弹性力学课后习题详解

第一章习题

1-1 试举例证明，什么是均匀的各向异性体，什么是非均匀的各向同性体，什么是非均匀的各向异性体。

1．均匀的各向异性体：

如木材或竹材组成的构件。整个物体由一种材料组成，故为均匀的。材料力学性质沿纤维方向和垂直纤维方向不同，故为各向异性的。

2．非均匀的各向同性体：

实际研究中，以非均匀各向同性体作为力学研究对象是很少见的，或者说非均匀各向同性体没有多少可讨论的价值，因为讨论各向同性体的前提通常都是均匀性。设想物体非均匀（即点点材性不同），即使各点单独考察都是各向同性的，也因各点的各向同性的材料常数不同而很难加以讨论。

实际工程中的确有这种情况。如泌水的水泥块体，密度由上到下逐渐加大，非均匀。但任取一点考察都是各向同性的。

再考察素混凝土构件，由石子、砂、水泥均组成。如果忽略颗粒尺寸的影响，则为均匀的，同时也必然是各向同性的。反之，如果构件尺寸较小，粗骨料颗粒尺寸不允许忽略，则为非均匀的，同时在考察某点的各方向材性时也不能忽略粗骨料颗粒尺寸，因此也必然是各向异性体。因此，将混凝土构件作为非均匀各向同性体是很勉强的。

3．非均匀的各向异性体：

如钢筋混凝土构件、层状复合材料构件。物体由不同材料组成，故为非均匀。材料力学性质沿纤维方向和垂直纤维方向不同，故为各向异性的。

1-2一般的混凝土构件和钢筋混凝土构件能否作为理想弹性体一般的岩质地基和土质地基能否作为理想弹性体

理想弹性体指：连续的、均匀的、各向同性的、完全（线）弹性的物体。

一般的混凝土构件（只要颗粒尺寸相对构件尺寸足够小）可在开裂前可作为理想弹性体，但开裂后有明显塑性形式，不能视为理想弹性体。

一般的钢筋混凝土构件，属于非均匀的各向异性体，不是理想弹性体。

一般的岩质地基，通常有塑性和蠕变性质，有的还有节理、裂隙和断层，一般不能视为理想弹性体。在岩石力学中有专门研究。

一般的土质地基，虽然是连续的、均匀的、各向同性的，但通常具有蠕变性质，变形与荷载历史有关，应力-应变关系不符合虎克定律，不能作为理想弹性体。在土力学中有专门研究。

1-3 五个基本假定在建立弹性力学基本方程时有什么用途

连续性假定使变量为坐标的连续函数。完全（线）弹性假定使应力应变关系明确为虎克定律。均匀性假定使材料常数各点一样，可取任一点分析。各向同性使材料常数各方向一样，坐标轴方位的任意选取不影响方程的唯一性。小变形假定使几何方程为线性，

且可采用变形前的尺寸列平衡方程。

1-4 应力和面力的符号规定有什么区别试分别画出正面和负面上的正的应力和正的面

力的方向。

面力的正/负总是按与坐标轴正向是/否一致来确定，与所讨论的边界面的外法线方向（可能与坐标轴正向一致或相反，或者与坐标轴呈一夹角）无关。对于平行于坐标面的截面上的应力而言，其正负号取决于两方面，一是所讨论的截面的外法线方向是否与坐标轴正向一致（即该截面是正面还是负面），二是应力本身方向与坐标轴正向是否一致。

教材P4图1-3标出所有平行于坐标面的截面上的应力的正方向。分别设想该图的某一面为边界面，则右面、上面、前面的面力正方向与应力正方向一致，而左面、下面、后面的面力正方向与应力正方向相反。

1-5 试比较弹性力学和材料力学中关于切应力的符号规定。

材力中切应力符号的规定，通常按使微元体顺/逆时针转为+/-。弹力则规定正面上切应力与坐标轴方向一致为+、负面上切应力与坐标轴方向相反为+。根据剪应力互等，某个坐标面内的2对切应力总是一对顺时针一对逆时针，因此按材力规定则切应力变化下标后，大小相等、符号改变，即切应力互等差一负号，而按弹力规定使切应力变化下标后，大小相等、符号不变，即切应力互等绝对成立。

1-6 试举例说明正的应力对应于正的形变。

关于本题的理解：（1）“正的应力”包括正的正应力、正的剪应力（注意“正的应力”不只等价于“正应力” ） ；（2）“正的形变”包括正的线应变、正的切应变；（3）所谓“对应”是指应力、形变下标一致的两者对应，如x σ对应x ε、yz τ对应yz γ等。参考答案如下：

（1）说明正的正应力对应正的线应变：以图3-1(a)简单拉伸问题为例，设a >0，则

有应力解答a y 2=σ>0，x σ=0，xy τ=0。由物理方程（2-12）得02>=E

a x ε（此外还有02<-=a E

y με，xy γ=0），即板沿y 轴伸长。可见，拉应力（即正的正应力）对应线段的相对伸长（即正的线应变）。从本例也可见，正应力为零时对应的线应变不一定为零，但正应力不为零时对应的线应变一定不为零，而且正负号一致。

（2）说明正的切应力对应正的切应变：以右图微元体纯剪

切问题为例，设b >0，则有y σ=0，x σ=0，b yx xy ==ττ>0。由物

理方程（2-12）得G

b yx xy ==γγ>0（此外还有x ε=0、y ε=0）。可见，正的切应力对应正的切应变。 这里要对切应变的几何含义加以解释。右图为上述正的切应

力作用下的微元体变形后的图形。注意到∠DAB 、∠DCB 处直角

x

变为锐角，与上述yx xy γγ=>0也是一致的。但∠ABC 、∠ADC 处都是直角变为钝角，是否意味着yx xy γγ=<0并不是这样的。实际上，yx xy γγ=>0从几何上看就是指微元体沿第一、三象限对角方向伸长，沿第二、四象限对角方向缩短的切变形，即如图所示的变形形式就是正的切应变的几何含义。因此严格地讲，“切应变以直角变小时为正”中的“直角”应是指从一点出发沿两坐标轴正向的线段之间的直角。按此定义，在考察图中的切变形到底是正是负，只需考察∠DAB 处的直角变化，因为点A 、B 、C 、D 中只有A 点具有从该点出发沿两坐标轴正向的线段。

1-7 试画出图1-4中的矩形薄板的正的体力、面力和应力的方向。

题为薄板，可认为不关心与z 下标有关的物理量，只标出与x 、y 下标有关的物理量：

容易犯的错误：1）一个边界上，面力只标出一个方向的分量，少标一个；2）只在一个边界面上标面力分量；3）正的面力分量方向标反；4）正的体力分量方向标反。5）各微元体截面上正的应力分量标反；6）将应力分量标在物体边界面上。

1-8 试画出图1-5中的三角形薄板的正的面力和体力的方向。

题为薄板，可认为不关心与z 下标有关的物理量，只标出与x 、y 下标有关的物理量。

x f y x f f

x y σ

yx σ薄板的正的体力 薄板的正的面力

微元体的正的应力

x

z y O

y f f f 薄板的正的体力 薄板的正的面力