不确定度分析和误差原理
误差和不确定度的区别和联系
误差与不确定度的概念比较实验教学中关于误差和不确定度的区别和联系，是学生感到难以理解并准确掌握的概念之一，本文将对此比较总结如下。
1误差和不确定度的定义1.1 误差的概念 各被测量量在实验当时条件下均有不依人的意志为转移的真实大小，此值被称为被测量的真值。
即真值就是被测量量所具有的、客观的真实数值。
然而实际测量时，总是由具体的观测者，通过一定的测量方法，使用一定的测量仪器和在一定的测量环境中进行的。
由于受到观测者的操作和观察能力，测量方法的近似性，测量仪器的分辨力和准确性，测量环境的波动等因素的影响，其测量结果和客观的真值之间总有一定的差异。
测量结果与真值的差为测量值的误差，即测量值(x)-真值(a)=误差(ε)在实验中通常要处理的来源于测量值的误差有两类：偶然误差和系统误差。
对于偶然误差，有算术平均值作为被测量真值的最佳估计值，相应的误差有标准偏差s ，它的定义为 1)(12--=∑=n x x s n i i------------------------------(1)式中n 为测量值的个数。
对于算术平均值的标准偏差，用来表示算术平均值的偶然误差，表达式为 n s x s /)(=------------------------------------(2)二者的统计意义是，标准偏差小的测量值，其可靠性较高。
对于系统误差，不能用统计的方法评定不确定度，首先要对实验理论分析或对比分析之后，可以得知其系统误差的来源，并可采取一定的措施去削减系统误差。
例如由于天平左右臂长不完全相同导致的系统误差，可将物体放在天平左盘、右盘上各称一次取平均去消除，而对于单摆周期与振幅有关，缩小振幅可以减小此项系统误差，在测量要求更高时，可根据理论分析得出的修正公式去补正。
1.2 不确定度的概念 测量不确定度则是评定作为测量质量指标的此量值范围，即对测量结果残存误差的评估。
设测量值为x ，其测量不确定度为u ，则真值可能在量值范围(x-u ，x+u)之中，显然此量值范围越窄，即测量 不确定度越小，用测量值表示真值的可靠性就越高。
测量误差及不确定度评定
测量误差与不确定度评定一、测量误差1、测量误差和相对误差（1）、测量误差测量结果减去被测量的真值所得的差，称为测量误差，简称误差。
这个定义从20世纪70年代以来没有发生过变化，以公式可表示为：测量误差＝测量结果－真值。
测量结果是由测量所得到的赋予被测量的值，是客观存在的量的实验表现，仅是对测量所得被测量之值的近似或估计，显然它是人们认识的结果，不仅与量的本身有关，而且与测量程序、测量仪器、测量环境以及测量人员等有关。
真值是量的定义的完整体现，是与给定的特定量的定义完全一致的值，它是通过完善的或完美无缺的测量，才能获得的值。
所以，真值反映了人们力求接近的理想目标或客观真理，本质上是不能确定的，量子效应排除了唯一真值的存在，实际上用的是约定真值，须以测量不确定度来表征其所处的围。
因而，作为测量结果与真值之差的测量误差，也是无法准确得到或确切获知的。
过去人们有时会误用误差一词，即通过误差分析给出的往往是被测量值不能确定的围，而不是真正的误差值。
误差与测量结果有关，即不同的测量结果有不同的误差，合理赋予的被测量之值各有其误差并不存在一个共同的误差。
一个测量结果的误差，若不是正值（正误差）就是负值（负误差），它取决于这个结果是大于还是小于真值。
实际上，误差可表示为：误差＝测量结果－真值＝（测量结果－总体均值）＋（总体均值－真值）＝随机误差＋系统误差（2）、相对误差测量误差除以被测量的真值所得的商，称为相对误差。
2、随机误差和系统误差（1）、随机误差测量结果与重复性条件下，对同一被测量进行无限多次测量所得结果的平均值之差，称为随机误差。
随机误差＝测量结果－多次测量的算术平均值（总体均值）重复性条件是指在尽量相同的条件下，包括测量程序、人员、仪器、环境等，以及尽量短的时间间隔完成重复测量任务。
此前，随机误差曾被定义为：在同一量的多次测量过程中，以不可预知方式变化的测量误差的分量。
随机误差的统计规律性：○1对称性：绝对值相等而符号相反的误差，出现的次数大致相等，也即测得值是以它们的算术平均值为中心而对称分布的。
不确定度和误差的关系
不确定度和误差的关系一、引言在科学研究和实验中，我们经常会遇到测量和计算的结果与真实值之间存在差异的情况。
这种差异通常被称为误差。
而对于测量结果的可信程度，则可以通过不确定度来衡量。
不确定度和误差之间存在一定的关系，在本文中我们将探讨这一关系。
二、误差的定义和分类误差可以被定义为测量结果与真实值之间的差异。
在实际测量中，误差可以分为系统误差和随机误差两类。
1. 系统误差系统误差是由于测量仪器或方法本身的固有缺陷而产生的误差。
例如，仪器的刻度不准确、环境条件的影响等都可以引起系统误差。
系统误差通常是可预测和可纠正的，因此在实验设计和数据处理中应该尽量避免系统误差的产生。
2. 随机误差随机误差是由于测量过程中的各种偶然因素导致的误差。
例如，人的视觉判断误差、仪器读数的波动等都属于随机误差。
随机误差是不可避免的，但可以通过多次重复测量来减小其影响。
三、不确定度的定义和计算不确定度是对测量结果的可信程度的度量。
在实际测量中，不确定度可以通过多种方法来计算，例如重复测量法、类比法、标准差法等。
1. 重复测量法重复测量法是指对同一物理量进行多次独立测量，然后计算这些测量结果的标准差作为不确定度的估计值。
重复测量法适用于随机误差主导的情况，并且要求测量结果符合正态分布。
2. 类比法类比法是指通过与已知精度的标准样品进行比较，来估计待测物理量的不确定度。
例如，通过与已知质量的标准物体进行比较，来估计待测物体的质量不确定度。
3. 标准差法标准差法是指通过对测量结果进行统计分析，计算其标准差来估计不确定度。
标准差法适用于随机误差主导的情况，并且要求测量结果符合正态分布。
四、不确定度和误差的关系不确定度和误差之间存在一定的关系。
一方面，误差是指测量结果与真实值之间的差异，而不确定度则是对测量结果的可信程度的度量。
因此，误差越大，不确定度也就越大。
另一方面，误差可以分为系统误差和随机误差两类，而不确定度则可以通过重复测量法等方法来估计。
计量检测中不确定度和误差的分析
计量检测中不确定度和误差的分析作者：杨志伟来源：《科技风》2016年第20期=摘要：计量检测在我国生产过程中发挥重要的作用，因此为了提高计量检测的准确性，需要对计量检测中不确定度和误差进行详细的分析，希望能够为相关工作者提供借鉴。
关键词：计量检测；不确定度；误差随着我国社会的不断进步，人们对产品质量提出了更高的要求，所以为了满足人们的需求，就必须不断提高计量检测的水平，不断增强计量检测的准确性，这主要是因为计量是质量的重要保证，能够促进科研生产的发展。
所以必须强化计量人员的计量意识，树立先进的计量理念，严格控制计量误差，对计量检测中确定度进行认真的分析，从而实现计量检测准确性的不断提升。
一、计量检测的不确定度（一）测量不确定度的定义测量不确定度指的是一个参数，与测量的结果具有一定的关联性，通常用测量不确定度来表示测量结果的质量或者置信水平的区间半宽度。
在获取各种不确定度过程中，采用的方法较多，而且较为复杂，同时在此过程中，各种因素应考虑全面，多次测量同一计量，并根据贝塞尔公式，准确计算所测的分散值。
（二）测量不确定度的意义在产品检验过程中，通常通过对产品以及部件进行测量，其测量结果能够直接反映产品或部件是否合格，而且对于测量结果会有测量标称值进行衡量，若测量结果处于该范围之内，则产品或部件合格，否则为不合格。
但是在测量过程中，一般会受到测量条件以及人为因素的影响，所以对测量的值产生怀疑或不肯定，因此不能将测量的值被作为判断产品是否合格的唯一标准，必须考虑不确定度的影响，这就是不确定度的重要意义。
（三）测量不确定度的来源由于目前我国测量技术水平有限，在测量过程中，每次测量的结果都不相同，处在某个区间内，所以不确定度具有分散性，在实际测量过程中，测量不确定度的来源有很多，主要包括以下几个方面：1）缺乏完整的被测量定义；2）采用不合适的方法来实现被测量定义；3）没有合理的进行取样，样本缺乏代表性；4）在测量过程中，对周围环境的影响情况了解的不够全面，或者对周围的环境未进行严格的控制；5）相关计量设备读数不准确；6）对数据计算不够准确。
误差、允差、准确度与不确定度
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置信水3 准如何理解测量不确定度？
置 信
区
定义的注（1）指出:测量不确定度是“间
说明了置信水准的区间的半宽度”。也就是说
，测量不确定度需要用两个数来表示：一个是
测量不确定度的大小，即包含区间半宽；另一
个是包含概率（或置信概率、置信水准），表
明测量结果落在该区间有多大把握。
例如：身高为1.8m或加或减0.1m，包含概率为 95％。则该结果可以表示为：
一、误差、允差、准确度与不确定度
（一）测量误差、准确度与不确定度 （二）示值误差、允差与不确定度
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（一）测量误差、准确度与不确定度
1、用不确定度评定来代替误差评定的原因
用传统方法对测量结果进行误差评定主要遇到两方面的问题 ：
（1）逻辑概念
真值无法得到，因此严格意义上的误差也无法得到，能得 到的只是误差的估计值。误差的概念只能用于已知约定真值的 情况。
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真值
正确度高, 但精密度低
随机误差大 系统误差大
精密度高, 但正确度低
准确度高!
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图1.1 正确度、精密度与准确度
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有限次数测量平均值(总 体均值的一个无偏估计)
总体均值
总体概率分布的期望
样本
均值
真值 测得值
误差
vi = yi − y
残差
单次测量值
测得值概率 分布曲线
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续表1.1 测量误差与不确定度的主要区别
序含 号义
测量误差
测量不确定度
测量误差用来定量表示测量 结果与真值的偏离大小。
测量不确定度用来定量表示测量结 果的可信程度。
实验误差与不确定度的评估与处理
实验误差与不确定度的评估与处理在科学研究与实验中，实验误差与不确定度的评估与处理起着非常重要的作用。
准确地评估实验误差和不确定度有助于保证实验结果的可靠性和科学性。
本文将介绍实验误差和不确定度的概念、评估方法以及处理策略。
一、实验误差的概念与分类实验误差是指实际测量值与真实值之间的差别。
实验误差可以分为系统误差和随机误差两类。
1. 系统误差系统误差是由于实验装置、仪器、环境等因素的固有不准确性引起的误差。
系统误差在多次实验中具有一定的规律性，对实验结果产生较为持续的影响。
常见的系统误差包括仪器误差、环境误差等。
2. 随机误差随机误差是由于实验条件不可控制或观察者的不精确引起的误差。
随机误差在多次实验中呈现出无规律性，对试验结果产生偶然性的影响。
常见的随机误差包括人为误差、测量误差等。
二、不确定度的概念与评估方法为了评估实验结果的可靠性，需要借助不确定度来量化实验误差的大小。
不确定度是指在实验条件中，测量结果与真实值之间的差异范围。
不确定度也可分为两类：类型A不确定度和类型B不确定度。
1. 类型A不确定度类型A不确定度是通过重复测量同一量值，根据多次测量结果的离散程度来评估的。
常见的评估方法包括标准偏差法和方差分析法等。
2. 类型B不确定度类型B不确定度是通过对实验条件和测量方法的分析，利用概率统计方法评估的。
常见的评估方法包括均匀分布法、正态分布法等。
三、实验误差与不确定度的处理策略针对实验误差与不确定度的评估结果，科学研究中通常采取一些处理策略来保证实验结果的可靠性。
1. 合并不确定度当实验结果由多个测量值组合得出时，需要将各个测量值的不确定度合并为一个整体的不确定度。
常见的合并不确定度的方法有根号和法、直接相加法等。
2. 数据比对与处理在实验过程中，如果发现数据之间存在明显的差异，可以对异常数据进行筛除或进行重新测量，以减小实验误差。
3. 不确定度传递在实验中，如果测量结果直接参与后续计算，需要通过不确定度传递方法，将初始不确定度转化为最终结果的不确定度。
误差和不确定度的区别和联系
误差与不确定度的概念比较实验教学中关于误差和不确定度的区别和联系，是学生感到难以理解并准确掌握的概念之一，本文将对此比较总结如下。
1误差和不确定度的定义误差的概念 各被测量量在实验当时条件下均有不依人的意志为转移的真实大小，此值被称为被测量的真值。
即真值就是被测量量所具有的、客观的真实数值。
然而实际测量时，总是由具体的观测者，通过一定的测量方法，使用一定的测量仪器和在一定的测量环境中进行的。
由于受到观测者的操作和观察能力，测量方法的近似性，测量仪器的分辨力和准确性，测量环境的波动等因素的影响，其测量结果和客观的真值之间总有一定的差异。
测量结果与真值的差为测量值的误差，即测量值(x)-真值(a)=误差(ε)在实验中通常要处理的来源于测量值的误差有两类：偶然误差和系统误差。
对于偶然误差，有算术平均值作为被测量真值的最佳估计值，相应的误差有标准偏差s ，它的定义为 1)(12--=∑=n x x s n i i------------------------------(1)式中n 为测量值的个数。
对于算术平均值的标准偏差，用来表示算术平均值的偶然误差，表达式为 n s x s /)(=------------------------------------(2)二者的统计意义是，标准偏差小的测量值，其可靠性较高。
对于系统误差，不能用统计的方法评定不确定度，首先要对实验理论分析或对比分析之后，可以得知其系统误差的来源，并可采取一定的措施去削减系统误差。
例如由于天平左右臂长不完全相同导致的系统误差，可将物体放在天平左盘、右盘上各称一次取平均去消除，而对于单摆周期与振幅有关，缩小振幅可以减小此项系统误差，在测量要求更高时，可根据理论分析得出的修正公式去补正。
不确定度的概念 测量不确定度则是评定作为测量质量指标的此量值范围，即对测量结果残存误差的评估。
设测量值为x ，其测量不确定度为u ，则真值可能在量值范围(x-u ，x+u)之中，显然此量值范围越窄，即测量 不确定度越小，用测量值表示真值的可靠性就越高。
测量不确定度与测量误差
(二) 测量不确定度、误差与最佳测量能力1 测量和测量不确定度的含义测量给出关于某物的属性，它可以告诉我们某物体有多重、或多长、或多热，即告诉我们量值有多大。
测量总是通过某种仪器或设备来实现的，尺子、秒表、衡器、温度计等都是测量仪器。
被测量的测量结果通常由两部分组成（一个数和一个测量单位），他们构成了量值。
例如：人体温度37.2℃是量值，人体温度是被测量，37.2是数，℃是单位。
对于比较复杂的测量，通过实际测量获得被测量的测量数据后，通常需要对这些数据进行计算、分析、整理，有时还要将数据归纳成相应的表示式或绘制成表格、曲线等等，亦即要进行数据处理，然后给出测量结果。
检测/校准工作的核心是测量。
在给出测量结果的同时，必须给出其测量不确定度。
测量不确定度表明了测量结果的质量：质量愈高，不确定度愈小，测量结果的使用价值愈高；质量愈差，不确定度愈大，使用价值愈低。
在检测/校准工作中，不知道不确定度的测量结果，实际上不具备完整的使用价值。
测量不确定度是对测量结果存有怀疑的程度。
测量不确定度亦需要用两个数来表示：一个是测量不确定度的大小，即置信区间的半宽；另一个是对其相信的程度，即置信概率（或称置信水准、置信水平、包含概率），表明测量结果落在该区间有多大把握。
例如：上述测量人体温度为37.2℃，或加或减0.1℃，置信水准为95％。
则该结果可以表示为37.2℃±0.1℃，置信概率为95％。
这个表述是说，我们测量的人体温度处在37.1℃到37.3℃之间，有95％的把握。
当然，还有一些其他不确定度的方式。
这里表述的是最终的扩展不确定度，它是确定测量结果区间的量，合理赋予被测量之值分布的大部分可望包含于此区间。
2 测量结果及其误差和准确度2.1 测量结果测量结果被定义为“由测量所得到的赋予被测量的值。
”它是被测量的最佳估计值，而不是真值。
完整表述测量结果时，必须同时给出其测量不确定度。
必要时还应说明测量所处的条件，或影响量的取值范围。
大学物理实验中的误差和不确定性
大学物理实验中的误差和不确定性在大学物理实验中，误差和不确定性是无法避免的。
它们对实验结果的精确性和可靠性有很大影响。
本文将对大学物理实验中的误差来源、误差分析方法以及不确定性进行探讨，以期帮助读者更好地理解和处理实验数据。
一、误差来源1. 人为误差：人为误差源于实验者自身的不准确操作或测量判断。
例如，实验者在读数时可能存在读数不准确、操作不规范等情况，从而引入人为误差。
2. 仪器误差：仪器本身存在的误差也是实验中常见的来源之一。
不同仪器的精度和灵敏度不尽相同，所以在进行实验时需要仔细选择和使用仪器，以减小仪器误差对实验结果的影响。
3. 随机误差：随机误差是由一系列随机因素引起的误差。
例如，由于环境的微弱变化或测量手法的不完美，导致的重复测量结果不完全一致。
二、误差分析方法1. 重复测量法：重复测量法是通过多次重复测量同一物理量的数值，然后计算平均值和标准偏差，以减小随机误差对结果的影响。
重复测量法可以提高实验结果的可靠性和精确性。
2. 构造误差概率密度分布图：通过对测量数据进行概率密度分布图的构建，可以了解误差在整个测量范围内的分布情况。
常见的误差分布有正态分布、均匀分布等，通过分析误差的概率分布情况，可以更好地理解误差的特性。
3. 方差分析法：方差分析法可以用来分析不同因素对实验结果的影响程度。
通过对实验数据进行方差分析，可以确定主要误差来源，并且对影响程度较大的因素进行优化，提高实验的精确性。
三、不确定性不确定性是物理实验中非常重要的一个概念。
不确定性是对测量结果的不确定程度进行量化的指标，一般用标准不确定度或扩展不确定度来表示。
1. 标准不确定度：标准不确定度是测量结果的一种误差范围估计值，通常用统计学的方法计算得出。
标准不确定度用来表示一个测量结果的可靠性和精确性。
2. 扩展不确定度：扩展不确定度是对标准不确定度进行修正和扩展的一种误差范围估计值，一般是用于报告测量结果。
扩展不确定度是由标准不确定度与置信度相乘得到的。
物理实验技术中的误差分析和不确定度计算方法
物理实验技术中的误差分析和不确定度计算方法物理实验是科学研究的重要手段之一，准确地进行实验是确保研究结果有效性和可靠性的关键。
然而，由于各种因素的影响，实验中的误差是不可避免的。
因此，在进行物理实验时，进行误差分析和计算不确定度是非常重要的。
误差分析是评估实验结果与真实值之间差别的过程。
误差可以分为系统误差和随机误差两种类型。
系统误差是指由于实验装置、测量仪器或操作方法的固有特性导致的偏差。
当一个误差重复出现并且产生固定的偏差时，我们可以认定它是系统误差。
例如，在使用一台有刻度不准确的秤进行质量测量时，我们得到的测量结果将会有一个恒定的偏差。
为了减小系统误差，我们可以采用校正方法，例如使用更准确的仪器，或者对实验装置进行调整。
随机误差是由于各种不可预测的因素产生的测量结果的波动。
这种误差在多次测量中会出现不同的结果。
例如，在进行实验时，由于实验者的不稳定的手部动作或环境的微小干扰，可能导致测量结果的波动。
为了降低随机误差的影响，我们可以进行多次测量，并对测量结果求平均值。
误差分析的过程通常包括测量值的处理和不确定度的评估。
测量值的处理是为了减小误差对实验结果的影响。
在处理测量数据时，可以运用一些常用的统计方法，如算术平均值、加权平均值和中值等。
这些方法可以有效地减小随机误差的影响，并尽可能接近真实值。
计算不确定度是对测量值的不确定性的评估。
通常采用标准不确定度来表示测量结果的误差范围。
标准不确定度可以通过对测量结果进行多次测量并进行统计分析得到。
例如，在进行长度测量时，可以进行多次重复测量，然后计算平均值和标准偏差。
标准偏差表示测量值与其平均值的偏离程度，它可以用来评估测量结果的不确定度。
计算不确定度时，还需要考虑到其他可能的误差来源，并进行合适的计算。
例如，对于由于环境温度的变化导致的测量误差，可以进行温度补偿计算；对于采用近似方法导致的误差，可以进行截断误差的估计。
通过综合考虑各种误差来源，我们可以得到更准确的不确定度评估结果。
测量误差及不确定度分析的基础知识(精)
测量误差及不确定度分析的基础知识物理实验是以测量为基础的。
测量可分为直接测量与间接测量，直接测量指无需对被测的量与其它实测的量进行函数关系的辅助计算而可直接得到被测量值的测量，间接测量指利用直接测量的量与被测量之间的已知函数关系经过计算从而得到被测量值的测量。
由于测量仪器、测量方法、测量环境、人员的观察力等种种因素的局限，测量是不能无限精确的，测量结果与客观存在的真值之间总是存在一定的差异，即存在测量误差。
因此分析测量中产生的各种误差，尽量消除或减小其影响，并对测量结果中未能消除的误差作出估计，给出测量结果的不确定度就是物理实验和科学实验中必不可少的工作。
为此我们必须了解误差的概念、特性、产生的原因及测量结果的不确定度的概念与估算方法等的有关知识。
误差的定义、分类及其处理方法一.误差的定义：测量结果与被测量的真值（或约定真值）之差叫做误差，记为:被测值的真值是一个理想的概念，一般说来真值是不知道的。
在实际测量中常用准确度高的实际值来作为约定真值，才能计算误差。
二.误差的分类及其处理方法：误差主要分为系统误差和随机误差。
系统误差：（1）定义：在同一被测量的多次测量过程中，绝对值和符号保持恒定或以可预知的方式变化的测量误差的分量。
（2）产生原因：①仪器本身的缺陷或没按规定条件使用仪器而引起的误差（又称作仪器误差）例：电表的刻度不均匀---示值误差等臂天平的两臂实际不等---机构误差指针式电表使用前没调零---零位误差大气压强计未在标定条件下使用引起的系统误差等②测量所依据的理论公式本身的近似性、或实验条件不能达到理论公式的要求、或测量方法所带来的系统误差（又称作理论误差或方法误差）。
例：单摆运动方程小角度近似解引起的误差、伏安法测电阻时电表内阻引起的测量误差。
(3)分类及处理方法：根据误差的符号、绝对值确定与否分类如下：①已定系统误差---绝对值和符号已经确定的系统误差分量，如零位误差、大气压强计室温下使用引起的误差、伏安法测电阻时电流表内接或外接引起的误差等；这类误差分量一般都要修正。
误差和不确定度的区分
误差和不确定度区分一．区分误差和不确定度误差定义为被测量的单个结果和真值之差，所以，误差是一个单个数值。
原则上已知误差的数值可以用来修正结果。
误差是一个理想的概念，不可能被确切地知道。
不确定度是以一个区间的形式表示，如果是为一个分析过程和所规定样品类型做评估时，可适用于其所描述的所有测量值，一般不能用不确定度数值来修正测量结果。
二．误差和不确定度的差别还表现在修正后的分析结果可能非常接近于被测量的数值，因此误差可以忽略。
但是，不确定度可能还是很大，因为分析人员对于测量结果的接近程度没有把握。
测量结果的不确定度并不可以解释为代表了误差本身或经修正后的残余误差。
通常认为误差含有两个分量，分别称为随机分量和系统分量;随机误差通常产生于影响量的不可预测的变化。
这些随机效应使得被测量的重复观察的结果产生变化。
分析结果的随机误差不可消除，但是通常可以通过增加观察的次数加以减少。
实际上算术平均值或一系列观察值的平均值的实验标准差不是平均值的随机误差。
它是由一些随机效应产生的平均值不确定度的度量。
由这些随机效应产生的平均值的随机误差的准确值是不可知的。
系统误差定义为在对于同一被测量的大量分析过程中保持不变或以可以预测的方式变化的误差分量。
它是独立于测量次数的，因此不能在相同的测量条件下通过增加分析次数的办法使之减小。
恒定的系统误差，例如定量分析中没有考虑到试剂空白，或多点设备校准中的不准确性，在给定的测量值水平上是恒定的，但是也可能随着不同测量值的水平而发生变化。
在一系列分析中，影响因素在量上发生了系统的变化，例如由于试验条件控制得不充分所引起的，会产生不恒定的系统误差。
例1、在进行化学分析时，一组样品的温度在逐渐升高，可能会导致结果的渐变。
例2：在整个试验的过程中，传感器和探针可能存在老化影响，也可能引入不恒定的系统误差。
测量结果的所有已识别的显著的系统影响都应修正。
注意测量仪器和系统通常需要使用测量标准或标准物质来调节或校准，以修正系统影响。
物理实验中的误差分析与不确定度计算
物理实验中的误差分析与不确定度计算引言：物理实验是科学研究中不可或缺的一部分，通过实验可以验证理论，探索未知。
然而，任何实验都不可能完全精确，误差是难以避免的。
因此，对于实验结果的误差分析和不确定度计算显得尤为重要。
本文将探讨物理实验中的误差分析方法和不确定度计算的基本原理。
1. 误差的分类：误差可以分为系统误差和随机误差两类。
系统误差是由于实验装置、仪器或操作方法引起的，其产生的原因是固定的，可以通过校正或改进实验方法来减小。
随机误差是由于实验环境、人为操作或测量仪器的精度等因素引起的，其产生的原因是随机的，无法完全消除。
2. 误差的表示：误差通常用绝对误差和相对误差来表示。
绝对误差是指测量值与真实值之间的差异，而相对误差则是绝对误差与真实值的比值。
相对误差更能反映测量结果的准确程度。
3. 不确定度的概念：不确定度是对测量结果的不确定程度的度量。
在物理实验中，由于存在误差，测量结果往往是近似值。
不确定度的计算可以反映测量结果的精确程度，帮助我们评估实验的可靠性。
4. 不确定度的计算方法：不确定度的计算方法有多种，常见的有“最大误差法”和“合成不确定度法”。
最大误差法是通过比较各个误差的绝对值，选取最大的误差作为不确定度。
合成不确定度法是通过将各个误差的平方和开根号得到合成不确定度。
5. 不确定度的传递：在物理实验中，往往需要对多个测量结果进行运算得到最终的结果。
这时，需要考虑不确定度的传递。
不确定度的传递可以通过“绝对不确定度法”和“相对不确定度法”来实现。
绝对不确定度法是将每个测量结果的不确定度相加，而相对不确定度法则是将每个测量结果的相对不确定度相加。
6. 不确定度的评定：不确定度的评定是对测量结果的可靠性进行判断。
常见的评定方法有“一致性检验法”和“残差分析法”。
一致性检验法是通过比较测量结果与真实值之间的差异，判断测量结果是否符合期望的范围。
残差分析法则是通过计算测量结果与平均值之间的差异，判断测量结果的稳定性和准确性。
实验物理学中的误差分析与不确定度
实验物理学中的误差分析与不确定度实验物理学是研究物质世界中各种物理现象和规律的学科，通过实验的方式来观测和验证这些现象和规律。
然而，在实验过程中，由于各种外界因素和实验条件的限制，我们无法完全精确地测量和确定物理量。
因此，误差分析与不确定度成为实验物理学中必不可少的一部分。
一、误差的分类在实验物理学中，误差通常可以分为系统误差和随机误差两类。
1. 系统误差是由于实验方法、仪器和操作等因素引起的固定偏差。
它的出现是由于系统本身的不准确性或偏差，或者是由于实验操作者个体差异等原因造成的。
由于系统误差的特点是固定和可重现的，所以可以通过仪器校准、实验方法改进等手段来减小或消除。
2. 随机误差是指在相同条件下多次测量同一物理量时，由于种种随机因素的影响而引起的测量结果的偏差。
随机误差是由于测量仪器的精确度、实验环境的不确定性、测量对象的内在波动等因素造成的。
随机误差的特点是不可预测和不可消除的，但可以通过多次测量取平均值来减小其影响。
二、不确定度的计算为了描述测量结果的不确定性或误差大小，物理学家引入了不确定度的概念，并采用一定的数学方法来计算不确定度。
不确定度可以通过标准偏差、相对误差和置信区间等指标来度量。
标准偏差是描述测量值与平均值之间的离散程度，相对误差是用于比较测量结果与真值之间的差异程度，置信区间则给出了测量值在一定概率下的范围。
具体计算不确定度的方法有：A类不确定度和B类不确定度的合成法、最小二乘法、均方根法等。
这些方法都可以根据实际需求选择适当的计算方式。
例如，对于多个测量结果的平均值，可以采用合成法来计算不确定度；对于相关测量量之间的关系，可以采用最小二乘法来计算不确定度。
当我们得到测量结果的不确定度后，还可以根据不确定度的大小来评估测量结果的可靠性和精确度。
三、误差分析的应用误差分析在实验物理学中有着广泛的应用，它不仅可以提供测量数据的精确性和可靠性，也可以指导实验设计和数据处理的过程。
分析误差和不确定度
从这14个方面来区分误差和不确定度1.区分误差和不确定度很重要。
误差定义为被测量的单个结果和真值之差。
所以，误差是一个单个数值。
原则上已知误差的数值可以用来修正结果。
注意：误差是一个理想的概念，不可能被确切地知道。
2.不确定度是以一个区间的形式表示，如果是为一个分析过程和所规定样品类型做评估时，可适用于其所描述的所有测量值。
一般不能用不确定度数值来修正测量结果。
3.误差和不确定度的差别还表现在：修正后的分析结果可能非常接近于被测量的数值，因此误差可以忽略。
但是，不确定度可能还是很大，因为分析人员对于测量结果的接近程度没有把握。
4．测量结果的不确定度并不可以解释为代表了误差本身或经修正后的残余误差。
5.通常认为误差含有两个分量，分别称为随机分量和系统分量；6.随机误差通常产生于影响量的不可预测的变化。
这些随机效应使得被测量的重复观察的结果产生变化。
分析结果的随机误差不可消除，但是通常可以通过增加观察的次数加以减少。
实际上算术平均值或一系列观察值的平均值的实验标准差不是平均值的随机误差。
它是由一些随机效应产生的平均值不确定度的度量。
由这些随机效应产生的平均值的随机误差的准确值是不可知的。
7.系统误差定义为在对于同一被测量的大量分析过程中保持不变或以可以预测的方式变化的误差分量。
它是独立于测量次数的，因此不能在相同的测量条件下通过增加分析次数的办法使之减小。
8.恒定的系统误差，例如定量分析中没有考虑到试剂空白，或多点设备校准中的不准确性，在给定的测量值水平上是恒定的，但是也可能随着不同测量值的水平而发生变化。
9.在一系列分析中，影响因素在量上发生了系统的变化，例如由于试验条件控制得不充分所引起的，会产生不恒定的系统误差。
例1、在进行化学分析时，一组样品的温度在逐渐升高，可能会导致结果的渐变。
例2、在整个试验的过程中，传感器和探针可能存在老化影响，也可能引入不恒定的系统误差。
10.测量结果的所有已识别的显著的系统影响都应修正。
测量不确定度与误差的区别和联系
率给出真值可能落人 的区间。此参数可以是标准差或其 倍数 ， 或 说 明置性 水 准 的 区间 的半 宽 度 ， 其 值 恒 为 正值 。
不确 度用 来 表征 被测 量 的真 值 所 处 量 值 范 围 ， 但 它 不 是 具 体 的真 误 差 ， 它只 是 以参 数 形 式 定 量 表 示 了对 同一 量
１ 测量 误差 和 测量 不确 定度 的概 念
确 定分量 ， Ｂ类 评 定是 用非 统计 方法来 确 定分量 （ 由人们 根 据实 验 、 资料 、 经验 等信 息进 行评 定 ） 。
２ 测量 不确 定度 与 测量误 差 的联 系和 区别
２ ． １ 测量 不 确定 度是从 误 差理论 发 展而来 ， 试 验标 准差
多次测 量 结果 ， 可 能 所 处 的范 围 。不 确 定 度 按 其 获得 方 法分 为 Ａ、 Ｂ两类 评定 方法 ， Ａ类 评 定 分 量是 用 统 计 方法
收 稿 日期 ： ２ ０ １ ７一Ｏ １— ０ ４
２ ． ３ ． ２ 测 量误 差 是 客 观存 在 的 ， 不 受 外界 因素 的影 响 ，
《 计量 与测试 技术》 ２ ０ １ ７年 第４ ４基 第４期
测 量 不 确 定 度 与 误 差 的 区别 和 联 系
张 杰
（ 四川省凉 山州计量监督检定测试所 ， 四川 西 昌 ６ １ ５ ０ ０ ０ ）
摘
要： 测量不确定度是在实验之 中测量而得 ， 不确定度是一个数值 范围 ， 并且是被赋予分散性质 ， 被测 量是 落人 了一个分 散区间 ， 在这个 区间中含有正确
量确定 。
输入量之真值 （ 或约定真值 ） 。测量误差通常可分为 系 统 误差 和 随机 误差 两类 ， 误 差是 客 观存在 的 ， 由于在绝 大
物理实验关于误差的原理
物理实验关于误差的原理物理实验中的误差是指实验结果与真实值之间的差异。
由于实验条件的限制和操作技术的不可避免的限制，所有的物理实验都会存在误差。
准确地了解和处理误差对于实验结果的可靠性以及科学实验的正确性至关重要。
以下是关于误差原理的详细解释：1. 系统误差：系统误差是由于实验仪器、设备或测量方法的固有不准确性而引起的误差。
它是由于实验仪器的漂移、灵敏度不一致、非线性等因素造成的。
系统误差是可以系统性地被纠正的，但通常需要额外的技术和设备。
2. 随机误差：随机误差是由无法完全控制的外部因素引起的。
它是由于实验条件的变化、人为操作的不稳定等因素引起的。
随机误差通常会导致实验结果的波动，无法被系统性地消除，但可以通过多次重复实验来减小它的影响。
通过进行统计分析，可以得到随机误差的范围和对实验结果的影响。
3. 人为误差：人为误差是由于实验人员的错误或观察不准确而引起的。
它可能是由于实验者对操作方法的理解错误、不恰当的技术操作、过程中的分心或疏忽等原因导致的。
为了减小人为误差的影响，实验人员应该严格遵循实验方案、正确操作仪器、严密记录实验过程和结果，并谨慎观察记录实验现象。
4. 传递误差：传递误差是由于多个测量值相互关联而引起的。
在一些实验中，实验结果可能是通过对一系列测量值进行计算得出的，每个测量值都可能存在一定的误差。
当这些测量值相互关联时，误差可能会在计算过程中传递，从而导致最终结果的误差。
在使用这些计算结果时，需要注意传递误差的影响。
为了准确地衡量和处理误差，科学家们开发了一些方法和技术：1. 系统性校正：通过运用更准确的实验仪器、校正方法或技术，可以修正系统误差。
2. 重复实验：通过多次重复实验，可以减小随机误差。
通过对多次测量结果的统计分析，可以确定真实值所在的范围。
3. 精确记录：实验人员应该详细记录实验过程和结果，包括仪器使用条件、观察时间和观察结果。
这有助于检查实验的可重复性，并确定不确定度。
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误差作用独立性，一个误差结果对其他误差因素无 关，它们构成总误差的独立部分。
可用于已知系统误差的分析计算。
建立不确定度合成法则基本依据，精度分析基础。
传递系数的计算
微分法求传递系数 几何发求传递系数（可通过几何运算和解析
几何计算转化为微分法） 按传动关系确定传递系数（已知一个方向的
传递系数或总的传递系数，求其中一个） 用于y=f(x)测量y求x的传递系数的情况 计算说明定义法和线性叠加法则的误差大小 差别。
E(x1+x2)=E(x1)+E(x2) E(C*x)=C*E(x)
E(x1*x2)=E(x1)*E(x2) 相互独立，协方差为0
D(C)=0 D(C* δ)=C2*D(δ) D (δ 1+ δ 2)=D(δ 1)+D(δ 2)
+D(δ 1, δ 2)
系统误差检验方法 ◄ ◄ ◄
通过实验对比（高精度和等精度） 通过理论分析判断（模型简化） 对测量数据的直接判断（线性和周期） 用统计方法进行判断
此时只有随机误 D(t)
1
差，无系统误差。
nE{[ ln f (x, )]2}
lim P(| t | ) 0
x
区间估计
对于未知数θ，除了要求它的点估计t外，还常常 需要以一定的可靠程度估计出包含真值的某个区 间，以及包含真值的概率。
参数θ若有P{t1< θ<t2}=1-a为置信概率。(t1,t2)为 在置信度P上的置信区间，说明θ有P的概率落在 (t1,t2)范围内。置信区间的上下限常取为对称的。
y f (x1, x2...xn )
f
(
X
1
,
X
2
...X
n
)
(
f x1
)0
(
x1
X
1
)
...
(
f xn
)0
(
xn
Xn)
f
(
X
1
,
X
2
...X
n
)
(
f x1
)0
x1
(
f x2
)0
x2
...
(
f xn
)0
xn
误差传递
y f (x1, x2...xn ) f (X1, X 2...X n )
区间估计有明确的可靠性含义。 置信度的大小应根据具体问题给出，一般取90%
或95%。
正态分 布概率 密度
正态分 布概率 图
随机误差特征
对称性 有界性 抵偿性 σ对f(x)的影响 平均分布 反正弦分布 截尾正态分布 三角分布
三种分布的标准差以及各置信区间 相应的概率
分布 标准差σ P(σ) P(2σ) P(3σ)
绝对误差 真值
绝uuu对uuu误uuu差uu很uuu小ur
绝对误差 测量值
引用误差
示值误差 最大示值
引用误差的规定是 用于仪器精度的评 定。
绝对误差与测量值 相差小时用绝对误 差，相差大时用相 对误差。
误差的普遍意义和关系
测量误差是不可避 免的，只要误差在 一定范围内就认为 是正常的。
减小误差影响，提 高测量精度。
数据处理
误差及不确定度分析
马元明
目录
误差原理与分析计算 ► ► ► 误差原理 误差传递 平均值原理 异常数据剔除
不确定度原理与分析计算► ► ► 不确定度原理 不确定度的合成 不确定度合成例题
回归分析 ► ► ► 直线回归 其他回归
量热误差分析 ► ► ►
误差原理与分析计算
误差原理 ► ► ► 误差传递 ► ► ► 平均值原理 ► ► ► 异常数据剔除 ► ► ►
数据数目少时可靠性差 只能对系统误差存在判断，不能给出数值
误差传递
y f (x1, x2...xn )
y yY
xi xi X i
y y Y f (x1, x2...xn ) f ( X1, X 2...X n )
y y Y f ( X1 x1, X 2 x2...X n xn ) f ( X1, X 2...X n )
对测量结果作出可 靠性评定，即给出 精确度的估计。
相对误 差
绝对误 差
定— 与被测 结果的实
真值
量相同 际误差值
误差分类
系统误差：其值固定不变或按某种确定规 律变化的误差。可重复表现，但规律性并 不一定确知。
随机误差：有正有负，不可预知。具有随 机变量的一切特征，可用统计方法做出估 计，不能“修正”消除。
估计量的评价
无偏性
有效性
设t为未知数参数 分散性用
θ的估计量，若 E[(t- θ)2]衡量。
一致性
估计量t依概 率收敛于θ，
E(t)= θ,则t为θ的 E[(t- θ)2]=D(t)表明 则称t为θ的一
无偏估计量。
无偏估计以方差 致估计量。
表明估计量t的 波动中心为θ，
较小为好，即较 为有效。
f x1
x1
f x2
x2
...
f xn
xn
传递系数Әf/ Әxi按测量值计算。
优点：线性传递，计算简单。
缺点：当展开式高次项不可忽略时，应该按 照定义式计算。
误差传递
当以相对误差表示各误差分量时，其传递关系为
y
1 y
n i 1
f xi
xi
xi
测量结果总误差等于各原始误差乘以传递系数的代 数和——线性叠加法则。
正态分布 Δ(or Δ Δ
仪器)/3
三角分布 Δ (or Δ
Δ仪器)/(6)(1/2)
均匀分布 Δ (or Δ
Δ仪器)/(3)(1/2)
0.683 0.758 0.577
0.955 0.966
1
0.997 1 1
随机误差特征
期望值E(x) 误差的分布中心
方差D(x) 随机波动大小
E(C)=C
绝对误差
测量绝对误差=测量值—真值 示值误差=仪器示值—真值
x x$
真值是指被测量的客观真实值，一般都是未知的。 仅特殊场合已知和最高基准可看作真值。
数据处理统计中将平行测量的期望值作为统计量 的拟定真值，可证明当测量次数无限大时，子样 的统计量是总体的统计量的无偏估计。
相对误差
相对误差
粗大误差：超出正常范围的随机大误差。 在数据中应该去除。
统计量和估计量
设总体以随机变量ξ表示，容量为n的子样以随 机变量(ξ1 ξ2 …ξn)表示。现作子样的实值函数 T=T(ξ1 ξ2… ξn)，则 T(ξ1 ξ2… ξn)也为一随机变量，称T的统计量。
为了估计总体ξ某一参数θ，由子样(ξ1 ξ2 …ξn) 建立不带未知数的某一统计量T(ξ1 ξ2… ξn)，当获 得子样的某一具体观测值(l1 l2… ln)时，算出统计量 的值T(l1 l2… ln)=t，可作为θ估计值，则称T(ξ1 ξ2… ξn)为θ的估计值。