不定方程及不定方程组

不定方程及不定方程组集团文件发布号：（9816-UATWW-MWUB-WUNN-INNUL-DQQTY-

第二十七讲 不定方程、方程组

不定方程(组)是指未知数的个数多于方程的个数的方程(组)，其特点是解往往有无穷多个，不能惟一确定．

对于不定方程(组)，我们往往限定只求整数解，甚至只求正整数解，加上条件限制后，解就可确定．

二元一次不定方程是最简单的不定方程，一些复杂的不定方程(组)常常转化为二元一次不定方程问题加以解决，与之相关的性质有：

设d c b a 、、、为整数，则不定方程c by ax =+有如下两个重要命题： (1)若(a ，b)=d ，且d 卜c ，则不定方程c by ax =+没有整数解；

(2)若00y x ，是方程c by ax =+且(a ，b)=1的一组整数解(称特解)，则为整数）

t at y y bt

x x (00⎩⎨⎧-=+=是方程的全部整数解(称通解)．

解不定方程(组)，没有现成的模式、固定的方法可循，需要依据方程(组)的特点进行恰当的变形，并灵活运用以下知识与方法；奇数偶数，整数的整除性、分离整系数、因数分解。配方利用非负数性质、穷举，乘法公式，不等式分析等．

举例

【例1】 正整数m 、n 满足8m+9n=mn+6，则m 的最大值为 ．

(新加坡数学竞赛题)

思路点拔 把m 用含n 的代数式表示，并分离其整数部分(简称分离整系数法)．再结合整除的知识，求出m 的最大值．

注：求整系数不定方程c by ax =+的整数解。通常有以下几个步骤：

（1）判断有无整数解；(2)求一个特解；(3)写出通解；(4)由整数t 同时要满足的条件(不等式组)，代入(2)中的表达式，写出不定方程的正整数解．

分离整系数法解题的关键是把其中一个未知数用另一个未知数的代数敷式表示，结合整除的知识讨论．

【例2】 如图，在高速公路上从3千米处开始，每隔4千米设一个速度限制标志，而且从10千米处开始，每隔9千米设一个测速照相标志，则刚好在19千米处同时设置这两种标志．问下一个同时设置这两种标志的地点的千米数是( )．

A ．32千米

B ．37千米

C ．55千米

D ．90千米

(河南省竞赛题)

思路点拨 设置限速标志、照相标志千米数分别表示为3+4x 、10十9y(x ，y 为自然数)，问题转化为求不定方程3+4x=0+9y 的正整数解． 【例3】 (1)求方程15x+52y=6的所有整数解． (2)求方程x+y ＝x 2一xy+y 2的整数解．

(莫斯科数学奥林匹克试题)

(3)求方程

6

5

111=++z y x 的正整数解． (“希望杯”邀请赛试题)

思路点拨 对于(1)通过观察或辗转相除法，先求出特解．对于(2)易想到完全平方公式，从配方人手，对于(2)易知x 、y 、z 都大于1，不妨设l

z

y x 1

11≥≥，将复杂的三元不定方程转化为一元不等式，通过解不等式对某个未知数的取值作出估计，逐步缩小其取值范围，求出其结果．

注：方程和不等式的相关性质，寻求井缩小某个字母的取值范围，通过验算获得全部解答． 【例4】 一个盒子里装有不多于200粒棋子，如果每次2粒，3粒，4粒或6粒地取出，最终粒盒内都剩1粒棋子；如果每次11粒地取出，那么正好取完，求盒子里共有多少粒棋子 （2002年重庆市竞赛题）

思路点拨 无论怎么取，盒子里的棋子数不变，恰当设未知数，把问题转化为求不定方程的正整数解．

【例5】中国百鸡问题：一，值钱五，鸡母一，值钱三，鸡雏三，值钱一．百钱买百鸡，问鸡翁、鸡母、鸡雏各几何

(出自中国数学家张丘建的着作《算经》)

思路点拨 设鸡翁、鸡母、鸡雏分别为z y x 、、，则有⎪⎩

⎪

⎨⎧=++=++100335100z y x z y x

通过消元，将问题转化为求二元一次不定方程的非负整数解．

【例6】 甲组同学每人有28个核桃，乙组同学每人有30个核桃，丙组同学每人有31个核桃，三组的核桃总数是365个，问三个小组共有多少名同学

(2001年海峡两岸友谊赛试题)

思路点拨 设甲组学生a 人，乙组学生b 人，丙组学生c 人，由题意得28a+30b+31c=365，怎样解三元一次不定方程运用放缩法，从求出a+b+c 的取值范围入手． 注： 解不定方程组基本方法有：

(1)视某个未知数为常数，将其他未知数用这个未知数的代数式表示； (2)通过消元，将问题转化为不定方程求解；

(3)运用整体思想方法求解．

【例7】 不定方程4x+7y=2001有 组正整数解．

思路点拨 49十7y=3×667 易知⎩⎨⎧=-=667667y x 是其一组特解，∴其通解为⎩⎨⎧-=+-=t y t

x 46677667，

z t ∈，∵⎩⎨

⎧≥-≥+-146671

7667t t ，解之得96≤t ≤166 ∴ t 可取整数值共71个．

∴ 4x+7y=2001有71组正整数解．

学力训练

1．已知z y x 、、满足x+y=5及z 2=xy+y —9，则x+2y+3z= ． (2002年山东省竞赛题)

2．已知4x 一3y 一6z=0，x+2y 一7c=0(xyz ≠0)，那么2

222

2275632z

y x z y x ++++的值为 ．

3．用一元钱买面值4分、8分、1角的3种邮票共18张，每种邮票至少买一张，共有种不同的买法．

品名

件数A

1

A

2

A

3

A

4

A

5

总钱数

第一次购件

数l3456

1992(元

)

第二次购件

数157911

2984(元

)

则5种数学用品各买一件共需元．

(北京市竞赛题)

5．希望中学收到王老师捐赠的足球、篮球、排球共20个，其总价值为330元，这三种球的价格分别是足球每个60元，篮球每个30元，排球每个10元，那么其中排球有个．

(温州市中考题)

6．方程(x+1)2+(y-2)2＝1的整数解有( )．

A．1组 B．2组 C．4组 D．无数组

7．二元方程x+y+z=1999的非负整数解的个数有( )．

A．个 B．个 C．2001000个 D．2001999个

( “希望杯”邀请赛试题)

8．以下是一个六位数乘上一个—位数的竖式，各代表一个数(不一定相同)，则

a+b+c+d+e+f=( )．

A．27 B．24 C．30 D．无法确定

(“五羊杯”邀请赛试题)

9．求下列方程的整数解：

(1)1lx+5y=7；(2)4x+y=3xy．

10．在车站开始检票时，有a(a>0)名旅客在候车室排队等候检票进站．检票开始后，仍有旅客继续前来排队检票进站，设旅客按固定的速度增加，检票口检票的速度也是固定的，若开放一个检票口，则需30分钟才可将排队等候检票的旅客全部检票完毕；若开放两个检票口，则只需10分钟便可将排队等候检票的旅客全部检票完毕；如果要在5分钟内将排队等侯检票的旅客全部检票完毕，以便后来到站的旅客能随到随检，至少要同时开放几个检票口

(广州市中考题)

11．下面是同学们玩过的“锤子、剪子、布”的游戏规则：游戏在两位同学之间进行，用伸出手掌表示“布”，两人同时口念“锤子、剪子、布”，一念到“布”时，同时出手，“布”赢“锤子”，“锤子”赢“剪子”，“剪子”赢“布”．

现在我们约定：“布”赢“锤子”得9分，“锤子”赢“剪子”得5分，“剪子”赢“布”得2分．

(1)小明和某同学玩此游戏过程中，小明赢了21次，得108分，其中“剪子”赢“布”7次．聪明的同学，请你用所学的数学知识求出小明“布”赢“锤子”、“锤子”赢“剪子”各多少次