简单超静定梁的解法(精选)
用力法求解超静定结构
用力法求解超静定结构概述超静定结构是指结构中的支座和约束条件多于结构自由度的情况。
用力法是一种经典的结构分析方法，常用于求解超静定结构。
本文将介绍用力法求解超静定结构的基本原理和步骤，并通过实例加以说明。
一、基本原理用力法的基本原理是根据平衡条件和变形约束，通过假设未知力的大小和方向，建立力的平衡方程和变形方程，解出未知力和结构的变形。
用力法适用于各种类型的结构，包括梁、柱、桁架等。
二、步骤用力法求解超静定结构的步骤如下：1. 选择合适的剖面根据结构的几何形状和约束条件，选择合适的剖面，将结构分割为若干个部分。
2. 假设未知力的方向和大小根据结构的特点和约束条件，假设未知力的方向和大小。
通常，未知力的方向可以根据结构的几何形状和外力的作用方向来确定，而未知力的大小则需要通过力的平衡方程来求解。
3. 建立力的平衡方程根据假设的未知力和结构的几何形状，建立力的平衡方程。
平衡方程包括力的平衡条件和力的矩平衡条件。
4. 建立变形方程根据结构的变形情况和约束条件，建立变形方程。
变形方程可以根据结构的刚度和约束条件来确定。
5. 解方程将力的平衡方程和变形方程联立，解方程组得到未知力和结构的变形。
6. 检验结果将求解得到的未知力和结构的变形代入原平衡方程和变形方程中，检验结果的准确性。
如果结果符合平衡和变形的要求，则求解成功；如果结果不符合要求，则需要重新假设未知力并重新求解。
三、实例分析为了更好地理解用力法求解超静定结构的步骤和原理，下面以一个简单的梁结构为例进行分析。
假设有一根悬臂梁，在梁的自重和外力作用下，需要求解支座反力和梁的变形。
1. 选择合适的剖面选择悬臂梁的剖面，将梁分割为两个部分：悬臂部分和支座部分。
2. 假设未知力的方向和大小假设支座反力的方向向上，大小为R。
3. 建立力的平衡方程根据力的平衡条件，可以得到悬臂部分的平衡方程：R - F = 0，其中F为梁的自重。
4. 建立变形方程根据梁的几何形状和约束条件，可以建立悬臂部分的变形方程，得到悬臂部分的弯矩和挠度。
简单超静定梁,提高梁的强度刚度措施
B
根据静力平衡方程：
FB
3 8
ql
kN
3 ql 8
kNm
简单超 静 定 梁
q
A
l
选择超静定梁的静定基是唯一的吗？
另解： 1.取支座A处的约束为多余约
B 束，得到如图静定基。
2.变形协调方程 分析A端在 ,q作用下的转角
MA
1 8
qL2
简单超 静 定 梁
超静定梁的解法步骤：
1.根据梁的结构恰当地选取静定基。 2.在解除约束处寻找变形协调关系。 3.根据力与变形的关系写物理方程。 4.由静力平衡方程求出全部约束力。
A
以自重作为重要载荷的结构 考虑经济性
选择高
模量/截面积比
W A
提高梁的弯曲强度的措施
从弯曲强度考虑，比较合理的截面形状，是使用较小的截面面积，却 能获得较大抗弯能力的截面。
在一般截面中，抗弯能力与截面高度的平方成正比。因此，当截面面 积一定时，宜将较多材料放置在远离中性轴的部位。
因此，面积相同时：工字形优于矩形，矩形优于正方形； 环形优于圆形。
多余未知力个数与平衡方程数之差,称为超静定次数。
简单超 静 定 梁
比如上面两个例子称为1次超静定问题：
F
A
RA
F RC
RB
B
A
C
B
简单超 静 定 梁
q
A
EI Z
L
B
左图为一次超静定梁
q
A
EI Z
L
以支座B为多余约束，设它反力为FB,
B
FB
假想地解除这个约束，代之以反力FB， 此时受力状态和变形形态与原结构完
同时应尽量使拉、压应力同时达到最大W值z1。
简单超静定梁-PPT精品文档
t2>t1，从而产生约束力如图中所示。
(a)
l
由于未知的约束力有6个，而独立的平衡方程只有3
个，故为三次超静定问题。
2019/3/13
15
现将右边的固定端B处的3个约束作为“多余”约束，
则解除“多余”约束后的基本静定系为左端固定的悬臂梁。
(a)
l
(b)
(c)
它在上,下表面有温差的情况下，右端产生转角Bt和挠度
2019/3/13
4
例题1 试求图a所示系统中钢杆AD内的拉力FN。钢梁和 钢杆的材料相同，弹性模量E已知；钢杆的横截面积A和钢
梁横截面对中性轴的惯性矩I 亦为已知。
2019/3/13
5
解: 1. 该系统共有三个未知力(图b)FN ,FB ,FC ，但平面
平行力系仅有两个独立的平衡方程，故为一次超静定问题。
2. 取杆和梁在点A处的连接铰为“多余”约束，相应的
“多
余”未知力为FN。位移(变形)相容条件(参见图b)为wA=DlDA。
2019/3/13
6
3. 物理关系(参见图c,d)为
3 4 F a F l 7 qa N N w w w ， D l A Aq AF DA 12 EI EI EA
B B
2019/3/13
11
3. 利用教材中的附录Ⅳ可得物理关系为
20 10 N/m 4 m M 4 m
3 3 B B
24 EI
3 EI
B
30 10 N 3 m 2 m 5 m 2 m M 5 m
需要注意，因DlDA亦即图b中的 A A1是向下的，故上式中wAF 为负的。
简单的超静定问题 超静定问题及其解法
( wB ) FBy
C C F F
8FBy a 3 3EI
(b) (b)
B B
所以
3 14 Fa 3 8FBy a 0 3EI 3EI
MA
MA MA
A A
B B (c) (c) B B B (d) (d) FBy FBy
FA y
A A A
C C
7 FBy F 4
4）由整体平衡条件求其他约束反力
第六章 简单的超静定问题
§6-1 超静定问题及其解法
§6-2 拉压超静定问题
§6-3 扭转超静定问题 §6-4 简单超静定梁
§6-1 超静定问题及其解法
超静定问题与超静定结构：未知力个数多于独立 的平衡方程数。 超静定次数：未知力个数与独立平衡方程数之差。 变形几何相容方程：有多余约束的存在，杆件（或 结构）的变形受到多于静定结构的附加限制。根据 变形的几何相容条件，建立附加的方程。
7-6
目录
采用超静定结构
MA MA FA y FA y
A A 2a 2a (a) (a) A A
B B a a
F F
C C
例 求梁的支反力，梁的抗弯 刚度为EI。 解：
1）判定超静定次数
(b) (b)
B B F F FBy FBy B B B
C C
2）解除多余约束，建立相当系统 3）进行变形比较，列出变形协调 条件
FN1 FN 2 33.3kN
FN 2 2 33.3MPa A2
FN 1 1 66.7MPa A1
例：设温度变化为t，1、2杆的膨胀系数为1， 3杆
的膨胀系数为3，由温差引起的变形为l= •t •l,
求各杆温度应力。
超静定结构内力计算
超静定结构内力计算首先，需要明确的是，超静定结构与静定结构的计算方法基本相同，都是通过力平衡和力矩平衡方程来计算结构内力。
下面以一简支梁为例，介绍超静定结构内力计算的方法。
假设有一简支梁，梁长为L，受到均布载荷q，支座A、B处有横向支撑。
我们需要计算梁上任意一点x处的弯矩和剪力。
首先，对于简支梁，力平衡方程可得：∑Fx=0=>RA+RB=0(1)∑Fy=0=>VA+VB-qL=0(2)力矩平衡方程可得：∑Mz=0=>-qLx+VBx=0(3)(x为横坐标)由以上方程可以得到：RA=-RB=-qL/2，VA=-VB=qL/2接下来，我们可以使用能量方法计算结构内力。
能量方法是利用结构所受外界实际工作等于内力做的虚功，通过对外界做功和结构内工作的平衡，求解得到内力。
我们将简支梁分解为多个力学小段，每一小段的长度为Δx。
考虑梁上一小段AB，以A点为起点，Δx位置为B点。
对这一小段，外界对结构所做的虚功为：δWext = -VAdy (4) (dy为小段长度)其中，结构内力V由能量方法得到。
结构内力杆件AB的内工作为：dU = VAdy (5)因为外界做的虚功等于内工作，可得：-δWext = dU将式(4)和式(5)代入上式，得：VAdy = -VAdy对上式进行积分，得：∫VAdy = -∫VAdy∫VAdy = -(∫VAdy)由于简支梁内力为常数，所以可以将其从积分符号中移出，得：V∫Ady = -V∫Ady即：VAΔy=-VAΔy可以看出，对于简支梁而言，外界虚功和结构内工作的积分是相等的。
通过上述分析，我们可以发现，能量方法实际上是在计算外界对结构做的虚功，而虚功就是外界力对结构的作用力乘以作用距离的积分。
所以能量方法的基本思想是通过积分计算外界对结构的虚功，然后根据虚功等于内工作的原理，推导出结构的内力。
总结起来，超静定结构的内力计算方法主要是使用力平衡和力矩平衡方程，利用能量方法计算结构内力。
材料力学土木类第六章简单的超静定问题
第6章 简单的超静定问题
静定结构: 仅靠静力平衡方程就可以求出结构的约束反力或内力
超静定结构(静不定结构): 静力学平衡方程不能求解 超静定结构的未知力的数目多于独立的平衡方程的数目；两者的差值称为超静定的次数
分析：画出受力及变形简图
写出独立平衡方程
一次超静定问题。
l
变形协调条件：原杆两端各自与刚性板固结在一起，故内、外杆的扭转变形相同。即变形协调条件为
代入物理关系(胡克定理)，与平衡方程联立，即可求得Ma和Mb。
并可进一步求得杆中切应力如图（内、外两杆材料不同），一般在两杆交界处的切应力是不同的。
按叠加原理：
BB、BM分别为MB、Me引起的在杆端B的扭转角。
线弹性时，物理关系(胡克定理)为
代入上式可解得
MA可平衡方程求得 。
例 图示一长为l 的组合杆，由不同材料的实心圆截面杆和空心圆截面杆套在一起而组成，内、外两杆均在线弹性范围内工作，其扭转刚度分别为GaIpa和GbIpb。当组合杆的两端面各自固结于刚性板上，并在刚性板处受一对扭转力偶矩Me作用时，试求分别作用在内、外杆上的扭转力偶矩。
根据分离体的平衡条件，建立独立的平衡方程；
建立变形协调条件，求补充方程
利用胡克定律，得到补充方程；
联立求解
归纳起来，求解超静定问题的步骤是：
例 一平行杆系，三杆的横截面面积、长度和弹性模量均分别相同，用A、l、E 表示。设AC为一刚性横梁，试求在荷载F 作用下各杆的轴力
解: (1)受力分析--平衡方程
例 设l，2，3杆用铰连接如图，1、2两杆的长度、横截面面积和材料均相同，即l1=l2=l，A1=A2 =A ， E1= E2=E；3杆长度为l3 ，横截面面积为A3，弹性模量为E3 ,试求各杆的轴力。
力法解超静定结构举例
试求图示两端固定单跨梁在下属情况 下的M 下的M图. (a) A端逆时针转动单位转角. 端逆时针转动单位转角. (b) A端竖向向上移动了单位位移. 端竖向向上移动了单位位移. (c) A,B两端均逆时针转动单位转角. 两端均逆时针转动单位转角. (d) A,B两端相对转动单位转角. 两端相对转动单位转角. (e) A端竖向向上,BFP 端竖向向上, 端竖向向下移动了单 位位移. 位位移.
t 0 = 30 t = 10
FN = 1
有关. 温度改变引起的内力与各杆的绝对刚度 EI 有关.
FNK = 0
FNK = 0.5
M图
MK M s d + ∑FNKα t0 l Ky = ∑∫ EI αt . α + ∑ ∫ MKds = 3475 l ↑ h
FNK
返 章 首
温度低的一侧受拉,此结论同样适用于温度 温度低的一侧受拉,此结论同样适用于温度 同样 引起的超静定单跨梁. 引起的超静定单跨梁.
问题: 用拆除上 问题:若用拆除上 弦杆的静定结构作 为基本结构, 为基本结构,本题 应如何考虑? 应如何考虑?
FP
FP 基 本 体 系
解:力法方程的实质为:" 3,4两结点的 力法方程的实质 的实质为 等于所拆除杆的拉( 相对位移 34 等于所拆除杆的拉(压 )变形 l 34" 互乘求Δ1P
混凝土梁的超静定分析方法
混凝土梁的超静定分析方法一、概述混凝土梁的超静定分析方法是研究混凝土梁在受力状态下的力学性能的方法，是混凝土结构设计中必不可少的一部分，具有重要的理论意义和实际应用价值。
混凝土梁是一种常见的结构形式，在建筑、道路、桥梁等工程中广泛应用，因此混凝土梁的超静定分析方法具有广泛的应用前景和研究价值。
二、超静定概念超静定是指梁的支座反力或断面内力不唯一的情况，即梁的支座反力或断面内力的个数大于梁的自由度数。
因此，超静定分析方法是在有限的自由度数下求解支座反力或断面内力的一种方法。
三、超静定分析方法超静定分析方法是在超静定条件下求解混凝土梁的支座反力或断面内力的一种方法。
在超静定条件下，梁的支座反力或断面内力不唯一，需要通过其他条件或方法进行求解。
超静定分析方法包括弹性分析法、弹塑性分析法、刚塑性分析法和极限分析法等。
1.弹性分析法弹性分析法是指在梁的弹性范围内，通过计算梁的变形和应力分布来求解支座反力或断面内力的一种方法。
在弹性分析法中，假定梁的材料为线性弹性材料，梁的变形与应力满足胡克定律。
弹性分析法的优点是计算简单，适用范围广，但其缺点是不能考虑材料的非线性特性和梁的破坏。
2.弹塑性分析法弹塑性分析法是指在梁的弹塑性范围内，通过考虑梁的弹性变形和塑性变形来求解支座反力或断面内力的一种方法。
在弹塑性分析法中，假定梁的材料为弹塑性材料，梁的变形与应力满足弹塑性本构关系。
弹塑性分析法的优点是能够考虑材料的非线性特性和梁的破坏，但其缺点是计算复杂。
3.刚塑性分析法刚塑性分析法是指在梁的塑性范围内，通过考虑梁的刚性和塑性变形来求解支座反力或断面内力的一种方法。
在刚塑性分析法中，假定梁的材料为刚塑性材料，梁的变形与应力满足刚塑性本构关系。
刚塑性分析法的优点是计算简单，但其缺点是不能考虑材料的弹性特性和梁的破坏。
4.极限分析法极限分析法是指在梁达到破坏状态时，通过考虑梁的破坏形态和破坏机制来求解支座反力或断面内力的一种方法。
材料力学简单的超静定问题
§6-4 简单超静定梁
1.基本概念： 超静定梁：支反力数目大于有效平衡方程数目的梁 多余约束：从维持平衡角度而言,多余的约束 超静定次数：多余约束或多余支反力的数目。 相当系统：用多余约束力代替多余约束的静定系统 2.求解方法： 解除多余约束，建立相当系统——比较变形，列变 形协调条件——由物理关系建立补充方程——利用 静力平衡条件求其他约束反力。
1Δ2l3cos
②
(3)代入物理关系，建立补充方程
1
N1 1 E1 A1
N1
E1 A1 cos
③
3
N3 E3 A3
13
2
A
2
1
3
A
§6-2 拉压超静定问题
(2)建立变形协调方程：如图三杆铰结， 画A节点位移图,列出变形相容条件。要 1 注意所设的变形性质必须与受力分析所 中设定的力的性质一致。由对称性知
C
(b)
F
B
F C
B
C
(c)
FBy
(c)
FBy FF
BB B
(d) (d) B
F CC C
C
(d) FBy
F(2a)2
1F 43a
(w B)F
(9a2a)
6EI
3EI
(wB)FBy
8FBya3 3EI
所以
14Fa3 8FBya3 0 3EI 3EI
FBy
7 4
F
4）由整体平衡条件求其他约束反力
M AF 2(a), F Ay 4 3F ( )
FCFFB 408.75
4.875kN
M C0 , M C2 F 4 F B 0
MC 4FB 2F
48.75240115kN.m
材料力学课件-梁的超静定问题
B
R
L− x
R B
D
滚轴
qx2 Rx + −M = 0 6 2
qx2 Rx + −M = 0 6 2 qx2 qx(L − x) 3qLx q(L − x)2 3qL(L − x) + − + − =0 6 2 16 2 8 x2 3Lx 3L(L − x) 2 + x(L − x) − + (L − x) − =0 3 8 4
2 x2 5Lx L − + =0 3 8 4 x 15 ξ 3 2 ξ − + =0 ξ = L 8 4 15 − 33 15− 33 x= L ≈ 0.58L ξ= 16 16
(2) 把滚轴安在AB 间某处, 一球可以放在B 处静 把滚轴安在AB 间某处, 一球可以放在B 止不动.不具体计算,说明滚轴D是更靠近A 止不动.不具体计算,说明滚轴D是更靠近A点还是 更靠近B 画出板挠曲线的示意图.(12分 更靠近B点?画出板挠曲线的示意图.(12分) 更靠近B 更靠近B点 球要放在B 处静止不动. 球要放在B 处静止不动. 点处的转角必须为零. 则B点处的转角必须为零. 滚轴在中点时: 滚轴在中点时: 滚轴在右端时: 滚轴在右端时: 滚轴在靠右端 的某处必有: 的某处必有:
5.刚度 5.刚度
θ (x)
y(x)
max
max
≤ [θ ]
≤ [y]
6.超静定 6.超静定
∆
X
11
+ ∆
1
F
1F
= ∆
= ∆
1
δ
X
+ ∆
本节内容结束
超静定梁
积分法计算梁的位移。
梁的挠曲线近似微分方程： EIw'' M( x)
积分一次： EIw' EI M( x)dx C
积分两次： EIw M(x)dx2 Cx D
关键：利用边界条件及连续条件求积分常数。
叠加法计算梁的位移。
叠加
荷载的叠加 结构形式的叠加
1
重点、难点
1、梁的挠曲线近似微分方程及其积分； （重点）
位（移变条形件协调条件）基本方程—— 平衡条件
参考教材：龙驭球，包世华. 结构力学教程， 1993，高等教育出版社
28
超静定梁的研究现状
郑州大学的李会知教授分析了集中荷载或均布荷载作用下 两端固支梁和一次超静定梁的弹塑性加载及变形过程，并 给出了加载各阶段的弯矩和位移计算公式。
中南大学的陈玉骥副教授采用半逆解法，求出了一端固定 一端铰支单跨超静定梁在均布荷载作用下的应力和位移， 并由此说明了材料力学解的精度和适用性。
FN
分析：要画弯矩图应首先 求出每个梁的荷载。
C
解：此结构为一次超静定。
分别画出二梁的受力图。
变形相容条件：二梁在 自由端的变形相同，即 它们的挠度相等。 C 变形几何方程为：
wB1 wB2 18
F F A EI B EI
A
A 8 Fa 9
a
2a
F B
wB1 FN
8F 9 B
FN' wBB2
1F 9 B
M AE
i
FP l 2
在此基础上,由图示结点平衡得 M 0
26
位移法思路(平衡方程法)
以某些结点的位移为基本未知量；
将结构拆成若干具有已知力-位移(转角-位移)关系的单跨梁
简单超静定梁
5. 利用图b可得约束力：
FA 32.05 kN ，FB 66 kN ，FC 11.64 kN
2020/5/19
12
然后绘出剪力图和弯矩图如图c,d。
(c)
(d)
2020/5/19
13
(二) 梁的上,下表面温度差异的影响
图a所示两端固定的梁AB在温度为 t0 时安装就位，其 后，由于梁的顶面温度升高至 t1，底面温度升高至 t2，且 t2>t1，从而产生约束力如图中所示。
2020/5/19
8
解: 1. 两端铰支的连续梁其超静定次数就等于中间支 座的数目。此梁为一次超静定梁。
2020/5/19
9
2. 为便于求解，对于连续梁常取中间支座截面处阻止 左,右两侧梁相对转动的内部角约束为“多余”约束，从而 以梁的中间支座截面上的弯矩作为“多余”未知力，如图b。
此时基本静定系为两跨相邻的简支梁，它们除承受原
ΔBt
面的温度由t0分别升高至t2和t1时，右侧截面相对于左侧截
面的转角d 由图b可知为
d n0 n n n m m l t2 t1 d x
h
h
h
上式中的负号用以表示图a所示坐标系中该转角 d 为负。
2020/5/19
18
根据上式可知，该悬臂梁因温度影响而弯曲的挠曲线微分
方程为
d2 w d x2
ΔBt
l
t1
t2 2
t0
l
2020/5/19
20
位移相容条件表达式中由“多余”未知力引起的位移
所对应的物理关系显然为
ΔBFBx
FBxl EA
wBFB y
FByl 3 3EI
BFBy
FByl 2 2EI
10简单超静定梁2
FN l FN l 48 EI 24 EI EA
3
FN
A l/2 B l/2
F C
5F 1 FN 2 (1 24 I ) Al 2
CF
Fl 3 () 3EI
3、在基本静定梁上由叠加法求 C 。 在F力单独作用下： 在 FN 力单独作用下：
CF
N
FN x 2 25Fl3 1 (3l x) ( )() I 6 EI 96 EI l x 1 24 2 2 Al
C
B
L 2a
A
L 2a
查表：选16号工字钢
41qa 4 24 EI Z
2.按刚度选择
q
A
L 2a
q
L 2a
wmax wB1 wB 2 wB3
B
C
A
C
q
B
查表：选22a号工字钢
2,提高刚度的途径 提高刚度主要是指减小梁的弹性位移 弹性位移不仅与载荷有关，而且与杆长和梁的弯曲刚 度(EIZ)有关 对于梁,其长度对弹性位移影响较大.
1、选择基本静定梁。
2、列出变形协调条件。
l
A l/2 B l/2
F
而
C
B lBD
（1）
B BF BF
BF
N
FN
A B
F
C
Fx2 5Fl3 (3l x) () 6 EI 48EI l x
l/2
l/2
BF
N
l 3 FN ( ) 2 () 3EI
2
代入（1）：5Fl 3 解得：
解得：
C CF CF
3
N
Fl 25 [1 ] I 3EI 32(1 24 2 ) Al
14-15.用力法计算超静定梁和刚架
一、用力法计算的步骤 1、去掉多余约束，选择基本结构。 2、建立力法典型方程。 3、分别作出基本结构在荷载Phe 单位未知力Xi作用下 的弯矩图MP M i 4、利用图乘法求方程中的自由项Δip和系数项δij。 5、解力法方程，求出多余未知力XI 6、用叠加法画出弯矩图，进而画出剪力图和轴力图。
1 p 11 X1 0
3.求系数和自由项 分别作出基本结构在荷载P 单位未知力X1作用下的弯矩图MP M 1
1 1 2 256 11 4 4 4 4 4 4 EI 2 3 3EI
1P 1 1 1280 80 4 4 EI 3 3EI
二、用力法计算超静定刚架和梁举例
例1 试分析图示刚架，EI常数。 解： 1.确定超静定次数，选取基本结构 此刚架具有一个多余联系，是一次 超静定结构，去掉支座链杆C 即为 静定结构，并用Xi代替支座链杆C 的作用，得基本结构如图所示。 2.建立力法典型方程 原结构在支座C 处的竖向位移Δ1=0 根据位移条件可得力法的典型方程如下：
将自由项和系数代入力法方程计算多余未知力X1 用叠加法画内力图
X1
5P 16
该梁轴力为零
例题3
用力法计算超静定刚架，并画内力图
11 X 1 12 X 2 1P 0
建立力法典型方程
21 X 1 22 X 2 2 P 0
绘出各单位弯矩和荷载弯矩图如图 (a) (b) (c)所示。
例题4 用力法计算图示排架
分别作弯矩图
建立力法方程
用图乘法计算自由项和系数
1 p 11 X1 0
352 11 3EI
1P 1760 3EI