单位圆与周期性(北师大版)

π 2 ＋cos3＋cos3π 2 1 1 2 ＝ 2 ＋2＋ －2 ＝ 2 .
(2) 原式＝ sin(2×360° ＋ 90° ) ＋ cos(2×360° ＋ 45° ) － sin(3×360° ＋45° )＋cos 180° ＋sin(－6×360° ＋150° ) ＝sin 90° ＋cos 45° －sin 45° ＋cos 180° ＋sin 150° 2 2 1 1 ＝1＋ 2 － 2 ＋(－1)＋2＝2.
19 31 (1)cos(－1 050° )；(2)cos π；(3)sin(－ π)． 3 4 解 (1)∵－1 050° ＝－3×360° ＋30° ， ∴－1 050° 的角与 30° 的角终边相同， 3 ∴cos(－1 050° )＝cos 30° ＝ ； 2
19 π 19 π (2)∵ π＝3×2π＋ ，∴角 π 与角 的终边相同， 3 3 3 3 19 π 1 ∴cos 3 π＝cos3＝2； 31 π (3)∵－ 4 π＝－4×2π＋4， 31 π ∴角－ π 与角 的终边相同， 4 4 31 π 2 ∴sin(－ 4 π)＝sin4＝ 2 .
规律方法 有用处．
(1)确定已知角的终边，对于以后研究三角函数很
(2) 利用单位圆，可以非常直观方便地求出形如 sin x≥m或sin
x≤m的三角函数的角的范围，起到“以形助数”的作用．
跟踪演练 1 在单位圆中画出适合下列条件的角 α 的终边的范 围，并由此写出角 α 的集合： 3 1 (1)sin α≥ 2 ；(2)cos α≤－2. 3 解 (1)作直线 y＝ 2 交单位圆于 A、B 两点，连接 OA、OB， 则 OA 与 OB 围成的区域(图①阴影部分)即为角 α 的终边的范 π 2 围，故满足条件的角 α 的集合为{α|2kπ＋ ≤α≤2kπ＋ π，k∈ 3 3 Z}．
要点三 周期求法 例 3 求下列三角函数的周期：(1)y＝3cos x，x∈R (2)y＝sin 2x，x∈R
1 π (3)y＝2sin2x－6
，x∈R.
解 (1)∵3cos(x＋2π)＝3cos x， ∴自变量 x 只要并且至少要增加到 x＋2π， 函数 y＝3cos x，x∈R 的值才能重复出现， 所以，函数 y＝3cos x，x∈R 的周期是 2π.
跟踪演练 3 (1)y＝cos 解
求下列函数的周期： x|.
1 π 2x；(2)y＝sin－2x＋3；(3)y＝|cos
2π 2π 1 (1)T＝ 2 ＝π； (2)T＝ 1＝4π；(3)T＝2π×2＝π. － 2
再见
(2)sin 810° ＋cos 765° －sin 1 125° ＋cos 180° ＋sin(－2 010° )． 解
π π 2 π (1) 原式＝ sin －4π＋4 ＋ cos 8π＋3 ＋ cos －4π＋3π ＝ sin 4
正周期．
要点一 例1
单位圆及其应用
根据下列三角函数值，作出角 α 的终边，然后求角 α 的
取值集合． 1 1 (1)sin α＝ ；(2)cos α＝ . 2 2
1 解 (1)已知角 α 的正弦值，可知 P 点纵坐标为2.所以在 y 轴上
1 取点0，2.过这点作
x 轴的平行线，交单位圆于 P1，P2 两点，
规律方法 利用周期性可把负角的三角函数化为0到2π间的 三角函数，也可把大于2π的角的三角函数化为0到2π间的三 角函数，即实现了“负化正，大化小”．同时要熟记特殊角 的三角函数值．
跟踪演练 2 求下列各式的值．
15 25 10 (1)sin － 4 π ＋cos π＋cos(－ π)； 3 3
(2)∵sin(2x＋2π)＝sin 2(x＋π)＝sin 2x， ∴自变量 x 只要并且至少要增加到 x＋π，函数 y＝sin 2x，x∈R 的值才能重复出现， 所以，函数 y＝sin 2x，x∈R 的周期是 π.
1 1 1 π π π (3)∵2sin2x＋4π－6＝2sin2x－6＋2π＝2sin2x－6，
高中数学· 必修4· 北师大版
4.2 单位圆与周期性
[学习目标] 1．掌握正弦、余弦函数的定义，理解正弦函数、余弦余数 都是周期函数．
2．会利用正、余弦函数的周期性把求任意角的正、余弦值
转化为0°～360°求值．
[知识链接] 设 f(x)＝sin x，请判断以下说法是否成立，并说明理由．
π π (1)当 x＝ 时，f x＋2＝f(x)； 4 π π (2)当 x＝3时，f x＋2＝f(x)；
π (3)T＝2是函数 f(x)＝sin x 的周期．
π π π π 2 答 (1)当 x＝4时，sin 4＋2 ＝sin4＝ 2 成立．
π π 1 π π 3 (2)不成立．当 x＝ 时，sin 3＋2 ＝ ；sin ＝ ， 3 3 2 2
f
π x＋ ≠f(x)． 2
∴自变量 x 只要并且至少要增加到 x＋4π， 函数 x∈R 的值才能重复出现， 所以，函数
1 π y＝2sin－2x－6，x∈R
1 π y＝2sin2x－6，
的周期是 4π.
规律方法
对于形如函数 y＝Asin(ωx＋φ)，ω≠0 时的周期求法
2π 常直接利用 T＝ 来求解，对于 y＝|Asin ωx|的周期情况常结合 |ω| 图象法来求解．
π 则 OP1，OP2 是角 α 的终边，因而角 α 的集合为{α|α＝2kπ＋ 或 6 5π α＝2kπ＋ ，k∈Z}． 6
1 1 (2)因为角 α 的余弦值为2，所以在 x 轴上取点2，0，过该点作
x 轴的垂线，交单位圆于 P1、P2 两点，OP1，OP2 是所求角 α π 的终边，α 的取值集合为{α|α＝2kπ±3，k∈Z}．
cos(α＋k·2π)＝
由此我们可以得到如下结论： (1) 正弦函数、余弦余数都
是周期函数，2kπ (k∈Z且k≠0)都是它们的周期．(2)终边
相同的角的同一三角函数的值 Biblioteka Baidu等 ．
3．周期函数的有关概念 (1)周期函数的定义
对于函数f(x)，如果存在 非零 实数T，任取定义域内的任
意一个x值，都有 f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就称为周期 函数，T称为这个函数的 周期 ． (2)最小正周期 2π是正弦函数、余弦函数正周期中最小的一个，称为最小
π (3)T＝2不是函数 f(x)＝sin x 的周期，周期函数的定义是对定义 域中的每一个 x 值来说的，只有个别的 x 值满足 f(x＋T)＝f(x) 不能说 T 是 f(x)的周期．
[预习导引]
1．三角函数的定义域
正弦函数y＝sin x的定义域是R；余弦函数y＝cos x的定义 域是R. 2．正、余弦函数的周期性 sin(α＋k·2π)＝ sin ， α k∈Z； cos， α k∈Z.
1 (2)作直线 x＝－2交单位圆于 C、D 两点，连接 OC、OD，则 OC 与 OD 围成的区域(图②阴影部分)即为角 α 终边的范围，故 满足条件的角 α 的集合为
2 4 α|2kπ＋ π≤α≤2kπ＋ π，k∈Z 3 3
要点二 利用周期求值 例2 求下列角的三角函数值．