新人教A必修1数学教学课件：函数的奇偶性5
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高一数学人教A版必修1课件1321函数的奇偶性
总结：(1)偶函数 一般地，如果对于函数 f(x)的定义域内 每 一个 x，都有 f(－x)＝f(x) ，那么函数 f(x)就叫做偶函数． (2)奇函数 一般地，如果对于函数 f(x)的定义域内 每 一个 x，都有 f(－x)＝－f(x) ，那么函数 f(x)就叫做奇函数．
【归纳提升】 (1)奇偶函数的定义域关于原点对称，如 果函数的定义域不关于原点对称，则此函数既不是奇函数也 不是偶函数．
(6)显然函数 f(x)的定义域关于原点对称． 当 x>0 时，－x<0，f(－x)＝x2－x＝－(x－x2)＝－f(x)， 当 x<0 时，－x>0，f(－x)＝－x－x2＝－(x2＋x)＝－f(x)， ∴f(－x)＝－f(x)， ∴函数 f(x)为奇函数.
2 利用函数的奇偶性求解析式
学法指导：利用函数奇偶性求函数解析式 利用函数奇偶性求函数解析式的关键是利用奇偶函数的 关系式 f(－x)＝－f(x)或 f(－x)＝f(x)成立，但要注意求给定哪 个区间的解析式就设这个区间上的变量为 x，然后把 x 转化 为－x(另一个已知区间上的解析式中的变量)，通过适当推导， 求得所求区间上的解析式．
[例 2] 已知函数 y＝f(x)的图象关于原点对称，且当 x＞0 时，f(x)＝x2－2x＋3.试求 f(x)在 R 上的表达式，并画出它的图 象，根据图象写出它的单调区间．
[分析] 由函数图象关于原点对称可知 y＝f(x)是奇函 数．利用奇函数性质可求得解析式．
[解析] ∵函数 f(x)的图象关于原点对称． ∴f(x)为奇函数，则 f(0)＝0， 设 x＜0，则－x＞0，∵x>0 时，f(x)＝x2－2x＋3， ∴f(x)＝－f(－x)＝－(x2＋2x＋3)＝－x2－2x－3 于是有：
高中数学人教A版 必修1《3.2.2函数的奇偶性》课件（16张PPT）
一看
二找
三判断
看定义域 是否关于 原点对称
找 f x与
f x的
下结
关系
论
函数奇偶性的判断
变式训练1 判断下列函数的奇偶性：——定义法
（1）f x 4 x2 （2）f x x2x 1
x 1
（3）f x 0
按照奇偶性将函数分类为：
①奇函数 ②偶函数 ③非奇非偶函数 ④既奇又偶函数
函数奇偶性的判断 ——图象直观感知
利用奇、偶函数的和、差、积、商的奇偶性，以 及复合函数的奇偶性判断.
f x
偶
偶
奇
奇
gx
偶
奇
奇
偶
f x gx
f x gx
f x gx
f g(x)
研究题 借助几何画板绘制大量函数图象并归纳函数的单调
性与函数的奇偶性的关系。来自f(-x)=f(x)f(-x)=-f(x)
不同点
图象关于y轴对称 图象关于原点对称
补充：奇偶性是函数在其定义域上的整体性质
函数奇偶性的判断
例6 判断下列函数的奇偶性： ——定义法
（1）f x x4
偶函数 （2） f x x5 奇函数
（3）f x x 1
x
奇函数
（4）
f
x
1 x2
偶函数
归纳： 根据定义判断函数的奇偶性的步骤：
f x x2
…
9
4
1
0
14
…
9
gx 2 | x | … -1
0
1
2
1
0
…
-1
f 3 9 f 3 f 2 4 f 2 f 1 1 f 1
几何画板
当自变量取一对相反数时， 相应的两个函数值相等
最新人教A版高中数学必修一课件：5.4.2 第一课时 正弦函数、余弦函数的周期性与奇偶性
(3)由11－＋ssiinn
x＞0， x＞0，
得－1＜sin x＜1，
解得定义域为xx∈R
且x≠kπ＋π2
，k∈Z ，
∴f(x)的定义域关于原点对称．
又∵f(x)＝lg(1－sin x)－lg(1＋sin x)，
∴f(－x)＝lg[1－sin(－x)]－lg[1＋sin(－x)]
＝lg(1＋sin x)－lg(1－sin x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．
(二)基本知能小试 1．判断正误
(1)若 sin23π＋π6＝sinπ6，则23π是函数 y＝sin x 的一个周期． (2)所有的周期函数都有最小正周期． (3)函数 y＝ sin x是奇函数．
答案：(1)× (2)× (3)×
() () ()
2．函数 y＝2cos2x＋π2是 A．周期为 π 的奇函数 C．周期为 2π 的奇函数
二、应用性——强调学以致用
2．[好题共享——选自人教B版新教材]若弹簧振子相对平衡位置的位移x(单位： cm)与时间t(单位：s)之间的函数关系如图所示．
(1)求该函数的周期；
A．－12
1 B.2
C．－
3 2
3 D. 2
()
[解析] (1)y＝cos|2x|是偶函数，y＝|sin 2x|是偶函数，y＝sinπ2＋2x＝cos 2x 是偶函数，y＝cos32π－2x＝－sin 2x 是奇函数，根据公式得其最小正周期 T＝π.
(2)f53π＝f53π－π＝f23π
＝f23π－π＝f－π3＝fπ3＝sinπ3＝
由图象可知 T＝π.
[方法技巧] 求三角函数最小正周期的常用方法
(1)公式法：将函数化为 y＝Asin(ωx＋φ)＋B 或 y＝Acos(ωx＋φ)＋B 的形式， 再利用 T＝|2ωπ|求得．
3.2.2函数的奇偶性【新教材】人教A版高中数学必修第一册课件
y
f(x)
O
x
y
g(x)
O
x
3.2.2函数的奇偶性【新教材】人教A 版（） 高中数 学必修 第一册 课件
第16页，共22页。
3.2.2函数的奇偶性【新教材】人教A 版（） 高中数 学必修 第一册 课件
例6、判断下列函数的奇偶性：
(1) f ( x) x4
(2) f ( x) x5
1
1
(3) f ( x) x x
(4)
y f(x)=5
x
(5)
3.2.2函数的奇偶性【新教材】人教A 版（） 高中数 学必修 第一册 课件
(6)
(7)
(8)
第15页，共22页。
y f(x)=0 x
(9)
3.2.2函数的奇偶性【新教材】人教A 版（） 高中数 学必修 第一册 课件
P85 1.已知f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，试将下图补充完整.
4
3 2
g(x) 1 x
1
12 345
函数
g(x) 1 x
的定义域为{x|x≠0},
o
x
–1
–2
–3
它关于原点对称,
–4
–5
且 g(x) 1 1 g(x)
即
g
(
x)
1
xx
是奇函数.
x
3.2.2函数的奇偶性【新教材】人教A 版（） 高中数 学必修 第一册 课件
第12页，共22页。
3.2.2函数的奇偶性【新教材】人教A 版（） 高中数 学必修 第一册 课件
y
4
3
f (x) x
2
–3 –2 –1
1 123
o
2023新教材高中数学正余弦函数的周期性奇偶性课件新人教A版必修第一册
12．求下列函数的周期： (1)y＝2sin12x＋π6，x∈R； (2)y＝1－2cosπ2x，x∈R； (3)y＝|sinx|，x∈R.
解 (1)∵2sin12x＋4π＋π6＝2sin12x＋6π＋2π＝2sin12x＋π6，∴自变量 x 只需并且至少要增加到 x＋4π，
函数 y＝2sin12x＋π6，x∈R 的值才能重复出现，
知周期 T＝π2；选项 C，周期 T＝21π＝8π；选项 D，周期 T＝24π＝2π.故选 BD. 4
9．f(x)＝cosωx－π6 的最小正周期为π5，其中 ω>0，则 ω＝________.
答案 10 解析 ∵T＝2ωπ＝π5，∴ω＝10.
10．已知函数 f(x)的定义域为 R，最小正周期是32π，当 x∈－π2，π时，
答案 A
解析 分别作出函数 y＝|cosx|与 y＝sin|x|的图象，观察可得，y＝|cosx| 是周期函数，y＝sin|x|不是周期函数．故选 A.
8．(多选)下列函数中，周期为π2的是(
)
A．y＝sin2x B．y＝|sin2x|
C．y＝cos4x D．y＝cos4x
答案 BD
解析 选项 A，周期 T＝21π＝4π；选项 B，作出函数 y＝|sin2x|的图象易 2
解析 根据周期函数的定义，任意非零有理数都是 f(x)的周期．
2．(多选)下列是定义在 R 上的四个函数图象的一部分，其中是周期函 数的是( )
答案 ABC
解析 显然 D 中函数图象不是经过相同单位长度，图象重复出现．而 A， C 中每经过一个单位长度，图象重复出现．B 中图象每经过 2 个单位长度， 图象重复出现．所以 A，B，C 中函数是周期函数，D 中函数不是周期函数．故 选 ABC.
3.2.2函数的奇偶性-高一数学课件(人教A版必修第一册)
且对任意的x∈[-7,-5],-x∈[5,7],由题意可得6= f(5) ≤ f(-x) ≤ f(7)
则6= f(-5) ≤ f(x) ≤ f(7)
因此，f(x) 在[-7,-5]上是减函数，最小值是6
方法小结
• 偶函数 y 轴两侧的函数单调性相反；
• 奇函数原点两侧的函数单调性相同；
题型三 利用奇偶性和单调性比较大小
则f(x)在[-7,-5]上是( C )
A.增函数，最大值是6
B.增函数，最小值是6
C.减函数，最小值是6
D.减函数，最大值是6
解析：任取x1、x2∈[-7,-5]且 x1<x2，即-7≤ x1< x2≤-5，则5≤-x2<-x1≤7，
由题意可得 f(-x2) < f(-x1)，由偶函数的性质可得 f(x1) > f(x2)，
题型二 奇偶性的应用
例2 已知函数 f(x)=x5-ax3+bx+2，f(-5)=17，则f(5)的
-13
值是________
解析：∵g(x)=x5-ax3+bx是奇函数,
∴g(-x)=-g(x),
∵f(-5)=17=g(-5)+2,
∴g(5)=-15,
∴f(5)=g(5)+2=-15+2=-13
x(x-1)
当x>0时，f(x)=________
解析：当x>0时，-x<0，
所以f(-x)=-x(-x+1)=x(x-1)，
因为f(x)是偶函数，
所以当x>0时，f(x)=f(-x)=x(x-1)
题型一 利用函数奇偶性求解析式
例1(2) 已知f(x),g(x)分别是R上的奇函数和偶函数，
则6= f(-5) ≤ f(x) ≤ f(7)
因此，f(x) 在[-7,-5]上是减函数，最小值是6
方法小结
• 偶函数 y 轴两侧的函数单调性相反；
• 奇函数原点两侧的函数单调性相同；
题型三 利用奇偶性和单调性比较大小
则f(x)在[-7,-5]上是( C )
A.增函数，最大值是6
B.增函数，最小值是6
C.减函数，最小值是6
D.减函数，最大值是6
解析：任取x1、x2∈[-7,-5]且 x1<x2，即-7≤ x1< x2≤-5，则5≤-x2<-x1≤7，
由题意可得 f(-x2) < f(-x1)，由偶函数的性质可得 f(x1) > f(x2)，
题型二 奇偶性的应用
例2 已知函数 f(x)=x5-ax3+bx+2，f(-5)=17，则f(5)的
-13
值是________
解析：∵g(x)=x5-ax3+bx是奇函数,
∴g(-x)=-g(x),
∵f(-5)=17=g(-5)+2,
∴g(5)=-15,
∴f(5)=g(5)+2=-15+2=-13
x(x-1)
当x>0时，f(x)=________
解析：当x>0时，-x<0，
所以f(-x)=-x(-x+1)=x(x-1)，
因为f(x)是偶函数，
所以当x>0时，f(x)=f(-x)=x(x-1)
题型一 利用函数奇偶性求解析式
例1(2) 已知f(x),g(x)分别是R上的奇函数和偶函数，
新人教版高一年级数学必修1.3.2《函数的奇偶性》教学课件
例5、判断下列函数的奇偶性：
(1) f ( x) x4
(3) f (x) x 1 x
解： (1) f(x)的定义域为R
∵ 对定义域内的每一个x，都有
f (x) (x)4 x4 f (x)
∴f(x)为偶函数 (3) f(x)的定义域为{x|x≠0}
∵ 对定义域内的每一个x，都有
f (x) (x) 1 (x 1) f (x)
(3) f (x) x 1
(4) f (x) x
(5) f (x) 5
(6) f (x) 0
函数f(x)=0 (定义域关于原点对称) 既是奇函数 又是偶函数.
本课小结:
1. 偶函数、奇函数的定义； 2. 偶函数、奇函数图象的对称性； 3. 判断函数奇偶性的方法.
作业:
教材 P36练习第1题
函数定义域关于原点对称.
-b
-a o a
bx
具有奇偶性的函 数，其定义域在数轴
上有怎样的特点？
当堂训练2：
1.如图是奇函数f(x)图像的一部分，你能画出它 在y 轴左边的图像吗？
当堂训练2：
2. 已知函数y=f(x)是偶函数，它在y轴右边的 图象如图，画出y=f(x)在 y轴左边的图象.
y
o
x
自学 P 例5，时间4分钟， 35 总结定义法判断函数奇偶性的步骤.
检查自学效果（一）：
1. 偶函数的概念
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x, 都有f(-x)=f(x),那么函数f(x)就叫做偶函数.
图像特征: 关于y轴对称.
f(x)=x2
f(x)=2-|x|
检查自学效果（二）：
2.奇函数的概念
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x, 都有f(-x)=-f(x),那么函数f(x)就叫做奇函数.
高中数学人教A版必修1《函数的奇偶性》PPT
自主质疑
问题1：我们在初中学习了轴对称图形和中心对称
图形，你能说出什么叫轴对称(中心对称)图形吗？
一个 图形
绕沿一 一个 条直点线旋翻转折118800oo与原图形重合
轴对称图形 中心对称图形
自主质疑
问题2：在同学们熟悉的函数中, 有没有哪些函数
的图象是轴对称图形或中心对称图形？请你举例 说明？
y ox
我们把具有上述特征的函数叫做偶函数，那么怎 样定义偶函数？
什么是偶函数？
如果对于函数f(x)定义域内的任意一个x， 都有f(-x)=f(x)成立，则称函数f(x)为偶函 数.（代数定义）
偶函数的图象是关于y轴对称的轴称图 形.（几何特征）
合作探究（二）
考察下列两个函数和它们的图象：
(1) f (x) = x ;
y
y=1
x
o
x
y = ax2 bx c 图（1）
图（2）
自主质疑
问题3：我们从函数图象的升降变化引发了函数的
单调性，从函数图象的最高点最低点引发了函数 的最值，如果从函数图象的对称性出发又能获得 函数的什么性质呢？
合作探究（一）
考察下列两个函数和它们的图象：
(1) f (x) = x2 ;
yo
的定义域关于原点对称
y
4
1
-1 0 2
x
典例巩固
例1、判断下列函数的奇偶性
(1) f (x) = x 1 ；(2) f (x) = x4 - x2 ； x
(3) f (x) = x2 x；(4) f (x) = 0
例2、已知f(x)=x3-4x的一部分图像如图1，你能
根据函数的性质画出它们在y轴左侧的图像吗？
(1) f (x) = x2 ; x y o x x
问题1：我们在初中学习了轴对称图形和中心对称
图形，你能说出什么叫轴对称(中心对称)图形吗？
一个 图形
绕沿一 一个 条直点线旋翻转折118800oo与原图形重合
轴对称图形 中心对称图形
自主质疑
问题2：在同学们熟悉的函数中, 有没有哪些函数
的图象是轴对称图形或中心对称图形？请你举例 说明？
y ox
我们把具有上述特征的函数叫做偶函数，那么怎 样定义偶函数？
什么是偶函数？
如果对于函数f(x)定义域内的任意一个x， 都有f(-x)=f(x)成立，则称函数f(x)为偶函 数.（代数定义）
偶函数的图象是关于y轴对称的轴称图 形.（几何特征）
合作探究（二）
考察下列两个函数和它们的图象：
(1) f (x) = x ;
y
y=1
x
o
x
y = ax2 bx c 图（1）
图（2）
自主质疑
问题3：我们从函数图象的升降变化引发了函数的
单调性，从函数图象的最高点最低点引发了函数 的最值，如果从函数图象的对称性出发又能获得 函数的什么性质呢？
合作探究（一）
考察下列两个函数和它们的图象：
(1) f (x) = x2 ;
yo
的定义域关于原点对称
y
4
1
-1 0 2
x
典例巩固
例1、判断下列函数的奇偶性
(1) f (x) = x 1 ；(2) f (x) = x4 - x2 ； x
(3) f (x) = x2 x；(4) f (x) = 0
例2、已知f(x)=x3-4x的一部分图像如图1，你能
根据函数的性质画出它们在y轴左侧的图像吗？
(1) f (x) = x2 ; x y o x x
人教A版必修1高一上学期数学函数的奇偶性课件
是偶函数
注意：如果奇函数在原点有意义，一定有f(0)=0
本课小结
两个定义：对于f(x)定义域内的任意一个x,
f(-x)=-f(x) f(x)为奇函数 图象关于原点对称
f(-x)=f(x)
f(x)为偶函数 图象关于y轴对称
这些图 像表示 奇函数 图像的 是：
y3
1 -3 -1
0 1 3x
-1
(1) f(x)=x-
1 x
解：定义域为﹛x|x≠0﹜
(2) f(x)= - x2 +1 解：定义域为R
∵f(-x)=(-x) -
1
-x
= -x+ 1
x
= - f(x)
∴f(x)为奇函数
∵f(-x)= -(-x)2+1 = - x2+1 = f(x)
∴f(x)为偶函数
判断函数的奇偶性的步骤： (1) 先求定义域，看是否关于原点对称 (2) 再判断f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是否恒成立
实际上，对于R内任意的一个x,都有 f(-x)=(-x)2=x2=f(x),这时我们称函数y=x2为偶函数.
1．偶函数
一般地，对于函数f(x)的定义域内任意一个x， 都有f(-x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数．
(或是f(x)-f(-x)=0)
y
(-x,f(-x))
(x,f(x))
-x 0 x x
判断函数f (x)
x2 2x 2, x 0
x2 2x 2, x0
的奇偶性
(3). f(x)=5
解: f(x)的定义域为R ∵ f(-x)=f(x)=5 ∴f(x)为偶函数 y
5
(4). f(x)=0
解: 定义域为R
注意：如果奇函数在原点有意义，一定有f(0)=0
本课小结
两个定义：对于f(x)定义域内的任意一个x,
f(-x)=-f(x) f(x)为奇函数 图象关于原点对称
f(-x)=f(x)
f(x)为偶函数 图象关于y轴对称
这些图 像表示 奇函数 图像的 是：
y3
1 -3 -1
0 1 3x
-1
(1) f(x)=x-
1 x
解：定义域为﹛x|x≠0﹜
(2) f(x)= - x2 +1 解：定义域为R
∵f(-x)=(-x) -
1
-x
= -x+ 1
x
= - f(x)
∴f(x)为奇函数
∵f(-x)= -(-x)2+1 = - x2+1 = f(x)
∴f(x)为偶函数
判断函数的奇偶性的步骤： (1) 先求定义域，看是否关于原点对称 (2) 再判断f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是否恒成立
实际上，对于R内任意的一个x,都有 f(-x)=(-x)2=x2=f(x),这时我们称函数y=x2为偶函数.
1．偶函数
一般地，对于函数f(x)的定义域内任意一个x， 都有f(-x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数．
(或是f(x)-f(-x)=0)
y
(-x,f(-x))
(x,f(x))
-x 0 x x
判断函数f (x)
x2 2x 2, x 0
x2 2x 2, x0
的奇偶性
(3). f(x)=5
解: f(x)的定义域为R ∵ f(-x)=f(x)=5 ∴f(x)为偶函数 y
5
(4). f(x)=0
解: 定义域为R
函数的奇偶性(数学教学课件)课件
附录
奇函数举例
偶函数举例
数学符号标记
一些常见的奇函数示例及其图像。 一些常见的偶函数示例及其图像。 一些相关的数学符号和标记。
函数的奇偶性(数学教学 课件)ppt课件
本次课程将深入讲解函数的奇偶性概念及其应用。通过丰富的实例和图像， 我们将带您领略数学中的奥秘。
奇偶函数的定义
定义式
奇函数的定义和性质以及其与偶函数的关系。
函数图像
奇函数和偶函数的图像有什么特点，如何自行对称。
奇偶函数的性质
1
合成
如何通过奇函数和偶函数的合成得到一个新的函数。
奇阳偶阴
如何快速判断一个函数在正数和负数轴上的取值。
经典例题
1
解析式判断
看到一个函数的解析式，如何快速判断其是奇函数还是偶函数。
2
化简函数
如何通过奇偶性来化简给定函数。
总结
定义和性质
奇偶函数的基本概念和数学 性质。
判断方法
如何快速、有效地判断一个 函数的奇偶性。
应用场景
奇偶函数在数学和工数，偶数次幂的函数是偶函数。
3
积分
在奇函数或偶函数的范围内进行积分，得到什么样的结果。
如何判断函数的奇偶性
函数公式
如何看出一个函数的公式是奇函数还是偶函数。
图像判断
如何通过图像的对称性判断一个函数的奇偶性。
奇偶函数的应用
加减乘
如何通过奇函数和偶函数的性质来化简函数的加减 和乘积。
函数的奇偶性(课件)高一数学(人教A版2019必修第一册)
答案：(1) 偶 ;
(2) 奇 ;
(5) 非奇非偶 ;
(3) 奇 ;
(4) 偶.3 函数的奇偶性
思维篇
知识篇
素养篇
1.已知f(x)=ax3-bx+4(a,b∈R), f(m)=5, 则
f(-m)=
.
解：令g(x)=ax2-bx，易知
g(-x)=-g(x)
又 g(m)= f(m)-4=1,
x
例如，函数 f(x)=x3就是奇函数.
练一练
1.奇函数f(x)的定义域是(2t-3, t)，则t=
答案：t = 1
.
练一练
2.判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)=x4;
(2)f(x)=x5;
1
(3)f(x)=x+ ;
1
(4)f(x)= 2;
(5)f(x)=x-1;
(6)f(x)=x2 , x∈[-3, 7].
所以 f(-x)=(-x-5)2-4=(x+5)2-4=f(x)
当x>1时，-x<-1, 由
所以f(-x)=(-x+5)2-4=(x-5)2-4=f(x)
从而对于定义域内任意x，都有f(-x)=f(x) ；
故函数是偶函数.
6.判断下列函数的奇偶性：
( + 5)2 − 4 , ( < −1)
(1) f(x)=
( − 5)2 − 4 , ( > 1)
(2) f(x)= + − − (a∈R)
分
类
讨
论
解：(2)定义域为R，
当a≠0时，f(-x)=-f(x)
函数f(x)= + − − 是奇函数；
函数的奇偶性-高一数学教材配套教学课件(人教A版必修第一册)
(3) f (x)在[2,4]上单调递减, f (x)min f (4), f (x)max f (2). 令x y 1得f (2) 2 f (1) 4;令x y 2得f (4) 2 f (2) 2 f (2) 8.
f (x)在[2,4]上的最大值为4,最小值为 8.
6.抽象函数的求值、奇偶性、单调性
x2 2x 3, x 0 f (x)的解析式为f (x) 0, x 0
x2 2x 3, x 0
6.抽象函数的求值、奇偶性、单调性
[例5]若f (x)是定义在R上的函数,且x, y R, f (xy) f (x) f ( y).
(1)求f (1)和f (1)的值.
∀x, y∈R, f(x)+f(y)=f(x+y)
一看定义域
不关于原点对称
关于原点对称
非奇非偶函数
二看关系式or图象
f(x)=f(﹣x)
﹣f(x)=f(﹣x)
图象关于y轴对称 图象关于原点对称
偶函数 既奇又偶函数 奇函数
f (x) 0, x D(D关于原点对称)
3.由奇偶性求参数
[例2]若f (x) (x a)( x 4)为偶函数,则实数a __4__.
备注
定义
图象特点 等价条件
设f(x)的定义域为I
∀x∈I , 都有-x∈I，都有f (-x)=f (x) 则函数f(x)叫做偶函数
关于y轴对称 f(x)－f(-x)=0
∀x∈I , 都有-x∈I，都有f (-x)= - f (x) 则函数f(x)叫做奇函数
关于原点对称
f(x)＋f(-x)=0
①具有奇偶性的函数的定义域关于原点对称
x2
(4) f (x) 0 解 : x R,x R,且f (x) 0 f (x), f (x) 0 f (x) f (x) 0, x [2,2] f (x)是既奇又偶函数.
f (x)在[2,4]上的最大值为4,最小值为 8.
6.抽象函数的求值、奇偶性、单调性
x2 2x 3, x 0 f (x)的解析式为f (x) 0, x 0
x2 2x 3, x 0
6.抽象函数的求值、奇偶性、单调性
[例5]若f (x)是定义在R上的函数,且x, y R, f (xy) f (x) f ( y).
(1)求f (1)和f (1)的值.
∀x, y∈R, f(x)+f(y)=f(x+y)
一看定义域
不关于原点对称
关于原点对称
非奇非偶函数
二看关系式or图象
f(x)=f(﹣x)
﹣f(x)=f(﹣x)
图象关于y轴对称 图象关于原点对称
偶函数 既奇又偶函数 奇函数
f (x) 0, x D(D关于原点对称)
3.由奇偶性求参数
[例2]若f (x) (x a)( x 4)为偶函数,则实数a __4__.
备注
定义
图象特点 等价条件
设f(x)的定义域为I
∀x∈I , 都有-x∈I，都有f (-x)=f (x) 则函数f(x)叫做偶函数
关于y轴对称 f(x)－f(-x)=0
∀x∈I , 都有-x∈I，都有f (-x)= - f (x) 则函数f(x)叫做奇函数
关于原点对称
f(x)＋f(-x)=0
①具有奇偶性的函数的定义域关于原点对称
x2
(4) f (x) 0 解 : x R,x R,且f (x) 0 f (x), f (x) 0 f (x) f (x) 0, x [2,2] f (x)是既奇又偶函数.
高中数学人教A版 必修第一册 奇偶性 课件
练一练
2.设函数 f (x) x2 (a 1)x a 为奇函数，则实数 a ( ) x
√A.-1
B.1
C.0
D.-2
根据题意，函数 f (x) x2 (a 1)x a 为奇函数，则有 f (x) f (x) 0 ，即 x
x2 (a 1)x a x2 (a 1)x a 0 ，变形可得 (a 1)x 0 ，则有 a 1.故选 A.
练一练
1
4. f (x) 是定义在 R 上的奇函数，当 x 0 时， f (x) x3 1 ，则 f (8) ( )
√A.-1
B.0
C.1
D.2
本题考查根据函数的奇偶性求值.因为 f (x) 是定义在 R 上的奇函数，所以
f
(8)
f
(8)
1 83
1
1 .故选
A.
1.偶函数的定义 2.奇函数的定义
x
1 x
x
1 x
f
(x)
，
所以，函数 f (x) x 1 为奇函数.
x
(4)函数
f
(x)
1 x2
的定义域为 {x∣x
0} .因为 x {x∣x
0} ，
都有 x {x∣x
0} ，且
f (x)
1 (x)2
1 x2
f
(x) ，
所以，函数 f (x) 1 为偶函数.
x2
练一练
1.设函数 f (x) 的定义域为 R，且 f (x 2) 为偶函数， f (2x 1) 为奇函数，则( )
x
3
g(2) 1 g(2), g(1) 1 g(1). 2
实际上， xR 且 x 0 ，都有 g(x) 1 g(x) .
奇偶性课件2023-2024学年高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
练2：判断下列函数是否为奇函数？（口答）
(1) f ( x) x , x [1,1]
是
1
(2) f ( x) , x [1,0) (0,1)
x
不是
3
(3) f ( x) x 1, x [2,1) (1,2]
不是
强化定义，深化内涵
（1）如果一个函数f(x)是奇函数或偶函数,那么我们就
观察下列两个函数：
f ( x ) 2 | x |
f ( x) x 2
y
y
o
x
o
x
... -3
-2
-1
0
1
2
3
...
f(x)=x2
...
9
4
1
0
1
4
9
..0
1
2
1
0
-1
...
x
f(-x)= f(x)
二、构建概念、突破难点
一般地，若函数y=f(x)的图象关于y轴对
说函数f(x)具有奇偶性.奇偶性是函数的“整体性质”，
用于研究函数图像在定义域上的对称性.
（2）偶函数的图像关于y轴对称，奇函数关于原点对称.
（3）奇、偶函数定义域关于原点对称.
（4）对于奇函数f(x),若f(0)有意义，则f(0)=0;
f(-x)=-f(x）
对于偶函数f(x),必有f(x)=f(-x）.
关于y轴对称
二、构建概念、突破难点
观察下列两个函数：
(2) f ( x) 2 | x |
2
f
(
x
)
x
(1)
y
y
o
x
人教A版高中数学必修第一册第5章5-4-2第1课时周期性与奇偶性课件
1234
3．你能归纳一下正弦函数与余弦函数的奇偶性和对称性吗？ [提示] 正弦函数为奇函数，其图象关于原点对称；余弦函数为偶 函数，其图象关于y轴对称． 正弦曲线、余弦曲线既是中心对称图形又是轴对称图形．
√
√
[跟进训练] 3．(1)设函数f (x)(x∈R)满足f (－x)＝f (x)，f (x＋2)＝f (x)，则函数y ＝f (x)的图象是( )
A
√B
C
D
B 由f (－x)＝f (x)，则f (x)是偶函数，图象关于y轴对称． 由f (x＋2)＝f (x)，则f (x)的周期为2．故选B．
【例1】 求下列函数的周期： (2)f (x)＝|sin x|． [解] 法一(定义法)：∵f (x)＝|sin x|， ∴f (x＋π)＝|sin (x＋π)|＝|sin x|＝f (x)， ∴f (x)的最小正周期为π． 法二(图象法)： 作出函数y＝|sin x|的图象如图所示． 由图象可知T＝π．
第五章 三角函数
5.4 三角函数的图象与性质 5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质
第1课时 周期性与奇偶性
学 1．理解周期函数的概念，能熟练地求出简单三角函数的周 习 期．(数学抽象、逻辑推理) 任 2．会根据之前所学结合函数的图象研究三角函数的奇偶性，能 务 正确判断一些三角函数的变式的奇偶性．(直观想象)
1．求下列函数的最小正周期： (3)y＝|cos x|，x∈R． [解] y＝|cos x|的图象如图(实线部分)所示．
由图象可知，y＝|cos x|的周期为π．
反思领悟 1．判断函数奇偶性应把握好的两个方面： 一看函数的定义域是否关于原点对称． 二看f (x)与f (－x)的关系． 2．对于三角函数奇偶性的判断，有时可根据诱导公式先将函数式 化简后再判断． 提醒：研究函数性质应遵循“定义域优先”的原则．
3．你能归纳一下正弦函数与余弦函数的奇偶性和对称性吗？ [提示] 正弦函数为奇函数，其图象关于原点对称；余弦函数为偶 函数，其图象关于y轴对称． 正弦曲线、余弦曲线既是中心对称图形又是轴对称图形．
√
√
[跟进训练] 3．(1)设函数f (x)(x∈R)满足f (－x)＝f (x)，f (x＋2)＝f (x)，则函数y ＝f (x)的图象是( )
A
√B
C
D
B 由f (－x)＝f (x)，则f (x)是偶函数，图象关于y轴对称． 由f (x＋2)＝f (x)，则f (x)的周期为2．故选B．
【例1】 求下列函数的周期： (2)f (x)＝|sin x|． [解] 法一(定义法)：∵f (x)＝|sin x|， ∴f (x＋π)＝|sin (x＋π)|＝|sin x|＝f (x)， ∴f (x)的最小正周期为π． 法二(图象法)： 作出函数y＝|sin x|的图象如图所示． 由图象可知T＝π．
第五章 三角函数
5.4 三角函数的图象与性质 5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质
第1课时 周期性与奇偶性
学 1．理解周期函数的概念，能熟练地求出简单三角函数的周 习 期．(数学抽象、逻辑推理) 任 2．会根据之前所学结合函数的图象研究三角函数的奇偶性，能 务 正确判断一些三角函数的变式的奇偶性．(直观想象)
1．求下列函数的最小正周期： (3)y＝|cos x|，x∈R． [解] y＝|cos x|的图象如图(实线部分)所示．
由图象可知，y＝|cos x|的周期为π．
反思领悟 1．判断函数奇偶性应把握好的两个方面： 一看函数的定义域是否关于原点对称． 二看f (x)与f (－x)的关系． 2．对于三角函数奇偶性的判断，有时可根据诱导公式先将函数式 化简后再判断． 提醒：研究函数性质应遵循“定义域优先”的原则．
函数的奇偶性(数学教学课件)课件
例如
$f(x)=x^3$，满足$f(-x)=-x^3=f(x)$，是奇函数。
偶函数实例
偶函数
如果对于函数$f(x)$的定义域内任意 一个$x$，都有$f(-x)=f(x)$，则称 $f(x)$为偶函数。
例如
$f(x)=x^2$，满足$f(-x)=(x)^2=x^2=f(x)$，是偶函数。
THANKS
函数的奇偶性
目录
• 奇偶性定义 • 奇偶性判断 • 奇偶性性质 • 奇偶性应用 • 奇偶性实例
01
奇偶性定义
Chapter
奇函数
定义
如果对于函数$f(x)$的定义域内任意一个$x$，都有 $f(-x)=-f(x)$，则称$f(x)$为奇函数。
性质
奇函数的图像关于原点对称。
实例
$f(x)=x^3$，$f(-x)=-(-x)^3=-x^3=-f(x)$，满足奇 函数的定义。
偶函数
定义
如果对于函数$f(x)$的定义 域内任意一个$x$，都有$f(x)=f(x)$，则称$f(x)$为偶函 数。
性质
偶函数的图像关于y轴对称。
实例
$f(x)=x^2$，$f(-x)=(x)^2=x^2=f(x)$，满足偶函 数的定义。
02
奇偶性判断
Chapter
奇函数判断
1 2 3
奇函数定义
如果对于函数$f(x)$的定义域内任意一个$x$， 都有$f(-x)=-f(x)$，则称$f(x)$为奇函数。
奇函数性质
奇函数的图像关于原点对称，即如果$f(x)$是奇 函数，那么其图像在$x$轴上方的部分与下方的 部分关于原点对称。
奇函数举例
例如，函数$f(x)=x^3$和$f(x)=sin(x)$都是奇函 数。
$f(x)=x^3$，满足$f(-x)=-x^3=f(x)$，是奇函数。
偶函数实例
偶函数
如果对于函数$f(x)$的定义域内任意 一个$x$，都有$f(-x)=f(x)$，则称 $f(x)$为偶函数。
例如
$f(x)=x^2$，满足$f(-x)=(x)^2=x^2=f(x)$，是偶函数。
THANKS
函数的奇偶性
目录
• 奇偶性定义 • 奇偶性判断 • 奇偶性性质 • 奇偶性应用 • 奇偶性实例
01
奇偶性定义
Chapter
奇函数
定义
如果对于函数$f(x)$的定义域内任意一个$x$，都有 $f(-x)=-f(x)$，则称$f(x)$为奇函数。
性质
奇函数的图像关于原点对称。
实例
$f(x)=x^3$，$f(-x)=-(-x)^3=-x^3=-f(x)$，满足奇 函数的定义。
偶函数
定义
如果对于函数$f(x)$的定义 域内任意一个$x$，都有$f(x)=f(x)$，则称$f(x)$为偶函 数。
性质
偶函数的图像关于y轴对称。
实例
$f(x)=x^2$，$f(-x)=(x)^2=x^2=f(x)$，满足偶函 数的定义。
02
奇偶性判断
Chapter
奇函数判断
1 2 3
奇函数定义
如果对于函数$f(x)$的定义域内任意一个$x$， 都有$f(-x)=-f(x)$，则称$f(x)$为奇函数。
奇函数性质
奇函数的图像关于原点对称，即如果$f(x)$是奇 函数，那么其图像在$x$轴上方的部分与下方的 部分关于原点对称。
奇函数举例
例如，函数$f(x)=x^3$和$f(x)=sin(x)$都是奇函 数。
人教A版高中数学必修第一册函数的基本性质——奇偶性课件
1.偶函数的定义域关于 原点 对称；
2.偶函数的表达式满足： f x f x ．
人教A版高中数学必修第一册函数的基 本性质 ——奇 偶性课 件
人教A版高中数学必修第一册函数的基 本性质 ——奇 偶性课 件
例题讲解 例 1.在你所了解的函数中，举一个函数是偶函数的例子，并说明理由.
解：如 f x 3x2 1. 1. f x 3x2 1的定义域为 R. 2. f x 3x2 1 3x2 1 f x . 所以 f x 3x2 1为偶函数.
答案：函数 f x 的图象关于原点中心对称，则其函数的表达式满足： f x f x．
人教A版高中数学必修第一册函数的基 本性质 ——奇 偶性课 件
人教A版高中数学必修第一册函数的基 本性质 ——奇 偶性课 件
学习新知——奇函数
奇函数：一般地，设函数 f x 的定义域为 I，如果 xI ，都有 x I ，且 f x f x ，那么函数 f x 就叫做奇函数（odd function）．
问题：既为奇函数，也为偶函数的函数有多少个? 答案：无数个.
人教A版（ 高2中01数9）学高必中修数第学一必册修函第数一的册基 函本数性的质 基—本—性奇 质偶第性课3 课件时— —奇偶 性课件 （共12 张ppt）
人教A版（ 高2中01数9）学高必中修数第学一必册修函第数一的册基 函本数性的质 基—本—性奇 质偶第性课3 课件时— —奇偶 性课件 （共12 张ppt）
课堂小结Βιβλιοθήκη 函数的奇偶性与判断方法奇偶性是函数在它的定义域上的整体性质，所以判断函数的奇偶 性应先明确它的定义域是否关于原点对称.
再判断是否有 f x f x 0 或 f x f x 0 .
人教A版（ 高2中01数9）学高必中修数第学一必册修函第数一的册基 函本数性的质 基—本—性奇 质偶第性课3 课件时— —奇偶 性课件 （共12 张ppt）
2.偶函数的表达式满足： f x f x ．
人教A版高中数学必修第一册函数的基 本性质 ——奇 偶性课 件
人教A版高中数学必修第一册函数的基 本性质 ——奇 偶性课 件
例题讲解 例 1.在你所了解的函数中，举一个函数是偶函数的例子，并说明理由.
解：如 f x 3x2 1. 1. f x 3x2 1的定义域为 R. 2. f x 3x2 1 3x2 1 f x . 所以 f x 3x2 1为偶函数.
答案：函数 f x 的图象关于原点中心对称，则其函数的表达式满足： f x f x．
人教A版高中数学必修第一册函数的基 本性质 ——奇 偶性课 件
人教A版高中数学必修第一册函数的基 本性质 ——奇 偶性课 件
学习新知——奇函数
奇函数：一般地，设函数 f x 的定义域为 I，如果 xI ，都有 x I ，且 f x f x ，那么函数 f x 就叫做奇函数（odd function）．
问题：既为奇函数，也为偶函数的函数有多少个? 答案：无数个.
人教A版（ 高2中01数9）学高必中修数第学一必册修函第数一的册基 函本数性的质 基—本—性奇 质偶第性课3 课件时— —奇偶 性课件 （共12 张ppt）
人教A版（ 高2中01数9）学高必中修数第学一必册修函第数一的册基 函本数性的质 基—本—性奇 质偶第性课3 课件时— —奇偶 性课件 （共12 张ppt）
课堂小结Βιβλιοθήκη 函数的奇偶性与判断方法奇偶性是函数在它的定义域上的整体性质，所以判断函数的奇偶 性应先明确它的定义域是否关于原点对称.
再判断是否有 f x f x 0 或 f x f x 0 .
人教A版（ 高2中01数9）学高必中修数第学一必册修函第数一的册基 函本数性的质 基—本—性奇 质偶第性课3 课件时— —奇偶 性课件 （共12 张ppt）
新人教版高中数学必修第一册教学课件3.2.2函数的奇偶性课件
【2】几何法，函数的图像关于y轴对称，那么函数就是偶函数
要证明某个函数不是偶函数，只需要列举出一个反例x0，证明f(-x0)≠f(x0)即可
偶函数 偶函数
代数特征 图像关于y轴对称 几何特征
定义中，
的常见变形有：
奇函数 画出函数
同的特征？
和函数
的图像并视察，你能发现什么共
可以发现，这两个函数都关于原点成中心对称.也就是说，当自变量取互为 相反数的两个数时，函数值也互为相反数，即
函数是奇函数.
(2)由奇函数的图像关于原点成中心对称可以画出函数
在
y轴左侧对的图像，将y轴右侧的图像沿着原点旋转180°即可，画出的
图像如图所示.
奇(偶)函数的性质及应用
【拓展】 （1）奇偶函数的单调性：
①奇函数：奇函数在y轴左右两边的单调性是完全相同的.如果 奇函数在区间[a,b]上的单调增函数，那么在区间[-a,-b]上就 是单调增函数.
对于
，有
对于
，有
奇函数
【定义】一般地，设函数
的定义域为A，如果对于
，都有
，
且
，即 的图像关于原点成中心对称，那么就称
为奇函数.
常见的偶函数有
，
,
等等
【思考】对于定义在R上的函数 函数是奇函数吗？
【答】不一定.因为 所以不一定是奇函数.
，若 并不能保证所有的
，那么这个 ，
奇函数 【总结】一般地，一个函数是奇函数的两个判断方式：
，即 的图像关于y轴对称，那么就称 为偶函数.
常见的偶函数有
，
等等
【思考】对于定义在R上的函数 是偶函数吗？
，若
，那么这个函数
【答】不一定.因为 以不一定是偶函数.
要证明某个函数不是偶函数，只需要列举出一个反例x0，证明f(-x0)≠f(x0)即可
偶函数 偶函数
代数特征 图像关于y轴对称 几何特征
定义中，
的常见变形有：
奇函数 画出函数
同的特征？
和函数
的图像并视察，你能发现什么共
可以发现，这两个函数都关于原点成中心对称.也就是说，当自变量取互为 相反数的两个数时，函数值也互为相反数，即
函数是奇函数.
(2)由奇函数的图像关于原点成中心对称可以画出函数
在
y轴左侧对的图像，将y轴右侧的图像沿着原点旋转180°即可，画出的
图像如图所示.
奇(偶)函数的性质及应用
【拓展】 （1）奇偶函数的单调性：
①奇函数：奇函数在y轴左右两边的单调性是完全相同的.如果 奇函数在区间[a,b]上的单调增函数，那么在区间[-a,-b]上就 是单调增函数.
对于
，有
对于
，有
奇函数
【定义】一般地，设函数
的定义域为A，如果对于
，都有
，
且
，即 的图像关于原点成中心对称，那么就称
为奇函数.
常见的偶函数有
，
,
等等
【思考】对于定义在R上的函数 函数是奇函数吗？
【答】不一定.因为 所以不一定是奇函数.
，若 并不能保证所有的
，那么这个 ，
奇函数 【总结】一般地，一个函数是奇函数的两个判断方式：
，即 的图像关于y轴对称，那么就称 为偶函数.
常见的偶函数有
，
等等
【思考】对于定义在R上的函数 是偶函数吗？
，若
，那么这个函数
【答】不一定.因为 以不一定是偶函数.
函数的奇偶性(数学教学课件)(PPT)5-1
和容器内部气体的压力突然增高等都能引起爆炸：炮弹～｜气球～｜～了一颗氢弹。②比喻数量急剧增加，突破极限：人口～｜信息～｜知识～。 【爆炸性】
名指事件、消息等所具有的出人意外、使人震惊的作用：～新闻｜这一事件更具有～。 【爆仗】?ɑ名爆竹：放～。 【爆竹】名用纸把火卷起来，两头堵死， 点着引火线后能爆裂发声的东西，多用于喜庆事。也叫炮仗或爆仗。 【陂】〈书〉①池塘：～塘｜～池。②水边；岸。③山坡。 【杯】（盃）①名杯子
你能举出生活中具有对称性的物体吗？
酷地剥削、镇压人民的政治措施。 【暴卒】〈书〉动得急病突然死亡。 【虣】〈书〉同“暴（凶暴）”。 【瀑】瀑河，水名，在河北。 【曝】（旧读） ［曝光］（∥）动①使照相底片或感光纸感光。②比喻隐秘的事（多指不光彩的）显露出来，被众人知道：事情在报上～后，引起了轰动。‖也作暴光。 【爆】 动①猛然破裂或进出：～炸｜豆荚～了｜打在； SWL丝杆升降机 ；石头上，～起许多火星儿。②出人意料地出现；突然发 生：～冷门｜～出特大新闻。③烹调方法，用滚油稍微一炸或用滚水稍微一煮：～肚儿｜～鱿鱼卷。 【爆炒】动在一段时间内极力炒作：～内幕新闻。 【爆
问3：怎样用数学语言来秒描述函数的这种对称性呢？能不能
说 f (1) f (1) ，所以函数 f (x) 的图象关于y轴对称？
能不能说 f (1) f (1), f (2) f (2), ……
，所以函数f (x) 的图象关于y轴对称？
如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有 f(-x)=f(x)
ī名塞（）音。 【爆冷】动爆冷门：羽毛球赛接连～，一批种子选手相继被淘汰出局。 【爆冷门】（～儿）指在某方面突然出现意料不到的事情：本届世界 锦标赛大～，新手打败了上届冠军。 【爆料】∥〈方〉动发表令人感到意外或吃惊的新闻、消息等。 【爆裂】动（物体）突然破裂：豆荚成熟了就会～。 【爆满】动形容戏院、影院、竞赛场所等人多到没有空位的程度：剧场里观众～，盛况空前。 【爆棚】〈方〉动爆满。 【爆破】动用摧毁岩石、建筑物等： 定向～｜～敌人的碉堡。 【爆破筒】名一种爆破用的火器，在钢管内装上和雷管。多用来破坏敌方的工事或铁丝网等障碍物。 【爆胎】∥动车胎爆裂。 【爆 笑】动突然发出笑声：滑稽戏令人～。 【爆炸】动①物体体积急剧膨大，使周围气压发生强烈变化并产生巨大的声响，叫做爆炸。核反应、急剧的氧化作用
名指事件、消息等所具有的出人意外、使人震惊的作用：～新闻｜这一事件更具有～。 【爆仗】?ɑ名爆竹：放～。 【爆竹】名用纸把火卷起来，两头堵死， 点着引火线后能爆裂发声的东西，多用于喜庆事。也叫炮仗或爆仗。 【陂】〈书〉①池塘：～塘｜～池。②水边；岸。③山坡。 【杯】（盃）①名杯子
你能举出生活中具有对称性的物体吗？
酷地剥削、镇压人民的政治措施。 【暴卒】〈书〉动得急病突然死亡。 【虣】〈书〉同“暴（凶暴）”。 【瀑】瀑河，水名，在河北。 【曝】（旧读） ［曝光］（∥）动①使照相底片或感光纸感光。②比喻隐秘的事（多指不光彩的）显露出来，被众人知道：事情在报上～后，引起了轰动。‖也作暴光。 【爆】 动①猛然破裂或进出：～炸｜豆荚～了｜打在； SWL丝杆升降机 ；石头上，～起许多火星儿。②出人意料地出现；突然发 生：～冷门｜～出特大新闻。③烹调方法，用滚油稍微一炸或用滚水稍微一煮：～肚儿｜～鱿鱼卷。 【爆炒】动在一段时间内极力炒作：～内幕新闻。 【爆
问3：怎样用数学语言来秒描述函数的这种对称性呢？能不能
说 f (1) f (1) ，所以函数 f (x) 的图象关于y轴对称？
能不能说 f (1) f (1), f (2) f (2), ……
，所以函数f (x) 的图象关于y轴对称？
如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有 f(-x)=f(x)
ī名塞（）音。 【爆冷】动爆冷门：羽毛球赛接连～，一批种子选手相继被淘汰出局。 【爆冷门】（～儿）指在某方面突然出现意料不到的事情：本届世界 锦标赛大～，新手打败了上届冠军。 【爆料】∥〈方〉动发表令人感到意外或吃惊的新闻、消息等。 【爆裂】动（物体）突然破裂：豆荚成熟了就会～。 【爆满】动形容戏院、影院、竞赛场所等人多到没有空位的程度：剧场里观众～，盛况空前。 【爆棚】〈方〉动爆满。 【爆破】动用摧毁岩石、建筑物等： 定向～｜～敌人的碉堡。 【爆破筒】名一种爆破用的火器，在钢管内装上和雷管。多用来破坏敌方的工事或铁丝网等障碍物。 【爆胎】∥动车胎爆裂。 【爆 笑】动突然发出笑声：滑稽戏令人～。 【爆炸】动①物体体积急剧膨大，使周围气压发生强烈变化并产生巨大的声响，叫做爆炸。核反应、急剧的氧化作用
函数的奇偶性(数学教学课件)
若(x0 , f (x0)) 和(x0 , f (x0)) 关于原点对称，则有
f (x0 ) f (x0 )
问3：怎样用数学语言来秒描述函数的这种对称性呢？能不能
说 f (1) f (1) ，所以函数 f (x) 的图象关于y轴对称？
能不能说 f (1) f (1), f (2) f (2), ……
例：判定下列函数是否为偶函数或奇函数
(1) f (x) x2 1 (2) f (x) 2x (3) f (x) 2 x (4) f (x) (x 1)2
解 （4）函数 f (x) (x 1)2的定义域为R
f (1) 0, f (1) 4
f (1) f (1), f (1) f (1)
你能举出生活中具有对称性的物体吗？
观察 y x2 , y 1 (x 0) 的图象，从对称的角度你发
现了什么？y
x
y
(x0 , f (x0))
(x0 , f (x0))
x0 o x0
(x0 , f (x0))
x
o (x0 , f (x0))
x
问1：因为函数图象可以看作是一些点的集合，那 么函数图象上任意一点，根据这个对称性， 你能写出其对称点吗，它也在这个函数的图 象上吗？
，所以函数f (x) 的图象关于y轴对称？
如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有 f(-x)=f(x)
那么称函数y=f(x)是偶函数 如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有
f(-x)=-f(x) 那么特点？
定义法证明函数奇偶性的步骤： （1）写出函数的定义域，并判断是否关于原点对称 （2）考察f(x)与f(-x)的关系
判断函数奇偶性的方法：
（1）定义法
f (x0 ) f (x0 )
问3：怎样用数学语言来秒描述函数的这种对称性呢？能不能
说 f (1) f (1) ，所以函数 f (x) 的图象关于y轴对称？
能不能说 f (1) f (1), f (2) f (2), ……
例：判定下列函数是否为偶函数或奇函数
(1) f (x) x2 1 (2) f (x) 2x (3) f (x) 2 x (4) f (x) (x 1)2
解 （4）函数 f (x) (x 1)2的定义域为R
f (1) 0, f (1) 4
f (1) f (1), f (1) f (1)
你能举出生活中具有对称性的物体吗？
观察 y x2 , y 1 (x 0) 的图象，从对称的角度你发
现了什么？y
x
y
(x0 , f (x0))
(x0 , f (x0))
x0 o x0
(x0 , f (x0))
x
o (x0 , f (x0))
x
问1：因为函数图象可以看作是一些点的集合，那 么函数图象上任意一点，根据这个对称性， 你能写出其对称点吗，它也在这个函数的图 象上吗？
，所以函数f (x) 的图象关于y轴对称？
如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有 f(-x)=f(x)
那么称函数y=f(x)是偶函数 如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有
f(-x)=-f(x) 那么特点？
定义法证明函数奇偶性的步骤： （1）写出函数的定义域，并判断是否关于原点对称 （2）考察f(x)与f(-x)的关系
判断函数奇偶性的方法：
（1）定义法
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观察下图，思考并讨论以下问题：
(1) 这两个函数图象有什么共同特征吗？
(2) 相应的两个函数值对应x 的值是如何体现这些特征 的？
实际上，对于R 内任意的一个x ，都＜f(-x)=(-x)2=x 2=f(x)5 这时我们称函数y=x2为偶函数. f(x)=x 2 f(-3)=9=f(3) f(-2)=4=f (2) f(-1)=1=f(1) ，- 5 4 b - 3 - 2 -1 1 2 3 x f(x)=|x| f(-3)=3=f(3) f(-2)=2=f(2) f(-1)=1=f(1)
1.偶函数
一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个X, 都有f( —x)=f(x),那么f(x)就叫做偶函数.
2 2
例如，函数/OOF +1，/(兀)=771都是偶函数，它们的图象分别如下图⑴、(2)所宗.
观察函|fcf(x)=x^lf(x)=1/x 的图象(下图)，你能发 现两个函数图象有什么共同特征吗?
实际上，对于R 内任意的一个x,都有f(・x)=：・x=・f(x)，这时 我们称函数y=x 为奇函数. 刃
3 2 I
/-3 -2 -1 /
/
-3 ■
f(-3)=-1/3=-f(3) f(-2)=-1/2=-f(2) f(-1 )=-1 =-f(1) f(-1 )=-1 =-f(1)
f(-3)=-3=-f(3) f(-2)=-2=-f(2)
2・奇函数
一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个X,都有f(—x)= — f(x),那么f(x)就叫做奇函数.
注意：
1、函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性, 函数的奇偶性是函数的整体性质；
2、由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x,贝！I —x也一定是定义域内的一个自变量(即定义域关
于原点对称)・
3、奇、偶函数定义的逆命题也成立，即
若f(x)为奇函数，贝!jf(-x)=-f(x)成立.
若f(x)为偶函数，贝!|f(-x)=f(x)成立.
4、如果一个函数f(x)是奇函数或偶函数，那么我们就说函数f(x)具有奇偶性.
例5、判断下列函数的奇偶性：
（1）于（兀）=兀4 （2）/（乂）=兀5
1 1
（3）于（乂）= 乂（4）f（乂）=二
3•用定义判断函数奇偶性的步骤:
(1) 、先求定义域，看是否关于原点对称；
(2) 、再判断f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是否恒成立.
课堂练习
判断下列函数的奇偶性:
1
⑴/⑴十匚
(3) f(x) = 5 (5)/(x) = x + 1
(2)y(X)=—x +i (4)/(x) = 0
(6)/ (x) = x2,xe [-1,3]
3 •奇偶函数图象的性质
1、奇函数的图象关于原点对称.
反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数为奇函数.
2、偶函数的图象关于y轴对称.
那么陶隘函数的图象关于E
说明：奇偶函数图象的性质可用于：
a、简化函数图象的画法.B、判断函数的奇偶性
本课小结
1、两个定义：对于f(x)定义域内的任意一个X,
如果都有f(—x)=-f(x) V=^x)为奇函数
如果都有f(-x)=f(x) <^f(x)为偶函数
2、两个性质:
一个函数为奇函数<^它的图象关于原点对称一
个函数为偶函数它的图象关于y轴对称
3、判断函数的奇偶性：先看定义域，后验关系式。