温度应力问题

K Φ= r 2 (ln b − ln r + 1) ln b − ln a σ ′r = − σ′ = − θ 2GK (2 ln b − 2 ln r + 1) ln b − ln a
K=
1+ ν α∆T 4(1 − ν )
2GK (2 ln b − 2 ln r − 1) ln b − ln a
d 2 T 1 dT 1 d dT ∇ T= 2 + = r r dr r dr dr dr
2
=0
•
•
其通解为
T=C1lnr+C2 lnr+C
• 边界条件
(T )r =a = Ta′ − T0 = Ta
Tb − Ta C1 = ln (b a )
(T )r =b = Tb′ − T0 = Tb
• 不满足边界条件
(σ ′r )r = a
1 = −2GK 2 + = − q1 ln b − ln a
2GK = −q 2 ln b − ln a
(σ ′r )r =b = −
• 求齐次解：在圆筒内外壁分别受均匀拉力q1和q2 • 最终解为
2 αETa ln b − ln r b 2 − r 2 a σr = − − ln b − ln a b 2 − a 2 r 2(1 − ν )
∂v ∂u ∂v ∂v ∂v ∂w αE∆T λθl + G l + m + n + G l + m + n − m=0 ∂x ∂y ∂y ∂z ∂y ∂y 1 − 2ν
∂w ∂w ∂w ∂v ∂w αE∆T ∂u λθl + G l+ m+ n + G l + m + n − n=0 ∂x ∂y ∂z ∂z ∂z ∂z 1 − 2ν
温度应力问题
温度应力的基本概念
• 产生原因： （1）温度升高而膨胀，降低而收缩 （2）受外部约束及各部分间的变形协调要求，膨胀或收缩不能自由 发生，则产生应力 • 力（变形）场和温度场相互耦合 • 假定（不耦合）： （1）由热传导方程计算在给定的热力学条件下物体内的温度分布 （2）将温度变化所产生的变形考虑，计算最终的变形和应力分布
q x = −λ
∂T ∂x
q y = −λ
q zx = −λ
∂T ∂y
∂T ∂z
T1
∆
T
T2
热传导微分方程
cρ ∂q y ∂q z ∂q ∂T +W = − x + + ∂x ∂t ∂y ∂z
若考虑稳定温度场，且物体内无热源，
∇ 2T = 0
边界条件
（1）给定边界处的温度， T(x，y，z，t)S=TS (x，y，z) （2）给定边界处的法向热流密度
∇ 2 Φ = (1 + ν )α∆T
∂2 1 ∂ 1 ∂2 ∇ = 2 + + 2 2 ∂r r ∂r r ∂θ
2
E 1 ∂Φ 1 ∂ 2 Φ σ′r = − + 1 + ν r ∂r r 2 ∂θ 2
E ∂ 2Φ σ′ = − θ 1 + ν ∂r 2
2 αETa ln b − ln r − 1 b 2 + r 2 a σθ = − + 2 2 ln b − ln a 2(1 − ν ) b −a r
b a
_
σθ
+ σr r
z
αE∆T 1 − 2ν
平衡微分方程解法
• 可分两步求解： （1）找出任意一组特解，这组特解并不一定满足边界条件； （2）找出齐次方程（∆T=0）的解，即等温下无体力作用的弹性问解， 这组解与特解叠加后所得的解能满足边界条件。
非齐次方程特解
∂Φ u′ = ∂x
∂ 2 1 + ν ∂ (∆T ) ∇ Φ= α ∂x 1− ν ∂x
Tb ln b − Ta ln a C2 = ln (b a )
T=
1 [Tb ln(b r ) + Ta ln(r )] ln (b a )
热弹性基本方程
应变两部分之和，
( ( ε ij = ε ijS ) + ε ijT )
（1）是因温度改变所引起的应变
，
（2）是由于内部各部分之间的相互约束所引起的，即温度应力所引起的 2
S γ (zx ) =
本构关系
• σx=2Gεx +λθ −
αE∆T 1 − 2ν
τxy =Gγxy τyz = Gγyz
•
σy=2Gεy +λθ − αE∆T σz=2Gεz +λθ − αE∆T
1 − 2ν
•
1 − 2ν
τzx = Gγzx
热弹性平衡微分方程
G∇ 2 u + (λ + G ) ∂θ αE ∂∆T − =0 ∂x 1 − 2ν ∂x
G∇ 2 v + (λ + G )
∂θ αE ∂∆T − =0 ∂y 1 − 2ν ∂y
∂θ αE ∂∆T − =0 ∂z 1 − 2ν ∂z
G∇ 2 w + (λ + G )
力边界条件由位移表示
∂u ∂u ∂u ∂v ∂w αE∆T ∂u λθl + G l + m+ n + G l + m+ n − l=0 ∂x ∂z ∂x ∂x ∂x 1 − 2ν ∂y
E 对于平面应变热弹性问题，将E换为 1− ν2
• 例7-2 设长圆管的内外半径分别为a和b，内壁温度升高Ta，外壁温度 保持不变，两端平面完全绝热，求管体内所产生的温度应力
∆T = ln b − ln r Ta ln b − ln a
d 2 Φ 1 dΦ 1 + ν + = α∆T 2 r dr 1 − ν dr
等价于弹性力学问题
• 体积力
X =− αE ∂∆T 1 − 2ν ∂x
Y =−
αE ∂∆T 1 − 2ν ∂y
Z =−
αE ∂∆T 1 − 2ν ∂z
• 面积力
X = α E ∆T l 1 − 2ν Y = α E ∆T m 1 − 2ν Z= α E ∆T n 1 − 2ν
合成后的面力垂直于表面，大小为
ε (xT ) = ε (yT ) = ε (zT ) = α∆T
T T T γ (xy ) = γ (yz ) = γ (zx ) = 0
( ε ijT ) = α∆Tδij
ε (xT ) = ε (yT ) = ε (zT ) = α∆T
T T T γ (xy ) = γ (yz ) = γ (zx ) = 0
( ε ijT ) = α∆Tδij
εy
(S )
ν(σ z + σ x ) = − E E σy σ z ν(σ x + σ y ) − E E
S γ (xy ) =
1 τ xy G
ε (zS ) =
S γ (yz ) =
1 τ yz G 1 τ zx G
εx
(S )
σ x ν (σ y + σ z ) = − E E
v′ =
∂Φ ∂y
w′ =
∂Φ ∂z
∂ 2 1 + ν ∂ (∆T ) ∇ Φ= α ∂y 1− ν ∂y
∂ 2 1 + ν ∂ (∆T ) ∇ Φ= α ∂z 1− ν ∂z
∇ 2Φ =
1+ ν α ∆T 1− ν
特解的应力
∂ 2Φ ∂ 2Φ σ ′x = −2G 2 + ∂y ∂z 2 ∂ Φ ∂ Φ σ ′y = −2G 2 + ∂z ∂x 2
2 2
∂ 2Φ τ ′xy = 2G ∂x∂y
∂ 2Φ τ ′yz = 2G ∂y∂z y∂
∂ 2Φ ∂ 2Φ σ ′z = −2G 2 + ∂x 2 ∂y
∂ 2Φ τ′zx = 2G ∂z∂x
特解并不满足边界条件
平面应力问题在极坐标下的解
εr = 1 (σ r − νσ θ ) + α∆T E ∂Φ ′ ur = ∂r εθ = 1 (σ θ − νσ r ) + α∆T E ′ uθ = 1 ∂Φ r ∂θ γ rθ = 2(1 + ν ) τ rθ E
热传导基本概念
• 对于不同物体，从高温物体向低温物体传递 • 对于同一物体，热量从温度较高的部位向较低的部位传递 不稳定温度场，温度是坐标位置和时间的函数， T=T(x，y，z，t) 稳定温度场，温度仅是坐标位置的函数 T=T(x，y，z)
热传导基本定律
• 热流密度q与温度梯度∇T成正比， 而方向相反 q = −λ∇T ∇
−λ ∂T = qnS (x，y，z) ∂n S
（3）对流换热边界条件。弹性体表面温度为TS，周围介质温度为Ta qnS=β (TS − Ta) 或
−λ ∂T =β (TS − Ta) ∂n S
β→0时，这就是上面的绝热边界条件式 β→∞ 时，可知TS =Ta
例 题
例：设圆管的内外半径分别为a和b，物体内各点的初始温度是均为T0。 若经过热传导过程后，内外壁上分别保持均匀常温Ta′和 Tb′，两端平 面完全绝热，求管体内的定常温度分布。 解：由轴对称和两端的温度条件，且物体内初始温度均匀，可知温度只 是径向距离r的函数， T=T(r)
τ′rθ =
E ∂ 1 ∂Φ 1 + ν ∂r r ∂θ
轴对称问题