《代数式》方法点拨及易错题解析

例 4．2x -3xy+x ， 2 2 2 2xy-2x +3xy-x ，5xy-3x ； 1 1 2 (- )，(-3)，(- ) ； 3 3 1 14 5， ， ； 9 3 2 2 点评：2xy-［2x -（3xy-x ） ］ 的化简也可以这样进行，将 2 （3xy-x ）看成一个整体，则 2 中括号中含有两项，即 2x 和2 （3xy-x ）. 2 2 2xy-［2x -（3xy-x ） ］ 2 2 =2xy-2x +（3xy-x ） 2 2 2 =2xy-2x +3xy-x =5xy-3x . 注意画横线的部分，小括号内 部并没有变化. 例 5．m-n， （m-n） ； （m-n） ， （m-n） ， （m-n） ，-2，5. 12． 3，2π ； 点评：π是一个数，它的指数 不参与单项式次数的计算.
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1 2 2 14．4，4，- a b ，-6； 3 1 2 2 点评： 次数最高的项是- a b ， 3 1 2 2， 而不是 a b 常数项是-6，而 3 不是 6. 15．（1）～（7）题的答案分 别是：×，×，×，√，×， ×，×. 点评： （1）题不能计算；不是 同类项的不能进行加减运算； （2） 题没有保持字母和它的指 2 数不变，正确的答案是 9y ； （3） 题不是同类项， 不能合并； （5）题按乘法的分配律， -1 也要乘以 3，正确答案是： x+3x-3；
8.
a ，a-b. b
7．a+b 的相反数为 8．a 与 b 的商为
； ；a 与 b 的差为
.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
例 3．4，12，24； 1 ×4=1×2（ 1 +1） ， 2 ×6=2×2（ 2 +1） ， 3 ×8=3×2（ 3 +1） ， ………… 所以， 当边长为 n 根火柴棍时， 摆出的正方形所用的火柴棍的 根数为 n×2（n＋1） ； 即 S=2n（n＋1）. 9.列表分析： 图的 1 2 3 个数 棋子 4 4+3 4+6 个数 4+3（2-1） 4+3 （3-1） 解：⑴第 4 个图形中棋子的个 数为：4+3（4-1）=13; ⑵第 n 个图形的棋子个数为： 4+3（n-1）或（3n+1）; 3 当 n=20 时， 3n+1=3× 20+1=61 ， 所 以，第 20 个图形需棋子 60 个. 10．列表分析： 序号 1 2 3 4 5 6 线段 2 1 3 2 4 3 长度 从表中可以得到，当序号为奇 数 1、3、5……时，线段的长 度为 2、3、4……的连续正整 数，如果设 n 为自然数，则当 线段的长度为 n 时，对应的序 号为：2n-3. 当 2n-3=25，即 n=14 时，长度 为 25. 11．解： （1）1 条金鱼，8 根； 2 条金鱼， （8+6）根； 3 条金鱼， （8+2×6）根； 4 条金鱼， （8+3×6）根=26 根； （2）n 条金鱼，[8+6（n-1）]= （6n+2)根； （3）当 n=100 时， 6n+2=6×100+2=602 根. 点评：从以上各题的解答过程 可以看出，关系是要寻找结论 与自然数 1、2、3…的关系. 新的数学方法和概念， 常 常比解决数学问题本身更 重要。 ——华罗庚
在数学的领域中， 提出问 题的艺术比解答问题的艺 术更为重要。 康扥尔
（6）去括号时，要同时去掉它 前面的符号， 当去掉 “（ ） ” ， 括号内的各项都要变号， -（x+5）去括号后 x 与 5 都要 变号，即-（x+5）=-x-5 所以， 正确的答案是：x-1-x-5； （7）当去掉“+（ ） ”时， 括号内的各项都不变；正确答 2 案是 a -2a+3. 16． 解： 2A - B =2(y+1)-(x-3y) =2y+2-x+3y=5y-x+2； 点评：在进行整式的加减运算 时，一定要有整体意识，代入 多项式时要用括号表示这个多 项式为一个整体.如本题中， 求 A 与 B 的差，则列式为 (y+1)-(x-3y)，然后去括号， 合并同类项. 错误解法： 2A-B =2y+1-x-3y=-y-x+1. 2 2 例 6．-3x ，nx ，-3，n, mx,-x,m,-1; -3+n,m-1; 解： 因为代数式的值与 x 无关， 所以，合并同类项后，x 的二 次项和一次项系数都为 0， 即：-3+n=0,m-1=0,即 n=3,m=1 当 m=1,n=3 时，代数式的值与 x 无关. 17．解：三角形 DGF 的面积为： 1 GF·DG= 1 b(a-b) 2 2 三角形 BGF 的面积为： 1 DF·EF= 1 b2 2 2 故阴影部分的面积： 1 b(a-b)+ 1 b2. 2 2 18．阴影部分的面积为： 1 （a+b）h-ah， 6. 2 点评：18 题直接求，19 题间接 求阴影部分的面积. 19．⑴b=0.8(220-14)=164.8 答： 正常情况下,在运动时一个 14 岁的少年所能承受的每分钟 心跳的最高次数 164 次. ⑵b=0.8(220-45)=140, ∵22×6=132 132＜140 ∴他没有危险. 数学是各式各样的证明 技巧。 ——维特根斯坦
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例题解析：
1． （a+b）h 或
1 2 ( a b )h ； 2
点评：不能写成（a+b）h÷2. 2．写成 2（a+b） ， 点评：不能写成（a+b）×2 或 （a+b）2 等； 3． （22a+10） 点评：按运算顺序（22a+10） 的运算顺序是加法，因此要加 上括号后写单位. 例 1．分析：弄清楚这些问题 的数量关系即可求得. 解：每租看 1 本书，一天租金 a 元，7 天的租金为 7a 元，租 期超过 3 天，从第 4 天开始每 天另加收 b 元，即 7 天应加收 租金 4 b 元，所以如果租看 1 本书 7 天归还，那么租金为 （7a+4b） 元， 故应填上 （7a+4b） 元. 例 2．分析：女生的人数等于 总人数减去男生的人数. 解：由于男女同学共 15 万人， 而男生 a 万人, 则女生有 （15–a）万人. 4．分析：个位上的数是 5，十 位上的数是 2，这位数表示成 25， 即把两位数并列起来表示； 但如果个位上的数是 a，十位 是的数是 b 的数用同样的方法 表示却变成了 a 与 b 的积. 因为 25=20+5=2×10+5， 故答案为 10b+a; 2 2 2 5．a +b ， （a+b） ； 点评： 第二空属于先加后乘方， “升级”要添上括号. 1 1 1 6． + ， ； a b a b 点评：前空是先算倒数后算加 法；而后空却是先算加法再算 倒数. 7．-（a+b） 点评：要注意把多项式 a+b 看 成一个整体，培养自己的整体 意识. 数学是科学的皇后。 ——克莱因
三、探索规律列代数式的方法： 例 3．如图是用火柴棍摆成边长分别是 1、2、3 根火柴棍时的 正方形，当边长为 n 根火柴棍时，若摆出的正方形所用的火柴 棍的根数为 S，则 S＝＿ ＿＿（用含 n 的代数式表示，n 为 正整数） 分析：用列表的方法 从具体的图形中数出正 方形边长的根数与摆成 正方形所用火柴棍的根 数，从具体的数据中寻找规律. 边长（根数） 1 2 3 … n 根数 … 正方形 根数与边长 所用根数 的根数关系 做一做： 9．观察下列图形中的棋子： （1）按照这样的规律摆 下去，第 4 个图形中的棋 第 1 个图 第 2 个图 第 3 个图 子个数是多少？ （2）用含 n 的代数式表示 第 n 个图形的棋子个数； （3）求第 20 个图形需棋子多少个？ 10．在边长都是 1 的正方形方格纸上 画有如图所示的折线.它们的各段依次 标着①，②，③．④…的序号．那么序 号为 25 的线段长度是 ． 11．下图是小明用火柴分别搭成的 1 条、2 条、3 条、……金 鱼图案,请你仔细观察图案,找出规律,然后解答如下问题: (1) 小明搭成 4 条金鱼需要火柴多少根? (2) 小明搭成 n 条金鱼需要火柴多少根? (3) 小明搭成 1O0 条金鱼需要火柴多少根?
1条
2条
3条
四、求代数式的值的技巧与注意事项： ①．代数式能化简的要先化简，再代入求值； ②．将字母的值原原本本地代入化简后的代数式，同一字母 用同一数字代入，切不可张冠李戴.有乘方运算时，代入负数和
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分数都要加上括号；当代入负数后如果与运算符号混淆时也要 加上括号； 例 4．先化简再求值，求 2xy-［2x2-（3xy-x2） ］的值.其中 x 1 ＝- ,y=-3. 3 解：原式=2xy-［ ］ （去小括号） = （去中括号） = ； （合并同类项） 1 当 x＝- ,y=-3 时,原式=5xy-3x2=5× × -3× 3 = -3× = . 试一试：把小括号的多项式当作一个整体，先去中括号再去 小括号化简. ③．要逐步培养自己的整体意识： 例 5．已知 m-n＝-2，求 2（m-n）-m+n+7 的值. 互为相反数，因此-m+n=， 分析：-m+n 与 解：2（m-n）-m+n+7 =2（m-n）+7 （把（-m+n）用（m-n）的代数式表示） = +7， （把（m-n）当作整体合并同类项） +7= +7= . 当 m-n＝-2 时，原式= 五、单项式和多项式概念的应用要注意的事项： ①．单项式的次数是指字母的指数和，与数无关； ②．因为“几个单项式的和叫多项式”.因此，减号都要当成 负号； ③．多项式的次数是这个多项式里次数最高的项的次数，特 别地，常数项的次数为 0. 做一做： 12．单项式 2π2a2b 的次数是 ，系数是 ； 13． 2 xy 2 z 的系数是 5 ，次数是 次 ； 项式，次数最高
《代数式》方法点拨及易错题解析
一、表示代数式时应该注意的几个方面： 代数式的书写必须遵循下列规则： （1）数字与字母、字母与字母相乘时，乘号可以省略不写或 用“· ”代替，省略乘号时，数字因数应写在字母因数的前面， 数字是带分数时要改写成假分数，数字与数字相乘时仍要写 “×”号. （2）代数式中出现除法运算时，一般要写成分数的形式. （3）用代数式表示某一个量时，代数式后面带有单位，如果 代数式是和、差形式，要用括号把代数式括起. 做一做： ； 1．上底为 a,下底为 b,高为 h 的梯形的面积为 2． （a+b）的 2 倍 . 3． 某商店上月收入 a 元， 本月收入比上月的 22 倍还多 10 元， 元. 本月收入 二、列代数式应遵循的原则： （1）正确理解和、差、积、商（以及今后所要学的乘方、开 方） 、多、少、倍、分等数学术语的意义. （2）要分清数量关系中的运算层次与运算顺序，必要时，要 正确地添加括号，即口诀是：先读必先写，升级添括号.“与” 字两头挑，符号莫混淆.另外常见的六种运算分为三级，按由低 到高的排序为：低级为加、减；中级为乘、除；高级为乘方、 开方.“升级”就是指后面的运算比前面的级别要高.如“a 与 b 的和的 3 倍” ，显然是先加后乘， “升级”了应添括号，把 a 与 b 的和看成一个整体括起来再乘以 3，即为 3(a+b). （3）分析语句所表达的数量关系时，除了要注意大、小、和、 差等词语的意义外，还应弄清楚语句中的数量关系是以哪个为 基准的. （4） 探索数量关系， 运用符号表示规律，通过运算验证规律， 再用代数式表示简单问题中的数量关系，利用合并同类项，去 括号等法则验证所探索的规律. 例 1．某书店出售图书的同时，推出一项租书业务，每租看 1 本书，租期不超过 3 天，每天租金 a 元；租期超过 3 天，从第 4 天开始每天另加收 b 元．如果租看 1 本书 7 天归还，那么租金 为＿＿＿元. 例 2．今年全省参加七年级期末考试的同学约有 15 万人. 其 中男生约有 a 万人, 则女生约有 万人. 做一做： 4．一个两位数，个位上的数是 a,十位上的数是 b,则这个数 ； 表示成 5．用代数式表示 a、b 的平方和： ； a、b 的和的平方： ； 6．a、b 的倒数和 ； a、b 的和的倒数 ；
2 13． ，4； 5 2xy 2 z 可改写成 点评：
2
2
2
5 2 2 xy z,x 、z 的指数是1. 5
1 14．多项式 2a2b- a2b2+ab-6 是 3 ，常数项是 ． 的项是
六、同类项及整式的加减应注意的事项： ①．字母相同，同一字母的指数也相同的项就是同类项；同 类项可以进行加减运算，即合并同类项；系数相加作为和的系 数，字母和字母的指数不变；不是同类项的不能合并. ②．去括号时，必须连同括号前的符号一起去掉；去掉 “（ ） ”时，各项都要变号；去掉“+（ ） ”时，各项都不变. 做一做： 15．判断下列说法是否正确. （1）3a-2b＝5ab （ ）