(精心整理)相似三角形分类讨论

D C B

A D

C

B

A C

B

A

C

B

A

C

B C

P

《相似三角形中分类讨论思想的运用》

一、温故知新：

1. 已知△ABC 的三边长分别是4、6、8，△DEF 的一条边为24，如果△DEF 与△ABC 相似，则相似比为

2.两个相似三角形的面积之比是9：25，其中一个三角形一边上的高是6，那么另一个三角形对应边上的高为

3.已知线段AB=2,P 是线段AB 的黄金分割点，则AP 的长为 问题：什么是分类讨论？为什么要分类？

二、新知学习： 题组一:

1.例1.如图所示，在ABC ∆中，AB=6,AC=4,P 是AC 的中点，过P 点的直线交AB 于点Q ，若使APQ ∆与ABC ∆相似，则AQ 的长为

2.变式一：如图所示，

在ABC ∆中，P 是AC 上一点，过P

点的直线截ABC ∆交AB 于点Q ，使截得的三角形与原三角形相似，则满足这样的直线有 条. 3. 变式二：如图所示，在ABC ∆中，P 是AC 上一点，过P 点的直线截ABC ∆，使截得的三角形与原三角形相似，则满足这样的直线最多有 条.

探究：如果ABC ∆是直角三角形，点P 直角边上或点P 在斜边上上述结论还成立吗？等腰三角形呢？

题组二:

1.例2: 己知菱形ABCD 的边长是3，点E 在直线AD 上，DE ＝1，联结BE 与对角

线AC 相交于点M ，则MC

AM

=

C

B

C

B

C

B

2.变式一: 等腰ABC 中，AB=AC=10,BC=16,点P 在BC 边上，若PA 与腰垂直，则BP= .

3. 变式二: 在△ABC 中∠B=25°，AD 是BC 边上的高，并且AD 2=BD ·DC,则∠BCA= . 题组三

1.在矩形ABCD 中，AB=4，AD=5，P 是射线BC 上的一个动点，作PE ⊥AP ，PE 交射线DC 于点E ，射线AE 交射线BC 于点F ，设BP=x ，CE=y ．求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域；（点P 与点B 、C 都不重合），

2．已知AB=2，AD=4，∠DAB=90°，AD∥BC（如图）．E 是射线BC 上的动点（点E 与点B 不重合），M 是线段DE 的中点．联结BD ，交线段AM 于点N ，如果以A 、N 、D 为顶点的三角形与△BME 相似，求线段BE 的长．

三、课后反思：

1. 相似三角形中有哪些几何情境需要分类讨论？分类的原则是什么？

2. 请积累你运用分类讨论思想解决的数学问题.

A

C

D A

C

D

D

C B

A

D C

B

A

Q

P

C

B

A C

B A

C

B A

A

B C 四、检测反馈:

1．已知在Rt ABC ∆中,︒=∠90C ,AB=5,AC=3,点D 是射线BC 上的一点，（不与端点B 重合），联结AD ，如果ACD ∆与ABC ∆相似，则BD= 2．在等腰ABC ∆中，AB=AC ，若一条中线长为6厘米，另一条中线为9厘米，则等腰ABC ∆的底边长为

3. AD ∥BC,∠D=90°,DC=6,AD=2,BC=

4.若在边DC 上有点P 使△PAD 和△PBC 相似，求DP 的长.

4.如图,4,3,90==︒=∠=∠AC BC ABD ACB ，当ABC ∆与ADB ∆相似时 ，求AD 的长.

5.拓展题：如图：在⊿ABC 中，∠C=90°,BC=6,AC=8. P 、Q 分别为AC 、BA 上的动点，且BQ=2AP,联结PQ,设AP=x.

① 在点P 、点Q 移动的过程中，⊿APQ 能否与⊿ABC 相似？若能，请求出AP 的长；若不能，请说明理由。

② 当x 为何值时，⊿APQ 是等腰三角形？

D

A

B C

P

五、作业：

1. 在直角坐标系中有两点A（4，0），B（0，2），如果点C在x轴上（C与A不重合），当点

C的坐标为时，使得由点B、O、C组成的三角形与△AOB相似。

2. 已知：如图，P是边长为4的正方形ABCD内一点，且PB=3，BF⊥BP，垂足为B，请在射

线BF上找一点M，使以B、M、C为顶点的三角形与△ABP相似。

3.已知BD是矩形ABCD的对角线，AB=30cm，BC=40cm，点P、Q同时从A点出发，分别以2cm/s，

4cm/ s的速度由A→B→C→D→A的方向在矩形边上运动，在点Q回到点A的整个运动过程

中：① PQ能否与BD平行？② PQ能否与BD垂直？请分别作出判断。如果存在，请分别求

出时间t,如果不存在，请说明理由。

4、如图，已知CAB

RT∆中，1

BC

AC

,

90

ACB0=

=

=

∠，点P在斜边AB上移动

（点P不与点A、B重合），以P为顶点作

45

CPQ=

∠,射线PQ交BC边与点Q。

CPQ

∆能否是等腰三角形？如果能够，试求出AP的长，如果不能，试简要说明

理由。

5.已知：在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＜BC，且AD＝5，AB＝DC＝2．

（1）如图，P为AD上的一点，满足∠BPC＝∠A．

①求证；△

ABP∽△DPC ②求AP的长．

（2）如果点P在AD边上移动（点P与点A、D不重合），且满足∠BPE＝∠A，

PE交直线BC于点E，同时交直线DC于点Q，设AP＝x，CQ＝y，求y关于x的函数

解析式，并写出函数的定义域；

P

A

C