2021-2022年高考数学二轮复习上篇专题整合突破专题一函数与导数不等式第2讲不等式问题练习

2021年高考数学二轮复习上篇专题整合突破专题一函数与导数不等

式第2讲不等式问题练习

一、填空题

1.(xx·苏州调研)已知f (x )＝⎩⎨⎧x 2

＋x （x ≥0），－x 2

＋x （x ＜0），

则不等式f (x 2

－x ＋1)＜12的解集是________.

解析 依题意得，函数f (x )是R 上的增函数，且f (3)＝12，因此不等式f (x 2－x ＋1)＜12等价于x 2－x ＋1＜3，即x 2－x －2＜0，由此解得－1＜x ＜2. 因此，不等式f (x 2

－x ＋1)＜12的解集是(－1，2). 答案 (－1，2)

2.若点A (m ，n )在第一象限，且在直线x 3＋y

4

＝1上，则mn 的最大值是________.

解析 因为点A (m ，n )在第一象限，且在直线x 3＋y 4＝1上，所以m ，n ＞0，且m 3＋n

4

＝1，

所以m 3·n 4≤2

342m n ⎛⎫

+ ⎪ ⎪ ⎪

⎝⎭

⎝ ⎛⎭⎪⎫

当且仅当m 3＝n 4＝12，即m ＝32，n ＝2时，取“＝”，所以m 3·n 4≤⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝1

4，即mn ≤3，所以mn 的最大值为3. 答案 3

3.(xx·苏北四市模拟)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2

＋2x ，x ≥0，

x 2－2x ，x ＜0，

若f (－a )＋f (a )≤2f (1)，则

实数a 的取值范围是________. 解析 f (－a )＋f (a )≤2f (1)⇔

⎩⎨⎧a ≥0，

（－a ）2－2×（－a ）＋a 2

＋2a ≤2×3或 ⎩⎨

⎧a ＜0，

（－a ）2＋2×（－a ）＋a 2－2a ≤2×3 即⎩⎨⎧a ≥0，a 2＋2a －3≤0或⎩⎨⎧a ＜0，a 2－2a －3≤0，

解得0≤a ≤1，或－1≤a ＜0. 故－1≤a ≤1. 答案 [－1，1]

4.已知函数f (x )＝⎩⎨⎧log 3

x ，x ＞0，

⎝ ⎛⎭

⎪⎫13x ，x ≤0，那么不等式f (x )≥1的解集为________.

解析 当x ＞0时，由log 3x ≥1可得x ≥3，当x ≤0时，由⎝ ⎛⎭

⎪⎫13x

≥1可得x ≤0，∴不等

式f (x )≥1的解集为(－∞，0]∪[3，＋∞). 答案 (－∞，0]∪[3，＋∞)

5.(xx·南京、盐城模拟)若x ，y 满足不等式组⎩⎨⎧x ＋2y －2≥0，

x －y ＋1≥0，3x ＋y －6≤0，

则

x 2＋y 2的最小值是

________.

解析 不等式组所表示的平面区域如图阴影部分所示，

x 2＋y 2表示原点(0，0)到此区域内的点P (x ，y )的距离.

显然该距离的最小值为原点到直线x ＋2y －2＝0的距离. 故最小值为|0＋0－2|12＋22＝25

5.

答案

25

5

6.已知当x ＜0时，2x 2－mx ＋1＞0恒成立，则m 的取值范围为________. 解析 由2x 2－mx ＋1＞0，得mx ＜2x 2＋1， 因为x ＜0，所以m ＞2x 2＋1x ＝2x ＋1

x

.

而2x ＋1x ＝－⎣

⎢⎡⎦⎥⎤（－2x ）＋1（－x ）≤－2

（－2x ）×

1

（－x ）

＝－2 2.

当且仅当－2x ＝－1x ，即x ＝－2

2时取等号，

所以m ＞－2 2. 答案 (－22，＋∞)

7.设目标函数z ＝x ＋y ，其中实数x ，y 满足⎩⎨⎧x ＋2y ≥0，

x －y ≤0，0≤y ≤k .

若z 的最大值为12，则z 的

最小值为________.

解析 作出不等式组所表示的可行域如图阴影所示，平移直线x ＋y ＝0，显然当直线过点A (k ，k )时，目标函数z ＝x ＋y 取得最大值，且最大值为k ＋k ＝12，则k ＝6，直线过点B 时

目标函数z ＝x ＋y 取得最小值，点B 为直线x ＋2y ＝0与y ＝6的交点， 即B (－12，6)，所以z min ＝－12＋6＝－6. 答案 －6

8.(xx·泰州调研)已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋1

y

＝1，若x ＋2y ＞m 2＋2m 恒成立，则实数m

的取值范围为________.

解析 记t ＝x ＋2y ，由不等式恒成立可得m 2＋2m ＜t min . 因为2x ＋1y

＝1，所以t ＝x ＋2y ＝(x ＋2y )⎝ ⎛⎭

⎪⎫2x ＋1y ＝

4＋4y x ＋x y

.

而x ＞0，y ＞0，所以4y x ＋x

y ≥2

4y

x

·x y

＝4(当且仅当4y x

＝x

y

，即x ＝2y 时取等号). 所以t ＝4＋4y x ＋x

y

≥4＋4＝8，即t min ＝8.

故m 2＋2m ＜8，即(m －2)(m ＋4)＜0.解得－4＜m ＜2. 答案 (－4，2) 二、解答题

9.(xx·苏北四市调研)某单位拟建一个扇环面形状的花坛(如图所示)，该扇环面是由以点O 为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点

O 的两条直线段围成.按设计要求扇环面的周长为30米，其中大圆弧所在圆的半径为

10米.设小圆弧所在圆的半径为x 米，圆心角为θ(弧度). (1)求θ关于x 的函数关系式；

(2)已知在花坛的边缘(实线部分)进行装饰时，直线部分的装饰费用为4元/米，弧线部分的装饰费用为9元/米.设花坛的面积与装饰总费用的比为y ，求y 关于x 的函数关系式，并求出x 为何值时，y 取得最大值？

解 (1)设扇环的圆心角为θ，则30＝θ(10＋x )＋2(10－x )，所以θ＝10＋2x 10＋x

(0＜x