单位圆与周期性(北师大版)
北师大版高中数学必修四1.4.2 单位圆与周期性
(2) cos( 23 ) sin17
3
4
求下列三角函数值． (1)sin(－1 050°)；(2)cos－356π.
解：(1)∵－1 050°＝－3×360°＋30°，
∴－1 050°的角与 30°的角的终边相同．
∴sin(－1 050°)＝sin30°＝12.
(2)∵－356π＝－366π＋π6＝－3×2π＋π6，
即：4 是 f(x)的一个周期.
8分
∵x∈[0,4)时，f(x)＝0 的根为 x＝0， ∴f(x)＝0 在 R 上的根为：x＝4k，k∈Z. 由 0≤4k≤2 016(k∈Z)得：0≤k≤504(k∈Z)． ∴f(x)在[0,2 016]内的零点共有 504 个.
10 分 12 分
2.已知定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x－4)＝－f(x)，且在区间 [0,2]上是增函数，则( )
∴－365π的角的终边和π6的角的终边相同．
∴cos－356π＝cosπ6＝
3 2.
例
2．若函数
f(x)是以π2为周期的周期函数，且
f
π 3
＝1，则
f
17π 6
的值是( )
A．1
B．－1
C．±1
D．无法确定
解析：f176π＝f2π＋π2＋π3＝fπ3＝1. 答案：A
练习：1、已知函数f(x)是R上的周期为5的周期 函数，且f(1)=2005，求f(11);
A．f(－25)＜f(11)＜f(80) B．f(80)＜f(11)＜f(－25) C．f(11)＜f(80)＜f(－25) D．f(－25)＜f(80)＜f(11)
解析：∵f(x－8)＝f[(x－4)－4]＝－f(x－4)＝－[－f(x)]＝f(x)， ∴f(x＋8)＝f(x)，∴f(x)的周期 T＝8， ∴f(－25)＝f(－1)， f(80)＝f(0)， f(11)＝f(3)＝－f(－1)＝f(1)， 由已知得 f(x)在[－2,2]上是增函数， ∴f(－1)＜f(0)＜f(1)， ∴选 D．
2022年 高中数学新北师大版精品教案《北师大版高中数学必修4 4.2单位圆与周期性》
§单位圆与周期性一、[学习目标]1掌握正弦、余弦函数的定义，理解正弦函数、余弦余数都是周期函数2会利用正弦、余弦函数的周期性把求任意角的正弦、余弦值转化为0°～360°求值．二、[教学难点]周期函数的定义及应用三、[教学重点]正弦函数，余弦函数的周期性四、学情分析：五、学法与教法：探究讨论法六、教学过程：〔一〕、复习回忆任意角的三角函数定义：如图，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P,，那么：叫作α的正弦函数，记作inα，即inα=；叫作α的余弦函数，记作coα，即coα=;当角α的终边分别在第一、二、三、四象限时，正弦函数值、余弦函数值的正负号：在直角坐标系的单位圆中，画出以下各特殊角，求各个角终边与单位圆的交点坐标，并将各特殊角的正弦函数值、余弦函数值填入下表观察此表格中的数据,你能发现函数=in和=co的变化有什么特点吗？〔二〕、引入新课把这种随自变量的变化呈周期性变化的函数叫作周期函数正弦函数、余弦函数是周期函数，称为正弦函数、余弦函数的周期例如，等都是它们的周期其中2π是正弦函数、余弦函数正周期中最小的一个，称为最小正周期一般地，对于函数f，如果存在非零实数T，对定义域内的任意一个值，都有fT=f, 我们就把f称为周期函数，T称为这个函数的周期说明：假设不加特别说明，本书所指周期均为函数的最小正周期〔三〕、探究新知1、对周期函数的理解周期函数的定义中“对于定义域内的任意一个〞的“任意一个〞的含义是指定义域内的所有的值，即如果有一个，使得，那么T就不是函数f的周期。
注意，周期函数定义中的“T〞是____________2、对最小正周期的理解并不是所有周期函数都存在最小正周期。
函数：f=c〔c为常数〕，对于函数f〔〕的定义域内的每一个值,都有f〔T〕=c，因此f〔〕为_______,由于T可以是任意不为零的常数，而正数集合中没有最小者，所以f〔〕没有最小正周期3、周期函数的周期有无限多个。
高中数学北师大版必修4第一章《单位圆与周期函数》ppt课件
2019/8/29
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谢谢欣赏！
2019/8/29
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课本P16练习T1(1)
公式一 sin(2k x) sin x, k z;
cos(2k x) cos x, k z.
这节课我们学了
它们能将任意角正弦Fra bibliotek数、余弦函数的三角函数化为 0º~360º角的三角函数
是周期函数， 2k (k Z, k 0)
为正弦函数、余弦函数的周期。如果函数
④ 紧跟老师的推导过程抓住老师的思路。老师在课堂上讲解某一结论时，一般有一个推导过程，如数学问题的来龙去脉、物理概念的抽象归纳、 语文课的分析等。感悟和理解推导过程是一个投入思维、感悟方法的过程，这有助于理解记忆结论，也有助于提高分析问题和运用知识的能力。
⑤ 搁置问题抓住老师的思路。碰到自己还没有完全理解老师所讲内容的时候，最好是做个记号，姑且先把这个问题放在一边，继续听老师讲后面 的内容，以免顾此失彼。来自：学习方法网
y
P(u, v),
2 x
ox M1 x
图5
由三角函数的定义，可以知道：终边相同的角的同一
三角函数的值相等，也就是
终边相同的角的正弦函数值相等，即 sin(2k x) sin x, k z; 终边相同的角的余弦函数值相等，即 cos(2k x) cos x, k z.
y=f(x)的周期是T，那么函数y=f(ωx＋φ)的周
期是
T' T
课本P20习题1—4 A组T4。
编后语
老师上课都有一定的思路，抓住老师的思路就能取得良好的学习效果。在上一小节中已经提及听课中要跟随老师的思路，这里再进一步论述听课时如何 抓住老师的思路。
《单位圆与周期性》示范公开课教学设计【高中数学必修4(北师大版)】
《单位圆与周期性》教学设计教材首先通过对终边相同角的正、余弦函数值的分析得出公式，使学生初步了解函数的周期性，进而给出周期函数的定义。
特别探究正弦函数、余弦函数的周期、最小正周期，以便于后续的学习和应用。
【知识与能力目标】1、掌握终边相同角的正弦、余弦函数值间的关系2、理解周期函数的定义；熟知正、余弦函数的周期、最小正周期。
【过程与方法目标】通过对周期函数的定义和三角函数周期的推导，提高学生分析、探究、解决问题的能力。
【情感态度价值观目标】1、使学生认识到事物之间是有联系的，终边相同角的三角函数值相等；2、学习转化的思想，培养学生严谨治学、一丝不苟的科学精神。
【教学重点】掌握终边相同角的正弦、余弦函数值间的关系【教学难点】理解周期函数的定义；熟知正、余弦函数的周期、最小正周期。
电子课件调整、相应的教具带好、熟悉学生名单、电子白板要调试好。
一、复习导入部分复习回顾正、余弦函数的定义、定义域、值域、在各个象限的符号。
二、探究新知： 阅读教材P 16～P 17练习以上部分，完成下列问题。
1、终边相同的角的正弦、余弦函数值的关系。
(1)终边相同的角的正弦函数值相等，即sin(x ＋2k π)＝sin x (k ∈Z )。
(2)终边相同的角的余弦函数值相等，即cos(x ＋2k π)＝cos x (k ∈Z )。
2、一般地，对于函数f (x )，如果存在非零实数T ，对定义域内的任意一个x 值，都有f (x ＋T )＝f (x )，则称f (x )为周期函数，T 称为这个函数的周期。
3、特别地，正弦函数、余弦函数是周期函数，称2k π(k ∈Z ，k ≠0)是正弦函数、余弦函数的周期，其中2π是正弦函数、余弦函数正周期中最小的一个，称为最小正周期。
三、例题解析求下列各角的三角函数值。
(1)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－236π；(2)cos 1 500°； (3)sin 174π；(4)cos 253π。
单位圆与周期性(北师大版)
1 (2)作直线 x＝－2交单位圆于 C、D 两点，连接 OC、OD，则 OC 与 OD 围成的区域(图②阴影部分)即为角 α 终边的范围，故 满足条件的角 α 的集合为
2 4 α|2kπ＋ π≤α≤2kπ＋ π，k∈Z 3 3
要点二 利用周期求值 例2 求下列角的三角函数值．
π 则 OP1，OP2 是角 α 的终边，因而角 α 的集合为{α|α＝2kπ＋ 或 6 5π α＝2kπ＋ ，k∈Z}． 6
1 1 (2)因为角 α 的余弦值为2，所以在 x 轴上取点2，0，过该点作
x 轴的垂线，交单位圆于 P1、P2 两点，OP1，OP2 是所求角 α π 的终边，α 的取值集合为{α|α＝2kπ±3，k∈Z}．
规律方法 利用周期性可把负角的三角函数化为0到2π间的 三角函数，也可把大于2π的角的三角函数化为0到2π间的三 角函数，即实现了“负化正，大化小”．同时要熟记特殊角 的三角函数值．
跟踪演练 2 求下列各式的值．
15 25 10 (1)sin － 4 π ＋cos π＋cos(－ π)； 3 3
π 2 ＋cos3＋cos3π 2 1 1 2 ＝ 2 ＋2＋ －2 ＝ 2 .
(2) 原式＝ sin(2×360° ＋ 90° ) ＋ cos(2×360° ＋ 45° ) － sin(3×360° ＋45° )＋cos 180° ＋sin(－6×360° ＋150° ) ＝sin 90° ＋cos 45° －sin 45° ＋cos 180° ＋sin 150° 2 2 1 1 ＝1＋ 2 － 2 ＋(－1)＋2＝2.
高中数学· 必修4· 北师大版
4.2 单位圆与周期性
[学习目标] 1．掌握正弦、余弦函数的定义，理解正弦函数、余弦余数 都是周期函数．
高中数学北师大版必修四课件：第一章 4.1 单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义-4.2 单位圆与周期性
C.第三象限
D.第四象限
解析 ∵α为第二象限角，∴sin α＞0，cos α＜0， ∴点P在第四象限，故选D.
解析 答案
(2)判断下列各式的符号. ①sin 145°cos(－210°)； 解 ∵145°是第二象限角，∴sin 145°＞0， ∵－210°＝－360°＋150°， ∴－210°是第二象限角， ∴cos (－210°)＜0，∴sin 145°cos(－210°)＜0.
跟踪训练1 已知角α的终边过点P(－3a， 4a)(a≠0)，求2sin α＋cos α的值.
解 r＝ －3a2＋4a2＝5|a|.
①若a>0，则r＝5a，角α在第二象限，
sin α＝yr＝54aa＝45，cos α＝xr＝－53aa＝－35， ∴2sin α＋cos α＝85－35＝1.
②若a<0，则r＝－5a，角α在第四象限， sin α＝－45aa＝－45，cos α＝－ －35aa＝35，
∴2sin α＋cos α＝－85＋35＝－1.
解答
命题角度2 已知角α终边所在直线求三角函数值 3
例2 已知角α的终边在直线y＝－3x上，求10sin α＋cos α 的值.
解答
反思与感悟
在解决有关角的终边在直线上的问题时，应注意到角的终边为射线，所
以应分两种情况处理，取射线上异于原点的任意一点的坐标的(a，b)，则
所以 sin α＝ 23aa＝ 23， cos α＝2aa＝12.
若a<0，则α为第三象限角，r＝－2a，
Байду номын сангаас
所以 sin α＝－32aa＝－ 23，cos α＝－2aa＝－12.
解答
类型二 正弦、余弦函数值符号的判断
北师大版必修4 1.4.1-4.2 单位圆与周期性 学案
4．1单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义4．2单位圆与周期性1．任意角的正弦、余弦函数的定义如图所示，在直角坐标系中，作以坐标原点为圆心的单位圆，对于任意角α，使角α的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于唯一的点P(u，v)，我们把点P的纵坐标v定义为角α的正弦函数，记作v＝sin__α；点P的横坐标u定义为角α的余弦函数，记作u＝cos__α．对于给定的角α，点P的纵坐标v、横坐标u都是唯一确定的，所以正弦函数、余弦函数都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标为函数值的函数．在给定的单位圆中，对于任意角α可以是正角、负角或是零角，所以，正弦函数v＝sin α，余弦函数u＝cos α的定义域为全体实数．2．正弦函数、余弦函数在各象限的符号象限三角函数第一象限第二象限第三象限第四象限sin α＋＋－－cos α＋－－＋[注意]按正值简记为：正弦一、二象限全为正；余弦偏在一、四中．3．终边相同的角的正、余弦函数(1)公式：sin(x＋2kπ)＝sin__x，k∈Z；cos(x＋2kπ)＝cos__x，k∈Z.(2)意义：终边相同的角的正弦函数值、余弦函数值分别相等．4．周期函数(1)定义：一般地，对于函数f(x)，如果存在非零实数T，对定义域内的任意一个x值，都有f (x ＋T )＝f (x )，则称f (x )为周期函数，T 称为这个函数的周期． (2)正弦函数和余弦函数都是周期函数，它们的最小正周期均是2π．1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若sin α>0，则角α的终边在第一或第二象限．( ) (2)若sin α＝sin β，则α＝β.( )(3)若sin(60°＋60°)＝sin 60°，则60°是正弦函数y ＝sin x 的一个周期．( ) (4)若T 是函数f (x )的周期，则kT ，k ∈N ＋也是函数f (x )的周期．( ) 解析：(1)错误．因为sin α>0，所以角α的终边还有可能在y 轴的正半轴上． (2)错误．正弦值相等，但两角不一定相等，如sin 60°＝sin 120°，但60°≠120°. (3)错误．举反例，sin(40°＋60°)≠sin 40°，所以60°不是正弦函数y ＝sin x 的一个周期． (4)正确．根据周期函数的定义知，该说法正确. 答案：(1)× (2)× (3)× (4)√ 2．若角α的终边与单位圆相交于点⎝⎛⎭⎫22，－22，则sin α的值为( ) A.22B ．－22C.12D ．－12解析：选B.利用任意角三角函数的定义可知，点⎝⎛⎭⎫22，－22到原点的距离为1，则sin α＝－221＝－22，故选B. 3．对于任意的x ∈R 都有f (x ＋2)＝f (x )，则f (x )的一个周期为________． 解析：由周期函数的定义知f (x )的一个周期为2. 答案：2(答案不唯一)4．若角α的正弦线的长度为12，且方向与y 轴负方向相同，则sin α＝________．解析：由正弦线的概念知sin α＝－12.答案：－121．对正弦函数、余弦函数定义的理解(1)定义中，α是一个任意角，同时它也可以是一个实数(弧度数)．(2)角α的终边与单位圆O 交于点P (u ，v )，实际上给出了两个对应关系，即 实数α(弧度)对应于点P 的纵坐标v ――→对应正弦 实数α(弧度)对应于点P 的横坐标u ――→对应 余弦(3)三角函数可以看成以实数为自变量，以单位圆上的点的坐标为函数值的函数．角与实数是一对一的．角和实数与三角函数值之间是多对一的，如图所示．(4)sin α是一个整体，不是sin 与α的乘积，单独的“sin”“cos”是没有意义的． 2．正弦函数、余弦函数定义的拓展上面利用单位圆，给出了任意角的正弦、余弦函数的定义，实际上，我们可以把这一定义进一步拓展，通过角的终边上任意一点的坐标来定义正弦、余弦函数．设α是一个任意角，α的终边上任意一点P 的坐标是(x ，y )，它与原点的距离是r (r ＝x 2＋y 2>0)，如下图，那么，比值y r 叫作α的正弦，记作sin α，即sin α＝y r ；比值xr 叫作α的余弦，记作cos α，即cos α＝xr.3．终边落在坐标轴上的角的正弦、余弦值利用正弦函数、余弦函数的定义可知，当α的终边落在坐标轴上时，正弦函数、余弦函数的取值情况如下表：函数名称 终边位置正弦函数余弦函数x 轴正半轴 0 1 x 轴负半轴 0 －1 y 轴正半轴1y轴负半轴－104.对周期函数的概念的理解(1)定义域：在周期函数y＝f(x)中，T是周期，若x是定义域内的一个值，则x＋kT也一定属于定义域，因此周期函数的定义域一定是无限集．(2)“对定义域内的任意一个x”这句话中“任意一个x”的含义是指定义域内所有的x值，即如果存在一个x0，使f(x0＋T)≠f(x0)，那么T就不是函数f(x)的周期．(3)周期函数的周期有无限多个．若T是周期，则对定义域中任意x，总有f(x＋kT)＝f(x＋(k －1)T)＝f(x＋(k－2)T)＝…＝f(x)都成立，即f(x＋kT)＝f(x)，所以kT(k∈Z，k≠0)也是周期．(4)值域：由于对定义域中任意x，总有f(x＋T)＝f(x)成立，则周期函数y＝f(x)的值域与函数y＝f(x)在一个周期内的值域相同．利用正、余弦函数的定义求值已知角α的终边落在射线y＝2x(x≥0)上，求sin α，cos α的值．【解】法一：设射线y＝2x(x≥0)与单位圆的交点为P(x0，y0)，则⎩⎪⎨⎪⎧y0＝2x0，x20＋y20＝1，x0≥0，解得⎩⎨⎧x0＝55，y0＝255，即P⎝⎛⎭⎫55，255，所以sin α＝y0＝255，cos α＝x0＝55.法二：设点P(a，2a)是角α终边上任意一点，其中a>0.因为r＝|OP|＝a2＋4a2＝5a（O为坐标原点），所以sin α＝yr＝2a5a＝255，cos α＝xr＝a5a＝55.本例中条件“角α的终边落在射线y＝2x(x≥0)上”若换为“角α的终边落在直线y＝2x上”，其他条件不变，其结论又如何呢？解：(1)若α的终边在第一象限内，设点P(a，2a)(a>0)是其终边上任意一点，因为r＝|OP|＝a2＋4a2＝5a（O为坐标原点），所以sin α＝yr＝2a5a＝255，cos α＝xr＝a5a＝55.(2)若α的终边在第三象限内，设点P (a ，2a )(a <0)是其终边上任意一点，因为r ＝|OP |＝a 2＋4a 2＝－5a (a <0) （O 为坐标原点），所以sin α＝y r ＝2a －5a ＝－255，cos α＝x r ＝a －5a ＝－55.求任意角的三角函数值的两种方法方法一：根据定义，寻求角的终边与单位圆的交点P 的坐标，然后利用定义得出该角的正弦、余弦值．方法二：第一步，取点：在角α的终边上任取一点P (x ，y )(P 与原点O 不重合)； 第二步，计算r ：r ＝|OP |＝x 2＋y 2(r >0)；第三步，求值：由sin α＝y r ，cos α＝xr求值．1.(1)设角α的终边上有一点P (4，－3)，则2sin α＋cos α的值是( )A ．－25 B.25 C ．－25或25D ．1(2)已知P (－2，y )是角α终边上一点，且sin α＝－55，则cos α＝________． 解析：(1)由三角函数的定义可知sin α＝－342＋（－3）2＝－35，cos α＝442＋（－3）2＝45， 所以2sin α＋cos α＝2×⎝⎛⎭⎫－35＋45＝－25，故选A. (2)因为r ＝4＋y 2，所以sin α＝yr ＝yy 2＋4＝－55.所以y <0，所以y ＝－1，r ＝5， 所以cos α＝x r ＝－25＝－255.答案：(1)A (2)－255单位圆中的角在直角坐标系的单位圆中，已知α＝83π.(1)画出角α；(2)求出角α的终边与单位圆的交点坐标； (3)求出角α的正弦函数值． 【解】 (1)因为α＝83π＝2π＋23π，所以角α的终边与23π的终边相同．以原点为角的顶点，以x 轴非负半轴为角的始边，逆时针旋转83π，与单位圆交于点P ，则角α如图所示． (2)因为α＝83π，所以点P 在第二象限，由(1)知∠AOP ＝2π3，过点P 作PM ⊥x 轴于点M .则在Rt △OMP 中，∠OMP ＝π2，∠MOP ＝π3，OP ＝1，由直角三角形的边角关系，得OM ＝12，MP ＝32，所以得点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫－12，32.(3)根据正弦函数的定义有sin8π3＝32.(1)先将角α表示为α＝β＋2k π(－π<β≤π，k ∈Z )的形式，则角β的终边即为角α的终边，k 为x 轴的非负半轴逆(k >0)或顺(k <0)旋转的周数．(2)求角α与单位圆的交点坐标，应利用角α的特殊性转化为直角三角形的边角关系求解，进而得角α的正弦、余弦值．2.(1)已知角α的终边和单位圆的交点为P ⎝⎛⎭⎫35，－45，则sin α＝________，cos α＝________．(2)在直角坐标系的单位圆中，已知α＝－136π.①画出角α；②求出角α的终边与单位圆的交点坐标； ③求出角α的正弦、余弦值．解：(1)根据正弦函数和余弦函数的定义知，sin α＝－45，cos α＝35.故填－45和35.(2)①因为α＝－136π＝－2π－π6，所以角α的终边与－π6的终边相同，如图，以原点为角的顶点，以x 轴的非负半轴为角的始边，顺时针旋转136π，与单位圆交于点P ，则角α如图所示．②因为α＝－136π，所以点P 在第四象限．由①知，∠AOP ＝π6，过点P 作PM ⊥x 轴于点M ，则在Rt △MOP 中，∠OMP ＝π2，∠MOP ＝π6，OP ＝1，由直角三角形的边角关系，得OM ＝32，MP ＝12， 所以得点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫32，－12.③根据正弦、余弦函数的定义，得 sin ⎝⎛⎭⎫－136π＝－12，cos ⎝⎛⎭⎫－136π＝32. 判断三角函数值的符号及角所在象限(1)判断sin 340°cos 265°的符号；(2)若sin 2α>0，且cos α<0，试确定α所在的象限． 【解】 (1)因为340°是第四象限角，265°是第三象限角， 所以sin 340°<0，cos 265°<0. 所以sin 340°cos 265°>0. (2)因为sin 2α>0，所以2k π<2α<2k π＋π(k ∈Z )， 所以k π<α<k π＋π2(k ∈Z )．当k 为偶数时，设k ＝2m (m ∈Z )，有2m π<α<2m π＋π2(m ∈Z )；当k 为奇数时，设k ＝2m ＋1(m ∈Z )，有2m π＋π<α<2m π＋3π2(m ∈Z )．所以α为第一或第三象限角．又由cos α<0，可知α为第三象限角．(1)三角函数值的符号可按以下口诀记忆：一全正，二正弦，三正切，四余弦(是正的)． (2)对于确定α角所在象限问题，应首先界定题目中所有三角函数的符号，然后依据上述三角函数的符号来确定角α所在的象限，则它们所在象限的公共部分即为所求．3.判断下列各式的符号．(1)α是第四象限角，sin α·cos α； (2)sin 3·cos 4·cos ⎝⎛⎭⎫－23π4. 解：(1)因为α是第四象限角，所以sin α<0，cos α>0.所以sin α·cos α<0. (2)因为π2<3<π，π<4<3π2，所以sin 3>0，cos 4<0. 因为－23π4＝－6π＋π4，所以cos ⎝⎛⎭⎫－23π4>0. 所以sin 3·cos 4·cos ⎝⎛⎭⎫－234π<0. 周期性及其应用已知函数f (x )在定义域R 上恒有： ①f (x )＝f (－x )，②f (2＋x )＝f (2－x )， 当x ∈[0，4)时，f (x )＝－x 2＋4x . (1)求f (8)；(2)求f (x )在[0，2 016]内零点的个数．【解】 (1)由已知：f (8)＝f (2＋6)＝f (2－6)＝f (－4)＝f (4)＝f (2＋2)＝f (2－2)＝f (0)＝0. (2)因为f (x )在定义域R 上恒有f (2＋x )＝f (2－x )， 所以f (x )＝f (4－x )对x ∈R 恒成立． 又f (x )＝f (－x )对x ∈R 恒成立． 故有f (－x )＝f (4－x )对x ∈R 恒成立． 即4是f (x )的一个周期．因为x ∈[0，4)时，f (x )＝0的根为x ＝0， 所以f (x )＝0在R 上的根为x ＝4k ，k ∈Z . 由0≤4k ≤2 016(k ∈Z )得0≤k ≤504(k ∈Z )． 所以f (x )在[0，2 016]内的零点共有505个．(1)周期的定义是对定义域中每一个x 值来说的．如果只有个别的x 值满足f (x ＋T )＝f (x )，则不能说T 是f (x )的周期．(2)从等式f (x ＋T )＝f (x )来看，应强调自变量x 本身加的常数才是周期．如本题出现由f (x )＝f (4－x )得4是f (x )的一个周期是错误的．4.(1)设f (x )是以4为一个周期的函数，且当x ∈(－1，0)时，f (x )＝2x ＋1，则f ⎝⎛⎭⎫72的值为( )A ．2B ．0C ．－1D ．－3(2)已知函数f (x )满足f (1)＝2，且f (x ＋1)＝－1f （x ）(f (x )≠0)对任意x ∈R 恒成立，则f (5)＝________．(3)已知f (x ＋a )＝－f (x )(a >0)，求证：f (x )是周期函数，并求出它的一个周期． 解：(1)选B.f (x )是以4为一个周期的函数， 所以4k (k ∈Z ，k ≠0)也是f (x )的周期． 所以f (x －4)＝f (x )，故f ⎝⎛⎭⎫72＝f ⎝⎛⎭⎫72－4，从而f ⎝⎛⎭⎫72＝f ⎝⎛⎭⎫－12. 又当x ∈(－1，0)时，f (x )＝2x ＋1， 所以f ⎝⎛⎭⎫72＝f ⎝⎛⎭⎫－12＝2×⎝⎛⎭⎫－12＋1＝0. (2)因为f (x ＋1)＝－1f （x ），所以f (x ＋2)＝－1f （x ＋1），所以f (x ＋2)＝－1－1f （x ）＝f (x )，所以f (x )的周期为2， 所以f (5)＝f (1)＝2.故填2.(3)因为f (x ＋2a )＝f [(x ＋a )＋a ]＝－f (x ＋a )＝ －[－f (x )]＝f (x )，所以f (x )是周期函数，且2a 是它的一个周期．思想方法分类讨论思想确定三角函数值符号函数y ＝sin x |sin x |＋|cos x |cos x 的值域是________．[解析] 当x 为第一象限的角时，sin x ＞0，cos x ＞0， 所以y ＝sin x |sin x |＋|cos x |cos x＝1＋1＝2；当x 为第二象限的角时，sin x ＞0，cos x ＜0， 所以y ＝sin x |sin x |＋|cos x |cos x＝1－1＝0；当x 为第三象限的角时，sin x ＜0，cos x ＜0， 所以y ＝sin x |sin x |＋|cos x |cos x ＝－1－1＝－2；当x 为第四象限的角时，sin x ＜0，cos x ＞0， 所以y ＝sin x |sin x |＋|cos x |cos x＝－1＋1＝0.所以y ＝sin x |sin x |＋|cos x |cos x 的值域是{－2，0，2}．[答案] {－2，0，2}求函数的值域实质是对函数式进行化简，在求解中对sin x 、cos x 的符号进行讨论，即对x 所在象限进行分类讨论．所谓分类讨论，就是当问题所给的对象不能进行统一研究时，就需要对研究对象按某个标准分类，然后对每一类分别研究得出每一类的结论，最后综合各类结果得到整个问题的解答．1．若cos α＝－32，且角α的终边经过点P (x ，2)，则P 点的横坐标x 是( ) A ．23 B ．±2 3 C ．－2 2 D ．－2 3解析：选D.r ＝x 2＋22，由题意得x x 2＋22＝－32，所以x ＝－2 3.故选D. 2．若－π2＜α＜0，则点(tan α，cos α)位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：选B.由－π2＜α＜0知α为第四象限角，则tan α＜0，cos α＞0，点在第二象限．3．当α为第二象限角时，|sin α|sin α－|cos α|cos α的值是________．解析：因为α为第二象限角，所以sin α>0，cos α<0. 所以|sin α|sin α－|cos α|cos α＝sin αsin α－－cos αcos α＝2.答案：24．已知函数f (x )是周期函数，周期T ＝6，f (2)＝1，则f (14)＝________． 解析：f (14)＝f (2×6＋2)＝f (2)＝1. 答案：1, [A 基础达标]1．cos ⎝⎛⎭⎫－16π3的值为( ) A ．－32B.32C.12D ．－12解析：选D.－163π的终边与23π的终边重合，故cos ⎝⎛⎭⎫－16π3＝cos 2π3＝－12. 2．若α的终边过点(2sin 30°，－2cos 30°)，则sin α的值为( ) A.12 B ．－12C ．－32D ．－33解析：选C.因为sin 30°＝12，cos 30°＝32，所以α的终边过点(1，－3)，所以r ＝1＋（－3）2＝2，所以sin α＝y r ＝－32，故选C.3．当α为第二象限角时，|sin α|sin α－|cos α|cos α的值是( )A ．－1B ．2C ．1D ．0解析：选B.因为α为第二象限角， 所以sin α>0，cos α<0.所以|sin α|sin α－|cos α|cos α＝sin αsin α－－cos αcos α＝2.4．函数y ＝sin x ＋－cos x 的定义域是( ) A ．(2k π，2k π＋π)，k ∈Z B.⎣⎡⎦⎤2k π＋π2，2k π＋π，k ∈Z C.⎣⎡⎦⎤k π＋π2，k π＋π，k ∈Z D ．[2k π，2k π＋π]，k ∈Z解析：选B.由sin x ≥0，－cos x ≥0，得x 为第二象限角或y 轴正半轴上的角或x 轴负半轴上的角，所以2k π＋π2≤x ≤2k π＋π，k ∈Z .5．有下列命题：①存在函数f (x )定义域中的某个自变量x 0，使f (x 0＋T )＝f (x 0)，则f (x )为周期函数；②存在实数T ，使得对f (x )定义域内的任意一个x ，都满足f (x ＋T )＝f (x )，则f (x )为周期函数；③周期函数的周期是唯一的．其中，正确命题的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：选A.①由周期函数的定义，可知f (x ＋T )＝f (x )对定义域内的任意一个x 都成立，且T ≠0，故不正确；②由周期函数的定义可知T ≠0，故不正确；③若T 为周期，则f (x ＋2T )＝f [(x ＋T )＋T ]＝f (x ＋T )＝f (x )，所以2T 也是周期，故不正确． 6．已知角α为第二象限角，则（sin α－cos α）2化简的结果为________． 解析：因为角α为第二象限角，故sin α>0，cos α<0，因此（sin α－cos α）2＝|sin α－cosα|＝sin α－cos α. 答案：sin α－cos α7．若α是第三象限角，则sin(cos α)·cos(sin α)________0. 解析：因为α是第三象限角，所以－1<cos α<0，－1<sin α<0.所以sin(cos α)<0，cos(sin α)>0， 所以sin(cos α)·cos(sin α)<0. 答案：<8．已知角α的终边过点(－3cos θ，4cos θ)，其中θ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则cos α＝________． 解析：因为θ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，所以cos θ<0，所以点(－3cos θ，4cos θ)到原点的距离r ＝5|cos θ|＝－5cos θ，所以cos α＝－3cos θ－5cos θ＝35.答案：359．已知点M 是圆x 2＋y 2＝1上的点，以射线OM 为终边的角α的正弦值为－22，求cos α的值．解：设点M 的坐标为(x 1，y 1)． 由题意，可知sin α＝－22，即y 1＝－22. 因为点M 在圆x 2＋y 2＝1上， 所以x 21＋y 21＝1，即x 21＋⎝⎛⎭⎫－222＝1， 解得x 1＝22或x 2＝－22. 所以cos α＝22或cos α＝－22. 10．已知函数f (x )的定义域是R ，对任意实数x ，满足f (x ＋2)＝－f (x )，当x ∈[0，4)时，f (x )＝x 2＋2x .(1)求证：函数f (x )是周期函数； (2)求f (－7)．解：(1)证明：对任意实数x ，有f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2]＝－f (x ＋2)＝－[－f (x )]＝f (x )． 所以函数f (x )是周期函数． (2)由(1)知，函数f (x )的周期为4， 所以f (－7)＝f (－7＋2×4)＝f (1)． 因为当x ∈[0，4)时，f (x )＝x 2＋2x ，所以f (－7)＝f (1)＝3.[B 能力提升]11．若角α满足sin α·cos α＜0，cos α－sin α＜0，则α在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：选B.由sin α·cos α＜0知α是第二或第四象限角，由cos α－sin α＜0，得cos α＜sin α，所以α是第二象限角．12．若角α的终边上有一点P (－4，a )，且sin α·cos α＝34，则a 的值为( ) A ．4 3B ．±4 3C ．－43或－433 D. 3解析：选C.依题意，可知sin α＝a a 2＋16，cos α＝－4a 2＋16.又sin α·cos α＝34，所以－4a a 2＋16＝34， 即3a 2＋16a ＋163＝0， 解得a ＝－43或－433，故选C.13．已知角α的终边过点(3m －9，m ＋2)，且cos α<0，sin α>0，求m 的取值范围． 解：因为cos α<0，所以α的终边在第二或第三象限，或x 轴的非正半轴上． 又因为sin α>0，所以α的终边在第一或第二象限，或y 轴的非负半轴上． 所以α是第二象限角，即点(3m －9，m ＋2)在第二象限．所以⎩⎪⎨⎪⎧3m －9<0，m ＋2>0，解得－2<m <3，即m 的取值范围是(－2，3)．14．(选做题)已知角α的顶点在原点，始边与x 轴的非负半轴重合，1|sin α|＝－1sin α，且lg(cos α)有意义． (1)试判断角α所在象限；(2)若角α的终边与单位圆相交于点M ⎝⎛⎭⎫35，m ，求m 的值及sin α的值． 解：(1)由1|sin α|＝－1sin α可知sin α<0，所以α是第三或第四象限角或终边在y 轴非正半轴上的角．由lg(cos α)有意义可知cos α>0，所以α是第一或第四象限角或终边在x 轴的非负半轴上的角．综上可知角α是第四象限角． (2)因为点M ⎝⎛⎭⎫35，m 在单位圆上， 所以⎝⎛⎭⎫352＋m 2＝1，解得m ＝±45. 又α是第四象限角，故m <0，从而m ＝－45.由正弦函数的定义可知sin α＝－45.。
高中数学北师大版必修4《第1章44.2单位圆与周期性》课件
2
1．任意角的正弦、余弦函数的定义 (1)单位圆的定义 在直角坐标系中，以_坐__标__原__点__为圆心，以 _单__位__长__度___为半径的圆，称为单位圆． (2)如图所示，设 α 是任意角，其顶点与原点重合，始边与 x 轴 _非_负__半__轴__重合，终边与单位圆 O 交于点 P(u，v)，那么：
[提示] 2π，4π，6π，－2π，…等都是函数的周期．
1．已知 P(3,4)是终边 α 上一点，则 sin α 等于( )
3
4
A.4
B.3
4
3
C.5
D.5
C [∵r＝ 32＋42＝5，∴sin α＝45.]
9
2．已知角 α 的终边上一点的坐标为sin
23π，cos
23π，则角
α的
最小正值为( )
18
所以 kπ＜α＜kπ＋2π(k∈Z)． 当 k 为偶数时，设 k＝2m(m∈Z)，有 2mπ＜α＜2mπ＋π2(m∈Z)； 当 k 为奇数时，设 k＝2m＋1(m∈Z)， 有 2mπ＋π＜α＜2mπ＋32π(m∈Z)．所以 α 为第一或第三象限角．又 由 cos α＜0，可知 α 为第三象限角．
数学人教版 高中数学
4.2 单位圆与周期性
学习目标
核心素养
1.通过学习任意角的正弦、余弦 1.理解任意角的正弦、余弦的定
的定义及周期函数的定义，培养 义及其应用．(重点)
数学抽象素养． 2．掌握同角的正弦、余弦函数
2．通过正弦、余弦定义的应用 值间的关系．(重点)
及同角的正弦、余弦函数值间的 3．理解周期函数的定义．(难点)
26
＝f－π3＋fπ4
＝－fπ3＋fπ4
高中数学北师大版必修4 1.4 教学设计 《单位圆与周期性》(数学北师大高中必修4)
《单位圆与周期性》教学设计本课时编写：双辽一中张敏◆教材分析本节是根据在单位圆中，任意角的正弦、余弦函数定义得到函数的特征，通过分析两个等式直接下了定义。
由于定义来的突然，学生对于应用的理解很低，因此本教案设计了两个例题和一个变式训练，算是抛砖引玉。
◆教学目标【知识与能力目标】了解并掌握周期性的定义；【过程与方法目标】积极讨论，踊跃展示，大胆质疑，探究周期性的规律．【情感态度价值观目标】在学习中感悟数学概念的合理性、严谨性、科学性．感悟数学的本质，培养追求真理的精神．通过本节的学习，使同学们对正弦函数与余弦函数有了一个全新的认识，通过对定义的应用，提高学生分析、解决问题的能力．◆教学重难点【教学重点】周期性的定义.【教学难点】周期性的应用.◆课前准备多媒体课件教学过程一、新知探究提出问题：（1）观察下图，根据前面学的知识，在单位圆中，由任意角的正弦、余弦函数定义能得到哪些结论？（2）怎样定义周期函数？（3）怎样确定最小正周期？通过探讨，由老师进行归纳总结：由三角函数的定义，可以知道：终边相同的角的同一三角函数的值相等，也就是终边相同的角的正弦函数值相等，即sin(2kπ+x)=sinx,k∈Z；终边相同的角的余弦函数值相等，即cos(2kπ+x)=cosx,k∈Z.对于任意一个角x，每增加的2π整数倍，其正弦函数值、余弦函数值均不变。
所以正弦函数值、余弦函数值均是随角的变化呈周期性变化的。
我们把这种随自变量的变化呈周期性变化的函数叫作周期函数，正弦函数、余弦函数是周期函数，且2kπ（k∈Z，k≠0）为正弦函数、余弦函数的周期。
一般地，对于函数f(x)，如果存在非零实数T，任取定义域内地任意一个值x，都有f(x+T)=f(x),我们就把称它为周期函数，T称为这个函数的周期。
特别注意：若不加特别说明，本书所指的周期均为函数的最小正周期。
【设计意图】通过提问，引出新知，让学生带着问题思考。
二、典例分析.例1. 求下列三角函数值：（1）sin390° ；（2）cos19π6由老师带领学生做题，加深对观念的理解，最后进行点评。
1.4.2单位圆与周期性 课件高中数学必修4(北师大版)
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1.4.2
探究点三 正、余弦函数的周期性 由任意角的三角函数的定义可以知道， 终边相同的角的同一 三角函数值相等 .由此得到正弦函数和余弦函数的周期性 . sin(k· 360° ＋ α)＝ sin α ，cos(k· 360° ＋α)＝ cos α ，k∈Z. 或者： sin(2kπ＋ α)＝ sin α， cos(2kπ＋α)＝ cos α，k∈ Z. 这组公式的作用是将求任意角的三角函数值转化为求 0° ～ 360° 的三角函数值 .
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1.4.2
1.三角函数线 如图， 设单位圆与 x 轴的正半轴交于点 A， 与角 α 的终边交 于 P 点.过点 P 作 x 轴的垂线 PM，垂足为 M.单位圆中的有 向线段 MP 、OM .分别叫作角 α 的正弦线、余弦线.记作： sin α＝ MP ，cos α＝ OM .
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作垂线，垂足为 M，则由垂足 M 指向点 P 的有向线段 MP 就叫作 α 的正弦线，位于 x 轴上，由原点指向垂足 M 的有 向线段 OM 就是 α 的余弦线.
过点 A(1,0)作单位圆的切线，切线与角 α 的终边或其反向延 长线交于点 T，则由 A 指向交点 T 的有向线段 AT 就叫角 α 的正切线.
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问题 4 若 α 为第一象限角，证明 sin α＋cos α>1.
证明 设角 α 的终边与单位圆交于点 P， 过 P 作 PM⊥x 轴， 垂足为 M，则 sin α＝MP，cos α＝OM，OP＝1. 在 Rt△OMP 中，由两边之和大于第三边得 MP＋OM>OP， 即 sin α＋cos α>1.
2017-2018高中数学北师大版必修四课件：单位圆与周期性
所以
2＋ 3 3 2 3 －3＝－ 3 .
解决条件求值问题的策略 (1)解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、 函数名称及有关运算之间的差异及联系． (2)可以将已知式进行变形，向所求式转化，或将所求式进行变 形，向已知式转化．
【互动探究】 本例中若条件不变，如os α－ 的 6 6
解： 因为 所以 sin
2
5π π π cos 6 ＋α＝cosπ－6－α＝－cos6－α＝－
3 3，
5π 2 5π ＋α＝1－cos ＋α 6 6
1 解析：sin 210° ＝sin(180° ＋30° )＝－sin 30° ＝－2 1 答案：－2
(2)tan(－60° )＝________ ； )＝－tan 60° 解析： tan(－60° ＝－ 3
答案：－ 3
(3)cos 150° ＝________.
3 解析：cos 150° ＝cos(180° －30° )＝－cos 30° ＝－ 2 . 3 答案：－ 2
π 3 6＝－ 2 .
(3)tan(－765° )＝－tan 765° ＝－tan(45° ＋2×360° )＝－tan 45° ＝－1.
给值(式)求值问题
已知 值．
π cos6－α＝ 5π π 3 2 ＋α－sin α－ 的 ，求 cos 6 3 6
给角求值问题
求下列各三角函数值．
16 (1)sin 3 π；(2)cos(－765° )；(3)tan(－750° )．
思路点拨：利用诱导公式将负角化为正角，进而再转化为锐角 三角函数求值．
4π 16π 解：(1)sin 3 ＝sin4π＋ 3 π 4π π 3 ＝sin 3 ＝sin π＋3 ＝－sin 3＝－ 2 .
高中数学北师大版必修四《1.4单位圆与周期性、诱导公式》课件
单位圆与引 诱公式
北师大版 高中数学
课程 标准
教材 的理解
所教学生 实际情形
一、教学背景 二、教学目标 三、教学策略 四、教学进程
五、教学特点及反思
为今后学习三角函数图像 与性质等知识做好铺垫
探究终边存在特别关系的角的 正、余弦值之间的关系
探究正、余弦函数中存在周期现 象并抽象出周期函数的定义
教学难点：
1、α＋π，α-π与角α终边位置的几何 关 系的发觉以及表示
2、发觉由终边位置关系导致（与单位圆 交点）的坐标关系
❖通过对正、余弦函数的分析使学生能初步了解函数的周 期性 ❖借助单位圆、三角函数定义、对称性等知识点引导学生 积极参与引诱公式的产生进程，加深对引诱公式的理解
•认识客观世界中的周期现象，感受周期函数是自然现象，体 会数形结合的思想方法 ，感受数学的现实价值
问题探究式
结合信息技 术相结合
教学 手段
教学 方式
学习 活动
自主探索、 动手实践、 合作交流
创设情境——问题引导——整合定义—— 提出料想— —自主探究——归纳方法——合作探索——巩固反 馈——开放小结
（1）本节课我们学习的知识有哪些？ （2）在概念、结论的逐渐获得中，我们用了哪些研 究问题的方法，体现了哪些数学思想？
周期现象是自然界中非常常见的现象
在学生完成预习任务的情形下， 已经为本节的学习做好准备
在学习三角函数的定义时学生接触过 单位圆这一重要的工具;学生基本掌控 任意角三角函数的定义
本章第一节学习过自然界中的周期现象， 学生对自然现象有直观感受
初中学习过锐角三角函数知识
教学重点：
1、周期函数的定义 2、 页 1、4、5 18 页 1、2
2020-2021学年北师大版数学必修4课件：1.4.2-1.4.3单位圆与周期性余弦函数基本性质
必备知识·自主学习
1.终边相同的角的正、余弦函数的关系怎样? 导思 2.周期性是怎么定义的?
3.正、余弦函数的性质有哪些?
1.终边相同的角的正、余弦函数 (1)sin(x+k·2π)=_s_i_n___x_,k∈Z. (2)cos(x+k·2π)=_c_o_s___x_,k∈Z.
3.正、余弦函数的周期性 正、余弦函数都是以_2_k_π__(k∈Z,k≠0 )为周期的周期函数,最小正周期为 _2_π__.
【思考】 正弦、余弦函数有多少个周期? 提示:正弦、余弦函数都有无数个周期.
4.单位圆与正、余弦函数的性质
定义域 值域
最小正周期
正弦函数y=sin x R
_[_-_1_,_1_]_ _2_π__
【补偿训练】
设f(x)是定义域为R,最小正周期为 则f (15) 的值等于 ( )
3 2
的函数,若f(x)=
cos x( x 0)，
2
sin x（0 x ），
4
A.1
B. 2
C.0
2
D. 2 2
【解析】选B.f (15) =f [3 （ 3） 3]
4
2
4
f( 3) sin 3 2 .
1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)
(1)2kπ(k∈Z)是正弦、余弦函数的周期.
()
(2)对正弦函数f(x)=sin x有 f( ) f( )， 所以 是f(x)的周期.
42 4
2
()
(3)正弦函数的最大值是1,最小值是-1. ( )
(4)正弦函数在单位圆的右半圆是单调增加的. ( )
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规律方法 利用周期性可把负角的三角函数化为0到2π间的 三角函数，也可把大于2π的角的三角函数化为0到2π间的三 角函数，即实现了“负化正，大化小”．同时要熟记特殊角 的三角函数值．
跟踪演练 2 求下列各式的值．
15 25 10 (1)sin － 4 π ＋cos π＋cos(－ π)； 3 3
cos(α＋k·2π)＝
由此我们可以得到如下结论： (1) 正弦函数、余弦余数都
是周期函数，2kπ (k∈Z且k≠0)都是它们的周期．(2)终边
相同的角的同一三角函数的值 相等 ．
3．周期函数的有关概念 (1)周期函数的定义
对于函数f(x)，如果存在 非零 实数T，任取定义域内的任
意一个x值，都有 f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就称为周期 函数，T称为这个函数的 周期 ． (2)最小正周期 2π是正弦函数、余弦函数正周期中最小的一个，称为最小
正周期．
要点一 例1
单位圆及其应用
根据下列三角函数值，作出角 α 的终边，然后求角 α 的
取值集合． 1 1 (1)sin α＝ ；(2)cos α＝ . 2 2
1 解 (1)已知角 α 的正弦值，可知 P 点纵坐标为2.所以在 y 轴上
1 取点0，2.过这点作
x 轴的平行线，交单位圆于 P1，P2 两点，
π (3)T＝2是函数 f(x)＝sin x 的周期．
π π π π 2 答 (1)当 x＝4时，sin 4＋2 ＝sin4＝ 2 成立．
π π 1 π π 3 (2)不成立．当 x＝ 时，sin 3＋2 ＝ ；sin ＝ ， 3 3 2 2
f
π x＋ ≠f(x)． 2
跟踪演练 3 (1)y＝cos 解
求下列函数的周期： x|.
1 π 2x；(2)y＝sin－2x＋3；(3)y＝|cos
2π 2π 1 (1)T＝ 2 ＝π； (2)T＝ 1＝4π；(3)T＝2π×2＝π. － 2
再见
π 2 ＋cos3＋cos3π 2 1 1 2 ＝ 2 ＋2＋ －2 ＝ 2 .
(2) 原式＝ sin(2×360° ＋ 90° ) ＋ cos(2×360° ＋ 45° ) － sin(3×360° ＋45° )＋cos 180° ＋sin(－6×360° ＋150° ) ＝sin 90° ＋cos 45° －sin 45° ＋cos 180° ＋sin 150° 2 2 1 1 ＝1＋ 2 － 2 ＋(－1)＋2＝2.
∴自变量 x 只要并且至少要增加到 x＋4π， 函数 x∈R 的值才能重复出现， 所以，函数
1 π y＝2sin－2x－6，x∈R
1 π y＝2sin2x－6，
的周期是 4π.
规律方法
对于形如函数 y＝Asin(ωx＋φ)，ω≠0 时的周期求法
2π 常直接利用 T＝ 来求解，对于 y＝|Asin ωx|的周期情况常结合 |ω| 图象法来求解．
1 (2)作直线 x＝－2交单位圆于 C、D 两点，连接 OC、OD，则 OC 与 OD 围成的区域(图②阴影部分)即为角 α 终边的范围，故 满足条件的角 α 的集合为
2 4 α|2kπ＋ π≤α≤2kπ＋ π，k∈Z 3 3
要点二 利用周期求值 例2 求下列角的三角函数值．
规律方法 有用处．
(1)确定已知角的终边，对于以后研究三角函数很
(2) 利用单位圆，可以非常直观方便地求出形如 sin x≥m或sin
x≤m的三角函数的角的范围，起到“以形助数”的作用．
跟踪演练 1 在单位圆中画出适合下列条件的角 α 的终边的范 围，并由此写出角 α 的集合： 3 1 (1)sin α≥ 2 ；(2)cos α≤－2. 3 解 (1)作直线 y＝ 2 交单位圆于 A、B 两点，连接 OA、OB， 则 OA 与 OB 围成的区域(图①阴影部分)即为角 α 的终边的范 π 2 围，故满足条件的角 α 的集合为{α|2kπ＋ ≤α≤2kπ＋ π，k∈ 3 3 Z}．
(2)sin 810° ＋cos 765° －sin 1 125° ＋cos 180° ＋sin(－2 010° )． 解
π π 2 π (1) 原式＝ sin －4π＋4 ＋ cos 8π＋3 ＋ cos －4π＋3π ＝ sin 4
19 31 (1)cos(－1 050° )；(2)cos π；(3)sin(－ π)． 3 4 解 (1)∵－1 050° ＝－3×360° ＋30° ， ∴－1 050° 的角与 30° 的角终边相同， 3 ∴cos(－1 050° )＝cos 30° ＝ ； 2
19 π 19 π (2)∵ π＝3×2π＋ ，∴角 π 与角 的终边相同， 3 3 3 3 19 π 1 ∴cos 3 π＝cos3＝2； 31 π (3)∵－ 4 π＝－4×2π＋4， 31 π ∴角－ π 与角 的终边相同， 4 4 31 π 2 ∴sin(－ 4 π)＝sin4＝ 2 .
高中数学· 必修4· 北师大版
4.2 单位圆与周期性
[学习目标] 1．掌握正弦、余弦函数的定义，理解正弦函数、余弦余数 都是周期函数．
2．会利用正、余弦函数的周期性把求任意角的正、余弦值
转化为0°～360°求值．
[知识链接] 设 f(x)＝sin x，请判断以下说法是否成立，并说明理由．
π π (1)当 x＝ 时，f x＋2＝f(x)； 4 π π (2)当 x＝3时，f x＋2＝f(x)；
π 则 OP1，OP2 是角 α 的终边，因而角 α 的集合为{α|α＝2kπ＋ 或 6 5π α＝2kπ＋ ，k∈Z}． 6
1 1 (2)因为角 α 的余弦值为2，所以在 x 轴上取点2，0，过该点作
x 轴的垂线，交单位圆于 P1、P2 两点，OP1，OP2 是所求角 α π 的终边，α 的取值集合为{α|α＝2kπ±3，k∈Z}．
(2)∵sin(2x＋2π)＝sin 2(x＋π)＝sin 2x， ∴自变量 x 只要并且至少要增加到 x＋π，函数 y＝sin 2x，x∈R 的值才能重复出现， 所以，函数 y＝sin 2x，x∈R 的周期是 π.
1 1 1 π π π (3)∵2sin2x＋4π－6＝2sin2x－6＋2π＝2sin2x－6，
π (3)T＝2不是函数 f(x)＝sin x 的周期，周期函数的定义是对定义 域中的每一个 x 值来说的，只有个别的 x 值满足 f(x＋T)＝f(x) 不能说 T 是 f(x)的周期．
[预习导引]
1．三角函数的定义域
正弦函数y＝sin x的定义域是R；余弦函数y＝cos x的定义 域是R. 2．正、余弦函数的周期性 sin(α＋k·2π)＝ sin ， α k∈Z； cos， α k∈Z.
要点三 周期求法 例 3 求下列三角函数的周期：(1)y＝3cos x，x∈R (2)y＝sin 2x，x∈R
1 π (3)y＝2sin2x－6
，x∈R.
解 (1)∵3cos(x＋2π)＝3cos x， ∴自变量 x 只要并且至少要增加到 x＋2π， 函数 y＝3cos x，x∈R 的值才能重复出现， 所以，函数 y＝3cos x，x∈R 的周期是 2π.