线性代数试题

一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案.错填、不填均无分。

三、计算题（本大题共6小题，每小题8分，共48分）

四、证明题（本大题共2小题，每小题6分，共12分）

27．已知向量组α1，α2，α3线性无关，证明向量组α1+2α2，2α2+3α3，3α3+α1线性无关.

28．设A，B都是正交矩阵，证明AB也是正交矩阵.

试卷说明：表示矩阵的转置矩阵，表示矩阵的伴随矩阵，是单位矩阵，| |表示方阵的行列式。

一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。

1．排列53142的逆序数τ（53142）=（）

A．7 B．6

C．5 D．4

2．下列等式中正确的是（）

A．B．

C．D．

3．设k为常数，A为n阶矩阵，则|kA|=（）

A．k|A| B．|k||A|

C．|A| D．|A|

4．设n阶方阵A满足，则必有（）

A．不可逆B．可逆

C．可逆D．

5．设，，，则关系式（）

的矩阵表示形式是

A．B．

C．D．

6．若向量组（Ⅰ）：可由向量组（Ⅱ）：线性表示，则必有（）

A．秩（Ⅰ）≤秩（Ⅱ）B．秩（Ⅰ）>秩（Ⅱ）

C．r≤s D．r>s

7．设是非齐次线性方程组的两个解，则下列向量中仍为方程组解的是（）

A．B．

C．D．

8．设A，B是同阶正交矩阵，则下列命题错误的是（）

A．也是正交矩阵B．也是正交矩阵

C．也是正交矩阵D．也是正交矩阵

9．下列二次型中，秩为2的二次型是（）

A．B．

C．D．

10．已知矩阵，则二次型（）

A．B．

C．D．

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。

11．已知A，B为n阶矩阵，=2，=－3，则=_________________.

12．已知，E是3阶单位矩阵，则＝_________________.

13．若线性无关，而线性相关，则向量组的一个最大线性无关组为_________________. 14．若向量组线性无关，则t应满足条件_________________.

15．设是方程组的基础解系，则向量组的秩为_________________.

16．设，，则的内积（）＝________________.

17．设齐次线性方程组＝的解空间的维数是2，则a＝______________.

18．若实二次型正定，则t的取值范围是_________________.

19．实二次型的正惯性指数p＝_________________.

20．设A为n阶方阵，，若A有特征值λ，则必有特征值_________________.

三、计算题（本大题共8小题，每小题6分，共48分）

21．计算行列式 .

22．设实数满足条件＝，求及 .

23．求向量组

，，，

的一个最大线性无关组，并把其余向量用该最大线性无关组表示.

24．给定齐次线性方程组

（1）当λ满足什么条件时，方程组的基础解系中只含有一个解向量？ （2）当λ＝1时，求方程组的通解. 25．设矩阵 ，求

26．设向量 和 都是方阵A 的属于特征值λ＝2的特征向量，又向量 ，求 . 27．设矩阵 ，求正交矩阵P ，使 为对角矩阵.

28．设二次型 经正交变换 化为标准形 ，求a ，b 的值. 四、证明题（本大题共2小题，每小题6分，共12分） 29．设A 为3阶实对称矩阵，且 .证明： . 30．已知矩阵 可逆，证明线性方程组 无解.

线性代数试题 2006.1

一、选择题 (每题2分，共10分)

1、n 阶方阵A 与对角阵相似的充要条件是 ( ).

(A) A 是实对称阵; (B) A 有n 个互异特征值; (C) A 有n 个线性无关的特征向量; (D) A 的特征向量两两正交.

2、二次型22212

31213231002f x x x x x x x x x =+++-+是 ( ). (A) 正定的; (B) 负定的; (C) 半正定的; (D) 不定的.

3、n 阶方阵A 满足20A =，E 是n 阶单位阵，则 ( ).

(A) 0E A -≠，但0E A +=; (B) 0E A -=，但0E A +≠; (C) 0E A -=，且0E A +=; (D) 0E A -≠，且0E A +≠.

4、n 阶矩阵A 的秩r n =的充分必要条件是A 中（ ）.

(A) 有一个r 阶子式不等于零; (B) 所有的r 阶子式都不等于零; (C) 所有的1r +阶子式都不等于零;

(D) 有一个r 阶子式不等于零, 且所有1r +阶子式都等于零.

5、如果0λ是n 阶矩阵A 的特征值, 那么必有（ ）.

(A) 00A E λ-=; (B) 00A E λ-≠; (C) 00A E λ-=; (D) 00A E λ-≠.

二、填空题 (每题2分，共10分)

1、1(2,1,0,3)k k α=-与2(5,3,,1)k k α=-+正交，则k = .

2、(,)E i j 是交换n 阶单位阵第i 行与第j 行得到的初等矩阵，则

1(,)E i j -= .

3、四阶行列式中含有因子1123a a 的项为 .

4、设A 是n 阶方阵,λ为实数，则行列式=A λ .

5、向量组(A): 12,,,r ααα 与向量组(B): 12,,,s βββ 等价，且向量组(A)线性无关，则r 与s 的大小关系是 .

三、计算与证明

1、(12分)计算n 阶行列式12222222

2232222n

(2n ≥).

2、(12分)解方程组123412341234214222211112222

x x x x x x x x x x x x ⎧

⎪+-+=⎪

+-+=⎨⎪⎪+--=⎩.

3、(12分)设有线性方程组12312312

3(1)0

(1)3(1)x x x x x x x x x λλλλ

+++=⎧⎪

+++=⎨⎪+++=⎩，

问λ取何值时，此方程组(1)有唯一解; (2)无解; (3)有无穷多解.