积分变换学习笔记

积分变换-意义

积分变换无论在数学理论或其应用中都是一种非常有用的工具。最重要的积分变换有傅里叶变换、拉普拉斯变换。由于不同应用的需要，还有其他一些积分变换，其中应用较为广泛的有梅林变换和汉克尔变换，它们都可通过傅里叶变换或拉普拉斯变换转化而来。

通过参变量积分将一个已知函数变为另一个函数。已知ƒ(x)，如果

存在（α、b可为无穷）,则称F(s)为ƒ(x)以K(s,x)为核的积分变换。

一、傅立叶变换

意义

尽管最初傅立叶分析是作为热过程的解析分析的工具，但是其思想方法仍然具有典型的还原论和分析主义的特征。"任意"的函数通过一定的分解，都能够表示为正弦函数的线性组合的形式，而正弦函数在物理上是被充分研究而相对简单的函数类，这一想法跟化学上的原子论想法何其相似！奇妙的是,现代数学发现傅立叶变换具有非常好的性质,使得它如此的好用和有用,让人不得不感叹造物的神奇

定义

f(t)满足傅立叶积分定理条件时，下图①式的积分运算称为f(t)的傅立叶变换,②式的积分运算叫做F(ω)的傅立叶逆变换。F(ω)叫做f(t)的象函数，f(t)叫做F(ω)的象原函数。

欧拉公式： ∂

+∂=∂

sin cos i e

i

二、傅里叶变换与逆变换的性质 1.线性性质:

2. 位移性质

()

1

(),22Dirichlet ()()()Fourier ()cos sin 2T T T T T n n n T T f t T f t f t f t t a f t a n t b n t ωω∞

=⎡⎤

--⎢⎥⎣⎦

∙∙=++∑为周期函数，在上满足

条件：

连续或仅有有限个第一类间断点；仅有有限个极值点

则可展开为级数，且在连续点处成立：

)]

([)]([)]()([)]([)]([)]()([1

11ωωωωG B F A BG AF t g b t f a t bg t af ---+=++=+F F F F F F 为实常数，则

，若00,)()]([ωωt F t f =F

3. 相似性：

4. 微分性：

5、积分性：

6、帕塞瓦尔(Parserval)等式-能量积分 设F[f(t)]=F(w),则有

()

0001

00[()]()[()]()

[()]()

j t j t

j t

f t t e

F F e

f t e

f t F ωωωωωωωω---=-==-，

或F F F 1

[()]()0,11[()]();[()]()

f t F a t f at F F at f a a a a

ωω-=≠==若，则

F F F 则

，且若原像函数的微分性：

,0)(lim )()]([==+∞

→t f F t f t ωF [()]()

f t j F ωω'=F [()]()lim ()(0)0,1

[()]().

t

t t f t F f s ds F f s ds F j ωωω

-∞

→+∞-∞

====⎰⎰

设，若则

F F []2

2

1

()d ().

2f t t F d ωωπ

+∞

+∞

-∞-∞

=⎰⎰

五个重要的傅里叶变换（所有的傅里叶变换都无须用公式直接计算而可由傅里叶变换的性质导出.）

7、卷积与卷积定理

卷积的简单性质：

02

2

j 04()

1

1

()

()j 1()j e

2()

e e t t t t u t u t e βωωββδπδωωβω

πδωωπβ

---↔↔

+↔

+↔

-↔

⎰

+∞

∞

--=

*ds

s t g s f t g f )()()(()()()()()()()()()()()()()

()()()

f g g f

f g h f g f h f g h f g h

A f g Af g f Ag A d

f g t f t g t f t g t dt

f t f t f t δδ∙*=*∙*+=*+*∙**=**∙*=*=*''∙*=*+*∙*=*=交换律：加法分配律：结合律：数乘：为常数求导：