二元一次方程组加减法
解二元一次方程组的方法——加减法
与左边相加，右边与
右边相加，看看，能
得到什么结果？
观察：问题1.未知数x的
系数有什么特点？ 探究学习： 解方探程索组解注 未：:33意知xx9①到数y54这x-=yy的②个-1系5方28,数3得程. 相②①组同中问 知 据 问 边，，题 数 是 题 与什 左2X3把别..消怎 把两相么 边去样 这个减？ 相？方，才两减程 就这能个，的 消样把方右两 去做这程边边 了的个的与x分，依未左
｛x+y=7 ① 2x-y=2 ② 大家想一想:除了用代入法之外, 还有没有其他的方法来消元呢?
进入新课
做一做:
合并同类项
(1) 3x+(-3x) =__0___
(2) 2y-2y=___0___
(3) 9x+_(_-9_x_)_=0
(4) 7y-__7_y__=0
想一想：在一个方程组里，如果某个
通过将两个方程相加（或相减）消去 一个未知数，将方程组转化为一元一 次方程来解的.这种解法叫做加减消元 法,简称加减法.
结论：
利用加减消元法解方程组时,在方程组的两个 方程中:
(1)某个未知数的系数互为相反数，则可以直接
把这两个方程中的两边分别相加，消去这个未知数;
(2)如果某个未知数系数相等，则可以直接
｛ 变成∴相X等=或6 互为相反
X=6
数吗？
∴ y=2
试一试：
在本节例2解方程组
2x 7 y 8, 3x 8y 10 0
时，用了什么方法？现在你会不会用 加减法来解？试试看，并比较一下哪 种方法更方便？
加减法解二元一次方程组的一般步ห้องสมุดไป่ตู้：
1.变形—把一个方程（或两个方程）的两边都 乘以一个适当的数，使两个方程的一个未知数的系 数的绝对值相等；
二元一次方程组加减法例题
二元一次方程组加减法例题将方程组中的两个方程相加，以消去其中一个未知数。
这样可以得到一个只有一个未知数的一次方程，然后通过解这个方程来求出另一个未知数的值。
最后，将这个未知数的值带入原来的方程中，可以求出第一个未知数的值。
减法法则：将方程组中的两个方程相减，以消去其中一个未知数。
这样可以得到一个只有一个未知数的一次方程，然后通过解这个方程来求出另一个未知数的值。
最后，将这个未知数的值带入原来的方程中，可以求出第一个未知数的值。
以下是具体的例题解答：例1：解方程组一3x + 2y = 102x + y = 7使用加法法则，将这两个方程相加：(3x + 2y) + (2x + y) = 10 + 75x + 3y = 17现在我们得到了一个只有一个未知数的一次方程。
我们可以使用解一元一次方程的方法来求出 y 的值：5x + 3y = 173y = 17 - 5xy = (17 - 5x)/3现在我们把这个值代入到其中一个原始的方程中，来解出 x 的值：2x + y = 72x + (17 - 5x)/3 = 76x + 17 - 5x = 21x = 4现在我们可以回到方程 3x + 2y = 10，将 x 的值代入其中，来解出 y 的值：3(4) + 2y = 102y = -2y = -1因此，方程组一的解为 (4,-1)。
例2：解方程组二2x - 3y = 8x + y = 5使用减法法则，将这两个方程相减：(2x - 3y) - (x + y) = 8 - 5x - 4y = 3现在我们得到了一个只有一个未知数的一次方程。
我们可以使用解一元一次方程的方法来求出 y 的值：x - 4y = 3-4y = 3 - xy = (x - 3)/4现在我们把这个值代入到其中一个原始的方程中，来解出 x 的值：x + y = 5x + (x - 3)/4 = 54x + x - 3 = 205x = 23x = 23/5现在我们可以回到方程 2x - 3y = 8，将 x 的值代入其中，来解出 y 的值：2(23/5) - 3y = 8-3y = 16/5y = -16/15因此，方程组二的解为 (23/5, -16/15)。
加减法解二元一次方程组的一般步骤
加减法解二元一次方程组的一般步骤嘿，咱今儿来聊聊加减法解二元一次方程组的一般步骤哈。
你看啊，这二元一次方程组就好像是个小怪兽，咱得想办法把它给搞定咯。
那加减法呢，就是咱手中的厉害武器。
先来说说第一步，观察方程组中两个方程里同一个未知数的系数。
要是它们相等或者互为相反数，那可就太棒啦，就像找到了小怪兽的弱点一样。
比如说，一个方程里的 x 系数是 3，另一个方程里的 x 系数是-3，这不就巧了嘛。
接着呢，就可以把这两个方程相加或者相减啦。
这就好比给小怪兽致命一击呀！相加或者相减之后，嘿，其中一个未知数就消掉啦，是不是很神奇？这时候不就变成一元一次方程了嘛，一元一次方程咱总会解吧。
然后呢，解出这个一元一次方程，得到一个未知数的值。
就好像终于打败了小怪兽的一部分。
最后，再把这个解代回到原来的方程组里，去求出另一个未知数的值。
哇塞，这不就把整个小怪兽都打败啦。
你想想，这像不像我们玩游戏打怪物呀，得一步步找到方法，才能取得胜利。
要是一开始就乱了阵脚，那可不行哟。
再比如说，方程组里一个方程是 2x+y=5，另一个是 2x-y=1，这不是很明显嘛，y 的系数互为相反数呀，那就把这两个方程一加，y 就没啦，直接就能求出 x 啦。
然后再代回去求出 y，多简单呀。
咱可不能小瞧这加减法解二元一次方程组呀，它在很多地方都能派上大用场呢。
比如解决一些实际问题，像计算买东西花了多少钱呀，或者安排活动的人数呀之类的。
所以说呀，大家一定要好好掌握这个方法哟，它可是我们数学世界里的一把好武器呢！以后遇到二元一次方程组，咱就不用怕啦，直接用加减法把它拿下。
大家说是不是呀？嘿嘿！。
二元一次方程组的解法---加减法(课件格式)
x=4
D y=2
二、填一填.
1、已知方程组
5x+2y=4 ① 5x-3y=14 ②
可用 ① - ② 得到一元一次方程
5y=-10
__________
3x-2y=2 ①
2、方程组 3x+2y=6 ②
既
y + 可以用_①___②___消去未知数_______ ，
x - 也可以用_①___②___消去未知数_______ 。
①－ ②得
9y＝－18
① + ②，得 7x = 14
结论要点
将两个二元一次方程相加（或相减）， 消去一个未知数， 将方程组转化为一元一次方程来解，
这种解二元一次方程组的方法叫做加 减消元法，简称加减法。
思考：
用加减法解二元一次方程组的时候，什 么条件下用加法、什么条件下用减法？
结论要点
相同未知数的系数相同时用减法，互 为相反数时用加法。
学习目标
知识与能力 1.进一步理解解二元一次方程组的基本思想（消元）。 2.会用加减法解某个未知数的系数的绝对值相等的二元 一次方程组． 数学思考与问题解决 经历解决数学问题的过程，培养观察、比较、类比、归 纳、联想以及分析问题和解决问题的能力；通过对解决问 题过程与方法的反思，获得解决问题的经验． 情感与态度 在独立思考的基础上学会交流，敢于发表个人见解，并 能与他人共享成果，体验成功的快乐，同时锻炼克服困难 的意志，建立学习的自信心．
7x +7y ＝14, x－y＝- 4 则x +y ＝2
六、说一说:（能力拔高题.）
已知方程组 2x+5y=-26 和
ax-by=-4
方程组 3x-5y=36 ax+by=8
浅谈“加减法”解二元一次方程组
浅谈“加减法”解二元一次方程组安徽省金寨县金城学校七（1）班简肇鑫“二元一次方程组”即含有两个未知数，并由两个一次方程组成的方程组。
要解这样的题目，就要把“没学过的”转化为“学过的”——把“二元”转化为“一元”，即“消元”。
具体的消元方法有两种，一种是“代入法”，另一种是“加减法”。
何谓“加减法”？便是把方程组中各个方程互相加减，来达到“消元”目的的方法。
在运用加减法的过程中，要注意“同类项加减”，抵消系数绝对值相同的相同未知数，从而来求解。
运用加减法解方程组时，有两个基本条件：一是方程组必须标准化；二是两个方程中相同未知数的系数绝对值要相等。
我们在求解时会遇到以下四种情况：一、两个方程中相同未知数的系数绝对值相等。
这种方程组，就非常好解，只需把两个方程相加或相减。
如：x＋y＝15, ①x－y＝7. ②根据观察，本题可将①+②，消去y；也可将①-②，消去x。
二、两个方程中相同未知数的系数是倍数关系。
这样的方程组，要将其中一个方程变形，使之与另一个方程联列起来，变为上述“第一种情况”的方程组，再加减。
如：4x-5y=11 , ①x+10y=2 . ②1本题可将①×2+②，消y；也可将②×4-①，消x。
三、两个方程中的相同未知数，绝对值既不相同，又不具有倍数关系。
这时，只能将两个方程都变形到可直接相加或相减消元的情况（即“第一种情况”），再加减。
如：3x-2y=18，①5x+7y=256. ②本题仍有两种解法：一是②×3-①×5，消x；二是①×7+②×2，消y。
四、方程组根本没有标准化。
这就需要通过移项、化简（整）等方法，把方程组标准化转换为上述“第一、二、三种情况”后，再用相应的解法求解。
如：15%x=10085y+1.08, ①5478+-yx=3 . ②这一题非常零乱，需要整理。
解法如下：①×100，得15x=85y+108.移项，得15x-85y=108. ③②×5，得8x-7y+4=15，2移项并合并同类项，得8x-7y=11. ④联列③、④，得15x-85y=108,8x-7y=11.之后再变形，加减即可。
《二元一次方程组解法》(二)--加减法 配套知识讲解 人教七年级下
二元一次方程组解法（提高）知识讲解【学习目标】1. 掌握加减消元法解二元一次方程组的方法；2. 能熟练、正确、灵活掌握代入法和加减法解二元一次方程组；3．会对一些特殊的方程组进行特殊的求解．【要点梳理】要点一、加减消元法解二元一次方程组两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法．要点诠释：用加减消元法解二元一次方程组的一般步骤：(1)方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不互为相反数，又不相等，那么就用适当的数乘方程的两边，使同一个未知数的系数互为相反数或相等；(2)把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程；(3)解这个一元一次方程，求得一个未知数的值；（4)将这个求得的未知数的值代入原方程组中的任意一个方程中，求出另一个未知数的值，并把求得的两个未知数的值用“大括号”联立起来，就是方程组的解．要点二、选择适当的方法解二元一次方程组解二元一次方程组的基本思想（一般思路）是消元，消元的方法有两种：代入消元和加减消元，通过适当练习做到巧妙选择，快速消元．【典型例题】类型一、加减法解二元一次方程组1.（2020春•澧县期末）用加减消元法解方程组34659 23x y x y++==【思路点拨】先将原方程写成方程组的形式后，再求解. 【答案与解析】解：此式可化为：349(1) 2659(2) 3x yx y+⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩由(1)：3x+4y=18 (1) 由(2)：6x+5y=27 (2) (1)×2：6x+8y=36 (3) (3)－(2)：3y=9y=3代入(1)：3x+12=183x=6x=2∴23 xy=⎧⎨=⎩【总结升华】先将每个式子化至最简，即形如ax+by=c的形式再消元. 举一反三：【变式】方程组201020092008200820072006x y x y -=⎧⎨-=⎩的解为：.【答案】12x y =-⎧⎨=-⎩2.已知关于x 、y 的方程组ax by cex dy f+=⎧⎨+=⎩的解为31x y =⎧⎨=⎩，求关于x 、y 的方程组()()()()a x y b x y ce x y d x y f-++=⎧⎨-++=⎩的解． 【思路点拨】如果用一般方法来解答此题，很难达到目标，观察发现，两方程的系数相同，只是未知数的呈现方式不同，如果我们把x -y ，x+y 看作一个整体，则两个方程同解． 【答案与解析】解：方程组的解仅仅与未知数的系数有关，与未知数选用什么字母无关，因此把(x -y )与(x+y )分别看成一个整体当作未知数，可得3,1.x y x y -=⎧⎨+=⎩ 解得：2,1.x y =⎧⎨=-⎩【总结升华】本例采用了类比的方法，若把其中的x+y 和x -y 分别看作整体，则第二个方程组与第一个方程组相同，即x+y ＝1，x -y ＝3． 举一反三：【变式】三个同学对问题“若方程组111222a xb yc a x b y c +=⎧⎨+=⎩的解是34x y =⎧⎨=⎩，求方程组111222325325a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩的解．”提出各自的想法．甲说：“这个题目好象条件不够，不能求解”；乙说：“它们的系数有一定的规律，可以试试”；丙说：“能不能把第二个方程组的两个方程的两边都除以5，通过换元替代的方法来解决”．参考他们的讨论，你认为这个题目的解应该是：． 【答案】 解：由方程组111222a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩的解是34x y =⎧⎨=⎩，得1112223434a b c a b c +=⎧⎨+=⎩，上式可写成111222352105352105a b c a b c ⨯+⨯=⎧⎨⨯+⨯=⎩，与111222325325a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩比较，可得：510x y =⎧⎨=⎩．类型二、用适当方法解二元一次方程组3.解方程组36101610x y x yx y x y +-⎧+=⎪⎪⎨+-⎪-=-⎪⎩【思路点拨】解决本题有多种方法：加减法或代入法，或整体代入法，整体代入法最简单. 【答案与解析】解：设,610x y x ym n +-==，则原方程组可化为31m n m n +=⎧⎨-=-⎩①②解得12m n =⎧⎨=⎩即16210x y x y +⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩ ，所以620x y x y +=⎧⎨-=⎩解得137x y =⎧⎨=-⎩所以原方程组的解为137x y =⎧⎨=-⎩．【总结升华】解一个方程组的方法一般有多种方法，我们要根据方程组的特点选择最简便的求解方法. 举一反三：【变式】【答案】解：去分母，整理化简得，9112061925x y x y +=⎧⎨+=⎩①②，②×3－①×2得，3535y =，即1y =， 将1y =代入①得，99x =，即1x =， 所以原方程组的解为11x y =⎧⎨=⎩. 4.试求方程组27526x y x y ⎧-=--⎪⎨-=-⎪⎩的解．【答案与解析】解：27526x y x y ⎧-=--⎪⎨-=-⎪⎩①②①－②，整理得513y y -=-③ ∵50y -≥，∴13－y ≥0，即y ≤13，当513y ≤≤时，③可化为513y y -=-，解得9y =； 当5y ≤时，③可化为513y y -=-，无解. 将9y =代入②，得23x -=，解得15x =-或.综上可得，原方程组的解为：19x y =-⎧⎨=⎩或59x y =⎧⎨=⎩.【总结升华】解含有绝对值的方程组，一般先转化为含绝对值的一元一次方程，再分类讨论求出解. 举一反三：【变式】（2020春•杭锦后旗校级期末）若二元一次方程组和y=kx+9有相同解，求（k+1）2的值． 【答案】 解：方程组，①×3+②得：11x=22， 解得：x=2，将x=2代入①得：6﹣y=7， 解得：y=﹣1， ∴方程组的解为，将代入y=kx+9得：k=﹣5，则当k=﹣5时，（k+1）2=16． 第二课时 【学习目标】1.理解不等式的有关概念，掌握不等式的三条基本性质；2.理解不等式的解（解集）的意义，掌握在数轴上表示不等式的解集的方法；3.会利用不等式的三个基本性质，熟练解一元一次不等式或不等式组；4.会根据题中的不等关系建立不等式（组），解决实际应用问题；5.通过对比方程与不等式、等式性质与不等式性质等一系列教学活动，理解类比的方法是学习数学的一种重要途径.【知识网络】【要点梳理】要点一、不等式1.不等式：用符号“＜”(或“≤”)，“＞”（或“≥”），≠连接的式子叫做不等式.要点诠释：（1）不等式的解：能使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解.（2）不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成这个不等式的解集．解集的表示方法一般有两种：一种是用最简的不等式表示，例如x a>，x a≤等；另一种是用数轴表示，如下图所示：（3）解不等式：求不等式的解集的过程叫做解不等式．2. 不等式的性质：不等式的基本性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变．用式子表示：如果a＞b，那么a±c＞b±c不等式的基本性质2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．用式子表示：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc(或a bc c >)．不等式的基本性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．用式子表示：如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc(或a bc c <)．要点二、一元一次不等式1.定义：不等式的左右两边都是整式，经过化简后只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，这样的不等式叫做一元一次不等式，要点诠释：ax+b＞0或ax+b＜0(a≠0)叫做一元一次不等式的标准形式．2.解法：解一元一次不等式步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1.要点诠释：不等式解集的表示：在数轴上表示不等式的解集，要注意的是“三定”：一是定边界点，二是定方向，三是定空实.3.应用：列不等式解应用题的基本步骤与列方程解应用题的步骤相类似，即：（1）审：认真审题，分清已知量、未知量；（2）设：设出适当的未知数；（3）找：找出题中的不等关系，要抓住题中的关键字，如“大于”“小于”“不大于”“至少”“不超过”“超过”等关键词的含义；（4）列：根据题中的不等关系，列出不等式；（5）解：解出所列的不等式的解集；（6）答：检验是否符合题意，写出答案.要点诠释：列一元一次不等式解应用题时，经常用到“合算”、“至少”、“不足”、“不超过”、“不大于”、“不小于”等表示不等关系的关键词语，弄清它们的含义是列不等式解决问题的关键. 要点三、一元一次不等式组关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式组.要点诠释：（1）不等式组的解集：不等式组中各个不等式的解集的公共部分叫做这个不等式组的解集. （2）解不等式组：求不等式组解集的过程，叫做解不等式组.（3）一元一次不等式组的解法：分别解出各不等式，把解集表示在数轴上，取所有解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集.（4）一元一次不等式组的应用：①根据题意构建不等式组，解这个不等式组；②由不等式组的解集及实际意义确定问题的答案．【典型例题】类型一、不等式1.（2020春•天津期末）判断以下各题的结论是否正确（对的打“√”，错的打“×”）．（1）若 b﹣3a＜0，则b＜3a；（2）如果﹣5x＞20，那么x＞﹣4；（3）若a＞b，则 ac2＞bc2；（4）若ac2＞bc2，则a＞b；（5）若a＞b，则 a（c2+1）＞b（c2+1）．（6）若a＞b＞0，则＜．．【答案与解析】解：（1）若由b﹣3a＜0，移项即可得到b＜3a，故正确；（2）如果﹣5x＞20，两边同除以﹣5不等号方向改变，故错误；（3）若a＞b，当c=0时则 ac2＞bc2错误，故错误；（4）由ac2＞bc2得c2＞0，故正确；（5）若a＞b，根据c2+1，则 a（c2+1）＞b（c2+1）正确．（6）若a＞b＞0，如a=2，b=1，则＜正确．故答案为：√、×、×、√、√、√．【总结升华】本题考查了不等式的性质，两边同乘以或除以一个不为零的负数，不等号方向改变．2. 设x>y ，试比较代数式-(8-10x)与-(8-10y)的大小，如果较大的代数式为正数，则其中最小的正整数x 或y 的值是多少?【思路点拨】比较两个代数式的大小，可以运用不等式的性质得出比较方法。
二元一次方程组的解法之加减消元法
3x 45 8
解得 y 3 写解 解得 x 4
x 1
因此原方程组的解是
y
3
x 4
因此原方程组的解是
y
5樂见
牛刀小试
解下列方程组：
3x 2 y 8 ① （1）6x 5y 47 ②
2x 3y 12 ① （2） 3x 4 y 1Βιβλιοθήκη ②樂 见巩固练习
用加减法解下列方程时，你认为先消哪个未知数 比较简单，填写消元的过程.
2m 3n 1 ① 选择消 n
（1） 5m 3n 4 ② 将方程 ②－① 进行消元
5m 3n 2 ① 选择消 m
（2） 5m 3n 4 ② 将方程 ①+② 进行消元
樂 见
5x 4 y 23 ① 选择消 y
（3） 3x 2 y 15 ② 将方程②×2－① 进行消元
7m 3n 1 ① 选择消 n
（1）6x 5y 9
②
3x 4y 8 ① （2）4x 3y 1 ②
方程①×4 方程②×3
归纳
6x 9y 33 ③
6x 5y 9
②
12x 16y 32 ③ 12x 9y 3 ④
当程的方的方程两程组边的的都系两乘数（能x（个以相或不方一 同或互能程个或y为）使不适互相的两能当为反直的相系个接数反数数方用（数）相程加不，呢等中减为那？消零么元）就时， 可，使以可变用将形加方后减
七年级下册
二元一次方程组的解 法
——加减消元法
樂 见
回顾思考
代入法解二元一次方程组一般步骤：
<1>变 ——用含有一个未知数的代数式表示另 一个未知数,写成y=ax+b或x=ay+b；
<2>代——把变形后的方程代入到另一个方程
6.2二元一次方程组的解法(加减法)
5.写出方程组的解
一.填空题：
x+3y=17
1.已知方程组 2x-3y=6 y 分别相加 就可以消去未知数 只要两边 25x-7y=16 两个方程
2.已知方程组
25x+6y=10 x 分别相减 只要两边 就可以消去未知数
两个方程
二.选择题
6x+7y=-19①
1. 用加减法解方程组
6x-5y=17②
求另一 个未知 数的值
（3）
（4）
解二元一次方 程组的步骤
下列方程组各选择哪种消元法来解比较简便? (1) y=2x 3x-4y=5 代入法 (3) 2x+3y=21 4x-5y=7 加减法 (2) x=3y+1 2x-3y=10 代入或加减法 (4) 9x-5y=1 6x-7y=2 加减法
附加题
问题1．观察上述方程组未知数的系数有什么特点？
问题2．除了代人消元，你还有别的办法消去x吗？
解后反思： 从上面的解答过程来看，将二元一次方程组中两个方程相 加（或相减或进行适当变形后再加减），消去一个未知数，得 到一元一次方程，通过求解一元一次方程，再求得二元一次方 程组的解．这种解方程组的方法叫做加减消元法，简称加减 法．
还有别的方法吗？
认真观察此方程组中各个未知数的系 数有什么特点，并分组讨论看还有没有 其它的解法. 并尝试一下能否求出它的解
x y 10 2 x y 16
①
②
①中的y②中的y系数相 同…
分析：
x y 10 2 x y 16
② 左边 — ① 左边
① ②
（2x ＋ y）—（x + y）＝16 -10
= ② 右边 — ① 右边
二元一次方程组的解法——加减法
8.2 消元——二元一次方程组的解法（第3课时）教学目标知识与技能掌握用加减法解二元一次方程组。
过程与方法 使学生理解加减消元法所体现的“化未知为已知”的化归思想。
情感态度价值观体验数学学习的乐趣，在探索中品尝成功的喜悦，树立学习数学的信心。
重点 用“加减法”解二元一次方程组。
难点学会用加减法解同一个未知数的系数的绝对值不相等，且不成整数倍的二元一次方程组。
教学流程安排问题与情境师生行为设计意图【情景引入】买3瓶雪碧和5瓶王老吉共需21元，买3瓶雪碧比买5瓶王老吉少9元，问每瓶雪碧和每瓶王老吉的售价各是多少元？解：设每瓶雪碧x 元，每瓶王老吉y 元。
⎩⎨⎧-=-=+9532153y x y x 【探究1】⎩⎨⎧-=-=+②①9532153y x y x （1）①和②能不能相加减，依据是什么？（2）①和②相加，你能发现什么？得到什么启发？①和②相减，你又能发现什么？得到什么启发？（3）通过上面的问题你能发现新的消元法解决上面的方程组吗？ 具体解法： 【针对性练习】 （1）已知方程组⎩⎨⎧=-=+②①632173y x y x 两个方程只要两边分别相加就可以消去教师提出问题，学生独立完成。
学生根据上节已有经验可以通过列二元一次方程⎩⎨⎧-=-=+9532153y x y x ，运用代入法求解方程，得出结论。
教师关注： （1）学生能否独立得到二元一次方程组，用代入法求解。
（2）学生能否发现代入法在解这类方程的弊端。
（3）学生解决问题的热情。
教师启发引导，学生观察再分组活动。
教师深入小组，并参与小组活动，及时了解学生思维变化情况。
学生以组为单位表述结论。
教师总结，提升并给出规范的书写过程，给出加减消元的方法。
教师关注： （1）学生在易错知识点上的关注度。
（2）能否抓住问题的核心部分。
学生独立完成，板演，组内批改，教师巡视。
教师适当引导，强调易错点。
教师关注： （1）学生是否在理解上题的基础上对该题进行求解。
二元一次方程组的解法---加减法
3．通过探索二元一次方程组的解法，理解加减消元法的基本思想。
二、例题讲解
例1：解方程组
3x+5y=21 ①
2x－5y= -11 ②
因为5y和-5y是互为相反数，可以由①+②得
5x=10
x=2
把x=2代入①，得6+5y=21
二元一次方程组的解法---加减法“微课”教学设计
景泰县第四中学张晓莹
授课教师姓名
张晓莹
微课名称
二元一次方程组的解法---加减法
知识点来源
学科：数学年级：八年级教材版本：北师大版
教具
PPT课件
设计思路
通过例题学习，掌握加减法解二元一次方程组。
教学设计
内容
元法”解简单的二元一次方程组。
②加减消元,得一元一次方程．
③解一元一次方程．
④把解代入得另一个未知数的值，从而得到方程组的解．
三、练习：
1.选择题：二元一次方程组 的解是（ ）
A. B. C. D.
2.若|x+y-2|+(2x+3y-5)2=0,求x,y的值。
四、小结
本节课学习了用加减法解二元一次方程组，通过例题、练习达到了学习、巩固的目的。
2．通过加减消元法，体会把“未知”转化为“已知”，把二元转化为一元的思想方法。
3．通过探索二元一次方程组的解法，理解加减消元法的基本思想。
教学重点、难点
1．重点：掌握用加减消元法解二元一次方程组的方法。
2．难点：把二元一次方程组转化为一元一次方程，体会消元思想。
教学过程
一、教学目标
1．使学生理解“加减消元法”，并能用“加减消元法”解简单的二元一次方程组。
二元一次方程组的解法(加减法1)三案设计
巩固达标环节
1、课本102页的第1题完成
2、教师发现并纠正学生在计算中存有的问题
3、用加减法解方程组
投影学生的过程
加减消元法
教学反思：今天这节课结束以后，我觉得基本上所有学生都动了起来，注意力比较集中，对重点内容也都能掌握，感觉比以前所上的这节课效果要好。所以我想无论什么样的课只要在备课时能真正的将“备教材”“备学生”“用学生的眼光看教材”三者结合起来，那么我们就能将每一节课都上成学生不但能学到知识，同时能主动参与其中的课，让数学课不在枯燥，不在死板，让学生在愉悦的心情中学到知识，成为学生喜爱的课。
沁园中学三案设计
组的解法（加减法1）
课型：新授备课时间：3.16主备人：西苑
学习目标：使学生熟练的理解用加减消元法解二元一次方程组。
使学生进一步理解加减消元法所表达的化归思想。
情感、态度与价值观
进一步体会方程是刻画现实世界的有效数学模型
学习重、难点】
1、用加减法解二元一次方程组.
2、两个方程相减消元时，对被减的方Βιβλιοθήκη 各项符号要做变号处理。教学流程
导航台
知识链接
自主探究环节
1、学生自己阅读课本99页内容
2、自己思考课本中提出的两个问题
结合课本自己思考
代入消元法
加减消元法
合作交流环节
3、小组讨论
4、学生自己归纳总结
小组讨论
化归思想
展示点拨环节
1、学生根据自己的思考动手解决问题
2、学生自己完成例3
归纳：两个二元一次方程组中，同一个未知数的系数或时，把这两个方程的两边分别或，就能消去这个未知数，得到一个方程，这种方法就叫做加减消元法。
二元一次方程组(加减法)
解二元一次方程组（加减法）（二）一、基础过关1．用加、减法解方程组436,43 2.x yx y+=⎧⎨-=⎩，若先求x的值，应先将两个方程组相_______；若先求y的值，应先将两个方程组相________．2．解方程组231,367.x yx y+=⎧⎨-=⎩用加减法消去y，需要（）A．①×2-② B．①×3-②×2 C．①×2+② D．①×3+②×2 3．已知两数之和是36，两数之差是12，则这两数之积是（）A．266 B．288 C．-288 D．-1244．已知x、y满足方程组259,2717x yx y-+=⎧⎨-+=⎩，则x：y的值是（）A．11：9 B．12：7 C．11：8 D．-11：85．已知x、y互为相反数，且（x+y+4）（x-y）=4，则x、y的值分别为（）A．2,2xy=⎧⎨=-⎩B．2,2xy=-⎧⎨=⎩C．1,212xy⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩D．1,212xy⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩6．已知a+2b=3-m且2a+b=-m+4，则a-b的值为（） A．1 B．-1 C．0 D．m-17．若23x5m+2n+2y3与-34x6y3m-2n-1的和是单项式，则m=_______，n=________．8．用加减法解下列方程组：（1）3216,31;m nm n+=⎧⎨-=⎩（2）234,443;x yx y+=⎧⎨-=⎩（3）523,611;x yx y-=⎧⎨+=⎩（4）357,234232.35x yx y++⎧+=⎪⎪⎨--⎪+=⎪⎩二、综合创新9．（综合题）已知关于x、y的方程组352,23x y mx y m+=+⎧⎨+=⎩的解满足x+y=-10，求代数m2-2m+1的值．10．（应用题）（1）今有牛三头、羊二只共1900元，牛一头、羊五只共850元，•问每头牛和每只羊各多少元？（2）将若干只鸡放入若干个鸡笼中，若每个鸡笼放4只，则有一只鸡无笼可放；•若每个鸡笼放5只，则有一个笼无鸡可放，那么有鸡多少只？有鸡笼多少个？11．（创新题）在解方程组2,78ax bycx y+=⎧⎨-=⎩时，哥哥正确地解得3,2.xy=⎧⎨=-⎩，弟弟因把c写错而解得2,2.xy=-⎧⎨=⎩，求a+b+c的值．12．（1）（2005年，苏州）解方程组11, 23 3210. x yx y+⎧-=⎪⎨⎪+=⎩（2）（2005年，绵阳）已知等式（2A-7B）x+（3A-8B）=8x+10对一切实数x都成立，•求A、B的值．三、培优训练13．（探究题）解方程组200520062004, 200420052003.x yx y-=⎧⎨-=⎩14．（开放题）试在9□8□7□6□5□4□3□2□1=23的八个方框中，•适当填入“＋”或“－”号，使等式成立，那么不同的填法共有多少种？四、数学世界到底有哪些硬币？“请帮我把1美元的钞票换成硬币”．一位顾客提出这样的要求．“很抱歉”，出纳员琼斯小组仔细查看了钱柜后答道：“我这里的硬币换不开”．“那么，把这50美分的硬币换成小币值的硬币行吗？”琼斯小组摇摇头，她说，实际上连25美分、10美分、5美分的硬币都换不开．“你到底有没有硬币呢？”顾客问．“噢，有！”琼斯小组说，“我的硬币共有1.15美元．”钱柜中到底有哪些硬币？注：1美元合100美分，小币值的硬币有50美分、25美分、10美分、5美分和1美分．答案：1．加；减2．C3．B 点拨：设两数分别为x、y，则36,12.x yx y+=⎧⎨-=⎩解得24,12.xy=⎧⎨=⎩∴xy=24×12=288．故选B．4．C5．C 点拨：由题意，得4()4,0.x yx y-=⎧⎨+=⎩解得1,212xy⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩故选C．6．A 点拨：23,2 4.a b m a b m+=-⎧⎨+=-+⎩②-①得a-b=1，故选A．7．1；-12点拨：由题意，得5226,321 3.m nm n++=⎧⎨--=⎩解得1,12mn=⎧⎪⎨=-⎪⎩8．（1）2,5.mn=⎧⎨=⎩（2）5,41.2xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（3）5,413.8xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（4）5,231.4xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩9．解：解关于x、y的方程组352,23x y mx y m+=+⎧⎨+=⎩得26,4.x my m=-⎧⎨=-+⎩把26,4.x my m=-⎧⎨=-+⎩代入x+y=-10得（2m-6）+（-m+4）=-10．解得m=-8．∴m2-2m+1=（-8）2-2×（-8）+1=81．10．（1）解：设每头牛x元，每只羊y元，依题意，得321900,5850.x y x y +=⎧⎨+=⎩ 解这个方程组，得600,50.x y =⎧⎨=⎩答：每头牛600元，每只羊50元．（2）解：设有鸡x 只，有鸡笼y 个，依题意，得41,5(1).y x y x +=⎧⎨-=⎩解这个方程组，得25,6.x y =⎧⎨=⎩答：有鸡25只，有鸡笼6个．11．解：把3,2.x y =⎧⎨=-⎩ 代入2,78ax by cx y +=⎧⎨-=⎩ 得322,3148.a b c -=⎧⎨+=⎩把2,2.x y =-⎧⎨=⎩ 代入ax+by=2 得-2a+2b=2．解方程组322,3148,22 2.a b c a b -=⎧⎪+=⎨⎪-+=⎩ 得4,5,2.a b c =⎧⎪=⎨⎪=-⎩∴a+b+c=4+5-2=7．点拨：弟弟虽看错了系数c ，但2,2.x y =-⎧⎨=⎩是方程ax+by=2的解．12．（1）解：①×6，得3x-2y-2=6，即3x-2y=8．③②+③，得6x=18，即x=3．③-②，得4y=2，即y=12． ∴3,1.2x y =⎧⎪⎨=⎪⎩ （2）65、-45点拨：∵（2A-7B ）x+（3A-8B ）=8x+10对一切实数x 都成立． ∴对照系数可得2A-7B=8，3A-8B=10．∴278, 3810.A BA B-=⎧⎨-=⎩解得6,54.5 AB⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩即A、B的值分别为65、-45．13．解：200520062004, 200420052003.x yx y-=⎧⎨-=⎩①-②，得x-y=1，③③×2006-①，得x=2．把③代入①，得y=1．∴2,1. xy=⎧⎨=⎩点拨：由于方程组中的数据较大，所以正确解答本题的关键是将两方程相减得出x-y=1．14．解：设式中所有加数的和为a，所有减数的和为b，则a-b=23．又∵a+b=9+8+…+1=45，∴b=11．∴若干个减数的和为11．又11=8+3=7+4=6+5=8+2+1=7+3+1=6+4+1=6+3+2=5+4+2=5+3+2+1．∴使等式成立的填法共有9种．点拨：因为只填入“＋”或“－”号，所以可以把加数的和，•减数的和看作整体数学世界答案：如果琼斯小姐换不了1美元，那么她钱柜中的50美分硬币不会超过1枚．如果她换不了50美分，那么钱柜中的25美分硬币不会超过1枚，10美分硬币不会超过4枚，10•美分换不了，意味着她的5美分硬币不会超过1枚；5美分换不了，由她的1•美分硬币不超过4枚，因此，钱柜中各种硬币数目的上限是：50美分1枚 $0.5025美分1枚 0.2510美分4枚 0.405美分1枚 0.051美分4枚 0.04$1.24这些硬币还够换1美元（例如，50美分和25美分各1枚，10美分2枚，5美分1枚），•但是我们毕竟知道了钱柜中各种硬币的数目不可能比上面列出的更多，•上面这些硬币加起来总共有1.24美元，比我们所知道的钱柜中的硬币总值1.15美元正好多出9美分．现在，组成9美分的唯一方式是1枚5美分硬币加上4枚1美分，所以必须把这5枚硬币从上面列出的硬币中除去，余下的是1枚50美分、1枚25美分和4枚10美分的硬币．•它们既换不了1美元，也无法把50美分或者25美分、10美分、5•美分的硬币换成小币值的硬币，而且它们的总和正是1.15美元，于是我们便得到了本题的唯一答案．。
加减法解二元一次方程组
帮助学生理解二元 一次方程组的概念 和性质
培养学生运用加减 法解二元一次方程 组的能力
提高学生的数学思 维能力和解决实际 问题的能力
激发学生对数学的 兴趣和热情
购物：计算商品 价格和数量
做饭：计算食材 和调料的用量
理财：计算投资 收益和支出
旅行：计算行程 时间和费用
经济学：用于计算成本、 利润等
方程组中两个方程的未知数系数相 同
方程组中两个方程的常数项之差为 零
添加标题
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方程组中两个方程的常数项之和为 零
方程组中两个方程的常数项之积为 零
确定方程组中的两个方程 观察方程组找出可以消元的方法 利用加减法消元得到一元一次方程 解一元一次方程得到未知数的值 代入原方程组求出另一个未知数的值 得到方程组的解
● 方程组：3x + 2y = 10x + 3y = 6
● 解方程组： . 消去x：3x + 2y = 10x + 3y = 6 b. 消去y：3x + 2y = 10x + 3y = 6 c. 解方 程组：x = 2y = 1
● . 消去x：3x + 2y = 10x + 3y = 6 ● b. 消去y：3x + 2y = 10x + 3y = 6 ● c. 解方程组：x = 2y = 1
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目录0Biblioteka .02.03.04.
05.
06.
方程组：由两个 或两个以上的方 程组成的一组方 程
方程组表示方法： 用两个或两个以 上的方程表示一 组未知数之间的 关系
方程组解：满足 所有方程的未知 数的值
加减法解二元一 次方程组的原理： 通过加减法消去 一个未知数得到 一元一次方程然 后求解
二元一次方程组加减法
二元一次方程组加减法
二元一次方程组的加减法是一种求解二元一次方程组的方法。
首先，我们需要确保两个方程中的某个未知数的系数是相反的，这样我们就可以通过加法或减法消去一个未知数。
例如，我们有两个方程：
1. 2x + 3y = 7
2. 3x - 3y = 8
我们可以看到，在第一个方程中，y的系数是3，而在第二个方程中，y的系数是-3，它们是相反的。
因此，我们可以通过加法消去y。
我们将第一个方程和第二个方程相加，得到：
(2x + 3y) + (3x - 3y) = 7 + 8
这样，y就被消去了，我们得到：
5x = 15
然后，我们可以解出x的值：
x = 15 / 5
x = 3
接下来，我们可以将x的值代入任何一个原方程中，解出y的值。
例如，我们可以将x=3代入第一个方程：
2*3 + 3y = 7
这样，我们就可以解出y的值：
6 + 3y = 7
3y = 1
y = 1/3
所以，方程组的解是x=3, y=1/3。
这就是使用加减法求解二元一次方程组的基本步骤。
需要注意的是，如果两个方程中的未知数的系数不是相反的，我们可能需要通过乘以适当的数来使它们成为相反的。
二元一次方程组的解法(加减法)
附件：教学设计方案模版教学活动3：例题讲解和课堂练习: 例2、解方程组『x p y =12i 3x +4y =17分 析：对于当方程组中两方程不具备上述特点时， 则可用等 式性质来改变方程组中方程的形式，即得到与原方程组同解的且某 未知数系数的绝对值相等的新的方程组，从而为加减消元法解方程 组创造条件.谢”你能列出方程吗?2、这时候又来了一位同学对老师说：“我也饿了，我要吃鸡肉卷。
于是老师又买了一份鸡肉卷。
”服务员说： “一份深海鳕鱼 条和两分份墨西哥鸡肉卷请付 28兀，谢谢！ ”你能列出方程吗? 猜一猜各个单价多少?技术资源PPT 常规资源 黑板板书活动概述 学生根据已知条件设未知数：解方程组的方法解释一下，即消 去哪个元就可，不进行详细的解答。
此时给学生思考，给于适当提示，老师第一次和第二次差别和 钱的差别，从这二个角度提示。
从上面得出的解法，可以得出结论有对于y 二式中的系数是完全一 样的，那样可以用二式两边同时相减。
（提问学生是否有依据）教与学的策 这是我自己编的一个引入，目的是为了降低加减的难度，因为从实际出发，学生稍微思考就能发现其中关系所在。
反馈评价 学生积极性高活动目标加减消元法解方程组例* 1 *：解方程组｛2：：5 *；：71变式应用：｛2：：3；二7仔细观察这方程组与例1的区别'能否运用例1的想法也可以消去哪个字母。
课堂练习：r6x + 7y = —191.用加减法解方程组u-5y=17应用（）A.①-②消去yB.①-②消去xC.②-①消去常数项D.以上都不对2.方程组£；y：53 *消去y后所得的方程是（）A.6x=8B.6x=18C.6x=5D.x=18。
二元一次方程组加减消元法
用加减法解二元一次方程 组
单击此处添加正文具体内容
01 3 x + 2 y = 1 3
03
想一想
02 3 x - 2 y = 5
04 为 了 解 方 程 组
不用代入法能否消去其中的 未知数y？
解：①+② 得：6 x=18 x=3
解法1:
把 x=3代入①得： 9+2y=13 y=2
未知数的值；
⑸把两个未知数的值用“ ”合写在一起.
二 元 变形 一 次 方 程 组
某
元 绝
加减
对
值
相
等
消 去 一 个 元
得 解方程 一 代入
个 元 的 值
求 另 一 个 元 的 值
写 方 程 组 的 解
2x 3y 16
x
4第y 一13章 节
x
2 x
y
3 y
13
2 3
例1.解方程组： 例3 2. 4 2
解方程组：
用加减消元法解二元一次方程的一般步骤是：
⑴运用等式性质，使其中某一个未知数的系数的
绝对值相等； ⑵把变形后的两个方程相加或相减，以消去一个
未知数；
⑶解消元后的一元一次方程，求出一个未知数的值；
把这两个方程中的两边分别相加。
把这两个方程中的两边分别相减,
x+3y=17
2.已知方程组
两个方程只要两边
2x-3y=6
分别相加 就可以消去未知数 y
25x-7y=16
3.已知方程组
两个方程只要两边
25x+6y=10
分别相减 就可以消去未知数 x
a+2b=8
4.已知a、b满足方程组
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第三课小测 二元一次方程组的解法（加减消元法）
初一( )班 学号: 姓名: 成绩
1、解方程组 把 ① 代 ②，得（ ）
（A ）2x+3x-3=6 ; （B ）2x+3(x-3)=6 ; （C ）2x+x-3=6 （D ）2y+3y=6
2、解方程组⎩
⎨⎧=--=+125318
53y x y x 时，①+②得（ ），①-② 得（ ） （A ）306-=x （B ）66-=x （C ）3010-=y （D ）610-=y
3、用加减法解方程组 ⎩⎨⎧-=+=+232752y x y x 时，①－②得（ ）
A 、2y ＝5
B 、－8y ＝5
C 、2y ＝9
D 、－8y ＝9 4、解下列方程组：
（1） ⎩⎨⎧=-=+2413y x y x （ 2）⎩
⎨⎧=+=+254564y x y x
①② 6
323
=+-=y x x y ①② ①②
（3）⎩⎨⎧-=-=+12352y x y x （4） ⎩⎨⎧=-=+3252y x y x
环节一：复习
1、下列方程组中（ ）的解是⎩⎨⎧==12
y x
A 、 ⎩
⎨⎧=-=+23
y x y x B 、⎩⎨⎧=+=-6332y x y x C 、
⎩⎨
⎧=+=+362y x y x D 、⎩
⎨⎧=-=-13
2y x y x 2. 解方程组⎩⎨⎧=-=+24
y x y x
这节还可以用一种新方法解————————加减消元法 环节二：讲授新课：
例1: 解方程组⎩⎨⎧=-=+24
y x y x
解：①+②，得： 2x=6
X= 把X= ，代入①，得
+y=4 y= ∴原方程组的解是：
我的感觉是: 解二元一次方程组 ，用 法比 法容易
环节三：试一试
用加减法解方程组⎩⎨⎧=-=+1345
32y x y x
解：①+②，得： x=6 X= 把X= ，代入①，得
2 +3y=5 y= ∴原方程组的解是： 环节四：练习
1、选择加减法进行消元.
（1）⎩⎨⎧=-=+574973y x y x （2）⎩⎨⎧=+=+2
54564y x y x （消 用 法） （消 用 法） 解：：① ②，得： 解：：① ②，得： = = = = 把 = ，代入 ，得： 把 = ，代入 ，得： = = = =
∴原方程组的解是： ∴原方程组的解是：
环节五：先填空，再写解的过程：
（3）⎩⎨⎧=-=-2
32b a b a （4）⎩⎨⎧=+=+-10326
52y x y x ①② ①②
①②
①
②
（消 用 法） (消 用 法）
解：① ②，得： 解：① ②，得： = =
（5）⎩⎨⎧=+-=-102322y x y x （6）⎩
⎨⎧=-=-10232
2y x y x （消 用 法） (消 用 法） 解：：① ②，得： 解：：① ②，得： = =
小结：用加、减法解二元一次方程组的特点是： 同一个未知数的系数相同时，用 法消元 ； 同一个未知数的系数 互为相反数时，用 法消元 ； 环节六：巩固练习 A 组题
1、解下列方程组：
（1）⎩⎨⎧=-=+7283y x y x
（2）⎩⎨⎧=-=-4
23825b a b a
①② ①②
（3）⎩⎨⎧=+-=-102322n m n m （4）⎩⎨⎧-==+3252y x y x
第三课时小测 二元一次方程组的解法
班别:初一( )班 学号: 姓名:
1、解方程组
把①代②，得：
（A ）2x+3x-3=6 ; （B ）2x+3(x-3)=6 ; （C ）2x+x-3=6 （D ）2y+3y=6
2、用加减法解方程组 ⎩⎨⎧-=+=+2327
52y x y x 时，①－②得（ ）
A 、2y ＝5
B 、－8y ＝5
C 、2y ＝9
D 、－8y ＝9 3、解方程组⎩
⎨⎧=--=+125318
53y x y x 时，①+②得（ ），①-② 得（ ） （A ）306-=x （B ）66-=x （C ）3010-=y （D ）610-=y
4、解下列方程组：
（1） ⎩⎨
⎧+==x y x y 83 （2）⎩⎨⎧=-=+3252y x y x
①②①② 6
323=+-=y x x y
（3）⎩⎨⎧-=-=+12352y x y x （4） ⎩⎨⎧-==+3252y x y x
B 组题
1、解下列方程组⎩⎨⎧=-=-+20430
973y x y x
2、若243y x b a +与b a xy --254
是同类项，求a ，b 的值.
环节七：
小结：1、解二元一次方程组的过程：
2、二元一次方程组可用加、减法消元法解的特点是：同一个未知数的系数相同时，用法消元；
同一个未知数的系数互为相反数时，用法消元；。