复杂非线性系统中的混沌第一章分解
非线性动力学中的混沌与分岔现象
非线性动力学中的混沌与分岔现象混沌现象的介绍混沌现象是非线性动力学中一个重要的研究课题，它描述了一种似乎随机的、无规律可循的运动状态。
在混沌现象的研究中，人们发现了一些特征，如灵敏依赖于初始条件、无周期运动和封闭轨道等。
混沌现象的研究对于理解自然界中的复杂系统行为具有重要的意义。
混沌现象最早是由美国数学家Edward Lorenz于20世纪60年代发现的。
他在研究气象学中的大气运动方程时，意外地发现了不确定性的现象。
这个发现被称为“蝴蝶效应”，即当一个蝴蝶在巴西振动翅膀时，可能引发一系列的气流变化，最终导致美国得克萨斯州的一个龙卷风的形成。
这个例子说明了混沌现象中初始条件的微小变化可能引起系统运动的巨大变化。
混沌现象的数学表示混沌现象可以用一些非线性动力学方程描述。
这些方程通常包含了一些非线性项，使得系统的演化不再是简单的线性叠加。
一个经典的混沌系统方程是Lorenz方程：\\frac{{dx}}{{dt}} = \\sigma(y - x),\\frac{{dy}}{{dt}} = x(\\rho - z) - y,\\frac{{dz}}{{dt}} = xy - \\beta z其中，x、y和z是系统的状态变量，t是时间。
σ、ρ和β是一些常数，它们决定了系统的性质。
这个方程描述了一个三维空间中的运动，这种运动就是混沌现象。
分岔现象的介绍分岔现象是混沌现象的一个重要特征，它描述了系统参数发生微小变化时，系统行为的剧烈变化。
简单来说，分岔现象就是系统从一个稳定的演化状态变成多个稳定状态的过程。
分岔现象的经典例子是Logistic映射。
Logistic映射是一种常用的非线性映射，它用于描述生物种群的增长。
Logistic映射的公式为：x_{n+1} = r \\cdot x_n \\cdot (1 - x_n)其中，x_n是第n个时刻的种群密度，x_{n+1}是下一个时刻的种群密度，r是系统的参数，它决定了种群的增长速度。
混沌理论概述
第一章混沌理论概述引言混沌是指确定动力系统长期行为的初始状态,或系统参数异常敏感, 却又不发散, 而且无法精确重复的现象, 它是非线性系统普遍具有的一种复杂的动力学行为。
混沌变量看似杂乱的变化过程, 其实却含有内在的规律性。
利用混沌变量的随机性、遍历性和规律性可以进行优化搜索, 其基本思想是把混沌变量线性映射到优化变量的取值区间, 然后利用混沌变量进行搜索。
但是, 该算法在大空间、多变量的优化搜索上, 却存在着计算时间长、不能搜索到最优解的问题。
因此, 可利用一类在有限区域内折叠次数无限的混沌自映射来产生混沌变量,并选取优化变量的搜索空间, 不断提高搜索精度等方法来解决此类难题。
混沌是非线性科学的一个重要分支, 它是非线性动力系统的一种奇异稳态演化行为, 它表征了自然界和人类社会中普遍存在的一种复杂现象的本质特征。
因此, 混沌科学倡导者Shlesinger和著名物理学家Ford 等一大批混沌学者认为混沌是20 世纪物理学第三次最大的革命, 前两次是量子力学和相对论, 混沌优化是混沌学科面对工程应用领域的一个重要的研究方向。
它的应用特点在于利用混沌运动的特性, 克服传统优化方法的缺陷, 从而使优化结果达到更优。
1.混沌的特征从现象上看，混沌运动貌似随机过程，而实际上混沌运动与随机过程有着本质的区别。
混沌运动是由确定性的物理规律这个内在特性引起的，是源于内在特性的外在表现，因此又称确定性混沌，而随机过程则是由外部特性的噪声引起的。
混沌有着如下的特性:（1）内在随机性混沌的定常状态不是通常概念下确定运动的三种状态:静止、周期运动和准周期运动，而是一种始终局限于有限区域且轨道永不重复的，形势复杂的运动。
第一，混沌是固有的，系统所表现出来的复杂性是系统自身的，内在因素决定的，并不是在外界干扰下产生的，是系统的内在随机性的表现。
第二，混沌的随机性是具有确定性的。
混沌的确定性分为两个方面，首先，混沌系统是确定的系统;其次，混沌的表现是貌似随机，而并不是真正的随机，系统的每一时刻状态都受到前一状态的影响是确定出现的，而不是像随机系统那样随意出现，混沌系统的状态是可以完全重现的，这和随机系统不同。
高维非线性系统的全局分岔和混沌动力学
精彩摘录
“分岔图是研究非线性系统的重要工具，通过它可以观察到系统在不同参数 下的行为变化。”
精彩摘录
“混沌吸引子是描述混沌系统的一种几何对象，它展示了混沌系统的复杂性 和动态性。”
“通过Lyapunov指数可以量化系统的混沌程度，正的Lyapunov指数意味着系 统是混沌的。”
精彩摘录
“高维非线性系统的全局动力学往往更加复杂，但也更能揭示自然界的真实 复杂性。”
目录分析
在引言部分，作者首先阐述了高维非线性系统全局分岔和混沌动力学的重要 性，并回顾了该领域的历史背景和发展概况。这一部分为后续的详细讨论奠定了 基础，使得读者能够更好地理解全局分岔和混沌动力学的实际意义和价值。
目录分析
第二章至第四章的内容是基础知识，主要介绍了高维非线性系统的基本概念、 数学描述和动力学行为。通过这一部分，读者可以建立起对高维非线性系统的基 本认知，为后续深入理解全局分岔和混沌动力学打下坚实的理论基础。
目录分析
第五章至第七章的内容聚焦于全局分岔分析。这部分详细介绍了全局分岔的 基本概念、分类以及判定方法。作者还通过实例展示了如何运用全局分岔理论对 具体的高维非线性系统进行分析，使得抽象的理论更加生动和易于理解。
目录分析
第八章至第十章的内容重点在于混沌动力学的探讨。在这部分，作者详细介 绍了混沌现象的定义、特征、产生条件以及混沌的数值模拟方法。同时，通过具 体的实例，展示了混沌在现实世界中的广泛存在和应用，深化了读者对混沌动力 学的理解。
阅读感受
书中特别提到了标准Melnikov方法、微分几何理论和不变流形纤维丛理论在 研究多自由度非线性系统中的应用。这些方法为我们提供了全新的视角和工具， 使我们能够更深入地探索非线性系统的全局行为。尤其是对于那些受到外周期激 励的系统，这些方法使得我们能够理解和预测其复杂的动态行为，包括全局分岔 和混沌动力学。
详解非线性动力学的混沌和复杂性
详解非线性动力学的混沌和复杂性非线性动力学是一门研究非线性系统行为的学科，在这门学科中，混沌和复杂性是两个习惯性使用的术语。
混沌指的是非线性系统的表现极其高度不稳定和难以预测，而复杂性则指的是系统中的各个部分之间相互影响并产生的多种自组织现象。
这篇文章将更加详细地解释混沌和复杂性的概念以及它们在非线性动力学中的应用。
一、混沌的概念在非线性动力学研究中，混沌通常用于描述非线性系统的性质。
混沌行为的表现形式很多，其中最常见的现象是所谓的“无限迭代”。
在数学上，无限迭代意味着函数值的变化是在一个短时间内不断变化，并且难以预测。
某些非线性系统的动力学方程式就是无限迭代的。
一个经典的例子是“洛伦兹吸引子”（Lorenz attractor）。
该吸引子是由爱德华·洛伦兹在20世纪60年代概括出来的，他以一种简单的三维微分方程作为基础。
虽然该方程式在形式上非常简单，但它却表现出了高度不稳定、难以预测的行为表现形式。
也就是说，任何初始状态的微小变化都会导致最终结果完全不同的结论，因此在实际应用中非常难以精确预测。
二、复杂性的概念除了混沌之外，非线性动力学还以其复杂性而著名。
复杂性的概念可以追溯到20世纪40年代，但其实质在于多个元素之间的相互作用和组织。
例如，一个降雨系统可能会受到多个独立的天气系统的影响，它需要在这些不同的系统中寻找一条路径，以便让雨水流向正确的方向。
这个过程需要同时考虑外部环境、降雨规律、地形和土地使用等多方面因素。
在非线性动力学中，一个复杂系统的行为不仅受到其各个组成部分的属性所决定，还受到它们之间的相互作用和反馈机制所影响。
更进一步，这种相互作用可以导致系统一些非常有趣的自组织现象出现。
例如，人工神经网络可以通过逐层逼近降低误差来学习和识别各种类型的信息，而无需显式编程或指令。
三、非线性动力学和实际应用混沌和复杂性的理论虽然很有趣，但是它们在实际的应用中也具有非常广泛的应用价值。
非线性动力学混沌和分形
非线性动力学混沌和分形非线性动力学是研究非线性系统行为的学科，其中混沌和分形是两个重要的概念。
本文将从混沌和分形的定义、产生原因以及在自然界和科学领域的应用等方面，探讨非线性动力学中的混沌和分形现象。
一、混沌的定义和产生原因混沌是指在非线性系统中表现出的随机、不可预测的行为。
它与线性系统中稳定、可预测的行为形成对比。
混沌的产生是由于非线性系统的敏感依赖性和非周期性。
非线性系统中存在着参数的微小变化对系统行为的剧烈改变的敏感依赖性。
也就是说，微小的输入扰动会在系统中产生指数级的放大效应，导致系统行为出现不可预测的、随机的演化轨迹。
非周期性是混沌的另一个重要特征。
与周期行为不同，混沌系统的演化轨迹不会重复，而是具有无限多的轨迹。
这种非周期性导致了混沌系统的随机性和不可预测性。
二、分形的定义和产生原因分形是指具有自相似性质的几何结构。
这种自相似性是指无论在何种尺度上观察，都能看到相似的图形形态。
分形在数学上可以通过重复迭代、自身放缩等方式来构造。
分形的产生原因与非线性动力学中的迭代过程密切相关。
在迭代过程中，每一次迭代都会根据某种规则对前一次结果进行变换或修改。
这种迭代的特性导致了分形的自相似性质。
三、混沌和分形在自然界中的应用混沌和分形不仅存在于数学和物理领域，也广泛存在于自然界中的各种系统中。
1. 混沌天气模型气象系统是典型的非线性系统，其中存在着许多复杂的变量相互作用。
应用混沌理论来模拟天气系统，可以更好地理解和预测天气变化。
例如，洛伦茨模型是一个典型的混沌系统，通过该模型可以模拟大气环流的混沌行为。
2. 分形地貌自然界中的许多地貌形状具有分形的特征。
例如，河流的分岔结构、山脉的起伏形态都展现了自相似的分形结构。
分形地貌的研究有助于了解地壳运动和地表形态的演化机制。
3. 植物生长模型植物生长是一个既复杂又多变的过程，涉及到生理、环境和遗传等多个因素的交互作用。
应用非线性动力学的方法，可以通过建立植物生长模型，研究植物生长的混沌行为以及其对环境的响应。
复杂系统中的混沌理论
复杂系统中的混沌理论随着科技的发展和人们对自然现象的深入研究，有些自然现象被发现是具有一定规律性的，但又有不可预测的性质，这就是混沌现象。
混沌现象在许多自然现象中都会出现，如天气、流体力学、生态系统、股市等，今天我们就来深入研究一下复杂系统中的混沌理论。
一、什么是混沌理论？混沌理论，又称为混沌动力学，是一种研究非线性系统的数学理论。
非线性系统是指系统的输出不随着输入的线性变化而发生的系统，也就是说，非线性系统具有输入输出之间的非线性关系。
而混沌现象就是非线性系统中的一种行为。
混沌现象表现为一种看似无规律但又具有一定规律性和重复性的现象。
混沌理论在20世纪60年代末和70年代初才被发现和研究。
研究混沌现象需要使用复杂的数学方法，如微积分、微分方程、拓扑学等。
但它的突破性发现是由美国的三位著名学者洛伦兹、费根鲍姆和曼德勃洛特在研究大气气象方面的问题时引起的。
二、为什么产生混沌现象？产生混沌现象的原因是因为非线性系统中处于初值极其微小的两个相似系统，在演化中会发生巨大的差别，这种微小差异会被系统倍增放大。
这使得系统的行为变得难以预测，因为小的初值误差会在一定时间内呈现指数增长的趋势。
以上是混沌现象的数学解释，但从实际角度来看，混沌现象在很多系统中都出现了，如生态系统、股市、人口增长等等。
这些系统之所以出现混沌现象是因为它们都是非线性系统，从而使得输出变得更加复杂、不可预测。
三、混沌现象的特征？混沌现象的特征是对初始条件极其敏感、指数级敏感度和同时具有理论可再现性。
对初始条件极其敏感，是指在初始条件微小的偏差情况下，后续状态会完全不同。
这意味着对于混沌系统，重复试验可以得到完全不同的结果。
这是非线性系统行为的关键特征之一。
指数级敏感度是混沌现象的第二个特征，即当微小初始条件的偏差受到系统倍增放大时，它的敏感度呈指数级增长。
这也意味着，随着时间的推移，原来微小的初始值差异会变得越来越大。
同时具有理论可再现性，是指混沌现象是可以通过一组数学公式来模拟和复现的。
复杂混沌知识点总结图解
复杂混沌知识点总结图解一、基本概念1.1 复杂系统复杂系统是由大量相互作用的元素组成的系统，其整体行为不可简单地通过其组成元素的行为来解释。
复杂系统包括自然界和人类社会中的许多对象，如气候系统、生态系统、神经网络、经济系统、交通网络等。
复杂系统的性质包括非线性、动态演化、自组织、敏感依赖于初始条件和边界条件等。
1.2 混沌现象混沌现象是非线性动力学系统中的一种特殊现象，其特征是对初始条件极其敏感，微小的扰动可能导致系统行为的剧烈变化。
混沌现象的典型表现包括轨道的无限分岔、轨道的随机性、轨道的分形特征等。
1.3 复杂混沌系统复杂混沌系统是指那些既具有复杂性又具有混沌性质的系统。
这类系统的行为通常由一系列非线性微分方程描述，其行为表现为非周期性、随机性、敏感依赖于初始条件等。
1.4 分形分形是一类具有自相似性的几何形状，其形状在各个尺度上都具有相似的结构。
分形具有广泛的应用价值，在复杂混沌系统中常常描述系统的分形特征。
二、数学模型2.1 非线性动力学方程复杂混沌系统的行为通常由一系列非线性微分方程描述，典型的非线性动力学方程包括洛伦兹方程、齐次方程、吸引子方程等。
这些方程描述了系统状态随时间的演化规律，是研究复杂混沌系统的重要数学工具。
2.2 分形维数分形维数是描述分形对象维度的概念，常用的分形维数包括分形维数、盒覆盖维数、信息维数等。
分形维数可以有效地描述复杂混沌系统的分形特征。
2.3 动力学系统动力学系统是对自然界中的各种现象进行建模和分析的数学工具，包括连续动力学系统和离散动力学系统。
动力学系统可以描述系统状态随时间的演化规律，分析系统的稳定性、周期性和混沌性质。
2.4 随机过程随机过程是一类描述随机现象演化规律的数学模型，包括马尔可夫链、随机微分方程、随机分形等。
随机过程可以描述复杂混沌系统中的随机性质。
三、分析方法3.1 常微分方程数值解法常微分方程数值解法是研究复杂混沌系统的重要数值方法，包括欧拉方法、隐式方法、龙格-库塔方法等。
复杂非线性系统中的混沌第一章
1.1.2 混沌理论的发展过程
Poincare猜想。三体问题中，在一定范围内，其解是随机 的。一种保守系统中的混沌，世界上最先了解混沌存在的 可能性的第一人。经典牛顿理论用一层厚实而不易觉察的 帷幕把混沌现象这块丰饶的宝地给隔开了，但Poincare在 这道帷幕上撕开一条缝，暴露出后面未开发“西部世界”。
大厦黑板上棉花价格变动图一样。
“英国的海岸线有多长”的问题 ：任何一段海岸 线
都是无限长的。虽然一条曲折的海岸线长度 不能
精确测量，但它却有某种特征量，就是分形所 揭示的分数维数，可以对分形对象内部的不均 匀性、层次结构性的整体数量特征进行刻画。
分形的意义在于摸索自相似，自相似是跨越不 同尺度的对称性，图案之中套图案。
混沌集具有分数维特征，与“分形”有关。 1975年Mandelbrot出版了杰作《分形对象——形、机
遇和维数》、《分形——形、机遇和维数》、《大自 然的分形几何学》专著。第一次系统阐述了分形几何 的思想、内容、意义和方法。标志着分形几何作为一 个独立的学科正式诞生。
经济模式中高低收入的分布图与利塔沃经济中 心
1.1.3 混沌研究的意义与发展前景
混沌不同于宇宙早期热力学平衡态的混沌，它是 有序和无序的对立统一，既有复杂性的一面，又 有规律性的一面。
混沌科学最热心的倡导者、美国海军部官员 Shlesinger说：“20世纪科学将永远铭记的只有三 件事：相对论、量子力学与混沌。”物理学家Ford 认为混沌是20世纪物理学第三次最大的革命，与 前两次革命相似，混沌也与相对论及量子力学一 样冲破了牛顿力学的教规。
（4）具体的非线性模型的数值研究应转向分岔和 混沌的“谱”，即参数空间的整体结构，辅以对各 种吸引子及其转变的定量和唯象分析。
非线性动力学中的混沌现象
非线性动力学中的混沌现象物理学中的混沌现象是指一个系统虽然是确定性的，但由于微小的初始条件差异会导致结果的巨大差异，表现出不可预测性。
混沌现象是由于系统的非线性行为引起的，在非线性动力学的研究中广泛存在。
在这篇文章中，我们将探讨混沌现象的原理和应用，以及如何在非线性系统中应对混沌现象的挑战。
非线性动力学中的混沌现象的起源非线性动力学是研究非线性系统演化行为的学科。
我们知道，在线性系统中，输出是输入的一种缩放，而非线性系统中则不然。
非线性系统不会按照线性关系的方式响应任意输入，而是具有更为复杂的特征。
这种特征在一定程度上会导致系统表现出混沌现象。
混沌现象最早是由美国的工程师爱德华·洛伦茨在1963年发现的。
他发现，在具有非线性行为的系统中，一个微小的初始条件差异会导致结果的巨大不同，这意味着无法预测这个系统的演化。
他发现的这个现象被称为燥动现象，后来被广泛认识到是混沌现象。
非线性系统中的混沌现象可以被看做是一个自组织的有序性，这种有序性不是像普通的周期性运动那样可预测的，而是具有随机性和复杂性。
这种复杂性涉及到许多要素，包括吸引子、分叉、倍增、条纹、密度波、涡旋等。
非线性动力学中的混沌现象的应用混沌现象的应用范围非常广泛。
在天文学、气象学、生物学以及金融学等领域都有广泛的应用发展。
例如，在天气预报中，混沌理论可以让我们更好地了解大气环境的变化规律，从而提高天气预报的准确性。
在气象学中，通过对大气环境中一些元素的混沌特性研究，可以预测气候变化的趋势。
在金融学中，混沌现象的应用于交易量的预测。
在分析金融市场时，我们常用技术分析来试图预测股票价格的变化。
但由于股票市场是高度非线性的，这样的预测并不可靠。
但是，如果我们能够了解系统的混沌特性，就可以更好地了解市场的基本运作方式，并采取相应的投资策略。
非线性动力学中的混沌现象的挑战混沌现象对于非线性系统的设计和控制，都是相当大的挑战。
在实际应用中，我们需要对非线性系统的微小变化进行精细的控制，以避免混沌现象对输出的影响。
非线性动力学中的混沌现象分析
非线性动力学中的混沌现象分析随着科技的进步，越来越多的系统在现实中被建立和研究。
而系统的复杂性增加，非线性动力学中的混沌现象也就显示出了特殊的表现。
在本文中，我们将主要介绍非线性动力学中的混沌现象以及相关的分析方法。
一. 混沌现象及其表现方式混沌现象是指一种非周期而又具有明显连续性的运动状态，它的变化看似毫无规律，但又似乎有着一定的规律可循。
混沌现象常常出现在一些比较复杂的系统中，例如气象系统、流体动力学、化学反应系统以及经济市场等。
混沌现象具有以下的表现方式：1. 敏感依赖性：混沌现象中微小的初始条件变化，往往会带来显著的结果差异。
2. 周期模糊性：混沌现象中周期的边界变得模糊不清，因为在不同的时间尺度上，周期的长度是不同的。
3. 统计规律性：混沌现象中有一些统计特性，例如自相似性、分形性等。
二. 分析混沌现象的基本方法针对混沌现象，人们提出了很多不同的分析方法。
以下是一些常用的分析方法。
1. 动力学系统的非线性微分方程建模：混沌现象常常可以从非线性动力学微分方程模型进行分析，在此基础上可以进一步分析系统的稳定性、周期行为、混沌现象等。
2. Poincare截面方法：该方法定义了一个截面，并将系统的运动状态在这个截面上投影，从而观察系统的周期性、混沌性等特征。
3. Lyapunov指数方法：该方法可以量化混沌现象中的灵敏度依赖，用于对比不同的混沌现象。
4. 分岔图法：该方法用于分析系统中出现的状态转换和稳定性变化。
5. 局部方差方法：该方法用于检测时间序列中的小尺度混沌性，并可以对其进行定量分析。
三. 混沌现象在实际中的应用混沌现象在生活中的应用十分广泛，下面主要介绍一些例子。
1. 加密传输：混沌信号可以用于加密通信，这是因为混沌信号的本性可以使得被传输的信息难以被窃取。
2. 噪声控制：利用混沌现象控制系统中的噪声，可以提高系统信噪比和精度，从而增强该系统的可靠性。
3. 脑电信号分析：可以运用混沌现象对脑电信号进行分析，以提高对脑部疾病和认知状态的诊断和研究。
[VIP专享]复杂非线性系统的混沌
![[VIP专享]复杂非线性系统的混沌](https://img.taocdn.com/s3/m/eaef40a9941ea76e58fa0462.png)
文献综述题目复杂非线性系统中的混沌学生姓名孟玉丽专业班级电气07-2班学号2007010229院（系）电气信息工程学院指导教师(职称)完成时间 2011 年 4 月 5日复杂非线性系统中的混沌1混沌理论的产生与发展非线性混沌与分形理论的基本思想起源于20世纪初，形成与20世纪60年代后，发展壮大玉20世纪80年代。
这一理论揭示了有序与无序的统一、确定性与随机性的统一，并成为正确的宇宙观和自然哲学的里程碑。
混沌与分形理论被认为是继相对论、量子力学之后、20世纪在科学领域中人类认识世界和改造世界的最富有创造性的第三次大革命。
1.1混沌理论的产生混沌，通常理解为混乱、无序、未分化，如所谓“混沌者，言万物相混成而未相离”（《易经》），“窈窈冥冥”、“昏昏默默”（《庄子》）。
混沌最初进入科学领域是与以精确著称的数理科学无缘的，混沌主要是一个天文学中与宇宙起源有关的概念，它来源于神话传说与哲学思辨，在现代，混沌被赋予了新的意义，混沌是指在确定性系统中出啊先的类似随即的过程，其来自分先行。
混沌的理论基础可追朔到19世纪末创立的定性理论，但真正得到发展是在20世纪70年代，现在方兴未艾。
300年前，Newton(牛顿)的万有引力定律和他的三大力学定律将天体的运动和地球上物体的运动统一起来，Newton的这一科学贡献曾被视为近代科学的典范，Newton在讨论宇宙起源时就曾使用过混沌概念，他当时的观点与当代有序来源于对称破缺是一致的，18世纪具有彻底牛顿宇宙观的伟大的科学家Laplace（拉普拉斯）曾有传世名言:“如果有以为智慧之神，在给定时刻能够辨别出赋予大自然以生命的全部的力和组成万物的个别位置，而且他有足够深邃的睿智能够分析这些数据，那么他将把禹州中最卫校的院子和庞大的天体的运动都包括在一个公式之中，对他来说，没有什么东西是不确定的，未来就如同过去那样是完全确定无疑的。
” Laplace的这句话可解释为：“如果已知宇宙中每一粒子的位置与速度，那么就可以预测禹州在整个未来中的状况。
非线性微分方程的分岔和混沌现象
非线性微分方程的分岔和混沌现象非线性微分方程是自然科学中经典的研究对象之一。
在广泛的自然现象和实验研究时，非线性微分方程都是用来描述这些现象的数学工具。
但是，非线性微分方程的动力学特性非常复杂，包括分岔、混沌等现象。
这些现象对于科学家而言是非常重要而且有很多有趣的数学理论成果与实际应用。
在本文中，我们将探讨非线性微分方程的分岔和混沌现象的一些基本概念与数学理论。
一、非线性微分方程的分岔现象分岔现象是指一个系统中的某些参数发生变化时，该系统的稳定性质发生变化。
特别是当这些参数逐渐变化到一定的“临界点”时，系统的稳定性质突然发生改变，这种现象叫做分岔。
通常，这个临界点称为临界参数值。
分岔现象是非线性微分方程的一个根本动力学现象，在自然科学中有着广泛的应用。
1. 常见的分岔类型非线性微分方程的分岔有许多类型，其中比较常见的有：鞍点分岔、极小极大分岔、超过阈值分岔、分支分岔等。
鞍点分岔是指由一个稳定的状态发生分裂从而出现两个不同状态的现象。
这种分岔是由一个简单稳定节点与一个鞍点相遇时产生的。
极小极大分岔是指当参数发生微小的变化时，极小值点和极大值点突然出现的现象。
超过阈值分岔是指当参数超过某些阈值时，系统从一个极限环突变到一个新的解的现象。
分支分岔是指在参数空间中出现分支条件，这通常在响应系统行为的外部变量出现周期性变化时会发生。
2. 分岔的重要性分岔现象对于非线性微分方程而言是非常重要的，因为它可以揭示系统的稳定性和动力学性质。
而且，正是由于分岔现象才使得非线性微分方程在自然科学领域中有着广泛的应用。
例如，在物理领域中，分岔现象可以帮助我们研究光学、空气动力学、气象学等领域中的不同系统。
在生物学领域中，分岔现象可以帮助我们研究細胞過程中的周期性行为、神经行为、化學反應等。
在经济学领域中，分岔现象可以帮助我们理解市場泡沫、动态平衡等问题。
二、非线性微分方程的混沌现象混沌现象是指某些动力学系统（如非线性微分方程）的随时间演化的状态具有无限的、不可预测的细节。
复杂系统中的混沌现象探究与应用
复杂系统中的混沌现象探究与应用一、引言复杂系统是指由许多相互作用的部件组成的系统，具有非线性、非静态和不确定性等特点。
混沌现象是指非线性动力学系统在一定条件下呈现出的随机性、不可预测性和极端敏感性等特性。
在许多自然和人造系统中都存在混沌现象。
本文将探讨复杂系统中混沌现象的定义、产生、性质、描述和应用。
二、混沌现象的定义混沌是一种有序的无序状态，是一种形态复杂、规律性不确定、敏感性强的动力学现象。
换句话说，混沌是一种非线性动力学系统的行为，表现出的是不可预测的随机性。
混沌现象不仅存在于自然界中，而且也广泛应用于科学和工程领域。
三、混沌现象的产生混沌现象主要来源于非线性动力学系统的复杂性和不确定性。
非线性动力学系统是指强烈的相互作用下的系统，其中每个组件都对系统的其他部分产生影响，因此在系统中的相互作用具有非线性效应。
这种非线性效应是产生混沌现象的主要原因之一。
此外，初始条件对动力学系统的发展也有很大的影响。
对于某些非线性动力学系统，微小变化的初始条件可能会导致系统发展出截然不同的行为。
这种敏感性称为蝴蝶效应，也是产生混沌现象的原因之一。
四、混沌现象的性质混沌现象有三个主要的性质：随机性、敏感性和不可周期性。
1.随机性。
混沌是一种具有有序的无序状态，表现为看似随机的序列和规则的重复出现。
这种非常规的行为常常被描述为“奇怪的吸引子”。
2.敏感性。
混沌系统对起始条件的微小变化非常敏感，并产生非常不同的结果。
这种敏感性表现为输入任意微小的“扰动”后，输出的结果产生非常大的变化，即产生蝴蝶效应。
3.不可周期性。
非线性系统不像线性系统那样简单，无法用周期性表示。
混沌现象是一种永远不会重复的行为。
尽管在某些情况下可能会出现周期性或浅草率的重复，但不如线性系统的方式明显。
五、混沌现象的描述混沌可以通过一组微分方程来描述。
这些微分方程可以描述动力学变量的变化：变化的速度，即产生数值“漂流”的形式。
该系统的时间演化可以被描述为：dx/dt = f(x)其中，f(x)是一个非线性方程，将x作为输入，然后返回导数。
复杂系统的统一性混沌理论解析
复杂系统的统一性混沌理论解析复杂系统是由各种相互作用的组成部分组成的系统，它们通常表现出非线性和混沌的行为。
混沌理论是研究复杂系统中不稳定性和无序性的一种方法。
本文将解析复杂系统的统一性混沌理论，探讨混沌的起源和基本原理，并讨论其在科学和工程领域的应用。
一、混沌理论的概述混沌理论起源于20世纪60年代，追溯到爱德华·洛伦兹的著名洛伦兹吸引子的研究。
混沌在数学上被定义为一个无法确定长期行为的动力系统，即微小的初始条件可能导致完全不同的结果。
混沌的行为通常表现为非周期性、不可预测性和敏感依赖性等特点。
混沌理论的出现打破了传统线性系统的框架，丰富了对自然现象和现实系统的描述。
二、混沌的产生机制混沌的产生机制可以通过动力系统和非线性系统的特性来解释。
动力系统指的是一组演化规则，描述了系统在不同时间点之间如何变化。
对于线性系统来说，初始条件和外部输入的微小变化只会产生微小的影响，系统的行为是可预测的。
然而，当系统中存在非线性的相互作用时，微小的初始条件变化可能会引起系统状态的剧烈改变，从而产生混沌。
这是非线性系统行为的重要特征之一。
三、混沌的基本原理混沌的基本原理可以用分形和自相似性来解释。
分形是指在不同尺度上具有相似性的结构或模式。
在混沌系统中，无论是时间尺度还是空间尺度，都存在这种自相似性，即小尺度上的局部行为反映了大尺度上的整体行为。
例如，曼德勃罗集合就是一个具有复杂分形结构的混沌系统。
四、混沌理论的应用混沌理论在科学和工程领域有广泛的应用。
在天气预报中，洛伦兹吸引子的发现揭示了气象系统中的不可预测性。
在物理学中，混沌理论被用于描述量子力学中的随机性和相对论中的非线性效应。
在生物学中，混沌的存在被认为是生物系统中自我组织和自适应的表现。
此外，混沌理论还在信息安全和密码学中发挥着重要的作用。
通过利用混沌系统的非周期性和不可预测性，可以设计出更安全的加密算法和随机数生成器。
五、总结混沌理论是研究复杂系统中不稳定性和无序性的一种方法。
非线性动力学系统中的混沌行为
非线性动力学系统中的混沌行为引言混沌是指非线性系统在确定的初始条件下呈现出具有随机性、无规则性和复杂性的行为。
在许多动力学系统中，混沌行为的出现是一个重要的研究课题。
本文将介绍非线性动力学系统中的混沌行为，并探讨混沌现象的产生机理和应用。
一、混沌现象的基本特征混沌是一种混乱的、无规律的运动形式，其具有以下基本特征：1. 灵敏依赖于初始条件：在混沌系统中，微小的初始条件变化可能导致巨大的结果差异。
这种灵敏依赖使得混沌行为难以预测和控制。
2. 迭代和周期性：混沌行为通常通过迭代（即系统的输出作为下一时刻的输入）产生。
在某些情况下，混沌系统可能会出现周期解，即系统在一定时间间隔内重复相同的轨迹。
3. 唯一性：对于给定的动力学规律和初始条件，混沌系统的演化是唯一确定的。
这一特性使得混沌现象有一定的可预测性。
二、混沌行为的产生机理混沌行为主要源于非线性动力学系统的复杂性和敏感性。
在非线性系统中，微小扰动可能导致系统的演化路径发生根本性的改变，从而产生混沌行为。
这种非线性性质使得系统在规律性和随机性之间不断变化，使其行为变得难以预测。
例如，著名的洛伦兹吸引子就是一个非线性动力学系统的典型示例。
洛伦兹吸引子是由三个偏微分方程描述的，该方程描述了流体中的对流现象。
微小的变化可能导致系统演化路径从一个吸引子切换到另一个吸引子，或形成周期解，或产生混沌行为。
三、混沌现象的应用混沌行为不仅仅是一种理论现象，还在许多实际应用中发挥着重要的作用。
以下是几个典型的应用领域：1. 通信加密：混沌序列具有高度随机性和无规则性，可以用于数据通信的加密和解密。
通过混沌序列对数据进行加密，可以有效防止信息的被窃听和破解。
2. 生物医学：混沌行为在生物医学研究中有广泛的应用。
例如，混沌理论可以用来分析心电图和脑电图等生物信号，帮助医生诊断疾病和监测病情。
3. 金融市场：金融市场中的价格变动往往具有一定的混沌特征。
混沌理论可以用于预测股票价格的波动和市场风险的评估，为投资者提供决策依据。
非线性系统的混沌现象分析
非线性系统的混沌现象分析正文：非线性系统的混沌现象分析一、引言非线性系统是指系统的输出与输入不满足线性关系的系统，而混沌现象是在某些非线性系统中常常出现的一种特殊现象。
本文旨在分析非线性系统中的混沌现象，探讨其产生机制和应用价值。
二、混沌现象的定义与特征混沌现象最早由美国数学家洛伦兹在20世纪60年代发现，并以其姓氏来命名。
混沌现象意味着一个系统在初始条件微小变化下会产生巨大的结果变化。
混沌系统具有以下几个特征：1. 灵敏依赖于初始条件：小的初始条件变化会导致系统长期演化的完全不同结果。
2. 系统是无周期的：混沌系统的演化没有任何规律可循，无法进行精确预测。
3. 混沌系统是确定的：系统的演化完全由所选的非线性方程决定，不受任何随机性的影响。
三、混沌现象的产生机制混沌现象的产生机制十分复杂，目前还没有完全解释清楚。
然而，研究表明，以下几个因素在混沌现象的产生中起到重要作用：1. 非线性项的存在：当系统中存在非线性项时，就会出现混沌现象。
线性系统不存在混沌现象。
2. 正反馈作用：正反馈作用使得系统的输出进一步增大，从而导致系统进入混沌状态。
3. 系统的复杂性：系统的复杂性是产生混沌现象的基础。
越复杂的系统越容易产生混沌。
四、混沌现象的应用价值混沌现象在科学研究和应用领域中具有重要意义：1. 信息加密：混沌现象具有高度随机性和不可预测性，可以用于信息的加密传输，保护信息的安全性。
2. 系统控制：混沌现象可以应用于控制系统中，通过合适的控制手段，将系统从混沌状态引向稳定状态。
3. 数据压缩：混沌现象提供了一种高效的数据压缩方法，可以将大量数据用较少的存储空间进行存储和传输。
五、混沌现象的数学模型为了对混沌现象进行研究和理解，研究者们提出了多种数学模型，其中最著名的是洛伦兹模型和摆动模型。
1. 洛伦兹模型：洛伦兹模型是描述大气对流运动的非线性模型，由三个关联方程组成。
该模型展现了混沌现象的典型特征。
2. 摆动模型：摆动模型是描述摆动运动的非线性模型，通过调整摆线长度和重力加速度等参数，可以观察到不同的混沌现象。
复杂非线性振动系统的分岔与混沌研究
复杂非线性振动系统的分岔与混沌研究复杂非线性振动系统的分岔与混沌研究引言振动是自然界中广泛存在的一种现象，其研究对于各个领域都具有重要的意义，特别是复杂非线性振动系统的分岔与混沌研究，可以帮助我们更加深入地了解系统的行为特征以及背后的物理规律。
本文将介绍复杂非线性振动系统的分岔与混沌研究的基本概念和方法，并通过具体案例进行分析和讨论。
一、分岔理论1.1 稳定性和不稳定性在研究振动系统之前，我们需要了解稳定性和不稳定性的概念。
一个系统是稳定的，当其受到微小的扰动时，会回到原来的状态；反之，如果系统受到微小的扰动后会发展出新的行为，我们称之为不稳定。
1.2 分岔现象分岔现象是指随着系统参数的变化，系统行为从一个状态转变到另一个状态的过程。
当参数从某个特定值变化时，系统可能从一个稳定的状态变为两个或多个稳定状态之一，这种情况下被称为分岔。
分岔现象揭示了系统在参数变化过程中产生复杂行为的本质。
1.3 分岔图分岔图是研究分岔现象的重要工具。
在分岔图中，我们将系统参数作为横轴，系统状态（如振动振幅或周期）作为纵轴。
通过绘制分岔图，我们可以观察到系统行为的转变和分支。
根据分岔图的形态，我们可以判断系统的性质和分岔的类型。
二、混沌理论2.1 混沌现象混沌现象是指在复杂非线性系统中出现的无规则、不可预测的行为。
简单的说，混沌是一种没有规律可循的振动状态。
混沌现象的特点是高度敏感依赖初值，微小的变化可能引起系统行为的巨大差异。
2.2 混沌吸引子混沌吸引子是描述混沌系统行为的数学概念。
它是一种奇怪吸引子，具有分维度较高、分形结构的特征。
混沌吸引子能够揭示混沌系统中的结构和演化规律。
2.3 混沌控制混沌控制是利用混沌现象的特性，通过对系统参数的调节或输入信号的设计，实现对混沌系统行为的控制。
混沌控制的研究对于实际应用具有重要意义，例如在通信、密钥加密、天气预报等领域。
三、分岔与混沌的关联与应用3.1 分岔与混沌的关联分岔和混沌是紧密相关的概念。
复杂系统中的混沌现象
复杂系统中的混沌现象在现代科学领域，我们常常遇到一些看似混乱而不可预测的系统，这些系统内部的微小变化会导致系统整体的巨大变化，这就是所谓的混沌现象。
混沌现象最早是由数学家洛伦兹在20世纪60年代提出，并对气象学的研究产生了重要影响。
混沌现象不仅在自然界中存在，也在生物学、经济学、心理学等领域中得到了广泛的应用。
混沌现象是指那些对初始条件极其敏感而无法准确预测的系统。
这样的系统通常包含大量非线性元素，并且形成一个复杂的反馈循环。
虽然这些系统的规律性是确定的，但由于初始条件的微小变化会放大到整个系统，导致长期的不可预测性和混沌现象。
这使得我们无法通过简单的数学模型来准确预测系统未来的行为。
复杂系统中的混沌现象具有以下几个重要特点。
首先，混沌现象对于初始条件极其敏感，即所谓的“蝴蝶效应”。
这意味着即使是微小的扰动也可能导致系统的巨大差异。
其次，混沌现象具有不可周期性。
混沌系统的轨迹是永不重复且无规律可循的，其行为类似于随机过程。
最后，混沌现象通常是确定性系统的产物。
也就是说，它们的运动方程是固定的，只是我们无法准确预测。
混沌现象在自然界中的许多系统中都有被观察到。
一个典型的例子是天气系统。
即使是微小的初始条件变化，如蝴蝶在巴西拍动翅膀，也可能会对全球的天气产生巨大的影响。
这就解释了为什么天气预报在长期范围内准确性较差，因为微小误差会被放大并导致系统的不确定性。
此外，混沌现象还在其他领域中发挥着重要作用。
在生物学中，由于生物体的复杂性和非线性特性，生物系统常常表现出混沌行为。
举个例子，人体的心脏跳动和呼吸都受到多种因素的影响，使得其行为变得复杂而难以预测。
在经济学中，金融市场的价格波动也呈现出混沌特征，由于市场参与者的行为和信息传递的复杂性，使得预测未来股市走势变得十分困难。
尽管混沌现象给我们带来了挑战，但它也给了我们一些重要的启示。
首先，混沌现象表明了系统的非线性特性的重要性。
线性模型对于复杂系统的预测是不足够的，我们需要考虑到非线性效应并建立适当的数学模型。
非线性电路中的混沌现象
非线性电路中的混沌现象实验指导及操作说明书北航实验物理中心2013-03-09教师提示：混沌实验简单，模块化操作，但内容较多，需要课前认真预习。
5.2 非线性电路中的混沌现象二十多年来混沌一直是举世瞩目的前沿课题和研究热点，它揭示了自然界及人类社会中普遍存在的复杂性，有序与无序的统一，确定性与随机性的统一，大大拓宽了人们的视野，加深了对客观世界的认识。
许多人认为混沌的发现是继上世纪相对论与量子力学以来的第三次物理学革命。
目前混沌控制与同步的研究成果已被用来解决秘密通讯、改善和提高激光器性能以及控制人类心律不齐等问题。
混沌（chaos）作为一个科学概念，是指一个确定性系统中出现的类似随机的过程。
理论和实验都证实，即使是最简单的非线性系统也能产生十分复杂的行为特性，可以概括一大类非线性系统的演化特性。
混沌现象出现在非线性电路中是极为普遍的现象，本实验设计一种简单的非线性电路，通过改变电路中的参数可以观察到倍周期分岔、阵发混沌和奇导吸引子等现象。
实验要求对非线性电路的电阻进行伏安特性的测量，以此研究混沌现象产生的原因，并通过对出现倍周期分岔时实验电路中参数的测定，实现对费根鲍姆常数的测量，认识倍周期分岔及该现象的普适常数费根鲍姆（Feigenbaum）常数、奇异吸引子、阵发混沌等非线性系统的共同形态和特征。
此外，通过电感的测量和混沌现象的观察，还可以巩固对串联谐振电路的认识和示波器的使用。
5.2.1 实验要求1．实验重点①了解和认识混沌现象及其产生的机理；初步了解倍周期分岔、阵发混沌和奇异吸引子等现象。
②掌握用串联谐振电路测量电感的方法。
③了解非线性电阻的特性，并掌握一种测量非线性电阻伏安特性的方法。
熟悉基本热学仪器的使用，认识热波、加强对波动理论的理解。
④通过粗测费根鲍姆常数，加深对非线性系统步入混沌的通有特性的认识。
了解用计算机实现实验系统控制和数据记录处理的特点。
2．预习要点（1）用振幅法和相位法测电感①按已知的数据信息（L～20mh，r～10Ω，C0见现场测试盒提供的数据）估算电路的共振频率f。
高维非线性系统的混沌控制
第１章绪论图１·１Ｌｏｒｅｎｚ吸引子的混沌行为∽＝１０，ｐ＝２８，声＝８／３）Ｆ培－ｌ’＇ｃｈａ矾ｃｂｅｈａＶｌｏＴｏｆＬ∞ｅｎ２百简ａｎｏｒｔ仃＝ｌＯ，ｐ＝２８，ｐ＝８／３）１９６５年美国数学家ｓｍａｌｅ在研究可微分自同胚的动力性状时构造出ｓｍａｌｅ马蹄，后来证明Ｄｕｍｎｇ方程、、协ｄｅｒＰ０１方程等都存在马蹄。
２０世纪７０年代初开始，混沌学研究终于在多个学科领域同时展开，形成了世界性的研究热潮。
１９７１年Ｒｕｅｌｌｅ和１址ｅｎｓ发表论文《论湍流的本质》，在学术界第一个提出用混沌来描述湍流形成机理的新观点。
１９７５年李天岩和Ｙｏｒｋｅ发表了《周期三意味着混沌》的论文，这是一个关于混沌的数学定理：Ｌｉ，Ｙｏｒｌ【ｅ定理，他们率先引入“混沌”（ｃｈａｏｓ）一词，为这一新兴研究领域确立了一个中心概念。
１９７６年Ｍａｙ首先揭示了描述动物种群繁衍的Ｌｏｇｉｓｔｉｃ模型中存在着通过倍周期分岔达到混沌的道路。
Ｆｅｉｇｅｎｂａ啪对Ｍａｙ的虫口方程进行了详细的研究，发现通向混沌的过程中具有普适性，并得到了普适常数。
１９７６年Ｈｅｎ６ｎ通过对Ｌｏｒｅｎｚ方程的简化得到Ｈｅｎｏｎ二维映射，证明了如此简单的平面映射也能产生混沌运动，并发现奇怪吸引子。
分形学创始人ＭａＩｌｄｅｌｂｒｏｔ的工作为混沌运动的探索者们描绘相空间轨道提供了理想的工具，并发现反映混沌行为的奇怪吸引子具有分数维。
到了２０世纪９０年代初，随着混沌动力学理论的日益完善及应用上的发展，一个新的思想又涌现出来，这就是混沌控制与同步，１９８９年Ｈｕｂｌｃｒ【６Ｊ在他发表的一篇文章中首次提出混沌可以被控制的现象。
次年Ｏｔｔ、Ｇｒｅｂｏ西和Ｙｏｒｋｅ提出控制混沌的思想，并基于混沌轨道时有无穷多不稳定周期轨道构成的基本性质，提出了～种参数微扰法控制混沌运动的具体实施办法，即现在称之为的ＯＧＹ方法。
随后的十多年中，有关混沌控制的研究得到了蓬勃的发展。
这期间人们提出各式各样控制混沌的方法及其理论，并在自然科学的实际领域内的试验和应用中得到证实。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1.1.2 混沌理论的发展过程
Poincare猜想。三体问题中，在一定范围内，其解是随 机的。一种保守系统中的混沌，世界上最先了解混沌存 在的可能性的第一人。经典牛顿理论用一层厚实而不易 觉察的帷幕把混沌现象这块丰饶的宝地给隔开了，但 Poincare在这道帷幕上撕开一条缝，暴露出后面未开发 “西部世界”。 1963年美国数学家E. N. Lorenz的在美国《大气科学杂志》 上发表的文章“确定性的非周期流”：Lorenz用计算机 模拟天气情况，他发现了天气变化的非周期性和不可预 言性之间的联系。在他的天气模型中，Lorenz看到了比 随机性更多的东西，看到了一种细致的几何结构，发现 了天气演变对初值的敏感依赖性。提出“蝴蝶效应” 。 1964年，M. Henon等人以KAM理论为背景，发现了1个 二维不可积Hamilton系统中的确定性随机行为，即 Henon吸引子。D. Ruelle和F. Takens提出 “奇怪吸引 子”Strange attractor的名词。
1.1.3 混沌研究的意义与发展前景
混沌不同于宇宙早期热力学平衡态的混沌，它是 有序和无序的对立统一，既有复杂性的一面，又 有规律性的一面。 混沌科学最热心的倡导者、美国海军部官员 Shlesinger说：“20世纪科学将永远铭记的只有 三件事：相对论、量子力学与混沌。”物理学家 Ford认为混沌是20世纪物理学第三次最大的革命， 与前两次革命相似，混沌也与相对论及量子力学 一样冲破了牛顿力学的教规。 混沌学改变了科学世界的图景，认为世界是一个 有序与无序的统一、确定性与随机性的统一、
粒子的位置与速度，那么就可以预测宇宙 在整个未来中的状况”。 “混沌者，言万物相混成而未相离”(《易 经》)，“窈窈冥冥”、“昏昏默默”(《庄 子》)
Einstein（爱因斯坦）也曾表态说：“我无论如何深 信上帝不是在掷骰子”。 19世纪末20世纪初 ，人们发现，微观粒子的运动并 不遵守Newton力学的规律，在微观世界中应当用量 子力学的薛定谔方程来代替Newton力学方程。 20世纪后半叶 ，物理学在非线性方面所取得了两大 进展：非平衡物理学和始于混沌概念的不稳定系统动 力学，使Newton力学受到了更大的冲击。 非平衡物理学研究远离平衡态的系统，这门新学科产 生了诸如自组织和耗散结构这样一些概念，它们描述 了单项时间效应，即不可逆性。经典科学强调有序和 稳定性，以Newton理论为代表的近代科学创造了一 种能够精确刻划必然性或确定性的方法。然而人们在 研究非线性系统时却发现了分岔、突变、混沌等现象 。
简单性与复杂性的统一、稳定性与不稳定性的统 一、完全性与不完全性的统一、自相似性与非相 似性的统一的世界。 混沌运动产生出各种巧夺天工的图形，成功模拟 和创造出足以乱真的“实景”，获得意想不到的 结果。对简单、纯一、和谐的有序性美和静态美 的追求被多样性美、奇异性美、复杂性美和动态 美所取代，这就是混沌美。 混沌研究的重要特点就是跨越了学科界限。混沌 学的普适性、标度律、自相似性、分形、奇怪吸 引子、重整化群等概念和方法，正超越原来数理 学科的狭窄背景，走进化学、生物学、地学、医 学及至社会科学的广阔天地。
美国数学家Smale发明了被称做“马蹄”的 一种结构，可比喻为在一团橡皮泥上任意 取两点，然后把橡皮泥拉长，再折叠回来， 不断地拉长、折叠，使之错综复杂的自我 嵌套起来。 1975年，T. Y. Li（李天岩）和J. A. York提 出“周期3蕴含混沌”的思想，被认为是混 沌的第一次正式表述，Chaos一词也自此正 式使用 。
复杂非线性系统中的 混沌
作者：王兴元
第一章 绪 论
1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 混沌理论的产生与发展 混沌理论对现代科学的作用和影响 混沌的研究工具与研究方法 混沌研究的现状与展望 本书研究的基本特征
1.1 混沌理论的产生与发展
非线性混沌与分形理论的基本思想起源于20世纪 初，发生于20世纪60年代后，发展壮大于20世纪80 年代。这一理论揭示了有序与无序的统一、确定性与 随机性的统一，并成为正确的宇宙观和自然哲学的里 程碑。混沌与分形理论被认为是继相对论、量子力学， 20世纪人类认识世界和改造世界的最富有创造性的科 学领域的第三次大革命。
1.1.1 混沌理论的产生 混沌最初பைடு நூலகம்入科学是与以精确著称的数理科 学无缘的，混沌主要来源于神话传说与哲学思辨。 在现代，混沌被赋予了新的涵义，混沌是指在确 定性系统中出现的类似随机的过程，其来自非线 性。混沌的理论基础可追溯到19世纪末创立的定 性理论，但真正得到发展是在20世纪70年代，现 在方兴未艾。 18世纪 ，Laplace：“如果已知宇宙中每一
1.1.4 分形理论的产生与发展 另外，混沌的出现与“分岔”紧密相关，混沌集 又 常常具有分数维特征，所以也与“分形”有关。 分形 理论是非线性科学研究中十分活跃的一个分支， 它的研究对象是自然界和非线性系统中出现的不 光滑和不规则的几何形体。分形理论的数学基础 是分形几何 。 混沌集具有分数维特征，与“分形”有关。 1975年Mandelbrot出版了杰作《分形对象——形、 机遇和维数》、《分形——形、机遇和维数》、 《大自然的分形几何学》专著。第一次系统阐述 了分形几何的思想、内容、意义和方法。标志着
经济模式中高低收入的分布图与利塔沃经济中 心 大厦黑板上棉花价格变动图一样。 “英国的海岸线有多长”的问题 ：任何一段 海岸线 都是无限长的。虽然一条曲折的海岸线长度不 能 精确测量，但它却有某种特征量，就是分形所揭 示的分数维数，可以对分形对象内部的不均匀 性、层次结构性的整体数量特征进行刻画。 分形的意义在于摸索自相似，自相似是跨越不 同尺度的对称性，图案之中套图案。
现如今，混沌已成为各学科竞相注意的一个学 术热点。确定性系统的混沌使人们看到了普遍 存在于自然界而人们多年来视而不见的一种运 动形式。混沌无所不在，它存在于大气中，海 洋湍流中，野生动植物种群数的涨落中，风中 飘拂的旗帜中，水流缭乱的旋涡中，心脏和大 脑的振动中，还有秋千、摆钟、血管、嫩芽、 卷须、雪花……世界是混沌的，混沌遍世界！ 目前，许多科学家都在利用非线性动力学的方 法来研究混沌运动。