25 第五节 传递函数的定义及基本环节的传递函数

第五节 传递函数

的定义及基本环节的传递函数

一旦建立起系统的线性化数学模型，就能用拉氏变换这个数学工具对其进行求解，从而得到系统的输出响应。但这种方法随输入函数的变化而变化显得繁琐，最主要的还是难以从方程本身判断系统的动态特性。

因此引入传递函数的概念，用来描述单输入、单输出系统。推广之，还可以用传递矩阵描述多输入、多输出系统，进一步深化对系统的认识。

一、传递函数的定义

零初始条件下，系统（元件）输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比，称为系统（元件）的传递函数，有时也称转移函数。

记为。

()G s ()()()

Y s G s X s = 零初始条件含义

1、指输入作用在0t =以后才加入，因此

输入量及其各阶导数在0t =时均为0

（与其本身无关）。

2、输入作用加入前，系统是相对静止的，

因此系统的输出量及其各阶导数在0t =时也全为0。

二、传递函数的特性

()()()

111111n n n n m m m m Y s G s X s a s a s a s a b s b s b s b −−−00−=++++=++++

m n ≥

1、对于线性定常系统，传递函数是的有理分式，且。对于单独一个元件，可能有。

S m ≥n m n <()G s TS = (微分元件)

2、传递函数是系统（元件）动态规律的固有描述，仅与其结构参数有关，不随输入量变化。

三、系统基本环节的传递函数

一个系统可看作是由许多基本环节组成的，这些基本环节主要有；

1、比例环节（放大环节）——输出量与输入量成正比的环节

()

()

()

()() Y s

G s K Y s KX s

X s

==⇒=

2、惯性环节（非周期环节）

由于有储能元件，故对突变形式的输入

信号，不能立即送出去。

()1K G s TS =+ K —放大系数，T —时间常数 3、

微分环节——输出正比于输入的微分

的环节 ()()y t x t =

()()()()()

Y s Y s SX S G s S X S =⇒== 4、积分环节——输出正比于输入的积分的环节

()()y t x t dt =∫

()()()()()11Y s Y s X S G s S X =⇒=S S

= 5、振荡环节

该环节含有两种储能元件，在信号传递过程中，因能量的转换而使其输出带有振荡的性质。

()22121

G s T S TS ξ=++ 标准形式为：

()2

222n n n w G s S w S w ξ=++ n w ——无阻尼自然频率，ξ ——阻尼比

6、一阶微分环节——输出正比于输入的一阶微分的环节

()1G s TS =+

7、二阶微分环节——输出正比于输入的二阶微分的环节

()22

21G s T S TS ξ=++ 8、延时环节——该环节输出滞后输入时间τ后不失真地复现输入

()()y t x t τ=−

()s

G s e τ−=

例1：齿轮传动，n ，n 转数，是时间的变量。

1

212

Z n n Z =

()()()()()21

12121N s Z Z N s N s G s K Z N s Z =⇒==

2

= 为比例环节 例

轧辊在点形成的厚度要延迟时间

A L

V

τ=后，才能在点检测出来，即在t 时刻测

出的厚度B ()h t 为()t τ−时刻在点形成的厚度。

A ()g h t 所以微分方程为：()(g h t h t )τ=− 应用实位移定理：

()(as

)f t a e F s −⎡⎤−=⎣⎦

()()()()()

s

s

g g H s H s e H s G s e H s ττ−−=⇒==

为延时环节 例

设x y >，由F ma =，对于P 点来说有：

()0K x y By

By Ky Kx −−=⇒+= 则：()()(BSY s KY s KX s )+=

()()()1111

B T K Y s K

G s X s BS B TS S K =⇒==

+==

+⎛⎞

+⎜⎟⎝⎠

K

为惯性环节

i C

1

o u C

=∫idt ②

由：

11

o o o u i C u

C i C u

=⇒=⇒=⋅dt

i ∫ ③ 将③代入①得：

o o RCu

u u i += 拉氏变换

()()(()()())1

111o o i o i T RC

RCSU s U s U s U s G s U s RCS TS =+=⇒==

+=

+ 为惯性环节

()()()()f t Ky t By

t my t −−= ()()()()my

t By t Ky t f t ++=

拉氏变换

()()()()2

mS Y s BSY s KY s F s ++=

推出：

()()()2

21

1Y s G s F s mS BS K

m B K

K S S m m

==K ++=⋅

++