第八章 单因素拉丁方设计

为2×2阶拉丁方，2×2阶拉丁方只有这两 个。 A B C B C A C A B 为3×3阶拉丁方。
第一行与第一列的拉丁字母按自然顺序排 列的拉丁方，叫标准型拉丁方。3×3阶标准型 拉丁方只有上面介绍的1种，4×4阶标准型拉 丁方有4种，5×5阶标准型拉丁方有56种。若 变换标准型的行或列，可得到更多种的拉丁方。 在进行拉丁方设计时，可从上述多种拉丁 方中随机选择一种；或选择一种标准型，随机 改变其行列顺序后再使用。
第八章 单因素拉丁方设计
第一节 拉丁方实验设计的基本原理
一、 拉丁方实验设计
拉丁方设计是从横行和直列两个方向进行双 重局部控制，使得横行和直列两向皆成区组的设 计。在拉丁方设计中，每一行或每一列都成为一 个完全区组，而每一处理在每一行或每一列都只 出现一次，也就是说，在拉丁方设计中，实验处 理数=横行区组数=直列区组数=实验处理的重复 数。即拉丁方是一个含有n行、n列、把n个字母 分配给方格的管理方案，其中每个字母在每行、 每列中各出现一次，处理数等于行数和列数，且 实行双重局部控制的设计。
3) 无关变量（纵列）的总体平均数相等
H0 : 1 2 3 4
第二步：平方和及自由度的计算
SS总变异 = SS处理间 +SS处理内
= SS处理间 +（SSb+ SSc+SSe）
d f总变异 = d f处理间 + d f处理内
= d f A +（d f B + d f C +d fe）
F0.01(3 , 6)=9.78
方差分析结论表明：
实验中的自变量——啤酒品牌的效应在统 计上是极显著的，表明不同品牌的啤酒对于消 费者的确存在不同的差异； 实验中的无关变量——不同年龄段饮用者 区组B的效应统计上也是极显著的，说明来自 四个不同的人群对啤酒的口感和喜好有极其显 著的差异； 实验中的另一无关变量即饮用顺序的效应 统计上是不显著的，表明饮用顺序的不同并未 对实验的结果产生影响。
二、拉丁方实验设计的目的
隔离或消除两个误差变异，只比较n种处理 或一个因素的n个水平。
三、拉丁方实验设计的方法
有一个无关变量的水平在横行分配，另一个 无关变量的水平在纵列分配，自变量的水平 则分配给方格的每个单元。
四、拉丁方实验条件
研究中有一个带有n≥2个水平的自变量，还 有两个带有n≥2的无关变量。 随机分配处理给n2个方格，每个处理水平 仅在每行每列中出现一次，每个方格单元 中分配一个或多个实验单元接受处理。 事先假定处理水平与无关水平之间没有交 互作用。
1、直列随机 将拉丁方的各直列顺序按 13542顺序重排。 2、横行随机 再 将直列重排后的拉丁方的 各横行按41523顺序重排。
3、把5种不同处理按第三个5位数34521顺 序排列
六、假设
1) 处理水平总体平均数相等
H 0 : 1 2 P 或H 0 : j （j 1 2 p） 0 ，
在选定拉丁方之后，若是非标准型，则可 直接由拉丁方中的字母获得实验设计。若是标 准型拉丁方，还应按下列要求对直列、横行和 实验处理的顺序进行随机排列。
5×5标准型拉丁方：先随机选择4个标准 型拉丁方中的一个；然后将所有的直列、横行 及处理都随机排列。 下面对选定的5×5标准型拉丁方进行随机 排列。先从随机数字表第X行、第Y列开始，向 右连续抄录3个5位数，抄录时舍去“0”、“6 以上的数”和重复出现的数，抄录的3个五位数 字为：13542，41523，34521。然后将上面选 定的5×5拉丁方的直列、横行及处理按这3个 五位数的顺序重新随机排列。
xij( k ) i j ( k ) ij( k )
（i=j=k=1，2，…，n）
（12-3）
式中：
μ 为总平均数；
ai 为第i横行单位组效应；
j 为第j直列单位组效应，
(k ) 为第k处理效应。
ij (k )为随机误差，相互独立，且都服从N（0，
五、实验工具
拉丁方格 标准型拉丁方 拉丁方块随机化
（一） 拉丁方 以 n 个 拉 丁 字 母 A， B， C……，为元素，列出一个 n阶方阵，若这 n个 拉丁方字母在这 n 阶方阵的每一行、 每一列都 出现、且只出现一次，则称该 n阶方阵 为n×n 阶 拉 丁方。
例如： A B B A B A A B
作为第一无关变量和第二无关变量，通过实验 设计将他们的效应分离出去以便更好的探讨不 同品牌的啤酒在消费者心目中的差别。
2.实验设计：
该小组选择单因素拉丁方实验设计安排实 验，实验处理有4种不同品牌： 燕京啤酒，雪花啤酒，青岛啤酒，蓝带啤酒， 并记为a1， a2， a3， a 4；
实验在闹市区假日广场，选择在星期天 上午10点，从人群中随机的选取四个年龄段,m 每个年龄段4人，共16名饮用者。
第三节 拉丁方设计的优缺点 （一）拉丁方设计的主要优点
1、精确性高
拉丁方设计在不增加实验单位的情况下，
比随机单位组设计多设置了一个区组因素，能
将横行和直列两个单位组间的变异从实验误差
中分离出来，因而实验误差比随机区组设计小，
实验的精确性比随机区组设计高。 2、实验结果的分析简便
（二）拉丁方设计的主要缺点
2) 无关变量（横行）的总体平均数相等
H0 : 1 2 1 ; 或H0 : k 0
3) 无关变量（纵列）的总体平均数相等
H0 : 1 2 p ; 或H0 : l 0
七、实验结果的统计分析
拉丁方设计实验结果的分析，是 将区组因素与实 验因素一起，按 三因素实验单独观测值的方差分析法 进行 ，但 应 假 定 3个因素之间不存在交互作用。将 横行区组因素记为 a ，直列区组因素记为b，处理因 素记为c，横行区组数、直列区组数与处理数记为n， 对拉丁方实验结果进行方差分析的数学模型为：
因为在拉丁设计中 ，横行区组数 、直列区 组数、实验处理数与实验处理的重复数必须相等， 所以处理数受到一定限制。若处理数少，则重复 数也少，估计实验误差的自由度就小，影响检验 的灵敏度；若处理数多，则重复数也多，横行、 直列单位组数也多，导致实验工作量大，且同一 区组内实验单元的初始条件亦难控制一致。因此， 拉丁方设计一般用于5-7个处理的实验。
b4
∑
a2
9 48
a3
15 44
a4
19 48
a1
12 52
a1 35
a2 31
a3 56
a4 70
第一步：作统计假设
1) 处理水平总体平均数相等
H0 : 1 2 3 4
2) 无关变量（横行）的总体平均数相等
H0 : 1 2 3 4
σ2）。
注意： k不是独立的下标，因为i、j一经确定， k亦随之确定。 平方和与自由度划分式为： SST = SSa+SSb+SSc+SSe
dfT = df a+ dfb+ dfc+dfe
第二节 实例分析
（一）研究的问题与实验设计 1.问题 一学校某年级市场研究小组研究不同品牌 的啤酒在消费者心目中的差别，这既是一个 实验的题目也是一种备择假设。小组成员的 假设是不同品牌的啤酒在消费者心目中是有 明显差别的。于是进行一次市场实验，该实 验只有一个自变量——啤酒品牌。因变量是 4种不同品牌啤酒在消费者心目中的反应变 量，不同年龄段饮用者和饮用时间段可能对 评分分数有影响，但又不是该实验中感兴趣 的因素，于是决定将其分别
（二）常用拉丁方 在实 验 中，最 常 用 的 有3×3，4×4，
5×5，6×6阶拉丁方。下面列出部分标准型拉
丁方，供进行拉丁方设计时选用。
（三）设计步骤
设实验是为了比较n种处理或处理因素A的 n个水平，引入一区组因素有n个水平，引入另 一区组因素也有n个水平，实验单元 有 n 个。
第一步，确定拉丁方的阶数，一般因素的 水平数定为5，6，7比较合适； 第二步，在锁定的阶数拉丁方格中任取一 个简单的标准拉丁方并将其随机化； 第三步，将n个处理或处理因素的n个水平 分配给n个拉丁字母，并视行为区组因素， 而视列为另一个区组因素。
第三步：列出方差分析表，并作出统计推断
变异来源 1.处理间a 2.处理内 饮用者区组b 64.5 3 21.5 21.5** 平方和 251.5 自由度 3 均方 83.83 F 83.83**
饮用顺序c
误差 3.总变异
8
6 330
3
6 15
2.67

2.67
取α =0.05， 0.01时，查表 F0.05(3 , 6)=4.76
四个年龄段，记为 b1 , b2 , b3 , b4； 此外饮用时间段也有4个水平记为c1 , c2 , c3 , C4 ,
c1 b1 a1 7
c2 a2 5
c3 a3 11
c4 a4 17
∑
40 40 57 55 192
b2
b3
a4
15 a3 17
a1
5 a4 19
a2
7 a1 11
a3
13 a2 10