清华大学微积分课件(全)x59
合集下载
微积分ppt课件
和趋势。
02
微积分在机器学习中的应用
利用微积分优化算法，提高机器学习的效率和准确性。
03
微积分在金融工程中的应用
研究微积分在金融衍生品定价、风险管理等领域的应用，推动金融工程
的发展。
THANKS
感谢观看
用微积分解决经济学问题
总结词
微积分在经济学中用于研究经济现象的变化规律和优 化资源配置。
详细描述
在经济学中，微积分被用于分析边际成本、边际收益、 边际效用等问题，以及研究经济增长、通货膨胀、供需 关系等经济现象的变化规律。此外，微积分还可以用于 优化生产和分配资源，提高经济效率。
06
微积分的未来发展与展望
微积分与其他学科的交叉研究
微积分与物理学的交叉
01
研究微积分在解决物理问题中的应用，如流体力学、电磁学等
领域的数学模型。
微积分与经济学的交叉
02
探讨微积分在经济学理论和应用方面的作用，如最优控制理论
、动态规划等。
微积分与计算机科学的交叉
03
研究微积分在算法设计、数据科学、人工智能等领域的应用。
微积分的未来发展方向
上的整体性质，如求面积、体积等。
微积分提供了研究函数和解决实际问题的有效工具， 是高等数学的重要基础。
微积分的发展历史
17世纪，牛顿和莱布尼茨分别独立地创立了微 积分学，为微积分的发展奠定了基础。
19世纪，柯西、黎曼等数学家对微积分的概念和基 础进行了深入的研究和探讨，进一步完善了微积分理
论。
微积分的发展经历了漫长的过程，最早可以追 溯到古代数学家对面积、体积等问题的研究。
1 2
微积分的理论深化
进一步探索微积分的数学原理，发展新的理论和 方法。
清华大学微积分课件
x0
x x0
x
-1 -1.5
2020/5/11
limarctan 1 不存 在！
x0
x
9
2. 函数在无穷远的极限
定义3： 设 函数 f ( x )在 区间( a, )有 定义
若x无 限变 大时 ，f ( x )无 限趋 于某 一
常 数， 则 称当x 时, f ( x )有 极限A，
记作 lim f ( x ) A x
趋向于一点
O
x• x0 x•
x
x x0 ， x x0， x x0
趋向于无穷
x ， x ， x
2020/5/11
4
（二）函数极限的定义
1. 函数在一点的极限
定义1：
设 函 数 f ( x )在 点x0的 某 空 心 邻 域
有 定 义. 如 果 当“ x 无 限 趋 于 ” x0时 ， 其 对
x x0时, f ( x )无 限 趋 于 确 定 值A,则 称A
是f
(
x
)在x0处
的
左
极
限,
记
作
lim
x x0
f
(x)Fra bibliotekA（2） 若 f ( x )在 （x0 , x0 )内 有 定 义.当
x x0时, f ( x )无 限 趋 于 确 定 值A,则 称A
是f
(
x
)在x0处
的
右
极
限,
记
作
lim
ff((xx))存存在在,,则则当当xyx 1x x时 0 时, ,f
f(
x( x)有)有界界. .
即存即在存M在M0和 0和 0N, 使 0当, 使0 当xxx0N时,时,
清华微积分高等数学课件第一讲函数
理等。
在清华，微积分课程是理工科学生的必修课，对于培养学生的
03
逻辑思维、分析问题和解决问题的能力具有重要意义。
课程目标
01
掌握微积分的基本概念和原理，如极限、连续性、 可微性、积分等。
02
学会运用微积分的方法解决实际问题，提高分析问 题和解决问题的能力。
03
培养学生对微积分的兴趣和热爱，为后续学习打下 坚实的基础。
通过选取一定数量的x值，计算对应的 y值，然后在坐标纸上标出这些点，再 用直线连接这些点。这种方法适用于 绘制简单的函数图像。
计算机绘制
使用数学软件或编程语言，如Matlab、 Python等，可以快速绘制函数的图像， 并可以自定义坐标轴范围、刻度等参 数。
函数图像的变换
平移变换
将函数图像沿x轴或y轴方向平移一定的距离。平移变换包括左移和右 移、上移和下移。
02 函数的基本概念
函数的定义
总结词
函数是数学中的基本概念，用于描述两个集合之间的映射关 系。
详细描述
函数是建立在两个数集之间的一种对应关系，对于数集A中的每 一个元素x，按照某种法则，数集B中都有唯一确定的元素y与之 对应。
函数的表示
总结词
函数的表示方法有多种，包括解析法、 表格法和图象法。
详细描述
解析法是用数学表达式表示函数关系， 是最常用的一种表示方法；表格法是 用表格列出函数值，便于查找和计算； 图象法则是通过绘制函数图像来表示 函数关系。
函数的性质
总结词
函数的性质包括有界性、单调性、周期性和奇偶性等。
详细描述
有界性是指函数在一定区间内的取值范围有限；单调性是指函数在某一区间内的增减性；周期性是指函数按照一 定周期重复的特性；奇偶性则是指函数图像关于原点或y轴的对称性。
清华大学微积分课件(全x5
11
f ( x0 x ) f ( x0 ) 左导数 lim f ( x0 ) x 0 x f 在 x0 左可导 f ( x0 x ) f ( x0 ) 右导数 lim f ( x0 ) x 0 x f 在 x0 右可导 定理： 函数 f 在点 x 0 可导 f 在 x0 的
即 f ( x )在点 x0 可微, 且A( x0 ) f ( x0 )
2013-7-28 17
[证] (2) 设函数 f ( x )在点 x0可微
f ( x0 ) A( x0 ) x o(x )
(x 0)
f ( x 0 ) f ( x0 ) lim x 0 x A( x0 )x o( x ) lim A( x0 ) x 0 x
0
[注意1] 当确定点 x0 时, 微分df ( x0 )是
x x x0 的线性函数 .
[注意2] 当x很小时, 微分df ( x0 ) 可作为 增量f ( x0 ) 的近似值, 其误差
f ( x0 ) df ( x0 )
是x的高阶无穷小.
2013-7-28
微分是增量的“线性主部”
20
y x
o
2013-7-28
尖点
x
21
[例] 研究 f ( x ) x 在 x 0 的可导性
y f ( 0 x ) f ( 0) ( x ) 1 [解] x x x ( x ) y 1 lim lim 2 x 0 x x 0 ( x ) 3
当 x 很小时,
y dy 即
在点x 0附近 , 用切线近似代替 曲线 — “以直代曲” .
2013-7-28 26
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
作 P125
业 习题4 习题
10. 13. P134
2012-4-2
习题5 习题5
1
1. 2.
微积分(3)第一次机考 微积分 第一次机考 考试地点: 开放实验室(主楼后厅 考试地点 开放实验室 主楼后厅) 主楼后厅 进场时间: 进场时间 2003年4月5日(六) 15:00 年 月 日六 考试时间: 考试时间 15:30—16:30 注意事项: 注意事项 1.按时进场 按时进场. 按时进场 2.进场只许带文具，不得带书包. 进场只许带文具，不得带书包 进场只许带文具 3.统一发草稿纸 统一发草稿纸. 统一发草稿纸
利用极坐标
∫∫ e
D
− x2 − y2
dσ = ∫∫ e
DR
−r2
rdrdθ = ∫ dθ ∫ e
0 0
2π
R
−r 2
r dr
1 2π − r 2 R − R2 dθ = π (1 − e ) =− ∫ e 0 2 0 最后 , 将正方形域 D夹在一个小圆 Dr 与一个
大圆 D R 之间
o
2012-4-2
[解] 球体的质量分布关于 z轴对称 解
所以质心 ( x , y , z ) 位于 z 轴上 , 即有
x = y =0
z =
2012-4-2
∫∫∫ Ω
µ ( x , y , z ) zdV µ ( x , y , z ) dV
16
∫∫∫ Ω
∫∫∫ µ ( x, y, z ) zdV = ∫∫∫ ( x Ω Ω
∫∫∫ ( x Ω
2
+ y + z ) µ ( x , y , z ) dV
2 2
13
[ 例 1 ] 求球体 x + y + z ≤ a 被圆
2 2 2 2
柱面 x + y = ax 所截出的那一
2 2
部分体积
[解] 解
V .
z
z = a −r
2
2
由对称性 只需计算 第一挂限 的体积 V 1
2012-4-2
5 z= R 故 4 球体的质心坐标为 2012-4-2
5 ( 0 ,0 , R ) 4
18
[例3] 求高为 h, 半顶角为 α , 密度为 µ 的均匀 正圆锥体对位于其顶点 的一单位质点 z 的引力. [解] 取坐标系如图所示 解 h v 由对称性知 ,引力 F在 x , y轴上的 α y 分量为零 , 即有 Fx = 0 , F y = 0 o 在 z轴上的分量微元为 x v 1 ⋅ µ dV z dFz = dF cos γ = k 2 r r 2 2 2 其中 k 为引力常数 , r = x + y + z
∫
2012-4-2
+∞
0
e
−a 2 x 2
1 + ∞ − u2 π dx = ∫ e du = a 0 2a
8
三重积分的应用
1 .空间立体的体积
V =
∫∫∫ Ω
1 dV
2 .不均匀物体的质量
m = ∫∫∫ µ ( x , y, z )dV
Ω
2012-4-2 9
3 .不均匀物体的质心
M xy = M yz = M = zx
y
r a R
x
6
∫∫ e
Dr
− x2 − y2
dσ ≤ ∫∫ e
D
−r 2
− x2 − y2
dσ ≤ ∫∫ e
DR
2
− x2 − y2
dσ
)
⇒
π (1 − e
) ≤ (∫ e
−a
a
− x2
dx ) ≤ π (1 − e
− R2
再令 r → +∞ , R → +∞ , 则必有 a → +∞ , 得
(∫ e
a
x
因为定积分的数值与变量记号无关， 因为定积分的数值与变量记号无关，得
∫
所以， 所以，有
a −a
e
− x2
dx = ∫ e
−a
a
− y2
dy
a − x2
∫∫ e
D
2012-4-2
− x2 − y2
dσ = ( ∫ e
−a
dx ) 2
只要求当a → +∞ 时的极限
5
再考虑以原点为中心 , 半径为 R的圆域 D R 的圆域
2012-4-2 2
第十三讲
三重积分的应用
2012-4-2
3
泊松（Poisson） [例] 泊松（Poisson）积分的计算
∫
+∞
0
e
−a 2 x 2
dx =
π
2a
,
a>0
泊松积分在概率论与数学物理方法中有重要应用 泊松积分在概率论与数学物理方法中有重要应用 可以利用二重积分的方法算出泊松积分 可以利用二重积分的方法算出泊松积分 二重积分的方法
−∞ ∞ − x2
dx ) = π
2
即
∫
∞ −∞
e
− x2
dx = π
因为上述广义积分收敛， 因为上述广义积分收敛，且被积函数为偶函 数，所以有
∫
2012-4-2
∞ −∞
e
− x2
dx = 2 ∫ e
0
∞
− x2
dx = π
7
于是， 于是，有
∫
∞
0
e
− x2
dx =
π
2
1 令 u = ax , 则 dx = du, 得 a
先考虑以原点为中心，对称于坐标轴， 先考虑以原点为中心，对称于坐标轴，边长 2a的正方形域 为2a的正方形域 D
2012-4-2 4
∫∫ e
D
− x2 − y2
= ∫ dx ∫ e − x ⋅ e − y dy dσ −a −a
2 2
a
a
y
=∫ e
−a
a
− x2
dx ⋅ ∫ e
−a
a
− y2
dy
o
2012-4-2
∫∫∫ Ω ∫∫∫ Ω
z µ ( x , y , z ) dV
∫∫∫ x µ ( x , y , z ) dV Ω
y µ ( x , y , z ) dV
10
物体的质心坐标
x=
∫∫∫ xµ( x, y, z)dV Ω
µ ( x, y, z)dV ∫∫∫
Ω
y=
∫∫∫ yµ( x, y, z)dV Ω ∫∫∫ µ( x, y, z)dV Ω
x , y , z 轴的转动惯量
∫∫∫ Ω ∫∫∫ Ω ∫∫∫ Ω
( y 2 + z 2 ) µ ( x , y , z ) dV ( z + x ) µ ( x , y , z ) dV
2 2
( x 2 + y 2 ) µ ( x , y , z ) dV
物体对原点的转动惯量
JO =
2012-4-2
o
x
y
r = acosθ
14
V1 = ∫∫∫ dV
Ω
利用柱坐标计算
V1 = ∫∫∫ dV = ∫∫∫ rd θ drdz
= =
∫
π
2 0
Ω
Ω*
dθ ∫
a cos θ 0
rdr ∫
2
a2 −r 2
0
dz
π
∫
π
2 0
dθ ∫
a cos θ 0
1 3 2 3 a − r rdr = a ∫0 (1 − sin θ ) dθ 3
首先证明
∫
+∞ −∞
e
−x
2
dx = π
∫∫
a ++ a + a − x − y+ a −− x 2 − x 2 + a −− y 2 x2 2x 2 a a −− a− a ≤ x ≤ a −a −− a −a ≤ y≤a
2 2
d ee∫∫ ee ⋅ ⋅∫ dx )σ dx ( ∫ dx ee dy dx ∫
2012-4-2 19
于是
Fz = kµ ∫∫∫
Ω
2π
z (x + y + z )
2 2 2 3 2
dV
= kµ ∫ dθ ∫ dϕ ∫
0 0
α
0
α
h cosϕ 0
ρ cos ϕ 2 ρ sin ϕdρ 3 ρ
= 2 k µπ h ∫ sin ϕ d ϕ
= 2kµπ h(1 − cos α )
2012-4-2 20
2
1 π 2 3 = ( − ) a 所以 V = 4V1 = 4 (π − 2)a3 3 2 3 3 2 315 2012-4-2
[例 2 ]设球体 x 2 + y 2 + z 2 ≤ 2 Rz 上任一点 ( x , y , z )处的密度等于该点到坐 标 原点距离的平方 , 求该球体的质心 .
2012-4-2 17
∫∫∫ µ ( x, y, z )dV = ∫∫∫ ( x Ω Ω
=∫
2π 0
2
+ y + z )dV
2 2
d ϕ ∫ dθ ∫
2 0
π
2 R cos θ 0
ρ ⋅ ρ sin θdρ
2 2
= 2π ∫
π
2 0
32 5 5 sin θ R cos θ dθ 5
π
64 32 5 5 5 2 = π R ∫ cos θ sin θ dθ = πR 0 5 15
业 习题4 习题
10. 13. P134
2012-4-2
习题5 习题5
1
1. 2.
微积分(3)第一次机考 微积分 第一次机考 考试地点: 开放实验室(主楼后厅 考试地点 开放实验室 主楼后厅) 主楼后厅 进场时间: 进场时间 2003年4月5日(六) 15:00 年 月 日六 考试时间: 考试时间 15:30—16:30 注意事项: 注意事项 1.按时进场 按时进场. 按时进场 2.进场只许带文具，不得带书包. 进场只许带文具，不得带书包 进场只许带文具 3.统一发草稿纸 统一发草稿纸. 统一发草稿纸
利用极坐标
∫∫ e
D
− x2 − y2
dσ = ∫∫ e
DR
−r2
rdrdθ = ∫ dθ ∫ e
0 0
2π
R
−r 2
r dr
1 2π − r 2 R − R2 dθ = π (1 − e ) =− ∫ e 0 2 0 最后 , 将正方形域 D夹在一个小圆 Dr 与一个
大圆 D R 之间
o
2012-4-2
[解] 球体的质量分布关于 z轴对称 解
所以质心 ( x , y , z ) 位于 z 轴上 , 即有
x = y =0
z =
2012-4-2
∫∫∫ Ω
µ ( x , y , z ) zdV µ ( x , y , z ) dV
16
∫∫∫ Ω
∫∫∫ µ ( x, y, z ) zdV = ∫∫∫ ( x Ω Ω
∫∫∫ ( x Ω
2
+ y + z ) µ ( x , y , z ) dV
2 2
13
[ 例 1 ] 求球体 x + y + z ≤ a 被圆
2 2 2 2
柱面 x + y = ax 所截出的那一
2 2
部分体积
[解] 解
V .
z
z = a −r
2
2
由对称性 只需计算 第一挂限 的体积 V 1
2012-4-2
5 z= R 故 4 球体的质心坐标为 2012-4-2
5 ( 0 ,0 , R ) 4
18
[例3] 求高为 h, 半顶角为 α , 密度为 µ 的均匀 正圆锥体对位于其顶点 的一单位质点 z 的引力. [解] 取坐标系如图所示 解 h v 由对称性知 ,引力 F在 x , y轴上的 α y 分量为零 , 即有 Fx = 0 , F y = 0 o 在 z轴上的分量微元为 x v 1 ⋅ µ dV z dFz = dF cos γ = k 2 r r 2 2 2 其中 k 为引力常数 , r = x + y + z
∫
2012-4-2
+∞
0
e
−a 2 x 2
1 + ∞ − u2 π dx = ∫ e du = a 0 2a
8
三重积分的应用
1 .空间立体的体积
V =
∫∫∫ Ω
1 dV
2 .不均匀物体的质量
m = ∫∫∫ µ ( x , y, z )dV
Ω
2012-4-2 9
3 .不均匀物体的质心
M xy = M yz = M = zx
y
r a R
x
6
∫∫ e
Dr
− x2 − y2
dσ ≤ ∫∫ e
D
−r 2
− x2 − y2
dσ ≤ ∫∫ e
DR
2
− x2 − y2
dσ
)
⇒
π (1 − e
) ≤ (∫ e
−a
a
− x2
dx ) ≤ π (1 − e
− R2
再令 r → +∞ , R → +∞ , 则必有 a → +∞ , 得
(∫ e
a
x
因为定积分的数值与变量记号无关， 因为定积分的数值与变量记号无关，得
∫
所以， 所以，有
a −a
e
− x2
dx = ∫ e
−a
a
− y2
dy
a − x2
∫∫ e
D
2012-4-2
− x2 − y2
dσ = ( ∫ e
−a
dx ) 2
只要求当a → +∞ 时的极限
5
再考虑以原点为中心 , 半径为 R的圆域 D R 的圆域
2012-4-2 2
第十三讲
三重积分的应用
2012-4-2
3
泊松（Poisson） [例] 泊松（Poisson）积分的计算
∫
+∞
0
e
−a 2 x 2
dx =
π
2a
,
a>0
泊松积分在概率论与数学物理方法中有重要应用 泊松积分在概率论与数学物理方法中有重要应用 可以利用二重积分的方法算出泊松积分 可以利用二重积分的方法算出泊松积分 二重积分的方法
−∞ ∞ − x2
dx ) = π
2
即
∫
∞ −∞
e
− x2
dx = π
因为上述广义积分收敛， 因为上述广义积分收敛，且被积函数为偶函 数，所以有
∫
2012-4-2
∞ −∞
e
− x2
dx = 2 ∫ e
0
∞
− x2
dx = π
7
于是， 于是，有
∫
∞
0
e
− x2
dx =
π
2
1 令 u = ax , 则 dx = du, 得 a
先考虑以原点为中心，对称于坐标轴， 先考虑以原点为中心，对称于坐标轴，边长 2a的正方形域 为2a的正方形域 D
2012-4-2 4
∫∫ e
D
− x2 − y2
= ∫ dx ∫ e − x ⋅ e − y dy dσ −a −a
2 2
a
a
y
=∫ e
−a
a
− x2
dx ⋅ ∫ e
−a
a
− y2
dy
o
2012-4-2
∫∫∫ Ω ∫∫∫ Ω
z µ ( x , y , z ) dV
∫∫∫ x µ ( x , y , z ) dV Ω
y µ ( x , y , z ) dV
10
物体的质心坐标
x=
∫∫∫ xµ( x, y, z)dV Ω
µ ( x, y, z)dV ∫∫∫
Ω
y=
∫∫∫ yµ( x, y, z)dV Ω ∫∫∫ µ( x, y, z)dV Ω
x , y , z 轴的转动惯量
∫∫∫ Ω ∫∫∫ Ω ∫∫∫ Ω
( y 2 + z 2 ) µ ( x , y , z ) dV ( z + x ) µ ( x , y , z ) dV
2 2
( x 2 + y 2 ) µ ( x , y , z ) dV
物体对原点的转动惯量
JO =
2012-4-2
o
x
y
r = acosθ
14
V1 = ∫∫∫ dV
Ω
利用柱坐标计算
V1 = ∫∫∫ dV = ∫∫∫ rd θ drdz
= =
∫
π
2 0
Ω
Ω*
dθ ∫
a cos θ 0
rdr ∫
2
a2 −r 2
0
dz
π
∫
π
2 0
dθ ∫
a cos θ 0
1 3 2 3 a − r rdr = a ∫0 (1 − sin θ ) dθ 3
首先证明
∫
+∞ −∞
e
−x
2
dx = π
∫∫
a ++ a + a − x − y+ a −− x 2 − x 2 + a −− y 2 x2 2x 2 a a −− a− a ≤ x ≤ a −a −− a −a ≤ y≤a
2 2
d ee∫∫ ee ⋅ ⋅∫ dx )σ dx ( ∫ dx ee dy dx ∫
2012-4-2 19
于是
Fz = kµ ∫∫∫
Ω
2π
z (x + y + z )
2 2 2 3 2
dV
= kµ ∫ dθ ∫ dϕ ∫
0 0
α
0
α
h cosϕ 0
ρ cos ϕ 2 ρ sin ϕdρ 3 ρ
= 2 k µπ h ∫ sin ϕ d ϕ
= 2kµπ h(1 − cos α )
2012-4-2 20
2
1 π 2 3 = ( − ) a 所以 V = 4V1 = 4 (π − 2)a3 3 2 3 3 2 315 2012-4-2
[例 2 ]设球体 x 2 + y 2 + z 2 ≤ 2 Rz 上任一点 ( x , y , z )处的密度等于该点到坐 标 原点距离的平方 , 求该球体的质心 .
2012-4-2 17
∫∫∫ µ ( x, y, z )dV = ∫∫∫ ( x Ω Ω
=∫
2π 0
2
+ y + z )dV
2 2
d ϕ ∫ dθ ∫
2 0
π
2 R cos θ 0
ρ ⋅ ρ sin θdρ
2 2
= 2π ∫
π
2 0
32 5 5 sin θ R cos θ dθ 5
π
64 32 5 5 5 2 = π R ∫ cos θ sin θ dθ = πR 0 5 15