 a 21 x 1 a 22 x 2 a x a x m2 2 m1 1 x1 , x 2 , a 1 n x n b1 a 2 n x n b2 a m n x n bm
线性代数
第七章 §7.1
4． 变量无符号限制的问题
在标准形式中，必须每一个变量有非负约束，当 某一个变量 xj 没有非负约束时，令
xj xj xj
xj 0 ,


xj 0
线性代数
第七章 §7.1
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例1 将 线性规划模型化为标准型。 加松驰变量后
min f 2 x1 3 x2
É û Ã ¿ À Ó Ê ´ ×Ô 8 16 12
2.目标函数：设总运费为z，则有： max z = 2 x1 + 3 x2 3.约束条件： x1 + 2x2 ≤ 8 4x1 ≤ 16 4x2 ≤ 12 x1， x2≥0
3
问：应如何安排生产计划，才能使 总利润最大？
线性代数
第七章 §7.1
例1.2 某厂生产三种药物，这些药
线性代数
第七章 §7.1
5
二. 线性规划的数学模型 一般表示方式
min(max)
决策变量
目标函数
f ( x1 , x n ) c1 x1 c 2 x 2 c n x n
约束条件
s .t .
a 11 x 1 a 12 x 2 a 1 n x n a 21 x 1 a 22 x 2 a 2 n x n a x a x a x m2 2 mn n m1 1 x1 , x 2 , , x n
性质7.1 若 x 1 , x 2 为线性规划模型的可行
其可行解，其中
证明：因为
解，则 x x 1 ( 1 ) x 2 仍是
0 1。
Ax b , Ax b,
1
1
2
所有 Ax A [ x 1 ( 1 ) x 2 ] Ax b (1 ) b b
( 1 ) Ax
2
线性代数
第七章 §7.1
14 14
一般地，设
D 为非空集合，如果对任 D 为凸集 .
意 x 1 , x 2 D , 有 x 1 (1 ) x 2 D
其中 0 1，则称集合
凸集
非凸集
性质7.2
若线性规划模型的可行域非空，则可行域为凸集
4
.
x 1 , x 2 看作平面上的点的坐标 约束画出
2 .用等式约束代替不等式 l1 : x 1 2 x 2 8 l2 : x1 4 l3 : x 2 3 3 .确定每个不等式表示的 取交集即为所求的可行
3 2 1
半平面，结合 域.
x1 , x 2 0,
0
2
3
5
16 16
线性代数
Min f c1 x1 c 2 x 2 c n x n
2． 右端项有负值的问题 在标准形式中，要求右端项必须每一个分量非 负，当某一个右端项系数为负时，则把该等式约束两 端同时乘以－1，得到：
a i 1 x1 a i 2 x 2 a i n x n bi
量
药物
原料
A 1
B 2
C 3
甲
单位成本 （元／吨） 5
乙 丙 丁
2 1 1
0 4 2
1 1 2
6 7 8
要求：生产A种药物至少160单位； B种药物恰好200单位，C种药物不 超过180单位，且使原料总成本最 小。
3x1 ＋x2 +x3 +2 x4 x1、x2 、x3 、x4≥0
线性代数
第七章 §7.1
物可以从四种不同的原料中提取。 下表给出了单位原料可提取的药物
解： 1.决策变量：设四种原料的使用 量分别为： x1、x2 、x3 、x4 2.目标函数：设总成本为z，则有： min z = 5 x1 + 6 x2 + 7 x3 + 8 x4 3.约束条件： x1 + 2x2 + x3 + x4 ≥160 2x1 +4 x3 +2 x4 ＝160 ≤180
第七章 线性规划 （Linear Programming，简称LP）
线性规划研究的主要问题
一类是已有一定数量的资源（人力、物质、时间等），研 究如何充分合理地使用它们，才能使完成的任务量为最大。
另一类是当一项任务确定以后，研究如何统筹安排， 才能使完成任务所耗费的资源量为最少。 —— 实际上，上述两类问题是一个问题的两个不同的方面， 都是求问题的最优解（ maxf 或 minf ）。
第七章 §7.1
极值点满足方程
x1 2 x 2 8 x1 4
求得极值点坐标（ 因此得唯一最优解
4，），此时 2
T
f 20 . min f 20 .
x ( 4 , 2 ) , 最优目标函数值
线性代数
第七章 §7.1
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min f x 1 2 x 2 x1 x2 － 2 x1 x2 2 s .t . x1 0 x2 0

C (c1 , c 2 , , c n ) ;
T
x ( x 1 , x 2 , , x n ) b ( b1 , b 2 , , b m )
T
T
线性代数
第七章 §7.1
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三
s .t .
线性规划模型解的基本概念
向量 x ( x 1 , x 2 , x n ) 若满足线性规划模型的
bi 0,
2
xn 0
4 3
线性规划的标准形有如下四个特点： 目标最小化、 约束为等式、 变量均非负、 右端约束常数非负。
线性代数 第七章 §7.1
7
线性规划模型的变换 1． 极小化目标函数的问题 设目标函数为 Max f c1 x1 c 2 x 2 c n x n 令 f f 则可转化为标准形
. 最大值的可行域中的点 f 4 . 3 4 x1
f 3 x 1 4 x 2 变形为 x 2 为 3 4
当 f 变化时便产生一簇斜率 平行线簇在平面上截距 因此，极限位置的点的
的平行线簇，令
f 0 ,1 , ， .
增多的方向如箭头所指 坐标就是要求的最优解
极限位置
一。画出由约束条件确 1 .把决策变量
线性代数
第七章 §7.1
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例2.线性规划模型化为标准型。
原非标准型 : max f ( x ) 3 x 1 2 x 2 4 x 3 2 x1 3 x 2 4 x 3 x1 5 x 2 6 x 3 x1 x 2 x 3 x 3 不限 , x 1 , x 2 300 400 200 0
线性代数
第七章 §7.1
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线性规划的发展 • 1939年，前苏联数学家康托洛维奇用线性模型研究提高 组织和生产效率问题 1947年，Dantzig提出求解线性规划的单纯形法 1950-1956年，主要研究线性规划的对偶理论
1958年，发表整数规划的割平面法 • 1960年，Dantzig和Wolfe研究成功分解算法，奠定了大 规模线性规划问题理论和算法的基础。 • 1979年，Khachiyan，1984年，Karmarkaa研究成功线 性Hale Waihona Puke Baidu划的多项式算法。
8
线性代数
第七章 §7.1
3．约束条件不是等式的问题
（1）设约束条件为： ai 1 x1 ai 2 x2 ai n xn bi
可以引进一个新的变量 y i 使得：
ai 1 x1 ai 2 x2 ai n xn yi bi
y 显然， i也具有非负约束，即 y i ≥0
4
模型特点 1 都用一组决策变量X = (x1,x2,…,xn)T表示某一方案，且决策变量 取值非负； 2 都有一个要达到的目标，并且目标要求可以表示成决策变量 的线性函数； 3 都有一组约束条件，这些约束条件可以用决策变量的线性等 式或线性不等 式来表示。 ——— 满足以上三个条件的数学模型称为线性规划
min f 2 x 1 3 x 2 0 x 3 0 x 4 0 x 5
8 x1 2 x2 x3 x1 2 x2 8 x4 16 16 4 x1 4 x1 s .t . s .t . 4x2 － x 5 12 4 x 2 12 x1 , x2 , x3 , x4 , x 0 x ,x 0 1 2
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s .t .
线性代数
第七章 §7.1
标准形式也可写为矩阵式
min f ( x ) C x
T
s .t .
Ax b x0
a 1n a 2n a mn
a 11 a 21 其中， A am1
a 12 a 22 am2
T
定义7.1
标准形式中的约束条件 有可行解的集合 D 称为可行域
Ax b , x 0
则称 x 为该问题的可行解。所
定义7.2 设 x 为线性规划模型的可行

解，且使目标函数
f 在 D 上达到最小值， 优解 .
即 x D , 有 f ( x ) f ( x ), 则称 x 为该线性规划问题的最
线性代数
第七章 §7.1
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§7.1 一、问题的提出
线性规划的数学模型
解： 1.决策变量：设产品I、II的产量分 别为 x1、x2
例1.1 某厂生产两种产品，下表给 出了单位产品所需资源及单位产品 利润
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I 1 4 0 2
II 2 0 4 3
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