不确定度分析和误差原理

数据数目少时可靠性差 只能对系统误差存在判断，不能给出数值
误差传递
y f (x1, x2...xn )
y yY
xi xi X i
y y Y f (x1, x2...xn ) f ( X1, X 2...X n )
y y Y f ( X1 x1, X 2 x2...X n xn ) f ( X1, X 2...X n )
y f (x1, x2...xn )
f
(
X
1
,
X
2
...X
n
)
(
f x1
)0
(
x1
X
1
)
...
(
f xn
)0
(
xn
Xn)
f
(
X
1
,
X
2
...X
n
)
(
f x1
)0
x1
(
f x2
)0
x2
...
来自百度文库
(
f xn
)0
xn
误差传递
y f (x1, x2...xn ) f (X1, X 2...X n )
绝对误差
测量绝对误差=测量值—真值 示值误差=仪器示值—真值
x x$
真值是指被测量的客观真实值，一般都是未知的。 仅特殊场合已知和最高基准可看作真值。
数据处理统计中将平行测量的期望值作为统计量 的拟定真值，可证明当测量次数无限大时，子样 的统计量是总体的统计量的无偏估计。
相对误差
相对误差
估计量的评价
无偏性
有效性
设t为未知数参数 分散性用
θ的估计量，若 E[(t- θ)2]衡量。
一致性
估计量t依概 率收敛于θ，
E(t)= θ,则t为θ的 E[(t- θ)2]=D(t)表明 则称t为θ的一
无偏估计量。
无偏估计以方差 致估计量。
表明估计量t的 波动中心为θ，
较小为好，即较 为有效。
误差作用独立性，一个误差结果对其他误差因素无 关，它们构成总误差的独立部分。
可用于已知系统误差的分析计算。
建立不确定度合成法则基本依据，精度分析基础。
传递系数的计算
微分法求传递系数 几何发求传递系数（可通过几何运算和解析
几何计算转化为微分法） 按传动关系确定传递系数（已知一个方向的
传递系数或总的传递系数，求其中一个） 用于y=f(x)测量y求x的传递系数的情况 计算说明定义法和线性叠加法则的误差大小 差别。
对测量结果作出可 靠性评定，即给出 精确度的估计。
相对误 差
绝对误 差
定义
量纲
绝对误差 无 真值
反应测量 效果
测量值— 与被测 结果的实
真值
量相同 际误差值
误差分类
系统误差：其值固定不变或按某种确定规 律变化的误差。可重复表现，但规律性并 不一定确知。
随机误差：有正有负，不可预知。具有随 机变量的一切特征，可用统计方法做出估 计，不能“修正”消除。
此时只有随机误 D(t)
1
差，无系统误差。
nE{[ ln f (x, )]2}
lim P(| t | ) 0
x
区间估计
对于未知数θ，除了要求它的点估计t外，还常常 需要以一定的可靠程度估计出包含真值的某个区 间，以及包含真值的概率。
参数θ若有P{t1< θ<t2}=1-a为置信概率。(t1,t2)为 在置信度P上的置信区间，说明θ有P的概率落在 (t1,t2)范围内。置信区间的上下限常取为对称的。
区间估计有明确的可靠性含义。 置信度的大小应根据具体问题给出，一般取90%
或95%。
正态分 布概率 密度
正态分 布概率 图
随机误差特征
对称性 有界性 抵偿性 σ对f(x)的影响 平均分布 反正弦分布 截尾正态分布 三角分布
三种分布的标准差以及各置信区间 相应的概率
分布 标准差σ P(σ) P(2σ) P(3σ)
E(x1+x2)=E(x1)+E(x2) E(C*x)=C*E(x)
E(x1*x2)=E(x1)*E(x2) 相互独立，协方差为0
D(C)=0 D(C* δ)=C2*D(δ) D (δ 1+ δ 2)=D(δ 1)+D(δ 2)
+D(δ 1, δ 2)
系统误差检验方法 ◄ ◄ ◄
通过实验对比（高精度和等精度） 通过理论分析判断（模型简化） 对测量数据的直接判断（线性和周期） 用统计方法进行判断
数据处理
误差及不确定度分析
马元明
目录
误差原理与分析计算 ► ► ► 误差原理 误差传递 平均值原理 异常数据剔除
不确定度原理与分析计算► ► ► 不确定度原理 不确定度的合成 不确定度合成例题
回归分析 ► ► ► 直线回归 其他回归
量热误差分析 ► ► ►
误差原理与分析计算
误差原理 ► ► ► 误差传递 ► ► ► 平均值原理 ► ► ► 异常数据剔除 ► ► ►
粗大误差：超出正常范围的随机大误差。 在数据中应该去除。
统计量和估计量
设总体以随机变量ξ表示，容量为n的子样以随 机变量(ξ1 ξ2 …ξn)表示。现作子样的实值函数 T=T(ξ1 ξ2… ξn)，则 T(ξ1 ξ2… ξn)也为一随机变量，称T的统计量。
为了估计总体ξ某一参数θ，由子样(ξ1 ξ2 …ξn) 建立不带未知数的某一统计量T(ξ1 ξ2… ξn)，当获 得子样的某一具体观测值(l1 l2… ln)时，算出统计量 的值T(l1 l2… ln)=t，可作为θ估计值，则称T(ξ1 ξ2… ξn)为θ的估计值。
绝对误差 真值
绝uuu对uuu误uuu差uu很uuu小ur
绝对误差 测量值
引用误差
示值误差 最大示值
引用误差的规定是 用于仪器精度的评 定。
绝对误差与测量值 相差小时用绝对误 差，相差大时用相 对误差。
误差的普遍意义和关系
测量误差是不可避 免的，只要误差在 一定范围内就认为 是正常的。
减小误差影响，提 高测量精度。
正态分布 Δ(or Δ Δ
仪器)/3
三角分布 Δ (or Δ
Δ仪器)/(6)(1/2)
均匀分布 Δ (or Δ
Δ仪器)/(3)(1/2)
0.683 0.758 0.577
0.955 0.966
1
0.997 1 1
随机误差特征
期望值E(x) 误差的分布中心
方差D(x) 随机波动大小
E(C)=C
f x1
x1
f x2
x2
...
f xn
xn
传递系数Әf/ Әxi按测量值计算。
优点：线性传递，计算简单。
缺点：当展开式高次项不可忽略时，应该按 照定义式计算。
误差传递
当以相对误差表示各误差分量时，其传递关系为
y
1 y
n i 1
f xi
xi
xi
测量结果总误差等于各原始误差乘以传递系数的代 数和——线性叠加法则。