2021-2022年高考数学二轮复习上篇专题整合突破专题一函数与导数不等式第2讲不等式问题练习
高考数学二轮复习 专题一 专题整合突破 第1讲 函数与导数 不等式 讲义
第1讲 函数图象与性质及函数与方程高考定位 1.高考仍会以分段函数、二次函数、指数函数、对数函数为载体，考查函数的定义域、函数的最值与值域、函数的奇偶性、函数的单调性，或者综合考查函数的相关性质.2.对函数图象的考查主要有两个方面：一是识图，二是用图，即利用函数的图象，通过数形结合的思想解决问题.3.以基本初等函数为依托，考查函数与方程的关系、函数零点存在性定理、数形结合思想，这是高考考查函数的零点与方程的根的基本方式．真 题 感 悟1．(2015·安徽卷)下列函数中，既是偶函数又存在零点的是( ) A ．y ＝cos x B ．y ＝sin x C ．y ＝ln xD ．y ＝x 2＋1解析 由于y ＝sin x 是奇函数；y ＝ln x 是非奇非偶函数；y ＝x 2＋1是偶函数但没有零点；只有y ＝cos x 是偶函数又有零点． 答案 A2．(2015·全国Ⅱ卷)设函数f (x )＝⎩⎨⎧1＋log 2（2－x ），x ＜1，2x －1，x ≥1，则f (－2)＋f (log 212)＝( )A ．3B ．6C ．9D ．12解析 因为－2＜1，log 212＞log 28＝3＞1，所以f (－2)＝1＋log 2[2－(－2)]＝1＋log 24＝3，f (log 212)＝1212log 2-＝122log 2×2－1＝12×12＝6，故f (－2)＋f (log 212)＝3＋6＝9，故选C.答案 C3．(2015·北京卷)如图，函数f (x )的图象为折线ACB ，则不等式f (x )≥log 2(x ＋1)的解集是( )A ．{x |－1＜x ≤0}B ．{x |－1≤x ≤1}C ．{x |－1＜x ≤1}D ．{x |－1＜x ≤2}解析 如图，由图知：f (x )≥log 2(x ＋1)的解集为{x |－1<x ≤1}．答案 C4．(2015·山东卷)已知函数f (x )＝a x ＋b (a ＞0，a ≠1) 的定义域和值域都是[－1，0]，则a ＋b ＝________．解析 当a ＞1时，f (x )＝a x ＋b 在定义域上为增函数，∴⎩⎨⎧a －1＋b ＝－1，a 0＋b ＝0，方程组无解； 当0＜a ＜1时，f (x )＝a x ＋b 在定义域上为减函数， ∴⎩⎨⎧a －1＋b ＝0，a 0＋b ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝－2.∴a ＋b ＝－32. 答案 －32考 点 整 合1．函数的性质(1)单调性：证明函数的单调性时，规范步骤为取值、作差、变形、判断符号和下结论．可以用来比较大小，求函数最值，解不等式，证明方程根的唯一性； (2)奇偶性：①若f (x )是偶函数，那么f (x )＝f (－x )；②若f (x )是奇函数，0在其定义域内，则f (0)＝0；③奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性，偶函数在对称的单调区间内有相反的单调性；(3)周期性：①若y ＝f (x )对x ∈R ，f (x ＋a )＝f (x －a )或f (x －2a )＝f (x )(a ＞0)恒成立，则y ＝f (x )是周期为2a 的周期函数；②若y ＝f (x )是偶函数，其图象又关于直线x ＝a 对称，则f (x )是周期为2|a |的周期函数；③若y ＝f (x )是奇函数，其图象又关于直线x ＝a 对称，则f (x )是周期为4|a |的周期函数；④若f (x ＋a )＝－f (x )⎝ ⎛⎭⎪⎫或f （x ＋a ）＝1f （x ），则y ＝f (x )是周期为2|a |的周期函数． 2．函数的图象对于函数的图象要会作图、识图和用图，作函数图象有两种基本方法：一是描点法；二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换和对称变换． 3．函数的零点与方程的根 (1)函数的零点与方程根的关系函数F (x )＝f (x )－g (x )的零点就是方程f (x )＝g (x )的根，即函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝g (x )的图象交点的横坐标． (2)零点存在性定理 注意以下两点：①满足条件的零点可能不唯一； ②不满足条件时，也可能有零点.热点一 函数性质的应用[微题型1] 单一考查函数的奇偶性、单调性、对称性【例1－1】 (1)(2015·全国Ⅰ卷)若函数f (x )＝x ln(x ＋a ＋x 2)为偶函数，则a ＝________．(2)(2015·济南三模)已知实数x ，y 满足a x ＜a y (0＜a ＜1)，则下列关系式恒成立的是( ) A.1x 2＋1＞1y 2＋1B ．ln(x 2＋1)＞ln(y 2＋1)C ．sin x ＞sin yD ．x 3＞y 3(3)设f (x )＝⎩⎨⎧2x ＋2，x ＜1，－ax ＋6，x ≥1(a ∈R )的图象关于直线x ＝1对称，则a 的值为( )A ．－1B ．1C ．2D ．3 解析 (1)f (x )为偶函数，则ln(x ＋a ＋x 2)为奇函数， 所以ln(x ＋a ＋x 2)＋ln(－x ＋a ＋x 2)＝0， 即ln(a ＋x 2－x 2)＝0，∴a ＝1.(2)∵a x ＜a y ，0＜a ＜1，∴x ＞y ，∴x 3＞y 3.(3)由函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，得f (0)＝f (2)，即2＝－2a ＋6，解得a ＝2.故选C.答案 (1)1 (2)D (3)C探究提高 第(3)小题将对称问题转化为点的对称，从而很容易地解决问题，本题也可借助于图象的斜率解决．[微题型2] 综合考查函数的奇偶性、单调性、周期性【例1－2】 (1)(2015·湖南卷)设函数f (x )＝ln(1＋x )－ln(1－x )，则f (x )是( ) A ．奇函数，且在(0，1)上是增函数 B. 奇函数，且在(0，1)上是减函数 C. 偶函数，且在(0，1)上是增函数 D ．偶函数，且在(0，1)上是减函数(2)(2015·文登模拟)已知偶函数f (x )在[0，＋∞)单调递减，f (2)＝0.若f (x －1)＞0，则x 的取值范围是________．解析 (1)易知函数定义域为(－1，1)，f (－x )＝ln(1－x )－ln(1＋x )＝－f (x )，故函数f (x )为奇函数，又f (x )＝ln 1＋x 1－x ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1－2x －1，由复合函数单调性判断方法知，f (x )在(0，1)上是增函数，故选A.(2)∵f (x )是偶函数，∴图象关于y 轴对称． 又f (2)＝0，且f (x )在[0，＋∞)单调递减，则f(x)的大致图象如图所示，由f(x－1)＞0，得－2＜x－1＜2，即－1＜x＜3.答案(1)A(2)(－1，3)探究提高函数的性质主要是函数的奇偶性、单调性和周期性以及函数图象的对称性，在解题中根据问题的条件通过变换函数的解析式或者已知的函数关系，推证函数的性质，根据函数的性质解决问题．【训练1】(2015·天津卷)已知定义在R上的函数f(x)＝2|x－m|－1(m为实数)为偶函数，记a＝f(log0.53)，b＝f(log25)，c＝f(2m)，则a，b，c的大小关系为() A．a＜b＜c B．a＜c＜bC．c＜a＜b D．c＜b＜a解析因为函数f(x)＝2|x－m|－1为偶函数可知，m＝0，所以f(x)＝2|x|－1，当x＞0时，f(x)为增函数，log0.53＝－log23，∴log25＞|log0.53|＞0，∴b＝f(log25)＞a＝f(log0.53)＞c＝f(2m)，故选C.答案 C热点二函数图象与性质的融合问题[微题型1]函数图象的识别【例2－1】(1)(2015·安徽卷)函数f(x)＝ax＋b（x＋c）2的图象如图所示，则下列结论成立的是()A．a>0，b>0，c<0 B．a<0，b>0，c>0 C．a<0，b>0，c<0 D．a<0，b<0，c<0(2)(2014·江西卷)在同一直角坐标系中，函数y＝ax2－x＋a2与y＝a2x3－2ax2＋x＋a(a∈R)的图象不可能的是()解析 (1)函数定义域为{x |x ≠－c }，结合图象知－c ＞0，∴c ＜0；令x ＝0，得f (0)＝b c 2，又由图象知f (0)＞0，∴b ＞0；令f (x )＝0，得x ＝－b a ，结合图象知－ba ＞0，∴a ＜0.故选C.(2)当a ＝0时，两个函数的解析式分别为y ＝－x ，y ＝x ，故选项D 中的图象是可能的．当a ≠0时，二次函数y ＝ax 2－x ＋a 2的对称轴方程为x ＝12a ，三次函数y ＝a 2x 3－2ax 2＋x ＋a (a ∈R )的导数为y ′＝3a 2x 2－4ax ＋1＝(3ax －1)(ax －1)，令y ′＝0，得其极值点为x 1＝13a ，x 2＝1a .由于13a ＜12a ＜1a (a ＞0)，或者13a ＞12a ＞1a (a ＜0)，即三次函数的极值点在二次函数的对称轴两侧，选项A 、C 中的图象有可能，选项B 中的图象不可能． 答案 (1)C (2)B探究提高 识图时，可从图象与x 轴的交点及左、右、上、下分布范围、变化趋势、对称性等方面找准解析式与图象的对应关系．在探究两个函数的图象位置关系时，要善于根据函数解析式中字母的变化研究函数性质的变化，从而确定两个函数图象的可能位置关系． [微题型2] 函数图象的应用【例2－2】 (1)已知函数f (x )的图象向左平移1个单位后关于y 轴对称，当x 2＞x 1＞1时，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)＜0恒成立，设a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，b ＝f (2)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．c ＞a ＞b B ．c ＞b ＞a C ．a ＞c ＞bD ．b ＞a ＞c(2)(2015·全国Ⅰ卷)设函数f (x )＝e x (2x －1)－ax ＋a ，其中a <1，若存在唯一的整数x 0使得f (x 0)<0，则a 的取值范围是( ) A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－32e ，1 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－32e ，34 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32e ，34 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32e ，1 解析 (1)由于函数f (x )的图象向左平移1个单位后得到的图象关于y 轴对称，故函数y ＝f (x )的图象本身关于直线x ＝1对称，所以a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，当x 2＞x 1＞1时，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)＜0恒成立，等价于函数f (x )在(1，＋∞)上单调递减，所以b ＞a ＞c .选D.(2)设g (x )＝e x (2x －1)，y ＝ax －a ，由题知存在唯一的整数x 0，使得g (x 0)在直线y ＝ax －a 的下方，因为g ′(x )＝e x (2x ＋1)，所以当x <－12时，g ′(x )<0，当x >－12时，g ′(x )>0，所以当x ＝－12时，[g (x )]min ＝－2e －12，当x ＝0时，g (0)＝－1，当x ＝1时，g (1)＝e>0，直线y ＝a (x －1)恒过(1，0)，则满足题意的唯一整数x 0＝0， 故－a >g (0)＝－1，且g (－1)＝－3e －1≥－a －a ，解得32e ≤a <1，故选D.答案 (1)D (2)D探究提高 (1)运用函数图象解决问题时，先要正确理解和把握函数图象本身的含义及其表示的内容，熟悉图象所能够表达的函数的性质．(2)在研究函数性质特别是单调性、最值、零点时，要注意用好其与图象的关系，结合图象研究．【训练2】 (2015·泰安诊断)已知f (x )＝2x －1，g (x )＝1－x 2，规定：当|f (x )|≥g (x )时，h (x )＝|f (x )|；当|f (x )|＜g (x )时，h (x )＝－g (x )，则h (x )( ) A ．有最小值－1，最大值1B ．有最大值1，无最小值C ．有最小值－1，无最大值D ．有最大值－1，无最小值解析 由题意得，利用平移变化的知识画出函数|f (x )|，g (x )的图象如图，而h (x )＝⎩⎨⎧|f （x ）|，|f （x ）|≥g （x ），－g （x ），|f （x ）|＜g （x ），故h (x )有最小值－1，无最大值． 答案 C热点三 以函数零点为背景的函数问题 [微题型1] 函数零点个数的求解【例3－1】 (2015·广东卷)设a 为实数，函数f (x )＝(x －a )2＋|x －a |－a (a －1)． (1)若f (0)≤1，求a 的取值范围； (2)讨论f (x )的单调性；(3)当a ≥2时，讨论f (x )＋4x 在区间(0，＋∞)内的零点个数．解 (1)f (0)＝a 2＋|a |－a 2＋a ＝|a |＋a ，因为f (0)≤1，所以|a |＋a ≤1，当a ≤0时，|a |＋a ＝－a ＋a ＝0≤1，显然成立； 当a >0时，则有|a |＋a ＝2a ≤1， 所以a ≤12，所以0<a ≤12， 综上所述，a 的取值范围是a ≤12.(2)f (x )＝⎩⎨⎧x 2－（2a －1）x ，x ≥a ，x 2－（2a ＋1）x ＋2a ，x <a .对于u 1＝x 2－(2a －1)x ，其对称轴为x ＝2a －12＝a －12<a ，开口向上，所以f (x )在(a ，＋∞)上单调递增；对于u 2＝x 2－(2a ＋1)x ＋2a ，其对称轴为x ＝2a ＋12＝a ＋12>a ，开口向上，所以f (x )在(－∞，a )上单调递减，综上，f (x )在(a ，＋∞)上单调递增，在(－∞，a )上单调递减．(3)由(2)得f (x )在(a ，＋∞)上单调递增，在(0，a )上单调递减，所以f (x )min ＝f (a )＝a －a 2.(ⅰ)当a ＝2时，f (x )min ＝f (2)＝－2，f (x )＝⎩⎨⎧x 2－3x ，x ≥2，x 2－5x ＋4，x <2，令f (x )＋4x ＝0，即f (x )＝－4x (x >0)，因为f (x )在(0，2)上单调递减，所以f (x )>f (2)＝－2， 而y ＝－4x 在(0，2)上单调递增，y <f (2)＝－2， 所以y ＝f (x )与y ＝－4x 在(0，2)无交点．当x ≥2时，f (x )＝x 2－3x ＝－4x ，即x 3－3x 2＋4＝0，所以x 3－2x 2－x 2＋4＝0，所以(x －2)2(x ＋1)＝0，因为x ≥2，所以x ＝2，即当a ＝2时，f (x )＋4x 有一个零点x ＝2.(ⅱ)当a >2时，f (x )min ＝f (a )＝a －a 2，当x ∈(0，a )时，f (0)＝2a >4，f (a )＝a －a 2，而y ＝－4x 在x ∈(0，a )上单调递增， 当x ＝a 时，y ＝－4a ，下面比较f (a )＝a －a 2与－4a 的大小，因为a －a 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫－4a ＝－（a 3－a 2－4）a＝－（a －2）（a 2＋a ＋2）a <0，所以f (a )＝a －a 2<－4a .结合图象不难得当a >2时，y ＝f (x )与y ＝－4x 有两个交点，综上，当a ＝2时，f (x )＋4x 有一个零点x ＝2；当a >2时，y ＝f (x )与y ＝－4x 有两个零点．探究提高 在解决函数与方程问题中的函数的零点问题时，要学会掌握转化与化归思想的运用．如本题直接根据已知函数求函数的零点个数难度很大，也不是初等数学能轻易解决的，所以遇到此类问题的第一反应就是转化已知函数为熟悉的函数，再利用数形结合求解．[微题型2] 由函数零点(或方程根)的情况求参数【例3－2】(2015·天津卷)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2－|x |，x ≤2，（x －2）2，x ＞2，函数g (x )＝b －f (2－x )，其中b ∈R ，若函数y ＝f (x )－g (x )恰有4个零点，则b 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫74，＋∞ B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，74 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，74 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫74，2 解析 记h (x )＝－f (2－x )在同一坐标系中作出f (x )与h (x )的图象如图，直线AB ：y ＝x －4，当直线l ∥AB 且与f (x )的图象相切时，由⎩⎨⎧y ＝x ＋b ′，y ＝（x －2）2，解得b ′＝－94， －94－(－4)＝74，同理，y 轴左侧也有相同的情况．所以曲线h (x )向上平移74个单位后，y 轴左右各有2个交点，所得图象与f (x )的图象有四个公共点，平移2个单位时，两图象有无数个公共点，因此，当74＜b ＜2时，f (x )与g (x )的图象有四个不同的交点，即y ＝f (x )－g (x )恰有4个零点．选D.答案 D探究提高 利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法 (1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解． (2)分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解．(3)转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解． 【训练3】 (2015·德州模拟)已知函数f (x )＝1x ＋2－m |x |有三个零点，则实数m 的取值范围为________．解析 函数f (x )有三个零点等价于方程1x ＋2＝m |x |有且仅有三个实根．∵1x ＋2＝m |x |⇔1m ＝|x |(x ＋2)，作函数y ＝|x |(x ＋2)的图象，如图所示，由图象可知m 应满足0＜1m ＜1，故m ＞1. 答案 (1，＋∞)1．解决函数问题忽视函数的定义域或求错函数的定义域，如求函数f (x )＝1x ln x 的定义域时，只考虑x ＞0，忽视ln x ≠0的限制．2．函数定义域不同，两个函数不同；对应关系不同，两个函数不同；定义域和值域相同，也不一定是相同的函数．3．如果一个奇函数f (x )在原点处有意义，即f (0)有意义，那么一定有f (0)＝0. 4．奇函数在两个对称的区间上有相同的单调性，偶函数在两个对称的区间上有相反的单调性．5．函数的图象和解析式是函数关系的主要表现形式，它们的实质是相同的，在解题时经常要互相转化．在解决函数问题时，尤其是较为繁琐的(如分类讨论求参数的取值范围等)问题时，要注意充分发挥图象的直观作用．6．不能准确把握基本初等函数的形式、定义和性质．如讨论指数函数y ＝a x (a ＞0，a ≠1)的单调性时，不讨论底数的取值；忽视a x ＞0的隐含条件；幂函数的性质记忆不准确等．7．判断函数零点个数的方法有：(1)直接求零点；(2)零点存在性定理；(3)数形结合法．8．对于给定的函数不能直接求解或画出图形，常会通过分解转化为两个函数图象，然后数形结合，看其交点的个数有几个，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点.一、选择题1．(2015·广东卷)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( ) A ．y ＝x ＋e xB ．y ＝x ＋1x C ．y ＝2x ＋12xD ．y ＝1＋x 2解析 令f (x )＝x ＋e x ，则f (1)＝1＋e ，f (－1)＝－1＋e －1，即f (－1)≠f (1)，f (－1)≠－f (1)，所以y ＝x ＋e x 既不是奇函数也不是偶函数，而B ，C ，D 依次是奇函数、偶函数、偶函数，故选A. 答案 A2．函数f (x )＝log 2x －1x 的零点所在的区间为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 C ．(1，2)D ．(2，3)解析 函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数． f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝log 212－112＝－1－2＝－3＜0， f (1)＝log 21－11＝0－1＜0，f (2)＝log 22－12＝1－12＝12＞0，f (3)＝log 23－13＞1－13＝23＞0，即f (1)·f (2)＜0， ∴函数f (x )＝log 2x －1x 的零点在区间(1，2)内． 答案 C3．(2014·山东卷)已知函数f (x )＝|x －2|＋1，g (x )＝kx .若方程f (x )＝g (x )有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 C ．(1，2)D ．(2，＋∞)解析 由f (x )＝g (x )，∴|x －2|＋1＝kx ，即|x －2|＝kx －1，所以原题等价于函数y ＝|x －2|与y ＝kx －1的图象有2个不同交点． 如图：∴y ＝kx －1在直线y ＝x －1与y ＝12x －1之间， ∴12＜k ＜1，故选B. 答案 B4．(2015·山东卷)设函数f (x )＝⎩⎨⎧3x －1，x ＜1，2x ，x ≥1，则满足f (f (a ))＝2f (a )的a 取值范围是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，1 B ．[0，1] C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞ D ．[1，＋∞)解析 当a ＝2时，f (a )＝f (2)＝22＝4＞1，f (f (a ))＝2f (a )，∴a ＝2满足题意，排除A ，B 选项；当a ＝23时，f (a )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝3×23－1＝1，f (f (a ))＝2f (a )，∴a ＝23满足题意，排除D 选项，故答案为C. 答案 C5．(2015·全国Ⅱ卷)如图，长方形ABCD 的边AB ＝2，BC ＝1，O 是AB 的中点，点P 沿着边BC ，CD 与DA 运动，记∠BOP ＝x .将动点P 到A ，B 两点距离之和表示为x 的函数f (x )，则y ＝f (x )的图象大致为( )解析 当点P 沿着边BC 运动，即0≤x ≤π4时，在Rt △POB 中，|PB |＝|OB |tan ∠POB ＝tan x ，在Rt △P AB 中，|P A |＝|AB |2＋|PB |2＝4＋tan 2x ，则f (x )＝|P A |＋|PB |＝4＋tan 2x ＋tan x ，它不是关于x 的一次函数，图象不是线段，故排除A 和C ； 当点P 与点C 重合，即x ＝π4时，由上得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝4＋tan 2π4＋tan π4＝5＋1，又当点P 与边CD 的中点重合，即x ＝π2时，△P AO 与△PBO 是全等的腰长为1的等腰直角三角形，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝|P A |＋|PB |＝2＋2＝22，知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，故又可排除D.综上，选B. 答案 B 二、填空题6．(2015·福建卷)若函数f (x )＝⎩⎨⎧－x ＋6，x ≤2，3＋log a x ，x ＞2(a ＞0，且a ≠1)的值域是[4，＋∞)，则实数a 的取值范围是________．解析 由题意f (x )的图象如图，则⎩⎨⎧a ＞1，3＋log a 2≥4，∴1＜a ≤2.答案 (1，2]7．(2015·青州模拟)若函数f (x )＝⎩⎨⎧2x－a ，x ≤0，ln x ，x ＞0有两个不同的零点，则实数a 的取值范围是________．解析 当x ＞0时，由f (x )＝ln x ＝0，得x ＝1. 因为函数f (x )有两个不同的零点，则当x ≤0时， 函数f (x )＝2x －a 有一个零点，令f (x )＝0得a ＝2x ， 因为0＜2x ≤20＝1，所以0＜a ≤1， 所以实数a 的取值范围是0＜a ≤1. 答案 (0，1]8．已知函数y ＝f (x )是R 上的偶函数，对∀x ∈R 都有f (x ＋4)＝f (x )＋f (2)成立．当x 1，x 2∈[0，2]，且x 1≠x 2时，都有f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2＜0，给出下列命题：①f (2)＝0；②直线x ＝－4是函数y ＝f (x )图象的一条对称轴； ③函数y ＝f (x )在[－4，4]上有四个零点； ④f (2 014)＝0.其中所有正确命题的序号为________．解析 令x ＝－2，得f (－2＋4)＝f (－2)＋f (2)，解得f (－2)＝0，因为函数f (x )为偶函数，所以f (2)＝0，①正确；因为f (－4＋x )＝f (－4＋x ＋4)＝f (x )，f (－4－x )＝f (－4－x ＋4)＝f (－x )＝f (x )，所以f (－4＋x )＝f (－4－x )，即x ＝－4是函数f (x )的一条对称轴，②正确；当x 1，x 2∈[0，2]，且x 1≠x 2时，都有f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2＜0，说明函数f (x )在[0，2]上是单调递减函数，又f (2)＝0，因此函数f (x )在[0，2]上只有一个零点，由偶函数知函数f (x )在[－2，0]上也只有一个零点，由f (x ＋4)＝f (x )，知函数的周期为4，所以函数f (x )在(2，4]与[－4，－2)上也单调，因此，函数在[－4，4]上只有2个零点，③错；对于④，因为函数的周期为4，即有f (2)＝f (6)＝f (10)＝…＝f (2 014)＝0，④正确． 答案 ①②④ 三、解答题9．定义在[－1，1]上的奇函数f (x )，已知当x ∈[－1，0]时，f (x )＝14x －a2x (a ∈R )． (1)写出f (x )在[0，1]上的解析式； (2)求f (x )在[0，1]上的最大值．解 (1)∵f (x )是定义在[－1，1]上的奇函数， ∴f (0)＝0，∴a ＝1，∴当x ∈[－1，0]时，f (x )＝14x －12x . 设x ∈[0，1]，则－x ∈[－1，0]， ∴f (－x )＝14－x －12－x ＝4x －2x ， ∵f (x )是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，∴f (x )＝2x －4x . ∴f (x )在[0，1]上的解析式为f (x )＝2x －4x . (2)f (x )＝2x －4x ，x ∈[0，1]，令t ＝2x，t ∈[1，2]，g (t )＝t －t 2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122＋14，∴g (t )在[1，2]上是减函数，∴g (t )max ＝g (1)＝0，即x ＝0，f (x )max ＝0.10．(2015·太原模拟)已知函数f (x )＝ax 2－2ax ＋2＋b (a ≠0)在区间[2，3]上有最大值5，最小值2. (1)求a ，b 的值；(2)若b ＜1，g (x )＝f (x )－2m x 在[2，4]上单调，求m 的取值范围． 解 (1)f (x )＝a (x －1)2＋2＋b －a . ①当a ＞0时，f (x )在[2，3]上为增函数， 故⎩⎨⎧f （3）＝5，f （2）＝2⇒⎩⎨⎧9a －6a ＋2＋b ＝5，4a －4a ＋2＋b ＝2⇒⎩⎨⎧a ＝1，b ＝0. ②当a ＜0时，f (x )在[2，3]上为减函数，故⎩⎨⎧f （3）＝2，f （2）＝5⇒⎩⎨⎧9a －6a ＋2＋b ＝2，4a －4a ＋2＋b ＝5⇒⎩⎨⎧a ＝－1，b ＝3. 故⎩⎨⎧a ＝1，b ＝0或⎩⎨⎧a ＝－1，b ＝3. (2)∵b ＜1，∴a ＝1，b ＝0，即f (x )＝x 2－2x ＋2， g (x )＝x 2－2x ＋2－2m x ＝x 2－(2＋2m )x ＋2.若g (x )在[2，4]上单调，则2＋2m 2≤2或2m ＋22≥4， ∴2m ≤2或2m ≥6，即m ≤1或m ≥log 26. 故m 的取值范围是(－∞，1]∪[log 26，＋∞)．11．已知函数f (x )＝－x 2＋2e x ＋m －1，g (x )＝x ＋e 2x (x ＞0)．(1)若g (x )＝m 有实根，求m 的取值范围；(2)确定m 的取值范围，使得g (x )－f (x )＝0有两个相异实根． 解 (1)∵x ＞0，∴g (x )＝x ＋e 2x ≥2e 2＝2e ， 等号成立的条件是x ＝e.故g (x )的值域是[2e ，＋∞)，因而只需m ≥2e ，则g (x )＝m 就有实根．故m ∈[2e ，＋∞)．(2)若g (x )－f (x )＝0有两个相异的实根，即g (x )＝f (x )中函数g (x )与f (x )的图象有两个不同的交点，作出g (x )＝x ＋e 2x(x ＞0)的大致图象．∵f (x )＝－x 2＋2e x ＋m －1＝－(x －e)2＋m －1＋e 2. 其对称轴为x ＝e ，开口向下，最大值为m －1＋e 2. 故当m －1＋e 2＞2e ， 即m ＞－e 2＋2e ＋1时， g (x )与f (x )有两个交点，即g(x)－f(x)＝0有两个相异实根．∴m的取值范围是(－e2＋2e＋1，＋∞)．。
2021-2022年高考数学二轮复习 专题1 集合、常用逻辑用语、函数与导数 第三讲 函数与方程及函
2021年高考数学二轮复习专题1 集合、常用逻辑用语、函数与导数第三讲函数与方程及函数的实际应用理1．函数的零点．(1)定义：对于函数y＝f(x)，方程f(x)＝0的实根叫做函数的零点，函数的零点是一个实数而不是一个点．(2)性质：对于任意函数，只要它的图象是连续不断的，其函数的零点具有下列性质：①当它通过零点(不是偶次零点)时函数值变号；②相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．2．函数的零点与方程的根的关系．函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点就是方程f(x)＝g(x)的实根，即函数y＝f(x)的图象与函数y＝g(x)的图象交点的横坐标．3．函数有零点的判定．如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)＜0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．1．二分法的定义．对于在区间[a，b]上连续不断，且f(a)·f(b)＜0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点的近似值的方法，叫做二分法．2．用二分法求函数零点的近似值的步骤．(1)确定区间[a，b]，验证f(a)·f(b)＜0，给定精确度ε；(2)求区间(a，b)的中点x1；(3)计算f(x1)；①若f(x1)＝0，则x1就是函数的零点，②若f(a)·f(x1)＜0，则令b＝x1[此时零点x0∈(a，x1)]，③若f(x1)·f(b)＜0，则令a＝x1[此时零点x0∈(x1，b)]．(4)判断是否达到其精确度ε，即|a－b|＜ε，则得零点近似值a(或b)，否则重复以上步骤．3．建立函数模型解函数应用题的过程．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．(1)函数y ＝2x 的函数值比y ＝x 2的函数值大．(×) (2)幂函数增长比直线增长更快．(×) (3)不存在x 0，使ax 0<x n0<log a x 0.(×)(4)美缘公司xx 年上市的一种化妆品，由于脱销，在xx 年曾提价25%，xx 年想要恢复成原价，则应降价25%.(√)(5)某种商品进价为每件100元，按进价增加25%出售，后因库存积压降价，若按九折出售，则每件还能获利．(√)(6)f (x )＝x 2，g (x )＝2x ，h (x )＝log 2x ，当x ∈(4，＋∞)时，恒有h (x )<f (x )<g (x )．(√)1．已知函数f (x )＝6x－log 2x 在下列区间中，包含f (x )零点的区间是(C )A ．(0，1)B ．(1，2)C ．(2，4)D ．(4，＋∞)解析：因为f (2)＝3－1＞0，f (4)＝32－2＜0，所以由根的存在性定理可知，选C.2．(xx·安徽卷)下列函数中，既是偶函数又存在零点的是(D ) A ．y ＝ln x B ．y ＝x 2＋1 C ．y ＝sin x D ．y ＝cos x解析：A 是非奇非偶函数，故排除；B 是偶函数，但没有零点，故排除；C 是奇函数，故排除；y ＝cos x 是偶函数，且有无数个零点．故选D.3．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－3x ，则函数g (x )＝f (x )－x ＋3的零点的集合为(D )A ．{1，3}B ．{－3，－1，1，3}C ．{2－7，1，3}D ．{－2－7，1，3}解析：因为f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－3x ，所以f (x )＝⎩⎨⎧x 2－3x ，x ≥0，－x 2－3x ，x ＜0， 所以g (x )＝⎩⎨⎧x 2－4x ＋3，x ≥0，－x 2－4x ＋3，x ＜0，由⎩⎨⎧x ≥0，x 2－4x ＋3＝0解得x ＝1或3； 由⎩⎨⎧x ＜0，－x 2－4x ＋3＝0解得x ＝－2－7.所以函数g (x )＝f (x )－x ＋3的零点的集合为{－2－7，1，3}．故选D.4．(xx·北京卷)汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况．下列叙述中正确的是(D)A．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C．甲车以80千米/时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D．某城市机动车最高限速80千米/时．相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油解析：根据图象知消耗1升汽油，乙车最多行驶里程大于5千米，故选项A错；以相同速度行驶时，甲车燃油效率最高，因此以相同速度行驶相同路程时，甲车消耗汽油最少，故选项B错；甲车以80千米/时的速度行驶时燃油效率为10千米/升，行驶1小时，里程为80千米，消耗8升汽油，故选项C错；最高限速80千米/时，丙车的燃油效率比乙车高，因此相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油，故选项D对．一、选择题1．已知0＜a＜1，则函数y＝a|x|－|log a x|的零点的个数为(B)A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．方程log 4x ＋x ＝7的解所在区间是(C ) A ．(1，2) B ．(3，4) C ．(5，6) D ．(6，7)解析：构造函数F (x )＝log 4x ＋x －7，F (5)＝log 45－2＜0，F (6)＝log 46－1＞0，F (x )在(5，6)内有零点，即log 4x ＋x －7＝0在(5，6)内有解．3．方程mx 2＋2(m ＋1)x ＋m ＋3＝0仅有一个负根，则m 的取值范围是(C ) A ．(－3，0) B ．[－3，0) C ．[－3，0] D ．[－1，0]解析：当m ＝0时，由原方程得x ＝－32＜0成立，排除选项A ，B ；当m ＝－3时，原方程变为－3x 2－4x ＝0，两根为x 1＝0，x 2＝－43，也符合题意，故选C.4．(xx·天津卷)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2－|x |，x ≤2，（x －2）2，x ＞2，函数g (x )＝b －f (2－x )，其中b ∈R.若函数y ＝f (x )－g (x )恰有4个零点，则b 的取值范围是(D )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫74，＋∞B.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，74C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，74D.⎝ ⎛⎭⎪⎫74，2 解析：当x >2时，g (x )＝x ＋b －4，f (x )＝(x －2)2； 当0≤x ≤2时，g (x )＝b －x ，f (x )＝2－x ；当x<0时，g(x)＝b－x2，f(x)＝2＋x.由于函数y＝f(x)－g(x) 恰有4个零点，所以方程f(x)－g(x)＝0恰有4个根．当b＝0时，当x>2时，方程f(x)－g(x)＝0可化为x2－5x＋8＝0，无解；当0≤x≤2时，方程f(x)－g(x)＝0可化为2－x－(－x)＝0，无解；当x<0时，方程f(x)－g(x)＝0可化为x2＋x＋2＝0，无解．所以b≠0，排除答案B.当b＝2时，当x>2时，方程f(x)－g(x)＝0可化为(x－2)2＝x－2，得x＝2(舍去)或x＝3，有1解；当0≤x≤2时，方程f(x)－g(x)＝0可化为2－x＝2－x，有无数个解；当x<0时，方程f(x)－g(x)＝0可化为2－x2＝x＋2，得x＝0(舍去)或x＝－1，有1解．所以b≠2，排除答案A.当b＝1时，当x>2时，方程f(x)－g(x)＝0可化为x2－5x＋7＝0，无解；当0≤x≤2时，方程f(x)－g(x)＝0可化为1－x＝2－x，无解；当x<0时，方程f(x)－g(x)＝0可化为x2＋x＋1＝0，无解．所以b≠1，排除答案C.因此答案选D.二、填空题5．下表是函数f (x )在区间[1，2]上一些点的数值.由此可判断，方程f (x )＝0的一个近似解为1.4． (精确度0.1，且近似解保留两位有效数字)解析：∵f (1.438)·f (1.406 5)＜0，且|1.438－1.406 5|＝0.031 5＜0.1，∴f (x )＝0的一个近似解为1.4.6．如图，将边长为1的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形，再沿虚线折起，做成一个无盖的正六棱柱容器．当这个正六棱柱容器的底面边长为23时，其容积最大．解析：设正六棱柱容器的底面边长为x ，高为d ，则d ＝3×12(1－x )；又底面六边形面积为：S ＝6·12·x 2·sin 60°＝332x 2，∴V ＝Sd ＝332x 2·32(1－x )＝94(x 2－x 3)，对V 求导，则V ′＝94(2x －3x 2)，令V ′＝0，解得x ＝0或x ＝23， 当0＜x ＜23时，V ′＞0，V 是增函数；当x ＞23时，V ′＜0，V 是减函数．∴x ＝23时，V 有最大值．7．若关于x 的方程3x 2－5x ＋a ＝0的一个根在(－2，0)内，另一个根在(1，3)内，则a 的取值范围为(－12，0)．解析：设f (x )＝3x 2－5x ＋a ，则⎩⎪⎨⎪⎧f （－2）＞0，f （0）＜0，f （1）＜0，f （3）＞0⇒⎩⎪⎨⎪⎧22＋a ＞0，a ＜0，－2＋a ＜0，12＋a ＞0.解得－12＜a ＜0.8．(xx·安徽卷)在平面直角坐标系xOy 中，若直线y ＝2a 与函数y ＝|x －a |－1的图象只有一个交点，则a 的值为－12． 解析：函数y ＝|x －a |－1的图象如图所示，因为直线y ＝2a 与函数y ＝|x －a |－1的图象只有一个交点，故2a ＝－1，解得a ＝－12.三、解答题9．将一张2×6米的硬钢板按图纸的要求进行操作：沿线裁去阴影部分，把剩余部分按要求焊接成一个有盖的长方体水箱(⑦为底，①②③④为侧面，⑤＋⑥为水箱盖，其中①与③，②与④分别是全等的矩形，且⑤＋⑥＝⑦)，设水箱的高为x 米，容积为y 立方米．(1)写出y 关于x 的函数关系式；(2)如何设计x 的大小，可使得水箱的容积最大？解析：(1)依题意水箱底的宽为(2－2x )米，长为6－2x 2＝(3－x )米．则水箱的容积y ＝(2－2x )(3－x )·x ＝2x 3－8x 2＋6x (0＜x ＜1)，即y 关于x 的函数关系式为y ＝2x 3－8x 2＋6x (0＜x ＜1)．(2)y ＝2x 3－8x 2＋6x (0＜x ＜1)，∴y ′＝6x 2－16x ＋6.令y ′＝6x 2－16x ＋6＝0，得x ＝4－73或x ＝4＋73(舍去)， 当0＜x ＜4－ 73时，y ′＞0，函数单调递增； 当4－ 73＜x ＜1时，y ′＜0，函数单调递减．∴当x ＝4－ 73时，函数y ＝2x 3－8x 2＋6x (0＜x ＜1)取得最大值，即设计水箱的高为4－ 73米时，容积最大． 10．为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y (单位：元)与月处理量x (单位：吨)之间的函数关系可近似的表示为：y ＝12x 2－200x ＋80 000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为200元．(1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？(2)该单位每月能否获利？如果获利，求最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？解析：(1)由题意可知，二氧化碳的每吨平均处理成本为y x ＝12x ＋80 000x－200≥212x ·80 000x －200＝200， 当且仅当12x ＝80 000x，即x ＝400时，等号成立． ∴当月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低，最低成本为200元．(2)设该单位每月获利为S ，则S ＝200x －y＝200x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－200x ＋80 000＝－12x 2＋400x －80 000 ＝－12(x －400)2，x ∈[400，600]． ∵x ∈[400，600]，∴当x ＝400时，S 取值最大值为0.因此，该单位不能获利，最多能收支平衡．当x ＝600时，S ＝－20 000，说明该单位每月最大亏损金额为20 000元，所以国家至少需要每月补贴20 000元才能使该单位不亏损．。
2021-2022年高考数学二轮复习 第一部分 专题一 集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数专题跟
2021年高考数学二轮复习 第一部分 专题一 集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数专题跟踪训练6 文1．(xx·安徽卷)已知函数f (x )＝ax x ＋r2(a >0，r >0)．(1)求f (x )的定义域，并讨论f (x )的单调性；(2)若a r＝400，求f (x )在(0，＋∞)内的极值．[解] (1)由题意知x ≠－r ，所求的定义域为(－∞，－r )∪(－r ，＋∞)．f (x )＝ax x ＋r2＝axx 2＋2rx ＋r 2，f ′(x )＝a x 2＋2rx ＋r 2－ax 2x ＋2rx 2＋2rx ＋r 22＝a r －x x ＋rx ＋r 4，所以当x <－r 或x >r 时， f ′(x )<0，当－r <x <r 时， f ′(x )>0，因此， f (x )的单调递减区间为(－∞，－r )，(r ，＋∞); f (x )的单调递增区间为(－r ，r )．(2)由(1)的解答可知f ′(r )＝0，f (x )在(0，r )上单调递增，在(r ，＋∞)上单调递减．因此，x ＝r 是f (x )的极大值点，所以f (x )在(0，＋∞)内的极大值为f (r )＝ar2r2＝a 4r ＝4004＝100. 2．(xx·济南模拟)设函数f (x )＝x ＋ax 2＋b ln x ，曲线y ＝f (x )过P (1,0)，且在P 点处的切线斜率为2.(1)求a ，b 的值； (2)证明：f (x )≤2x －2.[解] (1)f ′(x )＝1＋2ax ＋b x.由已知条件得⎩⎨⎧f 1＝0，f ′1＝2，即⎩⎨⎧1＋a ＝0，1＋2a ＋b ＝2.解得⎩⎨⎧a ＝－1，b ＝3.(2)证明：因为f (x )的定义域为(0，＋∞)， 由(1)知f (x )＝x －x 2＋3ln x .设g (x )＝f (x )－(2x －2)＝2－x －x 2＋3ln x ， 则g ′(x )＝－1－2x ＋3x＝－x －12x ＋3x.当0<x <1时，g ′(x )>0， 当x >1时，g ′(x )<0.所以g (x )在(0,1)内单调递增， 在(1，＋∞)内单调递减．而g (1)＝0，故当x >0时，g (x )≤0， 即f (x )≤2x －2.3．(xx·东北三校联考)设函数f (x )＝x －4x－a ln x (a ∈R )．(1)若曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与y 轴垂直，求函数f (x )的极值； (2)当a ≤4时，若不等式f (x )≥1在区间[1,4]上有解，求实数a 的取值范围．[解] 函数f (x )的定义域为(0，＋∞)．(1)f ′(x )＝1＋4x 2－a x ＝x 2－ax ＋4x 2，所以f ′(1)＝5－a ，故曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线的斜率等于5－a . 由题意可得5－a ＝0，解得a ＝5.此时，f ′(x )＝x 2－5x ＋4x 2＝x －1x －4x 2.由f ′(x )＝0解得x ＝1或4.f (x )、f ′(x )随x 的变化情况如下表： x (0,1) 1 (1,4) 4 (4，＋∞)f ′(x ) ＋ 0 － 0 ＋ f (x )单调递增极大值单调递减极小值单调递增极小值为f (4)＝4－4－5ln 4＝3－10ln 2.(2)由不等式f (x )≥1在区间[1,4]上有解可知，f (x )在区间[1,4]上的最大值不小于1.由(1)知f ′(x )＝x 2－ax ＋4x2，对于方程x 2－ax ＋4＝0，Δ＝(－a )2－4×1×4＝a 2－16，①当a ∈[－4,4]时，Δ≤0，故f ′(x )≥0恒成立，f (x )在[1,4]上单调递增，故f (x )在[1,4]上的最大值为f (4)＝4－44－a ln 4＝3－2a ln 2，故由f (4)≥1，得3－2a ln 2≥1，解得a ≤1ln 2.又a ∈[－4,4]，所以a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－4，1ln 2.②当a <－4时，Δ>0，f ′(x )＝0的两根为x 1＝a －a 2－162，x 2＝a ＋a 2－162.此时x 1<0，x 2<0，故f (x )在[1,4]上单调递增， 故①知，a ≤1ln 2，又a <－4，故a <－4.综上所述，a 的取值范围为⎝⎛⎦⎥⎤－∞，1ln 2.4．(xx·新课标全国卷Ⅰ)设函数f (x )＝e 2x －a ln x . (1)讨论f (x )的导函数f ′(x )零点的个数； (2)证明：当a >0时， f (x )≥2a ＋a ln 2a.[解] (1)f (x )的定义域为(0，＋∞), f ′(x )＝2e 2x －a x(x >0)．当a ≤0时， f ′(x )>0, f ′(x )没有零点；当a >0时，因为y ＝e 2x 单调递增，y ＝－ax单调递增，所以f ′(x )在(0，＋∞)上单调递增，又f ′(a )>0，当b 满足0<b <a 4且b <14时，f ′(b )<0，故当a >0时， f ′(x )存在唯一零点．(2)证明：由(1)，可设f ′(x )在(0，＋∞)上的唯一零点为x 0，当x ∈(0，x 0)时，f ′(x )<0；当x ∈(x 0，＋∞)时， f ′(x )>0.故f (x )在(0，x 0)上单调递减，在(x 0，＋∞)上单调递增，所以当x ＝x 0时， f (x )取得最小值，最小值为f (x 0)．由于2e 2x 0－a x 0＝0，所以f (x 0)＝a 2x 0＋2ax 0＋a ln 2a ≥2a ＋a ln 2a.故当a >0时， f (x )≥2a ＋a ln 2a.。
高考数学二轮复习专题一函数与导数不等式教案(全国通用)
高考数学二轮复习专题一函数与导数不等式教案(全国通用)x+ a, - K x<0,2.(2021 •江苏卷)设f(x)是定义在R上且周期为2的函数,在区间［—1, 1)上,f(x)= 2其5 9中ae R假设f —万=f万,那么f (5a)的值是5 . 5 八.1 1斛析由 f —1 = f —]+2 = f --2 = --+a,2 1 1二——二=—5 2 10.一一5又「f 一3第1讲函数、函数与方程及函数的应用高考定位高考对本内容的考查主要有：(1)函数的概念和函数的根本性质是B级要求,是重要考点；(2)指数与对数的运算、指数函数与对数函数的图象和性质都是考查热点,要求都是B级；(3)函数与方程是B级要求,但经常与二次函数等根本函数的图象和性质综合起来考查,是重要考点；(4)函数模型及其应用是考查热点,要求是B级；试题类型可能是填空题,也可能在解做题中与函数性质、导数、不等式综合考查^3 2• • f (5 a) = f (3) =f(3 — 4)=f(—1)= — 1 +—=--.5 5入2答案—Z 52八13.(2021 •江苏卷)f(x)是定义在R上且周期为3的函数,当xC［0, 3)时,f(x)= x -2x+-.假设函数y=f(x) - a在区间［—3, 4］上有10个零点(互不相同),那么实数a的取值范围是.1 解析作出函数y = f(x)在［—3, 4］上的图象,f(—3) =f (―2) = f( —1) =f(0) =f(1) =f (2) =f(3) =f(4)=］, (1)观祭图象可得0V av^. (1)答案0, 2、一… 一一. 0, 0vxw 1, ……. …,……4.(2021 •江苏卷)函数f(x) = |ln x| , g(x)= x2小 2 x>［那么万程| f (x)+g(x)| =1实根的个数为—In x, 0vxW1,解析令h(x) = f (x) + g(x),那么h(x) = -x2+ln x+2, 1vxv2,x2+ In x— 6, x>2,21 1 - 2x ............................... .......当1vx<2时,h (x)=—2x+-= ------------------------- < 0,故当 1 vx<2时h(x)单倜递减,在同一坐标系中回出---------------------------------------- y=|h(x)|x xf 2 =f 2-4 =f 2真题感悟1.(2021 •江苏卷)函数y=^/3-2x-x2的定义域是. 解析要使函数有意义,需且仅需3—2x—x2>0,解得—3W xW1.故函数定义域为［—3,1］.答案［—3, 1］和y= 1的图象如图所本.由图象可知|f(x)+g(x)| = 1的实根个数为4.答案4考点整合1 .函数的性质⑴单调性(i )用来比拟大小,求函数最值,解不等式和证实方程根的唯一性^(ii)常见判定方法：①定义法：取值、作差、变形、定号,其中变形是关键,常用的方法有：通分、配方、因式分解；②图象法；③复合函数的单调性遵循“同增异减〞的原那么；④导数法^(2)奇偶性：①假设f(x)是偶函数,那么f(x) =f (―x);②假设f (x)是奇函数,0在其定义域内,那么f(0) =0;③奇函数在关于原点对称的区间内有相同的单调性,偶函数在关于原点对称的区间内有相反的单调性；(3)周期性：常见结论有①假设y=f(x)对xCR, f(x+a) =f(x —a)或f(x—2a) = f(x)( a>0)恒成立,那么y= f(x) 是周期为2a的周期函数；②假设y=f(x)是偶函数,其图象又关于直线x = a对称,那么f (x)是周期为2| a|的周期函数；③假设y=f(x)是奇函数,其图象又关于直线x=a对称,那么f(x)是周期为4|a|的周期函数；④假设f(x + a) =“ 1-f(x)或f (x+ a) =f〜、,那么y=f(x)是周期为2|a|的周期函数. T (X)2 .函数的图象(1)对于函数的图象要会作图、识图和用图,作函数图象有两种根本方法：一是描点法；二是图象变换法,其中图象变换有平移变换、伸缩变换和对称变换^(2)在研究函数性质特别是单调性、值域、零点时,要注意结合其图象研究^3 .求函数值域有以下几种常用方法：(1)直接法；(2)配方法；(3)根本不等式法；(4)单调性法；(5)求导法；(6)别离变量法.除了以上方法外,还有数形结合法、判别式法等.4 .函数的零点问题(1)函数F(x) = f (x) — g(x)的零点就是方程f (x) = g(x)的根,即函数y = f(x)的图象与函数y= g(x)的图象交点的横坐标.(2)确定函数零点的常用方法：①直接解方程法；②利用零点存在性定理；③数形结合,利用两个函数图象的交点求解.5 .应用函数模型解决实际问题的一般程序读题建模求解反应(文字语言)?(数学语言)?(数学应用)?(检验作答)与函数有关的应用题,经常涉及到物价、路程、产值、环保等实际问题,也可涉及角度、面积、体积、造价的最优化问题.解答这类问题的关键是确切的建立相关函数解析式,然后应用函数、方程、不等式和导数的有关知识加以综合解答.热点一函数性质的应用【例1】⑴ 定义在R上的函数f (x) = 21x m —1( m为实数)为偶函数,记a = f (log 0.53), b= f (log 25) ,c = f (2 n),那么a, b, c的大小关系为 (从小到大排序)..一 .,,、 ,一一,一,.一一x+1 , .. ................(2)(2021 •全国n卷改编)函数f(x)(xCR)满足f(—x) = 2 —f(x),假设函数y=——与y= f (x)图象的交点为xm (x1, y1), (x2, y2),…,(x m, y n),那么(x i + y) =i = 1 解析(1)由f(x) =21x—m—1是偶函数可知m= 0, 所以f(x) = 2lx1—1.所以a=f(log 0.53) =2|log 0.53| - 1 = 2log 23-1=2, b= f (log 25) =2110g 25| -1 = 2log 25-1 = 4, c= f (0) = 2|0I -1 = 0,所以c<a<b.1 ,(2)由题设得/(f (x)+f ( —x)) = 1,点(x, f (x))与点(一x, f ( —x))关于点(0 , 1)对称,那么y=f(x)的图象关于点(0, 1)对称.又y=©」=1 + 1, xw0的图象也关于点(0, 1)对称. x x 那么交点(x1, y4, (x2, y2),…,(x m, y m)成对出现,且每一对关于点(0, 1)对称.m m m m 一那么x i y i = x+ y i =0 + 2>< 2= mi =1 i = 1 i =12答案(1) cv a<b (2) m探究提升(1)可以根据函数的奇偶性和周期性,将所求函数值转化为给出解析式的范围内的函数值.(2)利用函数的对称性关键是确定出函数图象的对称中央(对称轴). 【练习1 ] (1)(2021 •全国I卷)假设函数f(x)=x ln( x+^a+x：2)为偶函数,那么a=.x…5, (2)(2021 •四川卷)函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数,当0V x<1时,f(x)=4,那么f —1+f(1)解析(1) f(x)为偶函数,那么ln( x+^/a+x2)为奇函数, 所以ln( x+ 1a + x2) + ln( — x+ 1a+ x2) = 0, 即ln( a+x2—x2) = 0, a= 1.(2)由于f(x)是周期为2的奇函数, 所以f(1) =f(-1) = -f(1),即"1) = 0,5.1 J 1 .2 = f __2 = _ f 2 = - 42 = 2,5 ■从而 f -- + f (1) =- 2. 答案(1)1 (2) -2热点二函数图象的应用2—x +2x, x< 0,【例2】(1)(2021 •苏北四市调研)函数f(x)= 假设|f(x)| >ax,那么实数a的取值范围是ln (x+ 1) , x>0.(2)(2021 •全国I卷改编)设函数f(x) = e x(2x-1)-ax+a,其中a<1,假设存在唯一的整数x.使得f(x0)<0,那么实数a的取值范围是.解析(1)函数y=|f(x)|的图象如图.y= ax为过原点的一条直线,当a>0时,与y=|f(x)|在y轴右侧总有交点,不合题意；当a=0时成立；当a<0时,找与y= | -x2+2x|( xw0)相切的情况,即y' = 2x-2,切线方程为y= (2x0—2)( x—x O),由分析可知x0=0,所以a= —2,综上,a € [ -2, 0].(2)设g( x) = e x(2 x- 1), h(x) = ax—a,由题知存在唯一的整数x0,使得g(x0)v ax0—a,一.. x 一, 1 1由于g (x) = e (2x+ 1),可知g( x)在一0°,--上单倜递减,在一飞+°°上单倜〜,一 , ,一一h (0) >g (0),递增,作出g(x)与h(x)的大致图象如下图,故h (T) w g (― 1),3 所以7;-wa<1.-2a<--, 2ee一 3 ,答案(1)[ —2, 0] (2)瓦,1探究提升(1)涉及到由图象求参数问题时,常需构造两个函数,借助两函数图象求参数范围^(2)图象形象地显示了函数的性质,因此,函数性质确实定与应用及一些方程、不等式的求解常与图象数形结合研究.【练习2】(2021 •苏、锡、常、镇调研 )设奇函数f(x)在(0, +8)上为增函数,且f(2) =0,那么不等式f (x) — f (— x) &…由-------- - --- -- <0的解集为解析由奇函数的定义和f(2)=0得出函数在(一8, 0)上也为增函数.画出函数草图(如―一,口_ _ _ r q _ f…_ ,、“,f(X) f( X) 图),可得在(一2, 0)和(2 , +8)上f(x)>0,在(—8, —2)和(0 , 2)上f (x)<0.当x>0 时,由二------------------------ ------------------------------------------------------------------------------------------------------ ------------------------------------------------------------------------------------------------------x <0,可得f (x) —f ( —x) =2f (x)<0 ,结合图象可知(0, 2)符合；当x<0 时,由f——f—^£l <0,可得f(x) — x f( —x) =2f(x)>0 ,结合图象可知(—2, 0)符合.答案(—2, 0) U (0 , 2)热点三函数与方程问题［微题型1］函数零点个数的求解_. . _ ........... 一,, 2x 兀......... 【例3—1］ (2021 •南东、盐城模拟)函数f(x) = 4cos'・ cos —■ —x - 2sin x- |ln( x+1)|的零点个数为..2x 2x解析f (x) = 4cos ^sin x— 2sin x— |ln( x+1)| =2sin x - 2cos -- 1 — |ln( x+ 1)| =sin 2 x— |ln( x+1)| ,令f(x)=0,得sin 2 x= |ln( x+1)|.在同一坐标系中彳^出两个函数y = sin 2 x与函数y= |ln( x+1)|的大致图象如下图.g( x) = f (x) —b.假设存在实数b,使得函数g(x)恰有3个零点,那么实数a的取值范围为... ...... ....... 2 — | x| , XW2, 一、…一,, , . _ 4一、… 一一, (2)函数f(x)= ( 2)2 〉2 函数g(x) = b—f (2 —x),其中bC R,右函数y=f (x) —g(x)恰有4个零点,那么b的取值范围是.一x— 1 一, 一, 2— x , , , ,r I 一,一, 一、,解析(1)当f(x)=L时,f (x) =-L,由f (x)=0 得x=2,且当xv2 时,f (x) >0, f(x)单倜递增, e e当x>2时,f' (x)<0, f(x)单调递减,那么当x= 2时,f(x)有极大值f(2) =2.当一x—1=」时,x= — 1 —▲. ee e1结合图象可得当存在头数b使得g(x) =f (x) —b恰有3个零点时,一1—q2〈av2.e(2)函数y = f(x) — g(x)恰有4 个零点,即方程f(x) -g(x) =0,即b=f(x) + f (2 —x)有4 个不同实数根,即直线y= b与函数y= f(x)+ f (2 — x)的图象有4个不同的交点,又y = f(x) + f(2 -x)=x2+x+ 2, x<0,2, 0<x<2, 作出该函数的图象如下图,2x — 5x+ 8, x>2,由图可知,当(vbvZ时,直线y = b与函数y=f (x)+ f (2 —x)的图象有4个不同的交点,故函数y = f(x) —g(x) 恰有4个零点时,b的取值范围是7 2 .一,1八7八答案⑴-1谆,2 (2) 7 2探究提升利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法(1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解.(2)别离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解.(3)转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题,从而构建不等式求解^【练习3】(2021 •泰州调研)设函数f(x)=x2+3x+ 3—a • e x(a为非零实数),假设f (x)有且仅有一个零点,那么a观察图象可知,两函数图象有2个交点,故函数f(x)有2个零点.答案2探究提升解决这类问题的常用方法有解方程法、利用零点存在的判定或数形结合法,尤其是求解含有绝对值、分式、指数、对数、三角函数式等较复杂的函数零点问题,常转化为熟悉的两个函数图象的交点问题求解［微题型2］由函数的零点(或方程的根)求参数x- 1-x—, x>a,【例3—2］ (1)(2021 •南京三模)设函数f(x)= e-x- 1, x< a,的取值范围为2人r. H x +3x+3解析令f(x)=0,可得 ---------- x ---- = a,,令g' (x) >0,可得x C ( — 1, 0),令g' ( x) V 0,可得x C (—e2 .令g(x) =- --- x^一,贝u g,(x) =e00, — 1) U (0 , +°°),所以g(x)在(一1, 0)上单调递增,在(一00, — 1)和(0, +°°)上单调递减.由题意知函数(2x+3) - e x- e x - (x2+3x+3) x (x+1)/ x、 2(e)那么仓库容积V= ；x • 2(62- x2) + 2(62-x2) - 4x = 3yx(36 — x2).由V' = 0 得x= 2寸3或x=- 2^3(舍去). 由实际意义知V在x= 2小(m)时取到最大值, 故当PO= 2?3(m)时,仓库容积最大.探究提升(1)关于解决函数的实际应用问题,首先要在阅读上下功夫,一般情况下,应用题文字表达比拟长, 要耐心、细心地审清题意,弄清各量之间的关系,再建立函数关系式,然后借助函数的知识求解,解答后再回到实际问题中去. (2)对函数模型求最值的常用方法：单调,f法、根本不等式法及导数法^【练习4】(2021 •南京学情调研)某市对城市路网进行改造,拟在原有a个标段(注：一个标段是指一定长度的机动车道)的根底上,新建x个标段和n个道路交叉口,其中n与x满足n=ax+ 5.新建一个标段的造价为m 万元,新建一个道路交叉口的造价是新建一个标段的造价的k倍.(1)写出新建道路交叉口的总造价y(万元)与x的函数关系式；(2)设P是新建标段的总造价与新建道路交叉口的总造价之比.假设新建的标段数是原有标段数的20%且k>3.问：P能否大于20,说明理由.* 解(1)依题息得y= mkn= mk ax+ 5) , x C N.(2)法一依题意x=0.2a,y=g(x)的图象与直线y= a有且仅有一个交点,结合y = g( x)及y= a的图象可得aC(0, e)U(3, +^). 答案(0 , e) U(3, +8)热点四函数的实际应用问题【例4】(2021 •江苏卷)现需要设计一个仓库, 它由上下两局部组成,上局部的形状是正四棱车B P— ABCD,下局部的形状是正四棱柱ABCDAiBCD(如下图),并要求正四棱柱的高OO是正四棱锥的高PO的4倍.(1)假设AB= 6 m, PO= 2 m,那么仓库的容积是多少？(2)假设正四棱锥的侧棱长为6 m,那么当PO为多少时,仓库的容积最大？所以P=mxy一xk (ax+5)a<——----- -3 (a + 25)____ ____ 1P不可能大于人.解(1) V= 3x 62X2+62X 2X4 = 312(m3).(2)设PO=x,那么OB=g62—x2, B I G=^/2• 462 —x2, ・•.S正方形A I BCD=2(62—x2).又由题意可得下面正四棱柱的高为4x,0.2 a ak (0.2a2+5) =k (a2+25)1 1 1 1---- T W------ d=_ = V25 : 2530 203 a+T r2、"飞法二依题意x=0.2a,mx x 0.2 a a所以P= 一 = --： --- - = --：-- 2———=--「 ----------- -y k (ax+5) k (0.2 a+ 5) k (a+25)假设P>710,那么ka2-20a+25k<0.2 2由于k>3,所以 A = 100(4—k)<0,不等式ka — 20a+25kv0无解,假设不成立_____ . _ 1P不可能大于元.1 -1.解决函数问题无视函数的定义域或求错函数的定义域,如求函数f(x) =--的定义域时,只考虑x>0,无视x ln xln x w 0的限制.2.如果一个奇函数f (x)在原点处有意义,即f(0)有意义,那么一定有f (0) = 0.3.三招破解指数、对数、哥函数值的大小比拟^(1)底数相同,指数不同的备用指数函数的单调性进行比拟；(2)底数相同,真数不同的对数值用对数函数的单调性比拟；(3)底数不同、指数也不同,或底数不同,真数也不同的两个数,常引入中间量或结合图象比拟大小^4.对于给定的函数不能直接求解或画出图形,常会通过分解转化为两个函数图象,然后数形结合,看其交点的个数有几个,其中交点的横坐标有几个不同的值,就有几个不同的零点一、填空题1.(2021 •南通调研)函数f(x)=ln x+什口:的定义域为.x>0, 解析要使函数f(x)=ln x+5一x有息义,那么解得0<xW1,即函数TE义域是(0,1］.* 1 -x>0, 答案(0,1］2.(2021 ・江苏卷)函数f (x)= log 5(2x+1)的单调增区间是.1 解析函数f(x)的TE义域为一2,十°°,令t =2x+1(t >0).由于y= log 5t在t e (0 , +oo)上为增函数,t =, 1 1 2x+1在—2, +°°上为增函数,所以函数y= log 5(2x+1)的单倜增区间为一万,+°0 .…1答案―］,+°°………2x, x<0, …3 .(2021 •苏州倜研)函数f (x) = 2十］〉0的值域为.解析当xwo 时,y=2x C(0, 1］；当x>0 时,y=—x2+1C(—8, 1). 综上, 该函数的值域为(—°°, 1］.答案(―巴1］4 .(2021 ・江苏卷)定义在区间［0 , 3兀］上的函数y= sin 2 x的图象与y=cos x的图象的交点个数是.解析在区间［0 , 3% ］上分别作出y= sin 2 x和y= cos x的简图如下：由图象可得两图象有7个交点. 答案7ax+ 1, - K x<0, 5 . (2021 ・江苏卷)设f(x)是定义在R上且周期为2的函数,在区间［—1, 1］上,f (x), 4.1 . 3 …中a, bCR右f] =f -,那么a+3b的值为.b+2 1解析由于函数f(x)是周期为2的函数,所以f ( —1) =f (1) ? — a+1 =—2-,又f "22 1--a+ 1,联立列成万程组解得a=2, b=—4,所以a+3b= 2—12= — 10.答案—106.函数f(x)=x3+x,对任意的mE [—2, 2] , f (mA 2)+ f (x)<0恒成立,那么x的取值范围是. 解析f ' (x) = 3x2+1>0,f (x)在R上为增函数.又f(x)为奇函数,由f ( mx-2) + f(x)<0 知,f (mx-2)<f ( -x). mx-2<-x,即mx^ x-2<0,令g(m) = m肝x- 2,由[ - 2, 2]知g( m)<0 恒成立,可得 .— 2<x<?.g (2) = 3x-2<0, 3…2 2答案一2, 3——一、x-[x],x>0,7.函数f(x)=, 其中[x]表示不超过x的最大整数.假设直线y=k(x+1)( k>0)与函数y =f (x+ 1) , x< 0,f(x)的图象恰有三个不同的交点,那么实数k的取值范围是 .bx+ 2x+ 10<x< 1,1?b+23=f "2 = f解析根据［x］表示的意义可知,当0Wxv1时,f (x) =x,当1wxv2时,f (x) =x-1,当2Wxv3时,f (x)= x— 2,以此类推,当kwxvk+1 时,f(x)=x—k, kCZ,当一1w xv0 时,f(x)=x+ 1,作出函数f(x)的图象如图,直线丫=«*+1)过点(—1, 0),当直线经过点(3 , 1)时恰有三个交点,当直线经过点(2, 1)时恰好有两个交点,在这两条直线之间时有三个交点,故k €.4 31 1答案力a 4 32x — a, x< 1, 8. (2021 •北京海淀区二模)设函数f(x)=4 (x—a) (x —2a) , x> 1.(1)假设a= 1,那么f (x)的最小值为;(2)假设f (x)恰有2个零点,那么实数x2解析(1)当a= 1时,f (x)=4当x<1 时,f (x) = 2x—1 e (—1,当x>l 时,f (x) = 4(x2— 3x+ 2) = 4 x—3 -- >— 1 , 1. f (x)min= - 1. 2 4 (2)由于f(x)恰有2个零点,分两种情况讨论：当f(x)=2x—a, x<1没有零点时,a>2或aW0.当a>2 时,f(x) =4(x-a)( x-2a), x>1 时,有2个零点;当awo 时,f (x) =4(x—a)( x-2a), x> 1 时无零点. 因此a>2满足题意.当f(x)=2x—a, x<1 有一个零点时, 0<a<2.1f(x) =4(x-a)( x-2a), x>1 有一个零点,此时a<1,2 a> 1,因此^wa,1 ,综上知实数a的取值范围是a|±w a<1或a>2 .… 1 ,答案(1) -1 (2) 1 U［2, +oo)二、解做题9.函数f(x)=x2—2ln x, h(x) = x2—x+a.⑴求函数f(x)的极值；(2)设函数k(x) = f(x) -h(x),假设函数k(x)在［1 , 3］上恰有两个不同零点,求实数a的取值范围.2解(1)函数f (x)的TE义域为(0 , +°°),令f (x) = 2x-- = 0,得x= 1. x当xC(0, 1)时,f' (x)V0,当x C (1 ,+8)时,「(x) >0,所以函数f(x)在x=1处取得极小值为1,无极大值.(2) k(x) = f( x) - h(x) =x—2ln x- a( x>0),所以k' (x) = 1 ,令k' ( x) >0,得x>2,x所以k(x)在［1 , 2)上单调递减,在(2, 3］上单调递增,所以当x = 2时,函数k(x)取得最小值,k(2) =2—2ln 2 —a,由于函数k(x) =f (x) -h(x)在区间［1 , 3］上恰有两个不同零点.即有k(x)在［1 , 2)和(2, 3］内各有一个零点, k (1) >0, 1- a>0,所以k (2) <0,即有2—2ln 2 - a<0,k (3) >0, 3- 2ln 3 — a>0,解得 2 —2ln 2 <a<3-2ln 3.所以实数a的取值范围为(2 - 2ln 2 , 3-2ln 3］.10. (2021 ・江苏卷)如图,建立平面直角坐标系xOy, x轴在地平面上,y轴垂直于地平面,单位长度为1千米.1某炮位于坐标原点.炮弹发射后的轨迹在方程y= kx—+ k ) x ( k>0)表木的曲线上,其中k与发射方向有关.炮的射程是指炮弹落地点的横坐标.a的取值范围是-1, x<1,(x —1) (x —2) , x>1.1),(1)求炮的最大射程；(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小),其飞行高度为3.2千米,试问它的横坐标a不超过多少时,炮弹可以击中它？请说明理由.解(1)令y=0,得kx —'(I+k2)x2=0,由实际意义和题设条件知x>0, k>0,(1)求f (x)的解析式;(2)当x为多少时,总造价f(x)最低？并求出最低造价.解(1)在如题图所示的直角坐木^系中,由于曲线C的方程为y = x+¥(1wxw9), P阵x,所以点P坐标故x=20k 202= & 1 + k 1 k+k 20万10,当且仅当k= 1时取等号.所以炮的最大射程为10千米.(2)由于a>0,所以炮弹可击中目标？存在k>0,使 3.2 = ka—20(1 +k2)a2成立？关于k 的方程a2k2—20ak+a2+64= 0 有正根？判别式△ = ( —20a)2—4a2( a2+ 64) >0 ? aw 6.所以当a不超过6千米时,可击中目标.11.(2021 •苏北四市调研)如图,O上南北方向的一条公路, O祸北偏东45.方向的一条公路, 某风景区的一段边界为曲线C为方便游客观光,拟过曲线C上某点P分别修建与公路OA 0蜒直的两条道路PM PN且PM PN 的造价分别为5万元/百米、40万元/百米.建立如下图的平面直角坐标系xOy,那么曲线C符合函数模型y=x+ 乎(1 <x<9),设PM=x,修建两条道路PM PN的总造价为f(x)万元.题中所涉及长度单位均为百米.x, x+乎,直线OB的方禾g为x-y= °,那么点P到直线x—y=°的距离为又PM的造彳介为5万元/百米,PN的造彳介为40万元/百米.4那么两条道路总造价为f (x) = 5x + 40 , -x2= 5(2)由于f (x) = 5 x + -1 x,64所以「(x)=51—5 (x3—64)令f' (x)=0,解得x=4,列表如下:所以当x- xT4, 2 4,. 2x2Jkx2’x+[ (1 < x<9).x = 4时,函数f(x)有最小值,且最小值为f(4) =5 4 + 1 =30,即当x= 4时,总造价最低,最低造价为30万元.(注：利用三次均值不等式得 f (x) =5 x+-3!=xx x 32 3 _5 2 + 2 +片>5X3,8=30,当且仅当x= 4时,等号成立,同样正确.〕第2讲不等式问题高考定位高考对本内容的考查主要有：〔1〕一元二次不等式是C级要求,要求在初中所学二次函数的根底上, 掌握二次函数、二次不等式、二次方程之间的联系和区别,可以单独考查,也可以与函数、方程等构成综合题；〔2〕线性规划的要求是A级,理解二元一次不等式对应的平面区域,能够求线性目标函数在给定区域上的最值, 同时对一次分式型函数、二次型函数的最值也要有所了解；〔3〕根本不等式是C级要求,理解根本不等式在不等式证实、函数最值的求解方面的重要应用.x 一2y + 4 > 03. 〔2021 •江苏卷〕实数x, y满足2x+y-2>0,那么x2+y2的取值范围是.3x- y-3<0解析不等式组所表示的平面区域如图中阴影局部所示,那么〔x, y〕为阴影局部内的动点:x2 + y2表示原点到可行域内的点的距离的平方3x-y- 3= 0,x- 2y + 4= 0,真题感悟1 .(2021 ・江苏卷)不等式2x2—x<4的解集为.解析x2-x< 4= 22, • . x2-x< 2,即x2-x- 2< 0,解得一1<x<2.答案{x| —1vxv2}2 .(2021 •江苏卷)函数f(x) =x2+mx- 1,假设对于任意xQm 出1],都有f(x)<0成立,那么实数m的取值范围是. 解析二次函数f(x)对于任意xC[m, m^ 1],者B有f(x)<0成立, 2 . 2f (n) = m+ m- 1<0,f (m^ 1) = (m^ 1) 2+m(m+ 1) - 1<0,- 2解得—-2-<^<0.答案—02(x2 + y2) max=| OA2= 22+ 32= 13.…4答案5, 134.(2021 •江苏卷)在锐角三角形ABC43,假设sin A= 2sin B sin C,那么tan A an B tan C的最小值是.解析由sin A= sin( B+ C) =2sin Bsin C得sin Bcos C+ cos Bsin C= 2sin Bsin C,两边同日^除以cos B cos C得tan B+ tan C= 2tan B tan C.令tan B+ tan C= 2tan B tan C= m 由于^ ABC是锐角三角形,所以2tan B tan C> 2 tan B- tan C,那么tan B tanC> 1, m> 2.又在三角形中有tan A tan B tan C= — tan( B+ C tan---- r •二m= ;= m- 2 + -------------- 41 2 m- 2 m- 2—2m2\ I(m-2) -―J+4=8,当且仅当m-2 = -J,即m= 4时取等号,故tan A tanB tan C的最小值为8.m- 2 m-2解方程组得A (2 , 3).B tan C由图可知(x2 + y2)min =45'答案 8考点整合1 .(1)解含有参数的一元二次不等式,要注意对参数的取值进行讨论：①对二次项系数与 0的大小进行讨论；②在转化为标准形式的一元二次不等式后,对判别式与 0的大小进行讨论；③当判别式大于0,但两根的大小不确定时,对两根的大小进行讨论；④讨论根与定义域的关系^2 x 1 1解析 依题意知f(x)>0的解为—1<x<2,故0<10 <2,解得x<lg -(2)四个常用结论①ax 2 3+ bx+ c>0( a w0)恒成立的条件是 ②ax 2+ bx+ c< 0( awo )恒成立的条件是Da>f (x )恒成立? a>f (x )max④avf (x )恒成立？ a<f (x )min .2 .利用根本不等式求最值x, y> 0,那么(1)假设x+y = S (和为定值),那么当x=y 时,积xy 取得最大值J xyw Ty L ］ ; (2)假设xy= 集用区间表示为 .(2)(2021 •江苏卷)函数f (x )=x 2+ax+ b (a, bC F)的值域为［0,+8),假设关于x 的不等式f (x )<c 的解集［微题型1］根本不等式的简单应用 【例1】(1)(2021 •江苏卷)f (x )是定义在R 上的奇函数.当x >0时,f (x ) =x 2-4x,那么不等式f (x )>x 的解a>0,△ v 0.a< 0,△ v 0.为(m 6),那么实数c的值为.解析(1)由得f(0) =0,当x<0时, 2 2x - 4x, x > 0f(x)=-f(-x)=-x -4x,因此f(x) = 2-x -4x, x<0 …… x>0, ,x<0,不等式f(x)>x等价于x2—4X>X或—x2—4x>x 解得：x>5 或—5<x<0.2 . a 2 , a2(2)由题思知f (x) =x +ax+b= x+- +b—--. 2 42 2........... a 一a,「f(x)的值域为［0 , 十°°), b-- = 0,即b=—.• -f(x) = x+| .由f (x)<c,R积为定值),那么当x=y时,和x+y取得最小值2/(x+y>2而=2f.3.二元一次不等式(组)和简单的线性规划⑴线性规划问题的有关概念：线性约束条件、线性目标函数、可行域、最优解等^(2)解不含实际背景的线性规划问题的一般步骤：①画出可行域；②根据线性目标函数的几何意义确定其取得最优解的点；③求出目标函数的最大值或者最小值^ 得 * —W<x< --a+Vc,又f (x)< c的解集为(m m^ 6),②一①,得2\fc=6,c= 9.答案(1)( —5, 0) U(5, +8 ) (2)9探究提升解一元二次不等式一般要先判断二次项系数的正负也即考虑对应的二次函数图象的开口方向,再考虑方程根的个数也即求出其判别式的符号,有时还需要考虑其对称轴的位置,根据条件列出方程组或结合对应的函数图象求解.1 . V ______ .【练习1】一兀二次不等式f(x)<0的解集为x x<—1,或x>2 ,那么f(10x)>0的解集为.--^+ c=nu 6,热点一一元二次不等式的解法及应用【例2—1］ (1)(2021 ・南师附中模拟)设正实数x, y z 满足x 4—3xy+4y 2—z=0,那么当,取得最大值时,最大值为. ....... .._ _ _____ 一一 一_1 4..一 ., (2)正项等比数列｛a n ｝满足a 7=a 6+2a 5,右存在两项 a m, a n 使得,a m a n= 4a 1,那么不丁下的取小值为 解析 (1)由得 z = x 2-3xy+4y 2, (*) 2—,2 1 2<1,当且仅当x=2y 时取等号,把x=2y 代入(*)式,得z=2y ,所以-+ —— = x y z1 111--1 ----- 2= - 1y y yy 所以当y=1时,x+y —［的最大值为1.(2)设等比数列｛a n ｝的公比为q (q>0), a 7= a 6+ 2a 5, •l - a s q 2= a 5q + 2a 5, • •q 2-q-2 = 0,解得 q=2 或 q=—1(舍去).'am, an=,⑶,2 1平方得 2^n 2=16=24,n = 6,, 一 .____ ______________ _ ________________ _ , 1,1.解(1)由于△AOC 勺面积与^ BOC 勺面积之和等于^ AOB 勺面积,所以万x S+J 6)sin 45 +茬中+审6) • sin .130 = -xysin 75,即乎x ^p+g +；y(V 2+#)=丑：凡丫,2. 2x答案(1)1 (2)探究提升在利用根本不等式时往往都需要变形, 变形的原那么是在条件下通过变形凑出根本不等式应用的条 件,即“和〞或“积〞为定值,等号能够取得 ^［微题型2］根本不等式在实际问题中的应用【例2—2］ (2021 •南通调研)如图,在C 城周边已有两条公路1I , l 2在点O 处交汇. OC= (,2+y6)km, /AOB= 75° , /所以 y=vH(x>2). x — 2 1(2) 4AOB 勺面积 S= -xy sin 75 当且仅当x= 4时取等号,此时故 OA= 4 km, OB= 4/2 km 时,△ OA 前积的最小值为 4(73+1) km 2.探究提升 在利用根本不等式求最值时,要特别注意“拆、拼、凑〞等技巧,使其满足根本不等式中“正〞 (即条件要求中字母为正数)、“定〞(不等式的另一边必须为定值)、“等〞(等号取得的条件)的条件才能应用,否 那么会出现错误. 【练习2］ (1)向量a=(3, —2), b=(x, y —1),且a//b,假设x, y 均为正数,那么的最小值是 .(2)假设直线2ax —by+2=0(a>0, b>0)被圆x 2+y 2+2x —4y+1 =0截得的弦长为4,贝的最小值是.a b解析 (1) .「a// b, ••• 3(y -1) +2x=0, 即 2x+3y = 3.-x>0, y >0,3 2 3 2 1 .■-_+_= _ + _• -(2x+ 3y ) x yx y 3' 1 9y 4x 1=-6+6+ — + — >-(12 +2X6)= 8. 3 x y 3 当且仅当3y=2x 时取等号.(2)易知圆x 2 + y 2+2x —4y+1 = 0的半径为2,圆心为(一1, 2),由于直线 2ax —by+ 2=0(a>0, b>0)被圆x 2+ y 2+2x-4y+1 = 0截得的弦长为4,所以直线2ax — by+2=0( a>0, b>0)过圆心,把圆心坐标代入得 a+b= 1,一 ,111 1b a ,…,b a~ 1 ……… 所以一+：= _+_ (a+b) = 2+-+->4,当且仅当一=1,a+b=1,即a= b=/时等万成立.a b a ba b a b2答案(1)8(2)4AOC= 45° ,现规划在公路 l 1, l 2上分别选择 A, B 两 处为交汇点(异于点Q 直接修建一条公路通过 C 城.设OA= xkm, OB= y km.(1)求y 关于x 的函数关系式并指出它的定义域； (2)试确定点 A B 的位置,使^ OAB 勺面积最小.广,xy xy那么‘■= r~~— z x — 3xy +4y 1 x 4y c— —3 y x2 + 1<1.1 4一+一m n(mi+ n)=n 4m 16(5 + 4) =2当且仅当 n 4mm n '即n = 2m 亦即m= 2, n = 4时取等号X —x — =^3+ 1 (x —2+—4- +4) X 炉+ 1 X8=4(j3+ 1).x- 2 2 x- 2 2 N ^十P xv=^3±j 8 y 2热点三含参不等式恒成立问题［微题型1］别离参数法解决恒成立问题4 2【例3—1】(1)关于x的不等式x+-- 1-a2+2a>0对xC (0 ,十^)恒成立,那么实数a的取值范围为.x 、' ' '(2)x>0, y> 0, x + y+ 3 = xy,且不等式(x +y)2—a(x+y) +1 >0恒成立,那么实数a的取值范围是解析(1)设f (x) =x + ‘,由于x>0,所以f (x) =x+‘>2、/x •,= 4.又关于x 的不等式x+- - 1 -a2+2a>0 x x x x 对xC(0, +8)恒成立,所以a2—2a+1v4,解得一1v av3,所以实数a的取值范围为(一1, 3).(2)要使(x+ y)2—a(x + y) +1 >0 恒成立,那么有(x+y)2+1 >a(x+y),即aw (x+y)恒成立. x \" y由x+y+3=xy,得x+y+3 = xy< x+y 2 2rr 2 1 . 1 …即(x+y) -4(x+y) -12>0,解得x+y >6 或x+y w — 2(舍去).设t = x+y,贝U t >6, (x+y) +^^= t 设1 ...................... 1 .............................................. 1 37 一37...................................... f(t)=t+『那么在t>6时,f(t)单倜递增,所以f (t) = t + 1的取小值为6+6="6",所以a<-,即头数a的取值范围是37—OO —'6 .答案(1)(37 — 1,3) (2) -oo,-探究提升对于含参数的不等式恒成立问题,常通过别离参数,把求参数的范围化归为求函数的最值问题, a>f(x)恒成立？a>f(x)max；avf(x)恒成立？avf(x)min.[微题型2]函数法解决恒成立问题【例3—2】(1)f (x) =x2—2ax+2,当xC[ —1, +8)时,f(x)>a恒成立,那么a的取值范围为(2)二次函数f (x) = ax2+ x+1对x C [0 , 2]恒有f (x) >0.那么实数a的取值范围为.解析(1)法一 f (x) = (x —a)2+2 —a2,此二次函数图象的对称轴为x=a,①当aC( — °°, — 1)时,结合图象知,f (x)在[—1, + 00)上单调递增,f (x) min = f ( — 1) = 2a + 3. 要使f(x)>a恒成立,只需f ( x) min >a,即2a+ 3> a,解得一3< av — 1 ；2 ②当aC[ —1, +8)时,f(x)min= f(a) = 2-a , 由 2 — a2^5 a,解得一2w aW1.「. 一1w aW1.综上所述,所求a的取值范围为[—3, 1].法二设g(x) = f(x) — a,那么g(x) =x2—2ax+2 —a>0 在[—1, 十°0)上恒成立,A >0,2即△ =4a —4(2 —a) WO 或av—1, 解得[—3, 1].g (— 1) >0,(2)法一函数法. 假设a>0,那么对称轴x= —,<0, 2a故f (x)在[0, 2]上为增函数,且f(0) =1,因此在x € [0 , 2]上恒有f (x) >0成立... 一3右a<0,那么应有f(2) >0,即4a+3>0, 1. a>--.3综上所述,a的取值范围是一％, 0 U(0, +oo).法二别离参数法.当x = 0时,令g(x)=-f(x) = 1>0 成立.ax2+ x+ 1 >0 变为a> —x x111x2x x1. a〉——2—x又「aw0,答案(1)[探究提升——OO1x'a的取值范围是3 、—3, 1] (2) , 0 U(0 , +oo)参数不易别离的恒成立问题,特别是与二次函数有关的恒成立问题的求解,常用的方法是借助函数图象根的分布,转化为求函数在区间上的最值或值域问题^【练习3】(1)假设不等式x2- ax+1>0对于一切a€[-2, 2]恒成立,那么x的取值范围是(2)不等式>^\ a2-a|对于x C [2 , 6]恒成立,那么a的取值范围是x— 1 5解析(1)由于aC[ —2, 2],可把原式看作关于a的一次函数,即g( a) = - xa+x2+1 >0, 2 .g(― 2) = x + 2x+1>0,由题意可知g(2)x2 2x+1>Q解之得xCR一 2故y = £^在xC[2, 6]上单倜递减,即y min= 6-1 5'最小值为解析〔1〕不等式组表示的可行域如图中阴影局部所示.令z = 2x+y,那么y=-2x+z,作直2x-y=0,线"y-.并平移,当直线过点A时,截距最大,即z取得最大值,由*+丫=3,得所以A点坐标为〔1 , 2〕,可得2x+y的最大值为2X1+2 = 4.(2)由于不等式2xn^ (2 -x)n-8>0即为(2»n)x>8-2n,对任意x € [ - 4, 2]都成立,所2 (2m- n) > 8-2n,-4 (2m- n) > 8- 2n,所以m n满足的不等式组为m> 2,4m- 3n+4< 0,n< 6,mm勺几何意义是可行域上的点与原点的连线的斜率,所以80(2) - V3 探究提升线性规划的实质是把代数问题几何化,即数形结合的思想.需要注意的是：一,准确无误地作出可行域；二,画目标函数所对应的直线时,要注意与约束条件中的直线的斜率进行比拟,防止出错；三,一般情况下, 目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得^ 1 .屡次使用根本不等式的考前须知当屡次使用根本不等式时,一定要注意每次是否能保证等号成立,并且要注意取等号的条件的一致性,否那么就会出错,因此在利用根本不等式处理问题时,列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤,也是检验转换是否有误故不等式x- 14|a2-a|对于武［2, 6］恒成立等价于2 1 9 2 a 一a一2W0, /_2心5恒成立,化简得a2_a+2>0解得—1W aw 2,故a的取值范围是［—1, 2］.答案⑴ R (2)[ —1, 2]热点四简单的线性规划问题y>x,【练习4】〔2021 •苏、锡、常、镇调研〕x, y满足y<- x + 2,且目标函数z = 2x+y的最小值为1,那么实数a的值是.解析依题意,不等式组所表示的可行域如下图〔阴影局部〕,观察图象可知,当目标函数z=2x + y过点B a〕时,z min= 2a+a= 3a;由于目标函数z = 2x+ y的最小值为1,所以3a= 1,解得a=\.3【例4】⑴〔2021 •北京卷改编〕假设*, y满足2x-y<0,x+y<3,那么2x+ y的最大值为x> 0,(2)(2021 吊pj4•苏北四市调研〕设实数n<6,假设不等式2xm+ 〔2 -x〕 n-8>0对任意xC［—4, 2］都成立,那么与^的标函数m- n4m n3mn 3 c-n,令一=t €m12 一一 r , 1 3 ……■y, 3 ,那么目标函数即为y=p-t3,其导数y'= 0,所以函数y1 3 =工―t在t 3上递减,故t =3时取得最小值—当.7 3 所以点〔m n〕对应的平面区域如图, 答案(1)4 x= 1,y=2,2.T-1=(i。
2021-2022年高考数学二轮专题复习 专题突破篇 专题一 集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数
2021年高考数学二轮专题复习专题突破篇专题一集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数专题限时训练5 文一、选择题(每小题5分，共25分)1．(xx·菏泽模拟)已知函数f(x)＝x2－cos x，则f(0.6)，f(0)，f(－0.5)的大小关系是( )A．f(0)<f(－0.5)<f(0.6)B．f(0)<f(0.6)<f(－0.5)C．f(0.6)<f(－0.5)<f(0)D．f(－0.5)<f(0)<f(0.6)答案：A解析：因为f(－x)＝(－x)2－cos(－x)＝x2－cos x＝f(x)，所以f(x)是偶函数；所以f(－0.5)＝f(0.5)；又因为f′(x)＝2x＋sin x，当x∈(0,1)时，f′(x)>0，所以f(x)在(0,1)上是增函数，所以f(0)<f(0.5)<f(0.6)；即f(0)<f(－0.5)<f(0.6)．2．(xx·大同模拟)已知直线m：x＋2y－3＝0，函数y＝3x＋cos x的图象与直线l 相切于P点，若l⊥m，则P点的坐标可能是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，－3π2B.⎝⎛⎭⎪⎫3π2，π2 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π2，－π2答案：C解析：设点P (x 0，y 0)，因为l ⊥m ，所以k l ＝2， 又y ′＝3－sin x ，故3－sin x 0＝2， 即sin x 0＝1，验证选项知C 成立．3．(xx·江西八校联考)已知函数f (x )＝x (ln x －ax )有两个极值点，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，0)B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 C ．(0,1) D ．(0，＋∞)答案：B解析：∵f (x )＝x (ln x －ax )， ∴f ′(x )＝ln x －2ax ＋1，由题可知f ′(x )在(0，＋∞)上有两个不同的零点， 令f ′(x )＝0，则2a ＝ln x ＋1x，令g (x )＝ln x ＋1x ，则g ′(x )＝－ln x x2，∴g (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减， 又∵当x →0时，g (x )→－∞，当x →＋∞时，g (x )→0，而g (x )max ＝g (1)＝1， ∴只需0<2a <1⇒0<a <12.4．(xx·江西南昌一模)已知点P (x 1，y 1)是函数f (x )＝2x 图象上的点，点Q (x 2，y 2)是函数g (x )＝2ln x 图象上一点，若存在x 1，x 2使得|PQ |≤255成立，则x 1的值为( )A.15B.25C.12 D ．1答案：A解析：因为g ′(x )＝(2ln x )′＝2x，且函数f (x )＝2x 的图象是斜率为2的直线，所以由2x＝2，解得x ＝1，从而曲线g (x )＝2ln x 在x ＝1处的切线方程为y ＝2(x －1)，又直线y ＝2(x －1)与直线f (x )＝2x 平行，且它们之间的距离为222＋－12＝255，如图所示． 因为|PQ |的最小值为255，所以|PQ |最小时，Q 点的坐标为(1,0)，所以⎩⎪⎨⎪⎧y 1＝2x 1，y 1－0x 1－1×2＝－1，解得x 1＝15.故选A.5．设函数f(x)的定义域为R，x0(x0≠0)是f(x)的极大值点，以下结论一定正确的是( )A．∀x∈R，f(x)≤f(x0)B．－x0是f(－x)的极小值点C．－x0是－f(x)的极小值点D．－x0是－f(－x)的极小值点答案：D解析：A错，因为极大值未必是最大值；B错，因为函数y＝f(x)与函数y＝f(－x)的图象关于y轴对称，－x0应是f(－x)的极大值点；C错，函数y＝f(x)与函数y＝－f(x)的图象关于x轴对称，x0应为－f(x)的极小值点；D正确，函数y＝f(x)与y＝－f(－x)的图象关于原点对称，－x0应为y＝－f(－x)的极小值点．二、填空题(每小题5分，满分15分)6．(xx·河南郑州质检)如图，y＝f(x)是可导函数，直线l：y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在x＝3处的切线，令g(x)＝xf(x)，其中g′(x)是g(x)的导函数，则g′(3)＝________.答案：0解析：由题图可知，直线l 与曲线y ＝f (x )交于点(3,1)，则有⎩⎨⎧3k ＋2＝1，f 3＝1，故k＝－13，又直线l 是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线， 故f ′(3)＝k ＝－13.由g (x )＝xf (x )知，g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )， 故g ′(3)＝f (3)＋3f ′(3)＝0.7．(xx·唐山质检)已知函数f (x )＝x 2－ax ＋3在(0,1)上为减函数，函数g (x )＝x 2－a ln x 在(1,2)上为增函数，则a 的值等于________．答案：2解析：∵函数f (x )＝x 2－ax ＋3在(0,1)上为减函数，∴a2≥1，即a ≥2. 又∵g ′(x )＝2x －a x，依题意g (x )′≥0在x ∈(1,2)上恒成立，得2x 2≥a 在x ∈(1,2)上恒成立，有a ≤2，∴a ＝2.8．若a >0，b >0，且函数f (x )＝4x 3－ax 2－2bx ＋2在x ＝1处有极值，则ab 的最大值为________．答案：9解析：∵f ′(x )＝12x 2－2ax －2b ，∴f ′(1)＝0，即12－2a －2b ＝0， ∴a ＋b ＝6， 又a >0，b >0，∴ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝9， 当且仅当a ＝b ＝3时，等号成立， ∴ab 的最大值为9.三、解答题(9题12分，10题、11题每题14分，共40分)9．(xx·绍兴模拟)已知函数f (x )＝e x (ax ＋b )－x 2－4x ，曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝4x ＋4.(1)求a ，b 的值；(2)讨论f (x )的单调性，并求f (x )的极大值． 解：(1)f ′(x )＝e x (ax ＋b )＋a e x －2x －4 ＝e x (ax ＋a ＋b )－2x －4，∵y ＝f (x )在(0，f (0))处的切线方程为y ＝4x ＋4， ∴f ′(0)＝a ＋b －4＝4，f (0)＝b ＝4， ∴a ＝4，b ＝4.(2)由(1)知，f ′(x )＝4e x (x ＋2)－2(x ＋2)＝2(x ＋2)(2e x －1)， 令f ′(x )＝0，得x ＝－2或ln 12，列表：x(－∞，－2)－2⎝⎛⎭⎪⎫－2，ln 12ln 12⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 12，＋∞ f ′(x ) ＋－＋f (x )极大值极小值∴y ＝f (x )在(－∞，－2)，⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 12，＋∞上单调递增；在⎝⎛⎭⎪⎫－2，ln 12上单调递减．故f (x )极大值＝f (－2)＝4－4e －2. 10.已知函数f (x )＝(1－x )e x－1. (1)求函数f (x )的最大值；(2)设g (x )＝f xx，求证：g (x )有最大值g (t )，且－2<t <－1. 解：(1)f ′(x )＝－x e x .当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增； 当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减． 所以f (x )max ＝f (0)＝0.(2)证明：g (x )＝1－xe x －1x，g ′(x )＝－x 2－x ＋1e x＋1x2.设h (x )＝－(x 2－x ＋1)e x ＋1，则h ′(x )＝－x (x ＋1)e x .当x ∈(－∞，－1)时，h ′(x )<0，h (x )单调递减； 当x ∈(－1,0)时，h ′(x )>0，h (x )单调递增； 当x ∈(0，＋∞)时，h ′(x )<0时，h (x )单调递减． 又h (－2)＝1－7e 2>0，h (－1)＝1－3e <0，h (0)＝0，所以h (x )在(－2，－1)有一零点t .当x ∈(－∞，t )时，g ′(x )>0，g (x )单调递增； 当x ∈(t,0)时，g ′(x )<0，g (x )单调递减． 由(1)知，当x ∈(－∞，0)时，g (x )>0； 当x ∈(0，＋∞)时，g (x )<0.因此g (x )有最大值g (t )，且－2<t <－1.11．(xx·新课标全国卷Ⅱ)已知函数f (x )＝ln x ＋a (1－x )． (1)讨论f (x )的单调性；(2)当f (x )有最大值，且最大值大于2a －2时，求a 的取值范围． 解：(1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x－a .若a ≤0，则f ′(x )＞0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增．若a ＞0，则当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，1a 时，f ′(x )＞0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1a，＋∞时，f ′(x )＜0.所以f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，1a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a，＋∞上单调递减．(2)由(1)知，当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上无最大值； 当a ＞0时，f (x )在x ＝1a处取得最大值，最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1a ＝－ln a ＋a －1. 因此f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＞2a －2等价于ln a ＋a －1＜0.令g (a )＝ln a ＋a －1，则g (a )在(0，＋∞)上单调递增，g (1)＝0.于是，当0＜a ＜1时，g (a )＜0；当a ＞1时，g (a )＞0. 因此，a 的取值范围是(0,1)．。
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2021年高考数学二轮复习 第一部分 专题一 集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数专题跟踪训练4 文一、选择题1．已知集合A ＝{x |x >1}，B ＝{x |2x －x 2>0}，则A ∪B ＝( ) A ．{x |x >0} B ．{x |x >1} C ．{x |1<x <2}D ．{x |0<x <2}[解析] 因为B ＝{x |x 2－2x <0}＝{x |0<x <2}，所以A ∪B ＝{x |x >0}，故选A. [答案] A2．若a >b >0，则下列不等式中总成立的是( ) A ．a ＋1a >b ＋1bB ．a ＋1b >b ＋1aC.b a >b ＋1a ＋1D.2a －b a ＋2b >ab[解析] ∵a >b >0，∴1b >1a .又a >b ，∴a ＋1b >b ＋1a，故选B.[答案] B3．(xx·湖南卷)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋y ≥1，y －x ≤1，x ≤1，则z ＝2x －y 的最小值为( )A ．－1B ．0C ．1D ．2[解析] 画出可行域，如图中阴影部分所示，平移参照直线2x －y ＝0，当直线2x－y ＝z 经过x ＋y ＝1与y －x ＝1的交点(0,1)时，z 取最小值为z min ＝2×0－1＝－1，选A.[答案] A4．若一元二次不等式2kx 2＋kx －38<0对一切实数x 都成立，则k 的取值范围为( )A ．(－3,0)B ．[－3,0]C ．[－3,0)D ．(－3,0][解析] 结合二次函数图象求解．由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧k <0，Δ＝k 2－8k ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－38<0，解得－3<k <0，故选A.[答案] A5．(xx·天津卷)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －2≤0，x －2y ≤0，x ＋2y －8≤0，则目标函数z ＝3x ＋y 的最大值为( )A ．7B ．8C ．9D ．14[解析] 画出可行域，可知在点A (2,3)处，目标函数z ＝3x ＋y 有最大值9.故选C.[答案] C6．(xx·兰州第二次模拟)已知f (x )为偶函数，当x ≥0时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cos πx ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12，2x －1，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞，则不等式f (x －1)≤12的解集为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，23∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤43，74B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－34，－13∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，23C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，34∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤43，74 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－34，－13∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，34[解析] 当0≤x ≤12时，令f (x )＝cos πx ≤12，解得13≤x ≤12；当x >12时，令f (x )＝2x －1≤12，解得12<x ≤34，故有13≤x ≤34.因为f (x )是偶函数，所以f (x )≤12的解集为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－34，－13∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，34，故f (x －1)≤12的解集为⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，23∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤43，74，故选A. [答案] A7．(xx·郑州外国语学校月考)若a >b >1，P ＝lg a ·lg b ，Q ＝12(lg a ＋lg b )，R＝lg ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，则( ) A ．R <P <Q B ．Q <P <R C ．P <Q <RD ．P <R <Q[解析] ∵a >b >1，∴lg a >lg b >0，12(lg a ＋lg b )>lg a ·lg b ，即Q >P .∵a ＋b2>ab ，∴lga ＋b2>lg ab ＝12(lg a ＋lg b )＝Q ，即R >Q ，∴P <Q <R ，故选C. [答案] C8．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，log 12－x ，x <0.若f (a )>f (－a )，则实数a 的取值范围是( )A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－1,0)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(0,1)[解析] 由题意可得⎩⎨⎧a >0log 2a >－log 2a或⎩⎪⎨⎪⎧a <0，log 12－a >log 2－a ，解得a >1或－1<a <0，因此选C.[答案] C9．(xx·太原一模)已知实数x ，y 满足条件⎩⎨⎧x ≥2，x ＋y ≤4，－2x ＋y ＋c ≥0，若目标函数z＝3x ＋y 的最小值为5，则其最大值为( )A ．10B ．12C ．14D ．15[解析] 画出不等式组表示的平面区域，如图阴影部分所示．作直线l ：y ＝－3x ，平移l ，从而可知当x ＝2，y ＝4－c 时，z 取得最小值，z min ＝3×2＋4－c ＝10－c ＝5，∴c ＝5，当x ＝4＋c 3＝3，y ＝8－c3＝1时，z 取得最大值，z max ＝3×3＋1＝10，故选A.[答案] A10．若不等式x 2＋x －1<m 2x 2－mx 对任意的x ∈R 恒成立，则m 的取值范围为( ) A ．－1，53B ．(－∞，－1]∪53，＋∞C ．－1，53D ．－∞，－53∪(1，＋∞)[解析] 原不等式可化为(1－m 2)x 2＋(1＋m )x －1<0，由1－m 2＝0，得m ＝1或m ＝－1.①当m ＝－1时，不等式可化为－1<0，显然不等式恒成立；②当m ＝1时，不等式可化为2x －1<0，解得x <12，故不等式的解集不是R ，不合题意；③当1－m 2≠0时，由不等式恒成立可得⎩⎨⎧1－m 2<0，Δ＝1＋m2－41－m 2×－1<0，解得m <－1或m >53.综上，m 的取值范围为(－∞，－1]∪53，＋∞.[答案] B11．(xx·浙江考试院抽测)若正数x ，y 满足x 2＋3xy －1＝0，则x ＋y 的最小值是( )A.23 B.223 C.33 D.233[解析] 对于x 2＋3xy －1＝0可得y ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －x ，∴x ＋y ＝2x 3＋13x≥229＝223(当且仅当x ＝22时等号成立)，故选B. [答案] B12．(xx·山西质监)若关于x 的不等式4a x －1<3x －4(a >0，且a ≠1)对于任意的x >2恒成立，则a 的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12 C ．[2，＋∞)D ．(2，＋∞)[解析] 不等式4a x －1<3x －4等价于a x －1<34x －1.令f (x )＝a x －1，g (x )＝34x －1，当a >1时，在同一坐标系中作出两个函数的图象，如图1所示，由图知不满足条件；当0<a <1时，在同一坐标系中作出两个函数的图象，如图2所示，由题意知，f (2)≤g (2)，即a 2－1≤34×2－1，即a ≤12，所以a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12，故选B.[答案] B二、填空题13．函数 f (x )＝lg 1－x 1＋x的定义域是________．[解析] 由1－x1＋x >0得－1<x <1.因此，函数f (x )的定义域是(－1,1)．[答案] (－1,1)14．不等式1x －1<1的解集记为p ，关于x 的不等式x 2＋(a －1)x －a >0的解集记为q ，已知p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是________．[解析] 不等式1x －1<1等价于1x －1－1<0，即x －2x －1>0，解得x >2或x <1，∴p ＝{x |x >2或x <1}．不等式x 2＋(a －1)x －a >0可以化为(x －1)(x ＋a )>0，要使p 是q 的充分不必要条件，需满足p q .当－a <1时，q ＝{x |x >1或x <－a }，此时不满足p q ；当a ＝－1时，q ＝{x |x ≠1}，pq ，满足题意；当－a >1时，q ＝{x |x <1或x >－a }，由p q 得－a <2，即－2<a <－1.综上可知，－2<a ≤－1.[答案] (－2，－1]15．已知f (x )＝log 2(x －2)，若实数m ，n 满足f (m )＋f (2n )＝3，则m ＋n 的最小值为________．[解析] 由f (m )＋f (2n )＝3得，log 2(m －2)＋log 2(2n －2)＝3，即(m －2)(n －1)＝4，所以m ＋n ＝m －2＋n －1＋3≥2m －2n －1＋3＝7，当且仅当m －2＝n －1，即⎩⎨⎧m ＝4n ＝3时等号成立，故m ＋n 的最小值为7.[答案] 716．已知函数f (x )＝log 2x －2log 2(x ＋c )，其中c >0.若对任意的x ∈(0，＋∞)，都有f (x )≤1，则c 的取值范围为________．[解析] 因为f (x )＝log 2x －2log 2(x ＋c )＝log 2x －log 2(x ＋c )2＝log 2x x ＋c2，所以由f (x )≤1，得log 2x x ＋c2≤1，即x x ＋c2≤2，所以2x 2＋(4c －1)x ＋2c 2≥0在(0，＋∞)上恒成立．设g (x )＝2x 2＋(4c －1)x ＋2c 2，因为g (0)＝2c 2>0，所以若对称轴x ＝－4c －12×2≤0，则满足条件，解得c ≥14；若对称轴x ＝－4c －12×2>0，即c <14时，应满足条件Δ＝(4c －1)2－4×2×2c 2≤0，解得c ≥18，所以18≤c <14.综上满足条件的c 的取值范围为c ≥18.[答案] [18，＋∞)。
2021-2022年高考数学二轮专题复习 专题突破篇 专题一 集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数
2021年高考数学二轮专题复习专题突破篇专题一集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数专题限时训练3 文一、选择题(每小题5分，共25分)1．根据表格中的数据，可以断定函数f(x)＝e x－x－2的一个零点所在的区间是( )C．(0,1)答案：B解析：f(1)＝2.72－3<0，f(2)＝7.39－4>0，故f(1)f(2)<0.所以由零点存在性定理知一个零点所在区间是(1,2)．2．(xx·北京卷)汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况．下列叙述中正确的是( )A ．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B ．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C ．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D ．某城市机动车最高限速80千米/小时．相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油答案：D解析：根据图象知消耗1升汽油，乙车最多行驶里程大于5千米，故选项A 错；以相同速度行驶时，甲车燃油效率最高，因此以相同速度行驶相同路程时，甲车消耗汽油最少，故选项B 错；甲车以80千米/小时的速度行驶时燃油效率为10千米/升，行驶1小时，里程为80千米，消耗8升汽油，故选项C 错；最高限速80千米/小时，丙车的燃油效率比乙车高，因此相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油，故选项D 对．3．已知定义域为R 的函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1|x －1|x ≠1，1x ＝1，若关于x 的方程f 2(x )＋bf (x )＋c ＝0有3个不同的实根x 1，x 2，x 3，则x 21＋x 22＋x 23等于( )A ．13B.2b 2＋2b2C ．5D.3c 2＋2c2答案：C解析：作出f (x )的图象，如图所示，由图象知，只有当f (x )＝1时有3个不同的实根；∵关于x 的方程f 2(x )＋bf (x )＋c ＝0有3个不同的实数解x 1，x 2，x 3，∴必有f (x )＝1，从而x 1＝1，x 2＝2，x 3＝0，故可得x 21＋x 22＋x 23＝5，故选C.4．偶函数f (x )满足f (1－x )＝f (1＋x )，且在x ∈[0,1]时，f (x )＝2x －x 2，若直线kx －y ＋k ＝0(k >0)与函数f (x )的图象有且仅有三个交点，则k 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫1515，33 B.⎝⎛⎭⎪⎫35，53 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，12 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫115，13答案：A解析：因为f (1－x )＝f (1＋x )，所以函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，又f (x )是偶函数，所以f (x －1)＝f (1＋x )，即有f (2＋x )＝f (x )，所以f (x )是周期为2的函数． 由y ＝2x －x 2，得x 2－2x ＋y 2＝0，即(x －1)2＋y 2＝1，画出函数f (x )和直线y ＝k (x ＋1)的示意图．因为直线kx －y ＋k ＝0(k >0)与函数f (x )的图象有且仅有三个交点，所以根据示意图知，1515<k <33. 5．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧sin πx ，0≤x ≤1，log 2 014x ，x >1，若a ，b ，c 互不相等，且f (a )＝f (b )＝f (c )，则a ＋b ＋c 的取值范围是( )A ．(1,2 014)B ．(1,2 015)C ．(2,2 015)D ．[2,2 015]答案：C解析：由于函数y ＝sin πx 的周期为2,0≤x ≤1，故它的图象关于直线x ＝12对称．不妨设0<a <b <c ，则a ＋b ＝1，c >1.故有a ＋b ＋c >2.再由正弦函数的定义域和值域可得f (a )＝f (b )＝f (c )∈(0,1)，故有0<log 2 014c <1，解得1<c <2 014.综上可得，2<a ＋b ＋c <2 015. 二、填空题(每小题5分，满分15分)6．(xx·沈阳模拟)某驾驶员喝了m 升酒后，血液中的酒精含量f (x )(毫克/毫升)随时间x (小时)变化的规律近似满足表达式f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧5x －2，0≤x ≤1，35·⎝ ⎛⎭⎪⎫13x，x >1，《酒后驾车与醉酒驾车的标准及相应的处罚》规定：驾驶员血液中酒精含量不得超过0.02毫克/毫升．此驾驶员至少要过________小时后才能开车．(不足1小时部分算1小时，结果精确到1小时)答案：4解析：因为0≤x ≤1，所以－2≤x －2≤－1， 所以5－2≤5x －2≤5－1，而5－2>0.02，又由x >1，得35·⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ≤150，得⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ≤130， 所以x ≥4.故至少要过4小时后才能开车．7．(xx·浙江六校联考)若实数a 和b 满足2×4a －2a ·3b ＋2×9b ＝2a ＋3b ＋1，则2a＋3b 的取值范围为________． 答案：(1,2]解析：令2a ＝x (x >0)，3b ＝y (y >0)，x ＋y ＝t (t >0)，则2×4a －2a ·3b ＋2×9b ＝2a ＋3b＋1 可化为2x 2－xy ＋2y 2＝x ＋y ＋1， 即5x 2－5tx ＋2t 2－t －1＝0， 令f (x )＝5x 2－5tx ＋2t 2－t －1， 则f (0)＝2t 2－t －1>0，Δ＝25t 2－20(2t 2－t －1)≥0，解得1<t ≤2，∴2a ＋3b 的取值范围为(1,2]．8．(xx·青岛质检)如果定义在R 上的函数f (x )，对任意两个不相等的实数x 1，x 2，都有x 1f (x 1)＋x 2f (x 2)>x 1f (x 2)＋x 2f (x 1)，则称函数f (x )为“H 函数”．给出下列函数：①y ＝x 2；②y ＝e x＋1；③y ＝2x －sin x ；④f (x )＝⎩⎨⎧ln|x |，x ≠0，0，x ＝0.以上函数是“H 函数”的所有序号为________． 答案：②③解析：由已知x 1f (x 1)＋x 2f (x 2)>x 1f (x 2)＋x 2f (x 1)，得(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]>0， 所以函数f (x )在R 上是增函数．对于①，y ＝x 2在(－∞，0)上为减函数，在(0，＋∞)上为增函数，其不是“H 函数”； 对于②，y ＝e x ＋1在R 上为增函数，所以其为“H 函数”；对于③，由于y ′＝2－cos x >0恒成立，所以y ＝2x －sin x 是增函数，所以其为“H 函数”；对于④，由于其为偶函数，所以其在R 上不可能是增函数，所以不是“H 函数”． 综上知，是“H 函数”的序号为②③.三、解答题(9题12分，10题、11题每题14分，共40分)9．已知函数f (x )＝－x 2＋2e x ＋t －1，g (x )＝x ＋e 2x(x >0，其中e 表示自然对数的底数)．(1)若g (x )＝m 有零点，求m 的取值范围；(2)确定t 的取值范围，使得g (x )－f (x )＝0有两个相异实根． 解：(1)解法一：作出g (x )＝x ＋e 2x的图象，如图，可知若使g (x )＝m 有零点，则只需m ≥2e. 故m 的取值范围是[2e ，＋∞)． 解法二：因为g (x )＝x ＋e2x≥2e 2＝2e ，等号成立的条件是x ＝e. 故g (x )的值域是[2e ，＋∞)，因而只需m ≥2e，则g (x )＝m 就有零点． 故m 的取值范围是[2e ，＋∞)．(2)若g (x )－f (x )＝0有两个相异的实根，即g (x )＝f (x )中函数g (x )与f (x )的图象有两个不同的交点，作出g (x )＝x ＋e 2x(x >0)的图象．因为f (x )＝－x 2＋2e x ＋t －1＝－(x －e)2＋t －1＋e 2. 其对称轴为x ＝e ，开口向下，最大值为t －1＋e 2.故当t －1＋e 2>2e ，即t >－e 2＋2e ＋1时，g (x )与f (x )有两个交点，即g (x )－f (x )＝0有两个相异实根．所以t 的取值范围是(－e 2＋2e ＋1，＋∞)．10.已知函数f (x )＝||x －1|－1|，若关于x 的方程f (x )＝t (t ∈R )恰有四个互不相等的实数根x 1，x 2，x 3，x 4(x 1<x 2<x 3<x 4)，求x 1＋x 2＋x 3·x 4的取值范围．解：作出函数f (x )的图象，如图所示．因||x －1|－1|＝t ，则t ≥0， 即|x －1|－1＝±t ，|x －1|＝1±t ； 所以1＋t ≥0且1－t ≥0， 解得0≤t ≤1；因为关于x 的方程f (x )＝t (t ∈R )恰有四个互不相等的实根x 1，x 2，x 3，x 4， 所以0<t <1，由图象知x 1＝－t 且x 1与x 2关于x ＝0对称，x 2与x 3关于x ＝1对称，x 3与x 4关于x ＝2对称，则x 1＋x 2＝0，x 2＋x 3＝2，x 3＋x 4＝4，因此这四个根是x 1＝－t ，x 2＝t ，x 3＝2－t ，x 4＝2＋t ， 故x 1＋x 2＋x 3·x 4＝－t ＋t ＋(2－t )(2＋t )＝4－t 2， 又0<t <1，所以3<4－t 2<4，即x 1＋x 2＋x 3·x 4的取值范围是(3,4)．11．(xx·山东潍坊联考)某工厂近期要生产一批化工试剂，经市场调查得知，生产这批试剂的成本分为以下三个部分：①生产1单位试剂需要原料费50元；②支付所有职工的工资总额由7 500元的基本工资和每生产1单位试剂补贴20元组成；③后续保养的费用是每单位⎝⎛ x ＋⎭⎪⎫600x －30元(试剂的总产量为x 单位，50≤x ≤200)．(1)把生产每单位试剂的成本表示为x 的函数P (x )，并求P (x )的最小值； (2)如果产品全部卖出，据测算销售额Q (x )(元)关于x 的函数关系式为Q (x )＝1 240x －130x 3，试问：当产量为多少时生产这批试剂的利润最高？ 解：(1)因为试剂总产量为x 单位，则由题意知，原料总费用为50x 元，职工的工资总额(7 500＋20x )元，后续保养总费用为x ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋600x－30元，则P (x )＝50x ＋7 500＋20x ＋x 2－30x ＋600x＝x ＋8 100x＋40(50≤x ≤200)．∵x ＋8 100x≥2x ·8 100x＝180，当且仅当x ＝8 100x，即x ＝90时，等号成立，∴P (x )≥220.即生产每单位试剂的成本最低为220元． (2)设工厂的总利润为f (x )(元)， 则f (x )＝Q (x )－xP (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1 240x －130x 3－x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋8 100x ＋40 ＝－130x 3－x 2＋1 200x －8 100(50≤x ≤200)．f ′(x )＝－110x 2－2x ＋1 200，令f ′(x )＝0，得x ＝100或x ＝－120(舍去)．当x∈(50,100)时，f′(x)>0，当x∈(100,200)时，f′(x)<0，∴当x＝100时，f(x)max＝f(100)，即当产量x＝100单位时，生产这批试剂的利润最高．实用文档。
2022高考数学二轮复习专题一函数与导数不等式第3讲不等式与线性规划
第3讲 不等式与线性规划一、选择题1．(2021·全国卷Ⅲ)已知a ＝243，b ＝323，c ＝2513，则( ) A ．b ＜a ＜c B ．a ＜b ＜c C ．b ＜c ＜aD ．c ＜a ＜b解析：a ＝243＝316，b ＝323＝39，c ＝2513＝325，所以b ＜a ＜c . 答案：A2．(2021·全国卷Ⅲ)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y －6≤0，x ≥0，y ≥0，则z ＝x －y 的取值范围是( )A ．[－3，0]B ．[－3，2]C ．[0，2]D ．[0，3]解析：画出不等式组表示的可行域(如图阴影部分所示)，结合目标函数的几何意义可得函数在点A (0，3)处取得最小值z ＝0－3＝－3，在点B (2，0)处取得最大值z ＝2－0＝2.答案：B3．(2021·枣庄模拟)若正数x ，y 满足1y ＋3x＝1，则3x ＋4y 的最小值是( )A ．24B ．28C ．25D ．26解析：因为正数x ，y 满足1y ＋3x＝1，则3x ＋4y ＝(3x ＋4y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1y ＋3x ＝13＋3x y ＋12y x≥13＋3×2x y ×4yx＝25，当且仅当x ＝2y ＝5时取等号．所以3x ＋4y 的最小值是25.答案：C4．(2021·杭州调研)在平面上，过点P 作直线l 的垂线所得的垂足称为点P 在直线l上的投影．由区域⎩⎪⎨⎪⎧x －2≤0，x ＋y ≥0，x －3y ＋4≥0中的点在直线x ＋y －2＝0上的投影构成的线段记为AB ，则|AB |＝( )A ．2 2B ．4C ．32D ．6解析：已知不等式组表示的平面区域如图中△PMQ 所示．因为直线x ＋y －2＝0与直线x ＋y ＝0平行．所以区域内的点在直线x ＋y －2上的投影构成线段AB ，则|AB |＝|PQ |.由⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋4＝0，x ＋y ＝0，解得P (－1，1)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，x ＋y ＝0解得Q (2，－2)．所以|AB |＝|PQ |＝（－1－2）2＋（1＋2）2＝3 2. 答案：C5．已知一元二次不等式f (x )＜0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪⎭⎪⎫x ＜－1或x ＞13，则f (e x)＞0的解集为( )(导学号 55410096)A ．{x |x ＜－1或x ＞－ln 3}B ．{x |x ＞－ln 3}C ．{x |－1＜x ＜－ln 3}D ．{x |x ＜－ln 3}解析：由题设，知f (x )＞0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，13又f (e x )＞0，得－1＜e x＜13所以x ＜ln 13＝－ln 3.故f (e x)＞0的解集为{x |x ＜－ln 3}． 答案：D 二、填空题6．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，x ＞0，⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ，x ≤0，那么不等式f (x )≥1的解集为________．解析：当x ＞0时，由log 3x ≥1可得x ≥3，当x ≤0时，由⎝ ⎛⎭⎪⎫13x≥1可得x ≤0，所以不等式f (x )≥1的解集为(－∞，0]∪[3，＋∞)． 答案：(－∞，0]∪[3，＋∞)7．(2021·北京卷改编)若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≤3，x ＋y ≥2，y ≤x ，则x ＋2y 的最大值为________．解析：画出可行域，设z ＝x ＋2y ，则y ＝－12x ＋z 2，当直线y ＝－12x ＋z2过B (3，3)时，z 取得最大值9.答案：98．(2021·北京卷)已知x ≥0，y ≥0，且x ＋y ＝1，则x 2＋y 2的取值范围是________． 解析：法一 因为x ≥0，y ≥0且x ＋y ＝1. 所以2xy ≤x ＋y ＝1， 从而0≤xy ≤14.因此x 2＋y 2＝(x ＋y )2－2xy ＝1－2xy . 所以12≤x 2＋y 2≤1.法二可转化为线段AB 上的点到原点距离平方的范围，AB 上的点到原点距离的范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，1，则x 2＋y 2的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1 三、解答题9．(2021·肇庆模拟改编)设关于x ，y 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1＞0，x ＋m ＜0，y －m ＞0表示的平面区域内存在点P (x 0，y 0)，满足x 0－2y 0＝2，求实数m 的取值范围．解：先根据约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1＞0，x ＋m ＜0，y －m ＞0画出可行域(图略)．要使可行域存在，必有m ＜－2m ＋1，要求可行域包含直线y ＝12x －1上的点，只要边界点(－m ，1－2m )在直线y ＝12x －1的上方，且(－m ，m )在直线y ＝12x －1的下方，故得不等式组⎩⎪⎨⎪⎧m ＜－2m ＋1，1－2m ＞－12m －1，m ＜－12m －1，解之得m ＜－23.故实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－23.10．已知函数f (x )＝2xx 2＋6.(导学号 55410097) (1)若f (x )>k 的解集为{x |x <－3或x >－2}，求k 的值； (2)对任意x >0，f (x )≤t 恒成立，求t 的取值范围． 解：(1)f (x )>k ⇔kx 2－2x ＋6k <0.由已知{x |x <－3或x >－2}是其解集，得kx 2－2x ＋6k ＝0的两根是－3，－2. 由根与系数的关系可知(－2)＋(－3)＝2k ，即k ＝－25.(2)因为x >0，f (x )＝2x x 2＋6＝2x ＋6x≤226＝66，当且仅当x ＝6时取等号． 由已知f (x )≤t 对任意x >0恒成立， 故t ≥66，即t 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫66，＋∞. 11．(2021·天津卷)电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告．已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示：连续剧 连续剧播放时长(分钟) 广告播放时长(分钟) 收视人次(万) 甲 70 5 60 乙60525不少于30分钟，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍．分别用x ，y 表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数．(导学号 54850098)(1)用x ，y 列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域； (2)问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使总收视人次最多？ 解：(1)由已知，x ，y 满足的数学关系式为⎩⎪⎨⎪⎧70x ＋60y ≤600，5x ＋5y ≥30，x≤2y ，x ≥0，y ≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧7x ＋6y ≤60，x ＋y ≥6，x －2y ≤0，x ≥0，y ≥0，该二元一次不等式组所表示的平面区域为图1中的阴影部分：图1(2)设总收视人次为z 万，则目标函数为z ＝60x ＋25y .将它变形为y ＝－125x ＋z 25，这是斜率为－125随z 变化的一簇平行直线，z25为直线在y轴上的截距，当z25取得最大值时，z 的值最大．又因为x ，y 满足约束条件，所以由图2可知，当直线z ＝60x ＋25y 经过可行域上的点M 时，截距z25最大，即z 最大．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧7x ＋6y ＝60，x －2y ＝0，得点M 的坐标为(6，3)．所以，电视台每周播出甲连续剧6次、乙连续剧3次时才能使总收视人次最多．图2。
高考数学二轮复习专题
高考数学二轮复习专题汇总1专题一：集合、函数、导数与不等式。
此专题函数和导数以及应用导数知识解决函数问题是重点，特别要注重交汇问题的训练。
每年高考中导数所占的比重都非常大，一般情况是在客观题中考查导数的几何意义和导数的计算，属于容易题;二是在解答题中进行综合考查，主要考查用导数研究函数的性质，用函数的单调性证明不等式等，此题具有很高的综合性，并且与思想方法紧密结合。
2专题二：数列、推理与证明。
数列由旧高考中的压轴题变成了新高考中的中档题，主要考查等差等比数列的通项与求和，与不等式的简单综合问题是近年来的热门问题。
3专题三：三角函数、平面向量和解三角形。
平面向量和三角函数的图像与性质、恒等变换是重点。
近几年高考中三角函数内容的难度和比重有所降低，但仍保留一个选择题、一个填空题和一个解答题的题量，难度都不大，但是解三角形的内容应用性较强，将解三角形的知识与实际问题结合起来将是今后命题的一个热点。
平面向量具有几何与代数形式的“双重性”，是一个重要的知识交汇点，它与三角函数、解析几何都可以整合。
4专题四：立体几何。
注重几何体的三视图、空间点线面的关系及空间角的计算，用空间向量解决点线面的问题是重点。
5专题五：解析几何。
直线与圆锥曲线的位置关系、轨迹方程的探求以及最值范围、定点定值、对称问题是命题的主旋律。
近几年高考中圆锥曲线问题具有两大特色：一是融“综合性、开放性、探索性”为一体;二是向量关系的引入、三角变换的渗透和导数工具的使用。
我们在注重基础的同时，要兼顾直线与圆锥曲线综合问题的强化训练，尤其是推理、运算变形能力的训练。
6专题六：概率与统计、算法与复数。
要求具有较高的阅读理解和分析问题、解决问题的能力。
高考对算法的考查集中在程序框图，主要通过数列求和、求积设计问题。
高考数学二轮复习策略1.加强思维训练，规范答题过程解题一定要非常规范，俗语说：“不怕难题不得分，就怕每题都扣分”，所以大家要形成良好的思维品质和学习习惯，务必将解题过程写得层次分明结构完整。
2021-2022年(新课程)高中数学二轮复习 精选过关检测1函数与导数、不等式 新人教版
2021-2022年（新课程）高中数学二轮复习 精选过关检测1函数与导数、不等式 新人教版一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)1．设全集U ＝{1,2,3,4,5}，集合M ＝{1,4}，N ＝{1,3,5}，则N ∩(∁U M )＝( )．A ．{1,3}B ．{1,5}C ．{3,5}D ．{4,5}2．若a ＞0＞b ＞－a ，c ＜d ＜0，则下列命题：(1)ad ＞bc ；(2)a d ＋bc＜0；(3)a－c ＞b －d ；(4)a ·(d －c )＞b (d －c )中能成立的个数是( )．A ．1B ．2C ．3D ．4 3．已知函数f (x )＝log 2(x ＋1)，若f (a )＝1，则a 等于( )．A ．0B ．1C ．2D ．34．(xx·汕头测评)设曲线y ＝ax 2在点(1，a )处的切线与直线2x －y －6＝0平行，则a ＝( )．A ．1 B.12 C ．－12 D ．－15．函数f (x )＝2x－x －2的一个零点所在的区间是( )．A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)6．设函数f (x )在定义域内可导，y ＝f (x )的图象如图，则导函数y ＝f ′(x )的图象可能为( )．7．(xx·泉州质检)已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ，则“f (2)≥0”是“函数f (x )在(1，＋∞)单调递增”的( )．A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要8．下列结论错误的是( )．A ．命题“若p ，则q ”与命题“若綈q ，则綈p ”互为逆否命题B ．命题p ：∀x ∈[0,1]，e x ≥1；命题q ：∃x ∈R ，x 2＋x ＋1＜0，则p ∨q 为真 C ．“若am 2＜bm 2，则a ＜b ”的逆命题为真命题 D ．若p ∨q 为假命题，则p 、q 均为假命题9．(xx·太原模拟)a ，b ∈(0，＋∞)，a ＋3b ＝1，则3a ＋1b的最小值为( )．A ．12B ．16C ．24D ．3210．已知函数f (x )＝x 2－ax ＋3在(0,1)上为减函数，函数g (x )＝x 2－a ln x 在(1,2)上为增函数，则a 的值等于( )．A ．1B ．2C ．0 D. 2二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分) 11．函数y ＝log 2x (3－x )的定义域是________．12．(xx·江苏)函数y ＝x 2(x ＞0)的图象在点(a k ，a 2k )处的切线与x 轴的交点的横坐标为a k＋1，其中k ∈N *.若a 1＝16，则a 1＋a 3＋a 5的值是________．13．已知函数y ＝f (x )＝x 3＋3ax 2＋3bx ＋c 在x ＝2处有极值，其图象在x ＝1处的切线平行于直线6x ＋2y ＋5＝0，则极大值与极小值之差为________．14．已知函数y ＝f (x )是R 上的偶函数，对于x ∈R 都有f (x ＋6)＝f (x )＋f (3)成立，当x 1，x 2∈[0,3]，且x 1≠x 2时，都有f x 1－f x 2x 1－x 2＞0，给出下列命题：①f (3)＝0；②直线x ＝－6是函数y ＝f (x )的图象的一条对称轴； ③函数y ＝f (x )在[－9，－6]上为增函数；④函数y ＝f (x )在[－9,9]上有四个零点．其中所有正确命题的序号为________(把所有正确命题的序号都填上)． 三、解答题(本大题共5小题，共54分)15．(10分)设函数f (x )＝ax 2＋(b －2)x ＋3(a ≠0)，若不等式f (x )＞0的解集为(－1,3)．(1)求a ，b 的值；(2)若函数f (x )在x ∈[m,1]上的最小值为1，求实数m 的值． 16．(10分)已知函数f (x )＝x 3－3ax 2＋3x ＋1.(1)设a ＝2，求f (x )的单调区间；(2)设f (x )在区间(2,3)中至少有一个极值点，求a 的取值范围. 17．(10分)已知函数f (x )＝13ax 3＋bx 2＋x ＋3，其中a ≠0.(1)当a ，b 满足什么条件时，f (x )取得极值？(2)已知a ＞0，且f (x )在区间(0,1]上单调递增，试用a 表示出b 的取值范围． 18．(12分)(xx·郑州质检)设函数f (x )＝ln x －p (x －1)，p ∈R .(1)当p ＝1时，求函数f (x )的单调区间；(2)设函数g (x )＝xf (x )＋p (2x 2－x －1)(x ≥1)，求证：当p ≤－12时，有g (x )≤0.19．(12分)(xx·临沂一模)设函数f (x )＝x e x，g (x )＝ax 2＋x .(1)若f (x )与g (x )具有完全相同的单调区间，求a 的值； (2)若当x ≥0时恒有f (x )≥g (x )，求a 的取值范围．参考答案1．C [∁U M ＝{2,3,5}，N ＝{1,3,5}，则N ∩(∁U M )＝{1,3,5}∩{2,3,5}＝{3,5}．] 2．C [∵a ＞0＞b ，c ＜d ＜0，∴ad ＜0，bc ＞0，∴ad ＜bc ，∴(1)错误．∵a ＞0＞b ＞－a ，∴a ＞－b ＞0，∵c ＜d ＜0，∴－c ＞－d ＞0， ∴a (－c )＞(－b )(－d )， ∴ac ＋bd ＜0，∴a d ＋b c ＝ac ＋bdcd＜0，∴(2)正确．∵c ＜d ，∴－c ＞－d ，∵a ＞b ，∴a ＋(－c )＞b ＋(－d )，a －c ＞b －d ， ∴(3)正确．∵a ＞b ，d －c ＞0，∴a (d －c )＞b (d －c )，∴(4)正确，故选C.] 3．B [由f (a )＝1，得log 2(a ＋1)＝1，∴a ＋1＝2，∴a ＝1.]4．A [由y ′＝2ax ，又点(1，a )在曲线y ＝ax 2上，依题意得k ＝y ′|x ＝1＝2a ＝2.解得a ＝1.]5．B [观察函数y ＝2x和函数y ＝x ＋2的图象可知，函数f (x )＝2x－x －2有一个大于零的零点，又f (1)＝1－2＜0，f (2)＝2－2＞0，根据函数零点的存在性定理知函数的一个零点在区间(1,2)上．]6．D [当x ∈(－∞，0)时，f (x )是增函数，∴f ′(x )＞0，排除A 、C 项，又当x ∈(0，＋∞)时，函数f (x )有两个极值点，排除B 项，故选D.]7．C [函数f (x )在(1，＋∞)单调递增，则a ＞0，x ＝－b2a ≤1，所以b ≥－2a .这与f (2)≥0等价．而f (2)≥0，不能确定函数f (x )在(1，＋∞)单调递增．]8．C [根据四种命题的构成规律，选项A 中的结论是正确的；选项B 中的命题p 是真命题，命题q 是假命题，故p ∨q 为真命题，选项B 中的结论正确；当m ＝0时，a ＜b ⇒am 2＝bm 2，故选项C 中的结论不正确；选项D 中的结论正确，故选C.] 9．A [3a ＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3a ＋1b (a ＋3b )＝3＋9b a ＋ab＋3≥6＋2a b ·9b a ＝12(当且仅当9b a ＝ab时，取“＝”号)．]10．B [∵函数f (x )＝x 2－ax ＋3在(0,1)上为减函数，∴a 2≥1，得a ≥2.又∵g ′(x )＝2x －ax ，依题意g ′(x )≥0在x ∈(1,2)上恒成立，得2x 2≥a在x ∈(1,2)上恒成立，有a ≤2，∴a ＝2.]11．解析 由x (3－x )＞0，得0＜x ＜3，故其定义域为(0,3)．答案 (0,3)12．解析 对函数y ＝x 2，y ′＝2x ，∴函数y ＝x 2(x ＞0)在点(a k ，a 2k )处的切线方程为y －a 2k ＝2a k (x －a k )， 令y ＝0，得，a k ＋1＝12a k .又∵a 1＝16，∴a 3＝12a 2＝14a 1＝4，a 5＝14a 3＝1，∴a 1＋a 3＋a 5＝16＋4＋1＝21.答案 2113．解析 ∵y ′＝3x 2＋6ax ＋3b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧3×22＋6a ×2＋3b ＝0，3×12＋6a ×1＋3b ＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝0.∴y ′＝3x 2－6x .令3x 2－6x ＝0，得x ＝0或x ＝2， ∴f (x )极大值－f (x )极小值＝f (0)－f (2)＝4. 答案 414．解析 取x ＝－3，则f (3)＝f (－3)＋f (3)，又y ＝f (x )是R 上的偶函数，∴f (－3)＝f (3)＝0，即f (x ＋6)＝f (x )，∴f (x )是周期函数且T ＝6，故①②正确；由题意可知f (x )在[0,3]上是增函数，∴在[－3,0]上是减函数，故在[－9，－6]上为减函数，③错误；f (－3)＝f (3)＝f (9)＝f (－9)＝0，④正确．答案 ①②④15．解 (1)由条件得⎩⎪⎨⎪⎧－1＋3＝－b －2a，－1×3＝3a，解得：a ＝－1，b ＝4.(2)f (x )＝－x 2＋2x ＋3，对称轴方程为x ＝1， ∴f (x )在x ∈[m,1]上单调递增． ∴x ＝m 时，f (x )min ＝－m 2＋2m ＋3＝1， 解得m ＝1± 3.∵m ＜1，∴m ＝1－ 3. 16．解 (1)当a ＝2时，f (x )＝x 3－6x 2＋3x ＋1.f ′(x )＝3x 2－12x ＋3＝3(x 2－4x ＋1)＝3(x －2＋3)(x －2－3)．当x ＜2－3，或x ＞2＋3时，得f ′(x )＞0； 当2－3＜x ＜2＋3时，得f ′(x )＜0.因此f (x )递增区间是(－∞，2－3)与(2＋3，＋∞)；f (x )的递减区间是(2－3，2＋3)．(2)f ′(x )＝3x 2－6ax ＋3，Δ＝36a 2－36，由Δ＞0得，a ＞1或a ＜－1，又x 1x 2＝1，可知f ′(2)＜0，且f ′(3)＞0， 解得54＜a ＜53，因此a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫54，53.17．解 (1)由题意知，f ′(x )＝ax 2＋2bx ＋1，当(2b )2－4a ≤0时，f (x )无极值，当(2b )2－4a ＞0，即b 2＞a 时，f ′(x )＝ax 2＋2bx ＋1＝0有两个不同的解，即x 1＝－b －b 2－aa，x 2＝－b ＋b 2－a a，因此f ′(x )＝a (x －x 1)(x －x 2)．①当a ＞0时，f (x )，f ′(x )随x 的变化情况如下表：12 ②当a ＜0时，f (x )，f ′(x )随x 的变化情况如下表：12(2)由题意知f ′(x )＝ax 2＋2bx ＋1≥0在区间(0,1]上恒成立，则b ≥－ax2－12x，x ∈(0,1]． 设g (x )＝－ax2－12x，x ∈(0,1]． ①当1a∈(0,1]，即a ≥1时，g (x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫ax 2＋12x ≤－2a4＝－a .等号成立的条件为x ＝1a∈(0,1]，[g (x )]最大值＝g ⎝⎛⎭⎪⎫1a ＝－a ，因此b ≥－a . ②当1a ＞1，即0＜a ＜1时，g ′(x )＝－a2＋12x 2＝1－ax 22x 2＞0，[g (x )]最大值＝g (1)＝－a2－12＝－a ＋12，所以b ≥－a ＋12. 综上所述，当a ≥1时，b ≥－a ；当0＜a ＜1时，b ≥－a ＋12.18．(1)解 当p ＝1时，f (x )＝ln x －x ＋1，其定义域为(0，＋∞)， ∴f ′(x )＝1x－1，由f ′(x )＝1x－1＞0，得0＜x ＜1，所以f (x )的单调递增区间为(0,1)， 单调递减区间为(1，＋∞)．(2)证明 由函数g (x )＝xf (x )＋p (2x 2－x －1) ＝x ln x ＋p (x 2－1)， 得g ′(x )＝ln x ＋1＋2px .由(1)知，当p ＝1时，f (x )≤f (1)＝0，即不等式ln x ≤x －1成立， 所以当p ≤－12时，g ′(x )＝ln x ＋1＋2px ≤(x －1)＋1＋2px ＝(1＋2p )x ≤0，即g (x )在[1，＋∞)上单调递减， 从而g (x )≤g (1)＝0满足题意． 19．解 (1)f ′(x )＝e x＋x e x＝(1＋x )e x，当x ＜－1时，f ′(x )＜0，f (x )在(－∞，－1)内单调递减；当x ＞－1时，f ′(x )＞0，f (x )在(－1，＋∞)内单调递增．又g ′(x )＝2ax ＋1，由g ′(－1)＝－2a ＋1＝0得，a ＝12.此时g (x )＝12x 2＋x ＝12(x ＋1)2－12，显然g (x )在(－∞，－1)内单调递减，在(－1，＋∞)内单调递增，故a ＝12.(2)由f (x )≥g (x )，得f (x )－g (x )＝x (e x－ax －1)≥0， 令F (x )＝e x －ax －1，则F ′(x )＝e x－a . ∵x ≥0，∴F ′(x )＝e x－a ≥1－a .若a ≤1，则当x ∈(0，＋∞)时，F ′(x )＞0，F (x )为增函数，而F (0)＝0， 从而当x ≥0，F (x )≥0，即f (x )≥g (x )；若a ＞1，则当x ∈(0，ln a )时，F ′(x )＜0，F (x )为减函数，而F (0)＝0， 从而当x ∈(0，ln a )时F (x )＜0，即f (x )＜g (x )，则f (x )≥g (x )不成立．综上，a 的取值范围为(－∞，1]．36947 9053 道125869 650D 攍25423 634F 捏21404 539C 厜f 29719 7417 琗 33460 82B4 芴`28464 6F30漰 U34268 85DC 藜。
2021-2022年高考数学二轮专题复习 专题突破篇 专题一 集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数
2021年高考数学二轮专题复习 专题突破篇 专题一 集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数专题限时训练2 文一、选择题(每小题5分，共25分)1．(xx·豫东、豫北十校联考)下列函数既是奇函数，又在区间[－1,1]上单调递减的是( )A ．f (x )＝sin xB ．f (x )＝ln 2－x2＋xC ．f (x )＝－|x ＋1|D ．f (x )＝12(e x －e －x )答案：B解析：对于A ，y ＝sin x 是奇函数，但它在[－1,1]上为增函数；对于B ，由(2－x )(2＋x )>0，得－2<x <2，所以f (x )＝ln 2－x 2＋x的定义域是(－2,2)，关于原点对称，因为f (－x )＝ln2＋x 2－x ＝－ln 2－x 2＋x ＝－f (x )，所以f (x )＝ln 2－x 2＋x 是奇函数．又t ＝2－x2＋x＝－1＋42＋x 在区间[－1,1]上单调递减，故由复合函数的单调性可知函数f (x )＝ln 2－x 2＋x 在区间[－1,1]上单调递减；对于C ，f (x )＝－|x ＋1|为非奇非偶函数；对于D ，f (x )＝12(e x－e－x)是奇函数，但它在[－1,1]上为增函数，故选B.2．(xx·陕西卷)下列函数中，满足“f (x ＋y )＝f (x )f (y )”的单调递增函数是( ) A ．f (x )＝x 12B ．f (x )＝x 3C ．f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12xD ．f (x )＝3x答案：D解析：根据各选项知，选项C ，D 中的指数函数满足f (x ＋y )＝f (x )f (y )．又f (x )＝3x 是增函数，所以D 正确．3．(xx·山西太原模拟)函数f (x )＝xx 2＋a的图象不可能是( )答案：D解析：当a ＝0时，f (x )＝xx 2＋a ＝1x，C 选项有可能．当a ≠0时，f (0)＝xx 2＋a＝0，所以D 选项不可能，故选D.4．设f (x )是定义在实数集R 上的函数，满足条件y ＝f (x ＋1)是偶函数，且当x ≥1时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13的大小关系是( )A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13B ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13D ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23答案：A解析：函数y ＝f (x ＋1)是偶函数，所以f (－x ＋1)＝f (x ＋1)，即函数关于x ＝1对称．所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫53，当x ≥1时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－1单调递减，所以由43<32<53，可得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫53， 即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，故选A.5．若定义在[－2 015，2 015]上的函数f (x )满足：对任意x 1，x 2∈[－2 015,2 015]有f (x 1＋x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)－2 014，且x >0时，f (x )>2 014，记f (x )在[－2 015,2 015]上的最大值和最小值为M ，N ，则M ＋N 的值为( )A ．2 015B ．2 016C ．4 027D ．4 028答案：D解析：令x 1＝x 2＝0，得f (0)＝2 014. 设－2 015<x 1<x 2<2 015，且x 2＝x 1＋h (h >0)， 则f (h )>2 014.所以f (x 2)＝f (x 1＋h )＝f (x 1)＋f (h )－2 014>f (x 1)． 可知f (x )在[－2 015,2 015]上是增函数．故M ＋N ＝f (2 015)＋f (－2 015)＝f (2 015－2 015)＋2 014＝f (0)＋2 014＝4 028. 二、填空题(每小题5分，共15分)6．(xx·山西太原模拟)已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32－x ＝f (x )，f (－2)＝－3，数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝－1，S n ＝2a n ＋n (n ∈N *)，则f (a 5)＋f (a 6)＝________.答案：3解析：∵奇函数f (x )满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32－x ＝f (x )，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32－x ＝－f (x )，∴f (x )＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋32＝f (x ＋3)，∴f (x )是以3为周期的周期函数， ∵S n ＝2a n ＋n ，① ∴S n ＋1＝2a n ＋1＋n ＋1，② ②－①可得a n ＋1＝2a n －1，结合a 1＝－1，可得a 5＝－31，a 6＝－63， ∴f (a 5)＝f (－31)＝f (2)＝－f (－2)＝3，f (a 6)＝f (－63)＝f (0)＝0，∴f (a 5)＋f (a 6)＝3.7．(xx·浙江温州模拟)已知奇函数f (x )满足f (x ＋2)＝－f (x )，且当x ∈(0,1)时，f (x )＝2x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72＝________.答案：－2解析：由f (x ＋2)＝－f (x )，得f (x ＋4)＝f (x )， 所以f (x )是周期为4的周期函数．所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72－4＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，又当x ∈(0,1)时，f (x )＝2x ，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝212＝2，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72＝－ 2.8．(xx·河北保定模拟)已知定义在R 上的偶函数满足：f (x ＋4)＝f (x )＋f (2)，且当x ∈[0,2]时，y ＝f (x )单调递减，给出以下四个命题：①f (2)＝0；②x ＝－4为函数y ＝f (x )图象上的一条对称轴； ③函数y ＝f (x )在[8,10]上单调递增；④若方程f (x )＝m 在[－6，－2]上的两根为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝－8. 则所有正确命题的序号为________． 答案：①②④解析：令x ＝－2，得f (2)＝f (－2)＋f (2)， 又函数f (x )是偶函数，故f (2)＝0；根据f (x ＋4)＝f (x )＋f (2)可得f (x ＋4)＝f (x )， 可得函数f (x )的周期是4， 由于偶函数的图象关于y 轴对称，故x ＝－4也是函数y ＝f (x )图象的一条对称轴；根据函数的周期性可知，函数f (x )在[8,10]上单调递减，③不正确； 由于函数f (x )的图象关于直线x ＝－4对称，故如果方程f (x )＝m 在区间[－6，－2]上的两根为x 1，x 2，则x 1＋x 22＝－4，即x 1＋x 2＝－8.故正确命题的序号为①②④.三、解答题(9题12分，10题、11题每题14分，共40分)9．(xx·山东阶段测试)已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ，b 为实数，a ≠0，x ∈R )． (1)若函数f (x )的图象过点(－2,1)，且方程f (x )＝0有且只有一个根，求f (x )的表达式；(2)在(1)的条件下，当x ∈[－1,2]时，g (x )＝f (x )－kx 是单调函数，求实数k 的取值范围．解：(1)因为f (－2)＝1，即4a －2b ＋1＝1，所以b ＝2a . 因为方程f (x )＝0有且只有一个根， 所以Δ＝b 2－4a ＝0.所以4a 2－4a ＝0，所以a ＝1，所以b ＝2. 所以f (x )＝(x ＋1)2.(2)g (x )＝f (x )－kx ＝x 2＋2x ＋1－kx ＝x 2－(k －2)x ＋1＝⎝⎛⎭⎪⎫x －k －222＋1－k －224.由g (x )的图象知，要满足题意，则k －22≥2或k －22≤－1，即k ≥6或k ≤0，∴所求实数k 的取值范围为(－∞，0]∪[6，＋∞)．10.(xx·潍坊模拟)已知函数f (x )＝－x ＋log 21－x1＋x.(1)求f ⎝⎛⎭⎪⎫12 015＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12 015的值；(2)当x ∈(－a ，a ]，其中a ∈(0,1)，a 是常数，函数f (x )是否存在最小值？若存在，求出f (x )的最小值；若不存在，请说明理由．解：(1)由1－x1＋x >0，得(x ＋1)(x －1)<0，解得－1<x <1.所以函数f (x )的定义域为(－1,1)．又因为f (－x )＝x ＋log 21＋x 1－x ＝x －log 21－x1＋x ＝－f (x )，所以函数f (x )为奇函数，即f (－x )＋f (x )＝0，所以f ⎝⎛⎭⎪⎫12 015＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12 015＝0.(2)存在最小值，任取x 1，x 2∈(－1,1)且设x 1<x 2， 则f (x 2)－f (x 1)＝(x 1－x 2)＋log 21－x 21＋x 2－log 21－x 11＋x 1，易知f (x 2)－f (x 1)<0，所以函数f (x )为(－1,1)上的减函数， 又x ∈(－a ，a ]且a ∈(0,1)， 所以f (x )min ＝f (a )＝－a ＋log 21－a1＋a.11．设f (x )＝a x ＋b 同时满足条件f (0)＝2和对任意x ∈R 都有f (x ＋1)＝2f (x )－1成立．(1)求f (x )的解析式；(2)设函数g (x )的定义域为[－2,2]，且在定义域内g (x )＝f (x )，且函数h (x )的图象与g (x )的图象关于直线y ＝x 对称，求h (x )的解析式，并标注出定义域；(3)求函数y ＝g (x )＋h (x )的值域． 解：(1)由f (0)＝2，得b ＝1，由f (x ＋1)＝2f (x )－1，得a x (a －2)＝0， 由a x>0，得a ＝2， 所以f (x )＝2x ＋1.(2)由题意知，当x ∈[－2,2]时，g (x )＝f (x )＝2x ＋1.设点P (x ，y )是函数h (x )的图象上任意一点，它关于直线y ＝x 对称的点为P ′(y ，x )，依题意点P ′(y ，x )在函数g (x )的图象上，即x ＝2y＋1， 所以y ＝log 2(x －1)，即h (x )＝log 2(x －1)⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤54，5.(3)由已知，得y ＝log 2(x －1)＋2x ＋1，且两个函数的公共定义域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤54，2，所以函数y ＝g (x )＋h (x )＝log 2(x －1)＋2x＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤54，2. 由于函数g (x )＝2x＋1与h (x )＝log 2(x －1)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤54，2上均为增函数，当x ＝54时，y ＝242－1，当x ＝2时，y ＝5，所以函数y ＝g (x )＋h (x )⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤54，2的值域为[242－1,5]．。
高考数学二轮复习上篇专题整合突破专题一函数与导数不等式第2讲不等式问题课件理
高考定位 高考对本内容的考查主要有：(1)一元二次不等 式是C级要求，要求在初中所学二次函数的基础上，掌握二 次函数、二次不等式、二次方程之间的联系和区别，可以单 独考查，也可以与函数、方程等构成综合题；(2)线性规划 的要求是A级，理解二元一次不等式对应的平面区域，能够 求线性目标函数在给定区域上的最值，同时对一次分式型函 数、二次型函数的最值也要有所了解；(3)基本不等式是C级 要求，理解基本不等式在不等式证明、函数最值的求解方面 的重要应用.
c＝m， c＝m＋6，
① ②
②－①，得 2 c＝6，∴c＝9.
答案 (1)(－5，0)∪(5，＋∞) (2)9
探究提高 解一元二次不等式一般要先判断二次 项系数的正负也即考虑对应的二次函数图象的开 口方向，再考虑方程根的个数也即求出其判别式 的符号，有时还需要考虑其对称轴的位置，根据 条件列出方程组或结合对应的函数图象求解.
探究提高 在利用基本不等式时往往都需要变形， 变形的原则是在已知条件下通过变形凑出基本不 等式应用的条件，即“和”或“积”为定值，等号能够 取得.
[微题型 2] 基本不等式在实际问题中的应用 【例 2－2】 (2016·南通调研)如图，在 C 城周边已有
两条公路 l1，l2 在点 O 处交汇.已知 OC＝( 2＋ 6)km，∠AOB＝75°，∠AOC＝45°，现规划在
32＋1(x－2＋x－4 2＋4)≥
3＋1 2
×8＝4( 3＋1).
当且仅当 x＝4 时取等号，此时 y＝4 2.
故 OA＝4 km，OB＝4 2 km 时，△OAB 面积的
最小值为 4( 3＋1) km2.
探究提高 在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、 拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中 字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号 取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.
2021-2022年高考数学二轮专题复习 专题突破篇 专题一 集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数
2021年高考数学二轮专题复习 专题突破篇 专题一 集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数专题限时训练4 文一、选择题(每小题5分，共25分)1．(xx·河南洛阳统考)设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的导函数为f ′(x )．若∀x ∈R ，不等式f (x )≥f ′(x )恒成立，则b 2a 2＋2c 2的最大值为( )A.6＋2B.6－2 C ．22＋2 D ．22－2答案：B解析：由题意，得f ′(x )＝2ax ＋b ，由f (x )≥f ′(x )在R 上恒成立，得ax 2＋(b －2a )x ＋c －b ≥0在R 上恒成立，则a >0且Δ≤0，可得b 2≤4ac －4a 2，则b 2a 2＋2c 2≤4ac －4a 2a 2＋2c 2＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫c a －12⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2＋1， 令t ＝c a－1，可知t ≥0.当t >0时，b 2a 2＋2c 2≤4t2t 2＋4t ＋3＝42t ＋3t＋4≤426＋4＝6－2⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当t ＝62时等号成立， 当t ＝0时，b 2a 2＋2c 2＝0，故b 2a 2＋2c 2的最大值为6－2.故选B.2．(xx·山东卷)已知x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －y ≥0，x ＋y ≤2，y ≥0.若z ＝ax ＋y 的最大值为4，则a ＝( )A ．3B ．2C ．－2D ．－3答案：B解析：画出不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示，若z ＝ax ＋y 的最大值为4，则最优解为x ＝1，y ＝1或x ＝2，y ＝0，经检验知x ＝2，y ＝0符合题意，∴ 2a ＋0＝4，此时a ＝2.故选B.3．已知点A (2，－2)，点P (x ，y )在⎩⎨⎧x －y ＋1≥0，x ＋y ＋1≥0，2x －y －1≥0所表示的平面区域内，则OP→在OA →方向上投影的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－22，22 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，22C.⎝ ⎛⎦⎥⎤－22，22 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，22 答案：D解析：不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示．由向量投影的几何意义知，当点P 与点D 重合时投影最大，当点P 与点B 或点C 重合时投影最小．又C (－1,0)，D (0，－1)， 所以OC →＝(－1,0)，OD →＝(0，－1)， 所以OD →在OA →方向上的投影为OD →·OA →|OA →|＝22，OC →在OA →方向上的投影为OC →·OA →|OA →|＝－22，故OP →在OA →方向上投影的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，22.4．若a ，b 为实数，则“0<ab <1”是“a <1b 或b >1a”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案：A解析：0<ab <1可分为两种情况：当a >0，b >0时，由0<ab <1两边同除b 可得a <1b；当a <0，b <0时，两边同除以a 可得b >1a.所以“0<ab <1”是“a <1b 或b >1a”的充分条件，反之，当a <1b 或b >1a 时，可能有ab <0，所以“0<ab <1”是“a <1b 或b >1a”的不必要条件，故应为充分不必要条件．5．已知三点A (2,1)，B (1，－2)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－15，动点P (a ，b )满足0≤OP →·OA →≤2，且0≤OP →·OB →≤2，则动点P 到点C 的距离小于15的概率为( )A.π20 B ．1－π20C.19π20D ．1－19π20答案：A解析：动点P (a ，b )满足的不等式组为⎩⎨⎧0≤2a ＋b ≤2，0≤a －2b ≤2，画出可行域可知点P 在以C ⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－15为中心且边长为255的正方形及内部运动，而点P 到点C 的距离小于15的区域是以C ⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－15为圆心且半径为15的圆的内部，所以概率P ＝π⎝ ⎛⎭⎪⎫152⎝ ⎛⎭⎪⎫2552＝π20.故选A.二、填空题(每小题5分，共15分)6．(xx·河北唐山一模)已知x ，y ∈R 且满足x 2＋2xy ＋4y 2＝6，则z ＝x 2＋4y 2的取值范围是________．答案：[4,12]解析：∵2xy ＝6－(x 2＋4y 2)，而2xy ≤x 2＋4y 22，∴6－(x 2＋4y 2)≤x 2＋4y 22，∴x 2＋4y 2≥4(当且仅当x ＝2y 时，等号成立)． 又∵(x ＋2y )2＝6＋2xy ≥0，即2xy ≥－6，∴z ＝x 2＋4y 2＝6－2xy ≤12(当且仅当x ＝－2y 时，等号成立)． 综上可知，4≤x 2＋4y 2≤12.7．(xx·浙江卷)设函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋x ，x <0，－x 2，x ≥0.若f (f (a ))≤2，则实数a 的取值范围是________．答案：(－∞，2]解析：结合图形(图略)，由f (f (a ))≤2可得f (a )≥－2，可得a ≤ 2.8．设实数x ，y 满足⎩⎨⎧x ＋y －6≤0，x －y －1≤0，x ≥2，则μ＝y x的取值范围是________．答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2解析：由约束条件⎩⎨⎧x ＋y －6≤0，x －y －1≤0，x ≥2作出可行域如图阴影部分所示．μ＝yx的几何意义是原点与可行域内动点连线的斜率，联立⎩⎨⎧ x ＝2，x －y －1＝0，解得A (2,1)．联立⎩⎨⎧x ＝2，x ＋y －6＝0，解得C (2,4)．由图可知，当动点为点A 时，k OA 最小，等于12；当动点为点C 时，k OC 最大，等于42＝2.所以μ＝y x 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2.三、解答题(9题12分，10题、11题每题14分，共40分)9．已知函数f (x )＝13ax 3－14x 2＋cx ＋d (a ，c ，d ∈R )满足f (0)＝0，f ′(1)＝0，且f ′(x )≥0在R 上恒成立．(1)求a ，c ，d 的值；(2)若h (x )＝34x 2－bx ＋b 2－14，解不等式f ′(x )＋h (x )<0.解：(1)∵f (0)＝0，∴d ＝0. ∵f ′(x )＝ax 2－12x ＋c .又f ′(1)＝0，∴a ＋c ＝12.∵f ′(x )≥0在R 上恒成立， 即ax 2－12x ＋12－a ≥0恒成立，显然当a ＝0时，上式不恒成立，∴a ≠0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a >0，⎝ ⎛⎭⎪⎫－122－4a ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－a ≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧a >0，a 2－12a ＋116≤0，解得a ＝14，c ＝14.(2)由(1)知，f ′(x )＝14x 2－12x ＋14.由f ′(x )＋h (x )<0，得 14x 2－12x ＋14＋34x 2－bx ＋b 2－14<0， 即x 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋12x ＋b 2<0，即(x －b )⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12<0.当b >12时，解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，b .当b <12时，解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫b ，12.当b ＝12，解集为∅.10.(xx·银川模拟)运货卡车以每小时x 千米的速度匀速行驶130千米，按交通法规限制50≤x ≤100(单位：千米/小时)．假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋x 2360升，司机的工资是每小时14元． (1)求这次行车总费用y 关于x 的表达式；(2)当x 为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值． 解：(1)设所用时间t ＝130x(h)，y ＝130x ×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋x 2360＋14×130x ，x ∈[50,100]． 所以，这次行车总费用y 关于x 的表达式是y ＝130×18x ＋2×130360x ，x ∈[50,100] ⎝ ⎛⎭⎪⎫或y ＝2 340x ＋1318x ，x ∈[50，100].(2)由(1)知，y ＝130×18x ＋2×130360x ≥2610，当且仅当130×18x ＝2×130360x ，即x ＝1810时，等号成立．故当x ＝1810千米/小时时，这次行车的总费用最低，最低费用的值为2610元．11．已知函数f (x )＝13x 3＋12ax 2＋bx .(1)若a ＝2b ，试问函数f (x )能否在x ＝－1处取到极 值？若有可能，求出实数a ，b 的值；否则说明理由；(2)若函数f (x )在区间(－1,2)，(2,3)内各有一个极值点，试求w ＝a －4b 的取值范围．解：(1)由题意f ′(x )＝x 2＋ax ＋b ， ∵a ＝2b ，∴f ′(x )＝x 2＋2bx ＋b . 若f (x )在x ＝－1处取极值，则f ′(－1)＝1－2b ＋b ＝0，即b ＝1， 此时f ′(x )＝x 2＋2x ＋1＝(x ＋1)2≥0，函数f (x )为单调递增函数，这与该函数能在x ＝－1处取极值矛盾， ∴该函数不能在x ＝－1处取得极值．(2)∵函数f (x )＝13x 3＋12ax 2＋bx 在区间(－1,2)，(2,3)内分别有一个极值点，∴f ′(x )＝x 2＋ax ＋b ＝0在(－1,2)，(2,3)内分别有一个实根，∴⎩⎨⎧f ′－1>0，f ′2<0，f ′3>0⇒⎩⎨⎧1－a ＋b >0，4＋2a ＋b <0，9＋3a ＋b >0.画出不等式表示的平面区域如图所示，当目标函数w＝a－4b过N(－5,6)时，对应的w＝－29；当目标函数w＝a－4b过M(－2，－3)时，对应的w＝10.故w＝a－4b的取值范围为(－29,10)．。
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2021年高考数学二轮复习 第一部分 专题一 集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数专题跟踪训练2 文一、选择题1．(xx·广东卷)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( )A ．y ＝1＋x 2B ．y ＝x ＋1xC ．y ＝2x＋12xD ．y ＝x ＋e x[解析] 选项A 中的函数是偶函数；选项B 中的函数是奇函数；选项C 中的函数是偶函数；只有选项D 中的函数既不是奇函数也不是偶函数，故选D.[答案] D2．(xx·广东卷)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( ) A ．y ＝x ＋sin 2x B ．y ＝x 2－cos xC ．y ＝2x ＋12xD ．y ＝x 2＋sin x[解析] 选项A 是奇函数；选项B 是偶函数；选项C 也是偶函数；只有选项D 既不是奇函数也不是偶函数．[答案] D3．(xx·领航卷)设a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1213 ，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1312，c ＝ln 3π，则( )A ．c <a <bB ．c <b <aC ．a <b <cD ．b <a <c[解析] 设d ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1212 ，由指数函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 的单调性知，a >d ；再由幂函数g (x )＝x 12 的单调性知，d >b ，所以a >b >0，又0<3π<1，所以c <0，故选B.[答案] B4．(xx·天星教育二次联考)设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，则下列结论中一定正确的是( )A ．函数f (x 2)＋x 2是奇函数B ．函数[f (x )]2＋|x |不是偶函数 C ．函数x 2f (x )是奇函数 D ．函数f (x )＋x 3不是奇函数[解析] 易知选项中函数的定义域都是R ，关于原点对称．对于A ，f ((－x )2)＋(－x )2＝f (x 2)＋x 2，函数 f (x 2)＋x 2为偶函数，故A 错；对于B ，[f (－x )]2＋|－x |＝[f (x )]2＋|x |，函数[f (x )]2＋|x |为偶函数，故B 错；对于C ，(－x )2f (－x )＝－x 2f (x )，函数x 2f (x )是奇函数，故C 正确；对于D ，f (－x )＋(－x )3＝－f (x )－x 3，函数f (x )＋x 3是奇函数，故D 错．[答案] C5．(xx·河北石家庄一模)已知偶函数f (x )，当x ∈[0,2)时，f (x )＝2sin x ，当x∈[2，＋∞)时，f (x )＝log 2x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＋f (4)＝( )A ．－3＋2B ．1C ．3 D.3＋2[解析] 因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝2sin π3＝3，f (4)＝log 24＝2，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＋f (4)＝3＋2，故选D.[答案] D6．(xx·河南洛阳统考)若函数y ＝f (x ＋1)是偶函数，则函数y ＝f (x )的图象的对称轴方程是( )A ．x ＝1B ．x ＝－1C ．x ＝2D ．x ＝－2[解析] ∵f (x ＋1)是偶函数，∴f (x ＋1)＝f (－x ＋1)，∴f (x )图象的对称轴为直线x ＝1，故选A.[答案] A7．(xx·天星教育一次联考)函数f (x )＝log 2|x |x的图象大致是( )[解析] 由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－2，排除A 、B ；由f (2)＝f (4)＝12，排除D ，故选C.[答案] C8．定义在R 上的偶函数y ＝f (x )在[0，＋∞)上递减，且f 12＝0，则满足f (log14 x )<0的x 的集合为( )A ．－∞，12∪(2，＋∞)B.12，1∪(1,2) C ．0，12∪(2，＋∞)D.12，1∪(2，＋∞)[解析] 由题意可得f (log14 x )＝f (|log14 x |)<0＝f 12，又f (x )在[0，＋∞)上递减，所以|log14 x |>12，即log14 x >12或log14 x <－12，解得0<x <12或x >2，所以满足不等式f (log14x )<0的x 的集合为0，12∪(2，＋∞)．[答案] C9．(xx·惠州一模)已知函数f (x )＝x 2－2x ，g (x )＝ax ＋2(a >0)，若∀x 1∈[－1,2]，∃x 2∈[－1,2]，使得f (x 1)＝g (x 2)，则实数a 的取值范围是( )A ．0，12B.12，3 C ．(0,3]D ．[3，＋∞)[解析] 由题意得g (x )min ≤f (x )min 且g (x )max ≥f (x )max ，因为f (x )在区间[－1,2]上的最大值f (x )max ＝f (－1)＝3，f (x )在区间[－1,2]上的最小值f (x )min ＝f (1)＝－1，由于g (x )＝ax ＋2(a >0)在区间[－1,2]上单调递增，则g (x )min ＝g (－1)＝－a ＋2，g (x )max＝g (2)＝2a ＋2，故⎩⎨⎧－a ＋2≤－12a ＋2≥3，解得a ≥3.故选D.[答案] D10．(xx·天津卷)已知定义在R 上的函数f (x )＝2|x －m |－1(m 为实数)为偶函数．记a＝f (log 0.53)，b ＝f (log 25)，c ＝f (2m )，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a <b <cB ．a <c <bC ．c <a <bD ．c <b <a[解析] 由f (x )＝2|x －m |－1是偶函数得m ＝0，则f (x )＝2|x |－1.当x ∈[0，＋∞)时，f (x )＝2x －1递增，又a ＝f (log 0.53)＝f (|log 0.53|)＝f (log 23)，c ＝f (0)，且0<log 23<log 25，则f (0)<f (log 23)<f (log 25)，即c <a <b ，故选C.[答案] C11．(xx·宁夏银川月考)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1x －1，x ≥1，12ax 2－ax －1，x <1在(－∞，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，0 B ．(－1,0) C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－23，0 D ．[－1,0) [解析] 首先要保证两段都要增，有a ＋1>0且a <0，其次还要保证在分界点处有12a－a －1≤a ＋1－1，综上有－23≤a <0，故选C.[答案] C12．(xx·长沙模拟)如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M .将点M 到直线OP 的距离表示成x 的函数f (x )，则y ＝f (x )在[0，π]的图象大致为( )[解析] 由题意知，f (x )＝|cos x |·sin x ，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )＝cos x ·sinx ＝12sin 2x ；当x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，π时，f (x )＝－cos x ·sin x ＝－12sin 2x ，故选B.[答案] B 二、填空题13．(xx·吉林长春质量监测三)已知定义在R 上的偶函数f (x )在[0，＋∞)上单调递增，且f (1)＝0，则不等式f (x －2)≥0的解集是________．[解析] 由题知x －2≥1或x －2≤－1，∴不等式的解集是(－∞，1]∪[3，＋∞)． [答案] (－∞，1]∪[3，＋∞)14．(xx·浙江卷)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≤1，x ＋6x －6，x >1，则f (f (－2))＝________，f (x )的最小值是________．[解析] 因为f (－2)＝4, f (4)＝－12，所以f (f (－2))＝－12；x ≤1时， f (x )min＝0，x >1时， f (x )min ＝26－6，又26－6<0，所以f (x )min ＝26－6.[答案] －1226－615．设f (x )是周期为2的奇函数，当0≤x ≤1时， f (x )＝2x (1－x )，则f －52＝________.[解析] 因为f (x )是奇函数，且当0≤x ≤1时， f (x )＝2x (1－x )，所以当－1≤x ≤0时，0≤－x ≤1, f (－x )＝－2x (1＋x )＝－f (x )，即f (x )＝2x (1＋x )．又f (x )的周期为2，所以f －52＝f －2－12＝f －12＝2×－12×12＝－12.[答案] －1216．(xx·福建卷)若函数f (x )＝2|x －a |(a ∈R )满足f (1＋x )＝f (1－x )，且f (x )在[m ，＋∞)上单调递增，则实数m 的最小值等于________．[解析] 因为f (1＋x )＝f (1－x )，所以函数f (x )关于直线x ＝1对称，所以a ＝1，所以函数f (x )＝2|x －1|的图象如图所示．因为函数f (x )在[m ，＋∞)上单调递增，所以m ≥1，所以实数m 的最小值为1.[答案] 1。
2022高考数学二轮复习专题一函数与导数不等式第4讲导数与函数的单调性极值与最值课时
第4讲 导数与函数的单调性、极值与最值一、选择题1．函数f (x )＝12x 2－ln x 的单调递减区间为( )A ．(－1，1]B ．(0，1]C ．[1，＋∞)D ．(0，＋∞)解析：由题意知，函数的定义域为(0，＋∞)，又由f ′(x )＝x －1x≤0，解得0＜x ≤1，所以函数f (x )的单调递减区间为(0，1]．答案：B2．(2021·浙江卷)函数y ＝f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则函数y ＝f (x )的图象可能是( )解析：利用导数与函数的单调性进行验证．f ′(x )＞0的解集对应y ＝f (x )的增区间，f ′(x )＜0的解集对应y ＝f (x )的减区间，验证只有D 选项符合．答案：D3．函数f (x )＝3x 2＋ln x －2x 的极值点的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．无数个解析：函数定义域为(0，＋∞)， 且f ′(x )＝6x ＋1x －2＝6x 2－2x ＋1x，由于x ＞0，g (x )＝6x 2－2x ＋1的Δ＝－20＜0， 所以g (x )＞0恒成立，故f ′(x )＞0恒成立， 即f (x )在定义域上单调递增，无极值点．答案：A4．(2021·山东卷)若函数y ＝f (x )的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y ＝f (x )具有T 性质．下列函数中具有T 性质的是( )A ．y ＝sin xB ．y ＝ln xC ．y ＝e xD ．y ＝x 3解析：对函数y ＝sin x 求导，得y ′＝cos x ，当x ＝0时，该点处切线l 1的斜率k 1＝1，当x ＝π时，该点处切线l 2的斜率k 2＝－1，所以k 1·k 2＝－1，所以l 1⊥l 2；对函数y ＝ln x 求导，得y ′＝1x恒大于0，斜率之积不可能为－1；对函数y ＝e x 求导，得y ′＝e x恒大于0，斜率之积不可能为－1；对函数y ＝x 3，得y ′＝3x 2恒大于等于0，斜率之积不可能为－1.答案：A5．已知a ≥0，函数f (x )＝(x 2－2ax )e x，若f (x )在[－1，1]上是单调递减函数，则a 的取值范围是( )A ．0＜a ＜34B.12＜a ＜34 C ．a ≥34D ．0＜a ＜12解析：f ′(x )＝e x[x 2＋2(1－a )x －2a ]， 因为f (x )在[－1，1]上单调递减， 所以f ′(x )≤0在[－1，1]上恒成立． 令g (x )＝x 2＋2(1－a )x －2a ， 则⎩⎪⎨⎪⎧g （1）≤0g （－1）≤0，解得a ≥34.答案：C 二、填空题6．已知a 为函数f (x )＝x 3－12x 的极小值点，则a ＝________．解析：由题意得f ′(x )＝3x 2－12，令f ′(x )＝0得x ＝±2，所以当x <－2或x >2时，f ′(x )>0；当－2<x <2时，f ′(x )<0，所以f (x )在(－∞，－2)上为增函数，在(－2，2)上为减函数，在(2，＋∞)上为增函数．所以f (x )在x ＝2处取得极小值， 所以a ＝2. 答案：27．(2021·全国卷Ⅲ)已知f (x )为偶函数，当x ＜0时，f (x )＝ln(－x )＋3x ，则曲线y ＝f (x )在点(1，－3)处的切点方程是________．解析：令x ＞0，则－x ＜0，f (－x )＝ln x －3x ，又f (x )为偶函数，即f (－x )＝f (x )，所以f (x )＝ln x －3x (x ＞0)，则f ′(x )＝1x－3(x ＞0)．所以f ′(1)＝－2，所以在点(1，－3)处的切线方程为y ＋3＝－2(x －1)，即y ＝－2x －1. 答案：2x ＋y ＋1＝08．(2021·佛山质检)若函数f (x )＝－12x 2＋4x －3ln x 在[t ，t ＋1]上不单调，则t 的取值范围是________．解析：f ′(x )＝－x ＋4－3x ＝－x 2＋4x －3x ＝－（x －1）（x －3）x.由f ′(x )＝0及判断可知函数f (x )的两个极值点为1，3，则只要这两个极值点有一个在区间(t ，t ＋1)内，函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上就不单调，所以t <1<t ＋1或t <3<t ＋1，解得0<t <1或2<t <3. 答案：(0，1)∪(2，3) 三、解答题9．(2021·邯州二模选编)已知函数f (x )＝ax 2－(2a －1)x －ln x ．(导学号 55410099) (1)当a ＞0时，求函数f (x )的单调递增区间； (2)当a ＜0时，求函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1上的最小值．解：(1)因为f (x )＝ax 2＋(1－2a )x －ln x ，所以f ′(x )＝2ax ＋(1－2a )－1x ＝（2ax ＋1）（x －1）x，因为a ＞0，x ＞0，所以2ax ＋1＞0，解f ′(x )＞0，得x ＞1， 所以f (x )的单调增区间为(1，＋∞)．(2)当a ＜0时，由f ′(x )＝0，得x 1＝－12a ，x 2＝1，①当－12a ＞1，即－12＜a ＜0时，f (x )在(0，1)上是减函数，所以f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1上的最小值为f (1)＝1－a .②当12≤－12a ≤1，即－1≤a ≤－12时，f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，－12a 上是减函数，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12a ，1上是增函数，所以f (x )的最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a ＝1－14a ＋ln(－2a )． ③当－12a ＜12，即a ＜－1时，f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1上是增函数，所以f (x )的最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12－34a ＋ln 2.综上可知，函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1上的最小值为： f (x )min ＝⎩⎪⎨⎪⎧12－34a ＋ln 2，a ＜－11－14a ＋ln （－2a ），－1≤a ≤－121－a ，－12＜a ＜0. 10．(2021·山东卷改编)已知函数f (x )＝13x 3－12ax 2，其中参数a ≥0.(导学号 55410100)(1)当a ＝2时，求曲线y ＝f (x )在点(3，f (3))处的切线方程；(2)设函数g (x )＝f (x )＋(x －a )cos x －sin x ，讨论g (x )的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值．解：(1)由题意f ′(x )＝x 2－ax ，所以当a ＝2时，f (3)＝0，f ′(x )＝x 2－2x ， 所以f ′(3)＝3，因此曲线y ＝f (x )在点(3，f (3))处的切线方程是y ＝3(x －3)，即3x －y －9＝0. (2)因为g (x )＝f (x )＋(x －a )cos x －sin x ，所以g ′(x )＝f ′(x )＋cos x －(x －a )·sin x －cos x ＝x (x －a )－(x －a )sin x ＝(x －a )(x －sin x )，令h (x )＝x －sin x ， 则h ′(x )＝1－cos x ≥0， 所以h (x )在R 上单调递增．因为h (0)＝0，所以，当x ＞0时，h (x )＞0； 当x ＜0时，h (x )＜0.①当a ＝0时，g ′(x )＝x (x －sin x )，当x ∈(－∞，＋∞)时，g ′(x )≥0，g (x )单调递增；所以g (x )在(－∞，＋∞)上单调递增，g (x )无极大值也无极小值． ②当a ＞0时，g ′(x )＝(x －a )(x －sin x )，当x ∈(－∞，0)时，x －a ＜0，g ′(x )＞0，g (x )单调递增； 当x ∈(0，a )时，x －a ＜0，g ′(x )＜0，g (x )单调递减； 当x ∈(a ，＋∞)时，x －a ＞0，g ′(x )＞0，g (x )单调递增． 所以，当x ＝0时，g (x )取到极大值，极大值是g (0)＝－a ； 当x ＝a 时，g (x )取到极小值，极小值是g (a )＝－16a 3－sin a .综上所述，当a ＝0时，g (x )在R 上单调递增，无极值；当a ＞0时，函数g (x )在(－∞，0)和(a ，＋∞)上单调递增，在(0，a )上单调递减，函数既有极大值，又有极小值，极大值是g (0)＝－a ，极小值是g (a )＝－16a 3－sin a .11．(2021·广州联考)已知f (x )＝ln x ＋a x. (1)求f (x )的单调区间和极值；(2)若对任意x ＞0，均有x (2ln a －ln x )≤a 恒成立，求正数a 的取值范围． 解：(1)f ′(x )＝1x －a x 2＝x －ax2.①－a ≥0时，f ′(x )＞0，即a ≤0，f (x )在(0，＋∞)为增函数，无极值． ②a ＞0，0＜x ＜a ，f ′(x )＜0，f (x )在(0，a )为减函数；x ＞a ，f ′(x )＞0，f (x )在(a ，＋∞)为增函数， f (x )在(0，＋∞)有极小值，无极大值， f (x )的极小值f (a )＝ln a ＋1.(2)对任意x ＞0，均有x (2ln a －ln x )≤a 恒成立．所以2ln a －ln x ≤a x 在x ＞0时恒成立，即恒有2ln a ≤a x＋ln x . 由(1)知f (x )＝a x＋ln x 的极小值f (a )＝ln a ＋1. 因此2ln a ≤ln a ＋1，ln a ≤1.所以0＜a ≤e ，则正数a 的取值范围是(0，e]．。
2021-2022年高考数学二轮复习上篇专题整合突破专题一函数与导数不等式第1讲函数函数与方程及函数
2021年高考数学二轮复习上篇专题整合突破专题一函数与导数不等式第1讲函数函数与方程及函数的应用练习理一、填空题1.(xx·南通调研)函数f (x )＝ln x ＋1－x 的定义域为________.解析 要使函数f (x )＝ln x ＋1－x 有意义，则⎩⎨⎧x ＞0，1－x ≥0，解得0＜x ≤1，即函数定义域是(0，1]. 答案 (0，1]2.(xx·江苏卷)函数f (x )＝log 5(2x ＋1)的单调增区间是________.解析 函数f (x )的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞，令t ＝2x ＋1(t ＞0).因为y ＝log 5t 在t ∈(0，＋∞)上为增函数，t ＝2x ＋1在⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞上为增函数，所以函数y ＝log 5(2x ＋1)的单调增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞3.(xx·苏州调研)函数f (x )＝⎩⎨⎧2x，x ≤0，－x 2＋1，x ＞0的值域为________. 解析 当x ≤0时，y ＝2x ∈(0，1]； 当x ＞0时，y ＝－x 2＋1∈(－∞，1). 综上， 该函数的值域为(－∞，1]. 答案 (－∞，1]4.(xx·江苏卷)定义在区间[0，3π]上的函数y ＝sin 2x 的图象与y ＝cos x 的图象的交点个数是________.解析 在区间[0，3π]上分别作出y ＝sin 2x 和y ＝cos x 的简图如下： 由图象可得两图象有7个交点. 答案 75.(xx·江苏卷)设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1，1]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋1，－1≤x ＜0，bx ＋2x ＋1，0≤x ≤1，其中a ，b ∈R .若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，则a ＋3b 的值为________.解析 因为函数f (x )是周期为2的函数，所以f (－1)＝f (1)⇒－a ＋1＝b ＋22，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12⇒12b ＋232＝－12a ＋1，联立列成方程组解得a ＝2，b ＝－4，所以a ＋3b＝2－12＝－10. 答案 －106.已知函数f (x )＝x 3＋x ，对任意的m ∈[－2，2]，f (mx －2)＋f (x )<0恒成立，则x 的取值范围是________.解析 f ′(x )＝3x 2＋1>0，∴f (x )在R 上为增函数.又f (x )为奇函数，由f (mx －2)＋f (x )<0知，f (mx －2)<f (－x ).∴mx －2<－x ，即mx ＋x －2<0，令g (m )＝mx ＋x －2，由m ∈[－2，2]知g (m )<0恒成立，可得⎩⎨⎧g （－2）＝－x －2<0，g （2）＝3x －2<0，∴－2<x <23.答案 ⎝⎛⎭⎪⎫－2，237.已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x －[x ]，x ≥0，f （x ＋1），x ＜0，其中[x ]表示不超过x 的最大整数.若直线y ＝k (x ＋1)(k ＞0)与函数y ＝f (x )的图象恰有三个不同的交点，则实数k 的取值范围是________.解析 根据[x ]表示的意义可知，当0≤x ＜1时，f (x )＝x ，当1≤x ＜2时，f (x )＝x －1，当2≤x ＜3时，f (x )＝x －2，以此类推，当k ≤x ＜k ＋1时，f (x )＝x －k ，k ∈Z ，当－1≤x ＜0时，f (x )＝x ＋1，作出函数f (x )的图象如图，直线y ＝k (x ＋1)过点(－1，0)，当直线经过点(3，1)时恰有三个交点，当直线经过点(2，1)时恰好有两个交点，在这两条直线之间时有三个交点，故k ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，13.答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，138.(xx·北京海淀区二模)设函数f (x )＝⎩⎨⎧2x－a ，x ＜1，4（x －a ）（x －2a ），x ≥1.(1)若a ＝1，则f (x )的最小值为________；(2)若f (x )恰有2个零点，则实数a 的取值范围是________.解析 (1)当a ＝1时，f (x )＝⎩⎨⎧2x－1，x <1，4（x －1）（x －2），x ≥1.当x <1时，f (x )＝2x－1∈(－1，1)，当x ≥1时，f (x )＝4(x 2－3x ＋2)＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322－14≥－1，∴f (x )min ＝－1.(2)由于f (x )恰有2个零点，分两种情况讨论： 当f (x )＝2x －a ，x <1没有零点时，a ≥2或a ≤0.当a ≥2时，f (x )＝4(x －a )(x －2a )，x ≥1时，有2个零点； 当a ≤0时，f (x )＝4(x －a )(x －2a )，x ≥1时无零点. 因此a ≥2满足题意.当f (x )＝2x －a ，x <1有一个零点时， 0<a <2.f (x )＝4(x －a )(x －2a )，x ≥1有一个零点，此时a <1, 2a ≥1，因此12≤a <1.综上知实数a的取值范围是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a |12≤a <1或a ≥2.答案 (1)－1 (2)⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1∪[2，＋∞)二、解答题9.已知函数f (x )＝x 2－2ln x ，h (x )＝x 2－x ＋a . (1)求函数f (x )的极值；(2)设函数k (x )＝f (x )－h (x )，若函数k (x )在[1，3]上恰有两个不同零点，求实数a 的取值范围.解 (1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，令f ′(x )＝2x －2x＝0，得x ＝1.当x ∈(0，1)时，f ′(x )＜0，当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＞0， 所以函数f (x )在x ＝1处取得极小值为1，无极大值. (2)k (x )＝f (x )－h (x )＝x －2ln x －a (x ＞0)，所以k ′(x )＝1－2x，令k ′(x )＞0，得x ＞2，所以k (x )在[1，2)上单调递减，在(2，3]上单调递增， 所以当x ＝2时，函数k (x )取得最小值，k (2)＝2－2ln 2－a ，因为函数k (x )＝f (x )－h (x )在区间[1，3]上恰有两个不同零点.即有k (x )在[1，2)和(2，3]内各有一个零点，所以⎩⎨⎧k （1）≥0，k （2）＜0，k （3）≥0，即有⎩⎨⎧1－a ≥0，2－2ln 2－a ＜0，3－2ln 3－a ≥0，解得2－2ln 2＜a ≤3－2ln 3.所以实数a 的取值范围为(2－2ln 2，3－2ln 3].10.(xx·江苏卷)如图，建立平面直角坐标系xOy ，x 轴在地平面上，y 轴垂直于地平面，单位长度为1千米.某炮位于坐标原点.已知炮弹发射后的轨迹在方程y ＝kx －120(1＋k 2)x 2(k >0)表示的曲线上，其中k 与发射方向有关.炮的射程是指炮弹落地点的横坐标.(1)求炮的最大射程；(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a 不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由. 解 (1)令y ＝0，得kx －120(1＋k 2)x 2＝0，由实际意义和题设条件知x >0，k >0，故x＝20k 1＋k2＝20k＋1k≤202＝10，当且仅当k＝1时取等号.所以炮的最大射程为10千米.(2)因为a>0，所以炮弹可击中目标⇔存在k>0，使3.2＝ka－120(1＋k2)a2成立⇔关于k的方程a2k2－20ak＋a2＋64＝0有正根⇔判别式Δ＝(－20a)2－4a2(a2＋64)≥0⇔a≤6.所以当a不超过6千米时，可击中目标.11.(xx·苏北四市调研)如图，OA是南北方向的一条公路，OB是北偏东45°方向的一条公路，某风景区的一段边界为曲线C.为方便游客观光，拟过曲线C上某点P分别修建与公路OA，OB垂直的两条道路PM，PN，且PM，PN的造价分别为5万元/百米、40万元/百米.建立如图所示的平面直角坐标系xOy，则曲线C符合函数模型y＝x＋42x2(1≤x≤9)，设PM＝x，修建两条道路PM，PN的总造价为f(x)万元.题中所涉及长度单位均为百米.(1)求f(x)的解析式；(2)当x为多少时，总造价f(x)最低？并求出最低造价.解 (1)在如题图所示的直角坐标系中，因为曲线C 的方程为y ＝x ＋42x2(1≤x ≤9)，PM ＝x ，所以点P 坐标为⎝⎛⎭⎪⎫x ，x ＋42x 2，直线OB 的方程为x －y ＝0，则点P 到直线x－y ＝0的距离为⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －⎝⎛⎭⎪⎫x ＋42x 22＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪42x 22＝4x2，又PM 的造价为5万元/百米，PN 的造价为40万元/百米. 则两条道路总造价为f (x )＝5x ＋40·4x2＝5⎝⎛⎭⎪⎫x ＋32x 2(1≤x ≤9).(2)因为f (x )＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋32x 2，所以f ′(x )＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫1－64x 3＝5（x 3－64）x 3，令f ′(x )＝0，解得x ＝4，列表如下：所以当x ＝4时，函数f (x )有最小值，且最小值为f (4)＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋42＝30，即当x ＝4时，总造价最低，最低造价为30万元.(注：利用三次均值不等式得f (x )＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋32x 2＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋x 2＋32x 2≥5×338＝30，当且仅当x ＝4时，等号成立，同样正确.)。
2021-2022年高考数学二轮复习上篇专题整合突破专题一函数与导数不等式第3讲导数与函数的单调性极
2021年高考数学二轮复习上篇专题整合突破专题一函数与导数不等式第3讲导数与函数的单调性极值最值问题练习理一、填空题1.(xx·苏州调研)函数f (x )＝12x 2－ln x 的单调递减区间为________. 解析 由题意知，函数的定义域为(0，＋∞)，又由f ′(x )＝x －1x≤0，解得0＜x ≤1，所以函数f (x )的单调递减区间为(0，1].答案 (0，1]2.已知函数f (x )＝4ln x ＋ax 2－6x ＋b (a ，b 为常数)，且x ＝2为f (x )的一个极值点，则a 的值为________.解析 由题意知，函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，∵f ′(x )＝4x＋2ax －6，∴f ′(2)＝2＋4a －6＝0，即a ＝1. 答案 13.已知函数f (x )＝12mx 2＋ln x －2x 在定义域内是增函数，则实数m 的取值范围是____________.解析 f ′(x )＝mx ＋1x－2≥0对一切x ＞0恒成立， ∴m ≥－⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋2x. 令g (x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋2x，则当1x ＝1时，函数g (x )取最大值1.故m ≥1.答案 [1，＋∞)4.已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx －a 2－7a 在x ＝1处取得极大值10，则a b的值为________. 解析 由题意知f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，f ′(1)＝0，f (1)＝10，即⎩⎨⎧3＋2a ＋b ＝0，1＋a ＋b －a 2－7a ＝10，解得⎩⎨⎧a ＝－2，b ＝1或 ⎩⎨⎧a ＝－6，b ＝9，经检验⎩⎨⎧a ＝－6，b ＝9满足题意，故a b ＝－23. 答案 －235.若函数f (x )＝kx －ln x 在区间(1，＋∞)上单调递增，则k 的取值范围是________.解析 由于f ′(x )＝k －1x，f (x )＝kx －ln x 在区间(1，＋∞)上单调递增⇔f ′(x )＝k －1x ≥0在(1，＋∞)上恒成立，由于k ≥1x ，而0＜1x＜1，所以k ≥1.即k 的取值范围为[1，＋∞).答案 [1，＋∞)6.(xx·泰州期末)函数f (x )＝x 3－3ax －a 在(0，1)内有最小值，则a 的取值范围是________.解析 f ′(x )＝3x 2－3a ＝3(x 2－a ).当a ≤0时，f ′(x )＞0，∴f (x )在(0，1)内单调递增，无最小值.当a ＞0时，f ′(x )＝3(x －a )(x ＋a ).当x ∈(－∞，－a )和(a ，＋∞)时，f (x )单调递增；当x ∈(－a ，a )时，f (x )单调递减，所以当a ＜1，即0＜a ＜1时，f (x )在(0，1)内有最小值.答案 (0，1)7.已知函数f (x )＝13x 3＋ax 2＋3x ＋1有两个极值点，则实数a 的取值范围是________. 解析 f ′(x )＝x 2＋2ax ＋3.由题意知方程f ′(x )＝0有两个不相等的实数根，所以Δ＝4a 2－12＞0，解得a ＞3或a ＜－ 3.答案 (－∞，－3)∪(3，＋∞)8.(xx·北京卷)设函数f (x )＝⎩⎨⎧x 3－3x ，x ≤a ，－2x ，x ＞a .(1)若a ＝0，则f (x )的最大值为________；(2)若f (x )无最大值，则实数a 的取值范围是________.解析 (1)当a ＝0时，f (x )＝⎩⎨⎧x 3－3x ，x ≤0，－2x ，x ＞0.若x ≤0，f ′(x )＝3x 2－3＝3(x 2－1).由f ′(x )＞0得x ＜－1，由f ′(x )＜0得－1＜x ≤0.∴f (x )在(－∞，－1)上单调递增，在(－1，0]上单调递减，∴f (x )最大值为f (－1)＝2.若x ＞0，f (x )＝－2x 单调递减，所以f (x )＜f (0)＝0.综上，f (x )最大值为2.(2)函数y ＝x 3－3x 与y ＝－2x 的图象如图.由(1)知，当a ≥－1时，f (x )取得最大值2.当a ＜－1时，y ＝－2x 在x ＞a 时无最大值.且－2a ＞2.所以a ＜－1.答案 (1)2 (2)(－∞，－1)二、解答题9.(xx·北京卷)设函数f (x )＝x e a －x＋bx ，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y ＝(e －1)x ＋4.(1)求a ，b 的值；(2)求f (x )的单调区间.解 (1)f (x )的定义域为R .∵f ′(x )＝e a －x －x e a －x ＋b ＝(1－x )e a －x＋b . 依题设，⎩⎨⎧f （2）＝2e ＋2，f ′（2）＝e －1，即⎩⎨⎧2e a －2＋2b ＝2e ＋2，－e a －2＋b ＝e －1. 解得a ＝2，b ＝e.(2)由(1)知f (x )＝x e 2－x＋e x ，由f ′(x )＝e 2－x (1－x ＋e x －1)及e 2－x ＞0知， f ′(x )与1－x ＋e x －1同号.令g (x )＝1－x ＋e x －1，则g ′(x )＝－1＋e x －1.所以，当x ∈(－∞，1)时，g ′(x )＜0，g (x )在区间(－∞，1)上单调递减； 当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )＞0，g (x )在区间(1，＋∞)上单调递增.故g (1)＝1是g (x )在区间(－∞，＋∞)上的最小值，从而g (x )＞0，x ∈(－∞，＋∞)，综上可知，f ′(x )＞0，x ∈(－∞，＋∞).故f (x )的单调递增区间为(－∞，＋∞).10.(xx·全国Ⅱ卷)(1)讨论函数f (x )＝x －2x ＋2e x 的单调性，并证明当x >0时，(x －2)e x＋x ＋2>0；(2)证明：当a ∈[0，1)时，函数g (x )＝e x －ax －a x 2(x >0)有最小值.设g (x )的最小值为h (a )，求函数h (a )的值域.(1)解 f (x )的定义域为(－∞，－2)∪(－2，＋∞).f ′(x )＝（x －1）（x ＋2）e x －（x －2）e x （x ＋2）2＝x 2e x（x ＋2）2≥0， 且仅当x ＝0时，f ′(x )＝0，所以f (x )在(－∞，－2)，(－2，＋∞)单调递增.因此当x ∈(0，＋∞)时，f (x )>f (0)＝－1.所以(x －2)e x >－(x ＋2)，即(x －2)e x ＋x ＋2>0.(2)证明 g ′(x )＝（x －2）e x ＋a （x ＋2）x 3＝x ＋2x 3(f (x )＋a ). 由(1)知f (x )＋a 单调递增，对任意a ∈[0，1)，f (0)＋a ＝a －1<0，f (2)＋a ＝a ≥0. 因此，存在唯一x a ∈( 0，2]，使得f (x a )＋a ＝0，即g ′(x a )＝0.当0<x <x a 时，f (x )＋a <0，g ′(x )<0，g (x )单调递减；当x >x a 时，f (x )＋a >0，g ′(x )>0，g (x )单调递增.因此g (x )在x ＝x a 处取得最小值，最小值为g (x a )＝e xa －a （x a ＋1）xa＝e xa ＋f （x a ）（x a ＋1）x 2a＝e xa x a ＋2. 于是h (a )＝e xa x a ＋2，由⎝ ⎛⎭⎪⎫e x x ＋2′＝（x ＋1）e x （x ＋2）2>0，e x x ＋2单调递增. 所以，由x a ∈(0，2]，得12＝e 00＋2<h (a )＝e xa x a ＋2≤e 22＋2＝e 24. 因为e x x ＋2单调递增，对任意λ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤12，e 24，存在唯一的x a ∈(0，2]，a ＝－f (x a )∈[0，1)，使得h (a )＝λ.所以h (a )的值域是⎝ ⎛⎦⎥⎤12，e 24. 综上，当a ∈[0，1)时，g (x )有最小值h (a )，h (a )的值域是⎝ ⎛⎦⎥⎤12，e 24. 11.设函数f (x )＝e x x 2－k ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋ln x (k 为常数，e ＝2.718 28…是自然对数的底数). (1)当k ≤0时，求函数f (x )的单调区间；(2)若函数f (x )在(0，2)内存在两个极值点，求k 的取值范围.解 (1)函数y ＝f (x )的定义域为(0，＋∞).f ′(x )＝x 2e x －2x e x x 4－k ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x 2＋1x ＝x e x －2e x x 3－k （x －2）x 2＝（x －2）（e x －kx ）x 3. 由k ≤0可得e x －kx ＞0，所以当x ∈(0，2)时，f ′(x )＜0，函数y ＝f (x )单调递减，x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )＞0，函数y ＝f (x )单调递增.所以f (x )的单调递减区间为(0，2)，单调递增区间为(2，＋∞).(2)由(1)知，k ≤0时，函数f (x )在(0，2)内单调递减，故f (x )在(0，2)内不存在极值点；当k ＞0时，设函数g (x )＝e x －kx ，x ∈[0，＋∞).因为g ′(x )＝e x －k ＝e x －e ln k ，当0＜k ≤1时，当x ∈(0，2)时，g ′(x )＝e x －k ＞0，y ＝g (x )单调递增.故f (x )在(0，2)内不存在两个极值点；当k ＞1时，得x ∈(0，ln k )时，g ′(x )＜0，函数y ＝g (x )单调递减. x ∈(ln k ，＋∞)时，g ′(x )＞0，函数y ＝g (x )单调递增.所以函数y ＝g (x )的最小值为g (ln k )＝k (1－ln k ).函数f (x )在(0，2)内存在两个极值点当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧g （0）＞0，g （ln k ）＜0，g （2）＞0，0＜ln k ＜2，解得e ＜k ＜e 22， 综上所述，函数f (x )在(0，2)内存在两个极值点时，k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫e ，e 22.。
2021-2022年高考数学二轮复习上篇专题整合突破专题一函数与导数不等式第2讲不等式问题练习理
2021年高考数学二轮复习上篇专题整合突破专题一函数与导数不等式第2讲不等式问题练习理一、填空题1.(xx·苏州调研)已知f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋x （x ≥0），－x 2＋x （x ＜0），则不等式f (x 2－x ＋1)＜12的解集是________.解析 依题意得，函数f (x )是R 上的增函数，且f (3)＝12，因此不等式f (x 2－x ＋1)＜12等价于x 2－x ＋1＜3，即x 2－x －2＜0，由此解得－1＜x ＜2. 因此，不等式f (x 2－x ＋1)＜12的解集是(－1，2). 答案 (－1，2)2.若点A (m ，n )在第一象限，且在直线x 3＋y4＝1上，则mn 的最大值是________.解析 因为点A (m ，n )在第一象限，且在直线x 3＋y 4＝1上，所以m ，n ＞0，且m 3＋n4＝1，所以m 3·n 4≤2342m n ⎛⎫+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当m 3＝n 4＝12，即m ＝32，n ＝2时，取“＝”，所以m 3·n 4≤⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝14，即mn ≤3，所以mn 的最大值为3. 答案 33.(xx·苏北四市模拟)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋2x ，x ≥0，x 2－2x ，x ＜0，若f (－a )＋f (a )≤2f (1)，则实数a 的取值范围是________. 解析 f (－a )＋f (a )≤2f (1)⇔⎩⎨⎧a ≥0，（－a ）2－2×（－a ）＋a 2＋2a ≤2×3或 ⎩⎨⎧a ＜0，（－a ）2＋2×（－a ）＋a 2－2a ≤2×3 即⎩⎨⎧a ≥0，a 2＋2a －3≤0或⎩⎨⎧a ＜0，a 2－2a －3≤0，解得0≤a ≤1，或－1≤a ＜0. 故－1≤a ≤1. 答案 [－1，1]4.已知函数f (x )＝⎩⎨⎧log 3x ，x ＞0，⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ，x ≤0，那么不等式f (x )≥1的解集为________.解析 当x ＞0时，由log 3x ≥1可得x ≥3，当x ≤0时，由⎝ ⎛⎭⎪⎫13x≥1可得x ≤0，∴不等式f (x )≥1的解集为(－∞，0]∪[3，＋∞). 答案 (－∞，0]∪[3，＋∞)5.(xx·南京、盐城模拟)若x ，y 满足不等式组⎩⎨⎧x ＋2y －2≥0，x －y ＋1≥0，3x ＋y －6≤0，则x 2＋y 2的最小值是________.解析 不等式组所表示的平面区域如图阴影部分所示，x 2＋y 2表示原点(0，0)到此区域内的点P (x ，y )的距离.显然该距离的最小值为原点到直线x ＋2y －2＝0的距离. 故最小值为|0＋0－2|12＋22＝255.答案2556.已知当x ＜0时，2x 2－mx ＋1＞0恒成立，则m 的取值范围为________. 解析 由2x 2－mx ＋1＞0，得mx ＜2x 2＋1， 因为x ＜0，所以m ＞2x 2＋1x ＝2x ＋1x.而2x ＋1x ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤（－2x ）＋1（－x ）≤－2（－2x ）×1（－x ）＝－2 2.当且仅当－2x ＝－1x ，即x ＝－22时取等号，所以m ＞－2 2. 答案 (－22，＋∞)7.设目标函数z ＝x ＋y ，其中实数x ，y 满足⎩⎨⎧x ＋2y ≥0，x －y ≤0，0≤y ≤k .若z 的最大值为12，则z 的最小值为________.解析 作出不等式组所表示的可行域如图阴影所示，平移直线x ＋y ＝0，显然当直线过点A (k ，k )时，目标函数z ＝x ＋y 取得最大值，且最大值为k ＋k ＝12，则k ＝6，直线过点B 时目标函数z ＝x ＋y 取得最小值，点B 为直线x ＋2y ＝0与y ＝6的交点， 即B (－12，6)，所以z min ＝－12＋6＝－6. 答案 －68.(xx·泰州调研)已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋1y＝1，若x ＋2y ＞m 2＋2m 恒成立，则实数m的取值范围为________.解析 记t ＝x ＋2y ，由不等式恒成立可得m 2＋2m ＜t min . 因为2x ＋1y＝1，所以t ＝x ＋2y ＝(x ＋2y )⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1y ＝4＋4y x ＋x y.而x ＞0，y ＞0，所以4y x ＋xy ≥24yx·x y＝4(当且仅当4y x＝xy，即x ＝2y 时取等号). 所以t ＝4＋4y x ＋xy≥4＋4＝8，即t min ＝8.故m 2＋2m ＜8，即(m －2)(m ＋4)＜0.解得－4＜m ＜2. 答案 (－4，2) 二、解答题9.(xx·苏北四市调研)某单位拟建一个扇环面形状的花坛(如图所示)，该扇环面是由以点O 为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点O 的两条直线段围成.按设计要求扇环面的周长为30米，其中大圆弧所在圆的半径为10米.设小圆弧所在圆的半径为x 米，圆心角为θ(弧度). (1)求θ关于x 的函数关系式；(2)已知在花坛的边缘(实线部分)进行装饰时，直线部分的装饰费用为4元/米，弧线部分的装饰费用为9元/米.设花坛的面积与装饰总费用的比为y ，求y 关于x 的函数关系式，并求出x 为何值时，y 取得最大值？解 (1)设扇环的圆心角为θ，则30＝θ(10＋x )＋2(10－x )，所以θ＝10＋2x 10＋x(0＜x＜10).(2)花坛的面积为12θ(102－x 2)＝(5＋x )(10－x )＝－x 2＋5x ＋50(0＜x ＜10).装饰总费用为9θ(10＋x )＋8(10－x )＝170＋10x ， 所以花坛的面积与装饰总费用的比y ＝－x 2＋5x ＋50170＋10x＝－x 2－5x －5010（17＋x ），令t ＝17＋x ，则y ＝3910－110⎝⎛⎭⎪⎫t ＋324t ≤310，当且仅当t ＝18时取等号，此时x ＝1，θ＝1211.答：当x ＝1时，花坛的面积与装饰总费用的比最大.10.已知函数f (x )＝2xx 2＋6. (1)若f (x )＞k 的解集为{x |x ＜－3，或x ＞－2}，求k 的值； (2)对任意x ＞0，f (x )≤t 恒成立，求t 的取值范围. 解 (1)f (x )＞k ⇔kx 2－2x ＋6k ＜0.由已知{x |x ＜－3，或x ＞－2}是其解集，得kx 2－2x ＋6k ＝0的两根是－3，－2. 由根与系数的关系可知(－2)＋(－3)＝2k ，即k ＝－25.(2)因为x ＞0，f (x )＝2x x 2＋6＝2x ＋6x≤226＝66，当且仅当x ＝6时取等号.由已知f (x )≤t 对任意x ＞0恒成立，故t ≥66，即t 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫66，＋∞. 11.(1)解关于x 的不等式x 2－2mx ＋m ＋1＞0； (2)解关于x 的不等式ax 2－(2a ＋1)x ＋2＜0.解 (1)原不等式对应方程的判别式Δ＝(－2m )2－4(m ＋1)＝4(m 2－m －1).当m 2－m －1＞0，即m ＞1＋52或m ＜1－52时，由于方程x 2－2mx ＋m ＋1＝0的两根是m ±m 2－m －1，所以原不等式的解集是{x |x ＜m －m 2－m －1，或x ＞m ＋m 2－m －1}；当Δ＝0，即m ＝1±52时，不等式的解集为{x |x ∈R ，且x ≠m }；当Δ＜0，即1－52＜m ＜1＋52时，不等式的解集为R .综上，当m ＞1＋52或m ＜1－52时，不等式的解集为{x |x ＜m －m 2－m －1，或x ＞m＋m 2－m －1}；当m ＝1±52时，不等式的解集为{x |x ∈R ，且x ≠m }；当1－52＜m＜1＋52时，不等式的解集为R .(2)原不等式可化为(ax －1)(x －2)＜0.①当a ＞0时，原不等式可以化为a (x －2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a ＜0，根据不等式的性质，这个不等式等价于(x －2)·⎝⎛⎭⎪⎫x －1a ＜0.因为方程(x －2)⎝⎛⎭⎪⎫x －1a ＝0的两个根分别是2，1a，所以当0＜a ＜12时，2＜1a ，则原不等式的解集是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |2＜x ＜1a ；当a ＝12时，原不等式的解集是∅；当a ＞12时，1a ＜2，则原不等式的解集是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1a ＜x ＜2.②当a ＝0时，原不等式为－(x －2)＜0，解得x ＞2，即原不等式的解集是{x |x ＞2}.③当a ＜0时，原不等式可以化为a (x －2)⎝⎛⎭⎪⎫x －1a ＜0，根据不等式的性质，这个不等式等价于(x －2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a ＞0，由于1a ＜2，故原不等式的解集是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＜1a 或x ＞2. 综上，当a ＝0时不等式解集为(2，＋∞)；当0＜a ＜12时，不等式解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，1a ；当a ＝12时，不等式解集为∅；当a ＞12时，不等式解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，2；当a ＜0时，不等式解集为⎝⎛⎭⎪⎫－∞，1a ∪(2，＋∞).。
2021-2022年高考数学二轮复习第一部分专题二函数不等式导数1.2.2不等式及线性规划限时规范训
2021年高考数学二轮复习第一部分专题二函数不等式导数1.2.2不等式及线性规划限时规范训练理一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分) 1．设0＜a ＜b ＜1，则下列不等式成立的是( )A ．a 3＞b 3B.1a ＜1bC ．a b ＞1D ．lg(b －a )＜a解析：选D.∵0＜a ＜b ＜1，∴0＜b －a ＜1－a ，∴lg(b －a )＜0＜a ，故选D. 2．已知a ，b 是正数，且a ＋b ＝1，则1a ＋4b( )A ．有最小值8B ．有最小值9C ．有最大值8D ．有最大值9解析：选B.因为1a ＋4b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋4b (a ＋b )＝5＋b a ＋4ab≥5＋2b a ·4a b ＝9，当且仅当b a ＝4a b且a ＋b ＝1，即a ＝13，b ＝23时取“＝”，所以1a ＋4b的最小值为9，故选B.3．对于任意实数a ，b ，c ，d ，有以下四个命题： ①若ac 2＞bc 2，则a ＞b ；②若a ＞b ，c ＞d ，则a ＋c ＞b ＋d ； ③若a ＞b ，c ＞d ，则ac ＞bd ； ④若a ＞b ，则1a ＞1b.其中正确的有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个解析：选B.①ac 2＞bc 2，则c ≠0，则a ＞b ，①正确； ②由不等式的同向可加性可知②正确； ③需满足a 、b 、c 、d 均为正数才成立；④错误，如：令a ＝－1，b ＝－2，满足－1＞－2，但1－1＜1－2.故选B.4．已知不等式ax 2－bx －1＞0的解集是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－12＜x ＜－13，则不等式x 2－bx －a ≥0的解集是( )A ．{x |2＜x ＜3}B ．{x |x ≤2或x ≥3}C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪13＜x ＜12 D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ＜13或x ＞12 解析：选B.∵不等式ax 2－bx －1＞0的解集是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－12＜x ＜－13， ∴ax 2－bx －1＝0的解是x 1＝－12和x 2＝－13，且a ＜0.∴⎩⎪⎨⎪⎧－12－13＝ba ，⎝ ⎛⎭⎪⎫－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝－1a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－6，b ＝5.则不等式x 2－bx －a ≥0即为x 2－5x ＋6≥0，解得x ≤2或x ≥3. 5．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x －y ≥0，x ＋y －4≤0，y ≥12x 2，则z ＝y －x 的取值范围为( )A ．[－2,2] B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，2C ．[－1,2]D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1 解析：选B.作出可行域(图略)，设直线l ：y ＝x ＋z ，平移直线l ，易知当l 过直线3x －y ＝0与x ＋y －4＝0的交点(1,3)时，z 取得最大值2；当l 与抛物线y ＝12x 2相切时，z 取得最小值，由⎩⎪⎨⎪⎧z ＝y －x ，y ＝12x 2，消去y 得x 2－2x －2z ＝0，由Δ＝4＋8z ＝0，得z ＝－12，故－12≤z ≤2，故选B.6．设等差数列{a n }的公差是d ，其前n 项和是S n ，若a 1＝d ＝1，则S n ＋8a n的最小值是( ) A.92 B.72 C ．22＋12D ．22－12解析：选A.∵a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n ，S n＝n 1＋n2，∴S n ＋8a n＝n 1＋n2＋8n＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋16n ＋1≥12⎝⎛⎭⎪⎫2n ·16n ＋1＝92，当且仅当n ＝4时取等号．∴S n ＋8a n 的最小值是92，故选A. 7．一条长为2的线段，它的三个视图分别是长为3，a ，b 的三条线段，则ab 的最大值为( ) A. 5 B. 6 C.52D ．3解析：选C.如图，构造一个长方体，体对角线长为2，由题意知a 2＋x 2＝4，b 2＋y 2＝4，x2＋y 2＝3，则a 2＋b 2＝x 2＋y 2＋2＝3＋2＝5，又5＝a 2＋b 2≥2ab ，所以ab ≤52，当且仅当a ＝b 时取等号，所以选C.8．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥x ，4x ＋3y ≤12，则x ＋2y ＋3x ＋1的取值范围是( ) A ．[1,5] B ．[2,6] C ．[3,11]D ．[3,10]解析：选C.画出约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥x ，4x ＋3y ≤12的可行域如图阴影部分所示，则x ＋2y ＋3x ＋1＝x ＋1＋2y ＋2x ＋1＝1＋2×y ＋1x ＋1，y ＋1x ＋1的几何意义为过点(x ，y )和(－1，－1)的直线的斜率．由可行域知y ＋1x ＋1的取值范围为k MA ≤y＋1x ＋1≤k MB ，即y ＋1x ＋1∈[1,5]，所以x ＋2y ＋3x ＋1的取值范围是[3,11]．9．设x ，y 满足不等式⎩⎪⎨⎪⎧y ≤2，x ＋y ≥1，x －y ≤1，若M ＝3x ＋y ，N ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－72，则M －N 的最小值为( )A.12 B ．－12C ．1D ．－1解析：选A.作出不等式组所表示的平面区域，如图中阴影部分所示，易求得A (－1,2)，B (3,2)，当直线3x ＋y －M ＝0经过点A (－1,2)时，目标函数M ＝3x ＋y 取得最小值－1.又由平面区域知－1≤x ≤3，所以函数N ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－72在x ＝－1处取得最大值－32，由此可得M －N 的最小值为－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝12.10．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0，x ＋y ≤a表示的平面区域的形状是三角形，则a 的取值范围是( )A ．a ≥43B ．0＜a ≤1C ．1≤a ≤43D ．0＜a ≤1或a ≥43解析：选D.作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0表示的平面区域如图中阴影部分所示．其中直线x －y ＝0与直线2x ＋y ＝2的交点是⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23，而直线x ＋y ＝a 与x 轴的交点是(a,0)．由图知，要使原不等式组表示的平面区域的形状为三角形，只需a ≥23＋23或0＜a ≤1，所以选D.11．已知不等式组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋4y －10≥0，x ≤4，y ≤3表示区域D ，过区域D 中任意一点P 作圆x 2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A 、B ，当∠APB 最大时，cos∠APB ＝( )A.32 B.12 C ．－32D ．－12解析：选B.画出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，易知当点P 到点O 距离最小时，∠APB 最大，此时|OP |＝|3×0＋4×0－10|32＋42＝2，又OA ＝1，故∠OPA ＝π6， ∴∠APB ＝π3，∴cos∠APB ＝12.12．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，且0＜f (－1)＝f (－2)＝f (－3)≤3，则( ) A ．c ≤3 B ．3＜c ≤6 C ．6＜c ≤9D ．c ＞9解析：选C.由0＜f (－1)＝f (－2)＝f (－3)≤3，得0＜－1＋a －b ＋c ＝－8＋4a －2b ＋c ＝－27＋9a －3b ＋c ≤3，由－1＋a －b ＋c ＝－8＋4a －2b ＋c ，得3a －b －7＝0，① 由－1＋a －b ＋c ＝－27＋9a －3b ＋c ，得 4a －b －13＝0，②由①②，解得a ＝6，b ＝11，∴0＜c －6≤3， 即6＜c ≤9，故选C.二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13．函数f (x )＝1＋log a x (a ＞0，且a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny －2＝0上，其中mn ＞0，则1m ＋1n的最小值为________．解析：因为log a 1＝0，所以f (1)＝1，故函数f (x )的图象恒过定点A (1,1)． 由题意，点A 在直线mx ＋ny －2＝0上，所以m ＋n －2＝0，即m ＋n ＝2. 而1m ＋1n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋1n ×(m ＋n ) ＝12⎝⎛⎭⎪⎫2＋n m ＋m n ，因为mn ＞0，所以nm ＞0，m n＞0. 由均值不等式，可得n m ＋m n ≥2×n m ×mn＝2(当且仅当m ＝n 时等号成立)， 所以1m ＋1n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋n m ＋m n ≥12×(2＋2)＝2，即1m ＋1n 的最小值为2.答案：214．设P (x ，y )是函数y ＝2x(x ＞0)图象上的点，则x ＋y 的最小值为________．解析：因为x ＞0，所以y ＞0，且xy ＝2.由基本不等式得x ＋y ≥2xy ＝22，当且仅当x ＝y 时等号成立．答案：2 215．若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，y ≥x ，3x ＋2y ≤15，则w ＝4x ·2y的最大值是________．解析：作出不等式组表示的可行域如图阴影部分所示．w ＝4x ·2y ＝22x ＋y，要求其最大值，只需求出2x ＋y ＝t 的最大值即可，由平移可知t ＝2x ＋y 在A (3,3)处取得最大值t ＝2×3＋3＝9，故w ＝4x·2y的最大值为29＝512.答案：51216．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋x ，x ≤1，log 13x ，x ＞1，若对任意的x ∈R ，不等式f (x )≤m 2－34m 恒成立，则实数m 的取值范围为________．解析：由题意知，m 2－34m ≥f (x )max .当x ＞1时，f (x )＝log 13x 是减函数，且f (x )＜0；当x ≤1时，f (x )＝－x 2＋x ，其图象的对称轴方程是x ＝12，且开口向下，∴f (x )max ＝－14＋12＝14.∴m 2－34m ≥14，即4m 2－3m －1≥0，∴m ≤－14或m ≥1.答案：⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－14∪[1，＋∞)。
2021-2022年高考数学二轮复习 专题1 集合、常用逻辑用语、函数与导数 第四讲 导数及其应用
2021年高考数学二轮复习专题1 集合、常用逻辑用语、函数与导数第四讲导数及其应用理2．导数的几何意义．函数y＝f(x)在x0处的导数f′(x0)的几何意义是：曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．2.导数的四则运算法则．(1)[u (x )±v (x )]′＝u ′(x )±v ′(x )；(2)[u (x )v (x )]′＝u ′(x )·v (x )＋u (x )·v ′(x )；(3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤u （x ）v （x ）′＝u ′（x ）·v （x ）－u （x ）·v ′（x ）v 2（x ）(v (x )≠0)． 3．复合函数求导．复合函数y ＝f (g (x ))的导数和y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数之间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′．1．函数的单调性与导数的关系．一般地，在某个区间(a，b)内：(1)如果f′(x)＞0⇒函数f(x)在这个区间内单调递增；(2)如果f′(x)＜0⇒函数f(x)在这个区间内单调递减；(3)如果f′(x)＝0⇒函数f(x)在这个区间内是常数函数．2．函数的极值与导数的关系．一般地，对于函数y＝f(x)：(1)若在点x＝a处有f′(a)＝0，且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则称x＝a为f(x)的极小值点，f(a)叫函数f(x)的极小值．(2)若在点x＝b处有f′(b)＝0，且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则称x＝b为f(x)的极大值点，f(b)叫函数f(x)的极大值．3．求函数y＝f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤：(1)求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值；(2)将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．(1)f′(x0)与(f(x0))′表示的意义相同．(×)(2)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点．(√)(3)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．(×)(4)若函数f(x)在(a，b)内单调递增，那么一定有f′(x)>0.(×)(5)函数的极大值不一定比极小值大．(√)(6)对可导函数f(x)，f′(x0)＝0是x0点为极值点的充要条件．(√)2．(xx·新课标Ⅰ卷)设函数f (x )＝e x(2x －1)－ax ＋a ，其中a ＜1，若存在唯一的整数x 0使得f (x 0)＜0，则a 的取值范围是(D )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－32e ，1B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－32e ，34C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32e ，34D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32e ，1 解析：∵ f (0)＝－1＋a ＜0，∴ x 0＝0.又∵ x 0＝0是唯一的使f (x )<0的整数，∴ ⎩⎨⎧f （－1）≥0，f （1）≥0，即⎩⎨⎧e －1[2×（－1）－1]＋a ＋a ≥0，e （2×1－1）－a ＋a ≥0，解得a ≥32e .又∵ a ＜1，∴ 32e ≤a ＜1，经检验a ＝34，符合题意．故选D.3．(xx·天津卷)已知函数f (x )＝ax ln x ，x ∈(0，＋∞)，其中a 为实数，f ′(x )为f (x )的导函数．若f ′(1)＝3，则a 的值为3.解析：f ′(x )＝a ⎝⎛⎭⎪⎫ln x ＋x ·1x ＝a (1＋ln x )．由于f ′(1)＝a (1＋ln 1)＝a ，又f ′(1)＝3，所以a ＝3.5．求下列函数的导数： (1)y ＝(2x 2－1)(3x ＋1)； (2)y ＝x 2sin x .答案：(1)y ′＝18x 2＋4x －3 (2)y ′＝2x sin x ＋x 2cos x一、选择题1．函数y ＝12x 2－ln x 的单调递减区间为(B )A ．(－1，1]B ．(0，1]C ．[1，＋∞)D ．(0，＋∞)解析：∵y＝12x 2－ln x ，∴y ′＝x －1x ，由y′≤0，解得－1≤x ≤1，又x ＞0，∴0＜x≤1.故选B .2．设P 为曲线C ：y ＝x 2＋2x ＋3上的点，且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，则点P 横坐标的取值范围为(A )A .⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－12 B ．[－1，0]C ．[0，1]D .⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1解析：设P(x 0，y 0)， ∵y′＝2x ＋2，∴曲线C 在点P 处的切线斜率为2x 0＋2.又切线倾斜角范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，∴斜率范围是[0，1]．即2x 0＋2∈[0，1]，∴x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－12.3．若f(x)＝－12x 2＋b ln (x ＋2)在(－1，＋∞)上是减函数，则b 的取值范围是(C )A ．[－1，＋∞)B ．(－1，＋∞)C ．(－∞，－1]D ．(－∞，－1)解析：∵f′(x)＝－x 2－2x ＋b x ＋2＝－（x ＋1）2＋b ＋1x ＋2.则由已知f′(x)≤0在(－1，＋∞)上恒成立，∴1＋b≤0. ∴b ≤－1.4．(xx·陕西卷)对二次函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a 为非零整数)，四位同学分别给出下列结论，其中有且只有一个结论是错误的，则错误的结论是(A )A ．－1是f(x)的零点B ．1是f(x)的极值点C ．3是f(x)的极值D ．点(2，8)在曲线y ＝f(x)上解析：A 中－1是f(x)的零点，则有a －b ＋c ＝0.①B 中1是f(x)的极值点，则有b ＝－2a.②C 中3是f(x)的极值，则有4ac －b24a＝3.③D 中点(2，8)在曲线y ＝f(x)上，则有4a ＋2b ＋c ＝8.④联立①②③解得a ＝－34， b ＝32， c ＝94.联立②③④解得a ＝5，b ＝－10，c ＝8，从而可判断A 错误，故选A .5．(xx ·江西卷)在同一直角坐标系中，函数y ＝ax 2－x ＋a 2与y ＝a 2x 3－2ax 2＋x ＋a(a∈R)的图象不可能的是(B )解析：当a ＝0时，两函数图象如D 所示，当a ≠0时，对函数y ＝a 2x 3－2ax 2＋x ＋a ，令y ′＝3a 2x 2－4ax ＋1＝0得：x ＝1a 或x ＝13a ，y ＝ax 2－x ＋a 2的对称轴为x ＝12a .当a ＜0时，由1a ＜12a ＜13a 知B 不对，当a ＞0时，由1a ＞12a ＞13a知A ，C 正确．6．(xx·新课标Ⅱ卷)设函数f ′(x )是奇函数f (x )(x ∈R )的导函数，f (－1)＝0，当x >0时，xf ′(x )－f (x )<0，则使得f (x )>0成立的x 的取值范围是(A )A ．(－∞，－1)∪(0，1)B ．(－1，0)∪(1，＋∞)C ．(－∞，－1)∪(－1，0)D ．(0，1)∪(1，＋∞)解析：记函数g (x )＝f （x ）x ，则g ′(x )＝xf ′（x ）－f （x ）x 2，因为当x ＞0时，xf ′(x )－f (x )＜0，故当x ＞0时，g ′(x )＜0，所以g (x )在(0，＋∞)单调递减，由因为函数f (x )(x ∈R )是奇函数，故函数g (x )是偶函数，所以g (x )在(－∞，0)单调递减，且g (－1)＝g (1)＝0，当0＜x ＜1时，g (x )＞0，则f (x )＞0；当x ＜－1时，g (x )＜0，则f (x )＜0，综上所述，使得f (x )＞0成立的x 的取值范围是(－∞，－1)∪(0，1)，故选A.答案：A7．函数y ＝f (x )在定义域⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，3 内可导，其图象如图所示，记y ＝f (x )的导函数为y ＝f ′(x )，则不等式f ′(x )≤0的解集为(A )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，1∪[2，3)B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤43，83C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，12∪[1，2]D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，－13∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，43二、填空题9．(xx·陕西卷)函数y ＝x e x 在其极值点处的切线方程为y ＝－1e． 解析：由题知y ′＝e x ＋x e x，令y ′＝0，解得x ＝－1，代入函数解析式可得极值点的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫－1，－1e ，又极值点处的切线为平行于x 轴的直线，故方程为y ＝－1e . 三、解答题10．已知函数f (x )＝2x 3＋ax 与g (x )＝bx 2＋c 的图象都过点P (2，0)，且在点P 处有相同的切线．(1)求实数a ，b ，c 的值；(2)设函数F (x )＝f (x )＋g (x )，求F (x )的单调区间，并指出函数F (x )在该区间上的单调性．解析：(1)因为函数f (x )＝2x 3＋ax 与g (x )＝bx 2＋c 的图象都过点P (2，0)， 所以⎩⎨⎧2×23＋2a ＝0，4b ＋c ＝0.得a ＝－8，4b ＋c ＝0. 故f (x )＝2x 3－8x ，f ′(x )＝6x 2－8.又当x ＝2时，f ′(x )＝16，又g ′(x )＝2bx ，所以2b ×2＝16，得b ＝4，c ＝－16.所以a ＝－8，b ＝4，c ＝－16.(2)因为F (x )＝2x 3＋4x 2－8x －16，所以F ′(x )＝6x 2＋8x －8.由F ′(x )＞0，得x ＜－2或x ＞23； 由F ′(x )＜0，得－2＜x ＜23. 所以，当x ∈(－∞，－2)时，F (x )是增函数；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞时，F (x )也是增函数； 当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫－2，23时，F (x )是减函数． 11．(xx·新课标Ⅱ卷)设函数f (x )＝e mx ＋x 2－mx .(1)证明：f (x )在(－∞，0)单调递减，在(0，＋∞)单调递增；(2)若对于任意x 1，x 2∈[－1，1]，都有|f (x 1)－f (x 2)|≤e －1，求m 的取值范围． 解析：(1)证明：f ′(x )＝m (e mx －1)＋2x .若m ≥0，则当x ∈(－∞，0)时，e mx －1≤0，f ′(x )<0；当x ∈(0，＋∞)时，e mx －1≥0，f ′(x )>0.若m <0，则当x ∈(－∞，0)时，e mx －1>0，f ′(x )<0；当x ∈(0，＋∞)时，e mx －1<0，f ′(x )>0.所以，f (x )在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增．(2)由(1)知，对任意的m ，f (x )在[－1，0]上单调递减，在[0，1]上单调递增，故f (x )在x ＝0处取得最小值．所以对于任意x 1，x 2∈[－1，1]，|f (x 1)－f (x 2)|≤e －1的充要条件是⎩⎨⎧f （1）－f （0）≤e －1，f （－1）－f （0）≤e －1，即⎩⎨⎧e m－m ≤e －1，e －m ＋m ≤e －1.①设函数g(t)＝e t－t－e＋1，则g′(t)＝e t－1.当t<0时，g′(t)<0；当t>0时，g′(t)>0.故g(t)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增．又g(1)＝0，g(－1)＝e－1＋2－e<0，故当t∈[－1，1]时，g(t)≤0.当m∈[－1，1]时，g(m)≤0，g(－m)≤0，即①式成立；当m>1时，由g(t)的单调性，g(m)>0，即e m－m>e－1；当m<－1时，g(－m)>0，即e－m＋m>e－1.综上，m的取值范围是[－1，1]．。
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2021年高考数学二轮复习上篇专题整合突破专题一函数与导数不等式第2讲不等式问题练习一、填空题1.(xx·苏州调研)已知f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋x （x ≥0），－x 2＋x （x ＜0），则不等式f (x 2－x ＋1)＜12的解集是________.解析 依题意得，函数f (x )是R 上的增函数，且f (3)＝12，因此不等式f (x 2－x ＋1)＜12等价于x 2－x ＋1＜3，即x 2－x －2＜0，由此解得－1＜x ＜2. 因此，不等式f (x 2－x ＋1)＜12的解集是(－1，2). 答案 (－1，2)2.若点A (m ，n )在第一象限，且在直线x 3＋y4＝1上，则mn 的最大值是________.解析 因为点A (m ，n )在第一象限，且在直线x 3＋y 4＝1上，所以m ，n ＞0，且m 3＋n4＝1，所以m 3·n 4≤2342m n ⎛⎫+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当m 3＝n 4＝12，即m ＝32，n ＝2时，取“＝”，所以m 3·n 4≤⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝14，即mn ≤3，所以mn 的最大值为3. 答案 33.(xx·苏北四市模拟)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋2x ，x ≥0，x 2－2x ，x ＜0，若f (－a )＋f (a )≤2f (1)，则实数a 的取值范围是________. 解析 f (－a )＋f (a )≤2f (1)⇔⎩⎨⎧a ≥0，（－a ）2－2×（－a ）＋a 2＋2a ≤2×3或 ⎩⎨⎧a ＜0，（－a ）2＋2×（－a ）＋a 2－2a ≤2×3 即⎩⎨⎧a ≥0，a 2＋2a －3≤0或⎩⎨⎧a ＜0，a 2－2a －3≤0，解得0≤a ≤1，或－1≤a ＜0. 故－1≤a ≤1. 答案 [－1，1]4.已知函数f (x )＝⎩⎨⎧log 3x ，x ＞0，⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ，x ≤0，那么不等式f (x )≥1的解集为________.解析 当x ＞0时，由log 3x ≥1可得x ≥3，当x ≤0时，由⎝ ⎛⎭⎪⎫13x≥1可得x ≤0，∴不等式f (x )≥1的解集为(－∞，0]∪[3，＋∞). 答案 (－∞，0]∪[3，＋∞)5.(xx·南京、盐城模拟)若x ，y 满足不等式组⎩⎨⎧x ＋2y －2≥0，x －y ＋1≥0，3x ＋y －6≤0，则x 2＋y 2的最小值是________.解析 不等式组所表示的平面区域如图阴影部分所示，x 2＋y 2表示原点(0，0)到此区域内的点P (x ，y )的距离.显然该距离的最小值为原点到直线x ＋2y －2＝0的距离. 故最小值为|0＋0－2|12＋22＝255.答案2556.已知当x ＜0时，2x 2－mx ＋1＞0恒成立，则m 的取值范围为________. 解析 由2x 2－mx ＋1＞0，得mx ＜2x 2＋1， 因为x ＜0，所以m ＞2x 2＋1x ＝2x ＋1x.而2x ＋1x ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤（－2x ）＋1（－x ）≤－2（－2x ）×1（－x ）＝－2 2.当且仅当－2x ＝－1x ，即x ＝－22时取等号，所以m ＞－2 2. 答案 (－22，＋∞)7.设目标函数z ＝x ＋y ，其中实数x ，y 满足⎩⎨⎧x ＋2y ≥0，x －y ≤0，0≤y ≤k .若z 的最大值为12，则z 的最小值为________.解析 作出不等式组所表示的可行域如图阴影所示，平移直线x ＋y ＝0，显然当直线过点A (k ，k )时，目标函数z ＝x ＋y 取得最大值，且最大值为k ＋k ＝12，则k ＝6，直线过点B 时目标函数z ＝x ＋y 取得最小值，点B 为直线x ＋2y ＝0与y ＝6的交点， 即B (－12，6)，所以z min ＝－12＋6＝－6. 答案 －68.(xx·泰州调研)已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋1y＝1，若x ＋2y ＞m 2＋2m 恒成立，则实数m的取值范围为________.解析 记t ＝x ＋2y ，由不等式恒成立可得m 2＋2m ＜t min . 因为2x ＋1y＝1，所以t ＝x ＋2y ＝(x ＋2y )⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1y ＝4＋4y x ＋x y.而x ＞0，y ＞0，所以4y x ＋xy ≥24yx·x y＝4(当且仅当4y x＝xy，即x ＝2y 时取等号). 所以t ＝4＋4y x ＋xy≥4＋4＝8，即t min ＝8.故m 2＋2m ＜8，即(m －2)(m ＋4)＜0.解得－4＜m ＜2. 答案 (－4，2) 二、解答题9.(xx·苏北四市调研)某单位拟建一个扇环面形状的花坛(如图所示)，该扇环面是由以点O 为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点O 的两条直线段围成.按设计要求扇环面的周长为30米，其中大圆弧所在圆的半径为10米.设小圆弧所在圆的半径为x 米，圆心角为θ(弧度). (1)求θ关于x 的函数关系式；(2)已知在花坛的边缘(实线部分)进行装饰时，直线部分的装饰费用为4元/米，弧线部分的装饰费用为9元/米.设花坛的面积与装饰总费用的比为y ，求y 关于x 的函数关系式，并求出x 为何值时，y 取得最大值？解 (1)设扇环的圆心角为θ，则30＝θ(10＋x )＋2(10－x )，所以θ＝10＋2x 10＋x(0＜x＜10).(2)花坛的面积为12θ(102－x 2)＝(5＋x )(10－x )＝－x 2＋5x ＋50(0＜x ＜10).装饰总费用为9θ(10＋x )＋8(10－x )＝170＋10x ， 所以花坛的面积与装饰总费用的比y ＝－x 2＋5x ＋50170＋10x＝－x 2－5x －5010（17＋x ），令t ＝17＋x ，则y ＝3910－110⎝⎛⎭⎪⎫t ＋324t ≤310，当且仅当t ＝18时取等号，此时x ＝1，θ＝1211.答：当x ＝1时，花坛的面积与装饰总费用的比最大.10.已知函数f (x )＝2xx 2＋6. (1)若f (x )＞k 的解集为{x |x ＜－3，或x ＞－2}，求k 的值； (2)对任意x ＞0，f (x )≤t 恒成立，求t 的取值范围. 解 (1)f (x )＞k ⇔kx 2－2x ＋6k ＜0.由已知{x |x ＜－3，或x ＞－2}是其解集，得kx 2－2x ＋6k ＝0的两根是－3， －2.由根与系数的关系可知(－2)＋(－3)＝2k ，即k ＝－25.(2)因为x ＞0，f (x )＝2x x 2＋6＝2x ＋6x≤226＝66，当且仅当x ＝6时取等号.由已知f (x )≤t 对任意x ＞0恒成立，故t ≥66，即t 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫66，＋∞. 11.(1)解关于x 的不等式x 2－2mx ＋m ＋1＞0； (2)解关于x 的不等式ax 2－(2a ＋1)x ＋2＜0.解 (1)原不等式对应方程的判别式Δ＝(－2m )2－4(m ＋1)＝4(m 2－m －1).当m 2－m －1＞0，即m ＞1＋52或m ＜1－52时，由于方程x 2－2mx ＋m ＋1＝0的两根是m ±m 2－m －1，所以原不等式的解集是{x |x ＜m －m 2－m －1，或x ＞m ＋m 2－m －1}；当Δ＝0，即m ＝1±52时，不等式的解集为{x |x ∈R ，且x ≠m }；当Δ＜0，即1－52＜m ＜1＋52时，不等式的解集为R .综上，当m ＞1＋52或m ＜1－52时，不等式的解集为{x |x ＜m －m 2－m －1，或x ＞m＋m 2－m －1}；当m ＝1±52时，不等式的解集为{x |x ∈R ，且x ≠m }；当1－52＜m＜1＋52时，不等式的解集为R .(2)原不等式可化为(ax －1)(x －2)＜0.①当a ＞0时，原不等式可以化为a (x －2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a ＜0，根据不等式的性质，这个不等式等价于(x －2)·⎝⎛⎭⎪⎫x －1a ＜0.因为方程(x －2)⎝⎛⎭⎪⎫x －1a ＝0的两个根分别是2，1a，所以当0＜a ＜12时，2＜1a ，则原不等式的解集是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |2＜x ＜1a ；当a ＝12时，原不等式的解集是∅；当a ＞12时，1a ＜2，则原不等式的解集是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1a ＜x ＜2.②当a ＝0时，原不等式为－(x －2)＜0，解得x ＞2，即原不等式的解集是{x |x ＞2}.③当a ＜0时，原不等式可以化为a (x －2)⎝⎛⎭⎪⎫x －1a ＜0，根据不等式的性质，这个不等式等价于(x －2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a ＞0，由于1a ＜2，故原不等式的解集是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＜1a 或x ＞2. 综上，当a ＝0时不等式解集为(2，＋∞)；当0＜a ＜12时，不等式解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，1a ；当a ＝12时，不等式解集为∅；当a ＞12时，不等式解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，2；当a ＜0时，不等式解集为⎝⎛⎭⎪⎫－∞，1a ∪(2，＋∞).。